Oppituntiesitys: "Stereometria". Stereometrian perusteet Esitys aiheesta stereometrian aksioomat

Dia 1

Metodinen kehitys Savchenko E.M. MOU-kuntosali №1, Polyarnye Zori, Murmanskin alue.
Stereometrian aihe
Stereometrian aksioomit
Geometria luokka 10

Dia 2

Planimetria
Stereometria
Tutkii geometristen muotojen ominaisuuksia tasossa
Tutkii muotojen ominaisuuksia avaruudessa
Kreikasta käännetty sana "geometria" tarkoittaa "mittausta" "geo" - Kreikan maassa "metreo" - mitata
Sana "stereometria" tulee kreikan sanoista "stereos" volumetric, spatial, "metreo" - mitata

Dia 3

Planimetria
Stereometria
Näiden kuvioiden ohella tarkastelemme geometrisia kappaleita ja niiden pintoja. Esimerkiksi polyhedra. Kuutio, suuntaissärmiö, prisma, pyramidi. Pyörimiskappaleet. Pallo, pallo, sylinteri, kartio.
Perusmuodot: piste, viiva
Perusmuodot: piste, viiva, taso
Muut muodot: jana, säde, kolmio, neliö, rombi, suunnikas, puolisuunnikkaan, suorakulmio, kupera ja ei-kupera n-kulmio, ympyrä, ympyrä, kaari jne.

Dia 4

Pisteiden osoittamiseen käytämme isoja latinalaisia ​​kirjaimia
Suorien viivojen merkitsemiseen käytämme pieniä latinalaisia ​​kirjaimia.
Tai merkitsemme suoraa viivaa kahdella isolla latinalaiskirjaimella.

Dia 5

Lentokoneet merkitään kreikkalaisilla kirjaimilla.
Kuvissa tasot on esitetty suuntakuvien muodossa. Taso geometrisena hahmona tulee kuvitella ulottuvan loputtomasti kaikkiin suuntiin.

Dia 6

Dia 7

Kun tutkit tilahahmoja, erityisesti geometrisia kappaleita, käytä niiden litteitä kuvia piirustuksessa. Tilakuvan kuva on sen projektio tietylle tasolle. Sama luku mahdollistaa erilaisia ​​kuvia.
Erilaisia ​​kartiokuvia

Dia 8

Stereometriaa käytetään laajasti rakentamisessa, arkkitehtuurissa, koneenrakennuksessa, geodesiassa ja monilla muilla tieteen ja teknologian aloilla.
Tätä konetta suunniteltaessa oli tärkeää saada sellainen muoto, että liikkuessa ilmanvastus oli minimaalinen.

Dia 9

Sydneyn oopperatalo
Tanskalainen arkkitehti Jorn Utzon sai inspiraationsa purjeiden näkymisestä.

Dia 10

Eiffel-torni Pariisi, Champ de Mars
Insinööri Gustave Eiffel löysi projektilleen epätavallisen muodon. Eiffel-torni on erittäin vankka: voimakas tuuli kääntää sen huipulle vain 10-12 cm.Lämmössä, auringonsäteiden epätasaisesta lämpenemisestä, se voi poiketa 18 cm.

Dia 11

18 000 rautaosaa on kiinnitetty 2 500 000 niitillä

Dia 12

Alkuperäisen idean tornin rakentamisesta löysivät arkkitehdit L. Batalov ja D. Burdin suunnittelijan N. Nikitinin kanssa. Metallikaapelit on venytetty sylinterimäisten betonilohkojen sisään. Tämä muotoilu on erittäin vakaa.
Tornin huipun teoreettinen taipuma maksimituulennopeuksilla on noin 12 metriä.

Dia 13

Pisteiden, suorien ja tasojen perusominaisuudet ilmaistaan ​​aksioomeina. Muotoilemme vain kolme monista aksioomista.
A1. Minkä tahansa kolmen pisteen kautta, jotka eivät ole yhdellä suoralla, taso kulkee, ja lisäksi vain yksi.
Axiooman A1 kuva: lasilevy asettuu tiukasti kolmeen pisteeseen A, B ja C, jotka eivät ole yhdellä suoralla.
A
B
C

Dia 14

Kuvituksia A1-aksioomaan elämästä.
Kolmijalkainen jakkara istuu aina täydellisesti lattialla eikä heilu. Nelijalkaisella jakkaralla on vakavuusongelmia, jos jakkaran jalat eivät ole saman pituisia. Jakkara heiluu, eli se lepää kolmella jalalla, ja neljäs jalka (neljäs "piste") ei makaa lattian tasossa, vaan roikkuu ilmassa.
Videokamerassa, valokuvauksessa ja muissa laitteissa käytetään usein jalustaa. Kolmijalan kolme jalkaa sopivat vakaasti mihin tahansa sisälattialle, asfaltille tai suoraan ulkonurmikalle, rannan hiekkaan tai metsän nurmikkoon. Kolme jalustan jalkaa löytävät aina koneen.

Dia 15

O
A
V
Suoran kulman piirtäminen maahan yksinkertaisella ecker-laitteella.
Jalusta eckerillä.

Dia 16

a
A2. Jos kaksi suoran pistettä ovat tasossa, niin kaikki suoran pisteet ovat tässä tasossa.
A
B

Dia 17

A2-aksioomassa ilmaistua ominaisuutta käytetään piirtoviivaimen "tasaisuuden" tarkistamiseen. Viivain asetetaan reunallaan pöydän tasaiselle pinnalle. Jos viivaimen reuna on tasainen, se rajoittuu pöydän pintaan kaikilla pisteillään. Jos reuna on epätasainen, sen ja pöydän pinnan väliin muodostuu joissain paikoissa rako.

Dia 18

Aksiooma A2 tarkoittaa, että jos suora ei ole annetussa tasossa, sillä on enintään yksi yhteinen piste sen kanssa. Jos suoralla ja tasolla on vain yksi yhteinen piste, he sanovat leikkaavansa.

Dia 19

a
A3. Jos kahdella tasolla on yhteinen piste, niillä on yhteinen suora, jolla näiden tasojen kaikki yhteiset pisteet sijaitsevat.
Tässä tapauksessa tasojen sanotaan leikkaavan suorassa linjassa.

Dia 20

Aksiooma A3 on selkeästi havainnollistettu kahden vierekkäisen seinän, seinän ja katon risteyksessä luokkahuoneessa.

Dia 21

A1. Minkä tahansa kolmen pisteen kautta, jotka eivät ole yhdellä suoralla, taso kulkee, ja lisäksi vain yksi.

Dia 22

Lause
Taso kulkee suoran ja sen päällä olevan pisteen läpi, ja lisäksi vain yhden.
M
a

Dia 23

Joitakin seurauksia aksioomista.
Lause
Taso kulkee kahden leikkaavan suoran läpi ja lisäksi vain yhden
M
a
b
N

Dia 24

Harjoitteluharjoitukset
Nimeä tasot, joissa suorat sijaitsevat PE MK DB AB EC
P
E
A
B
C
D
M
K

Dia 25

Harjoitteluharjoitukset
Nimeä suoran DK ja tason ABC, suoran CE ja tason ADB leikkauspisteet.
P
E
A
B
C
D

Oppituntien sykli aiheesta: "Stereometrian aksioomat" koostuu seuraavista oppituneista:

1. Stereometrian aihe. Stereometrian aksioomat"

2. Joitakin johdannaisia ​​aksioomista.

3; 4. Aksioomien soveltamisen ja niiden seurausten ratkaiseminen.

5. Stereometrian aksioomien soveltamiseen ja niiden seurauksiin liittyviä tehtäviä. Itsenäinen työ.

Jokaiselle oppitunnille on tehty esitys.

