Alla sidor av en fyrkant är till en cirkel. De inskrivna och beskrivna fyrhörningarna och deras egenskaper är material för att förbereda sig för tentamen i matematik. Kriterium att en fyrhörning som består av två trianglar är inskriven i någon cirkel

Sats 1. Summan av de motsatta vinklarna för en inskriven fyrhörning är 180°.

Låt fyrhörningen ABCD inskrivas i en cirkel med centrum O (Fig. 412). Det krävs för att bevisa att ∠A + ∠C = 180° och ∠B + ∠D = 180°.

∠A, som inskrivet i cirkel O, mäter 1 / 2 \(\breve(BCD)\).

∠С, som inskrivet i samma cirkel, mäts med 1 / 2 \(\breve(BAD)\).

Därför mäts summan av vinklarna A och C med halva summan av bågarna BCD och BAD; sammantaget utgör dessa bågar en cirkel, dvs. har 360°.

Därför ∠A + ∠C = 360°: 2 = 180°.

Det bevisas på liknande sätt att ∠B + ∠D = 180°. Detta kan dock också härledas på annat sätt. Vi vet att summan av de inre vinklarna för en konvex fyrhörning är 360°. Summan av vinklarna A och C är 180°, vilket betyder att summan av fyrhörningens två andra vinklar också förblir 180°.

Sats 2 (omvänt). Om summan av två motstående vinklar i en fyrhörning är 180° , då kan en cirkel omskrivas om en sådan fyrhörning.

Låt summan av motstående vinklar på fyrhörningen ABCD vara 180°, nämligen

∠A + ∠C = 180° och ∠B + ∠D = 180° (Fig. 412).

Låt oss bevisa att en cirkel kan omskrivas runt en sådan fyrhörning.

Bevis. En cirkel kan ritas genom vilka tre hörn som helst av denna fyrhörning, till exempel genom punkterna A, B och C. Var kommer punkt D att ligga?

Punkt D kan bara inta en av följande tre positioner: vara inom cirkeln, vara utanför cirkeln, vara på cirkelns omkrets.

Låt oss anta att spetsen är inuti cirkeln och tar position D' (bild 413). Sedan i fyrhörningen ABCD' kommer vi att ha:

∠B + ∠D' = 2 d.

Fortsätter vi sidan AD' till skärningspunkten med cirkeln i punkten E och förbinder punkterna E och C, får vi den inskrivna fyrhörningen ABCE, i vilken enligt den direkta satsen

∠B + ∠E = 2 d.

Av dessa två likheter följer:

∠D' = 2 d-∠B;

∠E = 2 d-∠B;

men detta kan inte vara, eftersom ∠D', som utanför triangeln CD'E, måste vara större än vinkeln E. Därför kan punkten D inte vara inuti cirkeln.

Det är också bevisat att vertex D inte kan inta positionen D" utanför cirkeln (fig. 414).

Det återstår att inse att spetsen D måste ligga på cirkelns omkrets, d.v.s. sammanfalla med punkten E, vilket betyder att en cirkel kan omskrivas nära fyrhörningen ABCD.

Konsekvenser.

1. En cirkel kan omskrivas runt vilken rektangel som helst.

2. En cirkel kan omskrivas runt en likbent trapets.

I båda fallen är summan av de motsatta vinklarna 180°.

Sats 3. I den omskrivna fyrhörningen är summan av motsatta sidor lika. Låt fyrhörningen ABCD omskrivas kring en cirkel (Fig. 415), det vill säga dess sidor AB, BC, CD och DA tangerar denna cirkel.

Det krävs för att bevisa att AB + CD = AD + BC. Låt oss beteckna kontaktpunkterna med bokstäverna M, N, K, P. Baserat på egenskaperna hos tangenterna som dras till cirkeln från en punkt har vi:

Låt oss lägga till dessa jämlikheter term för term. Vi får:

AR + BP + DN + CN = AK + BM + DK + SM,

dvs AB + CD = AD + BC, vilket skulle bevisas.

Andra material

Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera eller kontakta en specifik person.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Följande är några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

• När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Från tid till annan kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden till dig.
• Vi kan också komma att använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande incitament kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Utlämnande till tredje part

Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.

Undantag:

• I händelse av att det är nödvändigt - i enlighet med lag, rättsordning, i rättsliga förfaranden och / eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga organ på Ryska federationens territorium - avslöja din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt för säkerhet, brottsbekämpning eller andra ändamål av allmänt intresse.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens efterträdare.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Upprätthålla din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker, kommunicerar vi sekretess- och säkerhetspraxis till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Avsnitt: Matematik, Tävling "Presentation för lektionen"

Presentation för lektionen

Tillbaka framåt

Uppmärksamhet! Förhandsvisningen av bilden är endast i informationssyfte och representerar kanske inte hela omfattningen av presentationen. Om du är intresserad av detta arbete, ladda ner den fullständiga versionen.

Mål.

Pedagogisk. Skapa förutsättningar för en framgångsrik assimilering av konceptet med den beskrivna fyrhörningen, dess egenskaper, egenskaper och bemästra färdigheterna för att tillämpa dem i praktiken.

Utvecklande. Utvecklingen av matematiska förmågor, skapandet av förutsättningar för förmågan att generalisera och tillämpa den direkta och omvända tankegången.

Pedagogisk. Öka en känsla av skönhet med ritningarnas estetik, överraska med det ovanliga

beslut, bildandet av organisation, ansvar för resultatet av deras arbete.

1. Studera definitionen av den omskrivna fyrhörningen.

2. Bevisa egenskapen för sidorna av den omskrivna fyrhörningen.

3. Introducera dualiteten av egenskaperna hos summan av motsatta sidor och motsatta vinklar för de inskrivna och omskrivna fyrhörningarna.

4. Att ge erfarenhet av praktisk tillämpning av de övervägda satserna vid problemlösning.

5. Genomför primär kontroll av nivån på assimilering av nytt material.

Utrustning:

• dator, projektor;
• lärobok "Geometri. Årskurs 10-11” för allmän utbildning. institutioner: grundläggande och profil. automatiska nivåer. A.V. Pogorelov.

Programvara: Microsoft Word, Microsoft Power Point.

Använda en dator för att förbereda en lärare för en lektion.

Använda standardprogrammet för Windows-operativsystemet skapat för lektionen:

1. Presentation.
2. Tabeller.
3. Ritningar.
4. Handout.

Lektionsplanering

Organisera tid. (2 minuter.)

Kollar läxor. (5 minuter.)

Att lära sig nytt material. (28 min.)

Självständigt arbete. (7 min.)

Läxor.(1 min.)

Sammanfattning av lektionen. (2 minuter.)

Under lektionerna

1. Organisatoriskt ögonblick. Hälsningar. Meddelande om ämnet och syftet med lektionen. Skriv datum och ämne för lektionen i anteckningsboken.

2. Kontrollera läxor.

3. Att lära sig nytt material.

Arbeta med begreppet den omskrivna polygonen.

Definition. Polygonen kallas beskrivs runt cirkeln om Allt hans sida oro någon cirkel.

Fråga. Vilka av de föreslagna polygonerna är avgränsade och vilka inte, och varför?

<Презентация. Слайд №2>

Bevis på egenskaperna hos den omskrivna fyrhörningen.

<Презентация. Слайд №3>

Sats. I den omskrivna fyrhörningen är summan av motsatta sidor lika.

Eleverna arbetar med läroboken, skriver ner formuleringen av satsen i en anteckningsbok.

1. Presentera påståendet om satsen i form av en villkorlig mening.

2. Vilket är satsens tillstånd?

3. Vad är slutsatsen av satsen?

Svar. Om fyrhörning omskriven kring en cirkel, sedan summan av motsatta sidor är lika.

Bevis genomförs, elever gör anteckningar i en anteckningsbok.

<Презентация. Слайд №4>

Lärare. Notera dualitet situationer för sidor och vinklar av omskrivna och inskrivna fyrhörningar.

Konsolidering av förvärvad kunskap.

Uppgifter.

De motsatta sidorna av den omskrivna fyrhörningen är 8 m och 12 m. Kan du hitta omkretsen?

Arbetsuppgifter enligt färdiga ritningar.<Презентация. Слайд №5>

Svar. 1. 10 m 2. 20 m 3. 21 m

Bevis på särdraget hos den omskrivna fyrhörningen.

Ange inverssatsen.

Svar. Om summan av motsatta sidor i en fyrhörning är lika, kan en cirkel inskrivas i den. (Återgå till bild 2, bild 7) <Презентация. Слайд №2>

Lärare. Förfina påståendet om satsen.

Sats. Om summan av motsatta sidor konvex fyrhörningar är lika, då kan en cirkel skrivas in i den.

Arbeta med läroboken. Att bekanta sig med beviset på tecknet för den beskrivna fyrkanten enligt läroboken.

Tillämpning av förvärvad kunskap.

3. Arbetsuppgifter enligt färdiga ritningar.

1. Är det möjligt att inskriva en cirkel i en fyrhörning med motsatta sidor 9 m och 4 m, 10 m och 3 m?

2. Är det möjligt att inskriva en cirkel i en likbent trapets med baser 1 m och 9 m, höjd 3 m?

