Hur man löser indikativa ojämlikheter exempel med en lösning. Vägledande ekvationer och ojämlikheter

Där rollen av $ b $ kan vara ett vanligt nummer, och kanske något annat. Exempel? Ja tack:

\\ [\\ Börja (justera) & ((2) ^ (x)) \\ gt 4; \\ quad ((2) ^ (x - 1)) \\ le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)); \\ Quad ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ lt 16; \\\\ & ((0,1) ^ (1-x)) \\ lt 0,01; \\ quad (2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt (4) ^ (\\ frac (4) ( X))). \\\\\\ slutet (justera) \\]

Jag tror att meningen är tydlig: det finns en vägledande funktion $ ((a) ^ (x)) $, jämfört med något, och sedan bad om att hitta $ x $. I synnerhet kliniska fall, i stället för en variabel $ X $, fungerar en viss funktion $ f \\ vänster (x \\ höger) $ och därigenom bli lite ojämlikhet. :)

Naturligtvis kan i vissa fall ojämlikhet se mer svår. Till exempel:

\\ [((9) ^ (x)) + 8 \\ gt (3) ^ (x + 2)) \\]

Eller ens här:

I allmänhet kan komplexiteten i sådana ojämlikheter vara de mest annorlunda, men i slutändan reduceras de fortfarande till en enkel design av $ ((a) ^ (x)) \\ gt b $. Och med en sådan design förstår vi på något sätt (i synnerhet kliniska fall, när ingenting kommer i åtanke, kommer logaritmer att hjälpa oss). Därför kommer vi nu att nämna sådana enkla mönster.

Lösningen av de enklaste demonstrationens ojämlikhet

Tänk på något ganska enkelt. Till exempel är detta:

\\ [((2) ^ (x)) \\ gt 4 \\]

Självklart kan numret på höger omskrivas i form av en grad av två: $ 4 \u003d ((2) ^ (2)) $. Således kommer den ursprungliga ojämlikheten att skriva om i en mycket bekväm form:

\\ [((2) ^ (x)) \\ gt ((2) ^ (2)) \\]

Och nu kommer händerna att skrapa "korsa" de två som står på grund av grader för att få svaret $ X \\ GT $ 2. Men innan det ska fuska där, låt oss komma ihåg graderna:

\\ [((2) ^ (1)) \u003d 2; \\ quad (((2) ^ (2)) \u003d 4; \\ quad ((2) ^ (3)) \u003d 8; \\ quad ((2) ^ (4)) \u003d 16; ... \\]

Som vi ser är det större antalet i en indikator i den utsträckning, ju mer numret vid utgången. "Tack, Cap!" - utropa någon från lärjungarna. Är det annorlunda? Tyvärr händer det. Till exempel:

\\ [((\\ vänster (\\ frac (1) (2) \\ höger)) ^ (1)) \u003d \\ frac (1) (2); \\ quad ((\\ left (\\ frac (1) (2) \\ Höger)) ^ (2)) \u003d \\ frac (1) (4); \\ quad ((\\ vänster (\\ frac (1) (2) \\ höger)) ^ (3)) \u003d \\ frac (1) (8 ); ... \\]

Även här är allt logiskt: Ju mer grad desto mer är antalet 0,5 multiplicerat av sig själv (det vill säga det är uppdelat i hälften). Således minskar den resulterande sekvensen av tal, och skillnaden mellan den första och den andra sekvensen består endast vid basen:

• Om basen av graden $ A \\ GT $ 1, då som indikatorn växer på $ n $ numr $ ((a) ^ (n)) kommer också att växa;
• Och tvärtom, om $ 0 \\ LT A \\ LT $ 1 $, som indikatorn växer på $ n $ numr $ ((a) ^ (n)) kommer att minska.

Sammanfattar dessa fakta, vi får det viktigaste uttalandet som allt är baserat vägledande ojämlikheter:

Om $ a \\ GT $ 1, då är ojämlikheten $ ((a) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) motsvarande motsvarande ojämlikhet på $ x \\ gt n $. Om $ 0 \\ LT A \\ LT 1 $, då är ojämlikheten $ ((a) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) $ motsvarar ojämlikheten på $ x \\ lt n $.

Med andra ord, om grunden är större än enheten, kan den helt enkelt tas bort - tecknet på ojämlikhet kommer inte att förändras. Och om basen är mindre än en, kan den också avlägsnas, men samtidigt måste du ändra tecken på ojämlikhet.

Observera: Vi ansåg inte alternativen $ a \u003d 1 $ och $ a \\ le 0 $. Eftersom i dessa fall uppstår osäkerhet. Antag hur man löser ojämlikheten av typen $ ((1) ^ (x)) \\ gt $ 3? Enheten i vilken utsträckning som helst kommer att ge en enhet igen - vi kommer aldrig att få en trippel eller mer. De där. Det finns inga lösningar.

Med negativa skäl är det fortfarande mer intressant. Tänk på exemplet här så ojämlikhet:

\\ [((\\ vänster (-2 \\ höger)) ^ (x)) \\ gt 4 \\]

Vid första anblicken är allt enkelt:

Rätt? Och här är det inte! Det är nog att ersätta istället för $ X $ ett par färdiga och ett par udda nummer för att se till att beslutet är felaktigt. Ta en titt:

\\ [\\ BEGIN (Justera) & x \u003d 4 \\ Sightarrow ((\\ vänster (-2 \\ höger)) ^ (4)) \u003d 16 \\ gt 4; \\\\ & x \u003d 5 \\ rightrow ((\\ vänster (-2 \\ höger)) ^ (5)) \u003d - 32 \\ lt 4; \\\\ & x \u003d 6 \\ righarrow ((\\ vänster (-2 \\ höger)) ^ (6)) \u003d 64 \\ gt 4; \\\\ & x \u003d 7 \\ rightrow ((\\ vänster (-2 \\ höger)) ^ (7)) \u003d - 128 \\ lt 4. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Som du kan se, skriver tecken alternativ. Men det finns mer fraktionerade grader och andra tenn. Hur, till exempel, för att räkna $ ((\\ vänster (-2 \\ höger)) ^ (\\ sqrt (7))) $ (minus två gånger i graden av roten på sju)? Ja, ingenting!

Därför antas det för säkerställande att det i alla vägledande ojämlikhet (och ekvationer, förresten också) $ 1 \\ NE A \\ GT 0 $. Och då är allt löst mycket enkelt:

\\ [(a) ^ (n)) \\ gt (a) ^ (n)) \\ rightarrow \\ vänster [\\ inbegripa (justera) & x \\ gt n \\ quad \\ left (a \\ gt 1 \\ höger), \\\\ & X \\ lt n \\ quad \\ left (0 \\ lt a \\ lt 1 \\ höger). \\\\\\ slutet (justera) \\ höger. \\]

I allmänhet kommer återigen att komma ihåg huvudregeln: om grunden i den vägledande ekvationen är större än en, kan den helt enkelt avlägsnas. Och om basen är mindre än en, kan den också avlägsnas, men tecknet på ojämlikhet kommer att förändras.

Exempel på lösningar

Så, överväga några enkla demonstrationslivar:

\\ [\\ Börja (justera) & ((2) ^ (x - 1)) \\ Le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)); \\\\ & ((0,1) ^ (1-x)) \\ lt 0,01; \\\\ & (2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ lt 16; \\\\ & ((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ Ge \\ frac (1) (25). \\\\\\ slutet (justera) \\]

Den primära uppgiften i alla fall är densamma: att minska ojämlikhet till den enklaste typen av $ ((a) ^ (x)) \\ gt (a) ^ (n)) $. Det är vad vi nu gör med varje ojämlikhet, och samtidigt upprepar vi gradernas egenskaper och den vägledande funktionen. Låt oss gå!

\\ [((2) ^ (x - 1)) \\ le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)) \\]

Vad kan jag göra här? Tja, till vänster har vi ett demonstrationsuttryck, det är inte nödvändigt att ändra någonting. Men till höger finns det någon form av skit: fraktionen, och även i denominatorroten!

