نگاشتهای منسجم برای آدمک ها. مفهوم نگاشت هماهنگ سوالات خودآزمایی

معنای هندسی ماژول و آرگومان یک تابع تحلیلی.اجازه دهید تابع w=f(z)در برخی از حوزه های D تحلیلی است. اجازه دهید یک نقطه دلخواه را انتخاب کنیم و یک منحنی صاف دلخواه را که کاملاً در آن قرار دارد ترسیم کنیم. D. تابع f(z)منطقه را نمایش می دهد Dهواپیمای پیچیده ( ز)در هر منطقه جیهواپیمای پیچیده ( w). اجازه دهید یک نقطه به یک نقطه نگاشت شود، و یک منحنی با یک منحنی ترسیم شود گاو،و از طریق - زاویه ساخته شده توسط مماس در نقطه با محور او. از آنجایی که تابع f(z)تحلیلی، پس در هر نقطه از منطقه یک مشتق وجود دارد D. بیایید فرض کنیم که در D. مشتق را می توان به صورت نمایی نشان داد، یعنی. آن را به شکل زیر بنویسید:

اجازه دهید روشی را برای تلاش انتخاب کنیم که در آن نقاط روی منحنی قرار گیرند. سپس نقاط متناظر اعداد مختلط و روی صفحه با بردارهایی که به منحنی‌ها تقاطع می‌یابند و به ترتیب و و طول بردارهای برش هستند و و زوایایی هستند که توسط این بردارها و محورهای مثبت تشکیل می‌شوند نشان داده می‌شوند. هنگامی که این بردارهای مقطعی مماس بر منحنی ها و در نقاط و از تساوی (10) می شوند، یعنی. استدلال مشتق به معنای هندسی تفاوت بین زاویه بردار مماس منحنی و زاویه بردار مماس است. از آنجایی که مشتق به روش عبور به حد بستگی ندارد، برای هر منحنی دیگری که از نقطه عبور می کند یکسان خواهد بود. به عبارت دیگر، کمان هایی که از یک نقطه عبور می کنند z 0روی سطح zزمانی که نمایش داده می شود w=f(z)در همان زاویه روی هواپیما بچرخید w. هنگامی که زاویه بین هر منحنی در صفحه ( ز)، از نقطه عبور می کند z 0، برابر است با زاویه بین منحنی ها و روی صفحه ( w)، سپس به این ویژگی می گویند حفظ (محافظه کاری) زوایا.

به همین ترتیب، از برابری (10) به دست می آید: , i.e. تا مقادیری از مرتبه بالاتر کوچکی، برابری برقرار است: .

آخرین رابطه نیز به روش انتخاب منحنی بستگی ندارد و معنای هندسی آن این است که وقتی نقشه برداری توسط یک تابع تحلیلی انجام می شود که شرط را برآورده می کند، عناصر خطی بی نهایت کوچک (کمان های بینهایت کوچک) به روشی مشابه تبدیل می شوند و مدول مشتق نامیده می شود ضریب شباهت. به این ویژگی این نگاشت، ویژگی می گویند کشش ثابت، از همین رو کهمچنین به نام عامل کشش. می گویند که وقتی ک> 1 - کشش، و چه زمانی ک<1 – сжатие.

تعریف نگاشت منسجم و خصوصیات اساسی. تعریف 17.نقشه برداری یک به یک منطقه Dهواپیمای پیچیده ( ز)در هر منطقه جیهواپیمای پیچیده ( w)تماس گرفت منسجم، اگر در همه نقاط باشد z Dدارای خاصیت حفظ زوایا و کشش ثابت است.

قضیه 6.به منظور تابع پیچیده w=f(z)به صورت منسجم منطقه را نقشه برداری کرد Dسطح ( ز)در هر منطقه جیسطح ( w)، لازم و کافی است که در آن تحلیلی باشد Dو نه در هیچ نقطه ای از منطقه D.

□ ضرورت. بیایید فرض کنیم. عملکرد چیست w=f(z)نگاشت همسو را انجام می دهد. طبق تعریف، این به معنای انجام خواص حفظ زاویه و کشش ثابت است. بیا با هواپیما ببریمش zنقطه دلخواه z 0و در مجاورت آن دو نقطه وجود دارد: z 1و z 2 .روی سطح wآنها با نقاط مطابقت دارند w 0 , w 1 , w 2

با دقت تا بینهایت کوچک، روابط زیر برآورده می شود: و از ثبات زوایای آن به شرح زیر است: . از تساوی برای استدلال ها نتیجه می شود که زوایا نه تنها در قدر مطلق، بلکه در جهت نیز برابر هستند. در نتیجه بدست می آوریم: .

بنابراین، از دو برابری آخر، دقیق تا بی نهایت کوچک، بر می آید که برابری های زیر برآورده می شوند: . به دلیل خودسری بودن انتخاب نقطه z 0و امتیاز z 1، z 2از مجاورت آن نتیجه می شود که وجود دارد کفایت.اجازه دهید مشتق وجود داشته باشد و در منطقه برابر با صفر نباشد D، سپس از معنای هندسی مشتق نتیجه می گیرد که ویژگی های بقای زوایا و ثبات امتداد برآورده می شود و این طبق تعریف به این معنی است که تابع یک نگاشت منسجم را انجام می دهد. ■

نگاشت انطباق برای حل مسائل در فیزیک ریاضی، هیدرودینامیک و آیرودینامیک، نظریه الاستیسیته، و نظریه میدان های الکترومغناطیسی و حرارتی استفاده می شود. وظیفه اصلی تئوری نگاشت همسان، یافتن تابع یک متغیر مختلط است w=f(z)،که یک منطقه معین را نمایش می دهد Dسطح zبه یک منطقه معین جیسطح w. قضیه نقش مهمی در حل این مسئله دارد.

قضیه 7.هر منطقه به سادگی متصل است Dهواپیمای پیچیده z، که مرز آن از بیش از یک نقطه تشکیل شده است را می توان به طور مشابه در داخل دایره واحد ترسیم کرد.<1 комплексной плоскости w(بدون اثبات).

این قضیه حاکی از امکان نگاشت منسجم یک منطقه معین است Dبه یک منطقه معین جی،اگر مرز هر منطقه از بیش از یک نقطه تشکیل شده باشد. سپس، نقشه برداری از این مناطق بر روی دایره کمکی <1, мы получим искомое отображение. Конформное отображение многосвязной области на односвязную область невозможно, но в ряде случаев возможно конформное отображение областей одинаковой связности. Рассмотрим два конформных отображения.

نمایش خطی. خطییک نقشه برداری است که توسط یک تابع خطی انجام می شود که در آن آو ب- اعداد مختلط.

چنین نگاشتی یک به یک و منطبق بر کل صفحه مختلط است زیرا نگاشت خطی دو نقطه را ثابت می گذارد:

بیایید یک نقشه برداری خطی را در قالب سه ساده ترین نقشه تصور کنیم.

1) تبدیل چرخش کل صفحه z با زاویه ای حول مبدا:

2) تبدیل تشابه با مرکز تشابه در مبدأ، یعنی. کشش در> 1 و فشرده سازی در 0< <1:

3) انتقال موازی به بردار ب:

مثال 4.تابعی را پیدا کنید که مثلثی را با رئوس داده شده نمایش دهد z 1 =-1، z 2 =i، z 3 =1به یک مثلث با رئوس w 1 = 0، w 2 =-2+2i، w 3 =4i.

راه حل.اجازه دهید تابع مورد نیاز را به عنوان برهم نهی از سه تبدیل اولیه بسازیم.

1) - چرخش با زاویه در خلاف جهت عقربه های ساعت؛

2) - کشش مضاعف؛

3) - تغییر دو واحد به بالا.

تابع مورد نیاز به شکل زیر است:

نگاشت خطی کسریتابع خطی کسری، که در آن آ ب پ ت- اعداد مختلط اجرا می شوند نقشه برداری خطی کسریصفحه پیچیده توسعه یافته z w. بیایید مشتق را پیدا کنیم: if .

تعریف 18.نکته ها z 1و z 2نامیده می شوند متقارن در مورد دایره، اگر روی یک پرتو که از نقاط عبور می کند دراز بکشند z 1، z 2 ونقطه z 0 ,و .

وارونگینسبت به دایره، تبدیل صفحه پیچیده گسترده به خود است که هر نقطه را می گیرد z 1هواپیما به نقطه z 2، در مورد این دایره متقارن است. بیایید نگاشت تعریف شده توسط تابع را در نظر بگیریم و نشان دهیم با استفاده از ویژگی ماژول، می توانیم بنویسیم: . نتیجه این است که نگاشت مورد نظر یک وارونگی نسبت به یک دایره با شعاع است R،در مرکز مبدا و به دنبال آن یک تصویر آینه ای نسبت به محور واقعی.

با قیاس با یک نگاشت خطی، اجازه دهید یک نگاشت کسری-خطی را به عنوان برهم نهی از ساده ترین تبدیل ها تصور کنیم. ابتدا کل قسمت کسر را انتخاب می کنیم:

ساده ترین تبدیل ها به صورت زیر خواهد بود:

1) انتقال موازی به:

2) تبدیل وارونگی نسبت به دایره ای با شعاع آردر مرکز مبدا و به دنبال آن یک تصویر آینه ای در مورد محور واقعی: ;

3) چرخش نسبت به مبدا: ;

4) انتقال موازی به: .

مثال 5.ناحیه ای را که دایره در آن قرار می گیرد، تحت یک نگاشت خطی-کسری پیدا کنید.

راه حل.

این دایره ای است که پس از تبدیل های زیر به دست می آید:

1) حرکت 1 به پایین:

2) وارونگی نسبت به، جهت بای پس تغییر خواهد کرد:

3) چرخش 90 درجه:

4) حرکت 1 به پایین:

ویژگی های نگاشت خطی کسری.بدون اثبات، خواص زیر را فرموله می کنیم.

1. انطباق.تابع کسری خطی به طور منسجم صفحه پیچیده توسعه یافته را ترسیم می کند zبه صفحه پیچیده گسترده w.

2. منحصر به فرد بودن.یک تابع کسری خطی منحصر به فرد وجود دارد که به سه نقطه مختلف داده می شود z 1، z 2، z 3سطح zدر سه نقطه مختلف نمایش داده می شود w 1، w 2، w 3سطح wو این نگاشت با برابری داده می شود: .

3. خاصیت دایره ای.با نگاشت خطی کسری، تصویر هر دایره به معنای وسیع یک دایره است (به معنای وسیع، یعنی دایره یا هر خط مستقیم).

4. اصل نمایش مرزها.با نگاشت خطی کسری، ناحیه ای که در داخل یک دایره قرار دارد به ناحیه ای در داخل یا خارج از دایره تبدیل شده تبدیل می شود (مرز به یک مرز نگاشت می شود).

5. اصل تقارن ریمان- شوارتز.با نگاشت خطی کسری، نقاطی که نسبت به دایره متقارن هستند به نقاطی که نسبت به دایره تبدیل شده متقارن هستند نگاشت می شوند (تقارن به معنای وارونگی).

مثال 6.نیم صفحه بالایی هواپیما مشخص شده است zو یک نکته دلخواه z 0. تابعی را پیدا کنید که آن را به دایره واحد هواپیما نگاشت کند wبه طوری که z 0در مرکز دایره نمایش داده می شود.

راه حل.

اجازه دهید، سپس با توجه به اصل نگاشت مرزها، محور واقعی در هواپیما zبه دایره ای با شعاع واحد نگاشت خواهد شد. با توجه به خاصیت تقارن، یک نقطه به یک نقطه نگاشت می شود. بنابراین، با در نظر گرفتن این موضوع، یک تابع می سازیم. اگر نکات را در نظر بگیریم z، روی محور واقعی قرار دارد و اینها نقاطی از شکل: هستند، سپس برابری ها برای آنها برآورده می شود: همه آنها از نقطه ای که روی محور واقعی قرار دارد فاصله دارند، یعنی. ما داریم که تمام نقاط محور واقعی به تمام نقاط دایره واحد نگاشت می شوند، بنابراین در می یابیم که اگر ماژول را در نظر بگیریم، نگاشت مورد نیاز به شکل زیر خواهد بود.

یک مسئله نگاشت کسری خطی دیگر را حل کنید و هر دو را در ماژول اول قرار دهید!

ارسال کار خوب خود در پایگاه دانش ساده است. از فرم زیر استفاده کنید

دانشجویان، دانشجویان تحصیلات تکمیلی، دانشمندان جوانی که از دانش پایه در تحصیل و کار خود استفاده می کنند از شما بسیار سپاسگزار خواهند بود.

نوشته شده در http://www.allbest.ru/

نگاشتهای منسجم

1. معنای هندسی مشتق تابع یک متغیر مختلط

تابع نگاشت منسجم

معنای هندسی استدلال مشتق

اجازه دهید ابتدا اطلاعاتی در مورد منحنی ها به یاد بیاوریم. هر منحنی روی صفحه را می توان با معادلات پارامتریک مشخص کرد

x = x (t)، y = y (t)، ب؟ تی در 1)

که در آن x (t)، y (t) توابع واقعی یک متغیر واقعی t هستند. در ادامه، فرض می شود که این توابع دارای مشتقات پیوسته در بازه (b, c) هستند و x"(t) و y"(t) به طور همزمان ناپدید نمی شوند. منحنی که دارای این ویژگی ها باشد صاف نامیده می شود.

از آنجایی که هر نقطه (x, y) روی صفحه با عدد مختلط z = x + iy داده می شود، معادلات (1) را می توان به شکل فشرده تری نوشت:

z (t) = x (t) + i y (t)، b؟ تی V.

بیایید مقادیر t 0 و t 0 + Дt را از بازه (b, c) بگیریم. آنها با نقاط z (t 0) و z (t 0 + D t) روی منحنی مطابقت دارند.

بردار Дz = z (t 0 + Дt) - z (t 0) = Дx + i Дy در امتداد سکانتی که از این نقاط می گذرد هدایت می شود.

اگر Dz را در عدد واقعی 1/Dt ضرب کنیم، بردار Dz/Dt را که هم خط با بردار Dz است، بدست می آوریم. بیایید شروع به کاهش Dt کنیم. سپس نقطه z (t 0 + Дt) به z (t 0) در امتداد منحنی نزدیک می شود. بردار Dz/Dt می چرخد ​​و به بردار نزدیک می شود

موقعیت محدود سکونت هایی که از نقطه z (t 0) عبور می کنند، مماس بر منحنی در این نقطه نامیده می شود. بنابراین، بردار z "(t 0) مماس بر منحنی در نقطه z (t 0) است.

اکنون یک تابع f (z)، تحلیلی در نقطه z 0، و f "(z 0) ? 0 داده می شود. فرض کنید منحنی r از نقطه z 0 می گذرد که با معادله z (t) = تعریف شده است. x (t) + iy (t) و z (t 0) = z 0. منحنی z با تابع w = f (z) در منحنی Г در صفحه متغیر w ترسیم می شود منحنی Г خواهد بود w (t) = f (z(t). ) نقطه z 0 به نقطه w 0 = f (z 0) نگاشت می شود.

w " (t 0) = f" (z 0) ? z "(t 0).(2)

نتیجه می شود که

Arg w " (t 0) = Arg f " (z 0) + Arg z " (t 0).(3)

اما z "(t 0) مماس بردار منحنی r در نقطه z 0 است (شکل 1a) و w" (t 0) مماس بر منحنی Г در نقطه w 0 است (شکل 1b) ). بنابراین، تساوی (3) به ما اجازه می دهد تا به مقدار Arg f " (z 0) معنای هندسی زیر بدهیم: آرگومان مشتق برابر با زاویه ای است که مماس در نقطه z 0 به هر منحنی که از آن می گذرد می چرخد. نقطه در هنگام نمایش w = f (z) توجه داشته باشید که این زاویه به منحنی z بستگی ندارد، یعنی مماس ها بر تمام منحنی هایی که از نقطه z 0 عبور می کنند، زمانی که w = f (z) به همان زاویه نگاشت می شوند، می چرخند. به Arg f "(z 0) .

