Konforma mappningar för dummies. Konceptet med konform kartläggning. Självtestfrågor

Geometrisk betydelse av modulen och argument för en analytisk funktion. Låt funktionen w=f(z)är analytisk i någon domän D. Låt oss välja en godtycklig punkt och rita genom den en godtycklig jämn kurva som ligger helt i D. Fungera F Z) visar området D komplext plan ( z) per region G komplext plan ( w). Låt en punkt avbildas till en punkt, och en kurva avbildas till en kurva. Låt oss beteckna med vinkeln som görs av tangenten till punkten med axeln Oxe, och genom - vinkeln som görs av tangenten vid punkten med axeln Ou. Sedan funktionen F Z) analytisk, så finns det en derivata var som helst i regionen D. Låt oss anta att i D. Derivatan kan representeras i exponentiell form, dvs. skriv det i formen:

Låt oss välja en metod för strävan där punkterna ligger på kurvan. Då kommer motsvarande punkter Komplexa tal och på planet att representeras av vektorer sekant till kurvorna respektive och och är längden på sekantvektorerna, och och är de vinklar som bildas av dessa vektorer och de positiva axlarna. När dessa sekantvektorer blir tangent till kurvorna och vid punkter och . Av likhet (10) följer att , d.v.s. derivatargumentet har den geometriska betydelsen av skillnaden mellan vinkeln för kurvans tangentvektor och vinkeln för tangentvektorn. Eftersom derivatan inte är beroende av metoden för att passera till gränsen, kommer den att vara densamma för alla andra kurvor som passerar genom punkten. Med andra ord, bågar som passerar genom en punkt z 0 på ytan z när den visas w=f(z) rotera genom samma vinkel på planet w. När vinkeln mellan eventuella kurvor på planet ( z), passerar genom punkten z 0, är lika med vinkeln mellan kurvorna och på planet ( w), då kallas detta en egenskap bevarande (konservatism) av vinklar.

På liknande sätt får vi från jämlikhet (10): , dvs. upp till kvantiteter av högre ordning av litenhet, gäller jämlikheten: .

Den sista relationen beror inte heller på metoden för att välja kurvan och dess geometriska betydelse är att när kartläggningen utförs av en analytisk funktion som uppfyller villkoret, transformeras infinitesimala linjära element (infinitesimala bågar) på liknande sätt, och modulus för derivatan kallas likhetskoefficient. Denna egenskap hos denna mappning kallas egenskapen konstant sträckning, Det är därför käven kallad sträckfaktor. De säger att när k>1 – stretching, och när k<1 – сжатие.

Definition av konform kartläggning och grundläggande egenskaper. Definition 17. En-till-en-områdeskartering D komplext plan ( z) per region G komplext plan ( w) kallad konform, om det är på alla punkter z D har egenskapen att bibehålla vinklar och konstant sträckning.

Sats 6. För den komplexa funktionen w=f(z) kartlagt området konformt D plan ( z) per region G plan ( w), är det nödvändigt och tillräckligt för att det ska vara analytiskt i D och inte någonstans i regionen D.

□ Nödvändighet. Låt oss anta. vad är funktionen w=f(z) utför konform kartläggning. Per definition innebär detta att uppfylla egenskaperna att bevara vinklar och konstant sträcka. Låt oss ta det på ett flygplan z godtycklig punkt z 0 och i dess närhet finns det två punkter: z 1 Och z 2 . På ytan w de kommer att motsvara poäng w 0 , w 1 , w 2

Med en noggrannhet på upp till oändliga kvantiteter kommer följande relationer att vara uppfyllda: , och från vinklarnas beständighet följer det: . Av likheten för argumenten följer att vinklarna är lika inte bara i absolut värde utan också i riktning. Som ett resultat får vi: .

Av de två sista likheterna följer alltså, exakt till oändligt små, att följande likheter är uppfyllda: . På grund av godtyckligheten i valet av punkt z 0 och poäng z 1, z 2 av dess närhet följer att det finns Lämplighet. Låt derivatan existera och inte vara lika med noll i regionen D, så följer av den geometriska betydelsen av derivatan att egenskaperna för bevarande av vinklar och förlängningskonstans är uppfyllda, och detta innebär per definition att funktionen utför en konform avbildning. ■

Konform kartläggning används för att lösa problem inom matematisk fysik, hydrodynamik och aerodynamik, elasticitetsteori och teorin om elektromagnetiska och termiska fält. Huvuduppgiften för teorin om konform kartläggning är att hitta funktionen hos en komplex variabel w=f(z), som skulle visa ett givet område D plan z till ett givet område G plan w. Teoremet spelar en viktig roll för att lösa detta problem.

Sats 7. Vilken enkelt ansluten region som helst D komplext plan z, vars gräns består av mer än en punkt kan avbildas konformt på det inre av enhetscirkeln<1 комплексной плоскости w.(inget bevis).

Detta teorem innebär möjligheten till en konform kartläggning av en given region D till ett givet område G, om gränsen för varje region består av mer än en punkt. Kartlägg sedan dessa områden på hjälpcirkel <1, мы получим искомое отображение. Конформное отображение многосвязной области на односвязную область невозможно, но в ряде случаев возможно конформное отображение областей одинаковой связности. Рассмотрим два конформных отображения.

Linjär display. Linjärär en mappning utförd av en linjär funktion där a Och b- komplexa tal.

En sådan mappning är en-till-en och konform på hela det komplexa planet eftersom den linjära mappningen lämnar två punkter fixerade:

Låt oss föreställa oss en linjär mappning i form av tre enklaste.

1) Transformation av rotationen av hela z-planet med en vinkel runt origo:

2) Likhetsomvandling med likhetens centrum vid ursprunget, dvs. stretching vid >1 och kompression vid 0< <1:

3) Parallell överföring till vektor b:

Exempel 4. Hitta en funktion som visar en triangel med givna hörn z1=-1, z2=i, z3=1 till en triangel med hörn w1=0, w2=-2+2i, w3=4i.

Lösning. Låt oss konstruera den nödvändiga funktionen som en överlagring av tre elementära transformationer.

1) - vrid med en vinkel moturs;

2) - dubbel sträckning;

3) - flytta upp två enheter;

Den obligatoriska funktionen har formen:

Fraktionell linjär kartläggning. Bråkdel linjär funktion, där a,b,c,d- komplexa tal implementeras fraktionerad linjär kartläggning utökat komplext plan z w. Låt oss hitta derivatan: if .

Definition 18. Poäng z 1 Och z 2 kallas symmetrisk om cirkeln, om de ligger på samma stråle som passerar genom punkterna z 1, z 2 och punkt z 0 , och .

Inversion i förhållande till en cirkel är en transformation av det utökade komplexa planet till sig själv som tar varje punkt z 1 plan till punkt z 2, symmetrisk om denna cirkel. Låt oss betrakta mappningen som definieras av funktionen och beteckna. Med hjälp av modulens egenskap kan vi skriva: . Härav följer att avbildningen i fråga är en inversion med avseende på en cirkel med radie R, centrerad vid origo följt av en spegelbild i förhållande till den verkliga axeln.

I analogi med en linjär mappning, låt oss föreställa oss en fraktionell-linjär mappning som en överlagring av de enklaste transformationerna. Låt oss först välja hela delen av bråket:

De enklaste omvandlingarna kommer att vara följande:

1) parallell överföring till: ;

2) inversionstransformation i förhållande till en cirkel med radie R centrerad vid ursprunget följt av en spegelbild om den verkliga axeln: ;

3) rotation i förhållande till origo: ;

4) parallell överföring till: .

Exempel 5. Hitta området dit cirkeln kommer att gå under en linjär-fraktionell mappning.

Lösning.

Detta kommer att vara den cirkel som erhålls efter följande transformationer:

1) flytta 1 ned:

2) inversion i förhållande till , bypassriktningen kommer att ändras:

3) rotera 90 grader:

4) flytta 1 ned:

Egenskaper för fraktionerad linjär mappning. Utan bevis formulerar vi följande egenskaper.

1. Överensstämmelse. Den linjära fraktionella funktionen kartlägger konformt det utökade komplexa planet z till det utökade komplexa planet w.

2. Unikhet. Det finns en unik linjär bråkfunktion som ges tre olika punkter z 1, z 2, z 3 plan z visas på tre olika punkter w 1, w 2, w 3 plan w och denna kartläggning ges av jämlikheten: .

3. Cirkulär egendom. Med en fraktionerad linjär mappning är bilden av en cirkel i vid mening en cirkel (i vid mening, dvs. en cirkel eller vilken rät linje som helst).

4. Principen att visa gränser. Med fraktionerad linjär kartläggning omvandlas ett område som ligger inuti en cirkel till ett område som ligger antingen innanför eller utanför den transformerade cirkeln (gränsen mappas till en gräns).

5. Principen för Riemann-Schwartz symmetri. Med en fraktionerad linjär mappning mappas punkter som är symmetriska med avseende på en cirkel till punkter som är symmetriska med avseende på den transformerade cirkeln (symmetri i betydelsen inversion).

Exempel 6. Det övre halvplanet av planet specificeras z och en godtycklig punkt z 0. Hitta en funktion som mappar den till planets enhetscirkel w så att z 0 visas i mitten av cirkeln.

Lösning.

Låt , då enligt principen om kartläggning av gränser, den verkliga axeln på planet z kommer att mappas till en cirkel med enhetsradie. Enligt egenskapen symmetri kommer en punkt att mappas till en punkt. Med hänsyn till detta kommer vi alltså att konstruera en funktion. Om vi ​​tar hänsyn till punkterna z, som ligger på den verkliga axeln, och dessa är punkter av formen: , då kommer jämlikheterna att vara tillfredsställda för dem: , eftersom de är alla på samma avstånd från en punkt som ligger på den verkliga axeln, dvs. vi har att alla punkter på den reella axeln kommer att mappas till alla punkter i enhetscirkeln. Därför finner vi att om vi betraktar modulen, kommer den nödvändiga mappningen att ha formen: .

Lös ett annat linjärt bråkmappningsproblem och infoga båda i den första modulen!

Skicka ditt goda arbete i kunskapsbasen är enkelt. Använd formuläret nedan

Studenter, doktorander, unga forskare som använder kunskapsbasen i sina studier och arbete kommer att vara er mycket tacksamma.

Postat på http://www.allbest.ru/

Konforma mappningar

1. Geometrisk betydelse av derivatan av en funktion av en komplex variabel

konform kartläggningsfunktion

Geometrisk betydelse för derivatargumentet

Låt oss först komma ihåg lite information om kurvor. Varje kurva på planet kan specificeras med parametriska ekvationer

x = x (t), y = y (t), b? t? i 1)

där x (t), y (t) är reella funktioner av en reell variabel t. I det följande antas det att dessa funktioner har kontinuerliga derivator på intervallet (b, c), och x"(t) och y"(t) försvinner inte samtidigt. En kurva som har dessa egenskaper kallas slät.

Eftersom varje punkt (x, y) på planet ges av ett komplext tal z = x + iy, kan ekvationer (1) skrivas i en mer kompakt form:

z (t) = x (t) + i y (t), b? t? V.

Låt oss ta värdena t 0 och t 0 + Дt från intervallet (b, c). De motsvarar punkterna z (t 0) och z (t 0 + D t) på kurvan.

Vektor Дz = z (t 0 + Дt) - z (t 0) = Дx + i Дy är riktad längs sekanten som passerar genom dessa punkter.

Om vi ​​multiplicerar Dz med ett reellt tal 1/Dt får vi vektorn Dz/Dt, kolinjär med vektorn Dz. Låt oss börja minska Dt. Då kommer punkten z (t 0 + Дt) att närma sig z (t 0) längs kurvan; vektorn Dz/Dt kommer att rotera och närma sig vektorn

Begränsningsläget för sekanterna som passerar genom punkten z (t 0) kallas tangenten till kurvan vid denna punkt. Således riktas vektorn z"(to) tangenten till kurvan vid punkten z (t0).

Låt nu ges en funktion f (z), analytisk vid punkten z 0, och f "(z 0) ? 0. Antag vidare att kurvan r går genom punkten z 0, definierad av ekvationen z (t) = x (t) + iy (t), och z (t 0) = z 0. Kurvan z avbildas av funktionen w = f (z) i kurvan Г som ligger i planet för variabeln w; kurvan Г kommer att vara w (t) = f (z(t). ) punkten z 0 kommer att mappas till punkten w 0 = f (z 0).

w " (t 0) = f " (z 0) ? z "(t 0).(2)

Det följer att

Arg w " (t 0) = Arg f " (z 0) + Arg z " (t 0).(3)

Men z "(t 0) är en vektor som tangerar kurvan r i punkten z 0 (fig. 1a), och w " (t 0) är en vektor som tangerar kurvan Г i punkten w 0 (fig. 1b) ). Därför tillåter likhet (3) oss att ge värdet Arg f " (z 0) följande geometriska betydelse: argumentet för derivatan är lika med vinkeln genom vilken tangenten vid punkten z 0 roterar till en kurva som går genom denna punkt när w = f (z) visas. Observera att denna vinkel inte beror på kurvan z, dvs tangenterna till alla kurvor som passerar genom punkten z 0 roteras när w = f (z) är avbildad till samma vinkel. till Arg f "(z 0) .