Låt oss dock komma ihåg reglerna för att arbeta med fraktioner och grader:

\\ [\\ inbegripa (justera) & \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \u003d ((a) ^ (- n)); \\\\ sqrt [k] (a) \u003d ((a) ^ (\\ frac (1) (k))). \\\\\\ slutet (justera) \\]

Vad betyder det? Först kan vi enkelt bli av med fraktionen, vilket gör det till en grad med en negativ indikator. Och för det andra, eftersom roten står i denominatorn, skulle det vara trevligt att göra det till en examen - den här gången med en fraktionerad indikator.

Applicera dessa åtgärder konsekvent till höger om ojämlikhet och se vad som händer:

\\ [\\ Frac (1) (\\ sqrt (2)) \u003d ((\\ vänster (\\ sqrt (2) \\ höger)) ^ (- 1)) \u003d ((\\ vänster (((2) ^ (\\ frac ( 1) (3))) \\ höger)) ^ (- 1)) \u003d ((2) ^ (\\ frac (1) (3) \\ cdot \\ vänster (-1 \\ höger))) \u003d ((2) ^ (- \\ frac (1) (3))) \\]

Glöm inte att när det uppstår graden i graden av indikatorer på dessa grader lägger upp. I allmänhet, när man arbetar med vägledande ekvationer och ojämlikheter, är det absolut nödvändigt att veta åtminstone de enklaste reglerna för att arbeta med grader:

\\ [\\ inbegripa (justera) & ((a) ^ (x)) \\ cdot ((a) ^ (y)) \u003d ((a) ^ (x + y)); \\\\ \\ frac (((a) ^ (x))) (((a) ^ (y))) \u003d ((a) ^ (x-y)); \\\\ & ((\\ vänster ((((a) ^ (x)) \\ höger)) ^ (y)) \u003d ((a) ^ (x \\ cdot y)). \\\\\\ slutet (justera) \\]

Faktum är att den sista regeln vi just tillämpade. Därför kommer vår första ojämlikhet att omskrivas enligt följande:

\\ [((2) ^ (x - 1)) \\ le \\ frac (1) (\\ sqrt (2)) \\ righarrow ((2) ^ (x - 1)) \\ le ((2) ^ (- \\ le ((2) ^ (- \\ Frac (1) (3))) \\]

Bli nu av med två på basen. Sedan 2\u003e 1 kommer ojämlikheten att förbli densamma:

\\ [\\ BEGIN (Justera) & X-1 \\ LE - \\ FRAC (1) (3) \\ FighterArrow X \\ le 1- \\ frac (1) (3) \u003d \\ frac (2) (3); \\\\ & x \\ in \\ left (- \\ infty; \\ frac (2) (3) \\ höger]. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Det är allt beslut! Huvudsvårigheten är inte alls i konsekvensfunktionen, men i den kompetenta omvandlingen av det ursprungliga uttrycket: Du måste noga och maximera den för att få det till det enklaste sinnet.

Tänk på den andra ojämlikheten:

\\ [((0,1) ^ (1-x)) \\ lt 0.01 \\]

Så så. Här väntar vi på decimalfraktioner. Som jag redan har talat många gånger, i alla uttryck med grader, bör du bli av med decimalfraktioner - det är ofta möjligt att se en snabb och enkel lösning. Så vi kommer att bli av med:

\\ [\\ Börja (justera) och 0,1 \u003d \\ frac (1) (10); \\ Quad 0,01 \u003d \\ frac (1) (100) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (1) (10) \\ höger) ) ^ (2)); \\\\ & ((0,1) ^ (1-x)) \\ lt 0,01 \\ righarrow ((\\ vänster (\\ frac (1) (10) \\ höger)) ^ (1-x)) \\ lt ((\\ vänster ( \\ Frac (1) (10) \\ höger)) ^ (2)). \\\\\\ slutet (justera) \\]

Vi har nyligen den enklaste ojämlikheten, och även med grunden av 1/10, d.v.s. Lilla enheter. Tja, vi tar bort grunden, som passerar tecknet med "mindre" till "mer", och vi får:

\\ [\\ inbegripa (justera) och 1-x \\ gt 2; \\\\ & -x \\ gt 2-1; \\\\ & -x \\ gt 1; \\\\ & x \\ lt -1. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Mottagna det slutliga svaret: $ X \\ In \\ Left (- \\ Infty; -1 \\ höger) $. Observera: svaret är exakt en uppsättning, och i inget fall utformningen av $ X \\ LT-1 $. Eftersom formellt en sådan design inte är mycket, och ojämlikhet i förhållande till $ X $ -variabeln. Ja, det är väldigt enkelt, men det här är inte ett svar!

Viktig notering. Denna ojämlikhet kunde lösas på ett annat sätt - genom att föra båda delarna i examen med basen, den stora enheten. Ta en titt:

\\ [\\ Frac (1) (10) \u003d (((10) ^ (- 1)) \\ Sightarrow ((\\ vänster (((10) ^ (- 1)) \\ höger)) ^ (1-x)) \\ Lt ((\\ vänster (((10) ^ (- 1)) \\ höger)) ^ (2)) \\ righarrow ((10) ^ (- 1 \\ cdot \\ vänster (1-x \\ höger))) \\ LT (10) ^ (- 1 \\ cdot 2)) \\]

Efter en sådan omvandling får vi igen en demonstrativ ojämlikhet, men med basen 10\u003e 1. Och det betyder att du helt enkelt kan korsa topp tio - tecknet på ojämlikhet kommer inte att förändras. Vi får:

\\ [\\ inbegripa (justera) & -1 \\ cdot \\ vänster (1-x \\ höger) \\ lt -1 \\ cdot 2; \\\\ & x-1 \\ lt -2; \\\\ & x \\ lt -2 + 1 \u003d -1; \\\\ & x \\ lt -1. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Som du kan se visade svaret vara detsamma. Samtidigt räddade vi dig från behovet av att ändra tecknet och i allmänhet komma ihåg några regler där. :)

\\ [((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ lt 16 \\]

Låt det bli rädda. Så att inte heller är i indikatorerna, är tekniken för att lösa ojämlikheten i sig densamma. Därför noterar vi till att börja med den 16 \u003d 2 4. Jag skriver om den ursprungliga ojämlikheten, med beaktande av detta faktum:

\\ [\\ Börja (justera) & ((2) ^ (((x) ^ (2)) - 7x + 14)) \\ lt (2) ^ (4)); \\\\ & (x) ^ (2)) - 7x + 14 \\ lt 4; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 7x + 10 \\ lt 0. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Hurra! Vi fick den vanliga kvadratiska ojämlikheten! Tecknet har inte förändrats var som helst, eftersom det på basen är ett två gånger - ett antal, fler enheter.

Nollfunktioner på en numerisk direkt

Vi ställer in tecknen på funktionen $ f \\ vänster (x \\ höger) \u003d ((x) ^ (2)) - 7x + $ 10 - det är uppenbart att det blir en parabol med grenar upp, så det kommer att bli "pluses" . Vi är intresserade av det område där funktionen är mindre än noll, d.v.s. $ X \\ in \\ vänster (2; 5 \\ höger) $ är svaret på den ursprungliga uppgiften.

Slutligen, överväga en annan ojämlikhet:

\\ [((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ ge \\ frac (1) (25) \\]

Igen ser du vägledande funktion Med en decimalfraktion vid basen. Överför denna fraktion till vanlig:

\\ [\\ Börja (justera) & 0,2 \u003d \\ frac (2) (10) \u003d \\ frac (1) (5) \u003d ((5) ^ (- 1)) \\ righarrow \\\\ & \\ righarrow ((0, 2 ) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \u003d ((\\ vänster ((((5) ^ (- 1)) \\ höger)) ^ (1 + (((x) ^ (2) ))) \u003d ((5) ^ (- 1 \\ cdot \\ vänster (1 + ((x) ^ (2)) \\ höger)) \\ slutet (justera) \\]

I det här fallet utnyttjade vi de tidigare givna anmärkningarna - basen reducerades till nummer 5\u003e 1 för att förenkla det ytterligare beslutet. På samma sätt och med den rätta delen:

\\ [\\ Frac (1) (25) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (1) (5) \\ höger)) ^ (2)) \u003d ((\\ vänster (((5) ^ (- 1)) \\ Höger)) ^ (2)) \u003d ((5) ^ (- 1 \\ cdot 2)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]

