direkt prisma. Definition av ett prisma, dess element och typer. De viktigaste egenskaperna hos figuren. Egenskaper hos ett vanligt prisma

Stereometri är en gren av geometrin som studerar figurer som inte ligger i samma plan. Ett av föremålen för studien av stereometri är prismor. I artikeln kommer vi att ge en definition av ett prisma ur geometrisk synvinkel, och även kort lista de egenskaper som är karakteristiska för det.

Geometrisk figur

Definitionen av ett prisma i geometri är som följer: det är en rumslig figur som består av två identiska n-goner belägna i parallella plan, förbundna med varandra genom sina hörn.

Att få ett prisma är inte svårt. Föreställ dig att det finns två identiska n-goner, där n är antalet sidor eller hörn. Låt oss placera dem så att de är parallella med varandra. Därefter ska hörn av en polygon kopplas till motsvarande hörn i en annan. Den bildade figuren kommer att bestå av två n-gonala sidor, som kallas baser, och n fyrkantiga sidor, som i det allmänna fallet är parallellogram. Uppsättningen parallellogram bildar sidoytan på figuren.

Det finns ett annat sätt att geometriskt få fram figuren i fråga. Så om vi tar en n-gon och överför den till ett annat plan med parallella segment av lika längd, får vi den ursprungliga polygonen i det nya planet. Både polygoner och alla parallella segment ritade från sina hörn bildar ett prisma.

Bilden ovan visar den så kallad eftersom dess baser är trianglar.

Elementen som utgör en figur

Definitionen av ett prisma gavs ovan, från vilket det är tydligt att huvudelementen i en figur är dess ytor eller sidor, vilket begränsar prismats alla inre punkter från yttre rymden. Varje ansikte av figuren i fråga tillhör en av två typer:

• lateral;
• grunder.

Det finns n sidostycken, och de är parallellogram eller deras speciella typer (rektanglar, kvadrater). I allmänhet skiljer sig sidoytorna från varandra. Det finns bara två ytor av basen, de är n-goner och är lika med varandra. Således har varje prisma n+2 sidor.

Förutom sidorna kännetecknas figuren av sina hörn. De är punkter där tre ansikten berör samtidigt. Dessutom hör två av de tre ytorna alltid till sidoytan och en - till basen. I ett prisma finns det alltså ingen speciellt utvald hörn, eftersom till exempel i en pyramid alla är lika. Antalet hörn i figuren är 2*n (n stycken för varje bas).

Slutligen är det tredje viktiga elementet i prismat dess kanter. Dessa är segment av en viss längd, som bildas som ett resultat av skärningen av figurens sidor. Liksom ansikten har kanter också två olika typer:

• eller endast bildad av sidorna;
• eller uppstår vid korsningen av parallellogrammet och sidan av den n-gonala basen.

Antalet kanter är alltså 3*n, och 2*n av dem tillhör den andra av de namngivna typerna.

Prismatyper

Det finns flera sätt att klassificera prismor. Men de är alla baserade på två funktioner i figuren:

• på typen av n-kolbas;
• på sidan typ.

Till att börja med, låt oss vända oss till den andra singulariteten och ge en definition av en rak linje. Om åtminstone en sida är ett parallellogram av allmän typ, så kallas figuren sned eller sned. Om alla parallellogram är rektanglar eller kvadrater, blir prismat rakt.

Du kan också ge en definition på ett lite annorlunda sätt: en rak figur är ett prisma där sidokanterna och ytorna är vinkelräta mot dess baser. Figuren visar två fyrkantiga figurer. Den vänstra är rak, den högra är snett.

Låt oss nu gå vidare till klassificering enligt vilken typ av n-gon som ligger i baserna. Den kan ha samma sidor och vinklar eller olika. I det första fallet kallas polygonen regelbunden. Om figuren i fråga innehåller en polygon med lika sidor och vinklar vid basen och är en rät linje, så kallas den regelbunden. Enligt denna definition kan ett regelbundet prisma vid sin bas ha en liksidig triangel, en kvadrat, en vanlig femhörning eller en hexagon, och så vidare. De angivna korrekta siffrorna visas i figuren.

Linjära parametrar för prismor

För att beskriva dimensionerna på figurerna i fråga används följande parametrar:

• höjd;
• sidorna av basen;
• sidoribbans längder;
• volymetriska diagonaler;
• diagonala sidor och baser.

