آموزش عمومی متوسطه

خط UMK G.K. موراوین. جبر و شروع تحلیل ریاضی (10-11) (عمیق)

خط UMK Merzlyak. جبر و شروع تحلیل (10-11) (U)

ریاضی

آمادگی برای آزمون در ریاضیات (سطح مشخصات): وظایف ، راه حل ها و توضیحات

ما وظایف را تجزیه و تحلیل می کنیم و مثال ها را با یک معلم حل می کنیم

کار معاینه در سطح نمایه 3 ساعت و 55 دقیقه (235 دقیقه) طول می کشد.

حداقل آستانه - 27 امتیاز.

مقاله امتحان از دو قسمت تشکیل شده است که از نظر محتوا ، پیچیدگی و تعداد وظایف متفاوت است.

ویژگی تعیین کننده هر قسمت از کار ، شکل وظایف است:

• قسمت 1 شامل 8 وظیفه (وظایف 1-8) با یک پاسخ کوتاه به شکل یک عدد صحیح یا کسر اعشاری نهایی است.
• قسمت 2 شامل 4 وظیفه (وظایف 9-12) با پاسخ کوتاه به شکل عدد صحیح یا کسر اعشاری نهایی و 7 وظیفه (وظایف 13-19) با پاسخ دقیق (ثبت کامل تصمیم با توجیه اقدامات انجام شده) است.

پانوا سوتلانا آناتولیوا، معلم ریاضیات عالی ترین گروه مدرسه ، تجربه کاری 20 سال:

"برای دریافت گواهینامه مدرسه ، یک فارغ التحصیل باید دو آزمون اجباری را در قالب آزمون دولتی واحد بگذراند ، یکی از آنها ریاضیات است. مطابق با مفهوم توسعه آموزش ریاضی در فدراسیون روسیه ، آزمون دولتی واحد در ریاضیات به دو سطح مقدماتی و تخصصی تقسیم می شود. امروز گزینه هایی را برای سطح نمایه بررسی خواهیم کرد. "

وظیفه شماره 1 - توانایی شرکت کنندگان در USE را برای استفاده از مهارت های به دست آمده در دوره 5-9 پایه در ریاضیات ابتدایی در فعالیت های عملی آزمایش می کند. شرکت کننده باید مهارت های محاسباتی داشته باشد ، بتواند با اعداد منطقی کار کند ، بتواند کسرهای اعشاری را گرد کند ، بتواند یک واحد اندازه گیری را به واحد دیگر تبدیل کند.

مثال 1 در آپارتمانی که پیتر در آن زندگی می کند ، یک کنتور آب سرد (متر) نصب شد. در اول ماه مه ، متر مصرف 172 متر مکعب را نشان داد. متر آب ، و در 1 ژوئن - 177 متر مکعب. متر اگر پیتر برای آب سرد در ماه مه چه مقدار باید پرداخت کند ، اگر قیمت 1 متر مکعب باشد. متر آب سرد 34 روبل 17 کپی است؟ پاسخ خود را به روبل بدهید.

تصمیم:

1) مقدار آب مصرفی در ماه را پیدا کنید:

177 - 172 \u003d 5 (متر مکعب)

2) بیایید دریابیم که برای آب مصرفی چه مقدار پول پرداخت می شود:

34.17 5 \u003d 170.85 (مالش)

پاسخ: 170,85.

وظیفه شماره 2-یکی از ساده ترین کارهای امتحان است. اکثر فارغ التحصیلان با موفقیت کنار می آیند و این نشان می دهد که آنها در تعریف مفهوم عملکرد تسلط دارند. نوع کار شماره 2 با توجه به رمزگذار نیازها وظیفه استفاده از دانش و مهارت های به دست آمده در فعالیت های عملی و زندگی روزمره است. وظیفه شماره 2 شامل توصیف با استفاده از توابع روابط واقعی مختلف بین مقادیر و تفسیر نمودارهای آنها است. وظیفه شماره 2 توانایی استخراج اطلاعات ارائه شده در جداول ، نمودارها ، نمودارها را آزمایش می کند. فارغ التحصیلان باید بتوانند مقدار یک تابع را با مقدار آرگومان از طرق مختلف تعریف یک تابع تعیین کنند و رفتار و خصوصیات یک تابع را با نمودار آن توصیف کنند. همچنین لازم است که بتوان بزرگترین یا کمترین مقدار را روی نمودار تابع پیدا کرد و نمودارهای توابع مورد مطالعه را ساخت. اشتباهات انجام شده در خواندن بیانیه مسئله ، خواندن نمودار تصادفی است.

# تبلیغات_INSERT #

مثال 2 این رقم تغییر در ارزش بازار یک سهم یک شرکت استخراج در نیمه اول آوریل 2017 را نشان می دهد. در 7 آوریل ، تاجر 1000 سهام این شرکت را به دست آورد. در 10 آوریل ، او سه چهارم سهام خریداری شده را فروخت و در 13 آوریل ، بقیه سهام را فروخت. تاجر در نتیجه این عملیات چقدر ضرر کرد؟

تصمیم:

2) 1000 3/4 \u003d 750 (سهام) - 3/4 از کل سهام خریداری شده را تشکیل می دهد.