بیایید هر دو منحنی z و z1 را که از نقطه z 0 عبور می کنند، در نظر بگیریم و مماس هایی را بر روی این منحنی ها رسم کنیم (شکل 1a). وقتی نمایش داده می شود

w = f (z)، منحنی‌های z و z1 به منحنی‌های Г و Г1 تبدیل می‌شوند و هر یک از مماس‌های z و z1 از یک زاویه می‌چرخند. بنابراین، زاویه و بین مماس‌های z و z1 (هم از نظر بزرگی و هم در جهت مرجع) با زاویه بین مماس‌ها به Г و Г1 برابر است زاویه بین مماس ها به این منحنی ها در نقطه z 0 . بنابراین، اگر f "(z 0) ? 0، نقشه برداری w = f (z) زوایای بین منحنی ها را حفظ می کند. توجه داشته باشید که در این مورد نه تنها قدر مطلق زوایای بین منحنی های z و z1 و تصاویر آنها نیست. حفظ می شود، بلکه جهت زوایا نیز به این خاصیت این نگاشت گفته می شود خواص حفظ گوشه

معنای هندسی ماژول مشتق

اجازه دهید نقطه z 0 را ثابت کنیم و افزایش آرگومان Dz را در نظر بگیریم. واضح است که ماژول |Dz| برابر با فاصله بین نقاط z 0 و z = z 0 + Dz (شکل 2a). فرض کنید w = f (z)، Дw = w - w 0. سپس مقدار |Dw| / |دز| نشان دهنده نسبتی است که در آن فاصله بین نقاط z 0 و z در نتیجه نگاشت w = f (z) تغییر می کند. حد، ضریب کشش در نقطه z 0 تحت نگاشت w = f (z) نامیده می شود. از آنجا که

سپس ماژول | f "(z 0) | برابر است با ضریب کشش در نقطه z 0 هنگام نمایش w = f (z). اگر | f "(z 0) | > 1، سپس در یک همسایگی به اندازه کافی کوچک از نقطه z 0، فاصله بین نقاط در طول نقشه برداری افزایش می یابد و کشش رخ می دهد. اگر | f "(z 0)|< 1, то отображение приводит к сжатию (хотя соответствующий коэффициент все равно называют коэффициентом растяжения). Свойство данного отображения носит название خواص کششی دائمی.

از آنجایی که مشتق f "(zo) به مسیری که نقطه z 0 + Дz به z 0 نزدیک می شود بستگی ندارد، ضریب کشش در همه جهات یکسان است. این ویژگی را می توان به صورت زیر نشان داد. یک دایره بگیرید. لبا مرکز z 0 و شعاع |Дz| (یعنی افزایش های Dz دارای یک ماژول ثابت، اما جهت های مختلف هستند - شکل 2a). هنگامی که w = f (z) نمایش داده می شود، این دایره به منحنی L تبدیل می شود (شکل 2b). فاصله از نقطه w = f (z 0 + Dz) این منحنی تا نقطه w 0 = f (z 0) برابر است با

|Dw| = |w- w 0 | = |f (z 0 + Dz) - f (z 0)|.

از آنجایی که Dw = f "(z 0) Dz + b (Dz) Dz، که در آن b (Dz) > 0 برای Dz > 0، سپس |w - w 0 | = |f" (z 0) Dz + b(Dz) دز|. این برابری به این معنی است که نقاط منحنی L کمی با دایره |w -- w 0 | متفاوت خواهند بود = |f "(z 0)| | Дz| با مرکز w 0 و شعاع |f" (z 0)| | دز| (به طور دقیق تر، آنها با مقداری از مرتبه کوچکی بالاتر از |Dz| با این دایره متفاوت خواهند بود - شکل 2b).

2. مفهوم نگاشت هماهنگ

نقشه برداری در نقطه z 0 conformal نامیده می شود اگر: 1) این نگاشت زاویه بین هر دو منحنی را که از نقطه z 0 عبور می کنند حفظ کند. 2) کشش در نقطه z 0 به جهت بستگی ندارد.

اگر یک نگاشت منسجم جهت مرجع زوایا را نیز حفظ کند، آن را نگاشت منسجم از نوع اول می نامند. اگر جهت شمارش زوایا به سمت مخالف تغییر کند، با یک نگاشت هم‌شکل از نوع دوم.

اجازه دهید نتایج به دست آمده در بالا را در قالب یک قضیه فرموله کنیم.

قضیه 1. اگر تابع w = f (z) در نقطه z 0 و f "(z 0) ? 0 تحلیلی باشد، آنگاه f (z) یک نگاشت مطابق از نوع اول را در نقطه z 0 انجام می دهد. , Arg f " (z 0 ) به معنای زاویه چرخش است و |f " (z 0) ضریب کشش برای این نگاشت است.

مثالی از یک نگاشت منسجم از نوع دوم با تابع (غیر تحلیلی!) w = ارائه شده است که هر ناحیه D را بر روی ناحیه E که متقارن با D نسبت به محور OX است، ترسیم می کند.

اگر f "(z 0) = 0، آنگاه نقشه برداری، به طور کلی، دیگر در نقطه z 0 مطابقت نخواهد داشت. بنابراین، نگاشت w = z 2 زوایای بین پرتوها را در مبدا دو برابر می کند.

توجه داشته باشید که به دلیل خصوصیات کلی توابع تحلیلی، یک تابع تحلیلی تک مقداری z = μ(w) در همسایگی نقطه w 0 تعریف شده است. بنابراین، یک تناظر یک به یک بین همسایگی نقاط z 0 و w 0 برقرار می شود. اجازه دهید تعریف اساسی زیر را معرفی کنیم.

تعریف. نقشه برداری یک به یک منطقه؟ صفحه مختلط z بر روی ناحیه G از صفحه مختلط w منسجم نامیده می شود اگر این نگاشت در تمام نقاط z ? دارای خواص حفظ زاویه و کشش ثابت است.

تاکید می کنیم که این تعریف بر تداوم نگاشت مورد نظر دلالت دارد.

اکنون بیایید دریابیم که یک تابع از یک متغیر مختلط باید چه ویژگی هایی داشته باشد تا نگاشت انجام شده توسط این تابع مطابقت داشته باشد. قضیه زیر صادق است.

قضیه 2. اجازه دهید تابع f (z) یک تابع تحلیلی تک مقداری و یک ظرفیتی در حوزه باشد؟ و f" (z) ? 0 برای z ?. سپس تابع f (z) یک نگاشت همسان از دامنه ? بر روی دامنه G صفحه مختلط w ایجاد می کند، که محدوده مقادیر تابع w = است. f (z) برای z ?.

اثبات در واقع، با توجه به شرط f "(z) ? 0 برای z ?، نگاشت انجام شده توسط تابع f (z) در تمام نقاط حوزه ? دارای خواص حفظ زاویه و ثبات اتساع است که این قضیه را اثبات می کند. .

بنابراین، شرایط تحلیل، تک ظرفیتی و مشتق غیر صفر تابعی از یک متغیر مختلط، شرایط کافی برای انطباق نگاشت انجام شده توسط این تابع است. طبیعی است که بپرسیم آیا شرایط لازم است؟ قضیه زیر به این سوال پاسخ می دهد.

قضیه 3. اجازه دهید تابع f (z) یک نگاشت همسان از حوزه را انجام دهد؟ صفحه مختلط z روی ناحیه G صفحه مختلط w و محدود به? است. سپس تابع f (z) در دامنه ? یک ظرفیتی و تحلیلی است و f "(z) ? 0 برای z ?.

اثبات از آنجایی که نگاشت انجام شده توسط تابع f (z) مطابق است، یک به یک است و در هر نقطه z 0؟ ویژگی های حفظ زاویه و ثبات کشش برآورده می شود. در نتیجه، برای هر نقطه z 1 و z 2 متعلق به همسایگی نقطه z 0، تا مقادیر بینهایت کوچک، روابط زیر برقرار است:

که در آن Dz 1 = z 1 - z 0 و Dz 2 = z 2 - z 0 عناصر خطی بی نهایت کوچکی هستند که از نقطه z 0 سرچشمه می گیرند و Dw 1 و Dw 2 تصاویر آنها هستند (شکل 3).

توجه داشته باشید که به موجب (4)، زوایای مربوطه در نقاط z 0 و w 0 نه تنها از نظر مقدار مطلق، بلکه در جهت نیز برابر هستند. با نشان دادن arg با، از (4) آن arg را پیدا می کنیم. واقعا،

از (5) و (6) به دست می آوریم که تا مقادیر بینهایت کوچک، رابطه زیر برقرار است:

با توجه به خودسرانه بودن انتخاب نقاط z 1 و z 2 در مجاورت نقطه z 0، رابطه (7) به این معنی است که حدی از نسبت اختلاف در وجود دارد. این حد، طبق تعریف، مشتق تابع f (z) در نقطه z 0 است. از آنجایی که این مشتق غیر صفر است:

نقطه z 0 یک نقطه دلخواه در منطقه است؟ بنابراین از (8) نتیجه می شود که تابع f (z) در منطقه تحلیلی است؟ و f "(z) ? 0 برای z ?. تک ظرفیتی از نگاشت یک به یک به دست می آید. قضیه ثابت می شود. بنابراین، نگاشت همسان دامنه؟ صفحه مختلط z روی دامنه G صفحه مختلط w فقط توسط توابع تحلیلی یک ظرفیتی یک متغیر مختلط با مشتق غیرصفر در تمام نقاط منطقه انجام می شود؟

توجه داشته باشید که شرط f "(z) ? 0 در همه جای دامنه؟ شرط لازم اما کافی نیست برای مطابقت نگاشت دامنه؟ با دامنه G انجام شده توسط تابع f (z).

3. خصوصیات کلی نگاشتهای همسو

قضیه 4 (قضیه ریمان). فرض کنید D و D" به ترتیب در صفحات گسترده متغیرهای z و w به سادگی مناطق متصل به هم باشند و مرزهای این مناطق از بیش از یک نقطه تشکیل شده است. سپس یک تابع تحلیلی وجود دارد که D را روی D" یک به-" نگاشت می کند. یک و مطابق.

از قضیه ریمان چنین برمی‌آید که یک دامنه D که به سادگی متصل است را نمی‌توان به طور منطبق بر روی دیسک واحد نگاشت |w|< 1 только в двух случаях: а) если D есть вся расширенная плоскость (граница -- пустое множество); б) если D есть расширенная плоскость, из которой удалена только одна точка (например, если D -- конечная плоскость С, когда из удалена точка z = ?).

نگاشت w = f (z) دامنه D بر روی D، که طبق قضیه ریمان وجود دارد، تنها مورد نیست. برای تعیین منحصربه‌فرد نگاشت هم‌شکل، لازم است شرایط اضافی به نام شرایط عادی سازی، شامل سه مورد تنظیم شود. پارامترهای واقعی برای مثال، در هر نقطه z 0 مقدار مجموعه D کافی است

w 0 = f(z 0)، .(9)

در اینجا پارامترها دو مختصات نقطه w 0 و یک عدد واقعی هستند. شرایط (9) به این معنی است که نگاشت w = f(z) منحصر به فرد است اگر برای هر نقطه z 0 در منطقه D تصویر آن w 0 در منطقه D" و زاویه چرخش بردارهای بینهایت کوچک در نقطه z 0 مشخص شود.

همچنین می توانید سایر شرایط عادی سازی را که با (9) متفاوت هستند مشخص کنید. به عنوان مثال، تصاویر یک نقطه داخلی و یک نقطه مرزی منطقه D مشخص می شود:

f(z 0) = w 0، f(z 1) = w 1،

جایی که z 0، w 0 نقاط داخلی نواحی D، D، a z 0، w 0 نقاط مرزی این مناطق هستند. همچنین سه پارامتر واقعی وجود دارد: دو مختصات نقطه w 0 و موقعیت نقطه مرزی w 1 که با یک عدد واقعی تعیین می شود (مثلاً فاصله در امتداد مرز منطقه D از یک نقطه مرزی ثابت). اجازه دهید نوع دیگری از شرایط عادی سازی را نشان دهیم:

f(z k) = w k , k = 1,2,3,

که z k و w k نقاط مرزی مناطق D و D هستند.

اجازه دهید ویژگی مهم زیر را در نگاشتهای همسان فرموله کنیم.

اموال 1. (اصل حفاظت از منطقه). اگر تابع w = f(z) در یک دامنه D تحلیلی باشد و ثابت نباشد، مجموعه D" که D را به آن نگاشت می کند نیز یک دامنه است (یعنی یک مجموعه باز متصل).

اجازه دهید به بیانیه‌هایی برویم که مطابقت مرزها را تحت نگاشت‌های منسجم توصیف می‌کنند.

اموال 2. (اصل مطابقت حدود). اجازه دهید D و D" به سادگی نواحی متصل به هم باشند که توسط خطوط بسته پیوسته Г و Г، که از تعداد محدودی منحنی صاف تشکیل شده‌اند، محدود شده‌اند. اجازه دهید تابع w = f(z) به طور منطبق D را روی D نگاشت." سپس این تابع را می توان در نقاطی از مرز Γ تعریف کرد تا در یک دامنه بسته پیوسته شود و Γ را یک به یک ترسیم کند. و به طور مداوم در Γ."

این ویژگی به این معنی است که وقتی دو منطقه به طور منطبق بر روی یکدیگر نگاشت می شوند، یک تناظر یک به یک و پیوسته بین مرزهای آنها برقرار می شود.

خاصیت 3. با نگاشت یک به یک و منسجم از مناطق D و D، جهت عبور از مرزهای آنها حفظ می شود.

به عبارت دیگر، اگر هنگام دور زدن مرز، ناحیه D در سمت چپ باقی بماند، در هنگام دور زدن مرز ناحیه D، این ناحیه در سمت چپ باقی می‌ماند.

ویژگی زیر برای ساخت نگاشتهای همسان از اهمیت بالایی برخوردار است.

خاصیت 4. (اصل معکوس تناظر مرزی).

اجازه دهید مناطق D و D که به سادگی متصل شده اند با منحنی های Г و Г محدود شوند. اجازه دهید تابع w=f(z)، تحلیلی در D و پیوسته در، Γ را یک به یک روی Γ نگاشت کنیم، و زمانی که یک نقطه z در اطراف کانتور Γ بچرخد به طوری که ناحیه D در سمت چپ باقی بماند، نقطه مربوطه w در اطراف کانتور Γ می رود تا دامنه D نیز در سمت چپ باقی بماند سپس تابع w = f(z) نگاشت یک به یک از دامنه D را روی دامنه D انجام می دهد. "

در نتیجه، برای یافتن ناحیه‌ای که تابع w = f(z) یک منطقه معین D را بر روی آن نگاشت می‌کند، کافی است مرز ناحیه D را دور بزنیم و خطوطی را که این مرز روی آن نگاشت شده است توسط تابع f(z) پیدا کنیم. ).

4. توابع اساسی

تابع خطی

تابع w = az + b,(10)، که در آن a و b اعداد مختلط و a?0 داده می شود، تابع خطی نامیده می شود. از آنجایی که w " = a؟ 0، پس نگاشت (10) در کل صفحه C مطابق است. اجازه دهید ثابت کنیم که در C نیز یک ظرفیتی است. اگر w 1 = az 1 + b، w 2 = az 2 + b، پس w 1 -- w 2 = a(z 1 -- z 2) بنابراین، برای z 1 ? کل هواپیما پیچیده گسترده در.

برای مطالعه خصوصیات هندسی نقشه برداری (10)، ابتدا حالت b = 0 را در نظر می گیریم. w = az. بگذارید a = , z = .سپس

بنابراین برای بدست آوردن بردار w=az باید دو مرحله زیر را انجام دهید:

1) بردار z را در |a| ضرب کنید. در این حالت جهت بردار z ثابت می ماند اما طول آن به میزان |a| افزایش می یابد یک بار. این به این معنی است که ضرب در |a| تبدیل تشابه (همسانی) با مرکز در مبدا و ضریب شباهت |a| است.

2) بردار حاصل |a|z را با زاویه b بچرخانید.

