مجموع 7 عدد اول یک تصاعد هندسی. پیشرفت هندسی مثال با محلول

پیشروی هندسی نوع جدیدی از دنباله اعداد است که قرار است با آن آشنا شویم. برای آشنایی موفق، حداقل دانستن و درک آن ضرری ندارد. سپس هیچ مشکلی با پیشرفت هندسی وجود نخواهد داشت.)

پیشرفت هندسی چیست؟ مفهوم پیشرفت هندسی.

تور را طبق معمول با اصول اولیه شروع می کنیم. من یک دنباله ناتمام از اعداد را می نویسم:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

آیا می توانید الگو را ببینید و بگویید کدام اعداد بعدی خواهند آمد؟ فلفل شفاف است، سپس اعداد 100000، 1000000 و غیره خواهد آمد. حتی بدون تلاش ذهنی زیاد، همه چیز روشن است، درست است؟)

خوب. مثالی دیگر. این سکانس را می نویسم:

1, 2, 4, 8, 16, …

آیا می توانید بگویید که کدام اعداد بعد از عدد 16 و نام آنها می آیند هشتمعضو سکانس؟ اگر فهمیدید که این عدد 128 خواهد بود، خیلی خوب است. بنابراین، نیمی از جنگ در درک است احساس، مفهومو امتیاز کلیدیپیشروی هندسی قبلا انجام شده است. می توانید بیشتر رشد کنید.)

و اکنون دوباره از احساسات به سمت ریاضیات سخت حرکت می کنیم.

نکات کلیدی پیشرفت هندسی

نکته کلیدی شماره 1

پیشرفت هندسی است دنباله ای از اعدادپیشرفت هم همینطور. چیز خاصی نیست. فقط این دنباله مرتب شده است متفاوتاز این رو طبیعتاً نام دیگری دارد، بله...

نکته کلیدی شماره 2

با نکته کلیدی دوم، سوال پیچیده تر خواهد شد. بیایید کمی به عقب برگردیم و ویژگی کلیدی پیشروی حسابی را به خاطر بسپاریم. ایناهاش: هر عضو با قبلی متفاوت است به همان میزان

آیا می توان یک ویژگی کلیدی مشابه برای یک پیشروی هندسی فرموله کرد؟ کمی فکر کنید... به مثال های داده شده با دقت نگاه کنید. حدس زدی؟ آره! در پیشرفت هندسی (هر!) هر یک از اعضای آن با قبلی متفاوت است به همان تعداد دفعاتهمیشه!

در مثال اول این عدد ده است. هر کدام از اعضای دنباله را که انتخاب کنید، بزرگتر از قسمت قبلی است ده بار.

در مثال دوم یک دو است: هر عبارت بزرگتر از عبارت قبلی است دو برابر.

این نکته کلیدی است که پیشرفت هندسی با پیشروی حسابی متفاوت است. در یک تصاعد حسابی، هر جمله بعدی به دست می آید با اضافه کردنهمان مقدار ترم قبلی و اینجا - ضربترم قبلی به همان میزان این همه تفاوت است.)

نکته کلیدی شماره 3

این نکته کلیدی کاملاً مشابه آن برای یک پیشروی حسابی است. برای مثال: هر عضو یک پیشرفت هندسی در جای خود می ایستد.همه چیز دقیقاً مانند پیشروی حسابی است و به نظر من نظرات غیرضروری است. عبارت اول وجود دارد، صد و یکم وجود دارد و غیره. اجازه دهید حداقل دو عبارت را با هم عوض کنیم - الگو (و همراه با آن پیشرفت هندسی) ناپدید می شود. چیزی که باقی می ماند فقط دنباله ای از اعداد بدون هیچ منطقی است.

همین. این تمام نقطه پیشرفت هندسی است.

شرایط و تعاریف.

اما اکنون با درک معنا و نکات کلیدی پیشروی هندسی، می‌توانیم به سراغ نظریه برویم. وگرنه تئوری بدون درک معنی چیست، درست است؟

چگونه پیشروی هندسی را مشخص کنیم؟

پیشروی هندسی به صورت کلی چگونه نوشته می شود؟ مشکلی نیست! هر عبارت از پیشرفت نیز به عنوان یک حرف نوشته می شود. فقط برای پیشرفت حسابی، معمولا از حرف استفاده می شود "آ"، برای هندسی – حرف "ب". شماره عضو، طبق معمول نشان داده شده است ایندکس پایین سمت راست. ما به سادگی اعضای خود پیشرفت را لیست می کنیم که با کاما یا نقطه ویرگول از هم جدا شده اند.

مثل این:

b 1,ب 2 , ب 3 , ب 4 , ب 5 , ب 6 , …

به طور خلاصه، این پیشرفت به این صورت نوشته شده است: (b n) .

یا مانند این، برای پیشرفت های محدود:

ب 1، ب 2، ب 3، ب 4، ب 5، ب 6.

b 1, b 2, …, b 29, b 30.

یا به طور خلاصه:

(b n), n=30 .

این، در واقع، تمام تعیین است. همه چیز یکسان است، فقط حرف متفاوت است، بله.) و اکنون مستقیماً به تعریف می رویم.

تعریف پیشرفت هندسی

پیشروی هندسی یک دنباله اعدادی است که در آن جمله اول غیر صفر است و هر جمله بعدی برابر است با جمله قبلی ضرب در همان عدد غیر صفر.

این کل تعریف است. بیشتر کلمات و عبارات برای شما واضح و آشنا هستند. اگر، البته، معنای پیشرفت هندسی "روی انگشتان خود" و به طور کلی را درک کنید. اما چند عبارت جدید نیز وجود دارد که مایلم به آنها توجه ویژه ای داشته باشم.

ابتدا کلمات: "اولین عضو که غیر صفر".

این محدودیت در دوره اول تصادفی نبود. فکر می کنید اگر عضو اول باشد چه اتفاقی می افتد ب 1 برابر صفر خواهد بود؟ اگر هر جمله از جمله قبلی بزرگتر باشد، جمله دوم برابر با چه خواهد بود؟ همان تعداد دفعات؟سه بار بگوییم؟ بیایید ببینیم ... جمله اول (یعنی 0) را در 3 ضرب کنید و ... صفر شوید! و عضو سوم چطور؟ همچنین صفر! و جمله چهارم هم صفر است! و غیره…

ما فقط یک کیسه شیرینی به دست می آوریم، دنباله ای از صفرها:

0, 0, 0, 0, …

البته چنین سکانسی حق حیات دارد، اما هیچ فایده عملی ندارد. همه چیز روشن است. هر عضوی از آن صفر است. مجموع هر تعداد عبارت هم صفر است... چه کارهای جالبی می توانید با آن انجام دهید؟ هیچ چیزی…

کلمات کلیدی زیر: "ضرب در همان عدد غیر صفر."

همین شماره نیز نام خاص خود را دارد - مخرج پیشرفت هندسی. بیایید شروع به آشنایی کنیم.)

مخرج یک تصاعد هندسی.

همه چیز به سادگی پوست اندازی گلابی است.

مخرج یک پیشرفت هندسی یک عدد (یا کمیت) غیر صفر است که نشان دهندهچند بارهر ترم پیشرفت بیشتر از قبلی

باز هم، مشابه پیشروی حسابی، کلمه کلیدی که باید در این تعریف جستجو کرد کلمه است "بیشتر". به این معنی است که هر ترم از پیشرفت هندسی به دست می آید ضرببه همین مخرج عضو قبلی

بگذار توضیح بدهم.

برای محاسبه، بیایید بگوییم دومیندیک، نیاز به گرفتن اولینعضو و تکثیر کردنآن را به مخرج. برای محاسبه دهمدیک، نیاز به گرفتن نهمعضو و تکثیر کردنآن را به مخرج.

مخرج خود پیشرفت هندسی می تواند هر چیزی باشد. مطلقاً هر کسی! کل، کسری، مثبت، منفی، غیر منطقی - همه چیز. به جز صفر این همان چیزی است که کلمه "غیر صفر" در تعریف به ما می گوید. چرا این کلمه در اینجا مورد نیاز است - در ادامه بیشتر در مورد آن.

مخرج پیشرفت هندسیاغلب با حرف نشان داده می شود q.

چگونه آن را پیدا کنیم q? مشکلی نیست! ما باید هر اصطلاحی از پیشرفت و تقسیم بر جمله قبلی. تقسیم است کسر. از این رو نام - "مخرج پیشرفت". مخرج معمولاً در کسری می نشیند، بله...) اگرچه منطقاً مقدار qباید نامیده شود خصوصیپیشرفت هندسی، مشابه تفاوتبرای پیشرفت حسابی اما قبول کردیم که تماس بگیریم مخرج. و ما چرخ را دوباره اختراع نمی کنیم.)

اجازه دهید برای مثال کمیت را تعریف کنیم qبرای این پیشرفت هندسی:

2, 6, 18, 54, …

همه چیز ابتدایی است. آن را بگیریم هرشماره ترتیب. هر چه بخواهیم می گیریم. به جز همان اولی به عنوان مثال، 18. و تقسیم بر شماره قبلی. یعنی در 6.

ما گرفتیم:

q = 18/6 = 3

همین. این جواب درست است. برای این پیشرفت هندسی، مخرج سه است.

حال بیایید مخرج را پیدا کنیم qبرای یک پیشرفت هندسی دیگر مثلا این یکی:

1, -2, 4, -8, 16, …

همه یکسان. مهم نیست که خود اعضا چه نشانه هایی دارند، ما همچنان می گیریم هرشماره دنباله (مثلاً 16) و تقسیم بر شماره قبلی(یعنی -8).

ما گرفتیم:

د = 16/(-8) = -2

و بس.) این بار مخرج پیشرفت منفی بود. منهای دو اتفاق می افتد.)

حال بیایید این پیشرفت را در نظر بگیریم:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

و باز هم صرف نظر از نوع اعداد دنباله (اعداد صحیح، زوج، حتی منفی، حتی غیر منطقی)، هر عددی را (مثلاً 1/9) می گیریم و بر عدد قبلی (1/3) تقسیم می کنیم. البته طبق قوانین کار با کسرها.

ما گرفتیم:

این همه چیز است.) در اینجا مخرج کسری است: q = 1/3.

نظر شما در مورد این "پیشرفت" چیست؟

3, 3, 3, 3, 3, …

بدیهی است اینجا q = 1 . به طور رسمی، این نیز یک پیشرفت هندسی است، فقط با اعضای یکسان.) اما چنین پیشرفت هایی برای مطالعه و کاربرد عملی جالب نیست. همان پیشروی هایی با صفرهای جامد. بنابراین، ما آنها را در نظر نخواهیم گرفت.

همانطور که می بینید، مخرج پیشرفت می تواند هر چیزی باشد - عدد صحیح، کسری، مثبت، منفی - هر چیزی! فقط نمی تواند صفر باشد. نمی توانید حدس بزنید چرا؟

خوب، بیایید از چند مثال خاص استفاده کنیم تا ببینیم اگر مخرج را در نظر بگیریم چه اتفاقی خواهد افتاد qصفر.) مثلاً داشته باشیم ب 1 = 2 ، آ q = 0 . در این صورت جمله دوم برابر با چه خواهد بود؟

حساب می کنیم:

ب 2 = ب 1 · q= 2 0 = 0

و در مورد عضو سوم چطور؟

ب 3 = ب 2 · q= 0 0 = 0

انواع و رفتار پیشرفت های هندسی.

همه چیز کم و بیش روشن بود: اگر تفاوت پیشرفت دمثبت است، سپس پیشرفت افزایش می یابد. اگر اختلاف منفی باشد، پیشرفت کاهش می یابد. تنها دو گزینه وجود دارد. سومی وجود ندارد.)

اما با رفتار پیشرفت هندسی، همه چیز بسیار جالب تر و متنوع تر خواهد بود!)

مهم نیست که اصطلاحات در اینجا چگونه رفتار می کنند: آنها افزایش می یابند و کاهش می یابند و به طور نامحدود به صفر نزدیک می شوند و حتی علائم را تغییر می دهند و به طور متناوب خود را به "بعلاوه" و سپس به "منهای" می اندازند! و در این همه تنوع باید بتوانید خوب درک کنید، بله...

بیایید آن را بفهمیم؟) اجازه دهید با ساده ترین مورد شروع کنیم.

مخرج مثبت است ( q >0)

با مخرج مثبت، اولاً، شرایط پیشرفت هندسی را می توان وارد کرد به علاوه بی نهایت(یعنی افزایش بدون محدودیت) و می تواند وارد شود منهای بی نهایت(یعنی کاهش بدون محدودیت). ما قبلاً به این رفتار پیشرفت عادت کرده ایم.

مثلا:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

اینجا همه چیز ساده است. هر ترم پیشرفت به دست می آید بیشتر از قبلی. علاوه بر این، هر اصطلاح معلوم می شود ضربعضو قبلی در مثبتشماره +2 (یعنی q = 2 ). رفتار چنین پیشرفتی واضح است: همه اعضای پیشرفت بدون محدودیت رشد می کنند و به فضا می روند. به علاوه بی نهایت...

و اکنون این پیشرفت است:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

در اینجا نیز هر ترم پیشرفت به دست می آید ضربعضو قبلی در مثبتشماره +2. اما رفتار چنین پیشرفتی دقیقاً برعکس است: هر جمله از پیشرفت به دست می آید کمتر از قبلی، و تمام اصطلاحات آن بدون محدودیت کاهش می یابد و به منهای بی نهایت می رسد.

حالا بیایید فکر کنیم: این دو پیشرفت چه مشترکاتی دارند؟ درست است، مخرج! اینجا و آنجا q = +2 . عدد مثبتدو و اینجا رفتار - اخلاقاین دو پیشرفت اساساً متفاوت هستند! نمی توانید حدس بزنید چرا؟ آره! همه چیز در مورد است اولین عضو!همانطور که می گویند او است که آهنگ را صدا می کند.) خودتان ببینید.

