Виноградова математична енциклопедія. Математична енциклопедія. Стара та нова класифікація математики

Зміст статті

Математика.Математику зазвичай визначають, перераховуючи назви деяких із її традиційних розділів. Насамперед, це арифметика, яка займається вивченням чисел, відносин між ними та правил дій над числами. Факти арифметики припускають різні конкретні інтерпретації; наприклад, співвідношення 2 + 3 = 4 + 1 відповідає твердженню, що дві і три книги складають стільки ж книг, скільки чотири та одна. Будь-яке співвідношення типу 2+3=4+1, тобто. відношення між чисто математичними об'єктами без посилання на будь-яку інтерпретацію з фізичного світу, називається абстрактним. Абстрактний характер математики дозволяє використовувати її при вирішенні найрізноманітніших проблем. Наприклад, алгебра, що розглядає операції над числами, дозволяє вирішувати завдання, що виходять за рамки арифметики. Більш конкретним розділом математики є геометрія, основне завдання якої вивчення розмірів і форм об'єктів. Поєднання методів алгебри з геометричними призводить, з одного боку, до тригонометрії (спочатку присвяченої вивченню геометричних трикутників, а тепер охоплює значно більше коло питань), а з іншого боку - до аналітичної геометрії, в якій геометричні тіла і фігури досліджуються алгебраїчними методами. Існують кілька розділів вищої алгебри та геометрії, що володіють вищим ступенем абстракції та не займаються вивченням звичайних чисел та звичайних геометричних фігур; Найабстрактніша з геометричних дисциплін називається топологією.

Математичний аналіз займається вивченням величин, що змінюються у просторі або в часі, і спирається на два основні поняття – функцію та межу, які не зустрічаються у більш елементарних розділах математики. Спочатку математичний аналіз складався з диференціального та інтегрального обчислень, але тепер включає й інші розділи.

Розрізняють дві основні галузі математики – чисту математику, у якій акцент робиться на дедуктивні міркування, та прикладну математику. Термін «прикладна математика» іноді відносять до тих гілок математики, які створені спеціально для того, щоб задовольнити запити та вимоги науки, а іноді – до тих розділів різних наук (фізики, економіки тощо), які використовують математику як рішення своїх завдань. Багато поширені помилки щодо математики виникають у результаті змішування цих двох тлумачень «прикладної математики». Арифметика може бути прикладом прикладної математики у першому сенсі, а бухгалтерський облік – у другому.

Всупереч поширеній думці математика продовжує швидко розвиватися. Журнал "Математичний огляд" ("Mathematical Review") публікує щороку прибл. 8000 коротких резюме статей, що містять останні результати – нові математичні факти, нові докази старих фактів і навіть відомості про нові галузі математики. Існуюча нині тенденція у математичному освіті полягає у прагненні ознайомити учнів із сучасними, абстрактнішими математичними ідеями більш ранніх стадіях викладання математики. Див. такожМАТЕМАТИКИ ІСТОРІЯ. Математика – один із наріжних каменів цивілізації, проте дуже мало людей мають уявлення про сучасний стан справ у цій науці.

Математика за останні сто років зазнала величезних змін, що стосуються як предмета, так і методів дослідження. У цій статті ми спробуємо дати загальне уявлення про основні етапи еволюції сучасної математики, головними результатами якої можна вважати, з одного боку, збільшення розриву між чистою та прикладною математикою, з другого – повне переосмислення традиційних областей математики.

РОЗВИТОК МАТЕМАТИЧНОГО МЕТОДУ

Народження математики.

Близько 2000 року до н.е. було помічено, що в трикутнику зі сторонами 3, 4 і 5 одиниць довжини один з кутів дорівнює 90° (це спостереження дозволяло легко будувати прямий кут для практичних потреб). Чи помітили тоді співвідношення 5 2 = 3 2 + 4 2? Щодо цього ми не маємо жодних відомостей. Через кілька століть було відкрито загальне правило: у будь-якому трикутнику ABCз прямим кутом при вершині Aта сторонами b = АСі c = AB, між якими укладено цей кут, та протилежною йому стороною a = BCсправедливе співвідношення a 2 = b 2 + c 2 . Можна сміливо сказати, що наука починається тоді, коли маса окремих спостережень пояснюється одним загальним законом; отже, відкриття «теореми Піфагора» можна як один із перших відомих прикладів справді наукового досягнення.

Але важливіше значення для науки взагалі й у математики зокрема має те, що з формулюванням загального закону виникають спроби його довести, тобто. показати, що він із необхідністю випливає з інших геометричних властивостей. Один із східних «доказів» особливо наочний у своїй простоті: чотири трикутники, рівні даному, вписані в квадрат BCDEтак, як показано на кресленні. Площа квадрата a 2 виявляється розділеною на чотири рівні трикутники загальною площею 2 bcі квадрат AFGHплощею ( b – c) 2 . Таким чином, a 2 = (b – c) 2 + 2bc = (b 2 + c 2 – 2bc) + 2bc = b 2 + c 2 . Повчально зробити ще один крок і з'ясувати точніше, які «попередні» властивості вважаються відомими. Найбільш очевидний факт у тому, що оскільки трикутники BACі BEFточно, без прогалин і накладання, «підігнані» вздовж сторін BAі BF, це означає, що два кути при вершинах Bі Зу трикутнику ABСскладають разом кут 90° і тому сума всіх трьох його кутів дорівнює 90° + 90° = 180°. У наведеному вище "доказі" використовується також формула ( bc/2) для площі трикутника ABCз кутом 90° при вершині A. Фактично були використані й інші припущення, але й сказаного достатньо, щоб ми могли наочно побачити суттєвий механізм математичного доказу – дедуктивне міркування, що дозволяє за допомогою суто логічних аргументів (на основі належного підготовленого матеріалу, у нашому прикладі – розбиття квадрата) вивести з відомих результатів нові властивості, як правило, не такі безпосередньо з наявних даних.

Аксіоми та методи доказу.

Однією з фундаментальних особливостей математичного методу є процес створення за допомогою ретельно вибудованих суто логічних аргументів ланцюжка тверджень, у якому кожна наступна ланка пов'язана з попередніми. Перше досить очевидне міркування полягає в тому, що в будь-якому ланцюжку має бути перша ланка. Ця обставина стала очевидною грекам, коли вони приступили до систематизації зводу математичних аргументів у 7 ст. до н.е. Для цього задуму грекам знадобилося бл. 200 років, і документи, що збереглися, дозволяють скласти лише зразкове уявлення про те, як саме вони діяли. Точною інформацією ми маємо лише про остаточний результат досліджень – знаменитих ПочаткахЕвкліда (бл. 300 до н.е.). Евклід починає з перерахування вихідних положень, у тому числі решта виводяться суто логічним шляхом. Ці положення називаються аксіомами чи постулатами (терміни практично взаємозамінні); вони висловлюють або дуже загальні і дещо розпливчасті властивості об'єктів будь-якого роду, наприклад «ціле більше частини», або якісь конкретні математичні властивості, наприклад, що для будь-яких двох точок існує єдина пряма, що їх з'єднує. У нас немає жодної інформації і про те, чи надавали греки якогось глибшого сенсу чи значущості «істинності» аксіом, хоча існують деякі натяки, що, перш ніж прийняти ті чи інші аксіоми, греки деякий час їх обговорювали. У Евкліда та її послідовників аксіоми представлені лише як вихідні пункти для побудови математики без жодних коментарів про їхню природу.

Що ж до методів доказу, всі вони, зазвичай, зводилися до прямому використанню раніше доведених теорем. Іноді, щоправда, логіка міркувань виявлялася складнішою. Ми згадаємо тут улюблений метод Евкліда, який увійшов у повсякденну практику математики, – непрямий доказ, або доказ протилежного. Як елементарний приклад доказу від противного покажемо, що шахівницю, з якої вирізані два кутові поля, розташовані на протилежних кінцях діагоналі, неможливо покрити кістками доміно, кожна з яких дорівнює двом полям. (Припускається, що кожне поле шахівниці має бути покрите лише один раз.) Припустимо, що вірно протилежне («противне») твердження, тобто. що дошку можна покрити кістками доміно. Кожна кістка покриває одне чорне та одне біле поле, тому незалежно від розташування кісток доміно вони покривають однакову кількість чорних та білих полів. Однак через те, що два кутові поля видалені, шахівниця (на якій спочатку було стільки ж чорних полів, скільки білих) має полів одного кольору на два більше, ніж полів іншого кольору. Це означає, що наше вихідне припущення може бути істинним, оскільки призводить до суперечності. А оскільки судження, що суперечать один одному, не можуть бути хибними одночасно (якщо одне з них хибне, то протилежне істинно), наше вихідне припущення має бути істинним, бо суперечить йому припущення хибно; отже, шахівницю з двома вирізаними кутовими полями, розташованими по діагоналі, неможливо покрити кістками доміно. Отже, щоб довести певне твердження, ми можемо припустити, що воно хибне, і вивести з цього припущення протиріччя з іншим твердженням, істинність якого відома.