برای در نظر گرفتن حالت کلی (10)، توجه می کنیم که وقتی بردار az به بردار b اضافه می شود، نقطه پایانی بردار az به طور موازی به بردار b منتقل می شود. بنابراین، نگاشت (10) با ترکیب (یعنی اجرای متوالی) سه عملیات زیر به دست می آید: 1) تبدیل تشابه با مرکز در مبدا و ضریب شباهت |a|; 2) چرخش حول مبدا با زاویه b. 3) انتقال موازی به بردار b.

تابع خطی کسری

بیایید به مطالعه تابع خطی کسری تعریف شده توسط تساوی برویم

و نگاشت خطی کسری مربوطه. زیرا

پس طبیعی است که w(?) = a/c، w(--d/c) = ? را تعریف کنیم. تابع تعریف شده به این ترتیب در سراسر صفحه پیچیده توسعه یافته پیوسته خواهد بود.

اگر c = 0، آنگاه w = و تابع خطی کسری به تابع خطی قبلاً مطالعه شده کاهش می یابد. بنابراین، در آنچه در ادامه می آید، فرض می شود که 0.

صورت و مخرج کسری (11) را در c ضرب کنید و +ad -- ad را به صورتگر اضافه کنید. سپس کسری (11) را می توان به صورت نمایش داد

اگر bc -- ad = 0، آنگاه w = a/c و تابع (11) به یک ثابت کاهش می یابد. در آینده، ما فرض می کنیم که شرایط فراهم است

با؟ 0، قبل از میلاد - آگهی ? 0. (13)

اجازه دهید نشان دهیم که تابع خطی کسری (11) یک نگاشت یک به یک را انجام می دهد. برای این منظور معادله (11) را برای z حل می کنیم (این برای z ? --d/c, z ? ?, w ? а/с, w ? ? ممکن است):

بنابراین، هر مقدار از w؟ a/c و w ? فقط یک تصویر معکوس z دارد؟ - d/c و z ? ?. اما طبق تعریف، مقدار w = a/c با z = ? و مقدار w = ? -- مقدار z = --d/c. بنابراین، هر نقطه w فقط یک تصویر معکوس z دارد، که این همان چیزی است که باید ثابت کنیم.

اکنون اجازه دهید مطابقت نقشه برداری را تعیین کنیم (11). زیرا

سپس در z؟ - d/c و z ? ? مشتق w" وجود دارد و برابر با صفر نیست. با قضیه 1، نقشه کسری خطی در همه جا به جز این دو نقطه مطابق است.

برای تعیین انطباق در z = - d/c و z =؟ به تعریف زیر نیاز داریم

در زاویه بین دو خط در نقطه z =؟ به عنوان زاویه بین تصاویر این خطوط در هنگام نمایش w = در مبدا درک می شود.

قضیه 5. تابع خطی کسری

آگهی -- bс? 0، w(?) = a/c، w(- d/c) = ?، (14)

یک نگاشت یک به یک و منسجم از صفحه پیچیده توسعه یافته را بر روی کل صفحه پیاده سازی می کند.

ما حالت = 0 را در قضیه 5 مستثنی نمی کنیم، زیرا در این حالت تابع خطی کسری خطی می شود و همچنین دارای تمام ویژگی های مشخص شده در قضیه 5 است.

اجازه دهید ویژگی دایره ای یک نگاشت کسری خطی را تعیین کنیم. برای یکنواختی فرمول های بیشتر، راحت است که یک خط مستقیم را به عنوان دایره ای با شعاع بی نهایت بزرگ در نظر بگیرید.

قضیه 6. با یک نگاشت خطی کسری (14)، دایره ها همیشه به دایره تبدیل می شوند.

(توجه داشته باشید که دایره ای با شعاع محدود می تواند به دایره ای با شعاع نامتناهی تبدیل شود، یعنی به یک خط مستقیم و بالعکس.)

اثبات معادله را در نظر بگیرید

A(x 2 + y 2) + Bx + Su + D = 0، (15)

که در آن A، B، C، D ضرایب واقعی هستند. در A = 0 ما Bx + Cy + D = 0 را بدست می آوریم، یعنی. معادله یک خط اگر یک؟ 0، سپس با تقسیم بر A و انتخاب مربع های کامل، به تساوی می رسیم

(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 = ± R 2

که یک دایره را تعریف می کند اگر +R 2 در سمت راست، یا یک نقطه اگر R = 0، یا یک مجموعه خالی اگر -R 2 در سمت راست. از سوی دیگر، هر دایره ای (به ویژه یک خط مستقیم) را می توان با معادله ای از شکل (15) مشخص کرد.

اجازه دهید ابتدا ویژگی دایره ای را برای نگاشت w = 1/z اثبات کنیم. بیایید یک دایره دلخواه روی صفحه مختلط بگیریم. با معادله (15) به دست می آید. اجازه دهید z = x + iy، w = u + iv را نشان دهیم. برابری w = 1/z z = 1/w، یا را می دهد

برای به دست آوردن معادله منحنی که دایره با نمایش w = 1/z به آن تبدیل می شود، عبارات یافت شده را برای x و y به (15) جایگزین می کنیم:

A + B u - C v + D (u 2 + v 2) = 0

ما به معادله ای به شکل (15) رسیدیم، اما در صفحه متغیر w = u + iv. همانطور که قبلا دیدیم، چنین معادله ای یک دایره (به ویژه یک خط برای D = 0)، یک نقطه یا یک مجموعه خالی را تعریف می کند. اما به دلیل شخصیت یک به یک نگاشت خطی کسری، یک دایره نمی تواند به یک نقطه یا یک مجموعه خالی برود. به این معنی که به دایره تبدیل می شود و خاصیت دایره ای نگاشت w = 1/z برقرار می شود.

حال اجازه دهید حالت کلی نگاشت کسری خطی را در نظر بگیریم (14). اگر c = 0 باشد، یک نگاشت خطی w = a 1 z + b 1 به دست می آوریم که با چرخش و تغییر به کشش کاهش می یابد. هر یک از این تبدیل ها بدیهی است که یک خاصیت دایره ای دارد. این به این معنی است که برای نگاشت w = a 1 z + b 1 این ویژگی نیز برقرار است.

اجازه دهید در حال حاضر با؟ 0. با استفاده از برابری (12)، نگاشت خطی کسری را به شکل نمایش می دهیم

که در آن E =، F =، G =.

از برابری (16) نتیجه می شود که نگاشت خطی کسری به عنوان ترکیبی از سه تبدیل زیر ارائه می شود:

1) w 1 = z + G; 2) w 2 = 1/w; 3) w = E + Fw 2. همانطور که در بالا مشخص شد، هر یک از این تبدیل ها یک دایره را به یک دایره تبدیل می کند. یعنی ترکیب آنها هم این خاصیت را دارد که باید ثابت می شد.

برای فرمول بندی یکی دیگر از ویژگی های نگاشت کسری خطی، به تعریف زیر نیاز داریم.

نقاط A و A را نسبت به دایره ای به شعاع R متقارن می نامند< ?, если они лежат на одном луче, выходящем из центра О окружности, и

OA* OA" = R 2 .(17)

اگر نقطه A به دایره نزدیک شود (شکل 4 را ببینید)، i.e. اگر OA > R، آنگاه OA" نیز به R تمایل دارد؛ هر نقطه روی دایره با خودش متقارن است؛ اگر OA > 0 باشد، OA" > ?. بنابراین، برای نقطه O، نقطه در بی نهایت متقارن خواهد بود. تحت تقارن نسبی

دایره شعاع R =؟ منظور ما تقارن معمولی در مورد یک خط مستقیم است.

لم 7. برای متقارن شدن نقاط A و A نسبت به دایره Г (احتمالاً با شعاع نامتناهی) لازم و کافی است که هر دایره ای که از A و A می گذرد عمود بر Г باشد (شکل 5). .

اثبات ضرورت. بگذارید نقاط A و A" نسبت به دایره G متقارن باشند. اجازه دهید یک دایره دلخواه Г" را از طریق نقاط A و A رسم کنیم، و اجازه دهید B نقطه تقاطع دایره های Г و Г باشد. با توجه به قضیه معروف در مورد مقاطع و مماس، حاصلضرب قطع OA و قسمت خارجی آن OA برابر است با مجذور مماس.در عین حال به دلیل

تقارن، OA * OA" = R 2. بنابراین،

شعاع OB بر دایره ی Г مماس است." از آنجایی که شعاع OB بر مماس مماس بر Г که از نقطه ی B می گذرد عمود است، پس دایره های Г و Г" عمود بر هم هستند که باید ثابت شود. اگر Γ یک خط مستقیم باشد (این مورد زمانی است که A = 0 باشد)، آنگاه از نقطه O عبور می کند و بنابراین بر Γ نیز عمود است.

کفایت. بگذارید نقاط A و A" به گونه ای باشند که هر دایره ای (به ویژه یک خط مستقیم) که از آنها عبور می کند، Γ را با زاویه قائمه قطع می کند (شکل 5 را ببینید). اجازه دهید ثابت کنیم که A و A" نسبت به Γ متقارن هستند. از آنجایی که خط AA "عمود بر G است، پس از نقطه O می گذرد. ​​این بدان معنی است که نقاط O، A، A" روی یک خط مستقیم قرار دارند. اما آنها همچنین روی همان پرتوی قرار دارند که از نقطه O نشات می گیرد. در واقع، اگر نقاط A و A" در طرف مقابل نقطه O قرار گیرند، آنگاه دایره ای با قطر AA بر G عمود نخواهد بود.

اجازه دهید یک دایره دلخواه Г" از طریق A و A" با شعاع R رسم کنیم.< ?. Пусть В -- точка пересечения Г и Г". По условию, Г и Г" пересекаются под прямым углом. Поэтому радиус ОВ будет касаться Г ". По той же теореме о секущей и касательной ОА * ОА" = R 2 . Следовательно, точки А и А" симметричны относительно Г.

ما لم 7 را در مورد R ثابت کرده ایم< ?. Если R = ?, то рассуждение существенно упрощается.

اکنون ما آماده هستیم تا ویژگی زیر را برای نگاشت کسری خطی (ویژگی حفظ تقارن) ایجاد کنیم:

قضیه 8. تحت نگاشت خطی کسری (14)، یک جفت نقطه متقارن نسبت به یک دایره (به ویژه یک خط مستقیم) وارد یک جفت نقطه می شود که نسبت به تصویر این دایره متقارن است.

اثبات اجازه دهید نقاط z 1 و z 2 با توجه به دایره Г متقارن باشند. نقاط z 1 و z 2 به نقاط w 1 و w 2 می روند. لازم است ثابت شود که w 1 و w 2 نسبت به z متقارن هستند، هر دایره z را که از w 1 و w 2 می گذرد، در نظر بگیرید و تصویر معکوس آن را در نقشه برداری (14) در نظر بگیرید (یعنی مجموعه ای از. نقاط روی صفحه متغیر z که به z " می گذرد. ​​برای این کار، z را از رابطه (14) بیان می کنیم:

در ad - bc ? 0

می بینیم که Γ "از Γ" نیز با نگاشت خطی-کسری به دست می آید. از آنجایی که g یک دایره است، پس طبق قضیه 6 G نیز یک دایره است. از آنجایی که Г ` از نقاط z 1 و z 2 متقارن می گذرد، پس دایره Г` به دلیل مطابقت نقشه کسری خطی عمود است لمای 7 نتیجه می شود که نقاط w 1 و w 2 در مورد r متقارن هستند و اثبات کامل است.

ویژگی‌های تثبیت‌شده نگاشت‌های خطی کسری، یافتن نگاشت مناطق محدود شده توسط دایره‌ها (به ویژه خطوط مستقیم) را ممکن می‌سازد.

تابع توان. مفهوم سطح ریمان

تابع قدرت را در نظر بگیرید

که در آن n یک عدد طبیعی است. مشتق w" = nz n -1 وجود دارد و در همه نقاط z ? 0, z ??? غیر صفر است. بنابراین، نگاشت انجام شده توسط تابع (18) در همه نقاط به جز z = 0 و z = ? متغیرهای z و w را به صورت نمایی می نویسیم، z = r e i c، w = se i u، سپس (18) به تساوی ها می رسد.

c = r n، u = nc.

این نشان می دهد که دایره های |z| = r به دایره ها بروید |w| = r n، زاویه 0< ц < б, где б < 2 р /n, с вершиной в начале координат, лежащий в плоскости переменного z, отображается на угол 0 < и < nб плоскости w. Следовательно, конформность отображения нарушается в точке z = 0: углы в этой точке увеличиваются при отображении в n раз. Нетрудно показать, что отображение (18) не является конформным и в точке z = ?.

بگذارید نقاط z 1 و z 2 به گونه ای باشند که z 2 = z 1 e i 2 p / n, n؟ 2. به راحتی می توان فهمید که z 1؟ z 2 و. بنابراین، نگاشت (18) در کل صفحه مختلط C یک ظرفیتی نیست، اما در هر زاویه ای از قدر b است.< 2 р /n с вершиной в начале координат.

برای معرفی تابع توان معکوس به تعاریف زیر نیاز داریم.

یک تابع چند ارزشی از یک متغیر مختلط یک قانون (قانونی) است که طبق آن یک عدد مختلط z از مجموعه D با چندین عدد مختلط (احتمالاً بی نهایت) w مطابقت دارد.

همه توابع در نظر گرفته شده قبلی (به جز تابع Arg z) بدون ابهام بودند. تابع Arg z چند ارزشی است:

Arg z = arg z + 2рk،

که در آن arg z مقدار اصلی آرگومان و k هر عدد صحیح است. در ادامه، واژه تابع که بدون هیچ توضیحی به کار می رود، به معنای تابع بدون ابهام است. چند معنایی توابع مورد مطالعه همیشه به صورت اضافی مشخص خواهد شد.

اجازه دهید تابع w = f(z) دامنه D را روی دامنه E ترسیم کند. معکوس تابع w = f(z) تابع (به طور کلی، چند ارزشی) z = g(w) است که در دامنه E تعریف شده است. ، که به هر عدد مختلط w E همه اعداد مختلط zD را به گونه ای مرتبط می کند که f(z) = w.

به عبارت دیگر، تابع معکوس به w = f(z) قاعده ای است که طبق آن هر نقطه wE با تمام تصاویر معکوس zD مطابقت دارد.

اگر تابع w = f(z) در D یک ظرفیتی باشد، تابع معکوس در E یک ظرفیتی (و همچنین یک ظرفیتی) است. اگر w = f(z) یک ظرفیتی نباشد، تابع معکوس چند ارزشی خواهد بود. به عنوان مثال، معکوس تابع w = z n تابع چند ارزشی z = است: هر مقدار w به غیر از 0 مطابقت دارد با n ریشه های مختلف درجه n که با فرمول تعریف شده است

اعداد 0 و؟ هر کدام یک ریشه دارند: , a.

قضیه 9. اجازه دهید تابع w = f(z) یک ظرفیتی و تحلیلی در دامنه D باشد، D را روی دامنه E و f "(z) نگاشت کنید؟ 0. سپس تابع معکوس z = g(w) نیز در دامنه تحلیلی است. دامنه E و

اثبات بیایید یک نقطه دلخواه zD را ثابت کنیم و افزایش Дz را بگیریم؟ 0. سپس به دلیل تک ظرفیتی تابع w = f(z)، افزایش متناظر Дw = f(z + Дz) -- f(z) نیز برابر با صفر نیست. از همین رو

از آنجایی که تابع w = f(z) تحلیلی است، در نقطه z پیوسته است.

در نتیجه، Dw > 0 برای Dz > 0، و به دلیل رابطه یک به یک، برعکس نیز صادق است: Dz > 0 برای Dw > 0. بنابراین

Q.E.D.

آرگومان تابع z = g(w)، معکوس w = f(z)، متغیر w است. از آنجایی که آرگومان یک تابع اغلب با z نشان داده می شود، برای یکنواختی، متغیرهای z و w دوباره طراحی شده و w = g(z) نوشته می شوند. به عنوان مثال، تابع معکوس به w = z n به صورت w = نوشته می شود.

