Tapahtumien riippumattomuus. Ehdollinen todennäköisyys. Bayesin lause Ehdollisen todennäköisyyden esimerkki

Elämässä on usein tarve arvioida tapahtuman mahdollisuus. Onko arvokasta ostaa arvontalippu vai ei, mikä on perheen kolmannen lapsen sukupuoli, onko huomenna selvää vai sataa taas - esimerkkejä on lukemattomia. Yksinkertaisimmassa tapauksessa suotuisten tulosten lukumäärä tulisi jakaa tapahtumien kokonaismäärällä. Jos arpajaisissa on 10 voittolippua ja niitä on yhteensä 50, mahdollisuudet saada palkinto ovat 10/50 \u003d 0,2, eli 20 vastaan \u200b\u200b100. Mutta mitä tehdä, jos tapahtumia on useita, ja ne liittyvät läheisesti toisiinsa? Tässä tapauksessa meitä ei enää kiinnosta yksinkertainen, mutta ehdollinen todennäköisyys. Mikä tämä arvo on ja miten se voidaan laskea - juuri siitä keskustellaan artikkelissamme.

Konsepti

Ehdollinen todennäköisyys on tietyn tapahtuman todennäköisyys, jos toinen siihen liittyvä tapahtuma on jo tapahtunut. Otetaan yksinkertainen esimerkki kolikon heittämisestä. Jos arvonta ei ole vielä ollut, mahdollisuudet saada päät tai hännät ovat samat. Mutta jos viisi kertaa peräkkäin kolikko putosi vaakuna ylöspäin, suostu odottamaan, että kuudennen, seitsemännen ja vielä enemmän kymmenennen toistaminen tällaisesta tuloksesta olisi epäloogista. Jokaisen toistuvan pään osuman myötä hännän esiintymisen mahdollisuudet kasvavat ja ennemmin tai myöhemmin se tulee esiin.

Ehdollisen todennäköisyyden kaava

Selvitetään nyt, kuinka tämä arvo lasketaan. Merkitään ensimmäinen tapahtuma B: llä ja toinen A: lla. Jos B: n esiintymisen mahdollisuudet poikkeavat nollasta, seuraava tasa-arvo on totta:

P (A | B) \u003d P (AB) / P (B), jossa:

Р (А | В) - kokonaisarvon E ehdollinen todennäköisyys;
P (AB) - tapahtumien A ja B yhteisen esiintymisen todennäköisyys;
P (B) on tapahtuman B todennäköisyys.

Hieman muuntamalla tätä suhdetta saadaan P (AB) \u003d P (A | B) * P (B). Ja jos haet, voit johtaa tuotekaavan ja käyttää sitä mielivaltaisen määrän tapahtumia:

P (A 1, A 2, A 3, ... A p) \u003d P (A 1 | A 2 ... A p) * P (A 2 | A 3 ... A p) * P (A 3 | A 4 ... A p ) ... P (A p-1 | A p) * P (A p).

Harjoitella

Harkitse muutama esimerkki, jotta ehdollisen laskeminen olisi helpompaa. Oletetaan, että sinulla on maljakko, joka sisältää 8 suklaata ja 7 mintun suklaata. Ne ovat kooltaan samanlaisia \u200b\u200bja kaksi niistä vedetään satunnaisesti peräkkäin. Mitkä ovat mahdollisuudet, että molemmat osoittautuvat suklaaksi? Esittelemme merkinnät. Tarkoitetaan kokonaismäärä A tarkoittavan, että ensimmäinen karkki on suklaata, ja B-koko karkki. Sitten saat seuraavan:

P (A) \u003d P (B) \u003d 8/15,

P (A | B) \u003d P (B | A) \u003d 7/14 \u003d 1/2,

P (AB) \u003d 8/15 x 1/2 \u003d 4/15 ≈ 0,27

Tarkastellaan vielä yhtä tapausta. Oletetaan, että on kahden lapsen perhe ja tiedämme, että ainakin yksi lapsi on tyttö.

Mikä on ehdollinen todennäköisyys, että näillä vanhemmilla ei ole vielä poikia? Kuten edellisessä tapauksessa, aloitetaan merkinnällä. Olkoon P (B) - todennäköisyys, että perheessä on ainakin yksi tyttö, P (A | B) - todennäköisyys, että toinen lapsi on myös tyttö, P (AB) - mahdollisuudet, että perheessä on kaksi tyttöä. Tehdään nyt laskelmat. Lasten sukupuolesta voi olla yhteensä 4 erilaista yhdistelmää, ja vain yhdessä tapauksessa (kun perheessä on kaksi poikaa) lasten joukossa ei ole tyttöä. Siksi todennäköisyys P (B) \u003d 3/4 ja P (AB) \u003d 1/4. Noudatetaan sitten kaavaa:

P (A | B) \u003d 1/4: 3/4 \u003d 1/3.

