1 parallelepiped cube na tumutukoy sa mga katangian ng mga gilid ng mga mukha. Parihabang parallelepiped - Knowledge Hypermarket. Parallelepiped na Impormasyon Tungkol sa

Sa geometry, ang mga pangunahing konsepto ay eroplano, punto, tuwid na linya at anggulo. Gamit ang mga terminong ito, maaari mong ilarawan ang anumang geometric figure. Karaniwang inilalarawan ang polyhedra sa mga tuntunin ng mas simpleng mga figure na nakahiga sa parehong eroplano, tulad ng isang bilog, tatsulok, parisukat, parihaba, atbp. Sa artikulong ito titingnan natin kung ano ang isang parallelepiped, ilarawan ang mga uri ng parallelepiped, mga katangian nito, kung anong mga elemento ang binubuo nito, at ibibigay din ang mga pangunahing formula para sa pagkalkula ng lugar at dami para sa bawat uri ng parallelepiped.

Kahulugan

Ang parallelepiped sa three-dimensional na espasyo ay isang prisma, ang lahat ng panig nito ay parallelograms. Alinsunod dito, maaari lamang itong magkaroon ng tatlong pares ng parallel parallelograms o anim na mukha.

Upang mailarawan ang isang parallelepiped, isipin ang isang ordinaryong karaniwang brick. Ang isang brick ay isang magandang halimbawa ng isang parihabang parallelepiped na kahit isang bata ay maiisip. Kasama sa iba pang mga halimbawa ang mga multi-storey panel house, cabinet, mga lalagyan ng imbakan ng pagkain na may naaangkop na hugis, atbp.

Mga uri ng figure

Mayroon lamang dalawang uri ng parallelepipeds:

1. Parihabang, ang lahat ng panig na mukha nito ay nasa anggulong 90° sa base at mga parihaba.
2. Sloping, ang mga gilid na gilid ay matatagpuan sa isang tiyak na anggulo sa base.

Anong mga elemento ang maaaring hatiin ang figure na ito?

• Tulad ng sa anumang iba pang geometric figure, sa isang parallelepiped anumang 2 mga mukha na may isang karaniwang gilid ay tinatawag na katabi, at ang mga wala nito ay parallel (batay sa pag-aari ng isang parallelogram, na may mga pares ng parallel na magkabilang panig).
• Ang mga vertices ng isang parallelepiped na hindi nakahiga sa parehong mukha ay tinatawag na kabaligtaran.
• Ang segment na nagkokonekta sa naturang mga vertex ay isang dayagonal.
• Ang mga haba ng tatlong gilid ng isang cuboid na nagtatagpo sa isang vertex ay ang mga sukat nito (ibig sabihin, ang haba, lapad at taas nito).

Mga Katangian ng Hugis

1. Ito ay palaging binuo ng simetriko na may paggalang sa gitna ng dayagonal.
2. Ang intersection point ng lahat ng diagonal ay naghahati sa bawat diagonal sa dalawang pantay na segment.
3. Ang magkasalungat na mukha ay pantay ang haba at nakahiga sa magkatulad na linya.
4. Kung idaragdag mo ang mga parisukat ng lahat ng dimensyon ng isang parallelepiped, ang magreresultang halaga ay magiging katumbas ng parisukat ng haba ng dayagonal.

Mga formula ng pagkalkula

Magiiba ang mga formula para sa bawat partikular na kaso ng parallelepiped.

Para sa isang arbitrary na parallelepiped, totoo na ang dami nito ay katumbas ng ganap na halaga ng triple scalar product ng mga vector ng tatlong panig na nagmumula sa isang vertex. Gayunpaman, walang formula para sa pagkalkula ng dami ng isang arbitrary na parallelepiped.

Para sa isang parihabang parallelepiped ang mga sumusunod na formula ay nalalapat:

• V=a*b*c;
• Sb=2*c*(a+b);
• Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

• V - dami ng figure;
• Sb - lateral surface area;
• Sp - kabuuang lugar sa ibabaw;
• a - haba;
• b - lapad;
• c - taas.