Прекрасний приклад докази від неприємного, який став однією з віх у розвитку давньогрецької математики, – доказ те, що – раціональне число, тобто. непредставно у вигляді дробу p/q, де pі q- цілі числа. Якщо , то 2 = p 2 /q 2 , звідки p 2 = 2q 2 . Припустимо, що є два цілих числа pі q, для яких p 2 = 2q 2 . Інакше кажучи, ми припускаємо, що існує ціле число, квадрат якого вдвічі більший за квадрат іншого цілого числа. Якщо якісь цілі числа задовольняють цій умові, то одне з них має бути найменшим від інших. Зосередимо увагу на найменшому з таких чисел. Нехай це буде число p. Оскільки 2 q 2 – парне число та p 2 = 2q 2 , то число p 2 має бути парним. Оскільки квадрати всіх непарних чисел непарні, а квадрат p 2 четен, значить саме число pмає бути парним. Інакше кажучи, число pудвічі більше за деяке ціле число r. Так як p = 2rі p 2 = 2q 2 , маємо: (2 r) 2 = 4r 2 = 2q 2 та q 2 = 2r 2 . Остання рівність має той самий вигляд, що й рівність p 2 = 2q 2 , і ми можемо, повторюючи ті ж міркування, показати, що число qпарно і що існує таке ціле число s, що q = 2s. Але тоді q 2 = (2s) 2 = 4s 2 , і, оскільки q 2 = 2r 2 , ми укладаємо, що 4 s 2 = 2r 2 або r 2 = 2s 2 . Так ми отримуємо друге ціле число, яке задовольняє умові, що його квадрат удвічі більший за квадрат іншого цілого числа. Але тоді pне може бути найменшим таким числом (оскільки r = p/2), хоча спочатку ми припускали, що це найменше з таких чисел. Отже, наше вихідне припущення хибне, оскільки призводить до суперечності, і тому немає таких цілих чисел pі q, для яких p 2 = 2q 2 (тобто таких, що). І це означає, що число може бути раціональним.

Від Евкліда на початок 19 в.

Протягом цього періоду математика суттєво змінилася внаслідок трьох новацій.

(1) У процесі розвитку алгебри був винайдений спосіб символічного запису, що дозволяв представляти в скороченому вигляді більш складні співвідношення між величинами. Як приклад тих незручностей, які виникли б, якби не було такого «скоропису», спробуємо передати словами співвідношення ( a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2: «Площа квадрата зі стороною, яка дорівнює сумі сторін двох даних квадратів, дорівнює сумі їх площ разом з подвоєною площею прямокутника, сторони якого рівні сторонам даних квадратів».

(2) Створення у першій половині 17 ст. аналітичної геометрії, що дала можливість будь-яке завдання класичної геометрії звести до деякої задачі алгебри.

(3) Створення та розвиток у період з 1600 по 1800 обчислення нескінченно малих, що дозволяло легко і систематично вирішувати сотні завдань, пов'язаних з поняттями межі та безперервності, лише дуже мало хто з яких було вирішено з великими труднощами давньогрецькими математиками. Докладніше ці гілки математики розглядаються у статтях Алгебра; АНАЛІТИЧНА ГЕОМЕТРІЯ; МАТЕМАТИЧНИЙ АНАЛІЗ ; ГЕОМЕТРІЇ ОГЛЯД.

Починаючи з 17 ст. поступово проясняється питання, яке досі залишалося нерозв'язним. Що таке математика? До 1800 відповідь була досить простою. Тоді чітких кордонів між різними науками немає, математика була частиною «натуральної філософії» – систематичного вивчення природи методами, запропонованими великими реформаторами епохи Відродження початку 17 в. – Галілеєм (1564–1642), Ф.Беконом (1561–1626) та Р.Декартом (1596–1650). Вважалося, що з математиків є своя власна область дослідження – числа і геометричні об'єкти і що математики не користуються експериментальним методом. Однак Ньютон та його послідовники вивчали механіку та астрономію за допомогою аксіоматичного методу за аналогією з тим, як було викладено геометрію у Евкліда. У загальному плані було визнано, будь-яка наука, у якій результати експерименту представні з допомогою чисел чи систем чисел, стає областю докладання математики (у фізиці це утвердження утвердилося лише 19 в.).

Області експериментальної науки, які зазнали математичної обробки, часто називають «ужитковою математикою»; це дуже невдала назва, тому що ні за класичними, ні за сучасними стандартами в цих додатках не існує (в строгому сенсі) справді математичних аргументів, оскільки в них предметом дослідження є нематематичні об'єкти. Після того як дані експерименту перекладені мовою чисел або рівнянь (такий «переклад» часто вимагає великої винахідливості з боку «прикладного» математика), з'являється можливість широкого застосування математичних теорем; потім результат піддається зворотному перекладу та порівнюється зі спостереженнями. Те, що до процесу такого роду застосовується термін «математика», є одним із джерел нескінченних непорозумінь. У «класичні» часи, про які зараз йдеться, такого роду непорозумінь не існувало, оскільки одні й ті самі люди були і «прикладними», і «чистими» математиками, займаючись одночасно проблемами математичного аналізу чи теорії чисел, проблемами динаміки чи оптики. Однак спеціалізація, що посилилася, і тенденція до відокремлення «чистої» і «прикладної» математик значно послабили традицію універсальності, що раніше існувала, і вчені, які, подібно Дж.фон Нейману (1903–1957), були здатні вести активну наукову діяльність як у прикладній, так і у чистій математиці стали швидше винятком, ніж правилом.

Якою є природа математичних об'єктів – чисел, точок, ліній, кутів, поверхонь тощо, існування яких ми вважали чимось само собою зрозумілим? Що означає стосовно таких об'єктів поняття «істина»? На ці питання в класичний період було дано цілком певні відповіді. Зрозуміло, вчені тієї епохи чітко розуміли, що у світі наших відчуттів немає таких речей, як «нескінченно протяжна пряма» або «точка, що не має розмірів» Евкліда, як немає «чистих металів», «монохроматичного світла», «теплоізольованих систем» тощо .д., якими оперують у своїх міркуваннях експериментатори. Усі ці поняття – «платонівські ідеї», тобто. свого роду породжуючі моделі емпіричних понять, хоч і радикально іншого характеру. Проте мовчазно передбачалося, що фізичні «образи» ідей можуть бути як завгодно близькі до самих ідей. У тій мірі, якою взагалі можна щось стверджувати щодо близькості об'єктів до ідей, кажуть, що «ідеї» є, так би мовити, «граничними випадками» фізичних об'єктів. З цієї точки зору, аксіоми Евкліда і теореми, що виводяться з них, виражають властивості «ідеальних» об'єктів, яким повинні відповідати передбачувані експериментальні факти. Наприклад, вимірювання оптичними методами кутів трикутника, утвореного трьома точками в просторі, в ідеальному випадку має дати суму, рівну 180 °. Інакше висловлюючись, аксіоми поставлено однією рівень із фізичними законами, і тому їх «істинність» сприймається як і, як істинність фізичних законів; тобто. логічні наслідки із аксіом підлягають перевірці шляхом порівняння з експериментальними даними. Зрозуміло, згоду можна досягти лише в межах помилки, пов'язаної і з «недосконалим» характером вимірювального приладу, і «недосконалою природою» об'єкта, що вимірюється. Проте завжди передбачається, що й закони «істинні», то удосконалення процесів виміру у принципі дозволяють зробити помилку виміру як завгодно малою.

Упродовж 18 ст. перебувало дедалі більше доказів те, що це слідства, отримані з основних аксіом, особливо у астрономії та механіці, узгоджуються з даними експериментів. А оскільки ці наслідки вийшли з використанням математичного апарату, що існував на той час, досягнуті успіхи сприяли зміцненню думки про істинність аксіом Евкліда, яка, як говорив Платон, «ясна кожному» і не підлягає обговоренню.

Сумніви та нові надії.

Неевклідова геометрія.

Серед постулатів, наведених Евклідом, один був настільки неочевидний, що навіть перші учні великого математика вважали його слабким місцем у системі Почав. Аксіома, про яку йдеться, стверджує, що через точку, що лежить поза цією прямою, можна провести тільки одну пряму, паралельну даній прямій. Більшість геометрів вважали, що аксіому про паралельні можна довести за допомогою інших аксіом і що Евклід сформулював твердження про паралельні як постулат просто тому, що йому не вдалося вигадати такий доказ. Але, хоча найкращі математики намагалися вирішити проблему паралельних, нікому з них не вдалося перевершити Евкліда. Нарешті, у другій половині 18 ст. були спроби довести постулат Евкліда про паралельних від противного. Припустили, що аксіома про паралельні помилкова. Апріорі постулат Евкліда міг виявитися хибним у двох випадках: якщо через точку поза цією прямою неможливо провести жодної паралельної; або якщо через неї можна провести кілька паралельних. Виявилося, що перша апріорна можливість виключається іншими аксіомами. Прийнявши замість традиційної аксіоми про паралельні нову аксіому (про те, що через точку поза даною прямою можна провести кілька прямих, паралельних даній), математики намагалися вивести з неї твердження, що суперечить іншим аксіомам, але зазнали невдачі: скільки вони не намагалися витягувати наслідків з нової «антиєвклідової», або «неевклідової» аксіоми, протиріччя так і не виникло. Нарешті, незалежно один від одного М.І.Лобачевський (1793–1856) та Я.Бойяї (1802–1860) зрозуміли, що постулат Евкліда про паралельні недокази, або, інакше кажучи, у «неевклідовій геометрії» протиріччя не виникне.

З появою неевклідової геометрії відразу виникло кілька філософських проблем. Оскільки претензія на апріорну необхідність аксіом відпала, залишався єдиний спосіб перевірки їхньої «істинності» – експериментальний. Але, як пізніше зауважив А.Пуанкаре (1854-1912), в описі будь-якого явища прихована така безліч фізичних припущень, що жоден експеримент не може дати переконливого доказу істинності чи хибності математичної аксіоми. Крім того, навіть якщо припустити, що наш світ є «неевклідовим», чи випливає з цього, що вся евклідова геометрія хибна? Наскільки відомо, жоден математик ніколи не розглядав таку гіпотезу всерйоз. Інтуїція підказувала, що евклідова і неевклідова геометрії є прикладами повноцінної математики.