<Презентация. Слайд №6>

Skriftligt arbete i anteckningsböcker

.

En uppgift. Hitta radien på en cirkel inskriven i en romb med diagonalerna 6 m och 8 m.

<Презентация. Слайд № 7>

4. Självständigt arbete.

1 alternativ

1. Är det möjligt att skriva in en cirkel

1) till en rektangel med sidorna 7 m och 10 m,

2. Motstående sidor av en fyrhörning omskriven kring en cirkel är 7 m och 10 m.

Hitta omkretsen av fyrhörningen.

3. En likbent trapets med baser på 4 m och 16 m är omskriven kring en cirkel.

1) radien för den inskrivna cirkeln,

Alternativ 2

1. Är det möjligt att skriva in en cirkel:

1) i ett parallellogram med sidor på 6 m och 13 m,

2) i en kvadrat?

2. Motstående sidor av en fyrhörning omskriven kring en cirkel är 9 m och 11 m. Hitta fyrhörningens omkrets.

3. En likbent trapets med en sidosida på 5 m är omskriven kring en cirkel med en radie på 2 m.

1) basen av trapetsen,

2) radien för den omskrivna cirkeln.

5. Läxor. P.86, nr 28, 29, 30.

6. Resultatet av lektionen. Självständigt arbete kontrolleras, betyg ges.

<Презентация. Слайд № 8>

Från Wikipedia, den fria encyklopedin

• I euklidisk geometri, inskriven fyrhörningär en fyrhörning där alla hörn ligger på samma cirkel. Denna cirkel kallas omskriven cirkel fyrhörning, och hörnen sägs ligga på samma cirkel. Centrum för denna cirkel och dess radie kallas respektive Centrum Och radie omskriven cirkel. Andra termer för denna fyrhörning: fyrhörningen ligger på samma cirkel, sidorna av den sista fyrhörningen är cirkelns ackord. Man brukar anta att en konvex fyrhörning är en konvex fyrhörning. Formlerna och egenskaperna nedan är giltiga i det konvexa fallet.
• De säger att om en cirkel kan omskrivas runt en fyrhörning, då fyrhörningen är inskriven i denna cirkel, och vice versa.

Allmänna kriterier för att en fyrhörning ska inskrivas

• Om en konvex fyrhörning $\backslash pi$ radian), det vill säga:

$\backslash angle\; A+\backslash angle\; C\; =\; \backslash angle\; B\; +\; \backslash angle\; D\; =\; 180^\backslash circ$

eller i figurens notation:

$\backslash alfa\; +\; \backslash gamma\; =\; \backslash beta\; +\; \backslash delta\; =\; \backslash pi\; =\; 180^(\backslash circ).$

• Det är möjligt att beskriva en cirkel runt vilken fyrhörning som helst, där fyra vinkelräta bisektrar av dess sidor (eller mediatriser av dess sidor, det vill säga vinkelräta till sidorna som går genom deras mittpunkter) skär varandra i en punkt.
• Det är möjligt att omskriva en cirkel om vilken fyrhörning som helst som har en yttre vinkel intill given inre vinkel, exakt lika med en annan inre vinkel motsatt givet inre hörn. I själva verket är detta tillstånd tillståndet av antiparallelism av två motsatta sidor av fyrhörningen. På fig. de yttre och intilliggande inre hörnen av den gröna femhörningen visas nedan.

$\backslash displaystyle\; AX\backslash cdot\; XC\; =\; BX\backslash cdot\; XD.$

• genomskärning X kan vara internt eller externt i cirkeln. I det första fallet får vi den inskrivna fyrhörningen är ABCD, och i det senare fallet får vi en inskriven fyrhörning ABDC. När man korsar inuti en cirkel säger ekvationen att produkten av längden på segmenten där punkten X delar en diagonal är lika med produkten av längderna av segmenten där punkten X delar den andra diagonalen. Detta tillstånd är känt som "korsande ackordssatsen". I vårt fall är diagonalerna för den inskrivna fyrhörningen cirkelns ackord.
• Ytterligare ett behörighetskriterium. Konvex fyrhörning ABCD en cirkel är inskriven om och endast om

$\backslash tan(\backslash frac(\backslash alpha)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash gamma)(2))=\backslash tan(\backslash frac(\backslash beta)(2))\backslash tan(\backslash frac(\backslash delta)(\; 2))=1.$

Särskilda kriterier för att en fyrhörning ska inskrivas

En inskriven enkel (utan självkorsningar) fyrhörning är konvex. En cirkel kan omskrivas om en konvex fyrhörning om och endast om summan av dess motsatta vinklar är 180° ( $\backslash pi$ radian). Du kan beskriva en cirkel runt:

• något antiparallelogram
• vilken rektangel som helst (ett specialfall av en kvadrat)
• någon likbent trapets
• vilken fyrhörning som helst med två motsatta vinklar rät.

Egenskaper

Formler med diagonaler

$ef=ac+bd$; $\backslash frac(e)(f)\; =\; \backslash frac(a\backslash cdot\; d+b\backslash cdot\; c)(a\backslash cdot\; b+c\backslash cdot\; d).$

I den sista formeln för paret av intilliggande sidor av täljaren a Och d, b Och c vila sina ändar på en diagonal av längd e. Ett liknande uttalande gäller för nämnaren.

• Formler för diagonala längder(konsekvenser ):

$e\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ad+bc))(ab+cd))$ Och $f\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((ac+bd)(ab+cd))(ad+bc))$

Formler med hörn

För en inskriven fyrhörning med en sekvens av sidor a , b , c , d, med semiperimeter sid och vinkel A mellan parterna a Och d, vinkelns trigonometriska funktioner A ges av formler

$\backslash cos\; A\; =\; \backslash frac(a^2\; +\; d^2\; -\; b^2\; -\; c^2)(2(ad\; +\; bc)),$ $\backslash sin\; A\; =\; \backslash frac(2\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)))((ad+bc)),$ $\backslash tan\; \backslash frac(A)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-a)(p-d))((p-b)(p-c))).$

Injektion θ mellan diagonalerna är :s.26

$\backslash tan\; \backslash frac(\backslash theta)(2)\; =\; \backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d))((p-a)(p-c))).$

• Om motsatta sidor a Och c skära i en vinkel φ , då är det lika med

$\backslash cos(\backslash frac(\backslash varphi)(2))=\backslash sqrt(\backslash frac((p-b)(p-d)(b+d)^2)((ab+cd)(ad+bc))),$

var sidär en halvperimeter. :s.31

Radie av en cirkel omskriven om en fyrhörning

Formel för Parameshvara (Parameshvara)

Om en fyrhörning med på varandra följande sidor a , b , c , d och semiperimeter sid en cirkel är inskriven, då är dess radie Parameswar formel:p. 84

$R=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(\backslash frac((ab+cd)(ad+bc)(ac+bd))((p-a)(p-b)(p-c)(p-d))).$

Den utvecklades av den indiske matematikern Parameswar på 1400-talet (ca 1380-1460)

• En konvex fyrhörning (se figuren till höger) bildad av fyra data direkt Mikel, är inskrivet i en cirkel om och endast om Miquel-punkten M av fyrhörningen ligger på linjen som förenar två av linjernas sex skärningspunkter (de som inte är hörn på fyrhörningen). Det vill säga när M ligger på EF.

Kriterium att en fyrhörning som består av två trianglar är inskriven i någon cirkel

$f^2\; =\; \backslash frac((ac+bd)(ad+bc))((ab+cd)).$

• Det sista villkoret ger ett uttryck för diagonalen f en fyrhörning inskriven i en cirkel, genom längden av dess fyra sidor ( a, b, c, d). Denna formel följer omedelbart när man multiplicerar och likställer med varandra de vänstra och högra delarna av formlerna som uttrycker essensen Ptolemaios första och andra satser(se ovan).

Kriterium att en fyrhörning avskuren av en rät linje från en triangel är inskriven i någon cirkel

• En rak linje, antiparallell mot sidan av triangeln och skär den, skär av en fyrhörning från den, runt vilken en cirkel alltid kan omskrivas.
• Följd. Nära ett antiparallellogram, där två motsatta sidor är antiparallella, är det alltid möjligt att beskriva en cirkel.

Arean av en fyrhörning inskriven i en cirkel

Varianter av Brahmagupta-formeln

$S=\backslash sqrt((p-a)(p-b)(p-c)(p-d)),$ där p är halvperimetern av fyrhörningen. $S=\; \backslash frac(1)(4)\; \backslash sqrt(-\; \backslash begin(vmatrix)$

a & b & c & -d \\ b & a & -d & c \\ c & -d & a & b \\ -d & c & b & a \end(vmatrix))

Andra områdesformler

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ab+cd)\backslash sin(B)$ $S\; =\; \backslash tfrac(1)(2)(ac+bd)\backslash sin(\backslash theta),$

var θ någon av vinklarna mellan diagonalerna. Förutsatt att vinkeln Aär inte rak kan arean också uttryckas som :s.26

$S\; =\; \backslash tfrac(1)(4)(a^2-b^2-c^2+d^2)\backslash tan(A).$ $\backslash displaystyle\; S=2R^2\backslash sin(A)\backslash sin(B)\backslash sin(\backslash theta),$

var Rär radien för den omskrivna cirkeln. Som en direkt konsekvens har vi ojämlikheten

$S\backslash le\; 2R^2,$

där likhet är möjlig om och endast om denna fyrhörning är en kvadrat.

