Muuttuvan voiman määrätyn integraalityön fysikaaliset sovellukset. Määrätyn integraalin mekaaniset sovellukset. Pyörimispinta-ala

Määritettyä integraalia (OI) käytetään laajalti matematiikan ja fysiikan käytännön sovelluksissa.

Erityisesti geometriassa ROI:n avulla löydetään yksinkertaisten kuvioiden ja monimutkaisten pintojen alueet, pyörimiskappaleiden ja mielivaltaisen muotoisten kappaleiden tilavuudet, käyrien pituudet tasossa ja avaruudessa.

Fysiikassa ja teoreettisessa mekaniikassa RI:tä käytetään materiaalikäyrien ja pintojen staattisten momenttien, massojen ja massakeskipisteiden laskemiseen, muuttuvan voiman työn laskemiseen kaarevalla reitillä jne.

Tasaisen hahmon pinta-ala

Rajaa jokin suorakulmaisen suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän $xOy$ tasokuva ylhäältä käyrällä $y=y_(1) \left(x\right)$, alhaalta käyrällä $y=y_(2) \left (x\oikea)$ ja vasemmalla ja oikealla pystysuoralla viivalla $x=a$ ja $x=b$ vastaavasti. Yleensä tällaisen kuvion pinta-ala ilmaistaan käyttämällä TAI $S=\int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) \left(x\right)-y_(2) \left(x\right )\right)\cdot dx $.

Jos jokin litteä kuvio suorakulmaisessa suorakulmaisessa koordinaatistossa $xOy$ rajoittuu oikealta käyrään $x=x_(1) \left(y\right)$, vasemmalla - käyrään $x=x_(2 ) \left(y\right) $ ja ala- ja yläpuolella vaakasuorilla viivoilla $y=c$ ja $y=d$, vastaavasti, niin tällaisen luvun pinta-ala ilmaistaan käyttämällä OI $S=\int \limits _(c)^(d)\left(x_(1 ) \left(y\right)-x_(2) \left(y\right)\right)\cdot dy $.

Muodostetaan polaarisessa koordinaatistossa tarkasteltuna tasokuva (käyräviivainen sektori) jatkuvan funktion $\rho =\rho \left(\phi \right)$ kaaviolla sekä kahdella kulmissa $ kulkevalla säteellä \phi =\alpha $ ja $\phi =\beta $. Kaava tällaisen kaarevan sektorin pinta-alan laskemiseksi on: $S=\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(\alpha )^(\beta )\rho ^(2) \left (\phi \right )\cdot d\phi $.

Kaaren pituus

Jos segmentissä $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ käyrä saadaan yhtälöllä $\rho =\rho \left(\phi \right)$ napakoordinaateissa, jolloin sen kaaren pituus lasketaan käyttämällä TAI $L=\int \limits _ (\alpha )^ (\beta )\sqrt(\rho ^(2) \left(\phi \right)+\rho "^(2) \left(\phi \right)) \cdot d\phi $.

Jos janan $\left$ käyrä saadaan yhtälöllä $y=y\left(x\right)$, sen kaaren pituus lasketaan käyttämällä TAI $L=\int \limits _(a) ^(b)\sqrt(1 +y"^(2) \vasen(x\oikea)) \cdot dx $.

Jos segmentissä $\left[\alpha ,\; \beta \right]$ käyrä annetaan parametrisesti, eli $x=x\left(t\right)$, $y=y\left(t\right)$, sitten sen kaaren pituus lasketaan TAI-komennolla $L=\ int \limits _(\alpha )^(\beta )\sqrt(x"^(2) \left(t\right)+y"^(2) \left(t\right)) \cdot dt $.

Ruumiin tilavuuden laskeminen rinnakkaisten osien pinta-aloista

Olkoon tarpeen löytää tilavuus tilakappaleelle, jonka pistekoordinaatit täyttävät ehdot $a\le x\le b$ ja jonka poikkileikkausalat $S\left(x\oikea)$ tasoilla, jotka ovat kohtisuorassa $Ox$-akseli tunnetaan.