6) 247500 + 77500 \u003d 325000 (روبل) - تاجر پس از فروش 1000 سهم دریافت کرده است.

7) 340،000 - 325،000 \u003d 15،000 (روبل) - تاجر در نتیجه تمام عملیات از دست رفته است.

پاسخ: 15000.

وظیفه شماره 3- تخصیص سطح اولیه قسمت اول است ، توانایی انجام اقدامات با اشکال هندسی را با توجه به محتوای دوره "Planimetry" آزمایش می کند. در وظیفه 3 ، توانایی محاسبه مساحت یک شکل روی کاغذ چهارخانه ، توانایی محاسبه اندازه گیری درجه زاویه ها ، محاسبه محیط ها و ... آزمایش شده است.

مثال 3 مساحت یک مستطیل را که روی کاغذ چهارخانه با اندازه سلول 1 سانتی متر در 1 سانتی متر نشان داده شده پیدا کنید (شکل را ببینید). پاسخ خود را در سانتی متر مربع بدهید.

تصمیم: برای محاسبه مساحت یک شکل داده شده ، می توانید از فرمول Pick استفاده کنید:

برای محاسبه مساحت این مستطیل ، از فرمول Pick استفاده خواهیم کرد:

S \u003d B +	د
	2

بنابراین جایی که B \u003d 10 ، G \u003d 6 است

S = 18 +	6
	2

پاسخ: 20.

همچنین نگاه کنید به: آزمون دولتی واحد در فیزیک: حل مسائل نوسان

وظیفه شماره 4 - وظیفه دوره "نظریه احتمالات و آمار". توانایی محاسبه احتمال یک واقعه در ساده ترین شرایط مورد آزمایش قرار می گیرد.

مثال 4 5 نقطه قرمز و 1 آبی روی دایره مشخص شده است. مشخص کنید که چند ضلعی بیشتر است: آنهایی که تمام رئوس آنها قرمز است یا آنهایی که یکی از رأس ها به رنگ آبی هستند. در پاسخ خود ، مشخص کنید که تعداد برخی از آنها بیشتر از سایرین است.

تصمیم: 1) ما از فرمول تعداد ترکیبات از استفاده می کنیم n عناصر توسط ک:

که در آن تمام رئوس قرمز است.

3) یک پنج ضلعی با تمام رئوس قرمز.

4) 10 + 5 + 1 \u003d 16 چند ضلعی با تمام رئوس قرمز.

رئوس آن قرمز یا با یک راس آبی است.

رئوس آن قرمز یا با یک راس آبی است.

8) یک شش ضلعی ، با قله های قرمز با یک قله آبی.

9) 20 + 15 + 6 + 1 \u003d 42 چند ضلعی که همه رئوس آنها قرمز یا با یک راس آبی هستند.

10) 42 - 16 \u003d 26 چند ضلعی با استفاده از نقطه آبی.

11) 26 - 16 \u003d 10 چند ضلعی - چند ضلعی با یکی از رئوس - یک نقطه آبی ، بیشتر از چند ضلعی فقط با رئوس قرمز است.

پاسخ: 10.

وظیفه شماره 5 - سطح پایه قسمت اول توانایی حل ساده ترین معادلات (غیر منطقی ، نمایی ، مثلثاتی ، لگاریتمی) را آزمایش می کند.

مثال 5 معادله 2 3 + را حل کنید ایکس \u003d 0.4 5 3 + ایکس .

تصمیم گیری هر دو طرف این معادله را بر 5 3 + تقسیم کنید ایکس 0 پوند ، دریافت می کنیم

2 3 + ایکس	\u003d 0.4 یا		2		3 + ایکس	=	2	,
5 3 + ایکس			5				5

از آنجا نتیجه می گیرد که 3 + ایکس = 1, ایکس = –2.

پاسخ: –2.

وظیفه شماره 6 در برنامه سنجی برای یافتن مقادیر هندسی (طول ها ، زاویه ها ، مساحت) ، مدلسازی موقعیت های واقعی در زبان هندسه. تحقیق در مورد مدلهای ساخته شده با استفاده از مفاهیم هندسی و قضیه ها. قاعدتاً منشأ دشواری ها ، ناآگاهی یا کاربرد نادرست قضیه های ضروری برنامه ریزی است.

مساحت یک مثلث ABC برابر است با 129. DE - خط میانی به موازات کنار AB... ناحیه ذوزنقه را پیدا کنید تختخواب.

تصمیم گیری مثلث CDE مثل مثلث تاکسی در دو گوشه ، از زاویه اوج ج عمومی ، زاویه CDE برابر با زاویه تاکسی به عنوان زوایای مربوطه در DE || AB منفرد AC... مانند DE - خط میانی مثلث بر اساس شرط ، سپس توسط ویژگی خط میانی | DE = (1/2)AB... این بدان معنی است که ضریب تشابه 5/0 است. بنابراین ناحیه های این ارقام به عنوان مربع ضریب تشابه مرتبط هستند

از این رو ، S ABED = S Δ ABC – S Δ CDE = 129 – 32,25 = 96,75.

وظیفه شماره 7- کاربرد مشتق را برای مطالعه عملکرد بررسی می کند. برای اجرای موفقیت آمیز ، دانش معنادار و غیررسمی از مفهوم مشتق مورد نیاز است.

