Pangkalahatang equation ng dynamics. Isang halimbawa ng paglutas ng problema. Ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw. Pangkalahatang equation ng dynamics Pangkalahatang equation ng dynamics theoretical mechanics mga halimbawa ng mga solusyon

Batay sa prinsipyo ni d'Alembert, ang mga sumusunod na pagkakapantay ay wasto:

nasaan ang aktibong puwersa; - reaksyon ng mga koneksyon; – inertia force ng point (Fig. 3.36).

Ang pag-multiply ng scalarly bawat isa sa mga relasyon (3.45) sa posibleng pag-aalis ng punto at pagsusuma sa lahat ng mga punto ng system, nakukuha natin

(3.46)

Ang pagkakapantay-pantay (3.46) ay isang pangkalahatang equation ng dynamics para sa isang mekanikal na sistema na may anumang mga hadlang. Kung ang mga koneksyon ay perpekto, kung gayon at ang expression (3.46) ay may isa sa mga anyo:

Pangkalahatang equation ng dynamics (pinag-isang prinsipyo ng d'Alembert-Lagrange).Sa anumang sandali ng paggalaw ng isang sistema na may perpektong koneksyon, ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng lahat ng mga aktibong pwersa at mga puwersa ng pagkawalang-kilos ng mga punto ng system ay katumbas ng zero sa anumang posibleng paggalaw ng system.

Pangkalahatang mga coordinate

Hayaang binubuo ng system ang N puntos at ang posisyon nito ay tinutukoy ng 3 N mga coordinate ng mga puntos ng system (Larawan 3.37). ipinataw sa sistema l

holonomic two-way na koneksyon, ang mga equation kung saan s=1,2,…,l.

Kaya 3 N naka-link ang mga coordinate l ang mga equation at independiyenteng coordinate ay magiging n=3N-l.

Bilang n independiyenteng mga coordinate, maaari kang pumili ng anumang mga independiyenteng parameter

Ang mga independiyenteng parameter na natatanging tumutukoy sa posisyon ng system ay tinatawag pangkalahatang mga coordinate ng system.

kanin. 3.37

Sa pangkalahatan, ang mga ito ay mga pag-andar ng mga coordinate ng Cartesian ng mga punto ng system:

Maaari mong ipahayag ang mga coordinate ng Cartesian sa mga tuntunin ng pangkalahatang mga coordinate:

Para sa radius vector ng bawat punto ng system na nakuha namin

Kung ang mga koneksyon ay nakatigil, kung gayon ang oras ay hindi tahasang papasok sa (3.47). Para sa holonomic na koneksyon, ang vector ng posibleng paggalaw ng isang punto ay maaaring ipahayag sa anyo:

Kung ang mga koneksyon ay holonomic, kung gayon ang bilang ng mga independiyenteng posibleng paggalaw (o mga pagkakaiba-iba) ay tumutugma sa bilang ng mga independiyenteng pangkalahatang mga coordinate. Kaya naman, ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng isang holonomic system ay katumbas ng bilang ng mga independiyenteng pangkalahatang mga coordinate ng sistemang ito, i.e. n=3N-l.

Para sa mga nonholonomic system, sa pangkalahatang kaso, ang bilang ng mga independiyenteng variation (posibleng mga displacement) ay mas mababa kaysa sa bilang ng mga pangkalahatang coordinate. Samakatuwid, ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng isang nonholonomic na sistema, na katumbas ng bilang ng mga independiyenteng posibleng mga displacement, ay mas mababa din kaysa sa bilang ng mga pangkalahatang coordinate ng system.

Ang mga derivatives ng generalized coordinate na may kinalaman sa oras ay tinatawag na generalized velocities at denoted

Pangkalahatang pwersa

kanin. 3.38

Kahulugan ng pangkalahatang pwersa. Isaalang-alang ang isang holonomic system mula sa N materyal na mga puntos, pagkakaroon n antas ng kalayaan at sa ilalim ng impluwensya ng isang sistema ng pwersa (Larawan 3.38). Natutukoy ang posisyon ng system n pangkalahatang mga coordinate mga.

Vector ng posibleng paggalaw -

(3.48)

Kalkulahin natin ang kabuuan ng elementarya ng mga puwersa na kumikilos sa sistema sa posibleng pag-aalis ng system:

(3.49)

Ang pagpapalit ng (3.48) sa (3.49) at pagpapalit ng pagkakasunud-sunod ng pagsusuma, makuha namin

(3.50)

Dami ng scaler ay tinatawag na generalised force na nauugnay sa generalized coordinate q i.

Sukat ng pangkalahatang puwersa. Mula sa formula (3.50) nakukuha natin ang dimensyon ng pangkalahatang puwersa [ Q]=[A]/[q]. Kung ang pangkalahatang coordinate ay may dimensyon ng haba, kung gayon ang pangkalahatang puwersa ay may sukat ng puwersa [N], ngunit kung ang pangkalahatang coordinate ay isang anggulo (dimensyon - 1), kung gayon ang pangkalahatang puwersa ay may sukat ng sandali ng puwersa [ N×m].

Pagkalkula ng mga pangkalahatang pwersa. 1. Ang pangkalahatang puwersa ay maaaring kalkulahin gamit ang formula na tumutukoy dito:

saan F kx,Fyx,F kz- mga pagpapakita ng puwersa sa mga coordinate axes; x k,y yx,z k– mga coordinate ng force application point

2. Ang mga pangkalahatang pwersa ay mga coefficient para sa kaukulang mga pagkakaiba-iba ng mga pangkalahatang coordinate sa expression para sa elementarya na gawain (3.50):

3. Kung ang sistema ay sinabihan ng isang posibleng paggalaw na isang pangkalahatang coordinate lang ang nagbabago q j pagkatapos ay mula sa (3.52) mayroon kami

Index qi sa numerator ay nagpapahiwatig na ang kabuuan ng trabaho ay kinakalkula sa isang posibleng paggalaw kung saan ang coordinate lamang ang nagbabago (nag-iiba-iba) qi.

4. Para sa mga potensyal na puwersa:

(3.53)

nasaan ang function ng puwersa.

Mula sa expression (3.51), isinasaalang-alang ang mga pagkakapantay-pantay (3.53), sinusundan iyon

kaya,

nasaan ang potensyal na enerhiya ng system.

3.5.6. Pangkalahatang equation ng dynamics sa generalised forces.
Mga kondisyon para sa balanse ng mga puwersa

Pangkalahatang dynamics equation (3.50)

Ang vector ng posibleng paggalaw ayon sa (3.48) ay katumbas ng

Isinasaalang-alang ang expression na ito, ang pangkalahatang equation ng dynamics ay kinuha ang form

Ibahin natin ito sa pamamagitan ng pagbabago ng pagkakasunud-sunod ng pagbubuod

(3.54)

Dito – pangkalahatang puwersa ng mga aktibong pwersa na naaayon sa pangkalahatang coordinate qi; – pangkalahatang inertial na puwersa na naaayon sa pangkalahatang coordinate qi.Pagkatapos, ang equation (3.54) ay nasa anyo

Ang mga pagdaragdag ng mga pangkalahatang coordinate ay arbitrary at independiyente sa bawat isa. Samakatuwid, ang mga coefficient para sa kanila sa huling equation ay dapat na katumbas ng zero:

(3.55)

Ang mga equation na ito ay katumbas ng pangkalahatang equation ng dynamics.

Kung ang mga puwersa na kumikilos sa isang mekanikal na sistema ay katumbas ng zero, i.e. Kung ang isang mekanikal na sistema ay gumagalaw nang pantay sa isang tuwid na linya o nagpapanatili ng isang estado ng pahinga, kung gayon ang mga puwersa ng inertia ng mga punto nito ay katumbas ng zero. Dahil dito, ang pangkalahatang pwersa ng pagkawalang-galaw ng system ay katumbas ng zero , pagkatapos ay kunin ang anyo ng mga equation (3.55).