Ang isa pang espesyal na kaso ng parallelepiped kung saan ang lahat ng panig ay parisukat ay isang kubo. Kung ang alinman sa mga gilid ng parisukat ay itinalaga ng titik a, kung gayon ang mga sumusunod na formula ay maaaring gamitin para sa ibabaw na lugar at dami ng figure na ito:

• S=6*a*2;
• V=3*a.

• S - lugar ng figure,
• Ang V ay ang dami ng figure,
• a ay ang haba ng mukha ng pigura.

Ang huling uri ng parallelepiped na aming isinasaalang-alang ay isang tuwid na parallelepiped. Ano ang pagkakaiba sa pagitan ng isang right parallelepiped at isang cuboid, itatanong mo. Ang katotohanan ay ang base ng isang rectangular parallelepiped ay maaaring maging anumang parallelogram, ngunit ang base ng isang straight parallelepiped ay maaari lamang maging isang rectangle. Kung tukuyin natin ang perimeter ng base, katumbas ng kabuuan ng mga haba ng lahat ng panig, bilang Po, at tukuyin ang taas ng titik h, may karapatan tayong gamitin ang mga sumusunod na formula upang kalkulahin ang volume at mga lugar ng kabuuang at mga lateral surface.

Kahulugan

Polyhedron tatawagin natin ang isang saradong ibabaw na binubuo ng mga polygon at nagbubuklod sa isang tiyak na bahagi ng espasyo.

Tinatawag ang mga segment na nasa gilid ng mga polygon na ito tadyang polyhedron, at ang mga polygon mismo ay mga gilid. Ang vertices ng polygons ay tinatawag na polyhedron vertices.

Isasaalang-alang lamang namin ang convex polyhedra (ito ay isang polyhedron na matatagpuan sa isang gilid ng bawat eroplano na naglalaman ng mukha nito).

Ang mga polygon na bumubuo sa isang polyhedron ay bumubuo sa ibabaw nito. Ang bahagi ng espasyo na nakatali sa isang binigay na polyhedron ay tinatawag na interior nito.

Kahulugan: prisma

Isaalang-alang ang dalawang pantay na polygons \(A_1A_2A_3...A_n\) at \(B_1B_2B_3...B_n\) na matatagpuan sa magkatulad na mga eroplano upang ang mga segment \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) parallel. Isang polyhedron na nabuo ng mga polygons \(A_1A_2A_3...A_n\) at \(B_1B_2B_3...B_n\) , pati na rin ng mga parallelograms \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), ay tinatawag na (\(n\)-gonal) prisma.

Ang mga polygons \(A_1A_2A_3...A_n\) at \(B_1B_2B_3...B_n\) ay tinatawag na prism base, parallelograms \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– gilid na mukha, mga segment \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- lateral ribs.
Kaya, ang mga lateral na gilid ng prisma ay parallel at katumbas ng bawat isa.

Tingnan natin ang isang halimbawa - isang prisma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), sa base kung saan matatagpuan ang isang matambok na pentagon.

taas Ang mga prisma ay isang patayo na bumaba mula sa anumang punto ng isang base patungo sa eroplano ng isa pang base.

Kung ang mga gilid ng gilid ay hindi patayo sa base, kung gayon ang naturang prisma ay tinatawag hilig(Larawan 1), kung hindi - tuwid. Sa isang tuwid na prisma, ang mga gilid ng gilid ay taas, at ang mga gilid ng mukha ay pantay na mga parihaba.

Kung ang isang regular na polygon ay nasa base ng isang tuwid na prisma, kung gayon ang prisma ay tinatawag tama.

Kahulugan: konsepto ng lakas ng tunog

Ang unit ng volume measurement ay isang unit cube (isang cube na may sukat na \(1\times1\times1\) units\(^3\), kung saan ang unit ay isang partikular na unit ng measurement).

