Osäkert integrerat. Detaljerade exempel på lösningar. Odefinierad integrerad online

Processen att lösa integraler i vetenskapen under namnet "matematik" heter integration. Med hjälp av integration kan du hitta några fysiska kvantiteter: Område, volym, kroppsvikt och mycket mer.

Integreringar är osäkra och definierade. Tänk på typen av ett specifikt integrerat och försök att förstå sin fysiska mening. Det verkar i detta formulär: $$ \\ int ^ a _b f (x) dx $$. Särskiljande egenskap Skriva ett specifikt integrerat från det osäkra på det faktum att det finns integrationsgränser A och B. Nu kommer vi ta reda på vad de behöver, och att det fortfarande betyder viss integral. I den geometriska bemärkelsen, en sådan integrerad lika med kvadrat Figurer avgränsade av kurvan F (x), linjer A och B och axeln OH.

Figur 1 visar att ett specifikt integrerat är samma område som är målat grå. Låt oss kolla det på det enklaste exemplet. Vi hittar området i figuren i bilden nedan genom integrationen, och sedan beräkna den på vanligt sätt att multiplicera längden på bredden.

Fig. 2 visar att $ y \u003d f (x) \u003d $ 3, $ a \u003d 1, b \u003d $ 2. Nu ersätter vi dem i definitionen av det integrerade, vi får det $$ s \u003d \\ int _a ^ bf (x) dx \u003d \\ int _1 ^ 2 3 dx \u003d $$$$ \u003d (3x) \\ big | _1 ^ 2 \u003d (3 \\ cdot 2) - (3 \\ cdot 1) \u003d $$$$ \u003d 6-3 \u003d 3 \\ text (ur) ^ 2 $$ Låt oss checka in det vanliga sättet. I vårt fall, längd \u003d 3, bredden av figuren \u003d 1. $$ s \u003d \\ text (längd) \\ cdot \\ text (width) \u003d 3 \\ cdot 1 \u003d 3 \\ text (ur) ^ 2 $$ som du kan se, allt perfekt sammanfaller.

Frågan visas: hur man löser integralerna är osäkra och vad är meningen? Lösningen av sådana integreringar är upptäckten av primitiva funktioner. Denna process är motsatsen att hitta derivatet. För att hitta den primära kan du använda vår hjälp för att lösa problem i matematik eller du måste självständigt inte driva integralernas egenskaper och integrationstabellen för de enklaste elementära funktionerna. Hitta är så $$ \\ INT f (x) dx \u003d f (x) + c \\ text (var) f (x) $ är en primitiv $ f (x), c \u003d const $.

För att lösa det integrerade måste du integrera funktionen $ f (x) $ via variabel. Om funktionen är ett bord, är svaret inspelat lämplig video. Om inte, reduceras processen för att få en tabellfunktion från funktionen $ f (x) $ genom att listiga matematiska omvandlingar. För detta är olika metoder och egenskaper som övervägs ytterligare.

Så, gör nu en algoritm hur man löser integraler för dummies?

Algoritm för beräkning av integraler

1. Vi lär oss en viss integrerad eller inte.
2. Om du är osäker måste du hitta utskriftsfunktion $ F (x) $ från den integrerade $ f (x) $ med matematiska omvandlingar som leder till ett bordsformulär $ f (x) $.
3. Om det är definierat måste du utföra steg 2 och ersätta sedan gränserna för $ en $ och $ b $ i den primitiva funktionen $ f (x) $. Vilken formel är att göra detta i artikeln "Newtons Formel Leibnitsa".

Exempel på lösningar

Så lärde du dig att lösa integraler för dummies, exempel på att lösa integraler demonterade hyllorna. De lärde sig fysisk och geometrisk mening. Beslutsmetoderna kommer att anges i andra artiklar.

Lösningen av integraler är uppgiften är lätt, men endast för de utvalda. Denna artikel är för dem som vill lära sig att förstå integralerna, men vet ingenting om dem eller nästan ingenting. Integral ... Varför behövs det? Hur man beräknar det? Vad är en viss och obestämd integral? Om den enda integrerade applikationen som är känd för dig är att få en virka i form av en integrerad ikon. Något användbart från svårt att nå platser, då välkommen! Lär dig hur du löser integralerna och varför utan det är det omöjligt att göra.

Vi studerar begreppet "integral"

Integration var känd i antika Egypten. Naturligtvis, inte i modern video, men ändå. Sedan dess skrev matematik många böcker om detta ämne. Speciellt utmärkta Newton och Leibnits Men kärnan i saker har inte förändrats. Hur man förstår integraler från början? Inte på något sätt! För att förstå detta ämne kommer den grundläggande kunskapen om grunden för matematisk analys fortfarande att behöva. Det är dessa grundläggande information om dig hittar i vår blogg.