(3.56)

Ang mga pagkakapantay-pantay (3.56) ay nagpapahayag ng mga kondisyon para sa ekwilibriyo ng mga puwersa sa mga pangkalahatang pwersa.

Sa kaso ng mga konserbatibong pwersa

Dahil dito, ang mga kondisyon ng ekwilibriyo ng isang konserbatibong sistema ng mga pwersa ay may anyo

Ang prinsipyo ng mga posibleng displacement ay nagbibigay ng pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa statics. Sa kabilang banda, ang prinsipyo ni d'Alembert ay nagbibigay-daan sa paggamit ng mga pamamaraan ng statics upang malutas ang mga dynamic na problema. Samakatuwid, sa pamamagitan ng paglalapat ng dalawang prinsipyong ito nang sabay-sabay, makakakuha tayo ng pangkalahatang pamamaraan para sa paglutas ng mga problema sa dinamika.

Isaalang-alang natin ang isang sistema ng mga materyal na punto kung saan ang mga perpektong koneksyon ay ipinapataw. Kung idaragdag natin ang kaukulang mga inertial na pwersa sa lahat ng mga punto ng sistema, bilang karagdagan sa mga aktibong pwersa at mga reaksyon ng reaksyon na kumikilos sa kanila, kung gayon ayon sa prinsipyo ni d'Alembert, ang magreresultang sistema ng mga puwersa ay magiging ekwilibriyo. Pagkatapos, ang paglalapat ng prinsipyo ng posibleng mga displacement sa mga puwersang ito, nakukuha natin

Ngunit ang huling kabuuan ayon sa kundisyon (98) ay katumbas ng zero at sa wakas ay magiging:

Ang sumusunod na prinsipyo ng D'Alembert-Lagrange ay sumusunod mula sa nakuha na resulta: kapag ang isang mekanikal na sistema na may perpektong koneksyon ay gumagalaw, sa bawat sandali ng oras ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng lahat ng inilapat na aktibong pwersa at lahat ng inertial na puwersa sa anumang posibleng paggalaw ng system ay magiging katumbas ng zero.

Ang equation (102), na nagpapahayag ng prinsipyong ito, ay tinatawag na pangkalahatang equation ng dynamics. Sa analytical form, ang equation (102) ay may anyo

Ang mga equation (102) o (103) ay nagpapahintulot sa amin na bumuo ng mga differential equation ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema.

Kung ang sistema ay isang koleksyon ng ilang mga solidong katawan, kung gayon upang gumuhit ng mga equation ay kinakailangan upang magdagdag sa mga aktibong pwersa na kumikilos sa bawat katawan ng isang puwersa na inilapat sa anumang sentro na katumbas ng pangunahing vector ng mga puwersa ng pagkawalang-galaw, at isang pares na may isang sandali. katumbas ng pangunahing sandali ng mga puwersa ng pagkawalang-galaw na nauugnay sa sentrong ito (o isa sa mga halagang ito, tingnan ang § 134), at pagkatapos ay ilapat ang prinsipyo ng mga posibleng paggalaw.

Problema 173. Sa isang centrifugal regulator na pare-parehong umiikot sa paligid ng vertical axis na may angular velocity c (Fig. 362), ang bigat ng bawat isa sa mga bola at katumbas ng bigat ng coupling na katumbas ng Q. Pagpapabaya sa bigat ng mga rod. , tukuyin ang anggulo a kung

Solusyon. Nagdaragdag kami ng mga centrifugal inertial na pwersa sa mga aktibong pwersa (ang inertial na puwersa ng pagkabit ay malinaw na magiging katumbas ng zero) at binubuo ang pangkalahatang dynamics equation sa anyo (103). Pagkatapos, ang pagkalkula ng mga projection ng lahat ng pwersa sa coordinate axes, nakuha namin

Ang mga coordinate ng mga punto ng aplikasyon ng mga puwersa ay pantay:

Ang pagkakaiba sa mga ekspresyong ito, makikita natin:

Ang pagpapalit ng lahat ng nahanap na halaga sa equation (a), nakukuha namin

Mula dito sa wakas

Dahil ang mga bola ay lilihis kapag . Sa pagtaas ng anggulo, tumataas ang isang, na umaabot sa 90° sa

Problema 174. Sa pag-angat na ipinapakita sa Fig. 363, isang umiikot na sandali M ay inilapat sa isang gear na may timbang at isang radius ng pagkawalang-galaw na may kaugnayan sa axis nito. Ang drum kung saan ang lubid ay nasugatan ay mahigpit na konektado sa isa pang gear; ang kanilang kabuuang timbang ay katumbas ng , at ang radius ng pagkawalang-galaw na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot.Ang radii ng mga gears ay katumbas, ayon sa pagkakabanggit, sa radius ng drum.

Solusyon. Inilalarawan namin ang aktibong puwersa Q at metalikang kuwintas M na kumikilos sa sistema (ang mga puwersa ay hindi gumagana); idinagdag namin sa kanila ang inertial force ng load at ang couple na may mga sandali at kung saan ang inertial forces ng umiikot na katawan ay nababawasan (tingnan ang § 134).

Panimula

Ang Kinematics ay tumatalakay sa paglalarawan ng mga pinakasimpleng uri ng mekanikal na paggalaw. Sa kasong ito, ang mga dahilan na nagdudulot ng mga pagbabago sa posisyon ng katawan na may kaugnayan sa iba pang mga katawan ay hindi hinawakan, at ang sistema ng sanggunian ay pinili para sa mga kadahilanan ng kaginhawahan kapag nilutas ang isang partikular na problema. Sa dynamics, una sa lahat, ang mga dahilan kung bakit ang ilang mga katawan ay nagsisimulang lumipat na may kaugnayan sa iba pang mga katawan, pati na rin ang mga kadahilanan na nagiging sanhi ng hitsura ng acceleration, ay interesado. Gayunpaman, ang mga batas sa mekanika, mahigpit na nagsasalita, ay may iba't ibang anyo sa iba't ibang sistema ng sanggunian. Napagtibay na may mga ganitong sistema ng sanggunian kung saan ang mga batas at pattern ay hindi nakasalalay sa pagpili ng sistema ng sanggunian. Ang ganitong mga sistema ng sanggunian ay tinatawag mga inertial system(ISO). Sa mga reference system na ito, ang magnitude ng acceleration ay nakasalalay lamang sa mga kumikilos na pwersa at hindi nakadepende sa pagpili ng reference system. Ang inertial frame of reference ay heliocentric reference frame, na ang pinagmulan ay nasa gitna ng Araw. Ang mga sistema ng sanggunian na gumagalaw nang pare-parehong rectilinear na may kaugnayan sa inertial system ay inertial din, at ang mga reference system na gumagalaw nang may acceleration na may kaugnayan sa inertial system ay non-inertial. Para sa mga kadahilanang ito, ang ibabaw ng lupa ay, mahigpit na pagsasalita, isang non-inertial frame of reference. Sa maraming problema, ang reference frame na nauugnay sa Earth ay maaaring ituring na inertial na may mahusay na antas ng katumpakan.

Mga pangunahing batas ng dynamics sa inertial at non-inertial

Mga sistema ng sanggunian

Ang kakayahan ng isang katawan na mapanatili ang isang estado ng pare-parehong rectilinear motion o maging pahinga sa ISO ay tinatawag pagkawalang-kilos ng katawan. Ang sukatan ng body inertia ay timbang. Ang masa ay isang scalar na dami, na sinusukat sa kilo (kg) sa sistema ng SI. Ang sukatan ng pakikipag-ugnayan ay tinatawag na dami sa pamamagitan ng puwersa. Ang puwersa ay isang dami ng vector, na sinusukat sa Newtons (N) sa SI system.