Математичні "монстри".

Несподівано до таких самих висновків дійшли зовсім з іншого боку – були відкриті об'єкти, що призвели до математиків 19 ст. в шок і отримали назву «математичних монстрів». Це відкриття має безпосереднє відношення до дуже тонких питань математичного аналізу, що виникли лише в середині 19 ст. Труднощі виникли при спробі знайти точний математичний аналог експериментальному поняттю кривої. Те, що було суттю поняття «безперервного руху» (наприклад, вістря креслярського пера, що рухається по аркушу паперу), підлягало точному математичному визначенню, і ця мета була досягнута, коли поняття безперервності набуло суворого математичного сенсу ( см. такожКРИВА). Інтуїтивно здавалося, що «крива» у кожній своїй точці має хіба що напрямок, тобто. в загальному випадку на околиці кожної своєї точки крива поводиться майже так само, як пряма. (З іншого боку, неважко уявити, що крива має кінцеве число кутових точок, «зломів», як багатокутник.) Ця вимога могла бути сформульована математично, а саме, передбачалося існування дотичної до кривої, і до середини 19 ст. вважалося, що «крива» має дотичну майже у всіх своїх точках, можливо, за винятком деяких «особливих» точок. Тому відкриття «кривих», які не мали дотичної в будь-якій своїй точці, викликало справжній скандал. см. такожФУНКЦІЙ ТЕОРІЯ). (Читач, знайомий з тригонометрією та аналітичною геометрією, може легко перевірити, що крива, що задається рівнянням y = x sin (1/ x), не має дотичної на початку координат, але визначити криву, що не має дотичної в жодній своїй точці, значно складніше.

Дещо пізніше був отриманий більш «патологічний» результат: вдалося побудувати приклад кривої, яка повністю заповнює квадрат. З того часу було винайдено сотні таких «монстрів», які суперечили «здоровому глузду». Слід підкреслити, що існування таких незвичайних математичних об'єктів випливає з основних аксіом так само суворо і логічно бездоганно, як існування трикутника або еліпса. Оскільки математичні «монстри» не можуть відповідати жодному експериментальному об'єкту, і єдиний можливий висновок полягає в тому, що світ математичних «ідей» набагато багатший і незвичайніший, ніж можна було очікувати, і лише мало хто з них має відповідності у світі наших відчуттів. Але якщо математичні «монстри» логічно випливають із аксіом, то чи можна як і раніше вважати аксіоми істинними?

Нові об'єкти.

Наведені вище результати отримали підтвердження ще з одного боку: в математиці, головним чином в алгебрі, один за одним стали виникати нові математичні об'єкти, що становили узагальнення поняття числа. Звичайні цілі числа досить «інтуїтивні», і дійти експериментального поняття дробу дуже важко (хоча не можна не визнати, що операція поділу одиниці на кілька рівних частин і вибір кількох з них за своєю природою відрізняються від процесу рахунку). Після того як з'ясувалося, що число непредставимо у вигляді дробу, греки були змушені розглядати ірраціональні числа, коректне визначення яких за допомогою нескінченної послідовності наближень раціональними числами належить до найвищих досягнень людського розуму, але навряд чи відповідає чомусь реальному в нашому фізичному світі (де будь-який вимір незмінно пов'язане з помилками). Проте запровадження ірраціональних чисел відбувалося більш-менш на кшталт «ідеалізації» фізичних понять. А що сказати про негативні числа, які повільно, зустрічаючи великий опір, стали входити до наукового побуту у зв'язку з розвитком алгебри? З усією визначеністю можна стверджувати, що не було ніяких готових фізичних об'єктів, відправляючись від яких ми за допомогою процесу прямої абстракції могли б виробити поняття негативного числа, і у викладання елементарного курсу алгебри доводиться вводити безліч допоміжних і складних прикладів (орієнтовані відрізки, температури, борги тощо), щоб пояснити, що таке негативні числа. Таке становище дуже далеке від поняття «ясного кожному», як того вимагав Платон від ідей, що лежать в основі математики, і нерідко доводиться зустрічати випускників коледжів, для яких все ще залишається загадкою правило знаків. a)(–b) = ab. Див. такожЧИСЛО.

Ще гірше справа з «уявними», або «комплексними» числами, оскільки в них входить «число» i, таке, що i 2 = –1, що є порушенням правила знаків. Проте математики з кінця 16 в. не вагаючись проводять обчислення з комплексними числами, як би вони «мали сенс», хоча 200 років тому не могли дати визначення цих «об'єктів» або інтерпретувати їх за допомогою будь-якої допоміжної конструкції, як, наприклад, були інтерпретовані за допомогою спрямованих відрізків негативні числа. (Після 1800 року було запропоновано кілька інтерпретацій комплексних чисел, найвідоміша – за допомогою векторів на площині.)

Сучасна аксіоматика.

Переворот відбувся у другій половині 19 ст. І хоча він не супроводжувався прийняттям офіційних заяв, насправді йшлося саме про проголошення свого роду «декларації незалежності». Конкретніше – про проголошення де-факто декларації незалежності математики від зовнішнього світу.

З цієї точки зору, математичні «об'єкти», якщо взагалі має сенс говорити про їхнє «існування», – чисте породження розуму, і чи мають вони якісь «відповідності» і чи допускають якусь «інтерпретацію» у фізичному світі, математики несуттєво (хоча саме собою це питання цікавий).

«Істинні» твердження про такі «об'єкти» – ті самі логічні наслідки з аксіом. Але тепер аксіоми слід розглядати як цілком довільні, і тому відпадає потреба у їхній «очевидності» або виведеності з повсякденного досвіду за допомогою «ідеалізації». Насправді повна свобода обмежена різного роду міркуваннями. Зрозуміло, «класичні» об'єкти та їхні аксіоми залишаються без змін, але тепер їх не можна вважати єдиними об'єктами та аксіомами математики, і в повсякденну практику увійшла звичка викидати чи переробляти аксіоми так, щоб була можливість використовувати їх у різний спосіб, як це було зроблено під час переходу від евклідової геометрії до неевклідової. (Саме таким чином було отримано численні варіанти «неевклідових» геометрій, відмінних від евклідової геометрії та від геометрії Лобачевського – Бойяї; наприклад, є неевклідові геометрії, в яких не існує паралельних прямих.)

Хотілося б особливо наголосити на одній обставині, яка випливає з нового підходу до математичних «об'єктів»: усі докази мають спиратися виключно на аксіоми. Якщо ми згадаємо визначення математичного доказу, то подібне висловлювання може здатися повтором. Однак це правило рідко дотримувалося в класичній математиці через інтуїтивну природу її об'єктів або аксіом. Навіть у ПочаткахЕвкліда, за всієї здається «суворості», багато аксіоми не формулюються явно і багато властивостей або мовчазно передбачаються, або вводяться без достатнього обгрунтування. Щоб поставити евклідову геометрію на міцну основу, знадобився критичний перегляд самих її початків. Навряд чи варто говорити про те, що педантичний контроль за найдрібнішими деталями доказу є наслідком появи «монстрів», які навчили сучасних математиків бути обережними у висновках. Найнешкідливіше і «очевидне» твердження про класичні об'єкти, наприклад твердження про те, що крива, що з'єднує точки, розташовані по різні боки від прямої, неодмінно перетинає цю пряму, у сучасній математиці потребує суворого формального доказу.

Можливо, здасться парадоксальним твердження, що саме через свою відданість аксіомам сучасна математика є наочним прикладом того, якою має бути будь-яка наука. Проте такий підхід ілюструє характерну особливість однієї з найбільш фундаментальних процесів наукового мислення – отримання точної інформації у ситуації неповного знання. Наукове дослідження деякого класу об'єктів передбачає, що особливості, що дозволяють відрізняти одні об'єкти від інших, навмисне забуваються, а зберігаються лише загальні риси об'єктів, що розглядаються. Те, що виділяє математику із загального ряду наук, полягає в неухильному дотриманні цієї програми у всіх її пунктах. Вважається, що математичні об'єкти повністю визначені аксіомами, що використовуються теорії цих об'єктів; або, за словами Пуанкаре, аксіоми є «замаскованими визначеннями» тих об'єктів, до яких вони відносяться.

СУЧАСНА МАТЕМАТИКА

Хоча теоретично можливе існування будь-яких аксіом дотепер було запропоновано та досліджено лише невелику кількість аксіом. Зазвичай під час розвитку однієї чи кількох теорій зауважують, якісь схеми докази повторюються за більш-менш аналогічних умов. Після того, як властивості, що використовуються в загальних схемах доказів, виявлені, їх формулюють у вигляді аксіоми, а наслідки з них вибудовують у загальну теорію, що не має прямого відношення до тих конкретних контекстів, з яких були абстраговані аксіоми. Отримані при цьому загальні теореми застосовні до будь-якої математичної ситуації, в якій існують системи об'єктів, які відповідають відповідним аксіомам. Повторюваність тих самих схем докази у різних математичних ситуаціях свідчить у тому, що маємо справу з різними конкретизаціями однієї й тієї ж загальної теорії. Це означає, що після відповідної інтерпретації аксіоми цієї теорії у кожній ситуації стають теоремами. Будь-яка властивість, що виводиться з аксіом, буде справедливо у всіх цих ситуаціях, але необхідність окремого доказу для кожного випадку відпадає. У таких випадках кажуть, що математичні ситуації мають одну й ту саму математичну «структуру».

