Suuntakulmion diagonaalivektorin projektiot sen reunoille. Suuntakulmainen ja kuutio. Visuaalinen opas (2019). Henkilötietojen suojaaminen

KOLMAS LUKU

Polytoopit

1. PARALLELEPIPEDUS JA PYRAMIDI

Suuntaissärmiön kasvojen ja lävistäjien ominaisuudet

72. Lause. Suuntaissärmiössä:

1) vastakkaiset kasvot ovat yhtä suuret ja yhdensuuntaiset;

2) kaikki neljä lävistäjää kohtaavat yhdessä pisteessä ja jaetaan puoliksi.

1) Pinnat (kuva 80) BB 1 C 1 C ja AA 1 D 1 D ovat yhdensuuntaiset, koska yhden pinnan kaksi leikkaavaa viivaa BB 1 ja B 1 C 1 ovat yhdensuuntaiset kahden toisen leikkaavan suoran AA 1 ja A 1 D 1 kanssa (§ 15 ); nämä kasvot ja ovat yhtä suuret, koska B 1 C 1 \u003d A 1 D 1, B 1 B \u003d A 1 A (suuntaisten vierekkäisten sivujen vastakkaisina sivuina) ja / BB 1 C 1 \u003d / AA 1 D 1.

2) Ota (kuva 81) kaksi diagonaalia, esimerkiksi AC 1 ja BD 1, ja piirrä apulinjat AD 1 ja BC 1.

Koska reunat AB ja D1 С1 ovat vastaavasti yhtäläiset ja yhdensuuntaiset reunan DC kanssa, ovat ne yhtä suuret ja yhdensuuntaiset toistensa kanssa; tuloksena on luku AD 1 C 1 B, joka on suorakulmio, jossa suorat viivat C1A ja BD1 ovat lävistäjiä, ja suuntaissuunnassa diagonaalit jaetaan leikkauspisteessä kahtia.

Otetaan nyt yksi näistä diagonaaleista, esimerkiksi AC 1, kolmannen diagonaalin kanssa, laitamme B 1 D: llä. Samalla tavalla voimme todistaa, että ne on jaettu kahtia leikkauspisteessä. Siksi diagonaalit B 1 D ja AC 1 sekä diagonaalit AC 1 ja BD 1 (jotka otimme aiemmin) leikkaavat samassa pisteessä, tarkalleen diagonaalin keskellä.
AC 1. Lopuksi, ottamalla sama diagonaali AC 1 neljännen diagonaalin A1 Cl kanssa, todistamme myös, että ne ovat puolittuneet. Siksi tämän diagonaaliparin leikkauspiste on diagonaalin AC 1 keskellä. Siten kaikki neljä suuntaissärmiön lävistäjää leikkaavat samassa pisteessä ja jaetaan tällä pisteellä kahtia.

73. Lause. Suorakulmaisessa yhdensuuntaisessa suorakaiteessa minkä tahansa lävistäjän neliö (AC 1, kaavio 82) yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden neliöiden summa .

Piirrettyään AC-pohjan lävistäjä saamme kolmiot AC 1 C ja ACB. Molemmat ovat suorakaiteen muotoisia: ensimmäinen, koska suuntaissärmiö on suora ja siksi reuna CC 1 on kohtisuorassa alustaan \u200b\u200bnähden; toinen, koska suuntaissärmiö on suorakaiteen muotoinen, ja siksi sen suorassa on suorakulmio. Näistä kolmioista löydämme:

AC 1 2 \u003d AC 2 + CC 1 2 ja AC 2 \u003d AB 2 + BC 2

Siten,

AC 1 2 \u003d AB 2 + BC 2 + CC 1 2 \u003d AB 2 + AD 2 + AA 1 2.

Seuraus.Suorakulmaisessa suuntaissärmiössä kaikki lävistäjät ovat samat.

Vanhemmille opiskelijoille on hyödyllistä oppia ratkaisemaan USE-ongelmat suorakulmaisen suuntaissärmän tilavuuden ja muiden tuntemattomien parametrien löytämiseksi. Aikaisempien vuosien kokemus vahvistaa, että tällaiset tehtävät ovat melko vaikeita monille valmistuneille.

Samalla lukiolaisten, joilla on mikä tahansa koulutustaso, tulisi ymmärtää, kuinka löytää suorakulmaisen yhdensuuntaisen putken tilavuus tai pinta-ala. Vain tässä tapauksessa he voivat odottaa saavansa kilpailupisteitä matematiikan yhtenäisen valtion kokeen läpäisemisen perusteella.

