Aling dalawang eroplano ang tinatawag na patayo? Perpendicular planes, ang kondisyon ng perpendicularity ng mga eroplano. Maaaring magkaroon ng perpendicularity sa espasyo

Kung ang isa sa dalawang eroplano ay dumaan sa isang linya na patayo sa kabilang eroplano, kung gayon ang mga ibinigay na eroplano ay patayo () (Fig. 28)

α - eroplano, V– isang tuwid na linya na patayo dito, β – isang eroplanong dumadaan sa tuwid na linya V, At Sa– ang tuwid na linya kung saan nag-intersect ang mga eroplanong α at β.

Bunga. Kung ang isang eroplano ay patayo sa linya ng intersection ng dalawang ibinigay na mga eroplano, kung gayon ito ay patayo sa bawat isa sa mga eroplanong ito.

Problema 1. Patunayan na sa alinmang punto sa isang linya sa espasyo ay maaaring gumuhit ng dalawang magkaibang linyang patayo dito.

Patunay:

Ayon sa axiom ako may puntong wala sa linya A. Sa pamamagitan ng Theorem 2.1, sa pamamagitan ng punto SA at direktang A maaari nating iguhit ang eroplanong α. (Fig. 29) Sa pamamagitan ng Theorem 2.3 sa pamamagitan ng punto A sa α plane maaari tayong gumuhit ng tuwid na linya A. Ayon sa axiom C 1, mayroong isang punto SA, hindi kabilang sa α. Sa pamamagitan ng Theorem 15.1 sa pamamagitan ng punto SA at direktang A maaari nating iguhit ang eroplano β. Sa β plane, ayon sa Theorem 2.3, sa pamamagitan ng point a maaari tayong gumuhit ng isang tuwid na linya A. Sa pamamagitan ng pagbuo, ang mga linya b at c ay may isang karaniwang punto lamang A at pareho ay patayo

Gawain 2. Ang itaas na mga dulo ng dalawang patayong nakatayo na mga haligi, na pinaghihiwalay ng layo na 3.4 m, ay konektado sa pamamagitan ng isang crossbar. Ang taas ng isang poste ay 5.8 m, at ang isa ay 3.9 m. Hanapin ang haba ng crossbar.

AC= 5.8m, ВD= 3.9 m, AB- ? (Larawan 30)

AE = AC – CE = AC – BD= 5.8 – 3.9 = 1.9 (m)

Sa pamamagitan ng Pythagorean theorem mula sa ∆ AEV nakukuha natin:

AB 2 = AE 2 + EB 2 = AE 2 + CD 2 = ( 1.9) 2 + (3.4) 2 = 15.17 (m2)

AB= = 3.9 (m)

Mga gawain

Target. Matutong pag-aralan ang kamag-anak na posisyon ng mga bagay sa espasyo sa pinakasimpleng mga kaso, gumamit ng mga planimetric na katotohanan at pamamaraan kapag nilulutas ang mga stereometric na problema.

1. Patunayan na sa pamamagitan ng anumang punto sa isang linya sa espasyo ay maaari kang gumuhit ng isang linya na patayo dito.

2. Ang mga linyang AB, AC at AD ay patayo sa pares. Maghanap ng segment na CD kung:

1) AB = 3cm , araw= 7cm, AD= 1.5 cm;

2) VD= 9 cm, AD= 5cm, Araw= 16cm;

3) AB = b, BC = a, AD = d;

4) ВD = с, ВС = а, АD = d

3. Ang punto A ay nasa malayo a mula sa mga vertex ng isang equilateral triangle na may gilid A. Hanapin ang distansya mula sa punto A hanggang sa eroplano ng tatsulok.

4. Patunayan na kung ang isang linya ay parallel sa isang eroplano, ang lahat ng mga punto nito ay nasa parehong distansya mula sa eroplano.

5. Ang isang wire ng telepono na 15 m ang haba ay nakaunat mula sa isang poste ng telepono, kung saan ito ay nakakabit sa taas na 8 m mula sa ibabaw ng lupa, sa isang bahay, kung saan ito ay nakakabit sa taas na 20 m. Hanapin ang distansya sa pagitan ng bahay at ng poste, sa pag-aakalang hindi lumulubog ang alambre.

6. Dalawang hilig na slope ang iginuhit mula sa isang punto patungo sa isang eroplano, katumbas ng 10 cm at 17 cm. Ang pagkakaiba sa mga projection ng mga inclined na ito ay 9 cm. Hanapin ang mga projection ng mga hilig.

7. Dalawang hilig ang iginuhit mula sa isang punto patungo sa isang eroplano, ang isa ay 26 cm na mas malaki kaysa sa isa. Ang mga inclined projection ay 12 cm at 40 cm. Hanapin ang mga hilig.

8. Dalawang hilig na linya ang iginuhit mula sa isang punto patungo sa isang eroplano. Hanapin ang mga haba ng obliques kung mayroon silang ratio na 1:2 at ang projection ng obliques ay 1 cm at 7 cm.

9. Dalawang inclined slope na katumbas ng 23 cm at 33 cm ay iginuhit mula sa isang punto patungo sa isang eroplano.

ang distansya mula sa puntong ito hanggang sa eroplano kung ang mga hilig na projection ay nasa ratio na 2:3.

10. Hanapin ang distansya mula sa gitna ng segment AB sa isang eroplano na hindi nagsalubong sa segment na ito kung ang mga distansya mula sa mga punto a at B sa eroplano ay: 1) 3.2 cm at 5.3 cm, 7.4 cm at 6.1 cm; 3) a at c.

11. Lutasin ang nakaraang problema kung ang segment na AB ay nagsalubong sa eroplano.

12. Ang isang segment na 1 m ang haba ay nag-intersect sa isang eroplano, ang mga dulo nito ay malayo sa eroplano sa layo na 0.5 m at 0.3 m. Hanapin ang haba ng projection ng segment papunta sa eroplano..

13. Mula sa mga puntong A at B, ang mga patayo ay ibinaba sa eroplano. Hanapin ang distansya sa pagitan ng mga punto A at B kung ang mga patayo ay 3 m at 2 m, ang distansya sa pagitan ng kanilang mga base ay 2.4 m, at ang segment na AB ay hindi bumalandra sa eroplano.

14. Mula sa mga puntong A at B, na nakahiga sa dalawang patayong eroplano, ang mga perpendikular na AC at BD ay ibinaba sa linya ng intersection ng mga eroplano. Hanapin ang haba ng segment AB kung: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, ВD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.