در حالت اول، ترم اول پیشرفت مثبت(+1) و بنابراین، تمام عبارات بعدی با ضرب در بدست می آیند مثبتمخرج q = +2 ، نیز خواهد بود مثبت

اما در مورد دوم، ترم اول منفی(-1). بنابراین، تمام شرایط بعدی از پیشرفت، به دست آمده از ضرب در مثبت q = +2 ، نیز بدست خواهد آمد منفی.زیرا "منهای" به "بعلاوه" همیشه "منهای" می دهد، بله.)

همانطور که می بینید، بر خلاف یک پیشروی حسابی، یک پیشروی هندسی می تواند کاملاً متفاوت عمل کند نه تنها بسته به از مخرجq، بلکه بسته به از اولین عضو، آره.)

به یاد داشته باشید: رفتار یک پیشروی هندسی به طور منحصر به فردی توسط اولین جمله آن تعیین می شود ب 1 و مخرجq .

و اکنون ما شروع به تجزیه و تحلیل موارد کمتر آشنا، اما بسیار جالب تر می کنیم!

به عنوان مثال، این دنباله را در نظر می گیریم:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

این دنباله هم یک پیشرفت هندسی است! هر ترم از این پیشرفت نیز معلوم می شود ضربعضو قبلی، با همان تعداد. این فقط یک عدد است - کسری: q = +1/2 . یا +0,5 . علاوه بر این (مهم!) تعداد کمتر از یک:q = 1/2<1.

چرا این پیشرفت هندسی جالب است؟ اعضای آن به کجا می روند؟ بیایید نگاهی بیندازیم:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

چه چیزهای جالبی می توانید در اینجا متوجه شوید؟ اولاً، کاهش از نظر پیشرفت بلافاصله قابل توجه است: هر یک از اعضای آن کمتردقیقا قبلی 2 بار.یا با توجه به تعریف یک تصاعد هندسی، هر عبارت بیشترقبلی 1/2 بار، زیرا مخرج پیشرفت q = 1/2 . و وقتی در عدد مثبت کمتر از یک ضرب می شود، نتیجه معمولا کاهش می یابد، بله...

چی بیشترآیا می توان در رفتار این پیشرفت مشاهده کرد؟ آیا اعضای آن در حال کاهش هستند؟ نامحدود، رفتن به منهای بی نهایت؟ نه! آنها به روشی خاص ناپدید می شوند. در ابتدا آنها به سرعت کاهش می یابند و سپس بیشتر و آهسته تر. و در حالی که همیشه باقی می ماند مثبت. هر چند خیلی خیلی کوچک. و خودشان برای چه تلاش می کنند؟ حدس نزدید؟ آره! آنها به سمت صفر می کوشند!) علاوه بر این، توجه کنید، اعضای پیشرفت ما از صفر هستند هرگز نرسید!فقط بی نهایت نزدیک به او نزدیک می شود. این خیلی مهمه.)

وضعیت مشابهی در پیشرفت زیر رخ خواهد داد:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

اینجا ب 1 = -1 ، آ q = 1/2 . همه چیز یکسان است، فقط اکنون شرایط از طرف دیگر، از پایین به صفر نزدیک می شود. همیشه ماندن منفی.)

چنین پیشروی هندسی که شرایط آن بدون محدودیت به صفر نزدیک شوید(از جنبه مثبت یا منفی) در ریاضیات نام خاصی دارد - پیشرفت هندسی در حال کاهش بی نهایتاین پیشرفت آنقدر جالب و غیرعادی است که حتی در مورد آن بحث خواهد شد درس جداگانه .)

بنابراین، ما همه چیز را ممکن در نظر گرفتیم مثبتمخرج ها هم بزرگ و هم کوچکتر هستند. ما به دلایل ذکر شده در بالا خود واحد را مخرج نمی دانیم (مثال با دنباله ای از سه قلوها را به خاطر بسپارید...)

بیایید خلاصه کنیم:

مثبتو بیش از یکی (q>1)، سپس شرایط پیشرفت:

آ) افزایش بدون محدودیت (اگرب 1 >0);

ب) کاهش بدون محدودیت (اگرب 1 <0).

اگر مخرج تصاعد هندسی مثبت و کمتر از یک (0< q<1), то члены прогрессии:

الف) بی نهایت نزدیک به صفر در بالا(اگرب 1 >0);

ب) نزدیک شدن بی نهایت نزدیک به صفر در ذیل(اگرب 1 <0).

اکنون بررسی این پرونده باقی مانده است مخرج منفی

مخرج منفی است ( q <0)

برای مثال راه دوری نمی رویم. چرا دقیقا ننه پشمالو؟!) مثلا ترم اول پیشرفت باشه ب 1 = 1 ، و مخرج را می گیریم q = -2.

دنباله زیر را دریافت می کنیم:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

و به همین ترتیب.) هر عبارت از پیشرفت به دست می آید ضربعضو قبلی در یک عدد منفی-2. در این صورت، تمام اعضای ایستاده در مکان های فرد (اول، سوم، پنجم و ...) خواهند بود. مثبتو در جاهای زوج (دوم، چهارم و غیره) – منفی.علائم به شدت متناوب هستند. بعلاوه - منهای - بعلاوه - منهای ... این پیشرفت هندسی نامیده می شود - علامت در حال افزایش متناوب

اعضای آن به کجا می روند؟ اما هیچ جا.) بله، در مقدار مطلق (یعنی مدول)اعضای پیشرفت ما بدون محدودیت افزایش می یابند (از این رو نام "افزایش" نامیده می شود). اما در همان زمان، هر یک از اعضای پیشرفت به طور متناوب یکی را به گرما و سپس به سرما می اندازد. یا "بعلاوه" یا "منهای". پیشرفت ما در حال تزلزل است... علاوه بر این، دامنه نوسانات با هر قدم به سرعت در حال افزایش است، بله.) بنابراین، آرزوهای اعضای پیشرفت به جایی می رود. به طور مشخصاینجا خیرنه به اضافه بی نهایت، نه به منهای بی نهایت، نه به صفر - هیچ جا.

حال اجازه دهید مقداری مخرج کسری بین صفر و منهای یک را در نظر بگیریم.

مثلاً بگذارید باشد ب 1 = 1 ، آ q = -1/2.

سپس ما پیشرفت را دریافت می کنیم:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

و باز هم تناوب نشانه ها داریم! اما، برخلاف مثال قبلی، در اینجا از قبل تمایل آشکاری برای نزدیک شدن عبارت ها به صفر وجود دارد.) فقط این بار عبارت های ما نه دقیقاً از بالا یا پایین، بلکه دوباره به صفر نزدیک می شوند. مردد. به طور متناوب مقادیر مثبت و منفی را در نظر بگیرید. اما در عین حال آنها ماژول هابه صفر گرامی نزدیک تر و نزدیک تر می شوند.)

این پیشرفت هندسی نامیده می شود علامت بی نهایت در حال کاهش، متناوب.

چرا این دو مثال جالب هستند؟ و این واقعیت که در هر دو مورد اتفاق می افتد نشانه های متناوب!این ترفند فقط برای پیشروی هایی با مخرج منفی معمول است، بله.) بنابراین، اگر در برخی کارها یک پیشروی هندسی با عبارت های متناوب مشاهده کردید، از قبل مطمئن خواهید بود که مخرج آن 100٪ منفی است و اشتباه نخواهید کرد. در علامت.)

به هر حال، در مورد مخرج منفی، علامت جمله اول به هیچ وجه بر رفتار خود پیشرفت تأثیر نمی گذارد. صرف نظر از علامت ترم اول پیشروی، در هر صورت علامت شروط رعایت خواهد شد. تنها سوال این است که در چه مکان هایی(زوج یا فرد) اعضایی با علائم مشخص وجود خواهند داشت.

یاد آوردن:

اگر مخرج تصاعد هندسی منفی ، سپس نشانه های شرایط ترقی همیشه هستند متناوب.

در عین حال خود اعضا:

الف) افزایش بدون محدودیتمدول، اگرq<-1;

ب) اگر -1 بی نهایت به صفر نزدیک شوید< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

همین. تمام موارد معمولی مورد تجزیه و تحلیل قرار گرفته است.)

در فرآیند تجزیه و تحلیل انواع نمونه های پیشرفت هندسی، من به طور دوره ای از کلمات استفاده می کنم: "به سمت صفر گرایش دارد", "تمایل به به اضافه بی نهایت", "به منهای بی نهایت تمایل دارد"... اشکالی ندارد.) این شکل های گفتاری (و مثال های خاص) فقط یک مقدمه اولیه برای رفتار - اخلاقانواع توالی اعداد با استفاده از مثال پیشرفت هندسی.

چرا ما حتی باید رفتار پیشرفت را بدانیم؟ چه فرقی می کند کجا می رود؟ به سمت صفر، به اضافه بی نهایت، به منهای بی نهایت... این با ما چه می کند؟

مسئله این است که در حال حاضر در دانشگاه، در یک دوره ریاضیات عالی، به توانایی کار با طیف گسترده ای از دنباله های عددی (با هر کدام، نه فقط پیشرفت!) و توانایی تصور دقیقاً چگونه این یا آن دنباله نیاز دارید. رفتار می کند - چه افزایش یابد چه به طور نامحدود کاهش یابد، چه به یک عدد خاص (و نه لزوماً به صفر) تمایل پیدا کند یا حتی به هیچ چیز تمایل نداشته باشد ... یک بخش کامل در دوره ریاضی به این موضوع اختصاص داده شده است. تحلیل و بررسی - نظریه حدودو کمی بیشتر به طور خاص - مفهوم محدودیت دنباله اعدادیک موضوع بسیار جالب! منطقی است که به دانشگاه بروید و آن را بفهمید.)

چند نمونه از این بخش (دنباله هایی که محدودیت دارند) و به طور خاص، پیشرفت هندسی در حال کاهش بی نهایتآنها شروع به عادت کردن به آن در مدرسه می کنند. ما داریم به آن عادت می کنیم.)

علاوه بر این، توانایی مطالعه خوب رفتار سکانس ها در آینده برای شما بسیار مفید خواهد بود و در تحقیق عملکردمتنوع ترین. اما توانایی کار با توابع (محاسبه مشتقات، مطالعه کامل آنها، ساختن نمودارهای آنها) در حال حاضر به طور چشمگیری سطح ریاضی شما را افزایش می دهد! آیا شما شک دارید؟ نیازی نیست. همچنین سخنان من را به خاطر بسپار.)

بیایید به پیشرفت هندسی در زندگی نگاه کنیم؟

در زندگی اطراف خود، ما اغلب بسیار بسیار زیاد با پیشرفت هندسی روبرو می شویم. حتی بدون اینکه بدانم.)

به عنوان مثال، میکروارگانیسم‌های مختلفی که ما را در همه جا به مقدار زیاد احاطه کرده‌اند و حتی بدون میکروسکوپ هم نمی‌توانیم آن‌ها را ببینیم، دقیقاً در پیشرفت هندسی تکثیر می‌شوند.

فرض کنید یک باکتری با تقسیم به نصف تکثیر می‌شود و فرزندان را به ۲ باکتری می‌دهد. به نوبه خود ، هر یک از آنها هنگام تکثیر نیز به نصف تقسیم می شوند و فرزندان مشترکی از 4 باکتری به دست می آورند. نسل بعدی 8 باکتری، سپس 16 باکتری، 32، 64 و غیره تولید خواهد کرد. با هر نسل بعدی، تعداد باکتری ها دو برابر می شود. یک نمونه معمولی از پیشرفت هندسی.)

همچنین برخی از حشرات - شته ها و مگس ها - به طور تصاعدی تکثیر می شوند. و گاهی اوقات خرگوش نیز، اتفاقا.)

نمونه دیگری از پیشرفت هندسی، نزدیکتر به زندگی روزمره، به اصطلاح است بهره مرکب.این پدیده جالب اغلب در سپرده های بانکی یافت می شود و نامیده می شود سرمایه گذاری بهرهآن چیست؟

البته شما خودتان هنوز جوان هستید. شما در مدرسه درس می خوانید، به بانک نمی روید. اما والدین شما در حال حاضر بالغ و افراد مستقلی هستند. آنها سر کار می روند، برای نان روزانه خود پول در می آورند و بخشی از پول را در بانک می گذارند و پس انداز می کنند.)

فرض کنید پدر شما می خواهد مقدار مشخصی پول برای تعطیلات خانوادگی در ترکیه پس انداز کند و 50000 روبل با 10% در سال برای یک دوره سه ساله در بانک می گذارد. با سرمایه سود سالانهعلاوه بر این، در تمام این مدت هیچ کاری نمی توان با سپرده انجام داد. شما نه می توانید سپرده را پر کنید و نه می توانید پول را از حساب برداشت کنید. بعد از این سه سال چقدر سود می کند؟

خوب، اول از همه، ما باید بفهمیم که 10٪ در سال چقدر است. این به آن معنا است در یک سالبانک 10 درصد به مبلغ سپرده اولیه اضافه می کند. از چی؟ البته از مبلغ سپرده اولیه

اندازه حساب را بعد از یک سال محاسبه می کنیم. اگر مبلغ سپرده اولیه 50000 روبل (یعنی 100٪) بود، پس از یک سال چقدر سود در حساب وجود خواهد داشت؟ درست است، 110٪! از 50000 روبل.

بنابراین ما 110٪ از 50000 روبل را محاسبه می کنیم:

50000 · 1.1 = 55000 روبل.

