مساحت سطح فرمول هرمی چهار ضلعی منظم. مساحت سطح جانبی هرم چهار گوش منظم: فرمول ها و نمونه هایی از مشکلات. مساحت سطح جانبی هرم

تعریف. لبه کناری مثلثی است که گوشه آن در بالای هرم قرار دارد و ضلع مخالف آن با ضلع قاعده (چند ضلعی) منطبق است.

تعریف. دنده های کناری - این طرفین مشترک چهره های جانبی است. هرم به اندازه گوشه های چند ضلعی دارای لبه است.

تعریف. ارتفاع هرم عمود است که از بالا به پایه هرم افتاده است.

تعریف. فرضیه عمود بر روی طرف هرم است ، که از بالای هرم به طرف قاعده پایین آمده است.

تعریف. مقطع مورب بخشی از هرم توسط هواپیمایی است که از بالای هرم و مورب پایه عبور می کند.

تعریف. هرم درست است هرمی است که پایه آن چند ضلعی منظمی است و ارتفاع آن به مرکز قاعده می رسد.

حجم و سطح هرم

فرمول حجم هرم از طریق سطح پایه و ارتفاع:

خواص هرم

اگر تمام لبه های کناری برابر باشد ، می توان یک دایره را در اطراف پایه هرم توصیف کرد ، و مرکز پایه با مرکز دایره همزمان است. همچنین ، عمود افتاده از بالا از مرکز پایه (دایره) عبور می کند.

اگر تمام لبه های کناری برابر باشند ، در همان زاویه ها به صفحه پایه متمایل می شوند.

لبه های کناری وقتی با صفحه پایه زاویه های مساوی ایجاد می کنند یا اگر می توان دایره ای را در اطراف پایه هرم توصیف کرد ، برابر هستند.

اگر صورتهای جانبی از یک زاویه به صفحه پایه متمایل شده باشند ، می توان دایره ای را در قاعده هرم نوشت و قسمت بالای هرم را در مرکز آن قرار داد.

اگر وجه های کناری در یک زاویه به صفحه پایه تمایل داشته باشند ، آنگاه کلام های وجهه های جانبی برابر هستند.

خصوصیات هرم منظم

1. قسمت بالای هرم از هر گوشه پایه با فاصله یکسان فاصله دارد.

2. تمام دنده های جانبی برابر هستند.

3. تمام دنده های کناری در یک زاویه با پایه شیب دارند.

4- کلام های تمام چهره های جانبی برابر است.

5- مساحت تمام چهره های کناری برابر است.

6. تمام چهره ها زاویه دو طرفه (تخت) یکسانی دارند.

7- می توان یک کره را در اطراف هرم توصیف کرد. مرکز کره توصیف شده نقطه تلاقی عمودهایی است که از وسط لبه ها عبور می کنند.

8- کره را می توان در هرم نقش بست. مرکز کره منقوش نقطه تلاقی نیمسازها است که از زاویه بین لبه و پایه منشا می گیرند.

9. اگر مرکز کره منقوش با مرکز کره محدود شده منطبق باشد ، پس مجموع زاویه های مسطح در راس برابر با π است یا برعکس ، یک زاویه برابر π / n است ، در حالی که n عدد است از زاویه در پایه هرم است.

ارتباط هرم با کره

هنگامی که یک چند وجهی در پایه هرم قرار دارد که می توان دایره ای از آن را توصیف کرد (یک شرط لازم و کافی) ، می توان یک کره را در اطراف هرم توصیف کرد. مرکز کره ، نقطه تلاقی هواپیماهایی است که عموداً از نقاط میانی لبه های کناری هرم عبور می کنند.

یک کره را می توان همیشه در اطراف هر هرم مثلثی یا منظم توصیف کرد.

اگر صفحات نیمساز گوشه های دوطرفه داخلی هرم در یک نقطه قطع شوند (یک شرط لازم و کافی) می توان کره ای را در هرم نوشت. این نقطه مرکز کره خواهد بود.

اتصال هرم با مخروط

یک مخروط را در صورتی که رئوس آنها منطبق باشد در هرم منقوش می نامند و پایه مخروط را در قاعده هرم می نویسند.

اگر اصطلاحات هرم با یکدیگر برابر باشند ، می توان مخروط را در هرم نوشت.

به یک مخروط گفته می شود در صورت همپوشانی قسمتهای بالای هرم ، و پایه آن در اطراف پایه هرم محدود شده است.