15. Mula sa vertices A at B ng equilateral triangle ABC, ang mga patayo AA 1 at BB 1 hanggang sa eroplano ng tatsulok ay naibalik. Hanapin ang distansya mula sa vertex C hanggang sa gitna ng segment A 1 B 1 kung AB = 2 m, CA 1 = 3 m, CB 1 = 7 m at segment A 1 B 1 ay hindi nagsalubong sa eroplano ng tatsulok

16. Mula sa vertices A at B ng mga talamak na anggulo ng tamang tatsulok ABC, patayo AA 1 at BB 1 sa eroplano ng tatsulok ay itinayo. Hanapin ang distansya mula sa vertex C hanggang sa gitna ng segment A 1 B 1, kung ang A 1 C = 4 m, AA 1 = 3 m, CB 1 = 6 m, BB 1 = 2 m at segment A 1 B 1 ay hindi nagsalubong ang eroplano ng tatsulok.

TEXT TRANSCRIPT NG ARALIN:

Ang ideya ng isang eroplano sa kalawakan ay nagpapahintulot sa amin na makuha, halimbawa, ang ibabaw ng isang mesa o dingding. Gayunpaman, ang isang mesa o dingding ay may mga may hangganang sukat, at ang eroplano ay lumalampas sa mga hangganan nito hanggang sa kawalang-hanggan.

Isaalang-alang ang dalawang intersecting na eroplano. Kapag nagsalubong sila, bumubuo sila ng apat na dihedral na anggulo na may karaniwang gilid.

Tandaan natin kung ano ang dihedral angle.

Sa katotohanan, nakatagpo kami ng mga bagay na may hugis ng isang dihedral na anggulo: halimbawa, isang bahagyang bukas na pinto o isang kalahating bukas na folder.

Kapag nagsalubong ang dalawang eroplanong alpha at beta, nakakakuha tayo ng apat na dihedral na anggulo. Hayaan ang isa sa mga dihedral na anggulo ay katumbas ng (phi), pagkatapos ay ang pangalawa ay katumbas ng (1800 -), ang pangatlo, ikaapat (1800 -).

Isaalang-alang ang kaso kapag ang isa sa mga anggulo ng dihedral ay 900.

Pagkatapos, ang lahat ng dihedral na anggulo sa kasong ito ay katumbas ng 900.

Ipakilala natin ang kahulugan ng mga patayong eroplano:

Ang dalawang eroplano ay tinatawag na patayo kung ang dihedral na anggulo sa pagitan ng mga ito ay 90°.

Ang anggulo sa pagitan ng sigma at epsilon na mga eroplano ay 90 degrees, na nangangahulugang ang mga eroplano ay patayo

Magbigay tayo ng mga halimbawa ng mga patayong eroplano.

Pader at kisame.

Side wall at table top.

Bumuo tayo ng isang tanda ng perpendicularity ng dalawang eroplano:

TEOREM: Kung ang isa sa dalawang eroplano ay dumaan sa isang linya na patayo sa kabilang eroplano, kung gayon ang mga eroplanong ito ay patayo.

Patunayan natin ang sign na ito.

Sa pamamagitan ng kundisyon, alam na ang tuwid na linyang AM ay nasa eroplano α, ang tuwid na linyang AM ay patayo sa eroplano β,

Patunayan: ang mga eroplanong α at β ay patayo.

Patunay:

1) Ang mga eroplanong α at β ay nagsalubong sa tuwid na linyang AR, habang ang AM ay AR, dahil ang AM ay β ayon sa kundisyon, iyon ay, ang AM ay patayo sa anumang tuwid na linya na nakahiga sa β eroplano.

2) Gumuhit tayo ng isang tuwid na linya na AT patayo sa AP sa β plane.

Nakukuha namin ang anggulo TAM - ang linear na anggulo ng anggulo ng dihedral. Ngunit ang anggulo TAM = 90°, dahil ang MA ay β. Kaya α β.

Q.E.D.

Mula sa tanda ng perpendicularity ng dalawang eroplano mayroon kaming isang mahalagang corollary:

COROLLARY: Ang isang eroplanong patayo sa isang linya kung saan ang dalawang eroplano ay nagsalubong ay patayo sa bawat isa sa mga eroplano.

Iyon ay: kung α∩β=с at γ с, pagkatapos ay γ α at γ β.

Patunayan natin ang corollary na ito: kung ang gamma plane ay patayo sa linya c, kung gayon, batay sa parallelism ng dalawang eroplano, ang gamma ay patayo sa alpha. Gayundin, ang gamma ay patayo sa beta

Reformulate natin itong corollary para sa isang dihedral na anggulo:

Ang eroplanong dumadaan sa linear na anggulo ng isang dihedral na anggulo ay patayo sa gilid at mga mukha ng dihedral na anggulo na ito. Sa madaling salita, kung nakagawa tayo ng isang linear na anggulo ng isang dihedral na anggulo, kung gayon ang eroplanong dumadaan dito ay patayo sa gilid at mga mukha ng dihedral na anggulo na ito.

Ibinigay: ΔABC, C = 90°, ang AC ay nasa α plane, ang anggulo sa pagitan ng α at ABC plane = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.

Hanapin: ang distansya mula sa punto B hanggang sa eroplano α.

1) Bumuo tayo ng VC α. Pagkatapos ay ang KS ay ang projection ng araw papunta sa eroplanong ito.

2) BC AC (sa pamamagitan ng kondisyon), na nangangahulugang, ayon sa theorem ng tatlong perpendiculars (TPP), KS AC. Samakatuwid, ang VSK ay ang linear na anggulo ng dihedral angle sa pagitan ng plane α at ng plane ng triangle ABC. Ibig sabihin, VSK = 60°.

3) Mula sa ΔBCA ayon sa Pythagorean theorem:

Ang sagot na VK ay katumbas ng 6 na ugat ng tatlong cm

Praktikal na paggamit (inilapat na kalikasan) ng perpendicularity ng dalawang eroplano.

Ang araling ito ay makakatulong sa mga nagnanais na maunawaan ang paksang "Ang tanda ng perpendicularity ng dalawang eroplano." Sa simula nito, uulitin natin ang kahulugan ng dihedral at linear na mga anggulo. Pagkatapos ay isasaalang-alang natin kung aling mga eroplano ang tinatawag na patayo, at patunayan ang tanda ng perpendicularity ng dalawang eroplano.

Paksa: Perpendicularity ng mga linya at eroplano

Aralin: Tanda ng perpendicularity ng dalawang eroplano

Kahulugan. Ang dihedral angle ay isang figure na nabuo ng dalawang kalahating eroplano na hindi kabilang sa parehong eroplano at ang kanilang karaniwang tuwid na linya a (a ay isang gilid).

kanin. 1

Isaalang-alang natin ang dalawang kalahating eroplano na α at β (Larawan 1). Ang kanilang karaniwang hangganan ay l. Ang figure na ito ay tinatawag na dihedral angle. Ang dalawang intersecting na eroplano ay bumubuo ng apat na dihedral na anggulo na may karaniwang gilid.

