Ang kabuuan ng unang 7 numero ng isang geometric na pag-unlad. Geometric na pag-unlad. Halimbawa na may solusyon

Ang geometric progression ay isang bagong uri ng pagkakasunud-sunod ng numero na malapit na nating makilala. Para sa matagumpay na pakikipag-date, hindi masakit na malaman at maunawaan man lang. Pagkatapos ay walang magiging problema sa geometric progression.)

Ano ang geometric progression? Ang konsepto ng geometric progression.

Sinimulan namin ang paglilibot, gaya ng dati, gamit ang mga pangunahing kaalaman. Sumulat ako ng hindi natapos na pagkakasunud-sunod ng mga numero:

1, 10, 100, 1000, 10000, …

Maaari mo bang makita ang pattern at sabihin kung aling mga numero ang susunod na darating? Malinaw ang paminta, pagkatapos ay susunod ang mga numerong 100,000, 1,000,000 at iba pa. Kahit na walang labis na pagsisikap sa pag-iisip, ang lahat ay malinaw, tama?)

OK. Isa pang halimbawa. Sinusulat ko ang pagkakasunud-sunod na ito:

1, 2, 4, 8, 16, …

Masasabi mo ba kung aling mga numero ang susunod, kasunod ng numero 16, at pangalan ikawalo miyembro ng sequence? Kung naisip mo na ito ay ang numero 128, kung gayon napakahusay. Kaya, kalahati ng labanan ay nasa pag-unawa kahulugan At pangunahing puntos nagawa na ang geometric progression. Maaari kang lumago pa.)

At ngayon lumipat kami muli mula sa mga sensasyon hanggang sa mahigpit na matematika.

Mga pangunahing punto ng geometric na pag-unlad.

Pangunahing Punto #1

Ang geometric progression ay pagkakasunod-sunod ng mga numero. Gayundin ang pag-unlad. Walang magarbong. Tanging ang pagkakasunod-sunod na ito ay nakaayos iba. Kaya, natural, mayroon itong ibang pangalan, oo...

Pangunahing Punto #2

Sa pangalawang pangunahing punto, ang tanong ay magiging mas nakakalito. Bumalik tayo ng kaunti at tandaan ang pangunahing katangian ng pag-unlad ng arithmetic. Heto na: iba ang bawat miyembro sa nauna sa parehong halaga.

Posible bang magbalangkas ng isang katulad na pangunahing pag-aari para sa isang geometric na pag-unlad? Mag-isip ng kaunti... Tingnang mabuti ang mga halimbawang ibinigay. nahulaan mo ba? Oo! Sa geometric progression (anuman!) Ang bawat isa sa mga miyembro nito ay naiiba sa nauna ang parehong bilang ng beses. Laging!

Sa unang halimbawa, ang bilang na ito ay sampu. Alinmang miyembro ng sequence ang kukunin mo, mas malaki ito kaysa sa nauna sampung beses.

Sa pangalawang halimbawa ito ay dalawa: ang bawat termino ay mas malaki kaysa sa nauna dalawang beses.

Ito ang pangunahing punto na ang geometric progression ay naiiba sa arithmetic progression. Sa isang pag-unlad ng aritmetika, ang bawat kasunod na termino ay nakuha sa pamamagitan ng pagdaragdag ang parehong halaga sa nakaraang termino. At dito - pagpaparami ang nakaraang termino sa parehong halaga. Iyon ang buong pagkakaiba.)

Pangunahing Punto #3

Ang pangunahing puntong ito ay ganap na magkapareho sa para sa isang pag-unlad ng aritmetika. Namely: Ang bawat miyembro ng isang geometric progression ay nakatayo sa lugar nito. Ang lahat ay eksaktong kapareho ng sa pag-unlad ng aritmetika at mga komento, sa palagay ko, ay hindi kailangan. Mayroong unang termino, mayroong daan at una, atbp. Magpalit tayo ng hindi bababa sa dalawang termino - ang pattern (at kasama nito ang geometric progression) ay mawawala. Ang mananatili ay isang pagkakasunod-sunod lamang ng mga numero nang walang anumang lohika.

Iyon lang. Iyan ang buong punto ng geometric progression.

Mga tuntunin at pagtatalaga.

Ngunit ngayon, nang naunawaan ang kahulugan at mga pangunahing punto ng geometric na pag-unlad, maaari tayong magpatuloy sa teorya. Kung hindi, ano ang teorya nang hindi nauunawaan ang kahulugan, di ba?

Paano tukuyin ang geometric na pag-unlad?

Paano isinusulat ang geometric progression sa pangkalahatang anyo? Walang problema! Ang bawat termino ng pag-unlad ay isinulat din bilang isang liham. Para lamang sa pag-unlad ng aritmetika, kadalasan ang titik ay ginagamit "A", para sa geometric – titik "b". Numero ng miyembro, gaya ng dati, ay ipinahiwatig index sa kanang ibaba. Inililista lang namin ang mga mismong miyembro ng progression, na pinaghihiwalay ng mga kuwit o semicolon.

Ganito:

b 1,b 2 , b 3 , b 4 , b 5 , b 6 , …

Sa madaling sabi, ang pag-unlad na ito ay nakasulat tulad nito: (b n) .

O tulad nito, para sa mga may hangganang pag-unlad:

b 1, b 2, b 3, b 4, b 5, b 6.

b 1, b 2, …, b 29, b 30.

O, sa madaling salita:

(b n), n=30 .

Iyon, sa katunayan, ang lahat ng pagtatalaga. Ang lahat ay pareho, ang titik lamang ang naiiba, oo.) At ngayon ay direktang lumipat tayo sa kahulugan.

Kahulugan ng geometric progression.

Ang geometric progression ay isang pagkakasunud-sunod ng numero kung saan ang unang termino ay hindi zero, at ang bawat kasunod na termino ay katumbas ng nakaraang termino na pinarami ng parehong di-zero na numero.

Iyan ang buong kahulugan. Karamihan sa mga salita at parirala ay malinaw at pamilyar sa iyo. Kung, siyempre, naiintindihan mo ang kahulugan ng geometric na pag-unlad "sa iyong mga daliri" at sa pangkalahatan. Ngunit mayroon ding ilang mga bagong parirala na nais kong bigyang-pansin.

Una, ang mga salita: "ang unang miyembro nito hindi zero".

Ang paghihigpit na ito sa unang termino ay hindi ipinakilala ng pagkakataon. Ano sa tingin mo ang mangyayari kung ang unang miyembro b 1 magiging katumbas ng zero? Ano ang magiging katumbas ng pangalawang termino kung ang bawat termino ay mas malaki kaysa sa nauna? ang parehong bilang ng beses? Sabihin nating tatlong beses? Tingnan natin... Multiply ang unang termino (i.e. 0) sa 3 at makakuha ng... zero! Paano ang ikatlong miyembro? Zero din! At ang pang-apat na termino ay zero din! At iba pa…

Kumuha lang kami ng isang bag ng bagel, isang sequence ng mga zero:

0, 0, 0, 0, …

Siyempre, ang gayong pagkakasunud-sunod ay may karapatang mabuhay, ngunit ito ay walang praktikal na interes. Ang lahat ay malinaw. Kahit sinong miyembro nito ay zero. Ang kabuuan ng anumang bilang ng mga termino ay zero din... Anong mga kawili-wiling bagay ang maaari mong gawin dito? Wala…

Ang mga sumusunod na keyword: "na-multiply sa parehong hindi-zero na numero."

Ang parehong numero ay mayroon ding sariling espesyal na pangalan - denominator ng geometric progression. Magsimula tayong magkakilala.)

Denominator ng isang geometric na pag-unlad.

Ang lahat ay kasing simple ng paghihimay ng mga peras.

Ang denominator ng isang geometric na pag-unlad ay isang hindi-zero na numero (o dami) na nagpapahiwatig Ilang besesbawat termino ng pag-unlad higit pa sa nauna.

Muli, katulad ng pag-unlad ng aritmetika, ang pangunahing salita na hahanapin sa kahulugang ito ay ang salita "higit pa". Nangangahulugan ito na ang bawat termino ng geometric progression ay nakuha pagpaparami sa mismong denominator na ito dating miyembro.

Hayaan mo akong magpaliwanag.

Upang makalkula, sabihin natin pangalawa titi, kailangan kunin una miyembro at magparami ito sa denominator. Para sa pagkalkula ikasampu titi, kailangan kunin ikasiyam miyembro at magparami ito sa denominator.

Ang denominator ng geometric progression mismo ay maaaring maging anuman. Kahit sino talaga! Buo, fractional, positibo, negatibo, hindi makatwiran - lahat. Maliban sa zero. Ito ang sinasabi sa atin ng salitang "non-zero" sa kahulugan. Bakit kailangan ang salitang ito dito - higit pa sa susunod.

Denominator ng geometric progression kadalasang ipinahihiwatig ng liham q.

Paano ito mahahanap q? Walang problema! Dapat nating kunin ang anumang termino ng pag-unlad at hatiin sa nakaraang termino. Ang dibisyon ay maliit na bahagi. Samakatuwid ang pangalan - "denominator ng pag-unlad". Ang denominator, kadalasan ay nasa isang fraction, oo...) Bagaman, lohikal, ang halaga q dapat tawagan pribado geometric progression, katulad ng pagkakaiba para sa pag-unlad ng aritmetika. Pero nagkasundo kaming tumawag denominador. At hindi rin namin muling iimbento ang gulong.)

Tukuyin natin, halimbawa, ang dami q para sa geometric na pag-unlad na ito:

2, 6, 18, 54, …

Elementary ang lahat. Kunin natin anuman sequence number. Kinukuha namin ang anumang gusto namin. Maliban sa pinaka una. Halimbawa, 18. At hatiin sa pamamagitan ng nakaraang numero. Ibig sabihin, sa 6.

Nakukuha namin:

q = 18/6 = 3

Iyon lang. Ito ang tamang sagot. Para sa geometric na pag-unlad na ito, ang denominator ay tatlo.

Hanapin natin ngayon ang denominator q para sa isa pang geometric na pag-unlad. Halimbawa, ang isang ito:

1, -2, 4, -8, 16, …

Lahat pare-pareho. Kahit anong senyales na meron ang mismong mga miyembro, kinukuha pa rin natin anuman bilang ng sequence (halimbawa, 16) at hatiin sa nakaraang numero(ibig sabihin -8).

Nakukuha namin:

d = 16/(-8) = -2

At iyon lang.) Sa pagkakataong ito ang denominator ng progression ay naging negatibo. Minus dalawa. Mangyayari.)

Kunin natin ngayon ang pag-unlad na ito:

1, 1/3, 1/9, 1/27, …

At muli, anuman ang uri ng mga numero sa pagkakasunud-sunod (kung mga integer, kahit na mga fraction, kahit na negatibo, kahit na hindi makatwiran), kumukuha kami ng anumang numero (halimbawa, 1/9) at hinahati sa nakaraang numero (1/3). Ayon sa mga patakaran para sa pagtatrabaho sa mga fraction, siyempre.

Nakukuha namin:

Iyon lang.) Dito naging fractional ang denominator: q = 1/3.

Ano sa palagay mo ang "pag-unlad" na ito?

3, 3, 3, 3, 3, …

Obvious dito q = 1 . Pormal, ito ay isa ring geometric na pag-unlad, lamang sa magkaparehong miyembro.) Ngunit ang ganitong mga pag-unlad ay hindi kawili-wili para sa pag-aaral at praktikal na aplikasyon. Kapareho ng mga pag-unlad na may mga solidong zero. Samakatuwid, hindi namin sila isasaalang-alang.

Tulad ng nakikita mo, ang denominator ng pag-unlad ay maaaring maging anuman - integer, fractional, positibo, negatibo - kahit ano! Hindi pwedeng zero lang. Hindi ko mahulaan kung bakit?

Buweno, gumamit tayo ng ilang partikular na halimbawa upang makita kung ano ang mangyayari kung gagawin natin bilang denominator q zero.) Hayaan natin, halimbawa, magkaroon b 1 = 2 , A q = 0 . Ano ang magiging katumbas ng ikalawang termino?

