Gymnasieutbildning

UMK-linjen G.K. Muravin. Algebra och början på matematisk analys (10-11) (djupgående)

UMK Merzlyak-linjen. Algebra och analysens början (10-11) (U)

Matte

Förberedelse inför tentamen i matematik (profilnivå): uppgifter, lösningar och förklaringar

Vi analyserar uppgifter och löser exempel med en lärare

Examensarbetet på profilnivå varar 3 timmar 55 minuter (235 minuter).

Minsta tröskel - 27 poäng.

Examensarbetet består av två delar som skiljer sig åt i innehåll, komplexitet och antal uppgifter.

Det definierande inslaget i varje del av arbetet är formen av uppgifter:

• del 1 innehåller 8 uppgifter (uppgifter 1-8) med ett kort svar i form av ett heltal eller slutlig decimalfraktion;
• del 2 innehåller 4 uppgifter (uppgifter 9-12) med ett kort svar i form av ett heltal eller en slutlig decimalfraktion och 7 uppgifter (uppgifter 13-19) med ett detaljerat svar (en fullständig registrering av beslutet med motivering av de utförda åtgärderna).

Panova Svetlana Anatolyevna, lärare i matematik i högsta kategorin av skolan, arbetslivserfarenhet 20 år:

”För att få ett skolcertifikat måste en examen klara två obligatoriska prov i form av Unified State Exam, varav en är matematik. I enlighet med konceptet för utveckling av matematisk utbildning i Ryska federationen är Unified State Exam in Mathematics uppdelat i två nivåer: grundläggande och specialiserade. Idag kommer vi att överväga alternativ för profilnivån. "

Uppgift nummer 1 - testar USE-deltagarnas förmåga att tillämpa de färdigheter som förvärvats under 5-9 betyg i elementär matematik i praktiska aktiviteter. Deltagaren måste ha beräkningsförmåga, kunna arbeta med rationella tal, kunna avrunda decimalfraktioner, kunna omvandla en måttenhet till en annan.

Exempel 1. I lägenheten där Peter bor installerades en kallvattenmätare (meter). Den 1 maj visade mätaren en förbrukning på 172 kubikmeter. m vatten och den 1 - 177 kubikmeter. m. Vilket belopp ska Peter betala för kallt vatten i maj, om priset på 1 cu. m kallt vatten är 34 rubel 17 kopeck? Ge ditt svar i rubel.

Beslut:

1) Hitta mängden vatten som spenderas per månad:

177 - 172 \u003d 5 (kubikmeter)

2) Låt oss hitta hur mycket pengar som kommer att betalas för vattnet som spenderas:

34,17 5 \u003d 170,85 (gnugga)

Svar: 170,85.

Uppgift nummer 2-är en av de enklaste examensuppgifterna. De flesta akademiker klarar det framgångsrikt, vilket indikerar att de har behärskat definitionen av begreppet funktion. Typ av uppgift nummer 2 enligt kraven kodifierare är en uppgift för att använda förvärvad kunskap och färdigheter i praktiska aktiviteter och vardag. Uppgift nummer 2 består av beskrivningen med funktioner för olika verkliga förhållanden mellan kvantiteterna och tolkningen av deras grafer. Uppgift nummer 2 testar förmågan att extrahera information som presenteras i tabeller, diagram, grafer. Utexaminerade måste kunna bestämma värdet på en funktion utifrån argumentets värde på olika sätt för att definiera en funktion och beskriva funktionens egenskaper och egenskaper genom dess graf. Det är också nödvändigt att kunna hitta det största eller minsta värdet på grafen för funktionen och bygga grafer för de studerade funktionerna. De misstag som gjorts är slumpmässiga när man läser problemförklaringen och läser diagrammet.

# ADVERTISING_INSERT #

Exempel 2. Figuren visar förändringen i marknadsvärdet för en aktie i ett gruvföretag under första hälften av april 2017. Den 7 april förvärvade affärsmannen 1000 aktier i detta företag. Den 10 april sålde han tre fjärdedelar av de köpta aktierna och den 13 april sålde han resten. Hur mycket förlorade affärsmannen till följd av dessa operationer?