Tulos voidaan tulkita seuraavasti: jos emme tietäisi yhden lapsen sukupuolesta, kahden tytön mahdollisuudet olisivat 25-100. Mutta koska tiedämme, että yksi lapsi on tyttö, todennäköisyys, että perheessä ei ole poikia, kasvaa yhdeksi kolmas.

§ 1. PERUSKÄSITTEET

4. Ehdollinen todennäköisyys. Todennäköisyyskertolause.

Monissa tehtävissä sinun on löydettävä todennäköisyys yhdistää tapahtumat JA ja SISÄÄNjos tapahtumien todennäköisyydet ovat tiedossa JA ja SISÄÄN.

Harkitse seuraavaa esimerkkiä. Heitetään kaksi kolikkoa. Löydetään kahden vaakun esiintymisen todennäköisyys. Meillä on 4 yhtä todennäköistä pareittain epäjohdonmukaista lopputulosta, jotka muodostavat kokonaisen ryhmän:

	1. kolikko	Kolikko
1. tulos	tunnus	tunnus
2. tulos	tunnus	kirjoitus
3. tulos	kirjoitus	tunnus
4. tulos	kirjoitus	kirjoitus

Tällä tavoin, P (vaakuna, vaakuna) \u003d 1/4.

Kerro nyt, että ensimmäisellä kolikolla on vaakuna. Kuinka todennäköisyys, että vaakuna näkyy molemmissa kolikoissa, muuttuu sen jälkeen? Koska vaakuna putosi ensimmäisen kolikon päälle, nyt koko ryhmä koostuu kahdesta yhtä todennäköisestä epäjohdonmukaisesta tuloksesta:

	1. kolikko	Kolikko
1. tulos	tunnus	tunnus
2. tulos	tunnus	kirjoitus

Lisäksi vain yksi tuloksista suosii tapahtumaa (vaakuna, vaakuna). Siksi tehtyjen oletusten mukaisesti P (vaakuna, vaakuna) \u003d 1/2... Merkitään JA kahden vaakunan ulkonäkö ja sen jälkeen SISÄÄN - vaakun ulkonäkö ensimmäisessä kolikossa. Näemme, että tapahtuman todennäköisyys JA muuttui, kun kävi ilmi, että tapahtuma B tapahtui.

Uuden tapahtuman todennäköisyys JA, olettaen, että tapahtuma on tapahtunut B, me merkitsemme P B (A).

Tällä tavoin, P (A) \u003d 1/4; P B (A) \u003d 1/2

Kertolause. Sattuvien tapahtumien A ja B todennäköisyys on yhtä suuri kuin toisen todennäköisyyden tulo toisen ehdollisen todennäköisyyden perusteella, laskettuna olettaen, että ensimmäinen tapahtuma tapahtui, ts.

P (AB) \u003d P (A) P (B)

(4)

Todisteet. Todistetaan relaation (4) pätevyys todennäköisyyden klassisen määritelmän perusteella. Anna mahdollisten tulosten E 1, E 2, ..., E N tämän kokeen muodostavat täydellisen ryhmän yhtä todennäköisiä pareittain yhteensopimattomia tapahtumia, joista tapahtuma A suosittu M tuloksia ja anna näiden M tuloksia L tulokset suosivat tapahtumaa B... On selvää, että tapahtumien yhdistelmä A ja B suosittu L / N mahdolliset testitulokset. Tämä antaa; ;
Tällä tavoin,
Paikkojen vaihtaminen A ja B, samoin saamme
Kertolause voidaan helposti yleistää mihin tahansa rajalliseen määrään tapahtumia. Joten esimerkiksi kolmen tapahtuman tapauksessa A 1, A 2, A 3 meillä on *
Yleisesti

Suhteesta (6) seuraa, että kahdesta yhtälöstä (8) toinen on toisen seuraus.

Esimerkiksi tapahtuma A - tunnuksen ulkonäkö yhdellä kolikon heitolla ja tapahtuma B - timanttikortin ulkonäkö, kun korttia poistetaan kannelta. Ilmeisesti tapahtumia A ja B riippumaton.

Tapahtumien riippumattomuus A että B kaavan (4) muoto on yksinkertaisempi:

* Tapahtuma A 1 A 2 A 3 voidaan ajatella kahden tapahtuman yhdistelmänä: tapahtumat C \u003d A 1 A 2 ja tapahtumia A 3.

Tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys tapahtumaa B suoritettaessa nimeltään asenne Oletetaan tässä.

Tämän määritelmän kohtuullisena perusteena huomaamme, että tapahtuman tapahtuessa B se alkaa toimia luotettavan tapahtuman roolissa, joten sitä on vaadittava. Tapahtuman rooli Apelaa AB, sen vuoksi on oltava verrannollinen . (Määritelmästä seuraa, että suhteellisuuskerroin on.)