För vanliga prismor är alla namngivna kvantiteter relaterade till varandra. Till exempel är längderna på sidoribborna desamma och lika med höjden. För en specifik n-gonal reguljär figur finns det formler som gör att vi kan bestämma resten utifrån två linjära parametrar.

Figuryta

Om vi ​​vänder oss till definitionen av ett prisma som ges ovan, kommer det inte att vara svårt att förstå vad ytan på figuren representerar. Ytan är ytan av alla ansikten. För ett rakt prisma beräknas det med formeln:

S = 2*So + Po*h

där So är arean av basen, Po är omkretsen av n-gonen vid basen, h är höjden (avståndet mellan baserna).

figurvolym

Tillsammans med ytan för övning är det viktigt att känna till prismats volym. Det kan bestämmas med följande formel:

Detta uttryck är sant för absolut alla typer av prismor, inklusive de som är sneda och bildade av oregelbundna polygoner.

För korrekt är det en funktion av längden på sidan av basen och höjden på figuren. För motsvarande n-gonala prisma har formeln för V en specifik form.

Definition 1. Prismatisk yta
Sats 1. På parallella sektioner av en prismatisk yta
Definition 2. Vinkelrät sektion av en prismatisk yta
Definition 3. Prisma
Definition 4. Prismahöjd
Definition 5. Direkt prisma
Sats 2. Arean av prismats laterala yta

Parallelepiped:
Definition 6. Parallelpiped
Sats 3. Om skärningspunkten mellan diagonalerna i en parallellepiped
Definition 7. Höger parallellepiped
Definition 8. Rektangulär parallellepiped
Definition 9. Mått på en parallellepiped
Definition 10. Kub
Definition 11. Rhombohedron
Sats 4. På diagonalerna för en rektangulär parallellepiped
Sats 5. Volym av ett prisma
Sats 6. Volym av ett rakt prisma
Sats 7. Volym av en rektangulär parallellepiped

prisma en polyeder kallas, i vilken två ytor (baser) ligger i parallella plan, och de kanter som inte ligger i dessa ytor är parallella med varandra.
Andra ansikten än baser kallas lateral.
Sidorna på sidoytorna och baserna kallas prisma kanter, kanternas ändar kallas prismats toppar. Laterala revben kallas kanter som inte hör till baserna. Föreningen av sidoytor kallas sidoytan på prismat, och föreningen av alla ansikten kallas prismats hela yta. Prisma höjd kallas vinkelrät fall från punkten av den övre basen till planet för den nedre basen eller längden av denna vinkelrät. rakt prisma kallas ett prisma, där sidokanterna är vinkelräta mot basernas plan. korrekt kallas ett rakt prisma (fig. 3), vid vars bas ligger en regelbunden polygon.

Beteckningar:
l - sido revben;
P - bas omkrets;
S o - basarea;
H - höjd;
P ^ - omkretsen av den vinkelräta sektionen;
S b - sidoytarea;
V - volym;
S p - arean av prismats totala yta.

V=SH S p \u003d S b + 2S o Sb = P^l

Definition 1 . En prismatisk yta är en figur som bildas av delar av flera plan parallella med en rät linje begränsade av de räta linjer längs vilka dessa plan successivt skär varandra *; dessa linjer är parallella med varandra och kallas kanterna på den prismatiska ytan.
*Det antas att vartannat plan i följd skär varandra och att det sista planet skär det första.

Sats 1 . Sektioner av en prismatisk yta med plan parallella med varandra (men inte parallella med dess kanter) är lika polygoner.
Låt ABCDE och A"B"C"D"E" vara sektioner av en prismatisk yta med två parallella plan. För att verifiera att dessa två polygoner är lika räcker det att visa att trianglarna ABC och A"B"C" är lika och har samma rotationsriktning och att detsamma gäller för trianglarna ABD och A"B"D", ABE och A"B"E". Men de motsvarande sidorna av dessa trianglar är parallella (till exempel AC är parallella med A "C") som skärningslinjerna för ett visst plan med två parallella plan; det följer att dessa sidor är lika (till exempel AC är lika med A"C") som motsatta sidor av ett parallellogram, och att vinklarna som bildas av dessa sidor är lika och har samma riktning.