Beslut:

2) 1000 3/4 \u003d 750 (aktier) - utgör 3/4 av alla köpta aktier.

6) 247500 + 77500 \u003d 325000 (rubel) - affärsmannen fick efter försäljningen av 1000 aktier.

7) 340 000 - 325 000 \u003d 15 000 (rubel) - affärsmannen förlorade till följd av all verksamhet.

Svar: 15000.

Uppgift nummer 3- är en uppgift om grundnivån för den första delen, testar förmågan att utföra handlingar med geometriska former enligt innehållet i kursen "Planimetri". I uppgift 3 testas förmågan att beräkna arean på en figur på rutigt papper, förmågan att beräkna vinklarnas gradmått, beräkna omkretsar etc.

Exempel 3. Hitta området för en rektangel avbildad på rutigt papper med en cellstorlek på 1 cm x 1 cm (se bild). Ge ditt svar i kvadratcentimeter.

Beslut: För att beräkna ytan för en viss form kan du använda plockformeln:

För att beräkna arean för denna rektangel använder vi Pick-formeln:

S \u003d B +	D
	2

där B \u003d 10, G \u003d 6, därför

S = 18 +	6
	2

Svar: 20.

Se även: Unified State Exam in Physics: Solving Oscillation Problems

Uppgift nummer 4 - uppgiften för kursen "Sannolikhetsteori och statistik". Förmågan att beräkna sannolikheten för en händelse i den enklaste situationen testas.

Exempel 4. Det finns 5 röda och 1 blå punkter markerade på cirkeln. Bestäm vilka polygoner som finns fler: de med alla hörn är röda eller de med en av hörnarna blå. Ange i ditt svar hur många av några som är fler än andra.

Beslut: 1) Vi använder formeln för antalet kombinationer från n element av k:

där alla hörn är röda.

3) En femkant med alla röda hörn.

4) 10 + 5 + 1 \u003d 16 polygoner med alla hörn röda.

vars hörn är röda eller med en blå topp.

vars hörn är röda eller med en blå topp.

8) En sexkant, med röda toppar med en blå topp.

9) 20 + 15 + 6 + 1 \u003d 42 polygoner där alla hörn är röda eller med en blå topp.

10) 42 - 16 \u003d 26 polygoner med den blå punkten.

11) 26 - 16 \u003d 10 polygoner - hur många polygoner med en av hörnpunkterna - en blå punkt, mer än polygoner med alla hörn bara röda.

Svar: 10.

Uppgift nummer 5 - grundnivån i den första delen testar förmågan att lösa de enklaste ekvationerna (irrationell, exponentiell, trigonometrisk, logaritmisk).

Exempel 5. Lös ekvationen 2 3 + x \u003d 0,4 5 3 + x .

Beslut. Dela båda sidor av denna ekvation med 5 3 + x ≠ 0, vi förstår

2 3 + x	\u003d 0,4 eller		2		3 + x	=	2	,
5 3 + x			5				5

varifrån det följer att 3 + x = 1, x = –2.

Svar: –2.

Uppgift nummer 6 på planimetri för att hitta geometriska kvantiteter (längder, vinklar, områden), modellera verkliga situationer på geometrispråket. Forskning av de konstruerade modellerna med geometriska begrepp och satser. Källan till svårigheter är som regel okunnighet eller felaktig tillämpning av de nödvändiga planimetritningarna.

Område i en triangel ABC är lika med 129. DE - mittlinjen parallellt med sidan AB... Hitta området för trapezoid EN SÄNG.

Beslut. Triangel CDE som en triangel CAB i två hörn, eftersom toppvinkeln C allmänt, vinkel CDE lika med vinkeln CAB som motsvarande vinklar vid DE || AB sekant AC... Som DE - mittlinjen i triangeln efter tillstånd, sedan efter mittlinjens egenskap | DE = (1/2)AB... Detta innebär att likhetskoefficienten är 0,5. Områdena för sådana siffror är därför relaterade som kvadraten för likhetskoefficienten

Därav, S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Uppgift nummer 7- kontrollerar tillämpningen av derivatet för studiet av funktionen. För framgångsrik implementering krävs en meningsfull, icke-formell kunskap om begreppet derivat.

