مشاوره با معلم آنلاین ریاضیات. مطالعه ثلث درجه دوم. سه جمله های مربع و پارامترها نمودار یک مثلث درجه دوم

تعریف

سهمینمودار یک تابع درجه دوم $y = ax^(2) + bx + c$ نامیده می شود که $a \neq 0$ است.

نمودار تابع $y = x^2$.

برای رسم شماتیک نمودار تابع $y = x^2$، چندین نقطه را خواهیم یافت که این برابری را برآورده می کند. برای سهولت، مختصات این نقاط را در قالب جدول می نویسیم:

نمودار تابع $y = ax^2$.

اگر ضریب $a > 0$ باشد، نمودار $y = ax^2$ از نمودار $y = x^2$ یا با کشش عمودی (برای $a > 1$) یا فشرده سازی به $x$ به دست می آید. محور (برای $0< a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:

$y = 2x^2$	$y = \dfrac(x^2)(2)$

اگر $a< 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:

$y = - x^2$	$y = -2x^2$	$y = - \dfrac(x^2)(2)$

نمودار یک تابع درجه دوم.

برای رسم تابع $y = ax^2 + bx + c$، باید یک مربع کامل را از مثلث درجه دوم $ax^2 + bx + c$ جدا کنید، یعنی آن را به شکل $a(x - نشان دهید. x_0)^2 + y_0$ . نمودار تابع $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ از نمودار مربوطه $y = ax^2$ با جابجایی $x_0$ در امتداد محور $x$ و توسط $y_0$ بدست می‌آید. در امتداد محور $y$. در نتیجه، نقطه $(0;0)$ به نقطه $(x_0;y_0)$ منتقل می شود.

تعریف

بالاترینسهمی $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ نقطه با مختصات $(x_0;y_0)$ است.

بیایید یک سهمی $y = 2x^2 - 4x - 6$ بسازیم. با انتخاب مربع کامل، $y = 2(x - 1)^2 - 8$ دریافت می کنیم.

بیایید $y = 2x^2$ را رسم کنیم	بیایید آن را 1 به سمت راست منتقل کنیم	و کاهش 8

نتیجه یک سهمی است که راس آن در نقطه $(1;-8)$ است.

نمودار تابع درجه دوم $y = ax^2 + bx + c$ محور $y$ را در نقطه $(0; c)$ و محور $x$ را در نقاط $(x_(1,2) قطع می‌کند. ;0)$، که در آن $ x_(1,2)$ ریشه های معادله درجه دوم $ax^2 + bx + c = 0$ هستند (و اگر معادله ریشه نداشته باشد، سهمی مربوطه با $ قطع نمی شود. محور x$).

به عنوان مثال، سهمی $y = 2x^2 - 4x - 6$ محورها را در نقاط $(0; -6)$، $(-1; 0)$ و $(3; 0)$ قطع می کند.

نکات مقدماتی و مثال های ساده

مثال 1. معادله ax 2 + 2x + 1 = 0 برای کدام مقادیر a دو ریشه متفاوت دارد؟

راه حل.

این معادله با توجه به متغیر x برای a درجه دوم است№ 0 است و ریشه های متفاوتی دارد که متمایز باشد

یعنی برای یک< 1.

علاوه بر این، وقتی a = 0 باشد، معادله 2x + 1 = 0 به دست می آید که یک ریشه دارد.

بنابراین، یک O (– Ґ ; 0) و (0; 1).

قانون 1. اگر ضریب x 2 یک چند جمله‌ای درجه دوم حاوی پارامتر باشد، لازم است موردی که ناپدید می‌شود مورد تجزیه و تحلیل قرار گیرد.

مثال 2. معادله ax 2 + 8x + c = 0 دارای یک ریشه منفرد برابر با 1 است. a و c برابر با چه چیزی هستند؟

راه حل. بیایید حل مسئله را با حالت خاص a = 0 شروع کنیم، معادله به شکل 8x + c = 0 است. این معادله خطی یک راه حل x 0 = 1 برای c = – 8 دارد.

وقتی یک نه. 0 معادله درجه دوم یک ریشه دارد اگر

علاوه بر این، با جایگزینی ریشه x 0 = 1 در معادله، یک + 8 + c = 0 به دست می آوریم.

با حل یک سیستم از دو معادله خطی، a = c = - 4 را پیدا می کنیم.

قضیه 1.

برای سه جمله درجه دوم کاهش یافته y = x 2 + px + q (با فرض p 2і 4q)
مجموع ریشه ها x 1 + x 2 = – p، حاصل ضرب ریشه x 1 x 2 = q، تفاوت ریشه ها برابر است با
و مجموع مربع های ریشه x 1 2 + x 2 2 = p 2 – 2q.

قضیه 2.

برای یک مثلث درجه دوم y = ax 2 + bx + c با دو ریشه x 1 و x 2، داریم
بسط ax 2 + bx + c = a(x – x 1)(x – x 2)، برای یک مثلثی با یک ریشه x 0 – بسط
ax 2 + bx + c = a(x – x 0) 2 .

اظهار نظر. غالباً در مورد معادلات درجه دوم با ممیز برابر با صفر و بر این اساس یک ریشه می گویند که دو ریشه متقابل دارد (؟). این به عاملی شدن چند جمله ای ارائه شده در قضیه 2 مربوط می شود.(روش صحیح گفتن و فهمیدن در این مورد "یک ریشه از چند دو" است - اد.)

