Paano gawing simple ang isang expression 8. Pag-convert ng mga expression. Detalyadong teorya (2019). Mga karagdagang pamamaraan ng pagpapasimple

Sa simula ng aralin, susuriin natin ang mga pangunahing katangian ng square roots, at pagkatapos ay titingnan ang ilang kumplikadong halimbawa ng pagpapasimple ng mga expression na naglalaman ng square roots.

Paksa:Function. Mga katangian ng square root

Aralin:Pag-convert at pagpapasimple ng mas kumplikadong mga expression na may mga ugat

1. Suriin ang mga katangian ng square roots

Ulitin natin sandali ang teorya at alalahanin ang mga pangunahing katangian ng square roots.

Mga katangian ng square roots:

1. samakatuwid,;

3. ;

4. .

2. Mga halimbawa para sa pagpapasimple ng mga expression na may mga ugat

Lumipat tayo sa mga halimbawa ng paggamit ng mga katangiang ito.

Halimbawa 1: Pasimplehin ang isang expression .

Solusyon. Upang pasimplehin, ang bilang na 120 ay dapat i-factor sa mga pangunahing kadahilanan:

Ipapakita namin ang parisukat ng kabuuan gamit ang naaangkop na formula:

Halimbawa 2: Pasimplehin ang isang expression .

Solusyon. Isaalang-alang natin na ang expression na ito ay hindi makatwiran para sa lahat ng posibleng mga halaga ng variable, dahil ang expression na ito ay naglalaman ng mga square root at fraction, na humahantong sa isang "pagpapaliit" ng saklaw ng mga pinahihintulutang halaga. ODZ: ().

Dalhin natin ang expression sa mga bracket sa common denominator at isulat ang numerator ng huling fraction bilang pagkakaiba ng mga parisukat:

Sagot. sa.

Halimbawa 3: Pasimplehin ang isang expression .

Solusyon. Makikita na ang pangalawang numerator bracket ay may hindi maginhawang hitsura at kailangang pasimplehin; subukan nating i-factor ito gamit ang paraan ng pagpapangkat.

Upang makakuha ng isang karaniwang salik, pinasimple namin ang mga ugat sa pamamagitan ng pagsasaliksik sa mga ito. Palitan natin ang resultang expression sa orihinal na fraction:

Pagkatapos bawasan ang fraction, inilalapat namin ang pagkakaiba ng formula ng mga parisukat.

3. Isang halimbawa ng pag-alis ng irrationality

Halimbawa 4. Palayain ang iyong sarili mula sa irrationality (ugat) sa denominator: a) ; b) .

Solusyon. a) Upang maalis ang irrationality sa denominator, ang karaniwang paraan ng pagpaparami ng parehong numerator at denominator ng isang fraction sa conjugate factor sa denominator ay ginagamit (ang parehong expression, ngunit may kabaligtaran na tanda). Ginagawa ito upang makadagdag sa denominator ng fraction sa pagkakaiba ng mga parisukat, na nagpapahintulot sa iyo na mapupuksa ang mga ugat sa denominator. Gawin natin ito sa ating kaso:

b) magsagawa ng mga katulad na aksyon:

4. Halimbawa para sa patunay at pagkakakilanlan ng isang kumpletong parisukat sa isang kumplikadong radikal

Halimbawa 5. Patunayan ang pagkakapantay-pantay .

Patunay. Gamitin natin ang kahulugan ng isang square root, kung saan sumusunod na ang parisukat ng kanang-kamay na expression ay dapat na katumbas ng radical expression:

. Buksan natin ang mga bracket gamit ang formula para sa parisukat ng kabuuan:

, nakuha namin ang tamang pagkakapantay-pantay.

Napatunayan.

Halimbawa 6. Pasimplehin ang expression.

Solusyon. Ang ekspresyong ito ay karaniwang tinatawag na kumplikadong radikal (ugat sa ilalim ng ugat). Sa halimbawang ito, kailangan mong malaman kung paano ihiwalay ang isang kumpletong parisukat mula sa radikal na expression. Upang gawin ito, tandaan na sa dalawang termino, ito ay isang kandidato para sa papel ng dobleng produkto sa formula para sa squared difference (pagkakaiba, dahil may minus). Isulat natin ito sa anyo ng sumusunod na produkto: , pagkatapos ay 1 ang sinasabing isa sa mga tuntunin ng isang kumpletong parisukat, at 1 ang sinasabing pangalawa.

Ipalit natin ang ekspresyong ito sa ilalim ng ugat.

Ang pagpapasimple ng mga algebraic expression ay isa sa mga susi sa pag-aaral ng algebra at isang lubhang kapaki-pakinabang na kasanayan para sa lahat ng mga mathematician. Binibigyang-daan ka ng pagpapasimple na bawasan ang isang kumplikado o mahabang expression sa isang simpleng expression na madaling gamitin. Ang mga pangunahing kasanayan sa pagpapasimple ay mabuti kahit para sa mga hindi masigasig sa matematika. Sa pamamagitan ng pagsunod sa ilang simpleng panuntunan, maaari mong pasimplehin ang marami sa mga pinakakaraniwang uri ng algebraic expression nang walang anumang espesyal na kaalaman sa matematika.

Mga hakbang

Mahahalagang Kahulugan

1. Mga katulad na miyembro . Ito ang mga miyembrong may variable na may parehong pagkakasunud-sunod, mga miyembrong may parehong variable, o libreng miyembro (mga miyembrong walang variable). Sa madaling salita, ang mga katulad na termino ay kinabibilangan ng parehong variable sa parehong antas, kasama ang ilan sa parehong mga variable, o hindi nagsasama ng variable. Ang pagkakasunud-sunod ng mga termino sa expression ay hindi mahalaga.

