Rak böj. Plan tvärböjning Plotta interna kraftfaktorer för balkar Rita Q- och M-diagram med ekvationer Plotta Q- och M-diagram från karakteristiska sektioner (punkter) Hållfasthetsberäkningar för direkt böjning av balkar Huvudböjspänningar. Fullständig kontroll av balkarnas styrka Koncept böjcentrum Bestämning av förskjutningar i balkar under böjning. Begrepp för deformation av balkar och villkor för deras styvhet Differentialekvation för en krökt axel för en balk Direktintegreringsmetod Exempel på bestämning av förskjutningar i balkar med metoden för direkt integration Fysisk betydelse av integrationskonstanter Metod för initialparametrar (universell ekvation för en krökt axel av en stråle). Exempel på bestämning av förskjutningar i en stråle med metoden för initialparametrar Bestämning av förskjutningar med Mohrs metod. Regel A.K. Vereshchagin. Beräkning av Mohr-integralen enligt A.K. Vereshchagin Exempel på att bestämma förskjutningar med hjälp av Mohrs integral Bibliografi Direkt böjning. Platt sidoböj. 1.1. Plotta inre kraftfaktorer för balkar Direktböjning är en typ av deformation där två inre kraftfaktorer uppstår i stångens tvärsnitt: böjmoment och skjuvkraft. I ett särskilt fall kan skjuvkraften vara lika med noll, då kallas böjningen ren. I en plan tvärgående böjning är alla krafter belägna i ett av stavens huvudtröghetsplan och är vinkelräta mot dess längdaxel, moment är belägna i samma plan (fig. 1.1, a, b). Ris. 1.1 Tvärkraften i ett godtyckligt tvärsnitt av balken är numeriskt lika med den algebraiska summan av projektioner på normalen till balkens axel av alla yttre krafter som verkar på ena sidan av den betraktade sektionen. Tvärkraften i sektionen av mn-balken (fig. 1.2, a) anses vara positiv om resultanten av yttre krafter till vänster om sektionen är riktad uppåt och till höger - nedåt och negativ - i motsatt fall (Fig. 1.2, b). Ris. 1.2 Vid beräkning av skjuvkraften i en given sektion tas de yttre krafterna som ligger till vänster om sektionen med ett plustecken om de är riktade uppåt och med ett minustecken om de är nedåt. Motsatsen är sant för den högra sidan av balken. 5 Böjmomentet i ett godtyckligt tvärsnitt av balken är numeriskt lika med den algebraiska summan av moment runt den centrala z-axeln av sektionen av alla yttre krafter som verkar på ena sidan av den aktuella sektionen. Böjmomentet i sektionen av mn-balken (fig. 1.3, a) anses positivt om det resulterande momentet av yttre krafter till vänster om sektionen är riktat medurs och till höger - moturs och negativt - i motsatt riktning fall (fig. 1.3, b). Ris. 1.3 Vid beräkning av böjmomentet i en given sektion anses momenten för yttre krafter som ligger till vänster om sektionen vara positiva om de är riktade medurs. Motsatsen är sant för den högra sidan av balken. Det är bekvämt att bestämma tecknet på böjmomentet av typen av deformation av balken. Böjmomentet anses positivt om den avskurna delen av balken i det aktuella avsnittet böjs nedåt, d.v.s. de nedre fibrerna sträcks. Annars är böjmomentet i sektionen negativt. Differentiella samband finns mellan böjmomentet M, skjuvkraften Q och belastningsintensiteten q. 1. Den första derivatan av skjuvkraften längs sektionens abskiss är lika med intensiteten av den fördelade lasten, dvs. ... (1.1) 2. Första derivatan av böjmomentet längs sektionens abskiss är lika med tvärkraften, dvs. (1.2) 3. Den andra derivatan med avseende på sektionens abskiss är lika med intensiteten av den fördelade belastningen, dvs. (1.3) Den fördelade lasten riktad uppåt anses vara positiv. Ett antal viktiga slutsatser följer av de differentiella beroenden mellan M, Q, q: 1. Om på en sektion av balken: a) tvärkraften är positiv, ökar böjmomentet; b) tvärkraften är negativ, då minskar böjmomentet; c) skjuvkraften är noll, då har böjmomentet ett konstant värde (ren böjning); 6 d) tvärkraften går genom noll, ändrar tecken från plus till minus, max M M, i motsatt fall M Mmin. 2. Om det inte finns någon fördelad belastning på sektionen av balken, är skjuvkraften konstant och böjmomentet ändras linjärt. 3. Om det finns en jämnt fördelad belastning på en sektion av balken, ändras sidokraften enligt en linjär lag, och böjmomentet - enligt lagen för en kvadratisk parabel, konvex vänd mot lasten (i fallet att rita ett M-diagram från sidan av sträckta fibrer). 4. I avsnittet under den koncentrerade kraften har Q-diagrammet ett hopp (med kraftens värde), M-diagrammet har en kink i kraftens riktning. 5. I avsnittet där det koncentrerade momentet appliceras har diagrammet M ett hopp lika med värdet av detta moment. Detta återspeglas inte i Q-plotten. Vid komplex belastning av balken ritas diagram över skjuvkrafter Q och böjmoment M. Diagram Q (M) är en graf som visar ändringslagen för skjuvkraften (böjmomentet) längs med balkens längd. Baserat på analysen av M- och Q-diagrammen fastställs farliga sektioner av balken. Positiva ordinater för Q-diagrammet plottas uppåt, och negativa ordinater plottas nedåt från baslinjen parallellt med strålens längdaxel. Positiva ordinater för M-plotten läggs ner, och negativa ordinater - uppåt, det vill säga M-plotten byggs från sidan av de sträckta fibrerna. Konstruktionen av tomterna Q och M för balkar bör börja med definitionen av stödreaktioner. För en balk med den ena fasthållna och den andra fria änden kan konstruktionen av Q- och M-diagrammen startas från den fria änden utan att definiera reaktionerna i inbäddningen. 1.2. Rita Q- och M-diagram enligt ekvationerna Balken är indelad i sektioner, inom vilka funktionerna för böjmomentet och skjuvkraften förblir konstanta (har inga diskontinuiteter). Sektionernas gränser är appliceringspunkterna för koncentrerade krafter, kraftpar och platser för förändring av intensiteten hos den fördelade lasten. Vid varje sektion tas ett godtyckligt snitt på avstånd x från origo och för detta snitt ritas ekvationer för Q och M. Dessa ekvationer används för att konstruera diagrammen Q och M. Exempel 1.1 Konstruera diagram över skjuvkrafterna Q och M. böjmoment M för en given balk (fig. 1.4, a). Lösning: 1. Bestämning av stödreaktioner. Vi sammanställer jämviktsekvationerna: från vilka vi får Bärarnas reaktioner är korrekt definierade. Balken har fyra sektioner Fig. 1,4 laster: CA, AD, DB, BE. 2. Plottning Q. Plot CA. På CA 1-sektionen ritar vi en godtycklig sektion 1-1 på ett avstånd x1 från den vänstra änden av strålen. Vi definierar Q som den algebraiska summan av alla yttre krafter som verkar till vänster om sektionen 1-1: Minustecknet tas eftersom kraften som verkar till vänster om sektionen är riktad nedåt. Uttrycket för Q är oberoende av variabeln x1. Diagram Q i detta område kommer att avbildas som en rät linje parallell med abskissaxeln. Handling AD. På platsen ritar vi en godtycklig sektion 2-2 på ett avstånd x2 från den vänstra änden av strålen. Vi definierar Q2 som den algebraiska summan av alla yttre krafter som verkar till vänster om sektionen 2-2: 8. Värdet på Q är konstant i sektionen (beror inte på variabeln x2). Plottet Q på platsen är en rät linje parallell med abskissaxeln. Tomt DB. På platsen gör vi en godtycklig sektion 3-3 på ett avstånd x3 från den högra änden av strålen. Vi definierar Q3 som den algebraiska summan av alla yttre krafter som verkar till höger om avsnitt 3-3: Det resulterande uttrycket är ekvationen för en lutande rät linje. Handling BE. På platsen gör vi en sektion 4-4 på ett avstånd x4 från den högra änden av balken. Vi definierar Q som den algebraiska summan av alla yttre krafter som verkar till höger om avsnitt 4-4: 4 Här tas plustecknet eftersom den resulterande lasten till höger om avsnitt 4-4 är riktad nedåt. Baserat på de erhållna värdena ritar vi diagrammen Q (Fig. 1.4, b). 3. Rita M. Tomt m1. Vi definierar böjmomentet i avsnitt 1-1 som den algebraiska summan av kraftmomenten som verkar till vänster om avsnitt 1-1. - ekvation för en rät linje. Sektion A 3 Definiera böjmomentet i avsnitt 2-2 som den algebraiska summan av kraftmomenten som verkar till vänster om avsnitt 2-2. - ekvation för en rät linje. Avsnitt DB 4 Definiera böjmomentet i avsnitt 3-3 som den algebraiska summan av kraftmomenten som verkar till höger om avsnitt 3-3. - ekvationen för en kvadratisk parabel. 