ما به این ظرافت توجه خواهیم کرد و مورد یک ریشه تکثر 2 را برجسته خواهیم کرد.

مثال 3. در معادله x 2 + ax + 12 = 0 a را طوری تعیین کنید که اختلاف ریشه های معادله برابر با یک باشد.

راه حل. تفاوت ریشه
از این رو a = 7±.

مثال 4. مجموع مجذورات ریشه های معادله 2x 2 + 4x + a = 0 برای کدام a برابر با 6 است؟

راه حل. بیایید معادله را به شکل بنویسیم
از آنجا x 1 2 + x 2 2 = 4 – a = 6 و a = – 2.

مثال 5. برای همه a، معادله ax 2 – 2x + 4 = 0 را حل کنید.

راه حل. اگر a = 0، آنگاه x = 2. اگر a№ 0، سپس معادله درجه دوم می شود. تمایز آن است
برابر با D = 4 – 16a. اگر D< 0, т. е. a > ,
معادله هیچ راه حلی ندارد اگر D = 0، یعنی a =،
x = 4. اگر D > 0 باشد، یعنی a< ,
معادله دو ریشه دارد

محل قرارگیری ریشه های سه جمله ای درجه دوم

نمودار معادله درجه دوم یک سهمی است و جواب های معادله درجه دوم ابسیساهای نقاط تقاطع این سهمی با محور Ox هستند. مبنای حل تمام مسائل در این بخش، بررسی ویژگی های مکان سهمی ها با ویژگی های داده شده در صفحه مختصات است.

مثال 6. برای چه چیزی ریشه های معادله x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 دارای علائم مختلفی هستند؟

راه حل (شکل 1).

یک معادله درجه دوم یا هیچ جوابی ندارد (گراف سهمی از نوع D است)، یا دارای یک یا دو ریشه مثبت (سهمی C)، یا دارای یک یا دو ریشه منفی (پارابول A)، یا دارای ریشه هایی با علائم مختلف (پارابولا) ب).

به راحتی می توان فهمید که آخرین نوع سهمی، بر خلاف سایرین، با این واقعیت مشخص می شود که f(0)< 0. Таким образом, f(0) = a 2 – a – 6 < 0, откуда 0 < a < .

این راه حل امکان تعمیم را فراهم می کند که به عنوان قانون زیر فرمول بندی می کنیم.

قانون 2. به منظور معادله ax 2 + bx + c = 0

دو ریشه متفاوت x 1 و x 2 داشت به طوری که x 1< M < x 2 , необходимо и достаточно, чтобы a f(M) < 0.

مثال 7. معادله x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 برای کدام a دو ریشه متفاوت از یک علامت دارد؟

راه حل. ما به سهمی های نوع A و C علاقه مند هستیم (شکل 1 را ببینید). آنها با این واقعیت مشخص می شوند که

از آنجا یک O (- 6; - 2) و (3; + Ґ ).

مثال 8. معادله x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 = 0 برای کدام a دو ریشه مثبت متفاوت دارد؟

راه حل. ما به سهمی های نوع C در شکل علاقه مندیم. 1.

برای اینکه معادله ریشه داشته باشد، نیاز داریم

از آنجایی که هر دو ریشه معادله باید بر اساس شرط مثبت باشند، آبسیسا راس سهمی که بین ریشه ها قرار دارد مثبت است: x 0 = a > 0.

مختصات راس f(x 0)< 0 в силу того, что мы потребовали существование корней, поэтому если, кроме того, потребовать выполнение условия f(x 0) >0، سپس به دلیل تداوم تابع مورد مطالعه، یک نقطه x 1 وجود دارددر باره (0; x 0) به طوری که f(x 1) = 0. بدیهی است که این یک ریشه کوچکتر از معادله است.

بنابراین، f(0) = a 2 – a – 6 > 0، و با کنار هم گذاشتن همه شرایط، سیستم را بدست می آوریم

با محلول a O (3؛ + Ґ ).

مثال 9. معادله x 2 – 2ax + a 2 – a – 6 برای کدام a دو ریشه منفی متفاوت دارد؟

راه حل. پس از مطالعه سهمی های نوع A در شکل. 1، ما سیستم را دریافت می کنیم

از آنجا یک O (- 6; - 2).

اجازه دهید راه حل مسائل قبلی را در قالب قانون زیر تعمیم دهیم.

قانون 3. برای اینکه معادله ax 2 + bx + c = 0 دو ریشه متفاوت x 1 و x 2 داشته باشد که هر کدام بزرگتر (کمتر از) M باشد، لازم و کافی است که

مثال 10. تابع f(x) با فرمول به دست می آید

تمام مقادیر پارامتر a را که معادله f(x) = 0 حداقل یک جواب دارد را بیابید.

راه حل. همه راه حل های ممکن برای یک معادله داده شده به عنوان راه حل برای یک معادله درجه دوم به دست می آیند

x 2 - (4a + 14)x + 4a 2 + 33a + 59 = 0

با شرط اضافی که حداقل یک ریشه (بدیهی بزرگتر) x 2من یک

به طور طبیعی، برای اینکه معادله ریشه داشته باشد، باید = - 5 (a + 2) باشد. і 0,
از آنجا یک Ј - 2.