   • Halimbawa, ang 3x 2 at 4x 2 ay magkatulad na termino dahil naglalaman ang mga ito ng pangalawang-order (sa pangalawang kapangyarihan) na variable na "x". Gayunpaman, ang x at x2 ay hindi magkatulad na termino, dahil naglalaman ang mga ito ng variable na "x" ng magkakaibang mga order (una at pangalawa). Gayundin, ang -3yx at 5xz ay hindi magkatulad na termino dahil naglalaman ang mga ito ng magkakaibang mga variable.

2. Factorization . Ito ay paghahanap ng mga numero na ang produkto ay humahantong sa orihinal na numero. Ang anumang orihinal na numero ay maaaring magkaroon ng ilang mga kadahilanan. Halimbawa, ang bilang na 12 ay maaaring isama sa mga sumusunod na serye ng mga kadahilanan: 1 × 12, 2 × 6 at 3 × 4, kaya masasabi natin na ang mga numero 1, 2, 3, 4, 6 at 12 ay mga kadahilanan ng numero 12. Ang mga kadahilanan ay pareho sa mga kadahilanan, iyon ay, ang mga numero kung saan ang orihinal na numero ay hinati.

   • Halimbawa, kung gusto mong i-factor ang numerong 20, isulat ito nang ganito: 4×5.
   • Tandaan na kapag ang factoring, ang variable ay isinasaalang-alang. Halimbawa, 20x = 4(5x).
   • Ang mga pangunahing numero ay hindi maaaring i-factor dahil sila ay nahahati lamang sa kanilang mga sarili at 1.

3. Tandaan at sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon upang maiwasan ang mga pagkakamali.

   • Mga bracket
   • Degree
   • Pagpaparami
   • Dibisyon
   • Dagdag
   • Pagbabawas

Nagdadala ng mga katulad na miyembro

1. Isulat ang ekspresyon. Ang mga simpleng algebraic expression (yaong hindi naglalaman ng mga fraction, ugat, atbp.) ay maaaring lutasin (pinasimple) sa ilang hakbang lamang.

   • Halimbawa, pasimplehin ang expression 1 + 2x - 3 + 4x.

2. Tukuyin ang mga katulad na termino (mga terminong may variable na magkapareho ang pagkakasunud-sunod, mga terminong may parehong variable, o libreng termino).

   • Maghanap ng mga katulad na termino sa expression na ito. Ang mga terminong 2x at 4x ay naglalaman ng variable ng parehong pagkakasunud-sunod (una). Gayundin, ang 1 at -3 ay mga libreng termino (hindi naglalaman ng variable). Kaya, sa expression na ito ang mga termino 2x at 4x ay magkatulad, at ang mga miyembro 1 at -3 ay katulad din.

3. Magbigay ng mga katulad na termino. Nangangahulugan ito ng pagdaragdag o pagbabawas ng mga ito at pagpapasimple ng expression.

   • 2x + 4x = 6x
   • 1 - 3 = -2

4. Isulat muli ang expression na isinasaalang-alang ang mga ibinigay na termino. Makakakuha ka ng isang simpleng expression na may mas kaunting termino. Ang bagong expression ay katumbas ng orihinal.

   • Sa aming halimbawa: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, ibig sabihin, ang orihinal na expression ay pinasimple at mas madaling gamitin.

5. Sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon kapag nagdadala ng mga katulad na miyembro. Sa aming halimbawa, madaling magbigay ng mga katulad na termino. Gayunpaman, sa kaso ng mga kumplikadong expression kung saan ang mga termino ay nakapaloob sa mga panaklong at mga fraction at mga ugat ay naroroon, ito ay hindi napakadaling dalhin ang mga naturang termino. Sa mga kasong ito, sundin ang pagkakasunud-sunod ng mga operasyon.

   • Halimbawa, isaalang-alang ang expression na 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Dito magiging isang pagkakamali na agad na tukuyin ang 3x at 2x bilang magkatulad na mga termino at ipakita ang mga ito, dahil kinakailangan na buksan muna ang mga panaklong. Samakatuwid, gawin ang mga operasyon ayon sa kanilang pagkakasunud-sunod.
     • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
     • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
     • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Ngayon, kapag ang expression ay naglalaman lamang ng mga pagpapatakbo ng karagdagan at pagbabawas, maaari kang magdala ng mga katulad na termino.
     • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
     • x 2 + 12x + 3

Pag-alis ng multiplier sa mga bracket

1. Hanapin pinakamalaking karaniwang divisor(GCD) ng lahat ng coefficient ng expression. Ang GCD ay ang pinakamalaking bilang kung saan hinahati ang lahat ng coefficient ng expression.

   • Halimbawa, isaalang-alang ang equation na 9x 2 + 27x - 3. Sa kasong ito, GCD = 3, dahil ang anumang coefficient ng expression na ito ay nahahati sa 3.

2. Hatiin ang bawat termino ng expression sa gcd. Ang mga resultang termino ay maglalaman ng mas maliliit na coefficient kaysa sa orihinal na expression.

   • Sa aming halimbawa, hatiin ang bawat termino sa expression sa pamamagitan ng 3.
     • 9x 2/3 = 3x 2
     • 27x/3 = 9x
     • -3/3 = -1
     • Ang resulta ay isang ekspresyon 3x 2 + 9x - 1. Hindi ito katumbas ng orihinal na ekspresyon.

3. Isulat ang orihinal na expression bilang katumbas ng produkto ng gcd at ang resultang expression. Iyon ay, ilakip ang nagresultang expression sa mga bracket, at alisin ang gcd sa mga bracket.

   • Sa aming halimbawa: 9x 2 + 27x - 3 = 3(3x 2 + 9x - 1)

4. Pagpapasimple ng fractional expression sa pamamagitan ng paglalagay ng factor sa labas ng mga bracket. Bakit kailangan lang ilabas ang multiplier sa mga bracket, gaya ng ginawa kanina? Pagkatapos, upang matutunan kung paano gawing simple ang mga kumplikadong expression, tulad ng mga fractional na expression. Sa kasong ito, ang pag-alis ng factor sa mga bracket ay makakatulong na maalis ang fraction (mula sa denominator).