امیدوارم متوجه شده باشید که یافتن 110 درصد یک مقدار به معنای ضرب آن مقدار در عدد 1.1 است؟ اگر نمی‌دانید چرا اینطور است، کلاس پنجم و ششم را به خاطر بسپارید. برای مثال - ارتباط بین درصدها و کسرها و قطعات.)

بنابراین، افزایش برای سال اول 5000 روبل خواهد بود.

دو سال دیگر چقدر پول وارد حساب می شود؟ 60000 روبل؟ متأسفانه (یا به جای، خوشبختانه)، همه چیز چندان ساده نیست. کل ترفند سرمایه‌گذاری بهره این است که با هر اقلام تعهدی بهره جدید، همین سودها قبلاً در نظر گرفته می‌شوند از مبلغ جدید!از اونی که قبلا، پیش از اینروی حساب است درحال حاضر.و سود تعلق گرفته برای دوره قبل به مبلغ سپرده اصلی اضافه می شود و به این ترتیب خود در محاسبه سود جدید شرکت می کند! یعنی تبدیل به بخشی کامل از حساب کلی می شوند. یا عمومی سرمایه، پایتخت.از این رو نام - سرمایه گذاری بهره

در اقتصاد است. و در ریاضیات به چنین درصدهایی گفته می شود بهره مرکب.یا درصد بهره) ترفند آنها این است که هنگام محاسبه متوالی، هر بار درصدها محاسبه می شود از مقدار جدیدو نه از نسخه اصلی...

بنابراین، برای محاسبه مقدار از طریق دو سال، باید 110% مبلغی که در حساب خواهد بود را محاسبه کنیم در یک سال.یعنی در حال حاضر از 55000 روبل.

ما 110٪ از 55000 روبل را محاسبه می کنیم:

55000 · 1.1 = 60500 روبل.

این بدان معنی است که درصد افزایش برای سال دوم 5500 روبل و برای دو سال 10500 روبل خواهد بود.

اکنون می توانید حدس بزنید که پس از سه سال مبلغ در حساب 110٪ از 60500 روبل خواهد بود. یعنی دوباره 110% از سال قبل (سال گذشته)مقادیر

در اینجا ما فکر می کنیم:

60500·1.1 = 66550 روبل.

اکنون مقادیر پولی خود را بر اساس سال به ترتیب مرتب می کنیم:

50000;

55000 = 50000·1.1;

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

خوب ... چطوره؟ چرا پیشرفت هندسی ندارد؟ عضو اول ب 1 = 50000 ، و مخرج q = 1,1 . هر عبارت به شدت 1.1 برابر بزرگتر از عبارت قبلی است. همه چیز مطابق با تعریف است.)

و در حالی که پدر شما سه سال است که 50000 روبل در حساب بانکی او وجود دارد، چقدر پاداش بهره اضافی «انباشته» خواهد کرد؟

حساب می کنیم:

66550 - 50000 = 16550 روبل

البته نه زیاد. اما این در صورتی است که مبلغ سپرده اولیه کم باشد. اگر بیشتر باشد چه؟ بیایید بگوییم، نه 50، بلکه 200 هزار روبل؟ سپس این افزایش طی سه سال 66200 روبل خواهد بود (اگر حساب کنید). که در حال حاضر بسیار خوب است.) اگر سهم حتی بیشتر باشد چه؟ خودشه...

نتیجه‌گیری: هرچه سپرده اولیه بیشتر باشد، سود سرمایه‌گذاری سود بیشتر می‌شود. به همین دلیل است که سپرده های با سود سرمایه برای مدت طولانی توسط بانک ها ارائه می شود. فرض کنید برای پنج سال.

همچنین، انواع بیماری های بد مانند آنفولانزا، سرخک و حتی بیماری های وحشتناک تر (همان سارس در اوایل دهه 2000 یا طاعون در قرون وسطی) دوست دارند به طور تصاعدی گسترش یابند. از این رو مقیاس همه گیری ها، بله...) و همه به دلیل این واقعیت است که پیشرفت هندسی با کل مخرج مثبت (q>1) - چیزی که خیلی سریع رشد می کند! تولید مثل باکتری ها را به خاطر بسپارید: از یک باکتری دو تا، از دو - چهار، از چهار - هشت و غیره به دست می آید... با انتشار هر عفونتی هم همینطور است.)

ساده ترین مسائل مربوط به پیشرفت هندسی

بیایید مثل همیشه با یک مشکل ساده شروع کنیم. صرفا برای فهمیدن معنی.

1. معلوم است که جمله دوم پیشرفت هندسی 6 است و مخرج آن 0.5- است. عبارت اول، سوم و چهارم را بیابید.

پس به ما داده می شود بی پایانپیشرفت هندسی، اما شناخته شده است ترم دوماین پیشرفت:

b 2 = 6

علاوه بر این، ما نیز می دانیم مخرج پیشرفت:

q = -0.5

و باید پیدا کنی اول، سومو چهارماعضای این پیشرفت

پس عمل می کنیم. توالی را با توجه به شرایط مسئله یادداشت می کنیم. به طور مستقیم به شکل کلی، که در آن ترم دوم شش است:

b 1, 6,ب 3 , ب 4 , …

حالا بیایید جستجو را شروع کنیم. ما مثل همیشه با ساده ترین ها شروع می کنیم. می توانید برای مثال ترم سوم را محاسبه کنید ب 3? می توان! من و شما قبلاً می دانیم (مستقیماً به معنای پیشرفت هندسی) که عبارت سوم (ب 3)بیشتر از دومی (ب 2 ) V "ق"یک بار!

پس می نویسیم:

b 3 =ب 2 · q

ما شش را به جای این عبارت جایگزین می کنیم ب 2و در عوض -0.5 qو ما حساب می کنیم. و البته از منفی ها هم غافل نمی شویم...

b 3 = 6·(-0.5) = -3

مثل این. ترم سوم منفی شد. جای تعجب نیست: مخرج ما q- منفی. و ضرب یک مثبت در منفی، البته منفی خواهد بود.)

اکنون ترم بعدی و چهارم پیشرفت را می شماریم:

b 4 =ب 3 · q

b 4 = -3·(-0.5) = 1.5

ترم چهارم دوباره با یک امتیاز است. ترم پنجم دوباره منهای، ششم به اضافه و غیره خواهد بود. علائم متناوب!

بنابراین، عبارت سوم و چهارم پیدا شد. نتیجه به ترتیب زیر است:

b 1 ; 6; -3 1.5; ...

اکنون تنها چیزی که باقی می ماند یافتن اولین ترم است ب 1با توجه به دوم معروف. برای این کار در جهت دیگر یعنی سمت چپ قدم می گذاریم. این بدان معنی است که در این مورد نیازی نیست که جزء دوم پیشرفت را در مخرج ضرب کنیم، اما تقسیم کنید

تقسیم می کنیم و می گیریم:

این همه است.) پاسخ مسئله به این صورت خواهد بود:

-12; 6; -3; 1,5; …

همانطور که می بینید، اصل حل همان است که در . ما میدانیم هرعضو و مخرجپیشرفت هندسی - ما می توانیم هر عضو دیگری از آن را پیدا کنیم. ما موردی را که می خواهیم پیدا می کنیم.) تنها تفاوت این است که جمع/تفریق با ضرب/تقسیم جایگزین می شود.

به یاد داشته باشید: اگر حداقل یک عضو و مخرج یک تصاعد هندسی را بدانیم، همیشه می‌توانیم هر عضو دیگری از این پیشروی را پیدا کنیم.

مشکل زیر، طبق سنت، از یک نسخه واقعی OGE است:

2.

...; 150; ایکس؛ 6; 1.2; ...

خوب ... چطوره؟ این بار نه اولین جمله وجود دارد، نه مخرج q، فقط یک دنباله از اعداد داده شده است ... چیزی از قبل آشنا است، درست است؟ آره! یک مشکل مشابه قبلا در پیشروی حسابی حل شده است!

پس ما نمی ترسیم. همه یکسان. بیایید سر خود را بچرخانیم و معنای ابتدایی پیشرفت هندسی را به خاطر بسپاریم. ما با دقت به دنباله خود نگاه می کنیم و متوجه می شویم که کدام پارامترهای پیشرفت هندسی سه مورد اصلی (جمله اول، مخرج، شماره عبارت) در آن پنهان شده است.

شماره اعضا؟ شماره عضویت وجود ندارد، بله... اما چهار عدد وجود دارد متوالیشماره. من هیچ فایده ای برای توضیح این کلمه در این مرحله نمی بینم.) آیا دو تا در این دنباله وجود دارد؟ اعداد شناخته شده همسایه؟بخور! اینها 6 و 1.2 هستند. بنابراین ما می توانیم پیدا کنیم مخرج پیشرفتبنابراین عدد 1.2 را می گیریم و تقسیم می کنیم به شماره قبلیبه شش.

ما گرفتیم:

ما گرفتیم:

ایکس= 150·0.2 = 30

پاسخ: ایکس = 30 .

همانطور که می بینید، همه چیز بسیار ساده است. مشکل اصلی فقط در محاسبات است. به ویژه در مورد مخرج های منفی و کسری دشوار است. پس اونایی که مشکل دارن حسابی رو تکرار کنن! نحوه کار با کسری، نحوه کار با اعداد منفی و ... وگرنه اینجا بی رحمانه سرعتتان کم می شود.

حالا بیایید مشکل را کمی تغییر دهیم. حالا قراره جالب بشه! بیایید آخرین عدد 1.2 را از آن حذف کنیم. حالا بیایید این مشکل را حل کنیم:

3. چندین عبارت متوالی از پیشرفت هندسی نوشته شده است:

...; 150; ایکس؛ 6; ...

عبارت پیشرفت را که با حرف x نشان داده شده است، پیدا کنید.

همه چیز یکسان است، فقط دو تا مجاور معروفما دیگر اعضای پیشرفت را نداریم. این مشکل اصلی است. چون بزرگی qاز طریق دو عبارت مجاور به راحتی می توانیم تعیین کنیم ما نمی توانیمآیا ما فرصتی برای کنار آمدن با کار داریم؟ قطعا!

بیایید اصطلاح ناشناخته را بنویسیم " ایکس"مستقیماً در معنای پیشرفت هندسی! به طور کلی.

بله بله! درست با مخرج ناشناخته!

از یک طرف، برای X می توانیم نسبت زیر را بنویسیم:

ایکس= 150 ·q

از طرف دیگر، ما کاملاً حق داریم که همین X را از طریق توصیف کنیم بعدعضو، از طریق شش! شش را بر مخرج تقسیم کنید.

مثل این:

ایکس = 6/ q

بدیهی است که اکنون می توانیم هر دوی این نسبت ها را معادل سازی کنیم. از آنجایی که بیان می کنیم همانقدر (x)، اما دو راه های مختلف.

معادله را بدست می آوریم:

ضرب کردن همه چیز در qبا ساده سازی و کوتاه کردن، معادله را بدست می آوریم:

q2 = 1/25

حل می کنیم و می گیریم:

q = 1/5 ± = 0.2 ±

اوه! مخرج دو برابر شد! +0.2 و -0.2. و کدام یک را باید انتخاب کنید؟ بن بست؟

آرام! بله، مشکل واقعا وجود دارد دو راه حل!ایرادی ندارد. این اتفاق می افتد.) وقتی مثلاً هنگام حل مشکل معمولی دو ریشه می گیرید، تعجب نمی کنید؟ اینجا هم همین داستان است.)

برای q = +0.2دریافت خواهیم کرد:

X = 150 0.2 = 30

و برای q = -0,2 اراده:

X = 150·(-0.2) = -30

ما یک پاسخ دوگانه دریافت می کنیم: ایکس = 30; ایکس = -30.

این واقعیت جالب به چه معناست؟ و آنچه وجود دارد دو پیشرفت، ارضای شرایط مشکل!

مثل اینها:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

هر دو مناسب هستند.) به نظر شما چرا ما در پاسخ ها اختلاف داشتیم؟ فقط به دلیل حذف یک عضو خاص از پیشرفت (1،2)، بعد از شش. و با دانستن فقط ترم های قبلی (n-1) و بعدی (n+1) ام ترم های پیشروی هندسی، دیگر نمی توانیم به طور واضح در مورد nامین ترم بین آنها صحبت کنیم. دو گزینه وجود دارد - با مثبت و با منفی.

ولی اشکالی ندارد. به عنوان یک قاعده، در وظایف پیشرفت هندسی، اطلاعات اضافی وجود دارد که پاسخی بدون ابهام می دهد. بیایید کلمات را بگوییم: "پیشرفت متناوب"یا "پیشرفت با مخرج مثبت"و غیره... این کلمات هستند که باید به عنوان سرنخ در مورد اینکه کدام علامت، به علاوه یا منهای، باید هنگام تهیه پاسخ نهایی انتخاب شود. اگر چنین اطلاعاتی وجود نداشته باشد، بله، این وظیفه خواهد بود دو راه حل)

حالا خودمون تصمیم میگیریم

4. تعیین کنید که آیا عدد 20 عضوی از یک تصاعد هندسی است یا خیر:

4 ; 6; 9; …

5. علامت یک پیشرفت هندسی متناوب داده شده است:

…; 5; ایکس ; 45; …

عبارت پیشرفت را که با حرف مشخص شده است پیدا کنید ایکس .

6. چهارمین جمله مثبت پیشرفت هندسی را بیابید:

625; -250; 100; …

7. جمله دوم پیشروی هندسی برابر با 360- و جمله پنجم آن برابر با 04/23 است. عبارت اول این پیشرفت را پیدا کنید.

پاسخ ها (در بی نظمی): -15; 900; خیر؛ 2.56.

تبریک می گویم اگر همه چیز درست شد!

چیزی مناسب نیست؟ جایی جواب مضاعف بود؟ شرایط تکلیف را با دقت بخوانید!