نمودار سمت چپ معادله انتخاب شده یک سهمی است که ابسیسا راس آن x 0 = 2a + 7 است. راه حل مسئله توسط دو نوع سهمی ارائه شده است (شکل 2).

A: x 0 i a، از آنجا a i – 7. در این حالت، ریشه بزرگتر چند جمله ای x 2 استمن x 0 i a.

B: x 0< a, f(a) Ј 0، از کجا .
در این مورد نیز ریشه بزرگتر چند جمله ای x 2 استمن یک

سرانجام .

سه راه حل برای یک نابرابری

مثال 11. تمام مقادیر پارامتر a را پیدا کنید که برای آنها نابرابری x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 > 0 است.

انجام:

1) برای تمام مقادیر x؛
2) برای تمام مقادیر مثبت x؛
3) برای تمام مقادیر x O [– 1; 1].

راه حل.

راه اول

1) بدیهی است که این نابرابری برای همه x زمانی که ممیز منفی است، یعنی.

= a 2 – (a 2 + 2a – 3) = – 2a + 3< 0,

از آنجا یک >.

2) برای درک بهتر آنچه در بیان مسئله مورد نیاز است، بیایید از یک تکنیک ساده استفاده کنیم: چند سهمی روی صفحه مختصات رسم کنید و سپس نیم صفحه سمت چپ را نسبت به محور Oy بگیرید و ببندید. قسمتی از سهمی که قابل مشاهده است باید بالای محور Ox باشد.

شرط مشکل در دو مورد برآورده می شود (شکل 3 را ببینید):

< 0, откуда a > ;

B: هر دو ریشه (شاید یک، اما دو برابر) معادله x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 در سمت چپ مبدا قرار دارند. طبق قانون 3، این شرط معادل سیستم نابرابری های D استі 0، x 0 Ј 0 و f(0) і 0.

با این حال، هنگام حل این سیستم، اولین نابرابری را می توان حذف کرد، زیرا حتی اگر مقداری a شرط D را برآورده نکند.і 0، سپس به طور خودکار به حل نقطه A می افتد. بنابراین، سیستم را حل می کنیم

از آنجا یک Ј - 3.

با ترکیب راه حل های A و B به دست می آید

پاسخ:

3) شرط مشکل در سه مورد برآورده می شود (شکل 4 را ببینید):

A: نمودار تابع y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 بالای محور Ox قرار دارد، یعنی D< 0, откуда a > ;

B: هر دو ریشه (شاید یکی از مضرب 2) معادله x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 در سمت چپ – 1 قرار دارند. همانطور که از قانون 3 می دانیم، این شرط معادل سیستم است. از نابرابری ها Dі 0، x 0< – 1, f(– 1) > 0;

ج: هر دو ریشه معادله x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 = 0 در سمت راست 1 قرار دارند.
این شرط معادل D است i 0، x 0 > 1، f(1) > 0.

با این حال، در نقاط B و C و همچنین در حل مسئله قبلی، نابرابری مربوط به ممیز را می توان حذف کرد.

بر این اساس، دو سیستم نابرابری به دست می آوریم

با در نظر گرفتن همه موارد، به نتیجه می رسیم: a >
در نقطه
در سی.
پاسخ مسئله اتحاد این سه مجموعه است.

راه دوم برای اینکه شرط هر یک از سه نقطه مسئله برآورده شود، کوچکترین مقدار تابع
y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 در هر یک از بازه های مربوطه باید مثبت باشد.

1) راس سهمی y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3 در نقطه (a; 2a – 3) است، بنابراین کوچکترین مقدار تابع در کل خط اعداد 2a – 3 است و a > .

2) در نیم محور x i 0 کوچکترین مقدار تابع f(0) = a 2 + 2a – 3 است، اگر a< 0, и f(a) = 2a – 3, если a і 0. با تجزیه و تحلیل هر دو مورد، به دست می آوریم

3) کوچکترین در بخش [– 1; 1] مقدار تابع است

از آنجایی که کوچکترین مقدار باید مثبت باشد، سیستم های نابرابری را به دست می آوریم

راه حل این سه سیستم یک مجموعه است

راه سوم. 1) راس سهمی y = x 2 – 2ax + a 2 + 2a – 3

در نقطه (a; 2a - 3) قرار دارد. اجازه دهید مجموعه ای را روی صفحه مختصات ترسیم کنیم که از رئوس تمام سهمی ها برای a های مختلف تشکیل شده است (شکل 5).

این خط y = 2x – 3 است. به یاد بیاوریم که هر نقطه در این خط مقدار پارامتر خاص خود را دارد و از هر نقطه در این خط یک سهمی مربوط به یک مقدار پارامتر معین «بیرون می‌آید». سهمی هایی که کاملاً بالای محور Ox هستند با شرایط 2a – 3 > 0 مشخص می شوند.

2) جواب های این نقطه همه راه حل های نقطه اول هستند و به علاوه سهمی هایی هستند که a منفی هستند و f(0) = a 2 + 2a – 3і 0.

