Презентація до уроку: "Стереометрія". Основи стереометрії Презентація на тему предмет стереометрії аксіоми

Слайд 1

Методична розробка Савченко О.М. МОУ гімназія №1, м. Полярні Зорі, Мурманської обл.
Предмет стереометрії
Аксіоми стереометрії
Геометрія 10 клас

Слайд 2

Планіметрія
Стереометрія
Вивчає властивості геометричних фігур на площині
Вивчає властивості фігур у просторі
У перекладі з грецької слово "геометрія" означає "землемірство" "гео" - грецькою земля, "метрео" - міряти
Слово «стереометрія» походить від грецьких слів «стереос» об'ємний, просторовий, «метрео» – міряти

Слайд 3

Планіметрія
Стереометрія
Поряд із цими фігурами ми розглядатимемо геометричні тіла та їх поверхні. Наприклад, багатогранники. Куб, паралелепіпед, призма, піраміда. Тіла обертання. Куля, сфера, циліндр, конус.
Основні фігури: точка, пряма
Основні фігури: точка, пряма, площина
Інші фігури: відрізок, промінь, трикутник, квадрат, ромб, паралелограм, трапеція, прямокутник, опуклі та неопуклі n-кутники, коло, коло, дуга та ін.

Слайд 4

Для позначення точок використовуємо великі латинські літери
Для позначення прямих використовуємо малі латинські літери
Або позначаємо пряму двома великими латинськими літерами.

Слайд 5

Площини позначатимемо грецькими літерами.
На малюнках площини позначаються як паралелограмів. Площина як геометричну фігуру слід уявляти собі тягнеться необмежено на всі боки.

Слайд 6

Слайд 7

При вивченні просторових фігур, зокрема геометричних тіл, користуються їх плоскими зображеннями на кресленні. Зображенням просторової фігури є її проекція на ту чи іншу площину. Одна й та сама фігура допускає різні зображення.
Різні зображення конуса

Слайд 8

Стереометрія широко використовується у будівельній справі, архітектурі, машинобудуванні, геодезії, у багатьох інших галузях науки та техніки.
При проектуванні цієї машини важливо було отримати таку форму, щоб під час руху опір повітря був мінімальним.

Слайд 9

Оперний театр у Сіднеї
Данський архітектор Йорн Утцон був натхненний видом вітрил.

Слайд 10

Ейфелева вежа Париж, Марсове поле
Інженер Ґюстав Ейфель знайшов незвичайну форму для свого проекту. Ейфелева вежа дуже влаштовує: сильний вітер відхиляє її вершину лише на 10-12 см. У спеку від нерівномірного нагрівання сонячними променями вона може відхилитися на 18 см.

Слайд 11

18000 залізних деталей скріплюються 2500000 заклепками

Слайд 12

Оригінальна ідея для будівництва вежі була знайдена архітекторами Л. Баталовим та Д. Бурдіним за участю конструктора Н. Нікітіна. Усередині бетонних циліндричних блоків натягнуті металеві троси. Така конструкція надзвичайно стійка.
Теоретичне відхилення вершини вежі за максимальних розрахункових швидкостях вітру близько 12 метрів.

Слайд 13

Основні властивості точок, прямих та площин виражені в аксіомах. З безлічі аксіом ми сформулюємо лише три.
А1. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площина, і до того ж лише одна.
Ілюстрація до аксіоми А1: скляна пластинка щільно ляже на три точки А, В та С, що не лежать на одній прямій.
A
B
C

Слайд 14

Ілюстрації до аксіоми А1 із життя.
Табурет з трьома ніжками завжди ідеально стане на підлогу і не гойдатиметься. У табурету з чотирма ніжками бувають проблеми зі стійкістю, якщо ніжки випорожнення не однакові по довжині. Табурет хитається, тобто спирається на три ніжки, а четверта ніжка (четверта «точка») не лежить у площині підлоги, а висить у повітрі.
Для відеокамери, фотозйомки та інших приладів часто використовують штатив – триногу. Три ніжки штатива стійко розташуються на будь-якій підлозі в приміщеннях, на асфальті або прямо на газоні на вулиці, на піску на пляжі або в траві в лісі. Три ніжки штатива завжди знайдуть площину.

Слайд 15

Про
А
У
Побудова прямих кутів на місцевості за допомогою найпростішого приладу, який називається екером.
Триножник з екером.

Слайд 16

a
А2. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки прямої лежать у цій площині.
A
B

Слайд 17

Властивість, виражене в аксіомі А2, використовується для перевірки рівності креслярської лінійки. Лінійку прикладають краєм до плоскої поверхні столу. Якщо край лінійки рівний, він усіма своїми точками прилягає до поверхні столу. Якщо край нерівний, то в якихось місцях між ним та поверхнею столу утворюється просвіт.

Слайд 18

З аксіоми А2 випливає, що й пряма не лежить у цій площині, вона має із нею трохи більше однієї загальної точки. Якщо пряма та площина мають лише одну загальну точку, то кажуть, що вони перетинаються.

Слайд 19

a
А3. Якщо дві площини мають загальну точку, вони мають спільну пряму, де лежать все загальні точки цих площин.
У цьому випадку кажуть, що площини перетинаються прямою.

Слайд 20

Наочною ілюстрацією аксіоми А3 є перетин двох суміжних стін, стіни та стелі класної кімнати.

Слайд 21

А1. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площина, і до того ж лише одна.

Слайд 22

Теорема
Через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину, і до того ж тільки одна.
М
a

Слайд 23

Деякі наслідки з аксіом.
Теорема
Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину, і до того ж тільки одна
М
a
b
N

Слайд 24

Тренувальні вправи
Назвіть площини, в яких лежать прямі РЕ МК DB AB EC
P
E
A
B
C
D
M
K

Слайд 25

Тренувальні вправи
Назвіть точки перетину прямої DK з площиною АВС, прямої РЄ з площиною АDB.
P
E
A
B
C
D

Цикл уроків на тему: "Аксіоми стереометрії" складається з наступних уроків:

1. Предмет стереометрії. Аксіоми стереометрії

2. Деякі з аксіом.

3;4. Розв'язання завдань застосування аксіом та його наслідків.

