خواص اضافه. خواص ترکیبی و توزیعی ضرب نحوه خواندن خاصیت ترکیبی جمع

a، b اعدادی هستند که جمع بر روی آنها انجام می شود، c نتیجه جمع است.

جمع اعداد چند رقمی به صورت بیتی انجام می شود.

• مثال: 9067542 + 34981 = 9102523

قوانین اضافه

• 1) جابجایی: a + b = b + a;

مثال. 310 + 1454 = 1454 + 310. مهم نیست که چگونه نتیجه را اضافه کنیم، نتیجه 1764 خواهد بود.

• 2) انجمنی: (a + b) + c = a + (b + c);

مثال: (329 + 85) + 120 = 329 + (85 + 120) = 329 + 205 = 534;

• 3) قانون جمع کردن یک عدد با صفر: a + 0 = a.

منها کردن

a (minuend) - b (subtrahend) = c (تفاوت)

• مثال: 42397 - 17963 = 24434

خواص اعمال تفریق:

• 1) قانون تفریق عدد از مجموع:

(a + b) - c = (a - c) + b، اگر a > c یا a = c;

• 2) قانون تفریق از مجموع:

a - (b + c) = (a - b) - c;

• 3) قانون تفریق عدد از عدد:

• 4) قانون تفریق از صفر:

• 5) قانون تفریق مقدار از مجموع:

(الف + ب) - (ج + د) = ;

مسئله به عنوان مثالی از عملیات جمع و تفریق

به روشی راحت محاسبه کنید:

• 1) (4981 - 2992) - 808;
• 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975).

قانون 2 و 5 تفریق را اعمال می کنیم:

• 1) (4981- 2992) - 808 = 4981 - (2992 + 808) = 4981 - 3800 = 1181;
• 2) (3975 + 5729) - (5729 + 975) = (3975 - 975) + (5729 - 5720)= 3000 + 0 = 3000

ضرب

ضرب عدد a در عدد b (b>1) به معنای یافتن مجموع جمله b است (هر جمله برابر با a است).

a x b= a + a + ... + a

اگر b = 1، آنگاه a x 1 = a.

a (عامل اول) x b (ضریب دوم) = c (محصول)

مثلا: 57 + 57 + 57 + 34 + 34 = 57 x 3 + 34 x 2 = 171 + 68 + 239

قوانین ضرب

• 1) جابجایی: a x b = b x a;

مثال. 15 x 110 = 110 x 15.

• 2) انجمنی: (a x b) x c = a x (b x c);

مثال: (9 x 30) x 10 = 9 x (30 x 10) = 9 x 300 = 2700;

(65 x 25) x 44 = (25 x 65) x 44 = 25 x (65 x 44) = 25 x 2860 = 71500.

• 3) ضرب در صفر: 0 x a = 0;

مثال: 0 x 10 = 0.

• 4) قانون توزیعی ضرب در مورد عمل جمع (تفریق):

a x (b + c) = a x b + a x c;

مسائل به عنوان مثالی از عملیات ضرب

وظیفه 1.به روشی راحت محاسبه کنید:

• 1) (37 x 125) x 8;
• 2) 49 x 84 + 49 x 83 - 49 x 67.

1) (37 x 125) x 8 = 37 x (125 x 8) = 37 x 1000 = 37000;

2) 49 x 84 + 49 x 83 - 49 x 67 = 49 x (84 + 83 - 67) = 49 x 100 = 4900.

وظیفه 2. 1 کیلووات در ساعت 12 روبل هزینه دارد. یک اتو برقی برای 1 ساعت کارکرد 2 کیلووات بر ساعت مصرف می کند. لباس ها را دو روز با اتو اتو کردیم: روز اول 3 ساعت و روز دوم 2 ساعت. هزینه برق دو روز چقدر است؟ خودتان مشکل را حل کنید و ما فقط به شما پاسخ می دهیم: به مدت 3 ساعت - 72 روبل. به مدت 2 ساعت - 48 مالش.