Ang isang dihedral na anggulo ay sinusukat sa pamamagitan ng linear na anggulo nito. Pinipili namin ang isang di-makatwirang punto sa karaniwang gilid l ng anggulo ng dihedral. Sa kalahating eroplano α at β, mula sa puntong ito gumuhit kami ng mga patayo a at b sa tuwid na linya l at makuha ang linear na anggulo ng dihedral na anggulo.

Ang mga tuwid na linya a at b ay bumubuo ng apat na anggulo na katumbas ng φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Alalahanin na ang anggulo sa pagitan ng mga tuwid na linya ay ang pinakamaliit sa mga anggulong ito.

Kahulugan. Ang anggulo sa pagitan ng mga eroplano ay ang pinakamaliit sa mga dihedral na anggulo na nabuo ng mga eroplanong ito. Ang φ ay ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong α at β, kung

Kahulugan. Ang dalawang intersecting na eroplano ay tinatawag na patayo (mutually perpendicular) kung ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 90°.

kanin. 2

Ang isang di-makatwirang punto M ay pinili sa gilid l (Larawan 2). Gumuhit tayo ng dalawang patayong tuwid na linya MA = a at MB = b sa gilid l sa α plane at sa β plane, ayon sa pagkakabanggit. Nakuha namin ang anggulong AMB. Ang Angle AMB ay ang linear na anggulo ng isang dihedral angle. Kung ang anggulo ng AMB ay 90°, kung gayon ang mga eroplanong α at β ay tinatawag na patayo.

Ang linya b ay patayo sa linya l sa pamamagitan ng konstruksyon. Ang linya b ay patayo sa linya a, dahil ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong α at β ay 90°. Nalaman namin na ang linya b ay patayo sa dalawang intersecting na linya a at l mula sa eroplanong α. Nangangahulugan ito na ang tuwid na linya b ay patayo sa eroplanong α.

Katulad nito, maaari nating patunayan na ang tuwid na linya a ay patayo sa eroplano β. Ang linya a ay patayo sa linya l sa pamamagitan ng konstruksyon. Ang linya a ay patayo sa linya b, dahil ang anggulo sa pagitan ng mga eroplanong α at β ay 90°. Nalaman namin na ang linya a ay patayo sa dalawang intersecting na linya b at l mula sa eroplano β. Nangangahulugan ito na ang tuwid na linya a ay patayo sa eroplanong β.

Kung ang isa sa dalawang eroplano ay dumaan sa isang linya na patayo sa kabilang eroplano, kung gayon ang mga naturang eroplano ay patayo.

Patunayan:

kanin. 3

Patunay:

Hayaang mag-intersect ang mga eroplanong α at β sa tuwid na linyang AC (Larawan 3). Upang patunayan na ang mga eroplano ay magkaparehong patayo, kailangan mong bumuo ng isang linear na anggulo sa pagitan ng mga ito at ipakita na ang anggulong ito ay 90°.

Ang tuwid na linyang AB ay patayo sa eroplanong β, at samakatuwid ay sa tuwid na linyang AC na nakahiga sa eroplanong β.

Gumuhit tayo ng isang tuwid na linyang AD patayo sa isang tuwid na linyang AC sa β plane. Pagkatapos ang BAD ay ang linear na anggulo ng dihedral angle.

Ang tuwid na linyang AB ay patayo sa eroplano β, at samakatuwid ay sa tuwid na linya AD na nakahiga sa eroplano β. Nangangahulugan ito na ang linear na anggulo na BAD ay 90°. Nangangahulugan ito na ang mga eroplano α at β ay patayo, na kung saan ay kailangan upang mapatunayan.

Ang eroplanong patayo sa linya kung saan ang dalawang ibinigay na eroplano ay nagsalubong ay patayo sa bawat isa sa mga eroplanong ito (Larawan 4).

Patunayan:

kanin. 4

Patunay:

Ang tuwid na linya l ay patayo sa eroplano γ, at ang eroplano α ay dumadaan sa tuwid na linya l. Nangangahulugan ito na ayon sa perpendicularity ng mga eroplano, ang mga eroplano α at γ ay patayo.

Ang tuwid na linya l ay patayo sa eroplano γ, at ang eroplano β ay dumadaan sa tuwid na linya l. Nangangahulugan ito na ayon sa perpendicularity ng mga eroplano, ang mga eroplano β at γ ay patayo.

Ang kaugnayan ng perpendicularity ng mga eroplano ay isinasaalang-alang - isa sa pinakamahalaga at pinaka ginagamit sa geometry ng espasyo at mga aplikasyon nito.

Mula sa lahat ng iba't ibang pag-aayos ng isa't isa

dalawang eroplano, ang isa kung saan ang mga eroplano ay patayo sa isa't isa ay nararapat na espesyal na pansin at pag-aaral (halimbawa, ang mga eroplano ng katabing mga dingding ng isang silid,

bakod at kapirasong lupa, pinto at sahig, atbp. (Larawan 417, a–c).

Ang mga halimbawa sa itaas ay nagpapahintulot sa amin na makita ang isa sa mga pangunahing katangian ng relasyon na aming pag-aaralan - ang simetrya ng lokasyon ng bawat eroplano na may kaugnayan sa isa pa. Ang simetrya ay tinitiyak ng katotohanan na ang mga eroplano ay tila "pinagtagpi" mula sa mga patayo. Subukan nating linawin ang mga obserbasyon na ito.

Magkaroon tayo ng isang eroplanong α at isang tuwid na linya c dito (Larawan 418, a). Gumuhit tayo sa bawat punto ng linya c tuwid na linya patayo sa eroplano α. Ang lahat ng mga linyang ito ay parallel sa isa't isa (bakit?) At, batay sa Problema 1 § 8, bumubuo ng isang tiyak na eroplano β (Larawan 418, b). Natural na tawagan ang eroplanong β patayo eroplano α.

Sa turn, ang lahat ng mga linya na nakahiga sa eroplano α at patayo sa mga linya ay bumubuo ng eroplano α at patayo sa eroplano β (Larawan 418, c). Sa katunayan, kung ang a ay isang di-makatwirang linya, pagkatapos ay nag-intersect ito sa linyang c sa ilang punto M. Ang isang tuwid na linya b patayo sa α ay dumadaan sa punto M sa eroplano β, samakatuwid b a . Samakatuwid, a c, a b, samakatuwid ay isang β. Kaya, ang eroplanong α ay patayo sa eroplanong β, at ang tuwid na linya ay ang linya ng kanilang intersection.

Ang dalawang eroplano ay tinatawag na patayo kung ang bawat isa sa kanila ay nabuo sa pamamagitan ng mga tuwid na linya na patayo sa pangalawang eroplano at dumadaan sa mga intersection point ng mga eroplanong ito.

Ang perpendicularity ng mga eroplano α at β ay ipinahiwatig ng pamilyar na tanda: α β.