5. Розв'язання задач застосування аксіом стереометрії та його наслідків. Самостійна робота.

Для кожного уроку підготовлено презентацію.

Завантажити:

Попередній перегляд:

Цикл уроків на тему: «Аксіоми стереометрії та їх наслідки».

Урок 1. Предмет стереометрії. Аксіоми стереометрії.

Цілі уроку:

1. ознайомити учнів із змістом курсу стереометрії;
2. вивчити аксіоми про взаємне розташування точок, прямих та площин у просторі;
3. вчити застосовувати аксіоми стереометрії під час вирішення завдань.

Хід уроку:

Слайд 1.

1. Організаційний момент.

2. Вивчення нового матеріалу.

Вчитель: Вже три роки, починаючи з 7 класу, ми з вами вивчаємо шкільний курс геометрії.

Слайд 2 Запитання учням:

Що таке геометрія? (Геометрія – наука про властивості геометричних фігур)

Що таке планіметрія? (Планіметрія – розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур на площині)

Які основні поняття планіметрії ви знаєте? (точка, пряма)

Вчитель: Сьогодні ми розпочинаємо вивчення нового розділу геометрії – стереометрії.

Слайд 3. Стереометрія – розділ геометрії, у якому вивчаються властивості постатей у просторі. (Учні роблять запис у зошит)

Слайд 4. Основні поняття простору: точка, пряма, площина.

Уявлення про площину дає гладка поверхня столу, стіни, підлоги, стелі тощо. Площина, як геометричну фігуру, потрібно представляти нескінченною, що простягається на всі боки. Позначаються площини грецькими літерами α, β, γ тощо.

1. Назвіть точки, що лежать у площині β; не лежать у площині β.

2. Назвіть прямі: що лежать у площині β; не лежать у площині β.

Слайд 5. Про основні поняття (точка, пряма, площина) ми маємо наочне уявлення та визначення їм не даються. Їхні властивості виражені в аксіомах.

Поряд з точкою, прямою, площиною в стереометрії розглядають геометричні тіла (куб, паралелепіпед, циліндр, тетраедр, конус та ін), вивчають їх властивості, обчислюють їх площі та обсяги. Уявлення про геометричні тіла дають навколишні предмети.

Слайд 6. Запитання учням:

Які геометричні тіла нагадують вам предмети, зображені на цих малюнках.

Назвіть предмети з навколишнього середовища (нашої класної кімнати), що нагадують вам геометричні тіла.

Слайд 7. Практична робота (у зошитах)

1. Зобразіть у зошиті куб (видні лінії – суцільною лінією, невидимі – пунктиром).

2. Позначте вершини куба великими літерами АВСДА 1 В 1 З 1 Д 1

3. Виділіть кольоровим олівцем:

• вершини А, С, В1, Д1 ; відрізки АВ, ЦД, В 1 С, Д 1 З; діагоналі квадрата АА 1 В 1 Ст.

Звернути увагу учнів на видимі та невидимі лінії на малюнку; зображення квадрата АА 1 В 1 У просторі.

Слайд 8. Запитання до учнів:

Що таке аксіома? Які аксіоми планіметрії ви знаєте?

У просторі основні властивості точок, прямих і площин, що стосуються їхнього взаємного розташування, виражені в аксіомах.

Слайд 9. Учні роблять записи та малюнки у зошитах.

Аксіома 1. (А1) Через будь-які 3 точки, що не лежать на одній прямій, проходить площину і до того ж лише одна.

Слайд 10. Відзначити, що якщо взяти не 3, а 4 довільні точки, то через них може не проходити жодна площина, тобто 4 точки можуть не лежати в одній площині.

Слайд 11. Аксіома 2. (А2) Якщо 2 точки прямої лежать у площині, то всі точки прямої лежать у цій площині. І тут кажуть, що пряма лежить у площині чи площина проходить через пряму.

Слайд 12. Питання учням:

Скільки загальних точок мають пряма та площина? (рис.1 – нескінченно багато; рис.2 – одну)

Слайд 13. Аксіома 3. (А3) Якщо дві площини мають спільну точку, то вони мають спільну пряму, на якій лежать усі загальні точки цих площин.

У цьому випадку кажуть, що площини перетинаються прямою.

3. Закріплення вивченого матеріалу.

Слайд 14. Розв'язання завдань із підручника № 1(а,б), 2(а).

Учні читають умову завдань і малюнку на слайді дають відповідь з поясненням.

Завдання 1.

а) Р, Е (АДВ) РЕ (АДВ) А 2

Аналогічно МК (ВДС)

В,Д (АДВ) та (ВДС) ВД (АДВ) і (ДВС)

Аналогічно АВ (АДВ) та (АВС)

С, Е (АВС) та (ДЕС) РЄ (АВС) та (ДЕС)

б) С (ДК) та (АВС) ДК ∩ (АВС) = С. Т.к. точок перетину прямий і площині трохи більше однієї (пряма лежить у площині), це єдина точка.

Аналогічно РЄ ∩ (АДВ) = Е.

Завдання 2(а)

У площині ДСС 1: Д, С, С1, Д1 , К, М, R. У площині ВQС: 1 , В, Р, Q, 1 , М, С.

Слайд 15. 4. Підбиття підсумків уроку.Запитання учням:

1. Як називається розділ геометрії, який ми вивчатимемо у 10-11 класах?
2. Що таке стереометрія?
3. Сформулюйте малюнком аксіоми стереометрії, які ви вивчили сьогодні на уроці.

Слайд 16. 5. Домашнє завдання.

Урок 2. Деякі наслідки із аксіом.

Цілі уроку:

Повторити аксіоми стереометрії та застосування їх під час вирішення завдань домашнього завдання;

Ознайомити учнів зі слідствами з аксіом;

Навчити застосовувати слідства з аксіом під час вирішення завдань, і навіть закріпити вміння застосовувати аксіоми стереометрії під час вирішення завдань;

Повторити формули обчислення площі ромба.

Хід уроку.

Слайд 1. 1. Організаційний момент.Повідомлення теми та цілей уроку.

Слайд 2

1)Сформулюйте аксіоми стереометрії та оформіть малюнки на дошці.

