Ekvationen som innehåller variabeln i indikatorn kallas. Lösning av vägledande ekvationer. Exemplar
Lösning av vägledande ekvationer. Exempel.
Uppmärksamhet!
Detta ämne har ytterligare
Material i en speciell avsnitt 555.
För dem som är starkt "inte mycket ..."
Och för dem som är "mycket ...")
Vad indikativ ekvation? Denna ekvation i vilken okänd (Xers) och uttryck med dem är i indikatorer Några grader. Och bara där! Det är viktigt.
Där är du exempel på vägledande ekvationer:
3 x · 2 x \u003d 8 x + 3
Notera! På grund av grader (nedan) - endast siffror. I indikatorer Degnese (på toppen) - ett brett utbud av uttryck med Xa. Om, plötsligt, kommer ex att komma ut i ekvationen någonstans, förutom indikatorn, till exempel:
det kommer redan att vara en blandad typ ekvation. Sådana ekvationer har inte tydliga regler för lösningar. Vi kommer inte att överväga dem än. Här kommer vi att hantera genom att lösa exponentiella ekvationer i ren form.
Faktum är att även rena vägledande ekvationer är tydligt löst långt borta. Men det finns vissa typer av vägledande ekvationer som kan lösas och behövs. Här är dessa typer vi kommer att titta på.
Lösningen av de enklaste vägledande ekvationerna.
Till att börja med bestämmer jag mig något helt elementärt. Till exempel:
Även utan några teorier är det klart för det enkla urvalet som x \u003d 2. Mer, höger, höger!? Inget annat värde av ICA-rullarna. Och nu tittar vi på rekordet av lösningen av denna listiga indikativa ekvation:
Vad gjorde vi? Faktum är att vi helt enkelt kastade samma baser (tre). De kastas helt bort. Och vilka glädjer, kom till punkten!
Faktiskt, om i den vägledande ekvationen till vänster och höger det samma Nummer i några grader kan dessa nummer avlägsnas och likställas grader. Matematik tillåter. Det är fortfarande dyrt en mycket enklare ekvation. Bra, eller hur?)
Men kom ihåg järn: du kan bara ta bort baserna när vänster och höger om marken är i stolt ensamhet! Utan några grannar och koefficienter. Säg, i ekvationer:
2 x +2 x + 1 \u003d 2 3, eller
dubbel kan inte tas bort!
Tja, det viktigaste vi har behärskat. Hur man flyttar från onda indikativa uttryck till enklare ekvationer.
"Det är tiderna!" - Du kommer att säga. "Vem kommer att ge så primitiv på kontrollen och tentamen!?"
Tvingas överens. Ingen kommer att ge. Men nu vet du var du ska sträva efter att lösa fria exempel. Det är nödvändigt att ta det till formuläret när till vänster - samma nummer är samma nummer. Vidare blir allt lättare. Egentligen är det här matematikens klassiker. Ta det ursprungliga exemplet och konvertera det till önskat oss Se. Enligt matematikreglerna, förstås.
Tänk på exempel som kräver ytterligare ansträngningar för att få dem till det enklaste. Låt oss ringa dem enkla vägledande ekvationer.
Lösning av enkla vägledande ekvationer. Exempel.
Vid lösning av vägledande ekvationer, de viktigaste reglerna - handlingar med grader. Utan kunskap om dessa åtgärder kommer ingenting att fungera.
Till handlingar med grader är det nödvändigt att lägga till personlig observation och smältning. Vi behöver samma stiftelser? Här letar vi efter dem i ett exempel i en klar eller krypterad form.
Låt oss se hur det här är gjort i praktiken?
Låt oss ge oss ett exempel:
2 2x - 8 x + 1 \u003d 0
Första Angry Look - På grund. De ... de är olika! Två och åtta. Men att falla i förtvivlan - tidigt. Det är dags att komma ihåg det
Två och åtta - i förhållande till graden.) Det är möjligt att skriva:
8 x + 1 \u003d (2 3) x + 1
Om du återkallar formeln från handling med grader:
(a n) m \u003d a nm,
det visar sig i allmänhet:
8 x + 1 \u003d (2 3) x + 1 \u003d 2 3 (x + 1)
Det ursprungliga exemplet började se ut så här:
2 2x - 2 3 (x + 1) \u003d 0
Överföra 2 3 (x + 1) Till höger (ingen avbrutna elementära handlingar av matematik!), Vi får:
2 2x \u003d 2 3 (x + 1)
Här, nästan, och det är det. Vi tar bort fundamenten:
Lös detta monster och få
Detta är det rätta svaret.
I det här exemplet återställer vi kunskapen om detekter av två. vi identifierad I de åtta av de krypterade två. Denna teknik (kryptering av allmänna baser under olika siffror) är en mycket populär teknik i de lägre ekvationerna! Ja, och i logaritmer också. Det är nödvändigt att kunna lära sig i antalet andra nummer. Detta är oerhört viktigt för att lösa vägledande ekvationer.
Faktum är att bygga ett nummer till någon grad inte ett problem. Multiplicera, även på ett papper, och det är det. Till exempel, att bygga 3 till den femte graden kommer att kunna vardera. 243 Det visar sig om du känner till multiplikationstabellen.) Men i de nedre ekvationerna är det mycket mer sannolikt att inte byggas, men tvärtom ... för att ta reda på det vilket nummer i vilken utsträckning Gömmer sig för ett nummer 243, eller säg, 343 ... Här hjälper du inte någon räknare.
Graden av vissa siffror bör vara kända i ansiktet, ja ... gör det?
För att bestämma vilka grader och vilka nummer som är siffror:
2; 8; 16; 27; 32; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729, 1024.
Svar (i disarray, naturligt!):
5 4 ; 2 10 ; 7 3 ; 3 5 ; 2 7 ; 10 2 ; 2 6 ; 3 3 ; 2 3 ; 2 1 ; 3 6 ; 2 9 ; 2 8 ; 6 3 ; 5 3 ; 3 4 ; 2 5 ; 4 4 ; 4 2 ; 2 3 ; 9 3 ; 4 5 ; 8 2 ; 4 3 ; 8 3 .
Om du tittar noga kan du se ett konstigt faktum. Svar är betydligt mer än uppgifter! Tja, det händer ... till exempel, 2 6, 4 3, 8 2 är alla 64.
Antag att du noterade informationen om bekantskapet med siffror.) Låt oss påminna om att lösa de vägledande ekvationerna gäller allt Beståndet av matematisk kunskap. Inklusive från de yngre mittklasserna. Du går inte omedelbart till seniorklasser, eller hur?)
Till exempel, när de löser de vägledande ekvationerna, hjälper den totala multiplikatorn på fästena mycket ofta (Hello Grade 7!). Titta på följande man:
3 2x + 4 -11 · 9 x \u003d 210
Och igen, första anblicken - på marken! Grunden i grader är olika ... Troika och nio. Och vi vill vara desamma. Tja, i det här fallet är lusten uppfylld!) Eftersom:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x
Enligt samma handlingsregler med grader:
3 2x + 4 \u003d 3 2x · 3 4
Så bra kan du skriva:
3 2x · 3 4 - 11 · 3 2x \u003d 210
Vi ledde ett exempel på samma skäl. Så, vad är nästa!? Troika kan inte kasta ut ... Deadlock?