Låt oss ta två valfria kurvor z och z1 som passerar genom punkten z 0 och rita tangenter till dessa kurvor (Fig. 1a). När den visas

w = f (z), kurvorna z och z1 kommer att förvandlas till kurvorna Г och Г1, och var och en av tangenterna till z och z1 kommer att rotera genom samma vinkel. Därför kommer vinkeln och mellan tangenterna till z och z1 att vara lika (både i storlek och i referensriktningen) med vinkeln mellan tangenterna till Г och Г1. Kom ihåg att vinkeln mellan kurvorna i punkten z 0 är vinkeln mellan tangenterna till dessa kurvor vid punkten z 0 . Således, om f "(z 0) ? 0, så bevarar mappningen w = f (z) vinklarna mellan kurvorna. Observera att i detta fall inte bara det absoluta värdet av vinklarna mellan kurvorna z och z1 och deras bilder bevaras, men även vinklarnas riktning. Denna egenskap hos denna mappning kallas hörnbevarande egenskaper.

Geometrisk betydelse för derivatmodulen

Låt oss fixa punkten z 0 och ta ökningen av argumentet Dz; det är uppenbart att modulen |Dz| lika med avståndet mellan punkterna z 0 och z = z 0 + Dz (fig. 2a). Låt w = f (z), Дw = w - w 0. Sedan värdet |Dw| / |Dz| anger förhållandet i vilket avståndet mellan punkterna z 0 och z ändras som ett resultat av avbildningen w = f (z). Gränsen kallas sträckfaktorn vid punkten z 0 under mappningen w = f (z). Eftersom den

sedan modul | f "(z 0) | är lika med sträckningskoefficienten vid punkten z 0 när w = f (z) visas. Om | f "(z 0) | > 1, då i ett tillräckligt litet område av punkten z 0 ökar avstånden mellan punkterna under kartläggningen och sträckning sker; om | f "(z 0)|< 1, то отображение приводит к сжатию (хотя соответствующий коэффициент все равно называют коэффициентом растяжения). Свойство данного отображения носит название permanenta dragegenskaper.

Eftersom derivatan f "(zo) inte är beroende av vägen längs vilken punkten z 0 + Дz närmar sig z 0, är ​​sträckningskoefficienten densamma i alla riktningar. Denna egenskap kan illustreras enligt följande. Ta en cirkel l med centrum z 0 och radie |Дz| (dvs. stegen av Dz har en fast modul, men olika riktningar - Fig. 2a). När w = f (z) visas kommer denna cirkel att omvandlas till kurvan L (fig. 2b); avståndet från punkten w = f (z 0 + Dz) i denna kurva till punkten w 0 = f (z 0) är lika med

|Dw| = |w- w 0 | = |f (zo + Dz) - f (zo)|.

Eftersom Dw = f "(z 0) Dz + b (Dz) Dz, där b (Dz) > 0 för Dz > 0, då |w - w 0 | = |f " (z 0) Dz + b(Dz) Dz|. Denna likhet innebär att punkterna i kurvan L kommer att skilja sig lite från cirkeln |w -- w 0 | = |f " (z 0)| | Дz| med centrum w 0 och radie |f " (z 0)| | Dz| (närmare bestämt kommer de att skilja sig från denna cirkel med ett värde av en högre storleksordning än |Dz| - Fig. 2b).

2. Begreppet konform kartläggning

En mappning kallas konform vid punkten z 0 om: 1) denna mappning bevarar vinklarna mellan två kurvor som passerar genom punkten z 0 ; 2) sträckning vid punkt z 0 beror inte på riktning.

Om en konform mappning också bevarar vinklarnas referensriktning, så kallas det en konform mappning av det första slaget; om riktningen för att räkna vinklarna ändras till den motsatta, då genom en konform avbildning av det andra slaget.

Låt oss formulera resultaten som erhållits ovan i form av ett teorem.

Sats 1. Om funktionen w = f (z) är analytisk i punkten z 0 och f "(z 0) ? 0, så utför f (z) en konform avbildning av det första slaget vid punkten z 0. Dessutom , Arg f " (z 0 ) betyder rotationsvinkeln, och |f " (z 0)| är sträckningskoefficienten för denna mappning.

Ett exempel på en konform mappning av det andra slaget ges av den (icke-analytiska!) funktionen w =, som mappar varje region D på en region E som är symmetrisk till D relativt OX-axeln.

Om f "(z 0) = 0, så kommer avbildningen, generellt sett, inte längre att vara konform vid punkten z 0. Således fördubblar avbildningen w = z 2 vinklarna mellan strålarna vid origo.

Observera att, på grund av de allmänna egenskaperna hos analytiska funktioner, definieras en enkelvärdig analytisk funktion z = μ(w) i närheten av punkten w 0 . Således upprättas en en-till-en-överensstämmelse mellan områdena för punkterna z 0 och w 0. Låt oss introducera följande grundläggande definition.

Definition. En-till-en kartläggning av område? komplext plan z på ett område G av det komplexa planet w kallas konformt om denna avbildning vid alla punkter z ? har egenskaperna att bibehålla vinklar och konstant spänning.

Vi betonar att denna definition innebär kontinuiteten i kartläggningen i fråga.

Låt oss nu ta reda på vilka egenskaper en funktion av en komplex variabel måste ha för att mappningen som utförs av denna funktion ska vara konform. Följande sats gäller.

Sats 2. Låt funktionen f (z) vara en envärdig och envärdig analytisk funktion i domänen? och f" (z) ? 0 för z ?. Då producerar funktionen f (z) en konform avbildning av domänen ? på domänen G i det komplexa planet w, vilket är värdeintervallet för funktionen w = f (z) för z?.

Bevis. På grund av villkoret f "(z) ? 0 för z ?, har mappningen som utförs av funktionen f (z) vid alla punkter i domänen ? egenskaperna att bevara vinklar och konstans för dilatationer, vilket bevisar satsen .

Så, villkoren för analyticitet, univalens och icke-noll-derivata av en funktion av en komplex variabel är tillräckliga villkor för överensstämmelsen hos den mappning som utförs av denna funktion. Det är naturligt att fråga sig om förutsättningarna är nödvändiga. Följande teorem besvarar denna fråga.

Sats 3. Låt funktionen f (z) utföra en konform avbildning av domänen? komplext plan z på området G av det komplexa planet w och är begränsat till?. Då är funktionen f (z) univalent och analytisk i domänen ?, och f" (z) ? 0 för z ?.

Bevis. Eftersom mappningen som utförs av funktionen f (z) är konform, är den en-till-en, och vid vilken punkt som helst z 0? egenskaperna att bevara vinklar och spänningskonstans är uppfyllda. Följaktligen, för alla punkter z 1 och z 2 som tillhör området för punkten z 0, upp till infinitesimala värden, är följande relationer uppfyllda:

där Dz 1 = z 1 - z 0 och Dz 2 = z 2 - z 0 är oändliga linjära element som utgår från punkten z 0, och Dw 1 och Dw 2 är deras bilder (fig. 3).

Observera att i kraft av (4) är motsvarande vinklar vid punkterna z 0 och w 0 lika inte bara i absoluta värden utan också i riktning. Betecknar arg med, från (4) finner vi att arg. Verkligen,

Från (5) och (6) får vi att, upp till infinitesimala värden, gäller följande relation:

På grund av det godtyckliga valet av punkterna z 1 och z 2 i närheten av punkten z 0, innebär relation (7) att det finns en gräns för skillnadsförhållandet vid. Denna gräns är per definition derivatan av funktionen f (z) vid punkten z 0 . Eftersom denna derivata inte är noll:

Punkt z 0 är en godtycklig punkt i regionen?; Av (8) följer därför att funktionen f (z) är analytisk i regionen? och f "(z) ? 0 för z ?. Univalens följer av en-till-en-mappningen. Satsen är bevisad. Så den konforma avbildningen av domänen? för det komplexa planet z på domänen G av det komplexa planet w utförs endast av univalenta analytiska funktioner av en komplex variabel med en derivata som inte är noll i alla punkter i regionen?

Notera att villkoret f" (z) ? 0 överallt i domänen? är ett nödvändigt men inte tillräckligt villkor för överensstämmelsen av mappningen av domänen? till domänen G utförd av funktionen f(z).

3. Allmänna egenskaper för konforma mappningar

Sats 4 (Riemanns sats). Låt D och D" helt enkelt vara sammankopplade regioner på de utökade planen av variablerna z respektive w, och gränserna för dessa regioner består av mer än en punkt. Sedan finns det en analytisk funktion som mappar D på D" en-till- ett och konformt.

Det följer av Riemanns sats att en enkelt ansluten domän D inte kan mappas konformt på enhetsskivan |w|< 1 только в двух случаях: а) если D есть вся расширенная плоскость (граница -- пустое множество); б) если D есть расширенная плоскость, из которой удалена только одна точка (например, если D -- конечная плоскость С, когда из удалена точка z = ?).

Mappningen w = f (z) av domänen D till D", som existerar enligt Riemanns teorem, är inte den enda. För att unikt bestämma den konforma mappningen är det nödvändigt att sätta ytterligare villkor, kallade normaliseringsvillkor, innehållande tre verkliga parametrar Till exempel räcker det med z 0 område D inställda värden

w 0 = f(z 0), .(9)

Här är parametrarna två koordinater för punkten w 0 och ett reellt tal. Villkor (9) innebär att avbildningen w = f(z) är unik om för någon punkt z 0 i regionen D dess bild w 0 i regionen D" och rotationsvinkeln för infinitesimala vektorer i punkten z 0 är specificerade.

Du kan även ange andra normaliseringsförhållanden som skiljer sig från (9). Till exempel specificeras bilderna av en interiör och en gränspunkt för regionen D:

f(z 0) = w 0, f(z 1) = w 1,

där z 0, w 0 är de inre punkterna för områdena D, D", a z 0, w 0 är gränspunkterna för dessa områden. Det finns också tre reella parametrar: två koordinater för punkten w 0 och positionen för gränspunkt w 1, som bestäms av ett reellt tal (till exempel avståndet längs gränsen för området D" från någon fast gränspunkt). Låt oss ange en annan variant av normaliseringsförhållanden:

f(z k) = w k, k = 1,2,3,

där zk och wk är gränspunkterna för områdena D och D".

Låt oss formulera följande viktiga egenskap hos konforma mappningar.

Fastighet 1. (områdesvårdsprincip). Om funktionen w = f(z) är analytisk i en domän D och inte konstant, så är mängden D" till vilken den mappar D också en domän (d.v.s. en öppen ansluten mängd).

Låt oss gå vidare till uttalanden som beskriver överensstämmelsen mellan gränser under konforma mappningar.

Egendom 2. (principen om gränsöverensstämmelse). Låt D och D" enkelt vara sammankopplade regioner som begränsas av kontinuerliga slutna konturer Г och Г", sammansatta av ett ändligt antal jämna kurvor. Låt vidare funktionen w = f(z) konformt mappa D till D." Sedan kan denna funktion definieras ytterligare vid punkter på gränsen för Γ så att den blir kontinuerlig i en sluten domän och mappar Γ en-till-en och kontinuerligt på Γ."

Denna egenskap innebär att när två regioner mappas konformt till varandra, upprättas en en-till-en och kontinuerlig överensstämmelse mellan deras gränser.

Fastighet 3. Med en en-till-en och konform kartläggning av regionerna D och D, bevaras riktningen för att korsa deras gränser.

Med andra ord, om när man går runt gränsen, förblir område D till vänster, då när man går runt gränsen för område D, förblir detta område till vänster.

Följande egenskap är av stor betydelse för konstruktion av konforma kartläggningar.

Egenskap 4. (omvänd princip för gränsöverensstämmelse).

Låt de enkelt sammankopplade regionerna D och D" begränsas av kurvorna Г och Г". Låt vidare en funktion w = f(z), analytisk i D och kontinuerlig in, mappa Γ en-till-en till Γ, och när en punkt z går runt konturen Γ så att området D förblir till vänster, motsvarande punkt w går runt konturen Γ "så att även domänen D" förblir till vänster. Då utför funktionen w = f(z) en en-till-en konform mappning av domänen D på domänen D. "

Följaktligen, för att hitta det område på vilket funktionen w = f(z) mappar ett givet område D, räcker det att gå runt gränsen för området D och hitta konturen på vilken denna gräns mappas med funktionen f(z) ).

4. Grundläggande funktioner

Linjär funktion

Funktionen w = az + b,(10), där a och b ges komplexa tal och a?0, kallas en linjär funktion. Eftersom w " = a? 0, så är avbildning (10) konform i hela planet C. Låt oss bevisa att den också är univalent i C. Om w 1 = az 1 + b, w 2 = az 2 + b, då w 1 -- w 2 = a(z 1 -- z 2) Därför får vi för z 1 ? w 2 , och inställningen av w(?) = ? hela det utökade komplexa planet på.

För att studera de geometriska egenskaperna för mappning (10) betraktar vi först fallet b = 0, d.v.s. w = az. Låt a = , z = .Då

Därför, för att få vektorn w = az, måste du utföra följande två steg:

1) multiplicera den givna vektorn z med |a|. I detta fall kommer riktningen för vektorn z att förbli densamma, men längden ökar med |a| en gång. Detta betyder att multiplikation med |a| är en likhetstransformation (homoti) med centrum i origo och likhetskoefficient |a|;

2) rotera den resulterande vektorn |a|z med vinkel b.