Osäker integral

Låt oss ha någon form av funktion f (x) .

Osäker integrerad funktion f (x) Den här funktionen heter F (x) , vars derivat är lika med funktionen f (x) .

Med andra ord är det integrerade ett derivat kring det motsatta eller primitiva. Förresten, om hur man läser i vår artikel.

Prediktiv finns för alla kontinuerliga funktioner. Dessutom tillsätts det konstanta tecknet ofta till primären, eftersom derivaten skiljer sig åt i den konstanta sammanfallningen. Processen att hitta integralet kallas integration.

Enkelt exempel:

För att ständigt inte beräkna de primitiva elementära funktionerna är det lämpligt att minska bordet och använda de färdiga värdena:

Viss integral

Att ha en affär med begreppet integrerat, har vi oändligt små värden. Integreringen hjälper till att beräkna figuren av figuren, den inhomogent kroppens massa, passerade under den ojämna rörelsesvägen och mycket mer. Det bör komma ihåg att det integrerade är mängden oändligt stort antal Oändligt små termer.

Som ett exempel, föreställ dig ett schema för någon funktion. Hur man hittar ett område med figurer begränsas av ett diagram över funktionen?

Med hjälp av det integrerade! Vi delar upp det krökta trapeziumet, begränsat av koordinataxlarna och grafen av funktionen, på oändligt små segment. Således kommer figuren att delas upp i tunna kolumner. Summan av kolumnernas område kommer att vara området för trapezoiden. Men kom ihåg att en sådan beräkning kommer att ge ett exemplifierande resultat. Men desto mindre är segmenten redan att vara desto mer exakt kommer beräkningen. Om vi \u200b\u200bminskar dem i en sådan utsträckning att längden kommer att sträva efter noll, kommer mängden segment att sträva efter för området i figuren. Detta är ett specifikt integrerat som skrivs enligt följande:

Punkterna A och B kallas integrationsgränser.

Baria Alibasov och gruppen "Integral"

Förresten! För våra läsare är det en 10% rabatt på

Regler för beräkning av integraler för dummies

Egenskaper hos ett osäkert integrerat

Hur löser man ett obestämt integrerat? Här kommer vi att överväga egenskaperna hos ett osäkert integrerat, vilket kommer att vara användbart vid lösning av exempel.

• Det integrerade derivatet är lika med integrandfunktionen:

• Konstanten kan göras från tecken på det integrerade:

• Det integrerade från mängden är lika med mängden integraler. Också också för skillnad:

Egenskaper för ett specifikt integrerat

• Linearitet:

• Det integrerade tecknet ändras om integrationsgränserna byts ut:

• För några Punkter a., b. och från:

Vi har redan funnit att en viss integral är gränsen för beloppet. Men hur får man ett visst värde när du löser exemplet? För detta finns det en Newton-leibnisk formel:

Exempel på lösningar av integraler

Nedan kommer att överväga flera exempel på att hitta osäkra integraler. Vi föreslår att du självständigt förstår lösningens subtiliteter, och om något är oförståeligt, ställ frågor i kommentarerna.

För att säkra materialet, se videon om hur integralerna löses i praktiken. Förtvivlan inte om det integrerade inte ges omedelbart. Fråga, och de kommer att berätta om att beräkna integralerna allt som vet själva. Med vår hjälp kommer alla trippel eller kröklinjiga integrerade på en sluten yta att bli krafter.

Hitta ett obestämt integrerat (många primära eller "anti-derivat") betyder att man återställer funktionen enligt ett känt derivat av denna funktion. Återställd multiplicera F.(x.) + FRÅN För funktion f.(x.) tar hänsyn till integrationen konstant C.. Genom hastigheten för rörelse av materialpunkten (derivat) kan rörelsen om denna punkt (primitiv) återställas; Genom att påskynda rörelsen av punkten - dess hastighet och rörelsens lag. Som det kan ses är integrationen ett brett fält för Sherlock Holmes aktiviteter från fysik. Ja, och i ekonomin är många koncept representerade genom funktionerna och deras derivat och därför är det till exempel möjligt att återställa produktvolymen i en viss tidpunkt (derivat) för att återställa mängden produkter som utfärdas vid lämplig tidpunkt .

