Matematiikan tutor-neuvonta verkossa. Tutkimus neliötrinomista. Neliötrinomit ja parametrit Neliötrinomin piirtäminen

Määritelmä

paraabeli on toisen asteen funktio $y = ax^(2) + bx + c$, jossa $a \neq 0$.

Funktion $y = x^2$ kuvaaja.

Funktion $y = x^2$ kaavion kaavamaista rakentamista varten löydämme useita pisteitä, jotka täyttävät tämän yhtälön. Mukavuuden vuoksi kirjoitamme näiden pisteiden koordinaatit taulukon muodossa:

Kuvaaja funktiosta $y = ax^2$.

Jos kerroin $a > 0$, niin kaavio $y = ax^2$ saadaan kaaviosta $y = x^2$ joko pystylaajennuksella (jos $a > 1$) tai puristamalla kohti $x. $-akseli (0 dollarilla< a < 1$). Изобразим для примера графики $y = 2x^2$ и $y = \dfrac{x^2}{2}$:

$y = 2x^2$	$y = \dfrac(x^2)(2)$

Jos $a< 0$, то график функции $y = ax^2$ можно получить из графика $y = |a|x^2$, отразив его симметрично относительно оси $x$. Построим графики функций $y = - x^2$, $y = -2x^2$ и $y = - \dfrac{x^2}{2}$:

$y = - x^2$	$y = -2x^2$	$y = - \dfrac(x^2)(2)$

Neliöfunktion kuvaaja.

Luodaksesi kuvaaja funktiosta $y = ax^2 + bx + c$, sinun on valittava täysi neliö kolmiosaisesta neliöstä $ax^2 + bx + c$, eli esitettävä se muodossa $a (x - x_0)^2 + y_0$ . Funktion $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ kuvaaja saadaan vastaavasta kaaviosta $y = ax^2$ siirtämällä $x_0$ $x$-akselia pitkin ja $y_0$ pitkin $y$-akseli. Tämän seurauksena piste $(0;0)$ siirtyy pisteeseen $(x_0;y_0)$.

Määritelmä

huippu paraabeli $y = a(x - x_0)^2 + y_0$ on piste, jonka koordinaatit $(x_0;y_0)$.

Muodostetaan paraabeli $y = 2x^2 - 4x - 6$. Valitsemalla koko neliön, saamme $y = 2(x - 1)^2 - 8$.

Piirretään $y = 2x^2$	Siirrä sitä oikealle numerolla 1	Ja alas 8

Tuloksena on paraabeli, jonka kärkipiste on pisteessä $(1;-8)$.

Neliöfunktion kaavio $y = ax^2 + bx + c$ leikkaa $y$-akselin pisteessä $(0; c)$ ja $x$-akselin pisteissä $(x_(1,2) ;0)$, jossa $ x_(1,2)$ ovat toisen asteen yhtälön $ax^2 + bx + c = 0$ juuria (lisäksi, jos yhtälöllä ei ole juuria, vastaava paraabeli ei leikkaa $x$ akseli).

Esimerkiksi paraabeli $y = 2x^2 - 4x - 6$ leikkaa akselit pisteissä $(0; -6)$, $(-1; 0)$ ja $(3; 0)$.

Alkuhuomautuksia ja yksinkertaisia ​​esimerkkejä

Esimerkki 1. Mille a:n arvoille yhtälöllä ax 2 + 2x + 1 = 0 on kaksi eri juuria?

Ratkaisu.

Tämä yhtälö on neliöllinen suhteessa a:n muuttujaan x№ 0 ja sillä on erilliset juuret, kun se on diskriminantti

eli a< 1.

Lisäksi arvolle a = 0 saadaan yhtälö 2x + 1 = 0, jolla on yksi juuri.

Siten a О (– Ґ ; 0) JA (0; 1).

Sääntö 1 Jos toisen asteen polynomin kerroin kohdassa x 2 sisältää parametrin, on tarpeen analysoida tapaus, jossa se katoaa.

Esimerkki 2. Yhtälöllä ax 2 + 8x + c = 0 on yksi juuri yhtä suuri kuin 1. Mitä ovat a ja c?

Ratkaisu. Aloitetaan tehtävän ratkaiseminen erikoistapauksesta a = 0, yhtälön muoto on 8x + c = 0. Tällä lineaarisella yhtälöllä on ratkaisu x 0 = 1 kun c = - 8.

Ei. 0 toisen asteen yhtälöllä on yksi juuri jos

Lisäksi korvaamalla yhtälöön juuren x 0 \u003d 1, saamme + 8 + c \u003d 0.

Ratkaisemalla kahden lineaarisen yhtälön järjestelmän saadaan a = c = – 4.

Lause 1.

Vähennetylle neliötrinomille y = x 2 + px + q (ehdon p 2 allaі 4q)
juurien summa x 1 + x 2 \u003d - p, juurten tulo x 1 x 2 \u003d q, juurten ero on
ja juurien neliöiden summa x 1 2 + x 2 2 = p 2 - 2q.

Lause 2.

Neliötrinomille y = ax 2 + bx + c, jonka juuret ovat x 1 ja x 2, meillä on
hajottelu ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 1) (x - x 2), trinomille, jolla on yksi juuri x 0 - hajonta
ax 2 + bx + c \u003d a (x - x 0) 2.

