Konisk konisk yta. Kon koncept. Konceptet med en generatris av en kon

Definition. Spetsen på en konär punkten (K) från vilken strålarna kommer.

Definition. Konens bas- Det här är planet som bildas som ett resultat av skärningen av en plan yta och alla strålar som emanerar från toppen av konen. En kon kan ha stjälkar som en cirkel, ellips, hyperbel och parabel.

Definition. Generatris av konen(L) är vilket linjesegment som helst som förbinder toppen av konen med gränsen för konens bas. Generatrisen är ett segment av strålen som kommer ut från konens spets.

Formel. Generatorns längd(L) en rak cirkulär kon genom radien R och höjden H (genom Pythagoras sats):

Definition. Guide En kon är en kurva som beskriver konturen av konens bas.

Definition. Sidoyta en kon är en samling av alla generatorer av en kon. Det vill säga ytan som bildas av generatrisens rörelse längs konens styrning.

Definition. Yta Konen består av en sidoyta och en bas av konen.

Definition. Höjd kon (H) är ett linjesegment som sträcker sig från toppen av konen och är vinkelrät mot dess bas.

Definition. Axel kon (a) är en rak linje som går genom toppen av konen och mitten av konens bas.

Definition. Taper (C) en kon är förhållandet mellan diametern på konens bas och dess höjd. I fallet med en stympad kon är detta förhållandet mellan skillnaden mellan diametrarna för tvärsnitten D och d för den stympade konen och avståndet mellan dem: där R är basens radie och H är höjden av konen.

Inom maskinteknik, tillsammans med cylindriska sådana, används i stor utsträckning delar med koniska ytor i form av yttre koner eller i form av koniska hål. Till exempel har mitten av en svarv två yttre koner, varav en används för att installera och fixera den i spindelns avsmalnande hål; en utvändig kon för montering och infästning har även borr, försänkning, brotsch etc. Adapterhylsan för att fästa borrar med koniskt skaft har en utvändig kon och ett avsmalnande hål

1. Konceptet med en kon och dess element

Konelement. Om man roterar den rätvinkliga triangeln ABC runt benet AB (bild 202, a) så bildas en AVG-kropp, som kallas full kon... AB-linjen kallas axeln eller kon höjd, linje AB - könens generatrix... Punkt A är toppen av konen.

När BV-benet roterar runt AB-axeln bildas en cirkelyta, kallad konens bas.

Vinkeln för VAG mellan sidosidorna AB och AG kallas avsmalnande vinkel och betecknas med 2a. Hälften av denna vinkel som bildas av sidan av AG och AB-axeln kallas avsmalnande lutning och betecknas med α. Vinklar uttrycks i grader, minuter och sekunder.

Om vi ​​skär av dess övre del från en hel kon med ett plan parallellt med dess bas (fig. 202, b), får vi en kropp som kallas stympad kon... Den har två baser, övre och nedre. Avståndet OO 1 längs axeln mellan baserna kallas stympad kon höjd... Eftersom det inom maskinteknik för det mesta är nödvändigt att ta itu med delar av konerna, det vill säga trunkerade kottar, kallas de vanligtvis helt enkelt kottar; i det följande kommer vi att kalla alla koniska ytor för koner.

Förhållandet mellan elementen i konen. Ritningen anger vanligtvis tre huvuddimensioner av konen: den större diametern D, den mindre - d och höjden på konen l (Fig. 203).

Ibland anges endast en av konens diametrar på ritningen, till exempel det större D, höjden på konen l och den så kallade konan. Taper är förhållandet mellan skillnaden mellan konens diametrar och dess längd. Vi betecknar avsmalningen med bokstaven K, alltså

Om konen har dimensioner: D = 80 mm, d = 70 mm och l = 100 mm, så enligt formeln (10):

Detta innebär att över en längd på 10 mm minskar konens diameter med 1 mm, eller för varje millimeter av konens längd ändras skillnaden mellan dess diametrar med

Ibland på ritningen, istället för konens vinkel, anges det avsmalnande lutning... Konens lutning visar i vilken utsträckning konens generatris avviker från sin axel.
Lutningen på konen bestäms av formeln

där tg α är konens lutning;


l - konens höjd i mm.

Med formeln (11) kan du använda trigonometriska tabeller för att bestämma vinkeln a för konens lutning.