Masasabi nating ang dami ng polyhedron ay ang dami ng espasyo na nililimitahan ng polyhedron na ito. Kung hindi: ito ay isang dami kung saan ang numerical na halaga ay nagpapakita kung gaano karaming beses ang isang unit cube at ang mga bahagi nito ay magkasya sa isang ibinigay na polyhedron.

Ang volume ay may parehong mga katangian tulad ng lugar:

1. Ang mga volume ng pantay na mga numero ay pantay.

2. Kung ang isang polyhedron ay binubuo ng ilang hindi intersecting polyhedra, kung gayon ang volume nito ay katumbas ng kabuuan ng mga volume ng polyhedra na ito.

3. Ang volume ay isang hindi negatibong dami.

4. Ang volume ay sinusukat sa cm\(^3\) (cubic centimeters), m\(^3\) (cubic meters), atbp.

Teorama

1. Ang lugar ng lateral surface ng prism ay katumbas ng produkto ng perimeter ng base at ang taas ng prisma.
Ang lateral surface area ay ang kabuuan ng mga lugar ng lateral faces ng prism.

2. Ang volume ng prism ay katumbas ng produkto ng base area at ang taas ng prism: \

Kahulugan: parallelepiped

Parallelepiped ay isang prisma na may paralelogram sa base nito.

Ang lahat ng mga mukha ng parallelepiped (mayroong \(6\) : \(4\) side faces at \(2\) bases) ay parallelograms, at ang magkasalungat na mukha (parallel sa isa't isa) ay pantay na parallelograms (Fig. 2) .

Diagonal ng isang parallelepiped ay isang segment na nagkokonekta sa dalawang vertices ng isang parallelepiped na hindi nakahiga sa parehong mukha (mayroong \(8\) sa mga ito: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) atbp.).

Parihabang parallelepiped ay isang kanang parallelepiped na may isang parihaba sa base nito.
kasi Dahil ito ay isang kanang parallelepiped, ang mga gilid na mukha ay mga parihaba. Nangangahulugan ito na sa pangkalahatan ang lahat ng mga mukha ng isang parihabang parallelepiped ay mga parihaba.

Ang lahat ng mga diagonal ng isang parihabang parallelepiped ay pantay (ito ay sumusunod mula sa pagkakapantay-pantay ng mga tatsulok \(\triangle ACC_1=\triangle AA_1C=\triangle BDD_1=\triangle BB_1D\) atbp.).

Magkomento

Kaya, ang isang parallelepiped ay may lahat ng mga katangian ng isang prisma.

Teorama

Ang lateral surface area ng isang rectangular parallelepiped ay \

Ang kabuuang lugar ng ibabaw ng isang parihabang parallelepiped ay \

Teorama

Ang volume ng isang cuboid ay katumbas ng produkto ng tatlong gilid nito na lumalabas mula sa isang vertex (tatlong dimensyon ng cuboid): \

Patunay

kasi Sa isang parihabang parallelepiped, ang mga lateral na gilid ay patayo sa base, pagkatapos ay sila rin ang mga taas nito, iyon ay, \(h=AA_1=c\) Dahil ang base ay isang parihaba, kung gayon \(S_(\text(pangunahing))=AB\cdot AD=ab\). Dito nagmula ang formula na ito.

Teorama

Ang dayagonal na \(d\) ng isang rectangular parallelepiped ay matatagpuan gamit ang formula (kung saan ang \(a,b,c\) ay ang mga sukat ng parallelepiped) \

Patunay

Tingnan natin ang Fig. 3. Dahil ang base ay isang parihaba, pagkatapos ay ang \(\triangle ABD\) ay hugis-parihaba, samakatuwid, sa pamamagitan ng Pythagorean theorem \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

kasi lahat ng mga lateral na gilid ay patayo sa mga base, pagkatapos \(BB_1\perp (ABC) \Rightarrow BB_1\) patayo sa anumang tuwid na linya sa eroplanong ito, i.e. \(BB_1\perp BD\) . Nangangahulugan ito na ang \(\triangle BB_1D\) ay hugis-parihaba. Pagkatapos, sa pamamagitan ng Pythagorean theorem \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Kahulugan: kubo

Cube ay isang parihabang parallelepiped, na ang lahat ng mga mukha ay pantay na mga parisukat.