   • Halimbawa, isaalang-alang ang fractional expression (9x 2 + 27x - 3)/3. Gamitin ang factoring out upang gawing simple ang expression na ito.
     • Ilagay ang factor ng 3 sa mga bracket (gaya ng ginawa mo kanina): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
     • Pansinin na mayroon na ngayong 3 sa numerator at denominator. Maaari itong bawasan upang ibigay ang expression: (3x 2 + 9x – 1)/1
     • Dahil ang anumang fraction na may numero 1 sa denominator ay katumbas lamang ng numerator, ang orihinal na fraction na expression ay pinapasimple sa: 3x 2 + 9x - 1.

Mga karagdagang pamamaraan ng pagpapasimple

1. Pagpapasimple ng fractional expression. Tulad ng nabanggit sa itaas, kung ang numerator at denominator ay naglalaman ng parehong mga termino (o kahit na parehong mga expression), kung gayon maaari silang bawasan. Upang gawin ito, kailangan mong alisin sa mga bracket ang karaniwang kadahilanan ng numerator o denominator, o pareho ang numerator at denominator. O maaari mong hatiin ang bawat termino sa numerator ng denominator at sa gayon ay gawing simple ang expression.

   • Halimbawa, isaalang-alang ang fractional expression (5x 2 + 10x + 20)/10. Dito, hatiin lamang ang bawat term ng numerator sa denominator (10). Ngunit tandaan na ang terminong 5x 2 ay hindi pantay na nahahati sa 10 (dahil ang 5 ay mas mababa sa 10).
     • Kaya sumulat ng isang pinasimpleng expression na tulad nito: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

2. Pagpapasimple ng mga radikal na expression. Ang mga expression sa ilalim ng root sign ay tinatawag na radical expressions. Maaari silang gawing simple sa pamamagitan ng kanilang pagkabulok sa naaangkop na mga kadahilanan at ang kasunod na pag-alis ng isang kadahilanan mula sa ilalim ng ugat.

   • Tingnan natin ang isang simpleng halimbawa: √(90). Ang bilang na 90 ay maaaring isama sa mga sumusunod na salik: 9 at 10, at mula sa 9 maaari nating kunin ang square root (3) at kunin ang 3 mula sa ilalim ng ugat.
     • √(90)
     • √(9×10)
     • √(9)×√(10)
     • 3×√(10)
     • 3√(10)

3. Pinasimple ang mga expression na may kapangyarihan. Ang ilang mga expression ay naglalaman ng mga operasyon ng multiplikasyon o paghahati ng mga termino na may kapangyarihan. Sa kaso ng pagpaparami ng mga termino na may parehong base, ang kanilang mga kapangyarihan ay idinagdag; sa kaso ng paghahati ng mga termino na may parehong base, ang kanilang mga kapangyarihan ay ibinabawas.

   • Halimbawa, isaalang-alang ang expression na 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Sa kaso ng multiplikasyon, idagdag ang mga kapangyarihan, at sa kaso ng paghahati, ibawas ang mga ito.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8)x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48x 7 + x 2
   • Ang sumusunod ay isang paliwanag ng mga patakaran para sa pagpaparami at paghahati ng mga termino na may kapangyarihan.
     • Ang pagpaparami ng mga termino na may mga kapangyarihan ay katumbas ng pagpaparami ng mga termino sa kanilang sarili. Halimbawa, dahil x 3 = x × x × x at x 5 = x × x × x × x × x, pagkatapos x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), o x 8 .
     • Gayundin, ang paghahati ng mga termino na may mga degree ay katumbas ng paghahati ng mga termino sa kanilang sarili. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Dahil ang mga magkakatulad na termino na matatagpuan sa parehong numerator at denominator ay maaaring bawasan, ang produkto ng dalawang "x", o x 2, ay nananatili sa numerator.

Ang mga rational expression at fraction ay ang pundasyon ng buong kurso ng algebra. Ang mga natututong gumamit ng gayong mga expression, gawing simple ang mga ito at i-factor ang mga ito, ay talagang malulutas ang anumang problema, dahil ang pagbabago ng mga expression ay isang mahalagang bahagi ng anumang seryosong equation, hindi pagkakapantay-pantay, o kahit na problema sa salita.

Sa tutorial na ito ng video, titingnan natin kung paano gamitin nang tama ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon upang gawing simple ang mga makatwirang expression at fraction. Matuto tayong makita ang mga formula na ito kung saan, sa unang tingin, wala. Kasabay nito, uulitin natin ang simpleng pamamaraan tulad ng pag-factor ng quadratic trinomial sa pamamagitan ng discriminant.

Tulad ng malamang na nahulaan mo na mula sa mga formula sa likod ko, ngayon ay pag-aaralan natin ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon, o, mas tiyak, hindi ang mga formula mismo, ngunit ang kanilang paggamit upang pasimplehin at bawasan ang mga kumplikadong makatwirang expression. Ngunit, bago magpatuloy sa paglutas ng mga halimbawa, tingnan natin ang mga formula na ito o tandaan ang mga ito:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\left(a-b \right)\left(a+b \right)$ — pagkakaiba ng mga parisukat;
2. $((\left(a+b \right))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ ay ang parisukat ng kabuuan;
3. $((\left(a-b \right))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — squared difference;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\kaliwa(a+b \kanan)\kaliwa(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ ay ang kabuuan ng mga cube;
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\kaliwa(a-b \kanan)\kaliwa(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ ay ang pagkakaiba ng mga cube.

Nais ko ring tandaan na ang aming sistema ng edukasyon sa paaralan ay nakabalangkas sa paraang ito ay sa pag-aaral ng paksang ito, i.e. rational expressions, pati na rin ang roots, modules, lahat ng estudyante ay may parehong problema, na ipapaliwanag ko ngayon.