9 Hitta tre värden i slutet av sektionen och i en punkt med koordinaten xk, där sektion BE 1 Definiera böjmomentet i sektion 4-4 som den algebraiska summan av kraftmomenten som verkar till höger om sektion 4- 4. - ekvationen för en kvadratisk parabel hittar vi tre värden på M4: Med hjälp av de erhållna värdena konstruerar vi ett diagram av M (Fig. 1.4, c). I sektionerna CA och AD begränsas Q-diagrammet av räta linjer parallella med abskissaxeln, och i sektionerna DB och BE - av lutande räta linjer. I sektionerna C, A och B på plotten Q finns det hopp med värdet av motsvarande krafter, vilket fungerar som en kontroll av riktigheten av att plotta plotten Q. I sektionerna där Q  0 ökar momenten från vänster till höger. På sektionerna där Q  0 minskar momenten. Under de koncentrerade krafterna uppstår veck mot krafternas verkan. Under det koncentrerade ögonblicket sker ett hopp med ögonblickets storlek. Detta indikerar riktigheten av att plotta M. Exempel 1.2 Konstruera diagrammen Q och M för en balk på två stöd, belastade med en fördelad last, vars intensitet varierar linjärt (Fig. 1.5, a). Lösning Bestämning av stödreaktioner. Resultanten av den fördelade belastningen är lika med arean av triangeln, vilket är ett diagram över belastningen och appliceras i denna triangels tyngdpunkt. Vi sammanställer summan av momenten av alla krafter i förhållande till punkterna A och B: Rita ett diagram Q. Låt oss rita ett godtyckligt snitt på ett avstånd x från det vänstra stödet. Ordinatan på lastdiagrammet som motsvarar sektionen bestäms utifrån trianglarnas likhet. Resultaten av den del av lasten som är belägen till vänster om sektionen Tvärkraften i snittet är lika med Tvärkraften varierar enl. lagen för en kvadratisk parabel Genom att likställa tvärkraftens ekvation med noll hittar vi abskissan för det avsnitt där diagrammet Q passerar genom noll: Diagram Q visas i fig. 1,5, b. Böjmomentet i en godtycklig sektion är lika med Böjmomentet ändras enligt lagen för en kubisk parabel: Böjmomentet har ett maxvärde i snittet, där 0, dvs vid Diagram M visas i Fig. 1,5, c. 1.3. Rita Q- och M-diagram efter karakteristiska sektioner (punkter) Med hjälp av differentialberoendena mellan M, Q, q och slutsatserna som härrör från dem, är det tillrådligt att plotta Q- och M-diagram med karakteristiska sektioner (utan att göra upp ekvationer). Med denna metod beräknas värdena för Q och M i karakteristiska sektioner. Typiska sektioner är sektionernas gränssektioner, samt sektioner där den givna inre kraftfaktorn är av extremt värde. Inom gränserna mellan de karakteristiska sektionerna fastställs konturen 12 av diagrammet på basis av de differentiella beroenden mellan M, Q, q och de slutsatser som härrör från dem. Exempel 1.3 Konstruera diagram Q och M för balken som visas i fig. 1.6, a. Ris. 1.6. Lösning: Vi börjar plotta Q- och M-diagrammen från den fria änden av strålen, medan reaktionerna i inbäddningen kan utelämnas. Balken har tre lastområden: AB, BC, CD. Det finns ingen fördelad belastning på sektionerna AB och BC. Sidokrafterna är konstanta. Diagram Q begränsas av räta linjer parallella med abskissaxeln. Böjmoment förändras linjärt. Diagram M begränsas av räta linjer som lutar mot abskissaxeln. Det finns en jämnt fördelad belastning på CD-delen. Tvärkrafter förändras linjärt och böjmoment - enligt lagen om en fyrkantig parabel med en utbuktning i riktning mot en fördelad last. På gränsen till sektionerna AB och BC ändras tvärkraften abrupt. Vid gränsen för sektionerna BC och CD ändras böjmomentet abrupt. 1. Plottning Q. Vi beräknar värdena för skjuvkrafterna Q i sektionernas gränssektioner: Baserat på resultaten av beräkningarna plottar vi Q-plotten för balken (fig. 1, b). Av diagrammet Q följer att tvärkraften på sektionen CD är lika med noll i sektionen som ligger på ett avstånd qa a q från början av denna sektion. I detta avsnitt har böjmomentet ett maximalt värde. 2. Konstruktion av M-diagrammet. Vi beräknar värdena för böjmoment i sektionernas gränssektioner: Vid det maximala momentet i sektionen. Baserat på resultaten av beräkningarna konstruerar vi M-diagrammet (fig. 5.6) , c). Exempel 1.4 För ett givet diagram av böjmoment (Fig. 1.7, a) för en balk (Fig. 1.7, b), bestäm de verkande lasterna och bygg ett diagram Q. Cirkeln anger spetsen på en kvadratisk parabel. Lösning: Bestäm lasterna som verkar på balken. AC-sektionen belastas med en jämnt fördelad last, eftersom M-diagrammet i detta avsnitt är en kvadratisk parabel. I referensavsnittet B appliceras ett koncentrerat moment på strålen, som verkar medurs, eftersom vi på M-diagrammet har ett hopp uppåt med momentets storlek. I NE-sektionen är balken inte belastad, eftersom M-diagrammet i detta avsnitt begränsas av en lutande rät linje. Stöd B:s reaktion bestäms utifrån villkoret att böjmomentet i sektion C är lika med noll, dvs för att bestämma intensiteten av den fördelade lasten sammanställer vi ett uttryck för böjmomentet i sektion A som summan av momenten av krafter till höger och är lika med noll. Nu definierar vi reaktionen för stöd A. För att göra detta sammanställer vi ett uttryck för böjmomenten i snittet som summan av kraftmomenten till vänster. Konstruktionsdiagrammet för en balk med en last visas i fig. 1,7, c. Med start från den vänstra änden av balken beräknar vi värdena för skjuvkrafterna i sektionernas gränssektioner: Diagram Q visas i fig. 1.7, d. Det övervägda problemet kan lösas genom att rita upp funktionella beroenden för M, Q på varje plats. Välj origo i den vänstra änden av strålen. På sektionen AC uttrycks diagrammet M av en kvadratisk parabel, vars ekvation har formen Konstanter a, b, c hittas från villkoret att parabeln passerar genom tre punkter med kända koordinater: Ersättande av punkternas koordinater in i parabelns ekvation får vi: Uttrycket för böjmomentet blir Differentiering av funktionen M1 , vi får beroendet för tvärkraften Efter differentiering av funktionen Q får vi uttrycket för intensiteten av den fördelade lasten På den sektion CB, uttrycket för böjmomentet representeras som en linjär funktion För att bestämma konstanterna a och b använder vi villkoren att denna räta linje passerar genom två punkter vars koordinater är kända Vi får två ekvationer:, b från vilken vi har en 20. Ekvationen för böjmomentet på sektionen CB kommer att vara Efter tvåfaldig differentiering av M2 kommer vi att hitta. Genom de hittade värdena för M och Q plottar vi diagrammen över böjmoment och skjuvning krafter för balken. Utöver den fördelade lasten appliceras koncentrerade krafter på balken i tre sektioner, där det finns hopp på Q-diagrammet och koncentrerade moment i sektionen där det finns ett hopp på M-diagrammet. Exempel 1.5 För en balk (Fig. 1.8, a), bestäm det rationella läget för gångjärnet C, vid vilket det största böjmomentet i spännvidden är lika med böjmomentet i inbäddningen (i absolut värde). Bygg Q- och M-diagram Lösning Bestämning av stödreaktioner. Även om det totala antalet stödstag är fyra, är balken statiskt definierbar. Böjmomentet i leden C är lika med noll, vilket gör att vi kan dra upp en ytterligare ekvation: summan av momenten i förhållande till fogen av alla yttre krafter som verkar på ena sidan av denna led är lika med noll. Låt oss sammanställa summan av momenten av alla krafter till höger om gångjärnet C. Diagram Q för balken begränsas av en lutande rät linje, eftersom q = konst. Vi bestämmer värdena för skjuvkrafterna i balkens gränssektioner: Abskissan xK för sektionen, där Q = 0, bestäms från ekvationen varifrån Diagram M för balken begränsas av en kvadratisk parabel. Uttryck för böjmoment i sektioner, där Q = 0, och i inbäddningen skrivs enligt följande: Från villkoret för momentlikhet får vi en andragradsekvation för den sökta parametern x: Verkligt värde x2x 1, 029 m. Bestäm de numeriska värdena för skjuvkrafterna och böjmomenten i de karakteristiska sektionerna av balken. Figur 1.8, b visar diagrammet Q, och i fig. 1.8, c - diagram M. Det övervägda problemet skulle kunna lösas genom att dela upp den gångjärnsförsedda balken i dess beståndsdelar, som visas i fig. 1.8, d. I början bestäms reaktionerna av stöden VC och VB. Diagrammen Q och M är plottade för den hängande balken CB från verkan av den belastning som appliceras på den. Sedan går de till huvudbalken på AC och laddar den med en extra kraft VC, vilket är tryckkraften från CB-balken på AC-balken. Därefter plottas diagrammen Q och M för AC-strålen. 