Kaya, ang tatlong dimensyon ay katumbas ng bawat isa: \(a=b=c\) . Kaya totoo ang mga sumusunod

Theorems

1. Ang volume ng isang cube na may gilid \(a\) ay katumbas ng \(V_(\text(cube))=a^3\) .

2. Ang dayagonal ng kubo ay matatagpuan gamit ang formula \(d=a\sqrt3\) .

3. Kabuuang surface area ng isang cube \(S_(\text(full cube))=6a^2\).

Ang parallelepiped ay isang quadrangular prism na may parallelograms sa base nito. Ang taas ng isang parallelepiped ay ang distansya sa pagitan ng mga eroplano ng mga base nito. Sa figure, ang taas ay ipinapakita ng segment . Mayroong dalawang uri ng parallelepipeds: tuwid at hilig. Bilang isang patakaran, ang isang math tutor ay unang nagbibigay ng mga naaangkop na kahulugan para sa isang prism at pagkatapos ay inililipat ang mga ito sa isang parallelepiped. Ganun din ang gagawin natin.

Ipaalala ko sa iyo na ang isang prisma ay tinatawag na tuwid kung ang mga gilid ng gilid nito ay patayo sa mga base; kung walang perpendicularity, ang prisma ay tinatawag na hilig. Ang terminolohiyang ito ay minana rin ng parallelepiped. Ang isang kanang parallelepiped ay hindi hihigit sa isang uri ng tuwid na prisma, ang gilid na gilid nito ay tumutugma sa taas. Ang mga kahulugan ng mga konsepto tulad ng mukha, gilid at vertex, na karaniwan sa buong pamilya ng polyhedra, ay napanatili. Lumilitaw ang konsepto ng magkasalungat na mukha. Ang parallelepiped ay may 3 pares ng magkasalungat na mukha, 8 vertices at 12 gilid.

Ang dayagonal ng isang parallelepiped (ang dayagonal ng isang prisma) ay isang segment na nagkokonekta sa dalawang vertices ng isang polyhedron at hindi nakahiga sa alinman sa mga mukha nito.

Diagonal na seksyon - isang seksyon ng isang parallelepiped na dumadaan sa dayagonal nito at ang dayagonal ng base nito.

Mga katangian ng isang inclined parallelepiped:
1) Ang lahat ng mga mukha nito ay parallelograms, at ang kabaligtaran ng mga mukha ay pantay na parallelograms.
2)Ang mga diagonal ng isang parallelepiped ay nagsalubong sa isang punto at naghiwa-hiwalay sa puntong ito.
3)Ang bawat parallelepiped ay binubuo ng anim na triangular na pyramids na may pantay na volume. Para ipakita ang mga ito sa mag-aaral, dapat putulin ng math tutor ang kalahati ng paralleleped sa diagonal na seksyon nito at hatiin ito nang hiwalay sa 3 pyramids. Ang kanilang mga base ay dapat na nasa iba't ibang mga mukha ng orihinal na parallelepiped. Ang isang mathematics tutor ay makakahanap ng aplikasyon ng property na ito sa analytical geometry. Ito ay ginagamit upang makuha ang dami ng isang pyramid sa pamamagitan ng isang halo-halong produkto ng mga vectors.

Mga formula para sa dami ng isang parallelepiped:
1) , kung saan ang lugar ng base, h ang taas.
2) Ang dami ng isang parallelepiped ay katumbas ng produkto ng cross-sectional area at ang lateral edge.
Tutor sa matematika: Tulad ng alam mo, ang formula ay karaniwan sa lahat ng prisms at kung napatunayan na ito ng tutor, walang saysay na ulitin ang parehong bagay para sa isang parallelepiped. Gayunpaman, kapag nagtatrabaho sa isang karaniwang antas ng mag-aaral (ang formula ay hindi kapaki-pakinabang sa isang mahinang mag-aaral), ipinapayong ang guro ay kumilos nang eksakto sa kabaligtaran. Iwanan ang prisma at magsagawa ng maingat na patunay para sa parallelepiped.
3) , nasaan ang volume ng isa sa anim na triangular na pyramid na bumubuo sa parallelepiped.
4) Kung , kung gayon

Ang lugar ng lateral surface ng isang parallelepiped ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha nito:
Ang kabuuang ibabaw ng isang parallelepiped ay ang kabuuan ng mga lugar ng lahat ng mga mukha nito, iyon ay, ang lugar + dalawang lugar ng base: .