Ang katotohanan ay sa pinakadulo simula ng pag-aaral ng mga pinaikling pormula ng pagpaparami at, nang naaayon, ang mga aksyon upang bawasan ang mga praksyon (ito ay nasa isang lugar sa ika-8 baitang), ang mga guro ay nagsasabi ng isang bagay tulad ng sumusunod: "Kung may isang bagay na hindi malinaw sa iyo, kung gayon huwag ' t worry, tutulungan ka namin.” Babalik tayo sa topic na ito more than once, sa high school for sure. Titingnan natin ito mamaya." Kaya, pagkatapos ng 9-10 grado, ang parehong mga guro ay nagpapaliwanag sa parehong mga mag-aaral na hindi pa rin alam kung paano lutasin ang mga rational fraction, tulad nito: "Nasaan ka noong nakaraang dalawang taon? Ito ay pinag-aralan sa algebra noong ika-8 baitang! Ano ang maaaring hindi malinaw dito? Sobrang obvious!"

Gayunpaman, ang gayong mga paliwanag ay hindi ginagawang mas madali para sa mga ordinaryong mag-aaral: mayroon pa rin silang gulo sa kanilang mga ulo, kaya ngayon ay titingnan natin ang dalawang simpleng halimbawa, kung saan makikita natin kung paano ihiwalay ang mga expression na ito sa mga totoong problema. , na magdadala sa atin sa mga pinaikling formula ng pagpaparami at kung paano ito ilalapat upang baguhin ang mga kumplikadong makatwirang expression.

Pagbabawas ng mga simpleng rational fraction

Gawain Blg. 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Ang unang bagay na kailangan nating matutunan ay tukuyin ang eksaktong mga parisukat at mas mataas na kapangyarihan sa orihinal na mga expression, sa batayan kung saan maaari tayong maglapat ng mga formula. Tingnan natin:

Muli nating isulat ang ating ekspresyon na isinasaalang-alang ang mga katotohanang ito:

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(((\kaliwa(3((y)^(2)) \kanan))^(2))-((\kaliwa(4x) \kanan))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\kaliwa(3((y)^(2))-4x \kanan)\kaliwa(3 ((y)^(2))+4x \right))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Sagot: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Problema Blg. 2

Lumipat tayo sa pangalawang gawain:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Walang dapat pasimplehin dito, dahil ang numerator ay naglalaman ng isang pare-pareho, ngunit iminungkahi ko ang problemang ito nang tumpak upang matutunan mo kung paano i-factor ang mga polynomial na naglalaman ng dalawang variable. Kung sa halip ay mayroon tayong polynomial sa ibaba, paano natin ito papalawakin?

\[((x)^(2))+5x-6=\kaliwa(x-... \kanan)\kaliwa(x-... \kanan)\]

Lutasin natin ang equation at hanapin ang $x$ na maaari nating ilagay sa lugar ng mga tuldok:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Maaari naming muling isulat ang trinomial tulad ng sumusunod:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\kaliwa(x-1 \kanan)\kaliwa(x+6 \kanan)\]

Natutunan namin kung paano gumawa ng quadratic trinomial - kaya kailangan naming i-record ang video lesson na ito. Ngunit paano kung, bilang karagdagan sa $x$ at isang pare-pareho, mayroon ding $y$? Isaalang-alang natin ang mga ito bilang isa pang elemento ng mga coefficient, i.e. Muli nating isulat ang ating ekspresyon tulad ng sumusunod:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

Isulat natin ang pagpapalawak ng ating square construction:

\[\kaliwa(x-y \kanan)\kaliwa(x+6y \kanan)\]

Kaya, kung babalik tayo sa orihinal na expression at muling isulat ito nang isinasaalang-alang ang mga pagbabago, makukuha natin ang sumusunod:

\[\frac(8)(\kaliwa(x-y \kanan)\kaliwa(x+6y \kanan))\]

Ano ang ibinibigay sa atin ng gayong rekord? Wala, dahil hindi ito maaaring bawasan, hindi ito pinarami o nahahati sa kahit ano. Gayunpaman, sa sandaling ang fraction na ito ay naging isang mahalagang bahagi ng isang mas kumplikadong expression, ang gayong pagpapalawak ay magiging kapaki-pakinabang. Samakatuwid, sa sandaling makakita ka ng isang quadratic trinomial (hindi mahalaga kung ito ay nabibigatan ng karagdagang mga parameter o hindi), palaging subukang i-factor ito.

Nuances ng solusyon

Tandaan ang mga pangunahing panuntunan para sa pag-convert ng mga makatwirang expression:

• Ang lahat ng mga denominator at numerator ay dapat na isasaalang-alang alinman sa pamamagitan ng pinaikling mga pormula ng pagpaparami o sa pamamagitan ng isang discriminant.
• Kailangan mong magtrabaho ayon sa sumusunod na algorithm: kapag tinitingnan namin at sinubukang ihiwalay ang formula para sa pinaikling multiplikasyon, pagkatapos, una sa lahat, sinusubukan naming i-convert ang lahat sa pinakamataas na posibleng antas. Pagkatapos nito, kinuha namin ang pangkalahatang antas sa labas ng bracket.
• Kadalasan ay makakatagpo ka ng mga expression na may isang parameter: ang iba pang mga variable ay lilitaw bilang mga coefficient. Natagpuan namin ang mga ito gamit ang quadratic expansion formula.

Kaya, sa sandaling makakita ka ng mga rational fraction, ang unang bagay na dapat gawin ay i-factor ang numerator at denominator sa mga linear na expression, gamit ang pinaikling multiplication o discriminant formula.

Tingnan natin ang ilan sa mga makatwirang ekspresyong ito at subukang i-factor ang mga ito.