Binibilang namin:

b 2 = b 1 · q= 2 0 = 0

Paano ang ikatlong miyembro?

b 3 = b 2 · q= 0 0 = 0

Mga uri at pag-uugali ng mga geometric na pag-unlad.

Ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw: kung ang pagkakaiba sa pag-unlad d ay positibo, pagkatapos ay tumataas ang pag-unlad. Kung negatibo ang pagkakaiba, bababa ang pag-unlad. Mayroon lamang dalawang pagpipilian. Walang pangatlo.)

Ngunit sa pag-uugali ng geometric na pag-unlad, ang lahat ay magiging mas kawili-wili at iba-iba!)

Hindi mahalaga kung paano kumilos ang mga termino dito: tumataas sila, at bumababa, at lumalapit sa zero nang walang katiyakan, at kahit na nagbabago ng mga palatandaan, halili na itinapon ang kanilang mga sarili sa "plus" at pagkatapos ay sa "minus"! At sa lahat ng pagkakaiba-iba na ito kailangan mong maunawaan nang mabuti, oo...

Alamin natin ito?) Magsimula tayo sa pinakasimpleng kaso.

Ang denominator ay positibo ( q >0)

Sa isang positibong denominator, una, ang mga tuntunin ng geometric na pag-unlad ay maaaring pumasok plus infinity(ibig sabihin, tumaas nang walang limitasyon) at maaaring pumasok minus infinity(i.e., bawasan nang walang limitasyon). Sanay na tayo sa ganitong pag-uugali ng mga pag-unlad.

Halimbawa:

(b n): 1, 2, 4, 8, 16, …

Simple lang ang lahat dito. Ang bawat termino ng pag-unlad ay nakuha higit sa nauna. Bukod dito, lumiliko ang bawat termino pagpaparami nakaraang miyembro sa positibo numero +2 (i.e. q = 2 ). Ang pag-uugali ng naturang pag-unlad ay halata: ang lahat ng mga miyembro ng pag-unlad ay lumalaki nang walang limitasyon, papunta sa kalawakan. Plus infinity...

At ngayon narito ang pag-unlad:

(b n): -1, -2, -4, -8, -16, …

Dito rin, ang bawat termino ng pag-unlad ay nakuha pagpaparami nakaraang miyembro sa positibo numero +2. Ngunit ang pag-uugali ng naturang pag-unlad ay eksaktong kabaligtaran: ang bawat termino ng pag-unlad ay nakuha mas mababa kaysa dati, at ang lahat ng termino nito ay bumaba nang walang limitasyon, papunta sa minus infinity.

Ngayon isipin natin: ano ang pagkakatulad ng dalawang pag-unlad na ito? Tama, denominator! Dito at doon q = +2 . Positibong numero. Dalawa. At dito pag-uugali Ang dalawang pag-unlad na ito ay sa panimula ay magkaiba! Hindi ko mahulaan kung bakit? Oo! Ito ay tungkol sa lahat unang miyembro! Siya, gaya ng sinasabi nila, ang tumatawag sa himig.) Tingnan mo ang iyong sarili.

Sa unang kaso, ang unang termino ng pag-unlad positibo(+1) at, samakatuwid, lahat ng kasunod na termino na nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng positibo denominador q = +2 , ay magiging positibo.

Ngunit sa pangalawang kaso, ang unang termino negatibo(-1). Samakatuwid, ang lahat ng kasunod na mga tuntunin ng pag-unlad, nakuha sa pamamagitan ng pagpaparami ng positibo q = +2 , ay makukuha rin negatibo. Dahil ang "minus" hanggang "plus" ay palaging nagbibigay ng "minus", oo.)

Tulad ng nakikita mo, hindi tulad ng isang pag-unlad ng aritmetika, ang isang geometric na pag-unlad ay maaaring kumilos nang ganap na naiiba hindi lamang depende mula sa denominatorq, ngunit depende rin mula sa unang miyembro, Oo.)

Tandaan: ang pag-uugali ng isang geometric na pag-unlad ay natatanging tinutukoy ng unang termino nito b 1 at denominadorq .

At ngayon nagsisimula kaming mag-analisa ng hindi gaanong pamilyar, ngunit mas kawili-wiling mga kaso!

Kunin natin, halimbawa, ang sequence na ito:

(b n): 1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, …

Ang sequence na ito ay isa ring geometric progression! Ang bawat termino ng pag-unlad na ito ay lumalabas din pagpaparami ang dating miyembro, sa parehong numero. Ito ay isang numero lamang - fractional: q = +1/2 . O kaya +0,5 . Bukod dito (mahalaga!) ang bilang mas mababa sa isa:q = 1/2<1.

Bakit kawili-wili ang geometric progression na ito? Saan patungo ang mga miyembro nito? Tingnan natin:

1/2 = 0,5;

1/4 = 0,25;

1/8 = 0,125;

1/16 = 0,0625;

…….

Anong mga kawili-wiling bagay ang mapapansin mo dito? Una, ang pagbaba sa mga tuntunin ng pag-unlad ay kapansin-pansin kaagad: bawat isa sa mga miyembro nito mas mababa eksakto sa nauna 2 beses. O, ayon sa kahulugan ng isang geometric na pag-unlad, ang bawat termino higit pa dati 1/2 beses, dahil denominador ng pag-unlad q = 1/2 . At kapag pinarami ng positibong numero na mas mababa sa isa, kadalasang bumababa ang resulta, oo...

Ano higit pa makikita sa pag-uugali ng pag-unlad na ito? Nababawasan ba ang mga miyembro nito? walang limitasyon, pupunta sa minus infinity? Hindi! Nawala sila sa isang espesyal na paraan. Sa una ay bumababa sila nang mabilis, at pagkatapos ay mas mabagal. At habang nananatili sa lahat ng oras positibo. Kahit na napaka, napakaliit. At ano ang kanilang pinagsisikapan? Hindi mo ba nahulaan? Oo! Nagsusumikap sila patungo sa zero!) Bukod dito, bigyang-pansin, ang mga miyembro ng aming pag-unlad ay mula sa zero hinding hindi maabot! Tanging papalapit sa kanya ng walang katapusan na malapit. Ito ay napakahalaga.)

Ang isang katulad na sitwasyon ay magaganap sa sumusunod na pag-unlad:

(b n): -1, -1/2, -1/4, -1/8, -1/16, …

Dito b 1 = -1 , A q = 1/2 . Ang lahat ay pareho, ngayon lamang ang mga tuntunin ay lalapit sa zero mula sa kabilang panig, mula sa ibaba. Nananatili sa lahat ng oras negatibo.)

Ang gayong geometric na pag-unlad, ang mga tuntunin kung saan lumapit sa zero nang walang limitasyon(kahit na mula sa positibo o negatibong panig), sa matematika ay may espesyal na pangalan - walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Ang pag-unlad na ito ay lubhang kawili-wili at hindi karaniwan na ito ay tatalakayin pa hiwalay na aralin .)

Kaya, isinasaalang-alang namin ang lahat ng posible positibo ang mga denominator ay parehong malaki at mas maliit. Hindi namin isinasaalang-alang ang unit mismo bilang denominator para sa mga kadahilanang nakasaad sa itaas (tandaan ang halimbawa na may pagkakasunod-sunod ng triplets...)

Ibuod natin:

positiboAt higit sa isa (q>1), pagkatapos ay ang mga tuntunin ng pag-unlad:

a) pagtaas nang walang limitasyon (kungb 1 >0);

b) pagbaba nang walang limitasyon (kungb 1 <0).

Kung ang denominator ng geometric progression positibo At mas mababa sa isa (0< q<1), то члены прогрессии:

a) walang katapusang malapit sa zero sa itaas(Kungb 1 >0);

b) papalapit nang walang katapusan malapit sa zero galing sa ibaba(Kungb 1 <0).

Ito ay nananatili ngayon upang isaalang-alang ang kaso negatibong denominador.

Ang denominator ay negatibo ( q <0)

Hindi tayo lalayo para sa isang halimbawa. Bakit, eksakto, balbon na lola?!) Hayaan, halimbawa, ang unang termino ng pag-unlad b 1 = 1 , at kunin natin ang denominator q = -2.

Nakukuha namin ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:

(b n): 1, -2, 4, -8, 16, …

At iba pa.) Ang bawat termino ng pag-unlad ay nakuha pagpaparami nakaraang miyembro sa isang negatibong numero-2. Sa kasong ito, ang lahat ng miyembro na nakatayo sa mga kakaibang lugar (una, ikatlo, ikalima, atbp.) ay magiging positibo, at sa kahit na mga lugar (pangalawa, ikaapat, atbp.) – negatibo. Ang mga palatandaan ay mahigpit na kahalili. Plus-minus-plus-minus... Ang geometric progression na ito ay tinatawag na - pagtaas ng sign alternating.

Saan patungo ang mga miyembro nito? Ngunit wala kahit saan.) Oo, sa ganap na halaga (i.e. modulo) ang mga miyembro ng aming pag-unlad ay tumataas nang walang limitasyon (kaya't ang pangalan ay "tumataas"). Ngunit sa parehong oras, ang bawat miyembro ng pag-unlad ay halili na itinapon ang isa sa init, pagkatapos ay sa lamig. Alinman sa "plus" o "minus". Ang aming pag-unlad ay nag-aalinlangan... Bukod dito, ang saklaw ng pagbabagu-bago ay mabilis na lumalaki sa bawat hakbang, oo.) Samakatuwid, ang mga adhikain ng mga miyembro ng pag-unlad ay napupunta sa isang lugar partikular Dito Hindi. Ni sa plus infinity, o sa minus infinity, o sa zero - wala kahit saan.

Isaalang-alang natin ngayon ang ilang fractional denominator sa pagitan ng zero at minus one.

Halimbawa, hayaan mo na b 1 = 1 , A q = -1/2.

Pagkatapos ay makuha namin ang pag-unlad:

(b n): 1, -1/2, 1/4, -1/8, 1/16, …

At muli ay mayroon tayong alternation ng mga palatandaan! Ngunit, hindi tulad ng naunang halimbawa, narito mayroon nang malinaw na pagkahilig para sa mga termino na lumalapit sa zero.) Sa pagkakataong ito lamang ang aming mga termino ay lumalapit sa zero hindi lamang mula sa itaas o sa ibaba, ngunit muli nag-aalangan. Salit-salit na pagkuha ng mga positibo at negatibong halaga. Ngunit sa parehong oras sila mga module ay papalapit nang papalapit sa itinatangi na zero.)

Ang geometric progression na ito ay tinatawag walang katapusang pagbaba ng tanda, alternating.

Bakit kawili-wili ang dalawang halimbawang ito? At ang katotohanan na sa parehong mga kaso ay nagaganap salit-salit na mga palatandaan! Ang trick na ito ay tipikal lamang para sa mga progression na may negatibong denominator, oo.) Samakatuwid, kung sa ilang gawain ay makakita ka ng geometric progression na may mga papalit-palit na termino, tiyak na malalaman mo na ang denominator nito ay 100% negatibo at hindi ka magkakamali sa tanda.)

Sa pamamagitan ng paraan, sa kaso ng isang negatibong denominator, ang tanda ng unang termino ay hindi nakakaapekto sa pag-uugali ng pag-unlad mismo. Anuman ang tanda ng unang termino ng pag-unlad, sa anumang kaso ang tanda ng mga tuntunin ay susundin. Ang tanong lang, sa anong mga lugar(kahit o kakaiba) magkakaroon ng mga miyembro na may mga tiyak na palatandaan.

Tandaan:

Kung ang denominator ng geometric progression negatibo , kung gayon ang mga palatandaan ng mga tuntunin ng pag-unlad ay palaging kahalili.

Kasabay nito, ang mga miyembro mismo:

a) pagtaas nang walang limitasyonmodulo, Kungq<-1;

b) lumapit sa zero nang walang hanggan kung -1< q<0 (прогрессия бесконечно убывающая).