Quadrangles of Brahmagupta

Brahmagupta fyrkantär en fyrhörning inskriven i en cirkel med heltalssidalängder, heltalsdiagonaler och heltalsarea. Alla möjliga Brahmagupta fyrhörningar med sidor a , b , c , d, med diagonaler e , f, med område S, och radien för den omskrivna cirkeln R kan erhållas genom att ta bort nämnare för följande uttryck som involverar rationella parametrar t , u, Och v :

$a=$ $b=(1+u^2)(v-t)(1+tv)$ $c=t(1+u^2)(1+v^2)$ $d=(1+v^2)(u-t)(1+tu)$ $e=u(1+t^2)(1+v^2)$ $f=v(1+t^2)(1+u^2)$ $S=uv$ $4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).$

Exempel

• Privata fyrhörningar inskrivna i en cirkel är: rektangel, kvadrat, likbent eller likbent trapets, antiparallelogram.

Fyrhörningar inskrivna i en cirkel med vinkelräta diagonaler (inskrivna ortodiagonala fyrhörningar)

Egenskaper för fyrhörningar inskrivna i en cirkel med vinkelräta diagonaler

Radie av den omskrivna cirkeln och arean

För en fyrhörning inskriven i en cirkel med vinkelräta diagonaler, anta att skärningspunkten mellan diagonalerna delar en diagonal i längdsegment sid 1 och sid 2 och delar den andra diagonalen i längdsegment q 1 och q 2. Sedan (den första likheten är proposition 11 i Archimedes " Lemmas bok)

$D^2=p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2,$

var D- cirkelns diameter. Detta är sant eftersom diagonalerna är vinkelräta mot cirkelns ackord. Av dessa ekvationer följer att radien för den omskrivna cirkeln R kan skrivas i formen

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(p\_1^2+p\_2^2+q\_1^2+q\_2^2)$

eller i termer av sidorna av en fyrhörning i formen

$R=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(a^2+c^2)=\backslash tfrac(1)(2)\backslash sqrt(b^2+d^2).$

Av detta följer också att

$a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2.$

• För inskrivna ortodiagonala fyrhörningar gäller Brahmaguptas sats:

Om en inskriven fyrhörning har vinkelräta diagonaler som skär varandra i en punkt $M$, sedan två par antimediatris passera genom punkten $M$.

Kommentar. I denna sats, antimediatris förstå segmentet $F.E.$ fyrhörning i figuren till höger (i analogi med den vinkelräta bisektrisen (mediatrix) mot sidan av triangeln). Den är vinkelrät mot ena sidan och passerar samtidigt genom mittpunkten på den motsatta sidan av fyrhörningen.

Skriv en recension om artikeln "Quadangles inscribed in a circle"

Anteckningar

1. Bradley, Christopher J. (2007), Geometrins algebra: kartesiska, areella och projektiva koordinater, Highperception, sid. 179, ISBN 1906338000, OCLC
2. . Inskrivna fyrhörningar.
3. Siddons, A.W. & Hughes, R.T. (1929), Trigonometri, Cambridge University Press, sid. 202, OCLC
4. Durell, C.V. & Robson, A. (2003), Courier Dover, ISBN 978-0-486-43229-8 ,
5. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger B. (2007), "", Forum Geometricorum T. 7: 147–9 ,
6. Johnson, Roger A., Avancerad euklidisk geometri, Dover Publ., 2007 (orig. 1929).
7. Hoehn, Larry (mars 2000), "Circumradius of a cyclic quadrilateral", Matematisk tidning T. 84 (499): 69–70
8. .
9. Altshiller-Court, Nathan (2007), College Geometry: En introduktion till den moderna geometrin av triangeln och cirkeln(2:a uppl.), Courier Dover, ss. 131, 137–8, ISBN 978-0-486-45805-2, OCLC
10. Honsberger, Ross (1995), . Episoder i 1800- och 1900-talets euklidiska geometri vol. 37, New Mathematical Library, Cambridge University Press, sid. 35–39, ISBN 978-0-88385-639-0
11. Weisstein, Eric W.(engelska) på Wolfram MathWorlds webbplats.
12. Bradley, Christopher (2011) ,
13. .
14. Coxeter, Harold Scott MacDonald & Greitzer, Samuel L. (1967), . Geometri återbesökt, Mathematical Association of America, s. 57, 60, ISBN 978-0-88385-619-2
15. .
16. Andreescu, Titu & Enescu, Bogdan (2004), . Matematisk Olympiad Treasures, Springer, ss. 44–46, 50, ISBN 978-0-8176-4305-8
17. .
18. Buchholz, R. H. & MacDougall, J. A. (1999), "", Bulletin från Australian Mathematical Society T. 59(2): 263–9 , DOI 10.1017/S0004972700032883
19. .
20. Johnson, Roger A., Avancerad euklidisk geometri, Dover Publ. co., 2007
21. , från. 74.
22. .
23. .
24. .
25. Peter, Thomas (september 2003), "Maximera arean av en fyrhörning", The College Mathematics Journal T. 34 (4): 315–6
26. Prasolov, Viktor, ,
27. Alsina, Claudi & Nelsen, Roger (2009), , , Mathematical Association of America, sid. 64, ISBN 978-0-88385-342-9 ,
28. Sastry, K.R.S. (2002). "" (PDF). Forum Geometricorum 2 : 167–173.
29. Posamentier, Alfred S. & Salkind, Charles T. (1970), . Utmanande problem i geometri(2:a uppl.), Courier Dover, ss. 104–5, ISBN 978-0-486-69154-1
30. .
31. .
32. .