Exempel 6. Givet D = 80 mm; d = 70 mm; l = 100 mm. Enligt formeln (11) har vi Enligt tangenttabellen hittar vi värdet närmast tan α = 0,05, det vill säga tan α = 0,049, vilket motsvarar konens lutningsvinkel α = 2 ° 50 ". Följaktligen är vinkeln för konen 2α = 2 · 2 ° 50 "= 5 ° 40".

Den avsmalnande lutningen och avsmalningen uttrycks vanligtvis i enkla bråk, till exempel: 1: 10; 1:50, eller ett decimaltal, till exempel 0,1; 0,05; 0,02 osv.

2. Metoder för att erhålla avsmalnande ytor på en svarv

På en svarv bearbetas koniska ytor på något av följande sätt:
a) genom att vrida den övre delen av bromsoket;
b) sidoförskjutning av bakkroppen;
c) att använda en avsmalnande linjal;
d) med en bred framtand.

3. Bearbetning av avsmalnande ytor genom att vrida den övre delen av bromsoket

När man gör på en svarv korta yttre och inre avsmalnande ytor med stor lutningsvinkel, är det nödvändigt att vrida den övre delen av stödet i förhållande till maskinaxeln i en vinkel α av den koniska lutningen (se fig. 204). Med denna arbetsmetod kan matningen endast göras för hand, genom att vrida handtaget på ledskruven på den övre delen av bromsoket, och endast i de modernaste svarvarna finns en mekanisk matning av den övre delen av bromsoket .

För att installera den övre delen av stödet 1 i önskad vinkel, kan du använda markeringarna som är markerade på flänsen 2 på den roterande delen av stödet (bild 204). Om vinkeln a för konens avsmalning ges enligt ritningen, roteras den övre delen av stödet tillsammans med dess roterande del med det erforderliga antalet delningar som anger grader. Antalet delningar räknas med hänsyn till markeringarna som är markerade på den nedre delen av bromsoket.

Om vinkeln α inte anges på ritningen, men de större och mindre diametrarna på konen och längden på dess koniska del anges, så bestäms värdet på rotationsvinkeln för stödet av formeln (11)

Exempel 7. Givet konens diametrar D = 80 mm, d = 66 mm, längden på konen l = 112 mm. Vi har: Enligt tabellen över tangenter finner vi ungefär: a = 3 ° 35 ". Därför måste den övre delen av bromsoket vridas med 3 ° 35".

Metoden att vrida de koniska ytorna genom att vrida den övre delen av stödet har följande nackdelar: det tillåter vanligtvis användningen av endast manuell matning, vilket påverkar arbetsproduktiviteten och renheten hos den behandlade ytan; tillåter vridning av relativt korta avsmalnande ytor begränsade av slaglängden på den övre delen av bromsoket.

4. Bearbetning av avsmalnande ytor med metoden för sidoförskjutning av bakkroppen

För att få en konisk yta på en svarv är det nödvändigt att flytta spetsen på skäraren inte parallellt, men i en viss vinkel mot mittaxeln när arbetsstycket roteras. Denna vinkel bör vara lika med vinkeln α för konens lutning. Det enklaste sättet att få vinkeln mellan mittlinjen och matningsriktningen är att förskjuta mittlinjen genom att flytta den bakre mitten i sidled. Genom att förskjuta den bakre mitten mot fräsen (mot sig själv), till följd av vridning, erhålls en kon, i vilken den större basen är riktad mot huvudstocken; när den bakre mitten är förskjuten i motsatt riktning, det vill säga från fräsen (bort från dig), kommer den större basen av konen att vara på sidan av ändstocken (bild 205).

Förskjutningen av bakkroppen bestäms av formeln

där S är förskjutningen av ändstockskroppen från spindelaxeln i mm;
D är diametern på konens stora bas i mm;
d är diametern på den lilla basen av konen i mm;
L är längden på hela delen eller avståndet mellan centrum i mm;
l är längden på den avsmalnande delen av delen i mm.

Exempel 8. Bestäm förskjutningen av ändstockens centrum för vridning av en stympad kon, om D = 100 mm, d = 80 mm, L = 300 mm och l = 200 mm. Med formel (12) finner vi:

Förskjutningen av tailstockkroppen görs med hjälp av avdelningar 1 (Figur 206), markerade på änden av bottenplattan, och risk 2 i ändstockens kropp.