Tärkeimmät muistettavat vivahteet

Suuntaviivat, jotka muodostavat suuntaissärmän, ovat sen kasvot, niiden sivut ovat reunoja. Näiden kuvioiden pisteitä pidetään itse monikulmion pisteinä.
Suorakulmaisen suorakulmion kaikki diagonaalit ovat yhtä suuret. Koska tämä on suora monikulmio, sivupinnat ovat suorakulmioita.
Koska suuntaissärmiö on prisma, jonka pohjassa on samansuuntainen muoto, tällä kuvalla on kaikki prisman ominaisuudet.
Suorakulmaisen suuntaissärmiön sivureunat ovat kohtisuorassa pohjaan nähden. Siksi ne ovat hänen korkeuksiaan.

Valmistaudu tenttiin yhdessä Shkolkovon kanssa!

Tehdäksesi luokkasi mahdollisimman helpoksi ja tehokkaaksi, valitse matematiikkaportaalimme. Täältä löydät kaiken tarvittavan materiaalin, jota tarvitaan yhtenäisen valtion tentin valmisteluvaiheessa.

Shkolkovon koulutusprojektin asiantuntijat ehdottavat siirtymistä yksinkertaisesta monimutkaiseen: ensin annamme teorian, peruskaavat ja perusongelmat ratkaisulla ja siirrymme sitten vähitellen asiantuntijatason tehtäviin. Voit harjoitella esimerkiksi.

Tarvittavat perustiedot löydät teoreettisesta viitteestä. Voit myös aloittaa ongelmien ratkaisemisen heti aiheesta "Suorakulmainen suorakulmainen" verkossa. Luettelo-osiossa on laaja valikoima vaihtelevia vaikeustason harjoituksia. Tehtäväpohjaa päivitetään säännöllisesti.

Tarkista, löydätkö suorakulmaisen suuntaissärmän tilavuuden helposti nyt. Pura kaikki tehtävät. Jos harjoitus on sinulle helppoa, siirry vaikeampiin tehtäviin. Ja jos sinulla on tiettyjä vaikeuksia, suosittelemme, että suunnittelet päiväsi siten, että aikatauluusi sisältyy luokkia Shkolkovon etäportaalin kanssa.

Prismaa kutsutaan suuntaissärmiöjos sen perustukset ovat suuntaisia. Cm. Kuva 1.

Laatikon ominaisuudet:

Rinnakkaispalkin vastakkaiset pinnat ovat yhdensuuntaiset (eli ne ovat samansuuntaisissa tasoissa) ja yhtä suuret.

Suuntakulmion diagonaalit leikkaavat yhdessä pisteessä ja puolittavat tämän pisteen.

Suorakulmaisen vierekkäiset kasvot - kaksi kasvoa, joilla on yhteinen reuna.

Suorakulmion vastakkaiset kasvot - kasvot, joilla ei ole yhteisiä reunoja.

Suorakulmion vastakkaiset kärjet - kaksi kärkeä, jotka eivät kuulu samaan kasvoon.

Suuntaviivan diagonaali - viivasegmentti, joka yhdistää vastakkaiset pisteet.

Jos sivureunat ovat kohtisuorassa alustojen tasoihin nähden, niin suuntaissärmiötä kutsutaan suoraan.

Suoraa suuntaissärmiötä, jonka pohjat ovat suorakulmiot, kutsutaan suorakulmainen... Prismaa, jonka kaikki kasvot ovat neliöitä, kutsutaan kuutio.

Suuntaissärmiö - prisma, jonka pohjat ovat suuntaisia.

Suora yhdensuuntainen - suuntaissärmiö, jonka sivureunat ovat kohtisuorassa alustan tasoon nähden.

Suorakulmainen yhdensuuntainen On suora yhdensuuntainen, jonka pohjat ovat suorakulmiot.

Kuutio - suorakaiteen muotoinen yhdensuuntainen, samansuuntainen.

Suuntaissärmiö kutsutaan prismaksi, jonka pohja on suuntainen; tällöin suuntaissärmiöllä on kuusi pintaa, ja ne kaikki ovat yhdensuuntaisia.

Vastakkaiset kasvot ovat pareittain yhtä suuret ja yhdensuuntaiset. Suuntakulmaisessa on neljä lävistäjää; ne kaikki leikkaavat yhdessä pisteessä ja jakautuvat siinä kahtia. Mikä tahansa kasvot voidaan ottaa perustaksi; tilavuus on yhtä suuri kuin perusalueen tulo korkeudella: V \u003d Sh.