se även

Efter antal sidor Korrekt trianglar Fyrhörningar se även

Artikeln innehåller korta ("Harvard") referenser till publikationer som inte är listade eller felaktigt beskrivna i den bibliografiska delen. Lista över icke-fungerande länkar: , , , , , , , , , , - Tja, vadå, min kosack? (Maria Dmitrievna kallade Natasha en kosack) - sa hon och smekte Natasha med sin hand, som närmade sig hennes hand utan rädsla och glatt. – Jag vet att drycken är en tjej, men jag älskar den. Från sitt enorma hårkors tog hon fram yakhonörhängen med päron och gav dem till Natasha, som strålade och rodnade på sin födelsedag, vände sig omedelbart bort från henne och vände sig till Pierre. – Eh, eh! snäll! kom hit”, sa hon med en hånfullt tyst och tunn röst. - Kom igen, min kära... Och hon kavlade upp ärmarna hotfullt ännu högre. Pierre kom fram och tittade naivt på henne genom sina glasögon. "Kom, kom, kära!" Jag berättade bara sanningen för din far, när han råkade vara det, och då befaller Gud dig. Hon pausade. Alla var tysta, väntade på vad som skulle komma och kände att det bara fanns ett förord. - Okej, inget att säga! god gosse!... Fadern ligger på sängen, och han roar sig, han sätter kvarten på en björn till häst. Skäms på dig, pappa, skäms på dig! Bättre att gå i krig. Hon vände sig bort och räckte fram sin hand till greven, som knappt kunde låta bli att skratta. - Jaha, till bordet, jag dricker te, är det dags? sa Marya Dmitrievna. Greven gick vidare med Marya Dmitrievna; sedan grevinnan, som leddes av en husaröverste, rätt person som Nikolai skulle hinna med regementet. Anna Mikhailovna är med Shinshin. Berg räckte sin hand till Vera. Leende Julie Karagina gick med Nikolai till bordet. Bakom dem kom andra par, som sträckte sig över hallen, och bakom dem helt ensamma, barn, lärare och guvernanter. Servitörerna rörde på sig, stolarna skramlade, musik spelades i körbåsen och gästerna slog sig ner. Ljudet från grevens hemmamusik ersattes av ljudet av knivar och gafflar, gästers röster, servitörernas tysta fotspår. I ena änden av bordet satt grevinnan i spetsen. Till höger är Marya Dmitrievna, till vänster är Anna Mikhailovna och andra gäster. I andra änden satt en greve, till vänster en husaröverste, till höger Shinshin och andra manliga gäster. På ena sidan långbordet, äldre ungdom: Vera bredvid Berg, Pierre bredvid Boris; å andra sidan barn, lärare och guvernanter. Bakom kristallen, flaskorna och vaserna med frukt tittade greven på sin fru och hennes höga mössa med blåa band och hällde flitigt upp vin till sina grannar utan att glömma sig själv. Också grevinnan, på grund av ananasarna, utan att glömma sina plikter som värdinna, kastade betydande blickar på sin man, vars kala huvud och ansikte, det tycktes henne, var skarpt särskiljda av sin rodnad från grått hår. Det blev ett regelbundet babbel i damernas ända; röster hördes högre och starkare på hanen, särskilt husaröversten, som åt och drack så mycket och rodnade mer och mer att greven redan ställde honom som ett exempel för andra gäster. Berg talade med ett milt leende med Vera om att kärlek är en känsla inte jordisk, utan himmelsk. Boris kallade sin nya vän Pierre för gästerna som satt vid bordet och bytte blickar med Natasha som satt mitt emot honom. Pierre pratade lite, tittade på nya ansikten och åt mycket. Med utgångspunkt från två soppor, från vilka han valde a la tortue, [sköldpadda,] och kulebyaki, och upp till ripa, saknade han inte en enda rätt och inte ett enda vin, som butlern i en flaska insvept i en servett mystiskt stack ut. från sin grannes axel och säger eller ”torka Madeira, eller ungerskt eller rhenvin. Han ersatte det första av de fyra kristallglasen med grevens monogram, som stod framför varje apparat, och drack med nöje och såg allt trevligare på gästerna. Natasha, som satt mitt emot honom, tittade på Boris, medan flickor på tretton år tittar på pojken som de precis hade kyssts med för första gången och som de är kära i. Samma blick av henne vände sig ibland till Pierre, och under blick av denna roliga, livliga flicka ville han skratta själv, utan att veta varför. Nikolai satt långt borta från Sonya, bredvid Julie Karagina, och igen, med samma ofrivilliga leende, talade han något till henne. Sonya log storartat, men uppenbarligen plågades hon av svartsjuka: hon blev blek, sedan rodnade hon och lyssnade med all kraft på vad Nikolai och Julie sa till varandra. Guvernanten såg sig oroligt omkring, som om hon förberedde sig på ett avslag, om någon tänkte på att förolämpa barnen. Den tyske handledaren försökte memorera kategorierna mat, desserter och viner för att beskriva allt i detalj i ett brev till sin familj i Tyskland, och blev mycket kränkt av det faktum att butlern, med en flaska insvept i en servett, omringade honom. Tysken rynkade pannan, försökte visa att han inte ville ta emot detta vin, men blev kränkt för att ingen ville förstå att han behövde vin inte för att släcka sin törst, inte av girighet, utan av samvetsgrann nyfikenhet. I den manliga änden av bordet blev samtalet mer och mer livligt. Översten berättade, att krigsförklaringsmanifestet redan hade publicerats i Petersburg, och att exemplaret, som han själv sett, nu hade överlämnats med kurir till överbefälhavaren. – Och varför är det svårt för oss att slåss med Bonaparte? sa Shinshin. - II a deja rabattu le caquet a l "Autriche. Je crains, que cette fois ce ne soit notre tour. [Han har redan slagit ner arrogansen från Österrike. Jag är rädd att vår tur inte skulle komma nu.] Översten var en kraftig, lång och glad tysk, uppenbarligen en kämpe och en patriot. Han blev kränkt av Shinshins ord. "Och då är vi en fet suverän," sa han och uttalade e istället för e och b istället för b. "Då, att kejsaren vet detta. Han sa i sitt manifest att han inte kan se likgiltigt på farorna som hotar Ryssland och att rikets säkerhet, dess värdighet och alliansernas helighet," sade han, av någon anledning särskilt lutande på ordet "facket", som om detta var hela kärnan i saken. Och med sitt ofelbara, officiella minne upprepade han manifestets inledande ord ... "och önskan, suveränens enda och oumbärliga mål, är att upprätta fred i Europa på solida grunder - de beslutade att skicka en del av armén nu utomlands och gör nya ansträngningar för att uppnå "denna avsikt". "Det här är varför, vi är en värdig suverän," avslutade han, drack instruktivt ett glas vin och tittade tillbaka på räkningen för uppmuntran. - Connaissez vous le proverbe: [Du känner till ordspråket:] "Yerema, Yerema, om du skulle sitta hemma, slipa dina spindlar", sa Shinshin och ryckte till och log. – Cela nous convient a merveille. [Detta är förresten för oss.] Varför Suvorov - och han var splittrad, en tallrik couture, [på huvudet,] och var är våra Suvorovs nu? Je vous demande un peu, [jag frågar dig] - han hoppade hela tiden från ryska till franska, sa han. "Vi måste kämpa till dagen efter bloddroppen," sa översten och slog i bordet, "och dö rrret för vår kejsare, och då kommer allt att bli bra." Och för att argumentera så mycket som möjligt (han drog särskilt fram sin röst på ordet "möjligt"), så lite som möjligt", avslutade han och vände sig åter mot greven. – Så vi dömer de gamla husarerna, så är det bara. Och hur dömer du, unge man och unge husar? tillade han och vände sig till Nikolai, som, då han hörde att saken handlade om kriget, lämnade sin samtalspartner och såg med alla ögon och lyssnade med alla öron på översten. ”Jag håller fullständigt med dig”, svarade Nikolai och spolade överallt, vände på tallriken och ordnade om glasen med en så bestämd och desperat blick, som om han för närvarande var i stor fara, ”jag är övertygad om att ryssarna måste dö eller vinn”, sa han och kände likaväl som andra, efter att ordet redan sagts, att det var för entusiastiskt och pompöst för det aktuella tillfället och därför besvärligt. - C "est bien beau ce que vous venez de dire, [Underbart! det du sa är underbart]," sa Julie, som satt bredvid honom och suckade. Sonya darrade överallt och rodnade till öronen, bakom öronen och till hennes nacke och axlar, medan Nikolai talade.Pierre lyssnade på överstens tal och nickade gillande med huvudet. "Det är trevligt", sa han. "En riktig husar, ung man," ropade översten och slog i bordet igen. - Vad pratar du om där? Marya Dmitrievnas basröst hördes plötsligt över bordet. Vad dunkar du i bordet för? hon vände sig mot husaren, "vem blir du upphetsad över? eller hur, tror du att fransmännen ligger framför dig? "Jag talar sanning", sa husaren och log. "Allt handlar om kriget", ropade greven över bordet. "Trots allt kommer min son, Marya Dmitrievna, min son kommer. – Och jag har fyra söner i armén, men jag sörjer inte. Allt är Guds vilja: du kommer att dö liggande på spisen, och Gud kommer att vara barmhärtig i strid, "lät den tjocka rösten av Marya Dmitrievna utan ansträngning, från andra änden av bordet. - Detta är sant. Och samtalet fokuserade återigen - damerna vid sin bordsände, männen vid deras. "Men du kommer inte att fråga," sa lillebrodern till Natasha, "men du kommer inte att fråga!" "Jag ska fråga," svarade Natasha. Hennes ansikte blossade plötsligt upp och uttryckte en desperat och glad beslutsamhet. Hon reste sig halvt och inbjöd Pierre, som satt mitt emot henne, att lyssna med en blick och vände sig mot sin mor: - Mamma! hennes barnsliga bröströst ljöd över hela bordet. - Vad vill du? frågade grevinnan skrämt, men när hon såg på dotterns ansikte att det var ett spratt, viftade hon strängt med handen och gjorde en hotfull och negativ gest med huvudet. Samtalet tystnade. - Mamma! vilken tårta blir det? – Natashas röst lät ännu mer resolut, utan att gå sönder. Grevinnan ville rynka pannan, men hon kunde inte. Marya Dmitrievna skakade på sitt tjocka finger. "Kosack", sa hon hotfullt. De flesta av gästerna tittade på de äldre, osäkra på hur de skulle ta detta jippo. - Här är jag! sa grevinnan. - Mamma! vad blir det för tårtan? Natasha ropade redan djärvt och nyckfullt glatt, förvissad på förhand om att hennes trick skulle tas emot väl. Sonya och feta Petya gömde sig för skratt. "Så jag frågade", viskade Natasha till sin lillebror och Pierre, som hon tittade på igen. "Glass, men de ger dig inte," sa Marya Dmitrievna. Natasha såg att det inte fanns något att vara rädd för, och därför var hon inte rädd för Marya Dmitrievna heller. — Marya Dmitrievna? vilken glass! Jag gillar inte smör. - Morot. - Nej Vad? Marya Dmitrievna, vilken? hon nästan skrek. - Jag vill veta! Marya Dmitrievna och grevinnan skrattade, och alla gäster följde efter. Alla skrattade inte åt Marya Dmitrievnas svar, utan åt det obegripliga modet och skickligheten hos denna flicka, som visste hur och vågade behandla Marya Dmitrievna på detta sätt. Natasha släpade efter bara när hon fick veta att det skulle bli ananas. Champagne serverades före glass. Återigen började musiken spela, greven kysste grevinnan, och gästerna reste sig, gratulerade grevinnan, klirrade glasen över bordet med greven, barnen och varandra. Åter sprang servitörerna in, stolarna skramlade och i samma ordning, men med rödare ansikten, återvände gästerna till salongen och grevens arbetsrum. Bostonborden flyttades isär, fester gjordes och grevens gäster inkvarterades i två vardagsrum, en soffa och ett bibliotek. Greven, som spred sina kort som ett fan, kunde knappt motstå vanan att ta en eftermiddagslur och skrattade åt allt. Ungdomen, uppvigd av grevinnan, samlades kring klavikordet och harpan. Julie var den första, på allas begäran, att spela ett stycke med variationer på harpan och började tillsammans med andra tjejer be Natasha och Nikolai, kända för sin musikalitet, att sjunga något. Natasha, som tilltalades som en stor, var tydligen väldigt stolt över detta, men hon var samtidigt blyg. - Vad ska vi sjunga? hon frågade. "Nyckeln", svarade Nikolai. - Nåväl, låt oss skynda oss. Boris, kom hit, sa Natasha. - Var är Sonya? Hon såg sig omkring och när hon såg att hennes vän inte var i rummet sprang hon efter henne. När hon sprang in i Sonyas rum och inte hittade sin vän där sprang Natasha in i barnkammaren - och Sonya var inte där. Natasha insåg att Sonya var i korridoren på en kista. Bröstet i korridoren var platsen för sorgerna för den kvinnliga unga generationen i Rostovs hus. Sannerligen, Sonya, i sin luftiga rosa klänning, som krossade den, lade sig med ansiktet nedåt på den smutsiga randiga barnskötarens fjäderbädd, på bröstet, och täckte sitt ansikte med fingrarna och grät bittert, darrande med sina bara axlar. Natashas ansikte, livligt, hela dagen lång, förändrades plötsligt: ​​hennes ögon stannade, sedan ryste hennes breda hals, läpparna sänkte. – Sonya! vad är du?... Vad är det med dig? Woo Woo!