Ми користуємося уявленням про структуру на кожному кроці у нашому повсякденному житті. Якщо термометр показує 10 ° С і бюро прогнозів передбачає підвищення температури на 5 ° С, ми без жодних обчислень очікуємо температуру в 15 ° С. Якщо книга відкрита на 10-й сторінці і нас просять заглянути на 5 сторінок далі, ми не вагаючись відкриваємо її на 15 сторінці, не відраховуючи проміжних сторінок. В обох випадках ми вважаємо, що додавання чисел дає правильний результат незалежно від їх інтерпретації – у вигляді температури або номерів сторінок. Нам немає потреби вчити одну арифметику для термометрів, а іншу – для номерів сторінок (хоча ми користуємося особливою арифметикою, маючи справу з годинником, в якому 8 + 5 = 1, оскільки годинник має іншу структуру, ніж сторінки книги). Цікаві математиків структури відрізняються дещо вищою складністю, у чому неважко переконатися на прикладах, розбору яких присвячені два наступні розділи цієї статті. В одному з них мова піде про теорію груп та математичні поняття структур та ізоморфізмів.

Теорія груп.

Щоб краще зрозуміти процес, змальований вище загалом, візьмемо він сміливість зазирнути в лабораторію сучасного математика і придивитися до одного з його основних інструментів – теорії груп ( см. такожАлгебра абстрактна). Групою називається набір (або «безліч») об'єктів G, на якому визначена операція, що ставить у відповідність будь-яким двом об'єктам або елементам a, bз G, взятим у зазначеному порядку (першим – елемент a, другим – елемент b), третій елемент cз Gза строго певним правилом. Для стислості позначимо цей елемент a*b; зірочка (*) означає операцію композиції двох елементів. Ця операція, яку ми назвемо груповим множенням, має задовольняти такі умови:

(1) для будь-яких трьох елементів a, b, cз Gвиконується властивість асоціативності: a* (b*c) = (a*b) *c;

(2) у Gіснує такий елемент e, що для будь-якого елемента aз Gмає місце співвідношення e*a = a*e = a; цей елемент eназивається одиничним чи нейтральним елементом групи;

(3) для будь-якого елемента aз Gзнайдеться такий елемент aу, званий зворотним або симетричним до елементу a, що a*aў = aў* a = e.

Якщо ці властивості прийняти за аксіоми, то логічні наслідки з них (незалежні від будь-яких інших аксіом або теорем) у сукупності утворюють те, що називається теорією груп. Вивести раз і назавжди ці наслідки виявилося дуже корисним, оскільки групи широко застосовуються у всіх розділах математики. З тисяч можливих прикладів груп виберемо лише кілька найпростіших.

(а) Дроби p/q, де pі q- довільні цілі числа і1 (при q= 1 ми отримуємо прості цілі числа). Дроби p/qутворюють групу щодо групового множення ( p/q) *(r/s) = (pr)/(qs). Властивості (1), (2), (3) випливають із аксіом арифметики. Справді, [( p/q) *(r/s)] *(t/u) = (prt)/(qsu) = (p/q)*[(r/s)*(t/u)]. Єдиним елементом є число 1 = 1/1, оскільки (1/1)*( p/q) = (1Ч p)/(1Ч q) = p/q. Нарешті, елементом, оберненим до дробу p/q, є дріб q/p, так як ( p/q)*(q/p) = (pq)/(pq) = 1.

(b) Розглянемо як Gнабір з чотирьох цілих чисел 0, 1, 2, 3, а як a*b- залишок від ділення a + bна 4. Результати в такий спосіб введеної операції представлені у табл. 1 (елемент a*bстоїть на перетині рядка aта стовпця b). Неважко перевірити, що властивості (1)-(3) виконуються, а одиничним елементом є число 0.

(с) Виберемо як Gнабір чисел 1, 2, 3, 4, а як a*b- залишок від ділення ab(Звичайного твору) на 5. В результаті отримаємо табл. 2. Легко перевірити, що властивості (1)-(3) виконуються, а одиничним елементом є 1.

(d) Чотири об'єкти, наприклад чотири числа 1, 2, 3, 4, можна розташувати в ряд 24 способами. Кожне розташування можна наочно уявити як перетворення, що переводить «природне» розташування на задане; наприклад, розташування 4, 1, 2, 3 виходить в результаті перетворення

S: 1 ® 4, 2 ® 1, 3 ® 2, 4 ® 3,

яке можна записати у зручнішому вигляді

Для будь-яких двох таких перетворень S, Tми визначимо S*Tяк перетворення, яке вийде в результаті послідовного виконання Т, а потім S. Наприклад, якщо , то . При такому визначенні всі 24 можливі перетворення утворюють групу; її одиничним елементом служить , а елемент, обернений до S, Виходить при заміні стрілок у визначенні Sна протилежні; наприклад, якщо , то .

Неважко помітити, що у перших трьох прикладах a*b = b*a; у разі говорять, що група чи групове множення коммутативны. З іншого боку, в останньому прикладі , і, отже, T*Sвідрізняється від S*T.

Група з прикладу (d) є окремим випадком т.зв. симетричної групи, до сфери додатків якої входять, серед іншого, методи розв'язання рівнянь алгебри та поведінка ліній у спектрах атомів. Групи з прикладів (b) та (c) відіграють важливу роль у теорії чисел; у прикладі (b) число 4 можна замінити будь-яким цілим числом n, а числа від 0 до 3 – числами від 0 до n- 1 (при n= 12 ми отримаємо систему чисел, які стоять на циферблатах годинника, про що ми згадували вище); у прикладі (с) число 5 можна замінити будь-яким простим числом р, а числа від 1 до 4 – числами від 1 до p – 1.

Структури та ізоморфізм.

Попередні приклади показують, як різноманітною може бути природа об'єктів, що утворюють групу. Але насправді в кожному випадку все зводиться до того самого сценарію: з властивостей безлічі об'єктів ми розглядаємо лише ті, які перетворюють цю множину на групу (ось приклад неповноти знання!). У разі говорять, що ми розглядаємо групову структуру, задану обраним нами груповим множенням.

Ще один приклад структури – т.зв. структура порядку. Безліч Eнаділено структурою порядку, або впорядковано, якщо між елементами a è b, що належать E, задано деяке відношення, яке ми позначимо R (a,b). (Таке відношення повинно мати сенс для будь-якої пари елементів з Е, але в загальному випадку воно помилкове для одних пар і істинно для інших, наприклад, відношення 7

(1) R (a,a) істинно для кожного а, що належить Е;

(2) з R (a,b) та R (b,a) випливає, що a = b;

(3) з R (a,b) та R (b,c) слід R (a,c).

Наведемо кілька прикладів з величезної кількості різноманітних впорядкованих множин.

(а) Eскладається з усіх цілих чисел, R (a,b) – відношення « аменше або дорівнює b».

(b) Ескладається з усіх цілих чисел >1, R (a,b) – відношення « аділить bабо одно b».

Як останній приклад структури згадаємо структуру метричного простору; така структура задається на безлічі Е, якщо кожній парі елементів aі b, що належать E, можна поставити у відповідність число d (a,b) і 0, що задовольняє наступним властивостям:

(1) d (a,b) = 0 у тому і лише тому випадку, коли a = b;

(2) d (b,a) = d (a,b);

(3) d (a,c) Ј d (a,b) + d (b,c) для будь-яких трьох заданих елементів a, b, cз E.

Наведемо приклади метричних просторів:

(a) звичайний «тривимірний» простір, де d (a,b) – звичайна (або «евклідова») відстань;

(b) поверхня сфери, де d (a,b) – довжина найменшої дуги кола, що сполучає дві точки aі bна сфері;

Точне визначення поняття структури є досить складним. Не вдаючись у подробиці, можна сказати, що на множині Езадана структура певного типу, якщо між елементами множини Е(а іноді й іншими об'єктами, наприклад числами, що грають допоміжну роль) задані відносини, що задовольняють деякому фіксованому набору аксіом, що характеризує структуру типу, що розглядається. Вище ми навели аксіоми трьох типів структур. Зрозуміло, існує багато інших типів структур, теорії яких повністю розроблені.

З поняттям структури тісно пов'язані багато абстрактних понять; назвемо лише одне з найважливіших – поняття ізоморфізму. Згадаймо приклад груп (b) та (c), наведених у попередньому розділі. Неважко перевірити, що з табл. 1 до табл. 2 можна перейти за допомогою відповідності

0 ® 1, 1 ® 2, 2 ® 4, 3 ® 3.

І тут говоримо, що ці групи изоморфны. У загальному випадку дві групи Gі Gу ізоморфні, якщо між елементами групи Gта елементами групи Gу можна встановити таку взаємно однозначну відповідність a « aу, що якщо c = a*b, то cў = aў* bу для відповідних елементів Gв. Будь-яке твердження з теорії груп, справедливе для групи G, залишається в силі і для групи Gу, і навпаки. Алгебраїчні групи Gі Gу невиразні.

Читач легко переконається, що так само можна визначити два ізоморфні впорядковані множини або два ізоморфні метричні простори. Можна показати, що поняття ізоморфізму поширюється на структури будь-якого типу.

КЛАСИФІКАЦІЯ

Стара та нова класифікація математики.