3) از شکل 5 واضح است که ما به سهمی‌هایی علاقه‌مندیم که یا a منفی است و f(– 1) = a 2 + 4a – 2 > 0،
یا a مثبت است و f(1) = a 2 – 2 > 0.

معادلات و نابرابری هایی که به معادلات درجه دوم کاهش می یابند

مثال 12. معادله 2x 4 – 2ax 2 + a 2 – 2 = 0 برای کدام مقادیر a هیچ راه حلی ندارد؟

راه حل. با جایگزینی y = x 2، معادله درجه دوم f(y) = 2y 2 – 2ay + a 2 – 2 = 0 را بدست می آوریم.

معادله حاصل وقتی که D جوابی ندارد< 0. Кроме того, первоначальное уравнение не имеет решений, когда корни уравнения f(y) = 0 отрицательны.

این شرایط را می توان به صورت مجموعه ای نوشت

جایی که

مثال 13. برای هر مقدار از پارامتر a، معادله cos x sin 2x = asin 3x را حل کنید.

راه حل. از آنجایی که 2cos x sin 2x = sin x + sin 3x و sin 3x = 3sin x – 4sin 3 x،

سپس معادله به صورت sin x (sin 2 x (4a – 2) – (3a – 2)) = 0 نوشته می شود.

از اینجا راه حل های x = را به دست می آوریم p n، n O Z برای هر a. معادله

راه حل هایی دارد

با جواب های معادله اول منطبق نیست، فقط تحت شرط

محدودیت های اخیر معادل هستند

پاسخ: x = p n، n O Z برای هر a; بعلاوه،

مثال 14. تمام مقادیر پارامتر a را پیدا کنید که برای هر کدام نابرابری است
a 2 + 2a – sin 2 x – 2acos x > 2 برای هر عدد x صادق است.

راه حل. اجازه دهید نابرابری را به شکل cos 2 x – 2acos x + a 2 + 2a – 3 > 0 تبدیل کنیم.

و جایگزینی t = cos x را ایجاد کنید. توجه به این نکته مهم است که پارامتر t از - 1 تا 1 متغیر است، بنابراین مشکل را می توان به صورت زیر فرموله کرد: همه a را به گونه ای پیدا کنید که

t 2 – 2at + a 2 + 2a – 3 > 0

برای همه tدر باره [- 1; 1]. قبلاً این مشکل را حل کرده ایم.

مثال 15. تعیین کنید که معادله 3 (9 x + 9a 3) = x برای چه مقادیری راه حل دارد و آنها را پیدا کنید.

راه حل. بیایید معادله را به شکل 9 x – 3 x + 9a 3 = 0 تبدیل کنیم

و با تبدیل y = 3 x، y 2 – y + 9a 3 = 0 را بدست می آوریم.

اگر ممیز منفی باشد، معادله هیچ راه حلی ندارد. زمانی که ممیز

D = 1 – 36a 3 = 0، معادله یک ریشه دارد،
و x = – log 3 2. در نهایت، هنگامی که ممیز مثبت است، یعنی،
معادله اصلی یک ریشه دارد ,
و اگر علاوه بر این، عبارت 1 مثبت باشد،
سپس معادله یک ریشه دوم نیز دارد .

بنابراین، ما در نهایت دریافت می کنیم

,

هیچ راه حلی برای الف باقی مانده وجود ندارد.

مثال 16. برای هر مقدار از پارامتر a معادله sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x + a = 0 را حل کنید.

راه حل. زیرا
بیایید معادله را به شکل sin 2 x – 2sin x – 2a – 2 = 0 بازنویسی کنیم.
بگذارید y = sin 2x، سپس y 2 – 2y – 2a – 2 = 0 (| y |ج 1).

نمودار تابع سمت چپ معادله سهمی با راس است که آبسیسا y 0 = 1 است. مقدار تابع در نقطه y = – 1 1 – 2a است. ممیز معادله 8a + 12 است. این بدان معنی است که ریشه بزرگتر y 2 معادله y 2 – 2y – 2a – 2 = 0، حتی اگر وجود داشته باشد، بزرگتر از 1 است و معادله مربوطه sin 2x = y است. 2 هیچ راه حلی ندارد. 3. معادله 2x 2 + (3a + 1)x + a 2 + a + 2 = 0 برای کدام مقادیر a حداقل یک ریشه دارد؟
4. معادله ax 2 + bx + 5 = 0 دارای یک ریشه منفرد برابر با 1 است. a و b برابر با چه چیزی هستند؟
5. برای چه مقادیری از پارامتر a، ریشه های معادله درجه دوم 5x 2 – 7x + a = 0 به صورت 2 تا 5 مرتبط است؟
6. در معادله ax 2 + 8x + 3 = 0 a را طوری تعیین کنید که اختلاف ریشه های معادله برابر با یک باشد.
7. مجموع مجذورات ریشه های معادله x 2 – 2ax + 2(a + 1) = 0 برای کدام a برابر با 20 است؟
8. معادله c + bx – 2x 2 = 0 برای کدام b و c یک ریشه مثبت و یک ریشه منفی دارد؟
9. تمام مقادیر پارامتر a را پیدا کنید که یک ریشه معادله x 2 – (a + 1)x + 2 = 0 بزرگتر از a و دیگری کوچکتر از a باشد.
10. تمام مقادیر پارامتر a را پیدا کنید که معادله x 2 + (a + 1)x + 2 = 0 دارای دو ریشه متفاوت از یک علامت است.
11. تمام ریشه های حاصل از معادله (a – 3)x 2 – 2ax + 6a = 0 برای چه مقادیری a مثبت هستند؟
12. تمام ریشه های حاصل از معادله (1 + a)x 2 – 3ax + 4a = 0 برای چه a بزرگتر از 1 هستند؟
13. تمام مقادیر پارامتر a را پیدا کنید که هر دو ریشه معادله x 2 + x + a = 0 بزرگتر از a هستند.
14. هر دو ریشه معادله 4x 2 – 2x + a = 0 برای کدام مقادیر a بین – 1 و 1 قرار دارند؟
15. معادله x 2 + 2 (a – 1)x + a + 5 = 0 برای کدام مقادیر a حداقل یک ریشه مثبت دارد؟
16. تابع f(x) با فرمول به دست می آید