بیایید نگاهی دقیق تر به تابع w = بیاندازیم. همانطور که در بالا ذکر شد، چند ارزشی است. با این وجود، می توان این تابع را بر روی مجموعه ای از ساختار پیچیده تر از صفحه مختلط تعریف کرد که در آن تابع w = یک به یک و پیوسته می شود. اجازه دهید مجموعه مربوطه را شرح دهیم. بیایید n کپی ("صفحه") D 0 , D 1 ,..., D n -1 از صفحه مختلط برش خورده در امتداد نیم محور مثبت برداریم و آنها را روی هم قرار دهیم (شکل 6a مورد را نشان می دهد. n = 4).

سپس آن لبه از بخش ناحیه D 0 که از زیر پرتو OX به آن نزدیک می شویم (یعنی در امتداد نیم صفحه y< 0), склеим с верхним краем разреза области D 1 ; нижний край разреза области D 1 склеим с верхним краем разреза области D 2 и т.д., пока не склеим нижний край разреза D n -2 с верхним краем разреза D n -1 . Теперь склеим оставшиеся свободными нижний край разреза области D n -1 (на рис. 6а это D 3) с верхним краем разреза области D 0 . В трехмерном пространстве такую склейку невозможно осуществить без пересечения с уже сделанными склейками промежуточных листов. Но мы условимся считать эту склейку непересекающейся с предыдущими (т.е. точки этой склейки считаются отличными от точек остальных склеек). Полученная поверхность показана на рис. 6б.

به آن سطح ریمان تابع w = می گویند. بالای هر نقطه از صفحه مختلط، متفاوت از 0 و؟، دقیقاً n نقطه از سطح ریمان وجود دارد. نقاط x > 0 از نیم محور واقعی نیز از این قاعده مستثنی نیستند، زیرا تمام نقاط چسبندگی که در بالای آن قرار گرفته اند، جدا در نظر گرفته می شوند. فقط دو نقطه این خاصیت را ندارند: z = 0 و z = ? همه ورق های سطح ریمان در نقاطی که بالای نقاط z = 0 قرار دارند چسبانده می شوند.

اکنون اجازه دهید تابع w = را در سطح ساخته شده ریمان تعریف کنیم. به یاد بیاورید که اگر z = r e isс ، تمام ریشه های درجه n از z با فرمول (*) تعیین می شوند:

زاویه q در این فرمول را می توان از هر بازه ای به طول 2p انتخاب کرد. برای ما راحت است که فرض کنیم 0 ? ts< 2р.

به نقاط z = r e ic روی ورق D 0 و چسباندن D 0 با D n -1، مقدار ریشه را با k = 0 نسبت می دهیم. نقاط خوابیده روی ورق D 1 و چسباندن D 1 با D 0 - مقدار ریشه با k = 1. به طور کلی، نقاط دروغ گفتن در D k، در 1؟ ک؟ n-1، و چسباندن D k، با D k -1، با مقدار ریشه با k داده شده مطابقت دارد. مکاتبات ساخته شده یک تابع تک ارزشی در سطح ریمان خواهد بود.

به راحتی می توان نشان داد که این تابع سطح ریمان را یک به یک بر روی کل صفحه پیچیده ترسیم می کند. در واقع، ورق D k به گوشه نگاشت می شود، و چسباندن به پرتوهایی که این گوشه ها را به هم متصل می کنند، نگاشت می شود. بنابراین کل صفحه پیچیده توسط تصاویر نقاط سطح ریمان پوشانده می شود.

اجازه دهید نشان دهیم که این نگاشت نیز پیوسته است. اگر نقطه z روی یک ورق D k با یک برش قرار داشته باشد، تداوم در این نقطه مستقیماً از فرمول (20) با k ثابت پیروی می کند. |z| = 1 صفحه پیچیده بیایید دور این کانتور را از نقطه z که در لبه بالایی ورق برش D 0 قرار دارد شروع کنیم. از آنجایی که r = 1، q = 0، k = 0، سپس w = = 1. هنگام دور زدن اولین دور مدار در ورق D 0 وجود خواهد داشت

و. با حرکت در امتداد خط چسباندن به ورق D 1، طبق تعریف، به دست می آوریم (از k = 1). به ویژه، در q = 0 همان مقدار ریشه وجود خواهد داشت که هنگام نزدیک شدن به بانک پایینی برش در امتداد ورق D 0 به آن نزدیک شدیم. این بدان معنی است که در نقاط چسباندن D 0 c D 1 عملکرد پیوسته خواهد بود. به طور مشابه، پیوستگی ریشه هنگام حرکت از D k -1 به D k در 1 نشان داده می شود؟ ک؟ n-1. در نهایت، با دور زدن کانتور در امتداد ورق D n -1 و نزدیک شدن به لبه پایینی برش، k = n - 1 را بدست می آوریم، و

آن ها همان مقداری که با آن از لبه بالایی ورق برش D 0 شروع کردیم. بنابراین، این تابع در تمام نقاط سطح ریمان پیوسته خواهد بود. به عنوان یک تابع معکوس نسبت به تابع تحلیلی، همچنین یک تابع تحلیلی منحصر به فرد در این سطح است (به جز نقاط z = 0 و z = ?).

هر دایره ای را انتخاب کنید |z| = r در صفحه مختلط که نقطه z = 0 را در بر می گیرد. این دایره نقطه z = ? را نیز در بر می گیرد. با دور زدن کانتور روی سطح ریمان، متشکل از نقاطی که در بالای این دایره قرار دارند، از یک صفحه از سطح ریمان به صفحه دیگر می رویم. بنابراین، نقاط z = 0 و z = ? نقاط شاخه نامیده می شوند. هیچ نقطه دیگری خاصیت توصیف شده را ندارد: اگر دایره ای را با مرکز آن در نقطه z بگیریم؟ 0، z؟ ?، که حاوی نقطه 0 نیست، سپس نقاط مربوطه در سطح ریمان n دایره را تشکیل می دهند که به یکدیگر متصل نیستند. با دور زدن هرکدام از آنها از یک برگه فراتر نخواهیم رفت.

یک تابع تحلیلی تک مقداری f (z) در یک دامنه D، شاخه ای منظم از یک تابع چند ارزشی F (z) نامیده می شود که در همان دامنه تعریف شده است اگر مقدار f (z) در هر نقطه z از دامنه D منطبق باشد با یکی از مقادیر F (z) در این نقطه.

تابع چند ارزشی F(z) روی سطح ریمان خود (به جز نقاط انشعاب) تک مقداری و تحلیلی است. بنابراین، قابلیت انتخاب یک شاخه معمولی در ناحیه D به معنای قابلیت مکان یابی این ناحیه در سطح ریمان بدون برش D و بدون تماس با نقاط انشعاب است. در این حالت، ناحیه D باید به طور کامل روی یک صفحه گذاشته شود یا با چسباندن از یک ورق به صفحه دیگر (مانند فرش روی پله) پایین بیاید. مثلا حلقه 1< |z| < 2 нельзя без разрывов расположить на римановой поверхности функции F (z) = , n ? 2, поскольку точки кольца, располагаемые над положительной полуосью, должны одновременно попасть на разные листы, что невозможно. Но если разрезать кольцо по любому радиусу, то такое расположение становится возможным. При этом расположить D на римановой поверхности можно n способами (и, следовательно, выделить в D n различных ветвей функции). Для выделения конкретной ветви достаточно указать значение функции в какой-либо точке области D. Тем самым указывается лист римановой поверхности, на который попадает эта точка, а значит, фиксируется расположение и всей области D.

توابع نمایی و لگاریتمی

1. تابع نمایی e z با روابط زیر تعیین می شود: برای هر عدد مختلط z = x + iу

e z = e x + iy = e x (cos y + i sin y).(21)

تساوی دوم در (21) به دست می آید اگر طبق تعریف e x + i y = e x e i y را بگیریم و فرمول اویلر را برای e i y اعمال کنیم. از (21) چنین بر می آید که

|e z | = |e x + i y | = e x، Arg e z = y + 2 рn.

تعریف (21) و خصوصیات تابع e i z اثبات اینکه تابع e z دارای خواص معمول یک تابع نمایی است را آسان می کند:

e z 1+ z 2 = e z 1 e z 2 ; e z 1 - z 2 = e z 1 /e z 2 ;(e z) n = e nz .

اجازه دهید ثابت کنیم که تابع e z در کل صفحه مختلط C تحلیلی خواهد بود. برای انجام این کار، باید رضایت از شرایط کوشی-ریمان را بررسی کنیم (7). اگر w = u + iv، پس با (21) u + iv = e x cos y + i e x sin y، از آنجا

u = e x cos y، v = e x sin y;

بنابراین، شرایط (7) برآورده می شود، و تحلیلی بودن تابع e z ثابت می شود. برای محاسبه مشتق (e z)" از استقلال مشتق از جهت استفاده می کنیم و مشتق را در جهت محور OX محاسبه می کنیم:

در نتیجه، برای مشتق تابع e z فرمول معمول برقرار است

خاصیت زیر تابع e z در مورد تابع نمایی از یک متغیر واقعی، آنالوگ ندارد: تابع e z تناوبی با یک دوره کاملاً خیالی 2рi است. در واقع، برای هر عدد صحیح n

e z +2 рni = e x (cos(y + 2рn) + i sin(у+2рn)) = e x (cos y + i sin y) = e z.

از تناوب تابع w = e z، به ویژه این نتیجه می شود که در کل صفحه مختلط یک ظرفیتی نیست. برای اینکه بفهمیم این تابع در کدام ناحیه یک ظرفیتی است، اجازه دهید z 1 = x 1 + iy 1، z 2 = x 2 + iy 2 را قرار دهیم. بر اساس (21)، برابری e z 1 = e z 2 معادل شرایط زیر است:

e x 1 = e x 2 , cos y 1 = cos y 2 , sin y 1 = sin y 2 ,

که به معنای x 1 = x 2، y 1 = y 2 + 2рn است، که در آن n یک عدد صحیح دلخواه است، یا

z 1 - z 2 = 2рni.(22)

در نتیجه، برای اینکه نگاشت w = e z یک به یک در حوزه D باشد، لازم و کافی است که D شامل هیچ جفت نقطه ای نباشد که (22) برای آن معتبر است. به ویژه، این شرط با هر نوار افقی با عرض 2p، به عنوان مثال نوارها، برآورده می شود.

(ز: -؟< х < ?, 2рk < у < 2 р(k + 1)}, k = 0, ±1, ±2,...

هر یک از این نوارها مربوط به مجموعه ای از مقادیر w = e z = e x e iy = сe i و به دلیل برابری های c = e x و = y، داریم

0 < с < ?, 2рk < и < 2р(k + 1).

این مقادیر w کل صفحه مختلط متغیر w را با یک برش در امتداد نیم محور مثبت واقعی پر می کند. در این حالت، خطوط مستقیم y = y 0 (نشان داده شده در شکل 7، a با یک خط نقطه چین) به پرتوها و = y 0 (شکل 7b) و فواصل x = x 0، 2рk تبدیل می شوند.< у < 2р(k + 1) (показаны сплошными линиями

برای k = 0) - در یک دایره сe x 0 (با نقاط سوراخ شده در نیمه محور u> 0). راه راه 0< Im z < h < 2 р показательная функция e z отображает в углы 0 < и < h. В частности, полоса 0 < Im z < р переводится в верхнюю полуплоскость.

2. تابع لگاریتمی معکوس تابع نمایی است.

از آنجایی که تابع نمایی e z در C یک ظرفیتی نیست، تابع معکوس آن چند ارزشی خواهد بود. این تابع لگاریتمی چند ارزشی Ln z نشان داده می شود. بنابراین، اگر w = Ln z، آنگاه z = e w. بگذاریم

w = u + iv، z = r e ic = re iArg z.

re iArg z = z = e w = e u + iv = e u e iv .

با مقایسه اعداد ابتدا و انتهای این زنجیره به این نتیجه می رسیم که

r = e u , e i Arg z = e iv .(23)

از تساوی اول، u = ln r را پیدا می کنیم، جایی که ln r لگاریتم طبیعی یک عدد مثبت r است. تساوی دوم در (23) v = Arg z را به دست می دهد. بدین ترتیب،

Lnz = ln |z| + i Arg z.(24)

به هر عدد مختلط z، متفاوت از 0 و؟، فرمول (24) مجموعه ای نامتناهی از مقادیر Ln z را مرتبط می کند که با یکدیگر 2 pki متفاوت هستند، که در آن k هر عدد صحیحی است. نشان دادن Arg z در فرم راحت است

ارگ ز = ارگ ز + 2 рk، - р< arg z ? р,

جایی که arg z مقدار اصلی آرگومان است. سپس فرمول (24) شکل خواهد گرفت

Ln z = ln |z| +i(arg z + 2рk).(25)

برای هر مقدار k، تابع Ln z یک تابع تک مقداری پیوسته در صفحه مختلط با یک برش در امتداد نیم محور منفی است. همچنین در این ناحیه به عنوان تابعی معکوس نسبت به تابع تحلیلی e z تحلیلی است. بنابراین، برای هر k ثابت، فرمول (25) یک شاخه منظم از تابع چند ارزشی Ln z را تعریف می کند. این شاخه یک به یک صفحه را با برش در امتداد نیم محور منفی به صورت یک نوار ترسیم می کند.

Р + 2 рk< Im w < р + 2рk.

شاخه ای که در k = 0 به دست می آید با ln z نشان داده می شود و مقدار اصلی تابع چند ارزشی Ln z نامیده می شود:

ln z = ln |z| + i arg z.

به عنوان مثال، ln i = ln 1 + ip/2 = ip/2; ln(-i) = ln 1 -- iр/2 = --iр/2. اگر به نقطه z = -- 1 در امتداد نیمه صفحه بالایی y > 0 نزدیک شوید، آنگاه؛ اگر در پایین است، پس

برای تصور سطح ریمان تابع Ln z، بیایید تعداد بی نهایت کپی ("ورق") از صفحه را با برش در امتداد نیم محور منفی بگیریم و همانطور که در شکل نشان داده شده است آنها را به هم بچسبانیم. 8. بالای هر نقطه از صفحه، به جز نقاط z = 0 و z = ?

نقاط بی نهایت زیادی در سطح ریمان وجود دارد. در نقاط 0 و؟ تابع Ln z تعریف نشده است و هیچ نقطه سطحی بالای آنها وجود ندارد. نقاط z = 0 و z = ? نقاط انشعابی از نظم بی نهایت نامیده می شوند.

برنج. 8 به وضوح دلیل این را نشان می دهد که: اگر فرض کنیم که نقاط - 1 ± h، h > 0، روی یک صفحه از سطح ریمان هستند و h را به صفر هدایت می کنند، آنگاه موقعیت های محدود کننده این نقاط بر روی صفحات مختلف خواهد بود. سطح ریمان

می توان یک شاخه منظم از لگاریتم را نه تنها در منطقه D، که صفحه ای با برش در امتداد نیم محور منفی است، شناسایی کرد. اگر بخشی از هواپیما را در امتداد هر پرتویی بسازید، ناحیه حاصل به شما امکان می دهد یک شاخه معمولی را در آن جدا کنید. اجازه دهید برش در امتداد پرتویی که با زاویه ای نسبت به محور OX می رود انجام شود. سپس شاخه های منظم با فرمول زیر داده می شود: برای z = e isс

Ln z = ln r + i(t + 2рk)، و< ц < и + 2 р.

فرمول (25) یک مورد خاص برای u = - p است. مشتق هر شاخه منظم f (z) لگاریتم با استفاده از فرمولی مشابه فرمول مشتق تابع لگاریتمی یک متغیر واقعی پیدا می‌شود. این واقعیت از برابری (e z)" = e z و فرمول (19) مشتق تابع معکوس به دست می آید. در واقع، معکوس w = f(z) تابع z = e w است. از اینجا و از ( 19) بدست می آوریم

قدرت عمومی و توابع مثلثاتی. عملکرد ژوکوفسکی

1. تابع توان عمومی، که در آن یک عدد مختلط ثابت است، توسط رابطه تعیین می شود.