Nyt esittelemme konseptin tapahtumien riippumattomuus.

Tämä tarkoittaa: koska tapahtuma tapahtui B, tapahtuman todennäköisyys Aei ole muuttunut.

Kun otetaan huomioon ehdollisen todennäköisyyden määritelmä, tämä määritelmä supistetaan suhteeksi . Ehdon täyttämistä ei enää tarvitse vaatia . Siten olemme päässeet lopulliseen määritelmään.

Tapahtumia A ja B kutsutaan itsenäisiksi, jos P(AB) \u003d P(A)P(B).

Jälkimmäinen suhde otetaan yleensä kahden tapahtuman riippumattomuuden määrittämiseksi.

Useita tapahtumia kutsutaan itsenäisiksi kokonaisuutena, jos samankaltaiset suhteet täyttyvät missä tahansa tarkasteltavien tapahtumien osajoukossa. Joten esimerkiksi kolme tapahtumaa A, Bja C kutsutaan aggregaatteina itsenäisiksi, jos seuraavat neljä suhdetta täyttyvät:

Esitämme useita tehtäviä ehdollinen todennäköisyys ja tapahtumien riippumattomuusja niiden ratkaisut.

Tehtävä 21. Yksi kortti vedetään täydestä 36 kortin pakasta. Tapahtuma A - kortti on punainen, B - Ässäkortti. Ovatko he itsenäisiä?

Päätös. Suoritettaessa laskelmia todennäköisyyden klassisen määritelmän mukaan löydämme sen . Tämä tarkoittaa tapahtumia A ja Briippumaton.

Tehtävä 22... Ratkaise sama ongelma kannella, kun pata-kuningatar on poistettu.

Päätös... ... Ei ole itsenäisyyttä.

Tehtävä 23. Kaksi vuorotellen heittää kolikon. Voittaja on se, jolla on ensin vaakuna. Selvitä voittomahdollisuudet molemmille pelaajille.

Päätös. Voidaan olettaa, että alkeistapahtumat ovat muodon (0, 0, 1, ..., 0, 1) rajallisia sekvenssejä . Pituussekvenssin kohdalla vastaavalla alkeistapahtumalla on todennäköisyys: Pelaaja, joka alkaa heittää kolikkoa ensin, voittaa, jos tapahtuu alkeistapahtuma, joka koostuu parittomasta lukusta nollia ja nollia. Siksi hänen voittamisen todennäköisyys on

Toisen pelaajan voitto vastaa parillista lukua nollia ja nollia. Se on tasa-arvoinen

Ratkaisusta seuraa, että peli päättyy rajalliseen aikaan todennäköisyydellä 1 (koska).

Tehtävä 24. Sillan tuhoamiseksi sinun täytyy lyödä vähintään 2 pommia. He pudottivat 3 pommia. Pommien osumisen todennäköisyys on vastaavasti 0, 1; 0, 3; 0, 4. Etsi sillan tuhoutumisen todennäköisyys.

Päätös. Olkoon tapahtumat A, B, C koostuvat vastaavasti 1., 2. ja 3. pommin osumasta. Sillan tuhoutuminen tapahtuu vasta tapahtuman toteutuessa. Koska tämän kaavan termit ovat pareittain epäjohdonmukaisia \u200b\u200bja termien tekijät ovat riippumattomia, haluttu todennäköisyys on

0,1∙0,3∙0,4 + 0,1∙0,3∙0,6 + 0,1∙0,7∙0,4 + 0,9∙0,3∙0,4 = 0,166.

Tehtävä 25.Kahden lastialuksen on kiinnitettävä samaan laituriin. Tiedetään, että kukin heistä voi lähestyä yhtä suurella todennäköisyydellä milloin tahansa kiinteän päivän hetkellä ja joutua purkamaan lastinsa 8 tuntia. Selvitä todennäköisyys, että toisen aluksen ei tarvitse odottaa, kunnes ensimmäinen alus purkaa purkamisen.

Päätös.Mitataan aika päivinä ja murto-osina päivästä. Sitten alkeistapahtumat ovat numeropareja, jotka täyttävät yksikön neliön, missä x - ensimmäisen aluksen saapumisaika y - toisen aluksen saapumisaika. Kaikki neliön pisteet ovat yhtä todennäköisiä. Tämä tarkoittaa, että minkä tahansa tapahtuman (ts. Yksikköruutujoukon) todennäköisyys on yhtä suuri kuin tätä tapahtumaa vastaavan alueen pinta-ala. Tapahtuma A koostuu yksikön neliön pisteistä, joihin eriarvoisuus pätee. Tämä epätasa-arvo vastaa sitä tosiasiaa, että ensimmäisellä aluksella on aikaa purkaa lasta toisen aluksen saapuessa. Näiden pisteiden joukko muodostaa kaksi suorakulmaista tasakylkistä kolmiota, joiden sivut ovat 2/3. Näiden kolmioiden kokonaispinta-ala on 4/9. Tällä tavoin, .