Definition 2 . En vinkelrät sektion av en prismatisk yta är en sektion av denna yta med ett plan vinkelrätt mot dess kanter. Baserat på föregående sats kommer alla vinkelräta sektioner av samma prismatiska yta att vara lika polygoner.

Definition 3 . Ett prisma är ett polyeder som begränsas av en prismatisk yta och två plan parallella med varandra (men inte parallella med kanterna på den prismatiska ytan)
Ansiktena som ligger i dessa sista plan kallas prismabaser; ansikten som tillhör en prismatisk yta - sidoytor; kanterna på den prismatiska ytan - sidokanterna av prismat. I kraft av föregående sats är prismats baser lika polygoner. Prismats alla sidoytor parallellogram; alla sidokanter är lika med varandra.
Det är uppenbart att om basen av prismat ABCDE och en av kanterna AA" anges i storlek och riktning, så är det möjligt att konstruera ett prisma genom att rita kanterna BB", CC", .., lika och parallella med kanten AA".

Definition 4 . Höjden på ett prisma är avståndet mellan planen för dess baser (HH").

Definition 5 . Ett prisma kallas en rät linje om dess baser är vinkelräta sektioner av en prismatisk yta. I det här fallet är prismats höjd naturligtvis dess sido revben; sidokanterna kommer rektanglar.
Prismor kan klassificeras efter antalet sidoytor, lika med antalet sidor av polygonen som fungerar som dess bas. Således kan prismor vara triangulära, fyrkantiga, femkantiga, etc.

Sats 2 . Arean av prismats laterala yta är lika med produkten av den laterala kanten och omkretsen av den vinkelräta sektionen.
Låt ABCDEA"B"C"D"E" vara det givna prismat och abcde vara dess vinkelräta sektion, så att segmenten ab, bc, .. är vinkelräta mot dess sidokanter. Ytan ABA"B" är ett parallellogram; dess area är lika med produkten av basen AA " till en höjd som matchar ab; arean av ytan BCV "C" är lika med produkten av basen BB" med höjden bc, etc. Därför är sidoytan (dvs summan av ytorna på sidoytorna) lika med produkten av sidokanten, med andra ord den totala längden av segmenten AA", BB", .., med summan ab+bc+cd+de+ea.

Din integritet är viktig för oss. Av denna anledning har vi tagit fram en integritetspolicy som beskriver hur vi använder och lagrar din information. Läs vår integritetspolicy och låt oss veta om du har några frågor.

Insamling och användning av personlig information

Med personuppgifter avses uppgifter som kan användas för att identifiera en specifik person eller kontakta denne.

Du kan bli ombedd att lämna din personliga information när som helst när du kontaktar oss.

Följande är några exempel på de typer av personlig information vi kan samla in och hur vi kan använda sådan information.

Vilken personlig information vi samlar in:

• När du skickar in en ansökan på webbplatsen kan vi samla in olika uppgifter, inklusive ditt namn, telefonnummer, e-postadress, etc.

Hur vi använder din personliga information:

• De personuppgifter vi samlar in gör att vi kan kontakta dig och informera dig om unika erbjudanden, kampanjer och andra evenemang och kommande evenemang.
• Då och då kan vi använda din personliga information för att skicka viktiga meddelanden och meddelanden till dig.
• Vi kan också komma att använda personuppgifter för interna ändamål, såsom att utföra revisioner, dataanalyser och olika undersökningar för att förbättra de tjänster vi tillhandahåller och ge dig rekommendationer angående våra tjänster.
• Om du deltar i en prisdragning, tävling eller liknande incitament kan vi använda informationen du tillhandahåller för att administrera sådana program.

Avslöjande till tredje part

Vi lämnar inte ut information från dig till tredje part.

Undantag:

• I händelse av att det är nödvändigt - i enlighet med lag, rättsordning, i rättsliga förfaranden och / eller baserat på offentliga förfrågningar eller förfrågningar från statliga organ på Ryska federationens territorium - avslöja din personliga information. Vi kan också avslöja information om dig om vi fastställer att ett sådant avslöjande är nödvändigt eller lämpligt av säkerhetsskäl, brottsbekämpande eller andra allmänintressen.
• I händelse av en omorganisation, sammanslagning eller försäljning kan vi komma att överföra de personuppgifter vi samlar in till den relevanta tredje partens efterträdare.