Tungkol sa gawain ng isang tutor na may hilig na parallelepiped:
Ang mga tutor sa matematika ay hindi madalas na gumagawa ng mga problemang kinasasangkutan ng mga inclined parallelepiped. Ang posibilidad na lumabas sila sa Unified State Exam ay medyo mababa, at ang didactics ay hindi maganda. Ang isang higit pa o hindi gaanong disenteng problema sa dami ng isang hilig na parallelepiped ay nagdudulot ng mga seryosong problema na nauugnay sa pagtukoy ng lokasyon ng punto H - ang base ng taas nito. Sa kasong ito, maaaring payuhan ang math tutor na i-cut ang parallelepiped sa isa sa anim na pyramids nito (na tinatalakay sa property No. 3), subukang hanapin ang volume nito at i-multiply ito sa 6.

Kung ang gilid ng gilid ng isang parallelepiped ay may pantay na mga anggulo sa mga gilid ng base, kung gayon ang H ay namamalagi sa bisector ng anggulo A ng base ABCD. At kung, halimbawa, ang ABCD ay isang rhombus, kung gayon

Mga gawain sa math tutor:
1) Ang mga mukha ng isang parallelepiped ay pantay sa bawat isa na may gilid na 2 cm at isang matinding anggulo. Hanapin ang volume ng parallelepiped.
2) Sa isang inclined parallelepiped, ang gilid ng gilid ay 5 cm. Ang seksyon na patayo dito ay isang quadrilateral na may magkaparehong patayo na mga dayagonal na may haba na 6 cm at 8 cm. Kalkulahin ang volume ng parallelepiped.
3) Sa isang inclined parallelepiped ito ay kilala na , at sa ABCD ang base ay isang rhombus na may gilid na 2 cm at isang anggulo . Tukuyin ang dami ng parallelepiped.

Tutor sa matematika, Alexander Kolpakov

Teorama. Sa anumang parallelepiped, ang magkasalungat na mga mukha ay pantay at parallel.

Kaya, ang mga mukha (Fig.) BB 1 C 1 C at AA 1 D 1 D ay magkatulad, dahil ang dalawang intersecting na linya BB 1 at B 1 C 1 ng isang mukha ay parallel sa dalawang intersecting na linya AA 1 at A 1 D 1 ng Yung isa. Magkapantay ang mga mukha na ito, dahil B 1 C 1 =A 1 D 1, B 1 B=A 1 A (bilang magkasalungat na panig ng parallelograms) at ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1.

Teorama. Sa anumang parallelepiped, lahat ng apat na diagonal ay nagsalubong sa isang punto at nahahati dito.

Kunin natin (Fig.) ang ilang dalawang diagonal sa parallelepiped, halimbawa, AC 1 at DB 1, at gumuhit ng mga tuwid na linya AB 1 at DC 1.

Dahil ang mga gilid AD at B 1 C 1 ay ayon sa pagkakabanggit ay pantay at parallel sa gilid BC, kung gayon sila ay pantay at parallel sa isa't isa.

Bilang resulta, ang figure ADC 1 B 1 ay isang parallelogram kung saan ang C 1 A at DB 1 ay mga diagonal, at sa isang parallelogram ang mga diagonal ay nagsalubong sa kalahati.

Ang patunay na ito ay maaaring ulitin para sa bawat dalawang diagonal.

Samakatuwid, ang dayagonal na AC 1 ay nag-intersect sa BD 1 sa kalahati, ang diagonal na BD 1 ay nag-intersect sa A 1 C sa kalahati.

