1 parallellepiped kub som bestämmer egenskaperna hos ytornas kanter. Rektangulär parallellepiped - Knowledge Hypermarket. Parallelepiped information om

Inom geometri är nyckelbegreppen plan, punkt, rät linje och vinkel. Med hjälp av dessa termer kan du beskriva vilken geometrisk figur som helst. Polyedrar brukar beskrivas i termer av enklare figurer som ligger i samma plan, såsom en cirkel, triangel, kvadrat, rektangel osv. I den här artikeln kommer vi att titta på vad en parallellepiped är, beskriva typerna av parallellepiped, dess egenskaper, vilka element den består av och även ge de grundläggande formlerna för att beräkna arean och volymen för varje typ av parallellepiped.

Definition

En parallellepiped i det tredimensionella rummet är ett prisma, vars alla sidor är parallellogram. Följaktligen kan den endast ha tre par parallella parallellogram eller sex ytor.

För att visualisera en parallellepiped, föreställ dig en vanlig standardtegelsten. En tegelsten är ett bra exempel på en rektangulär parallellepiped som även ett barn kan föreställa sig. Andra exempel inkluderar panelhus i flera våningar, skåp, matförvaringsbehållare av lämplig form, etc.

Varianter av figur

Det finns bara två typer av parallellepipeder:

Rektangulär, vars alla sidoytor har en vinkel på 90° mot basen och är rektanglar.
Lutande, vars sidokanter är belägna i en viss vinkel mot basen.

Vilka element kan denna figur delas in i?

Som i alla andra geometriska figurer, i en parallellepiped kallas alla 2 ytor med en gemensam kant angränsande, och de som inte har det är parallella (baserat på egenskapen hos ett parallellogram, som har par parallella motsatta sidor).
Topparna på en parallellepiped som inte ligger på samma yta kallas motsatta.
Segmentet som förbinder sådana hörn är en diagonal.
Längden på de tre kanterna på en kuboid som möts vid en vertex är dess dimensioner (nämligen dess längd, bredd och höjd).

Formegenskaper

Den är alltid byggd symmetriskt med avseende på mitten av diagonalen.
Skärningspunkten för alla diagonaler delar varje diagonal i två lika stora segment.
Motstående ytor är lika långa och ligger på parallella linjer.
Om du lägger till kvadraterna för alla dimensioner av en parallellepiped blir det resulterande värdet lika med kvadraten på diagonalens längd.

Beräkningsformler

Formlerna för varje särskilt fall av en parallellepiped kommer att vara olika.

För en godtycklig parallellepiped är det sant att dess volym är lika med det absoluta värdet av den trippelskalära produkten av vektorerna för tre sidor som utgår från en vertex. Det finns dock ingen formel för att beräkna volymen av en godtycklig parallellepiped.

För en rektangulär parallellepiped gäller följande formler:

V=a*b*c;
Sb=2*c*(a+b);
Sp=2*(a*b+b*c+a*c).

V - figurens volym;
Sb - lateral ytarea;
Sp - total yta;
a - längd;
b - bredd;
c - höjd.

Ett annat specialfall av en parallellepiped där alla sidor är kvadrater är en kub. Om någon av kvadratens sidor betecknas med bokstaven a, kan följande formler användas för ytan och volymen av denna figur:

S=6*a*2;
V=3*a.

S - area av figuren,
V är figurens volym,
a är längden på figurens ansikte.

Den sista typen av parallellepiped vi överväger är en rak parallellepiped. Vad är skillnaden mellan en höger parallellepiped och en kuboid, frågar du. Faktum är att basen av en rektangulär parallellepiped kan vara vilket parallellogram som helst, men basen för en rak parallellepiped kan bara vara en rektangel. Om vi betecknar basens omkrets, lika med summan av längderna på alla sidor, som Po, och betecknar höjden med bokstaven h, har vi rätt att använda följande formler för att beräkna volymen och arean av totalen och sidoytor.

Definition

Polyeder vi kallar en sluten yta som består av polygoner och som begränsar en viss del av rymden.

De segment som är sidorna av dessa polygoner kallas revben polyeder, och polygonerna själva är kanter. Polygonernas hörn kallas polyederhörn.

Vi kommer endast att överväga konvexa polyedrar (detta är en polyeder som ligger på ena sidan av varje plan som innehåller dess ansikte).

Polygonerna som utgör en polyeder bildar dess yta. Den del av rymden som begränsas av en given polyeder kallas dess inre.

Definition: prisma

Betrakta två lika polygoner \(A_1A_2A_3...A_n\) och \(B_1B_2B_3...B_n\) placerade i parallella plan så att segmenten \(A_1B_1, \A_2B_2, ..., A_nB_n\) parallell. En polyeder bildad av polygonerna \(A_1A_2A_3...A_n\) och \(B_1B_2B_3...B_n\) , samt parallellogram \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\), kallas (\(n\)-gonal) prisma.