Ang unang batas ni Newton. Sa mga inertial reference system, ang isang punto ay gumagalaw nang pantay sa isang tuwid na linya o nasa pahinga kung ang kabuuan ng lahat ng pwersang kumikilos dito ay katumbas ng zero, ibig sabihin.:

nasaan ang mga puwersang kumikilos sa isang naibigay na punto.

Pangalawang batas ni Newton. Sa mga inertial system, ang isang katawan ay gumagalaw nang may acceleration kung ang kabuuan ng lahat ng pwersang kumikilos dito ay hindi katumbas ng zero, at ang produkto ng masa ng katawan at ang acceleration nito ay katumbas ng kabuuan ng mga pwersang ito, i.e.:

Ang ikatlong batas ni Newton. Ang mga puwersa kung saan ang mga katawan ay kumikilos sa isa't isa ay pantay sa magnitude at kabaligtaran sa direksyon, ibig sabihin:.

Ang mga puwersa, bilang mga sukatan ng pakikipag-ugnayan, ay palaging ipinanganak nang magkapares.

Upang matagumpay na malutas ang karamihan sa mga problema gamit ang mga batas ni Newton, kinakailangan na sumunod sa isang tiyak na pagkakasunud-sunod ng mga aksyon (isang uri ng algorithm).

Mga pangunahing punto ng algorithm.

1. Suriin ang kalagayan ng problema at alamin kung aling mga katawan ang nakikipag-ugnayan ang pinag-uusapang katawan. Batay dito, tukuyin ang dami ng pwersang kumikilos sa katawan na pinag-uusapan. Ipagpalagay na ang bilang ng mga puwersa na kumikilos sa katawan ay katumbas ng . Pagkatapos ay gumawa ng isang schematically correct drawing kung saan ilalagay ang lahat ng pwersang kumikilos sa katawan.

2. Gamit ang kondisyon ng problema, tukuyin ang direksyon ng acceleration ng katawan na pinag-uusapan, at ilarawan ang acceleration vector sa figure.

3. Isulat ang pangalawang batas ni Newton sa anyong vector, ibig sabihin.:

saan pwersang kumikilos sa katawan.

4. Pumili ng inertial reference system. Gumuhit sa figure ng isang rectangular Cartesian coordinate system, ang OX axis na kung saan ay nakadirekta kasama ang acceleration vector, ang OY at OZ axis ay nakadirekta patayo sa OX axis.

5. Gamit ang pangunahing katangian ng mga pagkakapantay-pantay ng vector, isulat ang pangalawang batas ni Newton para sa mga projection ng mga vector sa mga coordinate axes, i.e.:

6. Kung sa isang problema, bilang karagdagan sa mga puwersa at accelerations, kinakailangan upang matukoy ang mga coordinate at bilis, pagkatapos ay bilang karagdagan sa pangalawang batas ni Newton, kinakailangan din na gumamit ng kinematic equation ng paggalaw. Ang pagkakaroon ng nakasulat na isang sistema ng mga equation, kinakailangang bigyang-pansin ang katotohanan na ang bilang ng mga equation ay katumbas ng bilang ng mga hindi alam sa problemang ito.

Isaalang-alang natin ang isang non-inertial reference frame na umiikot na may pare-pareho ang angular velocity sa paligid ng isang axis na gumagalaw sa pagsasalin na may bilis na nauugnay sa inertial frame. Sa kasong ito, ang acceleration ng isang punto sa inertial frame () ay nauugnay sa acceleration sa non-inertial frame () sa pamamagitan ng kaugnayan:

kung saan ay ang acceleration ng non-inertial system na may kaugnayan sa inertial system, ang linear na bilis ng isang punto sa non-inertial system. Mula sa huling kaugnayan, sa halip na acceleration, pinapalitan namin ang pagkakapantay-pantay (1), nakuha namin ang expression:

Ang ratio na ito ay tinatawag Pangalawang batas ni Newton sa isang non-inertial frame of reference.

Inertia pwersa. Ipakilala natin ang sumusunod na notasyon:

1. – pasulong na inertial na puwersa;

2. – Puwersa ng Coriolis;

3 – sentripugal na puwersa ng pagkawalang-galaw.

Sa mga problema, ang translational force ng inertia ay inilalarawan laban sa vector sa pamamagitan ng acceleration ng translational motion ng isang non-inertial reference frame (), ang centrifugal force ng inertia ay kinakatawan mula sa gitna ng pag-ikot kasama ang radius (); ang direksyon ng puwersa ng Coriolis ay tinutukoy ng panuntunan gimlet para sa cross product ng mga vectors.

Sa mahigpit na pagsasalita, ang mga inertial na pwersa ay hindi mga puwersa sa buong kahulugan, dahil Ang ikatlong batas ni Newton ay hindi hawak para sa kanila, i.e. hindi sila magkapares.

Mga kapangyarihan

Ang puwersa ng unibersal na grabidad. Ang puwersa ng unibersal na grabitasyon ay lumitaw sa proseso ng pakikipag-ugnayan sa pagitan ng mga katawan na may masa at kinakalkula mula sa kaugnayan:

. (4)

Ang proportionality coefficient ay tinatawag pare-pareho ang gravitational. Ang halaga nito sa sistema ng SI ay katumbas ng .

Ang lakas ng reaksyon. Ang mga puwersa ng reaksyon ay lumitaw kapag ang isang katawan ay nakikipag-ugnayan sa iba't ibang mga istruktura na naglilimita sa posisyon nito sa espasyo. Halimbawa, ang isang katawan na nasuspinde sa isang sinulid ay pinaandar ng isang puwersa ng reaksyon, na karaniwang tinatawag na puwersa tensyon. Ang lakas ng pag-igting ng thread ay palaging nakadirekta sa kahabaan ng thread. Walang formula para sa pagkalkula ng halaga nito. Karaniwan ang halaga nito ay matatagpuan alinman sa una o pangalawang batas ni Newton. Kasama rin sa mga puwersa ng reaksyon ang mga puwersang kumikilos sa isang particle sa isang makinis na ibabaw. tawag nila sa kanya normal na puwersa ng reaksyon, magpakilala . Ang puwersa ng reaksyon ay palaging nakadirekta patayo sa ibabaw na isinasaalang-alang. Ang isang puwersa na kumikilos sa isang makinis na ibabaw mula sa gilid ng katawan ay tinatawag normal na puwersa ng presyon(). Ayon sa ikatlong batas ni Newton, ang puwersa ng reaksyon ay katumbas ng magnitude sa puwersa ng normal na presyon, ngunit ang mga vectors ng mga puwersang ito ay magkasalungat sa direksyon.

Nababanat na puwersa. Ang mga nababanat na pwersa ay lumitaw sa mga katawan kung ang mga katawan ay deformed, i.e. kung magbabago ang hugis ng katawan o dami nito. Kapag huminto ang pagpapapangit, nawawala ang mga nababanat na puwersa. Dapat pansinin na, kahit na ang mga nababanat na pwersa ay lumitaw sa panahon ng pagpapapangit ng mga katawan, ang pagpapapangit ay hindi palaging humahantong sa paglitaw ng mga nababanat na puwersa. Ang mga nababanat na puwersa ay lumitaw sa mga katawan na may kakayahang ibalik ang kanilang hugis pagkatapos ng pagtigil ng panlabas na impluwensya. Ang ganitong mga katawan at ang kaukulang mga deformation ay tinatawag nababanat. Sa plastic deformation, ang mga pagbabago ay hindi ganap na nawawala pagkatapos ng pagtigil ng panlabas na impluwensya. Ang isang kapansin-pansin na halimbawa ng pagpapakita ng mga nababanat na puwersa ay maaaring ang mga puwersa na nagmumula sa mga bukal na napapailalim sa pagpapapangit. Para sa nababanat na mga deformasyon na nangyayari sa mga deformed na katawan, ang nababanat na puwersa ay palaging proporsyonal sa magnitude ng pagpapapangit, i.e.:

, (5)

kung saan ay ang koepisyent ng pagkalastiko (o higpit) ng tagsibol, ang deformation vector ng tagsibol.