بخش

a (بخش پذیر): b (مقسم‌ع‌کننده) = c (ضریب)

قوانین تقسیم:

• 1) a: 1 = a، زیرا a x 1 = a;
• 2) 0: a = 0، زیرا 0 x a = 0؛
• 3) نمی توانید بر 0 تقسیم کنید!

2224222: 2222 = 1001

قانون تقسیم مجموع (تفاوت) بر عدد:

• 1) (a + b) : c = a: c + b: c، c برابر 0 نیست.
• 2) (a - b) : c = a: c -b: c، c برابر 0 نیست.

مثال: (4800 + 9300) : 300 = 4800: 300 + 9300: 300 = 16 + 31 + 47.

قانون تقسیم یک محصول بر عدد:

(a x b) :c = (a: c) x b = (b: c) x a، c برابر 0 نیست.

بیایید یک مستطیل با اضلاع 5 سانتی متر و 3 سانتی متر روی یک تکه کاغذ شطرنجی بکشیم (شکل 143). بیایید تعداد سلول های مستطیل را بشماریم. این را می توان مثلاً به این صورت انجام داد.

تعداد مربع های با ضلع 1 سانتی متر 5 * 3 است. هر مربع از این چهار خانه تشکیل شده است. بنابراین، تعداد کل سلول ها (5 * 3) * 4 است.

همین مشکل را می توان به طور متفاوت حل کرد. هر یک از پنج ستون مستطیل از سه مربع با ضلع 1 سانتی متر تشکیل شده است، بنابراین، یک ستون شامل 3 * 4 خانه است. بنابراین، در مجموع 5 * (3 * 4) سلول وجود خواهد داشت.

شمارش سلول ها در شکل 143 به دو صورت نشان داده شده است خاصیت تداعی ضرببرای اعداد 5، 3 و 4. ما داریم: (5 * 3) * 4 = 5 * (3 * 4).

برای ضرب حاصل ضرب دو عدد در عدد سوم می توان عدد اول را در حاصل ضرب عدد دوم و سوم ضرب کرد.

(ab)c = a(bc)

از خواص جابجایی و ترکیبی ضرب چنین استنباط می شود که هنگام ضرب چندین اعداد، می توان فاکتورها را تعویض کرد و در پرانتز قرار داد و بدین ترتیب ترتیب محاسبات را تعیین کرد.

به عنوان مثال، برابری های زیر درست است:

abc = cba،

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

در شکل 144، بخش AB مستطیل مورد بحث در بالا را به یک مستطیل و یک مربع تقسیم می کند.

تعداد مربع های با ضلع 1 سانتی متر را به دو صورت بشماریم.

از یک طرف، مربع حاصل شامل 3 * 3 از آنها و مستطیل شامل 3 * 2 است. در مجموع 3 * 3 + 3 * 2 مربع می گیریم. از طرفی در هر یک از سه خط این مستطیل 3 + 2 مربع وجود دارد. سپس تعداد کل آنها 3 * (3 + 2) است.

برابر با 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 نشان می دهد خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع.

برای ضرب کردن یک عدد در مجموع دو عدد، می توانید این عدد را در هر جمع ضرب کنید و حاصل را جمع کنید.

این ویژگی به صورت تحت اللفظی به صورت زیر نوشته می شود:

a(b + c) = ab + ac

از خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع نتیجه می شود که

ab + ac = a (b + c).

این تساوی به فرمول P = 2 a + 2 b اجازه می دهد تا محیط یک مستطیل را که باید به این شکل نوشته شود را پیدا کند:

P = 2 (a + b).

توجه داشته باشید که ویژگی توزیع برای سه دوره یا بیشتر معتبر است. مثلا:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + ق.

خاصیت توزیعی ضرب نسبت به تفریق نیز صادق است: اگر b > c یا b = c، پس

a(b - c) = ab - ac

مثال 1 . به روشی راحت محاسبه کنید:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) ما از خواص جابجایی و سپس ترکیبی ضرب استفاده می کنیم:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) ما داریم:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

مثال 2 . عبارت را ساده کنید:

1) 4 a * 3 b;

2) 18 متر - 13 متر.