Kaava tällaisen kappaleen tilavuuden laskemiseksi on $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx $.

Vallankumouskappaleen tilavuus

Olkoon janalle $\left$ annettu ei-negatiivinen jatkuva funktio $y=y\left(x\right)$, joka muodostaa kaarevan puolisuunnikkaan (KrT). Jos kierrämme tätä CRT:tä $Ox$-akselin ympäri, muodostuu kappale, jota kutsutaan kierroskappaleeksi.

Kierroskappaleen tilavuuden laskenta on erityinen tapaus, jossa kappaleen tilavuus lasketaan sen yhdensuuntaisten poikkileikkausten tunnetuista alueista. Vastaava kaava on $V=\int \limits _(a)^(b)S\left(x\right)\cdot dx =\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y^( 2) \left(x\right)\cdot dx $.

Rajaa jokin suorakulmaisen suorakulmaisen koordinaattijärjestelmän $xOy$ tasokuva ylhäältä käyrällä $y=y_(1) \left(x\right)$, alhaalta käyrällä $y=y_(2) \left (x\oikea)$ , jossa $y_(1) \left(x\right)$ ja $y_(2) \left(x\right)$ ovat ei-negatiivisia jatkuvia funktioita ja pystyviivat $x=a$ ja $x= b$ vastaavasti. Sitten tämän kuvion $Ox$-akselin ympäri muodostuneen kappaleen tilavuus ilmaistaan TAI $V=\pi \cdot \int \limits _(a)^(b)\left(y_(1) ^(2) \vasen(x \oikea)-y_(2)^(2) \vasen(x\oikea)\oikea)\cdot dx $.

Rajaa jokin suorakulmaisen suorakulmaisen koordinaatiston $xOy$ tasokuva oikealta käyrästä $x=x_(1) \left(y\right)$, vasemmalta - käyrästä $x=x_(2 ) \left(y\right)$ , jossa $x_(1) \left(y\right)$ ja $x_(2) \left(y\right)$ ovat ei-negatiivisia jatkuvia funktioita ja vaakaviivat $y =c$ ja $y= d$. Sitten tämän kuvion $Oy$-akselin ympäri kiertämällä muodostuneen kappaleen tilavuus ilmaistaan OI:lla $V=\pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\left(x_(1) ^(2) \vasen(y \oikea)-x_(2)^(2) \vasen(y\oikea)\oikea)\cdot dy $.

Vallankumouskappaleen pinta-ala

Annetaan segmentille $\left$ ei-negatiivinen funktio $y=y\left(x\right)$ jatkuvalla derivaatalla $y"\left(x\right)$. Tämä funktio muodostaa KrT:n. Kierrämme tätä KrT:tä akselin $Ox $ ympäri, jolloin se itse muodostaa pyörimiskappaleen ja kaari KrT on sen pinta. Tällaisen kiertokappaleen pinta-ala ilmaistaan kaavalla $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(a)^(b)y\left( x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $.

Oletetaan, että käyrä $x=\phi \left(y\right)$, jossa $\phi \left(y\right)$ on segmentissä $c\le y\le d$ määritetty ei-negatiivinen funktio, Kierretään akselin $Oy$ ympäri. Tässä tapauksessa muodostetun pyörimiskappaleen pinta-ala ilmaistaan muodossa TAI $Q=2\cdot \pi \cdot \int \limits _(c)^(d)\phi \left(y\right) \cdot \sqrt(1+\phi "^(2) \left(y\right)) \cdot dy $.