Ang pahayag na ito ay tinatawag na Batas ni Hooke.

Pwersa ng friction. Kapag ang isang katawan ay gumagalaw sa ibabaw ng isa pa, lumilitaw ang mga puwersa na humahadlang sa paggalaw na ito. Ang ganitong mga puwersa ay karaniwang tinatawag sliding friction forces. Ang magnitude ng static friction force ay maaaring mag-iba depende sa inilapat na panlabas na puwersa. Sa isang tiyak na halaga ng panlabas na puwersa, ang static na puwersa ng friction ay umabot sa pinakamataas na halaga nito. Pagkatapos nito, ang katawan ay nagsisimulang mag-slide. Eksperimento na itinatag na ang puwersa ng sliding friction ay direktang proporsyonal sa puwersa ng normal na presyon ng katawan sa ibabaw. Ayon sa ikatlong batas ni Newton, ang puwersa ng normal na presyon ng isang katawan sa isang ibabaw ay palaging katumbas ng puwersa ng reaksyon kung saan ang ibabaw mismo ay kumikilos sa isang gumagalaw na katawan. Isinasaalang-alang ito, ang formula para sa pagkalkula ng magnitude ng sliding friction force ay may anyo:

, (6)

nasaan ang magnitude ng puwersa ng reaksyon; sliding friction coefficient. Ang sliding friction force na kumikilos sa isang gumagalaw na katawan ay palaging nakadirekta laban sa bilis nito, kasama ang mga contact na ibabaw.

Ang lakas ng paglaban. Kapag gumagalaw ang mga katawan sa mga likido at gas, lumilitaw din ang mga puwersa ng friction, ngunit malaki ang pagkakaiba nila sa mga puwersa ng dry friction. Ang mga puwersang ito ay tinatawag viscous friction forces, o pwersa ng paglaban. Ang viscous friction forces ay lumilitaw lamang sa panahon ng relatibong paggalaw ng mga katawan. Ang mga puwersa ng paglaban ay nakasalalay sa maraming mga kadahilanan, lalo na: sa laki at hugis ng mga katawan, sa mga katangian ng daluyan (density, lagkit), sa bilis ng kamag-anak na paggalaw. Sa mababang bilis, ang puwersa ng pag-drag ay direktang proporsyonal sa bilis ng katawan na may kaugnayan sa daluyan, i.e.:

. (7)

Sa mataas na bilis, ang puwersa ng pag-drag ay proporsyonal sa parisukat ng bilis ng katawan na may kaugnayan sa daluyan, i.e.:

, (8)

kung saan ang ilang mga proportionality coefficients, tinatawag koepisyent ng paglaban.

Pangunahing equation ng dynamics

Ang pangunahing equation ng dinamika ng isang materyal na punto ay hindi hihigit sa isang matematikal na pagpapahayag ng ikalawang batas ni Newton:

. (9)

Sa isang inertial frame of reference, ang kabuuan ng lahat ng pwersa ay kinabibilangan lamang ng mga puwersa na mga sukat ng mga pakikipag-ugnayan; sa mga non-inertial frame, ang kabuuan ng mga puwersa ay kinabibilangan ng mga inertial na pwersa.

Mula sa matematikal na pananaw, ang kaugnayan (9) ay isang kaugalian na equation ng paggalaw ng isang punto sa anyong vector. Ang solusyon nito ay ang pangunahing problema ng dynamics ng isang materyal na punto.

Mga halimbawa ng paglutas ng problema

Gawain Blg. 1. Ang isang baso ay nakalagay sa isang sheet ng papel. Sa anong acceleration dapat itakda sa paggalaw ang sheet upang mabunot ito mula sa ilalim ng salamin, kung ang koepisyent ng friction sa pagitan ng salamin at ng sheet ng papel ay 0.3?

Ipagpalagay natin na sa ilang puwersa na kumikilos sa isang sheet ng papel, ang salamin ay gumagalaw kasama ng sheet. Magkahiwalay nating ilarawan ang mga puwersang kumikilos sa isang baso na may masa. Ang mga sumusunod na katawan ay kumikilos sa salamin: ang Earth na may puwersa ng grabidad, isang sheet ng papel na may puwersa ng reaksyon, isang sheet ng papel na may puwersa ng friction na nakadirekta sa bilis ng paggalaw ng salamin. Ang paggalaw ng salamin ay pantay na pinabilis, samakatuwid, ang acceleration vector ay nakadirekta kasama ang bilis ng paggalaw ng salamin.

Ilarawan natin ang acceleration vector ng salamin sa figure. Isulat natin ang pangalawang batas ni Newton sa vector form para sa mga puwersang kumikilos sa salamin:

Idirekta natin ang OX axis sa kahabaan ng acceleration vector ng salamin, at ang OY axis ¾ patayo pataas. Isulat natin ang pangalawang batas ni Newton sa mga projection sa mga coordinate ax na ito at makuha ang mga sumusunod na equation:

(1.1)

Habang tumataas ang puwersang kumikilos sa sheet ng papel, tumataas ang magnitude ng frictional force kung saan kumikilos ang sheet ng papel sa salamin. Sa isang tiyak na halaga ng puwersa, ang magnitude ng friction force ay umabot sa pinakamataas na halaga nito, katumbas ng magnitude sa sliding friction force. Mula sa sandaling ito ang salamin ay nagsisimulang mag-slide na may kaugnayan sa ibabaw ng papel. Ang paglilimita ng halaga ng puwersa ng friction ay nauugnay sa puwersa ng reaksyon na kumikilos sa salamin tulad ng sumusunod:

Mula sa pagkakapantay-pantay (1.2) ipinapahayag namin ang magnitude ng puwersa ng reaksyon, at pagkatapos ay pinapalitan ito sa huling kaugnayan, mayroon kaming . Mula sa nagresultang ugnayan, nakita natin ang magnitude ng friction force at inilagay ito sa pagkakapantay-pantay (1.1), nakakakuha tayo ng expression para sa pagtukoy ng maximum acceleration ng salamin:

Ang pagpapalit ng mga numerical na halaga ng mga dami sa huling pagkakapantay-pantay, nakita namin ang halaga ng maximum na acceleration ng salamin:

Ang resultang halaga ng acceleration ng salamin ay katumbas ng pinakamababang acceleration ng isang sheet ng papel kung saan maaari itong "hugot" mula sa ilalim ng salamin.

Sagot: .

Ilarawan natin ang lahat ng pwersang kumikilos sa katawan. Bilang karagdagan sa panlabas na puwersa, ang katawan ay kumikilos sa pamamagitan ng Earth na may puwersa ng grabidad, isang pahalang na ibabaw na may puwersa ng reaksyon at isang puwersa ng friction na nakadirekta laban sa bilis ng katawan. Ang katawan ay gumagalaw nang pantay na pinabilis, at, samakatuwid, ang acceleration vector nito ay nakadirekta sa bilis ng paggalaw. Ilarawan natin ang vector sa figure. Pinipili namin ang coordinate system tulad ng ipinapakita sa figure. Isinulat namin ang pangalawang batas ni Newton sa anyong vector:

Gamit ang pangunahing pag-aari ng mga pagkakapantay-pantay ng vector, isinusulat namin ang mga equation para sa mga projection ng mga vector na kasama sa huling pagkakapantay-pantay ng vector:

Isinulat namin ang relasyon para sa sliding friction force

Mula sa pagkakapantay-pantay (2.2) makikita natin ang magnitude ng puwersa ng reaksyon

Mula sa nagresultang expression, pinapalitan namin ang pagkakapantay-pantay (2.3) sa halip na ang laki ng puwersa ng reaksyon, nakuha namin ang expression

Ang pagpapalit ng resultang expression para sa friction force sa pagkakapantay-pantay (2.1), magkakaroon tayo ng formula para sa pagkalkula ng acceleration ng katawan:

Pinapalitan namin ang numerical data sa SI system sa huling formula at hanapin ang magnitude ng acceleration ng load:

Sagot: .