آخرین مشکل حل نمی شود؟ هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد.) ما مستقیماً مطابق معنای پیشرفت هندسی کار می کنیم. خوب، شما می توانید یک تصویر بکشید. آن کمک می کند.)

همانطور که می بینید، همه چیز ابتدایی است. اگر پیشرفت کوتاه باشد. اگه طولانی باشه چی؟ یا تعداد اعضای مورد نیاز بسیار زیاد است؟ من می خواهم، بر اساس قیاس با پیشرفت حسابی، به نوعی فرمول مناسبی به دست بیاورم که یافتن آن را آسان می کند. هراصطلاح هر پیشرفت هندسی با شماره اوبدون ضرب چند و چند برابر q. و چنین فرمولی وجود دارد!) جزئیات در درس بعدی است.

بیایید یک سری خاص را در نظر بگیریم.

7 28 112 448 1792...

کاملاً واضح است که ارزش هر یک از عناصر آن دقیقاً چهار برابر بیشتر از عنصر قبلی است. یعنی این سریال یک پیشرفت است.

پیشروی هندسی دنباله ای نامتناهی از اعداد است که ویژگی اصلی آن این است که با ضرب در یک عدد خاص عدد بعدی از عدد قبلی بدست می آید. این با فرمول زیر بیان می شود.

a z +1 =a z ·q، که z تعداد عنصر انتخاب شده است.

بر این اساس، z ∈ N.

دوره ای که پیشرفت هندسی در مدرسه مطالعه می شود کلاس نهم است. مثال ها به شما در درک مفهوم کمک می کنند:

0.25 0.125 0.0625...

بر اساس این فرمول، مخرج پیشرفت را می توان به صورت زیر یافت:

نه q و نه b z نمی توانند صفر باشند. همچنین هر یک از عناصر پیشرفت نباید برابر با صفر باشد.

بر این اساس، برای پیدا کردن عدد بعدی در یک سری، باید عدد آخر را در q ضرب کنید.

برای تنظیم این پیشرفت، باید اولین عنصر و مخرج آن را مشخص کنید. پس از این امکان یافتن هر یک از عبارت های بعدی و مجموع آنها وجود دارد.

انواع

بسته به q و a 1، این پیشرفت به چند نوع تقسیم می شود:

• اگر هر دو a 1 و q بزرگتر از یک باشند، چنین دنباله ای یک پیشرفت هندسی است که با هر عنصر بعدی افزایش می یابد. نمونه ای از آن در زیر ارائه شده است.

مثال: a 1 =3، q=2 - هر دو پارامتر بزرگتر از یک هستند.

سپس دنباله اعداد را می توان به صورت زیر نوشت:

3 6 12 24 48 ...

• اگر |q| کوچکتر از یک است، یعنی ضرب در آن معادل تقسیم است، سپس یک پیشروی با شرایط مشابه یک پیشرفت هندسی کاهشی است. نمونه ای از آن در زیر ارائه شده است.

مثال: a 1 =6، q=1/3 - a 1 بزرگتر از یک است، q کمتر است.

سپس دنباله اعداد را می توان به صورت زیر نوشت:

6 2 2/3 ... - هر عنصری 3 برابر بزرگتر از عنصر بعدی است.

• علامت متناوب. اگر q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

مثال: a 1 = -3، q = -2 - هر دو پارامتر کمتر از صفر هستند.

سپس دنباله اعداد را می توان به صورت زیر نوشت:

3, 6, -12, 24,...

فرمول ها

فرمول های زیادی برای استفاده راحت از پیشرفت های هندسی وجود دارد:

• فرمول ترم Z. به شما امکان می دهد یک عنصر را تحت یک عدد خاص بدون محاسبه اعداد قبلی محاسبه کنید.

مثال:q = 3, آ 1 = 4. شمارش عنصر چهارم پیشرفت الزامی است.

راه حل:آ 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• مجموع اولین عناصری که تعداد آنها برابر است z. به شما امکان می دهد مجموع تمام عناصر یک دنباله را تا حداکثر محاسبه کنیدیک zشامل.

از آنجایی که (1-q) در مخرج است، سپس (1 - q)≠ 0، بنابراین q برابر با 1 نیست.

توجه: اگر q=1 باشد، آنگاه پیشرفت یک سری اعداد بی نهایت تکراری خواهد بود.

مجموع پیشرفت هندسی، مثال:آ 1 = 2, q= -2. S5 را محاسبه کنید.

راه حل:اس 5 = 22 - محاسبه با استفاده از فرمول.

• مقدار اگر |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

مثال:آ 1 = 2 , q= 0.5. مقدار را پیدا کنید.

راه حل:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

برخی از خواص:

• خاصیت مشخصه. اگر شرط زیر باشد برای هر کدام کار می کندz، سپس سری اعداد داده شده یک پیشرفت هندسی است:

یک z 2 = یک z -1 · آz+1

• همچنین، مربع هر عددی در یک تصاعد هندسی با جمع کردن مربع های هر دو عدد دیگر در یک سری داده شده، در صورتی که از این عنصر مساوی فاصله داشته باشند، به دست می آید.

یک z 2 = یک z - تی 2 + یک z + تی 2 ، جایی کهتی- فاصله بین این اعداد

• عناصردر q متفاوت استیک بار.
• لگاریتم های عناصر یک پیشروی نیز یک پیشروی را تشکیل می دهند، اما حسابی، یعنی هر یک از آنها به تعداد معینی از قبلی بزرگتر هستند.

نمونه هایی از برخی مشکلات کلاسیک

برای درک بهتر پیشرفت هندسی، مثال هایی با راه حل های کلاس 9 می تواند کمک کند.

• شرایط:آ 1 = 3, آ 3 = 48. پیدا کنیدq.

راه حل: هر عنصر بعدی بزرگتر از عنصر قبلی استq یک بار.بیان برخی از عناصر بر حسب برخی دیگر با استفاده از مخرج ضروری است.

از این رو،آ 3 = q 2 · آ 1

هنگام تعویضq= 4

• شرایط:آ 2 = 6, آ 3 = 12. S 6 را محاسبه کنید.

راه حل:برای انجام این کار، فقط q، عنصر اول را پیدا کنید و آن را در فرمول جایگزین کنید.

آ 3 = q· آ 2 از این رو،q= 2

a 2 = q · یک 1،از همین رو a 1 = 3

S 6 = 189

• · آ 1 = 10, q= -2. عنصر چهارم پیشرفت را پیدا کنید.

راه حل: برای این کار کافی است عنصر چهارم را از طریق اول و از طریق مخرج بیان کنیم.

a 4 = q 3· a 1 = -80

مثال کاربردی:

• یک مشتری بانک به مبلغ 10000 روبل سپرده گذاری کرد که تحت شرایط آن هر سال مشتری 6٪ از آن را به مبلغ اصلی اضافه می کند. بعد از 4 سال چقدر پول در حساب شما خواهد بود؟

راه حل: مبلغ اولیه 10 هزار روبل است. یعنی یک سال بعد از سرمایه گذاری حساب مبلغی معادل 10000 + 10000 خواهد داشت. · 0.06 = 10000 1.06

بر این اساس مبلغ در حساب پس از یک سال دیگر به شرح زیر بیان می شود:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

یعنی هر سال این مقدار 1.06 برابر افزایش می یابد. یعنی برای یافتن مقدار وجوه موجود در حساب پس از 4 سال کافی است عنصر چهارم پیشرفت را پیدا کنید که با عنصر اول برابر با 10 هزار و مخرج برابر با 1.06 داده می شود.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

نمونه هایی از مسائل مربوط به محاسبه مبالغ:

پیشرفت هندسی در مسائل مختلف استفاده می شود. مثالی برای یافتن مجموع می توان به صورت زیر ارائه کرد:

آ 1 = 4, q= 2، محاسبه کنیدS 5.

راه حل: تمام داده های لازم برای محاسبه مشخص است، فقط باید آنها را در فرمول جایگزین کنید.

اس 5 = 124

• آ 2 = 6, آ 3 = 18. مجموع شش عنصر اول را محاسبه کنید.

راه حل:

در ژئوم. پیشرفت، هر عنصر بعدی q برابر بیشتر از قبلی است، یعنی برای محاسبه مجموع باید عنصر را بدانیدآ 1 و مخرجq.

آ 2 · q = آ 3

q = 3

به طور مشابه، شما باید پیدا کنیدآ 1 ، دانستنآ 2 وq.

آ 1 · q = آ 2

a 1 =2

اس 6 = 728.

پیشروی هندسی همراه با پیشروی حسابی از سری اعداد مهمی است که در درس جبر مدرسه در پایه نهم مطالعه می شود. در این مقاله به مخرج یک پیشروی هندسی و چگونگی تأثیر ارزش آن بر خواص آن خواهیم پرداخت.

تعریف پیشرفت هندسی

ابتدا اجازه دهید تعریف این سری اعداد را ارائه دهیم. پیشروی هندسی مجموعه ای از اعداد گویا است که از ضرب متوالی اولین عنصر آن در عددی ثابت به نام مخرج تشکیل می شود.

برای مثال اعداد سری 3، 6، 12، 24، ... یک تصاعد هندسی هستند، زیرا اگر 3 (اول عنصر) را در 2 ضرب کنید، 6 می شود. اگر 6 را در 2 ضرب کنید، به دست می آید. 12 و غیره.

اعضای دنباله مورد بررسی معمولا با نماد ai نشان داده می شوند، جایی که i یک عدد صحیح است که نشان دهنده تعداد عنصر در سری است.

تعریف فوق از پیشرفت را می توان به زبان ریاضی به صورت زیر نوشت: an = bn-1 * a1، که در آن b مخرج است. بررسی این فرمول آسان است: اگر n = 1، سپس b1-1 = 1، و ما a1 = a1 را دریافت می کنیم. اگر n = 2 باشد، an = b * a1، و دوباره به تعریف سری اعداد مورد نظر می رسیم. استدلال مشابه را می توان برای مقادیر بزرگ n ادامه داد.

مخرج پیشرفت هندسی

عدد b به طور کامل مشخص می کند که کل سری اعداد چه کاراکتری خواهد داشت. مخرج b می تواند مثبت، منفی یا بزرگتر یا کمتر از یک باشد. همه گزینه های بالا به دنباله های مختلفی منجر می شوند:

• b > 1. یک سری اعداد گویا در حال افزایش است. به عنوان مثال، 1، 2، 4، 8، ... اگر عنصر a1 منفی باشد، کل دنباله فقط در مقدار مطلق افزایش می یابد، اما بسته به علامت اعداد کاهش می یابد.
• b = 1. غالباً به این حالت پیشرفت نمی گویند، زیرا یک سری معمولی از اعداد گویا یکسان وجود دارد. به عنوان مثال، -4، -4، -4.

فرمول برای مقدار

قبل از اینکه به بررسی مسائل خاص با استفاده از مخرج نوع پیشرفت مورد بررسی بپردازیم، یک فرمول مهم برای مجموع n عنصر اول آن باید ارائه شود. فرمول به نظر می رسد: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

اگر دنباله بازگشتی عبارات پیشرفت را در نظر بگیرید، می توانید این عبارت را خودتان بدست آورید. همچنین توجه داشته باشید که در فرمول بالا فقط کافی است عنصر اول و مخرج را بدانید تا مجموع تعداد دلخواه عبارت را بیابید.

توالی بی نهایت در حال کاهش

در بالا توضیح داده شد که چیست. حالا با دانستن فرمول Sn، بیایید آن را روی این سری اعداد اعمال کنیم. از آنجایی که هر عددی که مدول آن از 1 تجاوز نمی کند، وقتی به توان های بزرگ افزایش می یابد، به صفر میل می کند، یعنی b∞ => 0 اگر -1 باشد.

از آنجایی که تفاوت (1 - b) همیشه مثبت خواهد بود، صرف نظر از مقدار مخرج، علامت مجموع یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش S∞ به طور منحصر به فردی با علامت اولین عنصر آن a1 تعیین می شود.

اکنون بیایید به چندین مشکل نگاه کنیم که در آن نحوه اعمال دانش به دست آمده را برای اعداد خاص نشان خواهیم داد.

مسئله شماره 1. محاسبه عناصر مجهول پیشرفت و جمع

با توجه به یک تصاعد هندسی، مخرج پیشروی 2 و عنصر اول آن 3 است. جمله های هفتم و دهم آن برابر با چه چیزی خواهد بود و مجموع هفت عنصر اولیه آن چقدر است؟

شرایط مشکل بسیار ساده است و شامل استفاده مستقیم از فرمول های فوق می شود. بنابراین، برای محاسبه عنصر شماره n، از عبارت an = bn-1 * a1 استفاده می کنیم. برای عنصر هفتم داریم: a7 = b6 * a1، با جایگزینی داده های شناخته شده، به دست می آوریم: a7 = 26 * 3 = 192. ما همین کار را برای ترم دهم انجام می دهیم: a10 = 29 * 3 = 1536.

بیایید از فرمول معروف برای جمع استفاده کنیم و این مقدار را برای 7 عنصر اول سری تعیین کنیم. ما داریم: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

مسئله شماره 2. تعیین مجموع عناصر دلخواه یک پیشروی

فرض کنید -2 برابر با مخرج پیشرفت هندسی bn-1 * 4 باشد که n یک عدد صحیح است. لازم است مجموع عنصر 5 تا 10 این مجموعه را شامل شود.

مشکل مطرح شده را نمی توان مستقیماً با استفاده از فرمول های شناخته شده حل کرد. با استفاده از 2 روش مختلف قابل حل است. برای ارائه کامل موضوع، هر دو را ارائه می کنیم.