För att betrakta det allmänna fallet (10), noterar vi att när vektor az adderas till vektor b, överförs ändpunkten för vektor az parallellt till vektor b. Så, mappning (10) erhålls genom sammansättning (dvs sekventiell exekvering) av följande tre operationer: 1) likhetstransformation med centrum vid ursprunget och likhetskoefficienten |a|; 2) rotation runt origo med vinkel b; 3) parallell överföring till vektor b.

Linjär bråkdelfunktion.

Låt oss gå vidare till att studera den linjära bråkdelens funktion som definieras av likheten

och motsvarande fraktionerad linjär mappning. Därför att

då är det naturligt att definiera w(?) = a/c, w(--d/c) = ?. Funktionen som definieras på detta sätt kommer att vara kontinuerlig genom hela det utökade komplexa planet.

Om c = 0, då är w = och den linjära bråkdelens funktion reduceras till den redan studerade linjära funktionen. Därför antas i det följande att 0.

Multiplicera täljaren och nämnaren för bråket (11) med c och lägg till +ad -- ad till täljaren. Då kan bråk (11) representeras som

Om bc -- ad = 0, då är w = a/c och funktion (11) reduceras till en konstant. I framtiden utgår vi från att villkoren är uppfyllda

Med? 0, bc - ad ? 0.(13)

Låt oss visa att den linjära bråkdelens funktion (11) utför en en-till-en-mappning på. För detta ändamål löser vi ekvation (11) för z (detta är möjligt för z ? --d/c, z ? ?, w ? a /c, w ? ?):

Därför varje värde på w? a/c och w? ? har bara en omvänd bild z? - d/c och z ? ?. Men per definition motsvarar värdet w = a/c z = ?, och värdet w = ? -- värde z = --d/c. Så varje punkt w har bara en invers bild z, vilket är vad vi behövde bevisa.

Låt oss nu fastställa överensstämmelsen med kartläggning (11). Därför att

sedan på z? - d/c och z ? ? derivatan w" existerar och är inte lika med noll. Enligt sats 1 är den linjära bråkmappningen konform överallt utom dessa två punkter.

För att klargöra överensstämmelsen vid z = - d/c och z = ? vi behöver följande definition.

Vid en vinkel mellan två linjer i punkten z = ? förstås som vinkeln mellan bilderna på dessa linjer när w = visas vid origo.

Sats 5. Linjär bråkfunktion

Annons -- bс? 0, w(?) = a/c, w(-d/c) = a, (14)

implementerar en en-till-en och konform kartläggning av det utökade komplexa planet på hela planet.

Vi utesluter inte fallet med = 0 i sats 5, eftersom i detta fall den linjära bråkdelens funktion blir linjär och har också alla egenskaper som anges i sats 5.

Låt oss nu fastställa den cirkulära egenskapen för en linjär bråkmappning. För enhetlighet av ytterligare formuleringar är det lämpligt att betrakta en rak linje som en cirkel med oändligt stor radie.

Sats 6. Med en fraktionerad linjär mappning (14) omvandlas cirklar alltid till cirklar.

(Observera att en cirkel med ändlig radie kan förvandlas till en cirkel med oändlig radie, d.v.s. till en rät linje, och vice versa.)

Bevis. Tänk på ekvationen

A(x 2 + y 2) + Bx + Su + D = 0, (15)

där A, B, C, D är reella koefficienter. Vid A = 0 får vi Bx + Cy + D = 0, d.v.s. ekvation för en linje. Om en? 0, då vi dividerar med A och väljer kompletta kvadrater kommer fram till likheten

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 = ± R 2

som definierar antingen en cirkel om +R 2 till höger, eller en punkt om R = 0, eller en tom mängd om -R 2 till höger. Å andra sidan kan vilken cirkel som helst (i synnerhet en rät linje) specificeras med en ekvation av formen (15).

Låt oss först bevisa den cirkulära egenskapen för mappningen w = 1/z. Låt oss ta en godtycklig cirkel på det komplexa planet. Den ges av ekvation (15). Låt oss beteckna z = x + iy, w = u + iv. Likhet w = 1/z ger z = 1/w, eller

För att få ekvationen för kurvan som cirkeln kommer att transformeras till när w = 1/z visas, ersätter vi de hittade uttrycken för x och y med (15):

A + Bu - C v + D (u 2 + v 2) = 0

Vi kom fram till en ekvation av samma form som (15), men i planet för variabeln w = u + iv. Som vi såg tidigare definierar en sådan ekvation antingen en cirkel (i synnerhet en linje för D = 0), en punkt eller en tom mängd. Men på grund av en-till-en-karaktären hos en linjär bråkdelsmappning kan en cirkel inte gå till en punkt eller till en tom uppsättning. Detta innebär att den förvandlas till en cirkel och den cirkulära egenskapen för avbildningen w = 1/z etableras.

Låt oss nu betrakta det allmänna fallet med linjär fraktionerad kartläggning (14). Om c = 0 får vi en linjär mappning w = a 1 z + b 1, som reduceras till sträckning med rotation och skiftning. Var och en av dessa transformationer har uppenbarligen en cirkulär egenskap. Detta betyder att för mappningen w = a 1 z + b 1 gäller även denna egenskap.

Låt nu med? 0. Med hjälp av likhet (12) representerar vi den bråkdelar linjära mappningen i formuläret

där E =, F =, G =.

Av likhet (16) följer att den fraktionerade linjära kartläggningen presenteras som en sammansättning av följande tre transformationer:

1) w1 = z + G; 2) w2 = 1/w; 3) w = E + Fw 2. Som fastställts ovan omvandlar var och en av dessa transformationer en cirkel till en cirkel. Det betyder att deras sammansättning också har denna egenskap, vilket var det som behövde bevisas.

För att formulera en annan egenskap hos linjära bråkmappningar behöver vi följande definition.

Punkterna A och A" kallas symmetriska med avseende på en cirkel med radien R< ?, если они лежат на одном луче, выходящем из центра О окружности, и

OA* OA" = R2 .(17)

Om punkt A närmar sig cirkeln (se fig. 4), d.v.s. om OA > R, så tenderar OA" också till R; varje punkt på cirkeln är symmetrisk med sig själv; om OA > 0, då OA" > ?. Därför, för punkt O kommer punkten vid oändligheten att vara symmetrisk. Under symmetri relativ

cirkel med radie R = ? vi menar vanlig symmetri kring en rät linje.

Lemma 7. För att punkterna A och A" ska vara symmetriska med avseende på en cirkel Г (eventuellt med oändlig radie), är det nödvändigt och tillräckligt att varje cirkel som går genom A och A" är vinkelrät mot Г (fig. 5). .

Bevis. Nödvändighet. Låt punkterna A och A" vara symmetriska med avseende på cirkel G. Låt oss rita en godtycklig cirkel Г" genom punkterna A och A", och låt B vara skärningspunkten för cirklarna Г och Г". Enligt den välkända satsen om sekanter och tangenter är produkten av sekanten OA" och dess yttre del OA lika med kvadraten på tangenten. Samtidigt, p.g.a.

symmetri, OA * OA" = R 2. Så,

radien OB tangerar cirkeln Г". Eftersom radien OB är vinkelrät mot tangenten till Г som passerar genom punkten B, så är cirklarna Г och Г" vinkelräta, vilket är vad som behövde bevisas. Om Γ är en rät linje (detta kommer att vara fallet när A = 0), så passerar den genom punkten O och är därför också vinkelrät mot Γ.

Lämplighet. Låt punkterna A och A" vara sådana att varje cirkel (särskilt en rät linje) som går genom dem skär Γ i rät vinkel (se fig. 5). Låt oss bevisa att A och A" är symmetriska med avseende på Γ Eftersom linjen AA "är vinkelrät mot G, passerar den genom punkt O. Detta betyder att punkterna O, A, A" ligger på samma räta linje. Men de ligger också på samma stråle som utgår från punkt O. Om punkterna A och A" ligger på motsatta sidor av punkt O, så skulle en cirkel med diameter AA" inte vara vinkelrät mot G.

Låt oss rita en godtycklig cirkel Г" genom A och A" med radie R"< ?. Пусть В -- точка пересечения Г и Г". По условию, Г и Г" пересекаются под прямым углом. Поэтому радиус ОВ будет касаться Г ". По той же теореме о секущей и касательной ОА * ОА" = R 2 . Следовательно, точки А и А" симметричны относительно Г.

Vi har bevisat Lemma 7 i fallet med R< ?. Если R = ?, то рассуждение существенно упрощается.

Nu är vi redo att fastställa följande egenskap för linjära fraktionerade mappningar (symmetribevarande egenskap):

Sats 8. Under den linjära bråkavbildningen (14) går ett par punkter som är symmetriska med avseende på en cirkel (i synnerhet en rät linje) in i ett par punkter som är symmetriska med avseende på bilden av denna cirkel.

Bevis. Låt punkterna z 1 och z 2 vara symmetriska med avseende på cirkeln Г Under den linjära bråkavbildningen (14) kommer Г att förvandlas till en kurva r, som enligt sats 6 också är en cirkel. punkterna z 1 och z 2 går till punkterna w 1 och w 2. Det är nödvändigt att bevisa att w 1 och w 2 är symmetriska med avseende på z Ta valfri cirkel z ", som går genom w 1 och w 2, och betrakta dess inversa bild Г " under mappning (14) (dvs. punkter på planet för variabel z, som går över till z "). För att göra detta uttrycker vi z från ekvation (14):

på ad-bc? 0

Vi ser att Γ "erhålls från Γ" också genom en linjär-fraktionell mappning. Eftersom g ` är en cirkel, så är enligt sats 6 G ` också en cirkel. Eftersom Г ` passerar genom punkterna z 1 och z 2, symmetriska med avseende på Г, är cirkeln Г ` vinkelrät mot Г på grund av den linjära bråkkartans överensstämmelse och Г ` är vinkelrät mot Г Lemma 7 följer att punkterna w 1 och w 2 är symmetriska med avseende på r, och beviset är fullständigt.

De etablerade egenskaperna hos fraktionerad linjär mappning gör det möjligt att hitta mappningar av områden som begränsas av cirklar (särskilt räta linjer).

Power funktion. Konceptet med en Riemann-yta.

Tänk på kraftfunktionen

där n är ett naturligt tal. Derivatan w" = nzn-1 existerar och är icke-noll i alla punkter z ? 0, z ? ?. Därför är mappningen som utförs av funktionen (18) konform i alla punkter utom z = 0 och z = ?. Om vi skriver variablerna z och w i exponentiell form, z = r e i c, w = se i u, sedan leder (18) till likheterna

c = rn, u = nc.

Detta visar att cirklarna |z| = r gå in i cirklar |w| = r n , vinkel 0< ц < б, где б < 2 р /n, с вершиной в начале координат, лежащий в плоскости переменного z, отображается на угол 0 < и < nб плоскости w. Следовательно, конформность отображения нарушается в точке z = 0: углы в этой точке увеличиваются при отображении в n раз. Нетрудно показать, что отображение (18) не является конформным и в точке z = ?.

Låt punkterna z 1 och z 2 vara sådana att z 2 = z 1 e i 2 p / n, n? 2. Det är lätt att se att z 1? z 2, och. Därför är kartläggning (18) inte univalent i hela det komplexa planet C, utan är så inom vilken vinkel som helst av storleken b< 2 р /n с вершиной в начале координат.

För att introducera den inversa potensfunktionen behöver vi följande definitioner.

En flervärdig funktion av en komplex variabel är en regel (lag) enligt vilken ett komplext tal z från mängden D motsvarar flera (eventuellt oändligt många) komplexa tal w.

Alla funktioner som övervägdes tidigare (förutom Arg z-funktionen) var entydiga. Arg z-funktionen är flervärdig:

Arg z = arg z + 2рk,

där arg z är huvudvärdet för argumentet och k är vilket heltal som helst. I det följande betyder termen funktion, använd utan någon förklaring, en entydig funktion; polysemin av de funktioner som studeras kommer alltid att specificeras ytterligare.

Låt funktionen w = f(z) mappa domänen D på domänen E. Inversen av funktionen w = f(z) är funktionen (allmänt sett flervärdig) z = g(w), definierad på domänen E , som till varje komplext tal w E associerar alla komplexa tal zD så att f(z) = w.

Med andra ord, funktionen invers till w = f(z) är regeln enligt vilken varje punkt wE motsvarar alla dess inversa bilder zD.

Om funktionen w = f(z) är univalent i D, så är den inversa funktionen univalent (och även univalent) i E; om w = f(z) inte är univalent, kommer den inversa funktionen att vara flervärdig. Till exempel är inversen av funktionen w = z n den flervärdiga funktionen z =: varje värde på w annat än 0 och? motsvarar n olika rötter av den n:te graden, definierade av formeln

Siffror 0 och? var och en har en rot: , a.

Sats 9. Låt funktionen w = f(z) vara univalent och analytisk i domänen D, mappa D på domänen E och f "(z) ? 0. Då är den inversa funktionen z = g(w) också analytisk i domänen E och

Bevis. Låt oss fixa en godtycklig punkt zD och ta steget Дz? 0. På grund av univalensen för funktionen w = f(z), är motsvarande ökning Дw = f(z + Дz) -- f(z) inte heller lika med noll. Det är därför

Eftersom funktionen w = f(z) är analytisk är den kontinuerlig i punkten z.

Följaktligen är Dw > 0 för Dz > 0, och på grund av ett-till-en-förhållandet, är det omvända också sant: Dz > 0 för Dw > 0. Därför

Q.E.D.