2) №1 (в, г); 2(б,д).

Учні усно з місця на малюнку на слайді відповідають питання домашнього завдання.

Слайд 3. 3. Вивчення нового матеріалу.Розглянемо та доведемо слідства з аксіом.

Теорема 1. Через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину і до того ж лише одна.

Учні записують формулювання у зошиті, відповідаючи питання вчителя, роблять відповідні записи і малюнки в зошит.

Що дано у теоремі? (Пряма і не лежача на ній точка)

Що треба довести? (проходить площина; одна)

Що можна використовувати для підтвердження? (аксіоми стереометрії)

Яка з аксіом дозволяє побудувати площину? (А1, через три точки проходить площину і до того ж лише одна)

Що є в цій теоремі і чого не вистачає для використання А1 (маємо – точку; необхідні – ще дві точки)

Де збудуємо ще дві точки? (на цій прямій)

Який висновок можемо зробити? (через три точки будуємо площину)

Чи належить цій площині пряма? (так)

На підставі чого можна зробити такий висновок? (на підставі А2: якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить площині)

Скільки площин можна провести через дані пряму та дану точку? (одну)

Чому? (оскільки площина, що проходить через пряму і площину, проходить через дану точку і дві точки на прямій, значить А1 ця площина - єдина)

Слайд 4. Теорема 2. Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину і притому тільки одна.

Учні доводять теорему самостійно, потім прослуховуються кілька доказів і робляться доповнення та уточнення (якщо вони необхідні)

Зверніть увагу, що доказ спирається не так на аксіоми, але в слідство 1.

Слайд 5. 4. Закріплення вивченого матеріалу.

Завдання 6 (з навчального посібника)

Учні працюють у зошитах, пропонують свої варіанти рішення, потім порівнюють своє рішення із рішенням на екрані. Розбираються два випадки: 1) точки не лежать на одній прямій; 2) точки лежать на одній прямій.

Слайд 6,7. Завдання на слайді. Учні читають умову, роблять малюнок та необхідні записи у зошитах. Вчитель проводить фронтальну роботу із класом з питань завдання. У ході розв'язання задачі повторюємо формули обчислення площі ромба.

Дано: АВСД - ромб, АС∩ВД = О, М, (А, Д, О); АВ = 4см, А = 60 º.

Знайти: (В, С); Д (МОВ); (МОВ)∩(АДО); SАВСД.

Рішення:

Зверніть увагу на той факт, що якщо дві площини мають спільні точки, то вони перетинаються прямою, що проходить через ці точки.

5. Підбиття підсумків:

Сформулюйте аксіоми стереометрії.

Сформулюйте наслідки із аксіом.

Мета уроку досягнуто. Аксіоми стереометрії повторили, познайомилися зі слідствами з аксіом і застосували їх під час вирішення завдань.

Виставлення позначок (з коментарями)

Слайд 8. 6. Постановка домашнього завдання:

Урок 3. Розв'язання задач застосування аксіом стереометрії та його наслідків.

Цілі уроку:

Повторити аксіоми стереометрії та їх наслідки;

Сформувати навичку застосування аксіом стереометрії та їх наслідків під час вирішення завдань;

Учні знають аксіоми стереометрії та їх наслідки та вміють застосовувати їх під час вирішення завдань.

Хід уроку.

Слайд 1. 1. Організаційний момент.Повідомлення теми та цілей уроку.

2. Актуалізація знань учнів.

1) Перевірка домашнього завдання з питань учнів.

Перед уроком у кількох учнів взяти на перевірку зошити із домашньою роботою.

2) Двоє учнів готують біля дошки доказ наслідків із аксіом.

3) Двоє учнів (1 рівень) та двоє учнів (2 рівень) працюють за картками індивідуального опитування. Слайд.

4) Фронтальна робота з учнями.

Слайд 2. Дано: куб АВСДА1В1С1Д1

Знайдіть:

1. Декілька точок, які лежать у площині α; (А, В, С, Д)
2. Декілька точок, які не лежать у площині α; (А 1 , В 1 , З 1 , Д 1 )
3. Декілька прямих, що лежать у площині α; (АВ, ВС, ЦД, АТ, АС, ВД)
4. Декілька прямих, які не лежать у площині α; (А 1 В 1, В 1 С 1, С 1 Д 1, А 1 Д 1, А 1 С 1, В 1 Д 1, АА 1, ВВ 1, СС 1, ДД 1)
5. Декілька прямих які перетинають пряму НД; (ВВ 1 , СС 1 )
6. Декілька прямих, які не перетинають пряму НД. (АТ, АА 1 …)

Слайд 3. Заповніть перепустки, щоб вийшло вірне твердження:

Слайд 4. Чи лежать прямі АА 1 , АВ, АТ в одній площині? (Прямі АА 1 , АВ, АТ проходять через точку А, але не лежать в одній площині)

3. Розв'язання задач.

Слайд 5. Учні вирішують завдання № 7, 10, 14 з навчального посібника, роблячи відповідні малюнки та записи на дошці та зошитах.

Завдання №7.

2) Чи лежать в одній площині всі прямі через точку М?

Рішення: За слідством 2:

2) Усі прямі, що проходять через точку М, не обов'язково лежать в одній площині. (Див. приклад зі слайду 4)

Завдання 10. Учні вирішують завдання самостійно (аналогічно до завдання № 7). Вчитель вибірково бере зошити на перевірку та надає індивідуальну допомогу у вирішенні завдання учням, які не впоралися із завданням.

Завдання № 14. Рішення: Всі прямі а, b, лежать в одній площині. В цьому випадку за наслідком 2 можна провести площину, і через три прямі проходить одна площина.

Одна з трьох прямих, наприклад, не лежить в площині α, що визначається прямими а і b. В цьому випадку через задані три прямі проходять три різні площини, що визначаються парами прямих а і b, а і с, b і с.

Слайд 6. Учні роблять малюнок та необхідні побудови та записи у зошитах. При побудові учні промовляють аксіоми, результат побудови записують за допомогою символіки.

