Yhdenmukaiset kartoitukset nukkeille. Konformaalisen kartoituksen käsite. Itsetestauskysymykset

Analyyttisen funktion moduulin geometrinen merkitys ja argumentti. Anna toiminnon w=f(z) on analyyttinen jollain alueella D. Valitaan mielivaltainen piste ja piirretään sen läpi mielivaltainen sileä käyrä, joka sijaitsee kokonaan D. Toiminto f(z) näyttää alueen D monimutkainen taso ( z) aluetta kohti G monimutkainen taso ( w). Kuvataan piste pisteeseen ja käyrä käyräksi. Merkitään kulma, jonka tangentti muodostaa pisteessä akselin kanssa Härkä, ja läpi - kulma, jonka tangentti muodostaa pisteessä akselin kanssa Ou. Toiminnosta lähtien f(z) analyyttinen, silloin on johdannainen missä tahansa kohdassa alueella D. Oletetaan, että sisään D. Derivaata voidaan esittää eksponentiaalisessa muodossa, ts. kirjoita se muotoon:

Valitaan pyrkimysmenetelmä, jossa pisteet ovat käyrällä. Tällöin vastaavat pisteet Kompleksiluvut ja tasossa esitetään vektoreilla, jotka katkaisevat käyriä ja vastaavasti, ja ovat leikkausvektoreiden pituuksia, ja ja ovat näiden vektorien ja positiivisten akselien muodostamia kulmia. Kun nämä sekanttivektorit tulevat tangentiksi käyriin ja pisteisiin ja , yhtälöstä (10) seuraa, että , so. derivaatalla on geometrinen merkitys käyrän tangenttivektorin kulman ja tangenttivektorin kulman väliselle erolle. Koska derivaatta ei riipu rajaan siirtymisen menetelmästä, se on sama kaikille muille pisteen läpi kulkevalle käyrälle. Toisin sanoen kaaret, jotka kulkevat pisteen läpi z 0 pinnalla z kun näytetään w=f(z) pyöritä samassa kulmassa tasossa w. Kun tason minkä tahansa käyrien välinen kulma ( z), kulkee pisteen läpi z 0, on yhtä suuri kuin käyrien välinen kulma tasossa ( w), tätä kutsutaan ominaisuudeksi kulmien säilyttäminen (konservatiivisuus).

Vastaavasti yhtälöstä (10) saadaan: , so. suurempiin määriin asti yhtäläisyys pätee: .

Viimeinen relaatio ei myöskään riipu käyrän valintamenetelmästä ja sen geometrinen merkitys on, että kun kartoitus suoritetaan ehdon täyttävällä analyyttisellä funktiolla, äärettömän pienet lineaariset elementit (infinitesimaalikaaret) muunnetaan samalla tavalla, ja derivaatan moduulia kutsutaan samankaltaisuuskerroin. Tätä tämän kartoituksen ominaisuutta kutsutaan ominaisuudeksi jatkuva venytys, Siksi k kutsutaan myös venytystekijä. He sanovat, että milloin k>1 – venyttely ja milloin k<1 – сжатие.

Konformaalisen kartoituksen ja perusominaisuuksien määritelmä. Määritelmä 17. Yksittäinen aluekartoitus D monimutkainen taso ( z) aluetta kohti G monimutkainen taso ( w) nimeltään mukautuva, jos se on kaikissa kohdissa z D sillä on ominaisuus ylläpitää kulmia ja jatkuvaa venytystä.

Lause 6. Jotta monimutkainen toiminto w=f(z) Kartoitettu alue yhdenmukaisesti D lentokone ( z) aluetta kohti G lentokone ( w), se on välttämätöntä ja riittävää, jotta se on analyyttinen D eikä missään kohdassa alueella D.

□ Välttämättömyys. Oletetaan. mikä on toiminto w=f(z) suorittaa konformaalista kartoitusta. Määritelmän mukaan tämä tarkoittaa kulmien säilyttämisen ja jatkuvan venymisen ominaisuuksien täyttämistä. Otetaan se lentokoneeseen z mielivaltainen piste z 0 ja sen läheisyydessä on kaksi pistettä: z 1 Ja z 2 . Pinnalla w ne vastaavat pisteitä w 0, w 1, w 2

Jopa äärettömän pienten määrien tarkkuudella täyttyvät seuraavat suhteet: , ja kulmien vakioisuudesta seuraa: . Argumenttien yhtäläisyydestä seuraa, että kulmat ovat yhtä suuret paitsi absoluuttisen arvon, myös suunnan suhteen. Tuloksena saamme: .

Siten kahdesta viimeisestä yhtälöstä seuraa, äärettömän pienten suureiden tarkkuudella, että seuraavat yhtälöt täyttyvät: . Johtuen pisteen valinnan mielivaltaisuudesta z 0 ja pisteitä z 1, z 2 sen läheisyydestä seuraa, että on olemassa Riittävyys. Olkoon derivaatta olemassa, eikä se ole yhtä suuri kuin nolla alueella D, niin derivaatan geometrisestä merkityksestä seuraa, että kulmien säilymis- ja laajenemisvakioominaisuudet täyttyvät, ja tämä tarkoittaa määritelmän mukaan, että funktio suorittaa konformisen kuvauksen. ■

Konformaalista kartoitusta käytetään matemaattisen fysiikan, hydrodynamiikan ja aerodynamiikan, elastisuusteorian sekä sähkömagneettisten ja lämpökenttien teorian ongelmien ratkaisemiseen. Konformaalisen mappauksen teorian päätehtävä on löytää kompleksisen muuttujan funktio w=f(z), joka näyttäisi tietyn alueen D kone z tietylle alueelle G kone w. Lauseella on tärkeä rooli tämän ongelman ratkaisemisessa.

Lause 7. Mikä tahansa yksinkertaisesti yhdistetty alue D monimutkainen taso z, jonka raja koostuu useammasta kuin yhdestä pisteestä voidaan kuvata yhdenmukaisesti yksikköympyrän sisäpuolelle<1 комплексной плоскости w.(ei todisteita).

Tämä lause viittaa mahdollisuuteen tietyn alueen konformiseen kartoitukseen D tietylle alueelle G, jos kunkin alueen raja koostuu useammasta kuin yhdestä pisteestä. Kartoita sitten nämä alueet apupiiri <1, мы получим искомое отображение. Конформное отображение многосвязной области на односвязную область невозможно, но в ряде случаев возможно конформное отображение областей одинаковой связности. Рассмотрим два конформных отображения.

Lineaarinen näyttö. Lineaarinen on lineaarifunktion suorittama kartoitus jossa a Ja b- kompleksiluvut.

Tällainen kartoitus on yksi yhteen ja yhdenmukainen koko kompleksitasolla, koska lineaarinen kartoitus jättää kaksi pistettä kiinteäksi:

Kuvitellaan lineaarinen kartoitus kolmen yksinkertaisimman muodossa.

1) Koko z-tason kiertymisen muunnos origon ympärillä olevalla kulmalla:

2) Samankaltaisuusmuunnos, jonka samankaltaisuuskeskus on origossa, ts. venytys >1 ja puristus 0< <1:

3) Rinnakkaissiirto vektoriin b:

Esimerkki 4. Etsi funktio, joka näyttää kolmion, jolla on annetut kärjet z1 = -1, z2 = i, z3 = 1 kolmioksi, jossa on pisteitä w 1 = 0, w 2 = -2 + 2i, w 3 = 4i.

Ratkaisu. Muodostetaan vaadittu funktio kolmen alkeismuunnoksen superpositioksi.

1) - käännä kulma vastapäivään;

2) - kaksinkertainen venytys;

3) - siirrä kaksi yksikköä ylöspäin;

Tarvittavalla funktiolla on muoto:

Lineaarinen murto-kartoitus. Lineaarinen murtofunktio, missä a,b,c,d- kompleksiluvut toteutetaan murto-osa lineaarinen kartoitus laajennettu kompleksitaso z w. Etsitään derivaatta: if .

Määritelmä 18. Pisteet z 1 Ja z 2 kutsutaan symmetrisesti ympyrän suhteen, jos ne sijaitsevat samalla pisteiden läpi kulkevalla säteellä z 1, z 2 ja kohta z 0 , ja .

Inversio suhteessa ympyrään on laajennetun kompleksitason muunnos itseensä, joka ottaa jokaisen pisteen z 1 tasosta pisteeseen z 2, symmetrinen tämän ympyrän suhteen. Tarkastellaan funktion määrittelemää kuvausta ja merkitään Moduulin ominaisuutta käyttämällä voidaan kirjoittaa: . Tästä seuraa, että kyseessä oleva kartoitus on inversio suhteessa sädeympyrään R, keskitetty origoon, jota seuraa peilikuva suhteessa todelliseen akseliin.

Analogisesti lineaarisen kuvauksen kanssa kuvitellaan murto-lineaarinen mappaus yksinkertaisimpien muunnosten superpositioksi. Valitse ensin murto-osan koko osa:

Yksinkertaisimmat muunnokset ovat seuraavat:

1) rinnakkaissiirto: ;

2) inversiomuunnos suhteessa sädeympyrään R keskitetty origoon, jota seuraa peilikuva todellisen akselin ympäri: ;

3) kierto origon suhteen: ;

4) rinnakkaissiirto osoitteeseen: .

Esimerkki 5. Etsi alue, johon ympyrä menee lineaarisen murto-osan kartoituksessa.

Ratkaisu.

Tämä on ympyrä, joka saadaan seuraavien muunnosten jälkeen:

1) siirrä 1 alas:

2) inversio suhteessa , ohituksen suunta muuttuu:

3) käännä 90 astetta:

4) siirrä 1 alas:

Murto-lineaarisen kartoituksen ominaisuudet. Ilman todisteita muotoilemme seuraavat ominaisuudet.

1. Vaatimustenmukaisuus. Lineaarinen murtoluku kartoittaa laajennetun kompleksitason yhdenmukaisesti z laajennettuun kompleksitasoon w.

2. Ainutlaatuisuus. On ainutlaatuinen lineaarinen murto-osafunktio, jolle annetaan kolme eri pistettä z 1, z 2, z 3 kone z näkyy kolmessa eri kohdassa w 1, w 2, w 3 kone w ja tämä kuvaus saadaan yhtälöstä: .

3.Pyöreä omaisuus. Murto-osaisessa lineaarisessa kartoituksessa minkä tahansa ympyrän kuva laajassa merkityksessä on ympyrä (laajassa merkityksessä eli ympyrä tai mikä tahansa suora).

4. Rajojen näyttämisen periaate. Lineaarisen murtokartoituksen avulla ympyrän sisällä oleva alue muunnetaan alueeksi, joka sijaitsee joko muunnetun ympyrän sisällä tai ulkopuolella (raja kartoitetaan rajaksi).

5. Riemann-Schwartzin symmetrian periaate. Lineaarisessa murto-osakuvauksessa pisteet, jotka ovat symmetrisiä ympyrän suhteen, kartoitetaan pisteisiin, jotka ovat symmetrisiä muunnetun ympyrän suhteen (symmetria inversion merkityksessä).

Esimerkki 6. Tason ylempi puolitaso on määritelty z ja mielivaltainen piste z 0. Etsi funktio, joka kuvaa sen tason yksikköympyrään w jotta z 0 näkyy ympyrän keskellä.

Ratkaisu.

Olkoon , sitten rajojen kartoitusperiaatteen mukaan tason todellinen akseli z kartoitetaan yksikkösäteen ympyrään. Symmetrian ominaisuuden mukaan piste kartoitetaan pisteeseen. Näin ollen tämän huomioon ottaen rakennamme funktion. Jos tarkastelemme pisteitä z, jotka ovat todellisella akselilla, ja nämä ovat muotoa: , silloin yhtäläisyydet täyttyvät niille: , koska ne ovat kaikki yhtä kaukana todellisella akselilla olevasta pisteestä, ts. meillä on, että kaikki todellisen akselin pisteet kartoitetaan yksikköympyrän kaikkiin pisteisiin. Tästä syystä havaitsemme, että jos tarkastelemme moduulia, vaadittava kuvaus on muotoa: .

Ratkaise toinen lineaarinen murtokartoitustehtävä ja lisää molemmat ensimmäiseen moduuliin!

Lähetä hyvä työsi tietokanta on yksinkertainen. Käytä alla olevaa lomaketta

Opiskelijat, jatko-opiskelijat, nuoret tutkijat, jotka käyttävät tietopohjaa opinnoissaan ja työssään, ovat sinulle erittäin kiitollisia.

Lähetetty http://www.allbest.ru/

Yhdenmukaiset kartoitukset

1. Kompleksimuuttujan funktion derivaatan geometrinen merkitys

konforminen kartoitustoiminto

Johdannaisargumentin geometrinen merkitys

Muistetaan ensin joitain tietoja käyristä. Jokainen tason käyrä voidaan määrittää parametriyhtälöillä

x = x (t), y = y (t), b? t? kohdassa 1)

missä x (t), y (t) ovat reaalimuuttujan t reaalifunktioita. Seuraavassa oletetaan, että näillä funktioilla on jatkuvat derivaatat välillä (b, c), ja x"(t) ja y"(t) eivät katoa samanaikaisesti. Käyrää, jolla on nämä ominaisuudet, kutsutaan sileäksi.

Koska jokainen tason piste (x, y) on annettu kompleksiluvulla z = x + iy, yhtälöt (1) voidaan kirjoittaa kompaktimpaan muotoon:

z (t) = x (t) + i y (t), b? t? V.

Otetaan arvot t 0 ja t 0 + Дt väliltä (b, c). Ne vastaavat käyrän pisteitä z (t 0) ja z (t 0 + D t).

Vektori Дz = z (t 0 + Дt) - z (t 0) = Дx + i Дy on suunnattu näiden pisteiden läpi kulkevaa sekanttia pitkin.

Jos kerromme Dz reaaliluvulla 1/Dt, saadaan vektori Dz/Dt, joka on kollineaarinen vektorin Dz kanssa. Aloitetaan Dt:n pienentäminen. Sitten piste z (t 0 + Дt) lähestyy pistettä z (t 0) käyrää pitkin; vektori Dz/Dt pyörii lähestyen vektoria

Pisteen z (t 0) kautta kulkevien sekanttien raja-asemaa kutsutaan käyrän tangentiksi tässä pisteessä. Siten vektori z "(t 0) on suunnattu tangenttina käyrää kohtaan z (t 0).

Annetaan nyt funktio f (z), analyyttinen pisteessä z 0 ja f "(z 0) ? 0. Oletetaan edelleen, että käyrä r kulkee yhtälön z (t) = määrittämän pisteen z 0 kautta. x (t) + iy (t), ja z (t 0) = z 0. Käyrä z kuvataan funktiolla w = f (z) käyrään Г, joka on yhtälön w tasossa käyrä Г on w (t) = f (z(t). )); piste z 0 kartoitetaan pisteeseen w 0 = f (z 0).

w " (t 0) = f " (z 0)? z "(t 0).(2)

Seuraa, että

Arg w " (t 0) = Arg f " (z 0) + Arg z " (t 0).(3)

Mutta z "(t 0) on käyrän r vektoritangentti pisteessä z 0 (kuva 1a), ja w" (t 0) on vektoritangentti käyrää Г pisteessä w 0 (kuva 1b). ). Siksi yhtälö (3) antaa meille mahdollisuuden antaa arvolle Arg f " (z 0) seuraavan geometrisen merkityksen: derivaatan argumentti on yhtä suuri kuin kulma, jonka läpi tangentti pisteessä z 0 kiertyy mihin tahansa tämän läpi kulkevaan käyrään piste, kun näytetään w = f (z). Huomaa, että tämä kulma ei riipu käyrästä z, eli kaikkien pisteen z 0 läpi kulkevien käyrien tangentit kierretään, kun w = f (z) kuvataan samaan kulmaan. arvoon Arg f "(z 0) .