Inte alls. Kom ihåg den mest universella och kraftfulla lösningsregeln allt Matematiska uppgifter:
Du vet inte vad du behöver - Gör vad du kan!
Du ser, allt är format).
Vad är i denna vägledande ekvation burk gör det? Ja, på vänster sida, frågar det direkt efter en konsol! Den totala multiplikatorn på 3 2x tipsar tydligt på den. Låt oss försöka, och då kommer det att vara synligt:
3 2x (3 4 - 11) \u003d 210
3 4 - 11 = 81 - 11 = 70
Exemplet blir bättre och bättre!
Vi kommer ihåg att för att eliminera grunder behöver vi en ren grad, utan några koefficienter. US nummer 70 stör varandra. Så vi delar upp båda delarna av ekvationen med 70, vi får:
Op-pa! Allt och bosatte sig!
Detta är det sista svaret.
Det händer emellertid att bryta på samma baser erhålls, men deras likvidation är på något sätt. Detta händer i de vägledande ekvationerna av en annan typ. Vi kommer att behärska den här typen.
Ersätter variabeln för att lösa vägledande ekvationer. Exempel.
Lösande ekvation:
4 x - 3 · 2 x +2 \u003d 0
Först - som vanligt. Gå till en bas. Till två gånger.
4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x
Vi får ekvationen:
2 2x - 3 · 2 x +2 \u003d 0
Och här kommer det att vara beroende. Tidigare tekniker fungerar inte, oavsett hur sprinklande. Vi måste få ett annat mäktigt och universellt sätt från Arsenal. Kallad O. ersätter variabeln.
Kärnan i metoden är lätt att överraska. Istället för en komplex ikon (i vårt fall - 2 x) skriver vi en annan, enklare (till exempel - t). Detta verkar, en meningslös ersättare leder till fantastiska resultat!) Bara allt blir klart och förståeligt!
Så låt
Sedan 2 2x \u003d 2 x2 \u003d (2 x) 2 \u003d t 2
Vi ersätter i vår ekvation alla grader med håligheter på t:
Tja, insatser?) Kvadratiska ekvationer har inte glömt ännu? Vi bestämmer oss genom diskrimineringen, vi får:
Här, viktigast, sluta inte, som det händer ... Detta är inte ett svar, vi behövs, och inte t. Vi återvänder till ICCAM, d.v.s. Vi gör en ersättare. Först för t 1:
Det är,
En rot hittad. Vi letar efter den andra, från t 2:
Um ... Vänster 2 x, höger 1 ... inget problem? Ja Nej! Tillräckligt för att komma ihåg (från handling med grader, ja ...) den där är någon Nummer till noll grad. Några. Vad du behöver och lägger det. Vi behöver en två. Så:
Nu är allt. Mottaget 2 rötter:
Detta är svaret.
För lösa vägledande ekvationer I slutändan visar det sig något obekvämt uttryck. Typ:
Från sju deuce genom en enkel grad fungerar inte. Gör inte släktingar de ... hur man är här? Någon, kanske förvirrad ... och här är en person som läser ämnet på den här sidan "Vad är en logaritm?" , bara skupo le och kommer att göra ett solidt rätt svar på den hårda handen:
Det kan inte finnas något sådant svar i uppgifterna "i". Det krävs ett visst nummer. Men i uppgifterna "C" - enkelt.
I den här lektionen ges exempel på att lösa de vanligaste vägledande ekvationerna. Vi markerar den viktigaste.
Praktiska tips:
1. Det första vi tittar på grund grader. Vi tycker om det är omöjligt att göra dem samma. Försök att göra det, aktivt använda handlingar med grader. Glöm inte att siffrorna utan IC också kan omvandlas till en examen!
2. Vi försöker få den vägledande ekvationen till formuläret när vänster och höger är det samma Siffror i några grader. Använder sig av Åtgärder med grader och faktorisering.Vad kan jag överväga i antal - tro.
3. Om den andra styrelsen inte fungerade, försöker vi tillämpa ersättning av variabeln. Som ett resultat kan en ekvation visa sig som lätt löses. Oftast - torget. Eller fraktionerad, som också kommer ner till torget.
4. För att framgångsrikt lösa de vägledande ekvationerna är det nödvändigt att känna till graden av några siffror "i ansiktet".
Som vanligt, i slutet av lektionen erbjuds du att rengöra lite.) Ensam. Från enkel - till komplexa.
Bestäm vägledande ekvationer:
Mer följd:
2 x + 3 - 2 x + 2 - 2 x \u003d 48
9 x - 8 · 3 x \u003d 9
2 x - 2 0,5x + 1 - 8 \u003d 0
Hitta produkten av rötterna:
2 3 + 2 x \u003d 9
Hände?
Tja, då det mest komplexa exemplet (löst, men i sinnet ...):
7 0,13x + 13 0,7x + 1 + 2 0,5x + 1 \u003d -3
Vad är mer intressant? Då har du ett ondt exempel. Det drar ganska på ökad svårighet. Smeknamn som i detta exempel sparar besparingar och den mest universella regeln att lösa alla matematiska uppgifter.)
2 5x-1 · 3 3x-1 · 5 2x-1 \u003d 720 x
Exempel enklare, för vila):
9 · 2 x - 4 · 3 x \u003d 0
Och till efterrätt. Hitta antalet ROOTS ekvation:
x · 3 x - 9x + 7 · 3 x - 63 \u003d 0
Jaja! Detta är en blandad typ ekvation! Som vi inte ansåg i den här lektionen. Och vad du ska betrakta dem är det nödvändigt att lösa!) Denna lektion är tillräckligt nog för att lösa ekvationen. Tja, är skäraren nödvändig ... och låt det hjälpa dig med den sjunde klassen (det här är en ledtråd!).
Svar (i oordning, genom en kommatecken):
ett; 2; 3; fyra; Inga lösningar; 2; -2; -fem; fyra; 0.
Allt framgångsrik? Excellent.
Det finns ett problem? Inga problem! I en speciell avsnitt 555 löses alla dessa vägledande ekvationer med detaljerade förklaringar. Vad, varför, och varför. Och naturligtvis finns det ytterligare värdefull information om att arbeta med alla typer av vägledande ekvationer. Inte bara med dessa.)
Den sista roliga frågan för ett övervägande. I den här lektionen arbetade vi med exakta ekvationer. Varför sa jag inte ett ord här om OTZ? I ekvationer är det här en mycket viktig sak, förresten ...
Om du gillar den här sidan ...
Förresten har jag ett annat par intressanta platser för dig.)
Det kan nås i att lösa exempel och ta reda på din nivå. Test med omedelbar kontroll. Lär dig - med intresse!)
Du kan bekanta dig med funktioner och derivat.
Denna lektion är utformad för dem som bara börjar studera de vägledande ekvationerna. Så alltid, låt oss börja med definitionen och enklaste exempel.
Om du läser den här lektionen misstänker jag att du redan har åtminstone en minsta idé om de enklaste ekvationerna - linjär och kvadrat: $ 56x-11 \u003d 0 $; $ ((x) ^ (2)) + 5x + 4 \u003d 0 $; $ ((x) ^ (2)) - 12x + 32 \u003d 0 $, etc. För att kunna lösa sådana strukturer är absolut nödvändiga för att inte "hänga" i ämnet som vi pratar om.