اگر تمام لبه های جانبی هرم با یکدیگر برابر باشند ، می توان یک مخروط را در اطراف هرم توصیف کرد.

اتصال هرم با استوانه

اگر بالای هرم بر روی یک پایه استوانه قرار بگیرد ، هرم را در یک استوانه منقوش می نامند و پایه هرم را در قاعده دیگری از استوانه قرار می دهند.

اگر بتوان دایره ای را در اطراف پایه هرم توصیف کرد ، می توان استوانه ای را در اطراف هرم توصیف کرد.

تعریف. هرم کوتاه (منشور هرمی) یک چند وجهی است که بین پایه هرم و صفحه مقطع موازی با پایه قرار دارد. بنابراین ، هرم دارای یک پایه بزرگتر و یک پایه کوچکتر است که مشابه پایه بزرگتر است. چهره های کناری ذوزنقه ای هستند.

تعریف. هرم مثلثی (چهار ضلعی) - این هرمی است که در آن سه صورت و پایه مثلث دلخواه هستند.

یک چهار ضلعی دارای چهار وجه و چهار راس و شش لبه است که هر دو لبه آن راس مشترک ندارند اما لمس نمی کنند.

هر راس از سه وجه و لبه تشکیل شده است گوشه مثلثی.

قطعه ای که راس چهار ضلعی را با مرکز چهره مقابل متصل می کند ، نامیده می شود چهار ضلعی متوسط (جنرال موتورز)

بیمیدیان قطعه ای است که نقاط میانی لبه های مخالف را متصل می کند که در تماس نیستند (KL).

تمام گیاهان دارویی و میانی های چهار ضلعی در یک نقطه (S) تلاقی می کنند. در این حالت ، گیاهان دارویی با شروع از بالا به نصف تقسیم می شوند و میانگین ها نیز به نسبت 3: 1 تقسیم می شوند.

تعریف. هرم شیب دار هرمی است که در آن یکی از دنده ها با قاعده زاویه مبهم (β) تشکیل می دهد.

تعریف. هرم مستطیل شکل هرمی است که در آن یکی از چهره های کناری عمود بر پایه است.

تعریف. هرم حاد زاویه دار هرمی است که در آن فراز بیش از نیمی از طول ضلع پایه است.

تعریف. هرم مبهم هرمی است که در آن کلام کمتر از نصف طول ضلع پایه است.

تعریف. چهار ضلعی منظم - چهار ضلعی که هر چهار صورت آن مثلث متساوی الاضلاع است. این یکی از پنج چند ضلعی های منظم است. در یک چهار ضلعی منظم ، تمام زوایای دو طرفه (بین چهره ها) و زاویه های سه وجهی (در راس) برابر هستند.

تعریف. چهار ضلعی مستطیلی چهار ضلعی با زاویه راست بین سه لبه در راس (لبه ها عمود هستند) نامیده می شود. سه چهره شکل می گیرد گوشه مثلث مستطیل و صورت ها مثلثی زاویه دار هستند و قاعده آن یک مثلث دلخواه است. کلام هر چهره برابر است با نیمی از ضلع پایه ای که کلام روی آن می افتد.

تعریف. چهار ضلعی برابر است چهار ضلعی نامیده می شود که در آن اضلاع اضلاع برابر با یکدیگر هستند و پایه آن یک مثلث منظم است. برای چنین چهار ضلعی ، چهره ها مثلث های متساوی الاضلاع هستند.

تعریف. چهار ضلعی ارتوکسیکال چهار ضلعی نامیده می شود که در آن تمام ارتفاعات (عمود) که از بالا به طرف مقابل پایین می آیند در یک نقطه تلاقی می کنند.

تعریف. هرم ستاره ای چند وجهی نامیده می شود که پایه آن یک ستاره است.

تعریف. بی پیرامید - یک چند وجهی متشکل از دو هرم مختلف (هرم ها را می توان قطع کرد) ، دارای یک پایه مشترک ، و رئوس در دو طرف مخالف صفحه پایه قرار دارند.

مشکلات معمول هندسی در صفحه و در فضای سه بعدی مشکلات تعیین مناطق سطوح با اشکال مختلف است. در این مقاله ، فرمولی برای سطح جانبی هرم منظم چهار گوش ارائه می دهیم.