مثال 7 به نمودار عملکرد بروید بله = f(ایکس) در نقطه با ابریسسا ایکس 0 یک مماس کشیده می شود که عمود بر خط مستقیم است که از نقاط (4؛ 3) و (3؛ –1) این نمودار عبور می کند. پیدا کردن f′( ایکس 0).

تصمیم گیری 1) اجازه دهید از معادله یک خط مستقیم که از دو نقطه مشخص عبور می کند استفاده کنیم و معادله یک خط مستقیم که از نقاط (4؛ 3) و (3؛ –1) عبور می کند را پیدا کنیم.

(بله – بله 1)(ایکس 2 – ایکس 1) = (ایکس – ایکس 1)(بله 2 – بله 1)

(بله – 3)(3 – 4) = (ایکس – 4)(–1 – 3)

(بله – 3)(–1) = (ایکس – 4)(–4)

–بله + 3 = –4ایکس + 16 | · (-1)

بله – 3 = 4ایکس – 16

بله = 4ایکس - 13 ، کجا ک 1 = 4.

2) شیب مماس را پیدا کنید ک 2 که عمود بر خط مستقیم است بله = 4ایکس - 13 ، کجا ک 1 \u003d 4 ، طبق فرمول:

3) شیب مماس مشتق تابع در نقطه مماس است. از این رو ، f′( ایکس 0) = ک 2 = –0,25.

پاسخ: –0,25.

وظیفه شماره 8- دانش شرکت کنندگان در آزمون از استریومتری ابتدایی ، توانایی استفاده از فرمول برای پیدا کردن مناطق سطوح و حجم ارقام ، زاویه های دو طرفه ، مقایسه حجم اشکال مشابه را آزمایش می کند تا بتواند با شکل های هندسی ، مختصات و بردارها و غیره عمل کند.

حجم مکعب توصیف شده در اطراف کره 216 است. شعاع کره را پیدا کنید.

تصمیم گیری 1) V مکعب \u003d آ 3 (کجا و بنابراین طول لبه مکعب است)

و 3 = 216

و = 3 √216

2) از آنجا که کره در یک مکعب نوشته شده است ، به این معنی است که طول قطر کره برابر با طول لبه مکعب است ، بنابراین د = آ, د = 6, د = 2R, R = 6: 2 = 3.

وظیفه شماره 9 - مهارت های تبدیل و ساده سازی عبارات جبری را از فارغ التحصیلان می خواهد. وظیفه شماره 9 افزایش سطح دشواری با یک پاسخ کوتاه. وظایف بخش "محاسبات و تحولات" در آزمون به چند نوع تقسیم می شوند:

تبدیل عبارات منطقی عددی ؛

تبدیل عبارات و کسرهای جبری.

تبدیل عبارات غیر منطقی عددی / الفبایی ؛

اقدامات با درجه ؛

تبدیل عبارات لگاریتمی ؛

1. تبدیل عبارات مثلثاتی عددی / الفبایی.

مثال 9 اگر مشخص است که cos2α \u003d 0.6 و. tgα را محاسبه کنید

3π	< α < π.
4

تصمیم گیری 1) ما از فرمول استدلال دوگانه استفاده خواهیم کرد: cos2α \u003d 2 cos 2 α - 1 و پیدا کنید

tg 2 α \u003d	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

از این رو ، tg 2 α \u003d ± 0.5.

3) به شرط

3π	< α < π,
4

از این رو ، α زاویه سه ماهه دوم و tgα است< 0, поэтому tgα = –0,5.

پاسخ: –0,5.

# تبلیغات_INSERT # وظیفه شماره 10- توانایی دانش آموزان را برای استفاده از دانش و مهارت های اولیه به دست آمده در عمل و زندگی روزمره آزمایش می کند. می توانیم بگوییم که اینها مشکلات در فیزیک است ، و نه در ریاضیات ، اما همه فرمول ها و کمیت های لازم در شرط آورده شده اند. وظایف به حل یک معادله خطی یا درجه دوم ، یا یک نابرابری خطی یا درجه دوم کاهش می یابد. بنابراین لازم است که بتوان چنین معادلات و نابرابری هایی را حل کرد و جواب را تعیین کرد. پاسخ باید یک عدد صحیح باشد یا کسری اعشاری نهایی.

دو بدن با وزن متر \u003d هر کدام 2 کیلوگرم ، با همان سرعت حرکت می کنند v \u003d 10 متر بر ثانیه با زاویه 2α نسبت به یکدیگر. انرژی (بر حسب ژول) که در هنگام برخورد کاملاً غیر الاستیک آزاد می شود ، با بیان تعیین می شود س = mv 2 گناه 2 α. کوچکترین زاویه 2α (در درجه) باید بدن حرکت کند تا در نتیجه برخورد حداقل 50 ژول آزاد شود؟
تصمیم گیری برای حل مسئله ، باید نابرابری Q ≥ 50 ، در فاصله 2α ∈ (0 درجه ؛ 180 درجه) را حل کنیم.

mv 2 گناه 2 α ≥ 50

2 10 2 گناه 2 α ≥ 50

200 گناه 2 α ≥ 50

از آنجا که α ∈ (0 درجه ؛ 90 درجه) ، ما فقط حل خواهیم کرد

بیایید راه حل نابرابری را به صورت گرافیکی نشان دهیم:

از آنجا که با شرط α ∈ (0 درجه ؛ 90 درجه) ، به معنی 30 درجه α است< 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

وظیفه شماره 11 - معمولی است ، اما برای دانشجویان دشوار است. منبع اصلی دشواری ساختن یک مدل ریاضی (نوشتن معادله) است. وظیفه شماره 11 توانایی حل مسائل کلمه ای را آزمایش می کند.