با فرض، Ln z = ln r + i(t + 2рk) را بدست می آوریم. از این رو،

این نشان می دهد که وقتی ماژول تعداد نامحدودی از مقادیر را به خود می گیرد. بنابراین، تابع با مقدار بی نهایت خواهد بود.

تابع توان عمومی، به موجب تعریف آن، امکان شناسایی شاخه های منظم را در مناطق مشابه با تابع لگاریتمی فراهم می کند. به عنوان مثال، در یک هواپیما با برش در امتداد پرتو. شاخه ای که در صفحه با برش در امتداد نیم محور منفی جدا شده است، شاخه اصلی تابع توان نامیده می شود. بر اساس قضیه مشتق یک تابع مختلط، برای هر شاخه منظم از یک تابع توان، برابری های زیر صادق است:

که در آن f (z) شاخه منظم تابع لگاریتمی Ln z است. ما فرمول معمول مشتق تابع توان را به دست آورده ایم:

2. به سراغ توابع مثلثاتی برویم. برای مقادیر واقعی x از فرمول اویلر چنین استنباط می شود

e i x = cos x + i sin x، e - i x = cos x -- i sin x.

از این رو cos x = ، sin x =. این فرمول ها به عنوان مبنایی برای تعریف زیر عمل می کنند.

توابع مثلثاتی متغیر مختلط z با تساوی ها تعریف می شوند

توابع تعریف شده به این ترتیب بسیاری از ویژگی های توابع مثلثاتی یک متغیر واقعی را حفظ می کنند. از تناوب تابع e z نتیجه می شود که توابع sin z و cos z تناوبی با دوره 2 p هستند و tg z و cot z تناوبی با دوره p هستند. تابع sin z فرد و cos z زوج است. واقعا،

برابری تابع cos z به روشی مشابه ثابت می شود. برای توابع تعریف شده توسط تساوی (26)، روابط مثلثاتی معمول معتبر است. مثلا،

sin 2 z + cos 2 z = 1, sin(z 1 + z 2) = sin z 1 cos z 2 + cos z 1 sin z 2 و غیره. همه این روابط از (26) ناشی می شود.

توابع sin z و cos z در سراسر صفحه C تحلیلی هستند و فرمول‌های تمایز معمول اعمال می‌شوند:

(سین ز) "= cos z، (cos z)" = - sin z.

اجازه دهید برای مثال، فرمول مشتق sinz را ثابت کنیم:

با استفاده از فرمول های مشتق ضریب، به دست می آوریم

با این حال، تمام ویژگی‌های توابع مثلثاتی یک متغیر واقعی زمانی که این توابع در صفحه مختلط گسترش می‌یابند حفظ نمی‌شوند. به طور خاص، sinz و cosz می توانند مقادیر بیش از 1 را در مقدار مطلق بگیرند.

3. توابع معکوس (26) را توابع مثلثاتی معکوس می نامند. از آنجایی که توابع مثلثاتی (26) تناوبی هستند، توابع معکوس آنها بی‌مقدار خواهد بود. با توجه به اینکه توابع (26) کاملاً ساده بر حسب نمایی بیان می شوند، توابع معکوس آنها را می توان بر حسب لگاریتم بیان کرد. اجازه دهید عبارت زیر را به دست آوریم، به عنوان مثال، برای w = Arccos z. از تعریف این تابع داریم

از آنجا e 2 i w -- 2ze i w + 1 = 0. با حل این معادله درجه دوم برای e i w، می یابیم (± را در جلوی علامت جذر حذف می کنیم، زیرا ریشه را به عنوان یک تابع دو مقدار می فهمیم که هر دو متناظر را می گیرد. ارزش های). از آخرین برابری که به دست می آوریم

به موجب رابطه، تغییر در علامت ریشه منجر به تغییر در علامت لگاریتم می شود. اما ریشه هر دو مقادیر "+" و "--" را می گیرد. این بدان معنی است که در بین مقادیر Arccos z مقادیری با هر دو "+" و "-" در جلوی لگاریتم وجود دارد. بنابراین، علامت "--" را می توان حذف کرد:

فرمول های مشابهی را می توان برای سایر توابع مثلثاتی معکوس ارائه داد:

در میان توابع ابتدایی یک متغیر مختلط، ما همچنین به توابع هذلولی sh z، ch z، th z و cth z اشاره می کنیم که با تساوی ها تعریف شده اند.

آنها بسیار ساده از طریق توابع مثلثاتی بیان می شوند:

sh z = -- i sin iz،

th z = -- i tg iz، cth z = i ctg iz،

و بنابراین تفاوت قابل توجهی با دومی ندارند.

تابع ژوکوفسکی تابع است

این تابع کاربردهای مهمی در تئوری بال هواپیما دارد و همچنین در ساخت تعدادی نگاشت همسان بسیار مفید است. در همه جا به جز در نقاط z = 0 و z = ? تحلیلی است. مشتق

در همه جا وجود دارد، به جز نقاط z = 0 و z = ?، و در z = 1 ± ناپدید می شود. بنابراین، نگاشت (30) در همه جا به جز نقاط 0، 1±،؟ مطابقت دارد.

بیایید بفهمیم که در چه شرایطی دو نقطه مختلف به یک نقطه می روند. اجازه دهید z 1؟ z 2 و.

نتیجه می شود که.

از z 1؟ z 2، سپس این برابری معادل شرط z l z 2 = 1 است.(31)

بنابراین، برای تک ظرفیتی تابع ژوکوفسکی در برخی از حوزه‌های D، لازم و کافی است که این دامنه شامل یک جفت نقطه متمایز که شرایط را برآورده می‌کنند نباشد (31). چنین مناطقی برای مثال بیرونی |z| هستند > 1 دایره واحد (در این مورد |z 1 z 2 | > 1) و داخلی |z|< 1 этого круга (|z 1 z 2 | < 1).

برای تجسم نقشه برداری (30)، اجازه دهید دریابیم که دایره ها (در شکل 9a با خطوط جامد نشان داده شده است) و پرتوها (نشان داده شده با خطوط نقطه چین) را به کدام منحنی ها تبدیل می کند. بیایید z = را قرار دهیم. سپس (30) در فرم بازنویسی می شود

از (32)

بیایید تصاویر دایره های r = r 0 را در نظر بگیریم. از (32) آمده است

با مجذور کردن این برابری ها، جمع کردن و تنظیم r = r 0، به دست می آوریم

معادله (33) معادله یک بیضی با نیم محور است

بنابراین، تصاویر دایره |z| = r 0 در صفحه z بیضی هایی در صفحه w وجود خواهد داشت (شکل 9b). اگر r 0 > 1 باشد، a r 0 > 1، b r 0 > 0. بنابراین، بیضی ها به بخش [--1,1] منقبض می شوند. برای r 0 بزرگ، تفاوت a r 0 -- b r 0 = کوچک است و بیضی ها کمی با دایره ها تفاوت دارند.

برای به دست آوردن تصویر پرتوها، تساوی (32) را به فرم تبدیل می کنیم

با مجذور کردن این برابری ها، دومی را از اولی کم کرده و تنظیم کنید

دریافت می کنیم (34)

معادله (34) معادله هذلولی با نیم محور است. در نتیجه، پرتوها در بخش‌هایی از هذلولاها نمایش داده می‌شوند (شکل 9b). بنابراین، تابع ژوکوفسکی یک به یک و به طور منسجم بیرون دایره واحد را بر روی قسمت بیرونی قطعه ترسیم می کند [-1،1].

از (30) به راحتی می توان دریافت که w(z) = w(l/z). تابع w = 1/z یک به یک و به طور منطبق با داخل دایره |z| نگاشت می کند< 1 на внешность этого же круга. Отсюда следует, что функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает также и внутренность единичного круга на внешность отрезка [--1,1].

...

اسناد مشابه

ماهیت نگاشت منسجم از نوع 1 و 2، یک تابع تحلیلی در یک حوزه معین. معنای هندسی آرگومان و ماژول تابع مشتق. بزرگی ضریب کشش در یک نقطه. حفظ یک تابع غیر صفر در بزرگی و ولتاژ.

ارائه، اضافه شده در 2013/09/17


تعریف مشتق تابع، معنای هندسی افزایش آن. معنای هندسی یک رابطه معین معنای فیزیکی مشتق یک تابع در یک نقطه معین. عددی که یک نسبت معین به آن گرایش دارد. تجزیه و تحلیل نمونه هایی از محاسبات مشتق.

ارائه، اضافه شده در 2014/12/18


حد نسبت افزایش یک تابع به افزایش یک آرگومان مستقل، زمانی که افزایش آرگومان به صفر میل می کند. نماد مشتق. مفهوم تمایز یک تابع مشتق و معنای هندسی آن. معادله مماس بر منحنی.

ارائه، اضافه شده در 2013/09/21


معنای هندسی مشتق. تجزیه و تحلیل رابطه بین پیوستگی و تمایزپذیری یک تابع. مشتقات توابع ابتدایی پایه قوانین تمایز. یافتن مشتق یک تابع به طور ضمنی مشخص شده. تمایز لگاریتمی

ارائه، اضافه شده در 11/14/2014


تابع مشتق. مماس بر یک منحنی. معنای هندسی مشتق. مشتقات از توابع ابتدایی. مطالعه توابع با استفاده از مشتقات حداکثر و حداقل توابع. نقاط عطف. دیفرانسیل.

مقاله، اضافه شده در 01/11/2004


مفهوم مشتق، قوانین کاربرد آن، معنای هندسی و فیزیکی یک مشتق. کاربرد مشتقات در علم و فناوری و حل مشکلات این حوزه. ارتباط حساب دیفرانسیل در ارتباط با پیشرفت علمی و فناوری

چکیده، اضافه شده در 1388/05/17


قانون یافتن مشتق حاصلضرب توابع. فرمول هایی برای یافتن مشتقات برای توابع مشخص شده به صورت پارامتری. معنای هندسی مشتق. توابع افزایشی و دیفرانسیل. بزرگترین و کوچکترین مقادیر در یک مجموعه بسته.

تست، اضافه شده در 2010/09/07


مفهوم نگاشت منسجم و ویژگی های اساسی آن اصول اولیه نگاشتهای همسان توابع یک متغیر مختلط، تشابهات هیدرودینامیکی و تفسیر آنها. کاربرد روش نگاشت منسجم در مکانیک پیوسته.

پایان نامه، اضافه شده در 2014/08/26


پاد مشتق تابع و انتگرال نامعین. معنای هندسی مشتق. مجموعه تمام پاد مشتق ها برای تابع f(x) در بازه X. مفهوم یک انتگرال. بررسی صحت نتیجه ادغام، نمونه هایی از مشکلات.

ارائه، اضافه شده در 2013/09/18


مسئله یافتن مدول و آرگومان اعداد داده شده، نمونه ای از راه حل. ناحیه تمایزپذیری یک تابع معین، بخش واقعی مشتق. قانون تعیین معادله تصویر یک منحنی. یافتن قسمت های واقعی و خیالی یک تابع.

سخنرانی شماره 4.

از نظر هندسی، تابعی از یک متغیر مختلط است w=f(z) نمایش یک مجموعه خاص را مشخص می کند z- هواپیما به یک مجموعه خاص w-سطح. نقطه wÎ جیتماس گرفت مسیر نکته ها zزمانی که نمایش داده می شود w=f(z)، نقطه zÎ D – نمونه اولیه نکته ها w.

اگر همه zفقط یک مقدار مطابقت دارد w=f(z، سپس تابع فراخوانی می شود بدون ابهام (w=|z|,w=,w= Re zو غیره) اگر برخی zبا بیش از یک مقدار مطابقت دارد w، تابع فراخوانی می شود چند معنایی (w=ارگ z).

اگر (به عنوان مثال در نقاط مختلف منطقه Dتابع مقادیر مختلفی می گیرد)، سپس تابع w=f(z) نامیده میشود یکپارچه کردن در منطقه D.

به عبارت دیگر تابع تک ظرفیتی w=f(z) یک به یک منطقه را نقشه برداری می کند Dبر جی. دارای صفحه نمایش تک ورق w=f(z) تصویر معکوس هر نقطه wÎ جیاز یک عنصر تشکیل شده است: : . از همین رو zرا می توان تابعی از یک متغیر در نظر گرفت w، تعریف شده در جی. تعیین و نامیده می شود تابع معکوس .

اگر در منطقه Dحداقل یک جفت نقطه و سپس تابع وجود دارد f(z) نامیده می شوند چند برگ در منطقه D.

اگر نمایش داده شود w=f(z) روی چند برگ است D(مثلا، w=z n، سپس در این مورد مقداری وجود دارد wÎ جیبا بیش از یک امتیاز مطابقت دارد zÎ D:f(z)=w. بنابراین، نگاشت معکوس تک ارزشی نیست، یک تابع چند ارزشی است.

تک رقمی در منطقه Dتابع w=f(z) نامیده میشود شاخه ای از یک تابع چند ارزشیاف، اگر ارزش داشته باشد fدر هر نقطه zÎ Dبا یکی از مقادیر مطابقت دارد افدر این نقطه

برای جداسازی شاخه های تک مقداری یک تابع چند مقداری، به صورت زیر عمل کنید: Dتوابع را به حوزه های تک ظرفیتی تقسیم کنید w=f(z) به طوری که هیچ دو منطقه دارای نقاط داخلی مشترک نیستند و هر نقطه zÎ Dمتعلق به یکی از این مناطق یا مرز برخی از آنها بوده است. در هر یک از این حوزه های تک ظرفیتی، یک تابع معکوس تعریف می شود w=f(z). این شاخه تک مقداری تابع چند ارزشی است.

مفهوم نقشه برداری منسجم

مثال.ضریب کشش و زاویه چرخش را در یک نقطه پیدا کنید z=2منهنگام نمایش .

■ مشتق و مقدار آن را در یک نقطه مشخص بیابید.

نسبت کشش کبرابر مدول مشتق: .

زاویه چرخش jبرابر برهان مشتق است. نکته در سه ماهه چهارم نهفته است، بنابراین، . ■

مثال 3.5.تعیین کنید که کدام قسمت از هواپیما در هنگام نمایش داده می شود w=z 2 کشیده شده است و کدام یک فشرده شده است.

■ یافتن مشتق w¢ = 2 z. عامل تنش در هر نقطه zبرابر است ک=|w¢( z)|=2|z|. مجموعه نقاطی در صفحه مختلط که برای آنها ک>1، یعنی 2| z|> 1 یا , بخشی از صفحه را تشکیل می دهد که هنگام نمایش کشیده می شود. بنابراین، هنگام نمایش w=z 2، بیرون دایره کشیده شده است و داخل آن فشرده شده است. ■

نمایش دادن w=f(z) نامیده میشود منسجم (یعنی شکل خود را حفظ می کند) در نقطه ای اگر زوایای بین منحنی ها را حفظ کند و خاصیت امتداد ثابت همسایگی نقطه را داشته باشد.

هر نقشه برداری که با استفاده از یک تابع تحلیلی ایجاد شود f(z) در تمام نقاطی که .

نقشه برداری نامیده می شود منسجم در منطقه ، اگر در هر نقطه از این منطقه مطابق باشد.

یک نگاشت منسجم که در آن جهت مرجع زوایا حفظ می شود نامیده می شود نگاشت منسجم از نوع اول . نگاشت منسجم که در آن جهت زوایا معکوس می شود نامیده می شود نگاشت همسان جنس II (مثلا، ).

در تئوری و عمل نگاشتهای همسو دو مسئله مطرح و حل شده است.

اولین کار این است که تصویر یک خط یا ناحیه معین را در زیر یک نقشه مشخص پیدا کنید - وظیفه مستقیم .

دوم این است که تابعی را پیدا کنید که یک خط یا ناحیه معین را به خط یا ناحیه معین دیگری نگاشت - مشکل معکوس .