Para sa pinakamababang magnitude ng puwersa, tinutukoy namin ang direksyon ng puwersa ng friction na kumikilos sa resting block. Isipin natin na ang puwersa ay mas mababa sa pinakamababang puwersa na sapat para sa katawan upang manatili sa pahinga. Sa kasong ito, ang katawan ay lilipat pababa, at ang friction force na inilapat dito ay ididirekta nang patayo pataas. Upang ihinto ang katawan, kailangan mong dagdagan ang magnitude ng inilapat na puwersa. Bilang karagdagan, ang katawan na ito ay ginagampanan ng Earth na may puwersa ng grabidad na nakadirekta patayo pababa, gayundin ng isang pader na may puwersa ng reaksyon na nakadirekta nang pahalang sa kaliwa. Ilarawan natin sa pigura ang lahat ng pwersang kumikilos sa katawan. Kumuha tayo ng isang hugis-parihaba na sistema ng coordinate ng Cartesian, na ang mga axes ay ididirekta tulad ng ipinapakita sa figure. Para sa isang katawan na nagpapahinga, isinusulat namin ang unang batas ni Newton sa anyong vector:

Para sa nahanap na pagkakapantay-pantay ng vector, isinulat namin ang mga pagkakapantay-pantay para sa mga projection ng mga vector sa mga coordinate axes, nakuha namin ang mga sumusunod na equation:

Sa pinakamababang halaga ng panlabas na puwersa, ang magnitude ng static friction force ay umaabot sa pinakamataas na halaga na katumbas ng magnitude ng sliding friction force:

Mula sa pagkakapantay-pantay (3.1) nakita natin ang magnitude ng puwersa ng reaksyon at pinapalitan ito ng pagkakapantay-pantay (3.3), nakuha natin ang sumusunod na expression para sa puwersa ng friction:

Palitan natin ang kanang bahagi ng relasyong ito sa halip na ang friction force sa pagkakapantay-pantay (3.2), at kumuha ng formula para sa pagkalkula ng magnitude ng inilapat na puwersa:

Mula sa huling pormula nakita natin ang magnitude ng puwersa:

Sagot: .

Ilarawan natin ang lahat ng pwersang kumikilos sa isang bola na gumagalaw nang patayo pababa sa hangin. Ito ay kumikilos sa pamamagitan ng Earth na may puwersa ng grabidad at ang hangin na may puwersa ng paglaban. Ilarawan natin ang mga puwersa na isinasaalang-alang sa figure. Sa unang sandali ng oras, ang resulta ng lahat ng pwersa ay may pinakamataas na halaga, dahil ang bilis ng bola ay zero at ang puwersa ng paglaban ay zero din. Sa sandaling ito ang bola ay may pinakamataas na acceleration na katumbas ng . Habang gumagalaw ang bola, tumataas ang bilis nito at, dahil dito, tumataas ang puwersa ng resistensya ng hangin. Sa ilang mga punto sa oras, ang puwersa ng paglaban ay umabot sa isang halaga na katumbas ng puwersa ng grabidad. Mula sa puntong ito ng oras ang bola ay gumagalaw nang pantay. Isulat natin ang unang batas ni Newton sa anyong vector para sa pare-parehong paggalaw ng bola:

Idirekta natin ang OY axis nang patayo pababa. Para sa pagkakapantay-pantay ng vector na ito, isulat natin ang pagkakapantay-pantay para sa mga projection ng mga vector sa OY axis:

. (4.1)

Ang puwersa ng paglaban ay nakasalalay sa cross-sectional area ng bola at ang magnitude ng bilis nito tulad ng sumusunod:

, (4.2)

kung saan ang proportionality coefficient, na tinatawag na resistance coefficient.

Mula sa pagkakapantay-pantay (4.1) at (4.2) ang sumusunod na kaugnayan ay sumusunod:

. (4.3)

Ipahayag natin ang masa ng bola sa pamamagitan ng density at volume nito, at ang volume, naman, sa pamamagitan ng radius ng bola:

. (4.4)

Mula sa pananalitang ito, nakita natin ang masa at pinapalitan ito ng pagkakapantay-pantay (4.3), nakuha natin ang sumusunod na pagkakapantay-pantay:

. (4.5)

Ipinapahayag namin ang cross-sectional area ng bola sa mga tuntunin ng radius nito:

Isinasaalang-alang ang kaugnayan (4.6), ang pagkakapantay-pantay (4.5) ay kukuha ng sumusunod na anyo:

Ipahiwatig natin bilang radius ng unang bola; bilang radius ng pangalawang bola. Isulat natin ang mga formula para sa bilis ng steady na paggalaw ng una at pangalawang bola:

Mula sa nakuha na mga pagkakapantay-pantay, nakita namin ang ratio ng bilis:

Mula sa mga kondisyon ng problema, ang ratio ng radii ng mga bola ay katumbas ng dalawa. Gamit ang kundisyong ito, nakita namin ang ratio ng bilis:

Sagot: .

Ang isang katawan na gumagalaw paitaas kasama ang isang inclined plane ay ginagampanan ng mga panlabas na katawan: a) Earth na may gravity na nakadirekta patayo pababa; b) isang inclined plane na may reaction force na nakadirekta patayo sa inclined plane; c) isang inclined plane na may friction force na nakadirekta laban sa paggalaw ng katawan; d) isang panlabas na katawan na may puwersa na nakadirekta paitaas kasama ang hilig na eroplano. Sa ilalim ng impluwensya ng mga puwersang ito, ang katawan ay gumagalaw nang pantay na pinabilis pataas sa hilig na eroplano, at, samakatuwid, ang acceleration vector ay nakadirekta kasama ang paggalaw ng katawan. Ilarawan natin ang acceleration vector sa figure. Isulat natin ang pangalawang batas ni Newton sa anyong vector:

Pumili tayo ng isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system, ang OX axis nito ay nakadirekta sa kahabaan ng acceleration ng katawan, at ang OY axis ay nakadirekta patayo sa inclined plane. Isulat natin ang pangalawang batas ni Newton sa mga projection sa mga coordinate ax na ito at makuha ang mga sumusunod na equation:

Ang puwersa ng sliding friction ay nauugnay sa puwersa ng reaksyon sa pamamagitan ng sumusunod na relasyon:

Mula sa pagkakapantay-pantay (5.2) nakita natin ang magnitude ng puwersa ng reaksyon at pinapalitan ito ng pagkakapantay-pantay (5.3), mayroon tayong sumusunod na expression para sa puwersa ng friction:

. (5.4)

Ang pagpapalit sa kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (5.4) sa pagkakapantay-pantay (5.1) sa halip na ang friction force, makuha natin ang sumusunod na equation para sa pagkalkula ng magnitude ng kinakailangang puwersa:

Kalkulahin natin ang magnitude ng puwersa:

Sagot: .

Ilarawan natin ang lahat ng pwersang kumikilos sa mga katawan at sa bloke. Isaalang-alang natin ang proseso ng paggalaw ng mga katawan na konektado ng isang sinulid na itinapon sa isang bloke. Ang thread ay walang timbang at hindi mapalawak, samakatuwid, ang magnitude ng puwersa ng pag-igting sa anumang seksyon ng thread ay magiging pareho, i.e. At .

