طول قطعه و اندازه گیری آن. طول یک قطعه خط و اندازه گیری آن طول یک قطعه خط چیست

تکرار نظریه

16. جاهای خالی را پر کنید.

1) نقطه و خط نمونه هایی از اشکال هندسی هستند.
2) اندازه گیری یک قطعه به معنای محاسبه تعداد واحد های متناسب آن است.
3) اگر نقطه C بر روی قطعه AB علامت گذاری شده باشد ، پس طول قطعه AB برابر با مجموع طول بخشهای AC + CB است
4) اگر دو قطعه برابر باشند وقتی روی هم قرار می گیرند با هم مطابقت دارند.
5) بخشهای برابر طولهای برابر دارند.
6) فاصله بین نقاط A و B طول قطعه AB است.

حل مسایل

17- قسمت های نشان داده شده در شکل را علامت گذاری کرده و طول آنها را اندازه بگیرید.

18- تمام قسمتهای خط ممکن را با انتهای نقاط A ، B ، C و D. رسم کنید ، نامگذاری تمام بخشهای خط رسم شده را بنویسید.

AB ، BC ، CD ، AD ، AC ، BD

19. تمام قسمتهای نشان داده شده در تصویر را بنویسید.

20. بخشهای CK و AD را به گونه ای رسم کنید که CK \u003d 4 سانتی متر 6 میلی متر ، AD \u003d 2 سانتی متر 5 میلی متر باشد.

21. یک قطعه BE را بکشید که طول آن 5 سانتی متر و 3 میلی متر است. نقطه A را روی آن علامت گذاری کنید تا BA \u003d 3 سانتی متر 8 میلی متر باشد. AE چه مدت است؟

AE \u003d BE-VA \u003d 5 سانتی متر 3 میلی متر - 3 سانتی متر 8 میلی متر \u003d 1 سانتی متر 5 میلی متر

22- مقدار داده شده را در واحدهای مشخص شده بیان کنید.

23- پیوندهای خط شکسته را بنویسید و طول آنها را (بر حسب میلی متر) اندازه بگیرید. طول چندخطی را محاسبه کنید.

24. نقطه B را علامت گذاری کنید ، 6 سلول در سمت چپ و 1 سلول زیر نقطه A قرار دارد. نقطه C ، 3 سلول در سمت راست و 3 سلول زیر نقطه B قرار دارد. نقطه D ، 7 سلول در سمت راست و 2 سلول بالاتر از نقطه C. قرار دارد و به طور متوالی نقاط A ، B ، C و D را وصل کنید.

یک خط شکسته ABCD ، متشکل از 3 پیوند ، تشکیل شد.

25. طول چندخطی نشان داده شده در شکل را محاسبه کنید.

الف) 5 * 36 \u003d 180 میلی متر
ب) 3 * 28 \u003d 84 میلی متر
ج) 10 * 10 + 15 * 4 \u003d 160 میلی متر

26. یک DSEK چند خطی بسازید به طوری که DС \u003d 18 میلی متر ، CE \u003d 37 میلی متر ، EK \u003d 26 میلی متر باشد. طول چندخطی را محاسبه کنید.

27. شناخته شده است که AC \u003d 17 سانتی متر ، BD \u003d 9 سانتی متر ، BC \u003d 3 سانتی متر طول قطعه AD را محاسبه کنید.

28. شناخته شده است که MK \u003d KN \u003d NP \u003d PR \u003d RT \u003d 3 سانتی متر. کدام بخشهای مساوی دیگر در این شکل وجود دارد؟ طول آنها را پیدا کنید.

29. نقاط بر روی خط مستقیم مشخص شده اند به طوری که فاصله بین هر دو نقطه مجاور 4 سانتی متر و بین نقاط شدید - 36 سانتی متر است. چند نقطه مشخص شده است؟

30. بدون برداشتن مداد از روی کاغذ ، شکلهای نشان داده شده در شکل را بکشید. هر خط را می توان فقط یک بار با مداد رسم کرد.

اگر با یک مداد کاملاً تیز ، یک صفحه دفتر را لمس کنید ، ردی باقی می ماند که ایده ای راجع به ایده می دهد. (شکل 3)

بیایید دو نقطه A و B را روی یک کاغذ علامت گذاری کنیم این نقاط را می توان با خطوط مختلف متصل کرد (شکل 4). چگونه می توانید نقاط A و B را با کوتاهترین خط متصل کنید؟ این کار را می توان با خط کش انجام داد (شکل 5). خط حاصل فراخوانی می شود بخش.