Paglutas ng mas kumplikadong mga halimbawa

Gawain Blg. 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3)))\]

Sinusulat namin muli at sinusubukang i-decompose ang bawat termino:

Muli nating isulat ang ating buong makatwirang pagpapahayag na isinasaalang-alang ang mga katotohanang ito:

\[\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\kaliwa(3y \kanan))^(3)))=\]

\[=\frac(((\left(2x \right))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\kaliwa(3y-2x \kanan)\kaliwa(3y+2x \kanan))(\kaliwa(2x+3y \kanan)\kaliwa(((\kaliwa(2x \kanan)))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]

Sagot: $-1$.

Problema Blg. 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

Tingnan natin ang lahat ng mga fraction.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\kaliwa(x-2 \kanan))^(2))\]

Isulat muli natin ang buong istraktura na isinasaalang-alang ang mga pagbabago:

\[\frac(3\left(1-2x \right))(2\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))\cdot \frac( 2x+1)(((\left(x-2 \right))^(2)))\cdot \frac(\left(2-x \right)\left(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \kanan))(\kaliwa(2x-1 \kanan)\kaliwa(2x+1 \kanan))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \kaliwa(x-2 \kanan))\]

Sagot: $\frac(3)(2\left(x-2 \right))$.

Nuances ng solusyon

Kaya ang natutunan lang namin:

• Hindi lahat ng square trinomial ay maaaring i-factorize; sa partikular, ito ay nalalapat sa hindi kumpletong parisukat ng kabuuan o pagkakaiba, na kadalasang makikita bilang mga bahagi ng kabuuan o pagkakaiba na mga cube.
• Mga Constant, i.e. Ang mga ordinaryong numero na walang mga variable ay maaari ding kumilos bilang mga aktibong elemento sa proseso ng pagpapalawak. Una, maaari silang alisin sa mga bracket, at pangalawa, ang mga constant mismo ay maaaring katawanin sa anyo ng mga kapangyarihan.
• Kadalasan, pagkatapos ng factoring ang lahat ng mga elemento, ang mga kabaligtaran na mga konstruksyon ay lumitaw. Ang mga fraction na ito ay dapat na bawasan nang maingat, dahil kapag tinawid ang mga ito alinman sa itaas o ibaba, isang karagdagang kadahilanan na $-1$ ang lilitaw - ito ay tiyak na resulta ng katotohanan na sila ay magkasalungat.

Paglutas ng mga kumplikadong problema

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

Isaalang-alang natin ang bawat termino nang hiwalay.

Unang bahagi:

\[((\kaliwa(3a \kanan)))^(3))-((\kaliwa(4b \kanan))^(3))=\kaliwa(3a-4b \kanan)\kaliwa(((\kaliwa) (3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\kaliwa(4b \kanan))^(2)) \kanan)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\kaliwa(b-2 \kanan)\kaliwa(b+2 \kanan)\]

Maaari nating muling isulat ang buong numerator ng pangalawang bahagi tulad ng sumusunod:

\[((\kaliwa(3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\kaliwa(4b \kanan))^(2))\]

Ngayon tingnan natin ang denominator:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\kaliwa(b+2 \kanan ))^(2))\]

Muli nating isulat ang buong makatwirang ekspresyon na isinasaalang-alang ang mga katotohanan sa itaas:

\[\frac(\kaliwa(3a-4b \kanan)\kaliwa(((\kaliwa(3a \kanan)))^(2))+3a\cdot 4b+((\kaliwa(4b \kanan))^(2 )) \kanan))(\kaliwa(b-2 \kanan)\kaliwa(b+2 \kanan))\cdot \frac(((\kaliwa(b+2 \kanan))^(2)))( ((\kaliwa(3a \kanan))^(2))+3a\cdot 4b+((\kaliwa(4b \kanan))^(2)))=\]

\[=\frac(\kaliwa(3a-4b \kanan)\kaliwa(b+2 \kanan))(\kaliwa(b-2 \kanan))\]

Sagot: $\frac(\kaliwa(3a-4b \kanan)\kaliwa(b+2 \kanan))(\kaliwa(b-2 \kanan))$.

Nuances ng solusyon

Tulad ng nakita natin muli, ang hindi kumpletong mga parisukat ng kabuuan o hindi kumpletong mga parisukat ng pagkakaiba, na kadalasang matatagpuan sa mga tunay na nakapangangatwiran na mga expression, gayunpaman, huwag matakot sa kanila, dahil pagkatapos ng pagbabago ng bawat elemento ay halos palaging kinakansela. Bilang karagdagan, sa anumang kaso ay hindi ka dapat matakot sa mga malalaking konstruksyon sa pangwakas na sagot - posible na hindi ito ang iyong pagkakamali (lalo na kung ang lahat ay naka-factor), ngunit ang may-akda ay nilayon ng ganoong sagot.

Sa konklusyon, nais kong tumingin sa isa pang kumplikadong halimbawa, na hindi na direktang nauugnay sa mga rational fraction, ngunit naglalaman ito ng lahat ng naghihintay sa iyo sa mga tunay na pagsubok at pagsusulit, lalo na: factorization, pagbawas sa isang karaniwang denominator, pagbawas ng mga katulad na termino. Ito mismo ang gagawin natin ngayon.

Paglutas ng isang kumplikadong problema ng pagpapasimple at pagbabago ng mga makatwirang expression

\[\left(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))(((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \kanan)\]

Una, tingnan natin at buksan ang unang bracket: dito makikita natin ang tatlong magkakahiwalay na fraction na may iba't ibang denominator, kaya ang unang bagay na kailangan nating gawin ay dalhin ang lahat ng tatlong fraction sa isang common denominator, at para magawa ito, ang bawat isa sa kanila ay dapat na naka-factor:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan)\]

Muli nating isulat ang ating buong konstruksyon gaya ng sumusunod:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\kaliwa(x -2 \right)\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \right))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\left(x-2 \right)+((x)^(3))+8-\left(((x)^(2))+2x+((2)^(2 )) \kanan))(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\kaliwa(x-2) \kanan)\kaliwa(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \kanan))=\]

\[=\frac(((\left(x-2 \right))^(2)))(\left(x-2 \right)\left(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \kanan))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Ito ang resulta ng mga kalkulasyon mula sa unang bracket.