Polygoner \(A_1A_2A_3...A_n\) och \(B_1B_2B_3...B_n\) kallas prismabaser, parallellogram \(A_1B_1B_2A_2, \A_2B_2B_3A_3, ...\)– sidoytor, segment \(A_1B_1, \ A_2B_2, \ ..., A_nB_n\)- laterala revben.
Således är prismats sidokanter parallella och lika med varandra.

Låt oss titta på ett exempel - ett prisma \(A_1A_2A_3A_4A_5B_1B_2B_3B_4B_5\), vid vars bas ligger en konvex femhörning.

Höjd Prismor är en vinkelrät droppe från vilken punkt som helst av en bas till planet för en annan bas.

Om sidokanterna inte är vinkelräta mot basen, kallas ett sådant prisma lutande(Fig. 1), annars – hetero. I ett rakt prisma är sidokanterna höjder och sidoytorna lika rektanglar.

Om en vanlig polygon ligger vid basen av ett rakt prisma, så kallas prismat korrekt.

Definition: begreppet volym

Enheten för volymmått är en enhetskub (en kub som mäter \(1\ gånger1\ gånger1\) enheter\(^3\), där enhet är en viss måttenhet).

Vi kan säga att volymen av en polyeder är mängden utrymme som denna polyeder begränsar. Annars: detta är en storhet vars numeriska värde visar hur många gånger en enhetskub och dess delar passar in i en given polyeder.

Volym har samma egenskaper som area:

1. Volymerna av lika siffror är lika.

2. Om en polyeder är sammansatt av flera icke-korsande polyedrar, så är dess volym lika med summan av volymerna av dessa polyedrar.

3. Volym är en icke-negativ storhet.

4. Volym mäts i cm\(^3\) (kubikcentimeter), m\(^3\) (kubikmeter), etc.

Sats

1. Arean av prismats laterala yta är lika med produkten av basens omkrets och prismats höjd.
Den laterala ytarean är summan av areorna av prismats sidoytor.

2. Prismats volym är lika med produkten av basarean och prismats höjd: \

Definition: parallellepiped

Parallellepipedär ett prisma med ett parallellogram vid sin bas.

Alla ytor på parallellepipeden (det finns \(6\) : \(4\) sidoytor och \(2\) baser) är parallellogram, och de motsatta ytorna (parallella med varandra) är lika parallellogram (fig. 2) .

Diagonal av en parallellepipedär ett segment som förbinder två hörn av en parallellepiped som inte ligger på samma yta (det finns \(8\) av dem: \(AC_1,\A_1C,\BD_1,\B_1D\) etc.).

Rektangulär parallellepipedär en rät parallellepiped med en rektangel vid basen.
Därför att Eftersom detta är en rät parallellepiped är sidoytorna rektanglar. Detta betyder att i allmänhet är alla ytor på en rektangulär parallellepiped rektanglar.

Alla diagonaler i en rektangulär parallellepiped är lika (detta följer av trianglarnas likhet \(\triangel ACC_1=\triangel AA_1C=\triangel BDD_1=\triangel BB_1D\) etc.).

Kommentar

Således har en parallellepiped alla egenskaper hos ett prisma.

Sats

Den laterala ytan av en rektangulär parallellepiped är \

Den totala ytan av en rektangulär parallellepiped är \

Sats

Volymen av en kuboid är lika med produkten av dess tre kanter som kommer ut från en vertex (tre dimensioner av kuboiden): \

Bevis

Därför att I en rektangulär parallellepiped är sidokanterna vinkelräta mot basen, då är de också dess höjder, det vill säga \(h=AA_1=c\) Eftersom basen är alltså en rektangel \(S_(\text(main))=AB\cdot AD=ab\). Det är härifrån denna formel kommer.

Sats

Diagonalen \(d\) för en rektangulär parallellepiped hittas med formeln (där \(a,b,c\) är måtten på parallellepipeden) \

Bevis

Låt oss titta på fig. 3. För att basen är en rektangel, sedan är \(\triangel ABD\) rektangulär, därför enligt Pythagoras sats \(BD^2=AB^2+AD^2=a^2+b^2\) .

Därför att alla laterala kanter är alltså vinkelräta mot baserna \(BB_1\perp (ABC) \Högerpil BB_1\) vinkelrät mot vilken rät linje som helst i detta plan, dvs. \(BB_1\perp BD\) . Detta betyder att \(\triangel BB_1D\) är rektangulär. Sedan genom Pythagoras sats \(B_1D=BB_1^2+BD^2=a^2+b^2+c^2\), thd.