نقطه و خط - مثالها شکل های هندسی.

به نقاط A و B گفته می شود انتهای بخش.

فقط یک بخش وجود دارد که انتهای آن نقاط A و B هستند. بنابراین ، بخش با نوشتن نقاط انتهای آن مشخص می شود. به عنوان مثال ، قطعه در شکل 5 به یکی از دو روش مشخص شده است: AB یا BA. بخوانید: "بخش AB" یا "بخش BA".

شکل 6 سه خط را نشان می دهد. طول قطعه AB 1 سانتی متر است. دقیقاً سه بار در قطعه MN و در قطعه EF - 4 بار قرار می گیرد. ما این را خواهیم گفت طول قطعه MN 3 سانتی متر و EF 4 سانتی متر است.

همچنین معمول است که می گویند: "قطعه MN برابر 3 سانتی متر است" ، "قطعه EF برابر 4 سانتی متر است". آنها می نویسند: MN \u003d 3 سانتی متر ، EF \u003d 4 سانتی متر.

ما طول بخش های MN و EF را اندازه گیری کردیم تک قطعه، طول آن 1 سانتی متر است. برای اندازه گیری بخش ها ، می توانید سایر موارد را انتخاب کنید واحد طول، به عنوان مثال: 1 میلی متر ، 1 میلی متر ، 1 کیلومتر. در شکل 7 ، طول قطعه 17 میلی متر است. با استفاده از خط کش تقسیم شده توسط یک قطعه تک خطی که طول آن 1 میلی متر است اندازه گیری می شود. همچنین ، با استفاده از خط کش ، می توانید قطعه ای از طول معین را بسازید (رسم کنید) (شکل 7 را ببینید).

بطور کلی، اندازه گیری یک قطعه به معنای شمارش چند واحد واحد است.

طول یک بخش دارای ویژگی زیر است.

اگر نقطه C روی قطعه AB علامت گذاری شود ، پس طول قطعه AB برابر است با مجموع طول بخشهای AC و CB(شکل 8)

آنها می نویسند: AB \u003d AC + CB.

شکل 9 دو بخش AB و CD را نشان می دهد. این بخشها با هم همپوشانی دارند.

گفته می شود که دو قطعه خط اگر با هم قرار بگیرند با هم برابر شوند ، برابر هستند.

از این رو بخشهای AB و CD برابر هستند. آنها می نویسند: AB \u003d CD.

بخشهای مساوی دارای طول برابر هستند.

از بین دو بخش نابرابر ، بزرگترین را با طول بیشتر در نظر خواهیم گرفت. به عنوان مثال ، در شکل 6 ، بخش EF بزرگتر از بخش MN است.

طول قطعه AB نامیده می شود مسافت بین نقاط A و B

اگر چندین بخش را همانطور که در شکل 10 نشان داده شده مرتب کنید ، یک شکل هندسی بدست می آورید که به آن گفته می شود خط شکسته... توجه داشته باشید که تمام بخشهای شکل 11 چندخطی تشکیل نمی دهند. اگر انتهای قطعه اول با انتهای قسمت دوم منطبق شود و انتهای دیگر قطعه دوم با انتهای قسمت سوم و غیره مقادیر در نظر گرفته شود که یک خط شکسته تشکیل می دهند

نقاط A ، B ، C ، D ، E - رئوس چند خطی ABCDE ، نقاط A و E - پلی لاین به پایان می رسد، و بخشهای AB ، BC ، CD ، DE آن هستند پیوندها (نگاه کنید به شکل 10).

طول پلی لاین مجموع طول تمام پیوندهای آن را فراخوانی کنید.

شکل 12 دو خط شکسته را نشان می دهد که انتهای آنها با هم منطبق هستند. به این خطوط شکسته گفته می شود بسته شده.

مثال 1 ... قطعه BC 3 سانتی متر کمتر از قطعه AB است که 8 سانتی متر طول دارد (شکل 13). طول قطعه خط AC را پیدا کنید.

تصمیم گیری ما داریم: BC \u003d 8 - 3 \u003d 5 (سانتی متر).

با استفاده از ویژگی طول قطعه ، می توانیم AC \u003d AB + BC را بنویسیم. از این رو AC \u003d 8 + 5 \u003d 13 (سانتی متر).

پاسخ: 13 سانتی متر.

مثال 2 ... شناخته شده است که MK \u003d 24 سانتی متر ، NP \u003d 32 سانتی متر ، MP \u003d 50 سانتی متر (شکل 14). طول قطعه خط NK را پیدا کنید.