Ang mga displacement ng mga katawan sa anumang yugto ng panahon ay magiging pareho, at, samakatuwid, sa anumang sandali ng oras ang mga halaga ng mga tulin at acceleration ng mga katawan na ito ay magiging pareho. Mula sa katotohanan na ang bloke ay umiikot nang walang alitan at walang timbang, sumusunod na ang puwersa ng pag-igting ng sinulid sa magkabilang panig ng bloke ay magiging pareho, ibig sabihin: .

Ito ay nagpapahiwatig ng pagkakapantay-pantay ng mga puwersa ng pag-igting ng thread na kumikilos sa una at pangalawang katawan, i.e. . Ilarawan natin sa figure ang mga acceleration vectors ng una at pangalawang katawan. Ilarawan natin ang dalawang OX axes. Idirekta natin ang unang axis kasama ang acceleration vector ng unang katawan, ang pangalawa - kasama ang acceleration vector ng pangalawang katawan. Isulat natin ang pangalawang batas ni Newton para sa bawat katawan sa projection sa mga coordinate ax na ito:

Isinasaalang-alang na , at pagpapahayag mula sa unang equation, pinapalitan natin sa pangalawang equation, nakukuha natin

Mula sa huling pagkakapantay-pantay nakita namin ang halaga ng acceleration:

Mula sa pagkakapantay-pantay (1) nakita natin ang magnitude ng puwersa ng pag-igting:

Sagot: , .

Habang umiikot ang maliit na singsing sa paligid nito, dalawang puwersa ang kumikilos dito: ang puwersa ng grabidad, na nakadirekta patayo pababa, at ang puwersa ng reaksyon, na nakadirekta patungo sa gitna ng singsing. Ilarawan natin ang mga puwersang ito sa pigura, at ipakita din dito ang tilapon ng singsing. Ang centripetal acceleration vector ng singsing ay namamalagi sa eroplano ng trajectory at nakadirekta patungo sa axis ng pag-ikot. Ilarawan natin ito sa larawan. Isulat natin ang pangalawang batas ni Newton sa vector form para sa isang umiikot na singsing:

Pumili tayo ng isang rectangular coordinate system, ang OX axis nito ay ididirekta sa centripetal acceleration, at ang OY axis - patayo pataas kasama ang rotation axis. Isulat natin ang pangalawang batas ni Newton sa mga projection sa mga coordinate ax na ito:

Mula sa pagkakapantay-pantay (7.2) nakita natin ang magnitude ng puwersa ng reaksyon at pinapalitan ito ng pagkakapantay-pantay (7.1), nakuha natin ang expression:

. (7.3)

Ang centripetal acceleration ay nauugnay sa bilis ng pag-ikot tulad ng sumusunod: , nasaan ang radius ng pag-ikot ng maliit na singsing. Sa halip na pinapalitan ang kanang bahagi ng huling pagkakapantay-pantay sa formula (7.3), makuha natin ang sumusunod na kaugnayan:

. (7.4)

Mula sa figure nakita namin ang halaga ng tangent ng anggulo alpha . Isinasaalang-alang ang ekspresyong ito, ang pagkakapantay-pantay (7.4) ay kukuha ng anyo:

Mula sa huling equation nakita namin ang kinakailangang taas:

Sagot: .

Tatlong puwersa ang kumikilos sa isang katawan na umiikot gamit ang disk: gravity, puwersa ng reaksyon at puwersa ng friction na nakadirekta patungo sa axis ng pag-ikot. Ilarawan natin ang lahat ng pwersa sa figure. Ipakita natin sa figure na ito ang direksyon ng centripetal acceleration vector. Isinulat namin ang pangalawang batas ni Newton sa anyong vector:

Pumili tayo ng isang hugis-parihaba na Cartesian coordinate system tulad ng ipinapakita sa figure. Isulat natin ang pangalawang batas ni Newton sa mga projection sa mga coordinate axes:

; (8.1)

. (8.2)

Isulat natin ang kaugnayan para sa centripetal acceleration:

. (8.3)

Palitan natin ang kanang bahagi ng pagkakapantay-pantay (8.3) sa halip na ang centripetal acceleration sa pagkakapantay-pantay (8.1), makuha natin ang:

. (8.4)

Mula sa pagkakapantay-pantay (8.4) ay malinaw na ang magnitude ng friction force ay direktang proporsyonal sa radius ng pag-ikot, samakatuwid, habang ang radius ng pag-ikot ay tumataas, ang static friction force ay tumataas, at sa isang tiyak na halaga ang static friction force ay umabot sa isang maximum na halaga na katumbas ng sliding friction force ().

Isinasaalang-alang ang pagkakapantay-pantay (8.2), nakakakuha kami ng mga expression para sa maximum na static friction force:

Ang pagpapalit sa kanang bahagi ng nagresultang pagkakapantay-pantay sa halip na ang puwersa ng friction na may pagkakapantay-pantay (4), nakukuha natin ang sumusunod na kaugnayan:

Mula sa equation na ito nakita namin ang limitasyon ng halaga ng radius ng pag-ikot:

Sagot: .

Sa panahon ng paglipad ng isang patak, dalawang puwersa ang kumikilos dito: gravity at drag force. Ilarawan natin ang lahat ng pwersa sa figure. Pumili tayo ng vertically directed axis OY, kung saan ang pinagmulan ay matatagpuan sa ibabaw ng Earth. Isulat natin ang pangunahing equation ng dynamics:

Ang pagpapakita ng pagkakapantay-pantay sa OY axis, magkakaroon tayo ng sumusunod na kaugnayan:

Hatiin natin ang magkabilang panig ng huling pagkakapantay-pantay sa at sabay-sabay na i-multiply ang magkabilang panig sa , na isinasaalang-alang na , nakukuha natin ang expression:

Hatiin natin ang magkabilang panig ng ekspresyong ito sa pamamagitan ng , nakukuha namin ang kaugnayan:

Isinasama namin ang huling kaugnayan at makuha ang pagtitiwala ng bilis sa oras: .

Nahanap namin ang pare-pareho mula sa mga paunang kondisyon ( ), nakukuha namin ang nais na pag-asa ng bilis sa oras:

Tinutukoy namin ang maximum na bilis mula sa kondisyon :

Sagot: ; .

Ilarawan natin sa pigura ang mga puwersang kumikilos sa pak. Isulat natin ang pangalawang batas ni Newton sa mga projection sa OX, OY at OZ axes

kasi , pagkatapos ay para sa buong tilapon ng paggalaw ng washer ang formula ay wasto para sa puwersa ng friction, na, isinasaalang-alang ang pagkakapantay-pantay para sa OZ, ay nagbabago sa anyo:

Isinasaalang-alang ang kaugnayang ito, ang pagkakapantay-pantay para sa axis ng OX ay kukuha ng anyo

Ipinakita namin ang pangalawang batas ni Newton sa padaplis sa trajectory ng pak sa puntong isinasaalang-alang, at nakuha namin ang kaugnayan:

saan ang magnitude ng tangential acceleration. Ang paghahambing sa kanang bahagi ng mga huling pagkakapantay-pantay, napagpasyahan namin na .

Dahil at , pagkatapos ay isinasaalang-alang ang nakaraang relasyon mayroon kaming pagkakapantay-pantay , ang pagsasama nito ay humahantong sa expression , kung saan ang integration ay pare-pareho. Palitan natin sa huling expression , nakukuha namin ang dependence ng bilis sa anggulo:

Tukuyin natin ang pare-pareho mula sa mga paunang kondisyon (kung kailan . ). Isinasaalang-alang ito, isinulat namin ang huling pag-asa

Ang pinakamababang halaga ng bilis ay nakakamit kapag , at ang bilis ng vector ay nakadirekta parallel sa OX axis at ang halaga nito ay katumbas ng .