Tehtävä 26.Todennäköisyysteoriakoe oli 34 lippua. Opiskelija poimi yhden lipun kahdesti tarjotuista lipuista (palauttamatta niitä). Onko opiskelija valmistautunut vain 30 lippuun? Mikä on todennäköisyys, että hän läpäisee kokeen ensimmäistä kertaa "epäonnistunut»Lippu?

Päätös.Satunnainen valinta koostuu siitä, että kaksi kertaa peräkkäin yksi lippu peruutetaan eikä ensimmäistä kertaa tehtyä lippua palauteta. Anna tapahtuman SISÄÄN on että ensimmäinen ottaa " epäonnistunut " lippu ja tapahtuma JAon, että toinen otetaan pois " onnistunut»Lippu. Ilmeisesti tapahtumia JA ja SISÄÄN riippuvainen, koska ensimmäistä kertaa haettua lippua ei palauteta kaikkien lippujen joukossa. Se on löydettävä tapahtuman todennäköisyys AB.

Ehdollisen todennäköisyyden kaavan mukaan; ; , niin.

Kuten kurssimme alussa todettiin, tarkoitamme, että koe suoritetaan tietyissä kiinteissä olosuhteissa K. Jos nämä olosuhteet muuttuvat, myös tähän kokeeseen liittyvien tapahtumien todennäköisyys muuttuu. Tällainen muutos voidaan aina ymmärtää jonkin tapahtuman esiintymisenä (lukuun ottamatta alkuperäistä ehtoja K). Harkitse vastaavat taajuudet ymmärtääksesi, kuinka määritetään tässä tapauksessa uusi (ehdollinen) todennäköisyys. Anna kokeen suorittaa N kertaa, tapahtuma B tapahtui N (B) kertaa ja tapahtumat A ja B yhdessä N (AB) kertaa. Sitten tapahtuman A "ehdollinen" taajuus niiden kokeiden joukossa, joissa tapahtuma B tapahtui, on

Ottaen huomioon, että todennäköisyys perii taajuuksien ominaisuudet, voimme antaa seuraavan

Määritelmä 1. Tapahtuman A ehdollinen todennäköisyys, jos tapahtuma on tapahtunut kutsutaan numeroksi

Joskus käytetään toista nimitystä.

Esimerkki 1. Symmetrinen kolikko heitetään kahdesti. Tiedetään, että yksi vaakuna putosi (tapahtuma B). Selvitä tapahtuman A todennäköisyys, mikä tarkoittaa, että vaakuna putosi ensimmäisellä heitolla.

Se on helppo laskea ja ... Tästä seuraa, että

On helppo tarkistaa, että kiinteällä B: llä ehdollisella todennäköisyydellä on seuraavat ominaisuudet:

Ehdollisella todennäköisyydellä on siis kaikki todennäköisyyden perusominaisuudet.

Seuraavalla lauseella on erittäin tärkeä rooli.

Kertolause. Olkoon A ja B kaksi tapahtumaa ja sitten

Sen todiste seuraa ehdollisen todennäköisyyden määritelmästä. Tämän lauseen etuna on, että joskus voimme laskea ehdollisen todennäköisyyden suoraan ja käyttää sitä sitten laskemiseen

Esimerkki 2. Uurnassa on 5 palloa - 3 valkoista ja 2 mustaa. Valitse kaksi palloa palaamatta. Selvitä todennäköisyys, että molemmat pallot ovat valkoisia.

Olkoon tapahtuma, että ensimmäinen pallo on valkoinen, ja tapahtuma on, että toinen pallo on valkoinen. Se on helppo laskea Kun olemme ottaneet yhden pallon ja tiedämme, että se on valkoinen, meillä on 4 palloa ja niiden joukossa 2 on valkoisia. Sitten ... Kertolauseen avulla

Kertolause voidaan helposti laajentaa mihin tahansa rajalliseen määrään tapahtumia.

Seuraus 1. Olkoon sitten satunnaisia \u200b\u200btapahtumia

Jos tapahtuman B tapahtuma ei muuta tapahtuman A todennäköisyyttä, ts. , niin on luonnollista kutsua tällaisia \u200b\u200btapahtumia itsenäisiksi. Tässä tapauksessa kertolauseen avulla saamme

Viimeinen suhde on symmetrinen A: n ja B: n suhteen ja on järkevä kohdassa. Siksi pidämme sitä määritelmänä.