هرم چیست؟

بیایید یک تعریف دقیق هندسی از هرم ارائه دهیم. فرض کنید چند ضلعی با n ضلع و n گوشه وجود دارد. یک نقطه دلخواه در فضا انتخاب کنید ، که در صفحه n-gon مشخص نباشد و آن را به هر راس چند ضلعی متصل کنید. ما یک رقم با حجم مشخص به دست می آوریم ، که به آن هرم n-sided گفته می شود. به عنوان مثال ، بیایید در شکل زیر نشان دهید که هرم پنج ضلعی چگونه است.

دو عنصر مهم هر هرم ، پایه (n-gon) و بالای آن است. این عناصر توسط n مثلث به یکدیگر متصل می شوند که به طور کلی با یکدیگر برابر نیستند. عمود افتاده از بالا به پایه ارتفاع شکل نامیده می شود. اگر پایه را در مرکز هندسی قطع کند (همزمان با مرکز جرم چند ضلعی باشد) ، پس چنین هرمی را خط مستقیم می نامند. اگر علاوه بر این شرایط ، پایه یک چند ضلعی منظم باشد ، آنگاه کل هرم را منظم می نامند. شکل زیر نشان می دهد که اهرام منظم با پایه های مثلثی ، چهار ضلعی ، پنج ضلعی و شش ضلعی چگونه به نظر می رسند.

سطح هرم

قبل از شروع به سوال مساحت سطح جانبی هرم منظم چهار ضلعی ، باید با جزئیات بیشتری به مفهوم سطح خود بپردازید.

همانطور که در بالا ذکر شد و در شکل ها نشان داده شده است ، هر هرم توسط مجموعه ای از صورت ها یا کناره ها تشکیل می شود. یک ضلع پایه و ضلع های n مثلث هستند. سطح کل شکل مجموع مناطق هر طرف است.

مطالعه سطح با استفاده از مثال باز کردن یک شکل راحت است. یک الگوی مسطح برای هرم منظم چهار ضلعی در شکل های زیر نشان داده شده است.

می بینیم که مساحت سطح آن برابر با مجموع چهار ناحیه مثلث متساوی الاضلاع و مساحت یک مربع است.

به کل مساحت تمام مثلث هایی که اضلاع جانبی شکل را تشکیل می دهند ، سطح سطح جانبی گفته می شود. در مرحله بعدی ، نحوه محاسبه آن برای هرم منظم چهار گوش را نشان خواهیم داد.

مساحت سطح جانبی هرم منظم چهار ضلعی

برای محاسبه سطح جانبی شکل مشخص شده ، به الگوی تخت فوق مراجعه کنید. فرض کنید طرف یک پایه مربع را می شناسیم. اجازه دهید آن را با نماد a نشان دهیم. دیده می شود که هر یک از چهار مثلث یکسان دارای قاعده طول a است. برای محاسبه مساحت کل آنها ، باید این مقدار را برای یک مثلث بدانید. از مسیر هندسه مشخص شده است که مساحت یک مثلث S t برابر با محصول پایه و ارتفاع است که باید به نصف تقسیم شود. یعنی:

جایی که h b ارتفاع مثلث متساوی الاضلاع است که به قاعده a کشیده شده است. برای هرم ، این ارتفاع فرضی است. اکنون باقی مانده است که بیان حاصل را در 4 ضرب کنید تا منطقه S b از سطح جانبی هرم مورد بررسی بدست آید:

S b \u003d 4 * S t \u003d 2 * ساعت b * a.

این فرمول شامل دو پارامتر است: آپوتما و سمت پایه. اگر مورد دوم در بیشتر شرایط مسئله شناخته شده باشد ، باید با دانستن مقادیر دیگر مورد اول محاسبه شود. در اینجا فرمول های محاسبه آپوتما h b برای دو مورد وجود دارد:

• هنگامی که طول دنده جانبی مشخص است
• وقتی ارتفاع هرم مشخص است.

اگر طول لبه کناری (ضلع مثلث متساوی الاضلاع) را با نماد L نشان دهیم ، آپوتما h b با فرمول تعیین می شود:

h b \u003d √ (L 2 - a 2/4).

این عبارت نتیجه اعمال قضیه فیثاغورث بر مثلث سطح جانبی است.

اگر ارتفاع h هرم مشخص باشد ، آپوتما h b را می توان به صورت زیر محاسبه کرد:

h b \u003d √ (h 2 + a 2/4).