Ladata:

Esikatselu:

Oppituntien sykli aiheesta: "Stereometrian aksioomat ja niiden seuraukset."

Oppitunti 1. Stereometrian aihe. Stereometrian aksioomit.

Oppitunnin tavoitteet:

1. perehdyttää opiskelijat stereometriakurssin sisältöön;
2. tutkia aksioomia pisteiden, suorien ja tasojen keskinäisestä järjestelystä avaruudessa;
3. oppia soveltamaan stereometrian aksioomia tehtävien ratkaisussa.

Tuntien aikana:

Dia 1.

1. Organisatorinen hetki.

2. Uuden materiaalin oppiminen.

Opettaja: Olemme opiskelleet koulun geometrian kurssia jo kolmen vuoden ajan, 7. luokasta alkaen.

Dia 2. Kysymyksiä opiskelijoille:

Mikä on geometria? (Geometria on tiedettä geometristen muotojen ominaisuuksista)

Mikä on planimetria? (Planimetria on geometrian osa, joka tutkii kuvioiden ominaisuuksia tasossa)

Mitä planimetrian peruskäsitteitä tiedät? (piste, viiva)

Opettaja: Tänään alamme opiskella uutta geometrian osaa - stereometriaa.

Dia 3. Stereometria on geometrian osa, jossa tutkitaan kuvioiden ominaisuuksia avaruudessa. (Oppilaat kirjoittavat muistivihkoon)

Dia 4. Avaruuden peruskäsitteet: piste, viiva, taso.

Tason idean antaa pöydän, seinän, lattian, katon jne. sileä pinta. Taso geometrisena hahmona täytyy kuvitella venyvän kaikkiin suuntiin, äärettömänä. Tasot on merkitty kreikkalaisilla kirjaimilla α, β, γ jne.

1. Nimeä tasossa β sijaitsevat pisteet; ei makaa tasossa β.

2. Nimeä suorat: makaa tasossa β; ei makaa tasossa β.

Dia 5. Meillä on visuaalinen esitys peruskäsitteistä (piste, viiva, taso) eikä niille ole annettu määritelmiä. Niiden ominaisuudet ilmaistaan ​​aksioomeina.

Pisteen ohella tarkastellaan suoraa, stereometriassa tasoa, geometrisia kappaleita (kuutio, suuntaissärmiö, sylinteri, tetraedri, kartio jne.), tutkitaan niiden ominaisuuksia, lasketaan niiden pinta-alat ja tilavuudet. Ympärillämme olevat esineet antavat käsityksen geometrisista kappaleista.

Dia 6. Kysymyksiä opiskelijoille:

Mitä geometrisia kappaleita näissä piirustuksissa kuvatut esineet muistuttavat sinua?

Nimeä ympäristössäsi (luokkahuoneessamme) olevia esineitä, jotka muistuttavat sinua geometrisista kappaleista.

Dia 7. Käytännön työ (muistivihkoissa)

1. Piirrä kuutio muistikirjaan (näkyvät viivat - yhtenäinen viiva, näkymätön - katkoviiva).

2. Merkitse kuution kärjet isoilla kirjaimilla ABCDA 1 B 1 S 1 D 1

3. Korosta värikynällä:

• kärjet A, C, B 1, D 1 ; segmentit AB, SD, B 1 S, D 1 KANSSA; neliön AA lävistäjät 1 IN 1 V.

Kiinnitä opiskelijoiden huomio piirustuksen näkyviin ja näkymättömiin viivoihin; AA neliönmuotoinen kuva 1 in 1 Avaruudessa.

Dia 8. Kysymyksiä opiskelijoille:

Mikä on aksiooma? Mitä planimetrian aksioomia tiedät?

Avaruudessa pisteiden, suorien ja tasojen perusominaisuudet, jotka koskevat niiden suhteellista sijaintia, ilmaistaan ​​aksioomeina.

Dia 9. Oppilaat tekevät muistiinpanoja ja piirroksia vihkoon.

Aksiooma 1. (A1) Minkä tahansa 3 pisteen kautta, jotka eivät ole yhdellä suoralla, on taso ja lisäksi vain yksi.

Dia 10. Huomaa, että jos emme ota 3, vaan 4 mielivaltaista pistettä, niin yksikään taso ei saa kulkea niiden läpi, eli 4 pistettä ei voi olla samassa tasossa.

Dia 11. Aksiooma 2. (A2) Jos suoran 2 pistettä ovat tasossa, niin myös kaikki suoran pisteet ovat tässä tasossa. Tässä tapauksessa he sanovat, että suora on tasossa tai taso kulkee suoran linjan läpi.

Dia 12. Kysymys opiskelijoille:

Kuinka monta pistettä suoralla ja tasolla on yhteistä? (Kuva 1 - äärettömän monta; kuva 2 - yksi)

Dia 13. Aksiooma 3. (A3) Jos kahdella tasolla on yhteinen piste, niin niillä on yhteinen viiva, jolla näiden tasojen kaikki yhteiset pisteet sijaitsevat.

Tässä tapauksessa tasojen sanotaan leikkaavan suorassa linjassa.

3. Tutkitun aineiston konsolidointi.

Dia 14. Tehtävän ratkaisu oppikirjasta nro 1 (a, b), 2 (a).

Oppilaat lukevat tehtävälauseen ja antavat dialla olevan kuvan avulla vastauksen selityksellä.

Tavoite 1.

a) P, E (ADV) PE (ADV) kohdan A 2 mukaisesti

Samanlainen kuin MK (VDS)

V, D (ADV) ja (VDS) VD (ADV) ja (ICE)

Samanlainen kuin AB (ADV) ja (ABC)

C, E (ABC) ja (DES) CE (ABC) ja (DES)

b) C (DK) ja (ABC) DK ∩ (ABC) = S. T. to. suoran ja tason leikkauspisteitä on korkeintaan yksi (suora ei ole tasossa), niin tämä on ainoa piste.

Vastaavasti CE ∩ (ADV) = E.

Tehtävä 2 (a)

Tasossa DSS 1: D, S, S 1, D 1 , K, M, R. Tasossa BQC: B 1, B, P, Q, C 1, M, C.

Dia 15. 4. Oppitunnin yhteenveto.Kysymyksiä opiskelijoille:

1. Mikä on sen geometrian osan nimi, jota opiskelemme luokilla 10-11?
2. Mikä on stereometria?
3. Muotoile kuvan avulla stereometrian aksioomit, jotka opit tämän päivän oppitunnilla.

Dia 16. 5. Kotitehtävät.

Oppitunti 2. Joitakin aksioomien seurauksia.

Oppitunnin tavoitteet:

Käy läpi stereometrian aksioomat ja niiden soveltaminen kotitehtävien ratkaisemiseen;

Tutustuttaa opiskelijat aksioomien vaikutuksiin;

Opettaa soveltamaan aksioomien seurauksia tehtävien ratkaisussa sekä vahvistaa kykyä soveltaa stereometrian aksioomia tehtäviä ratkaistaessa;

Toista kaava rombin alueen laskemiseksi.

Tuntien aikana.

Dia 1. 1. Organisatorinen hetki.Viestintä oppitunnin aiheesta ja tavoitteista.

Dia 2.

1) Muotoile stereometrian aksioomit ja piirrä piirustukset taululle.

2) nro 1 (c, d); 2 (b, e).

Oppilaat vastaavat suullisesti dialla olevasta kuvasta kotitehtäviin.

Dia 3. 3. Uuden materiaalin oppiminen.Harkitse ja todista aksioomien seuraukset.

Lause 1. Taso kulkee suoran ja sellaisen pisteen läpi, joka ei ole sillä, ja lisäksi vain yhden.