Definition: kub

Kubär en rektangulär parallellepiped, vars alla ytor är lika kvadratiska.

De tre dimensionerna är alltså lika med varandra: \(a=b=c\) . Så följande är sant

Satser

1. Volymen av en kub med kant \(a\) är lika med \(V_(\text(kub))=a^3\) .

2. Kubens diagonal hittas med formeln \(d=a\sqrt3\) .

3. Total yta av en kub \(S_(\text(full kub))=6a^2\).

Ett parallellepiped är ett fyrkantigt prisma med parallellogram vid sin bas. Höjden på en parallellepiped är avståndet mellan planen på dess baser. I figuren visas höjden av segmentet . Det finns två typer av parallellepipeder: raka och lutande. Som regel ger en matematiklärare först lämpliga definitioner för ett prisma och överför dem sedan till en parallellepiped. Vi kommer att göra detsamma.

Låt mig påminna dig om att ett prisma kallas rakt om dess sidokanter är vinkelräta mot baserna; om det inte finns någon vinkelräthet kallas prismat lutande. Denna terminologi ärvs också av parallellepipeden. En höger parallellepiped är inget annat än en typ av rakt prisma, vars sidokant sammanfaller med höjden. Definitioner av sådana begrepp som ansikte, kant och vertex, som är gemensamma för hela familjen polyedrar, finns bevarade. Konceptet med motsatta ansikten dyker upp. En parallellepiped har 3 par motsatta ytor, 8 hörn och 12 kanter.

Diagonalen av en parallellepiped (diagonalen av ett prisma) är ett segment som förbinder två hörn av en polyeder och inte ligger på någon av dess ytor.

Diagonal sektion - en sektion av en parallellepiped som går genom dess diagonal och diagonalen på dess bas.

Egenskaper hos en lutande parallellepiped:
1) Alla dess ytor är parallellogram, och de motsatta ytorna är lika parallellogram.
2)Diagonalerna på en parallellepiped skär varandra vid en punkt och halverar vid denna punkt.
3)Varje parallellepiped består av sex triangulära pyramider med samma volym. För att visa dem för eleven måste matematikläraren skära av hälften av parallellepen med dess diagonala sektion och dela upp den separat i 3 pyramider. Deras baser måste ligga på olika ytor av den ursprungliga parallellepipeden. En matematiklärare kommer att finna tillämpning av denna egenskap i analytisk geometri. Det används för att härleda volymen av en pyramid genom en blandad produkt av vektorer.

Formler för volymen av en parallellepiped:
1) , var är arean av basen, h är höjden.
2) Volymen av en parallellepiped är lika med produkten av tvärsnittsarean och sidokanten.
Matte handledare: Som du vet är formeln gemensam för alla prismor och om handledaren redan har bevisat det är det ingen idé att upprepa samma sak för en parallellepiped. Men när man arbetar med en elev på genomsnittlig nivå (formeln är inte användbar för en svag elev), är det lämpligt att läraren agerar precis tvärtom. Lämna prismat ifred och utför ett noggrant bevis för parallellepipeden.
3) , där är volymen av en av de sex triangulära pyramiderna som utgör parallellepipeden.
4) Om , då

Arean av den laterala ytan av en parallellepiped är summan av ytorna på alla dess ytor:
Den totala ytan av en parallellepiped är summan av areorna av alla dess ytor, det vill säga arean + två områden av basen: .

Om en handledares arbete med en lutande parallellepiped:
Mattelärare arbetar inte ofta med problem som involverar lutande parallellepipeder. Sannolikheten för att de dyker upp på Unified State Exam är ganska låg, och didaktiken är oanständigt dålig. Ett mer eller mindre anständigt problem med volymen av en lutande parallellepiped väcker allvarliga problem i samband med att bestämma platsen för punkt H - basen för dess höjd. I det här fallet kan matematikläraren rådas att skära parallellepipeden till en av dess sex pyramider (som diskuteras i egenskap nr 3), försöka hitta dess volym och multiplicera den med 6.

Om sidokanten på en parallellepiped har lika stora vinklar med basens sidor, så ligger H på bisektrisen av vinkeln A för basen ABCD. Och om till exempel ABCD är en romb, då

Matte handledare uppgifter:
1) Ytorna på en parallellepiped är lika med varandra med en sida på 2 cm och en spetsig vinkel. Hitta volymen av parallellepipeden.
2) I en lutande parallellepiped är sidokanten 5 cm. Sektionen vinkelrätt mot den är en fyrhörning med ömsesidigt vinkelräta diagonaler med längderna 6 cm och 8 cm Beräkna volymen av parallellepipeden.
3) I en lutande parallellepiped är det känt att , och i ABCD är basen en romb med en sida på 2 cm och en vinkel . Bestäm volymen på parallellepipeden.