همچنین بدست آوردن این عبارت کار دشواری نیست اگر یک مثلث قائم الزاویه را در داخل هرم در نظر بگیریم که توسط پاهای h و a / 2 و یک هیپوتنوز h b تشکیل شده است.

با حل دو مسئله جالب بیایید نحوه استفاده از این فرمول ها را به شما نشان دهیم.

مشکل سطح شناخته شده

مشخص شده است که سطح سطح جانبی چهار ضلعی 108 سانتی متر مربع است. اگر طول هرم 7 سانتی متر باشد ، باید طول طول آپوتما h b آن محاسبه شود.

اجازه دهید فرمول سطح S b سطح جانبی را از طریق ارتفاع بنویسیم. ما داریم:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a.

در اینجا ما به سادگی فرمول مربوط به آپوتما را در عبارت Sb جایگزین کردیم. بیایید هر دو طرف برابری را مربع کنیم:

S b 2 \u003d 4 * a 2 * h 2 + a 4.

برای یافتن مقدار a ، اجازه دهید متغیرها را تغییر دهیم:

t 2 + 4 * h 2 * t - S b 2 \u003d 0.

اکنون مقادیر شناخته شده را جایگزین کرده و معادله درجه دوم را حل می کنیم:

t 2 + 196 * t - 11664 \u003d 0.

ما فقط ریشه مثبت این معادله را نوشتیم. سپس اضلاع پایه هرم برابر خواهد بود:

a \u003d √t \u003d √47.8355 ≈ 6.916 سانتی متر

برای بدست آوردن طول آپوتما ، فقط از فرمول زیر استفاده کنید:

h b \u003d √ (h 2 + a 2/4) \u003d √ (7 2 + 6.916 2/4) ≈ 7.808 سانتی متر

سطح جانبی هرم Cheops

بیایید مقدار ضلع را برای بزرگترین هرم مصر تعیین کنیم. شناخته شده است که در قاعده آن یک مربع قرار دارد که طول آن 230.363 متر است. ارتفاع ساختمان در ابتدا 146.5 متر بود. با جایگزینی این اعداد در فرمول مربوط به S b ، بدست می آوریم:

S b \u003d 2 * √ (h 2 + a 2/4) * a \u003d 2 * √ (146.5 2 +230.363 2/4) * 230.363 ≈ 85860 m 2.

مقدار پیدا شده کمی بیشتر از مساحت 17 زمین فوتبال است.

قبل از مطالعه سوالات در مورد این شکل هندسی و خصوصیات آن ، باید برخی اصطلاحات را درک کنید. وقتی شخصی در مورد هرم می شنود ، ساختمانهای عظیمی را در مصر تصور می کند. اینگونه است که ساده ترین آنها به نظر می رسد. اما انواع و اشکال مختلفی دارند ، به این معنی که فرمول محاسبه اشکال هندسی متفاوت خواهد بود.

انواع شکل

هرم - شکل هندسی، چندین چهره را نشان می دهد و نشان می دهد. در واقع ، این همان چند وجهی است که در قاعده آن یک چند ضلعی وجود دارد و در طرفین مثلث هایی وجود دارد که در یک نقطه - راس - به هم متصل شده اند. شکل دو نوع اصلی است:

• درست؛
• کوتاه شده

در حالت اول ، یک چند ضلعی منظم در قاعده قرار دارد. در اینجا تمام سطوح جانبی برابر هستند در میان خودشان و این رقم خود چشم کمال گرایان را خوشحال خواهد کرد.

در حالت دوم ، دو پایه وجود دارد - یک پایه بزرگ در پایین و یک پایه کوچک بین بالا ، که شکل اصلی را تکرار می کند. به عبارت دیگر ، هرم کوتاه شده یک چند وجهی با مقطعی موازی با پایه است.

اصطلاحات و مشخصات

اصطلاحات اساسی:

• مثلث منظم (متساوی الاضلاع) - یک شکل با سه زاویه برابر و اضلاع برابر. در این حالت تمام زوایا 60 درجه هستند. شکل ساده ترین چند وجهی معمولی است. اگر این شکل در پایه قرار داشته باشد ، چنین چند وجهی را مثلث منظم می نامند. اگر مربع در قاعده وجود داشته باشد ، هرم را هرم چهار گوش منظم می نامند.
• راس - بالاترین نقطه ای که چهره ها به هم می رسند. ارتفاع بالا توسط یک خط مستقیم که از بالا به پایین هرم می رود تشکیل می شود.
• حاشیه، غیرمتمرکز - یکی از صفحات چند ضلعی. در صورت هرم مثلثی یا به صورت ذوزنقه برای هرم کوتاه می تواند باشد.
• سطح مقطع - یک شکل مسطح ناشی از کالبد شکافی. با برش اشتباه گرفته نشود ، زیرا برش همچنین نشان می دهد چه چیزی در پشت برش وجود دارد.
• فرضیه - قطعه ای که از بالای هرم به پایه آن کشیده شده است. همچنین ارتفاع صورت است که نقطه ارتفاع دوم در آن قرار دارد. این تعریف فقط در رابطه با چند وجهی معمولی معتبر است. به عنوان مثال ، اگر هرم کوتاه نباشد ، صورت یک مثلث خواهد بود. در این حالت ، ارتفاع این مثلث به صورت کلامی در می آید.

فرمول های منطقه

سطح جانبی هرم را پیدا کنید هر نوع را می توان به روش های مختلف انجام داد. اگر شکل متقارن نباشد و چند ضلعی با اضلاع مختلف باشد ، در این حالت محاسبه مساحت کل سطح با استفاده از کل کل سطوح راحت تر است. به عبارت دیگر ، باید مساحت هر صورت را محاسبه کرده و با هم جمع کنید.

بسته به اینکه چه پارامترهایی شناخته شده باشند ، فرمولهایی برای محاسبه مربع ، ذوزنقه ، چهار ضلعی دلخواه و غیره لازم است. خود فرمولها در موارد مختلف نیز متفاوت خواهد بود.

یافتن منطقه با شکل صحیح بسیار آسان تر است. کافی است فقط چند پارامتر اصلی را بدانید. در بیشتر موارد ، محاسبات دقیقاً برای چنین اشکال لازم است. بنابراین ، فرمولهای مربوطه در زیر آورده خواهد شد. در غیر این صورت ، شما باید همه چیز را در چندین صفحه نقاشی کنید ، که فقط باعث سردرگمی و سردرگمی می شود.

فرمول اساسی برای محاسبه سطح جانبی هرم منظم به این شکل خواهد بود:

S \u003d ½ Pa (P - محیط پایه ، a - فرضیه)

بیایید به یکی از نمونه ها نگاه کنیم. این چند وجهی دارای یک پایه با بخشهای A1 ، A2 ، A3 ، A4 ، A5 است و همه آنها برابر با 10 سانتی متر هستند. بگذارید Apothem برابر با 5 سانتی متر باشد ، ابتدا باید محیط را پیدا کنید. از آنجا که هر پنج ضلع پایه یکسان است ، می توانید این شکل را پیدا کنید: P \u003d 5 * 10 \u003d 50 سانتی متر. بعد ، فرمول اصلی را اعمال می کنیم: S \u003d ½ * 50 * 5 \u003d 125 سانتی متر مربع.

مساحت سطح جانبی هرم مثلثی منظم ساده ترین محاسبه فرمول به این شکل است:

S \u003d ½ * ab * 3 ، جایی که a - apothem ، b - صورت پایه. ضرب سه گانه در اینجا به معنای تعداد لبه های پایه است و قسمت اول مساحت سطح کناری است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم. یک شکل با یک فراز 5 سانتی متر و یک لبه پایه 8 سانتی متر آورده شده است. محاسبه کنید: S \u003d 1/2 * 5 * 8 * 3 \u003d 3 \u003d 60 سانتی متر مربع.

سطح جانبی هرم کوتاه شده محاسبه کمی دشوارتر است. فرمول اینگونه به نظر می رسد: S \u003d 1/2 * (p_01 + p_02) * a ، جایی که p_01 و p_02 محیط پایه ها هستند و فرضیه است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم. به عنوان مثال ، برای یک شکل چهار ضلعی ، ابعاد اضلاع پایه ها 3 و 6 سانتی متر است ، فرضیه 4 سانتی متر است.

در اینجا ، ابتدا باید محیط پایه ها را پیدا کنید: p_01 \u003d 3 * 4 \u003d 12 cm؛ p_02 \u003d 6 * 4 \u003d 24 سانتی متر. باقی مانده است که مقادیر را در فرمول اصلی جایگزین کنید و بدست آورید: S \u003d 1/2 * (12 + 24) * 4 \u003d 0.5 * 36 * 4 \u003d 72 سانتی متر مربع.