Exempel 7. Gå till funktionsdiagrammet y = f(x) vid punkten med abscissan x 0 ritas en tangent som är vinkelrät mot den raka linjen som passerar genom punkterna (4; 3) och (3; –1) i denna graf. Hitta f′( x 0).

Beslut. 1) Låt oss använda ekvationen för en rak linje som passerar genom två angivna punkter och hitta ekvationen för en rak linje som passerar genom punkterna (4; 3) och (3; –1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x + 16 | · (-1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x - 13, där k 1 = 4.

2) Hitta lutningen för tangenten k 2, som är vinkelrät mot den raka linjen y = 4x - 13, där k 1 \u003d 4, enligt formeln:

3) Tangentens lutning är derivat av funktionen vid tangenspunkten. Därav, f′( x 0) = k 2 = –0,25.

Svar: –0,25.

Uppgift nummer 8- testar examensdeltagarnas kunskaper om elementär stereometri, förmågan att tillämpa formler för att hitta områdena ytor och volymer av figurer, dihedrala vinklar, för att jämföra volymerna av liknande figurer, för att kunna utföra åtgärder med geometriska figurer, koordinater och vektorer etc.

Volymen på kuben som beskrivs runt sfären är 216. Hitta sfärens radie.

Beslut. 1) V kub \u003d a 3 (där och Är längden på kubens kant), därför

och 3 = 216

och = 3 √216

2) Eftersom sfären är inskriven i en kub betyder det att längden på sfärens diameter är lika med längden på kubens kant, därför d = a, d = 6, d = 2R, R = 6: 2 = 3.

Uppgift nummer 9 - kräver av examen färdigheterna att konvertera och förenkla algebraiska uttryck. Uppgift nummer 9 med ökad svårighetsgrad med ett kort svar. Uppgifterna från avsnittet "Beräkningar och omvandlingar" i provet är indelade i flera typer:

konvertering av numeriska rationella uttryck;

transformationer av algebraiska uttryck och fraktioner;

konvertera numeriska / alfabetiska irrationella uttryck;

handlingar med grader;

transformation av logaritmiska uttryck;

1. konvertera numeriska / alfabetiska trigonometriska uttryck.

Exempel 9. Beräkna tgα om det är känt att cos2α \u003d 0,6 och

3π	< α < π.
4

Beslut. 1) Vi kommer att använda formeln för det dubbla argumentet: cos2α \u003d 2 cos 2 α - 1 och hitta

tg 2 a \u003d	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Följaktligen tg 2 α \u003d ± 0,5.

3) Enligt villkor

3π	< α < π,
4

följaktligen är α vinkeln för II-kvartalet och tgα< 0, поэтому tgα = –0,5.

Svar: –0,5.

# ADVERTISING_INSERT # Uppgift nummer 10- testar elevernas förmåga att använda tidigt förvärvade kunskaper och färdigheter i praktiken och vardagen. Vi kan säga att detta är problem i fysik och inte i matematik, men alla nödvändiga formler och kvantiteter anges i tillståndet. Uppgifterna reduceras till att lösa en linjär eller kvadratisk ekvation eller en linjär eller kvadratisk ojämlikhet. Därför är det nödvändigt att kunna lösa sådana ekvationer och ojämlikheter och bestämma svaret. Svaret ska vara antingen ett heltal eller en slutlig decimalfraktion.