تصمیم گیری ما داریم: MN \u003d MP - NP.

از این رو MN \u003d 50 - 32 \u003d 18 (سانتی متر).

ما داریم: NK \u003d MK - MN.

از این رو NK \u003d 24 - 18 \u003d 6 (سانتی متر).

پاسخ: 6 سانتی متر.

مفهوم طول یک قطعه و اندازه گیری های آن قبلاً به طور مکرر مورد استفاده قرار گرفته است ، به ویژه هنگامی که یک عدد طبیعی به عنوان اندازه گیری اندازه در نظر گرفته می شد. در این بخش ، ما فقط مفهوم طول یک قطعه را به عنوان یک مقدار هندسی تعمیم خواهیم داد.

در هندسه ، طول مقداری است که طول یک قطعه و همچنین سایر خطوط (خط شکسته ، منحنی) را مشخص می کند. در دوره ما ، فقط مفهوم طول قطعه در نظر گرفته خواهد شد. در تعریف آن ، ما از مفهوم "یک بخش متشکل از بخش" است که در مبحث 18 معرفی شده است استفاده خواهیم کرد.

تعریف.طول یک قطعه مقدار مثبتی است که دارای خصوصیات زیر است: 1) بخشهای مساوی دارای طولهای برابر هستند. 2) اگر یک قطعه از دو بخش تشکیل شده باشد ، طول آن برابر با مجموع طول قطعات آن است.

از این خصوصیات طول خط هنگام اندازه گیری استفاده می شود. برای اندازه گیری طول یک قطعه ، باید یک واحد طول داشته باشید. در هندسه ، چنین واحدی طول یک قطعه دلخواه است.

همانطور که در مبحث 18 نشان داده شده است ، نتیجه اندازه گیری طول یک قطعه یک عدد واقعی مثبت است - نامیده می شود مقدار عددی طول قطعه با واحد طول انتخاب شده یا اندازه گیری طول از این بخش اگر طول قطعه را با حرف X ، واحد طول - E و تعداد واقعی بدست آمده در هنگام اندازه گیری - با حرف a نشان دهیم ، می توانیم بنویسیم: a \u003d m E (X) یا X \u003d a ∙ E.

عدد واقعی مثبت به دست آمده هنگام اندازه گیری طول یک قطعه باید تعدادی از نیازها را برآورده کند:

1. اگر دو قطعه برابر باشد ، مقادیر عددی طول آنها نیز برابر است.

2. اگر قطعه x از بخش x 1 و x 2 تشکیل شده باشد ، مقدار عددی طول آن برابر است با مجموع مقادیر عددی طول بخشهای x 1 و x 2.

3- هنگام تغییر واحد طول ، مقدار عددی طول یک قطعه معین هر چند برابر واحد جدید کمتر (بیشتر) از واحد قدیمی افزایش می یابد (کاهش می یابد).

4- مقدار عددی طول یک قطعه واحد برابر با یک است.

ثابت شده است که یک عدد واقعی مثبت ، که اندازه گیری طول یک قطعه معین است ، همیشه وجود دارد و منحصر به فرد است. همچنین ثابت شده است که برای هر عدد واقعی مثبت بخشی وجود دارد که طول آن با این عدد بیان می شود.

توجه داشته باشید که غالباً به منظور اختصار ، مقدار عددی طول یک قطعه را به سادگی طول می نامند. به عنوان مثال ، در کار "یافتن طول یک بخش مشخص" کلمه "طول" به معنی مقدار عددی طول قطعه است. آزادی دیگری نیز کمتر مجاز است - آنها می گویند: "بخش را اندازه بگیرید" به جای "اندازه بخش را اندازه بگیرید".

وظیفه. یک قطعه خط به طول 3.2E بسازید. اگر واحد طول E 3 برابر شود مقدار عددی طول این قطعه چقدر خواهد بود؟

تصمیم گیری بیایید یک بخش دلخواه بسازیم و آن را یک واحد بدانیم. سپس یک خط مستقیم می سازیم ، نقطه A را روی آن علامت گذاری می کنیم و 3 قسمت از آن را کنار می گذاریم که طول آن برابر با E. ما یک قطعه AB به دست می آوریم که طول آن 3E است (شکل 1).

برای بدست آوردن قطعه ای با طول 3.2E ، باید واحد جدیدی از طول را وارد کنید. برای انجام این کار ، قطعه واحد باید به 10 قسمت مساوی تقسیم شود ، یا به 5 قسمت تقسیم شود ، زیرا 0.2 \u003d. اگر از نقطه B یک قطعه برابر با یک را به تعویق بیندازید ، طول قطعه AC برابر با 3.2E خواهد بود.