Iyon lang. Ang lahat ng karaniwang mga kaso ay nasuri.)

Sa proseso ng pagsusuri ng iba't ibang mga halimbawa ng mga geometric na pag-unlad, pana-panahon kong ginagamit ang mga salita: "may posibilidad na maging zero", "may posibilidad na plus infinity", "may posibilidad na minus infinity"... Okay lang.) Ang mga figure of speech na ito (at mga partikular na halimbawa) ay paunang panimula lamang sa pag-uugali iba't ibang pagkakasunud-sunod ng numero. Gamit ang halimbawa ng geometric progression.

Bakit kailangan pa nating malaman ang pag-uugali ng pag-unlad? Ano ang pagkakaiba nito kung saan siya pupunta? Patungo sa zero, sa plus infinity, sa minus infinity... Ano ang ginagawa nito sa atin?

Ang bagay ay nasa unibersidad na, sa isang kurso ng mas mataas na matematika, kakailanganin mo ang kakayahang magtrabaho sa isang malawak na iba't ibang mga pagkakasunud-sunod ng numero (na may anuman, hindi lamang mga pag-unlad!) at ang kakayahang isipin nang eksakto kung paano ito o ang pagkakasunud-sunod na iyon kumikilos - kung ito ay tumataas kung ito ay bumababa nang walang limitasyon, kung ito ay may posibilidad sa isang tiyak na numero (at hindi kinakailangan sa zero), o kahit na hindi malamang sa anumang bagay... Ang isang buong seksyon ay nakatuon sa paksang ito sa kurso ng matematika pagsusuri - teorya ng mga limitasyon. At mas partikular - ang konsepto limitasyon ng pagkakasunod-sunod ng numero. Isang napaka-interesante na paksa! Makatuwiran na pumunta sa kolehiyo at alamin ito.)

Ilang halimbawa mula sa seksyong ito (mga sequence na may limitasyon) at sa partikular, walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad Nagsisimula na silang masanay sa paaralan. Nasasanay na tayo.)

Bukod dito, ang kakayahang pag-aralan nang mabuti ang pag-uugali ng mga pagkakasunud-sunod ay lubos na makikinabang sa iyo sa hinaharap at magiging lubhang kapaki-pakinabang sa pananaliksik sa tungkulin. Ang pinaka-magkakaibang. Ngunit ang kakayahang mahusay na magtrabaho sa mga function (kalkulahin ang mga derivatives, pag-aralan ang mga ito nang buo, buuin ang kanilang mga graph) ay kapansin-pansing nagpapataas ng iyong antas ng matematika! Mayroon ka bang anumang mga pagdududa? Hindi na kailangan. Tandaan din ang aking mga salita.)

Tingnan natin ang geometric progression sa buhay?

Sa buhay sa paligid natin, nakakaranas tayo ng geometric progression nang napakadalas. Kahit hindi mo alam.)

Halimbawa, ang iba't ibang mga mikroorganismo na nakapaligid sa atin sa lahat ng dako sa napakalaking dami at na hindi natin makita nang walang mikroskopyo ay tiyak na dumarami sa geometric na pag-unlad.

Sabihin nating ang isang bacterium ay nagpaparami sa pamamagitan ng paghahati sa kalahati, na nagbibigay ng mga supling sa 2 bakterya. Sa turn, ang bawat isa sa kanila, kapag dumami, ay nahahati din sa kalahati, na nagbibigay ng isang karaniwang supling ng 4 na bakterya. Ang susunod na henerasyon ay gagawa ng 8 bacteria, pagkatapos ay 16 bacteria, 32, 64 at iba pa. Sa bawat susunod na henerasyon, doble ang bilang ng mga bacteria. Isang tipikal na halimbawa ng isang geometric na pag-unlad.)

Gayundin, ang ilang mga insekto - aphids at langaw - ay dumami nang husto. At kung minsan ay mga kuneho din, nga pala.)

Ang isa pang halimbawa ng isang geometric na pag-unlad, na mas malapit sa pang-araw-araw na buhay, ay ang tinatawag na tambalang interes. Ang kagiliw-giliw na kababalaghan na ito ay madalas na matatagpuan sa mga deposito sa bangko at tinatawag capitalization ng interes. Ano ito?

Ikaw mismo, siyempre, bata pa. Nag-aaral ka sa paaralan, hindi ka nagpupunta sa mga bangko. Ngunit ang iyong mga magulang ay nasa hustong gulang na at independiyenteng mga tao. Pumapasok sila sa trabaho, kumikita ng pera para sa kanilang pang-araw-araw na pagkain, at naglalagay ng bahagi ng pera sa bangko, na nag-iipon.)

Sabihin nating gusto ng iyong ama na mag-ipon ng isang tiyak na halaga ng pera para sa isang bakasyon ng pamilya sa Turkey at naglalagay ng 50,000 rubles sa bangko sa 10% bawat taon sa loob ng tatlong taon na may taunang capitalization ng interes. Bukod dito, sa buong panahong ito ay walang magagawa sa deposito. Hindi mo maaaring palitan ang deposito o mag-withdraw ng pera mula sa account. Magkano ang kikitain niya pagkatapos ng tatlong taon na ito?

Well, una sa lahat, kailangan nating malaman kung ano ang 10% kada taon. Ibig sabihin nito ay sa isang taon Ang bangko ay magdaragdag ng 10% sa paunang halaga ng deposito. Mula sa kung ano? Siyempre, mula sa halaga ng paunang deposito.

Kinakalkula namin ang laki ng account pagkatapos ng isang taon. Kung ang paunang halaga ng deposito ay 50,000 rubles (i.e. 100%), pagkatapos ng isang taon magkakaroon ng magkano ang interes sa account? Tama, 110%! Mula sa 50,000 rubles.

Kaya kinakalkula namin ang 110% ng 50,000 rubles:

50000·1.1 = 55000 rubles.

Umaasa ako na naiintindihan mo na ang paghahanap ng 110% ng isang halaga ay nangangahulugan ng pagpaparami ng halagang iyon sa numerong 1.1? Kung hindi mo maintindihan kung bakit ganito, tandaan ang ikalima at ikaanim na baitang. Namely – koneksyon sa pagitan ng mga porsyento at mga fraction at mga bahagi.)

Kaya, ang pagtaas para sa unang taon ay magiging 5,000 rubles.

Magkano ang pera sa account sa loob ng dalawang taon? 60,000 rubles? Sa kasamaang palad (o sa halip, sa kabutihang palad), ang lahat ay hindi gaanong simple. Ang buong trick ng capitalization ng interes ay na sa bawat bagong naipon na interes, ang parehong mga interes na ito ay isasaalang-alang na mula sa bagong halaga! Mula sa kung sino na ay nasa account Sa ngayon. At ang interes na naipon para sa nakaraang panahon ay idinagdag sa orihinal na halaga ng deposito at, sa gayon, mismo ay nakikilahok sa pagkalkula ng bagong interes! Ibig sabihin, nagiging buong bahagi sila ng pangkalahatang account. O pangkalahatan kabisera. Samakatuwid ang pangalan - capitalization ng interes.

Ito ay sa ekonomiya. At sa matematika ay tinatawag ang mga ganitong porsyento tambalang interes. O kaya porsyento ng interes.) Ang kanilang panlilinlang ay kapag nagkalkula ng sunud-sunod, ang mga porsyento ay kinakalkula sa bawat oras mula sa bagong halaga. At hindi mula sa orihinal ...

Samakatuwid, upang makalkula ang halaga sa pamamagitan ng dalawang taon, kailangan nating kalkulahin ang 110% ng halaga na ilalagay sa account sa isang taon. Iyon ay, mula sa 55,000 rubles.

Binibilang namin ang 110% ng 55,000 rubles:

55000·1.1 = 60500 rubles.

Nangangahulugan ito na ang pagtaas ng porsyento para sa ikalawang taon ay magiging 5,500 rubles, at para sa dalawang taon - 10,500 rubles.

Ngayon ay maaari mo nang hulaan na pagkatapos ng tatlong taon ang halaga sa account ay magiging 110% ng 60,500 rubles. Iyan ay muli 110% mula sa nakaraan (nakaraang taon) mga halaga.

Dito natin iniisip:

60500·1.1 = 66550 rubles.

Ngayon ay inaayos namin ang aming mga halaga ng pera ayon sa taon sa pagkakasunud-sunod:

50000;

55000 = 50000·1.1;

60500 = 55000 1.1 = (50000 1.1) 1.1;

66550 = 60500 1.1 = ((50000 1.1) 1.1) 1.1

O kamusta ba iyon? Bakit hindi isang geometric na pag-unlad? Unang miyembro b 1 = 50000 , at ang denominator q = 1,1 . Ang bawat termino ay mahigpit na 1.1 beses na mas malaki kaysa sa nauna. Ang lahat ay mahigpit na naaayon sa kahulugan.)

At gaano karaming karagdagang mga bonus sa interes ang "maipon" ng iyong ama habang ang kanyang 50,000 rubles ay nakahiga sa kanyang bank account sa loob ng tatlong taon?

Binibilang namin:

66550 – 50000 = 16550 rubles

Hindi gaano, siyempre. Ngunit ito ay kung ang paunang halaga ng deposito ay maliit. Paano kung meron pa? Sabihin nating, hindi 50, ngunit 200 libong rubles? Pagkatapos ang pagtaas sa loob ng tatlong taon ay magiging 66,200 rubles (kung gagawin mo ang matematika). Which is already very good.) Paano kung mas malaki pa ang kontribusyon? Ayan yun...

Konklusyon: mas mataas ang paunang deposito, mas kumikita ang capitalization ng interes. Kaya naman ang mga deposito na may capitalization ng interes ay ibinibigay ng mga bangko sa mahabang panahon. Sabihin na nating limang taon.

Gayundin, ang lahat ng uri ng masasamang sakit tulad ng trangkaso, tigdas at higit pang mga kahila-hilakbot na sakit (kaparehong SARS noong unang bahagi ng 2000s o ang salot noong Middle Ages) ay gustong kumalat nang husto. Kaya ang sukat ng mga epidemya, oo...) At lahat dahil sa katotohanan na ang geometric na pag-unlad sa buong positive denominator (q>1) – isang bagay na napakabilis na lumaki! Alalahanin ang pagpaparami ng bakterya: mula sa isang bakterya dalawa ang nakukuha, mula dalawa - apat, mula apat - walo, at iba pa... Ito ay pareho sa pagkalat ng anumang impeksiyon.)

Ang pinakasimpleng problema sa geometric progression.

Magsimula tayo, gaya ng dati, sa isang simpleng problema. Panay upang maunawaan ang kahulugan.

1. Alam na ang pangalawang termino ng geometric progression ay 6, at ang denominator ay -0.5. Hanapin ang una, ikatlo at ikaapat na termino.

Kaya binibigyan kami walang katapusan geometric progression, ngunit kilala pangalawang termino pag-unlad na ito:

b 2 = 6

Bilang karagdagan, alam din natin denominador ng pag-unlad:

q = -0.5

At kailangan mong hanapin una, pangatlo At pang-apat mga miyembro ng pag-unlad na ito.

Kaya kumilos kami. Isinulat namin ang pagkakasunud-sunod ayon sa mga kondisyon ng problema. Direkta sa pangkalahatang anyo, kung saan ang pangalawang termino ay anim:

b 1, 6,b 3 , b 4 , …

Ngayon simulan natin ang paghahanap. Nagsisimula kami, gaya ng dati, sa pinakasimpleng. Maaari mong kalkulahin, halimbawa, ang ikatlong termino b 3? Pwede! Alam mo at ko na (direkta sa kahulugan ng geometric progression) na ang ikatlong termino (b 3) higit sa pangalawa (b 2 ) V "q" minsan!

Kaya sumulat kami:

b 3 =b 2 · q

Pinapalitan namin ang anim sa expression na ito sa halip na b 2 at -0.5 sa halip q at binibilang namin. At hindi rin namin binabalewala ang minus, siyempre...

b 3 = 6·(-0.5) = -3

Ganito. Ang ikatlong termino ay naging negatibo. Hindi nakakagulat: ang aming denominator q– negatibo. At ang pagpaparami ng plus sa isang minus, siyempre, ay magiging isang minus.)

