Vinogradov matematisk uppslagsverk. Matematisk uppslagsverk. Gamla och nya klassificeringar av matematik

Innehållet i artikeln

MATTE. Matematik definieras vanligtvis genom att lista namnen på några av dess traditionella grenar. Först och främst är detta aritmetik, som handlar om studiet av tal, relationerna mellan dem och reglerna för att arbeta med tal. Aritmetikens fakta är öppna för olika konkreta tolkningar; till exempel motsvarar förhållandet 2 + 3 = 4 + 1 påståendet att två och tre böcker gör lika många böcker som fyra och en. Vilken relation som helst som 2 + 3 = 4 + 1, dvs. förhållandet mellan rent matematiska objekt utan hänvisning till någon tolkning från den fysiska världen kallas abstrakt. Matematikens abstrakta natur gör att den kan användas för att lösa en mängd olika problem. Till exempel låter algebra, som handlar om operationer på tal, lösa problem som går utöver aritmetiken. En mer specifik gren av matematik är geometri, vars huvuduppgift är att studera storleken och formen på föremål. Kombinationen av algebraiska metoder med geometriska leder å ena sidan till trigonometri (ursprungligen ägnad åt studier av geometriska trianglar och täcker nu ett mycket bredare spektrum av frågor), och å andra sidan till analytisk geometri, där geometriska kroppar och figurer studeras med algebraiska metoder. Det finns flera grenar av högre algebra och geometri som har en högre grad av abstraktion och som inte behandlar studiet av vanliga tal och vanliga geometriska figurer; den mest abstrakta av geometriska discipliner kallas topologi.

Matematisk analys behandlar studiet av storheter som förändras i rum eller tid, och förlitar sig på två grundläggande begrepp - funktion och gräns, som inte finns i mer elementära avsnitt av matematiken. Till en början bestod matematisk analys av differential- och integralkalkyl, men omfattar nu andra avsnitt.

Det finns två huvudområden inom matematiken - ren matematik, där tonvikten ligger på deduktiva resonemang, och tillämpad matematik. Termen "tillämpad matematik" syftar ibland på de grenar av matematik som skapats specifikt för att tillfredsställa vetenskapens behov och krav, och ibland till de delar av olika vetenskaper (fysik, ekonomi, etc.) som använder matematik som ett sätt att lösa sina uppgifter. Många vanliga missuppfattningar om matematik uppstår från förvirringen mellan dessa två tolkningar av "tillämpad matematik". Aritmetik kan exemplifiera tillämpad matematik i den första meningen och redovisning i den andra.

Tvärtemot vad många tror fortsätter matematiken att utvecklas snabbt. The Mathematical Review publicerar årligen ca. 8000 korta sammanfattningar av artiklar som innehåller de senaste resultaten - nya matematiska fakta, nya bevis på gamla fakta och till och med information om helt nya områden inom matematiken. Den nuvarande trenden inom matematikundervisningen är att introducera eleverna för moderna, mer abstrakta matematiska idéer i ett tidigare skede i matematikundervisningen. se även MATEMATIK HISTORIA. Matematik är en av civilisationens hörnstenar, men väldigt få människor har en uppfattning om det aktuella tillståndet i denna vetenskap.

Matematik har genomgått enorma förändringar de senaste hundra åren, både när det gäller ämne och studiesätt. I den här artikeln kommer vi att försöka ge en allmän uppfattning om huvudstadierna i utvecklingen av modern matematik, vars huvudresultat kan anses å ena sidan en ökning av gapet mellan ren och tillämpad matematik, och å andra sidan en fullständig omtanke om traditionella matematikområden.

UTVECKLING AV DEN MATEMATISKA METODEN

Matematikens födelse.

Omkring 2000 f.Kr det märktes att i en triangel med sidor av 3, 4 och 5 längdenheter är en av vinklarna lika med 90 ° (denna observation gjorde det lätt att bygga en rät vinkel för praktiska behov). Såg du då sambandet 5 2 = 3 2 + 4 2 ? Vi har ingen information om detta. Några århundraden senare upptäcktes en allmän regel: i vilken triangel som helst ABC med rät vinkel upptill A och fester b = AC och c = AB, mellan vilken denna vinkel är innesluten, och den motsatta sidan a = före Kristus förhållandet a 2 = b 2 + c 2. Man kan säga att vetenskapen börjar när en massa individuella observationer förklaras av en allmän lag; därför kan upptäckten av "Pythagores sats" ses som ett av de första kända exemplen på en verkligt vetenskaplig prestation.

Men ännu viktigare för vetenskapen i allmänhet och för matematiken i synnerhet är det faktum att det, tillsammans med utformningen av en allmän lag, visar sig försök att bevisa den, d.v.s. visa att det nödvändigtvis följer av andra geometriska egenskaper. Ett av de östliga "bevisen" är särskilt grafiskt i sin enkelhet: fyra trianglar lika med en given är inskrivna i en kvadrat BCDE som visas på ritningen. kvadratisk yta a 2 är uppdelad i fyra lika stora trianglar med en total area av 2 före Kristus och kvadratisk AFGH område ( b – c) 2 . På det här sättet, a 2 = (b – c) 2 + 2före Kristus = (b 2 + c 2 – 2före Kristus) + 2före Kristus = b 2 + c 2. Det är lärorikt att gå ett steg längre och mer exakt ta reda på vilka "tidigare" egenskaper som ska vara kända. Det mest uppenbara faktum är att sedan trianglarna BAC och BEF exakt, utan mellanrum och överlappning, "monterad" längs sidorna BA och bf, vilket innebär att de två hörnen vid hörnen B och MED i en triangel magmuskler bildar tillsammans en vinkel på 90° och därför är summan av alla tre vinklarna 90° + 90° = 180°. Ovanstående "bevis" använder också formeln ( före Kristus/2) för arean av en triangel ABC med 90° vinkel upptill A. Faktum är att andra antaganden också användes, men det som har sagts räcker så att vi tydligt kan se den väsentliga mekanismen för matematiska bevis - deduktiva resonemang, som tillåter användning av rent logiska argument (baserat på korrekt förberett material, i vårt exempel - splittring kvadraten) för att från kända resultat härleda nya egenskaper, som regel, följer inte direkt från tillgängliga data.

Axiom och bevismetoder.

En av grunddragen i den matematiska metoden är processen att med hjälp av noggrant konstruerade rent logiska argument skapa en kedja av påståenden där varje på varandra följande länk är kopplad till de föregående. Det första ganska uppenbara övervägandet är att varje kedja måste ha en första länk. Denna omständighet blev uppenbar för grekerna när de började systematisera koden för matematiska argument på 700-talet. FÖRE KRISTUS. Det tog grekerna ca. 200 år gammal, och de överlevande dokumenten ger bara en grov uppfattning om exakt hur de agerade. Vi har endast korrekt information om det slutliga resultatet av forskningen - den berömda Början Euklid (ca 300 f.Kr.). Euklid börjar med att räkna upp utgångspositionerna, från vilka alla de övriga härleds på ett rent logiskt sätt. Dessa bestämmelser kallas axiom eller postulat (termerna är praktiskt taget utbytbara); de uttrycker antingen mycket allmänna och något vaga egenskaper hos föremål av något slag, såsom "helheten är större än delen", eller några specifika matematiska egenskaper, såsom det faktum att det för två punkter finns en enda rät linje som förbinder dem . Vi har inte heller någon information om huruvida grekerna fäste någon djupare mening eller betydelse för axiomens "sanning", även om det finns några antydningar om att grekerna diskuterade dem en tid innan de accepterade vissa axiom. Hos Euklid och hans anhängare presenteras axiomen endast som utgångspunkter för konstruktionen av matematiken, utan någon kommentar om deras natur.

När det gäller bevismetoderna reducerades de som regel till direkt användning av tidigare bevisade teorem. Ibland visade sig dock resonemangets logik vara mer komplex. Vi kommer här att nämna Euklids favoritmetod, som har blivit en del av matematikens vardagliga praktik – indirekt bevis, eller bevis genom motsägelse. Som ett elementärt exempel på bevis genom motsägelse kommer vi att visa att ett schackbräde från vilket två hörnfält är utskurna, belägna i motsatta ändar av diagonalen, inte kan täckas med dominobrickor, som var och en är lika med två fält. (Det antas att varje ruta på schackbrädet måste täckas endast en gång.) Antag att det motsatta ("motsatta") påståendet är sant, d.v.s. att brädan kan täckas med dominobrickor. Varje bricka täcker en svart och en vit ruta, så oavsett var dominobrickorna placeras täcker de lika många svarta och vita rutor. Men eftersom två hörnrutor har tagits bort har schackbrädet (som ursprungligen hade lika många svarta rutor som vita rutor) två fler rutor av en färg än rutor av den andra färgen. Detta betyder att vårt ursprungliga antagande inte kan vara sant, eftersom det leder till en motsägelse. Och eftersom motsägelsefulla påståenden inte båda kan vara falska samtidigt (om en av dem är falsk, då är motsatsen sant), måste vårt ursprungliga antagande vara sant, eftersom det motsägelsefulla antagandet är falskt; därför kan ett schackbräde med två utskurna hörnrutor placerade diagonalt inte täckas med dominobrickor. Så, för att bevisa ett visst påstående, kan vi anta att det är falskt, och från detta antagande härleda en motsägelse med något annat påstående, vars sanning är känd.