OI:n fyysiset sovellukset

Laskeaksesi ajan $t=T$ kuljetun matkan muuttuvalla nopeudella $v=v\left(t\right)$ materiaalipisteestä, joka alkoi liikkua hetkellä $t=t_(0) $, käytä TAI $ S =\int \limits _(t_(0) )^(T)v\left(t\right)\cdot dt $.
Laskeaksesi materiaalipisteeseen kohdistuvan muuttuvan voiman $F=F\left(x\right)$, joka liikkuu suoraviivaista polkua pitkin $Ox$-akselia pitkin pisteestä $x=a$ pisteeseen $x= b$ (voiman suunta on sama kuin kulkusuunta) käytä ROI:ta $A=\int \limits _(a)^(b)F\left(x\right)\cdot dx $.
Staattiset momentit materiaalikäyrän $y=y\left(x\right)$ välisellä $\left$ koordinaattiakseleilla ilmaistaan kaavoilla $M_(x) =\rho \cdot \int \limits _ (a)^(b)y \left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $ ja $M_(y) =\rho \ cdot \int \limits _(a )^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx $, jossa tämän lineaarinen tiheys $\rho $ käyrän oletetaan olevan vakio.
Materiaalikäyrän massakeskipiste on piste, johon sen koko massa on ehdollisesti keskittynyt siten, että pisteen staattiset momentit suhteessa koordinaattiakseleihin ovat yhtä suuret kuin koko käyrän vastaavat staattiset momentit kokonaisuutena.

Tasokäyrän massakeskipisteen koordinaattien laskentakaavat ovat $x_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)x\cdot \sqrt(1+y"^(2 ) \left(x\ right)) \cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $ ja $y_(C) =\frac(\int \limits _(a)^(b)y\left(x\right)\cdot \sqrt(1+y"^(2) \left(x\right) ) \cdot dx )( \int \limits _(a)^(b)\sqrt(1+y"^(2) \left(x\right)) \cdot dx ) $.

KrT:n muodossa olevan materiaalin litteän kuvan staattiset momentit suhteessa koordinaattiakseleihin ilmaistaan kaavoilla $M_(x) =\frac(1)(2) \cdot \rho \cdot \int \limits _(a )^(b)y^(2) \left(x\right)\cdot dx $ ja $M_(y) =\rho \cdot \int \limits _(a)^(b)x\cdot y\left (x\oikea)\cdot dx $.
KrT:n muodossa olevan materiaalin litteän kuvan massakeskipisteen koordinaatit, joka muodostuu käyrästä $y=y\left(x\right)$ välissä $\left$, lasketaan kaavoilla $x_( C) =\frac(\int \limits _(a )^(b)x\cdot y\left(x\right)\cdot dx )(\int \limits _(a)^(b)y\left( x\oikea)\cdot dx ) $ ja $y_( C) =\frac(\frac(1)(2) \cdot \int \limits _(a)^(b)y^(2) \left(x) \oikea)\cdot dx )(\int \limits _ (a)^(b)y\left(x\right)\cdot dx ) $.

Aihe 6.10. Määrätyn integraalin geometriset ja fyysiset sovellukset

1. Kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala, jota rajoittavat käyrä y \u003d f (x) (f (x)> 0), suorat x \u003d a, x \u003d b ja jana [a, b] Ox-akseli lasketaan kaavalla

2. Käyrien y = f (x) ja y = g (x) (f (x) rajoittama kuvion alue< g (x)) и прямыми х= a , x = b , находится по формуле

3. Jos käyrä saadaan parametrisillä yhtälöillä x \u003d x (t), y \u003d y (t), niin tämän käyrän ja suorien x \u003d rajoittaman kaarevan puolisuunnikkaan pinta-ala a, x \u003d b, löytyy kaavasta

4. Olkoon S (x) kappaleen poikkileikkauspinta-ala Ox-akselia vastaan kohtisuorassa tasossa, sitten tasojen x \u003d a ja x \u003d välissä olevan kappaleen osan tilavuus kohtisuora akseliin nähden löytyy kaavasta