Suuntaviivaa, jonka neljä sivupintaa ovat suorakulmiot, kutsutaan suoraksi.

Suoraa suuntaissärmiötä, jossa kaikki kuusi kasvot ovat suorakulmiota, kutsutaan suorakulmaiseksi. Cm. Kuva 2.

Suoran suuntaissärmiön tilavuus (V) on yhtä suuri kuin perusalueen (S) ja korkeuden (h) tulo: V \u003d Sh .

Suorakulmaisen yhdensuuntaisen putken lisäksi kaava V \u003d abc , jossa a, b, c ovat reunoja.

Suorakulmaisen suuntaissärmän diagonaali (d) liittyy sen reunoihin suhteella d 2 \u003d a 2 + b 2 + c 2 .

Suorakulmainen yhdensuuntainen - yhdensuuntainen, jossa sivureunat ovat kohtisuorassa pohjaan nähden ja jalustat ovat suorakulmiot.

Suorakulmaisen suuntaissärmiön ominaisuudet:

Suorakulmaisessa yhdensuuntaisessa kulmassa kaikki kuusi kasvot ovat suorakulmiota.

Suorakulmaisen suuntaissärmän kaikki kaksisuuntaiset kulmat ovat suorat.

Suorakulmaisen yhdensuuntaisen putken diagonaalin neliö on yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden (kolmen reunan pituuden, joilla on yhteinen kärki) neliöiden summa.

Suorakulmaisen suuntaissärmän diagonaalit ovat samat.

Suorakulmaista suuntaissärmiötä, jonka kaikki pinnat ovat neliöitä, kutsutaan kuutioiksi. Kuution kaikki reunat ovat samat; kuution tilavuus (V) ilmaistaan \u200b\u200bkaavalla V \u003d a 3, jossa a on kuution reuna.

Tässä oppitunnissa jokainen voi tutkia aihetta "Suorakulmainen yhdensuuntainen". Oppitunnin alussa toistamme mielivaltaiset ja suorat suuntaissärmät, muistetaan niiden vastakkaisten pintojen ja viistojen ominaisuudet. Sitten tarkastelemme, mikä on suorakulmainen suuntaissärmiö, ja keskustelemme sen pääominaisuuksista.

Aihe: Viivojen ja tasojen kohtisuoruus

Oppitunti: Suorakulmainen suorakulmainen

Pintaa, joka koostuu kahdesta yhtä suuresta rinnakkaisesta ABCD: stä ja A 1 B 1 C 1 D 1: stä ja neljästä suunnasta ABB 1 A 1, BCC 1 B 1, CDD 1 C 1, DAA 1 D 1, kutsutaan suuntaissärmiö (kuva 1).

Kuva: 1 Suorakulmainen

Toisin sanoen: meillä on kaksi yhtä suurta suuntaista ABCD: tä ja A 1 B 1 C 1 D 1 (emäkset), ne ovat samansuuntaisissa tasoissa niin, että sivureunat AA 1, BB 1, DD 1, CC 1 ovat yhdensuuntaiset. Tällöin kutsutaan suuntauksista koostuvaa pintaa suuntaissärmiö.

Siten suuntaissärmiön pinta on kaikkien yhdensuuntaisen putken muodostavien rinnakkaispiirteiden summa.

1. Laatikon vastakkaiset pinnat ovat yhdensuuntaiset ja yhtäläiset.

(muodot ovat samat, eli ne voidaan yhdistää päällekkäin)

Esimerkiksi:

ABCD \u003d A 1 B 1 C 1 D 1 (määritelmän mukaan yhtä suuret rinnakkaiset kuviot),

AA 1 B 1 B \u003d DD 1 C 1 C (koska AA 1 B 1 B ja DD 1 C 1 C ovat suuntaissärmiön vastakkaisia \u200b\u200bpuolia),

AA 1 D 1 D \u003d BB 1 C 1 C (koska AA 1 D 1 D ja BB 1 C 1 C ovat suuntaissärmiön vastakkaisia \u200b\u200bpuolia).

2. Suuntakulmion diagonaalit leikkaavat yhdessä pisteessä ja puolittavat tämän pisteen.

Suorakulmaisen AC1: n, B1D: n, A1C: n, D1B: n lävistäjät leikkaavat yhdessä pisteessä O, ja kukin lävistäjä on jaettu tällä pisteellä puoliksi (kuva 2).

Kuva: 2 Rinnakkaissärmän lävistäjät leikkaavat ja leikkauspiste puolittavat sen.