Завдання. Дано: куб АВСДА 1 В 1 З 1 Д 1

т.м лежить на ребері ВР 1 , Т. N лежить на ребері СС 1 і точка К лежить на ребрі ДД 1

а) Назвіть площини, у яких лежать точки М; N.

б) знайдіть F точку перетину прямих МN і ВС. Яку властивість має точка F?

в) знайдіть точку перетину прямої КN та площини АВС.

г) знайдіть лінію перетину площин МNК та АВС.

Рішення:

Слайд 7. Для вирішення наступного завдання повторимо формулу обчислення площі чотирикутника. Висновок формули розбирають за слайдом.

Учні записують формулу у зошит.

Слайд 8. Доведіть що всі вершини чотирикутника АВСД лежать в одній площині, якщо його діагоналі АС і ВД перетинаються.

Обчисліть площа чотирикутника, якщо АС┴ВС, АС = 10см, ВД = 12см.

Відповідь: 60 см 2

4. Підбиття підсумків уроку.

Що викликало труднощі? Вчитель оголошує позначки за урок із коментарем.

Слайд 9.

Урок 4. Розв'язання задач застосування аксіом стереометрії та його наслідків.

Цілі уроку:

Провести контроль знань аксіом стереометрії та їх наслідків;

Закріпити сформовану навичку застосування аксіом стереометрії та їх наслідків під час вирішення завдань;

Повторити: теорему Піфагора та її застосування; формули обчислення площ рівностороннього трикутника, прямокутника

Хід уроку.

Слайд 1. 1. Організаційний момент.Повідомлення теми та цілей уроку.

Слайд 2 2. Перевірка домашнього завдання.

Перед уроком у кількох учнів взяти на перевірку зошити із домашньою роботою.

Двоє учнів готують біля дошки вирішення завдань із домашньої роботи – № 9, 15.

Інші учні відповідають питання математичного диктанта по слайду.

Слайд 3. 3. Розв'язання задач (фронтальна робота із класом)

Завдання №1.

Даний тетраедр МАВС, кожне ребро якого дорівнює 6 см.

1. Назвіть пряму, якою перетинаються площини: а) МАВ і МFС; б) МСF та АВС.
2. Знайдіть довжину СF та SАВС
3. Як побудувати точку перетину прямої ДЕ із площиною АВС?

Питання до учнів (за потреби):

Які точки одночасно належать обом площинам. На підставі якої аксіоми можна дійти невтішного висновку?

Сформулюйте властивість медіани рівнобедреного трикутника.

Сформулюйте теорему Піфагора.

Чому можна застосувати теорему Піфагора у разі?

Якими способами можна обчислити площу рівностороннього трикутника?

Чи завжди можна побудувати точку перетину прямої ДЕ із площиною АВС?

Слайд 4. Завдання №2.

1. Як побудувати точку перетину площини АВС із прямою Д 1 Р?
2. Як побудувати лінію перетину площини АТ 1 Р і АВВ 1?
3. Обчисліть довжину відрізків АР та АТ 1 , якщо АВ = а

Рішення:

Слайд 5. Завдання №3.

Дано : Точки А, В, С не лежать на одній прямій

Доведіть , Що точка Р лежить у площині АВС.

За допомогою анімації на слайді учні роблять відповідні побудови та необхідні висновки. Роблять записи у зошитах за допомогою математичних символів, промовляючи відповідні аксіоми та наслідки з аксіом.

Питання учням (за потребою):

Знаючи, що точки А, В, С не лежать на одній прямій, який висновок можна зробити?

Якщо точки А і В лежать у площині, який висновок про пряму АВ можна зробити?

Який висновок можна зробити про точку М?

Якщо точки А і С лежать у площині, який висновок про пряму АС можна зробити?

Який висновок можна зробити про точку К?

Знаючи, що точки М і К лежать у площині, який висновок можна зробити про пряму МК?

Який висновок можна зробити про точку Р?

Рішення (інший спосіб доказу):

АВ∩АС=А. За другим слідством, прямі АВ та АС визначають площину α. Точка М належить АВ, отже, належить площині α, і точка К належить АС, отже, і площині α. По аксіомі А2: МК лежить у площині? Точка Р належить МК, отже, і площині α.

Слайд 6. Завдання №4.

Площини і β перетинаються по прямій с. Пряма а лежить у площині і перетинає площину. Чи перетинаються прямі а і с? Чому?

Питання учням (за потреби):

Знаючи, що пряма а перетинає площину, який висновок можна зробити? (Пряма та площина мають загальну точку, наприклад, точку В)

Яку властивість має точка В? (Пункт В належить і прямий а, і площині α, і площині β)

Якщо точка належить двом площин одночасно, то що ми можемо сказати про взаємне становище площин? (площини перетинаються по прямій, наприклад)

Яке взаємне розташування точки і прямий з? (точка В належить прямий з)

Знаючи, що точка В належить і прямий а, і прямий з, який висновок можна зробити про ці прямі? (Прямі перетинаються в точці В)

Слайд 7. Завдання №5.

Даний прямокутник АВСД, О – точка перетину його діагоналей. Відомо, що точки А, В, лежать у площині α. Доведіть, що точки С та Д також лежать у площині α. Обчисліть площу прямокутника, якщо АС = 8 см,АОВ = 60 º.

Завдання призначене для самостійного рішення з обговоренням рішення та наданням індивідуальної допомоги учням. Корисно обговорити різні способи знаходження площі прямокутника:

Запропонувати учням вирішити завдання різними способами. Відповідь: 16см 2 .

4. Підбиття підсумків уроку:

Які аксіоми та теореми ми застосовували на уроці під час вирішення завдань? Сформулюйте.

Які завдання були найцікавішими, найскладнішими?

Що корисного для вас особисто було на уроці?

Що викликало труднощі?

Виставлення позначок за урок (з коментуванням кожної позначки)

Слайд 8. 5. Постановка домашнього завдання:

Урок 5. Розв'язання задач застосування аксіом стереометрії та його наслідків. Самостійна робота (20 хв.)

Цілі уроку:

Закріпити засвоєння питань теорії у процесі вирішення завдань;

Перевірити рівень підготовленості учнів шляхом проведення самостійної роботи контролюючого характеру.

Хід уроку.