هنگام حل یک مسئله مستقیم، در نظر گرفته می شود که تصویر یک نقطه z 0 هنگام نمایش w=f(z) یک نقطه است w 0، به طوری که w 0 =f(z 0) یعنی نتیجه تعویض z 0 اینچ f(z). بنابراین، برای پیدا کردن تصویر یک مجموعه، باید یک سیستم متشکل از دو رابطه را حل کنید. یکی از آنها تابع نگاشت را مشخص می کند w=f(z) دیگر معادله خط است، اگر مشکل یافتن تصویر خط در حال حل است، یا نابرابری که مجموعه نقاط پیش تصویر را تعیین می کند، اگر مشکل مناطق نقشه برداری حل شود. در هر دو مورد، روش حل به حذف متغیر کاهش می یابد zاز دو نسبت داده شده

قانون 3.3.برای پیدا کردن تصویر خط داده شده توسط معادله اف(ایکس,y)=0 (یا به صراحت y=j(ایکس))، هنگام نمایش w=f(z) لازم:

1. قسمت واقعی و خیالی تابع را انتخاب کنید f(z): تو=Re f(z), v=من f(z).

2. حذف از سیستم ایکسو تورابطه حاصل معادله تصویر این خط است.

قانون 3.4.برای پیدا کردن تصویر یک خط معین هنگام نمایش w=f(z) لازم:

1. معادله خط را به صورت پارامتریک بنویسید z=z(تی) یا به شکل پیچیده.

2. بسته به نوع معادله خط، مورد مربوطه را در نظر بگیرید:

اگر خط به صورت پارامتریک داده شده است، عبارت را جایگزین کنید z(تی) V w=f(z);

اگر خط به صورت مختلط داده شده است، بیان کنید zاز جانب w=f(z) یعنی و . سپس شما باید جایگزین کنید zو در معادله خط. رابطه حاصل معادله تصویر این خط است.

قانون 3.5.برای یافتن تصویری از یک منطقه معین، باید از یکی از دو روش استفاده کنید.

راه اول

1. معادله مرز این ناحیه را بنویسید. تصویر مرز یک منطقه معین را با استفاده از قوانین 3.3 یا 3.4 پیدا کنید.

2. یک نقطه داخلی دلخواه از یک منطقه مشخص را انتخاب کنید و تصویر آن را در زیر نقشه داده شده پیدا کنید. منطقه ای که نقطه حاصل به آن تعلق دارد، تصویر مورد نظر منطقه داده شده است.

راه دوم

1. اکسپرس zاز نسبت w=f(z).

2. آنچه را که در مرحله 1 دریافت کرده اید جایگزین کنید. عبارتی در یک نابرابری که یک منطقه معین را تعریف می کند. نسبت به دست آمده تصویر مورد نظر است.

مثال.پیدا کردن تصویر یک دایره | z|=1 وقتی با استفاده از یک تابع نمایش داده می شود w=z 2 .

■ 1 راه(طبق قانون 3.3).

1. اجازه دهید z=x+iy, w=u+iv. سپس u+iv =ایکس 2 -y 2 +من 2xy. ما گرفتیم:

2. حذف کنیم ایکسو دراز این معادلات برای انجام این کار، اجازه دهید معادله اول و دوم را مربع کرده و اضافه کنیم:

تو 2 +v 2 =ایکس 4 -2ایکس 2 y 2 +y 4 +2ایکس 2 y 2 =ایکس 4 +2ایکس 2 y 2 +y 4 =(ایکس 2 +y 2) 2 .

با در نظر گرفتن معادله سوم سیستم به دست می آید: تو 2 +v 2 =1 یا | w| 2 =1، یعنی | w|=1. بنابراین، تصویر دایره | z|=1 یک دایره است | w|=1، دو بار قابل پیمایش. این از این واقعیت ناشی می شود که از آن زمان w=z 2 سپس Arg w= 2 ارگ z+2pk. بنابراین زمانی که نقطه zیک دایره کامل را توصیف می کند | z|=1، سپس تصویر آن دایره | w|=1 دوبار.

2 راه(طبق قانون 3.4).

1. معادله دایره واحد را به صورت پارامتریک بنویسیم: z=آن را (0£ تی 2 پوند پ).

2. جایگزین کنیم z=آن رادر نسبت w=z 2: w=e من 2 تی=cos2 تی+منگناه 2 تی. بنابراین، | w| 2 = cos 2 2 تیگناه 2 2 تی=1، یعنی | w|=1 – معادله تصویر. ■

مثال.معادله تصویر یک خط را پیدا کنید y=xزمانی که نمایش داده می شود w=z 3 .

■ از آنجایی که منحنی به صراحت داده شده است، قانون 3.3 را اعمال می کنیم.

1. w=z 3 =(ایکس+iy) 3 =ایکس 3 +3ایکس 2 iy+3ایکس(iy) 2 +(iy) 3 =ایکس 3 - 3xy 2 +من(3ایکس 2 y-y 3).

2. در سیستم حاصل جایگزین می کنیم y=x: به استثنای ایکساز این معادلات به دست می آوریم v=-u.

بنابراین، تصویر نیمساز زوایای مختصات I و III سیستم xOyنیمساز زوایای مختصات II و IV سیستم است uOv. ■

1. تابع خطی

تابع خطیتابع فرم نامیده می شود

w=az+ب, (4.1)

جایی که آ, ب- ثابت های پیچیده

این تابع با، تعریف می شود. بنابراین، اگر، آنگاه تابع خطی یک نگاشت همسان از کل صفحه متغیر مختلط ایجاد می کند. در این حالت، مماس بر همه منحنی ها با یک زاویه Arg می چرخد آ، و کشش در همه نقاط برابر است. اگر a= 1، پس کشش یا چرخش وجود ندارد. در این صورت می گیریم w=z+b. این نقشه برداری کل صفحه را توسط یک بردار جابه جا می کند.

در حالت کلی، با حرکت به شکل نمایی نوشتن یک عدد مختلط، به دست می آوریم. بنابراین، یک نگاشت خطی ترکیبی از سه تبدیل هندسی است:

w 1 =rz- شباهت با ضریب r=|آ|;

w 2 =e i j w 1 =rze i j- یک زاویه بچرخانید j=arg آاطراف نقطه در باره;

w=w 2 +ب=re i j z+ب- انتقال موازی به بردار

بنابراین، نقشه برداری w=az+بابعاد خطی هر شکل صفحه ای را در | تغییر می دهد آ| یک بار، این شکل را یک زاویه می چرخاند j=arg آدر اطراف مبدا قرار می گیرد و آن را با مقدار آن در جهت بردار تغییر می دهد.

نگاشت خطی خاصیت دایره ای دارد، یعنی دایره ها را ترسیم می کند z- هواپیماها در یک دایره wهواپیما (و بالعکس)؛ خطوط مستقیم را به خطوط مستقیم تبدیل می کند.

مثال.تصویر محور را پیدا کنید OUزمانی که نمایش داده می شود w=2iz-3i.

■ 1 راه(طبق قانون 3.4). معادله محور را به صورت پارامتری انتخاب می کنیم.

1. از آنجایی که به صورت واقعی معادله محور اوه: ایکس=0, -¥<y<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<y<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран در.

2. جایگزین کنیم z=iyبه بیان w=2iz-3i: w=-2y-3من, -¥<y<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (در- پارامتر). با جداسازی قسمت های واقعی و خیالی، معادله تصویر را به صورت واقعی به دست می آوریم: تو=-2y, v=-3 یا v=-3، -¥<تو<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv، موازی با محور واقعی.

2 راه. ما از خاصیت دایره ای تبدیل خطی استفاده می کنیم - تصویر یک خط مستقیم یک خط مستقیم است. از آنجایی که یک خط مستقیم با تعیین دو نقطه تعریف می شود، در محور کافی است OUهر دو نقطه را انتخاب کنید و تصاویر آنها را پیدا کنید. خط مستقیمی که از نقاط پیدا شده می گذرد، خط مورد نیاز خواهد بود. بیایید نقاط را انتخاب کنیم z 1 =0, z 2 =من، تصاویر آنها w 1 =-3من, w 2 =-2-3منهنگام نقشه برداری، روی خط Im دراز بکشید w= -3 بنابراین، تصویر محور OUیک خط مستقیم است v=-3.

3 راه(هندسی). از رابطه w=2iz-3iبه دنبال آن است آ=2من, ب=-3من, |آ|=2، . این بدان معنی است که خط مستقیم داده شده (محور OU) باید با زاویه ای نسبت به مبدا چرخانده شود و سپس 3 واحد به پایین جابجا شود. کشش 2 برابر ظاهر هندسی خط اصلی را تغییر نمی دهد، زیرا از مبدأ عبور می کند. ■

مثال.چند تابع خطی که دایره | را نشان می دهد پیدا کنید z-i|=1 در هر محیط | w- 3|=2.

■ مسئله مطرح شده مسئله معکوس نظریه نگاشت است - با توجه به یک تصویر و پیش تصویر داده شده، نگاشت مربوطه را پیدا کنید. بدون شرایط اضافی، مشکل راه حل منحصر به فردی ندارد. اجازه دهید یک راه حل هندسی ارائه کنیم.

1. مرکز دایره را به سمت مبدا حرکت دهید. برای این کار نقشه برداری را اعمال می کنیم w 1 =z-i.

2. در هواپیما w 1 اجازه دهید یک نقشه برداری را اعمال کنیم که کشش 2 برابری می دهد، یعنی w 2 =2w 1 .

3. دایره را 3 واحد به راست تغییر دهید: w=w 2 + 3. در نهایت می رسیم: w=2(z-i)+3, w= 2z+3-2من- عملکرد مورد نیاز

می توانید ترتیب متفاوتی را برای انجام عملیات هندسی انتخاب کنید - ابتدا جابجا نشوید، بلکه بچرخانید یا کشش دهید. ■

2. تابع خطی کسری

کسری-خطیتابع فرم نامیده می شود

جایی که آ, ب,ج,د-اعداد مختلط به طوری که، .

خواص تبدیل خطی کسری

1 درجهمطابقت

نمایش دادن w=L(z) در تمام نقاط انتهایی صفحه مختلط به جز .

2 درجه دارایی دایره ای

تصویر یک خط مستقیم یا یک دایره در یک نگاشت خطی کسری w=L(z) خط مستقیم یا دایره است (و تصویر خط مستقیم می تواند دایره باشد یا خط مستقیم و تصویر دایره می تواند هم خط مستقیم باشد و هم دایره). تشخیص آن هنگام نمایش آسان است w=L(z) تمام خطوط مستقیم و دایره هایی که از نقطه عبور می کنند به صفحات مستقیم می روند ( w) و تمام خطوط مستقیم یا دایره هایی که از نقطه عبور نمی کنند د، - در محیط هواپیما ( w).

3 درجهعدم تغییر رابطه دوگانه

این رابطه تحت یک نگاشت خطی کسری حفظ می شود، یعنی تغییر ناپذیر آن است. این رابطه نامیده می شود نسبت دو برابر چهار امتیاز. بنابراین، تبدیل خطی کسری به طور منحصر به فرد با مشخص کردن سه نقطه و تصاویر آنها تعیین می شود: . با استفاده از این جفت ها، می توانید یک تابع خطی کسری را با استفاده از فرمول پیدا کنید:

این فرمول همچنین می تواند در مورد زمانی که برخی از اعداد اعمال می شود z kو هفتهاگر از قانون استفاده می کنید به ¥ تبدیل می شود: تفاوتی که در آن نماد ¥ رخ می دهد باید با 1 جایگزین شود.

4 درجهحفظ تقارن

اگر امتیاز z 1 و z 2 در مورد برخی از خط یا دایره متقارن هستند g، سپس برای هر نگاشت خطی کسری w=L(z) تصاویر آنها w 1 و w 2 نسبت به تصویر متقارن خواهد بود g: .

تقارن در مورد یک خط مستقیم به معنای معمول درک می شود.

نکته ها zو z*نامیده می شوند متقارن در مورد دایره |z-z 0 |=آر، اگر روی همان پرتویی که از مرکز دایره بیرون می آید بخوابند و حاصل ضرب فواصل آنها از مرکز دایره برابر با مربع شعاع آن باشد.

|z-z 0 |×| z*-z 0 |=آر 2 . (4.4)

یک نقطه متقارن به یک نقطه z 0 - مرکز دایره واضح است که نقطه بی نهایت است.

5 درجهاصل تطبیق پیمایش مرز (نمایش مناطق محدود شده توسط خطوط یا دایره ها)

اگر در یک نگاشت خطی کسری، یک خط مستقیم یا یک دایره باشد gبه یک خط مستقیم یا دایره تبدیل می شود g¢، سپس منطقه D، که محدود است g، به یکی از دو ناحیه ای که محدود شده اند تبدیل می شود g¢. در این صورت اصل مطابقت بای پس مرزی صورت می گیرد: اگر در حین دور زدن خط gمنطقه Dمعلوم می شود که در سمت چپ (راست)، سپس با پیمایش مربوطه از خط است g¢منطقه D¢همچنین باید در سمت چپ (راست) باشد.

مثال.تابع خطی کسری را پیدا کنید w=L(z)، به طوری که w(من)=2من, w(¥)=1، w(-1)=¥.

■ بیایید نشان دهیم z 1 =من, z 2 =¥، z 3 =-1 و w 1 =2من, w 2 =1, w 3 =¥. اجازه دهید فرمول (4.3) را به جای تفاوت های موجود اعمال کنیم z 2 و w 3 تا ¥:

بیایید تبدیل کنیم: - w-wi+ 2من- 2=wz-wi-z+i Û w(z+1)=z-2+منÛ تابع مورد نیاز است. ■ :w =1 و Im w=0.

2. اکنون مطابق بند 2. قانون 3.5، یک نقطه دلخواه را انتخاب کنید، به عنوان مثال، z=-1О D. تصویر آن در زیر یک نقشه داده شده، بین خطوط Im قرار دارد w=1 و Im w=0. بنابراین، تصویر ناحیه داده شده نوار 0 خواهد بود< Imw<1. ■

3. تابع نمایی

تابع نمایی یک متغیر مختلطz=x+iyتابعی نامیده می شود که با exp نشان داده می شود z("نمایش" را بخوانید z") و با فرمول تعریف شده است

خواص انقضا z

1 درجهاگر , سپس exp z= انقضا ایکس=سابق، یعنی در محور واقعی، تابع نمایی یک متغیر مختلط با تابع نمایی یک متغیر واقعی منطبق است. بنابراین، همراه با نماد exp z pموازی با محور واقعی:

اگر مثلاً، .

8 درجهتابع نمایی تحلیلی است بر روی , (exp z)¢ = انقضا z.

مثال.قسمت واقعی، خیالی، مدول و مقدار اصلی آرگومان یک عدد را پیدا کنید ه 2- من.

■ از تعریف تابع نمایی یک متغیر مختلط استفاده می کنیم. اجازه دهید z=2-من, ایکس=Re z=2, y=من z=-1.

سپس . از این رو،

همچنین می توانید به جای تعریف از قضیه جمع و فرمول اویلر (1.7) استفاده کنید. ■

نمایش دادنw = انقضا z

سیستم های الکترود با میدان های الکترواستاتیکی دو بعدی پیچیده را می توان با استفاده از روش نگاشت conformal محاسبه کرد. ایده اصلی این روش جایگزینی فیلدهای پیچیده با فیلدهای ساده است که راه حل های آن مشخص است. چنین میدان های ساده ای شامل میدان های یک خازن مسطح یا استوانه ای دور از لبه های آنها می شود. روش نگاشت هم‌شکل یک کاربرد عملی از نظریه توابع یک متغیر مختلط است. نگاشت منسجم یک نگاشت پیوسته است که شکل ارقام بینهایت کوچک (بی نهایت کوچک) را حفظ می کند. برای یک نگاشت منسجم، خاصیت ثبات زوایا و ثبات امتدادها برآورده می شود. نام از لاتین پسین آمده است - مطابقت دارد– نگاشت مشابه و پیوسته که شکل ارقام بینهایت کوچک را حفظ می کند: به عنوان مثال، b.m. دایره b.m باقی می ماند. اطراف؛ زوایای بین خطوط در نقطه تلاقی آنها با یکدیگر تغییر نمی کند. حوزه کاربرد روش نگاشت هم‌شکل برای محاسبه میدان‌های الکتریکی، میدان‌های الکترواستاتیکی دو بعدی است.