روش 1. ایده ساده است: شما باید دو مجموع مربوط به عبارت اول را محاسبه کنید و سپس دیگری را از یکی کم کنید. مقدار کوچکتر را محاسبه می کنیم: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. اکنون مجموع بزرگتر را محاسبه می کنیم: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. توجه داشته باشید که در آخرین عبارت فقط 4 عبارت جمع شده است، زیرا 5 در حال حاضر در مقداری است که باید با توجه به شرایط مسئله محاسبه شود. در نهایت تفاوت را می گیریم: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

روش 2. قبل از جایگزینی اعداد و شمارش، می توانید فرمولی برای جمع بین m و n جمله سری مورد نظر بدست آورید. ما دقیقاً مانند روش 1 عمل می کنیم، فقط ابتدا با نمایش نمادین مقدار کار می کنیم. داریم: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . می توانید اعداد شناخته شده را در عبارت حاصل جایگزین کنید و نتیجه نهایی را محاسبه کنید: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

مسئله شماره 3. مخرج چیست؟

فرض کنید a1 = 2، مخرج پیشروی هندسی را پیدا کنید، مشروط بر اینکه مجموع نامتناهی آن 3 باشد، و معلوم است که این یک سری اعداد کاهشی است.

بر اساس شرایط مسئله، حدس زدن از کدام فرمول برای حل آن دشوار نیست. البته، برای مجموع پیشرفت بی نهایت کاهش می یابد. داریم: S∞ = a1 / (1 - b). از جایی که مخرج را بیان می کنیم: b = 1 - a1 / S∞. باقی مانده است که مقادیر شناخته شده را جایگزین کنید و تعداد مورد نیاز را بدست آورید: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 یا -0.333 (3). اگر به یاد داشته باشیم که برای این نوع دنباله مدول b نباید از 1 فراتر رود، می توانیم این نتیجه را به صورت کیفی بررسی کنیم. همانطور که مشاهده می شود، |-1 / 3|

کار شماره 4. بازیابی یک سری اعداد

اجازه دهید 2 عنصر از یک سری اعداد داده شود، به عنوان مثال، 5 برابر با 30 و 10 برابر با 60 است. لازم است کل سری را از این داده ها بازسازی کنیم، زیرا بدانیم که ویژگی های یک پیشرفت هندسی را برآورده می کند.

برای حل مشکل، ابتدا باید عبارت مربوط به هر عبارت شناخته شده را یادداشت کنید. داریم: a5 = b4 * a1 و a10 = b9 * a1. حالا عبارت دوم را بر اولی تقسیم کنید، به دست می آید: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. از اینجا، مخرج را با گرفتن ریشه پنجم از نسبت عبارات شناخته شده از بیان مسئله، b = 1.148698 تعیین می کنیم. عدد حاصل را در یکی از عبارات عنصر شناخته شده جایگزین می کنیم، به دست می آوریم: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

بنابراین، مخرج پیشروی bn و پیشروی هندسی bn-1 * 17.2304966 = an را پیدا کردیم، جایی که b = 1.148698.

از پیشرفت های هندسی در کجا استفاده می شود؟

اگر کاربرد عملی این سری اعداد وجود نداشت، مطالعه آن به یک علاقه صرفاً نظری کاهش می یافت. اما چنین برنامه ای وجود دارد.

در زیر 3 نمونه از معروف ترین آنها آورده شده است:

• پارادوکس زنو، که در آن آشیل زیرک نمی تواند به لاک پشت کند برسد، با استفاده از مفهوم دنباله ای از اعداد بی نهایت در حال کاهش حل می شود.
• اگر دانه های گندم را روی هر مربع صفحه شطرنج قرار دهید به طوری که در مربع اول 1 دانه، در دوم - 2، در سوم - 3 و غیره قرار دهید، سپس برای پر کردن تمام مربع های تخته به شما نیاز دارید. 18446744073709551615 دانه!
• در بازی "برج هانوی"، برای جابجایی دیسک ها از یک میله به میله دیگر، باید 2n - 1 عملیات انجام داد، یعنی تعداد آنها به صورت تصاعدی با تعداد n دیسک استفاده شده افزایش می یابد.

بنابراین، بیایید بنشینیم و شروع به نوشتن چند عدد کنیم. مثلا:

شما می توانید هر عددی را بنویسید، و می تواند به تعداد دلخواه شما وجود داشته باشد (در مورد ما، آنها وجود دارند). مهم نیست که چند عدد بنویسیم، همیشه می توانیم بگوییم کدام اول است، کدام دوم و همینطور تا آخرین، یعنی می توانیم آنها را شماره گذاری کنیم. این نمونه ای از دنباله اعداد است:

دنباله اعدادمجموعه ای از اعداد است که به هر کدام می توان یک عدد منحصر به فرد اختصاص داد.

به عنوان مثال، برای دنباله ما:

شماره اختصاص داده شده فقط به یک عدد در دنباله اختصاص دارد. به عبارت دیگر، سه عدد دوم در دنباله وجود ندارد. عدد دوم (مانند عدد هفتم) همیشه یکسان است.

عددی که دارای عدد است، nامین عضو دنباله نامیده می شود.

ما معمولاً کل دنباله را با یک حرف صدا می زنیم (مثلاً)، و هر عضو این دنباله همان حرف است با شاخصی برابر با تعداد این عضو: .

در مورد ما:

رایج ترین انواع پیشروی، حسابی و هندسی است. در این مبحث در مورد نوع دوم صحبت خواهیم کرد - پیشرفت هندسی.

چرا پیشرفت هندسی و تاریخچه آن مورد نیاز است؟

حتی در دوران باستان، راهب ریاضیدان ایتالیایی، لئوناردو پیزا (که بیشتر به فیبوناچی معروف است) با نیازهای عملی تجارت سروکار داشت. راهب با این وظیفه روبرو شد که تعیین کند کوچکترین وزنی که می توان برای وزن کردن یک محصول استفاده کرد چقدر است؟ فیبوناچی در آثار خود ثابت می‌کند که چنین سیستمی از وزن‌ها بهینه است: این یکی از اولین موقعیت‌هایی است که در آن افراد مجبور بودند با یک پیشروی هندسی دست و پنجه نرم کنند، که احتمالاً قبلاً در مورد آن شنیده‌اید و حداقل درک کلی از آن دارید. پس از درک کامل موضوع، به این فکر کنید که چرا چنین سیستمی بهینه است؟

در حال حاضر، در عمل زندگی، پیشرفت هندسی هنگام سرمایه گذاری پول در یک بانک، زمانی که میزان بهره به مقدار انباشته شده در حساب دوره قبل تعلق می گیرد، خود را نشان می دهد. به عبارت دیگر، اگر پول را در یک سپرده مدت دار در یک بانک پس انداز قرار دهید، پس از یک سال سپرده به مقدار اصلی افزایش می یابد، یعنی. مبلغ جدید برابر است با سهم ضرب شده در. در یک سال دیگر، این مقدار افزایش می یابد، یعنی. مقدار بدست آمده در آن زمان دوباره ضرب خواهد شد و به همین ترتیب. وضعیت مشابهی در مشکلات محاسبه به اصطلاح توضیح داده شده است بهره مرکب- درصد هر بار از مبلغ موجود در حساب با در نظر گرفتن سود قبلی اخذ می شود. کمی بعد در مورد این وظایف صحبت خواهیم کرد.

موارد ساده تری وجود دارد که در آن پیشرفت هندسی اعمال می شود. به عنوان مثال، شیوع آنفولانزا: یک نفر فرد دیگری را آلوده کرد، آنها نیز به نوبه خود فرد دیگری را آلوده کردند و بنابراین موج دوم عفونت یک فرد است و آنها نیز به نوبه خود دیگری را آلوده کردند ... و غیره. .

به هر حال، یک هرم مالی، همان MMM، یک محاسبه ساده و خشک بر اساس ویژگی های یک پیشرفت هندسی است. جالب هست؟ بیایید آن را بفهمیم.

پیشرفت هندسی

فرض کنید یک دنباله اعداد داریم:

بلافاصله پاسخ می دهید که این کار آسانی است و نام چنین سکانسی با تفاوت اعضای آن است. این چطوره:

اگر عدد قبلی را از عدد بعدی کم کنید، خواهید دید که هر بار تفاوت جدیدی دریافت می کنید (و غیره)، اما دنباله قطعا وجود دارد و به راحتی قابل توجه است - هر عدد بعدی چند برابر بزرگتر از عدد قبلی است!

این نوع دنباله اعداد نامیده می شود پیشرفت هندسیو تعیین شده است.

پیشروی هندسی () دنباله ای عددی است که جمله اول آن با صفر متفاوت است و هر جمله که از دومی شروع می شود برابر است با عدد قبلی ضرب در همان عدد. این عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می نامند.

محدودیت هایی که عبارت اول ( ) برابر نیست و تصادفی نیستند. بیایید فرض کنیم که هیچکدام وجود ندارد، و جمله اول هنوز برابر است، و q برابر است با، هوم.. بگذارید باشد، سپس معلوم می شود:

موافق باشید که این دیگر یک پیشرفت نیست.

همانطور که متوجه شدید، اگر هر عددی غیر از صفر، a وجود داشته باشد، همان نتایج را خواهیم گرفت. در این موارد، به سادگی هیچ پیشرفتی وجود نخواهد داشت، زیرا کل سری اعداد یا همه صفر خواهند بود یا یک عدد، و بقیه صفر خواهند بود.

حالا بیایید در مورد مخرج پیشروی هندسی، یعنی o با جزئیات بیشتری صحبت کنیم.

بیایید تکرار کنیم: - این شماره است هر ترم بعدی چند بار تغییر می کند؟پیشرفت هندسی

به نظر شما چه چیزی می تواند باشد؟ درست است، مثبت و منفی، اما صفر نیست (در این مورد کمی بالاتر صحبت کردیم).

بیایید فرض کنیم که ما مثبت است. اجازه دهید در مورد ما، a. ارزش ترم دوم چیست و؟ شما به راحتی می توانید پاسخ دهید که:

درست است. بر این اساس، اگر، پس همه شرایط بعدی پیشرفت علامت یکسانی دارند - آنها مثبت هستند.

اگه منفی باشه چی؟ به عنوان مثال، الف. ارزش ترم دوم چیست و؟

این یک داستان کاملا متفاوت است

سعی کنید شرایط این پیشرفت را بشمارید. چقدر گرفتی؟ من دارم. بنابراین، اگر، پس علائم شرایط پیشروی هندسی متناوب است. یعنی اگر پیشروی با علائم متناوب برای اعضای آن مشاهده کردید، مخرج آن منفی است. این دانش می تواند به شما کمک کند هنگام حل مسائل مربوط به این موضوع خود را آزمایش کنید.

حالا بیایید کمی تمرین کنیم: سعی کنید تعیین کنید کدام دنباله اعداد یک تصاعد هندسی و کدام یک پیشرفت حسابی هستند:

فهمیدم؟ بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:

• پیشرفت هندسی - 3، 6.
• پیشرفت حسابی - 2، 4.
• این نه یک پیشرفت حسابی است و نه یک پیشرفت هندسی - 1، 5، 7.

بیایید به آخرین پیشرفت خود برگردیم و سعی کنیم عضو آن را پیدا کنیم، دقیقاً مانند حسابی. همانطور که ممکن است حدس زده باشید، دو راه برای پیدا کردن آن وجود دارد.

هر جمله را به صورت متوالی ضرب می کنیم.

بنابراین، امین ترم پیشرفت هندسی توصیف شده برابر است با.

همانطور که قبلاً حدس زدید، اکنون شما خودتان فرمولی را استخراج خواهید کرد که به شما کمک می کند هر عضوی از پیشرفت هندسی را پیدا کنید. یا قبلاً آن را برای خود توسعه داده اید و نحوه یافتن عضو گام به گام را شرح داده اید؟ اگر چنین است، صحت استدلال خود را بررسی کنید.

اجازه دهید این را با مثال یافتن ترم این پیشرفت نشان دهیم:

به عبارت دیگر:

مقدار ترم پیشروی هندسی داده شده را خودتان بیابید.

اتفاق افتاد؟ بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:

لطفاً توجه داشته باشید که دقیقاً همان عددی را به دست آوردید که در روش قبلی، زمانی که ما به طور متوالی در هر جمله قبلی پیشرفت هندسی ضرب کردیم.
بیایید سعی کنیم این فرمول را "شخصیت" کنیم - بیایید آن را به شکل کلی قرار دهیم و دریافت کنیم:

فرمول مشتق شده برای همه مقادیر - هم مثبت و هم منفی صادق است. این را خودتان با محاسبه شرایط پیشرفت هندسی با شرایط زیر بررسی کنید: , a.

حساب کردی؟ بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:

موافق باشید که می توان یک ترم یک پیشرفت را به همان روش یک ترم پیدا کرد، اما امکان محاسبه نادرست وجود دارد. و اگر ما قبلاً عبارت ترم هندسی را پیدا کرده باشیم، چه چیزی می تواند ساده تر از استفاده از بخش "قطع" فرمول باشد.

پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش است.

اخیراً ، ما در مورد این واقعیت صحبت کردیم که می تواند بزرگتر یا کمتر از صفر باشد ، با این حال ، مقادیر خاصی وجود دارد که پیشرفت هندسی برای آنها نامیده می شود. بی نهایت در حال کاهش.

فکر می کنید چرا این نام را گذاشته اند؟
ابتدا، اجازه دهید مقداری پیشرفت هندسی متشکل از اصطلاحات را بنویسیم.
پس بیایید بگوییم:

می بینیم که هر عبارت بعدی یک ضریب از جمله قبلی کمتر است، اما آیا عددی وجود خواهد داشت؟ شما بلافاصله پاسخ خواهید داد - "نه". به همین دلیل است که بی نهایت در حال کاهش است - کاهش می یابد و کاهش می یابد، اما هرگز صفر نمی شود.