تمام مقادیر پارامتر a را که معادله f(x) = 0 حداقل یک جواب دارد را بیابید.
17. نابرابری a (a 2 – 1)x 2 + 2(a – 1)x + 2 > 0 برای همه x برای چه چیزی صادق است؟
18. برای چه مقادیری از پارامتر a، نابرابری ax 2 + 2x > 1 – 3a برای تمام x های مثبت برقرار است؟
19. معادله x 4 + (1 – 2a)x 2 + a 2 – 1 = 0 برای کدام مقادیر a هیچ جوابی ندارد؟
20. معادله 2x 4 – 2ax 2 + a2 – 2 = 0 برای چه مقادیری از پارامتر a یک یا دو جواب دارد؟
21. برای هر مقدار a معادله acos x cos 2x = cos 3x را حل کنید.
22. تمام مقادیر پارامتر a را پیدا کنید که برای هر کدام نابرابری cos 2 x + 2asin x – 2a است.< a 2 – 4 выполняется для любого числа x.
23. برای همه a، معادله 2 (4 x + a) = x را حل کنید.
24. برای هر مقدار از پارامتر a معادله sin 2 x + asin 2 2x = sin را حل کنید.

درس: چگونه یک سهمی یا تابع درجه دوم بسازیم؟

بخش نظری

سهمی نموداری از یک تابع است که با فرمول ax 2 +bx+c=0 توصیف شده است.
برای ساختن سهمی باید از یک الگوریتم ساده پیروی کنید:

1) فرمول سهمی y=ax 2 +bx+c,
اگر a>0سپس شاخه های سهمی هدایت می شوند بالا,
در غیر این صورت شاخه های سهمی هدایت می شوند پایین.
عضو رایگان جاین نقطه سهمی را با محور OY قطع می کند.

2) با استفاده از فرمول پیدا می شود x=(-b)/2a، x پیدا شده را جایگزین معادله سهمی می کنیم و پیدا می کنیم y;

3)تابع صفرهایا به عبارتی نقاط تلاقی سهمی با محور OX به آنها ریشه معادله نیز می گویند. برای یافتن ریشه ها، معادله را با 0 برابر می کنیم ax 2 +bx+c=0;

انواع معادلات:

الف) معادله درجه دوم کامل شکل دارد ax 2 +bx+c=0و توسط ممیز حل می شود.
ب) معادله درجه دوم فرم ناقص تبر 2 +bx=0.برای حل آن، باید x را از پرانتز خارج کنید، سپس هر عامل را با 0 برابر کنید:
تبر 2 +bx=0،
x(ax+b)=0،
x=0 و ax+b=0;
ج) معادله درجه دوم فرم ناقص تبر 2 + c=0.برای حل آن باید مجهولات را به یک طرف و مجهولات را به طرف دیگر منتقل کنید. x =±√(c/a);

4) چندین نقطه اضافی برای ساخت تابع پیدا کنید.

بخش عملی

و بنابراین اکنون، با استفاده از یک مثال، همه چیز را مرحله به مرحله تجزیه و تحلیل خواهیم کرد:
مثال شماره 1:
y=x 2 +4x+3
c=3 یعنی سهمی OY را در نقطه x=0 y=3 قطع می کند. شاخه های سهمی از a=1 1>0 به بالا نگاه می کنند.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 راس در نقطه (-2;-1) است.
بیایید ریشه های معادله x 2 +4x+3=0 را پیدا کنیم
با استفاده از تمایز، ریشه ها را پیدا می کنیم
a=1 b=4 c=3
D=b 2 -4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x 1 =(-4+2)/2=-1
x 2 =(-4-2)/2=-3

بیایید چندین نقطه دلخواه را که در نزدیکی راس x = -2 قرار دارند، در نظر بگیریم

x -4 -3 -1 0
y 3 0 0 3

به جای x معادله y=x 2 +4x+3 را جایگزین کنید
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3) 2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0) 2 +4*(0)+3=0-0+3=3
از مقادیر تابع می توان فهمید که سهمی نسبت به خط مستقیم x = -2 متقارن است.