Skydd av personlig information

Vi vidtar försiktighetsåtgärder - inklusive administrativa, tekniska och fysiska - för att skydda din personliga information från förlust, stöld och missbruk, såväl som från obehörig åtkomst, avslöjande, ändring och förstörelse.

Upprätthålla din integritet på företagsnivå

För att säkerställa att din personliga information är säker, kommunicerar vi sekretess- och säkerhetspraxis till våra anställda och tillämpar strikt sekretesspraxis.

Allmän information om ett rakt prisma

Prismats laterala yta (mer exakt, lateral yta) kallas belopp ytor på sidan. Prismats totala yta är lika med summan av sidoytan och basernas area.

Sats 19.1. Sidoytan på ett rakt prisma är lika med produkten av basens omkrets och prismats höjd, d.v.s. längden på sidokanten.

Bevis. Sidoytorna på ett rakt prisma är rektanglar. Dessa rektanglars baser är polygonens sidor som ligger vid prismats bas, och höjderna är lika med sidokanternas längd. Det följer att prismats laterala yta är lika med

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

där a 1 och n är längden på basens ribbor, p är omkretsen av prismats bas, och I är längden på sidoribborna. Teoremet har bevisats.

Praktisk uppgift

Uppgift (22) . I ett lutande prisma sektion, vinkelrät mot sidokanterna och skär alla sidokanter. Hitta prismats sidoyta om sektionens omkrets är p och sidokanterna är l.

Lösning. Planet för den ritade sektionen delar prismat i två delar (bild 411). Låt oss utsätta en av dem för en parallell översättning som kombinerar prismats baser. I det här fallet får vi ett rakt prisma, där sektionen av det ursprungliga prismat fungerar som bas och sidokanterna är lika med l. Detta prisma har samma sidoyta som originalet. Således är sidoytan på det ursprungliga prismat lika med pl.

Generalisering av ämnet

Och låt oss nu försöka sammanfatta ämnet för prismat och komma ihåg vilka egenskaper ett prisma har.

Prisma egenskaper

För det första, för ett prisma, är alla dess baser lika polygoner;
För det andra, för ett prisma är alla dess sidoytor parallellogram;
För det tredje, i en så mångfacetterad figur som ett prisma, är alla sidokanter lika;

Man bör också komma ihåg att polyedrar som prismor kan vara raka och lutande.

Vad är ett rakt prisma?

Om sidokanten på ett prisma är vinkelrät mot dess basplan, kallas ett sådant prisma en rät linje.

Det kommer inte att vara överflödigt att komma ihåg att sidoytorna på ett rakt prisma är rektanglar.

Vad är ett snett prisma?

Men om prismats sidokant inte är placerad vinkelrätt mot dess basplan, kan vi säkert säga att detta är ett lutande prisma.

Vad är rätt prisma?

Om en regelbunden polygon ligger vid basen av ett rakt prisma, är ett sådant prisma regelbundet.

Låt oss nu komma ihåg egenskaperna som ett vanligt prisma har.

Egenskaper hos ett vanligt prisma

För det första tjänar regelbundna polygoner alltid som basen för ett regelbundet prisma;
För det andra, om vi betraktar sidoytorna på ett vanligt prisma, så är de alltid lika rektanglar;
För det tredje, om vi jämför storlekarna på sidoribborna, är de alltid lika i rätt prisma.
För det fjärde är ett vanligt prisma alltid rakt;
För det femte, om sidoytorna i ett vanligt prisma är i form av kvadrater, kallas en sådan figur vanligtvis en halvregelbunden polygon.

Prismasektion

Låt oss nu titta på tvärsnittet av ett prisma:

Läxa

Och låt oss nu försöka konsolidera det studerade ämnet genom att lösa problem.

Låt oss rita ett lutande triangulärt prisma, där avståndet mellan dess kanter kommer att vara: 3 cm, 4 cm och 5 cm, och sidoytan på detta prisma kommer att vara lika med 60 cm2. Med dessa parametrar, hitta den laterala kanten av det givna prismat.

Vet du att geometriska figurer ständigt omger oss inte bara i geometrilektioner, utan även i vardagen finns det föremål som liknar en eller annan geometrisk figur.

Varje hem, skola eller arbete har en dator, vars systemenhet är i form av ett rakt prisma.

Om du tar upp en enkel penna kommer du att se att huvuddelen av pennan är ett prisma.