Två kroppar som väger m \u003d 2 kg vardera, rör sig i samma hastighet v \u003d 10 m / s i en vinkel på 2α mot varandra. Energin (i joule) som frigörs under deras absolut oelastiska kollision bestäms av uttrycket F = mv 2 sin 2 α. Vad är den minsta vinkeln 2a (i grader) ska kropparna röra sig för att frigöra minst 50 joule till följd av kollisionen?
Beslut. För att lösa problemet måste vi lösa ojämlikheten Q ≥ 50, i intervallet 2α ∈ (0 °; 180 °).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 sin 2 α ≥ 50

Eftersom α ∈ (0 °; 90 °) löser vi bara

Låt oss representera lösningen av ojämlikheten grafiskt:

Eftersom det enligt tillstånd α ∈ (0 °; 90 °) betyder det 30 ° ≤ α< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Uppgift nummer 11 - är typiskt, men visar sig vara svårt för studenter. Den största källan till svårigheter är att bygga en matematisk modell (ekvationsskrivning). Uppgift nummer 11 testar förmågan att lösa ordproblem.

Exempel 11. Under våren var 11-årig Vasya tvungen att lösa 560 träningsproblem för att förbereda sig för Unified State Exam. Den 18 mars, den sista skoldagen, löste Vasya fem problem. Sedan löste han samma antal uppgifter varje dag mer än föregående dag. Bestäm hur många problem Vasya löste den 2 april den sista dagen av semestern.

Beslut: Vi betecknar a 1 \u003d 5 - antalet uppgifter som Vasya löste den 18 mars, d - det dagliga antalet uppgifter som Vasya har löst, n \u003d 16 - antalet dagar från 18 mars till och med 2 april, S 16 \u003d 560 - det totala antalet uppgifter, a 16 - antalet problem som Vasya löste den 2 april. Att veta att Vasya varje dag löste samma antal problem mer jämfört med föregående dag, så kan du använda formlerna för att hitta summan av en aritmetisk progression:

560 = (5 + a 16) 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Svar: 65.

Uppgift nummer 12- testa elevernas förmåga att utföra åtgärder med funktioner, kunna tillämpa ett derivat på studiet av en funktion.

Hitta den maximala punkten för en funktion y \u003d 10ln ( x + 9) – 10x + 1.

Beslut: 1) Hitta domänen för funktionen: x + 9 > 0, x \u003e –9, det vill säga x ∈ (–9; ∞).

2) Hitta funktionens derivat:

4) Den hittade punkten tillhör intervallet (–9; ∞). Låt oss bestämma tecknen på funktionens derivat och skildra funktionens beteende i figuren:

Söker maximal punkt x = –8.

Ladda ner ett arbetsprogram i matematik gratis för G.K.s undervisningsmetoder. Muravina, K.S. Muravina, O. V. Muravina 10-11 Ladda ner gratis läromedel om algebra

Uppgift nummer 13-ökad svårighetsgrad med ett detaljerat svar, som testar förmågan att lösa ekvationer, den mest framgångsrika lösningen bland uppgifter med ett detaljerat svar på en ökad nivå av komplexitet.

a) Lös ekvationen 2log 3 2 (2cos x) - 5log 3 (2cos x) + 2 = 0

b) Hitta alla rötterna i denna ekvation som tillhör segmentet.

Beslut: a) Låt logga 3 (2cos x) = t, sedan 2 t 2 – 5t + 2 = 0,

	logg 3 (2cos x) =	2	⇔		2cos x = 9	⇔		cos x =	4,5	⇔ sedan | cos x| ≤ 1,
	logg 3 (2cos x) =	1			2cos x = √3			cos x =	√3
		2							2

sedan cos x =	√3
	2

	x =	π	+ 2π k
		6
	x = –	π	+ 2π k, k ∈ Z
		6

b) Hitta rötterna som ligger på segmentet.

Figuren visar att rötterna

11π	och	13π	.
6		6

Svar: och)	π	+ 2π k; –	π	+ 2π k, k ∈ Z; b)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Uppgift nummer 14- avancerad nivå hänvisar till uppgifterna i den andra delen med ett detaljerat svar. Uppgiften testar förmågan att utföra åtgärder med geometriska former. Uppgiften innehåller två objekt. I första stycket måste uppgiften bevisas och i andra stycket måste den beräknas.

Diametern på cylinderns bas är 20, cylinderns generatris är 28. Planet skär dess bas längs ackorden med längden 12 och 16. Avståndet mellan ackorden är 2√197.

a) Bevisa att mitten av cylinderns baser ligger på ena sidan av detta plan.

b) Hitta vinkeln mellan detta plan och planet för cylinderns botten.