Määritelmä 2. Tapahtumia A ja B kutsutaan itsenäisiksi, jos

Esimerkki 3. Kaksi symmetristä kolikkoa heitetään. Tapahtuma A on, että ensimmäisellä kolikolla on vaakuna ja tapahtumalla B - toisella kolikolla vaakuna.

On intuitiivisesti selvää, että tällaisten tapahtumien on oltava itsenäisiä. Todella, ,,

Siten A ja B ovat määritelmän kannalta riippumattomia. On vähemmän ilmeistä, että tapahtumat A ja C ovat riippumattomia, missä C tarkoittaa, että vain yksi vaakuna putosi (todista se!).

Useamman kuin kahden tapahtuman riippumattomuutta on vaikeampi määrittää.

Määritelmä 3. Tapahtumia kutsutaan itsenäisiksi yhteensä,jos mihin tahansa tapahtumaan katsotaan päteväksi

Osoittakaamme esimerkeillä, että pareittain riippumattomuus ja viimeisen tasa-arvon täyttyminen kaikkien tapahtumien luettelossa eivät riitä riippumattomuuteen kokonaisuutena.

Esimerkki 4. Tavallinen tetraedri on värjätty kolmella värillä: yksi kasvot on sininen, toinen punainen, kolmas vihreä ja neljännessä kaikki kolme väriä. Tämä tetraedri heitetään ja merkitään, kumpi puoli se putosi.

Tarkoittaako se sinisen, - punaisen, - vihreän ulkonäköä. Sitten, ,,

Täältä saamme sen. Samoin muille pareille. Siten meillä on pareittain itsenäisyys. Mutta

Tehtävä 1. Keksi esimerkki kokeesta ja kolme tapahtumaa ,,, joista, mutta jotka eivät ole pareittain riippumattomia.

Voit antaa seuraavat yleisemmät

Määritelmä 4. Antaa olla joitain tapahtumaluokkia.

Niitä kutsutaan itsenäisiksi, jos kaikki tapahtumat ovat itsenäisiä kokonaisuutena.

Tyypillinen tilanne kuvataan seuraavassa esimerkissä.

Esimerkki 5. Symmetrinen noppaa heitetään kahdesti. tarkoittaa joukkoa tapahtumia, jotka liittyvät ensimmäisen heiton tulokseen. määritetään samalla tavalla toisen heiton tulokselle. Silloin ja ovat itsenäisiä.

Seuraava tulos on hyödyllinen monissa ongelmissa.

Ehdotus 1. Jos tapahtumat A ja B ovat riippumattomia, niin myös kaksi seuraavista ovat riippumattomia :.

Todisteet. Todistetaan itsenäisyys.

Jäljellä olevien tapahtumaparien riippumattomuuden ehdotetaan osoitettavan itsenäisesti.

Monissa tilanteissa kohtaamme sellaisia \u200b\u200bkokeita, jotka voidaan hajottaa kahteen (tai useampaan) vaiheeseen. Ensimmäisessä vaiheessa meillä on useita vaihtoehtoja, ja jotain kysytään siitä, mitä tapahtui lopussa - toisessa vaiheessa. Tässä tapauksessa alla oleva tulos on erittäin hyödyllinen. Aloitetaan seuraavasta määritelmästä.

Määritelmä 5. Tapahtumat muodostavat kokonaisen tapahtumaryhmän (avaruuden osiointi) jos

Lause 1. Anna tapahtumien muodostaa täydellinen tapahtumaryhmä kaikille - mielivaltainen tapahtuma. Sitten on koko todennäköisyyden kaava.

Todisteet. Koska tapahtumat muodostavat kokonaisen ryhmän, olemme

Siksi saamme

Missä käytimme kertolasua.

Esimerkki 6. Tietyssä tehtaassa 30% tuotannosta tuottaa kone A, 25% tuotannosta kone B ja loput kone C. Tuotantolaitoksessa A romutetaan 1%, koneessa - 1,2% ja koneessa C - 2 %. Yksi tuote valitaan satunnaisesti kaikista valmistetuista tuotteista. Mikä on todennäköisyys, että se on viallinen?

Merkitään tapahtumaa, jonka valittu osa on tehty koneella A, - koneella B, - koneella C. Merkitään D: llä tapahtumaa, että valittu osa on viallinen. Tapahtumat muodostavat täydellisen ryhmän tapahtumia. Ongelman tilan mukaan

Tapahtuma. Alkeistapahtumien tila. Uskottava tapahtuma, mahdoton tapahtuma. Yhteiset, yhteensopimattomat tapahtumat. Yhtä mahdolliset tapahtumat. Koko tapahtumaryhmä. Tapahtumat.

Tapahtuma on ilmiö, jonka voidaan sanoa olevan tapahtuu tai ei tapahdu, riippuen itse tapahtuman luonteesta.