Ett utmärkt exempel på bevis genom motsägelse, som blev en av milstolparna i utvecklingen av den antika grekiska matematiken, är beviset som inte är ett rationellt tal, d.v.s. inte representeras som en bråkdel sid/q, var sid och q- heltal. Om , då 2 = sid 2 /q 2, varifrån sid 2 = 2q 2. Anta att det finns två heltal sid och q, för vilka sid 2 = 2q 2. Med andra ord, vi antar att det finns ett heltal vars kvadrat är två gånger kvadraten på ett annat heltal. Om några heltal uppfyller detta villkor måste ett av dem vara mindre än alla andra. Låt oss fokusera på de minsta av dessa siffror. Låt det vara ett nummer sid. Sedan 2 q 2 är ett jämnt tal och sid 2 = 2q 2, sedan numret sid 2 måste vara jämnt. Eftersom kvadraterna för alla udda tal är udda, och kvadraten sid 2 är jämnt, alltså själva siffran sid måste vara jämnt. Antalet med andra ord sid två gånger något heltal r. Eftersom sid = 2r och sid 2 = 2q 2 , vi har: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 och q 2 = 2r 2. Den sista jämlikheten har samma form som jämlikheten sid 2 = 2q 2 , och vi kan, upprepande av samma resonemang, visa att antalet qär jämnt och att det finns ett sådant heltal s, Vad q = 2s. Men då q 2 = (2s) 2 = 4s 2, och sedan q 2 = 2r 2 drar vi slutsatsen att 4 s 2 = 2r 2 eller r 2 = 2s 2. Så vi får ett andra heltal som uppfyller villkoret att dess kvadrat är två gånger kvadraten på ett annat heltal. Men då sid kan inte vara det minsta siffran (eftersom r = sid/2), även om vi från början antog att det är det minsta av sådana tal. Därför är vårt ursprungliga antagande falskt, eftersom det leder till en motsägelse, och därför finns det inga sådana heltal sid och q, för vilka sid 2 = 2q 2 (dvs sådan att ). Och det betyder att antalet inte kan vara rationellt.

Från Euklid till början av 1800-talet.

Under denna period har matematiken förändrats avsevärt som ett resultat av tre innovationer.

(1) Under utvecklingen av algebra uppfanns en metod för symbolisk notation, som gjorde det möjligt att representera allt mer komplexa relationer mellan kvantiteter i en förkortad form. Som ett exempel på besväret som skulle uppstå om det inte fanns någon sådan "kursiv skrift", låt oss försöka förmedla i ord förhållandet ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2: "Arean av en kvadrat med en sida lika med summan av sidorna av två givna kvadrater är lika med summan av deras area tillsammans med två gånger arean av en rektangel vars sidor är lika med sidorna av de givna rutorna."

(2) Skapandet under första hälften av 1600-talet. analytisk geometri, vilket gjorde det möjligt att reducera alla problem med klassisk geometri till något algebraiskt problem.

(3) Skapandet och utvecklingen mellan 1600 och 1800 av infinitesimalkalkyl, som gjorde det möjligt att enkelt och systematiskt lösa hundratals problem relaterade till begreppen gräns och kontinuitet, av vilka endast ett fåtal löstes med stor svårighet av antikens grekiska matematiker. Dessa grenar av matematik behandlas mer i detalj i artiklarna ALGEBRA; ANALYTISK GEOMETRI ; MATEMATISK ANALYS ; GEOMETRI GRANSKNING.

Från 1600-talet. undanröjer gradvis frågan, som hittills varit olöst. Vad är matematik? Före 1800 var svaret enkelt nog. På den tiden fanns det inga tydliga gränser mellan de olika vetenskaperna, matematik var en del av "naturfilosofin" - det systematiska naturstudiet med de metoder som föreslagits av renässansens och tidigt 1600-tals stora reformatorer. - Galileo (1564–1642), F. Bacon (1561–1626) och R. Descartes (1596–1650). Man trodde att matematiker hade sitt eget studieområde - siffror och geometriska objekt, och att matematiker inte använde den experimentella metoden. Newton och hans anhängare studerade dock mekanik och astronomi med den axiomatiska metoden, liknande sättet som Euklids geometri presenterades på. Mer allmänt erkändes att all vetenskap där resultaten av ett experiment kan representeras med hjälp av siffror eller system av tal blir matematikens tillämpningsområde (i fysiken etablerades denna idé först på 1800-talet).

Områden inom experimentell vetenskap som har genomgått matematisk bearbetning kallas ofta för "tillämpad matematik"; detta är ett mycket olyckligt namn, eftersom det varken med klassiska eller moderna standarder i dessa tillämpningar finns (i strikt mening) verkligt matematiska argument, eftersom icke-matematiska objekt är föremål för studier i dem. När väl experimentdata har översatts till språket för siffror eller ekvationer (en sådan "översättning" kräver ofta stor uppfinningsrikedom från en "tillämpad" matematikers sida), dyker möjligheten upp för en bred tillämpning av matematiska satser; resultatet översätts sedan tillbaka och jämförs med observationerna. Det faktum att termen "matematik" tillämpas på en process av detta slag är en av källorna till oändliga missförstånd. I den "klassiska" tid som vi nu talar om existerade inte denna typ av missförstånd, eftersom samma personer var både "tillämpade" och "rena" matematiker, som samtidigt sysslade med problemen med matematisk analys eller talteori och problem av dynamik eller optik. Den ökade specialiseringen och tendensen att separera "rena" och "tillämpade" matematiker försvagade emellertid den tidigare existerande traditionen av universalitet avsevärt, och vetenskapsmän som liksom J. von Neumann (1903–1957) kunde bedriva aktiv vetenskaplig verksamhet både i tillämpas och i ren matematik, har blivit undantag snarare än regel.

Vilken natur har matematiska objekt - siffror, punkter, linjer, vinklar, ytor etc., vars existens vi tog för given? Vad betyder begreppet "sanning" i förhållande till sådana föremål? Helt bestämda svar gavs på dessa frågor under den klassiska perioden. Naturligtvis förstod forskarna från den eran tydligt att det i våra förnimmelsers värld inte finns något sådant som Euklids "oändligt utsträckta räta linje" eller "punkt utan dimensioner", precis som det inte finns några "rena metaller", "monokromatiskt ljus". ", "värmeisolerade system", etc. .d., som experimentörer använder i sina resonemang. Alla dessa begrepp är "platoniska idéer", dvs. ett slags generativa modeller av empiriska begrepp, om än av radikalt annorlunda karaktär. Ändå antogs det tyst att de fysiska "bilderna" av idéer kunde vara godtyckligt nära själva idéerna. I den mån man kan säga något om objekts närhet till idéer sägs "idéer" vara så att säga "begränsande fall" av fysiska objekt. Ur denna synvinkel uttrycker Euklids axiom och de satser som härrör från dem egenskaperna hos "ideala" objekt, som måste motsvara förutsägbara experimentella fakta. Till exempel bör mätningen med optiska metoder av vinklarna i en triangel som bildas av tre punkter i rymden, i det "ideala fallet" ge en summa som är lika med 180 °. Med andra ord, axiomen är placerade på samma nivå som fysiska lagar, och därför uppfattas deras "sanning" på samma sätt som sanningen om fysiska lagar; de där. de logiska konsekvenserna av axiomen är föremål för verifiering genom jämförelse med experimentella data. Naturligtvis kan en överenskommelse uppnås endast inom gränserna för felet som är förknippat med både den "imperfekta" naturen hos mätanordningen och den "imperfekta naturen" hos det föremål som mäts. Det antas dock alltid att om lagarna är "sanna" så kan förbättringar i mätprocesser i princip göra att mätfelet blir så litet som önskas.

Under hela 1700-talet det fanns fler och fler bevis för att alla konsekvenser som härrör från de grundläggande axiomen, särskilt inom astronomi och mekanik, är förenliga med experimentella data. Och eftersom dessa konsekvenser erhölls med hjälp av den matematiska apparat som fanns på den tiden, bidrog de uppnådda framgångarna till att stärka uppfattningen om sanningen i Euklides axiom, som, som Platon sa, "är tydlig för alla" och inte är föremål för diskussion.

Tvivel och nya förhoppningar.

Icke-euklidisk geometri.

Bland de postulat som gavs av Euklid var ett så otydligt att även de första eleverna till den store matematikern ansåg att det var en svag punkt i systemet. Satte igång. Axiomet i fråga säger att genom en punkt som ligger utanför en given linje kan endast en linje dras parallellt med den givna linjen. De flesta geometrar trodde att parallellernas axiom kunde bevisas med andra axiom, och att Euklid formulerade påståendet om paralleller som ett postulat helt enkelt för att han inte lyckades komma med ett sådant bevis. Men även om de bästa matematikerna försökte lösa det parallella problemet, lyckades ingen av dem överträffa Euklid. Slutligen under andra hälften av 1700-talet. Försök gjordes att bevisa Euklids postulat om paralleller genom motsägelse. Det har föreslagits att det parallella axiomet är falskt. A priori kan Euklids postulat visa sig vara falskt i två fall: om det är omöjligt att dra en enda parallell linje genom en punkt utanför den givna linjen; eller om flera parallella linjer kan dras genom den. Det visade sig att den första möjligheten a priori är utesluten av andra axiom. Efter att ha antagit ett nytt axiom istället för det traditionella axiomet om paralleller (att genom en punkt utanför en given linje kan flera linjer parallella med en given linje dras), försökte matematiker härleda ett uttalande från det som motsäger andra axiom, men misslyckades: hur mycket de än försökte utvinna konsekvenser ur det nya "anti-euklidiska" eller "ickeuklidiska" axiomet, så syntes inte motsättningen. Slutligen, oberoende av varandra, insåg NI Lobachevsky (1793–1856) och J. Bolyai (1802–1860) att Euklids postulat om paralleller är obevisbart, eller, med andra ord, en motsägelse kommer inte att dyka upp i "icke-euklidisk geometri". .