Otetaan mitkä tahansa kaksi pisteen z 0 kautta kulkevaa käyrää z ja z1 ja piirretään näille käyrälle tangentit (kuva 1a). Kun näytetään

w = f (z), käyrät z ja z1 muuttuvat käyriksi Г ja Г1, ja kukin z:n ja z1:n tangenteista pyörii saman kulman läpi. Siksi z:n ja z1:n tangenttien välinen kulma on yhtä suuri (sekä suuruudeltaan että vertailusuunnassa) Ø:n ja Г1:n tangenttien välisen kulman kanssa. Muista, että käyrien välinen kulma pisteessä z 0 on näiden käyrien tangenttien välinen kulma pisteessä z 0 . Siten, jos f "(z 0) ? 0, niin kuvaus w = f (z) säilyttää käyrien väliset kulmat. Huomaa, että tässä tapauksessa ei vain käyrien z ja z1 ja niiden kuvien välisten kulmien absoluuttinen arvo on säilytetty, mutta myös kulmien suunta Tätä kuvauksen ominaisuutta kutsutaan kulmien säilytysominaisuudet.

Johdannaisen moduulin geometrinen merkitys

Kiinnitetään piste z 0 ja otetaan argumentin Dz inkrementti; on selvää, että moduuli |Dz| yhtä suuri kuin pisteiden z 0 ja z = z 0 + Dz välinen etäisyys (kuva 2a). Olkoon w = f (z), Дw = w - w 0. Sitten arvo |Dw| / |Dz| ilmaisee suhteen, jossa pisteiden z 0 ja z välinen etäisyys muuttuu kartoituksen w = f (z) seurauksena. Rajaa kutsutaan venytystekijäksi pisteessä z 0 kuvauksen w = f (z) alla. Koska

sitten moduuli | f "(z 0) | on yhtä suuri kuin venytyskerroin pisteessä z 0, kun näytetään w = f (z). Jos | f "(z 0) | > 1, silloin pisteen z 0 riittävän pienessä ympäristössä pisteiden väliset etäisyydet kartoituksen aikana kasvavat ja venymistä tapahtuu; jos | f "(z 0)|< 1, то отображение приводит к сжатию (хотя соответствующий коэффициент все равно называют коэффициентом растяжения). Свойство данного отображения носит название pysyvät vetoominaisuudet.

Koska derivaatta f "(zo) ei riipu polusta, jota pitkin piste z 0 + Дz lähestyy pistettä z 0, venytyskerroin on sama kaikkiin suuntiin. Tämä ominaisuus voidaan havainnollistaa seuraavasti. Ota ympyrä l jonka keskipiste on z 0 ja säde |Дz| (eli Dz:n lisäyksillä on kiinteä moduuli, mutta eri suunnat - kuva 2a). Kun w = f (z) näytetään, tämä ympyrä muuttuu käyräksi L (kuva 2b); etäisyys tämän käyrän pisteestä w = f (z 0 + Dz) pisteeseen w 0 = f (z 0) on yhtä suuri kuin

|Dw| = |w-w 0 | = |f (z 0 + Dz) - f (z 0)|.

Koska Dw = f "(z 0) Dz + b (Dz) Dz, missä b (Dz) > 0, kun Dz > 0, niin |w - w 0 | = |f " (z 0) Dz + b(Dz) Dz|. Tämä yhtälö tarkoittaa, että käyrän L pisteet poikkeavat vähän ympyrästä |w -- w 0 | = |f " (z 0)| | Дz| keskipisteellä w 0 ja säteellä |f" (z 0)| | Dz| (täsmällisemmin sanottuna ne eroavat tästä ympyrästä pienemmän kertaluvun arvolla kuin |Dz| - kuva 2b).

2. Konformaalisen kartoituksen käsite

Kuvausta kutsutaan konformiseksi pisteessä z 0, jos: 1) tämä kuvaus säilyttää kulmat minkä tahansa kahden pisteen z 0 kautta kulkevan käyrän välillä; 2) venytys pisteessä z 0 ei riipu suunnasta.

Jos konforminen kartoitus säilyttää myös kulmien vertailusuunnan, niin sitä kutsutaan ensimmäisen tyyppiseksi konformiseksi mappaukseksi; jos kulmien laskennan suunta muuttuu päinvastaiseksi, niin toisen tyyppisellä konformisella kartoituksella.

Muotoilkaamme edellä saadut tulokset lauseen muotoon.

Lause 1. Jos funktio w = f (z) on analyyttinen pisteessä z 0 ja f "(z 0) ? 0, niin f (z) suorittaa ensimmäisen tyyppisen konformisen kuvauksen pisteessä z 0. Lisäksi , Arg f " (z 0 ) tarkoittaa kiertokulmaa ja |f" (z 0)| on tämän kuvauksen venytyskerroin.

Esimerkki toisen tyyppisestä konformisesta kartoituksesta on (ei-analyyttinen!) funktio w =, joka kartoittaa kunkin alueen D alueelle E, joka on symmetrinen D:n suhteen OX-akselin suhteen.

Jos f "(z 0) = 0, niin kuvaus ei yleisesti ottaen ole enää konforminen pisteessä z 0. Siten kuvaus w = z 2 kaksinkertaistaa säteiden väliset kulmat origossa.

Huomaa, että analyyttisten funktioiden yleisistä ominaisuuksista johtuen yksiarvoinen analyyttinen funktio z = μ(w) on määritelty pisteen w 0 läheisyydessä. Siten pisteiden z 0 ja w 0 lähialueiden välille muodostetaan yksi-yhteen vastaavuus. Esitetään seuraava perustavanlaatuinen määritelmä.

Määritelmä. Yksittäinen alueen kartoitus? kompleksista tasoa z kompleksisen tason w alueelle G kutsutaan konformiseksi, jos tämä kuvaus kaikissa pisteissä z ? sillä on ominaisuudet ylläpitää kulmia ja jatkuvaa jännitystä.

Korostamme, että tämä määritelmä merkitsee kyseisen kartoituksen jatkuvuutta.

Selvitetään nyt, mitä ominaisuuksia kompleksisen muuttujan funktiolla tulee olla, jotta tämän funktion suorittama kuvaus olisi konforminen. Seuraava lause pätee.

Lause 2. Olkoon funktio f (z) yksiarvoinen ja yksiarvoinen analyyttinen funktio alueella? ja f " (z) ? 0 z ? f (z) z?:lle.

Todiste. Todellakin, johtuen ehdosta f "(z) ? 0 z ?:lle funktion f (z) suorittamalla kartoituksella alueen ? kaikissa pisteissä on kulmien säilyttämisen ja dilataatioiden vakioisuuden ominaisuudet, mikä todistaa lauseen. .

Joten kompleksin muuttujan funktion analyyttisyyden, univalenssin ja nollasta poikkeavan derivaatan ehdot ovat riittäviä ehtoja tämän funktion suorittaman kuvauksen yhdenmukaisuudelle. On luonnollista kysyä, ovatko olosuhteet tarpeellisia. Seuraava lause vastaa tähän kysymykseen.

Lause 3. Suorittaako funktio f (z) toimialueen konformikuvauksen? kompleksitaso z kompleksisen tason w alueelle G ja on rajattu sisään?. Tällöin funktio f (z) on yksiarvoinen ja analyyttinen alueella ?, ja f " (z) ? 0 z ?:lle.

Todiste. Koska funktion f (z) suorittama kartoitus on konforminen, se on yksi yhteen, ja missä tahansa pisteessä z 0? Kulmien ja jännityksen pysyvyyden ominaisuudet täyttyvät. Näin ollen pisteen z 0 läheisyyteen kuuluville pisteille z 1 ja z 2 äärettömään pieniin arvoihin asti täyttyvät seuraavat suhteet:

missä Dz 1 = z 1 - z 0 ja Dz 2 = z 2 - z 0 ovat äärettömän pieniä lineaarisia elementtejä, jotka lähtevät pisteestä z 0, ja Dw 1 ja Dw 2 ovat niiden kuvia (kuva 3).

Huomaa, että (4) johdosta vastaavat kulmat pisteissä z 0 ja w 0 ovat yhtä suuret paitsi absoluuttisen arvon, myös suunnan suhteen. Merkitsemällä arg arvolla (4) huomaamme, että arg. Todella,

Kohdasta (5) ja (6) saadaan, että äärettömään pieniin arvoihin asti pätee seuraava suhde:

Pisteen z 0 läheisyydessä olevien pisteiden z 1 ja z 2 valinnan mielivaltaisuuden vuoksi relaatio (7) tarkoittaa, että erosuhteella on raja at. Tämä raja on määritelmän mukaan funktion f (z) derivaatta pisteessä z 0 . Koska tämä derivaatta ei ole nolla:

Piste z 0 on mielivaltainen piste alueella?; Siksi (8):sta seuraa, että funktio f (z) on analyyttinen alueella? ja f "(z) ? 0 z ? w suoritetaan vain nollasta poikkeavan derivaatan sisältävän kompleksisen muuttujan univalenttien analyyttisten funktioiden avulla kaikissa alueen kohdissa?

Huomaa, että ehto f"(z)<0 kaikkialla alueella? on välttämätön, mutta ei riittävä ehto funktion f(z) suorittaman toimialueen? kartoituksen yhdenmukaisuudelle toimialueen G kanssa.

3. Konformisten kartoitusten yleiset ominaisuudet

Lause 4 (Riemannin lause). Olkoon D ja D" yksinkertaisesti yhdistettyjä alueita muuttujien z ja w laajennetuilla tasoilla, ja näiden alueiden rajat koostuvat useammasta kuin yhdestä pisteestä. Sitten on olemassa analyyttinen funktio, joka kuvaa D:n D" yksi-to- yksi ja muodollisesti.

Riemannin lauseesta seuraa, että yksinkertaisesti yhdistettyä aluetta D ei voida kuvata konformisesti yksikkölevylle |w|< 1 только в двух случаях: а) если D есть вся расширенная плоскость (граница -- пустое множество); б) если D есть расширенная плоскость, из которой удалена только одна точка (например, если D -- конечная плоскость С, когда из удалена точка z = ?).

Riemmannin lauseen mukaan olemassa olevan alueen D kartoitus w = f (z) D:hen ei ole ainoa. Konformaalisen kuvauksen yksiselitteiseksi määrittämiseksi on tarpeen asettaa lisäehtoja, joita kutsutaan normalisointiehdoksi. reaaliparametrit Esimerkiksi riittää missä tahansa pisteessä z 0 alueen D arvoja

w 0 = f(z 0), .(9)

Tässä parametrit ovat pisteen w 0 kaksi koordinaattia ja reaaliluku. Ehdot (9) tarkoittavat, että kuvaus w = f(z) on ainutlaatuinen, jos mille tahansa pisteelle z 0 alueella D määritetään sen kuva w 0 alueella D" ja äärettömän pienten vektorien kiertokulma pisteessä z 0.

Voit myös määrittää muita normalisointiehtoja, jotka poikkeavat (9). Esimerkiksi alueen D yhden sisäisen ja yhden rajapisteen kuvat määritetään:

f(z 0) = w 0, f(z 1) = w 1,

missä z 0, w 0 ovat alueiden D, D sisäpisteet", a z 0, w 0 ovat näiden alueiden rajapisteitä. On myös kolme todellista parametria: pisteen w 0 kaksi koordinaattia ja pisteen sijainti. rajapiste w 1, joka määräytyy yhdellä reaaliluvulla (esimerkiksi alueen D" rajalla oleva etäisyys jostain kiinteästä rajapisteestä). Osoitetaan toinen normalisointiehtojen muunnelma:

f(z k) = w k , k = 1,2,3,

missä z k ja w k ovat alueiden D ja D rajapisteet".

Muotoilkaamme seuraava konformisten kuvausten tärkeä ominaisuus.

Kiinteistö 1. (alueen suojeluperiaate). Jos funktio w = f(z) on analyyttinen alueella D eikä vakio, niin joukko D", johon se kuvaa D, on myös toimialue (eli avoin yhdistetty joukko).

Jatketaan väittämiin, jotka kuvaavat rajojen vastaavuutta konformisissa kartoituksissa.

Omaisuus 2. (rajojen vastaavuuden periaate). Olkoon D ja D" yksinkertaisesti yhdistettyjä alueita, joita rajoittavat jatkuvat suljetut ääriviivat Г ja Г", jotka koostuvat äärellisestä määrästä sileitä käyriä. Olkoon edelleen, että funktio w = f(z) kuvaa D:n mukaisesti D:hen." Sitten tämä funktio voidaan määritellä edelleen Γ:n rajan pisteissä siten, että siitä tulee jatkuva suljetussa toimialueessa ja kartoittaa Γ yksi yhteen. ja jatkuvasti Γ:llä."

Tämä ominaisuus tarkoittaa, että kun kaksi aluetta kartoitetaan yhdenmukaisesti toisiinsa, niiden rajojen välille muodostuu yksi-yhteen ja jatkuva vastaavuus.

Ominaisuus 3. Alueiden D ja D "yhdenmukaisella kartoituksella" niiden rajojen ylityssuunta säilyy.

Toisin sanoen, jos rajaa kiertäessä alue D jää vasemmalle, niin alueen D rajaa kiertäessä tämä alue jää vasemmalle.

Seuraava ominaisuus on erittäin tärkeä konformisten kartoitusten rakentamisessa.

Ominaisuus 4. (käänteinen rajavastaavuuden periaate).

Rajaavat yksinkertaisesti yhdistetyt alueet D ja D" käyrillä Г ja Г". Olkoon edelleen, että funktio w = f(z), analyyttinen D:ssä ja jatkuva sisään, kohdistaa Γ yksi yhteen Γ:lle ja kun piste z kiertää ääriviivaa Γ siten, että alue D jää vasemmalle, vastaava piste w kiertää ääriviivaa Γ "niin, että alue D" jää myös vasemmalle. Sitten funktio w = f(z) suorittaa yhden yhteen konformaalisen alueen D alueeseen D. "

Näin ollen alueen D löytämiseksi, jolle funktio w = f(z) kartoittaa tietyn alueen D, riittää kiertää alueen D raja ja löytää ääriviiva, jolle tämä raja on kartoitettu funktiolla f(z) ).

4.Perustoiminnot

Lineaarinen funktio

Funktiota w = az + b,(10), jossa a ja b ovat kompleksilukuja ja a?0, kutsutaan lineaarifunktioksi. Koska w " = a? 0, niin kuvaus (10) on konforminen koko tasossa C. Osoitetaan, että se on univalentti myös C:ssä. Jos w 1 = az 1 + b, w 2 = az 2 + b, niin w 1 -- w 2 = a(z 1 -- z 2) Näin ollen saadaan, että w 1 ? w 2 ja asetuksella w(?) = ? koko laajennettu kompleksitaso päällä.

Mappauksen (10) geometristen ominaisuuksien tutkimiseksi tarkastelemme ensin tapausta b = 0, ts. w = az. Olkoon a = , z = .Sitten

Siksi vektorin w = az saamiseksi sinun on suoritettava seuraavat kaksi vaihetta:

1) kerro annettu vektori z |a|:lla. Tällöin vektorin z suunta pysyy samana, mutta pituus kasvaa |a| kerran. Tämä tarkoittaa kertomista |a|:lla on samankaltaisuusmuunnos (homothy), jonka keskus on origossa ja samankaltaisuuskerroin |a|;

2) Kierrä saatua vektoria |a|z kulmalla b.