Beslut: a) Ett ackord med en längd av 12 är beläget på ett avstånd \u003d 8 från centrum av bascirkeln, och ett ackord med en längd av 16, på samma sätt, på ett avstånd av 6. Därför är avståndet mellan deras utsprång till ett plan parallellt med cylindrarnas baser antingen 8 + 6 \u003d 14 eller 8 - 6 \u003d 2.

Då är avståndet mellan ackorden antingen

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

Genom hypotesen realiserades det andra fallet, där ackordernas utsprång ligger på ena sidan av cylinderaxeln. Detta innebär att axeln inte skär detta plan inuti cylindern, det vill säga baserna ligger på ena sidan av den. Vad som krävdes för att bevisa.

b) Låt oss beteckna basernas centrum för O 1 och O 2. Låt oss rita från mitten av basen med ett ackord med längd 12 en mitt vinkelrätt mot detta ackord (den har en längd på 8, som redan nämnts) och från mitten av den andra basen till ett annat ackord. De ligger i samma plan β, vinkelrätt mot dessa ackord. Vi kallar mittpunkten för det mindre ackordet B större än A och projektionen av A på den andra basen H (H ∈ β). Sedan är AB, AH ∈ β och därför AB, AH vinkelrätt mot ackordet, det vill säga skärningslinjen för basen med det givna planet.

Därför är den önskade vinkeln

∠ABH \u003d arctg	AH	\u003d arctg	28	\u003d arctg14.
	BH		8 – 6

Uppgift nummer 15 - ökad svårighetsgrad med ett detaljerat svar, testar förmågan att lösa ojämlikheter, vilket är mest framgångsrikt löst bland uppgifter med ett detaljerat svar på en ökad nivå av komplexitet.

Exempel 15. Lös ojämlikhet | x 2 – 3x| Logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Beslut: Domänen för denna ojämlikhet är intervallet (–1; + ∞). Tänk på tre fall separat:

1) Låt x 2 – 3x \u003d 0, dvs. x\u003d 0 eller x \u003d 3. I det här fallet blir denna ojämlikhet sann, därför ingår dessa värden i lösningen.

2) Låt nu x 2 – 3x \u003e 0, dvs. x ∈ (–1; 0) ∪ (3; + ∞). Dessutom kan denna ojämlikhet skrivas om som ( x 2 – 3x) Logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2 och dela med positivt x 2 – 3x... Vi får logg 2 ( x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x ≤ 0,5 -1 eller x ≤ –0,5. Med hänsyn till definitionsdomänen har vi x ∈ (–1; –0,5].

3) Tänk slutligen x 2 – 3x < 0, при этом x ∈ (0; 3). I det här fallet kommer den ursprungliga ojämlikheten att skrivas om som (3 x – x 2) logg 2 ( x + 1) ≤ 3x – x 2. Efter delning med positivt uttryck 3 x – x 2, vi får logg 2 ( x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x ≤ 1. Med hänsyn till regionen har vi x ∈ (0; 1].

Genom att kombinera de erhållna lösningarna får vi x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Svar: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Uppgift nummer 16- avancerad nivå hänvisar till uppgifterna i den andra delen med ett detaljerat svar. Uppgiften testar förmågan att utföra åtgärder med geometriska former, koordinater och vektorer. Uppgiften innehåller två objekt. I första stycket måste uppgiften bevisas och i andra stycket måste den beräknas.

Halvsekvensen BD ritas i en likbent triangel ABC med en vinkel på 120 ° vid topp A. Rektangel DEFH är inskriven i triangeln ABC så att sidan FH ligger på segment BC och toppunkt E ligger på segment AB. a) Bevisa att FH \u003d 2DH. b) Hitta området för rektangeln DEFH om AB \u003d 4.

Beslut: och)

1) ΔBEF - rektangulär, EF⊥BC, ∠B \u003d (180 ° - 120 °): 2 \u003d 30 °, sedan EF \u003d BE av egenskapen för benet som ligger mittemot vinkeln 30 °.