Så de vägledande ekvationerna. Omedelbart kommer jag att ge ett par exempel:
\\ [((2) ^ (x)) \u003d 4; \\ quad ((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25); \\ quad ((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]
Några av dem kan verka mer komplexa, vissa - tvärtom, för enkelt. Men alla kombinerar en viktig funktion: i sina poster finns det en vägledande funktion $ f \\ vänster (x \\ höger) \u003d ((a) ^ (x)) $. Således introducerar vi definitionen:
Den vägledande ekvationen är vilken ekvation som helst som innehåller en vägledande funktion, d.v.s. Uttryck av typen $ ((a) ^ (x)) $. Förutom denna funktion kan sådana ekvationer innehålla andra algebraiska mönster - polynomier, rötter, trigonometri, logaritmer, etc.
Jaja. Definierat räknat ut. Nu är frågan: hur man löser allt detta skit? Svaret är samtidigt enkelt och komplicerat.
Låt oss börja med goda nyheter: I din egen erfarenhet kan klasser med många studenter jag säga att de flesta är vägledande ekvationer är mycket enklare än samma logaritmer och ju mer trigonometri.
Men det finns också dåliga nyheter: Ibland finns det "inspiration" -uppgifter för alla typer av läroböcker och tentor, och deras inflammerade hjärna börjar utfärda sådana brutala ekvationer att det blir problematiskt inte bara för studenterna - även många lärare håller sig till sådana uppgifter.
Vi kommer emellertid inte handla om ledsen. Och tillbaka till de tre ekvationerna som presenterades i början av berättelsen. Låt oss försöka lösa var och en av dem.
Den första ekvationen: $ ((2) ^ (x)) \u003d $ 4. Tja, vilken utsträckning du behöver bygga ett nummer 2 för att få nummer 4? Förmodligen i den andra? Trots allt $ ((2) ^ (2)) \u003d 2 \\ cdot 2 \u003d 4 $ - och vi fick den rätta numeriska jämlikheten, d.v.s. verkligen $ x \u003d $ 2. Tja, tack, men den här ekvationen var så enkelt att jag ens skulle lösa min katt. :)
Låt oss titta på följande ekvation:
\\ [((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\]
Och här är redan lite svårare. Många studenter vet att $ ((5) ^ (2)) \u003d $ 25 är ett multiplikationstabell. Vissa misstänker också att $ ((5) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (5) $ är i huvudsak definitionen av negativa grader (analogt med $ formel ((a) ^ (- n)) \u003d \\ Frac (1) (((a) ^ (n))) $).
Slutligen gissar bara favoriterna att dessa fakta kan kombineras och vid utgången för att få följande resultat:
\\ [\\ Frac (1) (25) \u003d \\ frac (1) (((5) ^ (2))) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]
Således kommer vår första ekvation att skriva om enligt följande:
\\ [(((5) ^ (2x-3)) \u003d \\ frac (1) (25) \\ Sightarrow ((5) ^ (2x-3)) \u003d ((5) ^ (- 2)) \\]
Men det här är redan ganska löst! Till vänster i ekvationen finns en vägledande funktion, rätten i ekvationen är den vägledande funktionen, inget annat än de är inte längre någonstans. Följaktligen är det möjligt att "kassera" grunden och dumt jämföra indikatorerna:
Fick den enklaste linjära ekvationen, som någon elev bestämmer bokstavligen i ett par linjer. Tja, i fyra linjer:
\\ [\\ inbegripa (justera) & 2x-3 \u003d -2 \\\\ & 2x \u003d 3-2 \\\\ & 2x \u003d 1 \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (2) \\\\ ände (justera) \\]
Om du inte förstår vad som nu hände i de sista fyra linjerna - var noga med att återvända till ämnet "Linjära ekvationer" och upprepa det. För att utan en tydlig assimilering av detta ämne är det för tidigt för de vägledande ekvationerna.
\\ [((9) ^ (x)) \u003d - 3 \\]
Tja, hur man löser det här? Den första tanken: $ 9 \u003d 3 \\ cdot 3 \u003d (((3) ^ (2)) $, så den ursprungliga ekvationen kan omskrivas så:
\\ [((\\ vänster (((3) ^ (2)) \\ höger)) ^ (x)) \u003d - 3 \\]
Därefter kommer du ihåg att när graden höjs i graden är indikatorerna variabla:
\\ [((\\ vänster (((3) ^ (2)) \\ höger)) ^ (x)) \u003d ((3) ^ (2x)) \\ righarrow ((3) ^ (2x)) \u003d - (( 3) ^ (1)) \\]
\\ [\\ inbegripa (justera) & 2x \u003d -1 \\\\ & x \u003d - \\ frac (1) (2) \\\\\\ slutet (justera) \\]
Och här för ett sådant beslut kommer vi att bli ärligt förtjänt två. För vi med lugn av Pokemon skickade ett "minus" -tecken, mot de tre bästa, till grund av denna trojkas. Och det är det omöjligt. Och det är varför. Ta en titt på olika grader av trojkan:
\\ [\\ Börja (matris) ((3) ^ (1)) \u003d 3 ° ((3) ^ (- 1)) \u003d \\ frac (1) (3) & ((3) ^ (\\ frac (1) (2))) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (2)) \u003d 9 5 (3) ^ (- 2)) \u003d \\ frac (1) (9) & ((3) ^ ( \\ Frac (1) (3))) \u003d \\ sqrt (3) \\\\ ((3) ^ (3)) \u003d 27 ° C ((3) ^ (- 3)) \u003d \\ frac (1) (27) & ((3) ^ (- \\ frac (1) (2))) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (3)) \\\\\\ slutet (matris) \\]
Genom att göra detta tecken var jag bara inte perverterat: och ansåg positiva grader, och negativa, och till och med fraktionella ... så var är minst ett negativt tal? Hans inte! Och kan inte bero på att den vägledande funktionen är $ y \u003d (((a) ^ (x)) $, först tar alltid bara positiva värden (hur många enheter inte multiplicerar eller inte levereras till en två gånger - det kommer fortfarande Var ett positivt tal), och för det andra är grunden för en sådan funktion nummer $ a $ - per definition är ett positivt tal!
Tja, hur då för att lösa ekvationen $ ((9) ^ (x)) \u003d - $ 3? Men på något sätt: det finns inga rötter. Och i den meningen är de vägledande ekvationerna mycket lik torget - det kan inte heller vara rötter. Men om i kvadratiska ekvationer bestäms antalet rötter av diskrimineringen (diskriminering positivt - 2 rötter, negativa - inga rötter), då beror allt på vad som är värt rätten till jämställdhetsskylt.
Således formulerar vi nyckeln till den enklaste indikativa ekvationen av typen $ ((a) ^ (x)) \u003d B $ har en rot då och endast om $ b\u003e $ 0. Att veta detta enkla faktum kan du enkelt bestämma: det finns en rotekvation som föreslås för dig eller inte. De där. Är det värt att lösa det eller omedelbart skriva ner det finns inga rötter.
Denna kunskap kommer fortfarande upprepade gånger att hjälpa oss när du måste lösa mer komplexa uppgifter. Under tiden är texterna tillräckligt - det är dags att studera huvudalgoritmen för att lösa vägledande ekvationer.