Hayaan ang pangalawang bracket:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \ tama)\]

Isulat muli natin ang pangalawang bracket na isinasaalang-alang ang mga pagbabago:

\[\frac(((x)^(2)))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\left(x+2 \right))(\left(x-2 \right)\left(x+2 \right))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\kaliwa(x-2 \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))\]

Ngayon isulat natin ang buong orihinal na konstruksyon:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\left(x-2) \kanan)\kaliwa(x+2 \kanan))=\frac(1)(x+2)\]

Sagot: $\frac(1)(x+2)$.

Nuances ng solusyon

Tulad ng nakikita mo, ang sagot ay naging medyo makatwiran. Gayunpaman, pakitandaan: napakadalas sa mga malalaking kalkulasyon, kapag ang tanging variable ay lilitaw lamang sa denominator, nakalimutan ng mga mag-aaral na ito ang denamineytor at dapat itong nasa ilalim ng fraction at isulat ang expression na ito sa numerator - ito ay isang malaking pagkakamali.

Bilang karagdagan, nais kong iguhit ang iyong espesyal na pansin sa kung paano pormal ang mga naturang gawain. Sa anumang kumplikadong mga kalkulasyon, ang lahat ng mga hakbang ay isinasagawa nang paisa-isa: una naming binibilang ang unang bracket nang hiwalay, pagkatapos ay hiwalay ang pangalawa, at sa dulo lamang namin pinagsama ang lahat ng mga bahagi at kalkulahin ang resulta. Sa ganitong paraan, sinisiguro namin ang aming sarili laban sa mga hangal na pagkakamali, maingat na isulat ang lahat ng mga kalkulasyon at sa parehong oras ay hindi mag-aaksaya ng anumang dagdag na oras, na tila sa unang tingin.

Kakailanganin mong

• - ang konsepto ng isang monomial ng isang polynomial;
• - pinaikling mga formula ng pagpaparami;
• - mga operasyon na may mga fraction;
• - mga pangunahing trigonometriko pagkakakilanlan.

Mga tagubilin

Kung ang expression ay naglalaman ng mga monomial na may , hanapin ang kabuuan ng kanilang mga coefficient at i-multiply sa parehong kadahilanan para sa kanila. Halimbawa, kung mayroong expression na 2 a-4 a+5 a+a=(2-4+5+1)∙a=4∙a.

Kung ang expression ay natural na fraction, piliin ang common factor mula sa numerator at denominator at bawasan ang fraction nito. Halimbawa, kung kailangan mong bawasan ang fraction (3 a²-6 a b+3 b²)/(6∙a²-6∙b²), alisin ang mga karaniwang salik mula sa numerator at denominator sa numerator ito ay magiging 3, sa ang denominator 6. Kunin ang expression (3 ( a²-2 a b+b²))/(6∙(a²-b²)). Bawasan ng 3 ang numerator at denominator at ilapat ang mga pinaikling formula ng multiplikasyon sa natitirang mga expression. Para sa numerator ito ay ang parisukat ng pagkakaiba, at para sa denominator ito ay ang pagkakaiba ng mga parisukat. Kunin ang expression (a-b)²/(2∙ (a+b)∙(a-b)) sa pamamagitan ng pagbabawas nito ng common factor a-b, makukuha mo ang expression (a-b)/(2∙ (a+b)), na mas madali para sa mga tiyak na halaga ng bilang ng mga variable.

Kung ang mga monomial ay may magkaparehong mga kadahilanan na itinaas sa isang kapangyarihan, pagkatapos ay kapag nagbubuod sa mga ito, siguraduhin na ang mga kapangyarihan ay pantay, kung hindi, imposibleng bawasan ang mga katulad. Halimbawa, kung mayroong isang expression na 2∙m²+6 m³-m²-4 m³+7, pagkatapos ay kapag pinagsama ang mga katulad, ang magiging resulta ay m²+2 m³+7.

Kapag pinasimple ang mga trigonometric na pagkakakilanlan, gumamit ng mga formula para i-convert ang mga ito. Pangunahing trigonometric identity sin²(x)+cos²(x)=1, sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x), mga formula para sa kabuuan at pagkakaiba ng mga argumento , doble, triple argument at iba pa. Halimbawa, (sin(2∙x)- cos(x))/ ctg(x). Isulat ang formula para sa double argument at cotangent bilang ratio ng cosine sa sine. Kunin ang (2∙ sin(x) cos(x)- cos(x)) sin(x)/cos(x). Alisin ang common factor, cos(x) at kanselahin ang fraction cos(x) (2∙ sin(x) - 1) sin(x)/cos(x)= (2∙ sin(x) - 1) sin( x).

Video sa paksa

Mga Pinagmulan:

• formula ng pagpapasimple ng expression

Ang kaiklian, gaya ng sinasabi nila, ay kapatid ng talento. Nais ng lahat na ipakita ang kanilang talento, ngunit ang kanyang kapatid na babae ay isang kumplikadong bagay. Para sa ilang kadahilanan, ang mga makikinang na kaisipan ay natural na nasa anyo ng mga kumplikadong pangungusap na may maraming mga pariralang pang-abay. Gayunpaman, nasa sa iyo na gawing simple ang iyong mga pangungusap at gawin itong naiintindihan at naa-access ng lahat.

Mga tagubilin

Upang gawing mas madali para sa tatanggap (tagapakinig man o mambabasa), subukang palitan ang mga participial at participial na parirala ng mga maikling subordinate na sugnay, lalo na kung napakarami ng mga parirala sa itaas sa isang pangungusap. "Isang pusa na umuwi, kumain lang ng daga, nagpurred nang malakas, hinaplos ang kanyang may-ari, sinusubukang tumingin sa kanyang mga mata, umaasa na humingi ng isda na dinala mula sa tindahan" - hindi ito gagana. Hatiin ang gayong istraktura sa maraming bahagi, maglaan ng oras at huwag subukang sabihin ang lahat sa isang pangungusap, magiging masaya ka.