برای تحقق دومین نیاز مسئله ، از ویژگی 3 استفاده خواهیم کرد که طبق آن وقتی واحد طول 3 برابر افزایش یابد ، مقدار عددی طول یک قطعه معین 3 برابر کاهش می یابد. تقسیم 3.2 به 3 ، به دست می آوریم:

3.2: 3 \u003d\u003d 3: 3 \u003d \u003d 1. بنابراین ، با یک واحد طول 3E ، مقدار عددی طول قطعه ساخته شده AC برابر با 1 خواهد بود.

بر اساس قطعه بخشی از یک خط مستقیم متشکل از تمام نقاط این خط است که بین این دو نقطه قرار دارد - آنها انتهای بخش نامیده می شوند.

بیایید به اولین مثال نگاه کنیم. اجازه دهید یک قطعه با دو نقطه در صفحه مختصات داده شود. در این حالت می توانیم طول آن را با استفاده از قضیه فیثاغورث پیدا کنیم.

بنابراین ، در سیستم مختصات ، یک بخش را با مختصات داده شده انتهای آن ترسیم کنید (x1 ؛ y1) و (x2 ؛ y2) ... در محور ایکس و بله عمودها را از انتهای بخش حذف کنید. قسمتهایی را که از قسمت اصلی در محور مختصات پیش بینی می شوند ، با رنگ قرمز علامت گذاری کنید. بعد از آن ، قسمتهای فرافکنی را به موازات انتهای قسمتها منتقل می کنیم. یک مثلث (مستطیل شکل) می گیریم. قطعه AB خود به hypotenuse این مثلث تبدیل می شود و پیش بینی های منتقل شده پاهای آن است.

بیایید طول این پیش بینی ها را محاسبه کنیم. بنابراین در محور بله طول طرح ریزی است y2-y1 ، و در محور ایکس طول طرح ریزی است x2-x1 ... بیایید قضیه فیثاغورث را اعمال کنیم: | AB | ² \u003d (y2 - y1) ² + (x2 - x1) ... در این مورد | AB | طول قطعه خط است.

اگر از این طرح برای محاسبه طول یک قطعه استفاده می کنید ، حتی نمی توانید یک قطعه بسازید. حال بیایید طول قطعه را با مختصات محاسبه کنیم (1;3) و (2;5) ... با استفاده از قضیه فیثاغورث ، به دست می آوریم: | AB | ² \u003d (2 - 1) ² + (5 - 3) ² \u003d 1 + 4 \u003d 5 ... این بدان معنی است که طول قطعه ما است 5:1/2 .

برای یافتن طول یک قطعه خط ، روش زیر را در نظر بگیرید. برای انجام این کار ، باید مختصات دو نقطه را در برخی از سیستم ها بدانیم. بیایید این گزینه را با استفاده از یک سیستم مختصات دکارتی دو بعدی در نظر بگیریم.

بنابراین ، در یک سیستم مختصات دو بعدی ، مختصات نقاط شدید قطعه داده شده است. اگر از طریق این نقاط خطوط مستقیم بکشیم ، آنها باید عمود بر محور مختصات باشند ، سپس یک مثلث قائم الزاویه به دست می آوریم. قطعه اصلی ، hypotenuse مثلث حاصل خواهد شد. پایه های مثلث بخشهایی را تشکیل می دهند ، طول آنها برابر با فرافکنی هیپوتنوز در محور مختصات است. بر اساس قضیه فیثاغورث نتیجه می گیریم: برای یافتن طول یک قطعه معین ، باید طول پیش بینی ها را در دو محور مختصات پیدا کنید.

طول پیش بینی ها را پیدا کنید (X و Y) بخش اصلی به محورهای مختصات. ما آنها را با پیدا کردن تفاوت در مختصات نقاط در یک محور جداگانه محاسبه خواهیم کرد: X \u003d X2-X1 ، Y \u003d Y2-Y1 .

طول قطعه را محاسبه کنید و ، برای این ریشه مربع پیدا می کنیم:

A \u003d √ (X² + Y²) \u003d √ ((X2-X1) ² + (Y2-Y1)) .

اگر قطعه ما بین نقاطی قرار گرفته باشد که مختصات آنها باشد 2;4 و 4;1 ، سپس طول آن به ترتیب برابر است √ ((4-2) ² + (1-4) ²) \u003d √13 ≈ 3.61 .