2) Låt EF \u003d DH \u003d x, sedan BE \u003d 2 x, BF \u003d x√3 av Pythagoras sats.

3) Eftersom ΔABC är likbenade betyder det att ∠B \u003d ∠C \u003d 30˚.

BD är delningen av ∠B, så ∠ABD \u003d ∠DBC \u003d 15˚.

4) Tänk på ΔDBH - rektangulär, eftersom DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x(√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF \u003d 3 - √3

2) S DEFH \u003d ED EF \u003d (3 - √3) 2 (3 - √3)

S DEFH \u003d 24 - 12√3.

Svar: 24 – 12√3.

Uppgift nummer 17 - en uppgift med ett detaljerat svar, denna uppgift testar tillämpningen av kunskaper och färdigheter i praktisk aktivitet och vardag, förmågan att bygga och utforska matematiska modeller. Denna uppgift är ett textproblem med ekonomiskt innehåll.

Exempel 17. Insättningen på 20 miljoner rubel är planerad att öppnas i fyra år. I slutet av varje år ökar banken sin insättning med 10% jämfört med sin storlek i början av året. Dessutom, i början av det tredje och fjärde året, fyller insättaren årligen på insättningen med x miljoner rubel, var x - hela siffra. Hitta det största värdet x, där banken kommer att debitera insättningen mindre än 17 miljoner rubel på fyra år.

Beslut: I slutet av det första året kommer bidraget att vara 20 + 20 · 0,1 \u003d 22 miljoner rubel och i slutet av det andra - 22 + 22 · 0,1 \u003d 24,2 miljoner rubel. I början av det tredje året kommer bidraget (i miljoner rubel) att vara (24,2 + x), och i slutet - (24,2 + x) + (24,2 + x) 0,1 \u003d (26,62 + 1,1 x). I början av det fjärde året kommer bidraget att vara (26,62 + 2,1 x)och i slutet - (26.62 + 2.1 x) + (26,62 + 2,1x0,1 \u003d (29,282 + 2,31 x). Enligt hypotesen måste du hitta det största heltalet x för vilket ojämlikheten

(29,282 + 2,31x) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Den största heltalslösningen på denna ojämlikhet är 24.

Svar: 24.

Uppgift nummer 18 - en uppgift med ökad komplexitet med ett detaljerat svar. Denna uppgift är avsedd för konkurrensutsatt urval till universitet med ökade krav på matematisk utbildning av sökande. En uppgift av hög komplexitetsnivå är en uppgift inte för att använda en lösningsmetod utan för en kombination av olika metoder. För ett framgångsrikt genomförande av uppgift 18 krävs förutom gedigen matematisk kunskap också en hög nivå av matematisk kultur.

Under vad a ojämlikhetssystem

	x 2 + y 2 ≤ 2ay – a 2 + 1
	y + a ≤ |x| – a

har exakt två lösningar?

Beslut: Detta system kan skrivas om som

	x 2 + (y– a) 2 ≤ 1
	y ≤ |x| – a

Om vi \u200b\u200bpå planet ritar lösningen för den första ojämlikheten får vi det inre av en cirkel (med en gräns) med radie 1 centrerad vid punkten (0, och). Uppsättningen lösningar på den andra ojämlikheten är den del av planet som ligger under grafen för funktionen y = | x| – a, och det senare är funktionsdiagrammet
y = | x| flyttas ner med och... Lösningen på detta system är skärningspunkten mellan lösningsuppsättningarna för var och en av ojämlikheterna.

Följaktligen kommer detta system att ha två lösningar endast i det fall som visas i fig. 1.