Matematiklärare, Alexander Kolpakov

Sats. I varje parallellepiped är motsatta ytor lika och parallella.

Sålunda är ytorna (Fig.) BB 1 C 1 C och AA 1 D 1 D parallella, eftersom två skärande linjer BB 1 och B 1 C 1 på en yta är parallella med två skärande linjer AA 1 och A 1 D 1 av den andra. Dessa ytor är lika, eftersom B 1 C 1 =A 1 D 1, B 1 B=A 1 A (som motsatta sidor av parallellogram) och ∠BB 1 C 1 = ∠AA 1 D 1.

Sats. I vilken parallellepiped som helst, skär alla fyra diagonalerna vid en punkt och är delade i den.

Låt oss ta (fig.) några två diagonaler i parallellepipeden, till exempel AC 1 och DB 1, och rita räta linjer AB 1 och DC 1.

Eftersom kanterna AD och B 1 C 1 är lika och parallella med kanten BC, så är de lika och parallella med varandra.

Som ett resultat är figuren ADC 1 B 1 ett parallellogram där C 1 A och DB 1 är diagonaler, och i ett parallellogram skär diagonalerna på mitten.

Detta bevis kan upprepas för varannan diagonal.

Därför skär diagonalen AC 1 BD 1 på mitten, diagonalen BD 1 skär A 1 C på mitten.

Således skär alla diagonaler på mitten och därför vid en punkt.

Sats. I en rektangulär parallellepiped är kvadraten på en diagonal lika med summan av kvadraterna av dess tre dimensioner.

Låt (fig.) AC 1 vara någon diagonal av en rektangulär parallellepiped.

Om vi ritar AC får vi två trianglar: AC 1 C och ACB. Båda är rektangulära:

den första eftersom parallellepipeden är rak, och därför är kanten CC 1 vinkelrät mot basen,

den andra eftersom parallellepipeden är rektangulär, vilket betyder att det finns en rektangel vid dess bas.

Från dessa trianglar finner vi:

AC 2 1 = AC 2 + CC 2 1 och AC 2 = AB 2 + BC 2

Därför är AC 2 1 = AB 2 + BC 2 + CC 2 1 = AB 2 + AD 2 + AA 2 1

Följd. I en rektangulär parallellepiped är alla diagonaler lika.

eller (motsvarande) en polyeder med sex ytor som är parallellogram. Sexhörning.

De parallellogram som utgör en parallellepiped är kanter av denna parallellepiped är sidorna av dessa parallellogram kanterna på en parallellepiped, och hörnen av parallellogram är toppar parallellepiped. I en parallellepiped är varje ansikte parallellogram.

Som regel identifieras och anropas vilka två motsatta ansikten som helst parallellepipedens baser, och de återstående ansiktena - parallellepipedens sidoytor. Kanterna på parallellepipeden som inte hör till baserna är laterala revben.

2 ytor av en parallellepiped som har en gemensam kant är intilliggande, och de som inte har gemensamma kanter - motsatt.

Ett segment som förbinder 2 hörn som inte hör till 1:a ytan är parallellepiped diagonal.

Längden på kanterna på en rektangulär parallellepiped som inte är parallella är linjära dimensioner (mätningar) parallellepiped. En rektangulär parallellepiped har 3 linjära dimensioner.

Typer av parallellepiped.

Det finns flera typer av parallellepipeder:

Direktär en parallellepiped med en kant vinkelrät mot basens plan.

En rektangulär parallellepiped där alla tre dimensionerna är lika kub. Var och en av kubens ytor är lika rutor .

Vilken parallellepiped som helst. Volymen och förhållandena i en lutande parallellepiped bestäms huvudsakligen med hjälp av vektoralgebra. Volymen av en parallellepiped är lika med det absoluta värdet av den blandade produkten av 3 vektorer, som bestäms av de 3 sidorna av parallellepipeden (som kommer från samma vertex). Förhållandet mellan längderna på parallellepipedens sidor och vinklarna mellan dem visar påståendet att Gram-determinanten för de givna 3 vektorerna är lika med kvadraten på deras blandade produkt.

Egenskaper hos en parallellepiped.

Parallepipeden är symmetrisk omkring mitten av sin diagonal.
Varje segment med ändar som hör till ytan på en parallellepiped och som passerar genom mitten av dess diagonal delas av det i två lika delar. Alla diagonaler av parallellepipeden skär varandra vid den första punkten och delas av den i två lika delar.
De motsatta ytorna av parallellepipeden är parallella och har lika stora dimensioner.
Kvadraten på längden på diagonalen för en rektangulär parallellepiped är lika med