برای درک واضح اینکه چگونه از نظر بصری به نظر می رسد، بیایید سعی کنیم نموداری از پیشرفت خود را ترسیم کنیم. بنابراین، برای مورد ما، فرمول به شکل زیر است:

در نمودارها ما عادت داریم که وابستگی را ترسیم کنیم، بنابراین:

ماهیت عبارت تغییر نکرده است: در مدخل اول وابستگی مقدار عضوی از یک پیشروی هندسی را به عدد ترتیبی آن نشان دادیم و در ورودی دوم به سادگی مقدار عضوی از یک پیشرفت هندسی را به عنوان در نظر گرفتیم. ، و شماره ترتیبی را نه به عنوان، بلکه به عنوان تعیین کرد. تنها کاری که باید انجام شود ساخت یک نمودار است.
ببینیم چی گرفتی این نموداری است که من به آن رسیدم:

میبینی؟ تابع کاهش می یابد، به سمت صفر میل می کند، اما هرگز از آن عبور نمی کند، بنابراین بی نهایت در حال کاهش است. بیایید نقاط خود را روی نمودار علامت گذاری کنیم، و در همان زمان مختصات و معنی آن چیست:

سعی کنید نمودار یک پیشروی هندسی را به صورت شماتیک به تصویر بکشید اگر جمله اول آن نیز برابر باشد. تجزیه و تحلیل کنید که چه تفاوتی با نمودار قبلی ما دارد؟

توانستی مدیریت کنی؟ این نموداری است که من به آن رسیدم:

اکنون که اصول مبحث پیشرفت هندسی را کاملاً درک کرده اید: می دانید که چیست، می دانید چگونه اصطلاح آن را پیدا کنید، و همچنین می دانید که پیشرفت هندسی بی نهایت کاهشی چیست، بیایید به ویژگی اصلی آن برویم.

خاصیت پیشرفت هندسی.

آیا خاصیت اصطلاحات یک تصاعد حسابی را به خاطر دارید؟ بله، بله، چگونه می توان مقدار تعداد معینی از یک پیشرفت را در زمانی که مقادیر قبلی و بعدی شرایط این پیشرفت وجود دارد، پیدا کرد. یادت میاد؟ این:

اکنون دقیقاً با همان سؤال برای شرایط یک تصاعد هندسی روبرو هستیم. برای استخراج چنین فرمولی، بیایید طراحی و استدلال را شروع کنیم. خواهید دید، بسیار آسان است، و اگر فراموش کردید، می توانید خودتان آن را بیرون بیاورید.

بیایید یک پیشرفت هندسی ساده دیگر را در نظر بگیریم، که در آن می دانیم و. چطوری پیدا کنم؟ با پیشرفت حسابی آسان و ساده است، اما در اینجا چطور؟ در واقع، در هندسی نیز هیچ چیز پیچیده ای وجود ندارد - فقط باید هر مقداری را که به ما داده شده مطابق فرمول یادداشت کنید.

ممکن است بپرسید اکنون در مورد آن چه کنیم؟ بله خیلی ساده ابتدا بیایید این فرمول ها را در یک تصویر به تصویر بکشیم و سعی کنیم دستکاری های مختلفی با آنها انجام دهیم تا به مقدار آن برسیم.

بیایید از اعدادی که به ما داده شده است انتزاع کنیم، بیایید فقط بر بیان آنها از طریق فرمول تمرکز کنیم. ما باید مقدار برجسته شده با رنگ نارنجی را با دانستن عبارات مجاور آن پیدا کنیم. بیایید سعی کنیم اقدامات مختلفی را با آنها انجام دهیم که در نتیجه می توانیم به دست آوریم.

اضافه شدن
بیایید سعی کنیم دو عبارت اضافه کنیم و دریافت می کنیم:

از این عبارت، همانطور که می بینید، ما به هیچ وجه نمی توانیم آن را بیان کنیم، بنابراین، گزینه دیگری - تفریق را امتحان خواهیم کرد.

منها کردن.

همانطور که می بینید، ما نمی توانیم این را نیز بیان کنیم، بنابراین، بیایید سعی کنیم این عبارات را در یکدیگر ضرب کنیم.

ضرب.

اکنون با ضرب عبارات پیشرفت هندسی که به ما داده شده در مقایسه با آنچه باید پیدا شود، به دقت به آنچه داریم نگاه کنید:

حدس بزنید در مورد چه چیزی صحبت می کنم؟ به درستی، برای یافتن باید جذر اعداد پیشروی هندسی مجاور عدد مورد نظر را ضرب در یکدیگر بگیریم:

بفرمایید. شما خودتان خاصیت پیشرفت هندسی را به دست آوردید. سعی کنید این فرمول را به صورت کلی بنویسید. اتفاق افتاد؟

شرط را فراموش کرده اید؟ به این فکر کنید که چرا مهم است، برای مثال سعی کنید خودتان آن را محاسبه کنید. در این صورت چه اتفاقی خواهد افتاد؟ درست است، کاملا مزخرف است زیرا فرمول شبیه به این است:

بر این اساس، این محدودیت را فراموش نکنید.

حالا بیایید محاسبه کنیم که برابر است

پاسخ صحیح - ! اگر دومین مقدار ممکن را در حین محاسبه فراموش نکردید، پس عالی هستید و می توانید بلافاصله به تمرین بروید، و اگر فراموش کردید، آنچه در زیر بحث شده است را بخوانید و توجه کنید که چرا باید هر دو ریشه را یادداشت کنید. در پاسخ

بیایید هر دو پیشرفت هندسی خود را ترسیم کنیم - یکی با مقدار و دیگری با مقدار و بررسی کنیم که آیا هر دوی آنها حق وجود دارند یا خیر:

برای بررسی اینکه آیا چنین تصاعدی هندسی وجود دارد یا خیر، باید دید که آیا تمام اصطلاحات داده شده آن یکسان هستند؟ q را برای حالت اول و دوم محاسبه کنید.

ببینید چرا باید دو جواب بنویسیم؟ چون علامت اصطلاح مورد نظر شما به مثبت یا منفی بودن آن بستگی دارد! و از آنجایی که نمی دانیم چیست، باید هر دو پاسخ را با یک مثبت و یک منفی بنویسیم.

حالا که به نکات اصلی تسلط پیدا کردید و فرمول خاصیت پیشروی هندسی را استخراج کردید، پیدا کنید، دانستن و

پاسخ های خود را با پاسخ های صحیح مقایسه کنید:

چه فکر می‌کنید، چه می‌شود اگر مقادیر شرایط پیشروی هندسی مجاور عدد مورد نظر، بلکه با فاصله مساوی از آن به ما داده شود. به عنوان مثال، ما باید پیدا کنیم، و داده و. آیا می توانیم در این مورد از فرمولی که به دست آورده ایم استفاده کنیم؟ سعی کنید این احتمال را به همان روش تأیید یا رد کنید، و توضیح دهید که هر مقدار از چه چیزی تشکیل شده است، همانطور که در ابتدا فرمول را استخراج کردید.
چی به دست آوردی؟

حالا دوباره با دقت نگاه کنید.
و به همین ترتیب:

از اینجا می توان نتیجه گرفت که فرمول کار می کند نه تنها با همسایه هابا شرایط مورد نظر از پیشرفت هندسی، بلکه با مساوی فاصلهاز چیزی که اعضا به دنبال آن هستند.

بنابراین، فرمول اولیه ما به شکل زیر است:

یعنی اگر در حالت اول گفتیم، حالا می گوییم می تواند برابر با هر عدد طبیعی که کوچکتر است باشد. نکته اصلی این است که برای هر دو عدد داده شده یکسان است.

با مثال های خاص تمرین کنید، فقط بسیار مراقب باشید!

1. ، پیدا کردن.
2. ، پیدا کردن.
3. ، پیدا کردن.

تصمیم گرفت؟ امیدوارم بسیار دقت کرده باشید و متوجه یک شکار کوچک شده باشید.

بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم.

در دو مورد اول با آرامش فرمول فوق را اعمال می کنیم و مقادیر زیر را بدست می آوریم:

در مورد سوم، وقتی شماره سریال شماره هایی که به ما داده شده را به دقت بررسی می کنیم، متوجه می شویم که آنها با شماره مورد نظر ما فاصله ندارند: شماره قبلی است، اما در یک موقعیت حذف شده است، بنابراین امکان اعمال فرمول وجود ندارد

چگونه آن را حل کنیم؟ در واقع آنقدرها هم که به نظر می رسد سخت نیست! بیایید بنویسیم که هر عددی که به ما داده شده و عددی که به دنبال آن هستیم شامل چه مواردی است.

پس داریم و. بیایید ببینیم با آنها چه کاری می توانیم انجام دهیم؟ پیشنهاد میکنم تقسیم بر ما گرفتیم:

ما داده های خود را با فرمول جایگزین می کنیم:

مرحله بعدی که می توانیم پیدا کنیم این است - برای این کار باید ریشه مکعب عدد حاصل را بگیریم.

حالا بیایید دوباره به آنچه داریم نگاه کنیم. ما آن را داریم، اما باید آن را پیدا کنیم، و به نوبه خود برابر است با:

ما تمام داده های لازم برای محاسبه را پیدا کردیم. در فرمول جایگزین کنید:

پاسخ ما: .

سعی کنید مشکل مشابه دیگری را خودتان حل کنید:
داده شده: ،
پیدا کردن:

چقدر گرفتی؟ من دارم - .

همانطور که می بینید، اساسا شما نیاز دارید فقط یک فرمول را به خاطر بسپار- . شما می توانید همه بقیه را خودتان بدون هیچ مشکلی در هر زمانی برداشت کنید. برای این کار کافی است ساده ترین پیشروی هندسی را روی یک کاغذ بنویسید و طبق فرمولی که در بالا توضیح داده شد، هر یک از اعداد آن را بنویسید.

مجموع عبارات یک تصاعد هندسی.

حالا بیایید به فرمول هایی نگاه کنیم که به ما امکان می دهد به سرعت مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی را در یک بازه معین محاسبه کنیم:

برای بدست آوردن فرمول مجموع ترم های یک پیشرفت هندسی محدود، تمام قسمت های معادله فوق را در ضرب کنید. ما گرفتیم:

با دقت نگاه کنید: دو فرمول آخر چه مشترکاتی دارند؟ همینطور است، مثلاً اعضای مشترک و غیره به جز عضو اول و آخر. بیایید سعی کنیم معادله 1 را از معادله 2 کم کنیم. چی به دست آوردی؟

اکنون عبارت پیشرفت هندسی را از طریق فرمول بیان کنید و عبارت حاصل را با آخرین فرمول خود جایگزین کنید:

عبارت را گروه بندی کنید. شما باید دریافت کنید:

تنها کاری که باید انجام شود این است که بیان کنیم:

بر این اساس، در این مورد.

چه می شود اگر؟ آن وقت چه فرمولی کار می کند؟ یک پیشروی هندسی را تصور کنید. او چگونه است؟ یک سری اعداد یکسان صحیح است، بنابراین فرمول به صورت زیر خواهد بود:

افسانه های زیادی در مورد پیشرفت حسابی و هندسی وجود دارد. یکی از آنها افسانه ست، خالق شطرنج است.

بسیاری از مردم می دانند که بازی شطرنج در هند اختراع شده است. هنگامی که پادشاه هندو او را ملاقات کرد، از شوخ طبعی او و موقعیت های مختلف ممکن در او خوشحال شد. پادشاه که متوجه شد توسط یکی از رعایای خود اختراع شده است، تصمیم گرفت شخصاً به او پاداش دهد. او مخترع را به نزد خود احضار کرد و به او دستور داد هر آنچه را که می خواهد از او بخواهد و قول داد حتی ماهرانه ترین آرزو را برآورده کند.

ستا برای فکر کردن وقت خواست و وقتی روز بعد ستا در برابر شاه حاضر شد، شاه را با تواضع بی سابقه درخواست خود شگفت زده کرد. او خواست که برای مربع اول صفحه شطرنج یک دانه گندم، برای مربع دوم یک دانه گندم، برای سومین، چهارمین و غیره یک دانه گندم بدهد.

پادشاه عصبانی شد و شیث را بیرون کرد و گفت که درخواست خادم شایسته سخاوت پادشاه نیست، اما قول داد که خادم دانه های خود را برای تمام مربع های تخته دریافت کند.

و حالا سوال: با استفاده از فرمول مجموع شرایط یک تصاعد هندسی، محاسبه کنید که ست چند دانه باید دریافت کند؟

بیایید استدلال را شروع کنیم. چون طبق شرط، ست برای مربع اول صفحه شطرنج، برای دومی، سومی، چهارمی و غیره یک دانه گندم خواست، پس می بینیم که مشکل در مورد یک پیشرفت هندسی است. در این مورد چه چیزی برابر است؟
درست.

مجموع مربع های صفحه شطرنج. به ترتیب، . ما تمام داده ها را داریم، تنها چیزی که باقی می ماند این است که آن را به فرمول وصل کنیم و محاسبه کنیم.

برای تصور حداقل "مقیاس" یک عدد معین، با استفاده از ویژگی های درجه تبدیل می کنیم:

البته، اگر بخواهید، می توانید یک ماشین حساب بگیرید و محاسبه کنید که در نهایت چه عددی به دست می آورید، و اگر نه، باید حرف من را قبول کنید: مقدار نهایی عبارت خواهد بود.
به این معنا که:

کوئینتیلیون کوادریلیون تریلیون میلیارد میلیون هزار.