Yleisen tapauksen (10) tarkastelussa huomaamme, että kun vektori az lisätään vektoriin b, vektorin az loppupiste siirretään rinnakkain vektoriin b. Siten kartoitus (10) saadaan seuraavien kolmen operaatioiden koostumuksella (eli peräkkäisellä suorituksella): 1) samankaltaisuusmuunnos keskipisteen kanssa origossa ja samankaltaisuuskerroin |a|; 2) kierto origon ympäri kulmalla b; 3) rinnakkaissiirto vektoriin b.

Lineaarinen murtofunktio.

Jatketaan yhtälön määrittelemän murto-osan lineaarifunktion tutkimista

ja vastaava murto-osa lineaarinen kartoitus. Koska

silloin on luonnollista määritellä w(?) = a/c, w(--d/c) = ?. Tällä tavalla määritelty funktio on jatkuva koko laajennetulla kompleksitasolla.

Jos c = 0, niin w = ja murto-osalineaarifunktio pelkistetään jo tutkituksi lineaarifunktioksi. Siksi seuraavassa oletetaan, että 0.

Kerro murtoluvun (11) osoittaja ja nimittäjä c:llä ja lisää +ad -- ad osoittajaan. Sitten murto-osa (11) voidaan esittää muodossa

Jos bc -- ad = 0, niin w = a/c ja funktio (11) pelkistyy vakioksi. Jatkossa oletamme, että ehdot täyttyvät

Kanssa? 0, bc - mainos ? 0. (13)

Osoitetaan, että murto-lineaarinen funktio (11) suorittaa yksi-yhteen-kuvauksen. Tätä tarkoitusta varten ratkaisemme yhtälön (11) z:lle (tämä on mahdollista z ? --d/c, z ? ?, w ? а/с, w ? ?):

Siksi jokainen w:n arvo? a/c ja w ? ? onko vain yksi käänteinen kuva z? - d/c ja z ? ?. Mutta määritelmän mukaan arvo w = a/c vastaa z = ?, ja arvo w = ? -- arvo z = --d/c. Jokaisella pisteellä w on siis vain yksi käänteiskuva z, mikä meidän piti todistaa.

Selvitetään nyt kartoituksen (11) yhdenmukaisuus. Koska

sitten z:ssä? - d/c ja z ? ? derivaatta w" on olemassa, eikä se ole nolla. Lauseen 1 mukaan lineaarinen murtolukukartta on konformaalinen kaikkialla paitsi näitä kahta pistettä.

Yhdenmukaisuuden määrittämiseksi kohdissa z = - d/c ja z = ? tarvitsemme seuraavan määritelmän.

Kahden suoran välisessä kulmassa pisteessä z = ? tarkoitetaan näiden viivojen kuvien välistä kulmaa, kun w = näytetään origossa.

Lause 5. Lineaarinen murtofunktio

Mainos -- bс? 0, w(?) = a/c, w(- d/c) = ?, (14)

toteuttaa laajennetun kompleksitason yksi-yhteen ja konformisen kartoituksen koko tasolle.

Emme sulje pois tapausta, jossa = 0 Lauseessa 5, koska tässä tapauksessa murto-osa lineaarifunktiosta tulee lineaarinen, jolla on myös kaikki Lauseessa 5 määritellyt ominaisuudet.

Perustetaan nyt lineaarisen murtokartoituksen ympyräominaisuus. Muiden formulaatioiden yhtenäisyyden vuoksi on sopivaa pitää suoraa ympyrää, jonka säde on äärettömän suuri.

Lause 6. Murto-lineaarisessa kuvauksessa (14) ympyrät muuttuvat aina ympyröiksi.

(Huomaa, että äärellisen säteen ympyrä voi muuttua äärettömän säteen ympyräksi, eli suoraksi ja päinvastoin.)

Todiste. Harkitse yhtälöä

A(x 2 + y 2) + Bx + Su + D = 0, (15)

missä A, B, C, D ovat todellisia kertoimia. Kun A = 0, saadaan Bx + Cy + D = 0, ts. suoran yhtälö. Jos? 0, sitten jakamalla A:lla ja valitsemalla täydet neliöt, päästään yhtälöön

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 = ± R 2

joka määrittää joko ympyrän, jos +R 2 oikealla, tai pisteen, jos R = 0, tai tyhjän joukon, jos -R 2 oikealla. Toisaalta mikä tahansa ympyrä (erityisesti suora) voidaan määrittää muotoa (15) olevalla yhtälöllä.

Todistetaan ensin ympyräominaisuus kuvaukselle w = 1/z. Otetaan mielivaltainen ympyrä kompleksitasolla. Se saadaan yhtälöstä (15). Merkitään z = x + iy, w = u + iv. Yhtälö w = 1/z antaa z = 1/w, tai

Saadaksemme yhtälön käyrästä, johon ympyrä muuttuu, kun w = 1/z näytetään, korvaamme löydetyt lausekkeet x:lle ja y:lle (15):

A + B u - C v + D (u 2 + v 2) = 0

Pääsimme yhtälöön, joka on samanmuotoinen kuin (15), mutta muuttujan w = u + iv tasossa. Kuten aiemmin näimme, tällainen yhtälö määrittelee joko ympyrän (erityisesti suoran D = 0), pisteen tai tyhjän joukon. Mutta murto-lineaarisen kuvauksen yksi-yhteen-luonteen vuoksi ympyrä ei voi mennä pisteeseen tai tyhjään joukkoon. Tämä tarkoittaa, että se muuttuu ympyräksi ja kuvauksen ympyräominaisuus w = 1/z muodostuu.

Tarkastellaan nyt lineaarisen murtokartoituksen yleistä tapausta (14). Jos c = 0, niin saadaan lineaarinen kartoitus w = a 1 z + b 1, joka pelkistyy venytykseen pyörittämällä ja siirtämällä. Jokaisella näistä muunnoksista on ilmeisesti pyöreä ominaisuus. Tämä tarkoittaa, että kuvauksessa w = a 1 z + b 1 tämä ominaisuus pätee myös.

Anna nyt kanssa? 0. Yhtälön (12) avulla esitämme murto-lineaarisen mappauksen muodossa

jossa E = , F =, G =.

Yhtälöstä (16) seuraa, että murto-lineaarinen kuvaus esitetään seuraavan kolmen muunnoksen koostumuksena:

1) w 1 = z + G; 2) w 2 = 1/w; 3) w = E + Fw 2. Kuten edellä todettiin, jokainen näistä muunnoksista muuntaa ympyrän ympyräksi. Tämä tarkoittaa, että myös niiden koostumuksella on tämä ominaisuus, joka oli todistettava.

Muodostaaksemme toisen lineaarisen murtolukumappauksen ominaisuuden tarvitsemme seuraavan määritelmän.

Pisteitä A ja A" kutsutaan symmetrisiksi säde R:n ympyrän suhteen< ?, если они лежат на одном луче, выходящем из центра О окружности, и

OA* OA" = R 2 .(17)

Jos piste A lähestyy ympyrää (ks. kuva 4), ts. jos OA > R, niin OA" pyrkii myös R:ään; jokainen ympyrän piste on symmetrinen itselleen; jos OA > 0, niin OA" > ?. Siksi pisteen O äärettömyyden piste on symmetrinen. Suhteellinen symmetria

ympyrä, jonka säde on R = ? tarkoitamme tavallista symmetriaa suoralla viivalla.

Lemma 7. Jotta pisteet A ja A" olisivat symmetrisiä ympyrän Г suhteen (mahdollisesti äärettömän säteellä), on välttämätöntä ja riittävää, että mikä tahansa A:n ja A":n kautta kulkeva ympyrä on kohtisuorassa Г:n suhteen (kuva 5). .

Todiste. Välttämättömyys. Olkoon pisteet A ja A" symmetrisiä ympyrän G suhteen. Piirretään mielivaltainen ympyrä Г" pisteiden A ja A" kautta ja olkoon B ympyröiden Г ja Г leikkauspiste. Tunnetun sekantteja ja tangentteja koskevan lauseen mukaan sekantin OA" ja sen ulkoosan OA tulo on yhtä suuri kuin tangentin neliö. Samalla johtuen

symmetria, OA * OA" = R 2. Joten,

säde OB on ympyrän Г tangentti. Koska säde OB on kohtisuorassa pisteen B kautta kulkevaa tangenttia Г vastaan, niin ympyrät Г ja Г" ovat kohtisuorassa, mikä on todistettava. Jos Γ on suora (tämä on tilanne, kun A = 0), niin se kulkee pisteen O kautta ja on siten myös kohtisuorassa Γ:n kanssa.

Riittävyys. Olkoon pisteet A ja A" sellaisia, että mikä tahansa niiden läpi kulkeva ympyrä (erityisesti suora) leikkaa Γ:n suorassa kulmassa (ks. kuva 5). Osoitetaan, että A ja A" ovat symmetrisiä Γ:n suhteen. Koska suora AA "on kohtisuorassa G:tä vastaan, se kulkee pisteen O kautta. Tämä tarkoittaa, että pisteet O, A, A" ovat samalla suoralla. Mutta ne sijaitsevat myös samalla säteellä, joka lähtee pisteestä O. Todellakin, jos pisteet A ja A" olisivat pisteen O vastakkaisilla puolilla, ympyrä, jonka halkaisija on AA" ei olisi kohtisuorassa G:tä vastaan.

Piirretään mielivaltainen ympyrä Г" A:n ja A" kautta säteellä R"< ?. Пусть В -- точка пересечения Г и Г". По условию, Г и Г" пересекаются под прямым углом. Поэтому радиус ОВ будет касаться Г ". По той же теореме о секущей и касательной ОА * ОА" = R 2 . Следовательно, точки А и А" симметричны относительно Г.

Olemme todistaneet Lemma 7:n R:n tapauksessa< ?. Если R = ?, то рассуждение существенно упрощается.

Nyt olemme valmiita määrittämään seuraavan lineaaristen murto-osien kartoitusten ominaisuuden (symmetrian säilytysominaisuus):

Lause 8. Murto-lineaarisen mappauksen (14) alla pistepari, joka on symmetrinen ympyrän (erityisesti suoran) suhteen, menee pistepariin, joka on symmetrinen tämän ympyrän kuvan suhteen.

Todiste. Olkoot pisteet z 1 ja z 2 symmetrisiä ympyrän Г suhteen. Murto-lineaarisessa kuvauksessa (14) Г muuttuu käyräksi r, joka Lauseen 6 mukaan on myös ympyrä. pisteet z 1 ja z 2 menevät pisteisiin w 1 ja w 2. On tarpeen todistaa, että w 1 ja w 2 ovat symmetrisiä z:n suhteen. Otetaan mikä tahansa ympyrä z ", joka kulkee w 1:n ja w 2:n kautta, ja tarkastellaan sen käänteiskuvaa Г" kartoituksessa (14) (eli joukko muuttujan z tasossa olevat pisteet, jotka siirtyvät osaan z "). Tätä varten ilmaisemme z yhtälöstä (14):

osoitteessa ad - bc ? 0

Näemme, että Γ "saadaan Γ:stä" myös lineaarisella murto-osakuvauksella. Koska g ` on ympyrä, niin Lauseen 6 mukaan G ` on myös ympyrä. Koska Г ` kulkee pisteiden z 1 ja z 2 kautta symmetrisesti suhteessa Г, niin ympyrä Г ` on kohtisuorassa Г:n kanssa lineaarisen murtokartan yhdenmukaisuuden vuoksi ja Г ` on kohtisuorassa Г:n suhteen Lemmasta 7 seuraa, että pisteet w 1 ja w 2 ovat symmetrisiä r:n suhteen ja todistus on valmis.

Lineaarisen murtokartoituksen vakiintuneet ominaisuudet mahdollistavat ympyröillä (erityisesti suorien) rajattujen alueiden kartoituksia.

Virtatoiminto. Riemannin pinnan käsite.

Harkitse tehotoimintoa

missä n on luonnollinen luku. Derivaata w" = nz n -1 on olemassa ja on nollasta poikkeava kaikissa pisteissä z ? 0, z ? kirjoitamme muuttujat z ja w eksponentiaalisessa muodossa, z = r e i c, w = se i u, sitten (18) johtaa yhtälöihin

c = r n, u = nc.

Tämä osoittaa, että ympyrät |z| = r mene ympyröihin |w| = r n , kulma 0< ц < б, где б < 2 р /n, с вершиной в начале координат, лежащий в плоскости переменного z, отображается на угол 0 < и < nб плоскости w. Следовательно, конформность отображения нарушается в точке z = 0: углы в этой точке увеличиваются при отображении в n раз. Нетрудно показать, что отображение (18) не является конформным и в точке z = ?.

Olkoon pisteet z 1 ja z 2 sellaisia, että z 2 = z 1 e i 2 p / n, n? 2. On helppo nähdä, että z 1? z 2 ja. Siksi kartoitus (18) ei ole univalentti koko kompleksitasossa C, vaan on niin minkä tahansa suuruuskulman b sisällä.< 2 р /n с вершиной в начале координат.

Käänteistehofunktion käyttöönottamiseksi tarvitsemme seuraavat määritelmät.

Kompleksimuuttujan moniarvoinen funktio on sääntö (laki), jonka mukaan kompleksiluku z joukosta D vastaa useita (mahdollisesti äärettömän monta) kompleksilukua w.

Kaikki aiemmin tarkastellut funktiot (paitsi Arg z -funktio) olivat yksiselitteisiä. Arg z -funktio on moniarvoinen:

Arg z = arg z + 2рk,

jossa arg z on argumentin pääarvo ja k mikä tahansa kokonaisluku. Seuraavassa termi funktio, käytettynä ilman selitystä, tarkoittaa yksiselitteistä funktiota; tutkittavien funktioiden polysemia määritellään aina lisäksi.

Olkoon funktio w = f(z) kartoittaa verkkoalue D alueeseen E. Funktion w = f(z) käänteisarvo on funktio (yleensä moniarvoinen) z = g(w), joka on määritelty toimialueella E. , joka jokaiseen kompleksilukuon w E liittää kaikki kompleksiluvut zD siten, että f(z) = w.

Toisin sanoen w = f(z):n käänteisfunktio on sääntö, jonka mukaan jokainen piste wE vastaa kaikkia sen käänteiskuvia zD.

Jos funktio w = f(z) on univalentti D:ssä, niin käänteisfunktio on univalentti (ja myös univalentti) E:ssä; jos w = f(z) ei ole yksiarvoinen, käänteisfunktio on moniarvoinen. Esimerkiksi funktion w = z n käänteisarvo on moniarvoinen funktio z =: jokainen w:n arvo, joka on muu kuin 0 ja?, vastaa n erilaista n:nnen asteen juuria, jotka on määritelty kaavalla

Numerot 0 ja? jokaisella on yksi juuri: , a.

Lause 9. Olkoon funktio w = f(z) yksiarvoinen ja analyyttinen alueella D, kuvaa D alueeseen E ja f "(z) ? 0. Tällöin käänteisfunktio z = g(w) on myös analyyttinen verkkotunnus E ja

Todiste. Korjataan mielivaltainen piste zD ja otetaan inkrementti Дz? 0. Tällöin funktion w = f(z) univalenssista johtuen vastaava inkrementti Дw = f(z + Дz) -- f(z) ei myöskään ole nolla. Siksi

Koska funktio w = f(z) on analyyttinen, se on jatkuva pisteessä z.

Näin ollen Dw > 0 kun Dz > 0, ja yksi-yhteen-suhteesta johtuen myös päinvastoin: Dz > 0 kun Dw > 0.

Q.E.D.

Funktion z = g(w) argumentti, w = f(z) käänteisarvo, on muuttuja w. Koska funktion argumenttia merkitään usein z:llä, johdonmukaisuuden vuoksi muuttujat z ja w määritellään uudelleen ja kirjoitetaan w = g(z). Esimerkiksi käänteisfunktio w = z n kirjoitetaan muodossa w = .