… Och Natasha, som spred sin stora mun och blev helt ful, vrålade som ett barn, utan att veta orsaken och bara för att Sonya grät. Sonya ville lyfta huvudet, ville svara, men hon kunde inte och gömde sig ännu mer. Natasha grät, satte sig på en blå fjäderbädd och kramade sin vän. Sonya samlade sina krafter och reste sig, började torka sina tårar och berätta. - Nikolenka åker om en vecka, hans ... tidning ... kom ut ... han sa till mig själv ... Ja, jag skulle inte gråta ... (hon visade pappret hon höll i handen: det var poesi skriven av Nikolai) Jag skulle inte gråta, men du kommer inte du kan... ingen kan förstå... vilken själ han har. Och hon började gråta igen för att hans själ var så god. "Det är bra för dig ... jag avundas inte ... jag älskar dig, och Boris också," sa hon och samlade sina krafter lite, "han är söt ... det finns inga hinder för dig. Och Nikolai är min kusin... det är nödvändigt... metropoliten själv... och det är omöjligt. Och sedan, om min mamma ... (Sonya övervägde grevinnan och ringde sin mamma), kommer hon att säga att jag förstör Nikolais karriär, jag har inget hjärta, att jag är otacksam, men rätt ... av Gud ... ( hon korsade sig) Jag älskar henne också så mycket, och ni alla, bara Vera är en... För vad? Vad gjorde jag med henne? Jag är så tacksam mot dig att jag gärna skulle offra allt, men jag har ingenting ... Sonya kunde inte längre prata och gömde återigen sitt huvud i händerna och fjäderbädden. Natasha började lugna ner sig, men det var tydligt i hennes ansikte att hon förstod vikten av sin väns sorg. – Sonya! sa hon plötsligt, som om hon gissade den verkliga orsaken till hennes kusins ​​sorg. "Okej, pratade Vera med dig efter middagen?" Ja? – Ja, Nikolai skrev själv de här dikterna, och jag skrev av andra; hon hittade dem på mitt bord och sa att hon skulle visa dem för mamma, och sa också att jag var otacksam, att mamma aldrig skulle tillåta honom att gifta sig med mig, och han skulle gifta sig med Julie. Du ser hur han är med henne hela dagen ... Natasha! För vad?… Och återigen grät hon bittert. Natasha lyfte upp henne, kramade henne och började trösta henne med ett leende genom hennes tårar. "Sonya, lita inte på henne, älskling, inte. Kommer du ihåg hur vi alla tre pratade med Nikolenka i soffrummet; minns du efter middagen? Vi har trots allt bestämt hur det ska bli. Jag minns inte hur, men kom ihåg hur allt var bra och allt är möjligt. Farbror Shinshins bror är gift med en kusin, och vi är andra kusiner. Och Boris sa att det är mycket möjligt. Du vet, jag berättade allt för honom. Och han är så smart och så bra," sa Natasha ... "Du, Sonya, gråt inte, min kära, älskling, Sonya. Och hon kysste henne och skrattade. – Tron är ond, Gud vare med henne! Och allt kommer att bli bra, och hon kommer inte att berätta för sin mor; Nikolenka kommer att berätta för sig själv, och han tänkte inte ens på Julie. Och hon kysste henne på huvudet. Sonya reste sig, och kattungen piggnade till, hans ögon gnistrade, och han verkade redo att vifta med svansen, hoppa på sina mjuka tassar och leka med bollen igen, eftersom det var rätt för honom. - Tror du? Höger? Av Gud? sa hon och rätade snabbt till klänningen och håret. - Okej, vid gud! - svarade Natasha och rätade ut sin vän under en lie ett hårstrå som hade fallit av. Och de skrattade båda två. - Nåväl, låt oss sjunga "Key". - Låt oss gå till. – Och du vet, den här tjocke Pierre, som satt mitt emot mig, är så rolig! sa Natasha plötsligt och stannade. – Jag har väldigt roligt! Och Natasha sprang nerför korridoren. Sonya, som borstade bort luddet och gömde dikterna i sin barm, till halsen med utskjutande bröstben, med lätta, muntra steg, med rodnad ansikte, sprang efter Natasha längs korridoren till soffan. På gästernas begäran sjöng de unga "Key"-kvartetten, som alla tyckte mycket om; då sjöng Nikolai sången han hade lärt sig igen. En trevlig natt, i månsken, Tänk att vara glad Att det finns någon annan i världen Vem tänker på dig också! Att hon, med en vacker hand, Går längs den gyllene harpan, Med sin passionerade harmoni Ringer till sig själv, ringer dig! En annan dag, två, och paradiset kommer ... Men ah! din vän kommer inte att leva! Och de sista orden hade han ännu inte sjungit färdigt, när ungdomen i salen förberedde sig för dans och musikerna i körerna smattrade med fötterna och hostade. Pierre satt i vardagsrummet, där Shinshin, liksom med en besökare från utlandet, startade ett politiskt samtal med honom som var tråkigt för Pierre, som fick sällskap av andra. När musiken började kom Natasha in i vardagsrummet och gick rakt fram till Pierre, skrattande och rodnade, sa: "Mamma sa åt mig att be dig dansa. "Jag är rädd för att förvirra siffrorna," sa Pierre, "men om du vill bli min lärare ... Och han sträckte ut sin tjocka hand och sänkte den lågt till den smala flickan. Medan paren ställde upp och musikerna byggde satte sig Pierre med sin lilla dam. Natasha var helt lycklig; hon dansade med en stor som kom från utlandet. Hon satt framför alla och pratade med honom som en stor. Hon hade en solfjäder i handen som en ung dam gav henne att hålla. Och när hon tog den mest sekulära ställningen (Gud vet var och när hon lärde sig detta), pratade hon med sin gentleman, med en fläkt och log genom fläkten. - Vad är det, vad är det? Titta, titta, - sa den gamla grevinnan och gick genom hallen och pekade på Natasha. Natasha rodnade och skrattade. - Ja, vad är du, mamma? Tja, vad letar du efter? Vad är det som förvånar här? Mitt i den tredje ecossaisen började stolarna i salongen, där greven och Marya Dmitrievna lekte, röra sig, och de flesta av de ärade gästerna och gubbarna sträckte sig efter ett långt sittande och stoppade plånböcker och plånböcker i sina fickor, gick ut genom dörrarna till hallen. Marya Dmitrievna gick fram med greven, båda med glada miner. Med lekfull artighet, som på balettmanér, sträckte greven sin rundade hand till Marya Dmitrievna. Han rätade upp sig och hans ansikte lyste upp av ett synnerligen tappert slug leende, och så snart den sista figuren av ekossaisen hade dansats, klappade han händerna för musikerna och ropade mot körerna och vände sig mot första fiolen: - Semyon! Känner du Danila Kupor? Det var grevens favoritdans, dansad av honom i sin ungdom. (Danilo Kupor var faktiskt en anglaisefigur.) "Titta på pappa," ropade Natasha till hela salen (glömde helt bort att hon dansade med en stor), böjde sitt lockiga huvud till knäna och brast ut i sitt ljudliga skratt i hela salen. Alla i salen såg verkligen med ett glädjeleende på den glada gamle mannen, som bredvid sin dignitära dam, Marya Dmitrievna, som var längre än han, rundade sina armar, skakade dem i takt, rätade ut sina axlar, vred sina axlar. ben, lätt stampade med fötterna och med ett mer och mer blommande leende på sitt runda ansikte förberedde han publiken för vad som komma skulle. Så fort de glada, trotsiga ljuden av Danila Kupor, liknande en glad skramlare, hördes, tvingades plötsligt alla dörrar till salen på ena sidan av en man, på andra sidan av kvinnliga leende ansikten på innergårdar som kom ut till titta på den glade herren. - Pappa är vår! Örn! sa barnskötaren högt från ena dörren. Greven dansade bra och visste det, men hans fru visste inte hur och ville inte dansa bra. Hennes väldiga kropp stod upprätt med sina kraftfulla armar hängande nedåt (hon räckte hårkorset till grevinnan); bara hennes stränga men vackra ansikte dansade. Det som uttrycktes i grevens hela runda figur, med Marya Dmitrievna, uttrycktes bara i ett mer och mer leende ansikte och en ryckande näsa. Men å andra sidan, om greven, mer och mer spridd, fängslade publiken med det oväntade av skickliga trick och lätta hopp av hennes mjuka ben, Marya Dmitrievna, med minsta iver att röra sina axlar eller runda armarna i tur och ordning och stampande, gjorde inte mindre intryck på förtjänsten, som uppskattades av alla på hennes korpulens och eviga stränghet. Dansen blev mer och mer livlig. Motparterna kunde inte dra uppmärksamheten till sig själva en minut och försökte inte ens göra det. Allt ockuperades av greven och Marya Dmitrievna. Natasha ryckte i ärmarna och klänningarna på alla närvarande, som redan inte tog blicken från dansarna, och krävde att de skulle titta på pappa. Under dansens intervaller tog greven ett djupt andetag, vinkade och ropade till musikerna att de skulle spela snabbare. Snabbare, snabbare och snabbare, mer och mer och mer, vecklade greven ut sig, nu på tå, nu på hälar, rusande runt Marya Dmitrievna och till sist vände han sin dam till sin plats, tog det sista steget, höjde sitt mjuka ben uppåt från bakom, böjer sitt svettiga huvud med ett leende ansikte och viftar runt med sin högra hand mitt i dånet av applåder och skratt, särskilt Natasha. Båda dansarna stannade, andades tungt och torkade sig med cambriska näsdukar. "Så här dansade de i vår tid, ma chere", sa greven. – Åh ja Danila Kupor! sa Marya Dmitrievna och släppte ut andan tungt och oavbrutet och kavlade upp ärmarna. Medan den sjätte anglaisen dansades i Rostovs sal till ljudet av trötta musiker som var urstämda, och de trötta servitörerna och kockarna förberedde middagen, ägde det sjätte slaget rum med greve Bezukhim. Läkarna meddelade att det inte fanns något hopp om återhämtning; patienten fick en döv bekännelse och nattvard; förberedelser vidtogs för uppsålningen, och huset var fullt av väsen och förväntansångest, vanligt vid sådana stunder. Utanför huset, bakom portarna, trängdes begravningsentreprenörer, gömde sig för de annalkande vagnarna, i väntan på en rik order till grevens begravning. Moskvas överbefälhavare, som ständigt skickade adjutanter för att lära sig om grevens ställning, kom den kvällen själv för att ta farväl av den berömda Katarinas adelsman, greve Bezukhim. Det magnifika mottagningsrummet var fullt. Alla reste sig respektfullt när överbefälhavaren, efter att ha varit ensam med patienten i ungefär en halvtimme, kom ut därifrån, lätt svarade på pilbågarna och så fort som möjligt försökte komma förbi ögonen på läkare, präster och anhöriga. fast på honom. Prins Vasilij, som hade blivit smalare och blekare nuförtiden, avsåg överbefälhavaren och upprepade tyst något för honom flera gånger. Efter att ha sett av överbefälhavaren satt prins Vasily ensam i hallen på en stol, kastade benen högt över benen, vilade armbågen på knäet och slöt ögonen med handen. Efter att ha suttit så här en tid reste han sig och gick med ovanligt hastiga steg och såg sig omkring med skrämda ögon genom en lång korridor till den bakre halvan av huset, till den äldre prinsessan. De som befann sig i det svagt upplysta rummet talade i en ojämn viskning sinsemellan och tystnade varje gång och tittade med ögon fulla av frågor och förväntan tillbaka på dörren som ledde till den döende mannens kammare och gjorde ett svagt ljud när någon lämnade den eller gick in i den. "Den mänskliga gränsen," sa den gamle mannen, en präst, till damen som satte sig bredvid honom och naivt lyssnade på honom, "gränsen är satt, men du kan inte passera den." – Jag tror att det inte är för sent att slockna? - lägga till en andlig titel, frågade damen, som om hon inte hade någon åsikt i denna fråga.