Kaya, ang lahat ng mga diagonal ay bumalandra sa kalahati at, samakatuwid, sa isang punto.

Teorama. Sa isang parihabang parallelepiped, ang parisukat ng anumang dayagonal ay katumbas ng kabuuan ng mga parisukat ng tatlong dimensyon nito.

Hayaang (Fig.) AC 1 ay ilang dayagonal ng isang parihabang parallelepiped.

Pagguhit ng AC, nakakakuha kami ng dalawang tatsulok: AC 1 C at ACB. Pareho silang hugis-parihaba:

ang una dahil ang parallelepiped ay tuwid, at samakatuwid ang gilid CC 1 ay patayo sa base,

ang pangalawa dahil ang parallelepiped ay parihaba, ibig sabihin ay may parihaba sa base nito.

Mula sa mga tatsulok na ito makikita natin:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 at AC 2 = AB 2 + BC 2

Samakatuwid, AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + CC 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Bunga. Sa isang parihabang parallelepiped lahat ng diagonal ay pantay.

o (katumbas) isang polyhedron na may anim na mukha na parallelograms. Heksagono.

Ang mga parallelogram na bumubuo sa parallelepiped ay mga gilid ng parallelepiped na ito, ang mga gilid ng mga parallelogram na ito ay mga gilid ng parallelepiped, at ang mga vertex ng parallelograms ay mga taluktok parallelepiped. Sa isang parallelepiped, ang bawat mukha ay paralelogram.

Bilang isang tuntunin, ang anumang 2 magkasalungat na mukha ay tinutukoy at tinatawag mga base ng parallelepiped, at ang natitirang mga mukha - lateral na mukha ng parallelepiped. Ang mga gilid ng parallelepiped na hindi kabilang sa mga base ay lateral ribs.

2 mukha ng parallelepiped na may magkatulad na gilid ay katabi, at ang mga walang karaniwang gilid - kabaligtaran.

Ang isang segment na nag-uugnay sa 2 vertices na hindi kabilang sa 1st face ay parallelepiped dayagonal.

Ang mga haba ng mga gilid ng isang parihabang parallelepiped na hindi parallel ay mga linear na sukat (mga sukat) parallelepiped. Ang isang parihabang parallelepiped ay may 3 linear na sukat.

Mga uri ng parallelepiped.

Mayroong ilang mga uri ng parallelepipeds:

Direkta ay isang parallelepiped na may gilid na patayo sa eroplano ng base.

Ang isang parihabang parallelepiped kung saan ang lahat ng 3 dimensyon ay pantay ay kubo. Ang bawat isa sa mga mukha ng kubo ay pantay mga parisukat .

Arbitrary parallelepiped. Ang dami at mga ratio sa isang inclined parallelepiped ay pangunahing tinutukoy gamit ang vector algebra. Ang dami ng parallelepiped ay katumbas ng absolute value ng pinaghalong produkto ng 3 vectors, na tinutukoy ng 3 gilid ng parallelepiped (na nagmula sa parehong vertex). Ang relasyon sa pagitan ng mga haba ng mga gilid ng parallelepiped at ang mga anggulo sa pagitan ng mga ito ay nagpapakita ng pahayag na ang Gram determinant ng ibinigay na 3 vectors ay katumbas ng parisukat ng kanilang pinaghalong produkto.

Mga katangian ng isang parallelepiped.

• Ang parallelepiped ay simetriko tungkol sa gitna ng dayagonal nito.
• Anumang segment na may mga dulo na kabilang sa ibabaw ng isang parallelepiped at dumaan sa gitna ng dayagonal nito ay hinahati nito sa dalawang magkapantay na bahagi. Ang lahat ng mga diagonal ng parallelepiped ay bumalandra sa 1st point at nahahati nito sa dalawang pantay na bahagi.
• Ang kabaligtaran ng mga mukha ng parallelepiped ay parallel at may pantay na sukat.
• Ang parisukat ng haba ng dayagonal ng isang parihabang parallelepiped ay katumbas ng