Oppilaat kirjoittavat sanamuodon muistikirjaan ja vastaavat opettajan kysymyksiin, tekevät muistiinpanoja ja piirroksia vihkoon.

Mitä lauseessa on annettu? (suora ja ei-makaa piste)

Mitä pitää todistaa? (ohittaa koneen; yksi)

Mitä voidaan käyttää todistamiseen? (stereometrian aksioomat)

Millä aksioomilla voit rakentaa tason? (A1, taso kulkee kolmen pisteen läpi ja lisäksi vain yhden)

Mitä tässä lauseessa on ja mitä puuttuu A1:n käyttämisestä (meillä on - piste; tarvitaan vielä kaksi pistettä)

Missä piirretään vielä kaksi kohtaa? (tällä rivillä)

Millaisen johtopäätöksen voimme tehdä? (rakenna kone kolmen pisteen läpi)

Kuuluuko tämä taso suoralle viivalle? (Joo)

Millä perusteella tällainen johtopäätös voidaan tehdä? (A2:n perusteella: jos kaksi suoran pistettä kuuluu tasoon, niin koko suora kuuluu tasoon)

Kuinka monta tasoa voit piirtää tietyn suoran ja tietyn pisteen läpi? (yksi)

Miksi? (koska suoran kautta kulkeva taso ja taso tietyn pisteen ja kahden suoran pisteen läpi, se tarkoittaa, että pitkin A1 tämä taso on ainoa)

Dia 4. Lause 2. Taso kulkee kahden leikkaavan suoran läpi ja lisäksi vain yhden.

Opiskelija todistaa lauseen itse, kuuntelee sitten useita todisteita ja tekee lisäyksiä ja tarkennuksia (tarvittaessa)

Kiinnitä huomiota siihen, että todiste ei perustu aksioomeihin, vaan seuraukseen 1.

Dia 5. 4. Tutkitun aineiston konsolidointi.

Tehtävä 6 (opetusohjelmasta)

Oppilaat työskentelevät harjoituskirjoissa, ehdottavat omia ratkaisujaan ja vertaavat sitten ratkaisuaan näytöllä olevaan ratkaisuun. Analysoidaan kahta tapausta: 1) pisteet eivät ole yhdellä suoralla; 2) pisteet ovat kollineaarisia.

Dia 6.7. Tehtävä on diassa. Oppilaat lukevat ehdon, piirtävät ja tekevät tarvittavat muistiinpanot vihkoon. Opettaja tekee eturintamassa luokan kanssa ongelmaa. Ongelman ratkaisemisen aikana toistamme rombin alueen laskentakaavat.

Annettu: AVSD - rombi, AS∩VD = O, M, (A, D, O); AB = 4 cm, A = 60º.

Etsi: (B, C); D (MOU); (MOB) ∩ (ADO); S AVSD.

Ratkaisu:

Kiinnitä huomiota siihen, että jos kahdella tasolla on yhteisiä pisteitä, ne leikkaavat näiden pisteiden läpi kulkevan suoran.

5. Yhteenveto:

Muotoile stereometrian aksioomat.

Muotoile aksioomien seuraukset.

Oppitunnin tavoite on saavutettu. Toistimme stereometrian aksioomat, tutustuimme aksioomien seurauksiin ja sovelsimme niitä ongelmien ratkaisuun.

Merkintä (kommenttien kanssa)

Dia 8. 6. Kotitehtävien asettaminen:

Oppitunti 3. Tehtävän ratkaiseminen stereometrian aksioomien soveltamisesta ja niiden seurauksista.

Oppitunnin tavoitteet:

Käy läpi stereometrian aksioomat ja niiden seuraukset;

Kehittää taitoa soveltaa stereometrian aksioomia ja niiden seurauksia tehtävien ratkaisussa;

Opiskelija tuntee stereometrian aksioomat ja niiden seuraukset ja osaa soveltaa niitä ongelmien ratkaisussa.

Tuntien aikana.

Dia 1. 1. Organisatorinen hetki.Viestintä oppitunnin aiheesta ja tavoitteista.

2. Opiskelijoiden tiedon toteuttaminen.

1) Oppilaan kysymysten kotitehtävien tarkistaminen.

Ota ennen oppituntia useiden oppilaiden kotitehtävävihkot tarkistettavaksi.

2) Kaksi opiskelijaa valmistelee taululla todistetta aksioomien seurauksista.

3) Kaksi opiskelijaa (taso 1) ja kaksi opiskelijaa (taso 2) työskentelevät yksittäisillä kyselykorteilla. Liuku.

4) Frontaalityö opiskelijoiden kanssa.

Dia 2. Annettu: kuutio AVSDA1V1S1D1

Löytö:

1. Useita pisteitä, jotka sijaitsevat α-tasossa; (A, B, C, D)
2. Useita pisteitä, jotka eivät ole α-tasossa; (A 1, B 1, C 1, D 1)
3. Useita suoria viivoja, jotka sijaitsevat tasossa α; (AB, VS, SD, AD, AS, VD)
4. Useita suoria, jotka eivät ole tasossa α; (A 1 B 1, B 1 C 1, C 1 D 1, A 1 D 1, A 1 C 1, B 1 D 1, AA 1, BB 1, SS 1, DD 1)
5. Useita suoria viivoja, jotka leikkaavat linjan BC; (BB 1, CC 1)
6. Useita suoria viivoja, jotka eivät ylitä linjaa BC. (HELVETTI, AA 1 …)

Dia 3. Täytä tyhjät kohdat saadaksesi oikean lausunnon:

Dia 4. Ovat suoria AA:ita 1 , AB, AD samassa tasossa? (Suora AA 1 , AB, HELVETTI kulkevat pisteen A läpi, mutta eivät ole samassa tasossa)

3. Ongelmien ratkaiseminen.

Dia 5. Opiskelija ratkaisee oppikirjasta tehtäviä nro 7, 10, 14 tekemällä sopivia piirustuksia ja muistiinpanoja taululle ja muistivihkoon.

Ongelma numero 7.

2) Ovatko kaikki pisteen M läpi kulkevat suorat samassa tasossa?

Ratkaisu: Seurauksena 2:

2) Kaikki pisteen M kautta kulkevat suorat eivät välttämättä ole samassa tasossa. (katso esimerkki diasta 4)

Tehtävä 10. Oppilaat ratkaisevat tehtävän itse (samanlaiset kuin tehtävässä 7). Opettaja ottaa valikoivasti muistikirjoja tarkistettavaksi ja antaa yksilöllistä apua ongelman ratkaisemisessa opiskelijoille, jotka eivät selvinneet tehtävästä.

Tehtävä numero 14. Ratkaisu: Kaikki suorat a, b, c ovat samassa tasossa. Tässä tapauksessa päätelmän 2 avulla voidaan piirtää taso, ja yksi taso kulkee kolmen suoran läpi.

Yksi kolmesta suorasta, esimerkiksi c, ei ole suorien a ja b määrittelemässä tasossa α. Tässä tapauksessa annettujen kolmen suoran läpi kulkee kolme erilaista tasoa, jotka määritellään suorien a ja b, a ja c, b ja c parilla.

Dia 6. Opiskelija tekee piirustuksen ja tarvittavat konstruktiot ja muistiinpanot vihkoon. Rakennettaessa opiskelija lausuu aksioomit, rakentamisen tulos kirjoitetaan symboleilla.

Tehtävä. Annettu: kuutio AVSDA 1 B 1 C 1 D 1

tM on reunalla BB 1 , piste N on reunalla CC 1 ja piste K on reunalla DD 1

a) Nimeä tasot, joilla pisteet M sijaitsevat; N.

b) etsi suorien МN ja BC leikkauspiste F-piste. Mikä ominaisuus pisteellä F on?

c) etsi suoran KN ja tason ABC leikkauspiste.

d) etsi tasojen MNK ja ABC leikkausviiva.