Hur man löser exponentiella ekvationer
Så, vi formulerar uppgiften. Det är nödvändigt att lösa den vägledande ekvationen:
\\ [((a) ^ (x)) \u003d b, \\ quad a, b\u003e 0 \\]
Enligt den "naiva" algoritmen, genom vilken vi har tidigare, är det nödvändigt att presentera nummer $ B $ som graden av $ A $:
Dessutom, om det kommer att finnas något uttryck i stället för $ X $ -variabeln får vi en ny ekvation som redan kan lösas. Till exempel:
\\ [\\ BEGINN (Justera) & ((2) ^ (x)) \u003d 8 \\ Sightarrow ((2) ^ (x)) \u003d ((2) ^ (3)) \\ sagarrow x \u003d 3; \\\\ & ((3) ^ (- x)) \u003d 81 \\ righarrow ((3) ^ (- x)) \u003d ((3) ^ (4)) \\ righarrow -x \u003d 4 \\ righarrow x \u003d -4; \\\\ & ((5) ^ (2x)) \u003d 125 \\ righarrow ((5) ^ (2x)) \u003d ((5) ^ (3)) \\ sagarrow 2x \u003d 3 \\ sagarrow x \u003d \\ frac (3) (3) 2). \\\\\\ slutet (justera) \\]
Och konstigt nog, detta system arbetar med cirka 90% av fallen. Och sedan med resten av 10%? De återstående 10% är lite "schizofrena" indikativa ekvationer i formen:
\\ [((2) ^ (x)) \u003d 3; \\ quad ((5) ^ (x)) \u003d 15; \\ quad ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\]
Tja, vilken utsträckning du behöver bygga 2 för att få 3? Först? Och här är inte: $ ((2) ^ (1)) \u003d 2 $ - inte tillräckligt. På sekunden? Det finns också nej: $ ((2) ^ (2)) \u003d $ 4 - lite för mycket. Och där då?
Att veta studenterna har redan gissat: i sådana fall, när "vackert" inte kan lösas, är "tunga artilleri" - logaritmer anslutna. Låt mig påminna dig om att med hjälp av logaritmer kan något positivt tal representeras som en grad av något annat positivt tal (förutom en):
Kom ihåg den här formeln? När jag berättar för mina elever om logaritmen varnar jag alltid den: den här formeln (det är den viktigaste logaritmiska identiteten eller, om du vill, definitionen av logaritm) ska jaga den under en mycket lång tid och "dyka upp" i det mesta oväntade platser. Jo, hon dyker upp. Låt oss titta på vår ekvation och för denna formel:
\\ [\\ Börja (justera) & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\\\ & \u003d ((b) ^ (((\\ log) _ b)) a)) \\\\\\ ände (justera) \\]
Om vi \u200b\u200bantar att $ a \u003d $ 3 är vårt ursprungliga nummer, vilket är värt rätt, och $ b \u003d 2 $ är den mest basen av den vägledande funktionen som vi vill ta med den högra delen så att vi får följande:
\\ [\\ BEGIN (Justera) & a \u003d (b) ^ (((\\ log) _ (b)) a)) \\ sagarrow 3 \u003d (((2) ^ (((\\ log) _ (2)) 3)); \\\\ & ((2) ^ (x)) \u003d 3 \\ rightrow ((2) ^ (x)) \u003d (((2) ^ (((\\ log) _ (2)) 3)) \\ righarrow x \u003d ((\\ log) _ (2)) 3. \\\\\\ slutet (justera) \\]
Fick ett litet konstigt svar: $ x \u003d ((\\ log) _ (2)) $ 3. I någon annan uppgift skulle många skratta i ett sådant svar och började kontrollera sin lösning: plötsligt var det ett misstag någonstans? Jag skyndar på att omvandla dig: inget fel är inte här, och logaritmen i de vägledande ekvationerna är en helt typisk situation. Så bli van vid. :)
Nu bestämmer vi oss av analogi av de återstående två ekvationerna:
\\ [\\ BEGIN (Justera) & ((5) ^ (x)) \u003d 15 \\ Sightarrow ((5) ^ (x)) \u003d ((5) ^ (((\\ log) _ (5)) 15)) \\ Sagarrow x \u003d ((\\ log) _ (5)) 15; \\\\ δ ((4) ^ (2x)) \u003d 11 \\ sagarrow ((4) ^ (2x)) \u003d ((4) ^ (((\\ log) _ (4)) 11)) \\ righarrow 2x \u003d ( (\\ log) _ (4)) 11 \\ rightarrow x \u003d \\ frac (1) (2) ((\\ log) _ (4)) 11. \\\\\\ slutet (justera) \\]
Det är allt! Förresten kan det sista svaret skrivas annars:
Detta gjorde vi en multiplikator till loggarmens argument. Men ingen hindrar oss från att göra den här multiplikatorn till marken:
I det här fallet är alla tre alternativen korrekta - det här är helt enkelt olika former av inspelning av samma nummer. Vilken man väljer och skriver ner i det aktuella beslutet - att bara lösa dig.
Således lärde vi oss hur man löser några indikativa ekvationer av typen $ ((a) ^ (x)) \u003d b $, där siffrorna $ a $ och $ b $ är strängt positiva. Men den hårda verkligheten i vår värld är sådan att sådana enkla uppgifter kommer att träffa dig väldigt och mycket sällan. Mycket oftare kommer du att stöta på något så här:
\\ [\\ inbegripa (justera) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11; \\\\ & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09. \\\\\\ slutet (justera) \\]
Tja, hur man löser det här? Är det möjligt att lösa? Och i så fall, hur?
Utan panik. Alla dessa ekvationer snabbt och enkelt minskar de enkla formlerna som vi redan har beaktat. Behöver bara veta ett par tekniker från Algebra. Och naturligtvis är här ingenstans utan regler för att arbeta med grader. Om detta kommer jag att berätta för dig nu. :)
Transformation av vägledande ekvationer
Det första som kommer ihåg är: Varje vägledande ekvation, oavsett hur svårt det ändå, bör minskas till de enklaste ekvationerna - därmed har vi redan övervägt och som vi vet hur man löser. Med andra ord är systemet att lösa någon vägledande ekvation som följer:
- Registrera källekvationen. Till exempel: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
- Göra lite oförståelig skit. Eller till och med några hästar, som kallas "konvertera ekvation";
- Vid utgången för att erhålla de enklaste uttrycken av typen $ ((4) ^ (x)) \u003d $ 4 eller något annat i denna ande. Dessutom kan en initial ekvation ge flera sådana uttryck samtidigt.
Med det första objektet är allt klart - även min katt kommer att kunna spela in ekvationen på bladet. Med den tredje punkten verkar det mer eller mindre klart - vi har redan stötte sådana ekvationer.
Men hur man är med det andra objektet? Vilken typ av omvandling? Vad ska man konvertera i? Och hur?
Tja, låt oss förstå. Först och främst noterar jag följande. Alla vägledande ekvationer är uppdelade i två typer:
- Ekvationen består av vägledande funktioner med samma bas. Exempel: $ ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 $;
- Formeln har demonstrationsfunktioner med olika baser. Exempel: $ ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)) $ och $ ((100) ^ (x - 1) ) \\ Cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09 $.