Med tillkomsten av icke-euklidisk geometri uppstod omedelbart flera filosofiska problem. Eftersom anspråket på axiomens a priori nödvändighet försvann, återstod det enda sättet att testa deras "sanning" - experimentellt. Men, som A. Poincaré (1854–1912) senare noterade, i beskrivningen av varje fenomen finns det så många fysiska antaganden dolda att inget experiment kan ge övertygande bevis på sanningen eller falskheten i ett matematiskt axiom. Dessutom, även om vi antar att vår värld är "icke-euklidisk", följer det att all euklidisk geometri är falsk? Så vitt bekant har ingen matematiker någonsin övervägt en sådan gissning på allvar. Intuitionen antydde att både euklidiska och icke-euklidiska geometrier är exempel på fullfjädrad matematik.

Matematiska monster.

Oväntat kom samma slutsatser från ett helt annat håll - föremål upptäcktes som störtade 1800-talets matematiker. chockad och döpt till "mattemonster". Denna upptäckt är direkt relaterad till mycket subtila frågor om matematisk analys som uppstod först i mitten av 1800-talet. Svårigheter uppstod när man försökte hitta en exakt matematisk analog till det experimentella konceptet med en kurva. Vad som var kärnan i begreppet "kontinuerlig rörelse" (till exempel spetsen på en ritpenna som rörde sig över ett pappersark) var föremål för en exakt matematisk definition, och detta mål uppnåddes när begreppet kontinuitet fick en rigorös matematisk betydelse ( centimeter. också KURVA). Intuitivt verkade det som att ”kurvan” vid var och en av sina punkter hade så att säga en riktning, d.v.s. i det allmänna fallet, i ett område av var och en av dess punkter, beter sig kurvan nästan på samma sätt som en rät linje. (Å andra sidan är det lätt att föreställa sig att en kurva har ett ändligt antal hörnpunkter, "kinks", som en polygon.) Detta krav skulle kunna formuleras matematiskt, nämligen att det fanns en tangent till kurvan antogs. , och fram till mitten av 1800-talet. man trodde att "kurvan" hade en tangent vid nästan alla sina punkter, kanske med undantag för några "speciella" punkter. Därför orsakade upptäckten av "kurvor" som inte hade en tangent vid någon punkt en verklig skandal ( centimeter. också FUNKTIONSTEORI). (Läsaren som är bekant med trigonometri och analytisk geometri kan enkelt verifiera att kurvan som ges av ekvationen y = x synd(1/ x), har ingen tangent vid origo, men att definiera en kurva som inte har en tangent vid någon av sina punkter är mycket svårare.)

Något senare erhölls ett mycket mer "patologiskt" resultat: man kunde konstruera ett exempel på en kurva som helt fyller kvadraten. Sedan dess har hundratals sådana "monster" uppfunnits, i motsats till "sunt förnuft". Det bör betonas att förekomsten av sådana ovanliga matematiska objekt följer av de grundläggande axiomen lika strikt och logiskt felfria som existensen av en triangel eller en ellips. Eftersom matematiska "monster" inte kan motsvara något experimentellt objekt, och den enda möjliga slutsatsen är att världen av matematiska "idéer" är mycket rikare och mer ovanlig än man kan förvänta sig, och väldigt få av dem har motsvarigheter i vår sensationsvärld . Men om matematiska "monster" logiskt följer av axiomen, kan då axiomen ändå anses vara sanna?

Nya föremål.

Ovanstående resultat bekräftades från en annan sida: inom matematiken, främst inom algebra, började nya matematiska objekt dyka upp efter varandra, vilket var generaliseringar av talbegreppet. Vanliga heltal är ganska "intuitiva" och det är inte alls svårt att komma fram till ett experimentellt koncept för en bråkdel (även om man måste erkänna att operationen att dela en enhet i flera lika delar och välja flera av dem är i sig annorlunda än processen att räkna). Efter att det blev klart att ett tal inte kan representeras som en bråkdel, tvingades grekerna att överväga irrationella tal, vars korrekta definition, med hjälp av en oändlig sekvens av approximationer av rationella tal, tillhör de högsta prestationerna för det mänskliga sinnet, men motsvarar knappast något verkligt i vår fysiska värld (där varje mätning alltid är föremål för fel). Inte desto mindre skedde införandet av irrationella tal mer eller mindre i andan av "idealisering" av fysiska begrepp. Men hur är det med negativa tal, som långsamt, mötte stort motstånd, började komma i vetenskaplig användning i samband med utvecklingen av algebra? Det kan med all säkerhet konstateras att det inte fanns några färdiga fysiska föremål, med utgångspunkt från vilka vi kunde utveckla konceptet med ett negativt tal med hjälp av direktabstraktionsprocessen, och i undervisningen i en elementär algebrakurs måste vi introducera många hjälpande och ganska komplexa exempel (orienterade segment, temperaturer, skulder etc.) för att förklara vad negativa tal är. Denna position är mycket långt ifrån "tydlig för alla" som Platon krävde av de idéer som ligger bakom matematiken, och det är inte ovanligt att träffa studenter som har akademiker för vilka regeln om tecken fortfarande är ett mysterium (- a)(–b) = ab. se även SIFFRA .

Situationen är ännu värre med "imaginära" eller "komplexa" tal, eftersom de innehåller ett "tal" i, Så att i 2 = -1, vilket är ett klart brott mot teckenregeln. Ändå matematiker från slutet av 1500-talet. tveka inte att utföra beräkningar med komplexa tal som om de "är vettiga", även om de för 200 år sedan inte kunde definiera dessa "objekt" eller tolka dem med hjälp av någon hjälpkonstruktion, eftersom de till exempel tolkades med riktade segment negativa tal . (Efter 1800 föreslogs flera tolkningar av komplexa tal, den mest kända var med hjälp av vektorer i planet.)

modern axiomatik.

Revolutionen ägde rum under andra hälften av 1800-talet. Och även om det inte åtföljdes av antagandet av officiella uttalanden, handlade det i verkligheten om tillkännagivandet av ett slags "självständighetsförklaring". Närmare bestämt om tillkännagivandet av en de facto-förklaring om matematikens oberoende från omvärlden.

Ur denna synvinkel är matematiska "objekt", om det är vettigt att överhuvudtaget tala om deras "existens", rena sinnesskapelser, och har de några "överensstämmelser" och om de tillåter någon "tolkning" i fysiska världen, för matematik är oviktigt (även om frågan i sig är intressant).

"Sanna" uttalanden om sådana "objekt" är alla samma logiska konsekvenser från axiomen. Men nu måste axiomen betraktas som helt godtyckliga, och därför behöver de inte vara "uppenbara" eller härledas från vardagserfarenheterna med hjälp av "idealisering". I praktiken begränsas den fullständiga friheten av olika hänsyn. Naturligtvis förblir de "klassiska" objekten och deras axiom oförändrade, men nu kan de inte betraktas som matematikens enda objekt och axiom, och vanan att kasta ut eller omarbeta axiomen så att det är möjligt att använda dem på olika sätt, som gjordes under övergången, har kommit in i vardagen, från euklidisk till icke-euklidisk geometri. (Så här erhölls många varianter av "icke-euklidiska" geometrier förutom euklidisk geometri och Lobachevsky-Bolyai geometri; till exempel finns det icke-euklidiska geometrier där det inte finns några parallella linjer.)

Jag skulle vilja betona en omständighet som följer av det nya förhållningssättet till matematiska "objekt": alla bevis måste baseras enbart på axiom. Om vi minns definitionen av ett matematiskt bevis, kan ett sådant uttalande verka som en upprepning. Men denna regel följdes sällan i klassisk matematik på grund av den "intuitiva" naturen hos dess föremål eller axiom. Även i Början Euklids, trots all sin skenbara "strikthet", är många axiom inte explicit formulerade och många egenskaper antas antingen tyst eller införs utan tillräcklig motivering. För att sätta den euklidiska geometrin på en solid grund behövdes en kritisk revidering av själva principerna. Onödigt att säga att den pedantiska kontrollen över de minsta detaljerna i beviset är en konsekvens av uppkomsten av "monster" som har lärt moderna matematiker att vara försiktiga i sina slutsatser. Det mest ofarliga och "självklara" påståendet om klassiska objekt, såsom påståendet att en kurva som förbinder punkter på motsatta sidor av en rät linje, nödvändigtvis skär denna räta linje, i modern matematik kräver ett rigoröst formellt bevis.

Det kan tyckas paradoxalt att säga att det är just på grund av dess anslutning till axiom som modern matematik fungerar som ett tydligt exempel på vad någon vetenskap borde vara. Ändå illustrerar detta tillvägagångssätt den karakteristiska egenskapen hos en av de mest grundläggande processerna för vetenskapligt tänkande - att få korrekt information i en situation med ofullständig kunskap. Den vetenskapliga studien av en viss klass av föremål tyder på att de egenskaper som gör det möjligt att skilja ett föremål från ett annat är medvetet bortglömda, och endast de allmänna egenskaperna hos föremålen som övervägs bevaras. Det som skiljer matematik från det allmänna utbudet av vetenskaper är den strikta efterlevnaden av detta program i alla dess punkter. Man tror att matematiska objekt helt bestäms av de axiom som används i teorin om dessa objekt; eller, med Poincarés ord, axiom fungerar som "förklädda definitioner" av de föremål som de refererar till.

MODERN MATEMATIK

Även om förekomsten av några axiom är teoretiskt möjlig, har endast ett litet antal axiom föreslagits och studerats hittills. Vanligtvis, under utvecklingen av en eller flera teorier, märks det att vissa bevisscheman upprepas under mer eller mindre liknande förhållanden. Efter att egenskaperna som används i de allmänna bevisscheman har upptäckts formuleras de i form av axiom, och konsekvenserna av dem byggs in i en allmän teori som inte är direkt relaterad till de specifika sammanhang som axiomen abstraherades från. De sålunda erhållna generella satserna är tillämpliga på alla matematiska situationer där det finns system av objekt som uppfyller motsvarande axiom. Upprepningen av samma bevisscheman i olika matematiska situationer tyder på att vi har att göra med olika konkretiseringar av samma allmänna teori. Detta innebär att efter en lämplig tolkning blir denna teoris axiom till satser i varje situation. Alla egenskaper som härleds från axiomen kommer att gälla i alla dessa situationer, men det finns inget behov av ett separat bevis för varje fall. I sådana fall sägs de matematiska situationerna ha samma matematiska "struktur".