Ang pangkalahatang equation ng dynamics para sa isang system na may anumang mga koneksyon (ang pinagsamang prinsipyo ng D'Alembert-Lagrange o pangkalahatang equation ng mechanics):

kung saan ang aktibong puwersa ay inilapat sa ika-punto ng system; - lakas ng reaksyon ng mga bono; - puwersa ng pagkawalang-kilos ng punto; - posibleng paggalaw.

Sa kaso ng equilibrium ng system, kapag ang lahat ng inertial na pwersa ng mga punto ng system ay nawala, ito ay nagiging prinsipyo ng posibleng mga displacement. Karaniwan itong ginagamit para sa mga system na may perpektong koneksyon, kung saan nasiyahan ang kundisyon

Sa kasong ito (229) ay kumuha ng isa sa mga anyo:

. (230)

kaya, ayon sa pangkalahatang equation ng dynamics, sa anumang sandali ng paggalaw ng isang system na may perpektong koneksyon, ang kabuuan ng elementarya na gawa ng lahat ng aktibong pwersa at inertia na pwersa ng mga punto ng system ay katumbas ng zero sa anumang posibleng paggalaw ng system na pinapayagan. sa pamamagitan ng mga koneksyon.

Ang pangkalahatang equation ng dynamics ay maaaring bigyan ng iba pang mga katumbas na anyo. Ang pagpapalawak ng scalar product ng mga vectors, maaari itong ipahayag bilang

nasaan ang mga coordinate ng th point ng system. Isinasaalang-alang na ang mga projection ng inertia forces sa coordinate axes sa pamamagitan ng projection ng accelerations sa mga axes na ito ay ipinahayag ng mga relasyon.

ang pangkalahatang equation ng dynamics ay maaaring ibigay ang form

Sa form na ito ito ay tinatawag na pangkalahatang equation ng dynamics sa analytical form.

Kapag ginagamit ang pangkalahatang equation ng dynamics, kinakailangan upang makalkula ang elementarya na gawain ng mga inertial na puwersa ng system sa mga posibleng displacement. Upang gawin ito, ilapat ang kaukulang mga formula para sa elementarya na trabaho na nakuha para sa mga ordinaryong pwersa. Isaalang-alang natin ang kanilang aplikasyon sa mga inertial na puwersa ng isang matibay na katawan sa mga partikular na kaso ng paggalaw nito.

Sa panahon ng pasulong na paggalaw. Sa kasong ito, ang katawan ay may tatlong antas ng kalayaan at, dahil sa ipinataw na mga hadlang, maaari lamang magsagawa ng translational motion. Ang mga posibleng paggalaw ng katawan na nagpapahintulot sa mga koneksyon ay pagsasalin din.

Ang mga inertial na puwersa sa panahon ng paggalaw ng pagsasalin ay nabawasan sa resulta . Para sa kabuuan ng mga elementarya na gawa ng mga puwersa ng inertia sa posibleng paggalaw ng pagsasalin ng isang katawan, nakukuha namin

kung saan ang posibleng pag-aalis ng sentro ng masa at anumang punto ng katawan, dahil ang posibleng pag-aalis ng pagsasalin ng lahat ng mga punto ng katawan ay pareho: ang mga acceleration ay pareho din, i.e.

Kapag ang isang matibay na katawan ay umiikot sa isang nakapirming axis. Ang katawan sa kasong ito ay may isang antas ng kalayaan. Maaari itong paikutin sa isang nakapirming axis. Ang posibleng paggalaw na pinapayagan ng mga superimposed na koneksyon ay isang pag-ikot din ng katawan sa pamamagitan ng isang elementaryang anggulo sa paligid ng isang nakapirming axis.

Ang mga inertial na puwersa na nabawasan sa isang punto sa axis ng pag-ikot ay nabawasan sa pangunahing vector at ang pangunahing sandali. Ang pangunahing vector ng mga inertial na puwersa ay inilalapat sa isang nakapirming punto, at ang elementarya nito sa posibleng pag-aalis ay zero. Para sa pangunahing sandali ng mga inertial na puwersa, ang non-zero elementary work ay isasagawa lamang sa pamamagitan ng projection nito sa axis ng pag-ikot. Kaya, para sa kabuuan ng gawain ng mga puwersa ng pagkawalang-galaw sa posibleng pag-aalis sa ilalim ng pagsasaalang-alang mayroon kami

kung ang anggulo ay iniulat sa direksyon ng arc arrow ng angular acceleration.

Sa flat motion. Sa kasong ito, ang mga hadlang na ipinataw sa matibay na katawan ay nagpapahintulot lamang sa posibleng planar na paggalaw. Sa pangkalahatang kaso, ito ay binubuo ng isang posibleng paggalaw ng pagsasalin kasama ng isang poste, kung saan pipiliin natin ang sentro ng masa, at isang pag-ikot sa isang elementaryang anggulo sa paligid ng isang axis na dumadaan sa gitna ng masa at patayo sa eroplano na kahanay kung saan ang katawan ay maaaring magsagawa ng paggalaw ng eroplano.

Dahil ang mga puwersa ng pagkawalang-galaw sa paggalaw ng eroplano ng isang matibay na katawan ay maaaring mabawasan sa pangunahing vector at ang pangunahing sandali (kung pipiliin natin ang sentro ng masa bilang sentro ng pagbabawas), kung gayon ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng mga puwersa ng pagkawalang-galaw sa ang isang eroplano na posibleng displacement ay mababawasan sa elementarya na gawain ng return vector ng mga puwersa ng inertia sa posibleng pag-aalis ng sentro ng masa at ang elementarya na gawain ng pangunahing sandali ng mga puwersa ng pagkawalang-galaw sa isang elementarya na rotational displacement sa paligid ng axis na dumadaan sa sentro ng masa. Sa kasong ito, ang non-zero elementary work ay maaaring isagawa lamang sa pamamagitan ng projection ng pangunahing sandali ng inertia forces papunta sa axis, i.e. . Kaya, sa kaso na isinasaalang-alang mayroon kami

Ang prinsipyo ng mga posibleng displacement, na nagbibigay ng pangkalahatang paraan para sa paglutas ng mga problema sa statics, ay maaaring ilapat sa paglutas ng mga problema sa dynamics. Tulad ng nalalaman, ayon sa prinsipyo ni D'Alembert, ang kabuuan ng lahat ng pwersa na kumikilos sa isang mekanikal na sistema at mga inertial na pwersa ay bumubuo ng isang balanseng sistema ng mga puwersa sa bawat sandali ng oras. Pagkatapos, ang paglalapat ng prinsipyo ng posibleng mga displacement sa mga puwersang ito, para sa mekanikal na sistema ay nakukuha natin ang equation

Ang equation na ito ay nagpapahayag ng sumusunod na prinsipyo ng D'Alembert-Lagrange: Kapag ang isang mekanikal na sistema ay gumagalaw sa bawat sandali ng oras, ang kabuuan ng elementarya na mga gawa ng lahat ng pwersang kumikilos sa sistema at lahat ng inertial na pwersa sa anumang posibleng paggalaw ng system ay zero. Ang equation (24.1) ay tinatawag pangkalahatang equation ng dynamics.