Ngayon binibilang namin ang susunod, ikaapat na termino ng pag-unlad:

b 4 =b 3 · q

b 4 = -3·(-0.5) = 1.5

Ang ikaapat na termino ay muli na may plus. Ang ikalimang termino ay muling magiging minus, ang ikaanim ay magiging plus, at iba pa. Ang mga palatandaan ay kahalili!

Kaya, natagpuan ang ikatlo at ikaapat na termino. Ang resulta ay ang sumusunod na pagkakasunud-sunod:

b 1 ; 6; -3; 1.5; ...

Ngayon ang natitira na lang ay hanapin ang unang termino b 1 ayon sa kilalang pangalawa. Upang gawin ito, humakbang kami sa kabilang direksyon, sa kaliwa. Nangangahulugan ito na sa kasong ito hindi natin kailangang i-multiply ang pangalawang termino ng pag-unlad ng denominator, ngunit hatiin.

Hinahati namin at makuha:

Iyon lang.) Ang sagot sa problema ay magiging ganito:

-12; 6; -3; 1,5; …

Tulad ng nakikita mo, ang prinsipyo ng solusyon ay pareho sa . Alam namin anuman miyembro at denominador geometric progression - mahahanap natin ang iba pang miyembro nito. Hahanapin natin ang gusto natin.) Ang pagkakaiba lang ay ang pagdaragdag/pagbabawas ay pinapalitan ng multiplikasyon/dibisyon.

Tandaan: kung alam natin ang hindi bababa sa isang miyembro at denominator ng isang geometric na pag-unlad, maaari tayong laging makahanap ng sinumang iba pang miyembro ng pag-unlad na ito.

Ang sumusunod na problema, ayon sa tradisyon, ay mula sa isang tunay na bersyon ng OGE:

2.

...; 150; X; 6; 1.2; ...

O kamusta ba iyon? This time walang first term, no denominator q, sequence of numbers lang ang binigay... Something already familiar, right? Oo! Ang isang katulad na problema ay nalutas na sa pag-unlad ng aritmetika!

Kaya hindi kami natatakot. Lahat pare-pareho. Balikan natin ang ating mga ulo at tandaan ang elementarya na kahulugan ng geometric progression. Tinitingnan namin nang mabuti ang aming pagkakasunud-sunod at alamin kung aling mga parameter ng geometric na pag-unlad ng tatlong pangunahing (unang termino, denominator, numero ng termino) ang nakatago dito.

Mga numero ng miyembro? Walang membership number, oo... Pero apat magkasunod numero. Wala akong nakikitang punto sa pagpapaliwanag kung ano ang ibig sabihin ng salitang ito sa yugtong ito.) Mayroon bang dalawa sa sequence na ito? mga kalapit na kilalang numero? kumain ka na! Ito ay 6 at 1.2. Para mahanap natin denominador ng pag-unlad. Kaya kinuha namin ang numero 1.2 at hatiin sa naunang numero. Sa anim.

Nakukuha namin:

Nakukuha namin:

x= 150·0.2 = 30

Sagot: x = 30 .

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay medyo simple. Ang pangunahing kahirapan ay nasa mga kalkulasyon lamang. Ito ay lalong mahirap sa kaso ng mga negatibo at fractional denominator. Kaya sa mga may problema, ulitin ang aritmetika! Paano gumawa ng mga fraction, kung paano gumawa ng mga negatibong numero, at iba pa... Kung hindi, walang awa kang babagal dito.

Ngayon baguhin natin ng kaunti ang problema. Ngayon ito ay magiging kawili-wili! Tanggalin natin ang huling numero 1.2 dito. Ngayon lutasin natin ang problemang ito:

3. Ilang magkakasunod na termino ng geometric progression ang nakasulat:

...; 150; X; 6; ...

Hanapin ang termino ng progression na ipinahiwatig ng titik x.

Pareho lang ang lahat, dalawa lang ang magkatabi sikat Wala na kaming mga miyembro ng progression. Ito ang pangunahing problema. Ang laki kasi q sa pamamagitan ng dalawang magkalapit na termino ay madali nating matukoy hindi natin kaya. Mayroon ba tayong pagkakataon na makayanan ang gawain? tiyak!

Isulat natin ang hindi kilalang termino " x"direkta sa loob ng kahulugan ng geometric progression! Sa pangkalahatan.

Oo Oo! Tama sa isang hindi kilalang denominator!

Sa isang banda, para sa X maaari nating isulat ang sumusunod na ratio:

x= 150·q

Sa kabilang banda, may karapatan kaming ilarawan ang parehong X na ito susunod miyembro, hanggang anim! Hatiin ang anim sa denominator.

Ganito:

x = 6/ q

Malinaw, ngayon ay maaari nating itumbas ang parehong mga ratio na ito. Dahil kami ay nagpapahayag pareho magnitude (x), ngunit dalawa iba't ibang paraan.

Nakukuha namin ang equation:

Pagpaparami ng lahat sa pamamagitan ng q, pinapasimple at pinaikli, nakukuha natin ang equation:

q2 = 1/25

Malutas namin at makuha:

q = ±1/5 = ±0.2

Oops! Doble pala ang denominator! +0.2 at -0.2. At alin ang dapat mong piliin? Dead end?

Kalmado! Oo, may problema talaga dalawang solusyon! Walang masama diyan. Nangyayari ito.) Hindi ka nagulat kapag, halimbawa, nakakuha ka ng dalawang ugat kapag nilulutas ang karaniwang problema? Ito ay ang parehong kuwento dito.)

Para sa q = +0.2 kukunin namin:

X = 150 0.2 = 30

At para sa q = -0,2 ay:

X = 150·(-0.2) = -30

Nakakuha kami ng dobleng sagot: x = 30; x = -30.

Ano ang ibig sabihin ng kawili-wiling katotohanang ito? At kung ano ang umiiral dalawang pag-unlad, nagbibigay-kasiyahan sa mga kondisyon ng problema!

Tulad ng mga ito:

…; 150; 30; 6; …

…; 150; -30; 6; …

Parehong angkop ang dalawa.) Bakit sa palagay mo nagkaroon tayo ng split sa mga sagot? Dahil lang sa pag-aalis ng isang partikular na miyembro ng progression (1,2), na darating pagkatapos ng anim. At dahil alam lamang ang nakaraang (n-1)th at kasunod na (n+1)th na termino ng geometric progression, hindi na natin masasabi ang anumang bagay na hindi malabo tungkol sa nth term na nakatayo sa pagitan nila. Mayroong dalawang mga pagpipilian - na may plus at may minus.

Ngunit walang problema. Bilang isang patakaran, sa mga gawain sa geometric na pag-unlad mayroong karagdagang impormasyon na nagbibigay ng isang hindi malabo na sagot. Sabihin natin ang mga salita: "alternating progression" o "pag-unlad na may positibong denominator" at iba pa... Ang mga salitang ito ang dapat magsilbing pahiwatig kung aling tanda, plus o minus, ang dapat piliin kapag inihahanda ang huling sagot. Kung walang ganoong impormasyon, oo, magkakaroon ng gawain dalawang solusyon.)

Ngayon kami ay nagpasya para sa aming sarili.

4. Tukuyin kung ang numero 20 ay miyembro ng isang geometric na pag-unlad:

4 ; 6; 9; …

5. Ang tanda ng isang alternating geometric progression ay ibinigay:

…; 5; x ; 45; …

Hanapin ang termino ng progression na ipinahiwatig ng titik x .

6. Hanapin ang ikaapat na positibong termino ng geometric progression:

625; -250; 100; …

7. Ang pangalawang termino ng geometric progression ay katumbas ng -360, at ang ikalimang termino nito ay katumbas ng 23.04. Hanapin ang unang termino ng pag-unlad na ito.

Mga sagot (sa kaguluhan): -15; 900; Hindi; 2.56.

Binabati kita kung naging maayos ang lahat!

May hindi kasya? Sa isang lugar may dobleng sagot? Basahing mabuti ang mga tuntunin ng takdang-aralin!

Ang huling problema ay hindi gumagana? Walang kumplikado doon.) Direkta kaming nagtatrabaho ayon sa kahulugan ng geometric progression. Well, maaari kang gumuhit ng isang larawan. Nakakatulong ito.)

Tulad ng nakikita mo, ang lahat ay elementarya. Kung ang pag-unlad ay maikli. Paano kung mahaba? O napakalaki ng bilang ng kinakailangang miyembro? Gusto ko, sa pamamagitan ng pagkakatulad sa pag-unlad ng aritmetika, na kahit papaano ay makakuha ng isang maginhawang formula na nagpapadali sa paghahanap. anuman termino ng anumang geometric na pag-unlad sa pamamagitan ng kanyang numero. Nang hindi nagpaparami ng marami, maraming beses q. At may ganyang pormula!) Nasa susunod na aralin ang mga detalye.

Isaalang-alang natin ang isang tiyak na serye.

7 28 112 448 1792...

Ito ay ganap na malinaw na ang halaga ng alinman sa mga elemento nito ay eksaktong apat na beses na mas malaki kaysa sa nauna. Nangangahulugan ito na ang seryeng ito ay isang pag-unlad.

Ang isang geometric na pag-unlad ay isang walang katapusang pagkakasunud-sunod ng mga numero, ang pangunahing tampok kung saan ang susunod na numero ay nakuha mula sa nauna sa pamamagitan ng pagpaparami ng isang tiyak na numero. Ito ay ipinahayag ng sumusunod na pormula.

a z +1 =a z ·q, kung saan ang z ay ang bilang ng napiling elemento.

Alinsunod dito, ang z ∈ N.

Ang panahon kung kailan pinag-aaralan ang geometric progression sa paaralan ay ika-9 na baitang. Tutulungan ka ng mga halimbawa na maunawaan ang konsepto:

0.25 0.125 0.0625...

Batay sa formula na ito, ang denominator ng pag-unlad ay matatagpuan tulad ng sumusunod:

Ang alinman sa q o b z ay hindi maaaring maging zero. Gayundin, ang bawat isa sa mga elemento ng pag-unlad ay hindi dapat katumbas ng zero.

Alinsunod dito, upang malaman ang susunod na numero sa isang serye, kailangan mong i-multiply ang huli sa q.

Upang itakda ang pag-unlad na ito, dapat mong tukuyin ang unang elemento at denominator nito. Pagkatapos nito, posibleng mahanap ang alinman sa mga kasunod na termino at ang kanilang kabuuan.

Mga uri

Depende sa q at a 1, ang pag-unlad na ito ay nahahati sa ilang uri:

• Kung pareho ang isang 1 at q ay mas malaki sa isa, kung gayon ang gayong pagkakasunod-sunod ay isang geometric na pag-unlad na tumataas sa bawat kasunod na elemento. Ang isang halimbawa nito ay ipinakita sa ibaba.

Halimbawa: a 1 =3, q=2 - ang parehong mga parameter ay mas malaki kaysa sa isa.

Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ng numero ay maaaring isulat tulad nito:

3 6 12 24 48 ...

• Kung |q| ay mas mababa sa isa, iyon ay, ang pagpaparami nito ay katumbas ng paghahati, pagkatapos ang isang pag-unlad na may katulad na mga kondisyon ay isang bumababa na geometric na pag-unlad. Ang isang halimbawa nito ay ipinakita sa ibaba.

Halimbawa: a 1 =6, q=1/3 - a 1 ay mas malaki kaysa sa isa, q ay mas mababa.

Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ng numero ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:

6 2 2/3 ... - anumang elemento ay 3 beses na mas malaki kaysa sa elementong sumusunod dito.

• Alternating sign. Kung q<0, то знаки у чисел последовательности постоянно чередуются вне зависимости от a 1 , а элементы ни возрастают, ни убывают.

Halimbawa: a 1 = -3, q = -2 - parehong mga parameter ay mas mababa sa zero.