Поняття структури та пов'язані з ним інші поняття зайняли в сучасній математиці центральне місце як із суто «технічної», так і з філософської та методологічної точок зору. Загальні теореми основних типів структур є надзвичайно потужними інструментами математичної «техніки». Щоразу, коли математику вдається показати, що досліджувані ним об'єкти задовольняють аксіомам певного типу структур, він тим самим доводить, що всі теореми теорії структури цього типу застосовні до конкретних об'єктів, вивчення яких він займається (без цих загальних теорем він, ймовірно, упустив б на увазі конкретні їх варіанти або був змушений обтяжувати свої міркування зайвими припущеннями). Аналогічно, якщо доведено, що дві структури ізоморфні, число теорем негайно подвоюється: кожна теорема, доведена однієї зі структур, відразу ж дає відповідну теорему інший. Не дивно тому, що існують дуже складні та важкі теорії, наприклад, «теорія поля класів» у теорії чисел, головна мета яких – доказ ізоморфізму структур.

З філософської точки зору, широке використання структур та ізоморфізмів демонструє основну особливість сучасної математики - та обставина, що "природа" математичних "об'єктів" не має особливого значення, значущі лише відносини між об'єктами (різновид принципу неповноти знання).

Нарешті, мушу згадати у тому, що поняття структури дозволило по-новому класифікувати розділи математики. До середини 19 в. вони відрізнялися відповідно до предмета дослідження. Арифметика (або теорія чисел) мала справу з цілими числами, геометрія – з прямими, кутами, багатокутниками, колами, майданами тощо. Алгебра займалася майже виключно методами розв'язання чисельних рівнянь або систем рівнянь, аналітична геометрія розробляла методи перетворення геометричних завдань на еквівалентні завдання алгебри. Коло інтересів ще одного найважливішого розділу математики, що одержав назву «математичний аналіз», включав в основному диференціальне та інтегральне обчислення та різні додатки до геометрії, алгебри і навіть теорії чисел. Кількість цих додатків збільшувалася, зростала і їх значення, що призвело до дроблення математичного аналізу на підрозділи: теорію функцій, диференціальні рівняння (звичайні та приватні похідні), диференціальну геометрію, варіаційне обчислення і т.д.

Для багатьох сучасних математиків такий підхід нагадує історію класифікації першими натуралістами тварин: колись і морська черепаха, і тунець вважалися рибами, оскільки мешкали у воді та мали схожі риси. Сучасний підхід навчив нас бачити не лише те, що лежить на поверхні, а й заглядати глибше і намагатися розпізнати фундаментальні структури, що лежать за оманливою зовнішністю математичних об'єктів. З цього погляду значення має дослідження найважливіших типів структур. Навряд у нашому розпорядженні є повний і остаточний список цих типів; деякі з них були відкриті в останні 20 років, і є всі підстави очікувати на майбутнє нових відкриттів. Однак ми вже маємо уявлення про багато основних «абстрактних» типів структур. (Вони «абстрактні» порівняно з «класичними» об'єктами математики, хоч і ті навряд чи можна назвати «конкретними»; справа швидше за ступенем абстракції.)

Відомі структури можна класифікувати за відносинами, що входять до них, або за їх складністю. З одного боку, існує великий блок «алгебраїчних» структур, окремим випадком яких є, наприклад, групова структура; серед інших алгебраїчних структур назвемо кільця та поля ( см. такожАлгебра абстрактна). Розділ математики, що займається вивченням структур алгебри, отримав назву «сучасної алгебри» або «абстрактної алгебри», на відміну від звичайної, або класичної, алгебри. Значна частина евклідової геометрії, неевклідова геометрія та аналітична геометрія також увійшли до складу нової алгебри.

На тому ж рівні спільності знаходяться два інших блоки структур. Один з них, званий загальною топологією, включає теорії типів структур, окремим випадком яких є структура метричного простору ( см. ТОПОЛОГІЯ; АБСТРАКТНІ ПРОСТІР). Третій блок становлять теорії структур порядку та його розширень. «Розширення» структури полягає у додаванні до вже наявних нових аксіом. Наприклад, якщо до аксіом групи додати в якості четвертої аксіоми властивість комутативності a*b = b*a, то ми отримаємо структуру комутативної (або абелевої) групи.

З цих трьох блоків два останні донедавна перебували у порівняно стабільному стані, а блок «сучасна алгебра» стрімко розростався, часом у несподіваних напрямах (наприклад, набула розвитку ціла галузь, що отримала назву «гомологічної алгебри»). За межами т.зв. «чистих» типів структур лежить інший рівень – «змішаних» структур, наприклад алгебраїчних і топологічних, разом з новими аксіомами, що їх зв'язують. Було вивчено безліч таких комбінацій, більшість з яких розпадаються на два великі блоки – «топологічну алгебру» та «алгебраїчну топологію».

Разом взяті, ці блоки становлять дуже солідну за обсягом «абстрактну» галузь науки. Багато математиків сподіваються за допомогою нових засобів краще зрозуміти класичні теорії та вирішити важкі проблеми. Справді, при відповідному рівні абстрагування та узагальнення завдання древніх можуть з'явитися у новому світлі, що дозволить знайти рішення. Величезні фрагменти класичного матеріалу опинилися під владою нової математики та були перетворені чи злилися з іншими теоріями. Залишаються великі області, у яких сучасні методи припали настільки глибоко. Прикладами можуть бути теорія диференціальних рівнянь і значної частини теорії чисел. Цілком імовірно, що істотний прогрес у цих областях буде досягнутий після того, як будуть відкриті та ретельно вивчені нові типи структур.

ФІЛОСОФСЬКІ ТРУДНОСТІ

Ще древні греки чітко розуміли, що математична теорія має бути вільна протиріч. Це означає, що неможливо вивести як логічне слідство з аксіом твердження Рта його заперечення не- P. Однак, оскільки вважалося, що математичні об'єкти мають відповідності у реальному світі, а аксіоми є «ідеалізаціями» законів природи, ні в кого не виникало сумнівів щодо несуперечності математики. При переході від класичної математики до математики сучасної проблема несуперечності набула іншого сенсу. Свобода вибору аксіом будь-якої математичної теорії має бути свідомо обмежена умовою несуперечності, але чи можна бути впевненим у тому, що ця умова виявиться виконаною?

Ми вже згадували про поняття множини. Це поняття завжди використовувалося більш менш явно в математиці і логіці. У другій половині 19 ст. елементарні правила поводження з поняттям множини були частково систематизовані, крім того, були отримані деякі важливі результати, що склали зміст т.зв. теорії множин ( см. такожМНОЖИН ТЕОРІЯ), що стала хіба що субстратом решти математичних теорій. Починаючи з античності і до 19 в. існували побоювання щодо нескінченних множин, наприклад, що знайшли відображення у знаменитих парадоксах Зенона Елейського (5 ст до н.е.). Ці побоювання мали частково метафізичний характер, а частково були викликані труднощами, пов'язаними з поняттям вимірювання величин (наприклад, довжини чи часу). Усунути ці проблеми вдалося лише по тому, як і 19 в. було суворо визначено основні поняття математичного аналізу. До 1895 всі страхи були розвіяні, і здавалося, що математика спочиває на непорушному фундаменті теорії множин. Але в наступне десятиліття виникли нові аргументи, які, мабуть, показували внутрішню суперечливість теорії множин (і всієї решти математики).

Нові парадокси були дуже простими. Перший з них – парадокс Рассела – можна розглянути у простій версії, відомій під назвою «парадокс цирульника». У деякому містечку цирульник голить всіх жителів, які не голяться самі. Хто голить самого цирульника? Якщо цирульник голиться сам, то він голить не тільки тих жителів, які не голяться самі, а й одного жителя, який голиться сам; якщо ж він сам не голиться, то він не голить всіх мешканців містечка, які не голяться самі. Парадокс цього типу виникає щоразу, коли розглядається поняття «множина всіх множин». Хоча цей математичний об'єкт здається природним, міркування про нього швидко призводять до протиріч.

Ще більш показовим є парадокс Беррі. Розглянемо безліч всіх російських фраз, які містять трохи більше сімнадцяти слів; число слів російської мови звісно, тому і кількість таких фраз. Виберемо серед них такі, які однозначно задають якесь ціле число, наприклад: «Найбільше непарне число, менше десяти». Число таких фраз також звичайно; отже, звісно й безліч визначених ними цілих чисел. Позначимо кінцеве безліч цих чисел через D. З аксіом арифметики випливає, що існують цілі числа, що не належать D, і що серед цих чисел існує найменша кількість n. Це число nоднозначно визначається фразою: «Найменше ціле число, яке може бути визначено фразою, що складається лише з сімнадцяти російських слів». Але ця фраза містить рівно сімнадцять слів. Отже, вона визначає число n, яке має належати D, і ми приходимо до парадоксального протиріччя.

Інтуїціоністи та формалісти.

Шок, викликаний парадоксами теорії множин, породив різні реакції. Деякі математики були налаштовані дуже рішуче і висловлювали думку, що математика від початку розвивалася у неправильному напрямі і має базуватися зовсім іншому фундаменті. Описати точку зору подібних «інтуїціоністів» (як вони стали себе називати) скільки-небудь точно неможливо, оскільки вони відмовлялися зводити свої погляди до суто логічної схеми. З погляду інтуїціоністів, неправильно застосовувати логічні процеси до інтуїтивно непредставимих об'єктів. Єдиними інтуїтивно ясними об'єктами є натуральні числа 1, 2, 3,... і кінцеві множини натуральних чисел, «побудовані» за точно заданими правилами. Але навіть до таких об'єктів інтуїціоністи не дозволяли застосовувати всі дедукції класичної логіки. Наприклад, вони не визнавали, що для будь-якого затвердження Рістинно чи Р, або не- Р. Маючи в своєму розпорядженні настільки обмеженими засобами, вони легко уникали «парадоксів», але при цьому викидали за борт не тільки всю сучасну математику, а й значну частину результатів класичної математики, а для тих, що ще залишалися, необхідно було знайти нові, складніші докази.