Jag skriver om den ursprungliga ojämlikheten, med beaktande av båda omvandlingarna:

\\ [((((0,2) ^ (1 + ((x) ^ (2)))) \\ Ge \\ frac (1) (25) \\ Sightarrow ((5) ^ (- 1 \\ cdot \\ vänster (1+ ( (x) ^ (2)) \\ höger))) \\ GE ((5) ^ (- 2)) \\]

Baserna på båda sidor är desamma och överlägsna en. Det finns inga andra villkor till höger och till vänster, så de "stramar" fem och får ett enkelt uttryck:

\\ [\\ inbegripa (justera) & -1 \\ cdot \\ vänster (1 + (x) ^ (2)) \\ höger) \\ ge -2; \\\\ & -1 - ((x) ^ (2)) \\ GE -2; \\\\ & - ((x) ^ (2)) \\ ge -2 + 1; \\\\ & - ((x) ^ (2)) \\ ge -1; \\ quad \\ left | \\ Cdot \\ vänster (-1 \\ höger) \\ höger. \\\\ & ((x) ^ (2)) \\ le 1. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Här är det nödvändigt att vara försiktig. Många elever älskar bara extrahera roten ur deras båda delarna av ojämlikheten och skriva något i andan på $ X \\ Le 1 \\ FighterArrow X \\ In \\ Lever (- \\ Infty; -1 \\ Right] $. För att göra detta i inget fall, eftersom roten till den exakta Kvadrat är modul, och i inget fall är inte den ursprungliga variabeln:

\\ [\\ Sqrt (((x) ^ (2))) \u003d \\ vänster | X \\ höger | \\]

Att arbeta med moduler är dock inte det trevligaste ockupationen, eller hur? Så vi kommer inte att fungera. Och i stället flyttar vi helt enkelt alla villkor till vänster och löser den vanliga ojämlikheten av intervaller:

$ \\ Börja (justera) & ((x) ^ (2)) - 1 \\ le 0; \\\\ \\ \\ vänster (x-1 \\ höger) \\ Lever (x + 1 \\ höger) \\ le 0 \\\\ \\ (x) _ (1)) \u003d 1; \\ quad (x) _ (2)) \u003d -1; \\\\\\ slutet (justera) $

Vi noterar igen de punkter som erhållits på den numeriska raka och titta på tecknen:

Eftersom vi löst den otroliga ojämlikheten, är alla punkter på grafen målade. Därför kommer svaret att vara så här: $ X \\ In \\ Left [-1; 1 \\ Right] $ - inte intervallet, nämligen segmentet.

I allmänhet vill jag märka att det inte finns något komplicerat i de vägledande ojämlikheterna. Betydelsen av alla omvandlingar som vi utförde idag reduceras till en enkel algoritm:

• Hitta den bas som vi kommer att lösa alla grader;
• Utför försiktigt omvandlingen så att ojämlikheten av typen $ ((a) ^ (x)) \\ gt ((a) ^ (n)) är erhållen. Naturligtvis, istället för variabler $ X $ och $ n $ kan stå mycket mer komplexa funktionerMen meningen med detta kommer inte att förändras;
• Slå grunden för grader. Samtidigt kan tecken på ojämlikhet förändras om basen är $ A \\ LT $ 1.

I huvudsak, detta universal algoritm Lösningar av alla sådana ojämlikheter. Och allt du kommer att berätta om detta ämne - endast specifika tekniker och tricks, vilket gör det möjligt att förenkla och påskynda omvandlingen. Här kommer vi att prata om en av dessa tekniker. :)

Rationaliseringsmetod

Tänk på en annan sats ojämlikhet:

\\ [\\ inbegripa (justera) & ((\\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text ()) ^ (x + 7)) \\ gt ((\\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)); \\\\ & ((\\ vänster (2 \\ sqrt (3) -3 \\ höger)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \\ lt 1; \\\\ & ((\\ vänster (\\ frac (1) (3) \\ höger)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \\ gt ((\\ vänster (\\ frac (1) (9) \\ Höger)) ^ (16-x)); \\\\ & ((\\ vänster (3-2 \\ sqrt (2) \\ höger)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \\ lt 1. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Så vad är så speciellt om dem? De är lungor. Även om, sluta! Numret π är uppbyggd i någon grad? Vilket nonsens?

Och hur man bygger ett antal $ 2 \\ sqrt (3) -3 $? Eller $ 3-2 \\ sqrt (2) $? Utmaningarna kämpade uppenbarligen "Hawthorn" innan du satt för arbete. :)

Faktum är att inget hemskt i dessa uppgifter. Låt mig påminna dig: En vägledande funktion kallas uttrycket av typen $ ((a) ^ (x)) $, där basen $ a $ är något positivt tal, förutom enheten. Numret π positivt är vi också. Numbers $ 2 \\ SQRT (3) -3 $ och $ 3-2 \\ SQRT (2) $ är också positiva - det är lätt att se till om du jämför dem med noll.

Det visar sig att alla dessa "skrämmande" ojämlikheter inte skiljer sig från det enkla, diskuterade ovan? Och löses på samma sätt? Ja, ganska höger. Men på deras exempel skulle jag vilja överväga en mottagning som sparar tid till självständigt arbete och tentor. Det handlar om rationaliseringsmetoden. Så, uppmärksamhet:

Eventuell vägledande ojämlikhet av typen $ ((a) ^ (x)) \\ gt (a) ^ (n)) $ motsvarar ojämlikheten på $ \\ vänster (xn \\ höger) \\ cdot \\ vänster (A-1 \\ Höger) \\ gt 0 $.

Det är hela metoden. :) Och du trodde att det skulle finnas något annat spel? Ingenting så här! Men det här enkla faktum registrerades bokstavligen i en rad kommer att förenkla oss mycket arbete. Ta en titt:

\\ [\\ BEGIN (Matrix) ((\\ Text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text ()) ^ (x + 7)) \\ gt ((\\ text () \\! \\! \\ pi \\ ! \\! \\ Text ()) ^ (((x) ^ (2)) - 3x + 2)) \\\\ \\ downarrow \\\\ \\\\ vänster (x + 7- \\ vänster (((x) ^ (2)) -3x + 2 \\ höger) \\ höger) \\ cdot \\ vänster (\\ text () \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ Text () -1 \\ höger) \\ gt 0 \\\\\\ slutet (matris) \\]

Så inga mer vägledande funktioner! Och kom inte ihåg: Tecknet ändras eller inte. Men uppstår nytt problem: Vad ska man göra med fällfaktorn \\ [\\ vänster (\\ text () \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ Text () -1 \\ höger) \\]? Vi vet inte vad som är lika med det exakta värdet av numret π. Kaptenen är dock uppenbart som det tipsar:

\\ [\\ Text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text () \\ ca 3,14 ... \\ gt 3 \\ sagarrow \\ text () \\! \\! \\ pi \\! \\! \\ text ( ) -1 \\ gt 3-1 \u003d 2 \\]

I allmänhet är det exakta värdet av π särskilt annorlunda, och inte om det inte är om det bara är viktigt för oss att förstå det i alla fall $ \\ text () \\! \\! \\ Pi \\! \\! \\ Text () -1 \\ gt $ 2, t .. Detta är en positiv konstant, och vi kan dela både en del av ojämlikhet på den:

\\ [\\ BEGIN (Justera) \\ vänster (x + 7- \\ vänster (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ höger) \\ höger) \\ cdot \\ vänster (\\ text () \\! \\! \\ Pi \\! \\ \\ Text () -1 \\ höger) \\ gt 0 \\\\ & x + 7- \\ vänster (((x) ^ (2)) - 3x + 2 \\ höger) \\ gt 0; \\\\ & x + 7 - ((x) ^ (2)) + 3x-2 \\ gt 0; \\\\ & - ((x) ^ (2)) + 4x + 5 \\ gt 0; \\ quad \\ left | \\ Cdot \\ vänster (-1 \\ höger) \\ höger. \\\\ & ((x) ^ (2)) - 4x-5 \\ lt 0; \\\\ & \\ vänster (x-5 \\ höger) \\ vänster (x + 1 \\ höger) \\ lt 0. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Som du kan se, vid en viss punkt, var jag tvungen att dela upp enheten på minus - samtidigt ändrades tecknet på ojämlikhet. I slutändan sönderdelade jag torget Triple på Vieta-teoremet - det är uppenbart att rötterna är lika med $ ((x) _ (1)) \u003d 5 $ och $ ((x) _ (2)) \u003d - $ 1. Vidare löses allt med en klassisk intervallmetod:

Alla punkter uppskattar, eftersom den ursprungliga ojämlikheten är strikt. Vi är intresserade av ett område med negativa värden, så svaret är: $ x \\ in \\ vänster (-1; 5 \\ höger) $. Det är hela lösningen. :)

Låt oss vända oss till nästa uppgift:

\\ [((\\ vänster (2 \\ sqrt (3) -3 \\ höger)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \\ lt 1 \\]

Här är allt enkelt, eftersom rätten är värt enheten. Och vi kommer ihåg att enheten är ett nummer till noll. Även om detta nummer är ett irrationellt uttryck, står du längst ner på vänster:

\\ [\\ inbegripa (justera) & ((\\ vänster (2 \\ sqrt (3) -3 \\ höger)) ^ ((((x) ^ (2)) - 2x)) \\ lt 1 \u003d ((\\ vänster ( 2 \\ sqrt (3) -3 \\ höger)) ^ (0)); \\\\ \\ (\\ vänster (2 \\ sqrt (3) -3 \\ höger)) ^ (((x) ^ (2)) - 2x)) \\ lt ((\\ vänster (2 \\ sqrt (3) -3 \\ Höger)) ^ (0)); \\\\\\ slutet (justera) \\]

Tja, vi utför rationalisering:

\\ [\\ Börja (justera) \\ vänster (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ höger) \\ cdot \\ vänster (2 \\ sqrt (3) -3-1 \\ höger) \\ lt 0; \\\\ \\ \\ vänster (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ höger) \\ cdot \\ vänster (2 \\ sqrt (3) -4 \\ höger) \\ lt 0; \\\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ (2)) - 2x-0 \\ höger) \\ cdot 2 \\ vänster (\\ sqrt (3) -2 \\ höger) \\ lt 0. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Det är bara att hantera tecken. $ 2 \\ vänster multiplikator (\\ sqrt (3) -2 \\ höger) $ innehåller inte en variabel $ X $ är bara en konstant, och vi måste räkna ut sitt tecken. För att göra detta noterar vi följande:

\\ [\\ BEGIN (MATRIX) \\ sqrt (3) \\ lt \\ sqrt (4) \u003d 2 \\\\ \\ d downarrow \\\\ 2 \\ vänster (\\ sqrt (3) -2 \\ höger) \\ lt 2 \\ cdot \\ vänster (2 -2 \\ höger) \u003d 0 \\\\\\ slutet (matris) \\]

Det visar sig att den andra faktorn inte bara är en konstant, men en negativ konstant! Och när man delar upp det, kommer tecknet på den ursprungliga ojämlikheten att förändras till motsatsen:

\\ [\\ Börja (justera) \\ vänster (((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ höger) \\ cdot 2 \\ vänster (\\ sqrt (3) -2 \\ höger) \\ lt 0; \\\\ & ((x) ^ (2)) - 2x-0 \\ gt 0; \\\\ & x \\ vänster (x-2 \\ höger) \\ gt 0. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Nu blir allt helt uppenbart. Tricksens rötter, som står till höger: $ ((x) _ (1)) \u003d 0 $ och $ ((x) _ (2)) \u003d $ 2. Vi noterar dem på en numerisk rak och se tecken på funktionen $ f \\ vänster (x \\ höger) \u003d x \\ vänster (x-2 \\ höger) $:

Vi är intresserade av de intervall som är markerade av "plus" -tecknet. Det är bara att skriva ut svaret:

Gå till följande exempel:

\\ [((\\ vänster (\\ frac (1) (3) \\ höger)) ^ (((x) ^ (2)) + 2x)) \\ gt ((\\ vänster (\\ frac (1) (9) \\ Höger)) ^ (16-x)) \\]

Tja, allt är helt uppenbart här: På grunden finns det grad av samma nummer. Därför kommer jag skriva allt kort:

\\ [\\ Börja (matris) \\ frac (1) (3) \u003d (3) ^ (- 1)); \\ Quad \\ frac (1) (9) \u003d \\ frac (1) (((3) ^ ( 2))) \u003d ((3) ^ (- 2)) \\\\ \\ downarrow \\\\ ((\\ vänster (((3) ^ (- 1)) \\ höger)) ^ (((x) ^ (2) ) + 2x)) \\ gt ((\\ vänster (((3) ^ (- 2)) \\ höger)) ^ (16-x)) \\\\\\ slutet (matris) \\]

\\ [\\ Börja (justera) & ((3) ^ (- 1 \\ cdot \\ vänster (((x) ^ (2)) + 2x \\ höger))) \\ gt (3) ^ (- 2 \\ cdot \\ vänster (16-x \\ höger))); \\\\ & ((3) ^ (- ((x) ^ (2)) - 2x)) \\ GT (3) ^ (- 32 + 2x)); \\\\ \\ vänster (- ((x) ^ (2)) - 2x- \\ vänster (-32 + 2x \\ höger) \\ höger) \\ cdot \\ vänster (3-1 \\ höger) \\ gt 0; \\\\ & - ((x) ^ (2)) - 2x + 32-2x \\ gt 0; \\\\ & - ((x) ^ (2)) - 4x + 32 \\ gt 0; \\ quad \\ left | \\ Cdot \\ vänster (-1 \\ höger) \\ höger. \\\\ & ((x) ^ (2)) + 4x-32 \\ lt 0; \\\\ & \\ vänster (x + 8 \\ höger) \\ vänster (x-4 \\ höger) \\ lt 0. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Som du kan se, i färd med omvandlingar, var jag tvungen att multiplicera ett negativt tal, så jag ändrade tecknet på ojämlikhet. I slutet använde jag Teoremen till Vieta för att sönderdelas på multiplikatorerna på torget. Som ett resultat kommer svaret att vara följande: $ X \\ In \\ Left (-8; 4 \\ höger) $ - de som vill se till att genom att dra en numerisk direkt, notera punkten och räkna tecken. Och under tiden kommer vi att vända oss till den sista ojämlikheten från vår "set":

\\ [((\\ vänster (3-2 \\ sqrt (2) \\ höger)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \\ lt 1 \\]

Som du kan se, längst ner finns det igen irrationellt talOch på höger igen finns en enhet. Därför skriver vi om vår vägledande ojämlikhet enligt följande:

\\ [((\\ vänster (3-2 \\ sqrt (2) \\ höger)) ^ (3x - ((x) ^ (2)))) \\ lt ((\\ vänster (3-2 \\ sqrt (2) \\ Höger)) ^ (0)) \\]

Vi tillämpar rationalisering:

\\ [\\ BEGIN (Justera) \\ vänster (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ höger) \\ cdot \\ vänster (3-2 \\ sqrt (2) -1 \\ höger) \\ lt 0; \\\\ \\ vänster (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ höger) \\ cdot \\ vänster (2-2 \\ sqrt (2) \\ höger) \\ lt 0; \\\\ \\ vänster (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ höger) \\ cdot 2 \\ vänster (1- \\ sqrt (2) \\ höger) \\ lt 0. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Det är dock ganska uppenbart att $ 1- \\ sqrt (2) \\ lt 0 $, sedan $ \\ sqrt (2) \\ ca 1,4 ... \\ gt $ 1. Därför är den andra faktorn en ny negativ konstant för vilken både del av ojämlikhet kan delas:

\\ [\\ BEGIN (matris) \\ vänster (3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ höger) \\ cdot 2 \\ vänster (1- \\ sqrt (2) \\ höger) \\ lt 0 \\\\ \\ downarrow \\ \\\\ slutet (matris) \\]

\\ [\\ Börja (justera) & 3x - ((x) ^ (2)) - 0 \\ gt 0; \\\\ & 3x - ((x) ^ (2)) \\ gt 0; \\ quad \\ left | \\ Cdot \\ vänster (-1 \\ höger) \\ höger. \\\\ & ((x) ^ (2)) - 3x \\ lt 0; \\\\ & x \\ left (x-3 \\ höger) \\ lt 0. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Övergång till en annan bas

Ett separat problem med att lösa vägledande ojämlikhet är sökandet efter "korrekt" bas. Tyvärr, inte alltid när jag först tittar på uppgiften, är det uppenbart att man tar för grunden och vad man ska göra graden av denna grund.