Ang isang paglalarawan ng kahulugan na ito ay maiisip kung isasaalang-alang natin ang isang fragment ng isang silid sa isang bahay ng bansa (Larawan 419). Sa loob nito, ang sahig at dingding ay gawa sa mga board na patayo sa dingding at sahig, ayon sa pagkakabanggit. Samakatuwid sila ay patayo. Sa practice

nangangahulugan ito na ang sahig ay pahalang at ang dingding ay patayo.

Ang kahulugan sa itaas ay mahirap gamitin kapag aktwal na sinusuri ang perpendicularity ng mga eroplano. Ngunit kung maingat nating pag-aralan ang pangangatwiran na humantong sa kahulugan na ito, makikita natin na ang perpendicularity ng mga eroplano α at β ay natiyak ng presensya sa β plane ng isang tuwid na linya b na patayo sa α plane (Fig. 418, c) . Dumating kami sa criterion ng perpendicularity ng dalawang eroplano, na kadalasang ginagamit sa pagsasanay.

406 Perpendicularity ng mga linya at eroplano

Theorem 1 (pagsubok para sa perpendicularity ng mga eroplano).

Kung ang isa sa dalawang eroplano ay dumaan sa isang linya na patayo sa pangalawang eroplano, kung gayon ang mga eroplanong ito ay patayo.

 Hayaang dumaan ang eroplanong β sa isang linyang b patayo sa eroplanong α at ang linya ng intersection ng mga eroplanong α at β (Fig. 420, a). Ang lahat ng tuwid na linya ng eroplano β, parallel sa linya b at intersecting sa linya c, kasama ang tuwid na linya b ay bumubuo sa eroplano β. Sa pamamagitan ng theorem tungkol sa dalawang parallel na linya, ang isa ay patayo sa eroplano (Theorem 1 § 19), lahat ng mga ito, kasama ang linya b, ay patayo sa eroplano α. Ibig sabihin, ang eroplanong β ay binubuo ng mga tuwid na linya na dumadaan sa linya ng intersection ng mga eroplanong α at β at patayo sa eroplanong α (Larawan 420, b).

Ngayon sa eroplano α sa pamamagitan ng punto A ng intersection ng mga linya b at gumuhit kami ng isang linya na patayo sa linya c (Larawan 420, c). Ang tuwid na linya ay patayo sa eroplano β, batay sa perpendicularity ng tuwid na linya at ang eroplano (a c, sa pamamagitan ng pagbuo, at b, dahil b α). Sa pag-uulit ng mga nakaraang argumento, nakita namin na ang eroplano α ay binubuo ng mga linya na patayo sa eroplano β, na dumadaan sa linya ng intersection ng mga eroplano. Ayon sa kahulugan, ang mga eroplanong α at β ay patayo.■

Ginagawang posible ng tampok na ito na maitatag ang perpendicularity ng mga eroplano o matiyak ito.

Halimbawa 1. Ikabit ang kalasag sa post upang ito ay nakaposisyon nang patayo.

 Kung ang haligi ay nakatayo nang patayo, kung gayon ito ay sapat na upang ikabit ang isang kalasag nang random sa haligi at i-secure ito (Larawan 421, a). Ayon sa tampok na tinalakay sa itaas, ang eroplano ng kalasag ay magiging patayo sa ibabaw ng lupa. Sa kasong ito, ang problema ay may walang katapusang bilang ng mga solusyon.

Perpendicularity ng mga eroplano

Kung ang haligi ay nakatayo nang pahilig sa lupa, kung gayon ito ay sapat na upang maglakip ng isang patayong tren sa haligi (Larawan 421, b), at pagkatapos ay ilakip ang kalasag sa parehong riles at sa haligi. Sa kasong ito, ang posisyon ng kalasag ay magiging tiyak, dahil ang poste at riles ay tumutukoy sa isang eroplano.■

Sa nakaraang halimbawa, ang "teknikal" na gawain ay nabawasan sa isang problema sa matematika tungkol sa pagguhit ng isang eroplano na patayo sa isa pang eroplano sa pamamagitan ng isang ibinigay na tuwid na linya.

Halimbawa 2. Mula sa vertex A ng parisukat ABCD isang segment AK ay iginuhit patayo sa kanyang eroplano, AB = AK = a.

1) Tukuyin ang kamag-anak na posisyon ng mga eroplanong AKC at ABD,

AKD at ABK.

2) Bumuo ng isang eroplanong dumadaan sa linyang BD na patayo sa eroplanong ABC.

3) Gumuhit ng isang eroplanong patayo sa eroplanong KAC sa pamamagitan ng gitnang F ng segment na KC.

4) Hanapin ang lugar ng tatsulok na BDF.

 Bumuo tayo ng guhit na tumutugma sa mga kondisyon ng halimbawa (Larawan 422).

1) Ang mga eroplanong AKC at ABD ay patayo, ayon sa pag-aari ng perpendicularity ng mga eroplano (Theorem 1): AK ABD, ayon sa kondisyon. Ang mga eroplanong AKD at ABK ay patayo din

ay polar, batay sa perpendicularity ng mga eroplano (Theorem 1). Sa katunayan, ang linyang AB kung saan dumaraan ang eroplanong ABK ay patayo sa eroplanong AKD, ayon sa tanda ng perpendicularity ng linya at ng eroplano (Theorem 1 § 18): AB AD bilang magkatabing panig ng isang parisukat; AB AK mula noong

AK ABD.

2) Batay sa perpendicularity ng mga eroplano, para sa nais na konstruksyon sapat na upang gumuhit ng isang tuwid na linya ng BD sa ilang mga punto

408 Perpendicularity ng mga linya at eroplano

linyang patayo sa eroplanong ABC. At upang gawin ito, sapat na upang gumuhit ng isang linya sa pamamagitan ng puntong ito na kahanay sa linya ng AK.

Sa katunayan, ayon sa kondisyon, ang tuwid na linyang AK ay patayo sa eroplanong ABC at samakatuwid, ayon sa teorama tungkol sa dalawang magkatulad na tuwid na linya,

aming, ang isa ay patayo sa eroplano (Theorem 1§19),

ang itinayong tuwid na linya ay magiging patayo sa eroplanong ABC.

Konstruksyon.

Sa pamamagitan ng punto

B nagsasagawa kami

MAGING,

parallel

(Larawan 423). Ang eroplanong BDE ang gusto.

3) Hayaang F ang midpoint ng segment na KC. pro-

nangunguna tayo sa punto

patayo-

eroplano

Itong tuwid na linya

direktang mga bata

FO, saan

O - gitna ng parisukat

ABCD (Larawan 424). Sa katunayan, FO ||AK ,

parang average

tatsulok na linya

Dahil ang

patayo-

sa ibabaw

direktang FO

boo-

det ay patayo dito, ayon sa theorem tungkol sa

dalawang magkatulad na linya, isa rito

patayo sa eroplano (Theorem 1

§ 19). kaya lang

FO DB. At dahil AC DB, pagkatapos ay DB AOF (o

KAC). Eroplano

Ang BDF ay dumadaan sa isang linyang patayo sa

nal plane KAC, ibig sabihin, ito ang ninanais.