Ratkaisu:

Dia 7. Seuraavan ongelman ratkaisemiseksi toistamme kaavan nelikulmion pinta-alan laskemiseksi. Kaavan johtaminen jäsennetään diassa.

Oppilaat kirjoittavat kaavan muistivihkoon.

Dia 8. Todista että kaikki AVSD-neliikulmion kärjet ovat samassa tasossa, jos sen diagonaalit AC ja VD leikkaavat.

Laskea nelikulmion pinta-ala, jos AS┴VD, AS = 10cm, VD = 12cm.

Vastaus: 60 cm2

4. Oppitunnin yhteenveto.

Mikä aiheutti vaikeuden? Opettaja ilmoittaa oppitunnin arvosanat kommentilla.

Dia 9.

Oppitunti 4. Tehtävän ratkaiseminen stereometrian aksioomien soveltamisesta ja niiden seurauksista.

Oppitunnin tavoitteet:

Hallita stereometrian aksioomien ja niiden seurausten tuntemusta;

Vahvistaa muodostunutta taitoa soveltaa stereometrian aksioomia ja niiden seurauksia tehtävien ratkaisussa;

Katsaus: Pythagoraan lause ja sen sovellus; kaavat tasasivuisen kolmion, suorakulmion pinta-alojen laskemiseen.

Tuntien aikana.

Dia 1. 1. Organisatorinen hetki.Viestintä oppitunnin aiheesta ja tavoitteista.

Dia 2. 2. Kotitehtävien tarkistaminen.

Ota ennen oppituntia useiden oppilaiden kotitehtävävihkot tarkistettavaksi.

Kaksi opiskelijaa valmistelee taululla ratkaisuja kotitehtäviin - nro 9, 15.

Loput opiskelijat vastaavat matematiikan sanelun kysymyksiin dialla.

Dia 3. 3. Ongelmanratkaisu (etutyö luokan kanssa)

Ongelma numero 1.

Sinulle annetaan MABS-tetraedri, jonka jokainen reuna on 6 cm.

1. Nimeä suora, jota pitkin tasot leikkaavat: a) MAB ja MFC; b) MCF ja ABC.
2. Etsi СF:n ja SАВС:n pituus
3. Kuinka rakentaa suoran DE leikkauspiste tason ABC kanssa?

Kysymyksiä opiskelijoille (tarvittaessa):

Mitkä pisteet kuuluvat molemmille tasoille samanaikaisesti. Mitä aksioomaa voidaan käyttää johtopäätöksen tekemiseen?

Ilmoita tasakylkisen kolmion mediaanin ominaisuus.

Muotoile Pythagoraan lause.

Miksi voimme soveltaa Pythagoraan lausetta tässä tapauksessa?

Millä menetelmillä tasasivuisen kolmion pinta-ala voidaan laskea?

Onko aina mahdollista rakentaa suoran MU ja tason ABC leikkauspiste?

Dia 4. Tehtävä numero 2.

1. Kuinka rakentaa tason ABC leikkauspiste suoran D kanssa 1 R?
2. Kuinka piirtää verenpainetason leikkausviiva 1 P ja ABB 1?
3. Laske segmenttien AR ja BP pituus 1, jos AB = a

Ratkaisu:

Dia 5. Tehtävä numero 3.

Annettu : Pisteet A, B, C eivät ole yhdellä suoralla.

Todistaa että piste P on tasossa ABC.

Dian animaation avulla opiskelijat tekevät sopivat konstruktiot ja tarvittavat johtopäätökset. He tekevät muistiinpanoja muistikirjoihin matemaattisten symbolien avulla, lausuen vastaavat aksioomit ja aksioomien seuraukset.

Kysymyksiä opiskelijoille (tarvittaessa):

Mikä johtopäätös voidaan tehdä, kun tiedetään, että pisteet A, B, C eivät ole yhdellä suoralla?

Jos pisteet A ja B ovat tasossa, mitä johtopäätöstä voidaan tehdä suorasta AB?

Mitä johtopäätöstä voidaan tehdä pisteestä M?

Jos pisteet A ja C ovat tasossa, mitä johtopäätöstä suorasta AC voidaan tehdä?

Mitä johtopäätöstä voidaan tehdä pisteestä K?

Mitä johtopäätöstä voidaan tehdä suorasta MK, kun tiedetään, että pisteet M ja K sijaitsevat tasossa?

Mitä johtopäätöstä voidaan tehdä pisteestä P?

Ratkaisu (toinen tapa todistaa):

AB∩AC = A. Toisen seurauksen mukaan suorat AB ja AC määrittelevät tason α. Piste M kuuluu AB:hen, mikä tarkoittaa, että se kuuluu tasoon α ja piste K kuuluu AC:hen ja siten myös tasoon α. Aksiooman A2 mukaan: MK on tasossa α. Piste P kuuluu MC:hen ja siten tasoon α.

Dia 6. Tehtävä numero 4.

Tasot α ja β leikkaavat suorassa linjassa kanssa. Suora a on tasossa α ja leikkaa tason β. Leikkaavatko suorat a ja c? Miksi?

Kysymyksiä opiskelijoille (tarvittaessa):

Mitä johtopäätöstä voidaan tehdä, kun tiedetään, että suora a leikkaa tason β? (Suoralla ja tasolla on yhteinen piste, esimerkiksi piste B)

Mikä ominaisuus pisteellä B on? (Piste B kuuluu suoralle a, tasolle α ja tasolle β)

Jos piste kuuluu kahteen tasoon samanaikaisesti, niin mitä voidaan sanoa tasojen suhteellisesta sijainnista? (tasot leikkaavat suorassa linjassa, esim.)

Mikä on pisteen B ja suoran c suhteellinen sijainti? (piste B kuuluu riville c)

Mitä johtopäätöksiä näistä suorista voidaan tehdä, kun tiedetään, että piste B kuuluu sekä suoralle a että c:lle? (viivat leikkaavat pisteessä B)

Dia 7. Tehtävä numero 5.

Kun suorakulmio AVSD on annettu, O on sen diagonaalien leikkauspiste. Tiedetään, että pisteet A, B, O sijaitsevat tasossa α. Osoita, että myös pisteet C ja D ovat tasossa α. Laske suorakulmion pinta-ala, jos AC = 8 cm, AOB = 60º.

Tehtävä on tarkoitettu itsenäiseen ratkaisuun, jossa käsitellään ratkaisua ja tarjotaan yksilöllistä apua opiskelijoille. On hyödyllistä keskustella erilaisista tavoista löytää suorakulmion pinta-ala:

Kehota oppilaita ratkaisemaan ongelma eri tavoilla. Vastaus: 16 cm 2.

4. Yhteenveto oppitunnista:

Mitä aksioomia ja lauseita käytimme oppitunnilla tehtävien ratkaisemisessa? Muotoile.

Mitkä tehtävät olivat mielenkiintoisimpia, vaikeimpia?

Mikä oli sinulle henkilökohtaisesti hyödyllistä oppitunnilla?

Mikä aiheutti vaikeuden?

Oppitunnin merkintä (kommentoimalla jokaista arvosanaa)

Dia 8. 5. Kotitehtävien asettaminen:

Oppitunti 5. Tehtävän ratkaiseminen stereometrian aksioomien soveltamisesta ja niiden seurauksista. Itsenäinen työskentely (20 min)

Oppitunnin tavoitteet:

Vahvistaa teoreettisten kysymysten assimilaatiota ongelmien ratkaisuprosessissa;

Tarkista opiskelijoiden valmiusaste tekemällä itsenäistä kontrolloivaa työtä.

Tuntien aikana.