Om det inte finns några uppdelningar i änden av plattan, skiftas ändstockshuset med hjälp av en mätlinjal, som visas i fig. 207.

Fördelen med att bearbeta avsmalnande ytor genom att förskjuta bakkroppen är att långa koniska längder kan vändas på detta sätt och kan vändas med kraftmatning.

Nackdelar med denna metod: oförmåga att borra avsmalnande hål; förlust av tid för att ordna om bakstycket; förmågan att hantera endast milda kottar; felinriktning av mitten i mitthålen, vilket leder till snabbt och ojämnt slitage av mitten och mitthålen och orsakar kasseringar när delen återinstalleras i samma mitthål.

Ojämnt slitage på mitthålen kan undvikas genom att använda ett speciellt kulcentrum istället för det vanliga (bild 208). Sådana centra används främst för bearbetning av exakta avsmalningar.

5. Bearbetning av avsmalnande ytor med en avsmalnande linjal

För bearbetning av avsmalnande ytor med en lutningsvinkel på upp till 10-12 ° har moderna svarvar vanligtvis en speciell anordning som kallas en avsmalnande linjal. Konbearbetningsschemat som använder en avsmalnande linjal visas i fig. 209.

En platta 11 är fäst vid maskinbädden, på vilken är installerad en avsmalnande linjal 9. Linjalen kan roteras runt tappen 8 i den erforderliga vinkeln a mot arbetsstyckets axel. För att fixera linjalen i önskat läge används två bultar 4 och 10. Skjutreglaget 7 glider fritt längs linjalen, som ansluter till den nedre tvärgående delen 12 av bromsoket med hjälp av en stång 5 och en klämma 6. Så att denna del av bromsoket kan glida fritt längs styrningarna, det kopplas bort från vagnen 3 genom att skruva loss tvärskruven eller lossa dess mutter från bromsoket.

Om du talar om för vagnen en längsgående matning, kommer skjutreglaget 7, som fångas av stången 5, att börja röra sig längs linjalen 9. Eftersom skjutreglaget är fäst vid slädens tvärglid kommer de, tillsammans med skäraren, att flytta parallellt med linjalen 9. På grund av detta kommer skäraren att bearbeta en avsmalnande yta med en lutning som är lika med den avsmalnande linjalens rotationsvinkel α.

Efter varje passage ställs kniven in på skärdjupet med hjälp av handtaget 1 på den övre delen 2 av stödet. Denna del av bromsoket måste vridas 90° i förhållande till det normala läget, d.v.s. som visas i fig. 209.

Om diametrarna för baserna för konen D och d och dess längd l anges, kan linjalens rotationsvinkel hittas med formeln (11).

Efter att ha beräknat värdet på tg α är det lätt att bestämma värdet på vinkeln α från tangentbordet.
Användningen av en avsmalnande linjal har flera fördelar:
1) justering av linjalen är bekväm och snabb;
2) när du byter till bearbetning av koner är det inte nödvändigt att störa den normala justeringen av maskinen, det vill säga det är inte nödvändigt att förskjuta bakkroppen; maskinens mittpunkter förblir i det normala läget, det vill säga på samma axel, på grund av vilket mitthålen i delarna och maskinens centrum inte utlöses;
3) med en avsmalnande linjal kan du inte bara slipa de yttre avsmalnande ytorna, utan också borra avsmalnande hål;
4) det är möjligt att arbeta med en längsgående självgående pistol, vilket ökar arbetsproduktiviteten och förbättrar kvaliteten på bearbetningen.

Nackdelen med den avsmalnande linjalen är behovet av att koppla bort glidsliden från korsmatningsskruven. Denna nackdel elimineras i utformningen av vissa svarvar, där skruven inte är styvt förbunden med dess handhjul och kugghjul på den tvärgående självgående.

6. Bearbetning av avsmalnande ytor med bred fräs

Bearbetningen av koniska ytor (extern och intern) med en liten längd av konen kan göras med en bred skärare med en vinkel i planen som motsvarar vinkeln α för konens lutning (Fig. 210). Skärmatningen kan vara längsgående och tvärgående.