Alla alkeistapahtumattiettyyn testiin liittyvät ymmärtävät kaikki testin hajoamattomat tulokset. Jokaista tapahtumaa, joka voi esiintyä tämän testin seurauksena, voidaan pitää alkutapahtumien joukona.

Alkeistapahtumien tila kutsutaan mielivaltaiseksi joukoksi (äärellinen tai ääretön). Sen elementit ovat pisteitä (alkeistapahtumat). Alkeistapahtumien avaruuden osajoukkoja kutsutaan tapahtumiksi.

Uskottava tapahtuma kutsutaan tapahtumaa, joka tämän testin seurauksena välttämättä tapahtuu; (merkitty E: llä).

Mahdoton tapahtuma kutsutaan tapahtumaksi, joka tämän testin vuoksi ei voi tapahtua; (merkitty U: lla). Esimerkiksi yhden kuuden pisteen ilmestyminen yhden nopan heiton aikana on luotettava tapahtuma, mutta 8 pisteen ulkonäkö on mahdotonta.

Kaksi tapahtumaa kutsutaan yhteinen (yhteensopiva) tietyssä kokemuksessa, jos toisen esiintyminen ei sulje pois toisen esiintymistä.

Kaksi tapahtumaa kutsutaan epäjohdonmukainen (yhteensopimattomia) tietyssä kokemuksessa, jos ne eivät voi tapahtua yhdessä samassa testissä. Useita tapahtumia kutsutaan epäjohdonmukaisiksi, jos ne ovat epäjohdonmukaisia \u200b\u200bpareittain.

Lomakkeen alku

Lomakkeen loppu

Tapahtuma on ilmiö, jonka voidaan sanoa olevan tapahtuu tai ei tapahdu, riippuen itse tapahtuman luonteesta. Tapahtumat on merkitty latinalaisin aakkosin A, B, C, ... isoilla kirjaimilla. Tapahtumat tapahtuvat kokeita... Esimerkiksi kolikon kääntäminen on testi, vaakunan ulkonäkö on tapahtuma; otamme lampun ulos laatikosta - testi, se on viallinen - tapahtuma; otamme pallon satunnaisesti laatikosta - testi, pallo osoittautui mustaksi - tapahtuma. Satunnainen tapahtuma on tapahtuma, joka voi tapahtua tai ei tapahtua tämän testin aikana. Esimerkiksi, kun vedät yhden kortin satunnaisesti kannelta, otit ässän; ampuminen, ampuja osuu kohteeseen. Todennäköisyysteoria opiskelee vain massiivinen satunnaisia \u200b\u200btapahtumia. Uskottava tapahtuma on tapahtuma, joka välttämättä tapahtuu tämän testin seurauksena. (merkitty E: llä). Mahdoton tapahtuma on tapahtuma, joka johtuu tästä testistä ei voi tapahtua; (merkitty U: lla). Esimerkiksi yhden kuudesta pisteestä ilmestyminen yhden noppapyörän aikana on luotettava tapahtuma, mutta 8 pisteen ulkonäkö on mahdotonta. Yhtä mahdolliset tapahtumat ovat sellaisia \u200b\u200btapahtumia, joista kukin ei ole etua esiintymisessä useammin kuin toinen lukuisissa testeissä, jotka suoritetaan samoissa olosuhteissa. Pariittain yhteensopimattomat tapahtumat ovat tapahtumia, joista kaksi ei voi tapahtua yhdessä. Satunnaisen tapahtuman todennäköisyys on tätä tapahtumaa suosivien tapahtumien määrän suhde kaikkien yhtä mahdollisten yhteensopimattomien tapahtumien kokonaismäärään: P (A) \u003d missä A on tapahtuma; P (A) - tapahtuman todennäköisyys; N on yhtä mahdollisten ja yhteensopimattomien tapahtumien kokonaismäärä; N (A) on tapahtumaa A suosivien tapahtumien määrä. Tämä on klassinen määritelmä satunnaisen tapahtuman todennäköisyydelle. Klassinen todennäköisyyden määritelmä tapahtuu testeissä, joissa on rajallinen määrä yhtä mahdollisia testituloksia. Tehdään maaliin n laukausta, joista osumia oli m. Suhdetta W (A) \u003d kutsutaan tapahtuman A suhteelliseksi tilastolliseksi esiintymistiheydeksi. Siksi W (A) on tilastollinen osumisnopeus.

Suoritettaessa kuvasarjaa (taulukko 1) tilastollinen taajuus vaihtelee tietyn vakion määrän ympäri. On suositeltavaa ottaa tämä luku osuman todennäköisyyden arvioon.

Tapahtuman todennäköisyys A on tuntematon luku P, jonka ympärille tapahtuman A esiintymisen tilastollisten taajuuksien arvot kerätään kokeiden määrän kasvaessa.