Vi använder begreppet struktur i varje steg i vårt dagliga liv. Om termometern visar 10°C och prognoskontoret förutspår en temperaturhöjning på 5°C räknar vi med en temperatur på 15°C utan några beräkningar. Om boken öppnas till sidan 10 och vi ombeds titta 5 sidor längre, vi tvekar inte att öppna den på den 15:e sidan, utan att räkna mellansidorna. I båda fallen anser vi att tillägg av siffror ger rätt resultat, oavsett tolkning - i form av temperatur eller sidnummer. Vi behöver inte lära oss en aritmetik för termometrar och en annan för sidnummer (även om vi använder en speciell aritmetik för klockor, där 8 + 5 = 1, eftersom klockor har en annan struktur än sidorna i en bok). Strukturerna av intresse för matematiker kännetecknas av en något högre komplexitet, vilket lätt kan ses från exemplen, vars analys ägnas åt de följande två avsnitten i denna artikel. En av dem behandlar gruppteori och de matematiska begreppen strukturer och isomorfismer.

Gruppteori.

För att bättre förstå processen som beskrivs ovan, låt oss ta oss friheten att titta in i den moderna matematikerns laboratorium och ta en närmare titt på ett av hans huvudverktyg - gruppteori ( centimeter. också ALGEBRA ABSTRAKT). En grupp är en samling (eller "uppsättning") av objekt G, där en operation definieras som associerar två objekt eller element a, b från G, taget i angiven ordning (det första är elementet a, den andra är elementet b), det tredje elementet c från G enligt en strikt definierad regel. För korthetens skull betecknar vi detta element a*b; asterisken (*) betyder sammansättningen av två element. Denna operation, som vi kallar gruppmultiplikation, måste uppfylla följande villkor:

(1) för alla tre element a, b, c från G associativitetsegenskapen är uppfylld: a* (b*c) = (a*b) *c;

(2) in G det finns ett sådant element e, vilket för alla element a från G det finns ett samband e*a = a*e = a; detta element e kallas gruppens identitet eller neutrala element;

(3) för alla element a från G det finns ett sådant element a¢, kallas invers eller symmetrisk till element a, Vad a*aў = aў* a = e.

Om dessa egenskaper tas som axiom, så bildar de logiska konsekvenserna av dem (oberoende av andra axiom eller satser) tillsammans det som vanligtvis kallas gruppteori. Att härleda dessa konsekvenser en gång för alla visade sig vara mycket användbart, eftersom grupper används i stor utsträckning inom alla grenar av matematiken. Av de tusentals möjliga exemplen på grupper kommer vi bara att välja några av de enklaste.

(a) Bråk sid/q, var sid och qär godtyckliga heltal i1 (för q= 1 får vi vanliga heltal). Bråk sid/q bilda en grupp med avseende på gruppmultiplikation ( sid/q) *(r/s) = (pr)/(qs). Egenskaper (1), (2), (3) följer av aritmetikens axiom. Verkligen, [( sid/q) *(r/s)] *(t/u) = (prt)/(qsu) = (sid/q)*[(r/s)*(t/u)]. Identitetselementet är talet 1 = 1/1, eftersom (1/1)*( sid/q) = (IH sid)/(IH q) = sid/q. Slutligen, elementet inverst till bråket sid/q, är en bråkdel q/sid, eftersom ( sid/q)*(q/sid) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Betrakta som G uppsättning av fyra heltal 0, 1, 2, 3 och som a*b- resten av divisionen a + b 4. Resultaten av den sålunda införda operationen presenteras i tabell. 1 (element a*b står i skärningspunkten mellan linjen a och kolumn b). Det är lätt att kontrollera att egenskaperna (1)–(3) är uppfyllda och att siffran 0 är identitetselementet.

(c) Vi väljer som G uppsättning nummer 1, 2, 3, 4 och som a*b- resten av divisionen ab(vanlig produkt) med 5. Som ett resultat får vi tabellen. 2. Det är lätt att kontrollera att egenskaperna (1)–(3) är uppfyllda och att 1 är identitetselementet.

(d) Fyra objekt, såsom de fyra siffrorna 1, 2, 3, 4, kan ordnas i rad på 24 sätt. Varje plats kan visualiseras som en transformation som översätter den "naturliga" platsen till en given; till exempel erhålls platsen 4, 1, 2, 3 som ett resultat av transformationen

S: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

som kan skrivas i en mer bekväm form

För två sådana transformationer S, T vi kommer att bestämma S*T som en transformation som kommer att bli resultatet av sekventiell exekvering T, och då S. Till exempel, om , då . Med denna definition bildar alla 24 möjliga transformationer en grupp; dess identitetselement är , och elementet inverst till S, erhålls genom att ersätta pilarna i definitionen S till motsatsen; till exempel om , då .

Det är lätt att se det i de tre första exemplen a*b = b*a; i sådana fall sägs grupp- eller gruppmultiplikationen vara kommutativ. Å andra sidan, i det sista exemplet , och därmed T*S skiljer sig från S*T.

Gruppen från exempel (d) är ett specialfall av den sk. symmetrisk grupp, vars tillämpningsområde bland annat innefattar metoder för att lösa algebraiska ekvationer och linjers beteende i atomernas spektra. Grupperna i exemplen (b) och (c) spelar en viktig roll i talteorin; i exempel (b) kan siffran 4 ersättas med vilket heltal som helst n och nummer från 0 till 3 - nummer från 0 till n– 1 (när n= 12 får vi systemet av tal som finns på urtavlarna, som vi nämnde ovan); i exempel (c) kan talet 5 ersättas med vilket primtal som helst R, och nummer från 1 till 4 - nummer från 1 till sid – 1.

Strukturer och isomorfism.

De tidigare exemplen visar hur varierande karaktären hos de föremål som utgör en grupp kan vara. Men i själva verket, i varje fall, kommer allt till samma scenario: av egenskaperna hos en uppsättning objekt betraktar vi bara de som gör denna uppsättning till en grupp (detta är ett exempel på ofullständig kunskap!). I sådana fall säger vi att vi överväger en gruppstruktur som ges av vår valda gruppmultiplikation.

Ett annat exempel på en struktur är den sk. orderstruktur. Mycket av E utrustad med en ordningsstruktur, eller ordnad om mellan element a è b tillhör E, ges någon relation, som vi betecknar R (a,b). (En sådan relation borde vara vettig för alla elementpar från E, men i allmänhet är det falskt för vissa par och sant för andra, till exempel relationen 7

(1) R (a,a) är sant för var och en menägd av E;

(2) ut R (a,b) och R (b,a) följer det a = b;

(3) ut R (a,b) och R (b,c) borde R (a,c).

Låt oss ge några exempel från ett stort antal olika beställda uppsättningar.

(men) E består av alla heltal, R (a,b) är relationen " men mindre eller lika b».

(b) E består av alla heltal >1, R (a,b) är relationen " men delar upp b eller lika b».

Som ett sista exempel på en struktur nämner vi strukturen för ett metriskt utrymme; en sådan struktur ges på uppsättningen E, om varje par av element a och b tillhör E, kan du matcha numret d (a,b) i 0 som uppfyller följande egenskaper:

(1) d (a,b) = 0 om och endast om a = b;

(2) d (b,a) = d (a,b);

(3) d (a,c) Ј d (a,b) + d (b,c) för alla tre givna element a, b, c från E.

Låt oss ge exempel på metriska utrymmen:

(a) det vanliga "tredimensionella" utrymmet, där d (a,b) är det vanliga (eller "euklidiska") avståndet;

(b) ytan av en sfär, där d (a,b) är längden på den minsta cirkelbågen som förbinder två punkter a och b på sfären;

Den exakta definitionen av begreppet struktur är ganska svår. Utan att gå in på detaljer kan vi säga det på uppsättningen E en struktur av en viss typ ges om mellan elementen i uppsättningen E(och ibland andra objekt, till exempel siffror, som spelar en hjälproll) ges relationer som uppfyller någon fast uppsättning axiom som kännetecknar strukturen hos den aktuella typen. Ovan har vi gett axiom för tre typer av strukturer. Naturligtvis finns det många andra typer av strukturer vars teorier är fullt utvecklade.

Många abstrakta begrepp är nära besläktade med begreppet struktur; Låt oss bara nämna en av de viktigaste - begreppet isomorfism. Kom ihåg exemplet med grupperna (b) och (c) från föregående avsnitt. Det är lätt att kontrollera det från Tab. 1 till bordet. 2 kan navigeras med hjälp av matchning

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

I det här fallet säger vi att de givna grupperna är isomorfa. I allmänhet två grupper G och Gў är isomorfa om mellan elementen i gruppen G och gruppelement G¢ det är möjligt att upprätta en sådan en-till-en-korrespondens a « a¢ vad händer om c = a*b, då cў = aў* b¢ för relevanta element Gў. Varje påstående från gruppteorin som är sant för en grupp G, förblir giltigt för gruppen G¢ och vice versa. Algebraiskt grupper G och G¢ oskiljbar.

Läsaren kommer lätt att se att man på exakt samma sätt kan definiera två isomorfa ordnade mängder eller två isomorfa metriska rum. Det kan visas att begreppet isomorfism sträcker sig till strukturer av vilken typ som helst.