تبدیل همسو هر نقطه را ترسیم می کند z=ایکس+j×yمیدان محاسبه واقعی، توصیف شده توسط یک صفحه پیچیده، به یک نقطه w=تو+j×vیک صفحه پیچیده دیگر، با پیکربندی میدانی ساده تر. مشکل اصلی روش یافتن نوع عملکرد برای یک سیستم الکترود واقعی معین است. در عمل، هنگام تلاش برای یافتن یک تابع نگاشت منسجم، آنها یا از کاتالوگ های ویژه نگاشت های منسجم استفاده می کنند یا از طریق آزمایش های متوالی آن را جستجو می کنند.

بیایید فرض کنیم که شکل تغییر شکل را می دانیم z=f(w)یا تبدیل معکوس w=f(z)که یک تناظر یک به یک بین دو صفحه پیچیده با ( z) و ساده ( w) پیکربندی فیلد. ضریب تبدیل نسبت است dw/dz.

روابط زیر در اینجا استفاده می شود:

, . (2.94)

به همین ترتیب می توانیم بنویسیم:

. (2.95)

دو عدد مختلط در صورتی مساوی هستند که اجزای واقعی و فرضی آنها برابر باشند. با مقایسه مقادیر ضریب تبدیل داده شده در عبارات (2.93) و (2.95)، می توانیم بنویسیم:

عبارات (2.96) به عنوان شرایط کوشی-ریمان شناخته می شوند. با استفاده از اشکال مختلف نمایش اعداد مختلط، ضریب تبدیل را می توان به صورت زیر نوشت:

جایی که ضریب تغییر طول قطعات در طول تبدیل است و tg(j) = b/a(j زاویه چرخش قطعات در حین تبدیل است). از روابط کوشی-ریمان، به دست می آوریم:

(2.99)

از روابط (2.97) - (2.98) نتیجه می شود که ضریب تبدیل منسجم مشدت میدان الکتریکی نسبی و هر یک از توابع است توو vمی تواند به عنوان یک پتانسیل در صفحه پیچیده جدید انتخاب شود w=f(u,v). این نتیجه گیری را می توان از طریق دیگری تأیید کرد. اگر توابع توو vرا می توان به عنوان یک پتانسیل انتخاب کرد، سپس هر یک از آنها باید معادله لاپلاس را برآورده کند: D تو=0 و D v=0. این را می توان با تمایز مجدد مستقیم شرایط کوشی-ریمان تأیید کرد. اجازه دهید شرط اول را با توجه به آن متمایز کنیم ایکس، و دومی در; نتیجه را جمع کنید؛ بیایید تمام مشتقات مهم را به سمت چپ نماد منتقل کنیم و صفر را در سمت راست بگذاریم:

; ; . (2.100)

از عبارت به دست آمده نتیجه می شود که تابع تومعادله لاپلاس (1.25)، (1.30) را برآورده می کند و می تواند به عنوان یک پتانسیل در نظر گرفته شود. بیایید شرط اول را با توجه به آن متمایز کنیم در، و 2 - توسط ایکس:

; ; , (2.101)

آن ها و عملکرد vهمچنین معادله لاپلاس را برآورده می کند و همچنین می تواند به عنوان یک پتانسیل در نظر گرفته شود. از آنجایی که نیرو و خطوط هم پتانسیل در هواپیما z=f(x,y)متقابلاً عمود هستند، و تبدیل مطابق، زوایای بین خطوط را در نقطه تقاطع آنها بدون تغییر باقی می گذارد، سپس از (2.97) ¸ (2.101) نتیجه می گیرد که اگر تابع توبه عنوان مثال، به عنوان یک پتانسیل، سپس خط با v=const - یک خط نیرو است. اگر v- پس بالقوه تو=const – خط برق. کدام یک از توابع تویا vیک پتانسیل است، و که یک خط نیرو است، باید از تجزیه و تحلیل تبدیل همسان میدان در صفحه اصلی تعیین شود. z=f(x,y)در یک مزرعه در هواپیما w=f(u,v).هر عملکردی z=f(w)(یا w=f(z))راه حلی برای هر مشکلی در الکترواستاتیک به ما می دهد. شما می توانید یک تابع دلخواه پیدا کنید، راه حل هایی برای آن پیدا کنید، و سپس سیستم الکترود مناسب را برای راه حل های یافت شده انتخاب کنید. راه حل های بسیاری برای مسائل الکترواستاتیک با استفاده از این روش (به عقب) یافت شد.

هنگام یافتن شدت میدان الکتریکی با استفاده از روش نگاشت conformal، شرایط مهم زیر باید در نظر گرفته شود. الگوی میدان الکتریکی به طور کامل توسط پارامترهای هندسی سیستم الکترود، بدون توجه به مقیاس فضایی و ولتاژ اعمال شده تعیین می شود. بنابراین، میدان را می توان با شدت در واحد ولتاژ یا طول توصیف کرد. عبارات (2.97) - (2.98) دقیقاً چنین تنش نسبی را نشان می دهد. برای به دست آوردن ولتاژ واقعی، باید ولتاژ اعمال شده واقعی و فاصله واقعی بین الکترودها را در نظر گرفت. این کار با ضرب عبارات (2.97) - (2.98) در ضریب مقیاس انجام می شود. K m. فاصله بین الکترودها را در هواپیما بگذارید wبرابر است تو 2 -تو 1 (v 2 -v 1) اگر توابع تویا v، به ترتیب. سپس ضریب مقیاس به شکل زیر در می آید:

K m= U/(تو 2 -تو 1) یا K m= U/(v 2 -v 1). (2.102)

خازن استوانه ای.اگرچه محاسبه میدان الکترواستاتیک یک خازن استوانه ای در §2.5 آورده شده است، ما آن را به عنوان نمونه ای از کاربرد روش نگاشت conformal در نظر می گیریم. میدان یک خازن استوانه ای (میدان دو دایره متحدالمرکز) در یک صفحه xyبا تبدیل زیر می توان به یک میدان یکنواخت (میدان یک خازن صفحه موازی) نگاشت:

z = e w; x + j×y = e u+jv = e u(Cos v+j×گناه v).

بیایید بخش واقعی و خیالی را از هم جدا کنیم:

خط مستقیم در یک هواپیما واقعی z، از مبدا با زاویه میل به محور عبور می کند ایکسبرابر v=const به یک خط مستقیم در صفحه تبدیل می شود w، موازی با محور x.

در تو= ثابت در هواپیما wسیستمی از خطوط مستقیم موازی با محور ارتین به دست می آید. روی سطح zآنها با سیستمی از دایره های متحدالمرکز مطابقت دارند. واضح است که خطوط با تو= const باید به عنوان خطوط پتانسیل و v- فراتر از خطوط میدان. ما کشش را با استفاده از فرمول (2.97) محاسبه می کنیم:

طول قطعه کوچکی که هنگام انتقال از صفحه تبدیل می شود zبه هواپیما wتغییر به 1/ rزمان هایی که r- فاصله تا مرکز دایره ها هر چه از مرکز دورتر باشد، ضریب تغییر در طول قطعات کوچکتر است. قطعه منتقل شده با زاویه j = arctg(- می چرخد y/x). زاویه بین پرتوی که از مبدا تا وسط قطعه تبدیل شده و محور می آید ایکسبرابر صفر می شود. همه شعاع ها روشن است z- هواپیماها تبدیل می شوند w- صفحات در یک خط موازی با محور تو. ضریب مقیاس

تنش

(2.103)

فرمول به دست آمده (2.103) همانطور که انتظار می رود به دلیل قضیه منحصر به فرد بودن، با بیان (2.18) که با استفاده از قضیه Ostrogradsky-Gauss به دست آمده است، مطابقت دارد.

میدان در داخل یک زاویه قائمه تشکیل شده توسط دو صفحه

به عنوان مثال دیگری از کاربرد روش نگاشت هم‌شکل، اجازه دهید میدانی را در نظر بگیریم که توسط دو صفحه رسانای نامتناهی عمود بر یکدیگر تشکیل شده است. بدیهی است که چنین سیستم الکترودی دارای تقارن انتقالی با یک گام انتقال بینهایت کوچک در امتداد صفحات و یک صفحه تقارن است که با زاویه 45 درجه از هر یک از صفحات عبور می کند. چنین میدانی به یک میدان دو بعدی کاهش می یابد و برای تعیین پارامترهای آن کافی است مشخصات میدان بین یکی از صفحات و صفحه تقارن محاسبه شود. برای میدان های دو بعدی می توان از روش نگاشت conformal استفاده کرد. فیلد در z- صفحه ای عمود بر خط تقاطع صفحات باردار، نشان داده شده در شکل 2.20a. پشت محورها ایکسو درخطوط تقاطع هواپیماهای باردار با z- تخت. میدان داخل زاویه سمت راست که توسط دو صفحه تشکیل شده است با تبدیل به یک میدان یکنواخت تبدیل می شود w = z 2. بیایید این را نشان دهیم:

w= تو+jv = z 2 = (ایکس+جی) 2 = ایکس 2 + j 2xy – y 2 ; تو = ایکس 2 – y 2 ; v = + j 2xy.

در تو= خطوط موازی با محور vروی سطح w، به خانواده ای از هذلول های متساوی الاضلاع تبدیل می شوند ایکس 2 – y 2 = آ 2 در هواپیما z. محور 0 ایکسمحور واقعی (کانونی) هذلولی ها و محور است درمحور خیالی آن خط مستقیمی که از مبدأ با زاویه 45 درجه نسبت به محور عبور می کند ایکس (تو = 0; y = ایکس) نشان دهنده خط تقاطع است z- صفحه ای با صفحه تقارن و مجانبی از هذلول ها. زاویه تقاطع هذلولی ها با محور ایکسبرابر 90 درجه، یعنی. خطوط تابع تو=ایکس 2 -در 2 عمود بر خط هم پتانسیل ایکس(سطح هواپیمای شارژ شده ایکس).

کارکرد v = 2xyدر مقادیر مختلف vخانواده دیگری از هذلول های متساوی الاضلاع را که محورهای آن ها شرح می دهد ایکسو درمجانب و خط هستند در = ایکسمحور کانونی است. شکل 2.20a هذلولی با v= 4، 16، 36. وقتی vهذلولی = 0 در محور مختصات تخریب می شود ایکسو در، که با هواپیماهای شارژ شده منطبق است. از آنجایی که سطح صفحات باردار سطحی با همان پتانسیل است، بدیهی است که تابع آن است vباید به عنوان یک تابع بالقوه در هواپیما در نظر گرفته شود w. در این مورد تابع تویک تابع نیرو را نشان می دهد. میدان دو صفحه بی نهایت عمود بر هم (محور ایکسو دربر z- صفحه) به میدان یکنواخت یک صفحه باردار بی نهایت (محور) تبدیل می شود vبر w- هواپیما).

دگرگونی مطابق با حفظ شکل شکل های بینهایت کوچک، می تواند به طور قابل توجهی شکل فیگورهای محدود را تغییر دهد. نمونه ای از چنین تغییری تبدیل یک مربع است آ ب پ تبا مختصات آ(0,8;0,8), ب(0,8;4), ج(4;4), د(4; 0.8) در z- صفحه به یک چهارضلعی منحنی a¢b¢c¢d¢با مختصات a¢(0;1,28), ب¢(-15,36;6,4), ج ¢(0;32), d¢(15.36;6.4) در w- هواپیماها

اجازه دهید قدرت نسبی میدان الکترواستاتیک صفحات باردار را در شکل 2.20a تعیین کنیم. از دو فرمول (2.97) و (2.98) برای تعیین کشش از (2.98) استفاده می کنیم، زیرا تابع است. v = 2xyسیستمی از سطوح هم پتانسیل (خطوط) را توصیف می کند. ضریب تبدیل خطی:

, (2.104)

طول قطعه کوچک تبدیل شده هنگام انتقال از z- هواپیماها w- هواپیما 2 افزایش می یابد rزمان هایی که r=ایکس 2 +در 2 - فاصله در z- صفحه از مبدا تا مرکز قطعه. قطعه منتقل شده توسط یک زاویه j = arctan( y/x). زاویه بین پرتوی که از مبدا به وسط قطعه و محور می رود دو برابر می شود. ایکس. ضریب مقیاس K m = U/(v 2 -v 1) = U/(2ایکس 2 y 2 -2ایکس 1 y 1). قدرت میدان با ضرب قدرت نسبی در ضریب مقیاس تعیین می شود: E=E¢×K متر. بگذارید ضریب مقیاس باشد K m= 100 v/m. اجازه دهید قدرت میدان را در دو نقطه از صفحه باردار تعیین کنیم: نزدیکتر به زاویه تقاطع صفحات n 1(1;0) و دور از آن n 2 (5;0).

V/m، ×v/m.

هر چه به گوشه نزدیکتر باشد، قدرت میدان کمتر می شود. این نتیجه را می توان از تصویر میدانی در شکل 2.20 انتظار داشت: فاصله بین خطوط هم پتانسیل با فاصله از گوشه کاهش می یابد. هر فرورفتگی ( فرورفتگی، فرورفتگی، غار، ترک و غیره) روی سطح الکترود را می توان تقریباً با مشکل در نظر گرفته توصیف کرد. سپس با در نظر گرفتن نتایج پاراگراف قبل می توان نتیجه گرفت: در نزدیکی نوک یا برآمدگی، شدت میدان الکتریکی افزایش می یابد و در نزدیکی فرورفتگی یا سوراخ ضعیف می شود. تصویر مشابهی در شکل 2.20a از رفتار نیرو و خطوط هم پتانسیل در نزدیکی نقطه انشعاب میدان از دو بار همنام مشاهده شده است (§2.11).

میدان در لبه خازن تخت (پروفایل روگوفسکی)

بیایید مبدا مختصات را در قرار دهیم z- هواپیماها به طوری که محور ایکسموازی با صفحات خازن و در همان فاصله از آنها قرار داشت آ. محور درعمود بر صفحات و از لبه های آنها عبور می کند. تابع نگاشت میدان در لبه یک خازن مسطح به یک میدان یکنواخت توسط Yu K. Maxwell در سال 1881 به شکل زیر بدست آمد:

. (2.105)

پس از جداسازی متغیرها به دست می آید:

در v I= 0, y = 0, . در v II= p، y= یک، .

بدیهی است که تابع پتانسیل باید به عنوان انتخاب شود v.

,

با توجه به اینکه K m=U/(v II -v I) = U/پ

(2.106)

در تو < -5 в области от v I=0 به v II=p، یک میدان تقریبا یکنواخت با قدرت به دست می آید U/a. در توولتاژ ®0 در الکترود ( v=v II = p) به شدت افزایش می یابد و به عنوان بی نهایت میل می کند تو=0. بالاترین تنش در سیستم های واقعی از بین نمی رود:

. (2.107)

در ضخامت محدود صفحه خازن v¹p و کشش محدود می ماند. اندازه vباید طوری انتخاب شود که سطح هم پتانسیل با سطح واقعی صفحه خازن منطبق باشد. اجازه دهید v= 174 درجه = 29p/30، سپس نسبت ولتاژ لبه الکترود به ولتاژ متوسط:

.

می توان دید که حتی در یک لبه نسبتاً صاف، کشش به شدت افزایش می یابد. اگر سطح الکترود به شکل یک سطح هم پتانسیل با v£ p/2. این پروفیل الکترود پروفیل روگوفسکی نامیده می شود (شکل 2.21c). در یک فاصله آ= p (فاصله بین صفحات 2p است) دارای مختصات است v= p/2 و برای آن ایکس = تو+1; y= p/2+ e u، یعنی در= p/2+ ه (ایکس-1) (2.108)

پروفیل روگوفسکی در آزمایش‌های مربوط به شکست در میدانی نزدیک به یکنواخت برای حذف اثر لبه از اهمیت عملی بالایی برخوردار است. یک میدان یکنواخت در مرکز دستگاه با الکترودهای روگوفسکی وجود دارد.

زمینه سیم های شکاف.