Låt oss börja med ekvationerna för den första typen - de löses det enklaste. Och i deras lösning kommer vi att hjälpa en sådan mottagning som fördelningen av hållbara uttryck.
Tilldelning av ett stabilt uttryck
Låt oss titta på den här ekvationen igen:
\\ [((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x - 1)) \u003d ((4) ^ (x + 1)) - 11 \\]
Vad ser vi? Fourthkee är uppbyggd i olika grader. Men alla dessa grader är de enkla mängderna av $ X $ -variabeln med andra nummer. Därför är det nödvändigt att återkalla reglerna för att arbeta med grader:
\\ [\\ BEGIN (Justera) & ((a) ^ (x + y)) \u003d ((a) ^ (x)) \\ cdot (a) ^ (y)); \\\\ & (a) ^ (xy)) \u003d ((a) ^ (x)): ((a) ^ (y)) \u003d \\ frac (((a) ^ (x))) ((() ^ (y))). \\\\\\ slutet (justera) \\]
Enkelt uttryckt kan tillägget av indikatorer omvandlas till graden av grader, och subtraktionen omvandlas enkelt till division. Låt oss försöka tillämpa dessa formler till grader från vår ekvation:
\\ [\\ Börja (justera) & ((4) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (((4) ^ (x))) (((4) ^ (1))) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4); \\\\ · ((4) ^ (x + 1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot ((4) ^ (1)) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4. \\ \\\\ ände (justera) \\]
Jag skriver om den ursprungliga ekvationen, med hänsyn till detta faktum och samlar sedan alla komponenter till vänster:
\\ [\\ Börja (justera) & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) \u003d ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 -elva; \\\\ & ((4) ^ (x)) + ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (1) (4) - ((4) ^ (x)) \\ cdot 4 + 11 \u003d 0. \\\\\\ slutet (justera) \\]
I de första fyra komponenterna finns ett element $ ((4) ^ (x)) $ - Jag kommer att ta med det för konsolen:
\\ [\\ inbegripa (justera) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ vänster (1 + frac (1) (4) -4 \\ höger) + 11 \u003d 0; \\\\ & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ frac (4 + 1-16) (4) + 11 \u003d 0; \\\\ & (4) ^ (x)) \\ cdot \\ vänster (- \\ frac (11) (4) \\ höger) \u003d - 11. \\\\\\ slutet (justera) \\]
Det återstår att dela båda delar av ekvationen för fraktionen av $ - frac (11) (4) $, dvs. I huvudsak multiplicera till Overtook-fraktionen - $ - \\ frac (4) (11) $. Vi får:
\\ [\\ Börja (justera) & ((4) ^ (x)) \\ cdot \\ vänster (- \\ frac (11) (4) \\ höger) \\ cdot \\ vänster (- \\ frac (4) (11) \\ höger ) \u003d - 11 \\ cdot \\ vänster (- \\ frac (4) (11) \\ höger); \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d 4; \\\\ & ((4) ^ (x)) \u003d ((4) ^ (1)); \\\\ & x \u003d 1. \\\\\\ slutet (justera) \\]
Det är allt! Vi minskade den första ekvationen till det enklaste och fick det sista svaret.
Samtidigt, i processen med lösningar, fann vi (och till och med utförd för konsolen) den totala multiplikatorn $ ((4) ^ (x)) är ett stabilt uttryck. Det kan betecknas med en ny variabel, och du kan helt enkelt uttrycka och få svaret. I vilket fall som helst, den viktigaste principen om att lösa följande:
Hitta ett stabilt uttryck i källekvationen som innehåller en variabel som enkelt markeras från alla de vägledande funktionerna.
Den goda nyheten är att nästan varje vägledande ekvation möjliggör fördelningen av ett sådant stabilt uttryck.
Men det finns dåliga nyheter: Sådana uttryck kan vara mycket listiga, och det är ganska svårt att fördela dem. Därför kommer vi att analysera en annan uppgift:
\\ [((5) ^ (x + 2)) + ((0,2) ^ (- x - 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2 \\]
Kanske har någon nu en fråga: "Pasha, vad visste du? Här, olika baser - 5 och 0,2 ". Men låt oss försöka konvertera en examen med en bas på 0,2. Till exempel, bli av med decimalfraktioner, vilket ger det normalt:
\\ [((0,2) ^ (- x - 1)) \u003d (((0,2) ^ (- vänster (x + 1 \\ höger))) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (2) (10) \\ höger )) ^ (- \\ vänster (x + 1 \\ höger))) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (1) (5) \\ höger)) ^ (- \\ vänster (x + 1 \\ höger))) \\]
Som du kan se, uppvisade numret 5 trots allt, låt det både i denominatorn. Samtidigt ompröva indikatorn i form av en negativ. Och nu kommer jag ihåg en av de viktigaste reglerna för att arbeta med grader:
\\ [(a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) (((a) ^ (n))) \\ Sightarrow ((\\ vänster (\\ frac (1) (5) \\ höger)) ^ ( - \\ vänster (x + 1 \\ höger))) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (5) (1) \\ höger)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\ Anklagelse
Här rusade jag självklart. Eftersom för en fullständig förståelse av formeln av befrielse från negativa indikatorer var det nödvändigt att spela in så här:
\\ [(a) ^ (- n)) \u003d \\ frac (1) ((a) ^ (n))) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (1) (a) \\ höger)) ^ (n )) \\ Righterrow ((\\ vänster (\\ frac (1) (5) \\ höger)) ^ (- \\ vänster (x + 1 \\ höger))) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (5) (1) \\ Höger)) ^ (x + 1)) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\]
Å andra sidan hindrade ingenting att vi skulle arbeta med ett skott:
\\ [((\\ vänster (\\ frac (1) (5) \\ höger)) ^ (- \\ vänster (x + 1 \\ höger))) \u003d ((\\ vänster (((5) ^ (- 1)) \\ Höger)) ^ (- \\ vänster (x + 1 \\ höger))) \u003d ((5) ^ (\\ vänster (-1 \\ höger) \\ cdot \\ vänster (- \\ vänster (x + 1 \\ höger) \\ höger) )) \u003d ((5) ^ (x + 1)) \\]
Men i det här fallet måste du kunna upprepa en examen i en annan grad (påminna dig: Indikatorerna är vikta). Men jag behövde inte "vända" fraktionerna - kanske för någon det blir lättare. :)
I alla fall kommer den ursprungliga vägledande ekvationen att omskrivas som:
\\ [\\ Börja (justera) & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 1)) + 4 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + 5 \\ cdot ((5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (1)) \\ cdot (5) ^ (x + 1)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) + ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & 2 \\ cdot ((5) ^ (x + 2)) \u003d 2; \\\\ & ((5) ^ (x + 2)) \u003d 1. \\\\\\ slutet (justera) \\]
Så det visar sig att den ursprungliga ekvationen är ännu enklare än den tidigare anses: det är inte nödvändigt att fördela ett stadigt uttryck - allting själv har minskat. Det är bara att återkalla att $ 1 \u003d ((5) ^ (0)) $, varifrån vi får:
\\ [\\ BEGIN (Justera) & ((5) ^ (x + 2)) \u003d ((5) ^ (0)); \\\\ & x + 2 \u003d 0; \\\\ & x \u003d -2. \\\\\\ slutet (justera) \\]
Det är allt beslut! Vi fick det sista svaret: $ x \u003d -2 $. Samtidigt vill jag notera en mottagning, vilket i stort sett förenklade oss alla beräkningar:
I de nedre ekvationerna, var noga med att bli av med decimalfraktioner, översätta dem till vanliga. Detta gör att du kan se samma grund för grader och kommer att väsentligt förenkla beslutet.