Слайд 1. 1. Організаційний момент.

Повідомлення теми та цілей уроку.

Слайд 2 2. Перевірка домашнього завдання.

Перед уроком у кількох учнів взяти на перевірку зошити із домашньою роботою.

Завдання 1.

Прямі а та b перетинаються в точці О, Аа, b, Р АВ. Доведіть, що прямі а та b і точка Р лежать в одній площині.

Рішення:

Слайд 3. Завдання 2.

На цьому малюнку площина містить точки А, В, С, Д, але не містить точку М. Побудуйте точку К - точку перетину прямої АВ і площини МСД. Чи точка К лежить у площині α.

Рішення:

Слайди 4, 5, 6 3.Усне вирішення завдань на повторення теорії (за слайдами)

Слайди 7,8 4. Самостійна робота(Різнорівнева, контролюючого характеру) Учні обирають свій рівень складності.

5. Підбиття підсумків.

1) Зібрати зошити з самостійною роботою.

2) Оголошення позначок із коментуванням.

Слайд 9. 6. Домашнє завдання.

Попередній перегляд:

Щоб скористатися попереднім переглядом презентацій, створіть собі обліковий запис Google і увійдіть до нього: https://accounts.google.com

Підписи до слайдів:

Урок 1 Тема: "Предмет стереометрії. Аксіоми стереометрії."

Що таке геометрія? Геометрія - наука про властивості геометричних фігур "Геометрія" - (грец.) - "землемірство" - Що таке планіметрія? Планіметрія - розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур на площині. А а Основні поняття планіметрії: точка пряма - Основні поняття планіметрії?

Стереометрія - розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур у просторі

Основні фігури у просторі: точка пряма площина α β Позначення: А; В; З; …; М;… а В М N Р Позначення: a, b, с, d…, m, n,… (або двома великими латинськими) Позначення: α , β , γ … Дайте відповідь на запитання по малюнку: 1. Назвіть точки, що лежать у площині β; не лежать у площині β. 2. Назвіть прямі, що лежать у площині β; не лежать у площині β

Деякі геометричні тіла. А В С Д Д 1 С 1 В 1 А 1 куб А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 паралелепіпед А В С Д тетраедр циліндр конус

Назвіть які геометричні тіла вам нагадують предмети, зображені на цих малюнках: Назвіть предмети з навколишньої обстановки (нашої класної кімнати), що нагадують вам геометричні тіла.

Практична робота. 1. Зобразіть у зошиті куб (видні лінії – суцільною лінією, невидимі – пунктиром). 2. Позначте вершини куба великими літерами АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 А В С Д Д 1 С 1 В 1 А 1 3. Виділіть кольоровим олівцем: вершини А, С, В 1, Д 1 відрізки АВ, СД, В 1 З, Д 1 З діагоналі квадрата АА 1 В 1 В

Що таке аксіома? Аксіома - це твердження про властивості геометричних фігур, приймається як вихідні положення, на основі яких доводяться далі теореми і взагалі будується вся геометрія. Аксіоми планиметрії: - через будь-які дві точки можна провести пряму і лише одну. із трьох точок прямий одна, і лише одна, лежить між двома іншими. є принаймні три точки, що не лежать на одній прямій…

Аксіоми стереометрії. А В С А1. Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площина і до того ж лише одна. α

Якщо ніжки столу однакові по довжині, стіл стоїть на трьох ніжках, тобто. спирається на три «точки», а кінець четвертої ніжки (четверта точка) не лежить у площині підлоги, а висить у повітрі.

Аксіоми стереометрії. А В α А2. Якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки цієї прямої лежать у цій площині. Кажуть: пряма лежить у площині чи площина проходить через пряму.

а М Пряма лежить у площині Пряма перетинає площину Скільки загальних точок мають пряма та площина?

Аксіоми стереометрії. α β А3. Якщо дві площини мають загальну точку, вони мають спільну пряму, де лежать все загальні точки цих площин. Кажуть: площини перетинаються прямою. А а

Розв'язати задачі: №1(а,б); 2(а) А В С Д Р Е К М А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 Q P R К М Назвіть за малюнком: а) площини, в яких лежать прямі ДВ, АВ, МК, РЕ, ЕС; б) точки перетину прямої ДК з площиною АВС, прямий РЄ з площиною АДВ. а) точки, що лежать у площинах ДСС 1 і Q С № 1(а,б) № 2(а)

Підіб'ємо підсумки уроку: 1) Як називається розділ геометрії, який ми вивчатимемо в 10-11 класах? 2) Що таке стереометрія? 3) Сформулюйте за допомогою малюнку аксіоми стереометрії, які ви вивчили сьогодні на уроці. А А В В α α А α β

Теорема 1. Через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину і до того ж лише одна. Дано: а, М ¢ а Довести: (а, М) з α α - єдина а М α Доказ: 1 . Р, Про с а; ( Р,О,М ) а Р О По аксіомі А1: через точки Р, О, М проходить площину. По аксіомі А2: т.к. дві точки прямий належать площині, те й вся пряма належить цій площині, тобто. (А, М) з α 2 . Будь-яка площина, що проходить через пряму а і точку М, проходить через точки Р, О, і М, отже, по аксіомі А1 вона – єдина. Ч.т.д. Деякі наслідки з аксіом:

Теорема 2. Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину, і притому тільки одна. Дано: а ∩ b Довести: 1. (а∩ b) з α 2. α - єдина а b М Н α Доказ: 1.Через а та Н а, Н b проходить площину α. (М, Н) α, (М,Н) b, значить по А2 всі точки b належать площині. 2. Площина проходить через і b і вона єдина, т.к. будь-яка площина, що проходить через прямі а і b проходить і через Н, значить α - єдина.

Розв'язати задачу № 6 АВС α Три дані точки з'єднані попарно відрізками. Доведіть, що всі відрізки лежать в одній площині. Доказ: 1. (А,В,С) α , означає А1 через А,В,З проходить єдина площина. 2. Дві точки кожного відрізка лежать у площині, отже, по А2 всі точки кожного з відрізків лежать у площині α . 3. Висновок: АВ, ПС, АС лежать у площині α 1 випадок. А В С α 2 випадок. Доказ: Оскільки три точки належать одній прямій, то по А2 всі точки цієї прямої лежать у площині.