För att hitta ett obestämt integrerat krävs ett ganska litet antal grundläggande integrationsformler. Men processen med sin plats är mycket svårare än tillämpningen av dessa formler. All komplexitet avser inte integration, men för att få det integrerade uttrycket till denna art som gör det möjligt att hitta en obestämd integrering på ovan nämnda formler som nämns ovan. Det innebär att för att starta integrationspraxis måste du aktivera de uttryckskonverteringsfärdigheter som erhållits i gymnasiet.

Lär dig att hitta integraler vi kommer att använda egenskaper och tabell med osäkra integreringar Från lektionen på de grundläggande begreppen i det här ämnet (öppnas i ett nytt fönster).

Det finns flera metoder för att hitta en integrerad, varav metod för ersättning av variabeln och integrationsmetod i delar - Obligatorisk gentlemans uppsättning av alla som framgångsrikt passerade den högsta matematiken. För att börja masteringsintegrationen är dock mer användbar och trevligare med användningen av en sönderdelningsmetod baserat på följande två teorem på egenskaperna hos ett obestämt integrerat, vilket är lätt att hänvisa till.

Teorem 3.En permanent multiplikator i integrationen kan göras för ett tecken på en obestämd integrerad, dvs.

Theorem 4.Det obestämda integralen av den algebraiska mängden av det ändliga antalet funktioner är lika med den algebraiska summan av de obestämda integralerna hos dessa funktioner, dvs.

(2)

Dessutom kan följande regel vara användbar vid integration: om uttrycket av integrandfunktionen innehåller en permanent multiplikator, domineras uttrycket av den primitiva av numret, omvänd den konstanta faktorn, det vill säga

(3)

Eftersom denna lektion introduceras för att lösa integrationens uppgifter är det viktigt att notera två saker som antingen redan är i själva verket första scenenEller något senare kan de överraska dig. Överraskning på grund av det faktum att integration - den inverse differentieringsoperationen och en osäker integral kan med rätta kallas "anti-derivat".

Det första som inte borde bli förvånad vid integration. I det integrerade bordet det finns formler som inte har analoger bland formlerna i derivatbordet . Dessa är följande formler:

Det är emellertid möjligt att se till att derivaten av uttrycken i de högra delarna av dessa formler sammanfaller med motsvarande integrerade funktioner.

Det andra som inte borde bli förvånad vid integration. Även om derivatet av någon elementär funktion också är en elementär funktion, odefinierade integraler från vissa elementära funktioner är inte längre elementära funktioner. . Exempel på sådana integraler kan vara följande:

För utvecklingen av integrationstekniker kommer följande färdigheter att användas: reduktion av fraktioner, dividing av polynom i fraktionerad täljare på en enda vinge i nämnaren (för att erhålla mängden obestämda integraler), omvandlingen av rötter i en examen , multiplikation är oobytat till ett polynom, utrotning. Dessa färdigheter behövs för omvandling av integrationen, vilket resulterar i vilket mängden integraler som finns i det integrerade bordet bör erhållas.

Vi finner obestämda integraler tillsammans

Exempel 1.Hitta en osäker integrerad

.

Beslut. Vi ser i denominatorn av integrandet uttryck för det polynomi, där X är på torget. Detta är ett nästan trogen tecken på att du kan tillämpa ett bordsintegral 21 (med arctangent som ett resultat). Vi utför en två gånger multiplikator från denominatorn (det finns en egenskap av det integrerade - en permanent multiplikator kan tas ut ur det integrerade tecknet ovan nämnt som teorem 3). Resultatet av allt detta:

Nu i denominatorn summan av kvadraterna, vilket innebär att vi kan tillämpa det nämnda tabulära integralet. Slutligen få svaret:

.

Exempel 2.Hitta en osäker integrerad

Beslut. Vi tillämpar återigen teorem 3 - egenskapen hos det integrerade, på grundval av vilken den konstanta multiplikatorn kan göras för det integrerade tecknet:

Vi använder formeln 7 från det integrerade bordet (variabel till grad) till integrand-funktionen:

.

Vi minskar de resulterande fraktionerna och före oss Slutsvaret:

Exempel 3.Hitta en osäker integrerad

Beslut. Använda första teorem 4, och sedan Teorem 3 på egenskaper, hittar vi denna integral som summan av tre integraler:

Alla tre integrerade mottagna - tabellen. Vi använder formel (7) från det integrerade bordet med n. = 1/2, n. \u003d 2 I. n. \u003d 1/5, och sedan

kombinerar alla tre godtyckliga konstanter som introducerades när tre integraler är belägna. I liknande situationer bör därför endast en godtycklig permanent (konstant) integration administreras.