Pagkatapos ang pagkakasunud-sunod ng numero ay maaaring isulat tulad nito:

3, 6, -12, 24,...

Mga formula

Mayroong maraming mga formula para sa maginhawang paggamit ng mga geometric na pag-unlad:

• Z-term na formula. Binibigyang-daan kang kalkulahin ang isang elemento sa ilalim ng isang partikular na numero nang hindi kinakalkula ang mga nakaraang numero.

Halimbawa:q = 3, a 1 = 4. Kinakailangang bilangin ang ikaapat na elemento ng progression.

Solusyon:a 4 = 4 · 3 4-1 = 4 · 3 3 = 4 · 27 = 108.

• Ang kabuuan ng mga unang elemento na ang bilang ay katumbas ng z. Binibigyang-daan kang kalkulahin ang kabuuan ng lahat ng elemento ng isang sequence hanggang saisang zkasama.

Mula noong (1-q) ay nasa denominator, pagkatapos ay (1 - q)≠ 0, samakatuwid ang q ay hindi katumbas ng 1.

Tandaan: kung q=1, ang pag-usad ay isang serye ng mga numerong walang katapusan na umuulit.

Kabuuan ng geometric progression, mga halimbawa:a 1 = 2, q= -2. Kalkulahin ang S5.

Solusyon:S 5 = 22 - pagkalkula gamit ang formula.

• Halaga kung |q| < 1 и если z стремится к бесконечности.

Halimbawa:a 1 = 2 , q= 0.5. Hanapin ang halaga.

Solusyon:Sz = 2 · = 4

Sz = 2 + 1 + 0.5 + 0.25 + 0.125 + 0.0625 = 3.9375 4

Ilang pag-aari:

• Katangiang ari-arian. Kung ang sumusunod na kondisyon gumagana para sa anumangz, kung gayon ang ibinigay na serye ng numero ay isang geometric na pag-unlad:

isang z 2 = isang z -1 · az+1

• Gayundin, ang parisukat ng anumang numero sa isang geometric na pag-unlad ay matatagpuan sa pamamagitan ng pagdaragdag ng mga parisukat ng anumang dalawang iba pang mga numero sa isang naibigay na serye, kung ang mga ito ay katumbas ng layo mula sa elementong ito.

isang z 2 = isang z - t 2 + isang z + t 2 , Saant- ang distansya sa pagitan ng mga numerong ito.

• Mga elementonaiiba sa qminsan.
• Ang logarithms ng mga elemento ng isang progression ay bumubuo rin ng isang progression, ngunit isang aritmetika, iyon ay, ang bawat isa sa kanila ay mas malaki kaysa sa nauna sa pamamagitan ng isang tiyak na numero.

Mga halimbawa ng ilang klasikong problema

Upang mas maunawaan kung ano ang isang geometric na pag-unlad, makakatulong ang mga halimbawa na may mga solusyon para sa klase 9.

• Kundisyon:a 1 = 3, a 3 = 48. Hanapinq.

Solusyon: ang bawat kasunod na elemento ay mas malaki kaysa sa nauna saq minsan.Ito ay kinakailangan upang ipahayag ang ilang mga elemento sa mga tuntunin ng iba gamit ang isang denominator.

Kaya naman,a 3 = q 2 · a 1

Kapag nagpapalitq= 4

• Kundisyon:a 2 = 6, a 3 = 12. Kalkulahin ang S 6.

Solusyon:Upang gawin ito, hanapin lamang ang q, ang unang elemento at palitan ito sa formula.

a 3 = q· a 2 , samakatuwid,q= 2

a 2 = q · isang 1,kaya lang a 1 = 3

S 6 = 189

• · a 1 = 10, q= -2. Hanapin ang ikaapat na elemento ng progression.

Solusyon: upang gawin ito, sapat na upang ipahayag ang ikaapat na elemento sa pamamagitan ng una at sa pamamagitan ng denominator.

a 4 = q 3· a 1 = -80

Halimbawa ng aplikasyon:

• Ang isang kliyente sa bangko ay nagdeposito sa halagang 10,000 rubles, sa ilalim ng mga tuntunin kung saan bawat taon ang kliyente ay magkakaroon ng 6% nito na idinagdag sa pangunahing halaga. Magkano ang pera sa account pagkatapos ng 4 na taon?

Solusyon: Ang paunang halaga ay 10 libong rubles. Nangangahulugan ito na isang taon pagkatapos ng pamumuhunan ang account ay magkakaroon ng halagang katumbas ng 10,000 + 10,000 · 0.06 = 10000 1.06

Alinsunod dito, ang halaga sa account pagkatapos ng isa pang taon ay ipapakita bilang sumusunod:

(10000 · 1.06) · 0.06 + 10000 · 1.06 = 1.06 · 1.06 · 10000

Iyon ay, bawat taon ang halaga ay tumataas ng 1.06 beses. Nangangahulugan ito na upang mahanap ang halaga ng mga pondo sa account pagkatapos ng 4 na taon, sapat na upang mahanap ang ikaapat na elemento ng pag-unlad, na ibinibigay ng unang elemento na katumbas ng 10 libo at ang denominator na katumbas ng 1.06.

S = 1.06 1.06 1.06 1.06 10000 = 12625

Mga halimbawa ng mga problemang kinasasangkutan ng pagkalkula ng mga kabuuan:

Ginagamit ang geometric progression sa iba't ibang problema. Ang isang halimbawa para sa paghahanap ng kabuuan ay maaaring ibigay tulad ng sumusunod:

a 1 = 4, q= 2, kalkulahinS 5.

Solusyon: ang lahat ng data na kinakailangan para sa pagkalkula ay kilala, kailangan mo lamang na palitan ang mga ito sa formula.

S 5 = 124

• a 2 = 6, a 3 = 18. Kalkulahin ang kabuuan ng unang anim na elemento.

Solusyon:

Sa geom. pag-unlad, ang bawat susunod na elemento ay q beses na mas malaki kaysa sa nauna, iyon ay, upang kalkulahin ang kabuuan na kailangan mong malaman ang elementoa 1 at denominadorq.

a 2 · q = a 3

q = 3

Katulad nito, kailangan mong hanapina 1 , alama 2 Atq.

a 1 · q = a 2

a 1 =2

S 6 = 728.

Ang geometric progression, kasama ang arithmetic progression, ay isang mahalagang serye ng numero na pinag-aaralan sa kursong algebra ng paaralan sa ika-9 na baitang. Sa artikulong ito titingnan natin ang denominator ng isang geometric na pag-unlad at kung paano nakakaapekto ang halaga nito sa mga katangian nito.

Kahulugan ng geometric progression

Una, bigyan natin ang kahulugan ng serye ng numerong ito. Ang geometric progression ay isang serye ng mga rational na numero na nabuo sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagpaparami ng unang elemento nito sa isang pare-parehong numero na tinatawag na denominator.

Halimbawa, ang mga numero sa serye 3, 6, 12, 24, ... ay isang geometric na pag-unlad, dahil kung i-multiply mo ang 3 (ang unang elemento) sa 2, makakakuha ka ng 6. Kung i-multiply mo ang 6 sa 2, makakakuha ka ng 12, at iba pa.

Ang mga miyembro ng pagkakasunud-sunod na isinasaalang-alang ay karaniwang tinutukoy ng simbolong ai, kung saan ang i ay isang integer na nagsasaad ng bilang ng elemento sa serye.

Ang kahulugan sa itaas ng pag-unlad ay maaaring isulat sa wikang matematika tulad ng sumusunod: an = bn-1 * a1, kung saan ang b ang denominator. Madaling suriin ang formula na ito: kung n = 1, kung gayon b1-1 = 1, at makuha natin ang a1 = a1. Kung n = 2, pagkatapos ay an = b * a1, at muli tayong dumating sa kahulugan ng serye ng mga numero na pinag-uusapan. Ang katulad na pangangatwiran ay maaaring ipagpatuloy para sa malalaking halaga ng n.

Denominator ng geometric progression

Ang numero b ay ganap na tumutukoy kung anong karakter ang magkakaroon ng buong serye ng numero. Ang denominator b ay maaaring positibo, negatibo, o mas malaki sa o mas mababa sa isa. Ang lahat ng mga opsyon sa itaas ay humahantong sa iba't ibang mga pagkakasunud-sunod:

• b > 1. Mayroong dumaraming serye ng mga rational na numero. Halimbawa, 1, 2, 4, 8, ... Kung ang elemento a1 ay negatibo, ang buong sequence ay tataas lamang sa ganap na halaga, ngunit bababa depende sa tanda ng mga numero.
• b = 1. Kadalasan ang kasong ito ay hindi tinatawag na progression, dahil mayroong isang ordinaryong serye ng magkaparehong rational na mga numero. Halimbawa, -4, -4, -4.

Formula para sa halaga

Bago magpatuloy sa pagsasaalang-alang sa mga partikular na problema gamit ang denominator ng uri ng pag-unlad na isinasaalang-alang, isang mahalagang pormula para sa kabuuan ng unang n elemento nito ay dapat ibigay. Ang formula ay mukhang: Sn = (bn - 1) * a1 / (b - 1).

Makukuha mo mismo ang expression na ito kung isasaalang-alang mo ang recursive sequence ng mga termino ng progression. Tandaan din na sa formula sa itaas ay sapat na malaman lamang ang unang elemento at ang denominator upang mahanap ang kabuuan ng isang arbitraryong bilang ng mga termino.

Walang katapusang pagbaba ng pagkakasunod-sunod

Ang isang paliwanag ay ibinigay sa itaas kung ano ito. Ngayon, alam ang formula para sa Sn, ilapat natin ito sa serye ng numerong ito. Dahil ang anumang numero na ang modulus ay hindi lalampas sa 1 ay may posibilidad na maging zero kapag itinaas sa malalaking kapangyarihan, ibig sabihin, b∞ => 0 kung -1

Dahil ang pagkakaiba (1 - b) ay palaging magiging positibo, anuman ang halaga ng denominator, ang tanda ng kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad na S∞ ay katangi-tanging tinutukoy ng tanda ng unang elemento nito na a1.

Ngayon tingnan natin ang ilang mga problema kung saan ipapakita natin kung paano ilapat ang nakuha na kaalaman sa mga tiyak na numero.

Problema Blg. 1. Pagkalkula ng mga hindi kilalang elemento ng pag-unlad at kabuuan

Dahil sa geometric progression, ang denominator ng progression ay 2, at ang unang elemento nito ay 3. Ano ang magiging katumbas ng ika-7 at ika-10 termino nito, at ano ang kabuuan ng pitong paunang elemento nito?

Ang kondisyon ng problema ay medyo simple at nagsasangkot ng direktang paggamit ng mga formula sa itaas. Kaya, upang kalkulahin ang numero ng elemento n, ginagamit namin ang expression na an = bn-1 * a1. Para sa ika-7 elemento mayroon tayo: a7 = b6 * a1, pinapalitan ang kilalang data, nakukuha natin: a7 = 26 * 3 = 192. Ganoon din ang ginagawa natin para sa ika-10 termino: a10 = 29 * 3 = 1536.

Gamitin natin ang kilalang formula para sa kabuuan at tukuyin ang halagang ito para sa unang 7 elemento ng serye. Mayroon kaming: S7 = (27 - 1) * 3 / (2 - 1) = 381.

Problema Blg. 2. Pagtukoy sa kabuuan ng mga di-makatwirang elemento ng isang pag-unlad

Hayaan ang -2 ay katumbas ng denominator ng geometric progression bn-1 * 4, kung saan ang n ay isang integer. Kinakailangang matukoy ang kabuuan mula sa ika-5 hanggang ika-10 elemento ng seryeng ito, kasama.

Ang problema ay hindi malulutas nang direkta gamit ang mga kilalang formula. Maaari itong malutas gamit ang 2 magkaibang pamamaraan. Para sa pagkakumpleto ng presentasyon ng paksa, ipinakita namin pareho.