مثال 11 در طول تعطیلات بهاری ، واسیای 11 کلاسه مجبور شد 560 مشکل آموزشی را برای آماده سازی برای امتحان دولت واحد حل کند. در 18 مارس ، در آخرین روز مدرسه ، واسیا 5 مشکل را حل کرد. سپس ، هر روز ، همان تعداد کار را بیشتر از روز قبل حل می کرد. تعیین کنید که واسیا در 2 آوریل در آخرین روز تعطیلات چه مشکلی را حل کرده است.

تصمیم: ما نشان می دهیم آ 1 \u003d 5 - تعداد وظایفی که واسیا در 18 مارس حل کرد ، د - تعداد روزانه وظایف حل شده توسط Vasya ، n \u003d 16 - تعداد روزهای 18 مارس تا 2 آوریل ، S 16 \u003d 560 - تعداد کل وظایف ، آ 16 - تعداد مشکلاتی که واسیا در 2 آوریل حل کرد. با دانستن اینکه واسیا هر روز به همان تعداد نسبت به روز قبل تعداد مشابهی را حل می کند ، بنابراین می توانید از فرمول های یافتن مجموع یک پیشرفت حساب استفاده کنید:

560 = (5 + آ 16) 8 ،

5 + آ 16 = 560: 8,

5 + آ 16 = 70,

آ 16 = 70 – 5

آ 16 = 65.

پاسخ: 65.

وظیفه شماره 12- توانایی دانش آموزان برای انجام اقدامات با توابع را امتحان کنید ، قادر به استفاده از مشتق در مطالعه یک تابع باشید.

حداکثر نقطه یک تابع را پیدا کنید بله \u003d 10ln ( ایکس + 9) – 10ایکس + 1.

تصمیم: 1) دامنه عملکرد را پیدا کنید: ایکس + 9 > 0, ایکس \u003e –9 ، یعنی x ∈ (–9؛ ∞).

2) مشتق تابع را پیدا کنید:

4) نقطه یافت شده مربوط به فاصله (–9؛ ∞) است. بگذارید علائم مشتق تابع را تعیین کنیم و رفتار عملکرد را در شکل نشان دهیم:

در جستجوی حداکثر امتیاز ایکس = –8.

بارگیری رایگان یک برنامه کاری در ریاضیات برای خط روشهای تدریس G.K. موراوینا ، K.S. موراوینا ، او. موراوینا 10-11 بارگیری کمک آموزشی رایگان در جبر

وظیفه شماره 13افزایش سطح دشواری با یک پاسخ دقیق ، که توانایی حل معادلات را آزمایش می کند ، با موفقیت ترین حل در میان وظایف با پاسخ دقیق افزایش سطح پیچیدگی.

الف) معادله 2log 3 2 (2cos) را حل کنید ایکس) - 5log 3 (2cos) ایکس) + 2 = 0

ب) تمام ریشه های این معادله را که متعلق به بخش هستند پیدا کنید.

تصمیم: الف) اجازه دهید 3 (2 پوند) وارد شود ایکس) = تی، سپس 2 تی 2 – 5تی + 2 = 0,

	ورود به سیستم 3 (2 دوره) ایکس) =	2	⇔		2cos ایکس = 9	⇔		کوس ایکس =	4,5	... از آنجا که | جهان ایکس| ≤ 1,
	ورود به سیستم 3 (2 دوره) ایکس) =	1			2cos ایکس = √3			کوس ایکس =	√3
		2							2

سپس cos ایکس =	√3
	2

	ایکس =	π	+ 2π ک
		6
	ایکس = –	π	+ 2π ک, ک ∈ ز
		6

ب) ریشه هایی را که روی قطعه قرار دارند پیدا کنید.

شکل نشان می دهد که ریشه ها

11π	و	13π	.
6		6

پاسخ: و)	π	+ 2π ک; –	π	+ 2π ک, ک ∈ ز؛ ب)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

وظیفه شماره 14- سطح پیشرفته به وظایف قسمت دوم با پاسخ دقیق اشاره دارد. این وظیفه توانایی انجام اقدامات با اشکال هندسی را آزمایش می کند. این کار شامل دو مورد است. در پاراگراف اول باید تکلیف اثبات شود و در پاراگراف دوم باید محاسبه شود.

قطر محیط قاعده استوانه 20 است ، ژنراتور سیلندر 28 است. صفحه با آکوردهای طول 12 و 16 پایه خود را قطع می کند. فاصله بین آکوردها 2√197 است.

الف) ثابت کنید که مراکز پایه های استوانه در یک طرف این صفحه قرار دارد.

ب) زاویه بین این صفحه و صفحه قاعده استوانه را پیدا کنید.