KLASSIFICERING

Gamla och nya klassificeringar av matematik.

Strukturbegreppet och andra begrepp relaterade till det har intagit en central plats i modern matematik, både ur en rent ”teknisk” och ur filosofisk och metodologisk synvinkel. Allmänna satser om huvudtyperna av strukturer fungerar som extremt kraftfulla verktyg för matematisk "teknik". Närhelst en matematiker lyckas visa att objekten han studerar uppfyller axiomen för en viss typ av struktur, bevisar han därmed att alla strukturteorems satser av denna typ gäller de specifika objekt han studerar (utan dessa allmänna satser, han mycket sannolikt skulle missade vara utom synhåll för deras specifika varianter eller skulle tvingas belasta sina resonemang med onödiga antaganden). På liknande sätt, om två strukturer bevisas vara isomorfa, så fördubblas antalet satser omedelbart: varje sats som bevisats för en av strukturerna ger omedelbart en motsvarande sats för den andra. Det är därför inte förvånande att det finns mycket komplexa och svåra teorier, till exempel "klassfältsteorin" inom talteorin, vars huvudsakliga syfte är att bevisa strukturernas isomorfism.

Ur en filosofisk synvinkel visar den utbredda användningen av strukturer och isomorfismer huvuddraget i modern matematik - det faktum att matematiska "objekts" "natur" inte spelar någon roll, bara relationerna mellan objekt är signifikanta (ett slags principen om ofullständig kunskap).

Slutligen är det omöjligt att inte nämna att strukturbegreppet gjorde det möjligt att klassificera delar av matematiken på ett nytt sätt. Fram till mitten av 1800-talet. de skilde sig åt beroende på ämnet för studien. Aritmetik (eller talteori) handlade om heltal, geometri handlade om linjer, vinklar, polygoner, cirklar, ytor och så vidare. Algebra behandlade nästan uteslutande metoder för att lösa numeriska ekvationer eller ekvationssystem, analytisk geometri utvecklade metoder för att omvandla geometriska problem till ekvivalenta algebraiska problem. Omfånget av intressen för en annan viktig gren av matematik, kallad "matematisk analys", inkluderade huvudsakligen differential- och integralkalkyl och deras olika tillämpningar för geometri, algebra och jämna talteori. Antalet av dessa applikationer ökade, och deras betydelse ökade också, vilket ledde till att matematisk analys delades upp i underavdelningar: funktionsteorin, differentialekvationer (ordinarie och partiella derivator), differentialgeometri, variationskalkyl, etc.

För många moderna matematiker påminner detta tillvägagångssätt historien om klassificeringen av djur av de första naturforskarna: en gång ansågs både havssköldpaddan och tonfisken vara fisk eftersom de levde i vatten och hade liknande egenskaper. Det moderna tillvägagångssättet har lärt oss att inte bara se vad som ligger på ytan, utan också att titta djupare och försöka känna igen de grundläggande strukturerna som ligger bakom det bedrägliga utseendet på matematiska objekt. Ur denna synvinkel är det viktigt att studera de viktigaste typerna av strukturer. Det är osannolikt att vi har till vårt förfogande en fullständig och definitiv lista över dessa typer; några av dem har upptäckts under de senaste 20 åren, och det finns all anledning att förvänta sig fler upptäckter i framtiden. Men vi har redan en uppfattning om många grundläggande "abstrakta" typer av strukturer. (De är "abstrakta" i jämförelse med matematikens "klassiska" objekt, även om de knappast kan kallas "konkreta", det är snarare en fråga om graden av abstraktion.)

Kända strukturer kan klassificeras efter de relationer de innehåller eller efter deras komplexitet. Å ena sidan finns det ett omfattande block av "algebraiska" strukturer, varav ett särskilt fall är till exempel en gruppstruktur; bland andra algebraiska strukturer namnger vi ringar och fält ( centimeter. också ALGEBRA ABSTRAKT). Den gren av matematik som sysslar med studier av algebraiska strukturer har kallats "modern algebra" eller "abstrakt algebra" i motsats till vanlig eller klassisk algebra. En betydande del av euklidisk geometri, icke-euklidisk geometri och analytisk geometri blev också en del av den nya algebra.

Det finns två andra block av strukturer på samma generella nivå. En av dem, som kallas allmän topologi, inkluderar teorier om typer av strukturer, varav ett särskilt fall är strukturen av ett metriskt utrymme ( centimeter. TOPOLOGI; abstrakta utrymmen). Det tredje blocket består av teorier om ordningsstrukturer och deras förlängningar. "Expansionen" av strukturen består i att lägga till nya till de befintliga axiomen. Till exempel, om vi lägger till egenskapen kommutativitet till gruppens axiom som det fjärde axiomet a*b = b*a, då får vi strukturen för en kommutativ (eller abelisk) grupp.

Av dessa tre block var de två sista tills nyligen i ett relativt stabilt tillstånd, och det "moderna algebra"-blocket växte snabbt, ibland i oväntade riktningar (till exempel utvecklades en hel gren, kallad "homologisk algebra"). Utanför den sk. "rena" typer av strukturer ligger på en annan nivå - "blandade" strukturer, till exempel algebraiska och topologiska, tillsammans med nya axiom som länkar dem. Många sådana kombinationer har studerats, varav de flesta faller in i två breda block - "topologisk algebra" och "algebraisk topologi".

Tillsammans utgör dessa block ett mycket solidt "abstrakt" område av vetenskap när det gäller volym. Många matematiker hoppas kunna förstå klassiska teorier bättre och lösa svåra problem med nya verktyg. Faktum är att med en lämplig nivå av abstraktion och generalisering kan de gamlas problem dyka upp i ett nytt ljus, vilket kommer att göra det möjligt att hitta sina lösningar. Enorma bitar av klassiskt material kom under den nya matematikens inflytande och förvandlades eller slogs samman med andra teorier. Det finns fortfarande stora områden där moderna metoder inte har penetrerat så djupt. Exempel är teorin om differentialekvationer och en betydande del av talteorin. Det är mycket troligt att betydande framsteg inom dessa områden kommer att uppnås efter att nya typer av strukturer har upptäckts och noggrant studerats.

FILOSOFISKA SVÅRLIGHETER

Även de gamla grekerna förstod tydligt att en matematisk teori borde vara fri från motsägelser. Detta innebär att det är omöjligt att som en logisk konsekvens av axiomen härleda påståendet R och dess förnekande P. Men eftersom man trodde att matematiska objekt har överensstämmelse i den verkliga världen, och axiom är "idealiseringar" av naturlagarna, var det ingen som tvivlade på matematikens konsistens. I övergången från klassisk matematik till modern matematik fick problemet med konsistens en annan innebörd. Friheten att välja axiom för varje matematisk teori måste uppenbarligen begränsas av konsistensvillkoret, men är det möjligt att vara säker på att detta villkor kommer att vara uppfyllt?

Vi har redan nämnt konceptet med en uppsättning. Detta begrepp har alltid använts mer eller mindre explicit inom matematik och logik. Under andra hälften av 1800-talet elementära regler för att hantera begreppet en mängd systematiserades delvis, dessutom erhölls några viktiga resultat, som utgjorde innehållet i den s.k. mängdteori ( centimeter. också MÄNGDETEORI), som har blivit, så att säga, substratet för alla andra matematiska teorier. Från antiken till 1800-talet. det fanns rädslor för oändliga uppsättningar, till exempel, vilket återspeglades i de berömda paradoxerna av Zeno av Elea (5:e århundradet f.Kr.). Dessa rädslor var dels metafysiska, dels på grund av svårigheterna förknippade med konceptet att mäta kvantiteter (till exempel längd eller tid). Det var först efter 1800-talet som dessa svårigheter eliminerades. de grundläggande begreppen för matematisk analys var strikt definierade. År 1895 var all rädsla skingrad, och det verkade som om matematiken vilade på mängdlärans orubbliga grund. Men under det kommande decenniet uppstod nya argument som tycktes visa den inneboende inkonsekvensen i mängdteorin (och resten av matematiken).

De nya paradoxerna var mycket enkla. Den första av dessa - Russells paradox - kan betraktas i en enkel version, känd som "barberarens paradox". I en viss stad rakar en barberare alla invånare som inte rakar sig. Vem rakar frisören själv? Om en barberare rakar sig, så rakar han inte bara de invånare som inte rakar sig, utan också en invånare som rakar sig själv; om han inte rakar sig, så rakar han inte alla stadens invånare som inte rakar sig. En paradox av denna typ uppstår närhelst begreppet "mängden av alla uppsättningar" övervägs. Även om detta matematiska objekt verkar väldigt naturligt leder resonemang om det snabbt till motsägelser.

Berrys paradox är ännu mer avslöjande. Tänk på uppsättningen av alla ryska fraser som inte innehåller mer än sjutton ord; antalet ord i det ryska språket är ändligt, så antalet sådana fraser är också ändligt. Vi väljer bland dem de som unikt definierar något heltal, till exempel: "Det största udda talet mindre än tio." Antalet sådana fraser är också ändligt; följaktligen är uppsättningen heltal de definierar också ändlig. Beteckna en ändlig uppsättning av dessa tal med D. Av aritmetikens axiom följer att det finns heltal som inte hör till D, och att bland dessa siffror finns det minsta antalet n. Detta nummer n definieras unikt av frasen: "Det minsta heltal som inte kan definieras av en fras som består av högst sjutton ryska ord." Men den här frasen innehåller exakt sjutton ord. Därför bestämmer den antalet n, som borde höra till D, och vi kommer fram till en paradoxal motsägelse.

Intuitionister och formalister.