Användningen av en bred fräs på konventionella maskiner är dock endast möjlig med en konlängd som inte överstiger ca 20 mm. Det är möjligt att använda bredare fräsar endast på särskilt styva maskiner och delar, om detta inte orsakar vibrationer av fräsen och arbetsstycket.

7. Borrning och brotschning av avsmalnande hål

Bearbetning av koniska hål är ett av de svåraste svarvjobben; det är mycket svårare än att bearbeta de yttre konerna.

Bearbetningen av avsmalnande hål på svarvar utförs i de flesta fall genom borrning med en skärare med en varv på den övre delen av bromsoket och, mindre ofta, med en avsmalnande linjal. Alla beräkningar som är förknippade med att vrida den övre delen av bromsoket eller den avsmalnande linjalen utförs på samma sätt som vid vändning av de yttre avsmalnande ytorna.

Om hålet ska vara i fast material så borras först ett cylindriskt hål som sedan borras med en konisk fräs eller bearbetas med koniska försänkningar och brotschar.

För att påskynda borrning eller brotschning bör du först borra ett hål med en borr, diameter d, som är 1-2 mm mindre än diametern på den lilla basen av konen (bild 211, a). Därefter borras hålet med en (Fig. 211, b) eller två (Fig. 211, c) borrar för att få steg.

Efter avslutad borrning av konen, utplaceras den med ett koniskt svep av motsvarande avsmalning. För avsmalningar med en liten avsmalning är det mer lönsamt att bearbeta avsmalnande hål direkt efter borrning med en uppsättning speciella brotschar, som visas i fig. 212.

8. Kapningsförhållanden vid bearbetning av hål med koniska brotschar

Avsmalnande brotschar fungerar under svårare förhållanden än cylindriska brotschar: medan cylindriska brotschar tar bort ett litet utrymme med små skäreggar, skär avsmalnande brotschar hela längden av sina skäreggar som ligger på konens generatris. När man arbetar med koniska brotschar används därför matningshastigheter och skärhastigheter mindre än när man arbetar med cylindriska brotschar.

Vid bearbetning av hål med avsmalnande brotschar görs matningen manuellt genom att vrida på bakstyckets handratt. Se till att stjärtfjädern rör sig jämnt.

Matar vid avrullning av stål 0,1-0,2 mm / varv, vid avrullning av gjutjärn 0,2-0,4 mm / varv.

Skärhastighet vid brotschning av koniska hål med brotschar av snabbstål 6-10 m/min.

Kylning bör användas för att underlätta driften av de avsmalnande brotscharna och för att få en ren och slät yta. Vid bearbetning av stål och gjutjärn används en emulsion eller sulfofresol.

9. Mätning av koniska ytor

Ytorna på konerna kontrolleras med mallar och mätare; mätning och samtidigt kontroll av konens vinklar utförs med goniometrar. I fig. 213 visar en metod för att kontrollera en avsmalning med användning av en mall.

De yttre och inre vinklarna för olika delar kan mätas med en universell goniometer (fig. 214). Den består av en bas 1, på vilken huvudskalan är markerad på bågen 130. En linjal 5 är styvt fäst vid basen 1. Sektor 4, som bär verniern 3, rör sig längs basbågen och kan röra sig längs kanten av sektor 4.

Med hjälp av olika kombinationer vid installationen av gradskivans mätdelar är det möjligt att mäta vinklar från 0 till 320 °. Avläsningsvärdet för nocken är 2 ". Avläsningen som erhålls vid mätning av vinklarna görs enligt skalan och nocken (Fig. 215) enligt följande: nollslagets nollslag anger antalet grader, och slaglängden på nocken, som sammanfaller med basskalans slag, anger antalet minuter 215 med basskalans slag sammanfaller med nockens 11:e slag, vilket betyder 2 "X 11 = 22". Därför är vinkeln i detta fall är 76 ° 22 ".

I fig. 216 visar kombinationer av mätdelar av en universell gradskiva, som tillåter mätning av olika vinklar från 0 till 320 °.

För en mer exakt kontroll av konerna i massproduktion används speciella mätare. I fig. 217 visar a en avsmalnande bussningsmätare för kontroll av de yttre konerna, och i fig. 217, b-konisk mätpropp för testning av koniska hål.

På mätarna är avsatser 1 och 2 gjorda i ändarna eller risker 3 appliceras, som tjänar till att bestämma noggrannheten hos de ytor som ska kontrolleras.