Exempel på beskrivna fyrhörningar är deltoider, som inkluderar romber, som i sin tur inkluderar kvadrater. Deltoider är exakt de omskrivna fyrhörningar som också är ortodiagonala. Om en fyrhörning är en omskriven och inskriven fyrhörning kallas den bicentral.

Egenskaper

I den beskrivna fyrhörningen skär fyra bisektrar i mitten av cirkeln. Omvänt måste en konvex fyrhörning där fyra bisektrar skär varandra i en punkt omskrivas, och halveringslinjens skärningspunkt är den inskrivna cirkelns centrum.

Om motsatta sidor i en konvex fyrhörning ABCD(som inte är en trapets) skär varandra i punkter E Och F, då tangerar de cirkeln om och endast om

B E + B F = D E + D F (\displaystyle \displaystyle BE+BF=DE+DF) A E − E C = A F − F C . (\displaystyle \displaystyle AE-EC=AF-FC.)

Den andra jämställdheten är nästan densamma som jämställdheten i Urquharts teorem. Skillnaden finns bara i tecken - i Urquharts sats summorna, och här skillnaderna (se figuren till höger).

Ett annat nödvändigt och tillräckligt villkor är en konvex fyrhörning ABCD beskrivs om och endast om de inskrivna trianglarna ABC Och ADC cirklarna berör varandra.

Beskrivning vid hörnen som bildas av diagonalen BD med sidor av en fyrhörning ABCD, tillhör Iosifescu. Han bevisade 1954 att en konvex fyrhörning har en inskriven cirkel om och bara om

tan ⁡ ∠ A B D 2 ⋅ tan ⁡ ∠ B D C 2 = tan ⁡ ∠ A D B 2 ⋅ tan ⁡ ∠ D B C 2 . (\displaystyle \tan (\frac (\angle ABD)(2))\cdot \tan (\frac (\angle BDC)(2))=\tan (\frac (\angle ADB)(2))\cdot \tan (\frac (\angle DBC)(2)).) R a R c = R b R d (\displaystyle R_(a)R_(c)=R_(b)R_(d)),

var R a , R b , R c , R där radierna för cirklar som externt tangerar sidorna a, b, c, d respektive och fortsättningarna av intilliggande sidor på varje sida.

Några andra beskrivningar är kända för de fyra trianglarna som bildas av diagonalerna.

Specialsnitt

Åtta tangentsegment av den omskrivna fyrhörningen är segmenten mellan hörnen och kontaktpunkterna på sidorna. Varje vertex har två lika tangentsegment.

Kontaktpunkterna bildar en inskriven fyrhörning.

Område

Icke-trigonometriska formler

K = 1 2 p 2 q 2 − (ac − bd) 2 (\displaystyle K=(\tfrac (1)(2))(\sqrt (p^(2)q^(2)-(ac-bd) ^(2)))),

ger area i termer av diagonaler sid, q och fester a, b, c, d tangent fyrhörning.

Arean kan också representeras i termer av tangentsegment (se ovan). Om de betecknas med e, f, g, h, då har tangentfyrhörningen area

K = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) . (\displaystyle K=(\sqrt ((e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef))))

Dessutom kan arean av en tangentfyrhörning uttryckas i termer av sidor a, b, c, d och motsvarande längder av tangentsegment e, f, g, h

K = a b c d − (t.ex. − f h) 2 . (\displaystyle K=(\sqrt (abcd-(t.ex.-fh)^(2))).)

I den mån som t.ex = fh om och bara om det också är inskrivet, får vi den maximala arean a b c d (\displaystyle (\sqrt(abcd))) kan endast uppnås på fyrhörningar som är både omskrivna och inskrivna samtidigt.

Trigonometriska formler

K = a b c d sin ⁡ A + C 2 = a b c d sin ⁡ B + D 2 . (\displaystyle K=(\sqrt (abcd))\sin (\frac (A+C)(2))=(\sqrt (abcd))\sin (\frac (B+D)(2)).)

För en given produkt av sidor kommer arean att vara maximal när fyrhörningen också är en inskriven. I detta fall K = a b c d (\displaystyle K=(\sqrt (abcd))), eftersom motsatta vinklar är komplementära. Detta kan bevisas på ett annat sätt, med hjälp av matematisk analys.

En annan formel för arean av en omskriven fyrhörning ABCD, med två motsatta vinklar

K = (OA ⋅ OC + OB ⋅ OD) sin ⁡ A + C 2 (\displaystyle K=\left(OA\cdot OC+OB\cdot OD\right)\sin (\frac (A+C)(2) )),

var Oär mitten av den inskrivna cirkeln.

I själva verket kan area bara uttryckas i termer av två intilliggande sidor och två motsatta vinklar.

K = a b sin ⁡ B 2 csc ⁡ D 2 sin ⁡ B + D 2 . (\displaystyle K=ab\sin (\frac (B)(2))\csc (\frac (D)(2))\sin (\frac (B+D)(2)).) K = 12 | (a c − b d) tan ⁡ θ | , (\displaystyle K=(\tfrac (1)(2))|(ac-bd)\tan (\theta )|,)

var θ vinkel (vilken som helst) mellan diagonalerna. Formeln är inte tillämplig på fallet med deltoider, eftersom i detta fall θ är 90° och tangenten är inte definierad.

ojämlikheter

Som nämnts i förbigående ovan, området för en tangentpolygon med sidor a, b, c, d tillfredsställer ojämlikheten

K ≤ a b c d (\displaystyle K\leq (\sqrt (abcd)))

och jämlikhet uppnås om och endast om fyrhörningen är det bicentral.