Переважна більшість сучасних математиків не погодилися з аргументами інтуїціоністів. Математики-неинтуиционисты помітили, що аргументи, що застосовуються в парадоксах, значно відрізняються від тих, що використовуються у звичайній математичній роботі з теорією множин, і тому слід виключити такого роду аргументи як незаконні, не наражаючи на ризик існуючі математичні теорії. Інше спостереження полягало в тому, що в «наївній» теорії множин, що існувала до появи «парадоксів», не піддавався сумніву сенс термінів «множина», «властивість», «ставлення» – подібно до того, як у класичній геометрії не піддавався сумніву «інтуїтивний» характер традиційних геометричних понять. Отже, можна діяти так, як це було в геометрії, а саме відкинути всі спроби звернення до «інтуїції» і прийняти за вихідний пункт теорії множин систему точно сформульованих аксіом. Проте неочевидно, як можна позбавити такі слова, як «властивість» або «ставлення», їхнього звичайного сенсу; тим часом це необхідно зробити, якщо ми бажаємо виключити такі міркування, як феномен Беррі. Метод полягає у помірності від використання звичайної мови при формулюванні аксіом або теорем; тільки пропозиції, побудовані відповідно до явної системи жорстких правил, допускаються як «властивості» або «відносини» в математиці і входять у формулювання аксіом. Такий процес називається «формалізацією» математичної мови (щоб уникнути непорозумінь, що виникають через неоднозначності звичайної мови, рекомендується зробити ще один крок і замінити самі слова спеціальними символами у формалізованих реченнях, наприклад замінити зв'язку «і» символом &, зв'язку «або» – символом Ъ, "існує" - символом $ і т.д.). Математиків, які відкидали методи, запропоновані інтуїціоністами, стали називати «формалістами».

Однак на вихідне запитання так і не було дано відповіді. Чи вільна від протиріч «аксіоматична теорія множин»? Нові спроби доказів несуперечності «формалізованих» теорій було здійснено у 1920-х роках Д.Гільбертом (1862–1943) та його школою та отримали назву «метаматематики». Фактично, метаматематика є розділ «прикладної математики», де об'єктами, яких застосовуються математичні міркування, є пропозиції формалізованої теорії та його розташування всередині доказів. Ці пропозиції слід розглядати лише як матеріальні комбінації символів, вироблені за деякими встановленими правилами, без будь-яких посилань на можливий «сенс» цих символів (якщо такий існує). Хорошою аналогією може бути гра в шахи: символи відповідають фігурам, пропозиції – різним позиціям на дошці, а логічні висновки – правилам пересування фігур. Для встановлення несуперечності формалізованої теорії досить показати, що в цій теорії жодний доказ не закінчується твердженням 0 № 0. Однак можна заперечити проти використання математичних аргументів у «метаматематичному» доказі несуперечності математичної теорії; якби математика була суперечливою, то математичні аргументи втратили б будь-яку силу, і ми опинилися б у ситуації порочного кола. Щоб відповісти на ці заперечення, Гільберт допустив до використання в метаматематиці обмежені математичні міркування того типу, який вважають допустимим інтуїціоністи. Однак незабаром К.Гедель показав (1931), що несуперечність арифметики неможливо довести настільки обмеженими засобами, якщо вона дійсно несуперечлива (рамки цієї статті не дозволяють нам викласти дотепний метод, за допомогою якого було отримано цей чудовий результат, і подальшу історію метаматематики).

Резюмуючи з формалістської точки зору проблемну ситуацію, що склалася, ми повинні визнати, що вона далека від завершення. Використання поняття множини обмежувалося застереженнями, які спеціально вводилися, щоб уникнути відомих парадоксів, і немає жодних гарантій, що в аксіоматизованій теорії множин не виникнуть нові парадокси. Проте обмеження аксіоматичної теорії множин не завадили народженню нових життєздатних теорій.

МАТЕМАТИКА І РЕАЛЬНИЙ СВІТ

Незважаючи на заяви про незалежність математики ніхто не заперечуватиме, що математика і фізичний світ пов'язані один з одним. Вочевидь залишається у силі математичний підхід вирішення проблем класичної фізики. Правильно й те, що в дуже важливій галузі математики, а саме теорії диференціальних рівнянь, звичайних і в приватних похідних, процес взаємозбагачення фізики та математики досить плідний.

Математика корисна під час інтерпретації явищ мікросвіту. Проте нові «додатки» математики суттєво відрізняються від класичних. Одним з найважливіших інструментів фізики стала теорія ймовірностей, яка раніше застосовувалася головним чином у теорії азартних ігор та страхової справи. Математичні об'єкти, які фізики ставлять у відповідність до «атомних станів», або «переходів», мають досить абстрактний характер і були введені та досліджені математиками задовго до появи квантової механіки. Слід додати, що з перших успіхів виникли серйозні труднощі. Це сталося в той момент, коли фізики намагалися застосувати математичні ідеї до більш тонких аспектів квантової теорії; Проте багато фізиків, як і раніше, з надією дивляться на нові математичні теорії, вважаючи, що ті допоможуть їм у вирішенні нових проблем.

Математика – наука чи мистецтво?

Навіть якщо ми включимо в "чисту" математику теорію ймовірностей або математичну логіку, з'ясується, що в даний час інші науки використовують менше 50% відомих математичних результатів. Що ж ми повинні думати про половину, що залишилася? Інакше кажучи, які мотиви стоять за тими галузями математики, які не стосуються вирішення фізичних проблем?

Ми вже згадували про ірраціональність числа як про типового представника такого роду теорем. Іншим прикладом може бути теорема, доведена Ж.-Л.Лагранжем (1736-1813). Навряд чи знайдеться математик, який не назвав би її «важливою» чи «красивою». Теорема Лагранжа стверджує, що будь-яке ціле число, більше або рівне одиниці, може бути представлене у вигляді суми квадратів не більше чотирьох чисел; наприклад, 23 = 3 2 + 3 2 + 2 2 + 1 2 . При існуючому становищі речей немислимо, щоб цей результат міг стати в нагоді при вирішенні якого-небудь експериментального завдання. Щоправда, фізики мають справу з цілими числами сьогодні набагато частіше, ніж минулого, але цілі числа, якими вони оперують, завжди обмежені (вони рідко перевищують кілька сотень); отже, така теорема, як теорема Лагранжа, може бути «корисна» тільки в тому випадку, якщо застосовувати її до цілих чисел, що не переходять певної межі. Але варто нам обмежити формулювання теореми Лагранжа, як вона відразу перестає бути цікавою для математика, оскільки вся приваблива сила цієї теореми полягає в її застосовності до всіх цілих чисел. (Існує безліч тверджень про цілі числа, які можна перевірити за допомогою комп'ютерів для дуже великих чисел; але, якщо загального доказу не знайдено, вони залишаються гіпотетичними і не цікаві професійним математикам.)

Зосередженість на темах, далеких від безпосередніх додатків, не є чимось незвичайним для вчених, які працюють у будь-якій галузі, чи то астрономія чи біологія. Однак, в той час як експериментальний результат можна уточнити та покращити, математичний доказ завжди має остаточний характер. Саме тому важко утриматися від спокуси розглядати математику, або, принаймні, ту її частину, яка не має відношення до «реальності», як мистецтво. Математичні проблеми не нав'язуються ззовні, і, якщо прийняти сучасну думку, ми цілком вільні у виборі матеріалу. Оцінюючи деяких математичних робіт у математиків немає «об'єктивних» критеріїв, і вони змушені покладатися на власний «смак». Смаки ж сильно змінюються залежно від часу, країни, традицій та окремих особистостей. У сучасній математиці існують мода та «школи». Нині є три такі «школи», які ми для зручності назвемо «класицизмом», «модернізмом» та «абстракціонізмом». Щоб краще зрозуміти різницю між ними, проаналізуємо різні критерії, якими користуються математики, коли оцінюють теорему чи групу теорем.

(1) На загальну думку, «гарний» математичний результат може бути нетривіальним, тобто. не може бути очевидним наслідком аксіом або раніше доведених теорем; у доказі має використовуватися якась нова ідея чи дотепно застосовані старі уявлення. Інакше висловлюючись, для математика важливим є не сам результат, а процес подолання проблеми, з якими він зіштовхнувся при його отриманні.

(2) У будь-якої математичної проблеми є своя історія, так би мовити «родовід», яка дотримується тієї ж загальної схеми, за якою розвивається історія будь-якої науки: після перших успіхів може пройти певний час, перш ніж буде знайдено відповідь на поставлене питання. Коли рішення отримано, історія цьому не закінчується, бо починаються відомі процеси розширення та узагальнення. Наприклад, згадувана вище теорема Лагранжа призводить до питання представлення будь-якого цілого числа як суми кубів, четвертих, п'ятих ступенів тощо. Так виникає «проблема Варінга», яка досі не одержала остаточного дозволу. Крім того, якщо нам пощастить, вирішена нами проблема виявиться пов'язаною з однією або декількома фундаментальними структурами, а це, у свою чергу, призведе до нових проблем, пов'язаних із цими структурами. Навіть якщо початкова теорія врешті-решт «вмирає», вона, як правило, залишає по собі численні живі пагони. Сучасні математики зіткнулися з таким неосяжним розсипом завдань, що, навіть якби перервався будь-який зв'язок з експериментальною наукою, їх вирішення зайняло б ще кілька століть.