فیو) اگر می‌خواهید عظمت این عدد را تصور کنید، تخمین بزنید که یک انبار برای گنجاندن کل غلات چقدر بزرگ است.
اگر انباری متر ارتفاع و متر عرض داشته باشد، طول آن باید کیلومتر طول بکشد، یعنی. دو برابر فاصله زمین تا خورشید

اگر پادشاه در ریاضیات قوی بود، می توانست خود دانشمند را برای شمردن دانه ها دعوت کند، زیرا برای شمردن یک میلیون دانه، حداقل به یک روز شمارش خستگی ناپذیر نیاز داشت و با توجه به اینکه شمردن پنج میلیون دانه ضروری است. باید در طول زندگی او حساب شود.

حالا بیایید یک مسئله ساده را حل کنیم که شامل مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی است.
دانش آموز کلاس 5A واسیا به آنفولانزا مبتلا شد، اما همچنان به مدرسه می رود. هر روز واسیا دو نفر را آلوده می کند که به نوبه خود دو نفر دیگر و غیره را آلوده می کنند. فقط افراد در کلاس هستند. چند روز دیگر کل کلاس به آنفولانزا مبتلا می شوند؟

بنابراین، اولین اصطلاح پیشرفت هندسی واسیا است، یعنی یک شخص. ترم هفتم پیشرفت هندسی، دو نفری است که در روز اول ورودش به آن مبتلا شده است. مجموع ترم های پیشرفت برابر با تعداد دانش آموزان 5A است. بر این اساس، ما در مورد پیشرفتی صحبت می کنیم که در آن:

بیایید داده های خود را با فرمول برای مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی جایگزین کنیم:

کل کلاس در عرض چند روز بیمار می شوند. فرمول ها و اعداد را باور نمی کنید؟ سعی کنید "عفونت" دانش آموزان را خودتان به تصویر بکشید. اتفاق افتاد؟ ببین برای من چطور به نظر می رسد:

خودتان حساب کنید اگر هر کدام یک نفر را مبتلا کنند و فقط یک نفر در کلاس باشد چند روز طول می کشد تا دانش آموزان به آنفولانزا مبتلا شوند.

چه ارزشی گرفتی؟ معلوم شد که همه بعد از یک روز مریض شدند.

همانطور که می بینید، چنین کار و ترسیمی برای آن شبیه یک هرم است که در آن هر مورد بعدی افراد جدیدی را "به ارمغان می آورد". با این حال، دیر یا زود لحظه ای فرا می رسد که دومی نمی تواند کسی را جذب کند. در مورد ما، اگر تصور کنیم که کلاس ایزوله است، فرد از زنجیره () را می بندد. بنابراین، اگر فردی درگیر یک هرم مالی بود که در صورت آوردن دو شرکت کننده دیگر در آن پول داده می شد، آن شخص (یا به طور کلی) کسی را نمی آورد، بر این اساس، همه چیزهایی را که در این کلاهبرداری مالی سرمایه گذاری کرده است، از دست می دهد.

همه آنچه در بالا گفته شد به یک پیشرفت هندسی کاهش یا افزایش اشاره دارد، اما، همانطور که به یاد دارید، ما یک نوع خاص داریم - یک پیشرفت هندسی بی نهایت کاهشی. چگونه می توان مجموع اعضای آن را محاسبه کرد؟ و چرا این نوع پیشرفت ویژگی های خاصی دارد؟ بیا با هم بفهمیم

بنابراین، ابتدا اجازه دهید دوباره به این ترسیم یک پیشروی هندسی در حال کاهش بی نهایت از مثال خود نگاه کنیم:

حالا بیایید به فرمول حاصل از مجموع یک پیشرفت هندسی که کمی قبل از آن به دست آمده است نگاه کنیم:
یا

ما برای چه تلاش می کنیم؟ درست است، نمودار نشان می دهد که تمایل به صفر دارد. یعنی در، تقریباً برابر خواهد بود، به ترتیب، هنگام محاسبه عبارت تقریباً به دست خواهیم آورد. در این رابطه، ما معتقدیم که هنگام محاسبه مجموع یک پیشروی هندسی بی‌نهایت کاهشی، می‌توان از این براکت صرف نظر کرد، زیرا برابر خواهد بود.

- فرمول مجموع عبارات یک پیشروی هندسی بی نهایت در حال کاهش است.

مهم!ما از فرمول برای مجموع شرایط یک پیشرفت هندسی بی نهایت در حال کاهش فقط در صورتی استفاده می کنیم که شرط صریحاً بیان کند که باید مجموع را پیدا کنیم. بي نهايتتعداد اعضا

اگر عدد خاصی n مشخص شده باشد، از فرمول جمع n جمله استفاده می کنیم، حتی اگر یا.

حالا بیایید تمرین کنیم.

1. مجموع اولین جمله های پیشروی هندسی را با و بیابید.
2. مجموع عبارت های یک پیشروی هندسی بی نهایت رو به کاهش را با و بیابید.

امیدوارم بی نهایت دقت کرده باشید بیایید پاسخ های خود را با هم مقایسه کنیم:

اکنون همه چیز را در مورد پیشرفت هندسی می دانید و زمان آن رسیده که از تئوری به عمل بروید. رایج ترین مشکلات پیشرفت هندسی که در امتحان با آن مواجه می شوند، مشکلات محاسبه بهره مرکب است. اینها مواردی هستند که در مورد آنها صحبت خواهیم کرد.

مشکلات در محاسبه بهره مرکب

احتمالاً نام فرمول بهره مرکب را شنیده اید. میفهمی یعنی چی؟ اگر نه، بیایید آن را بفهمیم، زیرا هنگامی که خود فرآیند را درک کردید، بلافاصله متوجه خواهید شد که پیشرفت هندسی با آن چه ارتباطی دارد.

همه ما به بانک می‌رویم و می‌دانیم که شرایط متفاوتی برای سپرده‌گذاری وجود دارد: این شامل مدت، خدمات اضافی و سود با دو روش مختلف محاسبه - ساده و پیچیده است.

با علاقه سادههمه چیز کم و بیش روشن است: سود یک بار در پایان مدت سپرده تعلق می گیرد. یعنی اگر بگوییم 100 روبل برای یک سال واریز می کنیم، فقط در پایان سال اعتبار داده می شود. بر این اساس، تا پایان سپرده ما روبل دریافت خواهیم کرد.

بهره مرکب- این گزینه ای است که در آن رخ می دهد سرمایه بهره، یعنی اضافه شدن آنها به مبلغ سپرده و محاسبه بعدی درآمد نه از مبلغ اولیه، بلکه از مبلغ سپرده انباشته. حروف بزرگ به طور مداوم اتفاق نمی افتد، اما با مقداری فراوانی. به عنوان یک قاعده، چنین دوره هایی برابر هستند و اغلب بانک ها از یک ماه، سه ماهه یا سال استفاده می کنند.

بیایید فرض کنیم که سالانه همان روبل را واریز می کنیم، اما با سرمایه گذاری ماهانه سپرده. ما چه کار می کنیم؟

اینجا همه چی رو میفهمی؟ اگر نه، بیایید قدم به قدم آن را بفهمیم.

روبل به بانک آوردیم. تا پایان ماه، باید مبلغی در حساب خود داشته باشیم که شامل روبل خود به اضافه سود آن است، یعنی:

موافق؟

می توانیم آن را از پرانتز خارج کنیم و سپس به دست می آوریم:

موافقم، این فرمول در حال حاضر بیشتر شبیه آنچه در ابتدا نوشتیم است. تنها چیزی که باقی می ماند این است که درصدها را مشخص کنید

در بیانیه مشکل به ما در مورد نرخ های سالانه گفته شده است. همانطور که می دانید، ما در ضرب نمی کنیم - درصدها را به کسری اعشاری تبدیل می کنیم، یعنی:

درست؟ حالا ممکن است بپرسید این شماره از کجا آمده است؟ بسیار ساده!
تکرار می کنم: بیانیه مشکل در مورد می گوید سالانهبهره ای که تعلق می گیرد ماهانه. همانطور که می دانید، در یک سال از ماه ها، بر این اساس، بانک بخشی از سود سالانه را در هر ماه از ما دریافت می کند:

متوجه شدی؟ حالا سعی کنید بنویسید که اگر بگویم سود روزانه محاسبه می شود این قسمت از فرمول چگونه خواهد بود.
توانستی مدیریت کنی؟ بیایید نتایج را با هم مقایسه کنیم:

آفرین! بیایید به وظیفه خود برگردیم: بنویسید که در ماه دوم چقدر به حساب ما واریز می شود، با توجه به اینکه سود به مبلغ سپرده انباشته تعلق می گیرد.
این چیزی است که من دریافت کردم:

یا به عبارت دیگر:

من فکر می کنم که شما قبلاً متوجه یک الگو شده اید و یک پیشرفت هندسی را در همه این موارد مشاهده کرده اید. بنویسید که عضو آن با چه مبلغی برابری می کند یا به عبارت دیگر در پایان ماه چقدر پول دریافت می کنیم.
انجام داد؟ بیایید بررسی کنیم!

همانطور که می بینید، اگر یک سال پول را با سود ساده در بانک بگذارید، روبل و اگر با نرخ بهره مرکب، روبل دریافت کنید. سود ناچیز است، اما این فقط در طول سال اتفاق می افتد، اما برای مدت طولانی تر، سرمایه گذاری بسیار سودآورتر است:

بیایید به نوع دیگری از مسائل مربوط به بهره مرکب نگاه کنیم. بعد از چیزی که فهمیدید، برای شما ابتدایی خواهد بود. بنابراین، وظیفه:

شرکت Zvezda سرمایه گذاری در این صنعت را در سال 2000 با سرمایه به دلار آغاز کرد. از سال 1380 هر سال سودی معادل سرمایه سال قبل دریافت کرده است. اگر سود از گردش خارج نشود، شرکت Zvezda در پایان سال 2003 چقدر سود خواهد داشت؟

سرمایه شرکت Zvezda در سال 2000.
- سرمایه شرکت Zvezda در سال 2001.
- سرمایه شرکت Zvezda در سال 2002.
- سرمایه شرکت Zvezda در سال 2003.

یا می توانیم به طور خلاصه بنویسیم:

برای مورد ما:

2000، 2001، 2002 و 2003.

به ترتیب:
روبل
لطفاً توجه داشته باشید که در این مشکل ما تقسیم بر یا بر نداریم، زیرا درصد سالانه داده می شود و سالانه محاسبه می شود. یعنی هنگام خواندن یک مسئله بر روی سود مرکب دقت کنید که چند درصد داده شده و در چه دوره ای محاسبه شده است و فقط پس از آن به محاسبات بروید.
اکنون همه چیز را در مورد پیشرفت هندسی می دانید.

آموزش.

1. اگر معلوم باشد که و
2. اگر معلوم باشد که، و
3. شرکت ام دی ام کپیتال سرمایه گذاری در این صنعت را در سال 2003 با سرمایه به دلار آغاز کرد. از سال 1383 تاکنون هر سال سودی معادل سرمایه سال قبل دریافت کرده است. شرکت MSK Cash Flow در سال 2005 سرمایه گذاری در این صنعت را به مبلغ 10000 دلار آغاز کرد و در سال 2006 شروع به کسب سود به مبلغ 100 دلار کرد. اگر سود از گردش خارج نمی شد، در پایان سال 2007 سرمایه یک شرکت چند دلار بیشتر از دیگری است؟

پاسخ ها:

1. از آنجایی که بیان مسئله نمی گوید که پیشرفت بی نهایت است و باید مجموع تعداد خاصی از عبارت های آن را پیدا کرد، محاسبه طبق فرمول انجام می شود:
2. 
   شرکت سرمایه MDM:

   2003، 2004، 2005، 2006، 2007.
   - 100٪ افزایش می یابد، یعنی 2 برابر.
   به ترتیب:
   روبل
   شرکت MSK Cash Flow:

   2005، 2006، 2007.
   - افزایش می یابد، یعنی بارها.
   به ترتیب:
   روبل
   روبل

بیایید خلاصه کنیم.

1) پیشروی هندسی ( ) دنباله ای عددی است که جمله اول آن با صفر متفاوت است و هر جمله که از دومی شروع می شود برابر با عدد قبلی ضرب در همان عدد است. این عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می نامند.

2) معادله شرایط پیشروی هندسی است.

3) می تواند هر مقداری را بگیرد به جز و.

• اگر، پس همه شرایط بعدی پیشرفت علامت یکسانی دارند - آنها مثبت هستند;
• اگر، سپس تمام شرایط بعدی پیشرفت علائم جایگزین؛
• وقتی - پیشرفت را بی نهایت کاهشی می نامند.

4) با - خاصیت پیشرفت هندسی (اصطلاحات مجاور)

یا
، در (شرایط مساوی)

وقتی آن را پیدا کردید، آن را فراموش نکنید باید دو پاسخ وجود داشته باشد.

مثلا،

5) مجموع شرایط پیشرفت هندسی با فرمول محاسبه می شود:
یا

یا

مهم!ما از فرمول برای مجموع عبارت‌های یک پیشروی هندسی بی‌نهایت در حال کاهش استفاده می‌کنیم، تنها در صورتی که شرط صریحاً بیان کند که باید مجموع تعداد نامتناهی از عبارت‌ها را پیدا کنیم.

6) مشکلات سود مرکب نیز با استفاده از فرمول ترم ترم یک تصاعد هندسی محاسبه می شود، مشروط بر اینکه وجوه از گردش خارج نشده باشد:

پیشرفت هندسی. به طور خلاصه در مورد چیزهای اصلی

پیشرفت هندسی( ) دنباله ای عددی است که جمله اول آن با صفر متفاوت است و هر جمله که از دومی شروع می شود برابر است با عدد قبلی ضرب در همان عدد. این شماره نامیده می شود مخرج یک پیشرفت هندسی

مخرج پیشرفت هندسیمی تواند هر ارزشی به جز و.