Tarkastellaan lähemmin funktiota w = . Kuten edellä mainittiin, se on moniarvoinen. Tämä funktio on kuitenkin mahdollista määritellä joukolle, jonka rakenne on monimutkaisempi kuin kompleksitaso, jolla funktio w = muuttuu yksi-yhteen ja jatkuvaksi. Kuvataan vastaava joukko. Otetaan positiivista puoliakselia pitkin leikatusta kompleksitasosta n kopiota ("arkkia") D 0 , D 1 ,..., D n -1 ja asetetaan ne päällekkäin (kuvassa 6a tapaus) n = 4).

Sitten se alueen D 0 osuuden reuna, johon lähestymme säteen OX alapuolelta (eli puolitasoa y pitkin)< 0), склеим с верхним краем разреза области D 1 ; нижний край разреза области D 1 склеим с верхним краем разреза области D 2 и т.д., пока не склеим нижний край разреза D n -2 с верхним краем разреза D n -1 . Теперь склеим оставшиеся свободными нижний край разреза области D n -1 (на рис. 6а это D 3) с верхним краем разреза области D 0 . В трехмерном пространстве такую склейку невозможно осуществить без пересечения с уже сделанными склейками промежуточных листов. Но мы условимся считать эту склейку непересекающейся с предыдущими (т.е. точки этой склейки считаются отличными от точек остальных склеек). Полученная поверхность показана на рис. 6б.

Sitä kutsutaan funktion w = Riemannin pinnaksi. Jokaisen kompleksitason pisteen yläpuolella, joka eroaa 0:sta ja?:stä, on tasan n Riemannin pinnan pistettä. Reaalisen puoliakselin pisteet x > 0 eivät ole poikkeus, koska kaikki sen yläpuolella olevat liimauspisteet katsotaan epäyhtenäisiksi. Vain kahdella pisteellä ei ole tätä ominaisuutta: z = 0 ja z = ? Kaikki Riemannin pinnan levyt katsotaan liimatuiksi pisteiden z = 0 ja z = ? yläpuolella.

Määritetään nyt funktio w = konstruoidulle Riemannin pinnalle. Muistetaan, että jos z = r e iс, niin kaikki z:n n:nnen asteen juuret määritetään kaavalla (*):

Tämän kaavan kulma q voidaan valita mistä tahansa pituudeltaan 2p; meidän on kätevää olettaa, että 0 ? ts< 2р.

Arkilla D 0 oleviin pisteisiin z = r e ic ja D 0:n liimaukseen arvolla D n -1 annetaan juuren arvo k = 0; pisteet, jotka makaavat arkilla D 1 ja liimataan D 1:llä D 0 - juuren arvo, jossa k = 1. Yleensä pisteet, jotka sijaitsevat D k:llä, kohdassa 1? k? n-1, ja D k:n liimaus D k -1:llä vastaa juuren arvoa annetulla k:llä. Konstruoitu vastaavuus on yksiarvoinen funktio Riemannin pinnalla.

On helppo osoittaa, että tämä funktio kartoittaa Riemannin pinnan yksitellen koko kompleksitasolle. Itse asiassa arkki D k kartoitetaan kulmaan, ja liimaus kartoitetaan näitä kulmia yhdistäviin säteisiin; siten koko kompleksinen taso peitetään Riemannin pinnan pisteiden kuvilla.

Osoittakaamme, että tämä kartoitus on myös jatkuva. Jos piste z on arkilla D k, jossa on leikkaus, niin jatkuvuus tässä pisteessä seuraa suoraan kaavasta (20) kiinteällä k:llä. Jatkuvuuden osoittamiseksi liimauspisteissä otetaan huomioon Riemannin pinnan ääriviiva, joka koostuu ympyrän yläpuolella olevista pisteistä. |z| = 1 kompleksinen taso. Aloitetaan tämän muodon kiertäminen pisteestä z, joka sijaitsee leikatun arkin D 0 yläreunassa. Koska r = 1, q = 0, k = 0, niin w = = 1. Kun kierretään piirin ensimmäinen kierros arkilla D 0, tulee

Ja. Siirtymällä liimausviivaa pitkin arkkiin D 1, saadaan määritelmän mukaan (koska k = 1). Erityisesti kohdassa q = 0 on sama juuren arvo, jota lähestyimme lähestyessämme leikkauksen alareunaa arkkia D 0 pitkin. Tämä tarkoittaa, että liimauspisteissä D 0 c D 1 funktio on jatkuva. Vastaavasti juuren jatkuvuus näytetään siirryttäessä kohdasta D k -1 kohtaan D k kohdassa 1? k? n-1. Lopuksi kiertämällä ääriviivaa arkkia D n -1 pitkin ja lähestymällä leikkauksen alareunaa, saadaan k = n - 1, ja

nuo. sama arvo, jolla aloitimme leikatun arkin D 0 yläreunasta. Siten funktio on jatkuva kaikissa Riemmann-pinnan pisteissä. Käänteisenä funktiona analyyttiselle funktiolle se on myös ainutlaatuinen analyyttinen funktio tällä pinnalla (lukuun ottamatta pisteitä z = 0 ja z = ?).

Ota mikä tahansa ympyrä |z| = r kompleksitasolla, joka sulkee sisäänsä pisteen z = 0. Tämä ympyrä sulkee sisäänsä myös pisteen z = ?. Kiertämällä ääriviivaa Riemannin pinnalla, joka koostuu tämän ympyrän yläpuolella sijaitsevista pisteistä, siirrymme Riemannin pinnan levyltä toiselle. Siksi pisteet z = 0 ja z = ? kutsutaan haarapisteiksi. Millään muulla pisteellä ei ole kuvattua ominaisuutta: jos otetaan ympyrä, jonka keskipiste on pisteessä z? 0, z ? ?, joka ei sisällä pistettä 0, niin Riemannin pinnan vastaavat pisteet muodostavat n ympyrää, jotka eivät ole yhteydessä toisiinsa. Kiertämällä niitä jokaista, emme mene samaa arkkia pidemmälle.

Yksiarvoista analyyttistä funktiota f (z) alueella D kutsutaan moniarvoisen funktion F (z) säännölliseksi haaraksi, joka on määritelty samassa toimialueessa, jos f (z):n arvo kussakin toimialueen D pisteessä z osuu yhteen yksi F (z) arvoista tässä vaiheessa .

Moniarvoinen funktio F(z) on yksiarvoinen ja analyyttinen Riemannin pinnallaan (haarapisteitä lukuun ottamatta). Siksi kyky valita säännöllinen haara alueelta D tarkoittaa kykyä paikantaa tämä alue Riemannin pinnalla leikkaamatta D ja koskematta haarapisteisiin. Tässä tapauksessa alue D tulee asettaa kokonaan yhdelle levylle tai laskea alas liimaamalla levystä toiseen (kuten matto portaissa). Esimerkiksi rengas 1< |z| < 2 нельзя без разрывов расположить на римановой поверхности функции F (z) = , n ? 2, поскольку точки кольца, располагаемые над положительной полуосью, должны одновременно попасть на разные листы, что невозможно. Но если разрезать кольцо по любому радиусу, то такое расположение становится возможным. При этом расположить D на римановой поверхности можно n способами (и, следовательно, выделить в D n различных ветвей функции). Для выделения конкретной ветви достаточно указать значение функции в какой-либо точке области D. Тем самым указывается лист римановой поверхности, на который попадает эта точка, а значит, фиксируется расположение и всей области D.

Eksponentiaaliset ja logaritmiset funktiot

1. Eksponentiaalinen funktio e z määritetään seuraavilla suhteilla: mille tahansa kompleksiluvulle z = x + iу

e z = e x + iy = e x (cos y + i sin y).(21)

Toinen yhtälö kohdassa (21) saadaan, jos otetaan määritelmän mukaan e x + i y = e x e i y ja sovelletaan Eulerin kaavaa e i y:ään. Kohdasta (21) seuraa, että

|e z | = |e x + i y | = e x, Arg e z = y + 2 рn.

Määritelmä (21) ja funktion e i z ominaisuudet helpottavat sen osoittamista, että funktiolla e z on eksponentiaalisen funktion tavanomaiset ominaisuudet:

ez1+z2 = ez1ez2; ez1 - z2 = ez1/ez2;(ez)n = e nz.

Osoitetaan, että funktio e z on analyyttinen koko kompleksitasossa C. Tätä varten meidän on tarkistettava Cauchyn-Riemannnin ehtojen täyttyminen (7). Jos w = u + iv, niin (21) u + iv = e x cos y + i e x sin y, mistä

u = e x cos y, v = e x sin y;

Siten ehdot (7) täyttyvät ja funktion e z analyyttisyys on todistettu. Laskemaan derivaatta (e z)", käytämme derivaatan riippumattomuutta suunnasta ja laskemme derivaatan OX-akselin suunnassa:

Näin ollen funktion e z derivaatalle pätee tavallinen kaava

Seuraavalla funktion e z ominaisuudella ei ole analogia reaalimuuttujan eksponentiaalisessa funktiossa: funktio e z on jaksollinen puhtaasti imaginaarijaksolla 2рi. Todellakin, mille tahansa kokonaisluvulle n

e z +2 рni = e x (cos(y + 2рn) + i sin(у+2рn)) = e x (cos y + i sin y) = e z.

Funktion w = e z jaksollisuudesta seuraa erityisesti, että se ei ole univalentti koko kompleksitasolla. Saadaksemme selville, millä alueilla tämä funktio on univalentti, laitetaan z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2. Kohdan (21) perusteella yhtälö e z 1 = e z 2 vastaa seuraavia ehtoja:

e x 1 = e x 2 , cos y 1 = cos y 2 , sin y 1 = sin y 2 ,

mikä tarkoittaa x 1 = x 2, y 1 = y 2 + 2рn, missä n on mielivaltainen kokonaisluku tai

z 1 - z 2 = 2рni.(22)

Näin ollen, jotta kuvaus w = e z olisi yksi yhteen alueella D, on välttämätöntä ja riittävää, että D ei sisällä yhtään pisteparia, jolle (22) on voimassa. Erityisesti tämän ehdon täyttää mikä tahansa vaakasuora nauha, jonka leveys on 2p, esimerkiksi raidat

(z: - ?< х < ?, 2рk < у < 2 р(k + 1)}, k = 0, ±1, ±2,...

Jokainen tällainen kaistale vastaa joukkoa arvoja w = e z = e x e iy = сe iand, joille yhtälöjen c = e x ja = y ansiosta meillä on

0 < с < ?, 2рk < и < 2р(k + 1).

Nämä w:n arvot täyttävät muuttujan w koko kompleksitason leikkauksella todellista positiivista puoliakselia pitkin. Tässä tapauksessa suorat y = y 0 (näkyy kuvassa 7, a katkoviivalla) muuttuvat säteiksi ja = y 0 (kuva 7b), ja välit x = x 0, 2рk< у < 2р(k + 1) (показаны сплошными линиями

kun k = 0) - ympyrässä сe x 0 (reikäpisteillä puoliakselilla u > 0). Raidat 0< Im z < h < 2 р показательная функция e z отображает в углы 0 < и < h. В частности, полоса 0 < Im z < р переводится в верхнюю полуплоскость.

2. Logaritminen funktio on eksponentiaalisen funktion käänteisfunktio.

Koska eksponentiaalinen funktio e z ei ole univalentti C:ssä, sen käänteisfunktio on moniarvoinen. Tämä moniarvoinen logaritminen funktio on merkitty Ln z. Siten, jos w = Ln z, niin z = e w. Laitetaan

w = u + iv, z = r e ic = re iArg z.

re iArg z = z = e w = e u + iv = e u e iv .

Vertaamalla tämän ketjun alussa ja lopussa olevia lukuja päättelemme, että

r = e u , e i Arg z = e iv .(23)

Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan u = ln r, missä ln r on positiivisen luvun r tavallinen luonnollinen logaritmi. Toinen yhtälö (23):ssa antaa v = Arg z. Täten,

Lnz = ln |z| + i Arg z. (24)

Jokaiseen kompleksilukuon z, joka on eri kuin 0 ja?, kaava (24) liittää äärettömän joukon arvoja Ln z, jotka eroavat toisistaan ​​2 pki, missä k on mikä tahansa kokonaisluku. On kätevää esittää muodossa Arg z

Arg z = arg z + 2 рk, - р< arg z ? р,

jossa arg z on argumentin pääarvo. Sitten kaava (24) saa muodon

Ln z = ln |z| +i(arg z + 2рk).(25)

Jokaiselle k:n arvolle funktio Ln z on jatkuva yksiarvoinen funktio kompleksitasossa, jossa on leikkaus negatiivista puoliakselia pitkin; se on myös analyyttinen tällä alueella funktiona, joka on käänteinen analyyttiselle funktiolle e z. Siten jokaiselle kiinteälle k:lle kaava (25) määrittää moniarvoisen funktion Ln z säännöllisen haaran. Tämä haara yksitellen kartoittaa tason, jossa on leikkaus negatiivista puoliakselia pitkin, kaistaleeksi

Р + 2 рk< Im w < р + 2рk.

Haara, joka saadaan kohdassa k = 0, on merkitty ln z:llä ja sitä kutsutaan moniarvoisen funktion Ln z pääarvoksi:

ln z = ln |z| + i arg z.

Esimerkiksi ln i = ln 1 + ip/2 = ip/2; ln(-i) = ln 1 -- iр/2 = --iр/2. Jos lähestyt pistettä z = -- 1 pitkin ylempää puolitasoa y > 0, niin; jos pohjassa, niin.

Voit kuvitella funktion Ln z Riemannin pinnan ottamalla ääretön määrä kopioita ("arkkeja") tasosta, jossa on leikkaus negatiivista puoliakselia pitkin, ja liimata ne yhteen kuvan 1 mukaisesti. 8. Tason jokaisen pisteen yläpuolella, lukuun ottamatta pisteitä z = 0 ja z = ?,

Riemannin pinnalla on äärettömän monta pistettä. Pisteissä 0 ja? funktiota Ln z ei ole määritelty, eikä niiden yläpuolella ole pintapisteitä. Pisteet z = 0 ja z = ? niitä kutsutaan äärettömän järjestyksen haarapisteiksi.

Riisi. 8 osoittaa selvästi syyn, että: jos oletetaan, että pisteet - 1 ± h, h > 0, ovat samalla Riemannin pinnan levyllä ja ohjaavat h nollaan, niin näiden pisteiden raja-asemat ovat eri levyillä. Riemannin pinta.

On mahdollista tunnistaa logaritmin säännöllinen haara paitsi alueella D, joka on taso, jossa on leikkaus negatiivista puoliakselia pitkin. Jos teet osan tasosta mitä tahansa sädettä pitkin, tuloksena oleva alue mahdollistaa myös säännöllisen haaran eristämisen siihen. Leikkaus tehdään OX-akseliin nähden kulmassa olevaa sädettä pitkin. Sitten säännölliset haarat annetaan seuraavalla kaavalla: for z = e iс

Ln z = ln r + i(t + 2рk), ja< ц < и + 2 р.

Kaava (25) on erikoistapaus u = - p. Logaritmin jokaisen säännöllisen haaran f (z) derivaatta löydetään käyttämällä kaavaa, joka on samanlainen kuin reaalimuuttujan logaritmisen funktion derivaatan kaava. Tämä tosiasia on johdettu yhtälöstä (e z)" = e z ja käänteisfunktion derivaatan kaavasta (19). Itse asiassa w = f(z):n käänteisarvo on funktio z = e w. Sieltä ja ( 19) saamme

Yleiset teho- ja trigonometriset funktiot. Žukovskin toiminto

1. Yleinen potenssifunktio, jossa on kiinteä kompleksiluku, määräytyy relaatiolla.

Olettaen, että saadaan Ln z = ln r + i(t + 2рk). Siten,

Tämä osoittaa, että kun moduuli saa äärettömän määrän arvoja. Näin ollen milloin funktio on äärettömän arvoinen.