1.4. Hållfasthetsberäkningar för direktböjning av balkar Hållfasthetsberäkningar för normal- och skjuvspänningar. Vid direkt böjning av balken uppstår normala och tangentiella spänningar i dess tvärsnitt (Fig. 1.9). Fig. 18 1.9 Normalspänningar är förknippade med ett böjmoment, skjuvspänningar är förknippade med en skjuvkraft. Vid rak ren bockning är skjuvspänningarna noll. Normalspänningar vid en godtycklig punkt av balkens tvärsnitt bestäms av formeln (1.4) där M är böjmomentet i det givna avsnittet; Iz är tröghetsmomentet för sektionen relativt den neutrala z-axeln; y är avståndet från den punkt där normalspänningen bestäms till den neutrala z-axeln. Normalspänningar längs sektionens höjd varierar linjärt och når det största värdet på de punkter som ligger längst bort från den neutrala axeln Om sektionen är symmetrisk kring den neutrala axeln (Fig. 1.11), så visas Fig. 1.11 de största drag- och tryckspänningarna är desamma och bestäms av formeln,  är sektionens axiella motståndsmoment vid böjning. För en rektangulär sektion med bredd b och höjd h: (1.7) För en cirkulär sektion med diameter d: (1.8) För en ringformad sektion   - ringens inre respektive yttre diameter. För balkar gjorda av plastmaterial är de mest rationella symmetriska 20 sektionsformer (I-balkar, lådformade, ringformade). För balkar gjorda av spröda material som inte är lika motståndskraftiga mot spänning och kompression är sektioner som är asymmetriska med avseende på den neutrala z-axeln (T, U-formad, asymmetrisk I-balk) rationella. För balkar med konstant tvärsnitt gjorda av plastmaterial med symmetriska tvärsnittsformer skrivs hållfasthetsvillkoret enligt följande: (1.10) där Mmax är det maximala böjmomentet modulo; - tillåten spänning för materialet. För balkar med konstant tvärsnitt gjorda av plastmaterial med asymmetriska tvärsnittsformer, skrivs hållfasthetsvillkoret i följande form: (1. 11) För balkar gjorda av spröda material med sektioner som är asymmetriska kring den neutrala axeln, om M-diagrammet är entydigt (Fig. 1.12), måste du skriva ner två hållfasthetsförhållanden - avståndet från den neutrala axeln till de mest avlägsna punkterna av de utsträckta och komprimerade zonerna i den farliga sektionen, respektive; P - tillåtna spänningar i spänning respektive kompression. Figur 1.12. 21 Om diagrammet över böjmoment har sektioner med olika tecken (Fig. 1.13), är det, förutom att kontrollera sektion 1-1, där Mmax verkar, nödvändigt att beräkna de största dragspänningarna för sektion 2-2 (med den största ögonblick av motsatt tecken). Ris. 1.13 Tillsammans med grundberäkningen för normalspänningar är det i vissa fall nödvändigt att kontrollera balkens hållfasthet i termer av skjuvspänningar. Skjuvspänningar i balkarna beräknas med formeln för DI Zhuravsky (1.13) där Q är skjuvkraften i balkens betraktade tvärsnitt; Szotc - statiskt moment i förhållande till den neutrala axeln i området för en del av sektionen som är belägen på ena sidan av en rät linje ritad genom en given punkt och parallell med z-axeln; b är sektionens bredd på nivån för punkten i fråga; Iz är tröghetsmomentet för hela sektionen relativt den neutrala z-axeln. I många fall uppstår de maximala skjuvspänningarna i nivå med balkens neutrala lager (rektangel, I-balk, cirkel). I sådana fall skrivs skjuvspänningshållfastheten i formen (1.14) där Qmax är den största skjuvkraften i modul; Är den tillåtna skjuvspänningen för materialet. För en rektangulär sektion av en balk har hållfasthetsvillkoret formen (1.15) A - balkens tvärsnittsarea. För en cirkulär sektion representeras hållfasthetsvillkoret i formen (1.16) För en I-sektion skrivs hållfasthetsvillkoret enligt följande: (1.17) där Szо, тmсax är det statiska halvsektionsmomentet relativt den neutrala axeln; d - I-balkens väggtjocklek. Vanligtvis bestäms dimensionerna för balkens tvärsnitt från styrkans tillstånd med avseende på normala spänningar. Att kontrollera balkarnas styrka för skjuvspänningar är obligatoriskt för korta balkar och balkar av valfri längd, om det finns stora koncentrerade krafter nära stöden, såväl som för trä, nitade och svetsade balkar. Exempel 1.6 Kontrollera hållfastheten hos en lådbalk (Fig. 1.14) för normal- och skjuvspänningar, om MPa. Rita den farliga delen av strålen. Ris. 1.14 Lösning 23 1. Konstruktion av Q- och M-diagram efter karakteristiska sektioner. Med tanke på den vänstra sidan av balken får vi diagrammet över tvärkrafter som visas i fig. 1,14, c. Ett diagram över böjmoment visas i fig. 5.14, g. 2. Tvärsnittets geometriska egenskaper 3. De högsta normalspänningarna i sektionen C, där Mmax verkar (modulo): MPa. De maximala normalspänningarna i balken är praktiskt taget lika med de tillåtna. 4. De största skjuvspänningarna i sektion C (eller A), där max Q verkar (modulo): Här är det statiska momentet för halvsektionsarean relativt den neutrala axeln; b2 cm - sektionsbredd i nivå med den neutrala axeln. 5. Skjuvspänningar vid en punkt (i väggen) i sektion C: Fig. 1.15 Här är Szomc 834.5 108 cm3 det statiska momentet för arean av den del av sektionen som ligger ovanför linjen som går genom punkten K1; b2 cm - väggtjocklek i nivå med punkt K1. Diagrammen  och  för sektion C av balken visas i fig. 1.15. Exempel 1.7 För balken som visas i fig. 1.16, a, krävs: 1. Konstruera diagram över skjuvkrafter och böjmoment efter karakteristiska snitt (punkter). 2. Bestäm dimensionerna för tvärsnittet i form av en cirkel, rektangel och I-balk från styrkan med avseende på normala spänningar, jämför tvärsnittsareorna. 3. Kontrollera de valda måtten på balkarnas tvärsnitt vad gäller skjuvspänning. Givet: Lösning: 1. Bestäm reaktionerna för balkstöden Kontrollera: 2. Rita diagrammen Q och M. Värdena på skjuvkrafterna i balkens karakteristiska sektioner 25 Fig. 1.16 I avsnitt CA och AD är belastningens intensitet q = konst. Följaktligen, i dessa områden, begränsas Q-diagrammet av räta linjer som lutar mot axeln. I avsnittet DB är intensiteten av den fördelade lasten q = 0, därför begränsas Q i detta avsnitt av diagrammet av en rät linje parallell med x-axeln. Q-plotten för balken visas i fig. 1,16, b. Värdena för böjmomenten i de karakteristiska sektionerna av balken: I den andra sektionen bestämmer vi abskissan x2 för sektionen, där Q = 0: Det maximala momentet i den andra sektionen Diagrammet M för balken är visas i fig. 1,16, c. 2. Vi formulerar hållfasthetsvillkoret för normala spänningar varifrån vi bestämmer det erforderliga axiella motståndsmomentet för sektionen från uttrycket den erforderliga diametern d av den cirkulära sektionens area. Arean av den cirkulära sektionen För den rektangulära sektionen Den erforderliga sektionen höjd Arean av den rektangulära sektionen Definiera det antal I-balken som krävs. Enligt tabellerna i GOST 8239-89 hittar vi det närmaste högre värdet av det axiella motståndsmomentet 597 cm3, vilket motsvarar I-balk nr 33 med följande egenskaper: A z 9840 cm4. Kontrollera tolerans: (underbelastning med 1 % av tillåtna 5 %), närmaste I-balk nr 30 (W 2 cm3) leder till en betydande överbelastning (mer än 5 %). Slutligen accepterar vi I-balken nr 33. Vi jämför arean av cirkulära och rektangulära sektioner med den minsta arean A av I-balken: Av de tre betraktade sektionerna är I-sektionen den mest ekonomiska. 3. Vi beräknar de högsta normalspänningarna i den farliga sektionen av 27 I-balken (Fig. 1.17, a): Normalspänningar i väggen nära flänsen av I-sektionen av balken Diagrammet över normala spänningar i den farliga sektionen av balken visas i fig. 1,17, f. 5. Bestäm de högsta skjuvspänningarna för de valda sektionerna av balken. a) rektangulär sektion av balken: b) cirkulär sektion av balken: c) I-sektion av balken: Skjuvspänningar i väggen nära I-balkens fläns i den farliga delen A (höger) (vid punkt 2 ): Diagrammet över skjuvspänningar i de farliga sektionerna av I-balken visas i fig. 1,17, c. De maximala skjuvspänningarna i balken överstiger inte de tillåtna spänningarna Exempel 1.8 Bestäm tillåten belastning på balken (Figur 1.18, a), om 60 MPa anges tvärsnittsmåtten (Figur 1.19, a). Konstruera ett diagram över normala spänningar i den farliga delen av balken vid tillåten belastning. Figur 1.18 1. Bestämning av strålstödens reaktioner. På grund av systemets symmetri 2. Konstruktion av diagram Q och M på karakteristiska sektioner. Skjuvkrafter i karakteristiska sektioner av balken: Diagram Q för balken visas i fig. 5,18, b. Böjmoment i karakteristiska sektioner av balken För andra halvan av balken är ordinaterna M längs symmetriaxlarna. Diagram M för en stråle visas i fig. 1,18, b. 3. Geometriska egenskaper för sektionen (Fig. 1.19). Vi delar upp figuren i två enklaste element: en I-balk - 1 och en rektangel - 2. Fig. 1.19 Enligt sortimentet för I-balk nr 20 har vi För en rektangel: Statiskt moment för snittarean i förhållande till z1-axeln Avstånd från z1-axeln till sektionens tyngdpunkt farlig punkt "a" ( Fig. 1.19) i den farliga sektionen I (Fig. 1.18): Efter ersättning av numeriska data 5. Under den tillåtna belastningen i den farliga sektionen kommer normalspänningarna vid punkterna "a" och "b" att vara lika: Diagram av normala spänningar för farlig sektion 1-1 visas i fig. 1,19, f.