Men oroa dig inte: det finns ingen magi och "hemlig" teknik. I matematik kan någon färdighet, som inte kan algoritmiseras, enkelt utvecklas genom praktiken. Men för detta måste det lösa problem av olika nivåer svårigheter. Till exempel är här:

\\ [\\ Börja (justera) & ((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt (4) ^ (\\ frac (4) (x))); \\\\ & ((\\ vänster (\\ frac (1) (3) \\ höger)) ^ (\\ frac (3) (x))) \\ GE ((3) ^ (2 + x)); \\\\ & ((\\ vänster (0.16 \\ höger)) ^ (1 + 2x)) \\ cdot ((\\ vänster (6.25 \\ höger)) ^ (x)) \\ ge 1; \\\\ & (\\ vänster (\\ frac (27) (\\ sqrt (3)) \\ höger)) ^ (- x)) \\ lt (9) ^ (4-2x)) \\ cdot 81. \\\\\\ Slutet (justera) \\]

Komplicerad? Skrämmande? Ja, det är lättare än kycklingen på asfalten! Låt oss försöka. Första ojämlikhet:

\\ [((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt (4) ^ (\\ frac (4) (x))) \\]

Tja, jag tror att allt är klart här:

Vi skriver om den ursprungliga ojämlikheten, vilket reducerar allt till "två" basen:

\\ [((2) ^ (\\ frac (x) (2))) \\ lt ((2) ^ (\\ frac (8) (x))) \\ sagarrow \\ vänster (\\ frac (x) (2) - \\ Frac (8) (x) \\ höger) \\ cdot \\ left (2-1 \\ höger) \\ lt 0 \\]

Ja, ja, du förstod allt: Jag applicerade precis den rationaliseringsmetod som beskrivits ovan. Nu måste du jobba noga: Vi hade en fraktionerad rationell ojämlikhet (det här är en sådan variabel i nämnaren), därför innan de motsvarar något till noll, är det nödvändigt att ta med allt till den allmänna nämnaren och bli av med den konstanta multiplikatorn.

\\ [\\ Börja (justera) & \\ vänster (\\ frac (x) (2) - \\ frac (8) (x) \\ höger) \\ cdot \\ vänster (2-1 \\ höger) \\ lt 0; \\\\ \\ vänster (\\ frac (((x) ^ (2)) - 16) (2x) \\ höger) \\ cdot 1 \\ lt 0; \\\\ \\ frac ((x) ^ (2)) - 16) (2x) \\ lt 0. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Använd nu standardmetod Intervaller. Nutrining Zeros: $ x \u003d \\ pm $ 4. Denominatorn hänvisar till noll endast på $ x \u003d 0 $. Totalt tre punkter som bör noteras på den numeriska raka linjen (alla punkter i Otkoloty, eftersom tecken på ojämlikhet är strikt). Vi får:

Eftersom det inte är svårt att gissa, noteras kläckningen de intervall som uttrycket på vänster tar negativa värden. Därför kommer det slutliga svaret att gå på en gång två intervaller:

Slutet av intervallen är inte som svar, eftersom den ursprungliga ojämlikheten var strikt. Inga ytterligare kontroller krävs av detta svar. I detta avseende är de vägledande ojämlikheterna mycket enklare än logaritmiska: det finns inga restriktioner etc.

Gå till nästa uppgift:

\\ [((\\ vänster (\\ frac (1) (3) \\ höger)) ^ (\\ frac (3) (x))) \\ GE ((3) ^ (2 + x)) \\]

Även här, inga problem, eftersom vi redan vet att $ \\ frac (1) (3) \u003d (((3) ^ (- 1)) $, så all ojämlikhet kan omskrivas så:

\\ [\\ inbegripa (justera) & ((\\ vänster (((3) ^ (- 1)) \\ höger)) ^ (\\ frac (3) (x))) \\ GE ((3) ^ (2 + x )) \\ Sightarrow ((3) ^ (- \\ frac (3) (x))) \\ GE ((3) ^ (2 + x)); \\\\ \\ \\ vänster (- \\ frac (3) (x) - \\ vänster (2 + x \\ höger) \\ höger) \\ cdot \\ vänster (3-1 \\ höger) \\ ge 0; \\\\ & \\ vänster (- \\ frac (3) (x) -2-x \\ höger) \\ cdot 2 \\ ge 0; \\ quad \\ left | : \\ Vänster (-2 \\ höger) \\ höger. \\\\ \\ frac (3) (x) + 2 + x \\ le 0; \\\\ \\ frac ((x) ^ (2)) + 2x + 3) (x) \\ le 0. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Observera: I den tredje raden bestämde jag mig för att inte bra och omedelbart dela upp allt på (-2). Den första konsolen passerade (nu finns det pluses överallt), och de två minskade med den konstanta faktorn. Så här är det nödvändigt att göra när du gör riktiga beräkningar för oberoende och testarbete - Det är inte nödvändigt att måla alla åtgärder och omvandling.

Vidare ingår den intervallmetod som är känd för oss. Zeros av siffran: och de är inte. Eftersom diskrimineringen kommer att vara negativ. I sin tur återställs denominatorn endast på $ X \u003d 0 $ - som sista gången. Tja, det är klart att till höger om $ X \u003d 0 $ kommer fraktionen att ta positiva värden, och vänster är negativ. Eftersom vi är intresserade exakt negativa värden, då det sista svaret: $ x \\ in \\ vänster (- \\ infty; 0 \\ höger) $.

\\ [((\\ vänster (0.16 \\ höger)) ^ (1 + 2x)) \\ cdot ((\\ vänster (6.25 \\ höger)) ^ (x)) \\ Ge 1 \\]

Och vad ska göras med decimalfraktioner i vägledande ojämlikhet? Höger: Bli av med dem, översätta till vanliga. Så vi kommer att överföra:

\\ [\\ Börja (justera) & 0.16 \u003d \\ frac (16) (100) \u003d \\ frac (4) (25) \\ righarrow ((\\ vänster (0.16 \\ höger)) ^ (1 + 2x)) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (4) (25) \\ höger)) ^ (1 + 2x)); \\\\ & 6,25 \u003d \\ frac (625) (100) \u003d \\ frac (25) (4) \\ rightrow ((\\ vänster (6.25 \\ höger)) ^ (x)) \u003d ((\\ vänster (\\ frac ( 25) (4) \\ höger)) ^ (x)). \\\\\\ slutet (justera) \\]

Så vad fick vi i skälen till de vägledande funktionerna? Och vi fick två ömsesidigt omvända nummer:

\\ [\\ Frac (25) (4) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (4) (25) \\ höger) ^ (- 1)) \\ Sightarrow ((\\ vänster (\\ frac (25) (4) \\ Höger)) ^ (x)) \u003d ((\\ vänster (((\\ vänster (\\ frac (4) (25) \\ höger)) ^ (- 1)) \\ höger)) ^ (x)) \u003d ((vänster (\\ Frac (4) (25) \\ höger)) ^ (- x)) \\]

Således kan den ursprungliga ojämlikheten omskrivas så:

\\ [\\ Börja (justera) & ((\\ vänster (\\ frac (4) (25) \\ höger)) ^ (1 + 2x)) \\ cdot ((\\ vänster (\\ frac (4) (25) \\ höger) ) ^ (- x)) \\ ge 1; \\\\ & ((\\ vänster (\\ frac (4) (25) \\ höger)) ^ (1 + 2x + \\ vänster (-X \\ höger))) \\ GE ((\\ vänster (\\ frac (4) (25 ) \\ Höger) ^ (0)); \\\\ \\ (\\ vänster (\\ frac (4) (25) \\ höger)) ^ (x + 1)) \\ GE ((\\ vänster (\\ frac (4) (25) \\ höger)) ^ (0)) . \\\\\\ slutet (justera) \\]

Naturligtvis, när de multiplicerar grader med samma bas, viks deras indikatorer, vilket hände i den andra raden. Dessutom presenterade vi en enhet som står till höger, även i form av en examen baserat på 4/25. Det är bara att uppfylla rationalisering:

\\ [(((\\ vänster (\\ frac (4) (25) \\ höger)) ^ (x + 1)) \\ Ge ((\\ vänster (\\ frac (4) (25) \\ höger)) ^ (0)) \\ SOTEARROW \\ vänster (x + 1-0 \\ höger) \\ cdot \\ vänster (\\ frac (4) (25) -1 \\ höger) \\ Ge 0 \\]

Observera att $ \\ frac (4) (25) -1 \u003d \\ frac (4-25) (25) \\ lt 0 $, dvs. Den andra faktorn är en negativ konstant, och när man delar det, kommer tecknet på ojämlikhet att förändras:

\\ [\\ BEGIN (Justera) & x + 1-0 \\ le 0 \\ rightarrow x \\ le -1; \\\\ & x \\ in \\ left (- \\ infty; -1 \\ höger]. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Slutligen, den sista ojämlikheten från det aktuella "kit":

\\ [((\\ vänster (\\ frac (27) (\\ sqrt (3)) \\ höger)) ^ (- x)) \\ lt (9) ^ (4-2x)) \\ cdot 81 \\]

I princip är tanken på lösningen här också tydlig: alla de vägledande funktioner som ingår i ojämlikheten måste minskas till grundval av "3". Men för detta måste man tinker med rötter och grader:

\\ [\\ Börja (justera) \\ frac (27) (\\ sqrt (3)) \u003d \\ frac (((3) ^ (3))) (((3) ^ (\\ frac (1) (3))) ) \u003d ((3) ^ (3- \\ frac (1) (3))) \u003d ((3) ^ (\\ frac (8) (3))); \\\\ & 9 \u003d ((3) ^ (2)); \\ quad 81 \u003d ((3) ^ (4)). \\\\\\ slutet (justera) \\]

Med hänsyn till dessa fakta kan den ursprungliga ojämlikheten omskrivas så:

\\ [\\ Börja (justera) & ((\\ vänster (((3) ^ (\\ frac (8) (3))) \\ höger)) ^ (- x)) \\ lt ((\\ vänster (((3) ^ (2)) \\ höger)) ^ (4-2x)) \\ cdot ((3) ^ (4)); \\\\ & ((3) ^ (- \\ frac (8x) (3))) \\ lt (3) ^ (8-4x)) \\ cdot ((3) ^ (4)); \\\\ & ((3) ^ (- \\ frac (8x) (3))) \\ lt (3) ^ (8-4x + 4)); \\\\ & (3) ^ (- \\ frac (8x) (3))) \\ lt (3) ^ (4-4x)). \\\\\\ slutet (justera) \\]

Var uppmärksam på 2: a och 3: e beräkningsraden: Innan du gör något med ojämlikhet, var noga med att ta det till samma sak som vi pratade från början av lektionen: $ ((a) ^ (x)) \\ lt ((a) ^ (n)) $. Så länge du har lämnat eller rätt, finns det några vänstra multiplikatorer, ytterligare konstanter, etc., ingen rationalisering och "slipning" anledning kan inte utföras! Otaliga uppgifter var felaktigt på grund av missförståndet av detta enkla faktum. Jag själv ständigt tittar på detta problem hos mina elever, när vi bara går vidare till analysen av de vägledande och logaritmiska ojämlikheterna.

Men låt oss återvända till vår uppgift. Låt oss försöka den här tiden att göra utan rationalisering. Vi kommer ihåg: Graden av graden är mer än enheten, så trojkan kan helt enkelt skjuta - tecknet på ojämlikhet kommer inte att förändras. Vi får:

\\ [\\ inbegripa (anpassa) & - \\ frac (8x) (3) \\ lt 4-4x; \\\\ & 4x- \\ frac (8x) (3) \\ lt 4; \\\\ frac (4x) (3) \\ lt 4; \\\\ & 4x \\ lt 12; \\\\ & x \\ lt 3. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Det är allt. Slutligt svar: $ X \\ In \\ Left (- \\ Infty; 3 \\ Höger) $.

Välja ett stabilt uttryck och ersättning av variabel

Sammanfattningsvis föreslår jag att lösa ytterligare fyra demonstrationslivar som redan är ganska komplexa för oförberedda studenter. För att klara dem måste du komma ihåg reglerna för att arbeta med grader. I synnerhet utfärdandet av allmänna faktorer för parentes.

Men det viktigaste är att lära sig att förstå: Vad exakt kan tas ut av parentes. Ett sådant uttryck kallas stabilt - det kan betecknas med en ny variabel och därmed bli av med den vägledande funktionen. Så, låt oss titta på uppgifterna:

\\ [\\ Börja (justera) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \\ ge 6; \\\\ & ((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \\ ge 90; \\\\ & ((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \\ gt 2500; \\\\ \\ (\\ vänster (0,5 \\ höger)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1,5)) \\ gt 768. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Låt oss börja med den allra första raden. Vi skriver ner denna ojämlikhet separat:

\\ [((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) \\ ge 6 \\]

Observera att $ ((5) ^ (x + 2)) \u003d (((5) ^ (x + 1 + 1)) \u003d (((5) ^ (x + 1)) \\ cdot $ 5, så rätten -Hand del kan skriva om:

Observera att det inte finns några andra vägledande funktioner utom $ ((5) ^ (x + 1)) $, det finns ingen ojämlikhet. Och i allmänhet är ingen annanstans någon variabel $ X $, så vi introducerar en ny variabel: $ ((5) ^ (x + 1)) \u003d t $. Vi får följande design:

\\ [\\ BEGIN (Justera) & 5T + T \\ GE 6; \\\\ & 6T \\ GE 6; \\\\ & t \\ Ge 1. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Vi återvänder till den ursprungliga variabeln ($ t \u003d (((5) ^ (x + 1)) $), och samtidigt kommer vi ihåg att 1 \u003d 5 0. Vi har:

\\ [\\ Börja (justera) & ((5) ^ (x + 1)) \\ ge ((5) ^ (0)); \\\\ & x + 1 \\ ge 0; \\\\ & x \\ ge -1. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Det är allt beslut! Svar: $ X \\ In \\ Left [-1; + \\ Infty \\ Höger) $. Gå till den andra ojämlikheten:

\\ [((3) ^ (x)) + ((3) ^ (x + 2)) \\ ge 90 \\]

Här är detsamma. Observera att $ ((3) ^ (x + 2)) \u003d (((3) ^ (x)) \\ cdot (((3) ^ (2)) \u003d 9 \\ cdot (3) ^ (x)) $. Då kan den vänstra delen omskrivas:

\\ [\\ Börja (justera) & ((3) ^ (x)) + 9 \\ cdot ((3) ^ (x)) \\ ge 90; \\ quad \\ left | ((3) ^ (x)) \u003d t \\ höger. \\\\ & t + 9t \\ga 90; \\\\ & 10T \\ GE 90; \\\\ & t \\ GE 9 \\ SOGEARROW ((3) ^ (x)) \\ Ge 9 \\ Sightarrow ((3) ^ (x)) \\ GE (3) ^ (2) \\\\ & x \\ GE 2 \\ SOTEARROW X \\ In \\ Levered [2; + \\ Infty \\ Höger). \\\\\\ slutet (justera) \\]

Så här är det nödvändigt att fatta beslut om verklig kontroll och självständigt arbete.