Chocken orsakad av mängdlärans paradoxer gav upphov till en mängd olika reaktioner. Vissa matematiker var ganska bestämda och uttryckte uppfattningen att matematiken utvecklades i fel riktning från första början och borde bygga på en helt annan grund. Det är inte möjligt att beskriva synvinkeln hos sådana "intuitionister" (som de började kalla sig själva) med någon precision, eftersom de vägrade att reducera sina åsikter till ett rent logiskt schema. Ur intuitionisternas synvinkel är det fel att tillämpa logiska processer på objekt som inte är intuitivt representerbara. De enda intuitivt tydliga objekten är naturliga siffror 1, 2, 3,... och ändliga uppsättningar av naturliga tal, "byggda" enligt exakt givna regler. Men inte ens på sådana föremål lät intuitionisterna tillämpa alla deduktioner av klassisk logik. Till exempel kände de inte igen det för något uttalande R sant heller R, eller inte- R. Med så begränsade medel till sitt förfogande undvek de lätt "paradoxer", men därigenom kastade de överbord inte bara all modern matematik, utan också en betydande del av den klassiska matematikens resultat, och för de som fortfarande fanns kvar, nya, mer komplexa bevis måste hittas.

Den överväldigande majoriteten av moderna matematiker höll inte med om intuitionisternas argument. Icke-intuitionistiska matematiker har lagt märke till att argumenten som används i paradoxer skiljer sig markant från de som används i vanligt matematiskt arbete med mängdlära, och därför bör sådana argument uteslutas som olagliga utan att kompromissa med befintliga matematiska teorier. En annan observation var att i den "naiva" mängdläran som fanns före tillkomsten av "paradoxer" ifrågasattes inte innebörden av begreppen "mängd", "egenskap", "förhållande" - precis som i klassisk geometri den "intuitiva" karaktären hos vanliga geometriska begrepp. Följaktligen kan man gå tillväga på samma sätt som det var inom geometrin, nämligen att förkasta alla försök att vädja till "intuition" och ta utgångspunkt i mängdläran ett system av precist formulerade axiom. Det är dock inte uppenbart hur sådana ord som "egendom" eller "släktskap" kan berövas sin vanliga betydelse; men det måste göras om vi vill utesluta sådana argument som Berrys paradox. Metoden består i att avstå från att använda vanligt språk för att formulera axiom eller satser; endast meningar konstruerade enligt ett explicit system av stela regler är tillåtna som "egenskaper" eller "relationer" i matematik och ingår i formuleringen av axiom. Denna process kallas "formaliseringen" av det matematiska språket (för att undvika missförstånd som uppstår från det vanliga språkets oklarheter, rekommenderas att gå ett steg längre och ersätta själva orden med specialtecken i formaliserade meningar, till exempel byt ut bindemedlet "och" med symbolen &, det sammanbindande "eller" - med symbolen Ъ, "finns" med symbolen $, etc.). Matematiker som förkastade de metoder som intuitionisterna föreslagit kom att kallas "formalister".

Den ursprungliga frågan besvarades dock aldrig. Är "axiomatisk mängdlära" fri från motsägelser? Nya försök att bevisa överensstämmelsen i "formaliserade" teorier gjordes på 1920-talet av D. Hilbert (1862–1943) och hans skola och kallades "metamathematics". I huvudsak är metamatematik en gren av "tillämpad matematik" där objekten som matematiska resonemang tillämpas på är förslagen från en formaliserad teori och deras placering i bevis. Dessa meningar ska endast betraktas som materiella kombinationer av symboler framställda enligt vissa etablerade regler, utan någon som helst hänvisning till den möjliga "betydelsen" av dessa symboler (om det finns någon). Ett parti schack kan fungera som en bra analogi: symboler motsvarar pjäser, meningar till olika positioner på brädet och slutsatser till regler för att flytta pjäser. För att fastställa konsistensen av en formaliserad teori räcker det att visa att i denna teori slutar inget bevis med påståendet 0 nr 0. Man kan dock invända mot användningen av matematiska argument i det "metamamatiska" beviset för konsistensen av en matematisk teori; om matematiken var inkonsekvent, skulle matematiska argument förlora all kraft, och vi skulle befinna oss i en situation av en ond cirkel. För att besvara dessa invändningar tillät Hilbert användning i metamatematik mycket begränsade matematiska resonemang av den typ som intuitionister anser vara godtagbara. K. Godel visade emellertid snart (1931) att aritmetikens konsistens inte kan bevisas med så begränsade medel om den verkligen är konsekvent (omfattningen av denna artikel tillåter oss inte att presentera den geniala metod med vilken detta anmärkningsvärda resultat erhölls, och metamatematikens efterföljande historia).

Om vi sammanfattar den nuvarande problematiska situationen ur en formalistisk synvinkel måste vi erkänna att den långt ifrån är över. Användningen av begreppet en mängd har begränsats av reservationer som medvetet har införts för att undvika kända paradoxer, och det finns inga garantier för att nya paradoxer inte kommer att uppstå i en axiomatiserad mängdteori. Ändå hindrade inte begränsningarna för den axiomatiska mängdteorin födelsen av nya livskraftiga teorier.

MATTE OCH VERKLIGA VÄRLDEN

Trots påståenden om matematikens oberoende kommer ingen att förneka att matematiken och den fysiska världen är relaterade till varandra. Naturligtvis är det matematiska tillvägagångssättet för att lösa problemen med klassisk fysik fortfarande giltigt. Det är också sant att i ett mycket viktigt område inom matematiken, nämligen i teorin om differentialekvationer, vanliga och partiella derivator, är processen för ömsesidig berikning av fysik och matematik ganska fruktbar.

Matematik är användbar för att tolka fenomenen i mikrovärlden. Men de nya "tillämpningarna" av matematik skiljer sig markant från de klassiska. Ett av fysikens viktigaste verktyg har blivit sannolikhetsteorin, som tidigare främst användes inom teorin om spel och försäkring. De matematiska föremål som fysiker förknippar med "atomiska tillstånd" eller "övergångar" är mycket abstrakta till sin natur och introducerades och studerades av matematiker långt innan kvantmekanikens tillkomst. Det bör tilläggas att efter de första framgångarna uppstod allvarliga svårigheter. Detta hände vid en tidpunkt då fysiker försökte tillämpa matematiska idéer på de finare aspekterna av kvantteorin; ändå ser många fysiker fortfarande fram emot nya matematiska teorier, och tror att de kommer att hjälpa dem att lösa nya problem.

Matematik - vetenskap eller konst?

Även om vi inkluderar sannolikhetsteori eller matematisk logik i "ren" matematik, visar det sig att mindre än 50 % av kända matematiska resultat för närvarande används av andra vetenskaper. Vad ska vi tycka om den återstående hälften? Med andra ord, vilka är motiven bakom de områden inom matematiken som inte är relaterade till lösningen av fysiska problem?

Vi har redan nämnt irrationaliteten hos ett tal som en typisk representant för denna typ av teorem. Ett annat exempel är satsen bevisad av J.-L. Lagrange (1736–1813). Det finns knappast en matematiker som inte skulle kalla henne "viktig" eller "vacker". Lagranges teorem säger att vilket heltal som helst som är större än eller lika med ett kan representeras som summan av kvadraterna av högst fyra tal; till exempel, 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2. I det nuvarande tillståndet är det otänkbart att detta resultat skulle kunna vara användbart för att lösa något experimentellt problem. Det är sant att fysiker hanterar heltal mycket oftare idag än tidigare, men de heltal som de arbetar med är alltid begränsade (de överstiger sällan några hundra); därför kan en sats som Lagranges bara vara "användbar" om den tillämpas på heltal som inte går över någon gräns. Men så snart vi begränsar formuleringen av Lagranges sats, upphör den omedelbart att vara av intresse för en matematiker, eftersom hela attraktionskraften för denna sats ligger i dess tillämplighet på alla heltal. (Det finns många påståenden om heltal som kan testas av datorer för mycket stora antal, men så länge som inga generella bevis hittas förblir de hypotetiska och inte av intresse för professionella matematiker.)

Fokus på ämnen som är långt ifrån omedelbara tillämpningar är inte ovanligt för forskare som arbetar inom något område, vare sig det är astronomi eller biologi. Men även om det experimentella resultatet kan förfinas och förbättras, är det matematiska beviset alltid slutgiltigt. Det är därför det är svårt att motstå frestelsen att behandla matematik, eller åtminstone den del av den som inte har något med "verkligheten" att göra, som en konst. Matematiska problem påtvingas inte utifrån, och om vi tar den moderna synvinkeln är vi helt fria i valet av material. När de utvärderar vissa matematiska arbeten har matematiker inte "objektiva" kriterier, och de tvingas förlita sig på sin egen "smak". Smaken varierar mycket beroende på tid, land, traditioner och individer. Det finns mode och "skolor" i modern matematik. För närvarande finns det tre sådana "skolor" som vi för bekvämlighets skull kommer att kalla "klassicism", "modernism" och "abstraktionism". För att bättre förstå skillnaderna mellan dem, låt oss analysera de olika kriterier som matematiker använder när de utvärderar ett teorem eller en grupp av teorem.

(1) Enligt den allmänna uppfattningen bör ett "vackert" matematiskt resultat vara icke-trivialt, dvs. får inte vara en uppenbar konsekvens av axiom eller tidigare bevisade satser; någon ny idé måste användas i beviset, eller gamla idéer måste tillämpas på ett genialiskt sätt. Med andra ord, för en matematiker är det inte själva resultatet som är viktigt, utan processen att övervinna de svårigheter som han stötte på när han fick det.