1) با استفاده از خواص جابجایی و تداعی ضرب، به دست می آوریم:

4 a * 3 b = (4 * 3 ) * ab = 12 ab.

2) با استفاده از خاصیت توزیعی ضرب نسبت به تفریق، به دست می آوریم:

18 m − 13 m = m (18 − 13 ) = m * 5 = 5 m.

مثال 3 . عبارت 5 (2 m + 7) را طوری بنویسید که حاوی پرانتز نباشد.

با توجه به خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع، داریم:

5 (2 متر + 7) = 5 * 2 متر + 5 * 7 = 10 متر + 35.

این دگرگونی نامیده می شود پرانتز باز.

مثال 4 . مقدار عبارت 125 * 24 * 283 را به روشی مناسب محاسبه کنید.

راه حل. ما داریم:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

مثال 5 . ضرب را انجام دهید: 3 روز 18 ساعت * 6.

راه حل. ما داریم:

3 روز 18 ساعت * 6 = 18 روز 108 ساعت = 22 روز 12 ساعت.

هنگام حل مثال، از خاصیت توزیعی ضرب نسبت به جمع استفاده شد:

3 روز 18 ساعت * 6 = (3 روز + 18 ساعت) * 6 = 3 روز * 6 + 18 ساعت * 6 = 18 روز + 108 ساعت = 18 روز + 96 ساعت + 12 ساعت = 18 روز + 4 روز + 12 ساعت = 22 روز 12 ساعت.

افزودن یک عدد به عدد دیگر بسیار ساده است. بیایید به یک مثال نگاه کنیم، 4+3=7. این عبارت به این معنی است که سه واحد به چهار واحد اضافه شد و حاصل هفت واحد شد.
اعداد 3 و 4 که اضافه کردیم نامیده می شوند مقررات. و حاصل جمع عدد 7 نامیده می شود میزان.

مجموعجمع اعداد است علامت بعلاوه "+".
در شکل تحت اللفظی، این مثال به شکل زیر است:

a+b=ج

اجزای اضافی:
آ- مدت، اصطلاح، ب- مقررات، ج- مجموع
اگر 4 واحد را به 3 واحد اضافه کنیم، در نتیجه جمع، همان نتیجه را خواهیم گرفت.

از این مثال نتیجه می گیریم که مهم نیست که چگونه شرایط را عوض کنیم، پاسخ یکسان می ماند:

این خاصیت اصطلاحات نامیده می شود قانون جابجایی جمع.

قانون جابجایی جمع

تغییر مکان اصطلاحات، مجموع را تغییر نمی دهد.

در نماد تحت اللفظی، قانون جابجایی به این صورت است:

a+b=b+آ

اگر سه جمله را در نظر بگیریم، مثلاً اعداد 1، 2 و 4 را در نظر بگیریم. و جمع را به این ترتیب انجام می دهیم، ابتدا 1 + 2 را جمع می کنیم و سپس به جمع حاصل 4 اضافه می کنیم، عبارت به دست می آید:

(1+2)+4=7

می توانیم برعکس عمل کنیم، ابتدا 2+4 را اضافه کرده و سپس 1 را به جمع حاصل اضافه کنیم:

1+(2+4)=7

پاسخ همان باقی می ماند. هر دو نوع جمع برای مثال مشابه پاسخ یکسانی دارند. نتیجه می گیریم:

(1+2)+4=1+(2+4)

این خاصیت جمع نامیده می شود قانون جمعی.

قانون جابجایی و انجمنی جمع برای همه اعداد غیر منفی کار می کند.

قانون ترکیبی از جمع

برای افزودن عدد سوم به مجموع دو عدد، می توانید مجموع عدد دوم و سوم را به عدد اول اضافه کنید.