Dia 1. 1. Organisatorinen hetki.

Viestintä oppitunnin aiheesta ja tavoitteista.

Dia 2. 2. Kotitehtävien tarkistaminen.

Ota ennen oppituntia useiden oppilaiden kotitehtävävihkot tarkistettavaksi.

Tavoite 1.

Suorat a ja b leikkaavat pisteissä O, A a, B b, P AB. Osoita, että suorat a ja b sekä piste P ovat samassa tasossa.

Ratkaisu:

Dia 3. Tehtävä 2.

Tässä kuvassa taso α sisältää pisteet A, B, C, D, mutta ei sisällä pistettä M. Muodosta piste K - suoran AB ja tason MSD leikkauspiste. Onko piste K tasossa α.

Ratkaisu:

Diat 4, 5, 6 3. Teoriatarkistustehtävien sanallinen ratkaisu (dioilla)

Diat 7.8 4. Itsenäinen työskentely(monitasoinen, hallitseva luonto) Oppilaat valitsevat vaikeustasonsa.

5. Yhteenveto.

1) Kerää muistikirjoja itsenäiseen työskentelyyn.

2) Arvosanojen ilmoittaminen kommentein.

Dia 9. 6. Kotitehtävät.

Esikatselu:

Jos haluat käyttää esitysten esikatselua, luo itsellesi Google-tili (tili) ja kirjaudu sisään: https://accounts.google.com

Dian kuvatekstit:

Oppitunti 1 Aihe: "Stereometrian aihe. Stereometrian aksioomat."

Mikä on geometria? Geometria - tiede geometristen muotojen ominaisuuksista "Geometria" - (kreikaksi) - "mittaus" - Mitä on planimetria? Planimetria on geometrian osa, jossa tutkitaan tasossa olevien kuvioiden ominaisuuksia. Ja a Planimetrian peruskäsitteet: piste on suora - Planimetrian peruskäsitteet?

Stereometria - geometrian osa, jossa tutkitaan kuvioiden ominaisuuksia avaruudessa

Avaruuden perushahmot: pistesuora taso α β Nimitys: А; V; KANSSA; ...; М;… a А В М N Р Nimitys: a, b, c, d ..., m, n, ... (tai latinaksi kahdella isolla kirjaimella) Nimitys: α, β, γ ... Vastaa kysymykset kuvassa: 1. Nimeä pisteet, jotka sijaitsevat tasossa β; ei makaa tasossa β. 2. Mitkä ovat tasossa β olevat suorat; ei makaa tasossa β

Jotkut geometriset kappaleet. A B C D D 1 C 1 B 1 A 1 kuutio A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 suuntaissärmiö A B C D tetraedrisylinterikartio

Nimeä, mitkä geometriset kappaleet muistuttavat sinua näissä kuvissa kuvatuista esineistä: Nimeä ympäristösi (luokkahuoneemme) esineet, jotka muistuttavat sinua geometrisista kappaleista.

Käytännön työ. 1. Piirrä kuutio muistikirjaan (näkyvät viivat - yhtenäinen viiva, näkymätön - katkoviiva). 2. Merkitse kuution kärjet isoilla kirjaimilla ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ABCDD 1 C 1 B 1 A 1 3. Valitse värikynällä: kärjet A, C, B 1, D 1 segmentit AB, SD, B 1 С, Д 1 С neliön diagonaali АА 1 В 1 В

Mikä on aksiooma? Aksiooma on väite geometristen kuvioiden ominaisuuksista, se otetaan lähtökohdaksi, jonka perusteella teoreemoja todistetaan edelleen ja yleensä koko geometria rakennetaan. Planimetrian aksioomat: - minkä tahansa kahden pisteen kautta voit piirtää suoran ja lisäksi vain yhden. kolmesta pisteestä yksi suora ja vain yksi on kahden muun välissä. on ainakin kolme pistettä, jotka eivät ole yhdellä suoralla...

Stereometrian aksioomit. A B C A1. Minkä tahansa kolmen pisteen kautta, jotka eivät ole yhdellä suoralla, taso kulkee ja lisäksi vain yksi. α

Jos pöydän jalat eivät ole samanpituisia, niin pöytä seisoo kolmella jalalla, ts. lepää kolmella "pisteellä", ja neljännen jalan pää (neljäs piste) ei ole lattian tasossa, vaan roikkuu ilmassa.

Stereometrian aksioomit. А В α А2. Jos kaksi suoran pistettä ovat tasossa, niin tämän suoran kaikki pisteet ovat tässä tasossa. He sanovat: suora on tasossa tai taso kulkee suoran läpi.

a M Suora on tasossa Suora leikkaa tason Kuinka monta pistettä suoralla ja tasolla on yhteistä?

Stereometrian aksioomit. αβ A3. Jos kahdella tasolla on yhteinen piste, niillä on yhteinen suora, jolla näiden tasojen kaikki yhteiset pisteet sijaitsevat. Sanotaan: tasot leikkaavat suorassa linjassa. Ah

Ratkaise tehtäviä: №1 (a, b); 2 (a) A B S D R E K M A B S D A 1 B 1 C 1 D 1 Q P R K M Kuvan mukainen nimi: a) tasot, joilla suorat DV, AB, MK, PE, EC sijaitsevat; b) suoran DC ja tason ABC leikkauspiste, suoran CE ja tason ADV leikkauspiste. a) pisteet, jotka sijaitsevat tasoissa DSS 1 ja B Q C No. 1 (a, b) No. 2 (a)

Tehdään yhteenveto oppitunnista: 1) Mikä on sen geometrian osan nimi, jota opiskelemme luokilla 10-11? 2) Mitä stereometria on? 3) Muotoile kuvan avulla stereometrian aksioomit, jotka opit tämän päivän oppitunnilla. А А В В α α А α β

Lause 1. Taso kulkee suoran ja sellaisen pisteen läpi, joka ei ole sillä, ja lisäksi vain yhden. Annettu: a, M ¢ a Todista: (a, M), jossa α α on ainoa a M α Todiste: 1. P, O a:n kanssa; (P, O, M) ¢ a P O A1-aksiooman mukaan: taso kulkee pisteiden P, O, M kautta. Axiom A2:n mukaan: alkaen kaksi suoran pistettä kuuluu tasoon, silloin koko suora kuuluu tähän tasoon, ts. (a, M), jossa α 2. Mikä tahansa suoran a ja pisteen M kautta kulkeva taso kulkee pisteiden P, O ja M kautta, mikä tarkoittaa, että A1-aksiooman mukaan se on ainoa. Ch.t.d. Muutamia aksioomien seurauksia:

Lause 2. Taso kulkee kahden leikkaavan suoran läpi, ja lisäksi vain yhden. Annettu: a ∩ b Todista: 1. (a∩ b) c α 2. α on ainoa a b M H α Todistus: 1. Taso α kulkee a:n ja H a, H b:n läpi. (M, H) α, (M, H) b, joten A2:n kaikki pisteet b kuuluvat tasoon. 2. Taso kulkee a:n ja b:n kautta ja se on ainoa, koska mikä tahansa linjojen a ja b kautta kulkeva taso kulkee myös H:n kautta, mikä tarkoittaa, että α on ainoa.

Ratkaise tehtävä numero 6 А В С α Kolme annettua pistettä on yhdistetty pareittain segmenteillä. Todista, että kaikki janat ovat samassa tasossa. Todistus: 1. (A, B, C) α, joten pitkin A1:tä A, B, C kautta ainoa taso kulkee. 2. Jokaisen janan kaksi pistettä on tasossa, joten A2:n mukaan kunkin janan kaikki pisteet ovat tasossa α. 3. Johtopäätös: AB, BC, AC ovat tasossa α 1 -tapauksessa. A B C α 2 tapaus. Todistus: Koska 3 pistettä kuuluu yhdelle suoralle, niin A2:n mukaan tämän suoran kaikki pisteet ovat tasossa.