Kommentti. Usein toisen asteen yhtälöllä, jonka diskriminantti on yhtä suuri kuin nolla ja jolla on vastaavasti yksi juuri, sanotaan olevan kaksi yhteneväistä juuria (?). Tämä liittyy lauseessa 2 annettuun polynomin tekijöihin.(Tässä tapauksessa on tarpeen puhua ja ymmärtää oikein "yksi moninkertaisuuden juuret kaksi." - Noin toim.)

Kiinnitämme huomiota tähän hienovaraisuuteen ja nostamme esiin tapauksen, jossa monikertaisuus 2 on yksijuuri.

Esimerkki 3. Määritä yhtälössä x 2 + ax + 12 = 0 a siten, että yhtälön juurien erotus on yksi.

Ratkaisu. Juuren ero
josta a = ± 7.

Esimerkki 4. Millä a on yhtälön 2x 2 + 4x + a = 0 juurien neliöiden summa 6?

Ratkaisu. Kirjoitamme yhtälön muotoon
mistä x 1 2 + x 2 2 = 4 - a = 6 ja a = - 2.

Esimerkki 5. Ratkaise kaikelle a:lle yhtälö ax 2 - 2x + 4 = 0.

Ratkaisu. Jos a = 0, niin x = 2. Jos a№ 0, yhtälöstä tulee neliö. Sen syrjintä
on yhtä suuri kuin D = 4 – 16a. Jos D< 0, т. е. a > ,
yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Jos D = 0, eli a = ,
x = 4. Jos D > 0, eli a< ,
yhtälöllä on kaksi juuria

Neliötrinomin juurien sijainti

Neliöyhtälön kuvaaja on paraabeli, ja toisen asteen yhtälön ratkaisut ovat tämän paraabelin ja Ox-akselin leikkauspisteiden abskissoja. Tämän jakson kaikkien ongelmien ratkaisemisen perustana on tutkia tiettyjen ominaisuuksien omaavien paraabelien sijaintia koordinaattitasolla.

Esimerkki 6. Millä a yhtälön x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 = 0 juurilla on eri etumerkit?

Liuos (kuva 1).

Neliöyhtälöllä joko ei ole ratkaisuja (kaavio on D-tyypin paraabeli) tai siinä on yksi tai kaksi positiivista juuria (paraabeli C), tai yksi tai kaksi negatiivista juuria (paraabeli A), tai siinä on erimerkkiset juuret (paraabeli) B).

On helppo nähdä, että viimeiselle paraabelityypille, toisin kuin muille, on ominaista se, että f(0)< 0. Таким образом, f(0) = a 2 – a – 6 < 0, откуда 0 < a < .

Tämä ratkaisu sallii yleistyksen, jonka muotoilemme seuraavan säännön mukaisesti.

Sääntö 2. Jotta yhtälö ax 2 + bx + c = 0

sillä on kaksi erilaista juurta x 1 ja x 2 siten, että x 1< M < x 2 , необходимо и достаточно, чтобы a f(M) < 0.

Esimerkki 7. Millä a yhtälöllä x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 \u003d 0 on saman merkin kaksi eri juurta?

Ratkaisu. Olemme kiinnostuneita A- ja C-tyypin paraboleista (ks. kuva 1). Niille on ominaista

mistä a О (- 6; - 2) JA (3; + Ґ ).

Esimerkki 8. Mille a yhtälöllä x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 \u003d 0 on kaksi erilaista positiivista juuria?

Ratkaisu. Olemme kiinnostuneita tyypin C paraboleista kuvassa 1. 1.

Jotta yhtälöllä olisi juuret, vaadimme

Koska yhtälön molempien juurien on oltava ehdon suhteen positiivisia, niin juurien välissä olevan paraabelin kärjen abskissa on positiivinen: x 0 \u003d a\u003e 0.

Vertex-ordinaatta f(x 0)< 0 в силу того, что мы потребовали существование корней, поэтому если, кроме того, потребовать выполнение условия f(x 0) >0, niin tutkittavan funktion jatkuvuudesta johtuen on olemassa piste x 1 NOIN (0; x 0) siten, että f(x 1) = 0. Ilmeisesti tämä on yhtälön pienempi juuri.

Joten f(0) = a 2 - a - 6 > 0, ja keräämällä kaikki ehdot yhteen, saamme järjestelmän

ratkaisulla a 0 (3; + Ґ ).

Esimerkki 9. Minkä a:n yhtälöllä x 2 - 2ax + a 2 - a - 6 on kaksi erilaista negatiivista juuria?

Ratkaisu. Tutkittuaan kuvan 1 tyypin A paraabelit. 1, saamme järjestelmän

mistä a О (– 6; – 2).

Yleistämme edellisten ongelmien ratkaisun seuraavan säännön muodossa.

Sääntö 3. Jotta yhtälöllä ax 2 + bx + c = 0 olisi kaksi erilaista juurta x 1 ja x 2, joista kumpikin on suurempi (pienempi) kuin M, on välttämätöntä ja riittävää, että

Esimerkki 10. Funktio f(x) saadaan kaavalla

Etsi kaikki parametrin a arvot, joille yhtälöllä f(x) = 0 on vähintään yksi ratkaisu.

Ratkaisu. Kaikki mahdolliset ratkaisut tähän yhtälöön saadaan toisen asteen yhtälön ratkaisuina

x 2 - (4a + 14)x + 4a 2 + 33a + 59 = 0

lisäehdolla, että vähintään yksi (ilmeisesti suurempi) juuri x 2 ja a.