4) Sa isang tatsulok

BDF segmentFO

Taas na iginuhit sa

side BD (tingnan ang Fig. 424). Mayroon kaming:BD =

2 a bilang dayagonal ng quad-

rata; FO =1

AK =

1 a, sa pamamagitan ng pag-aari ng midline ng isang tatsulok.

Kaya, S =2 BD FO =

2 2 a

2 a =

. ■

Sagot: 4)

a 2.

Pag-aaral ng mga katangian ng perpendicular-

ng mga eroplano at mga aplikasyon nito, magsimula tayo sa pinakasimple

iyon, ngunit napaka-kapaki-pakinabang na teorama.

Theorem 2 (tungkol sa patayo sa linya ng intersection ng mga patayong eroplano).

Kung ang dalawang eroplano ay patayo, kung gayon ang isang tuwid na linya na kabilang sa isang eroplano at patayo sa intersection ng mga eroplanong ito ay patayo sa pangalawang eroplano.

 Hayaang patayo ang mga eroplano

Ang α at β ay bumalandra sa tuwid na linya c, at ang tuwid na linya b sa eroplanong β ay patayo sa tuwid na linya c at nag-intersect ito sa punto B (Larawan 425). Sa pamamagitan ng kahulugan

hinahati ang perpendicularity ng mga eroplano, sa β plane isang tuwid na linya ang dumadaan sa point B

b 1, patayo sa eroplano α. Malinaw na ito ay patayo sa tuwid na linya. Pero ano-

Kung pinutol mo ang isang punto sa isang tuwid na linya sa isang eroplano, maaari kang gumuhit lamang ng isang tuwid na linya patayo sa ibinigay na tuwid na linya. kaya lang

magkatugma ang mga linya b at b 1. Nangangahulugan ito na ang isang tuwid na linya ng isang eroplano, patayo sa linya ng intersection ng dalawang patayo na eroplano, ay patayo sa pangalawang eroplano. ■

Ilapat natin ang itinuturing na teorama sa pagpapatibay ng isa pang tanda ng perpendicularity ng mga eroplano, na mahalaga mula sa punto ng view ng kasunod na pag-aaral ng kamag-anak na posisyon ng dalawang eroplano.

Hayaang patayo ang mga eroplanong α at β, ang tuwid na linya c ay ang linya ng kanilang intersection. Sa pamamagitan ng isang arbitrary point A gumuhit tayo ng isang tuwid na linya c

sa mga eroplanong α at β, mga tuwid na linya a at b, patayo sa mga tuwid na linya c (Larawan 426). Ayon sa teorya

Me 2, ang mga tuwid na linya a at b ay patayo sa mga eroplanong β at α, ayon sa pagkakabanggit, kaya sila ay patayo sa isa't isa: a b . Diretso

ang a at b na tinukoy ay tumutukoy sa isang tiyak na eroplano γ. Linya ng intersection sa mga eroplanong α at β

patayo sa eroplanong γ, batay sa perpendicularity ng linya at ng eroplano (Theorem 1 § 18): c a, c b, a γ, b γ. Kung isasaalang-alang natin ang arbitrariness ng pagpili ng punto A sa tuwid na linya c at ang katotohanan na ang tanging eroplano na patayo dito ay dumadaan sa punto A ng tuwid na linya, kung gayon maaari nating iguhit ang sumusunod na konklusyon.

Theorem 3 (tungkol sa eroplano na patayo sa linya ng intersection ng mga patayong eroplano).

Ang isang eroplanong patayo sa linya ng intersection ng dalawang perpendicular na eroplano ay nag-intersect sa mga eroplanong ito sa mga patayong tuwid na linya.

Kaya, ang isa pang pag-aari ng mga patayong eroplano ay naitatag. Ang pag-aari na ito ay katangian, iyon ay, kung ito ay totoo para sa ilang dalawang eroplano, kung gayon ang mga eroplano ay patayo sa isa't isa. Mayroon kaming isa pang palatandaan ng perpendicularity ng mga eroplano.

Theorem 4 (pangalawang criterion para sa perpendicularity ng mga eroplano).

Kung ang mga direktang intersection ng dalawang eroplano ng ikatlong eroplano na patayo sa linya ng kanilang intersection ay patayo, kung gayon ang mga eroplanong ito ay patayo din.

 Hayaang mag-intersect ang mga eroplanong α at β sa kahabaan ng tuwid na linya с, at ang eroplanong γ, patayo sa tuwid na linya с, ay nag-intersect sa mga eroplanong α at β nang naaayon.

ayon sa pagkakabanggit sa mga tuwid na linya a at b (Larawan 427). Sa kondisyon, a b . Dahil γc, pagkatapos c. At samakatuwid ang linya ay patayo sa eroplano β, ayon sa tanda ng perpendicularity ng linya at ang eroplano (Theorem 1 § 18). Ayan yun-

oo sumusunod na ang mga eroplanong α at β ay patayo, ayon sa tanda ng perpendikularidad ng mga eroplano (Theorem 1).■

Karapat-dapat din ng pansin ang mga theorems sa mga koneksyon sa pagitan ng perpendicularity ng dalawang eroplano ng isang ikatlong eroplano at ang kanilang magkaparehong posisyon.

Theorem 5 (tungkol sa linya ng intersection ng dalawang eroplano na patayo sa ikatlong eroplano).

Kung ang dalawang eroplano na patayo sa isang ikatlong eroplano ay nagsalubong, kung gayon ang linya ng kanilang intersection ay patayo sa eroplanong ito.

 Hayaang mag-intersect ang mga eroplanong α at β, patayo sa eroplanong γ, sa isang tuwid na linya (a || γ), at ang A ay ang punto ng intersection ng tuwid na linya na may

Perpendicularity ng mga eroplano
eroplano γ (Larawan 428). Point A ay nabibilang sa
nakatira sa kahabaan ng mga linya ng intersection ng mga eroplanong γ at α, γ
at β, at, ayon sa kondisyon, α γ at β γ. Samakatuwid, ayon sa
pagtukoy sa perpendicularity ng eroplano
Tey, sa pamamagitan ng point A maaari kang gumuhit ng mga tuwid na linya,
nakahiga sa mga eroplanong α	at β at patayo
polar planes γ. Dahil through the point
posible na gumuhit lamang ng isang tuwid na linya, bawat-
patayo sa eroplano, pagkatapos ay itinayo
ang mga tuwid na linya ay tumutugma at tumutugma sa linya
intersection ng mga eroplanong α at β. Kaya, ang tuwid na a ay isang linya
ang intersection ng mga eroplanong α at β ay patayo sa eroplanong γ. ■

Isaalang-alang natin ang isang teorama na naglalarawan ng kaugnayan sa pagitan ng parallelism at perpendicularity ng mga eroplano. Mayroon na kaming katumbas na resulta para sa mga tuwid na linya at eroplano.