5. Olkoon käyrän y \u003d f (x) ja suorien viivojen y \u003d 0, x \u003d a ja x \u003d b rajoittama kaareva puolisuunnikkaan Ox-akselin ympäri, jolloin kiertokappaleen tilavuus on lasketaan kaavalla

6. Olkoon käyrän x \u003d g (y) rajoittama kaareva puolisuunnikkaan

suorat viivat x \u003d 0, y \u003d c ja y \u003d d, pyörivät akselin О y ympäri, sitten kierroskappaleen tilavuus lasketaan kaavalla

7. Jos tasokäyrä liittyy suorakaiteen muotoiseen koordinaattijärjestelmään ja saadaan yhtälöllä y \u003d f (x) (tai x \u003d F (y)), kaaren pituus määritetään kaavalla

1. Litteän hahmon pinta-ala.

Käyräviivaisen puolisuunnikkaan alue, jota rajoittaa ei-negatiivinen funktio f(x), abskissa-akseli ja suorat viivat x = a, x = b, määritellään seuraavasti: S = ∫ a b f x d x .

Kaareva puolisuunnikkaan pinta-ala

Funktion rajoittaman kuvion alue f(x) x-akselin leikkaaminen määritellään kaavalla S = ∑ i: f x ≥ 0 ∫ x i - 1 x i f x d x - ∑ i: f x< 0 ∫ x i - 1 x i | f x | d x , где x i ovat funktion nollia. Toisin sanoen tämän kuvan alueen laskemiseksi sinun on jaettava segmentti funktion nollia f(x) osiin, integroi toiminto f lisää jokaiselle tuloksena olevalle vakiovälille integraalit segmenteille, joissa funktio f ottaa eri merkit ja vähennä toisen ensimmäisestä.

2. Kaareva sektorin pinta-ala.

Kaarevan sektorin pinta-ala Harkitse käyrää ρ = ρ (φ) napakoordinaatistossa, missä ρ (φ) on jatkuva ja ei-negatiivinen päällä [α; β] toiminto. Käyrän rajoittama kuvio ρ (φ) ja säteet φ = α , φ = β , kutsutaan käyräviivaiseksi sektoriksi. Kaarevan sektorin pinta-ala on yhtä suuri kuin S = 1 2 ∫ α β ρ 2 φ d φ .

3. Vallankumouskappaleen tilavuus.

Vallankumouskappaleen tilavuus

Muodostetaan kappale kiertämällä akselin OX ympäri kaarevaa puolisuunnikasta, jota rajoittaa jatkuva janalla toiminto f(x). Sen tilavuus ilmaistaan kaavalla V = π ∫ a b f 2 x d x .

Ongelmasta löytää kappaleen tilavuus poikkileikkausalalta

Olkoon runko tasojen välissä x = a Ja x = b, ja sen leikkauksen pinta-ala pisteen läpi kulkevalla tasolla x, on jatkuva segmentillä toiminto σ(x). Silloin sen tilavuus on V = ∫ a b σ x d x .

4. Käyrän kaaren pituus.

Olkoon käyrä r → t = x t , y t , z t. Sitten sen janan pituus, rajattu arvoilla t = α Ja t = β ilmaistaan kaavalla S = ∫ α β x ′ t 2 + y ′ t 2 + z ′ t 2 dt .

Tasokäyrän kaaren pituus Erityisesti koordinaattitasolla määritellyn tasokäyrän pituus OXY yhtälö y=f(x), a ≤ x ≤ b, ilmaistaan kaavalla S = ∫ a b 1 + f ′ x 2 dx .

5. Pyörimispinta-ala.

Pyörinnän pinta-ala Määrittele pinta pyörimällä funktion kuvaajan OX-akselin ympäri y=f(x), a ≤ x ≤ b, ja toiminto f on jatkuva derivaatta tällä välillä. Sitten kierrospinnan pinta-ala määritetään kaavalla Π = 2 π ∫ a b f x 1 + f ′ x 2 d x .