Luonnollisesti, jotta yhtälöllä olisi juuret, sen on oltava = - 5 (a + 2) і 0,
mistä Ј – 2.

Valitun yhtälön vasemman puolen kuvaaja on paraabeli, jonka kärjen abskissa on x 0 = 2a + 7. Tehtävän ratkaisun antaa kahden tyyppinen paraabeli (kuva 2).

A: x 0 і a, josta a і – 7. Tässä tapauksessa polynomin x 2 suurempi juuri i x 0 i a.

B:x0< a, f(a) Ј 0, mistä .
Tässä tapauksessa myös polynomin x 2 suurempi juuri ja a.

Lopulta .

Kolme ratkaisua yhdelle epätasa-arvolle

Esimerkki 11. Etsi kaikki parametrin a arvot, joille epäyhtälö x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 > 0

suoritettu:

1) kaikille x:n arvoille;
2) kaikille x:n positiivisille arvoille;
3) kaikille x:n arvoille O [- 1; 1].

Ratkaisu.

Ensimmäinen tapa.

1) Ilmeisesti tämä epäyhtälö pätee kaikille x:ille, kun diskriminantti on negatiivinen, ts.

\u003d a 2 - (a 2 + 2a - 3) \u003d - 2a + 3< 0,

mistä >.

2) Ymmärtääksemme paremmin, mitä ongelmatilanteessa vaaditaan, sovelletaan yksinkertaista temppua: piirretään paraabelit koordinaattitasolle ja sitten otetaan ja suljetaan Oy-akselin suhteen vasen puolitaso. Sen osan paraabelista, joka jää näkyviin, tulee olla Ox-akselin yläpuolella.

Ongelman ehto täyttyy kahdessa tapauksessa (katso kuva 3):

< 0, откуда a > ;

B: yhtälön x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 = 0 molemmat juuret (ehkä yksi, mutta kaksinkertainen) ovat origosta vasemmalla. Säännön 3 mukaan tämä ehto vastaa epäyhtälöjärjestelmää D i 0, x 0 j 0 ja f(0) i 0.

Tätä järjestelmää ratkaistaessa ensimmäinen epäyhtälö voidaan kuitenkin jättää pois, koska vaikka jokin arvo a ei täytä ehtoa Dі 0, niin se putoaa automaattisesti pisteen A ratkaisuun. Siten ratkaisemme järjestelmän

mistä Ј – 3.

Yhdistämällä kohteiden A ja B ratkaisut saadaan

vastaus:

3) Ongelman ehto täyttyy kolmessa tapauksessa (katso kuva 4):

A: funktion y = x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 kuvaaja on Ox-akselin yläpuolella, eli D< 0, откуда a > ;

B: yhtälön x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 = 0 molemmat juuret (ehkä yksi monikerroksista 2) ovat vasemmalla - 1. Tämä ehto on ekvivalentti, kuten tiedämme säännöstä 3, järjestelmää epätasa-arvo Dі 0,x0< – 1, f(– 1) > 0;

C: yhtälön x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 = 0 molemmat juuret ovat arvon 1 oikealla puolella.
Tämä ehto vastaa D i 0, x 0 > 1, f(1) > 0.

Kohdissa B ja C sekä edellisen tehtävän ratkaisussa voidaan kuitenkin jättää erottajaan liittyvä eriarvoisuus pois.

Vastaavasti saamme kaksi epätasa-arvojärjestelmää

Kaikkien tapausten tarkastelun jälkeen saamme tuloksen: a >
kohdassa
in C.
Vastaus ongelmaan on näiden kolmen joukon yhdistäminen.

Toinen tapa. Jotta tehtävän kunkin kolmen pisteen ehto täyttyy, funktion pienin arvo
y \u003d x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 kussakin vastaavassa raossa on oltava positiivinen.

1) Paraabelin y \u003d x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3 huippu on pisteessä (a; 2a - 3), joten funktion pienin arvo koko reaaliviivalla on 2a - 3, ja >.

2) puoliakselilla x i 0 funktion pienin arvo on f(0) = a 2 + 2a – 3 jos a< 0, и f(a) = 2a – 3, если a і 0. Analysoimalla molemmat tapaukset saadaan

3) Segmentin pienin [- 1; 1] funktion arvo on

Koska pienimmän arvon on oltava positiivinen, saadaan epäyhtälöjärjestelmät

Näiden kolmen järjestelmän ratkaisu on sarja

Kolmas tapa. 1) Paraabelin yläosa y \u003d x 2 - 2ax + a 2 + 2a - 3

on pisteessä (a; 2a – 3). Piirretään koordinaattitasolle joukko, jonka muodostavat kaikkien eri a:n paraabelien kärjet (kuva 5).

Tämä on suora y = 2x – 3. Muista, että tämän suoran jokainen piste vastaa omaa parametriarvoaan ja tämän suoran jokaisesta pisteestä "tulee esiin" parametrin annettua arvoa vastaava paraabeli. Paraabelit, jotka ovat kokonaan Ox-akselin yläpuolella, ovat ominaisia ​​ehdolla 2a – 3 > 0.

2) Tämän kappaleen ratkaisut ovat kaikki ensimmäisen kappaleen ratkaisuja ja lisäksi paraabelit, joille a on negatiivinen ja f(0) = a 2 + 2a - 3і 0.