3. On olemassa kolme nelinkertaista yhtäsuuntaista ja yhdensuuntaista suuntaissärmiötä: 1 - AB, A 1 B 1, D 1 C 1, DC, 2 - AD, A 1 D 1, B 1 C 1, BC, 3 - AA 1, BB 1, CC 1, DD 1.

Määritelmä. Suuntaviivaa kutsutaan suoraksi, jos sen sivureunat ovat kohtisuorassa pohjaan nähden.

Anna sivureunan AA 1 olla kohtisuorassa alustaan \u200b\u200bnähden (kuva 3). Tämä tarkoittaa, että suora viiva AA1 on kohtisuorassa alustan tasossa olevien suorien AD ja AB kanssa. Tämä tarkoittaa, että suorakulmiot ovat sivupinnoissa. Mielivaltaiset suunnat ovat pohjassa. Merkitään ∠BAD \u003d φ, kulma φ voi olla mikä tahansa.

Kuva: 3 Suora yhdensuuntainen

Joten suora suuntaissärmiö on suuntaissärmiö, jossa sivureunat ovat kohtisuorassa suuntaissärmiön kanssa.

Määritelmä. Suuntaviivaa kutsutaan suorakulmaiseksi, jos sen sivureunat ovat kohtisuorassa pohjaan nähden. Pohjat ovat suorakulmioita.

Suorakulmainen ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - suorakulmainen (kuva 4), jos:

1. AA 1 ⊥ ABCD (sivureuna kohtisuorassa alustan tasoon nähden, eli suora suuntaissärmiö).

2. ADBAD \u003d 90 °, eli pohjassa on suorakulmio.

Kuva: 4 Suorakulmainen yhdensuuntainen

Suorakulmaisella suuntaissärmällä on kaikki mielivaltaisen suuntaissärmän ominaisuudet. Mutta on muitakin ominaisuuksia, jotka ovat peräisin suorakulmaisen suuntaissärmiön määritelmästä.

Niin, suorakulmainen yhdensuuntainen on suuntaissärmiö, jonka sivureunat ovat kohtisuorassa pohjaan nähden. Suorakulmaisen suuntaissärmiön pohja on suorakulmio.

1. Suorakulmaisessa yhdensuuntaisessa kulmassa kaikki kuusi kasvot ovat suorakulmiota.

ABCD ja A 1 B 1 C 1 D 1 - suorakulmiot määritelmän mukaan.

2. Sivuraidat kohtisuorassa pohjaan nähden... Tämä tarkoittaa, että suorakulmaisen yhdensuuntaisen putken kaikki sivupinnat ovat suorakulmioita.

3. Suorakulmaisen suuntaissärmiön kaikki kaksikulmaiset kulmat ovat suorat.

Tarkastellaan esimerkiksi suorakulmaisen suuntaissärmiön kaksikulmaista kulmaa reunan AB kanssa, toisin sanoen kaksitasoista kulmaa tasojen ABB 1 ja ABC välillä.

AB on reuna, piste A 1 on yhdessä tasossa - tasossa ABB 1 ja piste D toisessa - tasossa A 1 B 1 C 1 D 1. Sitten tarkasteltava kaksisuuntainen kulma voidaan merkitä myös seuraavasti: ∠А 1 ABD.

Ota piste A reunalla AB. AA 1 - kohtisuorassa reunaan AB tasossa ABB-1, AD kohtisuorassa reunaan AB tasossa ABC. Siksi ∠А 1 АD on annetun kaksisuuntaisen kulman lineaarinen kulma. ∠А 1 АD \u003d 90 °, mikä tarkoittaa, että kaksisuuntainen kulma AB-reunalla on 90 °.

∠ (ABB 1, ABC) \u003d ∠ (AB) \u003d ∠A 1 ABD \u003d ∠A 1 AD \u003d 90 °.

Samoin osoitetaan, että suorakulmaisen suuntaissärmän mahdolliset kaksikulmaiset kulmat ovat suorat.

Suorakulmaisen suuntaissärmiön lävistäjän neliö on yhtä suuri kuin sen kolmen ulottuvuuden neliöiden summa.

Huomautus. Suorakulmion yhdestä kärjestä lähtevien kolmen reunan pituudet ovat suorakulmaisen yhdensuuntaisen putken mitat. Niitä kutsutaan joskus pituudeksi, leveydeksi, korkeudeksi.

Annettu: ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 - suorakulmainen suorakulmainen (kuva 5).

Todistaa:.