(2) Varje matematiskt problem har sin egen historia, så att säga, "stamtavla", som följer samma allmänna mönster, enligt vilket historien om någon vetenskap utvecklas: efter de första framgångarna kan en viss tid gå innan svaret på den ställda frågan hittas. När ett beslut tas emot slutar inte historien där, för de välkända processerna av expansion och generalisering börjar. Till exempel leder Lagrange-satsen som nämns ovan till frågan om att representera vilket heltal som helst som summan av kuber, potenser 4, 5, etc. Så uppstår ”Waring-problemet”, som ännu inte fått en slutgiltig lösning. Dessutom, om vi har tur, kommer problemet vi har löst att visa sig vara relaterat till en eller flera grundläggande strukturer, och detta kommer i sin tur att leda till nya problem relaterade till dessa strukturer. Även om den ursprungliga teorin så småningom "dör", tenderar den att lämna efter sig många levande skott. Moderna matematiker står inför en sådan enorm spridning av problem att även om all koppling till experimentell vetenskap skulle avbrytas, skulle deras lösning ta flera århundraden till.

(3) Varje matematiker kommer att hålla med om att när ett nytt problem presenteras för honom, är det hans plikt att lösa det på alla möjliga sätt. När problemet gäller klassiska matematiska objekt (klassicister hanterar sällan andra typer av objekt) försöker klassicister lösa det med enbart klassiska medel, medan andra matematiker introducerar mer "abstrakta" strukturer för att använda allmänna satser relaterade till uppgift. Denna skillnad i tillvägagångssätt är inte ny. Från 1800-talet. matematiker är indelade i "taktiker" som försöker hitta en rent kraftfull lösning på problemet, och i "strateger" som är benägna till omvägar som gör det möjligt att krossa fienden med små styrkor.

(4) En väsentlig del av "skönheten" i ett teorem är dess enkelhet. Naturligtvis är sökandet efter enkelhet inneboende i allt vetenskapligt tänkande. Men försöksledare är redo att stå ut med "fula lösningar" om bara problemet är löst. På samma sätt, i matematik, är klassicister och abstraktionister inte särskilt bekymrade över utseendet på "patologiska" resultat. Å andra sidan går modernister så långt att de ser uppkomsten av "patologier" i teorin som ett symptom på ofullkomligheten hos grundläggande begrepp.

Matematisk uppslagsverk - en uppslagsbok om alla grenar av matematiken. Encyklopedin bygger på översiktsartiklar som ägnas åt matematikens viktigaste områden. Huvudkravet för artiklar av denna typ är den möjliga fullständigheten av granskningen av teorins nuvarande tillstånd med maximal tillgänglighet för presentationen; dessa artiklar är generellt tillgängliga för seniora matematikstudenter, doktorander och specialister inom närliggande matematikområden, och i vissa fall för specialister inom andra kunskapsområden som använder matematiska metoder i sitt arbete, ingenjörer och lärare i matematik. Vidare tillhandahålls medelstora artiklar om individuella specifika problem och metoder för matematik; dessa artiklar är avsedda för en snävare krets av läsare, så presentationen i dem kan vara mindre tillgänglig. Slutligen finns det ytterligare en typ av artiklar - korta referenser-definitioner. I slutet av den sista volymen av Encyclopedia kommer ett ämnesregister att placeras, som inte bara kommer att innehålla titlarna på alla artiklar, utan också många begrepp, vars definitioner kommer att ges i artiklarna av de två första typerna, samt de viktigaste resultaten som nämns i artiklarna. De flesta av artiklarna i Encyclopedia åtföljs av en referenslista med serienummer för varje titel, vilket gör det möjligt att citera i artiklarnas texter. I slutet av artiklarna (som regel) anges författaren eller källan om artikeln redan har publicerats tidigare (oftast är dessa artiklar från Great Soviet Encyclopedia). Namnen på utländska (utom forntida) vetenskapsmän som nämns i artiklarna åtföljs av latinsk stavning (om det inte finns någon hänvisning till referenslistan).

Ladda ner och läs Mathematical Encyclopedia, Volym 3, Vinogradov I.M., 1982

Ladda ner och läs Mathematical Encyclopedia, Volym 2, Vinogradov I.M., 1979

Ladda ner och läs Mathematical Encyclopedia, Volym 1, Vinogradov I.M., 1977

Algebra var ursprungligen en gren av matematiken som sysslade med att lösa ekvationer. Till skillnad från geometrin existerade den axiomatiska konstruktionen av algebra inte förrän i mitten av 1800-talet, då en i grunden ny syn på algebrans ämne och natur dök upp. Forskningen började fokusera mer och mer på studiet av så kallade algebraiska strukturer. Detta hade två fördelar. Å ena sidan klargjordes de områden som vissa satser gäller för, å andra sidan blev det möjligt att använda samma bevis inom helt olika områden. Denna uppdelning av algebra varade fram till mitten av 1900-talet och tog sitt uttryck i att två namn förekom: ”klassisk algebra” och ”modern algebra”. Den senare kännetecknas mer av ett annat namn: "abstrakt algebra". Faktum är att detta avsnitt - för första gången i matematik - präglades av fullständig abstraktion.

Ladda ner och läs Small Mathematical Encyclopedia, Fried E., Pastor I., Reiman I., Reves P., Ruja I., 1976

"Probability and Mathematical Statistics" - en uppslagsbok om sannolikhetsteori, matematisk statistik och deras tillämpningar inom olika vetenskaps- och teknikområden. Uppslagsverket har två delar: huvuddelen innehåller översiktsartiklar, artiklar som ägnas åt enskilda specifika problem och metoder, korta referenser som ger definitioner av grundläggande begrepp, de viktigaste satserna och formlerna. En betydande plats ges till tillämpade frågor - informationsteori, köteori, tillförlitlighetsteori, experimentplanering och relaterade områden - fysik, geofysik, genetik, demografi och vissa delar av tekniken. De flesta av artiklarna åtföljs av en bibliografi över de viktigaste artiklarna i denna fråga. Artiklarnas titlar ges även i engelsk översättning. Den andra delen - "Reader on Probability Theory and Mathematical Statistics" innehåller artiklar skrivna för ryska uppslagsverk från det förflutna, såväl som uppslagsverk som publicerats tidigare i andra verk. Uppslagsverket åtföljs av en omfattande lista över tidskrifter, tidskrifter och pågående publikationer som täcker problem med sannolikhetsteori och matematisk statistik.
Materialet som ingår i Encyklopedin är nödvändigt för studenter, doktorander och forskare inom matematik och andra vetenskaper som använder probabilistiska metoder i sin forskning och sitt praktiska arbete.

Ladda ner boken Matematisk uppslagsverk i 5 volymer helt gratis.

För att ladda ner en bok gratis från filhosting, klicka på länkarna direkt efter beskrivningen av den kostnadsfria boken.

Kära läsare, om ni misslyckades

ladda ner matematisk uppslagsverk i 5 volymer

Skriv om det i kommentarerna så hjälper vi dig definitivt.

Vi hoppas att du gillade boken och tyckte om att läsa den. Som tack kan du lämna en länk till vår hemsida på forumet eller bloggen :) E-bok The Mathematical Encyclopedia i 5 volymer tillhandahålls endast för granskning innan man köper en pappersbok och är inte en konkurrent till tryckta publikationer.

Matematisk uppslagsverk

Matematisk uppslagsverk- Sovjetisk encyklopedisk publikation i fem volymer ägnade åt matematiska ämnen. Utgiven -1985 av förlaget "Sovjet Encyclopedia". Chefredaktör: Akademiker I. M. Vinogradov.

Detta är en grundläggande illustrerad utgåva om alla större grenar av matematik. Boken innehåller omfattande material om ämnet, biografier om kända matematiker, ritningar, grafer, diagram och diagram.

Total volym: ca 3000 sidor. Fördelning av artiklar efter volym:

Volym 1: Abacus - Huygens princip, 576 s.
Volym 2: D'Alembert Operator - Co-op Game, 552 s.
Volym 3: Koordinater - Monomial, 592 s.
Volym 4: The Eye of the Theorem - Complex Function, 608 s.
Volym 5: Random Variable - Cell, 623 s.
Bilaga till volym 5: ämnesregister, lista över uppmärksammade typografiska fel.

Länkar

Allmänna och speciella uppslagsböcker och uppslagsverk i matematik på portalen World of Mathematical Equations, där du kan ladda ner uppslagsverket i elektronisk form.

Kategorier:

Böcker alfabetiskt
Matematisk litteratur
uppslagsverk
Böcker från förlaget "Soviet Encyclopedia"
Encyclopedia of the USSR

Wikimedia Foundation. 2010 .

Matematisk kemi
Kvantmekanikens matematiska grunder

Se vad "Mathematical Encyclopedia" är i andra ordböcker:

matematisk logik- (teoretisk logik, symbolisk logik) en gren av matematiken som studerar bevisen och frågorna om matematikens grunder. "Ämnet modern matematisk logik är varierat." Enligt definitionen av P. S. Poretsky, "matematisk ... ... Wikipedia

Encyklopedi- (nytt lat. uppslagsverk (inte tidigare än 1500-talet) från andra grekiska ἐγκύκλιος παιδεία "träning i en hel cirkel", κύκλος cirkel och παιδεί wikipedia) förde in utbildning i systemeia ...