(a+ب)+c=a+(b+ج)

قانون ترکیب برای هر تعداد عبارت کار می کند. ما از این قانون زمانی استفاده می کنیم که باید اعداد را به ترتیب مناسب اضافه کنیم. به عنوان مثال، بیایید سه عدد 12، 6، 8 و 4 را جمع کنیم. بهتر است ابتدا 12 و 8 را جمع کنیم و سپس مجموع دو عدد 6 و 4 را به جمع حاصل اضافه کنیم.
(12+8)+(6+4)=30

خاصیت جمع با صفر.

وقتی عددی را با صفر اضافه می کنید، حاصل جمع همان عدد خواهد بود.

3+0=3
0+3=3
3+0=0+3

در یک عبارت تحت اللفظی، جمع با صفر به شکل زیر خواهد بود:

a+0=آ
0+ a=آ

سوالات در مورد جمع اعداد طبیعی:
یک جدول جمع درست کنید و ببینید ویژگی قانون جابجایی چگونه کار می کند؟
جدول جمع از 1 تا 10 ممکن است به شکل زیر باشد:

نسخه دوم جدول اضافه.

اگر به جداول جمع نگاهی بیندازیم، می توانیم نحوه عملکرد قانون جابجایی را ببینیم.

در عبارت a+b=c حاصل جمع چقدر خواهد بود؟
جواب: حاصل جمع عبارت هاست. a+b و c.

در عبارت a+b=c چه خواهد بود؟
جواب: الف و ب. اضافات اعدادی هستند که با هم جمع می کنیم.

اگر عدد 0 را به آن اضافه کنید چه اتفاقی می افتد؟
پاسخ: هیچی، عدد تغییر نمی کند. هنگام جمع کردن با صفر، عدد ثابت می ماند، زیرا صفر عدم وجود یک است.

در مثال چند عبارت باید وجود داشته باشد تا بتوان قانون ترکیبی جمع را اعمال کرد؟
جواب: از سه ترم یا بیشتر.

قانون جابجایی را به صورت تحت اللفظی بنویسید؟
پاسخ: a+b=b+a

مثال هایی برای وظایف
مثال شماره 1:
جواب عبارات داده شده را بنویسید: الف) 7+15 ب) 7+15
پاسخ: الف) 22 ب) 22

مثال شماره 2:
قانون ترکیب را به عبارت های: 1+3+5+2+9 اعمال کنید
1+3+5+2+9=(1+9)+(5+2)+3=10+7+3=10+(7+3)=10+10=20
جواب: 20.

مثال شماره 3:
حل عبارت:
الف) 0+5921 ب) 0+5921
راه حل:
الف) 5921+0 =5921
ب) 0+5921=5921

تعدادی از نتایج ذاتی در این عمل را می توان ذکر کرد. این نتایج نامیده می شوند خواص جمع اعداد طبیعی. در این مقاله خصوصیات جمع اعداد طبیعی را به تفصیل تجزیه و تحلیل خواهیم کرد، آنها را با استفاده از حروف می نویسیم و مثال های توضیحی ارائه می دهیم.

پیمایش صفحه.

ویژگی ترکیبی جمع اعداد طبیعی.

حالا بیایید مثالی بزنیم که خاصیت انجمنی جمع اعداد طبیعی را نشان می دهد.

بیایید یک موقعیت را تصور کنیم: 1 سیب از درخت سیب اول افتاد، و 2 سیب و 4 سیب دیگر از درخت سیب دوم افتاد. حال این وضعیت را در نظر بگیرید: 1 سیب و 2 سیب دیگر از درخت سیب اول افتاد و 4 سیب از درخت سیب دوم افتاد. واضح است که در هر دو حالت اول و دوم (که با محاسبه مجدد قابل بررسی است) تعداد سیب روی زمین یکسان خواهد بود. یعنی حاصل جمع عدد 1 با مجموع اعداد 2 و 4 برابر است با حاصل جمع اعداد 1 و 2 با عدد 4.