Exempel 4.Hitta en osäker integrerad

Beslut. När i en denominator av den integrerade fraktionen - Unrochene kan vi minimera täljaren till denominatorn. Det ursprungliga integralen har blivit två integraler:

.

För att tillämpa ett bordsintegral omvandlar vi rötterna till examen och nu är det slutliga svaret:

Vi fortsätter att hitta obestämda integraler tillsammans

Exempel 7.Hitta en osäker integrerad

Beslut. Om vi \u200b\u200bomvandlar en reaktiv funktion, uppstår vridna till en kvadrat och dividerar täljaren till nämnaren, blir den ursprungliga integralen summan av tre integraler.

Det finns en översikt över metoderna för att beräkna osäkra integraler. De viktigaste integrationsmetoderna som omfattar integrering av mängden och skillnaden, vilket gör ett permanent integrerat tecken, ersätter variabeln, integrering i delar. Särskilda metoder och tekniker för integration av fraktioner, rötter, trigonometriska och vägledande funktioner.

Pred-liknande och obestämd integral

Den primitiva F (x) från funktionen F (x) är en sådan funktion, vars derivat är lika med f (x):
F '(x) \u003d f (x), x ∈ δ,
Var Δ - Gapet på vilket denna ekvation utförs.

Total av all den primordiala kallas en osäker integral:
,
där C är en konstant, oberoende av variabeln x.

Grundläggande formler och integrationsmetoder

Bordsintegreringar

Det yttersta målet att beräkna osäkra integreringar - genom omvandlingar, klargör det angivna integralen till uttrycket som innehåller de enklaste eller tabulära integralerna.
Se tabellintegreringar \u003e\u003e\u003e

Integrationsregeln för beloppet (skillnad)

Göra ett permanent integrerat tecken

Låt c vara en konstant, oberoende av x. Då kan den lämnas in för det integrerade tecknet:

Ersätter variabeln

Låt X vara en funktion från variabeln t, x \u003d φ (t), sedan
.
Eller vice versa, t \u003d φ (x),
.

Genom att ersätta variabeln kan du inte bara beräkna enkla integraler, utan också för att förenkla beräkningen av mer komplexa.

Integrationsregel i delar

Integrering av fraktioner (rationella funktioner)

Vi presenterar beteckningen. Låt p K (x), q m (x), Rn (x) betecknas med graderna K, M, N, i förhållande till variabeln X.

Tänk på det integrerade bestående av fraktioner av polynomier (den så kallade rationella funktionen):

Om k ≥ n, måste du först markera hela delen av FRACI:
.
Det integrerade från polynomens K-N (x) beräknas av det integrerade bordet.

De integrerade kvarstår:
där M.< n .
För att beräkna det bör integrandet sönderdelas på den enklaste fraktionen.

För att göra detta, hitta ekvationens rötter:
Q n (x) \u003d 0.
Med hjälp av de erhållna rötterna måste du representera denominatorn i form av ett arbete av faktorerna:
Q N (x) \u003d s (x - a) n a (x - b) n b ... (x 2 + ex + f) n e (x 2 + gx + k) n g ....
Här är koefficienten vid x n, x 2 + ex + f\u003e 0, x 2 + gx + k\u003e 0, ....

Därefter sönderdela fraktionen på det enklaste:

Integrering, vi får ett uttryck som består av enklare integraler.
Integreringar av typ

T \u003d x - a ges till bordsstationen.

Tänk på det integrerade:

Vi omvandlar siffran:
.
Med förbehåll för integrationen får vi det uttryck där två integrerade inkluderar:
,
.
Den första substitutionen t \u003d x 2 + ex + f ges till bordet.
Den andra, enligt formeln att föra:

Beläget för att integrera

Vi ger sin nämnare till summan av rutorna:
.
Sedan substitution, integral

Det ges också till bordet.

Integrering av irrationella funktioner

Vi presenterar beteckningen. Låt r (U 1, U 2, ..., U n) betyder en rationell funktion från variabler U 1, U 2, ..., U n. Dvs
,
Var p, q är polynomier från variabler U 1, U 2, ..., U n.

Linjär irrationalitet

Tänk på integralerna i formuläret:
,
var - rationella nummer, M 1, n 1, ..., m s, n s - heltal.
Låt n vara en vanlig nämnare av siffrorna R 1, ..., r s.
Då kommer integralen ner till integrationen från de rationella funktionerna i substitutionen:
.