Yleinen potenssifunktio mahdollistaa määritelmänsä perusteella säännöllisten haarojen tunnistamisen samoilla alueilla kuin logaritminen; esimerkiksi tasossa, jossa on leikkaus palkkia pitkin. Haaraa, joka on eristetty tasossa negatiivista puoliakselia pitkin leikkauksella, kutsutaan tehofunktion päähaaroksi. Kompleksisen funktion derivaatan lauseen perusteella potenssifunktion kullekin säännölliselle haaralle ovat totta seuraavat yhtäläisyydet:

missä f (z) on logaritmisen funktion Ln z säännöllinen haara. Olemme saaneet tavanomaisen kaavan potenssifunktion derivaatalle:

2. Siirrytään trigonometrisiin funktioihin. x:n todellisille arvoille Eulerin kaavasta seuraa, että

e i x = cos x + i sin x, e - i x = cos x -- i sin x.

Tästä syystä cos x = , sin x =. Nämä kaavat toimivat perustana seuraavalle määritelmälle.

Kompleksimuuttujan z trigonometriset funktiot määritellään yhtälöillä

Tällä tavalla määritellyt funktiot säilyttävät monet todellisen muuttujan trigonometristen funktioiden ominaisuudet. Funktion e z jaksollisuudesta seuraa, että funktiot sin z ja cos z ovat jaksollisia jaksolla 2 p ja tg z ja cot z jaksollisia jaksolla p. Funktio sin z on pariton ja cos z on parillinen. Todella,

Cos z -funktion pariteetti todistetaan samalla tavalla. Yhtälöillä (26) määritellyille funktioille pätevät tavalliset trigonometriset suhteet. Esimerkiksi,

sin 2 z + cos 2 z = 1, sin(z 1 + z 2) = sin z 1 cos z 2 + cos z 1 sin z 2 jne. Kaikki nämä suhteet johtuvat kohdasta (26).

Funktiot sin z ja cos z ovat analyyttisiä koko C-tasolla, ja tavanomaiset differentiointikaavat pätevät:

(sin z) " = cos z, (cos z) " = - sin z.

Todistetaan esimerkiksi derivaatan sinz kaava:

Käyttämällä kaavoja osamäärän derivaatta varten saamme

Kaikki todellisen muuttujan trigonometristen funktioiden ominaisuudet eivät kuitenkaan säily, kun nämä funktiot laajennetaan kompleksitasolle. Erityisesti sinz ja cosz voivat ottaa arvot, jotka ylittävät 1:n absoluuttisessa arvossa.

3. Käänteisfunktioita (26) kutsutaan käänteisiksi trigonometrisiksi funktioiksi. Koska trigonometriset funktiot (26) ovat jaksollisia, niiden käänteisfunktiot ovat äärettömän arvoisia. Koska funktiot (26) ilmaistaan ​​yksinkertaisesti eksponentiaaleina, voidaan niille käänteiset funktiot ilmaista logaritmeilla. Saadaan seuraava lauseke esimerkiksi kun w = Arccos z. Tämän funktion määritelmästä saamme

mistä e 2 i w -- 2ze i w + 1 = 0. Ratkaisemalla tämän toisen asteen yhtälön e i w:lle löydämme (jätämme pois neliöjuuren merkin edessä olevan ±:n, koska ymmärrämme juuren kaksiarvoisena funktiona, joka ottaa molemmat vastaavat arvot). Viimeisestä saamamme tasa-arvosta

Suhteen perusteella etumerkin muutos juuren edessä johtaa merkin muutokseen logaritmin edessä. Mutta juuri saa arvot sekä "+"- että "--". Tämä tarkoittaa, että Arccos z -arvojen joukossa on arvoja, joissa on sekä "+" että "-" logaritmin edessä. Siksi "--"-merkki voidaan jättää pois:

Samanlaisia ​​kaavoja voidaan antaa muille käänteisille trigonometrisille funktioille:

Kompleksisen muuttujan alkeisfunktioista huomioidaan myös hyperboliset funktiot sh z, ch z, th z ja cth z, jotka määritellään yhtälöillä

Ne ilmaistaan ​​hyvin yksinkertaisesti trigonometristen funktioiden avulla:

sh z = -- i sin iz,

th z = -- i tg iz, cth z = i ctg iz,

eivätkä siksi eroa merkittävästi jälkimmäisistä.

Žukovski-funktio on funktio

Tällä toiminnolla on tärkeitä sovelluksia lentokoneiden siipien teoriassa, ja se on myös erittäin hyödyllinen useiden konformisten kartoitusten rakentamisessa. Se on analyyttinen kaikkialla paitsi pisteissä z = 0 ja z = ?. Johdannainen

esiintyy kaikkialla, paitsi pisteitä z = 0 ja z = ?, ja häviää kohdassa z = ±1. Siksi kartoitus (30) on konforminen kaikkialla paitsi pisteitä 0, ±1,?.

Selvitetään, millä ehdolla kaksi eri pistettä siirtyy samaan pisteeseen. Olkoon z 1? z 2 ja.

Seuraa, että.

z 1:stä lähtien? z 2 , niin tämä yhtälö vastaa ehtoa z l z 2 = 1.(31)

Siksi, jotta Žukovski-funktio olisi yksiarvoinen jossain D-alueessa, on välttämätöntä ja riittävää, että tämä alue ei sisällä paria erillisiä pisteitä, jotka täyttävät ehdon (31). Tällaisia ​​alueita ovat esimerkiksi ulko |z| > 1 yksikköympyrästä (tässä tapauksessa |z 1 z 2 | > 1) ja sisäosa |z|< 1 этого круга (|z 1 z 2 | < 1).

Selvitetään kartoituksen (30) visualisoimiseksi, mihin käyriin se muuttaa ympyröitä (näkyy kuvassa 9a yhtenäisinä viivoin) ja säteitä (esitetty katkoviivoin). Laitetaan z =. Sitten (30) kirjoitetaan uudelleen muotoon

alkaen (32)

Tarkastellaan kuvia ympyröistä r = r 0 . Kohdasta (32) seuraa

Neliöimällä nämä yhtälöt, lisäämällä ja asettamalla r = r 0, saadaan

Yhtälö (33) on yhtälö ellipsistä puoliakseleilla

Joten, kuvat ympyröistä |z| = r 0 z-tasossa w-tasossa on ellipsejä (kuva 9b). Jos r 0 > 1, niin a r 0 > 1, b r 0 > 0. Siksi ellipsit supistuvat segmenttiin [--1,1]. Suurella r 0:lla ero a r 0 -- b r 0 = on pieni ja ellipsit poikkeavat vähän ympyröistä.

Säteiden kuvan saamiseksi muunnamme yhtälöt (32) muotoon

Neliöimällä nämä yhtälöt, vähentämällä toinen ensimmäisestä ja asettamalla

Saamme (34)

Yhtälö (34) on yhtälö hyperbolista puoliakseleilla. Näin ollen säteet näytetään hyperbolien osissa (kuva 9b). Siten Žukovski-funktio yksitellen kartoittaa yksikköympyrän ulkopinnan segmentin ulkopinnalle [-1,1].

Kohdasta (30) on helppo nähdä, että w(z) = w(l/z). Funktio w = 1/z yksi-yhteen ja kuvaa ympyrän sisäosan |z|< 1 на внешность этого же круга. Отсюда следует, что функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает также и внутренность единичного круга на внешность отрезка [--1,1].

...

Samanlaisia ​​asiakirjoja

1. ja 2. tyypin konformisen kartoituksen olemus, analyyttinen funktio tietyllä alueella. Derivaattafunktion argumentin ja moduulin geometrinen merkitys. Venytyskertoimen suuruus pisteessä. Nollasta poikkeavan funktion säilyminen suuruudessa ja jännitteessä.

esitys, lisätty 17.9.2013


Funktion derivaatan määritelmä, sen inkrementin geometrinen merkitys. Tietyn suhteen geometrinen merkitys. Funktion derivaatan fyysinen merkitys tietyssä pisteessä. Luku, johon tietty suhde pyrkii. Johdannaislaskelmien esimerkkien analyysi.

esitys, lisätty 18.12.2014


Funktion inkrementin ja itsenäisen argumentin lisäyksen suhteen raja, kun argumentin inkrementti pyrkii nollaan. Johdannainen merkintä. Johdannaisen funktion differentiaatiokäsite ja sen geometrinen merkitys. Käyrän tangentin yhtälö.

esitys, lisätty 21.9.2013


Johdannan geometrinen merkitys. Toiminnon jatkuvuuden ja differentiatiivisuuden välisen suhteen analyysi. Alkeisfunktioiden johdannaiset. Erottamisen säännöt. Implisiittisesti määritellyn funktion derivaatan löytäminen. Logaritminen differentiaatio.

esitys, lisätty 14.11.2014


Johdannainen funktio. Käyrän tangentti. Johdannan geometrinen merkitys. Johdannaisia ​​alkeisfunktioista. Funktioiden opiskelu johdannaisten avulla. Maksimi- ja minimitoiminnot. Käännepisteet. Ero.

artikkeli, lisätty 11.1.2004


Derivaatan käsite, sen soveltamissäännöt, derivaatan geometrinen ja fyysinen merkitys. Johdannaisten soveltaminen tieteessä ja tekniikassa ja ongelmien ratkaiseminen tällä alalla. Differentiaalilaskennan merkitys tieteen ja teknologian kehityksen yhteydessä.

tiivistelmä, lisätty 17.5.2009


Sääntö funktioiden tulon derivaatan löytämiseksi. Kaavat derivaattojen löytämiseksi parametrisesti määritellyille funktioille. Johdannan geometrinen merkitys. Inkrementti- ja differentiaalifunktiot. Suurin ja pienin arvo suljetussa sarjassa.

testi, lisätty 7.9.2010


Konformaalisen kartoituksen käsite ja sen perusominaisuudet. Kompleksimuuttujan funktioiden konformisten kuvausten perusperiaatteet, niiden hydrodynaamiset analogiat ja tulkinnat. Konformaalisen kartoitusmenetelmän soveltaminen jatkumomekaniikassa.

opinnäytetyö, lisätty 26.8.2014


Funktion antiderivaata ja määrittelemätön integraali. Johdannan geometrinen merkitys. Kaikkien funktion f(x) antiderivaattien joukko välissä X. Integrandin käsite. Integrointituloksen oikeellisuuden tarkistaminen, esimerkkejä ongelmista.

esitys, lisätty 18.9.2013


Annettujen lukujen moduulin ja argumentin löytämisen ongelma, esimerkki ratkaisusta. Tietyn funktion differentiaatioalue, derivaatan reaaliosa. Sääntö käyrän kuvan yhtälön määrittämiseksi. Funktion todellisen ja imaginaarisen osan löytäminen.

Luento nro 4.

Geometrisesti kompleksisen muuttujan funktio w=f(z) määrittää tietyn joukon näytön z– lentokoneet tiettyyn joukkoon w-lentokone. Piste wÎ G nimeltään tapa pisteitä z kun näytetään w=f(z), piste zÎ D – prototyyppi pisteitä w.

Jos kaikki z vain yksi arvo vastaa w=f(z), funktiota kutsutaan yksiselitteinen (w=|z|,w=,w= Re z jne.) Jos jotkut z vastaa useampaa kuin yhtä arvoa w, funktiota kutsutaan polysemanttinen (w= Arg z).

Jos (eli alueen eri kohdissa D funktio saa eri arvoja), sitten funktio w=f(z) kutsutaan yksilehtinen alueella D.

Toisin sanoen univalenttinen funktio w=f(z) kartoittaa alueen yksitellen D päällä G. Yhden arkin näytöllä w=f(z) minkä tahansa pisteen käänteinen kuva wÎ G koostuu yhdestä elementistä: : . Siksi z voidaan pitää muuttujan funktiona w, määritelty G. Se on nimetty ja kutsuttu käänteinen funktio .

Jos alueella D on vähintään yksi pistepari, sitten funktio f(z) kutsutaan monilehtinen alueella D.

Jos näyttö w=f(z) on monilehtinen D(Esimerkiksi, w=z n), niin tässä tapauksessa joitain arvoja wÎ G vastaa enemmän kuin yhtä pistettä zÎ D:f(z)=w. Siksi käänteiskuvaus ei ole yksiarvoinen, se on moniarvoinen funktio.

Yksinumeroinen alueella D toiminto w=f(z) kutsutaan moniarvoisen funktion haara F, jos arvo f milloin tahansa zÎ D vastaa yhtä arvoista F tässä tilanteessa.

Eristääksesi moniarvoisen funktion yksiarvoiset haarat, toimi seuraavasti: alue D jakaa funktiot univalenssialueisiin w=f(z) niin, että kahdella alueella ei ole yhteisiä sisäpisteitä ja että jokaisella pisteellä zÎ D kuului jollekin näistä alueista tai joidenkin niiden rajalle. Jokaisessa näistä univalenssialueista määritellään funktio, joka on käänteinen w=f(z). Se on moniarvoisen funktion yksiarvoinen haara.

Konformaalisen kartoituksen käsite

Esimerkki. Etsi venytyskerroin ja kiertokulma pisteessä z=2i kun näytetään.

■ Etsi derivaatta ja sen arvo tietyssä pisteessä.

Venytyssuhde k yhtä suuri kuin derivaatan moduuli: .

Pyörimiskulma j on yhtä suuri kuin derivaatan argumentti. Pointti on siis neljännellä neljänneksellä. ■

Esimerkki 3.5. Määritä, mikä osa tasosta näytetään w=z 2 on venytetty ja kumpi on puristettu.

■ Johdannan löytäminen w¢ = 2 z. Jännitystekijä missä tahansa vaiheessa z on yhtä suuri k=|w¢( z)|=2|z|. Pisteiden joukko kompleksisessa tasossa, jolle k>1, eli 2| z|>1 tai , muodostaa osan tasosta, joka venytetään, kun se näytetään. Siksi näytettäessä w=z 2, ympyrän ulkopuoli on venytetty ja sisäpuoli puristettu. ■

Näyttö w=f(z) kutsutaan mukautuva (eli säilyttää muotonsa) pisteessä, jos se säilyttää käyrien väliset kulmat ja sillä on ominaisuus jatkuvan pisteen lähialueen laajenemisessa.

Mikä tahansa analyyttisen funktion avulla muodostettu kartoitus f(z) on yhdenmukainen kaikissa kohdissa, joissa .

Kartoitus on ns alueella , jos se on yhdenmukainen tämän alueen jokaisessa kohdassa.

Kutsutaan konformista kartoitusta, jossa kulmien vertailusuunta säilyy ensimmäisen tyyppinen konforminen kartoitus . Kutsutaan konformista kartoitusta, jossa kulmien suunta on käänteinen ΙΙ-suvun konforminen kartoitus (Esimerkiksi, ).

Konformaalisten kartoitusten teoriassa ja käytännössä kaksi ongelmaa asetetaan ja ratkaistaan.

Ensimmäinen tehtävä on löytää tietyn viivan tai alueen kuva tietyn kartoituksen alta - suora tehtävä .

Toinen on löytää funktio, joka kartoittaa tietyn viivan tai alueen toiselle tietylle riville tai alueelle - käänteinen ongelma .