Tehtävä. А В С Д М О AVSD - rombi, O - sen diagonaalien leikkauspiste, M - avaruuden piste, joka ei ole rombin tasossa. Pisteet A, D, O ovat tasossa α. Päätä ja perustele: Ovatko pisteet B ja C tasossa α? Onko piste D MOV-tasossa? Nimeä MOV- ja ADO-tasojen leikkausviiva. Laske rombin pinta-ala, jos sen sivu on 4 cm ja kulma 60 º. Ehdota erilaisia ​​tapoja laskea rombin pinta-ala.

Suullinen työ. A B S D A 1 B 1 C 1 D 1 α Annettu: kuutio ABSDA 1 B 1 C 1 D 1 Etsi: Useita pisteitä, jotka sijaitsevat tasossa α; Useita pisteitä, jotka eivät ole α-tasossa; Useita suoria viivoja, jotka sijaitsevat tasossa α; Useita suoria, jotka eivät ole tasossa α; Useita suoria viivoja, jotka leikkaavat linjan BC; Useita suoria viivoja, jotka eivät ylitä linjaa BC. Tavoite 1.

Suullinen työ. Tehtävä 2. α А М В а b c Täytä tyhjät kohdat saadaksesi oikean lauseen:

Suullinen työ. A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 α Suorat AA 1, AB, HELL kulkevat pisteen A kautta, mutta eivät ole samassa tasossa Ovatko suorat AA 1, AB, HELL samassa tasossa?

Ratkaise tehtävät opetusohjelmasta: s. 8 № 7, 10, 14. Opiskelijoiden työt taululla ja vihkoissa:

Tehtävä 1 A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 M NF K Annettu: kuutio ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 tM on reunalla BB 1, eli N on reunalla CC 1 ja piste K on reunalla DD 1 a ) nimeä tasot, joilla pisteet M sijaitsevat; N. b) etsi suorien M N ja BC leikkauspiste F-piste. Mikä ominaisuus pisteellä F on? c) löydä suoran K N ja tason ABC O leikkauspiste O d) etsi tasojen M N K ja ABC leikkauspiste

Tehtävä (suullisesti) A B C D M O AVSD on rombi, O on sen diagonaalien leikkauspiste, M on avaruuden piste, joka ei ole rombin tasossa. Pisteet A, D, O ovat tasossa α. Päätä ja perustele: 1. Mitä muita pisteitä on tasossa α? Ovatko pisteet B ja M tasossa α? Onko piste B MOD:n tasossa? Nimeä tasojen MOC ja ADO leikkausviiva. Piste O on MOV- ja MOC-tasojen yhteinen piste. Onko totta, että nämä tasot leikkaavat suorassa MO? Nimeä kolme samassa tasossa olevaa suoraa; ei makaa samassa tasossa.

Tehtävä (suullisesti) A B CM Kolmion ABC sivut AB ja AC ovat tasossa. Todista, että myös mediaani on tasossa.

S D V E F O M Tehtävä (suullinen) Mikä on piirustuksen virhe, missä O E F. Anna selitys. Miltä oikean piirustuksen pitäisi näyttää.

1 taso A B C S K M N 1. Nimeä tämän kuvan avulla: a) neljä pistettä, jotka sijaitsevat tasossa S AB; b) taso, jossa suora M N on; c) suora, jota pitkin tasot S AC ja S BC leikkaavat. 2. Piste C on tason ja yhteinen piste. Suora c kulkee pisteen C kautta. Onko totta, että tasot ja leikkaavat linjaa c pitkin. Selitä vastaus. 3. Suoran a ja pisteen A kautta voidaan piirtää kaksi eri tasoa. Mikä on suoran a ja pisteen A suhteellinen sijainti. Selitä vastaus. 2 taso S А В С Д Е F 1. Nimeä tämän kuvan avulla: a) kaksi tasoa, jotka sisältävät suoran DE; b) suora, jota pitkin tasot AE F ja S BC leikkaavat; c) suoran S B leikkaamat tasot. 2. Suoralla a, b ja c on yhteinen piste. Onko totta, että nämä viivat ovat samassa tasossa? Perustele vastaus. 3. Tasot ja leikkaavat suorassa linjassa kanssa. Suora a on tasossa ja leikkaa tason. Mikä on suorien a ja c suhteellinen sijainti?

A B C D A 1 B 1 C 1 D 1 Taso 3 (korteilla) 1. Nimeä tämän kuvan avulla: a) kaksi tasoa, jotka sisältävät suoran B 1 C; b) suora, jota pitkin tasot В 1 СД ja АА 1 Д 1 leikkaavat; c) taso, joka ei leikkaa suoraa SD 1. 2. Neljä suoraa leikkaavat pareittain. Onko totta, että jos mitkä kolme niistä ovat samassa tasossa, niin kaikki neljä suoraa ovat samassa tasossa? Selitä vastaus. 3. Tason nelikulmion AVSD kärki C on tasossa ja pisteet A, B, D eivät ole tässä tasossa. Suorat AB ja HELL leikkaavat tason pisteissä B 1 ja D 1, vastaavasti. Mikä on pisteiden C, B 1 ja D 1 suhteellinen sijainti? Selitä vastaus.

Kotitehtävä: toista aineisto planimetriasta ja tee muistiinpanot vihkoon seuraavista kysymyksistä: Yhdensuuntaisten suorien määrittäminen Kahden suoran keskinäinen sijainti tasossa Tietyn rinnakkaisten suorien aksiooman kanssa yhdensuuntaisen suoran rakentaminen

1. oppitunti: Mitä stereometria tutkii? Stereometria on geometrian haara, joka tutkii kuvioiden ominaisuuksia avaruudessa. Sana "stereometria" tulee kreikan sanoista "stereos" - tilavuus, tila ja "metreo" - mittaamaan. Monet geometriset termit on käännetty antiikin kreikan kielestä, koska geometria sai alkunsa antiikin Kreikasta ja kehittyi filosofian kouluissa.

2. oppitunti: Stereometrian perusmuodot. Tason kuvaamiseen on useita tapoja: taso on kuvattu suunnikkaalla; taso on osoitettu kuviolla, jota rajoittaa kaksi yhdensuuntaista suoraa ja kaksi mielivaltaista käyrää; tason välittää minkä tahansa muotoinen kuvio.

3. oppitunti: Tilahahmot. Oppitunti on omistettu stereometrian aksioomien käyttöönottoon valmistautumiseen. Opiskelijoille tarjotaan seuraavat tehtävät: 1. Piirrä suora a, sen päällä oleva piste A ja sillä ei makaa piste B. 2. Piirrä taso ja kaksi sen päällä olevaa leikkaavaa suoraa a ja b. 3. Piirrä taso, sen päällä olevat pisteet A ja B sekä tason vastakkaisilla puolilla sijaitsevat pisteet C ja D. 4. Piirrä taso ja sen leikkaava suora a. 5. Piirrä suorassa kulmassa leikkaavat tasot.

5. oppitunti: Tasojen yhdensuuntaisuuden merkit. Stereometrian aksioomia tutkiessa palaamme mieleen planimetrian ensimmäiset aksioomit ja muotoilemme niiden spatiaalisia analogioita. Tuloksena saadaan seuraava taulukko: Ax uom a Piirustusformulaatio P1P1 Olipa avaruuden suora mikä tahansa, avaruudessa on pisteitä, jotka kuuluvat tähän suoraan, ja pisteitä, jotka eivät kuulu siihen. P2P2 Minkä tahansa kahden pisteen kautta avaruudessa voit piirtää suoran, ja lisäksi vain yhden.