Theorem 6 (tungkol sa mga parallel na eroplano na patayo sa ikatlong eroplano).

Kung ang isa sa dalawang magkatulad na eroplano ay patayo sa pangatlo, kung gayon ang pangalawang eroplano ay patayo dito.

 Hayaang magkapantay ang mga eroplanong α at β, at ang eroplanong γ ay patayo sa eroplanong α. Dahil ang eroplano γ

bumalandra sa eroplanong α, pagkatapos ay dapat ding bumalandra sa eroplanong β na kahanay nito. Kumuha tayo ng pro-

isang di-makatwirang tuwid na linya m patayo sa eroplano γ at gumuhit sa pamamagitan nito, gayundin sa pamamagitan ng isang di-makatwirang punto ng eroplano β, ang eroplano δ (Larawan 429).

Ang mga eroplanong δ at β ay nagsalubong sa isang tuwid na linya n, at dahil α║ β, pagkatapos ay ║ n (Theorem 2 §18). Ito ay sumusunod mula sa Theorem 1 na n γ, at samakatuwid ang eroplanong β na dumadaan sa linya n ay magiging patayo din sa eroplanong γ. ■

Ang napatunayang teorama ay nagbibigay ng isa pang tanda ng perpendicularity ng mga eroplano.

Maaari kang gumuhit ng isang eroplano na patayo sa ibinigay na punto sa pamamagitan ng isang ibinigay na punto gamit ang tanda ng perpendicularity ng mga eroplano (Theorem 1). Ito ay sapat na upang gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan ng puntong ito patayo sa ibinigay na eroplano (tingnan ang Problema 1 § 19). At pagkatapos ay gumuhit ng isang eroplano sa pamamagitan ng itinayong tuwid na linya. Ito ay magiging patayo sa ibinigay na eroplano ayon sa tinukoy na pamantayan. Ito ay malinaw na ang isang walang katapusang bilang ng mga naturang eroplano ay maaaring iguguhit.

Ang mas makabuluhan ay ang problema sa paggawa ng isang eroplano na patayo sa isang ibinigay, sa kondisyon na ito ay dumaan sa isang ibinigay na linya. Malinaw na kung ang isang linya ay patayo sa isang partikular na eroplano, kung gayon ang isang walang katapusang bilang ng mga naturang eroplano ay maaaring itayo. Ito ay nananatiling isaalang-alang ang kaso kapag ang ibinigay na linya ay hindi patayo sa ibinigay na eroplano. Ang posibilidad ng naturang konstruksiyon ay nabibigyang katwiran sa antas ng mga pisikal na modelo ng mga tuwid na linya at eroplano sa halimbawa 1.

Gawain 1. Patunayan na sa pamamagitan ng isang arbitrary na linya na hindi patayo sa isang eroplano, ang isa ay maaaring gumuhit ng isang eroplano na patayo sa ibinigay na eroplano.

 Hayaang ibigay ang isang eroplanong α at isang linyang l, l B\ a. Kumuha tayo ng isang di-makatwirang punto M sa isang tuwid na linya at gumuhit ng isang tuwid na linya sa pamamagitan nito, patayo sa eroplano α (Larawan 430, a). Dahil, sa pamamagitan ng kundisyon, ang l ay hindi patayo sa α, kung gayon ang mga linyang l ito ay bumalandra. Sa pamamagitan ng mga tuwid na linyang ito ay posible na gumuhit ng isang eroplano β (Larawan 430, b), na, ayon sa pagsubok para sa perpendicularity ng mga eroplano (Theorem 1), ay magiging patayo sa eroplano α. ■

Halimbawa 3. Sa pamamagitan ng vertex A ng isang regular na pyramid SABC na may base ABC, gumuhit ng isang tuwid na linya patayo sa eroplano ng gilid na nakaharap sa SBC.

 Upang malutas ang problemang ito, ginagamit namin ang theorem tungkol sa patayo sa linya ng intersection ng mga patayong eroplano

(Teorama 2). Hayaang K ang midpoint ng gilid BC (Fig. 431). Ang mga eroplanong AKS at BCS ay patayo, ayon sa tanda ng perpendicularity ng mga eroplano (Theorem 1). Sa katunayan, ang BC SK at BC AK ay parang median na iginuhit sa mga base sa isosceles triangles. Samakatuwid, ayon sa criterion ng perpendicularity ng isang linya at isang eroplano (Theorem 1 §18), ang linya BC ay patayo sa eroplanong AKS. Ang eroplanong BCS ay dumadaan sa isang linyang patayo sa eroplanong AKS.

Konstruksyon. Gumuhit tayo ng linyang AL sa eroplanong AKS mula sa punto A, patayo sa linyang KS - ang linya ng intersection ng mga eroplanong AKS at BCS (Larawan 432). Sa pamamagitan ng theorem sa patayo sa linya ng intersection ng mga patayong eroplano (Theorem 2), ang tuwid na linyang AL ay patayo sa eroplanong BCS. ■

	Kontrolin ang mga tanong
	Sa Fig. 433 ay nagpapakita ng parisukat na ABCD,
	line MD ay patayo sa eroplano
	A B C D. Alin sa mga pares ng eroplano ang hindi
	ay patayo:
		MAD at MDC;		MBC at MAV;
		ABC at MDC;		MAD at MAV?

2. Sa Fig. 434 ay ipinapakita nang tama- bagong quadrangular pyramid

SABCD, puntos P, M, N - gitna -

Mayroon kaming mga gilid AB, BC, BS, O - ang sentro ng base ABCD. Alin sa mga pares ang patag- Ang mga buto ay patayo:

1) ACS at BDS; 2) MOS at POS;

3) COS at MNP; 4) MNP at SOB;

5) CND at ABS?

		Perpendicularity ng mga linya at eroplano
3. Sa Fig. 435	itinatanghal na hugis-parihaba
tatsulok		na may tamang anggulo C at
tuwid na linya BP, patayo sa eroplano
ty ABC . Alin sa mga sumusunod na pares ang patag?
Ang mga buto ay patayo:
1) CBP at ABC;		2) ABP at ABC;

3) PAC at PBC; 4) PAC at PAB?

4. Ang dalawang eroplano ay patayo. Posible ba ito sa pamamagitan ng isang di-makatwirang punto ng isa sa dapat ba silang gumuhit ng isang tuwid na linya sa eroplanong ito, ang pangalawang eroplano?