Suoraa ongelmaa ratkaistaessa otetaan huomioon, että pisteen kuva z 0, kun se näkyy w=f(z) on kohta w 0, sellaista w 0 =f(z 0), eli vaihdon tulos z 0 tuumaa f(z). Siksi joukon kuvan löytämiseksi sinun on ratkaistava järjestelmä, joka koostuu kahdesta suhteesta. Yksi niistä määrittää kartoitustoiminnon w=f(z), toinen on suoran yhtälö, jos ratkaistaan ​​suoran kuvan löytämisongelma, tai epäyhtälö, joka määrittää käänteiskuvan pistejoukon, jos alueiden kartoitusongelma ratkaistaan. Molemmissa tapauksissa ratkaisumenettely rajoittuu muuttujan eliminointiin z kahdesta annetusta suhteesta.

Sääntö 3.3. Etsiä yhtälön antaman suoran kuva F(x,y)=0 (tai nimenomaisesti y=j(x)), kun ne näytetään w=f(z) tarpeen:

1. Valitse funktion todellinen ja kuvitteellinen osa f(z): u=Re f(z), v=Im f(z).

2. Sulje pois järjestelmästä X Ja u. Tuloksena oleva suhde on tämän suoran kuvan yhtälö.

Sääntö 3.4. Tietyn viivan kuvan etsiminen näytössä w=f(z) tarpeen:

1. Kirjoita suoran yhtälö parametrimuodossa z=z(t) tai monimutkaisessa muodossa.

2. Harkitse vastaavaa tapausta viivayhtälön tyypistä riippuen:

Jos rivi annetaan parametrimuodossa, korvaa lauseke z(t) V w=f(z);

Jos rivi annetaan monimutkaisessa muodossa, niin ilmaise z alkaen w=f(z), eli ja . Sitten sinun pitäisi vaihtaa z ja suoran yhtälössä. Tuloksena oleva suhde on tämän suoran kuvan yhtälö.

Sääntö 3.5. Jos haluat löytää kuvan tietystä alueesta, sinun tulee käyttää toista kahdesta menetelmästä.

Ensimmäinen tapa.

1. Kirjoita muistiin tämän alueen rajan yhtälö. Etsi kuva tietyn alueen rajasta sääntöjen 3.3 tai 3.4 avulla.

2. Valitse mielivaltainen tietyn alueen sisäpiste ja etsi sen kuva annetun kartoituksen alta. Alue, johon tuloksena saatu piste kuuluu, on haluttu kuva annetusta alueesta.

Toinen tapa.

1. Express z suhteesta w=f(z).

2. Korvaa se, mitä sait vaiheessa 1. lauseke epäyhtälössä, joka määrittelee tietyn alueen. Tuloksena oleva kuvasuhde on haluttu kuva.

Esimerkki. Etsi ympyrän kuva | z|=1, kun se näytetään funktiolla w=z 2 .

■ 1 tapa(säännön 3.3 mukaan).

1. Anna z=x+iy, w=u+iv. Sitten u+iv =x 2 -y 2 +i 2xy. Saamme:

2. Suljetaan pois X Ja klo näistä yhtälöistä. Tätä varten neliötetään ensimmäinen ja toinen yhtälö ja lisätään:

u 2 +v 2 =x 4 -2x 2 y 2 +y 4 +2x 2 y 2 =x 4 +2x 2 y 2 +y 4 =(x 2 +y 2) 2 .

Ottamalla huomioon järjestelmän kolmannen yhtälön, saamme: u 2 +v 2 = 1 tai | w| 2 =1, eli | w|=1. Joten, kuva ympyrästä | z|=1 on ympyrä | w|=1, kulkee kahdesti. Tämä johtuu siitä tosiasiasta, että siitä lähtien w=z 2 sitten Arg w=2Arg z+2pk. Joten kun kohta z kuvaa kokonaista ympyrää | z|=1, silloin sen kuva kuvaa ympyrää | w|=1 kahdesti.

Menetelmä 2(säännön 3.4 mukaan).

1. Kirjoita yksikköympyrän yhtälö parametriseen muotoon: z=e se (0£ t£2 s).

2. Korvataan z=e se suhteessa w=z 2: w=e i 2 t=cos2 t+i synti2 t. Siksi | w| 2 = cos 2 2 t+sin 2 2 t=1, eli | w|=1 – kuvayhtälö. ■

Esimerkki. Etsi suoran kuvan yhtälö y=x kun näytetään w=z 3 .

■ Koska käyrä on annettu eksplisiittisesti, noudatamme sääntöä 3.3.

1. w=z 3 =(x+iy) 3 =x 3 +3x 2 iy+3x(iy) 2 +(iy) 3 =x 3 - 3xy 2 +i(3x 2 y-y 3).

2. Tuloksena olevassa järjestelmässä korvaamme y=x: Pois lukien X näistä yhtälöistä saamme v=-u.

Eli kuva järjestelmän I ja III koordinaattikulmien puolittajasta xOy on järjestelmän II ja IV koordinaattikulmien puolittaja uOv. ■

1. Lineaarinen funktio

Lineaarinen funktio kutsutaan muodon funktioksi

w=az+b, (4.1)

Missä A, b- kompleksiset vakiot.

Tämän funktion määrittelee , . Siksi, jos , niin lineaarinen funktio tuottaa konformisen kuvauksen kompleksimuuttujan koko tasolle. Tässä tapauksessa kaikkien käyrien tangentit kierretään samalla kulmalla Arg a, ja venytys kaikissa kohdissa on yhtä suuri. Jos a= 1, silloin ei ole venytystä tai pyörimistä. Tässä tapauksessa saamme w=z+b. Tämä kartoitus siirtää koko tason vektorin verran.

Yleisessä tapauksessa siirrymme kompleksiluvun kirjoittamisen eksponentiaaliseen muotoon, saamme. Siksi lineaarinen kartoitus on kolmen geometrisen muunnoksen koostumus:

w 1 =rz- samankaltaisuus kertoimen kanssa r=|a|;

w 2 =e i j w 1 =rze i j- käännä kulmaan j=arg a pisteen ympärillä NOIN;

w=w 2 +b=re i j z+b- rinnakkainen siirto vektoriin.

Siksi kartoitus w=az+b muuttaa minkä tahansa tasokuvan lineaariset mitat | a| kerran, kiertää tätä kuvaa kulman verran j=arg a origon ympäri ja siirtää sitä arvollaan vektorin suuntaan.

Lineaarisella kartoituksella on ympyräominaisuus, eli se kartoittaa ympyröitä z-lentokoneet ympyrässä w-lentokone (ja päinvastoin); muuntaa suorat suorat viivoiksi.

Esimerkki. Etsi akselin kuva OU kun näytetään w=2iz-3i.

■ 1 tapa(säännön 3.4 mukaan). Valitsemme akseliyhtälön parametrisessa muodossa.

1. Koska todellisessa muodossa akselin yhtälö Oy: x=0, -¥<y<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<y<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран klo.

2. Korvataan z=iy ilmaisuun w=2iz-3i: w=-2y-3i, -¥<y<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (klo- parametri). Kun reaali- ja imaginaariosa on eristetty, saadaan kuvayhtälö todellisessa muodossa: u=-2y, v=-3 tai v=-3, -¥<u<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv, yhdensuuntainen todellisen akselin kanssa.

Menetelmä 2. Käytämme lineaarimuunnoksen ympyräominaisuutta - suoran kuvan kuva on suora. Koska suora määritellään määrittämällä kaksi pistettä, se riittää akselilla OU valitse mitkä tahansa kaksi pistettä ja etsi niiden kuvat. Löytyneiden pisteiden läpi kulkeva suora on vaadittu. Valitaan pisteet z 1 =0, z 2 =i, heidän kuviaan w 1 =-3i, w 2 =-2-3i kun kartoitetaan, makaa linjalla Im w= -3. Siksi akselin kuva OU on suora viiva v=-3.

3 tapa(geometrinen). Suhteesta w=2iz-3i seuraa sitä a=2i, b=-3i, |a|=2, . Tämä tarkoittaa, että annettu suora (akseli OU) on käännettävä kulman verran origon suhteen ja siirrettävä sitten 3 yksikköä alaspäin. 2 kertaa venyminen ei muuta alkuperäisen viivan geometrista ulkonäköä, koska se kulkee origon läpi. ■

Esimerkki. Etsi jokin ympyrää edustava lineaarinen funktio | z-i|=1 per ympärysmitta | w- 3|=2.

■ Esitetty ongelma on kartoitusteorian käänteinen ongelma - kun annettu kuva ja esikuva, etsi vastaava kuvaus. Ilman lisäehtoja ongelmalla ei ole ainutlaatuista ratkaisua. Esitetään geometrinen ratkaisu.

1. Siirrä ympyrän keskipiste origoon. Tätä varten käytämme kartoitusta w 1 =z-i.

2. Lentokoneessa w 1 käytetään kartoitusta, joka antaa 2-kertaisen venytyksen, eli w 2 =2w 1 .

3. Siirrä ympyrää 3 yksikköä oikealle: w=w 2 +3. Lopulta saamme: w=2(z-i)+3, w= 2z+3-2i– tarvittava toiminto.

Voit valita geometristen toimintojen suorittamiseen eri järjestyksen - älä siirrä ensin, vaan pyöritä tai venytä. ■

2. Lineaarinen murtofunktio

Murto-lineaarinen kutsutaan muodon funktioksi

Missä a, b,c,d- kompleksiluvut siten, että , .

Murto-lineaarimuunnoksen ominaisuudet

1°Yhdenmukaisuus

Näyttö w=L(z) on konforminen kaikissa kompleksitason päätepisteissä paitsi .

2° Pyöreä omaisuus

Kuva suorasta tai ympyrästä murto-lineaarisessa kartoituksessa w=L(z) on suora tai ympyrä (ja suoran kuva voi olla joko ympyrä tai suora, ja ympyrän kuva voi olla sekä suora että ympyrä). Se on helppo todeta näytössä w=L(z) kaikki pisteen läpi kulkevat suorat ja ympyrät menevät suorille tasoille ( w), ja kaikki suorat tai ympyrät, jotka eivät kulje pisteen läpi d, - tason kehällä ( w).

3°Kaksoissuhteen invarianssi

Suhde säilyy murto-lineaarikartoituksen alla, eli se on sen invariantti. Tätä suhdetta kutsutaan neljän pisteen tuplasuhde. Siten murto-osa lineaarinen muunnos määritetään yksiselitteisesti määrittämällä kolme pistettä ja niiden kuvat: . Näitä pareja käyttämällä voit löytää murto-osan lineaarifunktion kaavalla:

Tätä kaavaa voidaan soveltaa myös silloin, kun jotkut numerot z k Ja w k muuttaa arvoksi ¥, jos käytät sääntöä: ero, jossa symboli ¥ esiintyy, tulee korvata 1:llä.

4°Symmetrian säilyttäminen

Jos pisteitä z 1 ja z 2 ovat symmetrisiä jonkin viivan tai ympyrän suhteen g, sitten mitä tahansa lineaarista murtokartoitusta w=L(z) heidän kuviaan w 1 ja w 2 on symmetrinen kuvaan nähden g: .

Symmetria suorasta viivasta ymmärretään tavallisessa merkityksessä.

Pisteet z Ja z* kutsutaan symmetrisesti ympyrän suhteen |z-z 0 |=R, jos ne sijaitsevat samalla ympyrän keskustasta tulevalla säteellä ja niiden etäisyyksien tulo ympyrän keskustasta on yhtä suuri kuin sen säteen neliö, eli

|z-z 0 |×| z*-z 0 |=R 2 . (4.4)

Piste, joka on symmetrinen pisteeseen nähden z 0 – ympyrän keskipiste on ilmeisesti äärettömässä oleva piste.

5°Rajan läpikulkusovitusperiaate (näyttää viivojen tai ympyröiden rajoittamat alueet)

Jos murto-lineaarisessa kuvauksessa suora tai ympyrä g muuttuu suoraksi tai ympyräksi g¢, sitten alue D, joka on rajoitettu g, muunnetaan yhdeksi kahdesta alueesta, joita rajoittaa g¢. Tässä tapauksessa tapahtuu rajan ohituksen vastaavuusperiaate: jos jonkin linjan ohituksen aikana g alueella D osoittautuu olevan vasemmalla (oikealla), sitten vastaavalla linjan läpikulkulla g¢ alueella D¢ tulee myös olla vasemmalla (oikealla).

Esimerkki. Etsi murto-osalineaarifunktio w=L(z), sellainen w(i)=2i, w(¥)=1, w(-1) = ¥.

■ Merkitään z 1 =i, z 2 = ¥, z 3 = -1 ja w 1 =2i, w 2 =1, w 3 = ¥. Sovelletaan kaavaa (4.3) korvaamalla ne sisältävät erot z 2 ja w 3 - ¥:

Muunnetaan: - w-wi+ 2minä- 2=wz-wi-z+i Û w(z+1)=z-2+iÛ on vaadittu toiminto. ■ :w = 1 ja Im w=0.

2. Nyt 2 kohdan mukaisesti. Sääntö 3.5, valitse mielivaltainen piste, esim. z=-1О D. Sen kuva tietyn kartoituksen alla on , joka sijaitsee rivien Im välissä w=1 ja Im w=0. Siksi annetun alueen kuva on kaistale 0< Imw<1. ■

3. Eksponentiaalinen funktio

Kompleksisen muuttujan eksponentiaalinen funktioz=x+iy kutsutaan funktioksi, jota merkitään exp z(lue "eksponentti" z") ja määritellään kaavalla

Ominaisuudet exp z

1° Jos , niin exp z=exp x=e x, eli reaaliakselilla kompleksisen muuttujan eksponentiaalinen funktio osuu yhteen reaalimuuttujan eksponenttifunktion kanssa. Siksi merkinnän exp z s, yhdensuuntainen todellisen akselin kanssa:

Jos esimerkiksi , niin .

8° Eksponentiaalinen funktio on analyyttinen , (exp z)¢=exp z.

Esimerkki. Etsi luvun argumentin todellinen, imaginaariosa, moduuli ja pääarvo e 2- i.

■ Käytämme kompleksisen muuttujan eksponentiaalisen funktion määritelmää. Antaa z=2-i, x=Re z=2, y=Im z=-1.

Sitten . Siten,

Määritelmän sijasta voidaan käyttää myös summauslausetta ja Eulerin kaavaa (1.7). ■

Näyttöw =exp z

Elektrodijärjestelmät, joissa on monimutkaisia ​​kaksiulotteisia sähköstaattisia kenttiä, voidaan laskea käyttämällä konformista kartoitusmenetelmää. Tämän menetelmän pääideana on korvata monimutkaiset kentät yksinkertaisilla kentillä, joiden ratkaisut tunnetaan. Tällaisia ​​yksinkertaisia ​​kenttiä ovat litteän tai sylinterimäisen kondensaattorin kentät, jotka ovat kaukana niiden reunoista. Konformaalisen mappauksen menetelmä on kompleksisen muuttujan funktioteorian käytännön sovellus. Konformaalinen kartoitus on jatkuva kartoitus, joka säilyttää infinitesimaalien (infinitesimaalien) kuvioiden muodon. Konformaalista kartoitusta varten kulmien pysyvyyden ja jatkeiden pysyvyyden ominaisuus täyttyy. Nimi tulee myöhäislatinasta - conformis– samanlainen, jatkuva kartoitus, joka säilyttää äärettömän pienten hahmojen muodon: esimerkiksi b.m. ympyrä pysyy b.m. kaikkialla; viivojen väliset kulmat niiden leikkauspisteessä eivät muutu. Konformisen kartoitusmenetelmän sovellusalue sähkökenttien laskemiseen on kaksiulotteiset sähköstaattiset kentät.