6. oppitunti: Rinnakkaissuunnittelu. Harkitse aksioomien seurauksia: Kaavakuvauksen piirtäminen Sl.1 Suoran ja sillä ei ole pisteen kautta voit piirtää tason, ja lisäksi vain yhden. Jos kaksi suoran pistettä kuuluu tasoon, niin koko suora kuuluu tähän tasoon. Kolmen pisteen kautta, jotka eivät ole yhdellä suoralla, voit piirtää tason, ja lisäksi vain yhden.

Tilahahmojen kuvaaminen tasossa Aiheesta on seitsemän oppituntia: 1. Rinnakkaissuunnittelu ja sen pääominaisuudet; 2. P Tasokuvioiden rinnakkaissuunnittelu; 3. Ja kuva tilahahmoista rinnakkaisessa projektiossa; 4. C Polyhedra-leikkaus; 5. З Kultainen leikkaus; 6. Keskussuunnittelu ja sen ominaisuudet; 7. Ja kuva spatiaalisista hahmoista keskusprojektiossa.

Oppitunti 1: Rinnakkaissuunnittelu ja sen perusominaisuudet. Rinnakkaissuunnittelun pääominaisuudet: 1. Suoran yhdensuuntainen projektio on suora tai piste; 2. janan yhdensuuntainen projektio on jana tai piste; 3. yhdellä suoralla olevien osien pituuksien suhde säilyy (erityisesti janan keskipiste yhdensuuntaisella projektiolla menee vastaavan janan keskipisteeseen); 4. Kahden yhdensuuntaisen suoran rinnakkaisprojektio ovat yhdensuuntaisia ​​suoria tai yksi suora tai kaksi pistettä; 5. yhdensuuntaisilla linjoilla olevien segmenttien pituuksien suhde säilyy rinnakkaisen suunnittelun aikana; 6. Jos kuvio on projektiotason suuntaisessa tasossa, niin sen yhdensuuntainen projektio tälle tasolle on yhtä suuri kuin alkuperäinen.

Oppitunti 2: Tasokuvioiden yhdensuuntaiset projektiot. Käsitellään kysymystä tasaisten hahmojen kuvasta rinnakkaisessa suunnittelussa. Opiskelijoiden tulee kuvitella mitkä muodot ovat monikulmion ja ympyrän yhdensuuntaisia ​​projektioita. Selvitä, mitkä polygonien ominaisuudet säilyvät rinnakkaissuunnittelun aikana. Opi rakentamaan tasomaisten peruskuvioiden yhdensuuntaiset projektiot.

Kultainen leikkaus arkkitehtuurissa Kuuluisat venäläiset arkkitehdit M. Kazakov ja V. Bazhenov käyttivät kultaista leikkausta laajasti töissään. Kultainen leikkaus löytyy esimerkiksi Kremlin senaattirakennuksen arkkitehtuurista. M. Kazakovin hankkeen mukaan Moskovaan rakennettiin Ensimmäinen kliininen, toinen Moskovan arkkitehtoninen mestariteos - Paškovin talo - on yksi V. Bazhenovin arkkitehtuurin täydellisimmistä teoksista.

Polyhedra. Tämä kurssi sisältää seuraavat toiminnot: 1. Säännöllinen polyhedra. Tavallinen polyhedra. 2. Puolisäännöllinen polyhedra. Puolisäännöllinen polyhedra. 3. Tähtipolyhedra. Tähtipolyhedra. 4. Eulerin lause. Eulerin lause.

Oppitunti 4: Eulerin lause. Yksi mielenkiintoisimmista kuperan polyhedran ominaisuuksista on kuvattu Eulerin lauseella. Monitahoisen a nimi Piikkien lukumäärä (B) Reunojen lukumäärä p (P) Pintojen lukumäärä (D) Kolmiopyramidi 464 Nelikulmainen prisma 8126 Viisikulmainen bipyramidi säännöllinen dodekaedri n-kulmainen pyramidi n + 12n2n n-kulmainen prisma 2nn2n3n kanssa ensimmäinen oppilas harkitse heidän tuntemiaan polyhedraja ja täytä taulukko. Sitten päätellään itse lause: В-Р + Г = 2

Kulmat viivojen ja tasojen välillä avaruudessa. Tätä aihetta tutkittaessa on toivottavaa huomata, että kulmien mittausongelma juontaa juurensa muinaisista ajoista. Mittauslaitteiden ja mittausmenetelmien syntyhistoria tulee kattaa mahdollisimman laajasti. Tätä varten ehdotetaan seuraavien luokkien suorittamista: 1. Figuurien tilavuus avaruudessa. Sylinterin tilavuus; Figuurien tilavuus avaruudessa. Sylinterin tilavuus; 2. Cavalieri-periaate, Cavalieri-periaate; 3. Kartion tilavuus; Cone tilavuus; 4. Pallon tilavuus. Pallon tilavuus.

Oppitunti 1: Figuurien tilavuus avaruudessa. Sylinterin tilavuus. Tällä oppitunnilla käsitellään tilahahmojen tilavuuksien mittaamisen ongelmia. Tärkeimmät ominaisuudet tilavuus on lueteltu: ooooooooooooobrazovaniya luku avaruudessa on ei-negatiivinen luku; oooo kuution, jonka reuna on 1, tilavuus on 1; suulliset hahmot ovat yhtä suuret; oeo jos kuvio Ф koostuu kuvista Ф 1 ja Ф 2, niin kuvion Ф tilavuus on yhtä suuri kuin kuvien Ф 1 ja Ф 2 tilavuuksien summa.

• Mikä on stereometria?
• Stereometrian syntyminen ja kehitys
• Perushahmot avaruudessa
• Pisteiden nimeäminen ja esimerkkejä niiden malleista
• Linjan merkintä
• Esimerkkejä suorien viivojen malleista
• Lentokoneiden nimeäminen ja esimerkkejä niiden malleista
• Mitä muuta stereometria tutkii?
• Esineet ja geometriset kappaleet ympärillämme
• Geometristen kappaleiden esittäminen piirustuksissa
• Stereometrian käytännön (sovellettava) arvo
• Stereometrian aksioomit
• Stereometrian aksioomien seuraukset
• Ankkurointi
• Käytetyt kirjat

Mikä on stereometria?

Stereometria On geometrian osa, jossa tutkitaan kuvioiden ominaisuuksia avaruudessa.

Stereometrian syntyminen ja kehitys.

• Stereometrian kehitys alkoi paljon myöhemmin kuin planimetria.
• Stereometria kehittyi havainnoista ja ratkaisuista ihmisten käytännön toiminnan prosessissa nousseisiin kysymyksiin.

• Jo primitiivinen ihminen, ryhtyessään harjoittamaan maanviljelyä, yritti arvioida, ainakin karkeasti, keräämänsä sadon kokoa kasoihin, kasoihin tai pinoihin kasatuilla viljamassoilla.
• Vanhimpienkin primitiivisten rakennusten rakentajan piti jotenkin ottaa huomioon käytettävissään oleva materiaali ja pystyä myös laskemaan, kuinka paljon materiaalia tietyn rakennuksen pystyttämiseen tarvittaisiin.

• Muinaisten egyptiläisten ja kaldealaisten muuraus vaati ainakin yksinkertaisimpien geometristen kappaleiden metristen ominaisuuksien tuntemista.
• Tarve maataloudelle, navigoinnille, ajassa suuntautumiselle pakotti ihmiset tähtitieteellisiin havaintoihin ja jälkimmäiset tutkimaan pallon ja sen osien ominaisuuksia ja siten tasojen ja viivojen keskinäisen järjestelyn lakeja avaruudessa.

Perushahmot avaruudessa.