På. ris. 218 visar ett exempel på kontroll av ett avsmalnande hål med en pluggmätare.

För att kontrollera hålet, sätts en mätare (se fig. 218), med en avsats 1 på ett visst avstånd från änden 2 och två risker 3, med lätt tryck i hålet och kontrollera om mätaren svänger i hålet. Frånvaron av wobble indikerar att avsmalningsvinkeln är korrekt. Efter att ha sett till att vinkeln på konen är korrekt börjar de kontrollera dess storlek. För att göra detta, observera till vilken plats kalibern kommer in i den kontrollerade delen. Om änden av delens avsmalning sammanfaller med den vänstra änden av avsatsen 1 eller med en av skårorna 3 eller är mellan riskerna, är avsmalningens dimensioner korrekta. Men det kan hända att mätaren går så djupt in i delen att båda riskerna 3 kommer in i hålet eller att bägge ändarna av kanten 1 kommer ut ur den. Detta indikerar att håldiametern är större än den angivna. Om tvärtom båda riskerna är utanför hålet eller om ingen av ändarna på kanten kommer ut ur det, är håldiametern mindre än vad som krävs.

Följande metod används för att noggrant kontrollera avsmalningen. På den uppmätta ytan av en del eller mätare ritas två eller tre linjer med krita eller en penna längs konens generatris, sedan sätts mätaren in eller sätts på delen och vrids en del av ett varv. Om linjerna raderas ojämnt betyder det att delens avsmalning inte är exakt bearbetad och måste korrigeras. Radering av linjer i ändarna av mätaren indikerar felaktig avsmalning; raderingen av linjerna i mitten av mätaren visar att könen har en liten konkavitet, vilket vanligtvis orsakas av den felaktiga placeringen av knivens spets i mitthöjden. Istället för kritlinjer kan du applicera ett tunt lager specialfärg (blått) på hela den koniska ytan av en del eller kaliber. Denna metod ger större mätnoggrannhet.

10. Fel i bearbetningen av avsmalnande ytor och åtgärder för att förhindra det

Vid bearbetning av avsmalnande ytor är, förutom de nämnda typerna av skrot för cylindriska ytor, även följande typer av skrot möjliga:
1) felaktig avsmalning;
2) avvikelser i konens storlek;
3) avvikelser i måtten på basernas diametrar med rätt avsmalning;
4) icke-rakhet hos generatrisen av den koniska ytan.

1. Felaktig avsmalning beror främst på felaktig förskjutning av ändstockens kropp, felaktig rotation av den övre delen av bromsoket, felaktig installation av avsmalnande linjal, felaktig skärpning eller installation av en bred fräs. Därför kan defekter förhindras genom att noggrant ställa in stjärtkroppen, den övre delen av bromsoket eller den avsmalnande linjalen innan bearbetning påbörjas. Vi kan korrigera denna typ av äktenskap endast om felet i hela längden av konen riktas in i delens kropp, det vill säga alla diametrar på hylsan är mindre och den för den koniska stången är större än vad som krävs.

2. Fel storlek på konen i rätt vinkel, dvs fel storlek på diametrarna längs hela längden av konen, erhålls om inte tillräckligt med eller för mycket material har avlägsnats. Defekter kan endast förhindras genom att noggrant ställa in skärdjupet längs ratten vid avslutande pass. Vi fixar äktenskapet om inte tillräckligt med material har tagits bort.

3. Det kan hända att med rätt avsmalning och exakta dimensioner på ena änden av konen, är diametern på den andra änden felaktig. Det enda skälet är bristande överensstämmelse med den erforderliga längden på hela den avsmalnande delen av delen. Vi fixar äktenskapet om delen är för lång. För att undvika denna typ av skrot är det nödvändigt att noggrant kontrollera dess längd innan du bearbetar konen.

4. Orätheten hos generatrisen för konen som bearbetas uppnås när fräsen är installerad ovanför (fig. 219, b) eller under (fig. 219, c) mitten (i dessa figurer, för större tydlighet, förvrängningar av konens generatris visas i en mycket överdriven form). Den här typen av äktenskap är alltså också resultatet av vändarens slarviga arbete.