Käyräviivaisen puolisuunnikkaan pinta-ala, jota ylhäältä rajoittaa funktion kuvaaja y=f(x), vasen ja oikea - suora x=a Ja x=b vastaavasti alhaalta - akseli Härkä, lasketaan kaavalla

Käyräviivaisen puolisuunnikkaan alue, jota rajaa oikealla funktion kuvaaja x=φ(y), ylhäältä ja alhaalta - suora y=d Ja y=c vastaavasti vasemmalla - akseli Oy:

Ylhäältä funktion kuvaajalla rajatun kaarevan kuvion ala y 2 \u003d f 2 (x), alla - funktion kaavio y 1 \u003d f 1 (x), vasen ja oikea - suora x=a Ja x=b:

Vasemmalta ja oikealta funktiokaavioilla rajatun kaarevan kuvion alue x 1 \u003d φ 1 (y) Ja x 2 \u003d φ 2 (y), ylhäältä ja alhaalta - suora y=d Ja y=c vastaavasti:

Tarkastellaan tapausta, jossa kaarevaa puolisuunnikasta ylhäältä rajoittava suora on annettu parametriyhtälöillä x = φ 1 (t), y \u003d φ 2 (t), Missä α ≤ t ≤ β, φ 1 (α) = a, φ 1 (β) = b. Nämä yhtälöt määrittelevät jonkin funktion y=f(x) segmentillä [ a, b]. Kaareva puolisuunnikkaan pinta-ala lasketaan kaavalla

Siirrytään uuteen muuttujaan x = φ 1 (t), Sitten dx = φ" 1 (t) dt, A y=f(x)=f(φ 1 (t))=φ 2 (t), joten \begin(displaymath)

Alue napakoordinaateissa

Harkitse kaarevaa sektoria OAB, jota rajoittaa yhtälön antama viiva ρ=ρ(φ) napakoordinaateissa kaksi sädettä OA Ja OB, mille φ=α , φ=β .

Jaamme alan perussektoreihin OM k-1 M k ( k = 1, …, n, M 0 =A, Mn = B). Merkitse Δφk palkkien välinen kulma OM k-1 Ja OM k muodostaen kulmia napa-akselin kanssa φk-1 Ja φk vastaavasti. Jokainen perussektoreista OM k-1 M k korvaa pyöreällä sektorilla, jolla on säde ρ k \u003d ρ (φ "k), Missä φ" k- kulman arvo φ aikaväliltä [ φk-1, φk] ja keskikulma Δφk. Viimeisen sektorin pinta-ala ilmaistaan kaavalla .

ilmaisee "porrastetun" sektorin alueen, joka suunnilleen korvaa annetun sektorin OAB.

Sektorin alue OAB kutsutaan "porrastetun" sektorin alueen rajaksi n→∞ Ja λ=max Δφ k → 0:

Koska , Tuo

Kaaren pituus

Anna segmentille [ a, b] on annettu differentioituva funktio y=f(x), jonka kuvaaja on kaari . Jana [ a,b] jaettu n osien pisteitä x 1, x2, …, xn-1. Nämä pisteet vastaavat pisteitä M1, M2, …, Mn-1 kaareja, yhdistä ne katkoviivalla, jota kutsutaan kaareksi piirretyksi katkoviivaksi. Tämän katkoviivan ympärysmitta on merkitty s n, tuo on

Määritelmä. Viivan kaaren pituus on siihen kirjoitetun polylinjan kehän raja, kun linkkien määrä M k-1 M k kasvaa loputtomasti, ja suurimman pituus on yleensä nolla:

missä λ on suurimman linkin pituus.

Laskemme kaaren pituuden joistakin sen pisteistä, esim. A. Anna pisteessä M(x,y) kaaren pituus on s, ja pisteessä M"(x+Δx,y+Δy) kaaren pituus on s+Δs, missä, i>Δs - kaaren pituus. Kolmiosta MNM" etsi sointujen pituus: .