Tangenspunkterna i cirkeln med raka linjer kommer att vara två lösningar på systemet. Var och en av de raka linjerna lutar mot axlarna i en vinkel på 45 °. Så triangeln PQR - rektangulära likben. Punkt F har koordinater (0, och) och poängen R - koordinater (0, - och). Dessutom segmenten PR och PQ är lika med cirkelns radie lika med 1. Följaktligen

Qr= 2a = √2, a =	√2	.
	2

Svar: a =	√2	.
	2

Uppgift nummer 19- en uppgift med ökad komplexitet med ett detaljerat svar. Denna uppgift är avsedd för konkurrensutsatt urval till universitet med ökade krav på matematisk utbildning av sökande. En uppgift av hög komplexitetsnivå är en uppgift inte för att använda en lösningsmetod utan för en kombination av olika metoder. För att lyckas med uppgift 19 är det nödvändigt att kunna söka efter en lösning, välja olika tillvägagångssätt bland de kända, modifiera de studerade metoderna.

Låt vara Sn belopp p medlemmar av den aritmetiska progressionen ( en). Det är känt att S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

a) Ange formeln pmedlem i denna progression.

b) Hitta den lägsta modulosumman S n.

c) Hitta det minsta pvid vilken S n kommer att vara kvadraten på ett heltal.

Beslut: a) Det är uppenbart att en = S n – S n - 1. Med denna formel får vi:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

betyder att en = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

B) Sedan S n = 2n 2 – 25n, överväga sedan funktionen S(x) = | 2x 2 – 25x |... Grafen kan ses i figuren.

Uppenbarligen uppnås det minsta värdet vid de helhetspunkter som är närmast funktionens nollor. Uppenbarligen är detta punkter x= 1, x\u003d 12 och x\u003d 13. Eftersom, S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | \u003d | 2 · 144 - 25 · 12 | \u003d 12, S(13) = |S 13 | \u003d | 2169 - 25 13 | \u003d 13, då är det minsta värdet 12.

c) Av föregående punkt följer det Sn positivt från n \u003d 13. Sedan S n = 2n 2 – 25n = n(2n - 25), så förverkligas det uppenbara fallet när detta uttryck är en perfekt fyrkant vid n = 2n - 25, det vill säga kl p= 25.

Det återstår att kontrollera värdena från 13 till 25:

S 13 \u003d 13 1, S 14 \u003d 14 3, S 15 \u003d 15 5, S 16 \u003d 16 7, S 17 \u003d 17 9, S 18 \u003d 18 11, S 19 \u003d 19 13, S 20 \u003d 20 13, S 21 \u003d 21 17, S 22 \u003d 22 19, S 23 \u003d 2321, S 24 \u003d 24 23.

Det visar sig att för mindre värden p full kvadrat uppnås inte.

Svar: och) en = 4n - 27; b) 12; c) 25.

________________

* Sedan maj 2017 är den gemensamma publiceringsgruppen DROFA-VENTANA en del av den ryska lärobokskoncernen. Företaget inkluderar också Astrel förlag och den digitala utbildningsplattformen LECTA. Alexander Brychkin, examen från Financial Academy under Ryska federationens regering, doktorsexamen i ekonomi, chef för innovativa projekt från DROFA-förlaget inom digital utbildning (elektroniska former av läroböcker, Russian Electronic School, digital utbildningsplattform LECTA) har utsetts till generaldirektör. Innan han började på förlaget DROFA hade han positionen som vice vd för strategisk utveckling och investeringar för EKSMO-AST Publishing Holding. Idag har förlagsföretaget "Russian Textbook" den största portföljen med läroböcker som ingår i Federal List - 485 titlar (cirka 40%, exklusive läroböcker för en specialskola). Företagets förlag äger de mest populära ryska skolorna med läroböcker om fysik, teckning, biologi, kemi, teknik, geografi, astronomi - kunskapsområden som behövs för att utveckla landets produktionspotential. Företagets portfölj innehåller grundböcker och lärohjälpmedel som har fått presidentens utmärkelsen. Dessa är läroböcker och handböcker om ämnesområden som är nödvändiga för utvecklingen av Rysslands vetenskapliga, tekniska och produktionspotential.

Det finns inga förändringar i ANVÄNDNINGEN i matematik på profilnivån 2019 - examensprogrammet, som tidigare år, består av material från de viktigaste matematiska disciplinerna. Biljetterna inkluderar matematiska, geometriska och algebraiska problem.

Det finns inga förändringar i KIM USE 2019 i matematik på profilnivån.