Enligt T. A. Ivanova (1976), semiperimetern s omskriven fyrhörning tillfredsställer ojämlikheten

s ≥ 4r (\displaystyle s\geq 4r),

var rär radien för den inskrivna cirkeln. Ojämlikhet förvandlas till likhet om och endast om fyrhörningen är en kvadrat. Det betyder att för området K = rs, ojämlikheten

K ≥ 4 r 2 (\displaystyle K\geq 4r^(2))

med övergången till likhet om och endast om fyrhörningen är en kvadrat.

Egenskaper hos delar av en fyrhörning

Fyra linjesegment mellan centrum av den inskrivna cirkeln och kontaktpunkterna delar fyrhörningen i fyra rektangulär deltoid?!.

Om en rät linje delar den omskrivna fyrhörningen i två polygoner med lika stora ytor och lika omkretsar, så går denna linje genom mitten.

Inskriven cirkelradie

Radien för den inskrivna cirkeln av en inskriven fyrhörning med sidor a, b, c, d ges av formeln

r = K s = Ka + c = K b + d (\displaystyle r=(\frac (K)(s))=(\frac (K)(a+c))=(\frac (K)( b+d))),

var Kär arean av fyrhörningen, och s- semiperimeter. För omskrivna fyrhörningar med en given halvperimeter är radien för den inskrivna cirkeln maximal när fyrhörningen också är en inskriven.

När det gäller tangentsegment, radien för den inskrivna cirkeln.

r = e f g + f g h + g h e + h e f e + f + g + h . (\displaystyle \displaystyle r=(\sqrt (\frac (efg+fgh+ghe+hef)(e+f+g+h)))))

Radien för den inskrivna cirkeln kan också uttryckas i termer av avståndet från mitten O till hörnen på den omskrivna fyrhörningen ABCD. Om u = AO, v=BO, x=CO Och y=DO, då

r = 2 (σ − uvx) (σ − vxy) (σ − xyu) (σ − yuv) uvxy (uv + xy) (ux + vy) (uy + vx) (\displaystyle r=2(\sqrt (\ frac ((\sigma -uvx)(\sigma -vxy)(\sigma -xyu)(\sigma -yuv))(uvxy(uv+xy)(ux+vy)(uy+vx))))),

var σ = 1 2 (u v x + v x y + x y u + y u v) (\displaystyle \sigma =(\tfrac (1)(2))(uvx+vxy+xyu+yuv)) .

Formler för vinklar

Om e, f, g Och h tangentsegment från hörn A, B, C Och D respektive till cirkelns tangenspunkter med fyrhörningen ABCD, då kan fyrhörningens vinklar beräknas med formlerna

sin ⁡ A 2 = efg + fgh + ghe + hef (e + f) (e + g) (e + h) , (\displaystyle \sin (\frac (A)(2))=(\sqrt (\frac) (efg+fgh+ghe+hef)((e+f)(e+g)(e+h))))),) sin ⁡ B 2 = efg + fgh + ghe + hef (f + e)​(f + g) (f + h) , (\displaystyle \sin (\frac (B)(2))=(\sqrt ( \frac (efg+fgh+ghe+hef)((f+e)(f+g)(f+h)))),) sin ⁡ C 2 = efg + fgh + ghe + hef (g + e)​(g + f) (g + h) , (\displaystyle \sin (\frac (C)(2))=(\sqrt ( \frac (efg+fgh+ghe+hef)((g+e)(g+f)(g+h))))),) sin ⁡ D 2 = e f g + f g h + g h e + h e f (h + e) ​​​​(h + f) (h + g) . (\displaystyle \sin (\frac (D)(2))=(\sqrt (\frac (efg+fgh+ghe+hef)((h+e)(h+f)(h+g))))) .)

Vinkel mellan ackorden KM Och LN ges av formel (se figur)

sin ⁡ φ = (e + f + g + h) (e f g + f g h + g h e + h e f) (e + f) (f + g) (g + h) (h + e) (\displaystyle \sin (\varphi )=(\sqrt (\frac ((e+f+g+h)(efg+fgh+ghe+hef))((e+f)(f+g)(g+ h) )(h+e))))))

Diagonaler

Om e, f, g Och här segment av tangenter från A, B, C Och D till tangenspunkterna för den inskrivna cirkeln med fyrhörningen ABCD, sedan längden på diagonalerna p=AC Och q=BD likvärdig

p = e + gf + h ((e + g) (f + h) + 4 fh), (\displaystyle \displaystyle p=(\sqrt ((\frac (e+g)(f+h))(\ Stora ()(e+g)(f+h)+4fh(\Big)))),) q = f + h e + g ((e + g) (f + h) + 4 e g). (\displaystyle \displaystyle q=(\sqrt ((\frac (f+h)(e+g))(\Big ()(e+g)(f+h)+4eg(\Big)))). )

Touch point ackord

Om e, f, g Och här segment från hörnen till tangentpunkterna, då är längderna på ackorden till de motsatta tangentpunkterna

k = 2 (efg + fgh + ghe + hef) (e + f) (g + h) (e + g) (f + h) , (\displaystyle \displaystyle k=(\frac (2(efg+fgh+ ghe) +hef))(\sqrt ((e+f)(g+h)(e+g)(f+h))))),) l = 2 (efg + fgh + ghe + hef) (e + h) (f + g) (e + g) (f + h) , (\displaystyle \displaystyle l=(\frac (2(efg+fgh+ ghe) +hef))(\sqrt ((e+h)(f+g)(e+g)(f+h))))),)

var är ackordet k ansluter sidor till längder a = e + f Och c = g + h, och ackordet l förbinder sidorna med en längd b = f + g Och d = h + e. Kvadraten på förhållandet mellan ackorden uppfyller förhållandet

k 2 l 2 \u003d b d a c. (\displaystyle (\frac (k^(2))(l^(2)))=(\frac (bd)(ac)).)

Två ackord

Ackord mellan sidorna AB Och CD i den omskrivna fyrhörningen ABCD längre än ackordet mellan sidorna före Kristus Och DA om och endast om medianlinjen mellan sidorna AB Och CD kortare än medianlinjen mellan sidorna före Kristus Och DA .

Om den omskrivna fyrhörningen ABCD har kontaktpunkter M på AB Och N på CD och ackord MN korsar diagonalen BD vid punkten P, sedan förhållandet mellan tangenternas segment B M D N (\displaystyle (\tfrac (BM)(DN)))är lika med förhållandet B P D P (\displaystyle (\tfrac (BP)(DP))) diagonala segment BD.

kolinjära punkter

Om M1 Och M2är diagonalernas mittpunkter AC Och BD respektive i den omskrivna fyrhörningen ABCD O, och par av motsatta sidor skär varandra vid punkter E Och F Och M3- mitten av segmentet EF, sedan poängen M3, M1, O, Och M2 ligga på en rät linje. Den räta linjen som förbinder dessa punkter kallas fyrhörningens Newtonlinje.

E Och F, och förlängningarna av de motsatta sidorna av fyrhörningen som bildas av kontaktpunkterna skär varandra vid punkterna T Och S, sedan fyra poäng E, F, T Och S ligga på samma linje

AB, före Kristus, CD, DA på punkter M, K, N Och L respektive, och om T M, T K, T N, T Lär isotomiskt konjugerade punkter för dessa punkter (dvs. PÅ M = BM etc.), sedan Nagel poäng definieras som skärningspunkten mellan linjer T N T M Och T K T L. Båda dessa linjer delar omkretsen av fyrhörningen i två lika delar. Ännu viktigare är dock Nagel-punkten F, "area centroid" G och mitten av den inskrivna cirkeln O ligga på samma räta linje, och QG = 2GÅ. Denna linje kallas raka Nagel avgränsad fyrhörning.

I den omskrivna fyrhörningen ABCD med mitten av den inskrivna cirkeln O P, låt vara HM, H K, H N, H Lär trianglarnas ortocenter AOB, BOC, TORSK Och DOA respektive. Sedan poängen P, HM, H K, H N Och H L ligga på samma linje.

Konkurrenskraftiga och vinkelräta linjer

Två diagonaler av en fyrhörning och två ackord som förbinder motsatta kontaktpunkter (motsatta hörn på en inskriven fyrhörning) är sammanhängande (det vill säga de skär varandra i en punkt). För att visa detta kan vi använda ett specialfall av Brianchons sats, som säger att en hexagon, vars alla sidor tangerar ett koniskt snitt, har tre diagonaler som skär varandra i en punkt. Från den beskrivna fyrhörningen är det lätt att få en hexagon med två 180° vinklar genom att infoga två nya hörn i motsatta tangentpunkter. Alla sex sidorna av den resulterande hexagonen tangerar incirkeln, så att dess diagonaler skär varandra i en punkt. Men två diagonaler av hexagonen sammanfaller med diagonalerna på fyrhörningen, och den tredje diagonalen passerar genom de motsatta kontaktpunkterna. Genom att upprepa samma resonemang för de andra två beröringspunkterna får vi det önskade resultatet.