Argumentet för funktionen z = g(w), inversen av w = f(z), är variabeln w. Eftersom argumentet för en funktion ofta betecknas med z, för konsekvens omdesignas variablerna z och w och skrivs w = g(z). Till exempel kommer den inversa funktionen till w = z n att skrivas som w = .

Låt oss titta närmare på funktionen w = . Som nämnts ovan är det flervärdigt. Ändå är det möjligt att definiera denna funktion på en uppsättning av en mer komplex struktur än det komplexa planet, på vilket funktionen w = kommer att bli en-till-en och kontinuerlig. Låt oss beskriva motsvarande uppsättning. Låt oss ta n kopior ("ark") D 0 , D 1 ,..., D n -1 av det komplexa planet skuret längs den positiva halvaxeln och placera dem ovanpå varandra (Fig. 6a visar fallet n = 4).

Sedan den kanten av sektionen av området D 0, till vilken vi närmar oss underifrån strålen OX (dvs. längs halvplanet y)< 0), склеим с верхним краем разреза области D 1 ; нижний край разреза области D 1 склеим с верхним краем разреза области D 2 и т.д., пока не склеим нижний край разреза D n -2 с верхним краем разреза D n -1 . Теперь склеим оставшиеся свободными нижний край разреза области D n -1 (на рис. 6а это D 3) с верхним краем разреза области D 0 . В трехмерном пространстве такую склейку невозможно осуществить без пересечения с уже сделанными склейками промежуточных листов. Но мы условимся считать эту склейку непересекающейся с предыдущими (т.е. точки этой склейки считаются отличными от точек остальных склеек). Полученная поверхность показана на рис. 6б.

Den kallas Riemannytan för funktionen w =. Ovanför varje punkt i det komplexa planet, annorlunda än 0 och?, finns det exakt n punkter på Riemannytan. Punkterna x > 0 på den verkliga halvaxeln är inget undantag, eftersom alla limpunkter som ligger ovanför den anses vara disjunkta. Endast två punkter har inte denna egenskap: z = 0 och z = ?. Alla plåtar på Riemann-ytan anses limmade på punkter som ligger ovanför punkterna z = 0 och z = ?.

Låt oss nu definiera funktionen w = på den konstruerade Riemann-ytan. Låt oss komma ihåg att om z = r e iс, så bestäms alla rötter av den n:te graden av z av formeln (*):

Vinkeln q i denna formel kan väljas från vilket intervall som helst med längden 2p; det är bekvämt för oss att anta att 0 ? ts< 2р.

Till punkterna z = r e ic som ligger på arket D 0 och limningen av D 0 med D n -1, tilldelar vi rotens värde med k = 0; punkter som ligger på arket D 1 och limning av D 1 med D 0 - rotens värde med k = 1. I allmänhet, punkter som ligger på D k, vid 1? k? n-1, och limning av Dk, med Dk -1, motsvarar rotens värde med det givna k. Den konstruerade korrespondensen kommer att vara en enkelvärdig funktion på Riemannytan.

Det är lätt att visa att denna funktion kartlägger Riemann-ytan en-till-en på hela det komplexa planet. Faktum är att arket Dk kommer att mappas till hörnet, och limningen kommer att mappas till strålar som förbinder dessa hörn; sålunda kommer hela det komplexa planet att täckas av bilderna av punkter på Riemannytan.

Låt oss visa att denna kartläggning också är kontinuerlig. Om punkt z ligger på ett ark D k med ett snitt, så följer kontinuiteten vid denna punkt direkt från formel (20) med fast k För att visa kontinuitet vid limningspunkter, överväg en kontur på Riemann-ytan som består av punkter placerade ovanför cirkeln |z| = 1 komplext plan. Låt oss börja gå runt den här konturen från punkt z, som ligger på den övre kanten av det skurna arket D 0. Eftersom r = 1, q = 0, k = 0, då är w = = 1. När man går runt det första varvet av kretsen på ark D 0 kommer det att finnas

Och. När vi förflyttar oss längs limningslinjen till ark D 1 får vi per definition (eftersom k = 1). I synnerhet vid q = 0 kommer det att finnas samma värde på roten som vi närmade oss när vi närmade oss den nedre kanten av snittet längs arket D 0. Detta betyder att vid limningspunkterna D 0 c D 1 kommer funktionen att vara kontinuerlig. På liknande sätt visas rotens kontinuitet när man flyttar från Dk -1 till Dk vid 1? k? n-1. När vi slutligen går runt konturen längs arket D n -1 och närmar oss den nedre kanten av snittet, får vi k = n - 1, och,

de där. samma värde som vi började vid den övre kanten av det skurna arket D 0 . Således kommer funktionen att vara kontinuerlig på alla punkter på Riemann-ytan. Som en funktion invers till den analytiska är det också en unik analytisk funktion på denna yta (förutom punkterna z = 0 och z = ?).

Ta valfri cirkel |z| = r på det komplexa planet som omger punkten z = 0. Denna cirkel kommer också att omsluta punkten z = ?. Genom att gå runt konturen på Riemannytan, bestående av punkter som ligger ovanför denna cirkel, kommer vi att flytta från ett ark av Riemannytan till ett annat. Därför är punkterna z = 0 och z = ? kallas grenpunkter. Ingen annan punkt har den beskrivna egenskapen: om vi tar en cirkel med dess centrum i punkten z? 0, z ? ?, som inte innehåller punkten 0, bildar motsvarande punkter på Riemannytan n cirklar som inte är förbundna med varandra. Genom att gå runt var och en av dem kommer vi inte att gå längre än samma ark.

En enkelvärdig analytisk funktion f (z) i en domän D kallas en regelbunden gren av en flervärdig funktion F (z) definierad i samma domän om värdet av f (z) i varje punkt z i domänen D sammanfaller med ett av värdena för F (z) vid denna punkt .

Den flervärdiga funktionen F(z) är enkelvärdig och analytisk på sin Riemann-yta (förutom förgreningspunkter). Därför innebär möjligheten att välja en vanlig gren i region D möjligheten att lokalisera denna region på Riemann-ytan utan att skära D och utan att röra grenpunkterna. I detta fall bör område D läggas helt på ett ark eller gå ner genom att limma från ett ark till ett annat (som en matta i trappan). Till exempel ring 1< |z| < 2 нельзя без разрывов расположить на римановой поверхности функции F (z) = , n ? 2, поскольку точки кольца, располагаемые над положительной полуосью, должны одновременно попасть на разные листы, что невозможно. Но если разрезать кольцо по любому радиусу, то такое расположение становится возможным. При этом расположить D на римановой поверхности можно n способами (и, следовательно, выделить в D n различных ветвей функции). Для выделения конкретной ветви достаточно указать значение функции в какой-либо точке области D. Тем самым указывается лист римановой поверхности, на который попадает эта точка, а значит, фиксируется расположение и всей области D.

Exponentiella och logaritmiska funktioner

1. Exponentialfunktionen e z bestäms av följande relationer: för alla komplexa tal z = x + iу

e z = e x + iy = e x (cos y + i sin y).(21)

Den andra likheten i (21) erhålls om vi per definition tar e x + i y = e x e i y och tillämpar Eulerformeln på e i y. Av (21) följer att

|e z | = |e x + i y | = e x, Arg e z = y + 2 рn.

Definition (21) och egenskaperna för funktionen e i z gör det enkelt att bevisa att funktionen e z har de vanliga egenskaperna för en exponentialfunktion:

ez1+z2 =eziez2; ez1 - z2 = ezi/ez2;(ez)n = enz.

Låt oss bevisa att funktionen ez kommer att vara analytisk i hela det komplexa planet C. För att göra detta måste vi kontrollera tillfredsställelsen av Cauchy-Riemann-villkoren (7). Om w = u + iv, då med (21) u + iv = e x cos y + i e x sin y, varifrån

u = e x cos y, v = e x sin y;

Således är villkoren (7) uppfyllda och analyticiteten för funktionen ez är bevisad. För att beräkna derivatan (e z)" kommer vi att använda derivatans oberoende från riktningen och beräkna derivatan i OX-axelns riktning:

Följaktligen gäller för derivatan av funktionen e z den vanliga formeln

Följande egenskap hos funktionen ez har ingen analog i fallet med en exponentiell funktion av en reell variabel: funktionen ez är periodisk med en rent imaginär period 2рi. Faktum är att för alla heltal n

e z +2 рni = e x (cos(y + 2рn) + i sin(у+2рn)) = e x (cos y + i sin y) = e z.

Av periodiciteten för funktionen w = e z följer i synnerhet att den inte är univalent i hela det komplexa planet. För att ta reda på i vilka områden denna funktion är univalent, låt oss sätta z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2. I kraft av (21) är likheten e z 1 = e z 2 ekvivalent med följande villkor:

e x 1 = e x 2 , cos y 1 = cos y 2 , sin y 1 = sin y 2 ,

vilket innebär x 1 = x 2, y 1 = y 2 + 2рn, där n är ett godtyckligt heltal, eller

z 1 - z 2 = 2рni.(22)

Följaktligen, för att mappningen w = ez ska vara en-till-en i domänen D, är det nödvändigt och tillräckligt att D inte innehåller något par av punkter för vilka (22) är giltigt. I synnerhet uppfylls detta villkor av varje horisontell remsa med bredd 2p, t.ex. ränder

(z: - ?< х < ?, 2рk < у < 2 р(k + 1)}, k = 0, ±1, ±2,...

Varje sådan remsa motsvarar en uppsättning värden w = e z = e x e iy = сe i och för vilka vi, på grund av likheterna c = e x, och = y, har

0 < с < ?, 2рk < и < 2р(k + 1).

Dessa värden på w fyller hela det komplexa planet för variabeln w med ett snitt längs den verkliga positiva halvaxeln. I detta fall förvandlas de räta linjerna y = y 0 (visas i fig. 7, a med en prickad linje) till strålar och = y 0 (fig. 7b), och intervallen x = x 0, 2рk< у < 2р(k + 1) (показаны сплошными линиями

för k = 0) - i en cirkel сe x 0 (med punkterade punkter på halvaxeln u > 0). Ränder 0< Im z < h < 2 р показательная функция e z отображает в углы 0 < и < h. В частности, полоса 0 < Im z < р переводится в верхнюю полуплоскость.

2. En logaritmisk funktion är inversen av en exponentialfunktion.

Eftersom exponentialfunktionen ez inte är univalent i C kommer dess inversa funktion att vara flervärdig. Denna logaritmiska funktion med flera värden betecknas Lnz. Således, om w = Ln z, så är z = e w. Låt oss sätta

w = u + iv, z = r e ic = re iArg z.

re iArg z = z = e w = e u + iv = e u e iv .

Genom att jämföra siffrorna i början och slutet av denna kedja, drar vi slutsatsen att

r = e u , e i Arg z = e iv .(23)

Från den första likheten finner vi u = ln r, där ln r är den vanliga naturliga logaritmen för ett positivt tal r. Den andra likheten i (23) ger v = Arg z. Således,

Lnz = ln |z| + i Arg z.(24)

För varje komplext tal z, som skiljer sig från 0 och?, associerar formel (24) en oändlig uppsättning värden Ln z, som skiljer sig från varandra med 2 pki, där k är vilket heltal som helst. Det är bekvämt att representera Arg z i formuläret

Arg z = arg z + 2 рk, - р< arg z ? р,

där arg z är argumentets huvudvärde. Sedan kommer formel (24) att ta formen

Lnz = ln |z| +i(arg z + 2рk).(25)

För varje värde på k är funktionen Lnz en kontinuerlig enkelvärdig funktion i det komplexa planet med ett snitt längs den negativa halvaxeln; den är också analytisk i denna region som en funktion invers till den analytiska funktionen e z. Sålunda, för varje fast k, definierar formel (25) en regelbunden gren av den flervärdiga funktionen Lnz. Denna gren en-till-en kartlägger ett plan med ett snitt längs den negativa halvaxeln till en remsa

Р + 2 рk< Im w < р + 2рk.

Grenen som erhålls vid k = 0 betecknas med ln z och kallas huvudvärdet för den flervärdiga funktionen Ln z:

ln z = ln |z| + i arg z.

Till exempel, ln i = ln 1 + ip/2 = ip/2; ln(-i) = ln 1 -- iр/2 = --iр/2. Om du närmar dig punkten z = -- 1 längs det övre halvplanet y > 0, då; om på botten, då.

För att föreställa oss Riemann-ytan av funktionen Ln z, låt oss ta ett oändligt antal kopior ("ark") av planet med ett snitt längs den negativa halvaxeln och limma ihop dem som visas i fig. 8. Ovanför varje punkt i planet, förutom punkterna z = 0 och z = ?,

det finns oändligt många punkter på Riemannytan. Vid punkterna 0 och? funktionen Ln z är inte definierad, och det finns inga ytpunkter ovanför dem. Punkterna z = 0 och z = ? kallas grenpunkter av oändlig ordning.

Ris. 8 visar tydligt anledningen att: om vi antar att punkterna - 1 ± h, h > 0, är ​​på samma ark av Riemann-ytan och riktar h till noll, så kommer begränsningspositionerna för dessa punkter att vara på olika ark av Riemannytan.

Det är möjligt att identifiera en regelbunden gren av logaritmen inte bara i region D, som är ett plan med ett snitt längs den negativa halvaxeln. Om du gör en sektion av planet längs någon stråle, låter den resulterande regionen dig också isolera en vanlig gren i den. Låt snittet göras längs en stråle som går i vinkel mot OX-axeln. Sedan kommer de vanliga grenarna att ges av följande formel: för z = e iс

Lnz = lnr + i(t + 2рk), och< ц < и + 2 р.