Paraan 1. Ang ideya ay simple: kailangan mong kalkulahin ang dalawang katumbas na kabuuan ng mga unang termino, at pagkatapos ay ibawas ang isa sa isa. Kinakalkula namin ang mas maliit na halaga: S10 = ((-2)10 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -1364. Ngayon kinakalkula namin ang mas malaking kabuuan: S4 = ((-2)4 - 1) * 4 / (-2 - 1) = -20. Tandaan na sa huling expression ay 4 na termino lamang ang na-summed, dahil ang ika-5 ay kasama na sa halaga na kailangang kalkulahin ayon sa mga kondisyon ng problema. Sa wakas, kinukuha namin ang pagkakaiba: S510 = S10 - S4 = -1364 - (-20) = -1344.

Paraan 2. Bago palitan ang mga numero at pagbibilang, maaari kang kumuha ng pormula para sa kabuuan sa pagitan ng m at n termino ng seryeng pinag-uusapan. Ginagawa namin ang eksaktong kapareho ng sa paraan 1, tanging kami ay unang nagtatrabaho sa simbolikong representasyon ng halaga. Mayroon kaming: Snm = (bn - 1) * a1 / (b - 1) - (bm-1 - 1) * a1 / (b - 1) = a1 * (bn - bm-1) / (b - 1) . Maaari mong palitan ang mga kilalang numero sa resultang expression at kalkulahin ang huling resulta: S105 = 4 * ((-2)10 - (-2)4) / (-2 - 1) = -1344.

Problema Blg. 3. Ano ang denominator?

Hayaan ang a1 = 2, hanapin ang denominator ng geometric progression, sa kondisyon na ang infinite sum nito ay 3, at alam na ito ay isang bumababang serye ng mga numero.

Batay sa mga kondisyon ng problema, hindi mahirap hulaan kung aling formula ang dapat gamitin upang malutas ito. Siyempre, para sa kabuuan ng pag-unlad na walang katapusan na bumababa. Mayroon kaming: S∞ = a1 / (1 - b). Mula sa kung saan ipinapahayag namin ang denominator: b = 1 - a1 / S∞. Ito ay nananatiling palitan ang mga kilalang halaga at makuha ang kinakailangang numero: b = 1 - 2 / 3 = -1 / 3 o -0.333(3). Maaari nating suriin nang husay ang resultang ito kung naaalala natin na para sa ganitong uri ng pagkakasunud-sunod ang modulus b ay hindi dapat lumampas sa 1. Gaya ng makikita, |-1 / 3|

Gawain Blg. 4. Pagpapanumbalik ng serye ng mga numero

Hayaang ibigay ang 2 elemento ng isang serye ng numero, halimbawa, ang ika-5 ay katumbas ng 30 at ang ika-10 ay katumbas ng 60. Kinakailangang muling buuin ang buong serye mula sa mga datos na ito, alam na natutugunan nito ang mga katangian ng isang geometric na pag-unlad.

Upang malutas ang problema, kailangan mo munang isulat ang kaukulang expression para sa bawat kilalang termino. Mayroon kaming: a5 = b4 * a1 at a10 = b9 * a1. Ngayon hatiin ang pangalawang expression sa una, nakukuha natin: a10 / a5 = b9 * a1 / (b4 * a1) = b5. Mula dito matutukoy natin ang denominator sa pamamagitan ng pagkuha ng ikalimang ugat ng ratio ng mga terminong kilala mula sa pahayag ng problema, b = 1.148698. Pinapalitan namin ang resultang numero sa isa sa mga expression para sa kilalang elemento, nakukuha namin ang: a1 = a5 / b4 = 30 / (1.148698)4 = 17.2304966.

Kaya, nakita namin ang denominator ng progression bn, at ang geometric progression bn-1 * 17.2304966 = an, kung saan b = 1.148698.

Saan ginagamit ang mga geometric progression?

Kung walang praktikal na aplikasyon ng serye ng numerong ito, ang pag-aaral nito ay mababawasan sa puro teoretikal na interes. Ngunit umiiral ang gayong aplikasyon.

Nasa ibaba ang 3 pinakasikat na halimbawa:

• Ang kabalintunaan ni Zeno, kung saan ang maliksi na si Achilles ay hindi makahabol sa mabagal na pagong, ay nalutas gamit ang konsepto ng isang walang katapusang pagbaba ng pagkakasunod-sunod ng mga numero.
• Kung maglalagay ka ng mga butil ng trigo sa bawat parisukat ng chessboard upang sa 1st square ay maglagay ka ng 1 butil, sa ika-2 - 2, sa ika-3 - 3, at iba pa, pagkatapos ay upang punan ang lahat ng mga parisukat ng board na kakailanganin mo 18446744073709551615 butil!
• Sa larong "Tower of Hanoi", upang ilipat ang mga disk mula sa isang baras patungo sa isa pa, kinakailangan na magsagawa ng 2n - 1 na operasyon, iyon ay, ang kanilang bilang ay lumalaki nang malaki sa bilang ng n ng mga disk na ginamit.

Kaya, umupo tayo at magsimulang magsulat ng ilang mga numero. Halimbawa:

Maaari kang magsulat ng anumang mga numero, at maaaring magkaroon ng marami sa mga ito hangga't gusto mo (sa aming kaso, mayroon sila). Gaano man karaming numero ang ating isulat, palagi nating masasabi kung alin ang una, alin ang pangalawa, at iba pa hanggang sa huli, ibig sabihin, maaari nating bilangin ang mga ito. Ito ay isang halimbawa ng pagkakasunod-sunod ng numero:

Pagkakasunod-sunod ng numero ay isang hanay ng mga numero, ang bawat isa ay maaaring magtalaga ng isang natatanging numero.

Halimbawa, para sa aming sequence:

Ang itinalagang numero ay partikular sa isang numero lamang sa sequence. Sa madaling salita, walang tatlong segundong numero sa sequence. Ang pangalawang numero (tulad ng ika-numero) ay palaging pareho.

Ang numerong may numero ay tinatawag na ika-na miyembro ng sequence.

Karaniwan naming tinatawag ang buong sequence sa pamamagitan ng ilang titik (halimbawa,), at ang bawat miyembro ng sequence na ito ay parehong titik na may index na katumbas ng bilang ng miyembrong ito: .

Sa kaso natin:

Ang pinakakaraniwang uri ng progression ay arithmetic at geometric. Sa paksang ito ay pag-uusapan natin ang tungkol sa pangalawang uri - geometric na pag-unlad.

Bakit kailangan ang geometric progression at ang kasaysayan nito?

Kahit noong sinaunang panahon, ang Italyano na mathematician na monghe na si Leonardo ng Pisa (mas kilala bilang Fibonacci) ay humarap sa mga praktikal na pangangailangan ng kalakalan. Ang monghe ay nahaharap sa gawain ng pagtukoy kung ano ang pinakamaliit na bilang ng mga timbang na maaaring magamit sa pagtimbang ng isang produkto? Sa kanyang mga gawa, pinatutunayan ni Fibonacci na ang gayong sistema ng mga timbang ay pinakamainam: Ito ang isa sa mga unang sitwasyon kung saan kinailangan ng mga tao na harapin ang isang geometric na pag-unlad, na malamang na narinig mo na at mayroon man lang pangkalahatang pag-unawa. Kapag naunawaan mo nang lubusan ang paksa, isipin kung bakit pinakamainam ang ganitong sistema?

Sa kasalukuyan, sa pagsasanay sa buhay, ang geometric na pag-unlad ay nagpapakita ng sarili kapag namumuhunan ng pera sa isang bangko, kapag ang halaga ng interes ay naipon sa halagang naipon sa account para sa nakaraang panahon. Sa madaling salita, kung naglalagay ka ng pera sa isang time deposit sa isang savings bank, pagkatapos ng isang taon ang deposito ay tataas ng orihinal na halaga, i.e. ang bagong halaga ay magiging katumbas ng kontribusyon na pinarami ng. Sa ibang taon, ang halagang ito ay tataas ng, i.e. ang halaga na nakuha sa oras na iyon ay muling i-multiply sa at iba pa. Ang isang katulad na sitwasyon ay inilarawan sa mga problema ng pagkalkula ng tinatawag na tambalang interes- ang porsyento ay kinuha sa bawat oras mula sa halaga na nasa account, na isinasaalang-alang ang nakaraang interes. Pag-uusapan natin ang mga gawaing ito sa ibang pagkakataon.

Marami pang mga simpleng kaso kung saan inilalapat ang geometric progression. Halimbawa, ang pagkalat ng trangkaso: ang isang tao ay nahawahan ng isa pang tao, sila naman ay nahawahan ng isa pang tao, at sa gayon ang pangalawang alon ng impeksyon ay isang tao, at sila naman ay nahawahan ng isa pa... at iba pa.. .

Sa pamamagitan ng paraan, ang isang financial pyramid, ang parehong MMM, ay isang simple at tuyo na pagkalkula batay sa mga katangian ng isang geometric na pag-unlad. Interesting? Alamin natin ito.

Geometric na pag-unlad.

Sabihin nating mayroon tayong sequence ng numero:

Sasagutin mo kaagad na madali lang ito at ang pangalan ng naturang sequence ay may pagkakaiba ng mga miyembro nito. Paano ito:

Kung ibawas mo ang nauna sa susunod na numero, makikita mo na sa bawat oras na makakakuha ka ng bagong pagkakaiba (at iba pa), ngunit ang pagkakasunud-sunod ay tiyak na umiiral at madaling mapansin - ang bawat kasunod na numero ay beses na mas malaki kaysa sa nauna!

Ang ganitong uri ng pagkakasunod-sunod ng numero ay tinatawag geometric na pag-unlad at itinalaga.

Ang geometric progression () ay isang numerical sequence, ang unang termino ay iba sa zero, at ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad.

Ang mga paghihigpit na ang unang termino ( ) ay hindi pantay at hindi random. Ipagpalagay natin na wala, at ang unang termino ay pantay pa rin, at ang q ay katumbas ng, hmm.. hayaan mo, pagkatapos ito ay lumabas:

Sumang-ayon na hindi na ito pag-unlad.

Tulad ng naiintindihan mo, makakakuha kami ng parehong mga resulta kung mayroong anumang numero maliban sa zero, a. Sa mga kasong ito, walang magiging progression, dahil ang buong serye ng numero ay magiging lahat ng mga zero, o isang numero, at ang lahat ng natitira ay magiging mga zero.

Ngayon ay pag-usapan natin nang mas detalyado ang tungkol sa denominator ng geometric progression, iyon ay, o.

Ulitin natin: - ito ang numero ilang beses nagbabago ang bawat kasunod na termino? geometric na pag-unlad.

Ano sa tingin mo ang maaaring mangyari? Tama iyon, positibo at negatibo, ngunit hindi zero (napag-usapan namin ito nang medyo mas mataas).

Ipagpalagay natin na ang atin ay positibo. Hayaan sa aming kaso, a. Ano ang halaga ng ikalawang termino at? Madali mong masasagot iyan:

Tama iyan. Alinsunod dito, kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga tuntunin ng pag-unlad ay may parehong tanda - sila ay positibo.

Paano kung negatibo? Halimbawa, a. Ano ang halaga ng ikalawang termino at?

Ito ay isang ganap na naiibang kuwento

Subukang bilangin ang mga tuntunin ng pag-unlad na ito. Magkano ang nakuha mo? Meron akong. Kaya, kung, pagkatapos ay ang mga palatandaan ng mga tuntunin ng geometric na pag-unlad ay kahalili. Ibig sabihin, kung makakita ka ng progression na may mga alternating sign para sa mga miyembro nito, negatibo ang denominator nito. Makakatulong sa iyo ang kaalamang ito na subukan ang iyong sarili kapag nilulutas ang mga problema sa paksang ito.

Ngayon ay magsanay tayo ng kaunti: subukang tukuyin kung aling mga pagkakasunud-sunod ng numero ang isang geometric na pag-unlad at kung alin ang isang pag-unlad ng aritmetika:

Nakuha ko? Ihambing natin ang ating mga sagot:

• Geometric na pag-unlad - 3, 6.
• Arithmetic progression - 2, 4.
• Ito ay hindi isang aritmetika o isang geometric na pag-unlad - 1, 5, 7.