3) Kuvasta 5, että olemme kiinnostuneita paraabeleista, joille joko a on negatiivinen ja f(– 1) = a 2 + 4a – 2 > 0,
tai a on positiivinen ja f(1) = a 2 – 2 > 0.

Yhtälöt ja epäyhtälöt pelkistyvät neliöiksi

Esimerkki 12. Mille a:n arvoille yhtälöllä 2x 4 - 2ax 2 + a 2 - 2 = 0 ei ole ratkaisuja?

Ratkaisu. Korvaamalla y \u003d x 2, saamme toisen asteen yhtälön f (y) \u003d 2y 2 - 2ay + a 2 - 2 \u003d 0.

Tuloksena olevalla yhtälöllä ei ole ratkaisua, kun D< 0. Кроме того, первоначальное уравнение не имеет решений, когда корни уравнения f(y) = 0 отрицательны.

Nämä ehdot voidaan kirjoittaa joukkona

missä

Esimerkki 13. Ratkaise jokaiselle parametrin a arvolle yhtälö cos x sin 2x = asin 3x.

Ratkaisu. Koska 2cos x sin 2x = sin x + sin 3x ja sin 3x = 3sin x - 4sin 3 x,

silloin yhtälö kirjoitetaan muodossa sin x (sin 2 x (4a - 2) - (3a - 2)) = 0.

Siten saamme ratkaisut x = p n, n O Z mille tahansa a. Yhtälö

on ratkaisuja

ei ole sama kuin ensimmäisen yhtälön ratkaisut, vain ehdolla

Viimeiset rajoitukset ovat vastaavat

Vastaus: x \u003d p n, n O Z mikä tahansa a; Sitä paitsi,

Esimerkki 14. Etsi kaikki parametrin a arvot, joista jokaiselle on epäyhtälö
a 2 + 2a - sin 2 x - 2acos x > 2 pätee mille tahansa luvulle x.

Ratkaisu. Muunnetaan epäyhtälö muotoon cos 2 x – 2acos x + a 2 + 2a – 3 > 0

ja tee muutos t = cos x. On tärkeää huomata, että parametri t vaihtelee välillä -1:stä 1:een, joten ongelma muotoillaan uudelleen seuraavasti: etsi kaikki sellainen, että

t 2 - 2at + a 2 + 2a - 3 > 0

on tyytyväinen kaikkiin t NOIN [-1; 1]. Olemme jo ratkaisseet tämän ongelman aiemmin.

Esimerkki 15. Määritä, mille yhtälön log 3 (9 x + 9a 3) = x arvoille on ratkaisuja, ja etsi ne.

Ratkaisu. Muunnetaan yhtälö muotoon 9 x - 3 x + 9a 3 = 0

ja kun tehdään muutos y = 3 x , saadaan y 2 – y + 9a 3 = 0.

Jos diskriminantti on negatiivinen, yhtälöllä ei ole ratkaisuja. Kun syrjivä

D \u003d 1 - 36a 3 \u003d 0, yhtälöllä on yksi juuri,
ja x = – log 3 2. Lopuksi, kun diskriminantti on positiivinen, ts.
alkuperäisellä yhtälöllä on yksi juuri ,
ja jos lisäksi lauseke 1 on positiivinen,
niin yhtälöllä on toinen juuri .

Joten vihdoin saamme

,

ei ole ratkaisuja jäljellä oleviin a.

Esimerkki 16. Ratkaise jokaiselle parametrin a arvolle yhtälö sin 4 x + cos 4 x + sin 2 x + a = 0.

Ratkaisu. Koska
kirjoita yhtälö uudelleen muotoon sin 2 x - 2sin x - 2a - 2 = 0.
Olkoon y = sin 2x, niin y 2 – 2y – 2a – 2 = 0 (| y | J 1).

Yhtälön vasemmalla puolella olevan funktion kuvaaja on paraabeli, jonka kärkipiste on abskissa y 0 = 1; funktion arvo pisteessä y = – 1 on yhtä suuri kuin 1 – 2a; yhtälön diskriminantti on 8a + 12. Tämä tarkoittaa, että yhtälön y 2 - 2y - 2a - 2 = 0 suurempi juuri y 2, vaikka se olisi olemassa, on suurempi kuin 1 ja vastaava yhtälö sin 2x = y 2:lla ei ole ratkaisuja. 3. Mille a:n arvoille yhtälöllä 2x 2 + (3a + 1)x + a 2 + a + 2 = 0 on vähintään yksi juuri?
4. Yhtälöllä ax 2 + bx + 5 = 0 on yksi juuri yhtä suuri kuin 1. Mitä ovat a ja b?
5. Millä parametrin a arvoilla toisen asteen yhtälön 5x 2 - 7x + a = 0 juuret liittyvät 2:een 5:een?
6. Määritä yhtälössä ax 2 + 8x + 3 = 0 a siten, että yhtälön juurien erotus on yksi.
7. Sillä mikä a on yhtälön x 2 - 2ax + 2(a + 1) = 0 juurien neliöiden summa 20?
8. Mille b:lle ja c:lle yhtälöllä c + bx - 2x 2 = 0 on yksi positiivinen ja yksi negatiivinen juuri?
9. Etsi kaikki parametrin a arvot, joille yhtälön x 2 - (a + 1)x + 2 = 0 juuri on suurempi kuin a ja toinen pienempi kuin a.
10. Etsi kaikki parametrin a arvot, joille yhtälöllä x 2 + (a + 1)x + 2 = 0 on kaksi saman merkin juurta.
11. Millä a:n arvoilla kaikki yhtälön (a - 3)x 2 - 2ax + 6a = 0 tuloksena olevat juuret ovat positiivisia?
12. Joille a ovat yhtälön (1 + a)x 2 - 3ax + 4a = 0 kaikki tuloksena olevat juuret suurempia kuin 1?
13. Etsi kaikki parametrin a arvot, joille yhtälön x 2 + x + a = 0 molemmat eri juuret ovat suurempia kuin a.
14. Millä a:n arvoilla yhtälön 4x 2 - 2x + a \u003d 0 molemmat juuret ovat -1:n ja 1:n sisällä?
15. Mille a:n arvoille yhtälöllä x 2 + 2(a - 1)x + a + 5 = 0 on vähintään yksi positiivinen juuri?
16. Funktio f(x) saadaan kaavalla