Konformaalinen muunnos kuvaa jokaisen pisteen z=x+j×y todellinen laskentakenttä, jota kuvaa kompleksitaso, pisteeseen w=u+j×v toinen monimutkainen taso yksinkertaisemmalla kenttäkonfiguraatiolla. Menetelmän suurin vaikeus on löytää tietyn todellisen elektrodijärjestelmän toimintotyyppi. Käytännössä konformaalista kartoitusfunktiota yritettäessä käyttää joko erityisiä konformisten kartoitusten luetteloita tai etsiä sitä peräkkäisten kokeiden avulla.

Oletetaan, että tiedämme jonkin muunnoksen muodon z=f(w) tai käänteinen muunnos w=f(z), joka muodostaa yksi-yhteen vastaavuuden kahden kompleksisen tason välillä, joissa on kompleksi ( z) ja yksinkertainen ( w) kentän kokoonpano. Muuntokerroin on suhde dw/dz.

Tässä käytetään seuraavia suhteita:

, . (2.94)

Samalla tavalla voimme kirjoittaa:

. (2.95)

Kaksi kompleksilukua ovat yhtä suuret, jos niiden reaali- ja imaginaariosa ovat yhtä suuret. Vertaamalla lausekkeissa (2.93) ja (2.95) annettuja muuntokertoimen arvoja voimme kirjoittaa:

Lausekkeet (2.96) tunnetaan Cauchy-Riemannin ehdoina. Käyttämällä erilaisia ​​kompleksilukujen esitystapoja muunnoskerroin voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Missä on segmenttien pituuden muutoskerroin muunnoksen aikana, ja tg(j) = b/a(j on segmenttien kiertokulma muunnoksen aikana). Cauchy-Riemannin suhteista saamme:

(2.99)

Relaatioista (2.97) – (2.98) seuraa, että konforminen muunnoskerroin M on suhteellinen sähkökentän voimakkuus ja jokainen funktio u Ja v voidaan valita potentiaaliksi uudella kompleksisella tasolla w=f(u,v). Tämä johtopäätös voidaan vahvistaa toisella tavalla. Jos toiminnot u Ja v voidaan valita potentiaaliksi, niin jokaisen on täytettävä Laplacen yhtälö: D u=0 ja D v=0. Tämä voidaan varmistaa erottamalla suoraan uudelleen Cauchy-Riemannin ehdot. Erottakaamme ensimmäinen ehto suhteessa X, ja toinen klo; laske tulos yhteen; Siirretään kaikki merkitsevät derivaatat merkinnän vasemmalle puolelle ja jätetään nolla oikealle:

; ; . (2.100)

Tuloksena olevasta lausekkeesta seuraa, että funktio u täyttää Laplacen yhtälön (1.25), (1.30) ja sitä voidaan pitää potentiaalina. Erotetaan 1. ehto suhteessa klo, ja 2. - by X:

; ; , (2.101)

nuo. ja toimivuus v täyttää myös Laplacen yhtälön ja sitä voidaan pitää myös potentiaalina. Koska voima- ja potentiaalitasauslinjat tasossa z=f(x,y) ovat keskenään kohtisuorassa, ja konforminen muunnos jättää viivojen väliset kulmat ennalleen niiden leikkauspisteessä, niin (2.97) ¸ (2.101):stä seuraa, että jos funktio u otetaan esimerkiksi potentiaalina, sitten linja v=const – on voimalinja. Jos v– potentiaalia siis u=const – voimajohto. Mikä funktioista u tai v on potentiaali, ja joka on voimalinja, tulisi määrittää analysoimalla kentän konforminen muunnos alkuperäisellä tasolla z=f(x,y) pellolla lentokoneessa w=f(u,v). Mikä tahansa toiminto z=f(w)(tai w=f(z)) antaa meille ratkaisun kaikkiin sähköstaattisiin ongelmiin. Voit keksiä mielivaltaisen toiminnon, etsiä siihen ratkaisuja ja valita sitten löydetyille ratkaisuille sopivan elektrodijärjestelmän. Tällä menetelmällä (taaksepäin) löydettiin monia ratkaisuja sähköstaattisiin ongelmiin.

Sähkökentän voimakkuutta määritettäessä konformisella kartoitusmenetelmällä tulee ottaa huomioon seuraava tärkeä seikka. Sähkökenttäkuvio määräytyy täysin elektrodijärjestelmän geometristen parametrien mukaan spatiaalisesta mittakaavasta ja käytetystä jännitteestä riippumatta. Siksi kenttää voidaan kuvata intensiteetillä jännite- tai pituusyksikköä kohti. Lausekkeet (2.97)-(2.98) edustavat juuri tällaista suhteellista jännitystä. Todellisen jännitteen saamiseksi on otettava huomioon todellinen jännite ja elektrodien välinen todellinen etäisyys. Tämä tehdään kertomalla lausekkeet (2,97)-(2,98) skaalauskertoimella K m. Olkoon elektrodien välinen etäisyys tasossa w on yhtä suuri u 2 -u 1 (v 2 -v 1), jos toiminnot u tai v, vastaavasti. Sitten skaalaustekijä saa muodon:

K m= U/(u 2 -u 1) tai K m= U/(v 2 -v 1). (2.102)

Sylinterimäinen kondensaattori. Vaikka lieriömäisen kondensaattorin sähköstaattisen kentän laskenta on annettu kohdassa §2.5, pidämme sitä esimerkkinä konformisen kartoitusmenetelmän soveltamisesta. Sylinterimäisen kondensaattorin kenttä (kahden samankeskisen ympyrän kenttä) tasossa xy voidaan kuvata tasaiseen kenttään (rinnakkaislevykondensaattorin kenttään) seuraavalla muunnoksella:

z = e w; x + j×y = e u+jv = e u(Kos v+j× Synti v).

Erottelemme todelliset ja kuvitteelliset osat:

Suora viiva todellisessa tasossa z, joka kulkee origon läpi kaltevuuskulmalla akseliin nähden X yhtä suuri v=constista tulee suora viiva tasossa w, yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

klo u= const lentokoneessa w saadaan ordinaattisen akselin suuntaisten suorien järjestelmä. Pinnalla z ne vastaavat samankeskisten ympyröiden järjestelmää. On selvää, että linjat u= const tulee ottaa potentiaalisina riveinä, ja v- kenttärajojen ulkopuolella. Laskemme jännityksen kaavalla (2.97):

Muunnetun pienen segmentin pituus siirrettynä tasosta z lentokoneeseen w muuttuu 1/ r kertaa missä r– etäisyys ympyröiden keskustasta. Mitä kauempana keskustasta, sitä pienempi on segmenttien pituuksien muutoskerroin. Siirrettyä segmenttiä kierretään kulmalla j = arctg(- y/x). Origosta muunnetun segmentin keskelle tulevan säteen ja akselin välinen kulma X tulee yhtä suureksi kuin nolla. Kaikki säteet päällä z- lentokoneet muuttuvat w- tasot akselin suuntaisessa linjassa u. Skaalaustekijä

Jännitys

(2.103)

Tuloksena oleva kaava (2.103) osuu yhteen, kuten ainutlaatuisuuslauseesta johtuen voi odottaa, Ostrogradsky-Gaussin lauseella saadun lausekkeen (2.18) kanssa.

Kenttä kahden tason muodostaman suoran kulman sisällä

Toisena esimerkkinä konformisten mappausten menetelmän soveltamisesta tarkastellaan kenttää, jonka muodostaa kaksi ääretöntä johtavaa toisiaan kohtisuoraa tasoa. On selvää, että tällaisella elektrodijärjestelmällä on translaatiosymmetria, jossa on äärettömän pieni translaatioaskel tasoja pitkin ja symmetriataso, joka kulkee 45° kulmassa kumpaankin tasoon nähden. Tällainen kenttä pelkistetään kaksiulotteiseksi kenttään, ja sen parametrien määrittämiseksi riittää, kun lasketaan yhden tason ja symmetriatason välisen kentän ominaisuudet. Kaksiulotteisille kentille voidaan soveltaa konformista kartoitusmenetelmää. Kenttä sisään z– taso, joka on kohtisuorassa varautuneiden tasojen leikkausviivaa vastaan, kuten kuvassa 2.20a. Akseleiden takana X Ja klo varautuneiden tasojen leikkausviivat z- tasainen. Kahden tason muodostaman oikean kulman sisällä oleva kenttä muunnetaan muunnolla yhtenäiseksi kenttään w = z 2. Näytetään tämä:

w= u+jv = z 2 = (x+jy) 2 = x 2 + j 2xy – y 2 ; u = x 2 – y 2 ; v = + j 2xy.

klo u= akselin suuntaiset vakioviivat v pinnalla w, muuttuvat tasasivuisten hyperbolien perheeksi x 2 – y 2 = A 2 lentokoneessa z. Akseli 0 X on hyperbolien todellinen (poltto)akseli ja akseli klo sen kuvitteellinen akseli. Suora viiva, joka kulkee origon kautta 45°:n kulmassa akseliin nähden X (u = 0; y = x), edustaa leikkausviivaa z– taso, jolla on symmetriataso ja joka on hyperbolien asymptootti. Hyperbolien ja akselin leikkauskulma X yhtä suuri kuin 90°, ts. toimintorivit u=X 2 -klo 2 kohtisuorassa potentiaalintasauslinjaan nähden X(varatun tason pinta X).

Toiminnot v = 2xy eri arvoilla v kuvaa toista tasasivuisten hyperbolien perhettä, jonka akselit X Ja klo ovat asymptootteja ja linja klo = X on polttoakseli. Kuvassa 2.20a on hyperbolit v= 4, 16, 36. Milloin v= 0 hyperbola degeneroituu koordinaattiakselilla X Ja klo, jotka ovat yhtenevät varattujen tasojen kanssa. Koska varattujen tasojen pinta on saman potentiaalin pinta, on selvää, että se on funktio v on otettava potentiaalifunktiona tasossa w. Tässä tapauksessa toiminto u edustaa voimafunktiota. Kahden äärettömän keskenään kohtisuorassa olevan tason kenttä (akselit X Ja klo päällä z– taso) muuttuu äärettömän varautuneen tason (akselin) tasaiseksi kenttään v päällä w– lentokoneet).

Konformaalinen muunnos, vaikka se säilyttää äärettömän pienten hahmojen muodon, voi muuttaa merkittävästi äärellisten hahmojen muotoa. Esimerkki tällaisesta muutoksesta on neliön muunnos abcd koordinaattien kanssa A(0,8;0,8), b(0,8;4), c(4;4), d(4;0,8) päällä z- tasot kaarevaksi nelikulmioksi a¢b¢c¢d¢ koordinaattien kanssa a¢(0;1,28), b¢(-15,36;6,4), c¢(0;32), d¢(15,36; 6,4) päällä w-lentokoneita.

Määritetään kuvan 2.20a varautuneiden tasojen sähköstaattisen kentän suhteellinen voimakkuus. Kahdesta kaavasta (2.97) ja (2.98) käytämme (2.98) jännityksen määrittämiseen, koska se on funktio v = 2xy kuvaa ekvipotentiaalipintojen (viivojen) järjestelmää. Lineaarinen muuntokerroin:

, (2.104)

Muunnetun pienen segmentin pituus siirrettäessä kohteesta z- lentokoneet päällä w- kone kasvaa 2:lla r kertaa missä r=X 2 +klo 2 – etäisyys klo z- taso alkupisteestä segmentin keskustaan. Siirrettyä segmenttiä kierretään kulmalla j = arctan( y/x). Origosta janan keskelle menevän säteen ja akselin välinen kulma kaksinkertaistuu X. Skaalaustekijä K m = U/(v 2 -v 1) = U/(2x 2 y 2 -2x 1 y 1). Kentänvoimakkuus määritetään kertomalla suhteellinen voimakkuus skaalauskertoimella: E=E¢×K m. Olkoon mittakaavatekijä K m=100 v/m. Määritetään kentänvoimakkuus kahdessa pisteessä varatulla tasolla: lähempänä tasojen leikkauskulmaa n 1(1;0) ja kaukana siitä n 2 (5;0).

V/m, × v/m.

Mitä lähempänä kulmaa, sitä pienempi kentänvoimakkuus. Tämä tulos voidaan odottaa kuvan 2.20 kenttäkuvasta: ekvipotentiaalilinjojen välinen etäisyys pienenee kulman etäisyyden myötä. Mikä tahansa painauma (lommo, syvennys, luola, halkeama jne.) elektrodin pinnalla voidaan kuvata suunnilleen tarkasteltavalla ongelmalla. Sitten, ottaen huomioon edellisen kappaleen tulokset, voimme päätellä: kärjen tai ulkoneman lähellä sähkökentän voimakkuus kasvaa ja syvennyksen tai reiän lähellä se heikkenee. Kuvassa 2.20a samanlainen kuva voima- ja potentiaalintasauslinjojen käyttäytymisestä havaitaan kentän haarautumiskohdan lähellä kahdesta samannimisestä varauksesta (§2.11).

Kenttä litteän kondensaattorin reunassa (Rogowski-profiili)

Laitetaan koordinaattien origo kohtaan z- tasot niin, että akseli X oli yhdensuuntainen kondensaattorilevyjen tasojen kanssa ja oli samalla etäisyydellä niistä a. Akseli klo kohtisuorassa levyihin nähden ja kulkee niiden reunojen läpi. Yu K. Maxwell sai vuonna 1881 funktion kartoittaa tasaisen kondensaattorin reunassa oleva kenttä yhtenäiseksi kenttään.

. (2.105)

Muuttujien erottamisen jälkeen saamme:

klo vI= 0, y = 0, . klo vII= p, y= a, .

Ilmeisesti potentiaalinen funktio tulisi valita muodossa v.

,

Ottaen huomioon K m=U/(v II -v I) = U/s

(2.106)

klo u < -5 в области от vI=0 to vII=p, saadaan lähes tasainen kenttä vahvuudella U/a. klo u®0 jännite elektrodilla ( v=v II = p) kasvaa voimakkaasti ja pyrkii äärettömään u=0. Suurin jännitys todellisissa järjestelmissä ei katoa:

. (2.107)

Rajalliseen kondensaattorilevynpaksuuteen v¹p ja jännitys pysyy äärellisenä. Koko v tulee valita siten, että potentiaalintasauspinta on sama kuin kondensaattorilevyn todellinen pinta. Antaa v= 174° = 29p/30, sitten elektrodin reunan jännitteen suhde keskimääräiseen jännitteeseen:

.

Voidaan nähdä, että jopa melko tylsässä reunassa jännitys kasvaa jyrkästi. Tämä suhde voidaan tehdä lähelle yksikköä, jos elektrodin pinta on tehty potentiaalintasaiseksi pinnaksi v£ p/2. Tätä elektrodiprofiilia kutsutaan Rogowski-profiiliksi (kuva 2.21c). Matkan päästä A= p (levyjen välinen etäisyys on 2p) sillä on koordinaatti v= p/2 ja sille x = u+1; y= p/2+ e u, eli klo= p/2+ e (X-1) (2.108)

Rogowski-profiililla on suuri käytännön merkitys kokeissa hajoamista lähellä tasaista kenttää reunavaikutuksen eliminoimiseksi. Laitteen keskellä on yhtenäinen kenttä Rogowski-elektrodien kanssa.

Jaettujen johtojen kenttä.