Böjning kallas deformation, associerad med krökningen av stångens axel (eller en förändring i dess krökning). En rak balk, som uppfattar främst en böjlast, kallas stråle. I det allmänna fallet, vid böjning i balkens tvärsnitt, finns det två inre kraftfaktorer: skjuvkraft F och böjmoment. Om endast en kraftfaktor verkar i balkens tvärsnitt, a, då kallas böjen rena. Om ett böjmoment och en skjuvkraft verkar i balkens tvärsnitt kallas böjningen tvärgående.

Böjningsmomentets skjuvkraft F bestäms av sektionsmetoden. I ett godtyckligt tvärsnitt av stapeln, värdet F numeriskt lika med den algebraiska summan av projektionerna på den vertikala axeln av alla externa (aktiva och reaktiva) krafter som appliceras på avskärningsdelen; böjmomentet i ett godtyckligt tvärsnitt av stången är numeriskt lika med den algebraiska summan av momentet av alla yttre krafter och kraftpar som finns på ena sidan av sektionen.

För koordinatsystemet, men visat) i fig. 2.25, böjmoment från laster placerade i planet hej, verkar i förhållande till axeln G, och skjuvkraften är i axelns riktning på. Därför betecknar vi skjuvkraften, böjmomentet

Om sidobelastningen verkar så att dess plan sammanfaller med planet som innehåller en av sektionernas centrala tröghetsaxlar, kallas böjningen direkt.

Böjning kännetecknas av två typer av förskjutning:

• krökning av stångens längdaxel Åh, motsvarande förskjutningarna av strålaxelns punkter i riktningen OU,
• rotation i rymden av ett tvärsnitt i förhållande till ett annat, dvs. rotation av ett avsnitt kring en axel G i plan XOW.

Ris. 2,25

Differentiella och integrerade böjningsbegränsningar

Låt en kontinuerlig fördelad last verka på balken q (x)(fig. 2.26, a). Två tvärsnitt t – t och n – n välj en sektion av balken med en längd dx. Det tror vi på den här sidan d (x) = const på grund av segmentets ringa längd.

Interna kraftfaktorer som verkar i sektionen p – p, få någon ökning och blir lika. Betrakta jämvikten för ett element (fig. 2.26, b):

a), alltså

Ris. 2.26

Termen kan utelämnas, eftersom den har den andra ordningen av litenhet i jämförelse med de andra. Sedan

Genom att ersätta likhet (2,69) med uttryck (2,68), får vi

Uttryck (2.68) - (2.70) kallas differentiella beroenden i balkens böjning. De är endast giltiga för balkar med en initialt rätlinjig längdaxel.

Teckenregeln för och är villkorad:

Grafiskt avbildad som intrig. Positiva värden plottas uppåt från stapelns axel, negativa - nedåt.

Ris. 2.27

Normala spänningar vid ren böjning av en balk

Tänk på en ren böjmodell (Figur 2.28, a, b). Efter slutet av laddningsprocessen, strålens längdaxel X kommer att vara krökt, och dess tvärsnitt kommer att rotera i förhållande till sin ursprungliga position med en vinkel / O. För att klargöra lagen om fördelningen av normalspänningar över strålens tvärsnitt tar vi följande antaganden:

• med en ren direktböjning av fadern är hypotesen om plana sektioner giltig: tvärsnitten av en stång, platt och vinkelrät mot dess axel före deformation, förblir platt och normal mot dess axel under och efter deformation;
• träets fibrer under dess deformation pressar inte mot varandra;
• materialet fungerar inom det elastiska området.