5. Imposibleng gumuhit ng tuwid na linya sa α plane, ngunit hindi sa β plane. Maaari bang maging akin ang mga eroplanong ito?

6. Sa pamamagitan ng isang tiyak na punto sa eroplanong α ay dumadaan ba ang isang linya sa eroplanong ito at patayo sa eroplano, upang ang mga eroplanong α at β ay patayo?

Ang isang seksyon ng bakod ay nakakabit sa isang patayong poste, posible bang i-claim na ang eroplano ng bakod ay patayo?

Paano ilakip ang isang kalasag nang patayo sa isang riles na kahanay sa ibabaw ng lupa?

Bakit ang ibabaw ng mga pinto, sarado man o bukas, ay patayo sa sahig?

Bakit ang isang plumb line ay magkasya nang mahigpit sa isang patayong pader, ngunit hindi kinakailangan laban sa isang hilig?

Posible bang ikabit ang isang kalasag sa isang hilig na poste upang ito ay patayo sa ibabaw ng lupa?

Paano praktikal na matukoy kung ang isang eroplano ay patayo

pader eroplano sahig? perpendicularperpendicularperpendicular- tuwid, nakahiga - β. Tama 7. . Posibleng 8.9.10.11.12.

Mga graphic na pagsasanay

1. Sa Fig. 436 ay nagpapakita ng isang kubo ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

1) Tukuyin ang mga eroplanong patayo sa eroplano BDD 1.

2) Kumusta ang mga eroplano at

A1 B1 CAB 1 C 1

Perpendicularity ng mga eroplano
			437 plane squares ABCD at
	ABC1 D1		patayo. Distansya		CC1
	katumbas b. Hanapin ang haba ng segment:
		AB;		D1 C;
		D1 D;		C1 D.	Dan-
	Bumuo ng isang guhit ayon sa ibinigay
	1) Mga eroplano ng equilateral triangles
	Ang ABC at ABC ay patayo.
		Ang eroplanong ABC ay patayo sa mga eroplanong BDC at BEA.
		Ang mga eroplanong α at β ay patayo sa eroplanong γ at nagsa-intersect
	kasama ang tuwid na linya a, ang mga linya ng kanilang intersection sa eroplano γ
	ay mga tuwid na linya b ay.
		Sa isang parihabang parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 eroplano
	Ang mga buto AB 1 C 1 at BCA 1 ay patayo.

421. Ang segment na OS ay iginuhit mula sa gitna O ng parisukat na ABCD na patayo sa eroplano nito.

1°) Tukuyin ang relatibong posisyon ng mga eroplano ng ACS

at ABC.

2°) Tukuyin ang relatibong posisyon ng mga eroplano ng ACS

at BDS.

3) Gumawa ng eroplanong dumadaan sa linyang OS na patayo sa eroplanong ABS.

4) Bumuo ng isang eroplanong patayo sa eroplanong ABC at dumadaan sa mga midpoint ng panig AD at CD.

422. Mula sa intersection point O ng mga diagonal ng rhombus ABCD, ang isang segment na OS ay iginuhit patayo sa eroplano ng rhombus, AB = DB =

1°) Tukuyin ang relatibong posisyon ng SDB at

ABC, SDB at ACS.

2°) Bumuo ng isang eroplanong dumadaan sa linyang BC na patayo sa eroplanong ABD.

3) Gumuhit ng isang eroplanong patayo sa eroplanong ABC sa pamamagitan ng gitnang F ng segment na CS.

4) Hanapin ang lugar ng tatsulok na BDF.

423. Given a cube ABCDA1 B1 C1 D1.

1°) Tukuyin ang relatibong posisyon ng mga eroplano AB 1 C 1

at CDD1.

2°) Tukuyin ang relatibong posisyon ng mga eroplano AB 1 C 1

at CD1 A1.

3°) Bumuo ng eroplanong dumadaan sa punto A na patayo sa eroplano BB 1 D 1.

4) Bumuo ng isang seksyon ng kubo na may isang eroplanong dumadaan sa mga midpoint ng mga gilid A 1 D 1 at B 1 C 1 na patayo sa eroplanong ABC. 5) Tukuyin ang relatibong posisyon ng eroplano AA 1 B at ang eroplanong dumadaan sa gitna ng mga tadyang A 1 B 1, C 1 D 1, CD.

6) Hanapin ang cross-sectional area ng cube sa pamamagitan ng isang eroplanong dumadaan sa gilid BB 1 at sa gitna ng gilid A 1 D 1 (BB ​​​​1 = a).

7) Bumuo ng isang puntong simetriko sa puntong A na may kaugnayan sa eroplano A 1 B 1 C.

424. Sa isang regular na tetrahedron ABCD na may gilid na 2 cm, ang point M ay ang gitna ng DB, at ang point N ay ang gitna ng AC.

1°) Patunayan na ang tuwid na linya ng DB ay patayo sa eroplano

2°) Patunayan na ang eroplanong BDM ay patayo sa eroplanong AMC.

3) Sa pamamagitan ng punto O ng intersection ng mga median ng tatsulok na ADC, gumuhit ng isang tuwid na linya na patayo sa eroplanong AMC.

4) Hanapin ang haba ng line segment na ito sa loob ng tetrahedron. 5) Sa anong ratio hinahati ng eroplano ng AMC ang segment na ito?

425. Dalawang magkaparehong tatsulok na ABC at ADC ay nakahiga sa mga patayong eroplano.

1°) Hanapin ang haba ng segment BD kung AC = 1 cm.

2) Patunayan na ang eroplanong BKD (K ay nasa linyang AC) ay patayo sa eroplano ng bawat tatsulok kung at kung K lamang ang midpoint ng gilid AC.

426. Ang parihaba ABCD, na ang mga gilid ay 3 cm at 4 cm, ay baluktot sa kahabaan ng dayagonal AC upang ang mga tatsulok na ABC at ADC ay matatagpuan sa patayo na mga eroplano. Tukuyin ang distansya sa pagitan ng mga punto B at D pagkatapos baluktot ang parihaba ABCD.

427. Sa pamamagitan ng puntong ito gumuhit ng isang eroplanong patayo sa bawat isa sa dalawang ibinigay na eroplano.

428°. Patunayan na ang mga eroplano ng katabing mga mukha ng isang kubo ay patayo.

429. Ang mga eroplanong α at β ay patayo sa isa't isa. Mula sa punto A ng eroplanong α, ang isang tuwid na linyang AB ay iginuhit patayo sa eroplanong β. Patunayan na ang linyang AB ay nasa α plane.

430. Patunayan na kung ang isang eroplano at isang linya na hindi nakahiga sa eroplanong ito ay patayo sa parehong eroplano, kung gayon sila ay parallel sa isa't isa.