Låt oss nu vända oss till mer komplexa ekvationer där det finns olika fundament som inte alls är reducerade till varandra med hjälp av grader.
Använd egenskaperna för grader
Låt mig påminna dig om att vi har två mer speciellt hårda ekvationer:
\\ [\\ Börja (justera) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & ((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2,7) ^ (1-x)) \u003d 0,09. \\\\\\ slutet (justera) \\]
Huvudsvårigheten här är inte klart vad man ska ta med till vilken grund. Var är de stabila uttrycken? Var är samma stiftelser? Det finns inget behov av det.
Men låt oss försöka gå till ett annat sätt. Om det inte finns några färdiga värden kan du försöka hitta, lägga ut orsakerna till multiplikatorerna.
Låt oss börja med den första ekvationen:
\\ [\\ Börja (justera) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & 21 \u003d 7 \\ cdot 3 \\ sagarrow ((21) ^ (3x)) \u003d ((\\ vänster (7 \\ cdot 3 \\ höger)) ^ (3x)) \u003d ((7) ^ (3x)) \\ CDOT ((3) ^ (3x)). \\\\\\ slutet (justera) \\]
Men trots allt kan du fortsätta - sminka från nummer 7 och 3 nummer 21. Särskilt det är lätt att göra till vänster, eftersom indikatorerna och båda graderna är desamma:
\\ [\\ Börja (justera) & ((7) ^ (x + 6)) \\ cdot ((3) ^ (x + 6)) \u003d ((\\ vänster (7 \\ cdot 3 \\ höger)) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (x + 6)); \\\\ & ((21) ^ (x + 6)) \u003d ((21) ^ (3x)); \\\\ & x + 6 \u003d 3x; \\\\ & 2x \u003d 6; \\\\ & x \u003d 3. \\\\\\ slutet (justera) \\]
Det är allt! Du gjorde en indikator på graden utanför arbetet och fick omedelbart en vacker ekvation, som löses i ett par linjer.
Nu kommer vi att hantera den andra ekvationen. Allt är mycket svårare här:
\\ [((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((2.7) ^ (1-x)) \u003d 0,09 \\]
\\ [((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((\\ vänster (\\ frac (27) (10) \\ höger)) ^ (1-x)) \u003d \\ frac (9) (100) \\]
I detta fall var fraktionerna bortkotiserade, men om något kunde minskas - var noga med att minska. Ofta kommer det på samma sätt intressanta grunder som du redan kan arbeta.
Också, tyvärr uppträdde ingenting verkligen. Men vi ser att indikatorerna på grader som står i arbetet till vänster är motsatta:
Låt mig påminna dig: att bli av med "minus" -tecknet i indikatorn, det är tillräckligt för att "vända" fraktionen. Tja, skriv om den ursprungliga ekvationen:
\\ [\\ Börja (justera) & ((100) ^ (x - 1)) \\ cdot ((\\ vänster (\\ frac (10) (27) \\ höger)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9 ) (100); \\\\ \\ (\\ vänster (100 \\ cdot \\ frac (10) (27) \\ höger)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9) (100); \\\\ & ((\\ vänster (\\ frac (1000) (27) \\ höger)) ^ (x - 1)) \u003d \\ frac (9) (100). \\\\\\ slutet (justera) \\]
I den andra raden utförde vi helt enkelt en allmän siffra från arbetet för en konsol enligt regeln $ ((a) ^ (x)) \\ cdot ((b) ^ (x)) \u003d (((vänster (a \\ cdot b \\ höger)) ^ (x)) $, och i sistnämnda multiplicerade bara nummer 100 med fraktion.
Nu noterar vi att siffrorna står till vänster (vid basen) och till höger, är lika. Än? Ja, självklart: de är grader av samma nummer! Vi har:
\\ [\\ inbegripa (justera) \\ frac (1000) (27) \u003d \\ frac (((10) ^ (3))) (((3) ^ (3))) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (10 ) (3) \\ höger)) ^ (3)); \\\\ \\ frac (9) (100) \u003d \\ frac (((3) ^ (2))) (((10) ^ (3))) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (3) (10) \\ Höger)) ^ (2)). \\\\\\ slutet (justera) \\]
Således kommer vår ekvation att skriva om enligt följande:
\\ [((\\ vänster ((\\ vänster (\\ frac (10) (3) \\ höger)) ^ (3)) \\ höger)) ^ (x - 1)) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (3) (10) \\ höger) ^ (2)) \\]
\\ [((\\ vänster (((\\ vänster (\\ frac (10) (3) \\ höger)) ^ (3)) \\ höger)) ^ (x - 1)) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (10 ) (3) \\ höger)) ^ (3 \\ vänster (x - 1 \\ höger))) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (10) (3) \\ höger)) ^ (3x-3)) \\]
Samtidigt kan du också få en examen med samma grund, för vilken det är tillräckligt att "vända" fraktionen:
\\ [(((\\ vänster (\\ frac (3) (10) \\ höger)) ^ (2)) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (10) (3) \\ höger)) ^ (- 2)) \\]
Slutligen kommer vår ekvation att ta formuläret:
\\ [\\ Börja (justera) & ((\\ vänster (\\ frac (10) (3) \\ höger)) ^ (3x-3)) \u003d ((\\ vänster (\\ frac (10) (3) \\ höger)) ^ (- 2)); \\\\ & 3x-3 \u003d -2; \\\\ & 3x \u003d 1; \\\\ & x \u003d \\ frac (1) (3). \\\\\\ slutet (justera) \\]
Det är hela beslutet. Hans huvudidé är reducerad till det faktum att vi även på olika skäl försöker av alla sanningar och inkonsekvenser för att minska dessa skäl för detsamma. Detta bidrar till grundläggande omvandlingar av ekvationer och regler för arbete med grader.
Men vad är reglerna och när du ska använda? Hur man förstår det i en ekvation måste du dela båda sidor för något, och i det andra - att lägga grunden för den vägledande funktionen på multiplikatorerna?
Svaret på denna fråga kommer med erfarenhet. Försök med din hand först på vanliga ekvationer, och sedan gradvis komplicera uppgifterna - och snart kommer dina färdigheter att räcka för att lösa någon vägledande ekvation från samma användning eller något oberoende / testarbete.
Och för att hjälpa dig i den här tiden, föreslår jag att ladda ner en uppsättning ekvationer för en oberoende lösning på min webbplats. Till alla ekvationer finns det svar, så du kan alltid kolla dig själv.