Kasama sa unang termino ng equation (24.1) ang gawain ng mga aktibong pwersa at ang gawain ng mga reaksyon ng bono. Kung ang mga perpektong koneksyon ay ipinataw sa system, pagkatapos ay para sa kanilang mga reaksyon

at ang pangkalahatang dynamics equation para sa isang system na may perpektong koneksyon ay kinuha ang form

Dahil ang mga equation (24.1), (24.2) ay kinabibilangan ng gawain ng inertial forces, ang magnitude nito ay ipinahayag sa pamamagitan ng acceleration ng mga puntos, ginagawang posible ng mga equation na ito na bumuo ng mga differential equation ng paggalaw ng isang mekanikal na sistema. Kung ang sistema ay isang koleksyon ng ilang mga solidong katawan, pagkatapos ay ipinapayong palitan ang hanay ng mga inertial na pwersa ng lahat ng mga punto ng bawat katawan sa kanilang mga katumbas na puwersa: isang puwersa na inilapat sa ilang sentro na katumbas ng pangunahing vector ng mga puwersa ng inertia ng katawan, at isang pares ng mga puwersa ng pagkawalang-galaw na may isang sandali na katumbas ng mga pangunahing puwersa ng pagkawalang-galaw na may kaugnayan sa sentrong ito.

Para sa pagkakaroon ng isang sistema s antas ng kalayaan, equation ng trabaho

(24.2) ay maaaring isulat sa mga tuntunin ng pangkalahatang pwersa at pangkalahatang mga coordinate sa form

saan Qj - pangkalahatang aktibong puwersa; Q1*- pangkalahatang inertial na puwersa na naaayon sa pangkalahatang coordinate q f .

Dahil sa mga posibleng paggalaw 8q, ay independyente sa isa't isa at ang bawat isa sa kanila ay hindi katumbas ng zero sa pangkalahatang kaso, kung gayon ang kundisyon (24.3) ay masisiyahan kung

saan s- ang bilang ng mga pangkalahatang coordinate o ang bilang ng mga antas ng kalayaan ng system.

Ang mga equation (24.4) ay nagpapahayag pangkalahatang equation ng dynamics sa generalised forces.

Suliranin 24.1. Ang mekanikal na sistema (Larawan 24.1) ay binubuo ng isang dalawang yugto na pulley ako(timbang R ] - 20 N, hakbang radii R- 0.4 m, G - 0.2 m, radius ng gyration na may kaugnayan sa axis ng pag-ikot p = 0.3 m), na nakabalot ng mga thread, sa mga dulo kung saan nakakabit ang isang load A(timbang R 2= 10 N) at isang roller (isang solidong homogenous cylinder na tumitimbang P 3 = 80 N). Ang roller ay gumulong nang hindi dumudulas sa isang magaspang na hilig na ibabaw na may anggulo ng pagkahilig a = 30°. Ang sistema ay gumagalaw sa isang patayong eroplano sa ilalim ng impluwensya ng gravity at metalikang kuwintas M - 6 N m inilapat sa pulley ako. Tukuyin ang angular acceleration ng pulley, sa pag-aakala na ang mga katawan ay ganap na matibay at ang mga thread ay hindi mapalawak.

Solusyon. 1. Isaalang-alang ang paggalaw ng isang mekanikal na sistema na binubuo ng mga katawan 1, 2, 3, konektado sa pamamagitan ng mga thread. Ang mga koneksyon na ipinataw sa system ay perpekto. Ang sistema ay may isang antas ng kalayaan. Piliin natin ang anggulo cp bilang pangkalahatang coordinate, - ang anggulo ng pag-ikot ng kalo 1.

Upang matukoy ang angular acceleration e ng pulley, inilalapat namin ang pangkalahatang dynamics equation (24.2)

kung saan ang 28/4 ^ ay ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng mga aktibong pwersa; Ang 28/4” ay ang kabuuan ng mga elementarya na gawa ng mga pwersang inertia.

2. Inilalarawan namin ang mga aktibong pwersa sa pagguhit R x, R 2, R 3 at metalikang kuwintas M. Hindi namin ipinapakita ang mga reaksyon ng perpektong mga bono (sa mga puntong O at L) sa pagguhit.

Itinakda namin ang direksyon ng angular acceleration s ng pulley counterclockwise. Alinsunod dito, inilalarawan namin ang acceleration sa pagguhit a 2 load at acceleration at sa sentro ng masa SA cylindrical roller. Ngayon ay nagdaragdag kami ng mga inertial na pwersa sa mga aktibong pwersa na kumikilos sa system, na nagdidirekta sa kanila sa tapat ng kaukulang acceleration. Ang mga numerical na halaga ng mga dami na ito ay tinutukoy ng mga formula

Ang mga halaga ng mga sandali ng pagkawalang-galaw ay pinapalitan sa mga formula na ito J 0 kalo at J sa solid homogenous na silindro 3.

3. Ipaalam natin sa sistema ng posibleng paggalaw 5фj >0; habang ang kargamento L lilipat 5 s2, tuldok SA roller - gumagalaw 5 s B, at ang skating rink 3 ay iikot sa isang anggulo na 5φ 3, na nakadirekta sa counterclockwise.

Pagbubuo ng equation (a), nakukuha natin

Upang malutas ang equation na ito at matukoy ang angular acceleration e, kinakailangan na magsagawa ng dalawang operasyong paghahanda: ipahayag ang lahat ng mga displacement sa pamamagitan ng pagtaas ng generalized coordinate at ipahayag ang magnitude ng lahat ng accelerations sa pamamagitan ng nais na acceleration.

Ang lahat ng mga paggalaw na kasangkot sa equation (c) ay ipinahayag sa mga tuntunin ng 5cpj:

Kapag binubuo ang huling pagkakapantay-pantay, ito ay kinuha sa account na ang punto SA silindro 3 ay ang instant na sentro ng mga bilis.

Mga halaga ng pagpapabilis a 2, a in, s 3 na nakikilahok sa mga formula (b), ipinapahayag namin sa pamamagitan ng nais na angular acceleration s:

Ang pagpapalit ng mga dami (b) habang isinasaalang-alang ang mga pagkakapantay-pantay (e) at mga relasyon (d) sa equation (c), pagkatapos ng mga pagpapasimple, dinadala namin ito sa anyo

Dahil bf, 0, itinutumbas namin ang expression sa mga kulot na bracket sa zero. Mula sa resultang equation nakita namin ang nais na halaga

Ang mga kalkulasyon ay nagbibigay ng sumusunod na sagot: s = 2.4 s; ang tanda ay nagpapahiwatig na ang angular acceleration ng pulley ay nakadirekta gaya ng inaasahan sa simula ng pagkalkula, ibig sabihin, tulad ng ipinapakita sa Fig. 24.1.

Halimbawa, kung sa parehong problema ang metalikang kuwintas ay pantay M = 2 N m, pagkatapos bilang resulta ng mga kalkulasyon gamit ang formula (g) makakakuha tayo ng e = -2.4 s -1; ito ay nangangahulugan na sa kaso na isinasaalang-alang, ang angular acceleration ng pulley ay ididirekta sa tapat ng ipinapakita sa Fig. 24.1.

Ang mga solusyon sa mga problema sa dinamika ay naglalaman, bilang isang espesyal na kaso, ng isang solusyon sa kaukulang problema sa statics. Kung para sa mekanikal na sistemang isinasaalang-alang (tingnan ang Fig. 24.1) ang kondisyon ng ekwilibriyo ay natukoy ayon sa prinsipyo ng posibleng mga displacement, kung gayon ay makukuha natin ang equation ng disenyo.

Tulad ng nakikita natin, sa kaliwang bahagi ng pagkakapantay-pantay mayroong isang expression para sa numerator ng formula (g), ibig sabihin, ang isang kondisyon ay tinukoy sa ilalim kung saan 8 = 0 (na tumutugma sa natitirang bahagi ng sistema o paggalaw na may pare-parehong pag-ikot ng ang kalo). Ang kahulugan ng pagkakapantay-pantay na ito ay ang pangkalahatang aktibong puwersa ng sistema sa isang posibleng pag-aalis ng 8φ ay katumbas ng zero, i.e. Q“ = 0.