مثال شماره 2:
y=-x 2 +4x
c=0 یعنی سهمی OY را در نقطه x=0 y=0 قطع می کند. شاخه های سهمی به پایین نگاه می کنند زیرا a=-1 -1 بیایید ریشه های معادله -x 2 +4x=0 را پیدا کنیم.
معادله درجه دوم ناقص از فرم ax 2 +bx=0. برای حل آن، باید x را از پرانتز خارج کنید، سپس هر عامل را با 0 برابر کنید.
x(-x+4)=0، x=0 و x=4.

بیایید چندین نقطه دلخواه را که در نزدیکی راس x=2 قرار دارند، در نظر بگیریم
x 0 1 3 4
y 0 3 3 0
به جای x معادله y=-x 2 +4x را جایگزین کنید
y=0 2 +4*0=0
y=-(1) 2 +4*1=-1+4=3
y=-(3) 2 +4*3=-9+13=3
y=-(4) 2 +4*4=-16+16=0
از مقادیر تابع می توان دریافت که سهمی نسبت به خط مستقیم متقارن است x = 2

مثال شماره 3
y=x 2 -4
c=4 یعنی سهمی OY را در نقطه x=0 y=4 قطع می کند. شاخه های سهمی از a=1 1>0 به بالا نگاه می کنند.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 راس در نقطه (0;-) است. 4)
بیایید ریشه های معادله x 2 -4=0 را پیدا کنیم
معادله درجه دوم ناقص از فرم ax 2 +c=0. برای حل آن باید مجهولات را به یک طرف و مجهولات را به طرف دیگر منتقل کنید. x =±√(c/a)
x 2 = 4
x 1 = 2
x 2 =-2

بیایید چندین نقطه دلخواه را که در نزدیکی راس x=0 قرار دارند، در نظر بگیریم
x -2 -1 1 2
y 0 -3 -3 0
به جای x معادله y= x 2 -4 را جایگزین کنید
y=(-2) 2 -4=4-4=0
y=(-1) 2 -4=1-4=-3
y=1 2 -4=1-4=-3
y=2 2 -4=4-4=0
از مقادیر تابع می توان دریافت که سهمی نسبت به خط مستقیم متقارن است x = 0

اشتراک در به کانال در یوتیوبتا در جریان همه محصولات جدید باشید و با ما برای امتحانات آماده شوید.

از درس ریاضیات مدرسه مشخص است که یک مثلث درجه دوم به عنوان بیانی از شکل درک می شود.

ax 2 + bx + c، که a ≠ 0.

ریشه های این سه جمله ای با استفاده از فرمول محاسبه می شود: X 1.2 = (-b ± √D) / (2a)، که در آن D = b 2 – 4ac.

D نامیده می شود ممیز. برای حل مسائل مربوط به این موضوع بسیار مهم است، زیرا تعداد ریشه های یک مثلثی را تعیین می کند.

دو مورد از آنها وجود دارد - اگر D> 0، یکی - اگر D = 0 باشد(گاهی می گویند دو تا یکسان هستند، یعنی x 1 = x 2 = -b/(2a))، و اگر D< 0, то действительных корней нет.

تابعی به شکل (*) y = ax 2 + bx + c، که در آن a ≠ 0 درجه دوم نامیده می شود. نمودار آن سهمی است که اگر a > 0 شاخه های آن به سمت بالا و اگر a به سمت پایین است.< 0. Корни соответствующего квадратного трехчлена есть нули функции, т.е. точки пересечения параболы с осью ОХ. نقطه تقاطع سهمی با محور OU c است. تعیین مختصات راس سهمی (m ;n) آسان است.

m = (x 1 + x 2)/2 یا (**) m = -b/(2a).

n را می توان با جایگزین کردن مقدار m به جای x در فرمول محاسبه کرد

y = ax 2 + bx + c یا از فرمول y = -D/(4a) استفاده کنید.

اگر یک مربع کامل را در یک مثلث درجه دوم انتخاب کنیم، m و n به شکل صریح در نماد وجود خواهند داشت: (***) y = a(x – m) 2 + n.

تقریباً تمام مطالب مرجع لازم برای حل مشکلات در مورد موضوع ذکر شده در اینجا ارائه شده است. بیایید به چند نمونه از وظایف نگاه کنیم.

مثال 1.

برای چه مقادیری راس سهمی y = (x – 13a) 2 – a 2 + 6a + 16 در ربع دوم صفحه مختصات قرار دارد؟

راه حل.

تابع درجه دوم به شکل مربع کامل متمایز (***) نوشته می شود.

سپس مشخص است که m = 13a و n = -a 2 + 6a + 16. برای اینکه یک راس با مختصات (m; n) در ربع دوم قرار گیرد، لازم است که m< 0, n >0. شرایط باید به طور همزمان برآورده شود. بنابراین، سیستم نابرابری ها را حل می کنیم:

(13a< 0,
(-a 2 + 6a + 16 > 0

از اولین نابرابری داریم a< 0. Второе решаем методом интервалов или путем графического представления. Не зависимо от способа, получаем его решение: а Є (-2: 8). Решение системы неравенств есть пересечение (общая часть) полученных решений:а Є (-2: 0).

پاسخ: برای همه یک Є(-2: 0) یا برای -2< a < 0.

مثال 2.

برای چه مقادیری از پارامتر a بیشترین مقدار تابع y = ax 2 – 2x + 7a برابر با 6 است؟

راه حل.