Om den inskrivna cirkeln tangerar sidorna AB, före Kristus, CD Och DA på punkter M, K, N, L respektive, sedan raka linjer MK, LN Och AC konkurrenskraftig.

Om förlängningarna av motsatta sidor av den omskrivna fyrhörningen skär varandra i punkter E Och F, och diagonalerna skär varandra vid en punkt P, sedan den raka linjen EF vinkelrätt mot fortsättningen OP, var Oär mitten av den inskrivna cirkeln.

Inskrivna cirkelegenskaper

Förhållandet mellan två motsatta sidor av den omskrivna fyrhörningen kan uttryckas i termer av avstånd från centrum av den inskrivna cirkeln O till berörda parter

A B C D = O A ⋅ O B O C ⋅ O D , B C D A = O B ⋅ O C O D ⋅ O A . (\displaystyle (\frac (AB)(CD))=(\frac (OA\cdot OB)(OC\cdot OD)),\quad \quad (\frac (BC)(DA))=(\frac ( OB\cdot OC)(OD\cdot OA)).)

Produkten av två intilliggande sidor av en omskriven fyrhörning ABCD med mitten av den inskrivna cirkeln O tillfredsställer förhållandet

A B ⋅ B C = O B 2 + O A ⋅ O B ⋅ O C O D . (\displaystyle AB\cdot BC=OB^(2)+(\frac (OA\cdot OB\cdot OC)(OD)).)

Om O- centrum för fyrhörningens inskrivna cirkel ABCD, då

O A ⋅ O C + O B ⋅ O D = A B ⋅ B C ⋅ C D ⋅ D A . (\displaystyle OA\cdot OC+OB\cdot OD=(\sqrt (AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA)).)

Mitten av den inskrivna cirkeln O sammanfaller med "centroid vertices" av fyrhörningen om och endast om

O A ⋅ O C = O B ⋅ O D . (\displaystyle OA\cdot OC=OB\cdot OD.)

Om M1 Och M2är diagonalernas mittpunkter AC Och BD respektive alltså

OM 1 OM 2 = OA ⋅ OCOB ⋅ OD = e + gf + h , (\displaystyle (\frac (OM_(1))(OM_(2)))=(\frac (OA\cdot OC)(OB\cdot OD))=(\frac (e+g)(f+h)),)

var e, f, g Och h- segment av tangenter vid hörnen A, B, C Och D respektive. Genom att kombinera den första likheten med den sista får vi att "centrumpunkten" för den omskrivna fyrhörningen sammanfaller med den inskrivna cirkelns centrum om och endast om centrum för den inskrivna cirkeln ligger mitt emellan diagonalernas mittpunkter.

1 r 1 + 1 r 3 = 1 r 2 + 1 r 4 . (\displaystyle (\frac (1)(r_(1)))+(\frac (1)(r_(3)))=(\frac (1)(r_(2)))+(\frac (1) )(r_(4))).)

Denna egenskap hade bevisats fem år tidigare av Weinstein. För att lösa sitt problem gavs en liknande egenskap av Vasiliev och Senderov. Om genom h M , h K , h N och h L betecknar höjderna på samma trianglar (sjunkna från skärningspunkten mellan diagonalerna P), då är fyrhörningen omskriven om och endast om

1 h M + 1 h N = 1 h K + 1 h L. (\displaystyle (\frac (1)(h_(M)))+(\frac (1)(h_(N)))=(\frac (1)(h_(K)))+(\frac (1) )(h_(L))).)

En annan liknande egenskap gäller för radierna för cirklar r M , r K , r N Och r L för samma fyra trianglar (fyra excirklar tangerar var och en av sidorna på fyrhörningen och diagonalernas förlängningar). En fyrhörning är omskriven om och endast om

1 rM + 1 rN = 1 rK + 1 rL. (\displaystyle (\frac (1)(r_(M)))+(\frac (1)(r_(N)))=(\frac (1)(r_(K)))+(\frac (1) )(r_(L))).)

Om R M , R K , R N och R L - radier av omslutna cirklar av trianglar APB, BPC, CPD Och DPA respektive, sedan triangeln ABCD beskrivs om och endast om

RM + RN = RK + RL. (\displaystyle R_(M)+R_(N)=R_(K)+R_(L).)

1996 verkar Weinstein ha varit den första att bevisa ytterligare en anmärkningsvärd egenskap hos omskrivna fyrhörningar, som senare dök upp i flera tidningar och webbplatser. Egenskapen anger att om en konvex fyrhörning är uppdelad i fyra icke-överlappande trianglar med sina diagonaler, ligger dessa trianglars incirkelcentrum på samma cirkel om och endast om fyrhörningen är en omskriven. De inskrivna cirklarnas mittpunkter bildar faktiskt ett ortodiagonalt inskrivet fyra hörn. Här kan de inskrivna cirklarna ersättas med excirklar (tangenter mot sidorna och fortsättningarna av fyrhörningens diagonaler). Då omskrivs en konvex fyrhörning om och endast om excirkelernas mittpunkter är hörnen på den inskrivna fyrhörningen.

Konvex fyrhörning ABCD där diagonalerna skär varandra i en punkt P, är omskriven om och endast om de fyra mittpunkterna i trianglarnas cirklar APB, BPC, CPD Och DPA ligga på samma cirkel (här skär excirklarna fyrhörningens sidor, i motsats till det analoga påståendet ovan, där excirklarna ligger utanför fyrhörningen). Om Rm, R n, Rk Och Rl- radier av cirklar APB, BPC, CPD Och DPA respektive mitt emot hörnen B Och D, då är ett annat nödvändigt och tillräckligt villkor för att fyrhörningen ska omskrivas

1 Rm + 1 Rn = 1 Rk + 1 Rl. (\displaystyle (\frac (1)(R_(m)))+(\frac (1)(R_(n)))=(\frac (1)(R_(k)))+(\frac (1) )(R_(l))).) m △ (APB) + n △ (CPD) = k △ (BPC) + l △ (DPA) (\displaystyle (\frac (m)(\triangel (APB)))+(\frac (n)(\triangle (CPD)))=(\frac (k)(\triangel (BPC)))+(\frac (l)(\triangel (DPA))))

var m, k, n, l- sidolängder AB, före Kristus, CD Och DA, och ∆( APB) - area av en triangel APB.

Låt oss beteckna de segment på vilka punkten P delar diagonalen AC hur AP = sid a och PC = sid c. På samma sätt P dela diagonalen BD i segment BP = sid b och PD = sid d. Då är fyrhörningen omskriven om och endast om en av likheterna gäller:

m p c p d + n p a q b = k p a p d + l p c p b (\displaystyle mp_(c)p_(d)+np_(a)q_(b)=kp_(a)p_(d)+lp_(c)p_(b)) (pa + pb − m) (pc + pd − n) (pa + pb + m) (pc + pd + n) = (pc + pb − k) (pa + pd − l) (pc + pb + k) (pa + pd + l) (\displaystyle (\frac ((p_(a)+p_(b)-m)(p_(c)+p_(d)-n))((p_(a)+p_( b)+m)(p_(c)+p_(d)+n)))=(\frac ((p_(c)+p_(b)-k)(p_(a)+p_(d)-l ))((p_(c)+p_(b)+k)(p_(a)+p_(d)+l)))) (m + pa − pb) (n + pc − pd) (m − pa + pb) (n − pc + pd) = (k + pc − pb) (l + pa − pd) (k − pc + pb) (l - pa + pd) . (\displaystyle (\frac ((m+p_(a)-p_(b))(n+p_(c)-p_(d))))((m-p_(a)+p_(b))(n -p_(c)+p_(d))))=(\frac ((k+p_(c)-p_(b))(l+p_(a)-p_(d)))((k-p_ (c)+p_(b))(l-p_(a)+p_(d))))).)

Villkor för att den omskrivna fyrhörningen ska vara en annan typ av fyrhörning

romb om och endast om de motsatta vinklarna är lika.

Om den inskrivna cirkeln tangerar sidorna AB, före Kristus, CD, DA på punkter M, K, N, L respektive alltså ABCDär också en inskriven fyrhörning om och endast om

Det första av dessa tre uttalanden betyder det beröra fyrhörning MKNLär ortodiagonal.

En omskriven fyrhörning är bicentrisk (dvs omskriven och inskriven samtidigt) om och bara om radien för den inskrivna cirkeln är den största bland alla omskrivna fyrhörningar med samma sekvens av sidlängder.

Den beskrivna fyrhörningen är en deltoid om och endast om något av följande villkor är uppfyllt:

• Ytan är hälften av produkten av diagonalerna
• Diagonalerna är vinkelräta
• Två linjesegment som förbinder motsatta kontaktpunkter är lika långa
• Ett par motsatta segment från spetsen till kontaktpunkten har samma längd
• Mittlinjerna är lika långa
• Produkterna från motsatta sidor är lika
• Mitten av den inskrivna cirkeln ligger på diagonalen, som är symmetriaxeln.