Bumalik tayo sa ating huling pag-unlad at subukang hanapin ang miyembro nito, tulad ng sa aritmetika. Tulad ng maaaring nahulaan mo, mayroong dalawang paraan upang mahanap ito.

Sunud-sunod nating pinarami ang bawat termino sa.

Kaya, ang ika-termino ng inilarawang geometric na pag-unlad ay katumbas ng.

Tulad ng nahulaan mo na, ngayon ikaw mismo ay makakakuha ng isang formula na tutulong sa iyo na mahanap ang sinumang miyembro ng geometric progression. O nabuo mo na ba ito para sa iyong sarili, na naglalarawan kung paano hanapin ang ika-miyembro nang hakbang-hakbang? Kung gayon, suriin kung tama ang iyong pangangatwiran.

Ilarawan natin ito sa halimbawa ng paghahanap ng ika-taning termino ng pag-unlad na ito:

Sa ibang salita:

Hanapin ang halaga ng termino ng ibinigay na geometric progression sa iyong sarili.

Nangyari? Ihambing natin ang ating mga sagot:

Pakitandaan na nakuha mo ang eksaktong parehong numero tulad ng sa nakaraang pamamaraan, kapag sunud-sunod naming pinarami sa bawat nakaraang termino ng geometric na pag-unlad.
Subukan nating "i-depersonalize" ang formula na ito - ilagay natin ito sa pangkalahatang anyo at makuha ang:

Ang nagmula na formula ay totoo para sa lahat ng mga halaga - parehong positibo at negatibo. Suriin ito sa iyong sarili sa pamamagitan ng pagkalkula ng mga tuntunin ng geometric na pag-unlad na may mga sumusunod na kundisyon: , a.

Nagbilang ka ba? Ihambing natin ang mga resulta:

Sumang-ayon na posibleng makahanap ng termino ng isang pag-unlad sa parehong paraan tulad ng isang termino, gayunpaman, may posibilidad na mali ang pagkalkula. At kung nahanap na natin ang ika-kataga ng geometric na pag-unlad, kung gayon ano ang maaaring mas simple kaysa sa paggamit ng "pinutol" na bahagi ng formula.

Walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.

Kamakailan lamang, napag-usapan namin ang katotohanan na maaari itong maging mas malaki o mas mababa sa zero, gayunpaman, mayroong mga espesyal na halaga kung saan tinatawag ang geometric progression. walang katapusan na bumababa.

Bakit sa palagay mo ibinigay ang pangalang ito?
Una, isulat natin ang ilang geometric progression na binubuo ng mga termino.
Sabihin natin, kung gayon:

Nakikita namin na ang bawat kasunod na termino ay mas mababa kaysa sa nauna sa pamamagitan ng isang kadahilanan, ngunit magkakaroon ba ng anumang numero? Sasagot ka kaagad - "hindi". Iyon ang dahilan kung bakit ito ay walang katapusan na bumababa - ito ay bumababa at bumababa, ngunit hindi kailanman nagiging zero.

Upang malinaw na maunawaan kung paano ito nakikita, subukan nating gumuhit ng isang graph ng ating pag-unlad. Kaya, para sa aming kaso, ang formula ay tumatagal ng sumusunod na form:

Sa mga graph, nakasanayan na naming magplano ng pag-asa, samakatuwid:

Ang kakanyahan ng expression ay hindi nagbago: sa unang entry ipinakita namin ang pag-asa ng halaga ng isang miyembro ng isang geometric na pag-unlad sa ordinal na numero nito, at sa pangalawang entry kinuha lang namin ang halaga ng isang miyembro ng isang geometric na pag-unlad bilang , at itinalaga ang ordinal na numero hindi bilang, ngunit bilang. Ang kailangan lang gawin ay bumuo ng isang graph.
Tingnan natin kung ano ang nakuha mo. Narito ang graph na aking naisip:

Nakikita mo ba? Bumababa ang function, nagiging zero, ngunit hindi ito lumalampas, kaya ito ay walang katapusan na bumababa. Markahan natin ang ating mga punto sa graph, at sa parehong oras kung ano ang ibig sabihin ng coordinate at:

Subukang ilarawan nang eskematiko ang isang graph ng isang geometric na pag-unlad kung ang unang termino nito ay pantay din. Suriin kung ano ang pagkakaiba sa aming nakaraang graph?

Inayos mo ba? Narito ang graph na aking naisip:

Ngayon na ganap mong naunawaan ang mga pangunahing kaalaman ng paksa ng geometric na pag-unlad: alam mo kung ano ito, alam mo kung paano hanapin ang termino nito, at alam mo rin kung ano ang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, lumipat tayo sa pangunahing pag-aari nito.

Property ng geometric progression.

Naaalala mo ba ang pag-aari ng mga tuntunin ng isang pag-unlad ng arithmetic? Oo, oo, kung paano mahanap ang halaga ng isang tiyak na bilang ng isang pag-unlad kapag may mga nauna at kasunod na mga halaga ng mga tuntunin ng pag-unlad na ito. naaalala mo ba ito:

Ngayon ay nahaharap tayo sa eksaktong parehong tanong para sa mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad. Upang makuha ang gayong pormula, simulan natin ang pagguhit at pangangatwiran. Makikita mo, napakadali nito, at kung nakalimutan mo, maaari mo itong ilabas sa iyong sarili.

Kumuha tayo ng isa pang simpleng geometric progression, kung saan alam natin at. Paano hanapin? Sa pag-unlad ng aritmetika ito ay madali at simple, ngunit paano ang tungkol dito? Sa katunayan, walang kumplikado sa geometric alinman - kailangan mo lamang isulat ang bawat halaga na ibinigay sa amin ayon sa formula.

Maaari mong itanong, ano ang dapat nating gawin tungkol dito ngayon? Oo, napakasimple. Una, ilarawan natin ang mga formula na ito sa isang larawan at subukang gumawa ng iba't ibang manipulasyon sa kanila upang makarating sa halaga.

I-abstract natin ang mga numerong ibinibigay sa atin, tumutok lamang tayo sa kanilang ekspresyon sa pamamagitan ng formula. Kailangan nating hanapin ang value na naka-highlight sa orange, alam ang mga terminong katabi nito. Subukan nating magsagawa ng iba't ibang mga aksyon sa kanila, bilang isang resulta kung saan maaari nating makuha.

Dagdag.
Subukan nating magdagdag ng dalawang expression at makuha natin:

Mula sa expression na ito, tulad ng nakikita mo, hindi namin maipahayag ito sa anumang paraan, samakatuwid, susubukan namin ang isa pang pagpipilian - pagbabawas.

Pagbabawas.

Tulad ng nakikita mo, hindi rin natin ito maipahayag, samakatuwid, subukan nating i-multiply ang mga expression na ito sa bawat isa.

Pagpaparami.

Ngayon tingnang mabuti kung ano ang mayroon tayo sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga tuntunin ng geometric na pag-unlad na ibinigay sa atin kumpara sa kung ano ang kailangang matagpuan:

Hulaan mo kung ano ang sinasabi ko? Tama, upang mahanap kailangan nating kunin ang square root ng mga geometric na numero ng pag-unlad na katabi ng nais na pinarami ng bawat isa:

Eto na. Ikaw mismo ang nakakuha ng pag-aari ng geometric progression. Subukang isulat ang formula na ito sa pangkalahatang anyo. Nangyari?

Nakalimutan ang kondisyon para sa? Pag-isipan kung bakit ito mahalaga, halimbawa, subukang kalkulahin ito sa iyong sarili. Ano ang mangyayari sa kasong ito? Tama, kumpletong kalokohan dahil ganito ang formula:

Alinsunod dito, huwag kalimutan ang limitasyong ito.

Ngayon kalkulahin natin kung ano ang katumbas nito

Tamang sagot - ! Kung hindi mo nakalimutan ang pangalawang posibleng halaga sa panahon ng pagkalkula, kung gayon ikaw ay mahusay at maaari kaagad na magpatuloy sa pagsasanay, at kung nakalimutan mo, basahin kung ano ang tinalakay sa ibaba at bigyang-pansin kung bakit kinakailangang isulat ang parehong mga ugat sa sagot.

Iguhit natin ang pareho ng ating mga geometric na pag-unlad - ang isa ay may halaga at ang isa ay may halaga at suriin kung pareho silang may karapatang umiral:

Upang masuri kung ang gayong geometric na pag-unlad ay umiiral o wala, kinakailangan upang makita kung ang lahat ng mga ibinigay na termino ay pareho? Kalkulahin ang q para sa una at pangalawang kaso.

Tingnan kung bakit kailangan nating sumulat ng dalawang sagot? Dahil ang sign ng term na hinahanap mo ay depende kung positive o negative! At dahil hindi natin alam kung ano ito, kailangan nating isulat ang parehong mga sagot na may plus at minus.

Ngayon na pinagkadalubhasaan mo ang mga pangunahing punto at nakuha ang pormula para sa pag-aari ng geometric progression, hanapin, alamin at

Ihambing ang iyong mga sagot sa mga tama:

Ano sa palagay mo, paano kung bibigyan kami ng hindi mga halaga ng mga tuntunin ng geometric na pag-unlad na katabi ng nais na numero, ngunit katumbas ng layo mula dito. Halimbawa, kailangan nating hanapin, at bigyan at. Maaari ba nating gamitin ang formula na nakuha natin sa kasong ito? Subukang kumpirmahin o pabulaanan ang posibilidad na ito sa parehong paraan, na naglalarawan kung ano ang binubuo ng bawat halaga, tulad ng ginawa mo noong orihinal mong hinango ang formula, sa.
Ano ang nakuha mo?

Ngayon tingnan mong mabuti.
at naaayon:

Mula dito maaari nating tapusin na gumagana ang formula hindi lang sa kapitbahay na may mga nais na termino ng geometric na pag-unlad, ngunit pati na rin sa magkapantay ang layo mula sa hinahanap ng mga miyembro.

Kaya, ang aming paunang pormula ay nasa anyo:

Ibig sabihin, kung sa unang kaso sinabi natin iyan, ngayon sasabihin natin na maaari itong maging katumbas ng anumang natural na numero na mas maliit. Ang pangunahing bagay ay pareho ito para sa parehong ibinigay na mga numero.

Magsanay gamit ang mga partikular na halimbawa, maging maingat lamang!

1. , . Hanapin.
2. , . Hanapin.
3. , . Hanapin.

Nagpasya? Umaasa ako na ikaw ay lubos na matulungin at napansin ang isang maliit na catch.

Ihambing natin ang mga resulta.

Sa unang dalawang kaso, mahinahon naming inilalapat ang formula sa itaas at makuha ang mga sumusunod na halaga:

Sa ikatlong kaso, kapag maingat naming sinusuri ang mga serial number ng mga numerong ibinigay sa amin, nauunawaan namin na ang mga ito ay hindi katumbas ng distansya mula sa numerong hinahanap namin: ito ang nakaraang numero, ngunit tinanggal sa isang posisyon, kaya ito ay hindi posible na ilapat ang formula.

Paano ito lutasin? Ito ay talagang hindi kasing hirap ng tila! Isulat natin kung ano ang binubuo ng bawat numero na ibinigay sa atin at ang numerong hinahanap natin.

Kaya mayroon kaming at. Tingnan natin kung ano ang magagawa natin sa kanila? Iminumungkahi kong hatiin sa pamamagitan ng. Nakukuha namin:

Pinapalitan namin ang aming data sa formula:

Ang susunod na hakbang na mahahanap natin ay - para dito kailangan nating kunin ang cube root ng resultang numero.

Ngayon tingnan natin muli kung ano ang mayroon tayo. Mayroon tayo nito, ngunit kailangan nating hanapin ito, at ito naman, ay katumbas ng:

Natagpuan namin ang lahat ng kinakailangang data para sa pagkalkula. Palitan sa formula:

Ang aming sagot: .