Exempel:
\\ (4 ^ x \u003d 32 \\)
\\ (5 ^ (2x-1) -5 ^ (2x-3) \u003d 4,8 \\)
\\ ((\\ sqrt (7)) ^ (2x + 2) -50 \\ cdot (\\ sqrt (7)) ^ (x) + 7 \u003d 0 \\)
Hur man löser exponentiella ekvationer
Vid lösning, strävar vi efter att leda till formuläret \\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\) och sedan göra övergången till jämlikhet av indikatorer, det vill säga:
\\ (A ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\) \\ (⇔ \\) \\ (f (x) \u003d g (x) \\)
Till exempel: \\ (2 ^ (x + 1) \u003d 2 ^ 2 \\) \\ (⇔ \\) \\ (x + 1 \u003d 2 \\)
Viktig! Från samma logik följer två krav för en sådan övergång:
- nummer B. till vänster och höger bör vara densamma;
- grader till vänster och höger bör vara "ren"det vill säga det borde finnas några, multiplikationer, divisioner etc.
Till exempel:
Att njuta av ekvationen till formuläret \\ (a ^ (f (x)) \u003d a ^ (g (x)) \\) applicera och.
Exempel
. Bestäm den vägledande ekvationen \\ (\\ sqrt (27) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3)) ^ (2x) \\)
Beslut:
|
\\ (\\ sqrt (27) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3))) ^ (2x) \\) |
Vi vet att \\ (27 \u003d 3 ^ 3 \\). Med detta i åtanke omvandlar vi ekvationen. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\\ (\\ sqrt (3 ^ 3) · 3 ^ (x - 1) \u003d ((\\ frac (1) (3)) ^ (2x) \\) |
Av Rotens egendom \\ (\\ sqrt [n] (a) \u003d a ^ (\\ frac (1) (n)) \\) Vi får det \\ (\\ sqrt (3 ^ 3) \u003d ((3 ^ 3) ) ^ (\\ Frac (1) (2)) \\). Därefter, med hjälp av graden av grader \\ ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (bc) \\), erhåller vi \\ (((3 ^ 3)) ^ (\\ frac (1) (2)) \u003d 3 ^ (3 \\ cdot \\ frac (1) (2)) \u003d 3 ^ (\\ frac (3) (2)) \\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\\ (3 ^ (\\ frac (3) (2)) \\ cdot 3 ^ (x - 1) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (2x) \\) |
Vi vet också att \\ (a ^ b · a ^ c \u003d a ^ (b + c) \\). Applicera detta på vänster sida, vi får: \\ (3 ^ (\\ frac (3) (2)) · 3 ^ (x - 1) \u003d 3 ^ (\\ frac (3) (2) + x - 1) \u003d 3 ^ (1,5 + x - 1) \u003d 3 ^ (x + 0,5) \\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\\ (3 ^ (x + 0,5) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (2x) \\) |
Kom nu ihåg att: \\ (a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) \\). Denna formel kan också användas i motsatt riktning: \\ (\\ frac (1) (a ^ n) \u003d a ^ (- n) \\). Sedan \\ (\\ frac (1) (3) \u003d \\ frac (1) (3 ^ 1) \u003d 3 ^ (- 1) \\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\\ (3 ^ (x + 0,5) \u003d (3 ^ (- 1)) ^ (2x) \\) |
Applicering av egenskapen \\ ((a ^ b) ^ c \u003d a ^ (bc) \\) till den högra delen, vi får: \\ ((3 ^ (- 1)) ^ (2x) \u003d 3 ^ ((- 1) · 2x) \u003d 3 ^ (- 2x) \\). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
\\ (3 ^ (x + 0,5) \u003d 3 ^ (- 2x) \\) |
Och nu har vi grundarna lika och det finns inga störande koefficienter etc. Så vi kan göra övergången. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
Exempel
. Lös den vägledande ekvationen \\ (4 ^ (x + 0,5) -5 · 2 ^ x + 2 \u003d 0 \\)
Svar : \(-1; 1\). Frågan är kvar - hur man förstår när vilken metod tillämpas? Det kommer med erfarenhet. Under tiden fungerade du inte, använd den allmänna rekommendationen för att lösa komplexa uppgifter - "du vet inte vad du ska göra - gör vad du kan". Det är, leta efter hur du kan konvertera ekvationen i princip och försök att göra det - plötsligt vad som kommer ut? Det viktigaste är att bara göra matematiskt rimliga omvandlingar. Vägledande ekvationer som inte har lösningarVi kommer att analysera ytterligare två situationer som ofta läggs i studentens dödläge: Låt oss försöka lösa bysten. Om X är ett positivt tal kommer den ökande graden \\ (2 ^ x \\) bara att växa: \\ (x \u003d 1 \\); \\ (2 ^ 1 \u003d 2 \\) \\ (x \u003d 0 \\); \\ (2 ^ 0 \u003d 1 \\) Också av. Det finns negativa canes. Kom ihåg egenskapen \\ (a ^ (- n) \u003d \\ frac (1) (a ^ n) \\), kontrollera: \\ (x \u003d -1 \\); \\ (2 ^ (- 1) \u003d \\ frac (1) (2 ^ 1) \u003d \\ frac (1) (2) \\) Trots det faktum att numret med varje steg blir mindre, kommer det aldrig att nå noll. Så och den negativa graden räddade oss inte. Vi kommer till logisk slutsats: Ett positivt tal i vilken utsträckning som helst kommer att förbli ett positivt tal.Således har båda ekvationerna ovan inga lösningar. Vägledande ekvationer med olika baserI praktiken finns det ibland vägledande ekvationer med olika baser som inte reduceras till varandra och samtidigt med samma indikatorer. De ser ut så här: \\ (a ^ (f (x)) \u003d b ^ (f (x)) \\), där \\ (a \\) och \\ (b \\) är positiva tal. Till exempel: \\ (7 ^ (x) \u003d 11 ^ (x) \\) Sådana ekvationer kan lätt lösas genom att dividera på någon av de delar av ekvationen (vanligtvis uppdelad på höger sida, det vill säga på \\ (b ^ (f (x)) \\). Så du kan dela, eftersom ett positivt tal är i alla fall positiva (det vill säga är vi inte dividerat med noll). Vi får: \\ (\\ Frac (a ^ (f (x))) (b ^ (f (x))) \\) \\ (\u003d 1 \\) Exempel
. Lös den vägledande ekvationen \\ (5 ^ (x + 7) \u003d 3 ^ (x + 7) \\)
Svar : \(-7\). Ibland är "samma" indikatorer på graden inte uppenbart, men den skickliga användningen av graden av grad löser problemet. Exempel
. Lös den vägledande ekvationen \\ (7 ^ (2x-4) \u003d (\\ frac (1) (3)) ^ (- x + 2) \\)
Svar : \(2\). |
Vid förberedelsestudiet för slutstart av gymnasieelever, måste du strama kunskapen om ämnet "Indivala ekvationer". Erfarenheten av tidigare år indikerar att sådana uppgifter orsakar vissa svårigheter från skolbarn. Därför är högskolestudenter, oavsett deras förberedande nivå, nödvändigt att försiktigt assimilera teorin, kom ihåg formlerna och förstå principen att lösa sådana ekvationer. Efter att ha lyckats klara av denna typ av uppgifter kommer akademiker att kunna räkna med höga poäng när de passerar tentamen i matematik.
Gör dig redo för tentamen med "Shkolkovo"!