Завдання. А В С Д М О АВСД – ромб, О – точка перетину його діагоналей, М – точка простору, що не лежить у площині ромба. Точки А, Д, Про лежать у площині α. Визначити та обґрунтувати: Чи лежать у площині точки В і С? Чи лежить у площині МОВ точка Д? Назвіть лінію перетину площин МОВ та АДО. Обчисліть площу ромба, якщо сторона його дорівнює 4 см, а кут дорівнює 60 º . Запропонуйте різні способи обчислення площі ромба.

Усна робота. А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 α Дано: куб АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 Знайдіть: Кілька точок, що лежать у площині α; Декілька точок, які не лежать у площині α; Декілька прямих, які лежать у площині α; Декілька прямих, які не лежать у площині α; Декілька прямих які перетинають пряму НД; Декілька прямих, які не перетинають пряму НД. Завдання 1.

Усна робота. Завдання 2. α А М В а b c Заповніть перепустки, щоб вийшло правильне твердження:

Усна робота. А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 α Прямі АА 1 , АВ, АТ проходять через точку А, але не лежать в одній площині Чи прямі лежать АА 1 , АВ, АТ в одній площині?

Розв'яжіть завдання з навчального посібника: стор. 8 № 7, 10, 14. Робота учнів на дошці та зошитах:

Задача 1 А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 М NF К Дано: куб АВСДА 1 В 1 С 1 Д 1 т.М лежить на ребрі ВВ 1 т. N лежить на ребрі СС 1 і точка К лежить на ребрі ДД 1 а) назвіть площини, у яких лежать точки М; N. б) знайдіть т. F- точку перетину прямих М N і ВС. Яку властивість має точка F? в) знайдіть точку перетину прямої К N та площини АВС О г) знайдіть лінію перетину площин М N К і АВС

Завдання (усно) А В С Д М О АВСД – ромб, О – точка перетину його діагоналей, М – точка простору, що не лежить у площині ромба. Точки А, Д, Про лежать у площині α. Визначити та обґрунтувати: 1. Які ще точки лежать у площині? Чи лежать у площині точки В і М? Чи лежить у площині МОД точка В? Назвіть лінію перетину площин МОС та АДО. Точка О – загальна точка площин МОВ та МОС. Чи правильно що ці площини перетинаються прямою МО? Назвіть три прямі, що лежать в одній площині; що не лежать в одній площині.

Завдання (усно) АВСМ Сторони АВ та АС трикутника АВС лежать у площині. Доведіть, що і медіана лежить у площині.

С Д В Е F О М Завдання (усно) У чому помилка креслення, де О Е F . Дайте пояснення. Як має виглядати правильне креслення.

1 рівень А В С S К М N 1. Користуючись цим малюнком, назвіть: а) чотири точки, що лежать у площині S АВ; б)площину, в якій лежить пряма М N; в) пряму якою перетинаються площини S АС і S ВС. 2. Точка С – загальна точка площини та. Пряма з проходить через точку С. Чи правильно, що площини і перетинаються прямою с. Відповідь поясніть. 3. Через пряму а та точку А можна провести дві різні площини. Яке взаємне розташування прямої а та точки А. Відповідь поясніть. 2 рівень S А В С Д Е F 1. Користуючись цим малюнком, назвіть: а) дві площини, що містять пряму ДЕ; б) пряму, якою перетинаються площини АЕ F і S ВС; в) площини, які перетинає пряма S В. 2. Прямі а, b та с мають загальну точку. Чи правильно, що ці прямі лежать у одній площині? Відповідь обґрунтуйте. 3. Площини та перетинаються по прямій с. Пряма а лежить у площині та перетинає площину. Яким є взаємне розташування прямих а і с?

А В С Д А 1 В 1 С 1 Д 1 Рівень 3 (на картках) 1. Користуючись цим малюнком, назвіть: а) дві площини, що містять пряму 1 С; б) пряму, по якій перетинаються площини 1 СД і АА 1 Д 1 ; в) площину, що не перетинається з прямою ЦД 1 . 2. Чотири прямі попарно перетинаються. Чи правильно, якщо будь-які три з них лежать в одній площині, то всі чотири прямі лежать в одній площині? Відповідь поясніть. 3. Вершина С плоского чотирикутника АВСД лежить у площині, а точки А, В, Д не лежать у цій площині. Прямі АВ і АТ перетинають площину в точках 1 і 1 відповідно. Яке взаємне розташування точок С, В1 і Д1? Відповідь поясніть.

Домашнє завдання: повторити матеріал з планіметрії та зробити в зошитах конспект з наступних питань: Визначення паралельних прямих Взаємне розташування двох прямих на площині Побудова прямої, паралельної даній Аксіому про паралельні прямі

1-й урок: Що вивчає стереометрія? Стереометрія – це розділ геометрії, у якому вивчаються властивості постатей у просторі. Слово «стереометрія» походить від грецьких слів «стереос» – об'ємний, просторовий та «метрео» – вимірювати. Багато геометричні терміни перекладено з давньогрецької мови, т.к. геометрія зародилася у Стародавній Греції та розвивалася у філософських школах.

2-й урок: Основні постаті стереометрії. Існують різні способи зображення: площину зображують паралелограмом; площина позначається фігурою, обмеженою двома паралельними прямими та двома довільними кривими; площина передається фігурою довільної форми.

3-й урок: Просторові фігури. Урок присвячується підготовці до запровадження аксіом стереометрії. Учням пропонуються такі завдання: 1. Зобразіть пряму а, що лежить на ній точку А і не лежачу на ній точку В. 2. Зобразіть площину і дві прямі, що перетинаються, а і b, що лежать на ній. 3. Зобразіть площину, що лежить на ній, точки А і В, а також точки C і D, розташовані на різні сторони від площини. 4. Зобразіть площину та пряму а, що її перетинає. 5. Зобразіть площини, що перетинаються під прямим кутом.