Korkeajännitteisissä voimalinjoissa vaihejohto on jaettu useisiin johtimiin koronapurkauksen aiheuttamien siirrettyjen tehohäviöiden vähentämiseksi. Kuvailemaan jaetun kentän

johdot voit käyttää näyttötoimintoa, missä n –

yksittäisten johtimien lukumäärä, joihin vaihejohto on jaettu. Havainnollistaaksesi konformisen kartoituksen menetelmää, harkitse jakamista kahdeksi johtimeksi ( n=2). (Huomaa, että tämä tapaus voidaan ratkaista yksinkertaisesti käyttämällä kuvamenetelmää)

Anna lentokoneen z kohtisuoraan jaettuihin johtoihin nähden. Valitaan akseli X päällä z tasossa niin, että se kulkee johtimien akselien läpi. Anna akselin y kulkee johtojen välisen segmentin keskeltä. Ratkaisu yksinkertaistuu huomattavasti, jos löydämme ei-funktioita x,y=f(u,v) ja toiminnot u, v = f(x,y). Erottelemalla todelliset ja kuvitteelliset osat saamme:

,

Potentiaalien tasausviivat vastaavat funktiota u. Toimia u oli yhtä suuri kuin nolla, logaritmin on oltava nolla ja hakasulkeissa olevan lausekkeen on oltava yhtä suuri kuin 1. Sitten relaatio pätee:

(X 2 +klo 2) 2 = 2A 2 (X 2 -klo 2)

Tämä toiminto kulkee origon kautta z-lentokoneita. klo u alueella -1,28< u < 0 на z- akselin oikealla ja vasemmalla puolella havaitaan tasoisia, pyöreitä alueita klo. klo u£ -1,28 ovat käytännössä pisteitä koordinaatteineen X = -A Ja X = A. klo u> 0 ratkaisut ovat suljettuja käyriä, jotka kasvavat u lähestyy ympyrän muotoa. Nämä käyrät edustavat kahden sylinterin potentiaalisia kenttäviivoja, joiden varaukset ovat samanmerkkisiä, ts. kahden saman potentiaalin johdon kentät. Johtojen pinnalla olevat pisteet kiinnostavat eniten R 2 ja R 1, jossa havaitaan vastaavasti suurin ja pienin kenttävoimakkuus. Piste R 2 sijaitsee langan pinnalla kauimpana toisesta johdosta ja sillä on koordinaatit:

,

Kun otetaan huomioon pisteen p 2 skaalauskerroin, saadaan:

. (2.109)

s®0:ssa elektrodijärjestelmä muuttuu kahden koaksiaalisen sylinterin järjestelmäksi ( b=0, s=0) (katso (2.18)):

Tyypillisesti sähkölinjalle p ³ 200.

Itsetestauskysymykset

1. Esitä Laplacen perusyhtälöt avaruudessa, homogeenisessa ja tasorinnakkaiskentässä.

2. Anna kaavat pistevarauksen potentiaalin ja kentänvoimakkuuden laskemiseksi. Määritä yhden metallipallon kapasiteetti.

3. Anna kaavat yhden äärettömän ohuen, äärettömän pituisen suoran langan potentiaalin ja kentänvoimakkuuden laskemiseksi.

4. Missä ovat koaksiaalikaapelin suurimman kentänvoimakkuuden alueet? Etsi optimaalinen sisäytimen halkaisija tietylle ulkokuoren koolle ja niiden välinen potentiaaliero. Määritä koaksiaalikaapelin lineaarinen kapasitanssi.

5. Miksi kaapeleissa on eristys erityyppisistä eristeistä?

6. Selitä kondensaattoritulon rakenne ja tarkoitus.

7. Mikä on overlay-menetelmä ja mikä on osakapasitanssi?

8. Mikä on sähködipoli, mitkä ovat dipolikentän ominaisuudet? Mitä ilmiöitä dipolin käsitettä käytetään?

9. Mitä yhtäläisyyksiä ja eroja kahden samankaltaisen ja erilaisen varauksen kenttien välillä on?

10. Kuvaa graafisesti kahden vastakkaisesti varautuneen äärettömän akselin kenttä. Anna kaavat tällaisen järjestelmän laskemiseksi ja osoita pisteet, joilla on suurin kenttävoimakkuus.

11. Mikä on reflektointimenetelmä? Selitä menetelmän ydin käyttämällä esimerkkiä, jossa lasketaan yhden maan päällä olevan johdon kenttäparametrit.

12. Anna menetelmä metallipallon lähellä sijaitsevan pistevarauksen kenttäparametrien laskemiseksi.

13. Määritä sähkökentän voimakkuus maan yläpuolella sijaitsevan yksittäisen johdon pinnalla.

14. Miten määritetään kolmivaiheisen johdon kenttäparametrit?

15. Määritä pallovälin maksimijännite.

16. Esitä menetelmä äärellisen pituisen johtimen muodostaman kentän parametrien löytämiseksi.

17. Anna menetelmä rengasvarauksen muodostaman kentän parametrien löytämiseksi.

18. Anna menetelmä ladatun levyn luoman kentän parametrien löytämiseksi.

19. Miten kenttäparametrit riippuvat elektrodin pinnan kaarevuussäteestä? Miksi suurjänniteelektrodien pinnat pitäisi tasoittaa ja hioa?

20. Selitä konformisen kartoitusmenetelmän olemus ja luettele tätä menetelmää käyttävien laskelmien järjestys.

21. Mikä on Rogowski-profiili?

22. Miten avaruusvaraus syntyy ja miten se muuttaa sähkökentän ominaisuuksia?

23. Mikä sähkökentän ominaisuuksista on energian analogi?

24. Mikä sähkökentän ominaisuuksista on voiman analogi?

25. Mitä tarkoitusta varten yhden vaiheen johdin jaetaan useisiin rinnakkaisiin johtimiin voimalinjoissa, joiden nimellisjännite on 330 kV ja enemmän? Merkitse jaetuissa johtimissa kohdat, joissa on suurin jännitys. Mitkä ovat etäisyydet jaettujen johtimien välillä?

26. Missä sähkökentän voimakkuus lähellä maan pintaa on korkeampi: syvennyksessä (reikä, rotko) vai korkeudessa (kukkula, kumpu)? Perustele vastauksesi graafisesti ja laskelmilla.

27. Miten sähkökentän voimakkuus muuttuu maan tasolla yksipiirisen voimajohdon alla, jossa on vaakasuuntaiset vaihejohdot?

28. Esitä algoritmi kolmivaiheisen ilmajohdon maakapasitanssin laskemiseksi.

29. Mihin tarkoitukseen suurjännitelaitteisiin asennetaan rengasnäytöt?

30. Johda kaavat sylinterimäisen kondensaattorin parametrien laskemiseksi.

Täällä puhumme tarkemmin analyyttisten ja yleistettyjen analyyttisten funktioiden teorian geometrisista menetelmistä, joita käytämme eniten sovelluksissa.

§ 10. Riemannin ongelma

Tätä konformisten mappausten teorian pääasiallista raja-arvoongelmaa on käsitelty jo edellisessä luvussa. Se koostuu yhdestä alueesta toiselle yhdenmukaisen kartoituksen rakentamisesta.

Olemassaolo ja ainutlaatuisuus. Aloitetaan huomautuksella, että riittää, kun opetetaan kartoittaa mielivaltainen yksinkertaisesti yhdistetty alue konformisesti ympyrään, ja sitten voimme kartoittaa mitkä tahansa kaksi tällaista aluetta yhdenmukaisesti toisiinsa.

Tämä huomautus perustuu kahteen yksinkertaiseen konformaalisten karttojen ominaisuuteen: 1) konformisen kartan käänteisarvo ja 2) kahdesta konformisesta kartasta koostuva monimutkainen kartta (eli kartta ) ovat jälleen konformisia karttoja. Ominaisuudet selviävät konformisen mappauksen määritelmästä yksi-yhteen analyyttiseksi muunnokseksi sekä käänteisten ja kompleksisten funktioiden erottamissäännöistä.

Näillä ominaisuuksilla ei ole ollenkaan vaikeaa perustella tehtyä huomautusta: jos funktiot kuvaavat vastaavasti toimialueet yksikköön

ympyrä, jolloin toiminto tulee näkyviin

Riemannin ongelma valmistui tämän vuosisadan alussa. Kävi ilmi, että mikä tahansa yksinkertaisesti yhdistetty alue, jonka raja koostuu useammasta kuin yhdestä pisteestä, voidaan kuvata konformisesti yksikköympyrään. Tämä on Riemannin kuuluisa lause, jonka hän muotoili jo vuonna 1851 fysikaalisten näkökohtien tukemana, mutta ei todistanut (tarkemmin sanottuna hänen todistuksessaan oli merkittävä aukko).

Käsitellään kysymystä siitä, kuinka määritelty Riemannin ongelma on, kuinka monta ratkaisua sillä on annetuille alueille. Huomautuksen mukaan tämän kysymyksen ratkaisemiseksi riittää selvittämään, kuinka monella tavalla yksikköympyrä voidaan sovittaa yhteen. itse. On helppo tarkistaa, että minkä tahansa kompleksi- ja reaaliluvun funktio

kartoittaa ympyrän yhteneväisesti itseensä (itse asiassa meillä on ja siksi, eli (1) muuntaa yksikköympyrän itsekseen; lisäksi se on yksi yhteen, koska yhtälö (1) on yksiselitteisesti ratkaistavissa suhteessa ja vie ympyrän pisteen a sen keskustaan). Kartoitus (1) riippuu kolmesta todellisesta parametrista - pisteen a kahdesta koordinaatista, joka menee ympyrän keskipisteeseen, ja numerosta 0, jonka muutos tarkoittaa ympyrän pyörimistä keskipisteen suhteen.

Voidaan todistaa, että kaava (1) sisältää kaikki yksikkölevyn konformiset mappaukset itseensä. Tämä tarkoittaa, että mielivaltaisuus Riemannin ongelman ratkaisemisessa kuluu kolmeen todelliseen parametriin:

yhden alueen konforminen kartoitus toiselle määritetään yksiselitteisesti, jos määritetään kolmen rajapisteparin vastaavuus (pisteen sijainti rajalla määritellään yhdellä parametrilla) tai yhden sisäpisteparin vastaavuus (kaksi parametria) ja toinen rajapistepari (yksi parametri). Sellaiset ehdot, jotka määrittävät kartoituksen yksiselitteisesti - niitä kutsutaan normalisointiehdoksi - voivat olla eri muotoisia, mutta joka kerta näiden ehtojen on määritettävä kolme parametria.

Esimerkkejä. Osoittakaamme useita yksinkertaisia ​​esimerkkejä konformisista kartoituksista.

1) Ympyrän ulkonäön kartoittaminen itseensä. Toimintoa (1) voidaan myös pitää ulkopuolen, ts. alueen, kartoittajana itseensä; se vie pisteen, jota kutsutaan symmetriseksi äärettömyyteen yksikköympyrän suhteen

2) Ympyrän ylempi puolitaso näytetään myös murto-lineaarifunktiolla:

tässä a on mielivaltainen ylemmän puolitason piste, joka siirretään kartoittaessa (2) ympyrän keskipisteeseen; pisteen ympyrän, johon ääretön piste kone menee (raja oikealla puolella (2) kanssa on ilmeisesti yhtä suuri ).

Kuvassa Kuvassa 22 näkyy, mitä suorat h muuttuvat - ne ovat ympyröitä, jotka tangentit yksikköä pisteessä

3) Yksikköympyrän ulkopuoli kartoitetaan segmentin ulkopinnalle ns. Žukovski-funktiolla

Tässä tapauksessa ympyrät muuttuvat ellipseiksi, joissa on puoliakselit ja polttopisteet ±1, ja säteet hyperbolien kaariksi, jotka ovat kohtisuorassa ellipseihin nähden (kuva 23).

4) Yksikköympyrän raita näkyy funktiossa

Tässä tapauksessa pystysuorat suorat ja vaakasuorat segmentit muuttuvat "meridiaaneiksi" ja "rinnakkeiksi" (kuva 24).

5) Ylempi puolitaso, jonka pyöreä segmentti on heitetty ylempään puolitasoon normalisoinnin aikana, näkyy funktiolla

missä a ja a ovat segmentin parametrit (kuva 25), ja c on todellinen vakio (huomaa, että normalisointiehtomme määrittelevät vain kaksi todellista parametria, joten kolmas jää mielivaltaiseksi).

Tämä kaava on liian hankala sovelluksiin. Pienelle a:lle ja a:lle, käyttämällä Taylor-laajennusten ensimmäisiä termejä, se voidaan korvata likimääräisellä kaavalla

Voidaan myös huomata, että pieniin korkeampiin tilauksiin se antaa alueen poistuneesta segmentistä, joten (6) voidaan kirjoittaa uudelleen muotoon

6) Ympyrä, jonka päälle on heitetty pieni reikä, näytetään myös melko hankalalla tallennustoiminnolla. Likimääräinen kaava tällaiselle kartoitukselle, jos ulostyönnetyn reiän pinta-ala on pieni, voidaan kirjoittaa seuraavasti:

tässä on reiän yläosa tai (samalla tarkkuudella) sen toinen piste.

7) Sama likimääräinen kaava nauhan kartoittamiseksi, jossa on pieni pinta-alainen reikä c, on muotoa

missä a on reiän yhden pisteen abskissa; hyperbolinen tangentti.

Virtaus kanavassa. Kyky ratkaista Riemannin ongelma määrää joidenkin hydrodynaamisten ongelmien ratkaisemisen onnistumisen. Havainnollistamme tätä käyttämällä klassisia esimerkkejä ideaalisen kokoonpuristumattoman nesteen tasaisten virtausten ongelmista kappaleiden ohi. Meidän on tietysti oletettava, että kappaleet ovat äärettömien sylintereiden muodossa (joissa on mielivaltaiset johtoviivat), jotta voimme käyttää tasomaista liikekaaviota.

Oletetaan, että meidän täytyy löytää virtaus kanavasta, jonka seinät ovat kohtisuorassa tiettyyn tasoon nähden ja leikkaavat sen kahta ääretöntä käyrää pitkin ilman yhteisiä pisteitä (kuva 26), ja virtausnopeudet ovat samansuuntaisia ​​tämän tason kanssa ja ovat ylipäänsä samat. kohtisuorat siihen nähden. Kanavan nopeuskenttää kuvaa tasainen kenttä käyrien rajoittamalla kaistalla

Kuten edellisessä luvussa näimme, oletus lähteiden ja pyörteiden puuttumisesta virtauksessa johtaa johtopäätökseen kompleksisen potentiaalin olemassaolosta - funktiossa analyyttinen virtauksen löytäminen tarkoittaa tämän funktion löytämistä.

Virtauksen tulee virrata kanavan seinien ympäri, ts. jokaisen käyrän on oltava virtaviiva, mikä antaa ongelman rajatilan. Voimme kysyä

myös virtausnopeus, joka on sama kuin edellisessä luvussa

missä y on viiva, jolla on päät, eli mikä tahansa virtauksen poikkileikkaus. Koska olemme kiinnostuneita potentiaalista vakiotermiin asti, voimme olettaa, että G.

Tässä muotoilussa ongelma on edelleen hyvin epävarma. Esimerkiksi tapauksessa, jossa se on suora nauha, sen ratkaisu on mikä tahansa funktio

Jokaiselle reaali- ja kokonaisluvulle (imaginaarinen osa häviää kohdassa Ongelman selvemmin ilmaistamiseksi meidän on oletettava, että nauhan leveys pysyy rajoitettuna äärettömyydessä, asetetaan joitain sileysehtoja ja otetaan huomioon vain virtaukset, joiden nopeus on rajoitettu äärettömässä. Se voi todistetaan, että näille lisärajoituksille ongelman ratkaisu on vain alueen konforminen kartoitus nauhalle normalisoinnilla. Tämä kartoitus määritetään (todelliseen) vakiotermiin asti, joka ei ole olennainen, eli virtaus Ongelma on ratkaistu yksiselitteisesti hyväksytyissä rajoituksissa.