Kontrollfrågor 1. Vilka metoder kan användas för att bearbeta avsmalnande ytor på svarvar?
2. När rekommenderas det att rotera den övre delen av bromsoket?
3. Hur beräknas rotationsvinkeln för den övre delen av den koniska vändtjockleken?
4. Hur kontrolleras rätt rotation av den övre delen av bromsoket?
5. Hur kontrollerar man förskjutningen av tailstockhuset Hur beräknar man offsetbeloppet?
6. Vilka är huvuddelarna i en avsmalnande linjal? Hur justerar man en avsmalnande regel för en given del?
7. Ställ in följande vinklar på den universella goniometern: 50 ° 25 "; 45 ° 50"; 75° 35".
8. Vilka instrument används för att mäta avsmalnande ytor?
9. Varför görs avsatser eller skåror på koniska mätare och hur man använder dem?
10. Ange vilka typer av avfall som ska användas vid bearbetning av avsmalnande ytor. Hur kan du undvika dem?

Som utgår från en punkt (konens topp) och som passerar genom en plan yta.

Det händer att en kon är en del av en kropp som har en begränsad volym och som erhålls genom att kombinera varje segment som förbinder spetsen och punkterna på en plan yta. Det senare, i det här fallet, är konens bas, och konen kallas vilande på en given bas.

När konens bas är en polygon är detta redan det pyramid .

Cirkulär konär en kropp som består av en cirkel (konens bas), en punkt som inte ligger i denna cirkels plan (konens topp och alla segment som förbinder konens topp med baspunkterna). De segment som förbinder toppen av konen och punkterna på basens omkrets kallas generatorer av konen... Konytan består av en bas och en sidoyta.

Den laterala ytan är korrekt n-gonal pyramid inskriven i en kon:

S n = ½P n l n,

var P när omkretsen av pyramidens bas, och l n- apotem.

Enligt samma princip: för den laterala ytan av en stympad kon med basradier R 1, R 2 och genererar l vi får följande formel:

S = (Ri + R2) 1.

Raka och sneda cirkulära koner med lika bas och höjd. Dessa kroppar har samma volym:

Konegenskaper.

• När basens yta har en gräns, har konens volym också en gräns och är lika med den tredje delen av produkten av höjden och basens yta.

var S- basyta, H- höjd.

Således har varje kon som vilar på denna bas och har en vertex som är placerad på ett plan parallellt med basen samma volym, eftersom deras höjder är desamma.

• Tyngdpunkten för varje kon med en gränsvolym är en fjärdedel av höjden från basen.
• Den rymda vinkeln vid spetsen av en rät cirkulär kon kan uttryckas med följande formel:

var α - vinkeln för konens öppning.

• Den laterala ytan av en sådan kon, formel:

och den totala ytarean (det vill säga summan av sido- och basareorna), formeln är:

S = πR (l + R),

var R- basradie, l- generatrislängd.

• Volym av en cirkulär kon, formel:

• För en stympad kon (inte bara rak eller cirkulär) volym är formeln:

var S 1 och S 2- området för de övre och nedre baserna,

h och H- avståndet från planet för den övre och nedre basen till toppen.

• Skärningen av ett plan med en rät cirkulär kon är en av de koniska sektionerna.

) är en kropp i det euklidiska rymden, erhållen genom att kombinera alla strålar som emanerar från en punkt ( blast kon) och passerar genom en plan yta. Ibland kallas en kon en del av en sådan kropp som har en begränsad volym och erhålls genom att kombinera alla segment som förbinder spetsen och punkterna på en plan yta (den senare kallas i detta fall grund kon, och konen kallas lutande utifrån detta). Om konens bas är en polygon är den konen en pyramid.

Collegiate YouTube

1 / 4

✪ Hur man gör en papperskon.