Kung nakaisip ka ng isang napakatalino na pahayag, ngunit lumalabas na mayroong napakaraming mga subordinate na sugnay (lalo na sa isa), kung gayon mas mahusay na hatiin ang pahayag sa maraming magkakahiwalay na mga pangungusap o alisin ang ilang elemento. "Napagpasyahan namin na sasabihin niya kay Marina Vasilievna, na sasabihin ni Katya kay Vita na ..." - maaari kaming magpatuloy nang walang hanggan. Huminto sa oras at tandaan kung sino ang magbabasa o makikinig dito.

Gayunpaman, ang mga pitfalls ay hindi lamang nasa istruktura ng pangungusap. Bigyang-pansin ang bokabularyo. Ang mga dayuhang salita, mahabang termino, mga salita na kinuha mula sa 19th century fiction - lahat ng ito ay magpapalubha lamang ng pang-unawa. Kinakailangang linawin para sa iyong sarili kung aling madla ang iyong binubuo ng teksto: ang mga techies, siyempre, ay mauunawaan ang parehong kumplikadong mga termino at mga tiyak na salita; ngunit kung mag-aalok ka ng parehong mga salita sa isang guro ng panitikan, malamang na hindi ka niya maintindihan.

Ang talento ay isang magandang bagay. Kung ikaw ay may talento (at walang mga taong walang kakayahan), maraming mga kalsada ang nagbubukas sa harap mo. Ngunit ang talento ay hindi nakasalalay sa pagiging kumplikado, ngunit sa pagiging simple, sapat na kakaiba. Panatilihin itong simple, at ang iyong mga talento ay magiging malinaw at naa-access sa lahat.

Video sa paksa

Ang pag-aaral na gawing simple ang mga expression sa matematika ay kailangan lamang upang tama at mabilis na malutas ang mga problema at iba't ibang equation. Ang pagpapasimple ng isang expression ay nagsasangkot ng pagbawas sa bilang ng mga hakbang, na nagpapadali sa mga kalkulasyon at nakakatipid ng oras.

Mga tagubilin

Matutong magkalkula ng mga kapangyarihan ng c. Kapag nagpaparami ng mga kapangyarihan c, ang isang numero ay nakuha na ang base ay pareho, at ang mga exponent ay idinagdag b^m+b^n=b^(m+n). Kapag ang paghahati ng mga kapangyarihan na may parehong mga base, ang kapangyarihan ng isang numero ay nakuha, ang base nito ay nananatiling pareho, at ang mga exponent ng mga kapangyarihan ay binabawasan, at ang exponent ng divisor b^m ay ibabawas mula sa exponent ng dibidendo : b^n=b^(m-n). Kapag pinataas ang isang kapangyarihan sa isang kapangyarihan, ang kapangyarihan ng isang numero ay nakuha, ang base nito ay nananatiling pareho, at ang mga exponents ay pinarami (b^m)^n=b^(mn) Kapag ang pagtaas sa isang kapangyarihan, ang bawat salik ay itinaas sa kapangyarihang ito.(abc)^m=a^m *b^m*c^m

Factor polynomials, i.e. isipin ang mga ito bilang isang produkto ng ilang mga kadahilanan - polynomials at monomials. Alisin ang karaniwang salik sa mga bracket. Alamin ang mga pangunahing pinaikling formula ng multiplikasyon: pagkakaiba ng mga parisukat, parisukat na kabuuan, parisukat na pagkakaiba, kabuuan ng mga cube, pagkakaiba ng mga cube, cube ng kabuuan at pagkakaiba. Halimbawa, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Ang mga formula na ito ang mga pangunahing sa pagpapasimple ng mga expression. Gamitin ang paraan ng paghihiwalay ng perpektong parisukat sa isang trinomial ng anyong ax^2+bx+c.

Paikliin ang mga fraction nang madalas hangga't maaari. Halimbawa, (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Ngunit tandaan na maaari mo lamang bawasan ang mga multiplier. Kung ang numerator at denominator ng isang algebraic fraction ay i-multiply sa parehong numero maliban sa zero, kung gayon ang halaga ng fraction ay hindi magbabago. Mayroong dalawang paraan upang baguhin ang mga makatwirang ekspresyon: sa pamamagitan ng kadena at sa pamamagitan ng mga aksyon. Ang pangalawang paraan ay mas kanais-nais, dahil mas madaling suriin ang mga resulta ng mga intermediate na aksyon.

Madalas na kinakailangan upang kunin ang mga ugat sa mga expression. Kahit na ang mga ugat ay kinukuha lamang mula sa mga di-negatibong expression o numero. Ang mga kakaibang ugat ay maaaring makuha mula sa anumang expression.

Mga Pinagmulan:

• pagpapasimple ng mga expression na may kapangyarihan

Ang "expression" sa matematika ay karaniwang tumutukoy sa isang hanay ng mga aritmetika at algebraic na operasyon na kinasasangkutan ng mga numero at variable na halaga. Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa format ng pagsusulat ng mga numero, ang nasabing set ay tinatawag na "fractional" sa kaso kapag naglalaman ito ng operasyon ng paghahati. Nalalapat ang mga pagpapasimple sa fractional na expression, gayundin sa mga numero sa fraction na format.

Mga tagubilin

Magsimula sa pamamagitan ng paghahanap ng karaniwang salik para sa , nakatayo sa numerator at - ito ay pareho para sa parehong mga numerical ratio at sa mga naglalaman ng hindi kilalang mga variable. Halimbawa, kung ang numerator ay 45*X at ang denominator ay 18*Y, kung gayon ang pinakamalaking karaniwang salik ay 9. Matapos makumpleto ang hakbang na ito, ang numerator ay maaaring isulat bilang 9*5*X at ang denominator bilang 9*2* Y.