5-й урок: Ознаки паралельності площин. При вивченні аксіом стереометрії згадуємо перші аксіоми планіметрії і формулюємо їх просторові аналогії. В результаті отримуємо наступну таблицю: Акс іом а Креслення Формулювання П1П1 Якою б не була пряма в просторі, існують точки простору, що належать цій прямій, і точки, що не належать їй. П2П2 Через будь-які дві точки простору можна провести пряму, і лише одну.

6-й урок: Паралельне проектування. Розглянемо наслідки з аксіом: Креслення Формулювання Сл.1Через пряму і не лежачу на ній точку можна провести площину, і до того ж тільки одну. Якщо дві точки прямої належать площині, то вся пряма належить цій площині. Через три точки, що не лежать на одній прямій, можна провести площину, і до того ж лише одну.

Зображення просторових фігур на площині На тему приділяється сім занять: 1. П Паралельне проектування та його основні властивості; 2. П Паралельне проектування плоских фігур; 3. І Зображення просторових фігур у паралельній проекції; 4. З Перетин багатогранників; 5. З Золотий переріз; 6. Ц Центральне проектування та його властивості; 7. І Зображення просторових фігур у центральній проекції.

Заняття 1: Паралельне проектування та його основні властивості. Основні властивості паралельного проектування: 1. паралельною проекцією прямої є пряма чи точка; 2. паралельною проекцією відрізка є відрізок чи точка; 3. відношення довжин відрізків, що лежать на одній прямій, зберігається (зокрема, середина відрізка при паралельному проектуванні перетворюється на середину відповідного відрізка); 4. паралельною проекцією двох паралельних прямих є паралельні прямі або одна пряма або дві точки; 5. відношення довжин відрізків, що лежать на паралельних прямих, при паралельному проектуванні зберігається; 6. якщо фігура лежить у площині, паралельній площині проектування, її паралельної проекцією на цю площину буде фігура, рівна вихідної.

Заняття 2: Паралельні проекції плоских фігур. Розглядається питання про зображення плоских фігур під час паралельного проектування. Учні повинні уявити, які фігури є паралельними проекціями багатокутників і кола. З'ясувати, які властивості багатокутників зберігаються при паралельному проектуванні. Дізнатися як будуються паралельні проекти основних плоских фігур.

Золотий перетин в архітектурі Відомий російський архітектор М. Казаков і В. Баженов широко використовували у своїй творчості золотий перетин. Наприклад, золотий перетин можна знайти в архітектурі будівлі сенату в Кремлі. За проектом М. Казакова у Москві було побудовано Першої клінічної Ще один архітектурний шедевр Москви – будинок Пашкова – одна із найбільш досконалих творів архітектури У. Баженова.

Багатогранники. До цього курсу включені такі заняття: 1. Правильні багатогранники. Правильні багатогранники. 2. Напівправильні багатогранники. Напівправильні багатогранники. 3. Зірчасті багатогранники. Зірчасті багатогранники. 4. Теорема Ейлера. Теорема Ейлер.

Заняття 4: Теорема Ейлер. Одна з найцікавіших властивостей опуклих багатогранників описана теоремою Ейлера. Назва багатогранника Число вершин (В) Число ребер (Р) Число граней (Г) Трикутна піраміда 464 Чотирикутна призма 8126 П'ятикутна біпіраміда правильний додекаедр n-вугільна піраміда n+12n2n2n n-n учнями розглядаються відомі їм багатогранники та заповнюється таблиця. Потім виводиться сама теорема: В-Р+Г=2

Кути між прямими та площинами у просторі. При вивченні цієї теми бажано відзначити, що проблема виміру кутів перегукується з глибокої давнини. Слід якнайширше висвітлити історію створення вимірювальних приладів та методи вимірювання. Для цього пропонується провести такі заняття: 1. Обсяг фігур у просторі. Об'єм циліндра; Обсяг фігур у просторі. Об'єм циліндра; 2. Принцип Кавальєрі; Принцип Кавальєрі; 3. Об'єм конуса; Об'єм конуса; 4. Об'єм кулі. Об'єм кулі.

Заняття 1: Обсяг фігур у просторі. Об'єм циліндра. На цьому занятті розглядаються проблеми виміру обсягів просторових фігур. Перераховуються основні властивості об'єму: oоoоб'єм фігури в просторі є невід'ємним числом; oоoоб'єм куба з ребром 1 дорівнює 1; o рівні фігури мають рівні обсяги; oеоякщо фігура Ф складена з фігур Ф 1 і Ф 2, то обсяг фігури Ф дорівнює сумі обсягів фігур Ф 1 і Ф 2.

• Що таке стереометрія?
• Виникнення та розвиток стереометрії
• Основні фігури у просторі
• Позначення точок та приклади їх моделей
• Позначення прямих
• Приклади моделей прямих
• Позначення площин та приклади їх моделей
• Що ще вивчає стереометрію?
• Навколишні предмети та геометричні тіла
• Зображення геометричних тіл на кресленнях
• Практичне (прикладне) значення стереометрії
• Аксіоми стереометрії
• Наслідки з аксіом стереометрії
• Закріплення
• Використовувана література

Що таке стереометрія?

Стереометрія - Це розділ геометрії, в якому вивчаються властивості фігур у просторі.

Виникнення та розвиток стереометрії.

• Розвиток стереометрії почався значно пізніше за планіметрію.
• Стереометрія розвивалася із спостережень та вирішення питань, які виникали в процесі практичної діяльності людини.

• Вже первісна людина, зайнявшись землеробством, робила спроби оцінювати, хоча б у грубих рисах, розмір зібраного ним урожаю за масами хліба, складеного в купи, копиці чи скирти.
• Будівельник навіть найдавніших примітивних будівель повинен був якось враховувати матеріал, яким він мав у своєму розпорядженні, та й вміти підрахувати, скільки матеріалу потрібно для зведення тієї чи іншої споруди.

• Каменотесное справа в стародавніх єгиптян і халдеїв вимагало знайомства з метричними властивостями хоча б найпростіших геометричних тіл.
• Потреба землеробства, мореплавання, орієнтування у часі штовхали людей до астрономічних спостережень, а останні – до вивчення властивостей сфери та її частин, отже і законів взаємного розташування площин і ліній у просторі.

Основні постаті у просторі.