(3) Кожен математик погодиться з тим, що коли перед ним виникає нове завдання, його обов'язок – вирішити її будь-якими можливими засобами. Коли завдання стосується класичних математичних об'єктів (класицисти рідко мають справу з іншими типами об'єктів), класицисти намагаються вирішити її, використовуючи лише класичні засоби, тоді як інші математики вводять більш «абстрактні» структури для того, щоб використовувати загальні теореми, що стосуються задачі. Ця різниця підходів не нова. Починаючи з 19 ст. Математики діляться на «тактиків», які прагнуть знайти суто силове вирішення проблеми, і на «стратегів», схильних до обхідних маневрів, що дає змогу знищити супротивника малими силами.

(4) Істотним елементом "краси" теореми є її простота. Зрозуміло, пошук простоти властивий усієї наукової думки. Але експериментатори готові примиритися з «некрасивими рішеннями», аби завдання було вирішено. Так само і в математиці класицисти та абстракціоністи не дуже стурбовані появою «патологічних» результатів. З іншого боку, модерністи заходять так далеко, що вбачають у появі «патологій» теорії симптом, що свідчить про недосконалість основних понять.

Математична енциклопедія – довідкове видання з усіх розділів математики. Основу Енциклопедії складають оглядові статті, присвячені найважливішим напрямам математики. Основна вимога до статей такого типу – можлива повнота огляду сучасного стану теорії за максимальної доступності викладу; ці статті загалом доступні студентам-математикам старших курсів, аспірантам та спеціалістам у суміжних галузях математики, а у певних випадках - спеціалістам в інших галузях знання, що застосовують у своїй роботі. математичні методи, інженерам та викладачам математики. Передбачені, далі, середні за розміром статті з окремих конкретних проблем та методів математики; ці статті призначені для більш вузького кола читачів, тому виклад у них може бути менш доступним. Нарешті, ще один тип статей – короткі довідки-визначення. Наприкінці останнього тому Енциклопедії буде вміщено предметний покажчик, куди увійдуть як назви всіх статей, а й багато понять, визначення яких будуть наводитися всередині статей перших двох типів, як і згадані у статтях найважливіші результати. Більшість статей Енциклопедії супроводжується списком літератури з порядковими номерами кожної назви, що дає можливість цитування в текстах статей. Наприкінці статей (зазвичай) вказаний автор чи джерело, якщо стаття вже було опубліковано раніше (переважно - це статті Великої Радянської Енциклопедії). Імена іноземних (крім давніх) вчених, згадані у статтях, супроводжуються латинським написанням (якщо немає посилання на список літератури).

Завантажити та читати Математична енциклопедія, Том 3, Виноградов І.М., 1982

Завантажити та читати Математична енциклопедія, Том 2, Виноградов І.М., 1979

Завантажити та читати Математична енциклопедія, Том 1, Виноградов І.М., 1977

Спочатку алгебра була розділом математики, який займався вирішенням рівнянь. На відміну від геометрії, аксіоматичної побудови алгебри не існувало до середини XIX століття, коли виник принципово новий погляд на предмет і характер алгебри. Дослідження стали дедалі більше прямувати вивчення так званих алгебраїчних структур. Це мало дві переваги. З одного боку, були уточнені області, котрим справедливі окремі теореми, з іншого боку, з'явилася можливість використовувати одні й самі докази у різних областях. Такий поділ алгебри проіснував до середини XX століття і знайшов своє вираження у тому, що з'явилися дві назви: «класична алгебра» та «сучасна алгебра». Останню більше характеризує інша назва: «Абстрактна алгебра». Справа в тому, що для цього розділу – вперше в математиці – була характерна повна абстракція.

Завантажити та читати Мала математична енциклопедія, Фрід Е., Пастор І., Рейман І., Ревес П., Ружа І., 1976

«Вірогідність та математична статистика» - довідкове видання з теорії ймовірностей, математичної статистики та їх застосуванням у різних галузях науки та техніки. В енциклопедії дві частини: основна містить оглядові статті, статті, присвячені окремим конкретним проблемам та методам, короткі довідки, що дають визначення основних понять, найважливіші теореми та формули. Значне місце приділено прикладним питанням – теорії інформації, теорії масового обслуговування, теорії надійності, планування експерименту та суміжним областям – фізиці, геофізиці, генетиці, демографії, окремим розділам техніки. Більшість статей супроводжується бібліографією найважливіших робіт з цієї проблеми. Назви статей наведено також у перекладі англійською мовою. Друга частина – «Хрестоматія з теорії ймовірностей та математичної статистики» містить статті, написані для вітчизняних енциклопедій минулого, а також матеріали енциклопедичного характеру, опубліковані раніше в інших творах. Енциклопедія супроводжується великим списком журналів, періодичних і видань, що продовжуються, що висвітлюють питання теорії ймовірностей і математичної статистики.
Матеріал, що увійшов до Енциклопедії, необхідний для студентів, аспірантів та науковців у галузі математики та інших наук, які використовують ймовірнісні методи у своїх дослідженнях та практичній роботі.

Завантажити книгу Математична енциклопедія у 5 томахабсолютно безкоштовно.

Для того, щоб безкоштовно скачати книгу з файлообмінників, натисніть на посилання відразу за описом безкоштовної книги.

Дорогі читачі, якщо у Вас не вийшло

скачати Математична енциклопедія у 5 томах

напишіть про це у коментарях і ми обов'язково вам допоможемо.

Ми сподіваємося, що Вам сподобалася книга і Ви отримали насолоду від читання. Як подяка можете залишити посилання на наш сайт на форумі або блозі:)Електронна книга Математична енциклопедія в 5 томах надана виключно для ознайомлення перед покупкою паперової книги та не є конкурентом друкованим виданням.

Математична енциклопедія

Математична енциклопедія- радянське енциклопедичне видання у п'яти томах, присвячене математичній тематиці. Випущена у -1985 роках видавництвом «Радянська енциклопедія». Головний редактор: академік І. М. Виноградов.

Це фундаментальне ілюстроване видання з усіх основних розділів математики. У книзі представлений великий матеріал на тему, біографії знаменитих математиків, креслення, графіки, схеми та діаграми.

Загальний обсяг: близько 3000 сторінок. Розподіл статей за томами:

Том 1: Абак – Гюйгенса принцип, 576 стор.
Том 2: Д'Аламбер оператор - Кооперативна гра, 552 стор.
Том 3: Координати – Одночлен, 592 стор.
Том 4: Ока теореми – Складна функція, 608 стор.
Том 5: Випадкова величина - Осередок, 623 стор.
Додаток до 5: предметний покажчик, список помічених друкарських помилок.

Посилання

Загальні та спеціальні довідники та енциклопедії з математики на порталі «Світ математичних рівнянь», де можна завантажити енциклопедію в електронному вигляді.

Категорії:

Книги з алфавіту
Математична література
Енциклопедії
Книги видавництва «Радянська енциклопедія»
Енциклопедії СРСР

Wikimedia Foundation. 2010 .

Математична хімія
Математичні основи квантової механіки

Дивитись що таке "Математична енциклопедія" в інших словниках:

Математична логіка- (теоретична логіка, символічна логіка) розділ математики, що вивчає докази та питання основ математики. "Предмет сучасної математичної логіки різноманітний." Відповідно до визначення П. С. Порецького, «математична… … Вікіпедія

Енциклопедія- (новолат. encyclopaedia (не раніше XVI століття) від ін. грец. ἐγκύκλιος παιδεία «навчання в повному колі», κύκλος коло та παιδεία навчання/пайдейя) наведене в систему про … Вікіпедія

ЕНЦИКЛОПЕДІЯ- (Від грец. enkyklios paideia навчання по всьому колу знань), нав. чи наук. популярне довідкове видання, що містить систематиз. зведення знань. Матеріал в Е. розташовується в алфавітному порядку або систематич. принципу (за галузями знань). Природознавство. Енциклопедичний словник

МАТЕМАТИЧНА ЛОГІКА- Одна з назв сучасної логіки, що прийшла у втор. підлога. 19 поч. 20 ст. на зміну традиційної логіки. Як ін назви сучасного етапу у розвитку науки логіки використовується також термін символічна логіка. Визначення… Філософська енциклопедія

МАТЕМАТИЧНА БЕЗКОНЕЧНІСТЬ- загальна назва разл. реалізацій ідеї нескінченності у математиці. Хоча між значеннями поняття М. б. та ін значеннями, в яких вживається термін нескінченність, немає жорсткої межі (оскільки всі ці поняття в кінцевому рахунку відображають дуже ... Філософська енциклопедія

МАТЕМАТИЧНА ІНДУКЦІЯ- Повна математична індукція (наз. в математиці часто просто повною індукцією; в цьому випадку це поняття слід відрізняти від помату повної індукції, що розглядається в нематематичні. Філософська енциклопедія

МАТЕМАТИЧНА ГІПОТЕЗА- Імовірна зміна форми, виду, характеру рівняння, що виражає закон вивченої галузі явищ, з метою поширення його на нову, ще невивчену область як властивий їй закону. М. р. широко застосовується в совр. теоретич. Філософська енциклопедія

МАТЕМАТИЧНА ШКОЛА У ПОЛІТИЧНІЙ ЕКОНОМІЇ- англ. mathematical school in political economy; ньому. mathematische Schule in der politischen Okonomie. Напрямок у політ, економії, що виник у другій половині XIX ст., Представники до рого (Л. Валрас, В. Парето, О. Джевонс та ін.) віддавали ... ... Енциклопедія соціології

МАТЕМАТИЧНА ШКОЛА У СОЦІОЛОГІЇ- англ. mathematical school in sociology; ньому. mathematische Schule in der Soziologie. Напрямок у соціології, що виник у першій половині XX ст., основоположники до рого (А. Ципф, Е. Додд та ін.) вважали, що соціолог, теорії досягають рівня. Енциклопедія соціології

Математична модель будівель та споруд- Математична (комп'ютерна) модель будівель та споруд – представлення будівель та споруд у вигляді звичайно елементної схеми для проведення чисельних розрахунків при вирішенні комплексу завдань, що виникають при проектуванні, будівництві та… Енциклопедія термінів, визначень та пояснень будівельних матеріалів

Книжки

Математична енциклопедія (комплект із 5 книг) . Математична енциклопедія – зручне довідкове видання з усіх розділів математики. Основу Енциклопедії складають статті, присвячені найважливішим напрямкам математики. Принцип розташування.