• undertexter

Relaterade definitioner

• Segmentet som förbinder toppen och baskanten kallas könens generatrix.
• Föreningen av konens generatorer kallas generatris(eller sida) kon yta... Konens formningsyta är en konisk yta.
• Ett segment som faller vinkelrätt från spetsen till basplanet (liksom längden på ett sådant segment) kallas kon höjd.
• Konens öppningsvinkel- vinkeln mellan två motsatta generatriser (vinkel vid konens spets, inuti konen).
• Om konens bas har ett symmetricentrum (det är till exempel en cirkel eller en ellips) och den ortogonala projektionen av konens spets på basens plan sammanfaller med detta centrum, så kallas könen direkt... I det här fallet kallas den raka linjen som förbinder toppen och mitten av basen konens axel.
• Sned (lutande) kon - en kon där den ortogonala projektionen av vertexet till basen inte sammanfaller med dess symmetricentrum.
• Cirkulär kon- en kon vars bas är en cirkel.
• Rak cirkulär kon(ofta kallad helt enkelt en kon) kan erhållas genom att rotera en rätvinklig triangel runt en rät linje som innehåller benet (denna räta linje är konens axel).
• En kon som vilar på en ellips, parabel eller hyperbel kallas respektive elliptisk, parabolisk och hyperbolisk kon(de två sista har oändlig volym).
• Den del av konen som ligger mellan basen och ett plan parallellt med basen och som ligger mellan toppen och basen kallas stympad kon, eller koniskt lager.

Egenskaper

• Om basens yta är ändlig, är konens volym också ändlig och är lika med en tredjedel av produkten av höjden och basens yta.

V = 1 3 S H, (\ displaystil V = (1 \ över 3) SH,)

var S- basyta, H- höjd. Således har alla koner som vilar på en given bas (med ändlig area) och har en vertex placerad på ett givet plan parallellt med basen samma volym, eftersom deras höjder är lika.

• Tyngdpunkten för varje kon med en ändlig volym ligger på en fjärdedel av höjden från basen.
• Den rymda vinkeln vid spetsen av den högra cirkulära konen är

2 π (1 - cos ⁡ α 2), (\ displaystil 2 \ pi \ vänster (1- \ cos (\ alfa \ över 2) \ höger),) där α är konens spetsvinkel.

• Den laterala ytan av en sådan kon är

S = π R l, (\ displaystil S = \ pi Rl,)

och den totala ytarean (det vill säga summan av sido- och basareorna)

S = π R (l + R), (\ displaystil S = \ pi R (l + R),) var R- basradie, l = R 2 + H 2 (\ displaystil l = (\ sqrt (R ^ (2) + H ^ (2))))- generatrislängd.

• Volymen av en cirkulär (inte nödvändigtvis rak) kon är lika med

V = 1 3 π R 2 H. (\ displaystil V = (1 \ över 3) \ pi R ^ (2) H.)

• För en stympad kon (inte nödvändigtvis rak och cirkulär) är volymen:

V = 1 3 (H S 2 - h S 1), (\ displaystil V = (1 \ över 3) (HS_ (2) -hS_ (1)),)

där S 1 och S 2 är områdena för den övre (närmast toppen) respektive nedre basen, h och H- avståndet från planet för den övre respektive undre basen till toppen.

• Skärningen av ett plan med en rätt cirkulär kon är en av de koniska sektionerna (i icke-degenererade fall - en ellips, parabel eller hyperbel, beroende på sekantplanets position).

Konekvation

Ekvationer som definierar sidoytan på en rak cirkulär kon med en öppningsvinkel på 2Θ, spets vid origo och en axel som sammanfaller med axeln Uns :

• I ett sfäriskt koordinatsystem med koordinater ( r, φ, θ) :

θ = Θ. (\ displaystyle \ theta = \ Theta.)

• I ett cylindriskt koordinatsystem med koordinater ( r, φ, z) :

z = r ⋅ ctg ⁡ Θ (\ displaystyle z = r \ cdot \ operatornamn (ctg) \ Theta) eller r = z ⋅ tg ⁡ Θ. (\ displaystyle r = z \ cdot \ operatornamn (tg) \ Theta.)

• I ett kartesiskt koordinatsystem med koordinater (x, y, z) :

z = ± x 2 + y 2 ⋅ ctg ⁡ Θ. (\ displaystyle z = \ pm (\ sqrt (x ^ (2) + y ^ (2))) \ cdot \ operatornamn (ctg) \ Theta.) Denna ekvation kanoniskt skrivas som

där konstanter a, Med bestäms av andelen c/a = cos ⁡ Θ / sin ⁡ Θ. (\ displaystyle c / a = \ cos \ Theta / \ sin \ Theta.) Därför kan det ses att sidoytan på en rak cirkulär kon är en andra ordningens yta (det kallas avsmalnande yta). I allmänhet vilar en andra ordningens konisk yta på en ellips; i ett lämpligt kartesiskt koordinatsystem (axlar Åh och OUär parallella med ellipsens axlar, konens spets sammanfaller med origo, ellipsens centrum ligger på axeln Uns) dess ekvation har formen