Integreringar från differentialbinomer

Tänk på det integrerade:
,
där m, n, p är rationella tal, a, b - giltiga nummer.
Sådana integreringar reduceras till integreringar från rationella funktioner i tre fall.

1) Om p är ett heltal. Substitutionen x \u003d t n, där n är den totala nämnaren av fraktionerna M och N.
2) Om - hela. Substitution a x n + b \u003d t m, där m är antalet nummer s.
3) Om - en helhet. Substitution A + B X-N \u003d T m, där M är nämnaren av numret P.

Om inget av de tre siffrorna är ett heltal, då enligt Chebyshev-teoremet, kan integralerna i denna art inte uttryckas av den slutliga kombinationen av elementära funktioner.

I vissa fall är det bara användbart att bringa integralen till bekvämare M- och P-värden. Detta kan göras med formlerna:
;
.

Integraler som innehåller kvadratrot av kvadrat tre

Här anser vi integralerna i formuläret:
,

Eulersubstitutioner

Sådana integraler kan reduceras till integraler från rationella funktioner hos en av de tre substitutionerna av Euler:
, med en\u003e 0;
, med c\u003e 0;
där X 1 är roten till ekvationen A x 2 + B x + C \u003d 0. Om denna ekvation har giltiga rötter.

Trigonometriska och hyperboliska substitutioner

Direkta metoder

I de flesta fall leder Eulerns substitutioner till längre beräkningar än direkta metoder. Med direkta metoder ges integralet till en av de arter som anges nedan.

jag skriver

Formens integrerade:
,
där p n (x) är en polynomsgrad n.

Sådana integreringar är metoden för osäkra koefficienter med hjälp av identitet:

Differentiera denna ekvation och jämföra vänster och höger delar, vi hittar koefficienterna en jag.

II typ

Formens integrerade:
,
där p m (x) är en polynomial grad m.

Substitution t \u003d. (X - α) -1 Denna integrering drivs till föregående typ. Om m ≥ n, då ska fraktionen fördelas till hela delen.

III typ

Den tredje och mest komplexa typen:
.

Här måste du göra en substitution:
.
Varefter den integrerade kommer att ta formen:
.
Därefter måste permanent α, β, välja så att koefficienterna vid T till noll:
B \u003d 0, B 1 \u003d 0.
Då uppstår integrationen summan av integralerna av två typer:
;
,
som är integrerade, substitutioner:
z2 \u003d en 1 t 2 + Ci;
y 2 \u003d A 1 + Ci T -2.

Allmän

Integration av transcendentala (trigonometriska och vägledande) funktioner

Vi noterar i förväg att de metoder som gäller för trigonometriska funktionerOckså tillämpligt för hyperboliska funktioner. Av den anledningen kommer vi inte att överväga integrationen av hyperboliska funktioner separat.

Integrera rationella trigonometriska funktioner från COS X och SIN X

Tänk på integralerna från formens trigonometriska funktioner:
,
där R är en rationell funktion. Detta kan också innehålla tangenter och kedjor som bör omvandlas genom bihålor och cosines.

När man integrerar sådana funktioner är det användbart att komma ihåg de tre reglerna:
1) om r ( cos x, synd x) multipliceras med -1 från förändringen av tecken framför en av värdena cos X. eller synd X., det är användbart att identifiera en annan av dem.
2) om r ( cos x, synd x) ändras inte från teckenförändringen samtidigt före cos X. och synd X., det är användbart att sätta tg x \u003d t eller ctg x \u003d t.
3) Substitutionen i alla fall leder till ett integrerat från rationell fraktion. Tyvärr leder denna substitution till längre dator än tidigare, om de är tillämpliga.

Produktion av kraftfunktioner från COS X och SIN X

Tänk på integralerna i formuläret:

Om m och n är rationella tal, då en av substitutionerna T \u003d synd X. eller t \u003d cos X. Integratet reduceras till det integrerade från differentialbinom.

Om m och n är heltal beräknas integralerna genom att integrera i delar. Samtidigt erhålles följande formler:

;
;
;
.

Integration i delar

Användningen av formeln euler

Om integrationen är linjärt i förhållande till en av funktionerna
cos axel. eller sin axel.Det är lämpligt att tillämpa Euler Formula:
e ix \u003d. cOS AX + ISIN AX (där jag 2 \u003d - 1 ),
Byte av den här funktionen e ix och markera giltig (vid byte av cos axel.) eller imaginär del (vid byte sin axel.) Från det erhållna resultatet.

Referenser:
N.m. Gunter, R.O. Kuzmin, samling av uppgifter på högre matematik, "LAN", 2003.