Taso - geometrinen kuvio, joka ulottuu loputtomasti kaikkiin suuntiin

Pisteiden nimeäminen ja esimerkkejä niiden malleista.

Pisteet on merkitty latinalaisilla isoilla kirjaimilla A, B, C, ...

Esimerkkejä pistemalleista ovat:

atomeja ja molekyylejä

planeetat universumin mittakaavassa

Suorien viivojen merkintä.

• Suorat viivat on merkitty:
• latinalaiset pienet kirjaimet a, b, c, d, e, k, ...
• kaksi isoa latinalaista kirjainta AB, CD ...

Esimerkkejä linjamalleista.

Esimerkkejä linjamalleista ovat:

lentokoneen sukat

Lentokoneiden nimeäminen ja esimerkkejä niiden malleista.

Tasot on merkitty kreikkalaisilla kirjaimilla α, β, γ, ...

Esimerkkejä lentokonemalleista ovat:

veden pintaan

pöydän pinta

Mitä muuta stereometria tutkii?

Stereometria tutkii pisteen, suoran ja tason ohella geometrisia kappaleita ja niiden pintoja.

Esineet ja geometriset kappaleet ympärillämme.

Ympärillämme olevat esineet antavat ideoita geometrisista kappaleista.

Ja tutkimalla geometristen kuvioiden - kuvitteellisten esineiden ominaisuuksia, saamme tietoa todellisten esineiden geometrisista ominaisuuksista ja voimme käyttää näitä ominaisuuksia käytännössä.

kiteet-polyhedronit

tölkki - sylinteri

karkkipakkaus - kartio

Geometristen kappaleiden kuvia piirustuksissa.

• Tilakuvan kuva on sen projektio tietylle tasolle.
• Kuvan näkymätön osa on piirretty katkoviivoilla.

Stereometrian käytännön (sovellettava) arvo.

• Geometriset kappaleet ovat kuvitteellisia esineitä
• Geometristen muotojen ominaisuuksia tutkimalla saamme ajatuksia todellisten esineiden geometrisistä ominaisuuksista (niiden muoto, suhteellinen sijainti jne.)
• Stereometriaa käytetään laajasti rakentamisessa, arkkitehtuurissa, koneenrakennuksessa ja muilla tieteen ja teknologian aloilla.

Stereometrian aksioomit.

• Axiom- tämä geometristen kuvioiden ominaisuuksia koskeva väite on otettu lähtökohtana, jonka pohjalta lauseita todistetaan edelleen ja yleisesti rakennetaan koko geometria.

Stereometrian aksioomit.

A1 . Minkä tahansa kolmen pisteen kautta, jotka eivät ole yhdellä suoralla, taso kulkee ja lisäksi vain yksi.

Stereometrian aksioomit.

A2 ... Jos kaksi suoran pistettä ovat tasossa, niin tämän suoran kaikki pisteet ovat tässä tasossa.

Tässä tapauksessa he sanovat, että suora on tasossa tai taso kulkee suoran linjan läpi.

Stereometrian aksioomit.

A3. Jos kahdella tasolla on yhteinen piste, niillä on yhteinen suora, jolla näiden tasojen kaikki yhteiset pisteet sijaitsevat.

Sanotaan, että tasot leikkaavat suorassa linjassa

Aksioomien seuraukset.

Lause 1: Taso kulkee suoran ja sellaisen pisteen läpi, joka ei ole sillä, ja lisäksi vain yhden.

Lause 2: Taso kulkee kahden leikkaavan suoran läpi, ja lisäksi vain yhden.

Ankkurointi.

1. Nimeä tasot, joissa suorat sijaitsevat:

Ankkurointi.

2. Nimeä suoran CE ja tason ADB leikkauspiste.

3. Nimeä suorat, joita pitkin tasot leikkaavat:

Käytetyt kirjat

• Geometria. 10-11 luokka: oppikirja. Yleissivistävää koulutusta varten. oppilaitokset: perus- ja profiili. tasot / HP Atanasyan, V.F. Butuzov, S.B. Kadomtsev ym. - 21. painos. - M .: Koulutus, 2012.- 255 s.: ill.
• Geometria: Metodologinen opas korkeakouluille ja lukion opettajille: Osa 2 Stereometria / toim. Prof. I.K. Andronov.

1

Koulun geometrian kurssi koostuu kahdesta osasta:

PLANIMETRIA
STEREOMETRIA
Planimetria on osa
geometria, jossa
ominaisuuksia tutkitaan
geometriset kuviot
pinnalla.
Stereometria on osa
geometria, jossa
ominaisuuksia tutkitaan
geometriset kuviot
avaruudessa.
Sana "stereometria" tulee kreikasta
sanat "stereot" - kolmiulotteinen, spatiaalinen ja
"Metreo" - mitata.
2

Peruskonseptit

planimetria
Kohta
Suoraan
stereometria
Kohta
Suoraan
Lentokone
on geometrinen kuvio,
ulottuu loputtomasti kaikkiin
sivut.
3

Pisteiden ohella tarkastellaan suoria viivoja, tasoja stereometriassa, geometrisia kappaleita, tutkitaan niiden ominaisuuksia, lasketaan niiden pinta-alat.

Yhdessä pisteiden, viivojen, tasojen kanssa
stereometriassa
geometriset kappaleet otetaan huomioon,
niiden ominaisuuksia tutkitaan,
niiden pintojen pinta-alat lasketaan,
ja myös kappaleiden tilavuudet lasketaan.
kuutio
pallo
sylinteri
4

Volumetriset geometriset kappaleet

Polyhedra
Pyörimiskappaleet
prisma
pyramidi
kartio
suuntaissärmiö
sylinteri
kuutio
pallo
5

Pisteet on merkitty latinalaisilla isoilla kirjaimilla A, B, C, D, E, K, ...

A
V
KANSSA
E
Suorat viivat on merkitty pienillä kirjaimilla
latinalaiset kirjaimet a, b, c, d, e, k, ...
b
d
a
Lentokoneet on nimetty kreikaksi
kirjaimet α, β, γ, λ, π, ω, ...
β
γ
α
6

Stereometriaa käytetään laajalti rakennusteollisuudessa

7

Stereometriaa käytetään arkkitehtuurissa

8

Stereometriaa käytetään koneenrakennuksessa

9

Maanmittauksessa käytetään stereometriaa

Geodesia on tiede, joka tutkii lajeja ja
maan kokoinen.
Monilla muilla tieteen ja teknologian aloilla.
10

On selvää, että jokaisessa tasossa jotkin avaruuden pisteet sijaitsevat, mutta kaikki avaruuden pisteet eivät ole samassa tasossa.

Aє, Bє,
M
Mє, Nє, Pє
A
N
B
P
11

Stereometrian aksioomit

Aksiooma 1
Mikä tahansa kolme
pisteitä ei
makaa yhden päällä
suoraan, kulkee
lentokone ja
lisäksi vain
yksi.
A
V
KANSSA
Aksiooma 3
Aksiooma 2
Jos kaksi
lentokoneilla on
yhteinen pointti siis
heillä on
suoraan eteenpäin
jotka kaikki valehtelevat
näiden yhteisiä kohtia
lentokoneita.
Jos kaksi pistettä
suoraan makuulle
lentokone, sitten kaikki
suoran pisteet
valehtele tässä
kone.
A
V
KANSSA
A
a
α
12

Jotkut aksioomien seuraukset

K
α
a
P
M
Lause 2. Kahden jälkeen
leikkaavia suoria viivoja
ohittaa koneen ja
lisäksi vain yksi.
Lause 1. Suoran poikki
eikä makaa sen päällä
piste ohittaa koneen,
ja lisäksi vain yksi.
b
a
α
M