Etsi kaikki parametrin a arvot, joille yhtälöllä f(x) = 0 on vähintään yksi ratkaisu.
17. Millä a on epäyhtälö (a 2 – 1)x 2 + 2(a – 1)x + 2 > 0 totta kaikille x:ille?
18. Millä parametrin a arvoilla epäyhtälö ax 2 + 2x > 1 – 3a pätee kaikille positiivisille x-arvoille?
19. Mille a:n arvoille yhtälöllä x 4 + (1 - 2a)x 2 + a 2 - 1 \u003d 0 ei ole ratkaisuja?
20. Mille parametrin a arvoille yhtälöllä 2x 4 - 2ax 2 + a2 - 2 = 0 on yksi tai kaksi ratkaisua?
21. Ratkaise jokaiselle a:n arvolle yhtälö acos x cos 2x = cos 3x.
22. Etsi kaikki parametrin a arvot, joille jokaiselle epäyhtälö cos 2 x + 2asin x – 2a< a 2 – 4 выполняется для любого числа x.
23. Ratkaise kaikelle a:lle yhtälö log 2 (4 x + a) = x.
24. Ratkaise jokaiselle parametrin a arvolle yhtälö sin 2 x + asin 2 2x = sin.

Oppitunti: kuinka rakentaa paraabeli tai neliöfunktio?

TEOREETTINEN OSA

Paraabeli on funktion kuvaaja, joka kuvataan kaavalla ax 2 +bx+c=0.
Paraabelin rakentamiseksi sinun on noudatettava yksinkertaista toiminta-algoritmia:

1) Paraabelikaava y=ax 2 +bx+c,
Jos a>0 sitten paraabelin haarat suunnataan ylös,
ja sitten paraabelin haarat suunnataan alas.
vapaa jäsen c tämä piste leikkaa paraabelin OY-akselin kanssa;

2) , se löytyy kaavasta x=(-b)/2a, korvaamme löydetyn x:n paraabeliyhtälöön ja löydämme y;

3)Toimintojen nollia eli toisin sanoen paraabelin ja OX-akselin leikkauspisteet, niitä kutsutaan myös yhtälön juuriksi. Löytääksemme juuret, yhtälö on 0 ax2+bx+c=0;

Yhtälötyypit:

a) Täydellinen toisen asteen yhtälö on ax2+bx+c=0 ja sen ratkaisee diskriminantti;
b) Epätäydellinen muodon toisen asteen yhtälö ax2+bx=0. Sen ratkaisemiseksi sinun on poistettava x suluista ja laskettava jokainen tekijä nollaan:
ax2+bx=0,
x(ax+b)=0,
x=0 ja ax+b=0;
c) Muodon epätäydellinen toisen asteen yhtälö ax2+c=0. Sen ratkaisemiseksi sinun on siirrettävä tuntematon toiselle puolelle ja tunnettu toiselle. x =±√(c/a);

4) Etsi lisäpisteitä funktion rakentamiseksi.

KÄYTÄNNÖN OSA

Ja niin nyt, esimerkin avulla, analysoimme kaiken toimilla:
Esimerkki 1:
y=x 2 +4x+3
c=3 tarkoittaa, että paraabeli leikkaa OY:n pisteessä x=0 y=3. Paraabelin haarat katsovat ylöspäin, koska a=1 1>0.
a=1 b=4 c=3 x=(-b)/2a=(-4)/(2*1)=-2 y= (-2) 2 +4*(-2)+3=4- 8+3=-1 yläosa on pisteessä (-2;-1)
Etsi yhtälön x 2 +4x+3=0 juuret
Löydämme juuret diskriminantin perusteella
a=1 b=4 c=3
D=b2-4ac=16-12=4
x=(-b±√(D))/2a
x1=(-4+2)/2=-1
x2=(-4-2)/2=-3

Otetaan joitain mielivaltaisia ​​pisteitä, jotka ovat lähellä huippua x=-2

x -4 -3 -1 0
v 3 0 0 3

Korvaamme x:n sijasta yhtälössä y \u003d x 2 + 4x + 3 arvot
y=(-4) 2 +4*(-4)+3=16-16+3=3
y=(-3)2 +4*(-3)+3=9-12+3=0
y=(-1) 2 +4*(-1)+3=1-4+3=0
y=(0)2 +4*(0)+3=0-0+3=3
Funktion arvoista voidaan nähdä, että paraabeli on symmetrinen suoran x \u003d -2 suhteen

Esimerkki 2:
y=-x 2 +4x
c=0 tarkoittaa, että paraabeli leikkaa OY:n pisteessä x=0 y=0. Paraabelin haarat katsovat alaspäin, koska a=-1 -1 Etsi yhtälön -x 2 +4x=0 juuret
Epätäydellinen toisen asteen yhtälö muotoa ax 2 +bx=0. Sen ratkaisemiseksi sinun on poistettava x suluista ja laskettava jokainen tekijä nollaksi.
x(-x+4)=0, x=0 ja x=4.