Funktioner i USE-uppgifter i matematik-2019

• När du förbereder dig för tentamen i matematik (profil), var uppmärksam på de grundläggande kraven för examensprogrammet. Den är utformad för att testa kunskapen om ett fördjupat program: vektor- och matematiska modeller, funktioner och logaritmer, algebraiska ekvationer och ojämlikheter.
• Öva på att lösa uppgifter separat.
• Det är viktigt att visa icke-standardiserat tänkande.

Examensstruktur

Unified State Exam Tasks in Profile Mathematics uppdelad i två block.

1. Del - korta svar, innehåller åtta uppgifter som testar grundläggande matematisk utbildning och förmågan att tillämpa kunskaper i matematik i vardagen.
2. Del -kort och detaljerade svar... Består av 11 uppgifter, varav fyra kräver ett kort svar och 7 - utökas med argumentationen för de utförda åtgärderna.

• Ökad komplexitet - uppgifter 9-17 i andra delen av KIM.
• Hög nivå av komplexitet - problem 18-19 -. Denna del av examinationsuppgifterna kontrollerar inte bara nivån på matematisk kunskap utan också förekomsten eller frånvaron av ett kreativt förhållningssätt för att lösa torra "digitala" uppgifter, liksom effektiviteten i förmågan att använda kunskap och färdigheter som ett professionellt verktyg.

Viktig! Stärk därför alltid teorin i matematik när du förbereder dig för provet genom att lösa praktiska problem.

Hur poängen kommer att fördelas

Uppgifterna för den första delen av KIM i matematik ligger nära USE-testerna på grundnivån, så det är omöjligt att få en hög poäng på dem.

Poängen för varje uppgift i matematik på profilnivån fördelades enligt följande:

• för korrekta svar på problem 1-12 - 1 poäng vardera;
• Nr 13-15 - 2 vardera;
• Nr 16-17 - 3 vardera;
• Nr 18-19 - 4 vardera.

Examens varaktighet och uppföranderegler för tentamen

För att slutföra examensarbetet -2019 student tilldelad 3 timmar och 55 minuter (235 minuter).

Under denna tid ska studenten inte:

• beter sig bullriga;
• använda prylar och andra tekniska medel;
• avskriva;
• försöker hjälpa andra eller ber om hjälp för dig själv.

För sådana åtgärder kan granskaren utvisas från publiken.

För statsundersökningen i matematik får ta med med endast en linjal kommer resten av materialet att ges direkt före tentamen. utfärdas lokalt.

Effektiv förberedelse är lösningen på matematiska tester online 2019. Välj och få högsta poäng!

Utvärdering

två delarInklusive 19 uppgifter. Del 1 Del 2

3 timmar och 55 minuter (235 minuter).

Svar

Men du kan gör en kompass Miniräknare på examen inte använd.

passet), passera och kapillär eller! Låt ta med mig själv vatten (i en genomskinlig flaska) och mat

Examensarbetet består av två delarInklusive 19 uppgifter. Del 1 innehåller 8 uppgifter med en grundläggande svårighetsgrad med ett kort svar. Del 2 Innehåller 4 uppgifter med ökad svårighetsgrad med ett kort svar och 7 uppgifter med hög svårighetsgrad med ett detaljerat svar.

Examensarbetet i matematik tilldelas 3 timmar och 55 minuter (235 minuter).

Svar för uppgifterna 1-12 skrivs som ett heltal eller sista decimal... Skriv siffrorna i svarsfälten i arbetets text och överför dem sedan till svarsblankett nummer 1, utfärdat vid tentamen!

När du utför arbete kan du använda de som ges ut tillsammans med arbetet. Använd endast en linjalmen du kan gör en kompass gör det själv. Använd inte verktyg med referensmaterial tryckt på dem. Miniräknare på examen inte använd.

Under examen måste du ha ett identitetsdokument ( passet), passera och kapillär eller gelpenna med svart bläck! Låt ta med mig själv vatten (i en genomskinlig flaska) och mat (frukt, choklad, rullar, smörgåsar), men kan bli ombedd att lämna i korridoren.