431. Sa pamamagitan ng mga puntong A at B na nakahiga sa intersection line ng mga eroplanong α at β na patayo sa isa't isa, ang mga patayong tuwid na linya ay iginuhit: AA 1 sa α, BB 1 sa β. Ang point X ay nasa linya AA 1, at ang point Y ay nasa BB 1. Patunayan na ang tuwid na linya ВB 1 ay patayo sa tuwid na linya ВХ, at ang tuwid na linya АА 1 ay patayo sa tuwid na linya АY.

432*. Sa gitna ng bawat panig ng tatsulok, ang isang eroplano ay iginuhit patayo sa panig na ito. Patunayan na ang lahat ng tatlong iginuhit na mga eroplano ay bumalandra sa isang tuwid na linya na patayo sa eroplano ng tatsulok.

Mga ehersisyo na paulit-ulit

433. Sa isang equilateral triangle na may gilid b tukuyin: 1) taas; 2) radii ng inscribed at circumscribed circles.

434. Mula sa isang punto ang isang patayo at dalawang pahilig na linya ay iguguhit sa isang ibinigay na linya. Tukuyin ang haba ng patayo kung ang mga hilig ay 41 cm at 50 cm, at ang kanilang mga projection sa linyang ito ay nasa ratio na 3:10.

435. Tukuyin ang mga binti ng isang tamang tatsulok kung bis- hinahati ng sectrix ng isang tamang anggulo ang hypotenuse sa mga segment na 15 cm at

Pangunahing kahulugan

Tinatawag ang dalawang eroplano

ay patayo , kung ang bawat isa sa kanila ay nabuo sa pamamagitan ng mga tuwid na linya- mi, patayo- mi ng pangalawang eroplano at dumadaan sa mga intersection point ng mga eroplanong ito.

	Pangunahing pahayag
Perpendicular sign		Kung mag-isa
cularity		mga eroplano	pumasa-
mga eroplano		dit through
		patayo
		ang pangalawang eroplano, pagkatapos		b α, b β α β
		ang mga eroplanong ito ay
		pendicular.

		perpend-		dalawang eroplano
orifice			ay patayo, kung gayon
intersectionsperpen			direkta, kabilang sa
dicular		patag	pagbabahagi ng isang eroplano
			at patayo
				mga panulukan
			ang mga eroplanong ito, bawat-		α β, b β, c = α ∩β,
			pendicular sa pangalawa		b c b α
			eroplano.

Kahulugan. Ang dalawang eroplano ay tinatawag na patayo kung ang anggulo sa pagitan ng mga ito ay 90°. Nagpapakita kami nang walang patunay na theorems ng stereometry, na kapaki-pakinabang para sa paglutas ng mga kasunod na problema sa panukat.

1. Isang tanda ng perpendicularity ng dalawang eroplano: kung ang isang eroplano ay dumaan sa isang patayo sa isa pang eroplano, kung gayon ito ay patayo sa eroplanong ito.

2. Kung ang dalawang eroplano ay patayo sa isang ikatlong eroplano, kung gayon

ang tuwid na linya ng kanilang intersection ay patayo sa ikatlong eroplano.

3. Para sa isang hilig na linya na hindi patayo sa eroplano, ang sumusunod na pahayag ay nagtataglay: ang tanging eroplano na dumadaan sa inclined na linya ay patayo sa ibinigay na eroplano.

Ang huling pahayag ay nagpapahintulot sa amin na imungkahi ang sumusunod na algorithm para sa pagbuo ng isang eroplanong dumadaan sa inclined AB at patayo sa isang ibinigay na eroplano Σ:

1) isang arbitrary point E ay pinili sa AB;

2) isang tuwid na linya t ay itinayo sa paraang t "E, t ^ h, t ^ f, kung saan h Ì Σ, f Ì Σ

(Larawan 7.10), i.e. t^Σ.

Ang eroplano (AB,t) ang magiging tanging eroplanong patayo sa eroplano Σ. Tandaan na higit sa isang eroplanong patayo sa Σ ang dumadaan sa linyang t ^ Σ.

Gawain. Given a plane Σ(CD, MN), kung saan ang CD // MN at straight line AB (Fig. 7.11).

Bumuo ng isang eroplano sa CN na dumadaan sa AB at patayo sa eroplano Σ.

Algorithm para sa projection na solusyon ng problema:

1) ang mga linya ng antas h(h 1 ,h 2) at f(f 1 ,f 2) ay itinayo sa Σ plane, na may h 2 // x, f 1 // x;

2) ang mga projection t 1 at t 2 ng linya t ay itinayo sa paraang t 2 " E 2, t 2 ^ f 2; t 1 " E 1, t 1 ^ h 1, kung saan ang E О AB ay isang arbitrary na punto . Ang eroplano (AB, t) ay ang solusyon sa problema.

Gawain. Given planes Σ(AB, DC) at Δ(KL, PT), kung saan

AB Ç DC, KL // PT, pati na rin ang punto E. Bumuo ng isang eroplanong dumadaan sa punto E at patayo sa parehong mga eroplano Σ at Δ (Larawan 9.9).

Isa sa mga posibleng solusyon sa problemang ito ay ang mga sumusunod. Una, ang intersection line ng mga ibinigay na eroplano t = Σ Ç Δ ay itinayo. Pagkatapos, batay sa mga theorems sa itaas ng stereometry, ang isang eroplano ay itinayo na dumadaan sa punto E at patayo sa linya t. Ang pagiging kakaiba, ang eroplanong ito ay kumakatawan sa solusyon sa problema.

Ang isa pang algorithm para sa paglutas ng problemang ito ay posible (tingnan ang Fig. 9.8):

1) mula sa isang ibinigay na punto E isang patayo a ay bumababa sa eroplano Σ;

2) mula sa punto E ay nagpapababa ng patayo b sa eroplanong Δ.

Ang eroplano (a, b), kung saan ang a Ç b = E, ay ang solusyon sa problema. Isaalang-alang natin ang pagpapatupad ng algorithm na ito sa CN (tingnan ang Fig. 9.9).

1. Sa eroplanong Σ, gumagawa kami ng mga linya ng antas h 1 (h 1 1, h 1 2) at f 1 (f 1 1, f 1 2). Kung saan

h 1 2 // x; f 1 1 // x.

2. Sa Δ plane, bumubuo kami ng mga linya ng antas h 2 (h 2 1, h 2 2) at f 2 (f 2 1, f 2 2). Kung saan

h 2 2 // x; f 2 1 //x.

3. Dalawang patayo ang ibinababa mula sa punto E: a ^ Σ, b ^ Δ. Kung saan

isang 2 ^ f 1 2, isang 1 ^h 1 1; b 2 ^ f 2 2 , b 1 ^ h 2 1 .

Dalawang tuwid na linya a at b na nagsasalubong sa punto E ay tumutukoy sa nais na eroplano, i.e. isang eroplanong patayo sa ibinigay na mga eroplano Σ at Δ.