تصمیم: الف) یک وتر با طول 12 در فاصله \u003d 8 از مرکز دایره پایه قرار دارد و یک وتر با طول 16 ، به طور مشابه ، در فاصله 6. بنابراین فاصله بین پیش بینی های آنها بر روی صفحه ای موازی با پایه های استوانه ها یا 8 + 6 \u003d 14 یا 8 است - 6 \u003d 2

سپس فاصله بین آکورد ها هر دو است

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

با فرضیه ، مورد دوم محقق شد ، که در آن پیش بینی آکوردها در یک طرف محور استوانه قرار دارد. این بدان معنی است که محور این صفحه را درون استوانه قطع نمی کند ، یعنی پایه ها در یک طرف آن قرار دارند. آنچه برای اثبات لازم بود.

ب) بیایید مراکز پایگاه ها را برای O 1 و O 2 تعیین کنیم. اجازه دهید ما از مرکز پایه با وتر به طول 12 تا اواسط عمود بر این وتر (همانطور که قبلا ذکر شد طول آن 8 است) و از مرکز پایه دیگر به وتر دیگر رسم کنیم. آنها در یک صفحه β ، عمود بر این آکوردها قرار دارند. ما نقطه میانی وتر کوچکتر B را بیشتر از A و فرافکنی A را به پایه دوم H (H ∈ β) می نامیم. سپس AB ، AH ∈ β و بنابراین AB ، AH عمود بر وتر هستند ، یعنی خط تقاطع پایه با صفحه داده شده.

از این رو ، زاویه مورد نیاز است

∠ABH \u003d arctg	ق	\u003d arctg	28	\u003d arctg14.
	BH		8 – 6

وظیفه شماره 15 - افزایش سطح دشواری با یک پاسخ دقیق ، توانایی حل نابرابری ها را آزمایش می کند ، که با موفقیت بیشتر در میان کارها با پاسخ دقیق افزایش سطح پیچیدگی حل می شود.

مثال 15 حل نابرابری | ایکس 2 – 3ایکس| ورود به سیستم 2 ( ایکس + 1) ≤ 3ایکس – ایکس 2 .

تصمیم: دامنه این نابرابری فاصله است (–1 ؛ + ∞). سه مورد را جداگانه در نظر بگیرید:

1) اجازه دهید ایکس 2 – 3ایکس \u003d 0 ، یعنی ایکس\u003d 0 یا ایکس \u003d 3. در این حالت ، این نابرابری درست می شود ، بنابراین ، این مقادیر در راه حل گنجانده شده است.

2) حالا اجازه دهید ایکس 2 – 3ایکس \u003e 0 ، یعنی ایکس ∈ (–1؛ 0) ∪ (3؛ + ∞). علاوه بر این ، این نابرابری می تواند به عنوان ( ایکس 2 – 3ایکس) ورود به سیستم 2 ( ایکس + 1) ≤ 3ایکس – ایکس 2 و تقسیم بر مثبت ایکس 2 – 3ایکس... ورود به سیستم 2 ( ایکس + 1) ≤ –1, ایکس + 1 ≤ 2 –1 , ایکس 0.5 ≤ -1 یا ایکس ≤ –0.5. با در نظر گرفتن دامنه تعریف ، ما داریم ایکس ∈ (–1; –0,5].

3) در آخر ، در نظر بگیرید ایکس 2 – 3ایکس < 0, при этом ایکس ∈ (0؛ 3). در این حالت ، نابرابری اصلی به صورت (3 بازنویسی می شود) ایکس – ایکس 2) ورود به سیستم 2 ( ایکس + 1) ≤ 3ایکس – ایکس 2 بعد از تقسیم با بیان مثبت 3 ایکس – ایکس 2 ، ما ورود به سیستم 2 ( ایکس + 1) ≤ 1, ایکس + 1 ≤ 2, ایکس ≤ 1. با در نظر گرفتن منطقه ، ما داریم ایکس ∈ (0; 1].

با ترکیب راه حل های به دست آمده ، به دست می آوریم ایکس ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

پاسخ: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

وظیفه شماره 16- سطح پیشرفته به وظایف قسمت دوم با پاسخ دقیق اشاره دارد. این وظیفه توانایی انجام اقدامات با اشکال هندسی ، مختصات و بردارها را آزمایش می کند. این کار شامل دو مورد است. در پاراگراف اول باید تکلیف اثبات شود و در پاراگراف دوم باید محاسبه شود.

نیمساز BD در یک مثلث متساویل ABC با زاویه 120 درجه در راس A رسم شده است. مستطیل DEFH در مثلث ABC نقش بسته است به طوری که ضلع FH روی قطعه BC قرار دارد و راس E روی قطعه AB قرار دارد. الف) ثابت کنید که FH \u003d 2DH. ب) اگر AB \u003d 4 مساحت مستطیل DEFH را پیدا کنید.

تصمیم: و)

1) ΔBEF - مستطیل ، EF⊥BC ، ∠B \u003d (180 درجه - 120 درجه): 2 \u003d 30 درجه ، سپس EF \u003d BE توسط خاصیت پا ، که در مقابل زاویه 30 درجه قرار دارد.