Formel (25) är ett specialfall för u = - p. Derivatan av varje regelbunden gren f (z) av logaritmen hittas med en formel som liknar formeln för derivatan av en logaritmisk funktion av en reell variabel. Detta faktum härleds från likheten (e z)" = e z och formeln (19) för derivatan av den inversa funktionen. Faktum är att inversen till w = f(z) är funktionen z = e w. Härifrån och från ( 19) vi får

Allmän kraft och trigonometriska funktioner. Zhukovsky funktion

1. Den allmänna potensfunktionen, där är ett fast komplext tal, bestäms av relationen.

Om vi ​​antar att vi får Ln z = ln r + i(t + 2рk). Därav,

Detta visar att när modulen tar på sig ett oändligt antal värden. Således kommer funktionen att vara oändligt värderad.

Den allmänna potensfunktionen tillåter, i kraft av sin definition, identifiering av reguljära grenar i samma områden som den logaritmiska; till exempel i ett plan med ett snitt längs balken. Grenen isolerad i planet med ett snitt längs den negativa halvaxeln kallas kraftfunktionens huvudgren. I kraft av satsen om derivatan av en komplex funktion är följande likheter sanna för varje vanlig gren av en potensfunktion:

där f (z) är den reguljära grenen av den logaritmiska funktionen Ln z. Vi har fått den vanliga formeln för derivatan av en potensfunktion:

2. Låt oss gå vidare till trigonometriska funktioner. För verkliga värden på x följer det av Eulers formel att

e i x = cos x + i sin x, e - i x = cos x -- i sin x.

Därav cos x = , sin x =. Dessa formler tjänar som grund för följande definition.

Trigonometriska funktioner för den komplexa variabeln z definieras av likheterna

Funktioner som definieras på detta sätt behåller många av egenskaperna hos trigonometriska funktioner hos en reell variabel. Av periodiciteten för funktionen e z följer att funktionerna sin z och cos z är periodiska med en period på 2 p, och tg z och cot z är periodiska med en period p. Funktionen sin z är udda och cos z är jämn. Verkligen,

Pariteten för cos z-funktionen bevisas på ett liknande sätt. För funktioner definierade av likheter (26) är de vanliga trigonometriska relationerna giltiga. Till exempel,

sin 2 z + cos 2 z = 1, sin(z 1 + z 2) = sin z 1 cos z 2 + cos z 1 sin z 2, etc. Alla dessa relationer följer av (26).

Funktionerna sin z och cos z är analytiska i hela C-planet, och de vanliga differentieringsformlerna gäller:

(sin z) " = cos z, (cos z) " = - sin z.

Låt oss till exempel bevisa formeln för derivatan sinz:

Med hjälp av formler för derivatan av kvoten får vi

Men inte alla egenskaper hos trigonometriska funktioner för en reell variabel bevaras när dessa funktioner utökas till det komplexa planet. I synnerhet kan sinz och cosz ta värden som överstiger 1 i absolut värde.

3. Funktioner invers (26) kallas inversa trigonometriska funktioner. Eftersom trigonometriska funktioner (26) är periodiska, kommer deras inversa funktioner att vara oändligt värderade. På grund av det faktum att funktioner (26) helt enkelt uttrycks i termer av exponentialer, kan funktionerna omvända till dem uttryckas i termer av logaritmer. Låt oss få följande uttryck, till exempel för w = Arccos z. Från definitionen av denna funktion har vi

varifrån e 2 i w -- 2ze i w + 1 = 0. När vi löser denna andragradsekvation för e i w finner vi (vi utelämnar ± framför kvadratrottecknet, eftersom vi förstår roten som en tvåvärdig funktion som tar båda motsvarande värden). Från den senaste jämlikheten vi får

I kraft av sambandet leder en förändring i tecken framför roten till en förändring av tecken framför logaritmen. Men roten tar värden med både "+" och "--". Det betyder att bland Arccos z-värdena kommer det att finnas värden med både "+" och "-" framför logaritmen. Därför kan "--"-tecknet utelämnas:

Liknande formler kan ges för andra inversa trigonometriska funktioner:

Bland de elementära funktionerna i en komplex variabel noterar vi också de hyperboliska funktionerna sh z, ch z, th z och cth z, definierade av likheterna

De uttrycks mycket enkelt genom trigonometriska funktioner:

sh z = -- i sin iz,

th z = -- i tg iz, cth z = i ctg iz,

och skiljer sig därför inte nämnvärt från den senare.

Zjukovsky-funktionen är funktionen

Denna funktion har viktiga tillämpningar inom flygplansvingteori, och är också mycket användbar för att konstruera ett antal konforma mappningar. Den är analytisk överallt utom vid punkterna z = 0 och z = ?. Derivat

finns överallt i, förutom punkterna z = 0 och z = ?, och försvinner vid z = ±1. Därför är mappningen (30) konform överallt förutom punkterna 0, ±1,?.

Låt oss ta reda på under vilka förutsättningar två olika punkter flyttar till samma punkt. Låt z 1? z 2 och.

Det följer att.

Sedan z 1? z 2 , då är denna likhet ekvivalent med villkoret z l z 2 = 1.(31)

Därför, för att Zhukovsky-funktionen ska vara univalent i någon domän D, är det nödvändigt och tillräckligt att denna domän inte innehåller ett par distinkta punkter som uppfyller villkor (31). Sådana områden är till exempel det yttre |z| > 1 av enhetscirkeln (i detta fall |z 1 z 2 | > 1) och den inre |z|< 1 этого круга (|z 1 z 2 | < 1).

För att visualisera kartläggning (30), låt oss ta reda på till vilka kurvor den omvandlar cirklar (visas i Fig. 9a med heldragna linjer) och strålar (visas med prickade linjer). Låt oss sätta z =. Då kommer (30) att skrivas om i formuläret

från (32)

Låt oss betrakta bilderna av cirklar r = r 0 . Av (32) följer

Genom att kvadrera dessa likheter, addera och sätta r = r 0, får vi

Ekvation (33) är ekvationen för en ellips med halvaxlar

Så, bilderna av cirklar |z| = r 0 i z-planet kommer det att finnas ellipser i w-planet (fig. 9b). Om r 0 > 1, då a r 0 > 1, b r 0 > 0. Därför kommer ellipserna att dra ihop sig till segmentet [--1,1]. För stor r 0 är skillnaden a r 0 -- b r 0 = liten, och ellipser skiljer sig lite från cirklar.

För att få bilden av strålarna omvandlar vi likheter (32) till formen

Genom att kvadrera dessa likheter, subtrahera den andra från den första och ställa in

Vi får (34)

Ekvation (34) är ekvationen för en hyperbel med halvaxlar. Följaktligen visas strålarna i delar av hyperbolerna (fig. 9b). Således Zjukovsky-funktionen en-till-en och konformt mappar utsidan av enhetscirkeln på utsidan av segmentet [-1,1].

Från (30) är det lätt att se att w(z) = w(l/z). Funktionen w = 1/z en-till-en och avbildar konformt det inre av cirkeln |z|< 1 на внешность этого же круга. Отсюда следует, что функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает также и внутренность единичного круга на внешность отрезка [--1,1].

...

Liknande dokument

Kärnan i konform kartläggning av 1:a och 2:a slaget, en analytisk funktion i en given domän. Geometrisk betydelse för argumentet och modulen för derivatfunktionen. Storleken på sträckningskoefficienten vid en punkt. Bevarande av en funktion som inte är noll i storlek och spänning.

presentation, tillagd 2013-09-17


Definition av derivatan av en funktion, den geometriska betydelsen av dess inkrement. Geometrisk betydelse av ett givet förhållande. Fysisk betydelse av derivatan av en funktion vid en given punkt. Antalet som ett givet förhållande tenderar mot. Analys av exempel på derivatberäkningar.

presentation, tillagd 2014-12-18


Gränsen för förhållandet mellan ökningen av en funktion och ökningen av ett oberoende argument, när ökningen av argumentet tenderar till noll. Derivatnotation. Begreppet differentiering av en derivatfunktion och dess geometriska betydelse. Ekvation för en tangent till en kurva.

presentation, tillagd 2013-09-21


Geometrisk betydelse av derivata. Analys av sambandet mellan kontinuitet och differentierbarhet hos en funktion. Derivater av grundläggande elementära funktioner. Regler för differentiering. Att hitta derivatan av en implicit specificerad funktion. Logaritmisk differentiering.

presentation, tillagd 2014-11-14


Derivatfunktion. Tangent till en kurva. Geometrisk betydelse av derivata. Härledningar från elementära funktioner. Att studera funktioner med hjälp av derivator. Maximum och minimum funktioner. Böjningspunkter. Differentiell.

artikel, tillagd 2004-11-01


Begreppet ett derivat, reglerna för dess tillämpning, den geometriska och fysiska betydelsen av ett derivat. Tillämpning av derivat inom vetenskap och teknik och lösning av problem inom detta område. Differentialkalkylens relevans i samband med vetenskapliga och tekniska framsteg.

abstrakt, tillagt 2009-05-17


Regeln för att hitta derivatan av en produkt av funktioner. Formler för att hitta derivator för funktioner specificerade parametriskt. Geometrisk betydelse av derivata. Inkrement- och differentialfunktioner. De största och minsta värdena på en sluten uppsättning.

test, tillagt 2010-07-09


Begreppet konform kartläggning och dess grundläggande egenskaper. Grundläggande principer för konforma avbildningar av funktioner hos en komplex variabel, deras hydrodynamiska analogier och tolkningar. Tillämpning av den konforma kartläggningsmetoden inom kontinuummekanik.

avhandling, tillagd 2014-08-26


Antiderivata av en funktion och obestämd integral. Geometrisk betydelse av derivata. Mängden av alla antiderivator för funktionen f(x) på intervallet X. Begreppet en integrand. Kontrollera att integrationsresultatet är korrekt, exempel på problem.

presentation, tillagd 2013-09-18


Problemet med att hitta modul och argument för givna tal, ett exempel på en lösning. Differentieringsområdet för en given funktion, den reella delen av derivatan. Regel för att bestämma ekvationen för bilden av en kurva. Att hitta de verkliga och imaginära delarna av en funktion.

Föreläsning nr 4.

Geometriskt en funktion av en komplex variabel w=f(z) anger visningen av en viss uppsättning z– flygplan till en viss uppsättning w-plan. Punkt wÎ G kallad sätt poäng z när den visas w=f(z), prick zÎ D – prototyp poäng w.

Om alla z endast ett värde matchar w=f(z), så anropas funktionen entydig (w=|z|,w=,w= Re z etc.) Om några z matchar mer än ett värde w, kallas funktionen polysemantisk (w= Arg z).

Om (dvs på olika ställen i området D funktionen antar olika värden), sedan funktionen w=f(z) kallas enhetliga i området D.

Med andra ord den univalenta funktionen w=f(z) en-till-en kartlägger området D på G. Med enkelarksdisplay w=f(z) omvänd bild av valfri punkt wÎ G består av ett enda element: : . Det är därför z kan betraktas som en funktion av en variabel w, definieras på G. Den utses och kallas invers funktion .

Om i området D det finns minst ett par poäng, sedan funktionen f(z) kallas flerbladig i området D.

Om display w=f(z) är flerbladig på D(Till exempel, w=z n), sedan i det här fallet några värden wÎ G matchar mer än en poäng zÎ D:f(z)=w. Därför är den inversa mappningen inte envärdig, den är en funktion med flera värden.

Ensiffrig på området D fungera w=f(z) kallas gren av en funktion med flera värden F, om värde f När som helst zÎ D matchar ett av värdena F vid denna tidpunkt.

För att isolera envärdesgrenar av en funktion med flera värden, fortsätt enligt följande: area D dela upp funktioner i univalensdomäner w=f(z) så att inte två av regionerna har gemensamma inre punkter och så att varje punkt zÎ D tillhörde något av dessa områden eller gränsen till några av dem. I var och en av dessa univalensdomäner definierar man en funktion invers till w=f(z). Det är den envärdiga grenen av funktionen med flera värden.

Konceptet med konform kartläggning

Exempel. Hitta sträckningskoefficienten och rotationsvinkeln vid en punkt z=2i när du visar .

■ Hitta derivatan och dess värde vid en given punkt.

Stretchförhållande k lika med modulen för derivatan: .

Rotationsvinkel jär lika med argumentet för derivatan. Poängen ligger därför i fjärde kvartalet. ■

Exempel 3.5. Bestäm vilken del av planet när det visas w=z 2 sträcks, och vilken är komprimerad.

■ Hitta derivatan w¢=2 z. Spänningsfaktor när som helst z lika k=|w¢( z)|=2|z|. Uppsättningen av punkter i det komplexa planet för vilket k>1, det vill säga 2| z|>1 eller , utgör en del av planet, som sträcks ut när det visas. Därför, när du visar w=z 2 sträcks utsidan av cirkeln och insidan komprimeras. ■

Visa w=f(z) kallas konform (dvs bevarar sin form) vid en punkt om den bevarar vinklarna mellan kurvorna och har egenskapen att konstant förlänga punktens grannskap.

Varje mappning upprättad med hjälp av en analytisk funktion f(z) är konform på alla punkter där .

Kartläggningen kallas konform i regionen , om den är konform på varje punkt i denna region.