مثال در نظر گرفته شده به ما اجازه می دهد تا خاصیت ترکیبی جمع اعداد طبیعی را فرموله کنیم: برای اضافه کردن یک مجموع معین از دو عدد به یک عدد معین، می توانیم جمله اول مجموع داده شده را به این عدد اضافه کنیم و جمله دوم را اضافه کنیم. به نتیجه حاصل جمع می شود. این ویژگی را می توان با حروفی مانند زیر نوشت: a+(b+c)=(a+b)+c، که در آن a، b و c اعداد طبیعی دلخواه هستند.

لطفاً توجه داشته باشید که برابری a+(b+c)=(a+b)+c حاوی پرانتزهای "(" و ") است. پرانتزها در عبارات برای نشان دادن ترتیب انجام اقدامات استفاده می شوند - اقدامات داخل پرانتز ابتدا انجام می شوند (در این مورد بیشتر در بخش نوشته شده است). به عبارت دیگر، عباراتی که ابتدا مقادیر آنها ارزیابی می شود در داخل پرانتز قرار می گیرند.

در پایان این پاراگراف، متذکر می شویم که ویژگی ترکیبی جمع به ما اجازه می دهد تا جمع سه، چهار یا چند عدد طبیعی را به طور منحصر به فرد تعیین کنیم.

خاصیت جمع صفر و یک عدد طبیعی، خاصیت جمع صفر و صفر.

می دانیم که صفر یک عدد طبیعی نیست. پس چرا تصمیم گرفتیم در این مقاله ویژگی جمع صفر و یک عدد طبیعی را بررسی کنیم؟ برای این سه دلیل وجود دارد. اول: این ویژگی هنگام جمع اعداد طبیعی در یک ستون استفاده می شود. دوم: این خاصیت هنگام تفریق اعداد طبیعی استفاده می شود. ثالثاً: اگر فرض کنیم که صفر به معنای عدم وجود چیزی است، معنای جمع صفر و یک عدد طبیعی با معنای جمع دو عدد طبیعی منطبق است.

اجازه دهید استدلالی را انجام دهیم که به ما در فرمول بندی خاصیت جمع کردن صفر و یک عدد طبیعی کمک می کند. بیایید تصور کنیم که هیچ جسمی در جعبه وجود ندارد (به عبارت دیگر، 0 شی در کادر وجود دارد)، و یک جسم در آن قرار می گیرد که a هر عدد طبیعی است. یعنی 0 و یک شی اضافه کردیم. واضح است که پس از این عمل یک اشیاء در جعبه وجود دارد. بنابراین، برابری 0+a=a درست است.

به همین ترتیب، اگر یک آیتم در یک جعبه وجود داشته باشد و 0 مورد به آن اضافه شود (یعنی هیچ موردی اضافه نشود)، پس از این عمل یک آیتم در کادر وجود خواهد داشت. بنابراین a+0=a.

حال می‌توانیم ویژگی جمع صفر و یک عدد طبیعی را به دست آوریم: مجموع دو عدد که یکی از آنها صفر است با عدد دوم برابر است. از نظر ریاضی، این ویژگی را می توان به صورت برابری زیر نوشت: 0+a=aیا a+0=a، که در آن a یک عدد طبیعی دلخواه است.

به طور جداگانه به این نکته توجه می کنیم که هنگام جمع یک عدد طبیعی و صفر، خاصیت جابجایی جمع صادق می ماند، یعنی a+0=0+a.

در نهایت، اجازه دهید ویژگی افزودن صفر به صفر را فرموله کنیم (کاملا واضح است و نیازی به نظرات اضافی ندارد): مجموع دو عدد که هر کدام برابر با صفر است برابر با صفر است. به این معنا که، 0+0=0 .

اکنون زمان آن است که نحوه جمع کردن اعداد طبیعی را بیابید.

کتابشناسی - فهرست کتب.

• ریاضیات. هر کتاب درسی برای پایه های اول، دوم، سوم، چهارم موسسات آموزش عمومی.
• ریاضیات. هر کتاب درسی برای کلاس پنجم موسسات آموزش عمومی.