Se on satunnaisen tapahtuman todennäköisyyden tilastollinen nimitys.

Tapahtumat

Tiettyyn testiin liittyvien alkutapahtumien ymmärretään olevan kaikki testin hajoamattomat tulokset. Jokaista tapahtumaa, joka voi esiintyä tämän testin seurauksena, voidaan pitää alkutapahtumien joukona. Mielivaltaista joukkoa (äärellinen tai ääretön) kutsutaan alkeistapahtumien tilaksi. Sen elementit ovat pisteitä (alkeistapahtumat). Alaryhmien avaruusalaryhmiä kutsutaan tapahtumiksi. Kaikki tunnetut suhteet ja operaatioiden sarjat siirretään tapahtumiin. Tapahtuman A sanotaan olevan tapahtuman B erikoistapaus (tai B on A: n tulos), jos joukko A on B: n osajoukko. Tätä suhdetta merkitään samalla tavalla kuin joukkoilla: A ⊂ B tai B ⊃ A. Siten suhde A ⊂ B tarkoittaa, että kaikki A: han kuuluvat alkeistapahtumat sisältyvät myös B: hen, toisin sanoen tapahtuman A tapahtuessa tapahtuu myös tapahtuma B. Lisäksi, jos A ⊂ B ja B ⊂ A, niin A \u003d B. Tapahtuma A, joka tapahtuu tällöin ja vain silloin, kun tapahtumaa A ei tapahdu, kutsutaan tapahtuman A vastakkaiseksi. Koska kussakin testissä tapahtuu yksi ja vain yksi tapahtumista - A tai A, niin P (A) + P (A) \u003d 1 tai P (A) \u003d 1 - P (A). Yhdistelmää tai tapahtumien A ja B summaa kutsutaan tapahtumaksi C, joka tapahtuu vain silloin, kun joko tapahtuma A tapahtuu tai tapahtuma B tapahtuu tai A ja B tapahtuvat samanaikaisesti. Tätä merkitään C \u003d A ∪ B tai C \u003d A + B. Tapahtumien A1, A2, ... A n yhdistelmä on tapahtuma, joka tapahtuu vain ja vain, jos ainakin yksi näistä tapahtumista tapahtuu. Tapahtumien A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n tai A k tai A 1 + A 2 + ... + A n yhdistelmä ilmoitetaan. Tapahtumien A ja B leikkauspiste tai tulo on tapahtuma D, joka tapahtuu vain ja vain, jos tapahtumat A ja B tapahtuvat samanaikaisesti, ja sitä merkitään D \u003d A ∩ B tai D \u003d A × B. Tapahtumien A 1, A 2, ... A n on tapahtuma, joka tapahtuu vain ja vain, jos tapahtuu tapahtuma A1, tapahtuma A2 jne. Ja tapahtuma A n. Kohdistus on merkitty seuraavasti: A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n tai A k tai A 1 × A 2 × ... × A n.

Aihe numero 2. Todennäköisyyden aksiomaattinen määrittely. Klassinen, tilastollinen, geometrinen tapahtuman todennäköisyyden määrittely. Todennäköisyysominaisuudet. Todennäköisyyksien summaus- ja kertolauseet. Riippumattomat tapahtumat. Ehdollinen todennäköisyys. Ainakin yhden tapahtuman todennäköisyys. Kaikkien todennäköisyyksien kaava. Bayes-kaava

Tapahtuman esiintymisen objektiivisen mahdollisuuden astetta kutsutaan numeerisena mittana tapahtuman todennäköisyys. Tämä määritelmä, joka kuvastaa laadullisesti tapahtuman todennäköisyyden käsitettä, ei ole matemaattinen. Jotta siitä tulisi niin, on tarpeen määritellä se laadullisesti.

Mukaan klassinen määritelmä tapahtuman A todennäköisyys on yhtä suuri kuin suotuisien tapausten lukumäärä suhteessa tapausten kokonaismäärään, ts.

Missä P (A) on tapahtuman A todennäköisyys.

Tapahtuman A kannalta suotuisten tapausten määrä

Tapausten kokonaismäärä.

Tilastollinen todennäköisyyden määrittely:

Tapahtuman A tilastollinen todennäköisyys on tämän tapahtuman suhteellinen esiintymistiheys suoritetuissa testeissä, ts.

Missä on tapahtuman A tilastollinen todennäköisyys

Tapahtuman A suhteellinen taajuus (taajuus)

A-tapahtumia esiintyneiden kokeiden määrä

Testien kokonaismäärä.

Toisin kuin "matemaattinen" todennäköisyys, jota tarkastellaan klassisessa määritelmässä, tilastollinen todennäköisyys on kokeellinen, kokeellinen ominaisuus.

Jos on olemassa tapahtumalle A suotuisia tapauksia, jotka määritetään suoraan, ilman testejä, eli niiden testien tosiasiallisesti suorittaneiden osuus, joissa A esiintyi.