En konform kartläggning där vinklarnas referensriktning bevaras kallas konform kartläggning av det första slaget . En konform mappning där vinklarnas riktning är omvänd kallas konform kartläggning av släktet ΙΙ (Till exempel, ).

I teorin och praktiken av konforma kartläggningar ställs och löses två problem.

Den första uppgiften är att hitta bilden av en given linje eller område under en given mappning - direkt uppgift .

Den andra är att hitta en funktion som mappar en given linje eller område till en annan given linje eller område - omvänt problem .

När man löser ett direkt problem tar man hänsyn till att bilden av en punkt z 0 när den visas w=f(z) är en poäng w 0, så att w 0 =f(z 0), det vill säga resultatet av substitutionen z 0 tum f(z). För att hitta bilden av en uppsättning måste du därför lösa ett system som består av två relationer. En av dem anger mappningsfunktionen w=f(z), den andra är linjens ekvation, om problemet med att hitta bilden av linjen löses, eller olikheten som bestämmer uppsättningen av punkter för förbilden, om problemet med att kartlägga områden löses. I båda fallen reduceras lösningsproceduren till att eliminera variabeln z från två givna förhållanden.

Regel 3.3. För att hitta bilden av linjen som ges av ekvationen F(x,y)=0 (eller uttryckligen y=j(x)), när den visas w=f(z) nödvändigt:

1. Välj de verkliga och imaginära delarna av funktionen f(z): u=Re f(z), v=Jag f(z).

2. Uteslut från systemet X Och u. Det resulterande förhållandet är ekvationen för bilden av denna linje.

Regel 3.4. För att hitta bilden av en given linje vid visning w=f(z) nödvändigt:

1. Skriv linjens ekvation i parametrisk form z=z(t) eller i komplex form.

2. Beroende på typen av linjeekvation, överväg motsvarande fall:

Om linjen ges i parametrisk form, ersätt uttrycket z(t) V w=f(z);

Om linjen ges i komplex form, uttryck sedan z från w=f(z), det vill säga och . Då bör du ersätta z och i linjens ekvation. Det resulterande förhållandet är ekvationen för bilden av denna linje.

Regel 3.5. För att hitta en bild av ett visst område bör du använda en av två metoder.

Första sättet.

1. Skriv ner ekvationen för gränsen för detta område. Hitta bilden av gränsen för ett givet område med hjälp av reglerna 3.3 eller 3.4.

2. Välj en godtycklig intern punkt för ett givet område och hitta dess bild under den givna mappningen. Regionen som den resulterande punkten tillhör är den önskade bilden av den givna regionen.

Andra sättet.

1. Express z från förhållandet w=f(z).

2. Ersätt det du fick i steg 1. ett uttryck i en ojämlikhet som definierar en given region. Det resulterande förhållandet är den önskade bilden.

Exempel. Hitta bilden av en cirkel | z|=1 när den visas med en funktion w=z 2 .

■ 1 sätt(enligt regel 3.3).

1. Låt z=x+iy, w=u+iv. Sedan u+iv =x 2 -y 2 +i 2xy. Vi får:

2. Låt oss utesluta X Och på från dessa ekvationer. För att göra detta, låt oss kvadrera de första och andra ekvationerna och lägga till:

u 2 +v 2 =x 4 -2x 2 y 2 +y 4 +2x 2 y 2 =x 4 +2x 2 y 2 +y 4 =(x 2 +y 2) 2 .

Med hänsyn till systemets tredje ekvation får vi: u 2 +v 2 =1 eller | w| 2 =1, det vill säga | w|=1. Så, bilden av cirkeln | z|=1 är en cirkel | w|=1, kan passera två gånger. Detta följer av att sedan w=z 2 sedan Arg w=2Arg z+2pk. Så när poängen z beskriver en komplett cirkel | z|=1, sedan beskriver dess bild cirkeln | w|=1 två gånger.

2 sätt(enligt regel 3.4).

1. Låt oss skriva ekvationen för enhetscirkeln i parametrisk form: z=e det (0£ t£2 sid).

2. Låt oss ersätta z=e det i förhållande w=z 2: w=e i 2 t=cos2 t+i synd 2 t. Därför | w| 2 = cos 2 2 t+synd 2 2 t=1, det vill säga | w|=1 – bildekvation. ■

Exempel. Hitta ekvationen för bilden av en linje y=x när den visas w=z 3 .

■ Eftersom kurvan anges explicit tillämpar vi regel 3.3.

1. w=z 3 =(x+iy) 3 =x 3 +3x 2 iy+3x(iy) 2 +(iy) 3 =x 3 - 3xy 2 +i(3x 2 å-å 3).

2. I det resulterande systemet ersätter vi y=x: Exklusive X från dessa ekvationer får vi v=-u.

Så bilden av bisektrisen av I- och III-koordinatvinklarna i systemet xOyär bisektrisen för systemets II- och IV-koordinatvinklar uOv. ■

1. Linjär funktion

Linjär funktion kallas en funktion av formen

w=az+b, (4.1)

Var A, b- komplexa konstanter.

Denna funktion definieras av , . Därför, om , producerar den linjära funktionen en konform avbildning av hela planet för den komplexa variabeln. I detta fall roteras tangenterna till alla kurvor med samma vinkel Arg a, och spänningen vid alla punkter är lika. Om a= 1, då finns det ingen sträckning eller rotation. I det här fallet får vi w=z+b. Denna mappning förskjuter hela planet med en vektor.

I det allmänna fallet, går vi till den exponentiella formen att skriva ett komplext tal, får vi. Därför är en linjär mappning en sammansättning av tre geometriska transformationer:

w 1 =rz- likhet med koefficient r=|a|;

w 2 =e i j w 1 =rze i j- sväng i vinkel j=arg a runt punkten HANDLA OM;

w=w 2 +b=re i j z+b- parallell överföring till en vektor.

Därför kartläggningen w=az+bändrar de linjära dimensionerna för en plan figur i | a| en gång, roterar denna figur med en vinkel j=arg a runt origo och flyttar det i vektorns riktning med dess värde.

En linjär mappning har en cirkulär egenskap, det vill säga den avbildar cirklar z-plan i en cirkel w-plan (och vice versa); omvandlar raka linjer till raka linjer.

Exempel. Hitta bilden av axeln OU när den visas w=2iz-3i.

■ 1 sätt(enligt regel 3.4). Vi väljer axelekvationen i parametrisk form.

1. Eftersom i verklig form axelns ekvation Oj: x=0, -¥<y<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<y<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран på.

2. Låt oss ersätta z=iy till uttryck w=2iz-3i: w=-2y-3i, -¥<y<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (på- parameter). Efter att ha isolerat de verkliga och imaginära delarna får vi bildekvationen i verklig form: u=-2y, v=-3 eller v=-3, -¥<u<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv, parallellt med den reella axeln.

2 sätt. Vi använder den cirkulära egenskapen för en linjär transformation - bilden av en rät linje är en rät linje. Eftersom en rät linje definieras genom att ange två punkter räcker det på axeln OU välj två valfria punkter och hitta deras bilder. Den raka linjen som går genom de hittade punkterna kommer att vara den som krävs. Låt oss välja punkter z 1 =0, z 2 =i, deras bilder w 1 =-3i, w 2 =-2-3i när kartlagt, ligga på linjen Im w= -3 Därför bilden av axeln OUär en rak linje v=-3.

3 sätt(geometrisk). Från relationen w=2iz-3i följer det a=2i, b=-3i, |a|=2, . Detta betyder att den givna räta linjen (axel OU) måste roteras med en vinkel i förhållande till origo och sedan skiftas ned 3 enheter. Att sträcka sig 2 gånger ändrar inte det geometriska utseendet på den ursprungliga linjen, eftersom den passerar genom origo. ■

Exempel. Hitta någon linjär funktion som representerar en cirkel | z-i|=1 per omkrets | w- 3|=2.

■ Det ställda problemet är det omvända problemet med teorin om mappningar - givet en given bild och förbild, hitta motsvarande mappning. Utan ytterligare villkor har problemet ingen unik lösning. Låt oss presentera en geometrisk lösning.

1. Flytta cirkelns mittpunkt till origo. För att göra detta tillämpar vi kartläggningen w 1 =z-i.

2. I plan w 1 låt oss tillämpa en kartläggning som ger en 2-faldig sträcka, dvs w 2 =2w 1 .

3. Flytta cirkeln 3 enheter åt höger: w=w 2 +3. Äntligen får vi: w=2(z-i)+3, w= 2z+3-2i– önskad funktion.

Du kan välja en annan ordning för att utföra geometriska operationer - skift inte först, utan rotera eller sträck. ■

2. Linjär bråkdelfunktion

Bråk-linjär kallas en funktion av formen

Var a, b,c,d- komplexa tal så att , .

Egenskaper för fraktionerad linjär transformation

1°Överensstämmelse

Visa w=L(z) är konform vid alla ändpunkter av det komplexa planet utom .

2° Cirkulär fastighet

Bilden av en rät linje eller en cirkel i en fraktionerad linjär mappning w=L(z) är en rät linje eller en cirkel (och bilden av en rät linje kan vara antingen en cirkel eller en rät linje, och bilden av en cirkel kan vara både en rät linje och en cirkel). Det är lätt att fastställa det vid visning w=L(z) alla raka linjer och cirklar som passerar genom punkten går in i raka plan ( w), och alla raka linjer eller cirklar som inte passerar genom punkten d, - i planets omkrets ( w).

3°Dubbelrelationsinvarians

Relationen bevaras under en fraktionerad linjär mappning, det vill säga den är dess invariant. Detta förhållande kallas dubbelt förhållande på fyra poäng. Således bestäms den fraktionella linjära transformationen unikt genom att ange tre punkter och deras bilder: . Med hjälp av dessa par kan du hitta en linjär bråkdelfunktion med formeln:

Denna formel kan också tillämpas i fallet när några av siffrorna z k Och vecka förvandlas till ¥, om du använder regeln: skillnaden i vilken symbolen ¥ förekommer ska ersättas med 1.

4°Bibehålla symmetri

Om poäng z 1 och z 2 är symmetriska kring någon linje eller cirkel g, sedan för eventuell fraktionerad linjär mappning w=L(z) deras bilder w 1 och w 2 kommer att vara symmetrisk i förhållande till bilden g: .

Symmetri om en rak linje förstås i vanlig mening.

Poäng z Och z* kallas symmetrisk om cirkeln |z-z 0 |=R, om de ligger på samma stråle som kommer ut från cirkelns mittpunkt och produkten av deras avstånd från cirkelns centrum är lika med kvadraten på dess radie, dvs.

|z-z 0 |×| z*-z 0 |=R 2 . (4.4)

En punkt som är symmetrisk till en punkt z 0 – cirkelns mittpunkt är uppenbarligen punkten i oändligheten.

5°Matchningsprincip för gränsöverskridande (visar områden avgränsade av linjer eller cirklar)

Om, i en fraktionerad linjär mappning, en rät linje eller en cirkel g förvandlas till en rak linje eller cirkel g¢, sedan området D, vilket är begränsat g, omvandlas till ett av två områden som avgränsas av g¢. I det här fallet sker principen om överensstämmelse med gränsbypass: om under någon linjeförbikoppling g område D visar sig vara till vänster (höger), då med motsvarande korsning av linjen g¢ område D¢ ska också vara till vänster (höger).

Exempel. Hitta den linjära bråkdelens funktion w=L(z), Så att w(i)=2i, w(¥)=1, w(-1)=¥.

■ Låt oss beteckna z 1 =i, z 2 =¥, z 3 = -1 och w 1 =2i, w 2 =1, w 3 =¥. Låt oss tillämpa formel (4.3) och ersätta skillnaderna som innehåller z 2 och w 3 till ¥:

Låt oss konvertera: - w-wi+ 2jag- 2=wz-wi-z+i Û w(z+1)=z-2+iÛ är den funktion som krävs. ■ :w =1 och Im w=0.

2. Nu i enlighet med punkt 2. Regel 3.5, välj en godtycklig punkt, t.ex. z=-1О D. Dess bild under en given mappning är , liggande mellan linjerna Im w=1 och Im w=0. Därför kommer bilden av det givna området att vara remsa 0< Imw<1. ■

3. Exponentiell funktion

Exponentialfunktion av en komplex variabelz=x+iy kallas en funktion betecknad med exp z(läs "exponent" z") och definieras av formeln

Fastigheter exp z

1° Om , då exp z=exp x=e x, dvs. på den reella axeln sammanfaller en komplex variabels exponentialfunktion med en reell variabels exponentialfunktion. Därför, tillsammans med beteckningen exp Z P, parallellt med den reella axeln:

Om till exempel , då .

8° Exponentialfunktionen är analytisk på , (exp z)¢=exp z.

Exempel. Hitta den verkliga, imaginära delen, modulen och huvudvärdet av argumentet för ett tal e 2- i.

■ Vi använder definitionen av en exponentiell funktion av en komplex variabel. Låta z=2-jag, x=Re z=2, y=Jag z=-1.