Tja, låt oss prova något mer komplicerat. Till exempel är här ojämlikhet:

\\ [((25) ^ (x + 1,5)) - ((5) ^ (2x + 2)) \\ gt 2500 \\]

Vad är problemet här? Först och främst, baserna på de vägledande funktionerna som står till vänster, olika: 5 och 25. Dock kan 25 \u003d 5 2, så den första termen kan omvandlas:

\\ [\\ inbegripa (justera) & ((25) ^ (x + 1.5)) \u003d ((\\ vänster ((((5) ^ (2)) \\ höger)) ^ (x + 1.5)) \u003d ((5 ) ^ (2x + 3)); \\\\ & ((5) ^ (2x + 3)) \u003d ((5) ^ (2x + 2 + 1)) \u003d ((5) ^ (2x + 2)) \\ cdot 5. \\\\ ände (justera) \\]

Som du kan se, ledde vi först till samma basOch märkte sedan att den första termen lätt kommer ner till den andra - sönderdela bara indikatorn. Nu kan du säkert introducera en ny variabel: $ ((5) ^ (2x + 2)) \u003d t $, och all ojämlikhet kommer att skriva om:

\\ [\\ BEGIN (Justera) & 5T-T \\ GE 2500; \\\\ & 4T \\ GE 2500; \\\\ & t \\ GE 625 \u003d ((5) ^ (4)); \\\\ & ((5) ^ (2x + 2)) \\ GE ((5) ^ (4)); \\\\ & 2x + 2 \\ ge 4; \\\\ & 2x \\ ge 2; \\\\ & x \\ ge 1. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Och igen inga svårigheter! Slutligt svar: $ X \\ In \\ Left [1; + \\ Infty \\ Höger) $. Gå till den slutliga ojämlikheten i dagens lektion:

\\ [((\\ vänster (0,5 \\ höger)) ^ (- 4x-8)) - ((16) ^ (x + 1.5)) \\ gt 768 \\]

Det första att uppmärksamma är självklart decimal- Baserat på första graden. Det är nödvändigt att bli av med det, och samtidigt ta med alla de vägledande funktionerna till samma bas - numret "2":

\\ [\\ Börja (justera) och 0,5 \u003d \\ frac (1) (2) \u003d ((2) ^ (- 1)) \\ Sightarrow ((\\ vänster (0.5 \\ höger)) ^ (- 4x- 8)) \u003d ((\\ vänster (((2) ^ (- 1)) \\ höger)) ^ (- 4x-8)) \u003d ((2) ^ (4x + 8)); \\\\ & 16 \u003d ((2) ^ (4)) \\ Sightarrow ((16) ^ (x + 1.5)) \u003d ((\\ vänster ((((2) ^ (4)) \\ höger)) ^ (x + 1,5)) \u003d ((2) ^ (4x + 6)); \\\\ & ((2) ^ (4x + 8)) - ((2) ^ (4x + 6)) \\ gt 768. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Utmärkt, vi gjorde det första steget - allt ledde till samma grund. Nu är det nödvändigt att fördela ett stabilt uttryck. Observera att $ ((2) ^ (4x + 8)) \u003d ((2) ^ (4x + 6 + 2)) \u003d ((2) ^ (4x + 6)) \\ cdot $ 4. Om du anger en ny variabel $ ((2) ^ (4x + 6)) \u003d t $, kan den ursprungliga ojämlikheten omskrivas enligt följande:

\\ [\\ BEGIN (Justera) & 4T-T \\ GT 768; \\\\ & 3T \\ GT 768; \\\\ & t \\ gt 256 \u003d ((2) ^ (8)); \\\\ & ((2) ^ (4x + 6)) \\ gt (2) ^ (8)); \\\\ & 4x + 6 \\ gt 8; \\\\ & 4x \\ gt 2; \\\\ & x \\ gt \\ frac (1) (2) \u003d 0,5. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Naturligtvis kan frågan uppstå: Hur hittade vi det 256 \u003d 2 8? Tyvärr behöver du bara veta examensavdragen (och samtidigt graden av trippel och fem). Tja, eller dela 256 till 2 (det är möjligt att dela, sedan ett 256-poängs nummer) tills vi får resultatet. Det kommer att se ut så här:

\\ [\\ BEGIN (Justera) & 256 \u003d 128 \\ Cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 64 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 32 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 16 \\ cdot 2 \\ Cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 8 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ Cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \\ cdot 2 \u003d \\\\ & \u003d ((2) ^ (8)). \\ Eng (justera) \\ Anklagelse

Detsamma med en trippel (nummer 9, 27, 81 och 243 är dess grad), och med en sju (siffror 49 och 343 skulle också vara bra att komma ihåg). Tja, och topparna har också "vackra" grader att veta:

\\ [\\ Börja (justera) & ((5) ^ (2)) \u003d 25; \\\\ & ((5) ^ (3)) \u003d 125; \\\\ & ((5) ^ (4)) \u003d 625; \\\\ & ((5) ^ (5)) \u003d 3125. \\\\\\ slutet (justera) \\]

Naturligtvis kan alla dessa nummer återställas i sinnet om så önskas, helt enkelt multiplicera dem till varandra. Men när du måste lösa flera demonstration ojämlikhet, och varje nästa är mer komplicerad än den föregående, då den senare, vad jag vill tänka - det är några siffror där. Och i den meningen är dessa uppgifter mer komplexa än de "klassiska" ojämlikheterna som löses med intervallmetoden.

Vägledande ekvationer och ojämlikheter överväger sådana ekvationer och ojämlikheter i vilka det okända ingår i examensindikatorn.

Lösningen av de vägledande ekvationerna reduceras ofta för att lösa ekvationen A x \u003d A B, där A\u003e 0 och ≠ 1, X-okänd. Denna ekvation har den enda roten X \u003d B, eftersom följande teorem är sant:

Sats. Om en\u003e 0, a ≠ 1 och a x 1 \u003d a x 2, sedan x 1 \u003d x 2.

Motivera det ansedda godkännandet.

Antag att jämlikheten x 1 \u003d x 2 inte utförs, d.v.s. x 1< х 2 или х 1 = х 2 . Пусть, например, х 1 < х 2 . Тогда если а > 1, då ökar den vägledande funktionen Y \u003d A x och därför bör ojämlikhet och x 1 utföras< а х 2 ; если 0 < а < 1, то функция убывает и должно выполняться неравенство а х 1 > och x 2. I båda fallen erhöll vi ett motsägelseförhållande A x 1 \u003d a x 2.

Tänk på flera uppgifter.

Lös ekvation 4 ∙ 2 x \u003d 1.

Beslut.

Vi skriver ekvationen i formuläret 2 2 ∙ 2 x \u003d 2 0 - 2 x + 2 \u003d 2 0, varifrån vi får x + 2 \u003d 0, dvs. x \u003d -2.

Svar. x \u003d -2.

Lös ekvation 2 3x ∙ 3 x \u003d 576.

Beslut.

Sedan 2 3 x \u003d (2 3) x \u003d 8 x, 576 \u003d 24 2 kan ekvationen skrivas som 8 x ∙ 3 x \u003d 24 2 eller i form av 24 x \u003d 24 2.

Härifrån får vi x \u003d 2.

Svar. x \u003d 2.

Lös ekvation 3 x + 1 - 2 ∙ 3 \u200b\u200bx - 2 \u003d 25.

Beslut.

I den vänstra sidan av fästena, en total multiplikator av 3 x - 2, erhåller vi 3 x - 2 ∙ (3 3 - 2) \u003d 25 - 3 x - 2 ∙ 25 \u003d 25,

där 3 x - 2 \u003d 1, dvs. x - 2 \u003d 0, x \u003d 2.

Svar. x \u003d 2.

Lös ekvation 3 x \u003d 7 x.

Beslut.

Sedan 7 x ≠ 0 kan ekvationen skrivas i form av 3 x / 7 x \u003d 1, varifrån (3/7) x \u003d 1, x \u003d 0.

Svar. x \u003d 0.

Lös ekvation 9 x - 4 ∙ 3 x - 45 \u003d 0.

Beslut.

Ersättning 3 x \u003d och denna ekvation reduceras till kvadratisk ekvation A 2 - 4A - 45 \u003d 0.

Lösning av denna ekvation, vi hittar sina rötter: A 1 \u003d 9 och 2 \u003d -5, varifrån 3 x \u003d 9, 3 x \u003d -5.

Ekvation 3 x \u003d 9 har en rot 2, och ekvation 3 x \u003d -5 har inte rötter, eftersom den vägledande funktionen inte kan ta negativa värden.

Svar. x \u003d 2.

Lösningen av vägledande ojämlikhet reduceras ofta för att lösa ojämlikheter a x\u003e a b eller a x< а b . Эти неравенства решаются с помощью свойства возрастания или убывания показательной функции.

Tänk på några uppgifter.

Lös ojämlikhet 3 x< 81.

Beslut.

Vi skriver ojämlikhet i form av 3 x< 3 4 . Так как 3 > 1, då ökar funktionen y \u003d 3 x.