Otetaan joitain mielivaltaisia ​​pisteitä, jotka ovat lähellä kärkeä x=2
x 0 1 3 4
v 0 3 3 0
Korvaamme x:n sijasta yhtälössä y \u003d -x 2 +4x arvot
y=0 2 +4*0=0
y=-(1)2 +4*1=-1+4=3
y=-(3)2 +4*3=-9+13=3
y=-(4)2 +4*4=-16+16=0
Funktion arvoista voidaan nähdä, että paraabeli on symmetrinen suoran x \u003d 2 suhteen

Esimerkki #3
y = x 2 -4
c=4 tarkoittaa, että paraabeli leikkaa OY:n pisteessä x=0 y=4. Paraabelin haarat katsovat ylöspäin, koska a=1 1>0.
a=1 b=0 c=-4 x=(-b)/2a=0/(2*(1))=0 y=(0) 2 -4=-4 kärkipiste on pisteessä (0;-4) )
Etsi yhtälön x 2 -4=0 juuret
Epätäydellinen toisen asteen yhtälö muotoa ax 2 +c=0. Sen ratkaisemiseksi sinun on siirrettävä tuntematon toiselle puolelle ja tunnettu toiselle. x =±√(c/a)
x2=4
x1=2
x 2 \u003d -2

Otetaan joitain mielivaltaisia ​​pisteitä, jotka ovat lähellä huippua x=0
x -2 -1 1 2
v 0 -3 -3 0
Korvaamme x:n sijasta yhtälössä y \u003d x 2 -4 arvot
y = (-2) 2 -4 = 4-4 = 0
y=(-1)2-4=1-4=-3
y = 1 2 - 4 = 1 - 4 = -3
y = 2 2 - 4 = 4 - 4 = 0
Funktion arvoista voidaan nähdä, että paraabeli on symmetrinen suoran x=0 suhteen

Tilaa YOUTUBE-kanavalle pysyäksesi ajan tasalla kaikista uutisista ja valmistautuaksemme kokeisiin.

Koulun matematiikan kurssista tiedetään, että neliötrinomi ymmärretään muodon ilmaisuksi

ax 2 + bx + c, missä a ≠ 0.

Tämän trinomin juuret lasketaan kaavalla: X 1,2 = (-b ± √D) / (2a), missä D = b 2 - 4ac.

D soittaa syrjivä. Se on ensiarvoisen tärkeää tämän aiheen ongelmien ratkaisemisessa, koska se määrittää trinomin juurien lukumäärän.

Niitä on kaksi - jos D > 0, yksi - jos D = 0(joskus sanotaan, että kaksi on sama, eli x 1 \u003d x 2 \u003d -b / (2a)), ja jos D< 0, то действительных корней нет.

Funktiota muotoa (*) y \u003d ax 2 + bx + c, jossa a ≠ 0 kutsutaan neliöiseksi. Sen kuvaaja on paraabeli, jonka haarat on suunnattu ylöspäin, jos a > 0 ja alaspäin, jos a< 0. Корни соответствующего квадратного трехчлена есть нули функции, т.е. точки пересечения параболы с осью ОХ. Paraabelin ja y-akselin leikkauspiste - s. Paraabelin (m ;n) kärjen koordinaatit on helppo määrittää.

m = (x 1 + x 2)/2 tai (**) m = -b/(2a).

n voidaan laskea korvaamalla kaavassa m:n arvo x:n sijaan

y \u003d ax 2 + bx + c tai käytä kaavaa y \u003d -D / (4a).

Jos valitsemme neliötrinomin täyden neliön, m ja n ovat eksplisiittisesti läsnä merkinnässä: (***) y = a(x - m) 2 + n.

Se sisältää lähes kaiken mainitun aiheen ongelmien ratkaisemiseen tarvittavan lähdemateriaalin. Katsotaanpa joitain esimerkkejä tehtävistä.

Esimerkki 1

Millä a:n arvoilla paraabelin kärkipiste y = (x - 13a) 2 - a 2 + 6a + 16 on koordinaattitason toisessa neljänneksessä?

Ratkaisu.

Toisen asteen funktio kirjoitetaan erottuvan täysneliön (***) muodossa.

Silloin on selvää, että m = 13a ja n = -a 2 + 6a + 16. Jotta huippupiste koordinaatteineen (m; n) olisi toisella neljänneksellä, on välttämätöntä, että m< 0, n >0. Ehtojen on täytyttävä samanaikaisesti. Siksi ratkaisemme eriarvoisuusjärjestelmän:

(13a< 0,
(-a 2 + 6a + 16 > 0

Ensimmäisestä epätasa-arvosta lähtien meillä on a< 0. Второе решаем методом интервалов или путем графического представления. Не зависимо от способа, получаем его решение: а Є (-2: 8). Решение системы неравенств есть пересечение (общая часть) полученных решений:а Є (-2: 0).

Vastaus: kaikille Є (-2: 0) tai -2< a < 0.

Esimerkki 2

Millä parametrin a arvoilla funktion y = ax 2 – 2x + 7a maksimiarvo on 6?