Sedan . Därav,

Du kan också använda additionssatsen och Eulers formel (1.7) istället för definitionen. ■

Visaw =exp z

Elektrodsystem med komplexa tvådimensionella elektrostatiska fält kan beräknas med den konforma kartläggningsmetoden. Huvudidén med denna metod är att ersätta komplexa fält med enkla fält för vilka lösningarna är kända. Sådana enkla fält inkluderar fälten hos en platt eller cylindrisk kondensator bort från deras kanter. Metoden för konforma mappningar är en praktisk tillämpning av teorin om funktioner för en komplex variabel. En konform mappning är en kontinuerlig mappning som bevarar formen av infinitesimala (infinitesimala) figurer. För en konform mappning är egenskapen vinklars konstantitet och förlängningars konstans uppfyllda. Namnet kommer från sent latin - conformis– liknande, kontinuerlig kartläggning som bevarar formen av infinitesimala figurer: till exempel b.m. cirkeln förblir b.m. runt om; vinklarna mellan linjerna vid skärningspunkten med varandra ändras inte. Tillämpningsområdet för den konforma kartläggningsmetoden för att beräkna elektriska fält är tvådimensionella elektrostatiska fält.

Konform transformation kartlägger varje punkt z=x+j×y verkligt beräkningsfält, beskrivet av ett komplext plan, till en punkt w=u+j×v ett annat komplext plan, med en enklare fältkonfiguration. Den största svårigheten med metoden är att hitta typen av funktion för ett givet verkligt elektrodsystem. I praktiken, när de försöker hitta en konform mappningsfunktion, använder de antingen speciella kataloger över konforma mappningar eller söker efter den genom successiva försök.

Låt oss anta att vi känner till formen för någon transformation z=f(w) eller omvänd konvertering w=F Z), som upprättar en en-till-en överensstämmelse mellan två komplexa plan med komplex ( z) och enkelt ( w) fältkonfiguration. Omvandlingsfaktorn är förhållandet dw/dz.

Följande relationer används här:

, . (2.94)

På samma sätt kan vi skriva:

. (2.95)

Två komplexa tal är lika om deras reella och imaginära delar är lika. Genom att jämföra värdena för omvandlingskoefficienten som ges i uttryck (2,93) och (2,95), kan vi skriva:

Uttryck (2,96) är kända som Cauchy-Riemann-förhållandena. Genom att använda olika former för att representera komplexa tal kan omvandlingskoefficienten skrivas som:

Var är förändringskoefficienten i längden av segment under transformation, och tg(j) = b/a(j är rotationsvinkeln för segmenten under transformation). Från Cauchy-Riemann-relationerna får vi:

(2.99)

Av relationer (2.97) – (2.98) följer att den konforma transformationskoefficienten Mär den relativa elektriska fältstyrkan och var och en av funktionerna u Och v kan väljas som potential på det nya komplexa planet w=f(u,v). Denna slutsats kan verifieras på annat sätt. Om funktionerna u Och v kan väljas som en potential, då måste var och en av dem uppfylla Laplace-ekvationen: D u=0 och D v=0. Detta kan verifieras genom att direkt omdifferentiera Cauchy-Riemann-förhållandena. Låt oss skilja det första villkoret med avseende på X, och den andra på; lägga ihop resultatet; Låt oss flytta alla signifikanta derivator till vänster sida av notationen och lämna noll till höger:

; ; . (2.100)

Av det resulterande uttrycket följer att funktionen u uppfyller Laplace-ekvationen (1.25), (1.30) och kan tas som en potential. Låt oss skilja det 1:a villkoret med avseende på på, och den 2:a - av X:

; ; , (2.101)

de där. och funktion v uppfyller även Laplaces ekvation och kan också tas som en potential. Eftersom kraften och ekvipotentiallinjerna på planet z=f(x,y)är ömsesidigt vinkelräta, och den konforma transformationen lämnar oförändrade vinklarna mellan linjerna vid skärningspunkten, så av (2.97) ¸ (2.101) följer att om funktionen u tagen till exempel som en potential, då linjen med v=const – är en kraftlinje. Om v– potential alltså u=const – kraftledning. Vilken av funktionerna u eller vär en potential, och som är en kraftlinje, bör bestämmas från analysen av den konforma transformationen av fältet på det ursprungliga planet z=f(x,y) på ett fält på ett plan w=f(u,v). Vilken funktion som helst z=f(w)(eller w=f(z)) ger oss en lösning på alla problem inom elektrostatik. Du kan komma på en godtycklig funktion, hitta lösningar för den och sedan välja rätt elektrodsystem för de lösningar som hittas. Många lösningar på elektrostatiska problem hittades med denna metod (bakåt).

Vid bestämning av den elektriska fältstyrkan med den konforma kartläggningsmetoden bör följande viktiga omständigheter beaktas. Det elektriska fältmönstret bestäms helt av elektrodsystemets geometriska parametrar, oavsett den rumsliga skalan och pålagd spänning. Därför kan fältet beskrivas med intensitet per enhet spänning eller längd. Uttryck (2,97)-(2,98) representerar just en sådan relativ spänning. För att erhålla den faktiska spänningen är det nödvändigt att ta hänsyn till den faktiska applicerade spänningen och det faktiska avståndet mellan elektroderna. Detta görs genom att multiplicera uttryck (2,97)-(2,98) med skalfaktorn K m. Låt avståndet mellan elektroderna vara i planet w lika u 2 -u 1 (v 2 -v 1), om funktionerna u eller v, respektive. Sedan tar skalfaktorn formen:

K m= U/(u 2 -u 1) eller K m= U/(v 2 -v 1). (2.102)

Cylindrisk kondensator.Även om beräkningen av det elektrostatiska fältet för en cylindrisk kondensator ges i §2.5, betraktar vi det som ett exempel på tillämpningen av den konforma kartläggningsmetoden. Fält för en cylindrisk kondensator (fält av två koncentriska cirklar) på ett plan xy kan mappas till ett enhetligt fält (fältet för en kondensator med parallella plattor) genom följande transformation:

z = e w; x + j×y = e u+jv = e u(Cos v+j×Synd v).

Låt oss separera de verkliga och imaginära delarna:

Rak linje på ett riktigt plan z, passerar genom origo med en lutningsvinkel mot axeln X likvärdig v=const blir en rät linje på planet w, parallellt med x-axeln.

På u= konst på planet w ett system av räta linjer parallella med ordinataaxeln erhålls. På ytan z de motsvarar ett system av koncentriska cirklar. Det är uppenbart att linjerna med u= const bör tas som potentiella linjer, och v- bortom fältlinjerna. Vi kommer att beräkna spänningen med formeln (2.97):

Längden på ett konverterat litet segment när det överförs från ett plan z till planet wändras till 1/ r gånger var r– avstånd till mitten av cirklarna. Ju längre från mitten, desto mindre är förändringskoefficienten i segmentens längder. Det överförda segmentet roteras med vinkeln j = arctg(- y/x). Vinkeln mellan strålen som kommer från origo till mitten av det konverterade segmentet och axeln X blir lika med noll. Alla radier på z- flygplan förvandlas till w- plan i en linje parallell med axeln u. Skalfaktor

Spänning

(2.103)

Den resulterande formeln (2.103) sammanfaller, som man kan förvänta sig på grund av unikhetssatsen, med uttrycket (2.18) som erhållits med Ostrogradsky-Gauss sats.

Fält inuti en rät vinkel som bildas av två plan

Som ett annat exempel på tillämpningen av metoden för konforma avbildningar, låt oss betrakta ett fält som bildas av två oändligt ledande ömsesidigt vinkelräta plan. Det är uppenbart att ett sådant elektrodsystem har translationssymmetri med ett oändligt litet translationssteg längs planen och ett symmetriplan som passerar i en vinkel av 45° mot vart och ett av planen. Ett sådant fält reduceras till ett tvådimensionellt fält, och för att bestämma dess parametrar räcker det att beräkna fältets egenskaper mellan ett av planen och symmetriplanet. För tvådimensionella fält kan den konforma kartläggningsmetoden tillämpas. Fält in z– ett plan vinkelrätt mot skärningslinjen för laddade plan, visat i fig. 2.20a. Bakom axlarna X Och på skärningslinjer för laddade plan med z– platt. Fältet inuti den räta vinkeln som bildas av två plan omvandlas till ett enhetligt fält genom transformationen w = z 2. Låt oss visa detta:

w= u+jv = z 2 = (x+jy) 2 = x 2 + j 2xy – y 2 ; u = x 2 – y 2 ; v = + j 2xy.

På u= const linjer parallella med axeln v på ytan w, omvandlas till en familj av liksidiga hyperboler x 2 – y 2 = A 2 på planet z. Axel 0 Xär den verkliga (fokala) axeln för hyperboler, och axeln på dess imaginära axel. En rät linje som går genom origo i en vinkel på 45° mot axeln X (u = 0; y = x), representerar skärningslinjen z– ett plan med ett symmetriplan och är en asymptot av hyperboler. Skärningsvinkel för hyperbler med axeln X lika med 90°, dvs. funktionslinjer u=X 2 -på 2 vinkelrätt mot ekvipotentiallinjen X(ytan på det laddade planet X).

Funktioner v = 2xy till olika värden v beskriv en annan familj av liksidiga hyperboler vars axlar X Och påär asymptoter och linjen på = Xär fokalaxeln. Figur 2.20a visar hyperboler med v= 4, 16, 36. När v= 0 hyperbel degenererar i koordinataxeln X Och på, som sammanfaller med de laddade planen. Eftersom ytan på laddade plan är en yta med samma potential är det uppenbart att det är funktionen v måste tas som en potentiell funktion på planet w. I det här fallet funktionen u representerar en kraftfunktion. Fältet för två oändliga inbördes vinkelräta plan (axel X Och på på z– plan) förvandlas till ett enhetligt fält av ett oändligt laddat plan (axel v på w– flygplan).

Konform transformation, samtidigt som formen av infinitesimala figurer bevaras, kan avsevärt ändra formen på finita figurer. Ett exempel på en sådan förändring är omvandlingen av en kvadrat abcd med koordinater A(0,8;0,8), b(0,8;4), c(4;4), d(4;0,8) på z- planar in i en krökt fyrhörning a¢b¢c¢d¢ med koordinater a¢(0;1,28), b¢(-15,36;6,4), c¢(0;32), d¢(15.36;6.4) på w- flygplan.

Låt oss bestämma den relativa styrkan hos det elektrostatiska fältet för de laddade planen i Fig. 2.20a. Av de två formlerna (2.97) och (2.98) kommer vi att använda (2.98) för att bestämma spänningen, eftersom det är funktionen v = 2xy beskriver ett system av ekvipotentiella ytor (linjer). Linjär omvandlingsfaktor:

, (2.104)

Längden på det konverterade lilla segmentet när det överförs från z- flygplan på w- planet ökar med 2 r gånger var r=X 2 +på 2 – avstånd kl z- plan från origo till mitten av segmentet. Det överförda segmentet roteras med en vinkel j = arctan( y/x). Det finns en fördubbling av vinkeln mellan strålen som går från origo till mitten av segmentet och axeln X. Skalfaktor K m = U/(v 2 -v 1) = U/(2x 2 y 2 -2x 1 y 1). Fältstyrkan bestäms genom att multiplicera den relativa styrkan med skalfaktorn: E=E¢×K m. Låt skalfaktorn vara K m=100 v/m. Låt oss bestämma fältstyrkan vid två punkter på det laddade planet: närmare skärningsvinkeln för planen n 1(1;0) och långt därifrån n 2 (5;0).

V/m, xv/m.

Ju närmare hörnet, desto lägre fältstyrka. Detta resultat kan förväntas från fältbilden i Fig. 2.20: avståndet mellan ekvipotentiallinjerna minskar med avståndet från hörnet. Varje fördjupning (buckla, fördjupning, grotta, spricka, etc.) på elektrodens yta kan ungefärligt beskrivas av det aktuella problemet. Sedan, med hänsyn till resultaten från föregående stycke, kan vi dra slutsatsen: nära spetsen eller utsprånget ökar den elektriska fältstyrkan, och nära fördjupningen eller hålet försvagas den. En liknande bild i Fig. 2.20a av beteendet hos kraft- och ekvipotentiallinjer observeras nära fältets förgreningspunkt från två laddningar med samma namn (§2.11).

Fält vid kanten av en platt kondensator (Rogowski-profil)

Låt oss placera ursprunget för koordinater vid z- plan så att axeln X var parallell med kondensatorplattornas plan och var på samma avstånd från dem a. Axel på vinkelrätt mot plattorna och passerar genom deras kanter. Funktionen att kartlägga fältet vid kanten av en platt kondensator till ett enhetligt fält erhölls av Yu K. Maxwell 1881 i formen:

. (2.105)

Efter att ha separerat variablerna får vi:

På v jag= 0, y = 0, . På vII= p, y= a, .

Uppenbarligen bör den potentiella funktionen väljas som v.

,

Med tanke på att K m=U/(v II -v I) = U/s

(2.106)

På u < -5 в области от v jag=0 till vII=p, ett nästan enhetligt fält med en styrka erhålls U/a. På u®0 spänning vid elektroden ( v=v II = p)ökar kraftigt och tenderar till oändlighet som u=0. Den högsta spänningen i verkliga system försvinner inte:

. (2.107)

Vid en ändlig tjocklek av kondensatorplattan v¹p och spänningen förblir ändlig. Storlek v bör väljas så att ekvipotentialytan sammanfaller med den faktiska ytan på kondensatorplattan. Låta v= 174° = 29p/30, då förhållandet mellan spänningen vid kanten av elektroden och medelspänningen:

.