Geometrinen todennäköisyyden määrittely:

Tapahtuman A geometrinen todennäköisyys on suhde tapahtuman A esiintymiselle suotuisan alueen mittaan kaikkien alueiden mittaan, toisin sanoen:

Yksiulotteisessa tapauksessa:

Todennäköisyys osua kohtaan CD /

On käynyt ilmi, että tämä todennäköisyys ei riipu CD: n sijainnista segmentissä AB, vaan riippuu vain sen pituudesta.

Pisteen osumisen todennäköisyys ei riipu A: n muodoista tai sijainnista, vaan riippuu vain tämän segmentin alueesta.

Ehdollinen todennäköisyys

Todennäköisyyttä kutsutaan ehdollinen jos se on laskettu tietyissä olosuhteissa ja merkitty seuraavasti:

Tämä on tapahtuman A todennäköisyys. Se lasketaan olettaen, että tapahtuma B on jo tapahtunut.

Esimerkki. Teemme testin, otamme kannelta kaksi korttia: Ensimmäinen todennäköisyys on ehdoton.

Laskemme todennäköisyyden saada ässä kannelta:

Laskemme 2 ässän ulkonäön kannelta:

A * B - tapahtumien samanaikainen esiintyminen

– todennäköisyyskertolause

Seuraus:

Tapahtumien samanaikaisen esiintymisen kertolause on:

Toisin sanoen jokainen seuraava todennäköisyys lasketaan ottaen huomioon, että kaikki aikaisemmat olosuhteet ovat jo tapahtuneet.

Tapahtuman riippumattomuus:

Kaksi tapahtumaa kutsutaan itsenäisiksi, jos toisen ulkonäkö ei ole ristiriidassa toisen ulkonäön kanssa.

Esimerkiksi, jos ässät vedetään uudestaan \u200b\u200bkannelta, ne ovat toisistaan \u200b\u200briippumattomia. Jälleen, eli korttia tarkasteltiin ja palautettiin takaisin kannelle.

Yhteiset ja yhteensopimattomat tapahtumat:

Nivelkaksi tapahtumaa kutsutaan, jos toisen esiintyminen ei ole ristiriidassa toisen ulkoasun kanssa.

Yhteisten tapahtumien todennäköisyyksien summauslause:

Yhden tapahtuman todennäköisyys kahdesta yhteisestä tapahtumasta on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa ilman niiden yhteistä esiintymistä.

Kolme yhteistä tapahtumaa:

Tapahtumia kutsutaan epäjohdonmukaisiksi, jos kaksi niistä ei voi esiintyä samanaikaisesti yhden satunnaisen kokeen testin tuloksena.

Lause:Kahden epäjohdonmukaisen tapahtuman esiintymisen todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa.

Tapahtumien summan todennäköisyys:

Todennäköisyyden lisäyslause:

Rajallisen määrän epäjohdonmukaisten tapahtumien summan todennäköisyys on yhtä suuri kuin näiden tapahtumien todennäköisyyksien summa:

Seuraus 1:

Koko ryhmän muodostavien tapahtumien todennäköisyyksien summa on yhtä:

2. seuraus:

Kommentti:On korostettava, että harkittua lisäyslausetta sovelletaan vain epäjohdonmukaisiin tapahtumiin.

Vastakkaisten tapahtumien todennäköisyys:

Vastapäätänimetään kaksi ainutlaatuista mahdollista tapahtumaa, jotka muodostavat kokonaisen ryhmän. Yksi kahdesta vastakkaisesta tapahtumasta on merkitty JA, toinen - läpi.

Esimerkki: Lyöminen ja puuttuminen amputtaessa kohdetta ovat vastakkaisia \u200b\u200btapahtumia. Jos A on osuma, niin miss.

Lause:Vastakkaisten tapahtumien todennäköisyyksien summa on yhtä:

Huomautus 1:Jos kahden vastakkaisen tapahtuman todennäköisyyttä merkitään p: llä, toisen tapahtuman todennäköisyyttä merkitään q: llä edellisen lauseen nojalla:

Muistio 2:Kun ratkaistaan \u200b\u200btapahtuman A todennäköisyyden löytämisen ongelmia, on usein edullista ensin laskea tapahtuman todennäköisyys ja löytää sitten haluttu todennäköisyys kaavalla:

Ainakin yhden tapahtuman todennäköisyys:

Oletetaan, että kokeilun tuloksena yksi, osa tai osa tapahtumista ei välttämättä näy.

Lause:Ainakin yhden tapahtuman todennäköisyys riippumattomien tapahtumien joukosta on yhtä suuri kuin ero yhtenäisyyden ja niiden todennäköisyyden välillä, ettei tapahtumia tapahdu.