تابع درجه دوم تنها زمانی بیشترین مقدار را خواهد داشت که شاخه های سهمی به سمت پایین هدایت شوند (یعنی یک< 0) и достигнет его функция в вершине параболы. Иначе говоря, y max = n = 6 достигается при х = m. Исходя из формулы (**), имеем

m = 2/2a. D = 4 – 28a 2 .

سپس n = (28a 2 – 4)/4a = (7a 2 – 1)/a = 6; یا 7a 2 – 1 = 6a.

با حل معادله حاصل، a = 1 یا a = -1/7 داریم. اما a = 1 شرط اول را برآورده نمی کند.

پاسخ: در یک = -1/7.

مثال 3.

تعداد مقادیر صحیح پارامتر a را که معادله آن است را بیابید
الف) |x 2 – 8x + 7| = a 2 ; ب) |x 2 – 6|x| – 16| = a 2 + 9 دارای 4 ریشه است.

راه حل.

الف) در اینجا کوتاه ترین راه حل، گرافیکی است. طرح این است:

1. نموداری از تابع y = x 2 – 8x + 7 بسازید (پارابولا).

2. سپس y = |x 2 – 8x + 7| (قسمت پایین نمودار را نسبت به OX نمایش دهید).

ادامه راه حل از شکل مشخص است. خط مستقیم اگر 0 باشد نمودار را در چهار نقطه قطع می کند< a 2 < 9 или a = ±1; a = ±2.

پاسخ: 4.

ب) راه حل این مثال طبق همان طرح انجام می شود. تنها تفاوت این است که هنگام ترسیم تابع y = |x 2 – 6|x| – 16| شما باید دو نمایشگر بسازید: نسبت به OX قسمت پایین نمودار و نسبت به OU - در سمت راست. اگر نمودار را به درستی رسم کنید، به راحتی 7 راه حل پیدا خواهید کرد:
a = 0; a = 1±; a = ± 2; a = 4±;

مثال 4.

نمودار مثلث درجه دوم y = ax 2 + (a – 3)x + a بالای محور x برای کدام مقادیر a قرار دارد؟

راه حل.

اجازه دهید استدلال زیر را انجام دهیم. نمودار یک مثلث درجه دوم فقط در صورتی بالای محور OX قرار می گیرد که شاخه های سهمی به سمت بالا هدایت شوند، یعنی.

a > 0 (*)، و سهمی محور OX را قطع نمی کند، یعنی. D< 0 или

(a – 3) 2 – 4a 2< 0 → (-a – 3)(3a – 3) < 0 → (a + 3)(3a – 3) >0 → a Є (-∞؛ -3) یا (1; ∞). با در نظر گرفتن شرط (*) یک Є (1; ∞) بدست می آوریم.

پاسخ: a Є (1؛ ∞).

مثال 5.

برای کدام مقادیر a نمودار مثلث درجه دوم y = ax 2 + (a – 3)x + a دو نقطه مشترک با قسمت مثبت محور OX دارد؟

راه حل.

بیایید به شرایط ضرایب نگاه کنیم: (شکل زیر را ببینید)

1. دو نقطه تقاطع با محور OX اگر
D > 0 → (a – 3)2 – 4a2 > 0

2. اگر انشعابات به سمت بالا و f(0) = a > 0 یا در حالتی که شاخه ها به سمت پایین و f(0) = a باشند، نقاط در یک سمت صفر خواهند بود.< 0

3. هر دو ریشه مثبت خواهند بود اگر مختصات x راس مثبت باشد، i.e. m = -(a – 3)/(2a) > 0.

بر اساس موارد فوق، شرایط ما به حل دو سیستم کاهش می یابد:

سیستم اول:

((a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
(a > 0،
(-(a – 3)/(2a) > 0

با ساده سازی، دریافت می کنیم:

((3a – 3)(a + 3)< 0,
(a > 0،
((الف - 3)< 0

(a Є (-3; 1)
(a Є (0; ∞)،
(a Є (-∞؛ 3)

و راه حل کلی سیستم a Є (0; 1).

سیستم دوم:

((a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
(آ< 0,
(-(a – 3)/(2a) > 0

با ساده سازی، دریافت می کنیم:

((3a – 3)(a + 3)< 0,
(آ< 0,
((a – 3) > 0

راه حل هر یک از نابرابری ها:

(a Є (-3; 1)
(a Є (-∞؛ 0)
(a Є (3; ∞)

و سیستم هیچ راه حلی ندارد

بنابراین ما سهمی دو نقطه مشترک با جهت مثبت محور OX دارد اگر پارامتر a Є (0؛ 1) باشد.

مثال 6.

ریشه های معادله 4a 2 x 2 – 8ax + 4 – 9a 2 = 0 برای چه مقادیری از 3 بیشتر است؟

نمودار سه جمله ای درجه دوم y = 4a 2 x 2 – 8ax + 4 – 9a 2 را در نظر بگیرید.

ما بر اساس مثال قبلی برنامه ای برای حل این کار خواهیم ساخت.

1. اگر D > 0 و a ≠ 0 باشد، دو نقطه تقاطع با محور OX بدست می آوریم.