Som ett resultat av böjningsdeformation, axeln X kommer att böjas och sektionen kommer att rotera i förhållande till den konventionellt fastklämda sektionen med en vinkel. Vi definierar den längsgående deformationen av en godtycklig fiber AB, ligger på avstånd på från den längsgående axeln (se fig. 2.28, a).

Låt vara krökningsradien för strålaxeln (se figur 2.28, b). Absolut fiberförlängning AB lika. Förlängning av denna fiber

Eftersom fibrerna enligt antagandet inte pressas mot varandra är de i ett tillstånd av enaxlig spänning eller kompression. Med hjälp av Hookes lag, får vi beroendet av förändringen i stress över tvärsnittet av batka:

Värdet är konstant för en given sektion, därför ändras det längs sektionens höjd beroende på koordinaten

Ris. 2.28

Ris. 2,29

du på. Vid böjning sträcks en del av fibrerna i stången och en del komprimeras. Gränsen mellan områdena för spänning och kompression är ett lager av fibrer, som bara böjs utan att ändra dess längd. Detta lager kallas neutralt.

Spänningarna σ * ​​i det neutrala lagret ska vara noll, respektive Detta resultat följer av uttryck (2.71) vid. Betrakta uttrycken för Eftersom vid ren böjning den längsgående kraften är noll, så skriver vi: (Fig. 2.29), och sedan ", alltså. Därav följer att axeln Οζ är centralt. Denna tvärsnittsaxel kallas neutrallinjen. För en ren rak böj Då

Sedan dess

Därav följer att axlarna Οζ och OU sektioner är inte bara centrala, utan också huvudtröghetsaxlarna. Detta antagande gjordes ovan vid definitionen av begreppet "rakböjning". Genom att ersätta värdet från uttrycket (2.71) i uttrycket för böjningsmomentet får vi

Eller, (2,72)

var är tröghetsmomentet kring sektionens huvudaxel Οζ.

Genom att ersätta likhet (2,72) med uttryck (2,71), får vi

Uttryck (2.73) bestämmer lagen för spänningsvariation över tvärsnittet. Det kan ses att det inte ändras längs koordinat 2 (dvs längs sektionens bredd är normalspänningarna konstanta), utan längs sektionens höjd, beroende på koordinaten på

Ris. 2. 30

(fig. 2.30). Värdena förekommer i fibrerna längst bort från neutrallinjen, dvs. kl. Sedan . Betecknar, vi får

var är sektionens motståndsmoment mot böjning.

Med hjälp av formlerna för de viktigaste centrala tröghetsmomenten för de grundläggande geometriska formerna för sektionerna får vi följande uttryck för:

Rektangulär sektion: där är sidan parallell med axeln G; h - rektangelns höjd. Eftersom z-axeln ligger i mitten av rektangelns höjd, alltså

Sedan motståndsmomentet för rektangeln

Balken är huvudelementet i strukturens bärande struktur. Under byggandet är det viktigt att beräkna balkens avböjning. I verklig konstruktion påverkas detta element av vindkraft, belastning och vibrationer. Vid beräkning är det dock vanligt att endast ta hänsyn till sidobelastningen eller den genomförda lasten, vilket är ekvivalent med sidobelastningen.

Balkar i huset

I beräkningen uppfattas balken som en styvt fixerad stång, som är installerad på två stöd. Om den är installerad på tre eller flera stöd är beräkningen av dess avböjning svårare, och det är nästan omöjligt att utföra det på egen hand. Huvudbelastningen beräknas som summan av krafterna som verkar i riktning mot den vinkelräta sektionen av strukturen. Designmodellen krävs för att bestämma den maximala deformationen, som inte bör överskrida gränsvärdena. Detta gör att du kan bestämma det optimala materialet för den önskade storleken, sektionen, flexibiliteten och andra indikatorer.

För konstruktion av olika strukturer används balkar gjorda av starka och hållbara material. Sådana mönster kan skilja sig åt i längd, form och tvärsnitt. Oftast används trä- och metallkonstruktioner. För designmodellen av avböjningen är elementets material av stor betydelse. Det speciella med att beräkna strålens avböjning i detta fall kommer att bero på homogeniteten och strukturen hos dess material.

Trä

För konstruktion av privata hus, sommarstugor och annan individuell konstruktion används oftast träbjälkar. Böjvirke kan användas för tak och golv.

Trägolv

För att beräkna den maximala avböjningen, överväg:

1. Material. Olika träslag har olika indikatorer på styrka, hårdhet och flexibilitet.
2. Tvärsnittsform och andra geometriska egenskaper.
3. Olika typer av belastning på materialet.

Den tillåtna nedböjningen av balken tar hänsyn till den maximala faktiska nedböjningen samt eventuella ytterligare driftsbelastningar.

Barrträstrukturer

Stål

Metallbalkar kännetecknas av en komplex eller till och med sammansatt sektion och är oftast gjorda av flera typer av metall. Vid beräkning av sådana strukturer är det nödvändigt att ta hänsyn till inte bara deras styvhet, utan också styrkan hos lederna.

Stålplattor

Metallstrukturer tillverkas genom att ansluta flera typer av valsad metall med följande typer av anslutningar:

• elektrisk svetsning;
• nitar;
• bultar, skruvar och andra typer av gängade anslutningar.

Stålbalkar används oftast för flervåningshus och andra typer av konstruktioner där hög strukturell hållfasthet krävs. I det här fallet, när du använder högkvalitativa fogar, garanteras en jämnt fördelad belastning på balken.

För att beräkna avböjningen av en stråle kan en video hjälpa till:

Strålstyrka och styvhet

För att säkerställa strukturens styrka, hållbarhet och säkerhet är det nödvändigt att beräkna balkarnas avböjning vid konstruktionsstadiet av strukturen. Därför är det extremt viktigt att känna till den maximala avböjningen av strålen, vars formel hjälper till att dra en slutsats om sannolikheten för att använda en viss byggnadsstruktur.

Genom att använda designstyvhetsschemat kan du bestämma de maximala förändringarna i delens geometri. Beräkningen av strukturen enligt experimentformlerna är inte alltid effektiv. Det rekommenderas att använda ytterligare faktorer för att lägga till den nödvändiga säkerhetsfaktorn. Att inte lämna en extra säkerhetsmarginal är ett av de största konstruktionsmisstagen, vilket leder till omöjligheten att driva byggnaden eller till och med allvarliga konsekvenser.

Det finns två huvudmetoder för att beräkna styrka och styvhet:

1. Enkel. Vid användning av denna metod tillämpas en förstoringsfaktor.
2. Exakt. Denna metod inkluderar användningen av inte bara faktorerna för säkerhetsfaktorn, utan också ytterligare beräkningar av gränstillståndet.

Den sista metoden är den mest exakta och pålitliga, eftersom det är han som hjälper till att bestämma vilken typ av belastning strålen tål.

Beräkning av balkar för avböjning

Styvhetsberäkning

För att beräkna böjhållfastheten för en balk används formeln:

M är det maximala momentet som uppstår i strålen;

W n, min - sektionens motståndsmoment, vilket är ett tabellvärde eller bestäms separat för varje typ av profil.

R y är stålets böjningsmotstånd. Beror på typ av stål.

γ c är driftskonditionsfaktorn, vilket är ett tabellvärde.

Beräkning av styvheten eller avböjningen av en balk är ganska enkel, så även en oerfaren byggare kan utföra beräkningarna. Men för att exakt bestämma den maximala avböjningen måste följande steg vidtas:

1. Rita upp designschemat för objektet.
2. Beräkning av balkens dimensioner och dess sektion.
3. Beräkning av den maximala belastningen som verkar på balken.
4. Bestämning av anbringningspunkten för den maximala belastningen.
5. Dessutom kan balken testas för styrka med maximalt böjmoment.
6. Beräknar styvhetsvärdet eller maximal avböjning av en balk.