Det kan ses att även vid en ganska trubbig kant ökar spänningen kraftigt. Detta förhållande kan göras nära enhet om elektrodytan är gjord i form av en ekvipotentialyta med v£ p/2. Denna elektrodprofil kallas Rogowski-profilen (fig. 2.21c). På ett avstånd A= p (avståndet mellan plattorna är 2p) den har koordinaten v= p/2 och för det x = u+1; y= p/2+ e u, dvs. på= p/2+ e (X-1) (2.108)

Rogowski-profilen är av stor praktisk betydelse vid försök med nedbrytning i ett fält nära likformigt för att eliminera kanteffekten. Det finns ett enhetligt fält i mitten av enheten med Rogowski-elektroder.

Fält av delade ledningar.

I högspänningsledningar är fastråden uppdelad i flera ledare för att minska förluster av överförd effekt på grund av koronaurladdning. För att beskriva det delade fältet

kablar kan du använda displayfunktionen, där n –

antalet enskilda ledare i vilka fastråden är delad. För att illustrera metoden för konforma mappningar, överväg att dela upp i två trådar ( n=2). (Observera att detta fall kan lösas helt enkelt med hjälp av bildmetoden)

Låt planet z vinkelrätt mot de delade trådarna. Låt oss välja en axel X på z plan så att den passerar genom ledningarnas axlar. Låt axeln y passerar genom mitten av segmentet mellan ledningarna. Lösningen förenklas avsevärt om vi hittar icke-funktioner x,y=f(u,v), och funktionerna u,v = f(x,y). Genom att separera de verkliga och imaginära delarna får vi:

,

Potentialutjämningslinjerna motsvarar funktionen u. Att fungera u var lika med noll måste logaritmen vara lika med noll och uttrycket inom hakparenteser måste vara lika med 1. Då gäller relationen:

(X 2 +på 2) 2 = 2A 2 (X 2 -på 2)

Denna funktion passerar genom origo z- flygplan. På u i intervallet -1,28< u < 0 на z- Plana, cirkulära områden observeras till höger och vänster om axeln på. På u£ -1,28 är praktiskt taget punkter med koordinater X = -A Och X = A. På u> 0 lösningar är slutna kurvor, som med ökande u närmar sig formen av cirklar. Dessa kurvor representerar potentiella fältlinjer för två cylindrar med laddningar av samma tecken, dvs. fält av två ledningar med samma potential. Punkterna på ytan av trådarna är av största intresse R 2 och R 1, där de högsta respektive lägsta fältstyrkorna observeras. Punkt R 2 är placerad på ytan av tråden vid den punkt som är längst bort från den andra tråden och har koordinater:

,

Med hänsyn till skalfaktorn för punkt p 2 får vi:

. (2.109)

Vid s®0 förvandlas elektrodsystemet till ett system med två koaxialcylindrar ( b=0, s=0) (se (2.18)):

Typiskt för en kraftledning p ³ 200.

Självtestfrågor

1. Ge Laplaces fundamentala ekvationer i rymden, ett homogent och planparallellt fält.

2. Ge formler för att beräkna potentialen och fältstyrkan för en punktladdning. Bestäm kapaciteten för en enda metallkula.

3. Ge formler för att beräkna potentialen och fältstyrkan för en enda oändligt tunn rak tråd med oändlig längd.

4. Var finns områdena med maximal fältstyrka för koaxialkabeln. Hitta den optimala diametern på den inre kärnan för en given storlek på det yttre skalet och potentialskillnaden mellan dem. Bestäm den linjära kapacitansen för koaxialkabeln.

5. Varför tillverkas kablar med isolering från olika typer av dielektrikum?

6. Förklara utformningen av kondensatoringången och dess syfte.

7. Vad är överlagringsmetoden och vad är partiell kapacitans?

8. Vad är en elektrisk dipol, vilka egenskaper har dipolfältet? För att förklara vilka fenomen används begreppet dipol?

9. Vilka är likheterna och skillnaderna mellan fälten för två lika och olika laddningar?

10. Avbilda grafiskt fältet för två motsatt laddade oändliga axlar. Ge formler för att beräkna ett sådant system och ange punkterna med maximal fältstyrka.

11. Vad är reflektionsmetoden? Förklara essensen av metoden med hjälp av exemplet att beräkna fältparametrarna för en enda tråd ovanför marken.

12. Ge en metod för att beräkna fältparametrarna för en punktladdning nära en metallkula.

13. Bestäm den elektriska fältstyrkan på ytan av en enda tråd ovanför marken.

14. Hur bestämmer man fältparametrarna för en trefaslinje?

15. Bestäm den maximala spänningen för kulgapet.

16. Ge en metod för att hitta parametrarna för det fält som skapas av en ledare med ändlig längd.

17. Ge en metod för att hitta parametrarna för fältet som skapas av en ringladdning.

18. Ge en metod för att hitta parametrarna för fältet som skapas av en laddad skiva.

19. Hur beror fältparametrarna på krökningsradien för elektrodytan? Varför ska ytorna på högspänningselektroder slätas och jordas?

20. Förklara kärnan i den konforma kartläggningsmetoden och lista sekvensen av beräkningar med denna metod.

21. Vad är en Rogowski-profil?

22. Hur uppstår en rymdladdning och hur förändrar den det elektriska fältets egenskaper?

23. Vilken av egenskaperna hos det elektriska fältet är en analog av energi?

24. Vilken av det elektriska fältets egenskaper är en kraftanalog?

25. I vilket syfte delas en fasledare i flera parallella ledare på kraftledningar med en märkspänning på 330 kV och däröver? Ange punkterna med maximal spänning på de delade trådarna. Vad är avstånden mellan delade ledare?

26. Var är den elektriska fältstyrkan nära jordens yta högre: i en fördjupning (hål, ravin) eller på en höjd (kulle, kulle)? Förklara ditt svar grafiskt och med beräkningar.

27. Hur förändras den elektriska fältstyrkan på marknivå under en enkretsledning med horisontella fasledningar?

28. Ge en algoritm för att beräkna jordkapacitansen för en trefas luftledning.

29. I vilket syfte installeras ringskärmar på högspänningsapparater?

30. Härled formler för att beräkna parametrarna för en cylindrisk kondensator.

Här kommer vi att prata mer i detalj om de geometriska metoderna för teorin om analytiska och generaliserade analytiska funktioner, som vi mest kommer att använda i applikationer.

§ 10. Riemannproblem

Detta huvudsakliga gränsvärdesproblem för teorin om konforma kartläggningar har redan diskuterats i föregående kapitel. Det består i att konstruera en konform kartläggning av en region till en annan.

Existens och unikhet. Låt oss börja med anmärkningen att det räcker att lära sig hur man mappar ett godtyckligt enkelt kopplat område konformt på en cirkel, och sedan kan vi mappa vilka två sådana regioner som helst på varandra.

Denna anmärkning är baserad på två enkla egenskaper hos konforma kartor: 1) inversen av en konform karta och 2) en komplex karta som består av två konforma kartor (dvs. kartan) är återigen konforma kartor. Egenskaperna framgår tydligt av definitionen av en konform mappning som en en-till-en analytisk transformation och av reglerna för att skilja inversa och komplexa funktioner.

Med dessa egenskaper är det inte alls svårt att underbygga påpekandet: om funktionerna konformt kartlägger respektive domäner på enheten

cirkel så kommer funktionen att visas på

Riemanns problem avslutades i början av detta århundrade. Det visade sig att varje enkelt sammankopplat område vars gräns består av mer än en punkt kan mappas konformt på enhetscirkeln. Detta är Riemanns berömda teorem, som han formulerade redan 1851, stödd av fysiska överväganden, men inte bevisade (mer exakt, hans bevis hade en betydande lucka).

Låt oss ta itu med frågan om hur definierat Riemann-problemet är, hur många lösningar det har för givna domäner. Enligt anmärkningen räcker det att ta reda på hur många sätt man konformt kan kartlägga enhetscirkeln på. sig. Det är lätt att kontrollera att funktionen för alla komplexa och reella tal

mappar cirkeln konformt på sig själv (i själva verket med vi har och därför, dvs (1) omvandlar enhetscirkeln till sig själv; dessutom är den en-till-en, eftersom ekvation (1) är unikt lösbar med avseende på och tar punkt a i cirkeln till dess centrum). Mappning (1) beror på tre verkliga parametrar - två koordinater för punkten a, som går till cirkelns mitt, och numret 0, vars förändring betyder rotationen av cirkeln i förhållande till centrum.

Det kan bevisas att formel (1) innehåller alla konforma mappningar av enhetsskivan på sig själv. Detta innebär att godtyckligheten i att lösa Riemann-problemet är uttömd av tre verkliga parametrar:

den konforma mappningen av en region till en annan bestäms unikt om vi specificerar överensstämmelsen mellan tre par av gränspunkter (positionen för en punkt på gränsen anges av en parameter) eller överensstämmelsen mellan ett par interna punkter (två parametrar) och ytterligare ett par gränspunkter (en parameter). Sådana förhållanden som unikt bestämmer mappningen - de kallas normaliseringsförhållanden - kan ta olika former, men varje gång måste dessa förhållanden bestämma tre parametrar.

Exempel. Låt oss ange flera enkla exempel på konforma mappningar.

1) Kartlägga cirkelns utseende på sig själv. Funktion (1) kan också betraktas som kartläggning av exteriören, d.v.s. området på sig själv; det tar en punkt som kallas symmetrisk till oändlighet med avseende på enhetscirkeln

2) Det övre halvplanet på cirkeln visas också med en linjär bråkdelfunktion:

här är a en godtycklig punkt i det övre halvplanet, den överförs vid kartläggning (2) till cirkelns centrum; den punkt i cirkeln till vilken planets oändliga punkt går (gränsen för den högra sidan av (2) med är uppenbarligen lika med ).

I fig. Figur 22 visar vad räta linjer h blir till - dessa är cirklar som tangerar enheten vid punkten

3) Exteriören av en enhetscirkel avbildas på utsidan av ett segment av den så kallade Zhukovsky-funktionen

I detta fall omvandlas cirklarna till ellipser med halvaxlar och med foci ±1, och strålarna till bågar av hyperboler vinkelräta mot ellipserna (fig. 23).

4) Randen på en enhetscirkel visas av funktionen

I det här fallet förvandlas vertikala raka och horisontella segment till "meridianer" och "paralleller" (Fig. 24).

5) Det övre halvplanet med ett cirkulärt segment som kastas på det övre halvplanet under normaliseringen visas av funktionen

där a och a är parametrarna för segmentet (fig. 25), och c är en reell konstant (observera att våra normaliseringsförhållanden endast anger två reella parametrar, så den tredje förblir godtycklig).

Denna formel är för besvärlig för applikationer. För litet a och a, med hjälp av de första termerna i Taylor-expansionerna, kan det ersättas med den ungefärliga formeln

Det kan också noteras att, upp till små högre order, det ger området från det utkastade segmentet, därför kan (6) skrivas om i formen

6) En cirkel med ett litet hål kastat på cirkeln visas också med en ganska omständlig inspelningsfunktion. En ungefärlig formel för en sådan mappning, förutsatt att området för det utskjutna hålet är litet, kan skrivas på följande sätt:

här är toppen av hålet eller (med samma noggrannhet) dess andra punkt.

7) Samma ungefärliga formel för att kartlägga en remsa med ett utskjutet hål med liten yta c på remsan har formen

där a är abskissan för en av hålets punkter; hyperbolisk tangent.

Flöde i kanalen. Förmågan att lösa Riemann-problemet avgör framgången för att lösa vissa hydrodynamiska problem. Vi kommer att illustrera detta med hjälp av klassiska exempel på problem med stadiga flöden av en idealisk inkompressibel vätska förbi kroppar. Vi måste naturligtvis anta att kropparna är i form av oändliga cylindrar (med godtyckliga ledande linjer) för att kunna använda planrörelseschemat.

Antag att vi behöver hitta ett flöde i en kanal med väggar som är vinkelräta mot ett visst plan och skära det längs två oändliga kurvor utan gemensamma punkter (Fig. 26), och flödeshastigheterna är parallella med detta plan och är överhuvudtaget desamma vinkelrät mot den. Hastighetsfältet i kanalen beskrivs av ett platt fält i ett band begränsat av kurvor

Som vi såg i föregående kapitel leder antagandet om frånvaron av källor och virvlar i flödet till slutsatsen om att det finns en komplex potential - analytisk i funktionen. Att hitta ett flöde innebär att hitta denna funktion.

Flödet måste flyta runt kanalens väggar, dvs var och en av kurvorna måste vara en strömlinje, detta ger gränsvillkoret för problemet. Vi kan fråga

även den flödeshastighet som, som visas i förra kapitlet, är lika med

där y är en linje med ändar, d.v.s. valfritt tvärsnitt av flödet. Eftersom vi är intresserade av potentialen upp till en konstant term, kan vi anta att på G.

I denna formulering är problemet fortfarande mycket osäkert. Till exempel, för fallet när det är en rak remsa, är dess lösning vilken funktion som helst

För vilket reellt och heltal som helst (den imaginära delen försvinner vid För att klargöra problemet tydligare måste vi anta att bredden på remsan förblir begränsad i oändligheten, införa vissa jämnhetsvillkor och endast beakta flöden med begränsad hastighet i oändligheten. Det kan bevisas att för dessa ytterligare begränsningar kommer lösningen på problemet endast att vara en konform mappning av domänen på en remsa med normalisering. Denna mappning bestäms upp till en (verklig) konstant term, vilket inte är väsentligt, dvs flödet Problemet löses på ett unikt sätt i de accepterade restriktionerna.