2) اجازه دهید EF \u003d DH \u003d ایکس، سپس BE \u003d 2 ایکس، BF \u003d ایکس√3 توسط قضیه فیثاغورث.

3) از آنجا که ΔABC متساوی است ، به این معنی است که ∠B \u003d ∠C \u003d 30˚.

BD نیمساز ∠B است ، بنابراین ∠ABD \u003d ∠DBC \u003d 15˚.

4) ΔDBH را در نظر بگیرید - از آنجا که مستطیل است DH⊥BC

2ایکس	=	4 – 2ایکس
2ایکس(√3 + 1)		4

1	=	2 – ایکس
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – ایکس

ایکس = 3 – √3

EF \u003d 3 - √3

2) S DEFH \u003d ED EF \u003d (3 - √3) 2 (3 - √3)

S DEFH \u003d 24 - 12√3.

پاسخ: 24 – 12√3.

وظیفه شماره 17 - یک کار با پاسخ دقیق ، این وظیفه استفاده از دانش و مهارت در فعالیت های عملی و زندگی روزمره ، توانایی ساخت و کشف مدل های ریاضی را آزمایش می کند. این انتساب یک مشکل متن با محتوای اقتصادی است.

مثال 17 مبلغ 20 میلیون روبل برای این مدت سپرده گذاری شده است. در پایان هر سال ، بانک سپرده خود را نسبت به اندازه ابتدای سال خود ، 10 درصد افزایش می دهد. بعلاوه ، در آغاز سالهای سوم و چهارم ، سپرده گذار سالانه ودیعه را مجدداً جبران می کند ایکس میلیون روبل ، کجا ایکس - کامل عدد. بزرگترین مقدار را پیدا کنید ایکس، که در آن بانک سپرده در مدت چهار سال کمتر از 17 میلیون روبل را شارژ می کند.

تصمیم: در پایان سال اول ، مشارکت 20 + 20 · 0.1 \u003d 22 میلیون روبل خواهد بود و در پایان سال دوم - 22 + 22 · 0.1 \u003d 24.2 میلیون روبل. در آغاز سال سوم ، کمک (در میلیون روبل) (24.2+) خواهد بود ایکس) ، و در پایان - (24،2+) ایکس) + (24,2 + ایکس) 0.1 \u003d (26.62 + 1.1 ایکس) در آغاز سال چهارم ، سهم (26.62 + 2.1) خواهد بود ایکس)، و در پایان - (26.62 + 2.1.) ایکس) + (26,62 + 2,1ایکس) 0.1 \u003d (29.282 + 2.31 ایکس) با فرضیه ، شما باید بزرگترین عدد صحیح x را پیدا کنید که نابرابری برای آن داشته باشد

(29,282 + 2,31ایکس) – 20 – 2ایکس < 17

29,282 + 2,31ایکس – 20 – 2ایکس < 17

0,31ایکس < 17 + 20 – 29,282

0,31ایکس < 7,718

ایکس <	7718
	310

ایکس <	3859
	155

ایکس < 24	139
	155

بزرگترین راه حل صحیح برای این نابرابری 24 است.

پاسخ: 24.

وظیفه شماره 18 - وظیفه افزایش سطح پیچیدگی با پاسخ دقیق. این وظیفه برای انتخاب رقابتی دانشگاههایی با افزایش نیاز به آموزش ریاضی متقاضیان در نظر گرفته شده است. وظیفه ای با سطح پیچیدگی بالا وظیفه ای است که برای استفاده از یک روش راه حل نیست ، بلکه برای ترکیبی از روش های مختلف است. برای انجام موفقیت آمیز وظیفه 18 ، علاوه بر دانش جامع ریاضی ، سطح بالایی از فرهنگ ریاضی نیز مورد نیاز است.

تحت چه آ سیستم نابرابری ها

	ایکس 2 + بله 2 ≤ 2ای – آ 2 + 1
	بله + آ ≤ |ایکس| – آ

دقیقاً دو راه حل دارد؟

تصمیم: این سیستم را می توان دوباره نوشت

	ایکس 2 + (بله– آ) 2 ≤ 1
	بله ≤ |ایکس| – آ

اگر روی صفحه مجموعه ای از اولین نابرابری ها را ترسیم کنیم ، فضای داخلی دایره (با مرز) شعاع 1 را در مرکز (0 ، و) مجموعه راه حل های نابرابری دوم بخشی از صفحه است که در زیر نمودار تابع قرار دارد بله = | ایکس| – آ, و دومی نمودار تابع است
بله = | ایکس| تغییر توسط و... راه حل این سیستم تقاطع مجموعه های راه حل برای هر یک از نابرابری ها است.