För att skapa ett designschema behöver du följande data:

• balkens dimensioner, längden på konsolerna och spännvidden mellan dem;
• storleken och formen på tvärsnittet;
• egenskaper hos belastningen på strukturen och exakt dess tillämpning;
• material och dess egenskaper.

Om en tvåstödsbalk beräknas anses ett stöd vara styvt och det andra är gångjärn.

Beräkning av tröghetsmoment och tvärsnittsmotstånd

För att utföra styvhetsberäkningar behöver du värdet på sektionens tröghetsmoment (J) och motståndsmomentet (W). För att beräkna motståndsmomentet för en sektion är det bäst att använda formeln:

En viktig egenskap för att bestämma tröghetsmomentet och motståndet för en sektion är sektionens orientering i sektionens plan. Med en ökning av tröghetsmomentet ökar också styvhetsindexet.

Bestämning av maximal belastning och nedböjning

För att exakt bestämma avböjningen av en stråle är det bäst att använda denna formel:

q är en jämnt fördelad last;

E är elasticitetsmodulen, vilket är ett tabellvärde;

l - längd;

I är sektionens tröghetsmoment.

För att beräkna den maximala belastningen måste statiska och intermittenta belastningar beaktas. Till exempel, om vi pratar om en tvåvåningsstruktur, kommer en belastning från dess vikt, utrustning, människor ständigt att agera på en träbalk.

Funktioner i beräkningen för avböjning

Beräkning av nedböjningen krävs för alla plattor. Det är extremt viktigt att exakt beräkna denna indikator under betydande externa belastningar. Det är inte nödvändigt att använda komplexa formler i detta fall. Om du använder lämpliga koefficienter kan beräkningarna reduceras till enkla scheman:

1. En stång, som vilar på ett styvt och ett ledat stöd, och uppfattar en koncentrerad belastning.
2. En stång som vilar på ett styvt och ledat stöd, och som samtidigt verkar på det med en fördelad belastning.
3. Laddningsmöjligheter för en fribärande stång som är styvt fixerad.
4. Komplex lastpåverkan på en struktur.

Genom att använda denna metod för att beräkna nedböjningen tas inte hänsyn till material. Därför påverkas inte beräkningarna av värdena för dess huvudegenskaper.

Nedböjningsberäkningsexempel

För att förstå processen för att beräkna en balks styvhet och dess maximala avböjning kan ett enkelt räkneexempel användas. Denna beräkning utförs för en balk med följande egenskaper:

• produktionsmaterial - trä;
• densiteten är 600 kg / m3;
• längden är 4 m;
• sektionen av materialet är 150 * 200 mm;
• vikten på täckelementen är 60 kg / m²;
• den maximala belastningen på strukturen är 249 kg / m;
• materialets elasticitet är 100 000 kgf / m²;
• J är lika med 10 kg * m².

För att beräkna den maximala tillåtna belastningen beaktas vikten av balken, golven och stöden. Det rekommenderas också att ta hänsyn till vikten av möbler, apparater, dekoration, människor och andra tunga saker, vilket också kommer att påverka strukturen. För beräkningen behöver du följande data:

• vikten av en meter av balken;
• golvvikt m2;
• avståndet som är kvar mellan balkarna;

För att förenkla beräkningen av detta exempel kan golvets massa tas till 60 kg / m², belastningen på varje våning är 250 kg / m², belastningen på skiljeväggarna är 75 kg / m² och vikten av en meter av balken är 18 kg. Med ett avstånd mellan balkarna på 60 cm blir koefficienten k 0,6.

Om du ersätter alla dessa värden i formeln får du:

q = (60 + 250 + 75) * 0,6 + 18 = 249 kg/m.

För att beräkna böjmomentet, använd formeln f = (5/384) * [(qn * L4) / (E * J)] £ [¦].

Genom att ersätta data i det visar det sig att f = (5/384) * [(qn * L4) / (E * J)] = (5/384) * [(249 * 44) / (100 000 * 10)] = 0 , 13020833 * [(249 * 256) / (100 000 * 10)] = 0,13020833 * (6 3744 / 10 000 000) = 0,13020833 * 0,000083 = 0,004083 m = 0,004083 m.

Detta är exakt vad som är en indikator på nedböjningen när den maximala belastningen appliceras på balken. Dessa beräkningar visar att när den maximala belastningen appliceras på den, kommer den att böjas med 0,83 cm. Om denna indikator är mindre än 1, är dess användning under de angivna belastningarna tillåten.

Användningen av sådana beräkningar är ett universellt sätt att beräkna styvheten hos en struktur och mängden av deras avböjning. Det är ganska lätt att självständigt beräkna dessa värden. Det räcker att känna till de nödvändiga formlerna, samt att beräkna värdena. Vissa uppgifter måste tas i tabellen. När du gör beräkningar är det extremt viktigt att vara uppmärksam på måttenheterna. Om värdet i formeln är i meter, måste det konverteras till denna form. Sådana enkla misstag kan göra beräkningar värdelösa. För att beräkna en balks styvhet och maximala avböjning är det tillräckligt att känna till materialets grundläggande egenskaper och dimensioner. Dessa data bör kopplas in i några enkla formler.

Böjning deformation kallas, där stavens axel och alla dess fibrer, det vill säga de längsgående linjerna parallella med stavens axel, böjs under inverkan av yttre krafter. Det enklaste fallet av böjning erhålls när yttre krafter ligger i ett plan som passerar genom stångens centralaxel och inte ger projektioner på denna axel. Detta fall av böjning kallas tvärböjning. Skilj mellan platt böj och sned.

Platt böj- ett sådant fall när stångens krökta axel är belägen i samma plan i vilket yttre krafter verkar.

Sned (komplex) böj- ett sådant fall av böjning, när stångens krökta axel inte ligger i verkningsplanet för yttre krafter.

Böjstången kallas vanligtvis stråle.

Med en plan tvärböjning av balkar i en sektion med ett koordinatsystem y0x kan två inre krafter uppstå - en tvärkraft Q y och ett böjmoment M x; i det följande introduceras beteckningen för dem F och M. Om det inte finns någon tvärkraft i sektionen eller på sektionen av balken (Q = 0), och böjmomentet inte är noll eller M - const, kallas en sådan böj vanligtvis rena.

Tvärkraft i valfri sektion av strålen är numeriskt lika med den algebraiska summan av projektionerna på y-axeln av alla krafter (inklusive stödreaktioner) placerade på ena sidan (vilken som helst) av den ritade sektionen.

Böjningsmoment i sektionen av balken är numeriskt lika med den algebraiska summan av momenten av alla krafter (inklusive stödreaktioner) belägna på ena sidan (vilken som helst) av den ritade sektionen i förhållande till tyngdpunkten för denna sektion, närmare bestämt i förhållande till axeln som går vinkelrätt mot ritningens plan genom tyngdpunkten för den ritade sektionen.

Tvinga Qär resulterande fördelade över sektionen av interna skjuvspänningar, a ögonblick M– summan av ögonblick runt den centrala axeln av sektionen X inre normala spänningar.

Det finns ett skillnadsförhållande mellan interna insatser

som används vid konstruktion och kontroll av tomterna Q och M.

Eftersom en del av balkfibrerna är sträckta, och vissa är komprimerade, och övergången från spänning till kompression sker smidigt, utan hopp, finns det ett lager i mitten av balken, vars fibrer bara är böjda, men inte uppleva antingen spänning eller kompression. Detta lager kallas neutralt lager... Linjen längs vilken det neutrala lagret skär strålens tvärsnitt kallas neutral linje th eller neutral axel sektion. Neutrala linjer är uppträdda på strålaxeln.