ENCYKLOPEDI- (från grekiskan. enkyklios paideia utbildning i hela kunskapsområdet), vetenskaplig. eller vetenskaplig populär uppslagsbok som innehåller systematizir. kunskapsbank. Material i E. är ordnat alfabetiskt eller systematiskt. princip (genom kunskapsgrenar). ... ... Naturvetenskap. encyklopedisk ordbok

MATEMATISK LOGIK- ett av namnen på modern logik, som kom i den andra. golv. 19 tidigt 1900-talet istället för traditionell logik. Termen symbolisk logik används också som ett annat namn för det moderna stadiet i utvecklingen av logikvetenskapen. Definition … … Filosofisk uppslagsverk

MATEMATISK OFINHET- vanligt namn dec. förverkliganden av idén om oändlighet i matematik. Även om mellan betydelserna av begreppet M. b. och andra betydelser, där termen oändlighet används, finns det ingen stel gräns (eftersom alla dessa begrepp i slutändan återspeglar mycket ... ... Filosofisk uppslagsverk

MATEMATISK INDUKTION- fullständig matematisk induktion (i matematik kallas det ofta helt enkelt fullständig induktion; i det här fallet bör detta begrepp särskiljas från begreppet fullständig induktion som betraktas i icke-matematisk formell logik), - metoden för att bevisa allmänna påståenden i ... ... Filosofisk uppslagsverk

MATEMATISK HYPOTES- en påstådd förändring av ekvationens form, typ, karaktär som uttrycker lagen för det studerade fenomenområdet, i syfte att utvidga det till ett nytt, ännu outforskat område som en lag som är inneboende i det. M. används flitigt i modern. teoretiska ... ... Filosofisk uppslagsverk

MATEMATISK SKOLA I POLITISK EKONOMI- Engelsk. matematisk skola i politisk ekonomi; tysk matematiska Schule in der politischen Okonomie. Den riktning i polit, ekonomi, som uppstod under andra hälften av 1800-talet, gav dess företrädare (L. Walras, V. Pareto, O. Jevons, etc.) ... ... Encyclopedia of Sociology

MATEMATISK SKOLA I SOCIOLOGI- Engelsk. matematisk skola i sociologi; tysk matematiska Schule in der Soziologie. Den riktning inom sociologi som uppstod under första hälften av 1900-talet, vars grundare (A. Zipf, E. Dodd och andra) trodde att sociologens teorier når nivån ... ... Encyclopedia of Sociology

Matematisk modell av byggnader och strukturer- Matematisk (dator)modell av byggnader och strukturer - representation av byggnader och strukturer i form av ett finita elementdiagram för numeriska beräkningar vid lösning av en uppsättning problem som uppstår i design, konstruktion och ... ... Uppslagsverk över termer, definitioner och förklaringar av byggmaterial

Böcker

Matematisk uppslagsverk (uppsättning om 5 böcker), . The Mathematical Encyclopedia är en praktisk uppslagsbok om alla grenar av matematiken. Encyklopedin bygger på artiklar som ägnas åt de viktigaste områdena inom matematiken. Platsprincip...

Matematisk uppslagsverk - en uppslagsbok om alla grenar av matematiken. Encyklopedin bygger på översiktsartiklar som ägnas åt matematikens viktigaste områden. Huvudkravet för artiklar av denna typ är den möjliga fullständigheten av granskningen av teorins nuvarande tillstånd med maximal tillgänglighet för presentationen; dessa artiklar är generellt tillgängliga för seniora matematikstudenter, doktorander och specialister inom närliggande matematikområden, och i vissa fall - för specialister inom andra kunskapsområden som använder matematiska metoder i sitt arbete, ingenjörer och lärare i matematik. Vidare tillhandahålls medelstora artiklar om individuella specifika problem och metoder för matematik; dessa artiklar är avsedda för en snävare krets av läsare, så presentationen i dem kan vara mindre tillgänglig. Slutligen finns det ytterligare en typ av artiklar - korta referenser-definitioner. Vissa definitioner ges i de två första typerna av artiklar. De flesta av artiklarna i Encyclopedia åtföljs av en referenslista med serienummer för varje titel, vilket gör det möjligt att citera i artiklarnas texter. I slutet av artiklarna (som regel) anges författaren eller källan om artikeln redan har publicerats tidigare (oftast är dessa artiklar från Great Soviet Encyclopedia). Namnen på utländska (utom forntida) vetenskapsmän som nämns i artiklarna åtföljs av latinsk stavning (om det inte finns någon hänvisning till referenslistan).

Principen för arrangemang av artiklar i Encyclopedia är alfabetisk. Om titeln på artikeln är en term som har en synonym, så anges den senare efter den huvudsakliga. I många fall består artikeltitlar av två eller flera ord. I dessa fall ges termerna antingen i den vanligaste formen, eller så sätts huvudordet i betydelse i första hand. Om titeln på en artikel innehåller ett egennamn placeras den först (i referenslistan för sådana artiklar finns det som regel en primär källa som förklarar termens namn). Artiklarnas titlar anges mestadels i singular.

Encyclopedia använder i stor utsträckning ett system med länkar till andra artiklar, där läsaren kommer att hitta ytterligare information om ämnet som behandlas. Definitionen hänvisar inte till termen som förekommer i artikelns titel.

För att spara utrymme i artiklarna antas de vanliga förkortningarna av vissa ord för uppslagsverk.

Jobbade på volym 1

Mathematics Editorial Board of the Soviet Encyclopedia Publishing House - V. I. BITYUTSKOV (chef för redaktionen), M. I. VOITSEHOVSKY (vetenskaplig redaktör), Yu. A. GORBKOV (vetenskaplig redaktör), A. B. IVANOV (Senior vetenskaplig redaktör), O A. IVANOVA ( senior vetenskaplig redaktör), T. Yu. L. R. KHABIB (biträdande redaktör).

Anställda i förlaget: E. P. RYABOVA (litterära redaktionen). E. I. ZHAROVA, A. M. MARTYNOV (bibliografi). A. F. DALKOVSKY (transkription). N. A. FEDOROV (Inköpsavdelningen). 3. A. SUKHOVA (redaktionella illustrationer). E. I. ALEKSEEVA, N. YU. KRUZHALOV (redaktionsordbok). M. V. AKIMOVA, A. F. PROSHKO (korrekturläsning). G. V. SMIRNOV (teknisk utgåva).

Omslag av konstnären R. I. MALANICHEV.

Ytterligare information om volym 1

Förlaget "Sovjet Encyclopedia"

Encyclopedias ordböcker referensböcker

Vetenskaplig - redaktion för förlaget

A. M. PROKHOROV (ordförande), I. V. ABASHIDZE, P. A. AZIMOV, A. P. ALEKSANDROV, V. A. AMBARTZUMYAN, I. I. ARTOBOLEVSKY, A. V. ARTSIKHOVSKY, M. S. ASIMOV , M. P. Yaov., M. P. Baz. , VV Volsky, BM Vul, BG Gafurov, SR Gershberg, MS Gilyarov, VP Glushko, VM Glushkov, G. N GOLIKOV, DB GULIEV, AA GUSEV (vice ordförande), VP ELYUTIN, VS EMELYANOV, EM ZHUKOV, AA IMSHENETSKY, AA INNHENETSKY INOZEMTSEV, M I. Kabachnik, S. V. Kalesnik, G. A. Karavaev, K. K. Karakeev, M. K. Karataev, B. M. Kedrov, G. V. Keldysh, V. A. Kirillin och I. L KNUNYANTS, SM KOVALEV (förste suppleant, V. V. K. V. V. K. V. V. V. K. V. V. K. (vice ordförande), BV KUKARKIN, VG KULIKOV, I. A. Kutuzov, P. P. Lobanov, G. M. Loza, Yu. E. Maksarev, P. A. Markov, A. I. Markushevich, Yu. Yu. Obichkin, B. E. Paton, V. M. Polevo J, M. A. Prokofiev, Yu. V. Prokhorov, N. F. Rostovtsev, A. M. Rumyantsev, B. A. Rybakov, V. P. Samson, M. I. Sladkovsky, V. I. Smirnov, DN SOLOVIEV (vice ordförande), VG SOLODOVNIKOV, V. A. STOLUKOVN, V. I. , SA TOKAREV, VA Trapeznikov, E. K. Fedorov, M. B. Khrapchenko, E. I. Chazov, V. N. Chernigovskii, Ya. E. Shmushkis och S. I. Yutkevich Rådets sekreterare L. V. KIRILLOVA.

Moskva 1977

Matematisk uppslagsverk. Volym 1 (A - D)

Chefredaktör I. M. VINOGRADOV

Redaktionsgrupp

S. I. ADYAN, P. S. ALEKSANDROV, N. S. BAKHVALOV, V. I. BITYUTSKOV (ställföreträdande chefredaktör), A. V. BITSADZE, L. N. BOLSHEV, A. A. GONCHAR, N. V. Efimov, VA Ilyin, AA Karatsubavish, AA Karatsuba, Levzhan Lev, AA Karatsubavt, M. SP Novikov och EG Poznyak, Yu. V. PROKHOROV (ställföreträdande chefredaktör), A. G. SVESHNIKOV, A. N. TIKHONOV, P. L. ULYANOV, A. I. SHIRSHOV, S. V. YABLONSKY

Matematisk uppslagsverk. Ed. kollegium: I. M. Vinogradov (redaktörschef) [och andra] T. 1 - M., "Sovjetuppslagsverket", 1977

(Encyclopedias. Dictionaries. Reference books), vol. 1. A - G. 1977. 1152 stb. från sjuk.

Överlämnad till uppsättningen 9. 06. 1976. Signerad för tryckning 18. 02. 1977. Tryckning av text från matriser gjorda i Första exemplariska tryckeriet. A. A. Zhdanova. Order of the Red Banner of Labor, förlaget "Sovjet Encyclopedia". 109817. Moskva, Zh - 28, Pokrovsky Boulevard, 8. T - 02616 Upplaga 150 000 exemplar. Best.nr 418. Tryckpapper nr 1. Pappersstorlek 84xl08 1/14. Volym 36 fysisk p.l. ; 60, 48 konv. p.l. text. 101, 82 konton - ed. l. Priset på boken är 7 rubel. 10 k.

Order of the Red Banner of Labour Moskvas tryckeri nr 1 "Soyuzpoligrafprom" under statskommittén för USSR:s ministerråd för publicering, tryckning och bokhandel, Moskva, I - 85, Prospekt Mira, 105. Order nr. 865.