Ratkaisu.

Neliöfunktiolla on suurin arvo vain, jos paraabelin haarat on suunnattu alaspäin (ts.< 0) и достигнет его функция в вершине параболы. Иначе говоря, y max = n = 6 достигается при х = m. Исходя из формулы (**), имеем

m = 2/2a. D = 4 - 28a2.

Sitten n = (28a 2 – 4)/4a = (7a 2 – 1)/a = 6; tai 7a 2 - 1 = 6a.

Kun tuloksena oleva yhtälö on ratkaistu, meillä on \u003d 1 tai \u003d -1/7. Mutta a = 1 ei täytä ensimmäistä ehtoa.

Vastaus: kun a = -1/7.

Esimerkki 3

Etsi niiden parametrin a kokonaislukuarvot, joille yhtälö
a) |x 2 - 8x + 7| = a2; b) |x 2 – 6|x| – 16| = a 2 + 9 on 4 juurta.

Ratkaisu.

a) Tässä lyhin ratkaisutapa on graafinen. Suunnitelma on:

1. Rakennamme funktion y \u003d x 2 - 8x + 7 (paraabeli) kaavion.

2. Sitten y = |x 2 - 8x + 7| (näytämme kaavion alaosan suhteessa OX:iin).

Ratkaisun jatkokulku on ilmeinen kuvasta. Viiva ylittää kaavion neljässä pisteessä, jos 0< a 2 < 9 или a = ±1; a = ±2.

Vastaus: 4.

b) Tämän esimerkin ratkaisu suoritetaan saman kaavion mukaisesti. Ainoa ero on, että piirrettäessä funktiota y = |x 2 – 6|x| – 16| sinun on tehtävä kaksi kuvausta: suhteessa kaavion alaosan OX: hen ja suhteessa OU - oikealle. Jos piirrät kaavion oikein, löydät helposti 7 ratkaisua:
a = 0; a = ±1; a = ±2; a = ±4;

Esimerkki 4

Millä a:n arvoilla neliötrinomin y \u003d ax 2 + (a - 3)x + a kuvaaja on abskissan yläpuolella?

Ratkaisu.

Esitetään seuraavat argumentit. Neliötrinomin kuvaaja on OX-akselin yläpuolella vain, jos paraabelin haarat ovat ylöspäin, ts.

a > 0 (*), ja paraabeli ei leikkaa OX-akselia, ts. D< 0 или

(а – 3) 2 – 4а 2< 0 → (-a – 3)(3a – 3) < 0 → (a + 3)(3a – 3) >0 → a Є (-∞; -3) tai (1; ∞). Kun otetaan huomioon ehto (*), saadaan Є (1; ∞).

Vastaus: a Є (1; ∞).

Esimerkki 5

Millä a:n arvoilla neliötrinomin y \u003d ax 2 + (a - 3)x + a kuvaajalla on kaksi yhteistä pistettä OX-akselin positiivisen osan kanssa?

Ratkaisu.

Käsitellään kertoimien ehtoja: (katso alla oleva kuva)

1. Saamme kaksi leikkauspistettä OX-akselin kanssa, jos
D > 0 → (a – 3)2 – 4a2 > 0

2. Pisteet ovat samalla puolella nollaa, jos oksat on suunnattu ylöspäin ja f(0) = a > 0 tai jos haarat on suunnattu alaspäin ja f(0) = a< 0

3. Molemmat juuret ovat positiivisia, jos kärjen x-koordinaatti on positiivinen, ts. m = -(a - 3)/(2a) > 0.

Yllä olevan perusteella ehtomme rajoittuvat kahden järjestelmän ratkaisemiseen:

Ensimmäinen järjestelmä:

((a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
(a > 0,
(-(a - 3)/(2a) > 0

Yksinkertaistaen saamme:

((3a - 3)(a + 3)< 0,
(a > 0,
((a - 3)< 0

(a Є (-3; 1),
(а Є (0; ∞),
(a Є (-∞; 3)

ja järjestelmän yleinen ratkaisu a Є(0; 1).

Toinen järjestelmä:

((a – 3) 2 – 4a 2 > 0,
(a< 0,
(-(a - 3)/(2a) > 0

Yksinkertaistaen saamme:

((3a - 3)(a + 3)< 0,
(a< 0,
((a - 3) > 0

Ratkaisut jokaiseen epätasa-arvoon:

(a Є (-3; 1)
(a Є (-∞; 0)
(a Є (3; ∞)

eikä järjestelmällä ole ratkaisuja

Näin meidän paraabelilla on kaksi yhteistä pistettä OX-akselin positiivisen suunnan kanssa, jos parametri a on Є (0; 1).

Esimerkki 6

Millä a:n arvoilla yhtälön 4a 2 x 2 - 8ax + 4 - 9a 2 \u003d 0 juuret ovat suurempia kuin 3?

Tarkastellaan neliötrinomin y \u003d 4a 2 x 2 - 8ax + 4 - 9a 2 kuvaajaa.

Tehdään suunnitelma tämän tehtävän ratkaisemiseksi edellisen esimerkin mallin mukaisesti.