x 2 a 2 + y 2 b 2 - z 2 c 2 = 0, (\ displaystyle (\ frac (x ^ (2)) (a ^ (2))) + (\ frac (y ^ (2)) ( b ^ (2))) - (\ frac (z ^ (2)) (c ^ (2))) = 0,)

dessutom a/c och före Kristusär lika med ellipsens halvaxlar. I det mest allmänna fallet, när könen vilar på en godtycklig plan yta, kan det visas att ekvationen för könens laterala yta (med spets vid origo) ges av ekvationen f (x, y, z) = 0, (\ displaystil f (x, y, z) = 0,) var funktion f (x, y, z) (\ displaystil f (x, y, z))är homogen, det vill säga uppfyller villkoret f (α x, α y, α z) = α nf (x, y, z) (\ displaystil f (\ alpha x, \ alpha y, \ alpha z) = \ alpha ^ (n) f (x, y , z)) för valfritt reellt tal α.

Skanna

En rak cirkulär kon som en rotationskropp bildas av en rätvinklig triangel som roterar runt ett av benen, där h- höjden på konen från mitten av basen till toppen - är benet på en rätvinklig triangel runt vilken rotation sker. Det andra benet i en rätvinklig triangel rär radien vid konens bas. Hypotenusan i en rätvinklig triangel är l- konens generatrix.

Endast två kvantiteter kan användas för att skapa ett platt mönster. r och l... Basradie r definierar cirkeln för konens bas i utvecklingen, och sektorn för konens laterala yta definierar generatrisen för den laterala ytan l, vilket är radien för sidoytsektorn. Sektorvinkel φ (\ displaystyle \ varphi) i svepet av konens sidoyta bestäms av formeln:

φ = 360 ° ( r/l) .

Idag kommer vi att berätta hur man hittar generatrisen för en kon, vilket ofta krävs i skolgeometriproblem.

Konceptet med en generatris av en kon

En rak kon är en form som erhålls genom att rotera en rätvinklig triangel runt ett av dess ben. Konens bas bildar en cirkel. Den vertikala delen av konen är en triangel, den horisontella delen är en cirkel. Höjden på konen är linjesegmentet som förbinder toppen av konen med mitten av basen. Generatrisen för en kon är ett linjesegment som förbinder toppen av konen med vilken punkt som helst på basens omkretslinje.

Eftersom könen bildas genom rotationen av en rätvinklig triangel, visar det sig att det första benet i en sådan triangel är höjden, det andra är radien på cirkeln som ligger vid basen, och konens generatris kommer att vara hypotenusan. Det är lätt att gissa att Pythagoras sats är användbar för att beräkna längden på generatorn. Och nu mer om hur man hittar längden på en kons generatris.

Hitta generatorn

Det enklaste sättet att förstå hur man hittar en generatris är med ett specifikt exempel. Antag att följande villkor för problemet är givna: höjden är 9 cm, diametern på bascirkeln är 18 cm. Det är nödvändigt att hitta generatrisen.

Så höjden på konen (9 cm) är ett av benen i en rätvinklig triangel, med vilken denna kon bildades. Det andra benet kommer att vara bascirkelns radie. Radien är halva diametern. Således delar vi den givna diametern på mitten och vi får längden på radien: 18: 2 = 9. Radien är 9.

Nu är det väldigt lätt att hitta konens generatrix. Eftersom det är en hypotenusa kommer kvadraten på dess längd att vara lika med summan av kvadraterna på benen, det vill säga summan av kvadraterna av radien och höjden. Så kvadraten på generatrisens längd = 64 (kvadraten på radiens längd) + 64 (kvadraten på längden på höjden) = 64x2 = 128. Nu extraherar vi kvadratroten ur 128. Som en Resultatet får vi åtta rötter av två. Detta kommer att vara konens generatris.

Som du kan se är det inget komplicerat med det. Som exempel tog vi enkla problemförhållanden, men i en skolkurs kan de vara mer komplicerade. Kom ihåg att för att beräkna längden på generatrisen måste du ta reda på cirkelns radie och konens höjd. Genom att känna till dessa data är det lätt att hitta längden på generatrisen.