Площина - геометрична фігура, що простягається необмежено на всі боки

Позначення точок та приклади їх моделей.

Крапки позначаються великими латинськими літерами А, В, С, …

Прикладами моделей точок є:

атоми та молекули

планети в масштабах всесвіту

Позначення прямих.

• Прямі позначаються:
• малими латинськими літерами a, b, c, d, e, k, …
• двома великими латинськими літерами AB, CD...

Приклади прямих моделей.

Прикладами моделей прямих можуть бути:

інверсійні сліди літаків

Позначення площин та приклади їх моделей.

Площини позначаються грецькими буквами α, β, γ,…

Прикладами моделей площин можуть бути:

поверхність води

поверхня столу

Що ще вивчає стереометрію?

Поруч із точкою, прямий і площиною стереометрія вивчає геометричні тіла та його поверхні.

Навколишні предмети та геометричні тіла.

Навколишні предмети дають уявлення про геометричні тіла.

А вивчаючи властивості геометричних фігур - уявних об'єктів, ми отримуємо відомості про геометричні властивості реальних предметів і можемо використовувати ці властивості практичної діяльності.

кристали-багатогранники

бляшана банка - циліндр

упаковка для цукерок - конус

Зображення геометричних тіл на кресленнях.

• Зображенням просторової фігури є її проекція на ту чи іншу площину.
• Невидимі частини фігури зображуються штриховими лініями.

Практичне (прикладне) значення стереометрії.

• Геометричні тіла є вигаданими об'єктами
• Вивчаючи властивості геометричних фігур, ми отримуємо уявлення про геометричні властивості реальних предметів (їхню форму, взаємне розташування тощо).
• Стереометрія широко використовується в будівельній справі, архітектурі, машинобудуванні та інших галузях науки та техніки.

Аксіоми стереометрії.

• Аксіома- це твердження про властивості геометричних фігур, приймається як вихідні положення, на основі яких доводяться далі теореми і взагалі будується вся геометрія.

Аксіоми стереометрії.

А1 . Через будь-які три точки, що не лежать на одній прямій, проходить площина і до того ж лише одна.

Аксіоми стереометрії.

А2 . Якщо дві точки прямої лежать у площині, то всі точки цієї прямої лежать у цій площині.

У такому разі кажуть, що пряма лежить у площині чи площина проходить через пряму.

Аксіоми стереометрії.

А3. Якщо дві площини мають спільну точку, всі вони мають спільну пряму, де лежать всі загальні точки цих площин.

Кажуть, що площини перетинаються прямою

Наслідки із аксіом.

Теорема 1: Через пряму і не лежачу на ній точку проходить площину, і до того ж лише одна.

Теорема 2: Через дві прямі, що перетинаються, проходить площину, і при тому тільки одна.

Закріплення.

1.Назвіть площини, в яких лежать прямі:

Закріплення.

2. Назвіть точку перетину прямої СЕ з площиною ADB.

3. Назвіть прямі, якими перетинаються площини:

Використовувана література

• Геометрія. 10-11 класи: навч. Для загальноосвіт. установ: базовий та профіл. рівні/Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов, С.Б. Кадомцев та ін. - 21-е вид. - М.: Просвітництво, 2012. - 255 с.: Іл.
• Геометрія: методичний посібник для вищих педагогічних закладів та викладачів середньої школи: ч. 2 Стереометрія / за ред. Проф. І.К. Андронова.

1

Шкільний курс геометрії складається із двох частин:

ПЛАНІМЕТРІЇ
СТЕРЕОМЕТРІЇ
Планіметрія – це розділ
геометрії, в якому
вивчаються властивості
геометричних фігур
на площині.
Стереометрія – це розділ
геометрії, в якому
вивчаються властивості
геометричних фігур
в просторі.
Слово «стереометрія» походить від грецьких
слів «стереос» - об'ємний, просторовий та
«метрео» – вимірювати.
2

Основні поняття

планіметрії
Крапка
Пряма
стереометрії
Крапка
Пряма
Площина
являє собою геометричну фігуру,
що простягається необмежено у всі
сторони.
3

Поряд з точками, прямими, площинами в стереометрії розглядаються геометричні тіла, вивчаються їх властивості, обчислюються площі їх

Поряд з точками, прямими, площинами
у стереометрії
розглядаються геометричні тіла,
вивчаються їх властивості,
обчислюються площі їх поверхонь,
а також обчислюються обсяги тел.
куб
куля
циліндр
4

Об'ємні геометричні тіла

Багатогранники
Тіла обертання
призма
піраміда
конус
паралелепіпед
циліндр
куб
куля
5

Крапки позначаються великими латинськими літерами А, В, С, D, Е, К,...

А
У
З
Е
Прямі позначаються малими
латинськими літерами a, b, c, d, e, k, ...
b
d
a
Площини позначаються грецькими
літерами α, β, γ, λ, π, ω,…
β
γ
α
6

Стереометрія широко використовується у будівельній справі

7

Стереометрія використовується в архітектурі

8

Стереометрія використовується у машинобудуванні

9

Стереометрія використовується у геодезії

Геодезія - наука, що займається вивченням виду та
розміру Землі.
У багатьох інших галузях науки та техніки.
10

Зрозуміло, що в кожній площині лежать якісь точки простору, але не всі точки простору лежать в одній площині.

Aє, Bє,
М
Mє, Nє, Pє
А
N
B
P
11

Аксіоми стереометрії

Аксіома 1
Через будь-які три
точки, не
лежать на одній
прямий, проходить
площину, та
до того ж тільки
одна.
А
У
З
Аксіома 3
Аксіома 2
Якщо дві
площині мають
загальну точку, то
вони мають
пряму, на
якою лежать усі
загальні точки цих
площин.
Якщо дві точки
прямий лежать у
площині, то все
точки прямий
лежать у цій
площині.
А
У
З
А
а
α
12

Деякі наслідки з аксіом

Q
α
а
P
M
Теорема 2. Через дві
прямі, що перетинаються
проходить площину, і
до того ж лише одна.
Теорема 1. Через пряму
і не лежить на ній
точку проходить площину,
і до того ж тільки одна.
b
a
α
M