• اگر همه شرایط بعدی پیشرفت علامت یکسانی داشته باشند - آنها مثبت هستند.
• اگر، پس همه اعضای بعدی پیشرفت نشانه های متناوب را دارند.
• وقتی - پیشرفت را بی نهایت کاهشی می نامند.

معادله شرایط پیشرفت هندسی - .

مجموع شرایط یک تصاعد هندسیبا فرمول محاسبه می شود:
یا

اگر پیشرفت بی نهایت در حال کاهش باشد، پس:

خب موضوع تموم شد اگر در حال خواندن این سطرها هستید، به این معنی است که شما بسیار باحال هستید.

زیرا تنها 5 درصد از مردم می توانند به تنهایی بر چیزی مسلط شوند. و اگر تا انتها بخوانید، شما در این 5 درصد هستید!

حالا مهمترین چیز.

شما نظریه این موضوع را درک کرده اید. و، تکرار می کنم، این ... این فقط فوق العاده است! شما در حال حاضر بهتر از اکثریت قریب به اتفاق همسالان خود هستید.

مشکل اینجاست که ممکن است این کافی نباشد...

برای چی؟

برای گذراندن موفقیت آمیز آزمون دولتی یکپارچه، برای ورود به دانشگاه با بودجه و مهمتر از همه، مادام العمر.

من شما را به هیچ چیز متقاعد نمی کنم، فقط یک چیز را می گویم ...

افرادی که تحصیلات خوبی دریافت کرده اند بسیار بیشتر از کسانی که آن را دریافت نکرده اند، درآمد دارند. این آمار است.

اما این موضوع اصلی نیست.

نکته اصلی این است که آنها خوشحال تر هستند (چنین مطالعاتی وجود دارد). شاید به این دلیل که فرصت های بیشتری پیش روی آنها باز می شود و زندگی روشن تر می شود؟ نمی دانم...

اما خودت فکر کن...

چه چیزی لازم است تا مطمئن شوید که در آزمون یکپارچه دولتی بهتر از دیگران باشید و در نهایت شادتر باشید؟

با حل مشکلات مربوط به این موضوع، دست خود را به دست آورید.

در طول امتحان از شما تئوری خواسته نمی شود.

شما نیاز خواهید داشت حل مشکلات در برابر زمان.

و اگر آنها را حل نکرده باشید (خیلی!)، قطعاً در جایی مرتکب اشتباه احمقانه ای خواهید شد یا به سادگی وقت نخواهید داشت.

مانند ورزش است - برای اینکه مطمئن شوید باید آن را چندین بار تکرار کنید.

مجموعه را در هر کجا که می خواهید پیدا کنید، لزوما با راه حل ها، تجزیه و تحلیل دقیقو تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید، تصمیم بگیرید!

شما می توانید از وظایف ما (اختیاری) استفاده کنید و ما البته آنها را توصیه می کنیم.

برای اینکه در استفاده از وظایف ما بهتر شوید، باید به افزایش عمر کتاب درسی YouClever که در حال حاضر در حال خواندن آن هستید کمک کنید.

چگونه؟ دو گزینه وجود دارد:

1. قفل تمام کارهای پنهان در این مقاله را باز کنید -
2. باز کردن قفل دسترسی به تمام وظایف پنهان در تمام 99 مقاله کتاب درسی - خرید یک کتاب درسی - 499 RUR

بله، ما 99 مقاله از این قبیل در کتاب درسی خود داریم و دسترسی به تمام وظایف و تمام متون پنهان در آنها بلافاصله باز می شود.

دسترسی به تمام کارهای پنهان برای کل عمر سایت فراهم شده است.

در نتیجه...

اگر وظایف ما را دوست ندارید، دیگران را پیدا کنید. فقط در تئوری متوقف نشوید.

"فهمیده" و "من می توانم حل کنم" مهارت های کاملاً متفاوتی هستند. شما به هر دو نیاز دارید.

مشکلات را پیدا کنید و آنها را حل کنید!

این عدد را مخرج یک تصاعد هندسی می نامند، یعنی هر عبارت قبلی Q بار متفاوت است. (فرض می کنیم که q ≠ 1 باشد، در غیر این صورت همه چیز خیلی بی اهمیت است). به راحتی می توان دریافت که فرمول کلی nامین ترم پیشروی هندسی b n = b 1 q n – 1 است. اصطلاحات با اعداد b n و b m با q n - m بار متفاوت هستند.

قبلاً در مصر باستان آنها نه تنها حساب، بلکه پیشرفت هندسی را نیز می دانستند. برای مثال، مشکلی از پاپیروس رایند وجود دارد: «هفت صورت هفت گربه دارد. هر گربه هفت موش می خورد، هر موش هفت خوشه ذرت می خورد و هر خوشه جو می تواند هفت پیمانه جو بکارد. اعداد این مجموعه و مجموع آنها چقدر است؟

برنج. 1. مسئله پیشروی هندسی مصر باستان

این کار بارها با تغییرات مختلف در میان مردمان دیگر در زمان های دیگر تکرار شد. به عنوان مثال، در نوشته شده در قرن 13th. «کتاب چرتکه» نوشته لئوناردو پیزا (فیبوناچی) مشکلی دارد که در آن 7 پیرزن در راه روم ظاهر می‌شوند (معلوماً زائر) که هر کدام دارای 7 قاطر هستند که هر کدام دارای 7 کیسه است. حاوی 7 نان است که هر کدام دارای 7 کارد و هر کدام دارای 7 غلاف است. مشکل می پرسد چند شی وجود دارد.

مجموع n جمله اول پیشروی هندسی S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . این فرمول را می توان مثلاً به این صورت اثبات کرد: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

عدد b 1 q n را به S n اضافه کنید و بدست آورید:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

از اینجا S n (q – 1) = b 1 (q n – 1) و فرمول لازم را بدست می آوریم.

قبلاً روی یکی از لوح های گلی بابل باستان که قدمت آن به قرن ششم باز می گردد. قبل از میلاد مسیح e.، شامل مجموع 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1 است. درست است، مانند تعدادی از موارد دیگر، ما نمی دانیم که چگونه این واقعیت برای بابلی ها شناخته شده است. .

افزایش سریع پیشرفت هندسی در تعدادی از فرهنگ ها، به ویژه در هند، به طور مکرر به عنوان نماد بصری وسعت جهان استفاده می شود. در افسانه معروف پیدایش شطرنج، حاکم به مخترعش این فرصت را می دهد که خودش جایزه را انتخاب کند و او تعداد دانه های گندمی را می خواهد که اگر یکی در مربع اول صفحه شطرنج قرار گیرد، دو دانه گندم به دست می آید. دوم، چهار در سوم، هشت در چهارم، و غیره، هر بار تعداد دو برابر می شود. ولادیکا فکر می کرد که حداکثر در مورد چند کیسه صحبت می کنیم، اما او اشتباه محاسبه کرد. به راحتی می توان فهمید که برای تمام 64 مربع صفحه شطرنج، مخترع باید (2 64 - 1) دانه دریافت کند که به صورت یک عدد 20 رقمی بیان می شود. حتی اگر تمام سطح زمین کاشته شود، حداقل 8 سال طول می کشد تا مقدار مورد نیاز غلات جمع آوری شود. این افسانه گاهی اوقات به عنوان نشان دهنده احتمالات تقریبا نامحدود پنهان در بازی شطرنج تفسیر می شود.

به راحتی می توان فهمید که این عدد واقعا 20 رقمی است:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1.6 ∙10 19 (محاسبه دقیق تر 1.84 ∙10 19 می دهد). اما من نمی دانم آیا می توانید بفهمید که این عدد با چه رقمی ختم می شود؟

اگر مخرج بزرگتر از 1 باشد، یک تصاعد هندسی می تواند افزایش یابد یا اگر کمتر از یک باشد، کاهش می یابد. در مورد دوم، عدد q n برای n به اندازه کافی بزرگ می تواند به طور دلخواه کوچک شود. در حالی که پیشرفت هندسی فزاینده به طور غیرمنتظره ای به سرعت افزایش می یابد، پیشرفت هندسی کاهشی به همان سرعت کاهش می یابد.

هرچه n بزرگتر باشد، عدد q n ضعیفتر با صفر متفاوت است و مجموع n ترم پیشروی هندسی Sn = b 1 (1 – q n) / (1 – q) به عدد S = b 1 / ( 1 - q). (مثلاً F. Viet اینگونه استدلال کرد). عدد S را مجموع یک تصاعد هندسی بی نهایت در حال کاهش می گویند. با این حال، برای قرن‌های متمادی، این پرسش که معنای جمع کردن کل پیشرفت هندسی، با تعداد نامتناهی اصطلاحات آن چیست، برای ریاضیدانان به اندازه کافی روشن نبود.

یک پیشرفت هندسی رو به کاهش را می توان برای مثال در آپوریاهای زنو "Half Division" و "Achilles and the Tortoise" مشاهده کرد. در حالت اول، به وضوح نشان داده می شود که کل جاده (با فرض طول 1) مجموع تعداد نامتناهی از بخش های 1/2، 1/4، 1/8 و غیره است. البته این مورد از دیدگاه ایده ها در مورد یک پیشرفت هندسی نامتناهی با مجموع محدود. و با این حال - چگونه می تواند باشد؟

برنج. 2. پیشرفت با ضریب 1/2

در آپوریا در مورد آشیل، وضعیت کمی پیچیده تر است، زیرا در اینجا مخرج پیشرفت 1/2 نیست، بلکه مقدار دیگری است. به عنوان مثال آشیل با سرعت v بدود، لاک پشت با سرعت u حرکت کند و فاصله اولیه بین آنها l باشد. آشیل این فاصله را در زمان l/v طی می کند و در این مدت لاک پشت فاصله lu/v را طی می کند. هنگامی که آشیل این بخش را اجرا می کند، فاصله بین او و لاک پشت برابر با l (u /v) 2 و غیره می شود. معلوم می شود که رسیدن به لاک پشت به معنای یافتن مجموع یک پیشرفت هندسی بی نهایت رو به کاهش با جمله اول است. l و مخرج u /v. این مجموع - قسمتی که آشیل در نهایت به محل ملاقات با لاک پشت خواهد رفت - برابر است با l / (1 – u /v) = lv / (v – u). اما، باز هم، چگونگی تفسیر این نتیجه و اینکه چرا اصلاً منطقی است، برای مدت طولانی چندان واضح نبود.

برنج. 3. تصاعد هندسی با ضریب 2/3

ارشمیدس از مجموع یک پیشرفت هندسی برای تعیین مساحت یک قطعه سهمی استفاده کرد. اجازه دهید این بخش از سهمی با وتر AB محدود شود و مماس در نقطه D سهمی موازی با AB باشد. فرض کنید C نقطه وسط AB، E نقطه وسط AC، F نقطه وسط CB باشد. بیایید خطوطی موازی با DC از طریق نقاط A، E، F، B رسم کنیم. اجازه دهید مماس رسم شده در نقطه D این خطوط را در نقاط K، L، M، N قطع کند. بیایید بخش های AD و DB را نیز ترسیم کنیم. بگذارید خط EL خط AD را در نقطه G و سهمی را در نقطه H قطع کند. خط FM خط DB را در نقطه Q و سهمی را در نقطه R قطع می کند. بر اساس تئوری کلی مقاطع مخروطی، DC قطر یک سهمی است (یعنی قطعه ای موازی با محور آن). آن و مماس در نقطه D می توانند به عنوان محورهای مختصات x و y عمل کنند، که در آن معادله سهمی به صورت y 2 = 2px نوشته می شود (x فاصله D تا هر نقطه با قطر معین، y طول پاره ای موازی با مماس معین از این نقطه قطر تا نقطه ای در خود سهمی).

به موجب معادله سهمی، DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH، DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA، و از آنجایی که DK = 2DL، پس KA = 4LH. زیرا KA = 2LG، LH = HG. مساحت بخش ADB سهمی برابر با مساحت مثلث ΔADB و مساحت قطعات AHD و DRB با هم است. به نوبه خود، مساحت بخش AHD به طور مشابه برابر با مساحت مثلث AHD و بخش های باقیمانده AH و HD است که با هر یک از آنها می توانید همان عملیات را انجام دهید - تقسیم به مثلث (Δ) و دو بخش باقی مانده () و غیره:

مساحت مثلث ΔAHD برابر با نصف مساحت مثلث ΔALD است (پایه مشترک AD دارند و ارتفاعات 2 برابر متفاوت است) که به نوبه خود برابر است با نصف مساحت . مثلث ΔAKD و در نتیجه نصف مساحت مثلث ΔACD. بنابراین مساحت مثلث ΔAHD برابر با یک چهارم مساحت مثلث ΔACD است. به همین ترتیب، مساحت مثلث ΔDRB برابر با یک چهارم مساحت مثلث ΔDFB است. بنابراین، مساحت مثلث ΔAHD و ΔDRB، با هم، برابر با یک چهارم مساحت مثلث ΔADB است. با تکرار این عمل هنگام اعمال بر روی بخش‌های AH، HD، DR و RB، مثلث‌هایی از آن‌ها انتخاب می‌شود که مساحت آن‌ها در مجموع 4 برابر کمتر از مساحت مثلث‌های ΔAHD و ΔDRB با هم خواهد بود. بنابراین 16 برابر کمتر از مساحت مثلث ΔADB است. و به همین ترتیب:

بنابراین، ارشمیدس ثابت کرد که "هر قطعه ای که بین یک خط مستقیم و یک سهمی قرار دارد، چهار سوم مثلثی را تشکیل می دهد که قاعده یکسان و ارتفاع برابر دارد."