Linjer ritade på sidan av balken vinkelrät mot axeln förblir plana när de böjs. Dessa experimentella data tillåter oss att sätta hypotesen om platta sektioner som grund för formlernas slutsatser. Enligt denna hypotes är balkens sektioner plana och vinkelräta mot dess axel innan de böjs, förblir plana och visar sig vara vinkelräta mot balkens krökta axel under böjning. Balkens tvärsnitt förvrängs när den böjs. På grund av tvärgående deformation ökar dimensionerna på tvärsnittet i balkens komprimerade zon, och i den sträckta zonen komprimeras de.

Antaganden för härledning av formler. Normala spänningar

1) Hypotesen om plana sektioner är uppfylld.

2) Längsgående fibrer pressar inte mot varandra och därför, under inverkan av normala påkänningar, linjär spänning eller kompressionsarbete.

3) Deformationer av fibrer beror inte på deras placering över sektionsbredden. Följaktligen förblir de normala spänningarna, som ändras längs sektionens höjd, desamma längs bredden.

4) Balken har minst ett symmetriplan, och alla yttre krafter ligger i detta plan.

5) Balkens material följer Hookes lag, och elasticitetsmodulen i spänning och kompression är densamma.

6) Förhållandet mellan balkens dimensioner är sådant att den arbetar under plana böjningsförhållanden utan att vridas eller vrids.

Med ren böjning verkar balkarna på plattformarna i sin sektion endast normala spänningar bestäms av formeln:

där y är koordinaten för en godtycklig punkt i sektionen, mätt från neutrallinjen - huvudaxeln x.

Normala böjspänningar längs sektionshöjden fördelas över linjär lag... Vid de yttersta fibrerna når normalspänningarna sitt maximala värde och i tyngdpunkten är sektionerna lika med noll.

Typen av diagram av normalspänningar för symmetriska sektioner i förhållande till neutrallinjen

Typen av diagram över normala spänningar för sektioner som inte har symmetri kring neutrallinjen

Punkterna längst bort från den neutrala linjen är farliga.

Låt oss välja ett avsnitt

För vilken punkt som helst i avsnittet, låt oss kalla det en punkt TILL, villkoret för balkens styrka under normala påkänningar är följande:

, där n.o. - Det neutral axel

Det sektionens axiella motståndsmoment relativt den neutrala axeln. Dess dimension är cm 3, m 3. Motståndsmomentet kännetecknar inverkan av tvärsnittets form och dimensioner på spänningarnas storlek.

Styrketillstånd för normala påfrestningar:

Normal spänning är lika med förhållandet mellan det maximala böjmomentet och sektionens axiella motståndsmoment i förhållande till den neutrala axeln.

Om materialet inte lika motstår sträckning och kompression, är det nödvändigt att använda två hållfasthetsförhållanden: för dragzonen med en tillåten dragspänning; för en kompressionszon med en tillåten tryckspänning.

Med tvärgående böjning fungerar balkarna på plattformarna i sin sektion som vanligt och tangenter Spänning.

Uppgift. Generera Q- och M-plots för en statiskt odefinierad stråle. Vi beräknar balkarna med formeln:

n= Σ R- Sh— 3 = 4 — 0 — 3 = 1

Stråle en gång statiskt odefinierade medel ett av reaktionerna är "Överflödig" okänd... För det "extra" okända tar vi supportreaktionen V — R B.

En statiskt definierbar stråle som erhålls från en given genom att ta bort den "extra" anslutningen kallas huvudsystemet (b).

Nu ska detta system presenteras likvärdig given. För att göra detta, ladda huvudsystemet given belastning och vid punkten V bifoga "Extra" reaktion R B(ris. v).

Men för likvärdighet av detta inte tillräckligt, eftersom i en sådan stråle spetsen V kanske flytta vertikalt, och i en given stråle (Fig. a ) detta kan inte hända. Därför lägger vi till skick, Vad avböjning t. V i huvudsystemet ska vara lika med 0. Avböjning t. V består av avböjning från den verkande lasten Δ F och från avböjning från den "extra" reaktionen Δ R.

Sedan komponerar vi förskjutningskompatibilitetsvillkor:

Δ F + Δ R=0 (1)

Nu återstår att räkna ut dessa förskjutning (avböjningar).

Läser in den huvudsakliga systemet given belastning(ris .G) och bygga lasttomtM F (ris. d ).

V T. V applicera och konstruera ep. (ris. igelkott ).

Med hjälp av Simpson-formeln definierar vi lastavböjning.

Låt oss nu definiera avböjning från verkan av den "extra" reaktionen R B , för detta laddar vi huvudsystemet R B (ris. s ) och bygg ett diagram över ögonblick från dess handling HERR (ris. och ).

Vi komponerar och löser ekvation (1):

Låt oss bygga ep. F och M (ris. k, l ).

Vi bygger ett diagram F.

Låt oss bygga ett diagram M metod karakteristiska punkter... Vi arrangerar punkter på strålen - det här är punkterna i början och slutet av strålen ( D, A ), koncentrerat ögonblick ( B ), och markera även som en karakteristisk punkt mitten av den jämnt fördelade lasten ( K ) Är en extra punkt för att plotta en parabolkurva.

Bestäm böjmoment vid punkter. Regel för tecken centimeter. - .

Moment inkl. V kommer att definieras enligt följande. Låt oss först definiera:

Punkt TILL ta in mitten område med en jämnt fördelad last.

Vi bygger ett diagram M ... Komplott AB – parabolisk kurva(paraplyregel), sajt ВD – rak sned linje.

För en balk, definiera stödreaktioner och rita böjmomentdiagram ( M) och skjuvkrafter ( F).

1. Vi betecknar stödjer brev A och V och direkta stödreaktioner R A och R B .

Vi komponerar jämviktsekvationer.

Undersökning

Vi skriver ner värdena R A och R B på designschema.

2. Ritning sidokrafter metod tvärsnitt... Vi placerar sektionerna på karakteristiska platser(mellan byten). Efter storlek tråd - 4 sektioner, 4 sektioner.

sek. 1-1 flytta vänster.

Sektionen löper längs sektionen med jämnt fördelad last, markera storleken z 1 till vänster om avsnittet innan avsnittets början... Sektionens längd är 2 m. Regel för tecken för F - centimeter.

Vi bygger efter det funna värdet komplottF.

sek. 2-2 sväng höger.

Sektionen går igen genom sektionen med en jämnt fördelad belastning, markera storleken z 2 till höger från avsnittet till början av avsnittet. Sektionens längd är 6 m.

Vi bygger ett diagram F.

sek. 3-3 flytta till höger.

sek. 4-4 drag åt höger.

Vi bygger komplottF.

3. Konstruktion diagram M metod karakteristiska punkter.

Karakteristisk punkt- en punkt som på något sätt märks på balken. Det här är punkterna A, V, MED, D och även peka TILL , vart i F=0 och böjmomentet har ett extremum... Också i mitten konsoler, låt oss sätta en ytterligare punkt E, eftersom i detta avsnitt, under en jämnt fördelad belastning, diagrammet M beskrivs krokig linje, och den är åtminstone byggd längs 3 poäng.

Så, punkterna är placerade, vi fortsätter att bestämma värdena i dem böjmoment. Teckenregel - se..

Tomter NA, AD – parabolisk kurva(paraplyregeln för mekaniska yrken eller "segelregeln" för byggnadsyrken) DC, SV – raka sneda linjer.

Moment vid punkt D bör definiera både vänster och höger från punkt D ... Själva ögonblicket i dessa uttryck Utesluten... Vid punkten D skaffa sig två värden med skillnaden med beloppet m – hoppa av dess värde.

Nu är det nödvändigt att bestämma ögonblicket vid punkten TILL (F= 0). Men först definierar vi punktposition TILL , som anger avståndet från det till början av avsnittet med det okända X .

T. TILL tillhör den andra karakteristisk plats, dess skjuvkraftsekvationen(se ovan)

Men sidokraften inkl. TILL är lika med 0 , a z 2 är lika med okänd X .

Vi får ekvationen:

Vet nu X, definiera ögonblicket vid punkten TILL på höger sida.

Vi bygger ett diagram M ... Vi utför bygget för mekanisk specialiteter, skjuta upp positiva värden upp från nollraden och med hjälp av paraplyregeln.