Geometrisista näkökohdista seuraa, että

eli linjan äärettömän pieni kaari ja sitä täydentävä sointu ovat ekvivalentteja.

Muunnetaan kaava, joka ilmaisee sointujen pituuden:

Siirtymällä rajalle tässä yhtälössä saamme kaavan funktion derivaatalle s=s(x):

josta löydämme

Tämä kaava ilmaisee tasokäyrän kaaren differentiaalin ja sillä on yksinkertainen geometrinen merkitys: ilmaisee Pythagoraan lauseen äärettömälle pienelle kolmiolle MTN (ds=MT, ).

Avaruuskäyrän kaaren differentiaali saadaan kaavalla

Tarkastellaan parametristen yhtälöiden antamaa avaruusviivan kaaria

Missä α ≤ t ≤ β, φ i (t) (i = 1, 2, 3) ovat argumentin differentioituvia funktioita t, Tuo

Integroimalla tämä yhtäläisyys väliin [ α, β ], saadaan kaava tämän linjakaaren pituuden laskemiseksi

Jos viiva on tasossa Oxy, Tuo z = 0 kaikille t∈[α, β], Siksi

Siinä tapauksessa, että tasainen viiva annetaan yhtälöllä y=f(x) (a≤x≤b), Missä f(x) on differentioituva funktio, viimeinen kaava saa muodon

Olkoon tasainen viiva yhtälöllä ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) napakoordinaateissa. Tässä tapauksessa meillä on suoran parametriset yhtälöt x=ρ(φ) cos φ, y=ρ(φ) sin φ, jossa napakulma otetaan parametriksi φ . Koska

sitten suoran kaaren pituutta ilmaiseva kaava ρ=ρ(φ) (α≤φ≤β ) napakoordinaateissa on muotoa

kehon tilavuus

Etsitään kappaleen tilavuus, jos tämän kappaleen minkä tahansa poikkileikkauksen pinta-ala, joka on kohtisuorassa tiettyyn suuntaan, tunnetaan.

Jaetaan tämä kappale alkuainekerroksiksi tasoilla, jotka ovat kohtisuorassa akseliin nähden Härkä ja määritellään yhtälöillä x=vakio. Kaikille kiinteälle x∈ tunnettu alue S=S(x) tämän rungon poikkileikkaus.

Tasoilla leikattu peruskerros x=x k-1, x=x k (k = 1, …, n, x 0 =a, xn=b), korvaamme sen sylinterillä, jonka korkeus on ∆x k =x k -x k-1 ja perusalue S(ξk), ξk ∈.

Määritellyn perussylinterin tilavuus ilmaistaan kaavalla Δvk =E(ξk)Δxk. Tehdään yhteenveto kaikista sellaisista tuotteista

joka on annetun funktion kokonaissumma S=S(x) segmentillä [ a, b]. Se ilmaisee elementaarisista sylintereistä koostuvan porrastetun kappaleen tilavuuden, joka suunnilleen korvaa annetun rungon.

Tietyn kappaleen tilavuus on määritellyn porrastetun kappaleen tilavuuden raja λ→0 , Missä λ - alkeisosien suurimman pituus ∆x k. Merkitse V annetun kappaleen tilavuus, sitten määritelmän mukaan

Toisella puolella,

Siksi kehon tilavuus tietyille poikkileikkauksille lasketaan kaavalla

Jos runko on muodostettu pyörimällä akselin ympäri Härkä kaareva puolisuunnikas, jota ylhäältä rajoittaa jatkuvan linjan kaari y=f(x), Missä a≤x≤b, Tuo S(x) = πf 2 (x) ja viimeinen kaava tulee:

Kommentti. Kappaleen tilavuus, joka saadaan kiertämällä kaarevaa puolisuunnikasta, jota rajaa oikealla funktiokaavio x=φ(y) (c ≤ x ≤ d), akselin ympäri Oy lasketaan kaavalla