در نتیجه ، این سیستم فقط در مورد نشان داده شده در شکل ، دو راه حل خواهد داشت. 1

نقاط مماس دایره با خطوط مستقیم دو راه حل سیستم خواهد بود. هر یک از خطوط مستقیم با زاویه 45 درجه به محورها متمایل می شوند. بنابراین مثلث PQR - متقارن مستطیل. نقطه س مختصات دارد (0 ، و) ، و نکته R - مختصات (0 ، - و) علاوه بر این ، بخشها روابط عمومی و PQ برابر با شعاع دایره برابر با 1. از این رو ،

QR= 2آ = √2, آ =	√2	.
	2

پاسخ: آ =	√2	.
	2

وظیفه شماره 19- وظیفه افزایش سطح پیچیدگی با پاسخ دقیق. این وظیفه برای انتخاب رقابتی دانشگاههایی با افزایش نیاز به آموزش ریاضی متقاضیان در نظر گرفته شده است. وظیفه ای با سطح پیچیدگی بالا وظیفه ای است که برای استفاده از یک روش راه حل نیست ، بلکه برای ترکیبی از روش های مختلف است. برای انجام موفقیت آمیز وظیفه 19 ، لازم است که بتوانید راه حل را جستجو کنید ، روشهای مختلفی را از بین شناخته شده ، روشهای مطالعه شده را اصلاح کنید.

بگذار Sn جمع پ اعضای پیشرفت حسابی ( a n) مشخص است که S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

الف) فرمول را مشخص کنید پعضو این پیشرفت.

ب) کمترین جمع مدول را پیدا کنید S n.

ج) کوچکترین را پیدا کنید پکه در آن S n مربع یک عدد صحیح خواهد بود.

تصمیم گیری: الف) بدیهی است که a n = S n – S n - 1 با استفاده از این فرمول:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n+ 27

به معنای a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

ب) از آنجا که S n = 2n 2 – 25n، سپس عملکرد را در نظر بگیرید S(ایکس) = | 2ایکس 2 – 25x |... نمودار آن در شکل دیده می شود.

بدیهی است که کمترین مقدار در نقاط صحیح که نزدیکترین آنها به صفرهای تابع است ، حاصل می شود. بدیهی است که اینها نکاتی است ایکس= 1, ایکس\u003d 12 و ایکس\u003d 13. از آنجا که ، S(1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S(12) = |S 12 | \u003d | 2 · 144 - 25 · 12 | \u003d 12 ، S(13) = |S 13 | \u003d | 2 169 - 25 13 | \u003d 13 ، سپس کمترین مقدار 12 است.

ج) از نکته قبلی نتیجه می شود که Sn مثبت شروع از n \u003d 13. از آنجا که S n = 2n 2 – 25n = n(2n - 25) ، سپس مورد واضح هنگامی که این عبارت یک مربع کامل است ، در آن تحقق می یابد n = 2n - 25 ، یعنی ، در پ= 25.

برای بررسی مقادیر از 13 تا 25 باقی مانده است:

S 13 \u003d 13 1 ، S 14 \u003d 14 3 ، S 15 \u003d 15 5 ، S 16 \u003d 16 7 ، S 17 \u003d 17 9 ، S 18 \u003d 18 11 ، S 19 \u003d 19 13 ، S 20 \u003d 20 13 ، S 21 \u003d 21 17 ، S 22 \u003d 22 19 ، S 23 \u003d 2321 ، S 24 \u003d 24 23.

به نظر می رسد که برای مقادیر کوچکتر پ مربع کامل به دست نمی آید.

پاسخ: و) a n = 4n - 27 ب) 12؛ ج) 25

________________

* از ماه مه سال 2017 ، گروه انتشارات مشترک DROFA-VENTANA بخشی از شرکت کتاب های درسی روسیه است. این شرکت همچنین شامل انتشارات Astrel و بستر آموزشی دیجیتال LECTA است. الکساندر بریچکین ، فارغ التحصیل آکادمی مالی تحت دولت فدراسیون روسیه ، دکترای اقتصاد ، رئیس پروژه های ابتکاری انتشارات DROFA در زمینه آموزش دیجیتال (فرم های الکترونیکی کتاب های درسی ، مدرسه الکترونیکی روسیه ، سکوی آموزشی دیجیتال LECTA) به عنوان مدیر کل منصوب شد. وی پیش از پیوستن به انتشارات DROFA ، سمت معاون توسعه استراتژیک و سرمایه گذاری رئیس انتشارات EKSMO-AST را بر عهده داشت. امروز شرکت چاپ و نشر "کتاب درسی روسیه" دارای بزرگترین نمونه کتابهای درسی موجود در فهرست فدرال است - 485 عنوان (تقریباً 40٪ ، به استثنای کتابهای درسی برای یک مدرسه خاص). انتشارات این شرکت مجموعه ای از کتابهای درسی در زمینه فیزیک ، نقاشی ، زیست شناسی ، شیمی ، فناوری ، جغرافیا ، نجوم - حوزه های دانش مورد نیاز برای توسعه پتانسیل تولید کشور ، در مشهورترین مدارس روسیه دارند. نمونه کارهای این شرکت شامل کتابهای درسی دبستان و کمک آموزشی است که جایزه آموزش رئیس جمهور را دریافت کرده اند. اینها کتابهای درسی و کتابچه های راهنما در زمینه های موضوعی است که برای توسعه پتانسیل های علمی ، فنی و تولید روسیه لازم است.

در ریاضیات سطح نمایه در سال 2019 هیچ تغییری در USE ایجاد نشده است - برنامه امتحان ، مانند سال های گذشته ، از مواد رشته های ریاضی پایه تشکیل شده است. بلیط ها شامل مسائل ریاضی ، هندسی و جبری خواهند بود.