Математична енциклопедія – довідкове видання з усіх розділів математики. Основу Енциклопедії складають оглядові статті, присвячені найважливішим напрямам математики. Основна вимога до статей такого типу – можлива повнота огляду сучасного стану теорії за максимальної доступності викладу; ці статті загалом доступні студентам-математикам старших курсів, аспірантам та спеціалістам у суміжних галузях математики, а у певних випадках - спеціалістам в інших галузях знання, що застосовують у своїй роботі математичні методи, інженерам та викладачам математики. Передбачені, далі, середні за розміром статті з окремих конкретних проблем та методів математики; ці статті призначені для більш вузького кола читачів, тому виклад у них може бути менш доступним. Нарешті, ще один тип статей – короткі довідки-визначення. Деякі визначення наводяться усередині статей перших двох типів. Більшість статей Енциклопедії супроводжується списком літератури з порядковими номерами кожної назви, що дає можливість цитування в текстах статей. Наприкінці статей (зазвичай) вказаний автор чи джерело, якщо стаття вже було опубліковано раніше (переважно - це статті Великої Радянської Енциклопедії). Імена іноземних (крім давніх) вчених, згадані у статтях, супроводжуються латинським написанням (якщо немає посилання на список літератури).

Принцип розташування статей в Енциклопедії – алфавітний. Якщо назва статті – термін, що має синонім, то останній наводиться після основного. У багатьох випадках назви статей складаються із двох і більше слів. У цих випадках терміни даються або у найпоширенішому вигляді, або на перше місце виноситься головне за змістом слово. Якщо назва статті входить власне ім'я, воно виноситься перше місце (у списку літератури до таких статей, зазвичай, міститься першоджерело, пояснює назву терміна). Назви статей даються переважно в однині.

В Енциклопедії широко використовується система посилань на інші статті, де читач знайде додаткову до цієї теми інформацію. У визначенні немає посилання на термін, що фігурує у назві статті.

З метою економії місця у статтях прийнято звичайні для енциклопедій скорочення деяких слів.

Над 1 томом працювали

Редакція математики видавництва «Радянська енциклопедія» - В. І. БІТЮЦКОВ (завідувач редакції), М. І. ВОЙЦЕХОВСЬКИЙ (науковий редактор), Ю. А. ГОРБКОВ (науковий редактор), О. Б. ІВАНОВ (старший науковий редактор), О .А. ІВАНОВА (старший науковий редактор), Т. Ю. ПОПОВА (науковий редактор), C. А. РУКОВА (старший науковий редактор), Є. Г. СОБОЛІВСЬКА (редактор), Л. В. СОКОЛОВА (молодший редактор), Л. Р. ХАБІБ (молодший редактор).

Співробітники видавництва: Е. П. РЯБОВА (літературна редакція). Є. І. ЖАРОВА, А. М. МАРТИНОВ (бібліографія). О. Ф. ДАЛЬКОВСЬКА (транскрипція). Н. А. ФЕДОРОВА (відділ комплектування). 3. А. СУХОВА (редакція ілюстрацій). Є. І. АЛЕКСЄЄВА, Н. Ю. КРУЖАЛОВА (редакція словника). М. В. АКІМОВА, О. Ф. ПРОШКО (коректорська). Г. В. СМИРНОВА (технічна редакція).

Обкладинка художника Р. І. МАЛАНІЧОВА.

Додаткова інформація про том 1

Видавництво «Радянська енциклопедія»

Енциклопедії словники довідники

Науково - редакційна рада видавництва

А.М. ПРОХОРОВ (голова), І.В. , М. П. БАЖАН, Ю. Я. БАРАБАШ, Н. В. БАРАНОВ, Н. Н. БОГОЛЮБОВ, П. У. БРОВКА, Ю. В. БРОМЛЕЙ, Б. Е. БИХОВСЬКИЙ, В. X. ВАСИЛЕНКА, Л М. ВОЛОДАРСЬКИЙ, В. В. ВОЛЬСЬКИЙ, Б. М. ВУЛ, Б. Г. ГАФУРІВ, С. Р. ГЕРШБЕРГ, М. С. ГІЛЯРІВ, В. П. ГЛУШКО, В. М. ГЛУШКОВ, Г. М. ГОЛІКОВ, Д. Б. ГУЛІЄВ, А. А. ГУСЄВ (заступник голови), В. П. ЄЛЮТІН, В. С. ЄМЕЛЬЯНОВ, Є. М. ЖУКОВ, А. А. ІМШЕНЕЦЬКИЙ, Н. Н. ІНОЗЕМЦІВ, М І. КАБАЧНИК, С.В. .КНУНЯНЦ, С. М. КОВАЛЬОВ (перший заступник голови), Ф. В. КОНСТАНТИНОВ, В. Н. КУДРЯВЦЕВ, М. І. КУЗНЕЦОВ (заступник голови), Б. В. КУКАРКІН, В. Г. КУЛІКОВ, І. А. КУТУЗОВ, П. П. ЛОБАНОВ, Г. М. ЛОЗА, Ю. Є. МАКСАРЄВ, П. А. МАРКОВ, А. І. МАРКУШЕВИЧ, Ю. Ю. МАТУЛІС, Г. І. НААН, Г. Д. ОБІЧКІН, Б. Є. ПАТОН, В. М. ПОЛІВО Й, М. А. ПРОКОФ'ЄВ, Ю. В. ПРОХОРОВ, Н. Ф. РОСТОВЦЕВ, А. М. РУМ'ЯНЦІВ, Б. А. РИБАКОВ, В. П. САМСОН, М. І. СЛАДКОВСЬКИЙ, В. І. СМИРНОВ, Д. Н. СОЛОВ'ЄВ (заступник голови), В. Г. СОЛОДОВНИКОВ, В. Н. СТОЛЕТОВ, Б. І. СТУКАЛІН, А. А. СУРКОВ, М. Л. ТЕРЕНТЬЄВ, С. А. ТОКАРЬОВ, В. А. ТРАПЕЗНИКОВ, Є. К. ФЕДОРОВ, М. Б. ХРАПЧЕНКО, Є. І. ЧАЗОВ, В. М. ЧЕРНІГІВСЬКИЙ, Я. Є. ШМУШКІС, С. І. ЮТКЕВИЧ. Секретар Ради Л. В. КИРИЛОВА.

Москва 1977

Математична енциклопедія. Том 1 (А – Г)

Головний редактор І. М. ВИНОГРАДОВ

Редакційна колегія

С. І. АДЯН, П. С. ОЛЕКСАНДРОВ, Н. С. БАХВАЛОВ, В. І. БИТЮЦКОВ (заступник головного редактора), А. В. БІЦАДЗЕ, Л. Н. БОЛЬШЄВ, А. А. ГОНЧАР, Н. В. .ЄФІМОВ, В. А. ІЛЬЇН, А. А. КАРАЦУБА, Л. Д. КУДРЯВЦЕВ, Б. М. ЛЕВІТАН, К. К. МАРДЖАНІШВІЛІ, Є. Ф. МИЩЕНКО, С. П. НОВІКОВ, Е. Г. ПОЗНЯК , Ю. В. ПРОХОРОВ (заступник головного редактора), А. Г. СВЕШНИКОВ, О. М. ТИХОНОВ, П. Л. УЛЬЯНОВ, А. І. ШИРШОВ, С. В. ЯБЛОНСЬКИЙ

Математична енциклопедія. ред. колегія: І. М. Виноградов (глав ред) [та ін.] Т. 1 - М., «Радянська Енциклопедія», 1977

(Енциклопедії. Словники. Довідники), т. 1. А – Г. 1977. 1152 стб. з ілл.

Здано у набір 9. 06. 1976. Підписано до друку 18. 02. 1977. Друк тексту з матриць, виготовлених у Першій Зразковій друкарні ім. А. А. Жданова. Орден Трудового Червоного Прапора видавництво «Радянська Енциклопедія». 109817. Москва, Ж - 28, Покровський бульвар, буд. 8. Т - 02616 Тираж 150 000 прим. Замовлення № 418. Папір друкарський № 1. Формат паперу 84xl08 1/14. Об'єм 36 фізич. п. л. ; 60, 48 ум. п. л. тексту. 101, 82 уч. - Вид. л. Ціна книги 7р. 10 к.

Ордена Трудового Червоного Прапора Московська друкарня № 1 "Союзполіграфпрому" при Державному комітеті Ради Міністрів СРСР у справах видавництв, поліграфії та книжкової торгівлі, Москва, І – 85, Проспект Миру, 105. Замовлення № 865.