Pyörimispinta-ala

Harkitse pintaa, joka saadaan pyörittämällä linjan kaaria y=f(x) (a≤x≤b) akselin ympäri Härkä(oletetaan, että funktio y=f(x) on jatkuva derivaatta). Korjaamme arvon x∈, funktion argumenttia kasvatetaan dx, joka vastaa "alkurengasta", joka saadaan kiertämällä peruskaari Δl. Tämä "rengas" korvataan lieriömäisellä renkaalla - rungon sivupinnalla, joka muodostuu suorakulmion pyörityksestä, jonka kanta on yhtä suuri kuin kaaren ero dl, ja korkeus h=f(x). Leikkaamalla viimeinen rengas ja avaamalla sen, saamme leveän nauhan dl ja pituus 2πv, Missä y=f(x).

Siksi pinta-alaero ilmaistaan kaavalla

Tämä kaava ilmaisee pinta-alan, joka saadaan pyörittämällä suoran kaaria y=f(x) (a≤x≤b) akselin ympäri Härkä.

Etusivu > Luento

Luento 18. Määrällisen integraalin sovellukset.

18.1. Tasokuvioiden pinta-alojen laskeminen.

Tiedetään, että janan määrätty integraali on kaarevan puolisuunnikkaan alue, jota rajoittaa funktion f(x) kuvaaja. Jos kuvaaja sijaitsee x-akselin alapuolella, ts. f(x)< 0, то площадь имеет знак “-“, если график расположен выше оси Ох, т.е. f(x) >0, silloin alueella on "+"-merkki.

Kaavaa käytetään kokonaispinta-alan selvittämiseen.

Joidenkin viivojen rajoittama kuvion alue voidaan löytää tietyillä integraaleilla, jos näiden viivojen yhtälöt tunnetaan.

Esimerkki. Etsi viivojen y \u003d x, y \u003d x 2, x \u003d 2 rajoittama kuvion alue.

Haluttu alue (varjostettu kuvassa) löytyy kaavasta:

18.2. Käyräviivaisen sektorin alueen löytäminen.

Käyräviivaisen sektorin alueen löytämiseksi otamme käyttöön napakoordinaattijärjestelmän. Tässä koordinaattijärjestelmässä sektoria rajoittavan käyrän yhtälö on muotoa  = f(), missä  on sen sädevektorin pituus, joka yhdistää navan mielivaltaiseen käyrän pisteeseen, ja  on kaltevuuskulma tästä sädevektorista napa-akselille.

Kaarevan sektorin pinta-ala löytyy kaavasta

18.3. Käyrän kaaren pituuden laskeminen.

y y = f(x)

S i y i

Kaarta vastaavan polylinen pituus löytyy muodossa
.

Sitten kaaren pituus on
.

Geometrisistä syistä:

Samaan aikaan

Sitten se voidaan osoittaa

Nuo.

Jos käyrän yhtälö annetaan parametrisesti, niin saadaan parametrisesti annetun derivaatan laskentasäännöt huomioon ottaen

missä x = (t) ja y = (t).

Jos asetettu spatiaalinen käyrä, ja x = (t), y = (t) ja z = Z(t), niin

Jos käyrä on asetettu arvoon polaarikoordinaatit, Tuo

,  = f().

Esimerkki: Etsi yhtälön x 2 + y 2 = r 2 antama ympärysmitta.

1 tapa. Esitetään muuttuja y yhtälöstä.

Etsitään johdannainen

Sitten S = 2r. Saimme tunnetun kaavan ympyrän ympyrän ympärysmitalle.

2 tapa. Jos esitämme annettua yhtälöä napakoordinaatistossa, saadaan: r 2 cos 2  + r 2 sin 2  = r 2, ts. funktio  = f() = r,
Sitten

18.4. Kappaleiden tilavuuksien laskeminen.

Kappaleen tilavuuden laskeminen sen rinnakkaisten leikkausten tunnetuista alueista.