هیچ تغییری در KIM USE 2019 در ریاضیات از سطح مشخصات وجود ندارد.

ویژگی های تکالیف استفاده در ریاضیات -2019

• هنگام آماده شدن برای آزمون در ریاضیات (مشخصات) ، به الزامات اساسی برنامه آزمون توجه کنید. این مدل برای آزمایش دانش یک برنامه عمیق طراحی شده است: مدل های برداری و ریاضی ، توابع و لگاریتم ها ، معادلات جبری و نابرابری ها.
• حل وظایف را جداگانه تمرین کنید.
• نشان دادن تفکر غیر استاندارد مهم است.

ساختار آزمون

وظایف آزمون دولتی واحد در ریاضیات نمایه به دو بلوک تقسیم شده است.

1. قسمت - پاسخ کوتاه، شامل 8 وظیفه است که آموزش مقدماتی ریاضی و توانایی استفاده از دانش ریاضیات را در زندگی روزمره آزمایش می کند.
2. قسمت -کوتاه و پاسخ های دقیق... از 11 وظیفه تشکیل شده است ، 4 مورد از آنها به پاسخ کوتاه نیاز دارند و 7 مورد نیز با استدلال اقدامات انجام شده گسترش می یابند.

• افزایش پیچیدگی - وظایف 9-17 قسمت دوم KIM.
• پیچیدگی بالا - مشکلات 18-19 -. این قسمت از وظایف امتحانی نه تنها سطح دانش ریاضی ، بلکه وجود یا عدم وجود یک رویکرد خلاقانه برای حل وظایف خشک "دیجیتال" و همچنین اثربخشی توانایی استفاده از دانش و مهارت به عنوان یک ابزار حرفه ای را بررسی می کند.

مهم! بنابراین ، هنگام آماده شدن برای امتحان ، همیشه تئوری را در ریاضیات با حل مسائل عملی تقویت کنید.

نحوه توزیع امتیاز

وظایف قسمت اول KIM ها در ریاضیات نزدیک به آزمونهای USE سطح پایه است ، بنابراین نمره بالا در آنها غیرممکن است.

امتیازات مربوط به هر وظیفه در ریاضیات سطح مشخصات به شرح زیر توزیع شده است:

• برای پاسخ صحیح به مشکلات 1-12 - هر کدام 1 امتیاز.
• شماره 13-15 - هر کدام 2
• شماره 16-17 - هر کدام 3؛
• شماره 18-19 - هر کدام 4.

مدت زمان امتحان و قوانین رفتاری برای امتحان

برای تکمیل کار معاینه -2019 دانش آموز اختصاص داده شده است 3 ساعت و 55 دقیقه (235 دقیقه)

در این مدت دانشجو نباید:

• رفتار پر سر و صدا؛
• از ابزارها و سایر وسایل فنی استفاده کنید.
• نوشتن
• تلاش برای کمک به دیگران ، یا درخواست کمک برای خود.

برای چنین اعمالی ، ممتحن را می توان از مخاطب اخراج کرد.

برای آزمون دولتی در ریاضیات مجاز است بیاورد فقط با یک خط کش ، بقیه مواد مستقیماً قبل از امتحان داده می شوند. به صورت محلی صادر شده است.

آماده سازی موثر راه حل تست های آنلاین ریاضی 2019 است. حداکثر نمره را انتخاب کنید و بگیرید!

ارزیابی

دو بخششامل 19 کار. قسمت 1 قسمت 2

3 ساعت و 55 دقیقه (235 دقیقه)

پاسخ ها

ولی شما میتوانید قطب نما درست کن ماشین حساب در امتحان استفاده نشده.

گذرنامه), عبور و مویرگی یا! اجازه دهید با خودم اب (در بطری شفاف) و غذا

مقاله امتحان شامل دو بخششامل 19 کار. قسمت 1 شامل 8 وظیفه از یک سطح اساسی دشواری با یک پاسخ کوتاه است. قسمت 2 شامل 4 وظیفه با یک سطح دشواری افزایش یافته با یک پاسخ کوتاه و 7 وظیفه با یک سطح دشواری بالا با یک پاسخ دقیق.

کار امتحان در ریاضیات اختصاص داده شده است 3 ساعت و 55 دقیقه (235 دقیقه)

پاسخ ها برای وظایف 1-12 نوشته شده است به عنوان عدد صحیح یا عدد نهایی... اعداد را در قسمت های جواب در متن کار بنویسید و سپس آنها را به فرم پاسخ شماره 1 صادر شده در آزمون منتقل کنید!

هنگام انجام کار ، می توانید از موارد صادر شده در کنار کار استفاده کنید. فقط از خط کش استفاده کنیدولی شما میتوانید قطب نما درست کن خودتان آن را انجام دهید. از ابزارهایی که روی آنها مواد مرجع چاپ شده استفاده نکنید. ماشین حساب در امتحان استفاده نشده.

در طول امتحان ، شما باید یک سند هویت داشته باشید ( گذرنامه), عبور و مویرگی یا قلم ژل با جوهر سیاه! اجازه دهید با خودم اب (در بطری شفاف) و غذا (میوه ، شکلات ، رول ، ساندویچ) ، اما ممکن است از شما خواسته شود در راهرو ترک کنید.