För ett givet fribärande balkschema är det nödvändigt att rita diagrammen över skjuvkraften Q och böjmomentet M, utföra designberäkningen genom att välja en cirkulär sektion.

Material - trä, designmaterialbeständighet R = 10MPa, M = 14kN m, q = 8kN / m

Det är möjligt att konstruera diagram i en fribärande balk med en styv inbäddning på två sätt - det vanliga, efter att tidigare ha bestämt stödreaktionerna, och utan att definiera stödreaktionerna, om vi betraktar sektionerna, som går från balkens fria ände och kasta den vänstra delen med inbäddningen. Låt oss bygga diagram vanlig sätt.

1. Definiera stödreaktioner.

Jämnt fördelad belastning q ersätt med villkorlig kraft Q = q 0,84 = 6,72 kN

I en stel avslutning finns det tre stödreaktioner - vertikal, horisontell och moment, i vårt fall är den horisontella reaktionen 0.

Hitta vertikal stödreaktion R A och stödmoment M A från jämviktsekvationerna.

I de två första sektionerna till höger finns ingen skjuvkraft. I början av en sektion med jämnt fördelad last (höger) Q = 0, i back-up - storleken på reaktionen R A.
3. För att konstruera kommer vi att komponera uttryck för deras bestämning på platserna. Vi konstruerar diagrammet över moment på fibrerna, d.v.s. ner.

(diagrammet över enstaka ögonblick har redan byggts tidigare)

Lös ekvation (1), reducera med EI

Statisk obestämdhet avslöjad, hittades innebörden av den "extra" reaktionen. Du kan börja rita Q- och M-diagram för en statiskt obestämd stråle ... Rb... I en given stråle kan reaktionerna i inbäddningen utelämnas om man rör sig åt höger.

Byggnad diagram Q för en statiskt obestämd stråle

Handling Q.

Plotter M

Vi definierar M vid extrempunkten - vid punkten TILL... Låt oss först bestämma dess position. Låt oss beteckna avståndet till det som okänt " X". Sedan

Vi bygger ett diagram över M.

Bestämning av skjuvspänningar i en I-sektion... Tänk på avsnittet Jag strålar. S x = 96,9 cm3; Yx = 2030 cm4; Q = 200 kN

För att bestämma skjuvspänningen, tillämpa formel, där Q är tvärkraften i snittet, S x 0 är det statiska momentet för den del av tvärsnittet som ligger på ena sidan av skiktet där skjuvspänningarna bestäms, I x är tröghetsmomentet för hela tvärsnitt, b är sektionens bredd på den plats där skjuvspänningen bestäms

Låt oss räkna maximalt skjuvspänning:

Vi beräknar det statiska momentet för översta hyllan:

Låt oss nu räkna skjuvspänningar:

Vi bygger skjuvspänningsdiagram:

Design och verifieringsberäkningar. För en balk med konstruerade diagram av inre krafter, välj ett tvärsnitt i form av två kanaler från hållfasthetsvillkoret med avseende på normala spänningar. Kontrollera balkens styrka med hjälp av skjuvhållfasthetsvillkoret och energihållfasthetskriteriet. Given:

Låt oss visa strålen med den konstruerade tomterna Q och M

Enligt diagrammet över böjmoment är det farligt avsnitt C, i vilken M C = M max = 48,3 kNm.

Styrketillstånd för normala påfrestningar för en given stråle har formen σ max = M C / W X ≤σ adm. Det krävs att man väljer ett tvärsnitt från två kanaler.

Bestäm det beräknade värdet som krävs axiellt motståndsmoment för sektionen:

För en sektion i form av två kanaler, enligt vi accepterar två kanaler №20а, tröghetsmomentet för varje kanal I x = 1670 cm 4, då axiellt motståndsmoment för hela sektionen:

Överspänning (underspänning) vid farliga punkter räknar vi med formeln: Då får vi underspänning:

Låt oss nu kontrollera strålens styrka, baserat på hållfasthetsförhållanden för skjuvspänningar. Enligt skjuvkraftdiagram farligär avsnitten på flygplanssektionen och sektion D. Som du kan se från diagrammet, Q max = 48,9 kN.

Draghållfasthet tillstånd ser ut som:

För kanal nr 20 a: det statiska momentet för arean S x 1 = 95,9 cm 3, tröghetsmomentet för sektionen I x 1 = 1670 cm 4, väggtjockleken d 1 = 5,2 mm, medeltjockleken för hylla t 1 = 9,7 mm , kanalhöjd h 1 = 20 cm, hyllbredd b 1 = 8 cm.

För tvärgående sektioner av två kanaler:

S x = 2S x 1 = 2 · 95,9 = 191,8 cm 3,

I x = 2I x 1 = 2 1670 = 3340 cm 4,

b = 2d1 = 2 0,52 = 1,04 cm.

Bestäm värdet maximal skjuvspänning:

τ max = 48,9 · 10 3 · 191,8 · 10 −6 / 3340 · 10 −8 · 1,04 · 10 −2 = 27 MPa.

Som sett, τ max<τ adm (27 MPa<75МПа).

Därmed, hållfasthetsvillkoret är uppfyllt.

Vi kontrollerar strålens styrka enligt energikriteriet.

Från övervägande tomterna Q och M följer det avsnitt C är farligt, där verkar M C = M max = 48,3 kNm och Q C = Q max = 48,9 kN.

Vi kommer att genomföra analys av spänningstillståndet vid punkterna i avsnitt C

Vi definierar normal- och skjuvspänningar på flera nivåer (markerade på sektionsdiagrammet)

Nivå 1-1: y 1-1 = h 1/2 = 20/2 = 10 cm.

Normal och tangent Spänning:

Den huvudsakliga Spänning:

Nivå 2−2: y 2-2 = h 1/2 − t 1 = 20 / 2−0,97 = 9,03cm.

Huvudspänningar:

Nivå 3−3: y 3-3 = h 1/2 − t 1 = 20 / 2−0,97 = 9,03cm.

Normal- och skjuvspänningar:

Huvudspänningar:

Extrema skjuvspänningar:

Nivå 4-4: y 4-4 = 0.

(i mitten är normala spänningar lika med noll, tangentiella spänningar är maximala, de hittades vid kontroll av styrkan genom skjuvspänningar)

Huvudspänningar:

Extrema skjuvspänningar:

Nivå 5-5:

Normal- och skjuvspänningar:

Huvudspänningar:

Extrema skjuvspänningar:

Nivå 6-6:

Normal- och skjuvspänningar:

Huvudspänningar:

Extrema skjuvspänningar:

Nivå 7-7:

Normal- och skjuvspänningar:

Huvudspänningar:

Extrema skjuvspänningar:

I enlighet med utförda beräkningar spänningsdiagram σ, τ, σ 1, σ 3, τ max och τ min visas i fig.

Analys av dessa diagram visar det i sektionen av balken farliga poäng är på nivå 3-3 (eller 5-5), i vilken:

Använder sig av energikriterium för styrka, skaffa sig

Av en jämförelse av ekvivalenta och tillåtna spänningar följer att även hållfasthetsvillkoret är uppfyllt

(135,3 MPa<150 МПа).

Den kontinuerliga balken belastas i alla spann. Skapa Q- och M-plots för den kontinuerliga strålen.

1. Bestäm grad av statisk osäkerhet strålar enligt formeln:

n = Con -3 = 5-3 = 2, var Sop - antalet okända reaktioner, 3 - antalet statiska ekvationer... För att lösa denna stråle behöver du ytterligare två ekvationer.

2. Beteckna tal stöder med noll i ordning ( 0,1,2,3 )

3. Beteckna span nummer från den första i ordning ( v 1, v 2, v 3)

4. Varje span anses som enkel stråle och bygg diagram för varje enkel stråle Q och M. Vad relaterar till enkel balk, kommer vi att beteckna med index "0", Vad syftar på oklippt stråle, kommer vi att beteckna utan detta index. Således är skjuvkraften och böjmomentet för en enkel stråle.