Olkoon kappale, jonka tilavuus on V. Kappaleen minkä tahansa poikkileikkauksen pinta-ala Q tunnetaan jatkuvana funktiona Q = Q(x). Jaetaan kappale ”kerroksiksi” poikkileikkauksilla, jotka kulkevat janan jaon pisteiden x i kautta. Koska funktio Q(x) on jatkuva jollakin osion välisegmentillä, jolloin se saa maksimi- ja minimiarvonsa. Nimetään ne vastaavasti M i ja m i .

Jos näille suurimmille ja pienimmille osille rakennetaan sylintereitä, joissa generaattorit ovat samansuuntaisia x-akselin kanssa, niin näiden sylinterien tilavuudet ovat vastaavasti M i x i ja m i x i tässä x i = x i - x i -1 .

Kun olemme tehneet tällaiset rakenteet kaikille väliseinän segmenteille, saamme sylintereitä, joiden tilavuus on vastaavasti
Ja
.

Koska osioaskel  pyrkii nollaan, näillä summilla on yhteinen raja:

Siten kehon tilavuus voidaan löytää kaavalla:

Tämän kaavan haittana on, että tilavuuden löytämiseksi on tiedettävä funktio Q(x), joka on erittäin ongelmallinen monimutkaisille kappaleille.

Esimerkki: Laske pallon tilavuus, jonka säde on R.

Pallon poikkileikkauksissa saadaan ympyröitä, joiden säde on muuttuva y. Nykyisestä x-koordinaatista riippuen tämä säde ilmaistaan kaavalla
.

Tällöin poikkileikkausalafunktio on muotoa: Q(x) =
.

Saamme pallon tilavuuden:

Esimerkki: Etsi mielivaltaisen pyramidin tilavuus, jonka korkeus on H ja kantapinta-ala S.

Kun ylität pyramidin tasoilla, jotka ovat kohtisuorassa korkeuteen nähden, leikkauksessa saamme kantaa vastaavat luvut. Näiden lukujen samankaltaisuuskerroin on yhtä suuri kuin suhde x / H, missä x on etäisyys leikkaustasosta pyramidin huipulle.

Geometriasta tiedetään, että samankaltaisten lukujen pinta-alojen suhde on yhtä suuri kuin samankaltaisuuskerroin neliöity, ts.

Tästä saamme poikkileikkausalueiden funktion:

Pyramidin tilavuuden selvittäminen:

18.5. Vallankumouksen kappaleiden tilavuus.

Tarkastellaan yhtälön y = f(x) antamaa käyrää. Oletetaan, että funktio f(x) on jatkuva janalla . Jos sitä vastaavaa kaarevaa puolisuunnikasta, jossa on kanta a ja b, kierretään Ox-akselin ympäri, niin saadaan ns. vallankumouksen ruumis.

y = f(x)

Koska jokainen kappale tason x = const on sädeympyrä
, niin kierroskappaleen tilavuus voidaan helposti löytää käyttämällä yllä saatua kaavaa:

18.6. Vallankumouskappaleen pinta-ala.

M i B

Määritelmä: Pyörimispinta-ala käyrä AB tietyn akselin ympäri on raja, johon käyrälle AB merkittyjen katkoviivojen pyörimispintojen pinta-alat pyrkivät, kun suurin näiden katkoviivojen linkkien pituuksista pyrkii olemaan nolla.

Jaetaan kaari AB n osaan pisteillä M 0 , M 1 , M 2 , … , M n . Tuloksena olevan moniviivan kärkien koordinaatit ovat x i ja y i . Kierrettäessä katkoviivaa akselin ympäri saadaan pinta, joka koostuu katkaistujen kartioiden sivupinnoista, joiden pinta-ala on yhtä suuri kuin P i . Tämä alue löytyy kaavalla:

Tässä S i on jokaisen soinnun pituus.

Käytämme Lagrangen lausetta (vrt. Lagrangen lause) suhteeseen
.