Följaktligen, vid X< 4 выполняется неравенство 3 х < 3 4 , а при х ≥ 4 выполняется неравенство 3 х ≥ 3 4 .

Således, vid X< 4 неравенство 3 х < 3 4 является верным, а при х ≥ 4 – неверным, т.е. неравенство
3 x< 81 выполняется тогда и только тогда, когда х < 4.

Svar. H.< 4.

Lös ojämlikhet 16 x +4 x - 2\u003e 0.

Beslut.

Beteckna 4 x \u003d t, då får vi en fyrkantig ojämlikhet T2 + T - 2\u003e 0.

Denna ojämlikhet utförs på t< -2 и при t > 1.

Sedan t \u003d 4 x får vi två ojämlikheter 4 x< -2, 4 х > 1.

Den första ojämlikheten är inte lösningar, sedan 4 x\u003e 0 för alla X € R.

Den andra ojämlikheten spelas in i form av 4 x\u003e 4 0, där x\u003e 0.

Svar. x\u003e 0.

Grafiskt löser ekvation (1/3) x \u003d x - 2/3.

Beslut.

1) Vi konstruerar grafer av funktioner y \u003d (1/3) x och y \u003d x - 2/3.

2) Att förlita sig på vår ritning kan man dra slutsatsen att graferna för de ansedda funktionerna skärs vid den punkt med Abscissa X ≈ 1. Kontrollera att

x \u003d 1 - rot av denna ekvation:

(1/3) 1 \u003d 1/3 och 1 - 2/3 \u003d 1/3.

Med andra ord fann vi ett av ekvationens rötter.

3) Vi finner andra rötter eller bevisa att det inte finns något sådant. Funktion (1/3) x minskning, och funktionen y \u003d x - 2/3 ökar. Därför är värdena för den första funktionen under X\u003e 1 mindre än 1/3 och den andra är större än 1/3; vid x.< 1, наоборот, значения первой функции больше 1/3, а второй – меньше 1/3. Геометрически это означает, что графики этих функций при х > 1 och H.< 1 «расходятся» и потому не могут иметь точек пересечения при х ≠ 1.

Svar. x \u003d 1.

Observera att från att lösa detta problem, särskilt följer det att ojämlikhet (1/3) x\u003e x - 2/3 utförs vid x< 1, а неравенство (1/3) х < х – 2/3 – при х > 1.

webbplatsen, med full eller partiell kopiering av materialreferensen till den ursprungliga källan krävs.

I den här lektionen kommer vi att titta på olika demonstrationsmässigheter och lära dem att bestämma, baserat på metoden att lösa de enklaste demonstrationens ojämlikhet

1. Definition och egenskaper hos den vägledande funktionen

Minns definitionen och grundläggande egenskaperna hos den vägledande funktionen. Det är på egenskaperna att lösningen av alla de vägledande ekvationerna och ojämlikheterna är baserade.

Exponentiell funktion - Det här är en funktion av den form där grunden för examen och här X är en oberoende variabel, ett argument; Y - beroende variabel, funktion.

Fikon. 1. Schema indikativ funktion

Grafen visar ökande och minskande utställare som illustrerar en vägledande funktion på basis av en större enhet och en mindre enhet, men en stor noll.

Båda kurvorna passerar genom punkten (0; 1)

Egenskaper för den vägledande funktionen:

Domän :;

Värdeområde:;

Monotonne funktionen, med ökande, med minskningar.

Monotone-funktionen tar var och en av sitt eget värde med det enda värdet av argumentet.

När argumentet ökar från minus till plus oändlighet ökar funktionen från noll inte inkluderande för plus oändlighet, dvs med dessa argumentvärden, har vi en monotont och ökande funktion (). Med motsatt, när argumentet ökar från minus till plus oändlighet, minskar funktionen från oändlighet till noll inte inkluderande, dvs med dessa värden av argumentet, har vi en monotonöst minskande funktion ().

2. De enklaste demonstrationens ojämlikhet, beslutsteknik, exempel

Baserat på det föregående ger vi metoden att lösa de enklaste demonstrationens ojämlikhet:

Metoder för ojämlikhetslösningar:

Utjämna grunderna i grader;

Jämför indikatorer, spara eller byte till motsatt tecken på ojämlikhet.

Lösningen av komplexa demonstrationsliv är i regel i sin information till de enklaste vägledande ojämlikheterna.

Grunden för graden är större än enheten, det betyder att tecken på ojämlikhet upprätthålls:

Vi omvandlar höger sida enligt examensegenskaperna:

Grunden för graden är mindre än enheten, tecknet på ojämlikhet måste ändras till motsatsen:

För att lösa kvadratisk ojämlikhet löses motsvarande kvadratiska ekvation:

På Vieta-teorem hittar du rötter:

Parabola grenar riktas upp.

Således har vi lösningen av ojämlikhet:

Det är lätt att gissa att den högra delen kan representeras som en examen med en nollindikator:

Grunden för graden är mer förenad, tecknet på ojämlikhet förändras inte, vi får:

Minns metoden för att lösa sådana ojämlikheter.

Vi överväger en fraktionerad rationell funktion:

Hitta området för definition:

Vi hittar rötterna i funktionen:

Funktionen har den enda roten,

Välj intervallet i justeringen och bestämma tecknen på funktionen vid varje intervall:

Fikon. 2. Teckenintervaller

Således fick de svaret.

Svar:

3. Lösning av typiska vägledande ojämlikheter

Tänk på ojämlikhet med samma indikatorer, men olika baser.

En av egenskaperna hos den vägledande funktionen - det tar strängt positiva värden med eventuella värden av argumentet, det betyder att en vägledande funktion kan delas upp. Utför uppdelningen av en given ojämlikhet till den högra delen av den:

Grunden för graden är mer förenad, tecknet på ojämlikhet bevaras.

Vi illustrerar lösningen:

Figur 6.3 visar grafer av funktioner och. Självklart, när argumentet är större än noll, är funktionsgrafen ovan ovan, den här funktionen är större. När argumentets värden är negativa, passerar funktionen nedan, den är mindre. Värdet på funktionsargumentet är lika, det betyder att denna punkt också är en lösning på den angivna ojämlikheten.

Fikon. 3. Illustration till exempel 4

Vi omvandlar den förutbestämda ojämlikheten enligt examensegenskaperna:

Vi ger liknande medlemmar:

Vi delade båda delarna på:

Nu fortsätter vi att lösa analogt med exempel 4, vi delar upp båda delarna på:

Grunden för graden är mer förenad, tecknet på ojämlikhet upprätthålls:

4. Grafisk lösning av vägledande ojämlikhet

Exempel 6 - Lös ojämlikhet grafiskt:

Tänk på funktionerna i vänster och höger och bygga ett schema för var och en av dem.

Funktionen är en utställare, ökar i hela sitt definitionområde, dvs med alla giltiga värden av argumentet.

Funktionen är linjär, minskar genom hela sitt definitionområde, dvs med alla giltiga värden av argumentet.

Om dessa funktioner skärs, det vill säga, har systemet en lösning, då är en sådan lösning den enda och det är lätt att gissa. För att göra detta, gå igenom heltal ()

Det är lätt att se att roten till detta system är:

Således skär graferna av funktioner vid en punkt med ett argument som är lika med en.

Nu måste du få svaret. Betydelsen av den angivna ojämlikheten är att utställaren måste vara större eller lika med linjär funktion, det vill säga vara högre eller sammanfaller med det. Tydligt svar: (Figur 6.4)

Fikon. 4. Illustration till exempel 6

Så ansåg vi lösningen av olika typiska vägledande ojämlikheter. Därefter fortsätter vi till övervägande av mer komplexa demonstrationsliv.

Bibliografi

Mordkovich A. G. Algebra och började matematisk analys. - m.: Mnemozin. Muravin G. K., Muravina O. V. Algebra och började matematisk analys. - m.: Droppe. Kolmogorov A.n., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. och andra. Algebra och började matematisk analys. - m.: Upplysning.

Matematik. Md. Matematik-repetition. Com. Diffunga. Kemsu. Ru.

Läxa

1. Algebra och startanalys, 10-11 klass (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, YU. P. Dudnitsyn) 1990, nr 472, 473;

2. Lös ojämlikhet:

3. Lös ojämlikhet.