Vid upprepning av materialen som passerade står många studenter att få problemet med att hitta de formler som är nödvändiga för att lösa ekvationerna. Skoltextboken är inte alltid till hands, och valet av nödvändig information om ämnet på internet tar lång tid.
Utbildningsportalen "Skolkovo" erbjuder eleverna att utnyttja vår kunskapsbas. Vi genomför en helt ny metod för förberedelse för slutprovning. När du gör på vår hemsida kan du identifiera luckor i kunskap och uppmärksamma de uppdrag som orsakar störst svårigheter.
Lärare "Shkolkovo" samlades, systematiserades och skisserade allt material som var nödvändigt för den framgångsrika passagen av EGE så enkelt som möjligt och tillgängligt form.
De viktigaste definitionerna och formlerna presenteras i avsnittet "Teoretisk hjälp".
För bättre assimilering av materialet rekommenderar vi att du utövar uppgifterna. Se noggrant exempel på exponentiella ekvationer på den här sidan för att förstå beräkningsalgoritmen. Därefter fortsätter du att utföra uppgifter i avsnittet "Kataloger". Du kan börja med de enklaste uppgifterna eller omedelbart flytta till att lösa komplexa indikativa ekvationer med flera okända eller. Övningsbasen på vår sida kompletteras och uppdateras ständigt.
Dessa exempel med de indikatorer som har problem gör det möjligt att lägga till i favoriter. Så du kan snabbt hitta dem och diskutera beslutet med läraren.
För att framgångsrikt passera provet, engagera sig i Portalen "ShkolkoVo" varje dag!
På kanalen på YouTube vår webbplats för att hålla sig ajour med alla nya videolektioner.
Först, låt oss komma ihåg de grundläggande formlerna i graderna och deras egenskaper.
Antalet arbete a. Själv inträffar n gånger, det här uttrycket vi kan skriva ner som en a a ... a \u003d a n
1. A 0 \u003d 1 (a ≠ 0)
3. A n a m \u003d a n + m
4. (a n) m \u003d a nm
5. A n B n \u003d (ab) n
7. A N / A m \u003d A N-M
Kraft eller demonstration ekvationer - Det här är ekvationer där variabler är i grader (eller indikatorer), och grunden är numret.
Exempel på vägledande ekvationer:
I det här exemplet är nummer 6 grunden den alltid står nere och variabeln x. grad eller indikator.
Låt oss ge fler exempel på de vägledande ekvationerna.
2 x * 5 \u003d 10
16 x - 4 x - 6 \u003d 0
Nu kommer vi att analysera hur demonstrationsekvationerna löses?
Ta en enkel ekvation:
2 x \u003d 2 3
Detta exempel kan lösas även i sinnet. Det kan ses att x \u003d 3. När allt kommer omkring, så att vänster och höger del ska vara lika med nummer 3 istället för x.
Låt oss nu se hur det är nödvändigt att utfärda detta beslut:
2 x \u003d 2 3
x \u003d 3.
För att lösa en sådan ekvation, tog vi bort samma grunder (dvs två) och registrerade det som återstår, det är grader. Fått det önskade svaret.
Sammanfattar nu vårt beslut.
Algoritm för att lösa en vägledande ekvation:
1. Behöver kolla det samma Lee Foundations på ekvationen till höger och vänster. Om baserna inte är detsamma som att leta efter alternativ för att lösa detta exempel.
2. Efter att grunden blir desamma, likvärdig grader och lösa den resulterande nya ekvationen.
Skriv nu några exempel:
Låt oss börja med en enkel.
Baserna i vänster och höger del är lika med nummer 2, vilket innebär att vi kan avvisa och jämföra deras grader.
x + 2 \u003d 4 Det visade sig den enklaste ekvationen.
X \u003d 4 - 2
x \u003d 2.
Svar: x \u003d 2
I följande exempel kan det ses att baserna är olika. Det är 3 och 9.
3 3x - 9 x + 8 \u003d 0
Till att börja med överför vi de nio till höger, vi får:
Nu måste du göra samma grund. Vi vet att 9 \u003d 3 2. Vi använder graden formel (A n) m \u003d en nm.
3 3x \u003d (3 2) x + 8
Vi får 9 x + 8 \u003d (3 2) x + 8 \u003d 3 2x + 16
3 3x \u003d 3 2x + 16 Nu är det klart att i vänster och höger sida av basen samma och lika med trojkan, vilket innebär att vi kan kassera dem och jämföra grader.
3x \u003d 2x + 16 fick den enklaste ekvationen
3x - 2x \u003d 16
x \u003d 16.
Svar: x \u003d 16.
Vi tittar på följande exempel:
2 2x + 4 - 10 4 x \u003d 2 4
Först tittar vi på basen, grunden är olika två och fyra. Och vi måste vara desamma. Vi konverterar de fyra med formeln (a n) m \u003d a nm.
4 x \u003d (2 2) x \u003d 2 2x
Och använd också en formel A n a m \u003d a n + m:
2 2x + 4 \u003d 2 2x 2 4
Lägg till i ekvation:
2 2x 2 4 - 10 2 2x \u003d 24
Vi ledde ett exempel på samma skäl. Men vi stör andra nummer 10 och 24. Vad ska man göra med dem? Om du kan se att det är klart att vi har 2 2 2, det är svaret - 2 2, vi kan ta ut parenteserna:
2 2x (2 4 - 10) \u003d 24
Vi beräknar uttrycket i parentes:
2 4 — 10 = 16 — 10 = 6
Alla ekvation delim till 6:
Föreställ dig 4 \u003d 2 2:
2 2x \u003d 2 2 baser är desamma, kasta ut dem och jämföra grader.
2x \u003d 2 Det visade sig den enklaste ekvationen. Vi delar upp det på 2
x \u003d 1.
Svar: x \u003d 1.
Lösande ekvation:
9 x - 12 * 3 x + 27 \u003d 0
Vi förvandlar:
9 x \u003d (3 2) x \u003d 3 2x
Vi får ekvationen:
3 2x - 12 3 x +27 \u003d 0
De fundament som vi har samma är lika med tre. I det här exemplet kan det ses att den första tre graden två gånger (2x) är större än den för den andra (helt enkelt x). I det här fallet kan du lösa ersättningsmetod. Numret med den minsta examen ersätt:
Sedan 3 2x \u003d (3 x) 2 \u003d t 2
Vi ersätter i ekvation alla grader med håligheter på t:
t 2 - 12T + 27 \u003d 0
Vi får en fyrkantig ekvation. Vi bestämmer oss genom diskrimineringen, vi får:
D \u003d 144-108 \u003d 36
T 1 \u003d 9
T 2 \u003d 3
Återgå till variabeln x..
Ta T 1:
T 1 \u003d 9 \u003d 3 x
Det är,
3 x \u003d 9
3 x \u003d 3 2
x 1 \u003d 2
En rot hittad. Vi letar efter den andra, från t 2:
T 2 \u003d 3 \u003d 3 x
3 x \u003d 3 1
x 2 \u003d 1
Svar: x 1 \u003d 2; x 2 \u003d 1.
På webbplatsen kan du i hjälp med lösa beslut att fråga dig ställa frågor.
Gå med i gruppen
Hur man återvänder sin mans kärlek till sin fru - tips av psykologen
Varför kan du inte ge ikoner