När vi går längs huvudgatan i staden ser vi att under våra fötter ligger en kakelplatta som har formen av ett sexkantigt prisma.

A. V. Pogorelov, Geometri för årskurs 7-11, Lärobok för utbildningsinstitutioner

Beskrivning av presentationen på enskilda bilder:

1 rutschkana

Beskrivning av bilden:

2 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Definition 1. En polyeder, vars två ytor är polygoner med samma namn som ligger i parallella plan, och alla två kanter som inte ligger i dessa plan är parallella, kallas ett prisma. Termen "prisma" är av grekiskt ursprung och betyder ordagrant "avsågad" (kropp). Polygoner som ligger i parallella plan kallas prismats baser, och de återstående ytorna kallas sidoytor. Ytan på ett prisma består därför av två lika polygoner (baser) och parallellogram (sidoytor). Det finns triangulära, fyrkantiga, femkantiga prismor, etc. beroende på antalet bashörn.

3 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Alla prismor är indelade i raka och lutande. (Fig. 2) Om prismats laterala kant är vinkelrät mot dess basplan, kallas ett sådant prisma en rät linje; om prismats laterala kant är vinkelrät mot dess basplan, kallas ett sådant prisma lutande. I ett rakt prisma är sidoytorna rektanglar. Den vinkelräta mot basernas plan, vars ändar hör till dessa plan, kallas prismats höjd.

4 rutschkana

Beskrivning av bilden:

prisma egenskaper. 1. Prismats baser är lika polygoner. 2. Prismats sidoytor är parallellogram. 3. Sidokanterna på prismat är lika.

5 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Prismats yta och prismats laterala yta. Ytan på en polyeder består av ett ändligt antal polygoner (ansikter). Ytarean på en polyeder är summan av ytorna på alla dess ytor. Ytarean av prismorna (Spr) är lika med summan av ytorna på dess sidoytor (arean på sidoytan Sside) och arean av de två baserna (2Sbase) - lika polygoner: Ssur= Sside+2Sbase. Sats. Arean av prismats laterala yta är lika med produkten av omkretsen av dess vinkelräta sektion och längden på den laterala kanten.

6 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Bevis. Sidoytorna på ett rakt prisma är rektanglar, vars baser är sidorna av prismats bas, och höjderna är lika med prismats höjd h. Sidan av prismaytan är lika med summan S av de angivna trianglarna, dvs. är lika med summan av produkterna av basens sidor och höjden h. Om vi ​​tar ut faktorn h ur parentes får vi inom parentes summan av sidorna av prismats bas, d.v.s. omkrets P. Så, Sside = Ph. Teoremet har bevisats. Följd. Arean av den laterala ytan av ett rakt prisma är lika med produkten av omkretsen av dess bas och höjden. För ett rakt prisma kan basen faktiskt betraktas som en vinkelrät sektion, och sidokanten är höjden.

7 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Sektion av ett prisma 1. Sektion av ett prisma genom ett plan parallellt med basen. En polygon bildas i sektionen, lika med polygonen som ligger vid basen. 2. Sektion av ett prisma genom ett plan som går genom två icke intilliggande sidoribbor. Ett parallellogram bildas i sektionen. En sådan sektion kallas prismats diagonala sektion. I vissa fall kan en romb, rektangel eller kvadrat erhållas.

8 rutschkana

Beskrivning av bilden:

9 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Definition 2. Ett rakt prisma vars bas är en vanlig polygon kallas ett vanligt prisma. Egenskaper för ett vanligt prisma 1. Baserna för ett vanligt prisma är regelbundna polygoner. 2. Sidoytorna på ett vanligt prisma är lika stora rektanglar. 3. Sidokanterna på ett vanligt prisma är lika.

10 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Tvärsnitt av ett vanligt prisma. 1. Sektion av ett vanligt prisma genom ett plan parallellt med basen. En vanlig polygon bildas i sektionen, lika med polygonen som ligger vid basen. 2. Sektion av ett vanligt prisma genom ett plan som går genom två icke intilliggande sidokanter. Sektionen bildar en rektangel. I vissa fall kan en kvadrat bildas.

11 rutschkana

Beskrivning av bilden:

Symmetri för ett regelbundet prisma 1. Symmetricentrum med ett jämnt antal sidor av basen är skärningspunkten för diagonalerna för ett regelbundet prisma (fig. 6)