بنابراین ، می توان سطح جانبی هرم منظم با هر پیچیدگی را پیدا کرد. باید مراقب باشید و گیج نشوید این محاسبات با مساحت کل چند وجهی است. و اگر هنوز هم به این کار احتیاج دارید ، کافی است که مساحت بزرگترین پایه چند وجهی را محاسبه کرده و به سطح سطح جانبی چند وجهی اضافه کنید.

ویدئو

برای ادغام اطلاعات در مورد چگونگی یافتن سطح جانبی اهرام مختلف ، این فیلم به شما کمک خواهد کرد.

چه شکلی را هرم می نامیم؟ اول اینکه چند وجهی است. ثانیاً ، یک چند ضلعی دلخواه در قاعده این چند وجهی قرار دارد و اضلاع هرم (وجه های کناری) لزوماً دارای شکل مثلث هایی هستند که در یک راس مشترک جمع می شوند. اکنون ، با پرداختن به این اصطلاح ، خواهیم فهمید که چگونه سطح هرم را پیدا کنیم.

واضح است که مساحت سطح چنین بدنه هندسی از مجموع مناطق پایه و کل سطح جانبی آن تشکیل شده است.

محاسبه مساحت پایه هرم

انتخاب فرمول محاسبه به شکل چند ضلعی که در پایه هرم ما قرار دارد بستگی دارد. این می تواند صحیح باشد ، یعنی با اضلاع به همان طول یا نادرست. بیایید هر دو گزینه را در نظر بگیریم.

در قاعده یک چند ضلعی منظم قرار دارد

از دوره مدرسه مشخص است:

• مساحت یک مربع برابر با طول مربع کناری آن خواهد بود.
• مساحت یک مثلث متساوی برابر است با مربع ضلع آن تقسیم بر 4 و ضرب در ریشه مربع سه.

اما یک فرمول کلی نیز برای محاسبه مساحت هر چند ضلعی منظم (Sn) وجود دارد: شما باید مقدار محیط این چند ضلعی (P) را در شعاع دایره منقوش (r) ضرب کنید ، و سپس تقسیم کنید نتیجه توسط دو: Sn \u003d 1 / 2P * r ...

در پایه - یک چند ضلعی نامنظم است

طرح برای پیدا کردن مساحت آن این است که ابتدا کل چند ضلعی را به مثلث تقسیم کنید ، مساحت هر یک از آنها را با استفاده از فرمول محاسبه کنید: 1 / 2a * h (جایی که a پایه مثلث است ، h ارتفاع کاهش یافته به این پایه) ، تمام نتایج را جمع کنید.

مساحت سطح جانبی هرم

حالا بیایید مساحت سطح کناری هرم را محاسبه کنیم ، یعنی مجموع مساحت تمام اضلاع جانبی آن. 2 گزینه نیز در اینجا امکان پذیر است.

1. بگذارید هرمی دلخواه داشته باشیم ، یعنی یکی با یک چند ضلعی نامنظم در قاعده آن. سپس باید مساحت هر صورت را جداگانه محاسبه کرده و نتایج را اضافه کنید. از آنجا که اضلاع هرم ، طبق تعریف ، فقط می توانند مثلث باشند ، محاسبه مطابق فرمول فوق انجام می شود: S \u003d 1 / 2a * h.
2. بگذارید هرم ما درست باشد ، یعنی یک چند ضلعی منظم در قاعده آن قرار دارد ، و برآمدگی بالای هرم در مرکز آن قرار دارد. سپس ، برای محاسبه مساحت سطح جانبی (Sb) ، کافی است که نیمی از محصول محیط چند ضلعی پایه (P) را با ارتفاع (h) ضلع جانبی پیدا کنید (برای همه یکسان است) صورت): Sb \u003d 1/2 P * ساعت محیط یک چند ضلعی با اضافه کردن طول تمام اضلاع آن تعیین می شود.

مساحت کل هرم منظم با جمع کردن سطح پایه آن با مساحت کل سطح جانبی بدست می آید.

نمونه هایی از

به عنوان مثال ، بیایید مساحت چندین اهرام را از نظر جبری محاسبه کنیم.

مساحت سطح هرم مثلثی

در قاعده چنین هرمی یک مثلث قرار دارد. با استفاده از فرمول Sо \u003d 1 / 2a * h ، سطح پایه را پیدا می کنیم. ما فرمول مشابهی را برای یافتن مساحت هر وجه هرم به کار می بریم که دارای شکل مثلثی نیز می باشد و 3 ناحیه به دست می آید: S1 ، S2 و S3. مساحت سطح جانبی هرم حاصل جمع کل مناطق است: Sb \u003d S1 + S2 + S3. با افزودن نواحی کناره ها و پایه ، سطح کل هرم مورد نظر را بدست می آوریم: Sп \u003d Sо + Sb.