در خطوط برق فشار قوی، سیم فاز به چند هادی تقسیم می شود تا تلفات برق انتقالی ناشی از تخلیه کرونا کاهش یابد. برای توصیف فیلد تقسیم

سیم ها می توانید از عملکرد نمایش استفاده کنید که در آن n –

تعداد هادی هایی که سیم فاز به آنها تقسیم می شود. برای نشان دادن روش نگاشتهای همسان، تقسیم را به دو سیم در نظر بگیرید ( n=2). (توجه داشته باشید که این مورد به سادگی با استفاده از روش تصویر قابل حل است)

اجازه دهید هواپیما zعمود بر سیم های شکاف. بیایید یک محور را انتخاب کنیم ایکسبر zصفحه به طوری که از محور سیم ها عبور کند. اجازه دهید محور yاز وسط قسمت بین سیم ها عبور می کند. اگر غیر توابعی را پیدا کنیم راه حل بسیار ساده می شود x، y=f(u,v)و توابع u,v = f(x,y). با تفکیک قسمت های واقعی و خیالی به دست می آید:

,

خطوط هم پتانسیل با تابع مطابقت دارد تو. برای عملکرد توبرابر صفر بود، لگاریتم باید برابر با صفر باشد، و عبارت در پرانتز باید برابر با 1 باشد. سپس این رابطه برقرار است:

(ایکس 2 +در 2) 2 = 2آ 2 (ایکس 2 -در 2)

این تابع از مبدا عبور می کند z- هواپیماها در تودر محدوده -1.28< تو < 0 на z- صفحه، مناطق دایره ای در سمت راست و چپ محور مشاهده می شود در. در تو£ 1.28 عملا نقاط با مختصات هستند ایکس = -آو ایکس = آ. در تو> 0 راه حل ها منحنی های بسته هستند که با افزایش آن ها تونزدیک شدن به شکل دایره ها این منحنی ها خطوط میدان بالقوه دو استوانه را با بارهای یک علامت نشان می دهند، یعنی. میدان های دو سیم با پتانسیل یکسان. نقاط روی سطح سیم ها بیشترین توجه را دارند آر 2 و آر 1 که در آن به ترتیب بیشترین و کمترین شدت میدان مشاهده می شود. نقطه آر 2 روی سطح سیم در دورترین نقطه از سیم دیگر قرار دارد و مختصاتی دارد:

,

با در نظر گرفتن ضریب مقیاس برای نقطه p 2 به دست می آوریم:

. (2.109)

در s®0، سیستم الکترود به سیستمی از دو سیلندر کواکسیال تبدیل می شود. ب=0, س= 0) (نگاه کنید به (2.18)):

معمولاً برای یک خط برق p ³ 200.

سوالات خودآزمایی

1. معادلات اساسی لاپلاس در فضا، میدان همگن و صفحه موازی را بیاورید.

2. فرمول هایی برای محاسبه پتانسیل و قدرت میدان بار نقطه ای ارائه دهید. ظرفیت یک توپ فلزی را مشخص کنید.

3. فرمول هایی برای محاسبه پتانسیل و قدرت میدان یک سیم مستقیم بی نهایت نازک با طول بی نهایت ارائه دهید.

4. مناطق با حداکثر قدرت میدان کابل کواکسیال کجا هستند. قطر بهینه هسته داخلی را برای اندازه مشخصی از پوسته بیرونی و اختلاف پتانسیل بین آنها را بیابید. ظرفیت خطی کابل کواکسیال را تعیین کنید.

5. چرا کابل ها با عایق از انواع دی الکتریک ساخته می شوند؟

6. طراحی ورودی خازن و هدف آن را توضیح دهید.

7. روش همپوشانی چیست و خازن جزئی چیست؟

8. دوقطبی الکتریکی چیست، میدان دوقطبی چه ویژگی هایی دارد؟ برای توضیح چه پدیده هایی از مفهوم دوقطبی استفاده می شود؟

9. شباهت ها و تفاوت های فیلدهای دو بار مشابه و غیر مشابه چیست؟

10. میدان دو محور بی نهایت با بار مخالف را به صورت گرافیکی به تصویر بکشید. فرمول هایی برای محاسبه چنین سیستمی ارائه دهید و نقاط با حداکثر قدرت میدان را مشخص کنید.

11. روش بازتاب چیست؟ ماهیت روش را با استفاده از مثال محاسبه پارامترهای میدان یک سیم تک بالای زمین توضیح دهید.

12. روشی برای محاسبه پارامترهای میدان بار نقطه ای واقع در نزدیکی یک توپ فلزی ارائه دهید.

13. شدت میدان الکتریکی را روی سطح یک سیم واحد که در بالای زمین قرار دارد، تعیین کنید.

14. چگونه پارامترهای میدان یک خط سه فاز را تعیین کنیم؟

15. حداکثر ولتاژ شکاف توپ را تعیین کنید.

16. روشی برای یافتن پارامترهای میدان ایجاد شده توسط هادی با طول محدود ارائه دهید.

17. روشی برای یافتن پارامترهای میدان ایجاد شده توسط شارژ حلقه ارائه دهید.

18. روشی برای یافتن پارامترهای میدان ایجاد شده توسط یک دیسک شارژ شده ارائه دهید.

19. پارامترهای میدان چگونه به شعاع انحنای سطح الکترود بستگی دارد؟ چرا سطوح الکترودهای فشار قوی باید صاف و زمین شوند؟

20. ماهیت روش نگاشت منسجم را توضیح دهید و ترتیب محاسبات را با استفاده از این روش فهرست کنید.

21. پروفایل روگوفسکی چیست؟

22. بار فضایی چگونه به وجود می آید و چگونه ویژگی های میدان الکتریکی را تغییر می دهد؟

23. کدام یک از ویژگی های میدان الکتریکی مشابه انرژی است؟

24- کدام یک از ویژگی های میدان الکتریکی مشابه نیرو است؟

25. برای چه منظوری هادی یک فاز به چند هادی موازی در خطوط برق با ولتاژ نامی 330 کیلو ولت و بالاتر تقسیم می شود؟ نقاط با حداکثر کشش روی سیم های تقسیم شده را نشان دهید. فاصله هادی های شکاف چقدر است؟

26. قدرت میدان الکتریکی در نزدیکی سطح زمین کجا بیشتر است: در یک فرورفتگی (حفره، دره) یا در یک ارتفاع (تپه، تپه)؟ پاسخ خود را به صورت گرافیکی و با محاسبات توضیح دهید.

27. قدرت میدان الکتریکی در سطح زمین تحت یک خط برق تک مدار با سیم های فاز افقی چگونه تغییر می کند؟

28. الگوریتمی برای محاسبه ظرفیت زمین یک خط هوایی سه فاز ارائه دهید.

29. صفحه های رینگ برای چه منظوری بر روی دستگاه های فشار قوی نصب می شوند؟

30. فرمول های محاسبه پارامترهای یک خازن استوانه ای را استخراج کنید.

در اینجا با جزئیات بیشتری در مورد روش های هندسی تئوری توابع تحلیلی تحلیلی و تعمیم یافته صحبت خواهیم کرد که بیشتر از آنها در کاربردها استفاده خواهیم کرد.

§ 10. مسئله ریمان

این مسئله ارزش مرزی اصلی تئوری نگاشتهای منسجم قبلاً در فصل قبل مورد بحث قرار گرفته است. این شامل ساختن یک نگاشت منسجم از یک منطقه به منطقه دیگر است.

وجود و منحصر به فرد بودن.بیایید با این نکته شروع کنیم که کافی است یاد بگیریم که چگونه یک منطقه دلخواه متصل به هم را به صورت منطبق بر روی یک دایره نگاشت کنیم، و سپس می‌توانیم هر دو منطقه از این قبیل را مطابق با یکدیگر نگاشت کنیم.

این تذکر مبتنی بر دو ویژگی ساده نقشه‌های هم‌شکل است: 1) معکوس یک نقشه هم‌نظم و 2) یک نقشه پیچیده متشکل از دو نقشه هم‌شکل (یعنی نقشه) دوباره نقشه‌های هم‌شکل هستند. ویژگی ها از تعریف یک نگاشت منسجم به عنوان یک تبدیل تحلیلی یک به یک و از قوانین تمایز توابع معکوس و پیچیده مشخص هستند.

با داشتن این ویژگی ها، اثبات این نکته اصلاً دشوار نیست: اگر توابع به ترتیب دامنه ها را بر روی واحد نگاشت کنند.

دایره بزنید سپس تابع روشن خواهد شد

مشکل ریمان در آغاز این قرن تکمیل شد. معلوم شد که هر منطقه به سادگی متصل که مرز آن از بیش از یک نقطه تشکیل شده است، می‌تواند به صورت منطبق بر روی دایره واحد نگاشت شود. این قضیه معروف ریمان است که او در سال 1851 با ملاحظات فیزیکی آن را فرموله کرد، اما آن را ثابت نکرد (به طور دقیق تر، اثبات او شکاف قابل توجهی داشت).

اجازه دهید به این سؤال بپردازیم که مسئله ریمان چقدر تعریف شده است، با توجه به این نکته، برای حل این سؤال کافی است که دریابیم به چند روش می توان دایره واحد را به طور منطبق بر روی آن ترسیم کرد. خودش بررسی اینکه برای هر عدد مختلط و هر عدد واقعی تابع آسان است

دایره را مطابق با خودش نگاشت می کند (در واقع، با ما داریم و بنابراین، یعنی (1) دایره واحد را به خودش تبدیل می کند؛ علاوه بر این، یک به یک است، زیرا معادله (1) به طور منحصر به فردی با توجه به و قابل حل است. نقطه a از دایره را به مرکز آن می برد). نقشه برداری (1) به سه پارامتر واقعی بستگی دارد - دو مختصات نقطه a که به مرکز دایره می رود و عدد 0 که تغییر آن به معنای چرخش دایره نسبت به مرکز است.

می توان ثابت کرد که فرمول (1) شامل تمام نگاشتهای همسان دیسک واحد بر روی خودش است. این بدان معنی است که خودسری در حل مسئله ریمان با سه پارامتر واقعی از بین می رود:

اگر مطابقت سه جفت نقطه مرزی را مشخص کنیم (موقعیت یک نقطه روی مرز با یک پارامتر مشخص شده است) یا مطابقت یک جفت نقطه داخلی (دو پارامتر) را مشخص کنیم، نگاشت هم‌نوع یک منطقه به منطقه دیگر به طور منحصر به فردی تعیین می‌شود. و یک جفت نقطه مرزی دیگر (یک پارامتر). چنین شرایطی که به طور منحصر به فرد نگاشت را تعیین می کنند - به آنها شرایط عادی سازی می گویند - می توانند اشکال مختلفی داشته باشند، اما هر بار این شرایط باید سه پارامتر را تعیین کند.

مثال ها.اجازه دهید چندین مثال ساده از نگاشتهای همسان را نشان دهیم.

1) نگاشت ظاهر دایره بر روی خود. تابع (1) را می‌توان به‌عنوان نقشه‌برداری از بیرون، یعنی منطقه روی خود، در نظر گرفت. با توجه به دایره واحد، نقطه ای به نام متقارن تا بی نهایت طول می کشد

2) نیم صفحه بالایی روی دایره نیز با یک تابع خطی کسری نمایش داده می شود:

در اینجا a یک نقطه دلخواه از نیم صفحه بالایی است که هنگام نگاشت (2) به مرکز دایره منتقل می شود. نقطه دایره ای که نقطه بینهایت صفحه به سمت آن می رود (محدوده سمت راست (2) با آشکارا برابر است).

در شکل شکل 22 نشان می دهد که h به چه خطوط مستقیمی تبدیل می شود - اینها دایره هایی مماس بر واحد در نقطه هستند.

3) نمای بیرونی یک دایره واحد به وسیله تابع ژوکوفسکی بر روی قسمت بیرونی یک قطعه نگاشت می شود.

در این حالت، دایره ها با نیم محورها و با کانون های 1± به بیضی تبدیل می شوند و پرتوها به کمان های هذلولی متعامد با بیضی ها تبدیل می شوند (شکل 23).

4) نوار روی دایره واحد توسط تابع نمایش داده می شود

در این حالت، بخش های مستقیم و افقی عمودی به "مریدین" و "موازی" تبدیل می شوند (شکل 24).

5) نیمه صفحه بالایی با یک بخش دایره ای که در طول نرمال سازی روی نیمه صفحه بالایی پرتاب شده است توسط تابع نمایش داده می شود.

که در آن a و a پارامترهای قطعه هستند (شکل 25)، و c یک ثابت واقعی است (توجه داشته باشید که شرایط عادی سازی ما فقط دو پارامتر واقعی را مشخص می کند، بنابراین سومی دلخواه باقی می ماند).

این فرمول برای برنامه های کاربردی بیش از حد دست و پا گیر است. برای a و a کوچک، با استفاده از اولین عبارت بسط های تیلور، می توان آن را با فرمول تقریبی جایگزین کرد.

همچنین می توان به این نکته اشاره کرد که تا سفارشات کوچکتر، مساحت قطعه خارج شده را می دهد، بنابراین (6) را می توان به شکل بازنویسی کرد.

6) دایره ای با سوراخ کوچکی که روی دایره پرتاب شده است نیز با یک تابع ضبط نسبتاً دست و پا گیر نمایش داده می شود. یک فرمول تقریبی برای چنین نقشه برداری، مشروط بر اینکه مساحت سوراخ خارج شده کوچک باشد، می تواند به صورت زیر نوشته شود:

اینجا بالای سوراخ یا (با همان دقت) نقطه دیگر آن است.

7) همان فرمول تقریبی برای نگاشت یک نوار با یک سوراخ بیرون زده با مساحت کوچک c روی نوار دارای شکل است.

که در آن a آبسیسا یکی از نقاط سوراخ است. مماس هذلولی

جریان در کانال.توانایی حل مسئله ریمان موفقیت حل برخی از مسائل هیدرودینامیکی را تعیین می کند. ما این را با استفاده از مثال‌های کلاسیک مسائل جریان ثابت یک سیال غیرقابل تراکم ایده‌آل در اجسام گذشته نشان خواهیم داد. البته، برای استفاده از طرح حرکت مسطح، باید فرض کنیم که اجسام به شکل استوانه های بی نهایت (با خطوط پیشرو دلخواه) هستند.

فرض کنید باید جریانی را در کانالی با دیوارهایی که بر صفحه خاصی عمود هستند پیدا کنیم و آن را در امتداد دو منحنی بی نهایت بدون نقاط مشترک قطع کنیم (شکل 26) و سرعت های جریان موازی با این صفحه هستند و اصلاً یکسان هستند. عمود بر آن میدان سرعت در کانال با یک میدان مسطح در یک نوار محدود شده توسط منحنی ها توصیف می شود

همانطور که در فصل قبل دیدیم، فرض عدم وجود منابع و گرداب ها در جریان به این نتیجه می رسد که وجود یک پتانسیل پیچیده - تحلیلی در تابع یافتن این تابع است.

جریان باید در اطراف دیواره های کانال جریان داشته باشد، به عنوان مثال، هر یک از منحنی ها باید یک خط جریان باشد. می توانیم بپرسیم

همچنین دبی که همانطور که در فصل آخر نشان داده شد برابر است با

که در آن y یک خط با انتهای است، یعنی هر مقطعی از جریان. از آنجایی که ما به پتانسیل تا یک ترم ثابت علاقه مندیم، می توانیم فرض کنیم که در G.

در این فرمول، مشکل هنوز بسیار نامشخص است. به عنوان مثال، برای حالتی که یک نوار مستقیم است، راه حل آن هر تابعی است

برای هر عدد واقعی و صحیح (قسمت خیالی ناپدید می‌شود برای بیان واضح‌تر مسئله، باید فرض کنیم که عرض نوار در بی‌نهایت محدود می‌ماند، شرایط صافی را اعمال می‌کنیم و فقط جریان‌هایی با سرعت محدود در بی‌نهایت در نظر می‌گیریم. ثابت شود که برای این محدودیت‌های اضافی، راه‌حل مشکل فقط یک نگاشت هم‌نوع دامنه بر روی یک نوار با نرمال‌سازی است مشکل به طور منحصر به فرد در محدودیت های پذیرفته شده حل می شود، بنابراین راه حل آن به حل مشکل ریمان کاهش می یابد.