2. شاخه ها در اینجا همیشه فقط به سمت بالا هدایت می شوند
(برای ≠ 0؛ 4a 2 > 0).

3. اگر f(3)> 0 باشد، نقاط در همان سمت 3 خواهند بود.
(36a 2 – 24a + 4 – 9a 2 > 0).

4. هر دو ریشه بزرگتر (در سمت راست) از سه خواهند بود اگر مختصات x راس بزرگتر (در سمت راست) از سه باشد، یعنی. m = 8a/(8a 2) > 3.

اگر از این شرایط به درستی استفاده کنید، پس پاسخ دریافت این: a Є (0; 2/9). آن را بررسی کنید.

امیدوارم اکنون برای خواننده روشن شود که چقدر مهم است که بتوان ویژگی های سهمی را در حل مسائل از این نوع به وضوح مشاهده کرد.

هنوز سوالی دارید؟ نمی دانید چگونه معادلات درجه دوم را حل کنید؟
برای کمک گرفتن از استاد راهنما، ثبت نام کنید.
درس اول رایگان است

وب سایت، هنگام کپی کردن مطالب به طور کامل یا جزئی، پیوند به منبع مورد نیاز است.

با فرمول $a((x)^(2))+bx+c$$(a\ne 0) تعریف شده است.$ اعداد $a، b$ و $c$ ضرایب یک مثلث درجه دوم هستند، آنها معمولاً به نام: الف - پیشرو، ب - ضریب دوم یا متوسط، ج - ترم آزاد. تابعی به شکل y = ax 2 + bx + c تابع درجه دوم نامیده می شود.

همه این سهمی ها راس خود را در مبدأ دارند. برای a > 0 این پایین ترین نقطه نمودار (کوچکترین مقدار تابع) و برای a است< 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.

همانطور که مشاهده می شود، برای a > 0 سهمی به سمت بالا هدایت می شود، برای a< 0 - вниз.

یک روش گرافیکی ساده و راحت وجود دارد که به شما امکان می دهد هر تعداد نقطه از سهمی y = ax 2 را بدون محاسبات بسازید، اگر نقطه ای از سهمی غیر از راس مشخص باشد. بگذارید نقطه M(x 0 , y 0) روی سهمی y = ax 2 قرار گیرد (شکل 2). اگر بخواهیم بین نقاط O و M n نقطه اضافی بسازیم، بخش ON از محور آبسیسا را ​​به n + 1 قسمت مساوی تقسیم می کنیم و در نقاط تقسیم بر محور Ox عمود می کشیم. قطعه NM را به همان تعداد قسمت مساوی تقسیم می کنیم و نقاط تقسیم را با پرتوها به مبدا مختصات متصل می کنیم. نقاط مورد نیاز سهمی در محل تلاقی عمودها و پرتوهایی با اعداد یکسان قرار دارند (در شکل 2 تعداد نقاط تقسیم 9 است).

نمودار تابع y = ax 2 + bx + c تنها در موقعیت خود با نمودار y = ax 2 متفاوت است و به سادگی با حرکت منحنی روی نقشه بدست می آید. این از نمایش سه جمله ای درجه دوم در شکل به دست می آید

که از آن به راحتی می توان نتیجه گرفت که نمودار تابع y = ax 2 + bx + c یک سهمی است y = ax 2 که راس آن به نقطه منتقل می شود.

و محور تقارن آن موازی با محور Oy باقی ماند (شکل 3). از عبارت به دست آمده برای یک مثلث درجه دوم، تمام ویژگی های اصلی آن به راحتی دنبال می شود. عبارت D = b 2 − 4ac ممیز محور سه جملهی درجه دوم 2 + bx + c و ممیز معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 نامیده می شود. علامت ممیز تعیین می کند که آیا نمودار سه جمله ای درجه دوم محور x را قطع می کند یا در همان سمت او قرار می گیرد. یعنی اگر D< 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a >0، آنگاه سهمی بالای محور Ox قرار دارد و اگر a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 نمودار یک مثلث درجه دوم محور x را در دو نقطه x 1 و x 2 قطع می کند که به ترتیب ریشه های معادله درجه دوم ax 2 + bx + c = 0 و برابر هستند.

در D = 0 سهمی محور Ox را در نقطه لمس می کند

ویژگی های مثلث درجه دوم اساس حل نابرابری های درجه دوم را تشکیل می دهند. اجازه دهید این موضوع را با یک مثال توضیح دهیم. فرض کنید باید همه راه حل های نابرابری 3x 2 - 2x - 1 را پیدا کنیم.< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0، سپس معادله درجه دوم متناظر 3x 2 − 2x − 1 = 0 دارای دو ریشه متفاوت است، آنها با فرمول های قبلی تعیین می شوند:

x 1 = -1/3 و x 2 = 1.

در سه جمله درجه دوم a = 3 > 0، به این معنی که شاخه های نمودار آن به سمت بالا هدایت می شوند و مقادیر سه جمله درجه دوم فقط در فاصله بین ریشه ها منفی است. بنابراین، همه راه حل های نابرابری شرط را برآورده می کنند

−1/3 < x < 1.

نابرابری های مختلف را می توان با همان جانشینی هایی که معادلات مختلف به معادلات درجه دوم کاهش می دهند، به نابرابری های درجه دوم کاهش داد.