مساحت سطح هرم چهار ضلعی

مساحت جانبی مجموع 4 اصطلاح است: Sb \u003d S1 + S2 + S3 + S4 ، که هر کدام با استفاده از فرمول مساحت یک مثلث محاسبه می شود. و بسته به شکل چهار ضلعی - درست یا نادرست ، باید سطح پایه را جستجو کرد. مساحت کل هرم مجدداً با افزودن مساحت پایه و سطح کل هرم داده شده بدست می آید.

هرم مثلثی چند وجهی نامیده می شود که در قاعده آن یک مثلث منظم قرار دارد.

در چنین هرمی ، لبه های پایه و لبه های اضلاع جانبی با یکدیگر برابر هستند. بر این اساس ، مساحت چهره های کناری از مجموع مساحت سه مثلث یکسان پیدا می شود. با استفاده از فرمول می توانید سطح جانبی هرم منظم را پیدا کنید. و می توانید محاسبه را چندین برابر سریعتر انجام دهید. برای انجام این کار ، شما باید فرمول را برای سطح جانبی هرم مثلثی اعمال کنید:

جایی که p محیط پایه است ، که در آن همه طرف برابر با b است ، a فرضیه است ، که از بالا به این پایه کاهش می یابد. بیایید مثالی را برای محاسبه مساحت هرم مثلثی در نظر بگیریم.

مشکل: اجازه دهید هرم صحیح داده شود. ضلع مثلثی که در قاعده قرار دارد b \u003d 4 سانتی متر است. کلام هرم a \u003d 7 سانتی متر است. مساحت سطح کناری هرم را پیدا کنید.
از آنجا که ، با توجه به شرایط مسئله ، ما طول تمام عناصر لازم را می دانیم ، محیط را پیدا خواهیم کرد. به یاد داشته باشید که در یک مثلث منظم همه ضلع ها برابر هستند ، بنابراین ، محیط با فرمول محاسبه می شود:

داده ها را جایگزین کنید و مقدار را پیدا کنید:

اکنون ، با دانستن محیط ، می توان سطح جانبی را محاسبه کرد:

برای استفاده از فرمول منطقه هرم مثلثی برای محاسبه مقدار کل ، باید سطح پایه چند وجهی را پیدا کنید. برای این ، فرمول استفاده می شود:

فرمول مساحت پایه هرم مثلثی ممکن است متفاوت باشد. هرگونه محاسبه پارامترها برای یک شکل داده شده مجاز است ، اما اغلب نیازی به آن نیست. بیایید مثالی را برای محاسبه مساحت پایه هرم مثلثی در نظر بگیریم.

مسئله: در هرم منظم ، ضلع مثلثی که در قاعده قرار دارد \u003d 6 سانتی متر است مساحت پایه را محاسبه کنید.
برای محاسبه ، فقط به طول ضلع یک مثلث منظم که در قاعده هرم قرار دارد ، نیاز داریم. بیایید داده ها را در فرمول جایگزین کنیم:

اغلب اوقات برای پیدا کردن مساحت یک چند وجهی لازم است. این نیاز به جمع شدن سطح سطح جانبی و پایه دارد.

بیایید مثالی را برای محاسبه مساحت هرم مثلثی در نظر بگیریم.

مشکل: اجازه دهید یک هرم مثلثی منظم داده شود. ضلع پایه b \u003d 4 سانتی متر است ، فرضیه \u003d 6 سانتی متر است. مساحت کل هرم را پیدا کنید.
برای شروع ، با استفاده از فرمول شناخته شده ، سطح سطح جانبی را پیدا می کنیم. بیایید محیط را محاسبه کنیم:

ما داده ها را در فرمول جایگزین می کنیم:
حالا بیایید منطقه پایه را پیدا کنیم:
با دانستن سطح پایه و سطح جانبی ، کل مساحت هرم را پیدا می کنیم:

هنگام محاسبه مساحت هرم منظم ، نباید فراموش کرد که یک مثلث منظم در قاعده قرار دارد و بسیاری از عناصر این چند وجهی برابر با یکدیگر هستند.