1. Saadaan kaksi leikkauspistettä OX-akselin kanssa, jos D > 0 ja a ≠ 0.

2. Haarat tässä on aina suunnattu vain ylöspäin.
(kun a ≠ 0; 4a 2 > 0).

3. Pisteet ovat 3:n samalla puolella, jos f(3) > 0.
(36а 2 – 24а + 4 – 9а 2 > 0).

4. Molemmat juuret ovat suurempia kuin (oikealla) kolme, jos kärjen x-koordinaatti on suurempi kuin (oikealla) kolme, ts. m \u003d 8a / (8a 2)\u003e 3.

Jos käytät näitä termejä oikein, niin vastaus hanki tämä: a Є(0;2/9). Tarkistaa.

Toivon, että nyt lukijalle käy selväksi, kuinka tärkeää on pystyä näkemään paraabelin ominaisuudet hyvin tämän tyyppisiä ongelmia ratkaistaessa.

Onko sinulla kysymyksiä? Etkö tiedä kuinka ratkaista toisen asteen yhtälöitä?
Saadaksesi tutorin apua - rekisteröidy.
Ensimmäinen oppitunti on ilmainen!

Sivusto, jossa materiaali kopioidaan kokonaan tai osittain, linkki lähteeseen vaaditaan.

Määritetään kaavalla $a((x)^(2))+bx+c$ $(a\ne 0).$ Numerot $a, b$ ja $c$ ovat neliötrinomin kertoimia, ne ovat kutsutaan yleensä: b - toinen tai keskimääräinen kerroin, c - vapaa termi. Funktiota, jonka muoto on y = ax 2 + bx + c, kutsutaan neliöfunktioksi.

Kaikkien näiden paraabelien kärkipiste on origossa; > 0, tämä on kaavion alin piste (funktion pienin arvo) ja< 0, наоборот, наивысшая точка (наибольшее значение функции). Ось Oy есть ось симметрии каждой из таких парабол.

Kuten näet, arvolla a > 0, paraabeli on suunnattu ylöspäin, kun a< 0 - вниз.

On olemassa yksinkertainen ja kätevä graafinen menetelmä, jonka avulla voit rakentaa paraabelin y = ax 2 minkä tahansa määrän pisteitä ilman laskutoimituksia, jos tiedät paraabelin muun pisteen kuin kärjen. Olkoon piste M(x 0 , y 0) paraabelilla y = ax 2 (kuva 2). Jos halutaan rakentaa n lisäpistettä pisteiden O ja M väliin, jaetaan x-akselin jana ON n + 1 yhtä suureen osaan ja jakopisteisiin piirretään kohtisuorat x-akseliin nähden. Jaamme segmentin NM samaan määrään yhtä suuria osia ja yhdistämme jakopisteet säteillä origoon. Paraabelin halutut pisteet sijaitsevat kohtisuorien ja samannumeroisten säteiden leikkauspisteessä (kuvassa 2 jakopisteiden lukumäärä on 9).

Funktion y =ax 2 + bx + c kuvaaja eroaa graafista y = ax 2 vain asemaltaan ja saadaan yksinkertaisesti siirtämällä käyrää piirustuksessa. Tämä seuraa neliötrinomin esityksestä muodossa

mistä on helppo päätellä, että funktion y = ax 2 + bx + c kuvaaja on paraabeli y = ax 2, jonka kärki on siirretty pisteeseen

ja sen symmetria-akseli pysyi samansuuntaisena Oy-akselin kanssa (kuva 3). Tuloksena olevasta neliötrinomin lausekkeesta seuraavat helposti kaikki sen perusominaisuudet. Lauseketta D \u003d b 2 - 4ac kutsutaan neliön kolmiosaisen ax 2 + bx + c diskriminantiksi ja siihen liittyvän toisen asteen yhtälön ax 2 + bx + c \u003d 0 diskriminantiksi. Diskriminantin etumerkki määrittää, onko kaavio neliötrinomin leikkaa x-akselin tai sijaitsee toisella puolella siitä. Nimittäin jos D< 0, то парабола не имеет общих точек с осью Ox, при этом: если a >0, niin paraabeli on Ox-akselin yläpuolella, ja jos a< 0, то ниже этой оси (рис. 4). В случае D >0 neliötrinomin kuvaaja leikkaa x-akselin kahdessa pisteessä x 1 ja x 2 , jotka ovat toisen asteen yhtälön ax 2 + bx + c = 0 juuret ja ovat vastaavasti yhtä suuria

Kun D = 0, paraabeli koskettaa Ox-akselia pisteessä

Neliötrinomin ominaisuudet ovat neliöepäyhtälöiden ratkaisun taustalla. Selitetään tämä esimerkillä. Edellytetään löytää kaikki epäyhtälön 3x 2 - 2x - 1 ratkaisut< 0. Найдем дискриминант квадратного трехчлена, стоящего в левой части неравенства: D = 16. Так как D >0, niin vastaavalla toisen asteen yhtälöllä 3x 2 − 2x − 1 = 0 on kaksi eri juuria, ne määritetään aiemmin annetuilla kaavoilla:

x 1 \u003d -1/3 ja x 2 \u003d 1.

Tarkastetussa neliötrinomissa a = 3 > 0, mikä tarkoittaa, että sen graafin haarat on suunnattu ylöspäin ja neliötrinomin arvot ovat negatiivisia vain juurien välissä. Eli kaikki epäyhtälön ratkaisut täyttävät ehdon

−1/3 < x < 1.

Erilaiset epäyhtälöt voidaan pelkistää neliöllisiksi epäyhtälöiksi samoilla substituutioilla, joilla eri yhtälöt pelkistetään neliöllisiksi.