Kung ang mga expression sa numerator at denominator ay naglalaman ng isang kumbinasyon ng mga pangunahing matematikal na operasyon (, paghahati, pagdaragdag at pagbabawas), pagkatapos ay kailangan mo munang i-factor ang karaniwang kadahilanan para sa bawat isa sa kanila nang hiwalay, at pagkatapos ay ihiwalay ang pinakamalaking karaniwang kadahilanan mula sa mga ito. numero. Halimbawa, para sa expression na 45*X+180, na nasa numerator, ang factor 45 ay dapat alisin sa mga bracket: 45*X+180 = 45*(X+4). At ang expression na 18+54*Y sa denominator ay dapat na bawasan sa anyo na 18*(1+3*Y). Pagkatapos, tulad ng sa nakaraang hakbang, hanapin ang pinakamalaking karaniwang divisor ng mga salik na kinuha sa mga bracket: 45*X+180 / 18+54*Y = 45*(X+4) / 18*(1+3*Y) = 9*5* (X+4) / 9*2*(1+3*Y). Sa halimbawang ito ay katumbas din ito ng siyam.

Bawasan ang karaniwang salik ng mga expression sa numerator at denominator ng fraction na matatagpuan sa mga naunang hakbang. Para sa halimbawa mula sa unang hakbang, ang buong pagpapasimple na operasyon ay maaaring isulat tulad ng sumusunod: 45*X / 18*Y = 9*5*X / 9*2*Y = 5*X / 2*Y.

Kapag pinasimple, ang karaniwang divisor na binabawasan ay hindi kailangang isang numero; maaari rin itong isang expression na naglalaman ng isang variable. Halimbawa, kung ang numerator ng isang fraction ay (4*X + X*Y + 12 + 3*Y), at ang denominator ay (X*Y + 3*Y - 7*X - 21), kung gayon ang pinakakaraniwan divisor ang magiging expression X+ 3, na dapat bawasan para gawing simple ang expression: (4*X + X*Y + 12 + 3*Y) / (X*Y + 3*Y - 7*X - 21) = ( X+3)*(4 +Y) / (X+3)*(Y-7) = (4+Y) / (Y-7).

Ang pagpapanatili ng iyong privacy ay mahalaga sa amin. Para sa kadahilanang ito, bumuo kami ng Patakaran sa Privacy na naglalarawan kung paano namin ginagamit at iniimbak ang iyong impormasyon. Pakisuri ang aming mga kasanayan sa privacy at ipaalam sa amin kung mayroon kang anumang mga tanong.

Pagkolekta at paggamit ng personal na impormasyon

Ang personal na impormasyon ay tumutukoy sa data na maaaring magamit upang makilala o makipag-ugnayan sa isang partikular na tao.

Maaaring hilingin sa iyo na ibigay ang iyong personal na impormasyon anumang oras kapag nakipag-ugnayan ka sa amin.

Nasa ibaba ang ilang halimbawa ng mga uri ng personal na impormasyon na maaari naming kolektahin at kung paano namin magagamit ang naturang impormasyon.

Anong personal na impormasyon ang aming kinokolekta:

• Kapag nagsumite ka ng aplikasyon sa site, maaari kaming mangolekta ng iba't ibang impormasyon, kabilang ang iyong pangalan, numero ng telepono, email address, atbp.

Paano namin ginagamit ang iyong personal na impormasyon:

• Ang personal na impormasyong kinokolekta namin ay nagbibigay-daan sa amin na makipag-ugnayan sa iyo sa mga natatanging alok, promosyon at iba pang mga kaganapan at paparating na mga kaganapan.
• Paminsan-minsan, maaari naming gamitin ang iyong personal na impormasyon upang magpadala ng mahahalagang paunawa at komunikasyon.
• Maaari rin kaming gumamit ng personal na impormasyon para sa mga panloob na layunin, tulad ng pagsasagawa ng mga pag-audit, pagsusuri ng data at iba't ibang pananaliksik upang mapabuti ang mga serbisyong ibinibigay namin at mabigyan ka ng mga rekomendasyon tungkol sa aming mga serbisyo.
• Kung lalahok ka sa isang premyo na draw, paligsahan o katulad na promosyon, maaari naming gamitin ang impormasyong ibibigay mo upang pangasiwaan ang mga naturang programa.

Pagbubunyag ng impormasyon sa mga ikatlong partido

Hindi namin ibinubunyag ang impormasyong natanggap mula sa iyo sa mga ikatlong partido.

Mga pagbubukod:

• Kung kinakailangan - alinsunod sa batas, pamamaraang panghukuman, sa mga legal na paglilitis, at/o batay sa mga pampublikong kahilingan o kahilingan mula sa mga awtoridad ng gobyerno sa teritoryo ng Russian Federation - upang ibunyag ang iyong personal na impormasyon. Maaari rin kaming magbunyag ng impormasyon tungkol sa iyo kung matukoy namin na ang nasabing pagsisiwalat ay kinakailangan o naaangkop para sa seguridad, pagpapatupad ng batas, o iba pang mga layunin ng pampublikong kahalagahan.
• Kung sakaling magkaroon ng muling pagsasaayos, pagsasanib, o pagbebenta, maaari naming ilipat ang personal na impormasyong kinokolekta namin sa naaangkop na third party na kahalili.

Proteksyon ng personal na impormasyon

Gumagawa kami ng mga pag-iingat - kabilang ang administratibo, teknikal at pisikal - upang protektahan ang iyong personal na impormasyon mula sa pagkawala, pagnanakaw, at maling paggamit, pati na rin ang hindi awtorisadong pag-access, pagsisiwalat, pagbabago at pagkasira.

Igalang ang iyong privacy sa antas ng kumpanya

Upang matiyak na ligtas ang iyong personal na impormasyon, ipinapaalam namin ang mga pamantayan sa privacy at seguridad sa aming mga empleyado at mahigpit na ipinapatupad ang mga kasanayan sa privacy.