Subukang lutasin ang isa pang katulad na problema sa iyong sarili:
Ibinigay: ,
Hanapin:

Magkano ang nakuha mo? Meron akong - .

Tulad ng nakikita mo, mahalagang kailangan mo tandaan ang isang formula lamang- . Maaari mong bawiin ang lahat ng natitira sa iyong sarili nang walang anumang kahirapan anumang oras. Upang gawin ito, isulat lamang ang pinakasimpleng geometric na pag-unlad sa isang piraso ng papel at isulat kung ano ang katumbas ng bawat isa sa mga numero nito, ayon sa formula na inilarawan sa itaas.

Ang kabuuan ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad.

Ngayon tingnan natin ang mga formula na nagbibigay-daan sa amin upang mabilis na kalkulahin ang kabuuan ng mga termino ng isang geometric na pag-unlad sa isang naibigay na agwat:

Upang makuha ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang may hangganang geometric na pag-unlad, i-multiply ang lahat ng bahagi ng equation sa itaas sa. Nakukuha namin:

Tingnang mabuti: ano ang pagkakatulad ng huling dalawang formula? Tama, mga karaniwang miyembro, halimbawa, at iba pa, maliban sa una at huling miyembro. Subukan nating ibawas ang 1st sa 2nd equation. Ano ang nakuha mo?

Ngayon ipahayag ang termino ng geometric progression sa pamamagitan ng formula at palitan ang resultang expression sa aming huling formula:

Pangkatin ang ekspresyon. Dapat kang makakuha ng:

Ang natitira pang gawin ay ipahayag:

Alinsunod dito, sa kasong ito.

Paano kung? Anong formula ang gumagana pagkatapos? Isipin ang isang geometric na pag-unlad sa. Ano siya? Ang isang serye ng magkatulad na mga numero ay tama, kaya ang formula ay magiging ganito:

Mayroong maraming mga alamat tungkol sa parehong arithmetic at geometric progression. Isa na rito ang alamat ni Set, ang lumikha ng chess.

Alam ng maraming tao na ang laro ng chess ay naimbento sa India. Nang makilala siya ng haring Hindu, natuwa siya sa kanyang katalinuhan at sa iba't ibang posisyon na posible sa kanya. Nang malaman na ito ay naimbento ng isa sa kanyang mga nasasakupan, nagpasya ang hari na personal siyang gantimpalaan. Ipinatawag niya ang imbentor sa kanyang sarili at inutusan siyang hilingin sa kanya ang lahat ng gusto niya, na nangangako na tuparin kahit na ang pinaka mahusay na pagnanais.

Humingi si Seta ng panahon para makapag-isip, at nang sumunod na araw ay humarap si Seta sa hari, nagulat siya sa hari sa walang katulad na kahinhinan ng kanyang kahilingan. Hiniling niya na magbigay ng isang butil ng trigo para sa unang parisukat ng chessboard, isang butil ng trigo para sa pangalawa, isang butil ng trigo para sa ikatlo, isang ikaapat, atbp.

Nagalit ang hari at itinaboy si Seth, na sinasabi na ang kahilingan ng alipin ay hindi karapat-dapat sa kabutihang-loob ng hari, ngunit nangako na tatanggapin ng alipin ang kanyang mga butil para sa lahat ng mga parisukat ng tabla.

At ngayon ang tanong: gamit ang formula para sa kabuuan ng mga tuntunin ng isang geometric na pag-unlad, kalkulahin kung gaano karaming mga butil ang dapat matanggap ni Seth?

Simulan na natin ang pangangatwiran. Dahil, ayon sa kondisyon, humingi si Seth ng isang butil ng trigo para sa unang parisukat ng chessboard, para sa pangalawa, para sa pangatlo, para sa ikaapat, atbp., Pagkatapos ay makikita natin na ang problema ay tungkol sa isang geometric na pag-unlad. Ano ang katumbas nito sa kasong ito?
Tama.

Kabuuang mga parisukat ng chessboard. Kaugnay nito, . Mayroon kaming lahat ng data, ang natitira lamang ay isaksak ito sa formula at kalkulahin.

Upang isipin ang hindi bababa sa humigit-kumulang na "scale" ng isang naibigay na numero, binabago namin ang paggamit ng mga katangian ng degree:

Siyempre, kung gusto mo, maaari kang kumuha ng calculator at kalkulahin kung anong numero ang napupunta sa iyo, at kung hindi, kailangan mong kunin ang aking salita para dito: ang huling halaga ng expression ay magiging.
Yan ay:

quintillion quadrillion trillion billion million thousand.

Phew) Kung gusto mong isipin ang kalakihan ng bilang na ito, tantiyahin kung gaano kalaki ang isang kamalig na kakailanganin upang ma-accommodate ang buong dami ng butil.
Kung ang kamalig ay m mataas at m ang lapad, ang haba nito ay kailangang pahabain ng km, i.e. dalawang beses na mas malayo kaysa sa Earth hanggang sa Araw.

Kung ang hari ay malakas sa matematika, maaari niyang anyayahan ang mismong siyentipiko na magbilang ng mga butil, dahil upang mabilang ang isang milyong butil, kakailanganin niya ng kahit isang araw ng walang kapagurang pagbibilang, at dahil kailangan na magbilang ng quintillion, ang mga butil. ay kailangang mabilang sa buong buhay niya.

Ngayon, lutasin natin ang isang simpleng problema na kinasasangkutan ng kabuuan ng mga termino ng isang geometric na pag-unlad.
Ang isang mag-aaral ng klase 5A Vasya ay nagkasakit ng trangkaso, ngunit patuloy na pumasok sa paaralan. Araw-araw ay nahahawa ni Vasya ang dalawang tao, na, naman, ay nakakahawa ng dalawa pang tao, at iba pa. May tao lang sa klase. Sa ilang araw magkakaroon ng trangkaso ang buong klase?

Kaya, ang unang termino ng geometric progression ay Vasya, iyon ay, isang tao. Ang ika-apat na termino ng geometric progression ay ang dalawang taong nahawahan niya sa unang araw ng kanyang pagdating. Ang kabuuang kabuuan ng mga tuntunin sa pag-unlad ay katumbas ng bilang ng mga mag-aaral na 5A. Alinsunod dito, pinag-uusapan natin ang tungkol sa isang pag-unlad kung saan:

Ipalit natin ang ating data sa formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang geometric na pag-unlad:

Magkakasakit ang buong klase sa loob ng ilang araw. Hindi naniniwala sa mga formula at numero? Subukang ilarawan ang "impeksyon" ng mga mag-aaral sa iyong sarili. Nangyari? Tingnan kung ano ang hitsura nito para sa akin:

Kalkulahin para sa iyong sarili kung ilang araw ang aabutin para sa mga mag-aaral na magkasakit ng trangkaso kung ang bawat isa ay nahawahan ng isang tao, at mayroon lamang isang tao sa klase.

Anong halaga ang nakuha mo? Ito ay lumabas na ang lahat ay nagsimulang magkasakit pagkatapos ng isang araw.

Tulad ng nakikita mo, ang gayong gawain at ang pagguhit para dito ay kahawig ng isang pyramid, kung saan ang bawat kasunod na isa ay "nagdudulot" ng mga bagong tao. Gayunpaman, sa lalong madaling panahon darating ang isang sandali na ang huli ay hindi makaakit ng sinuman. Sa aming kaso, kung akala namin na ang klase ay nakahiwalay, ang tao mula sa pagsasara ng chain (). Kaya, kung ang isang tao ay kasangkot sa isang financial pyramid kung saan binigay ang pera kung nagdala ka ng dalawa pang kalahok, kung gayon ang tao (o sa pangkalahatan) ay hindi magdadala ng sinuman, nang naaayon, ay mawawala ang lahat ng kanilang namuhunan sa pandaraya na ito.

Ang lahat ng sinabi sa itaas ay tumutukoy sa isang bumababa o tumataas na geometric na pag-unlad, ngunit, tulad ng naaalala mo, mayroon kaming isang espesyal na uri - isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Paano makalkula ang kabuuan ng mga miyembro nito? At bakit ang ganitong uri ng pag-unlad ay may ilang mga katangian? Sabay-sabay nating alamin ito.

Kaya, una, tingnan natin muli ang pagguhit na ito ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad mula sa aming halimbawa:

Ngayon tingnan natin ang pormula para sa kabuuan ng isang geometric na pag-unlad, na nakuha nang mas maaga:
o

Ano ang ating pinagsisikapan? Tama, ipinapakita ng graph na ito ay may posibilidad na maging zero. Iyon ay, sa, ay magiging halos pantay, ayon sa pagkakabanggit, kapag kinakalkula ang expression na makukuha natin halos. Kaugnay nito, naniniwala kami na kapag kinakalkula ang kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad, ang bracket na ito ay maaaring mapabayaan, dahil ito ay magiging pantay.

- Ang formula ay ang kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad.

MAHALAGA! Ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad lamang kung ang kundisyon ay tahasang nagsasaad na kailangan naming hanapin ang kabuuan walang hanggan bilang ng mga miyembro.

Kung ang isang tiyak na numero n ay tinukoy, pagkatapos ay ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng n mga termino, kahit na o.

Ngayon ay magsanay tayo.

1. Hanapin ang kabuuan ng mga unang termino ng geometric progression na may at.
2. Hanapin ang kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad na may at.

Sana ay naging maingat ka. Ihambing natin ang ating mga sagot:

Ngayon alam mo na ang lahat tungkol sa geometric progression, at oras na para lumipat mula sa teorya patungo sa pagsasanay. Ang pinakakaraniwang problema sa geometric progression na nakatagpo sa pagsusulit ay mga problema sa pagkalkula ng compound interest. Ito ang mga pag-uusapan natin.

Mga problema sa pagkalkula ng tambalang interes.

Marahil ay narinig mo na ang tinatawag na compound interest formula. Naiintindihan mo ba ang ibig sabihin nito? Kung hindi, alamin natin ito, dahil kapag naunawaan mo ang proseso mismo, mauunawaan mo kaagad kung ano ang kinalaman ng geometric na pag-unlad dito.

Lahat tayo ay pumunta sa bangko at alam na mayroong iba't ibang mga kondisyon para sa mga deposito: kabilang dito ang isang termino, karagdagang mga serbisyo, at interes na may dalawang magkaibang paraan ng pagkalkula nito - simple at kumplikado.

SA simpleng interes ang lahat ay higit pa o hindi gaanong malinaw: ang interes ay naipon nang isang beses sa pagtatapos ng termino ng deposito. Iyon ay, kung sasabihin namin na nagdeposito kami ng 100 rubles para sa isang taon, pagkatapos ay mai-kredito lamang sila sa pagtatapos ng taon. Alinsunod dito, sa pagtatapos ng deposito makakatanggap kami ng mga rubles.

Pinagsamang interes- ito ay isang opsyon kung saan ito nangyayari capitalization ng interes, ibig sabihin. ang kanilang pagdaragdag sa halaga ng deposito at kasunod na pagkalkula ng kita hindi mula sa inisyal, ngunit mula sa naipon na halaga ng deposito. Ang capitalization ay hindi nangyayari palagi, ngunit may ilang dalas. Bilang isang patakaran, ang mga naturang panahon ay pantay-pantay at kadalasan ang mga bangko ay gumagamit ng isang buwan, quarter o taon.

Ipagpalagay natin na nagdedeposito tayo ng parehong rubles taun-taon, ngunit may buwanang capitalization ng deposito. Anong gagawin natin?

Naiintindihan mo ba ang lahat dito? Kung hindi, alamin natin ito nang hakbang-hakbang.

Nagdala kami ng mga rubles sa bangko. Sa pagtatapos ng buwan, dapat ay mayroon tayong halaga sa ating account na binubuo ng ating mga rubles kasama ang interes sa kanila, iyon ay:

Sumasang-ayon?

Maaari naming alisin ito sa mga bracket at pagkatapos ay makukuha namin:

Sumang-ayon, ang pormula na ito ay mas katulad ng isinulat namin sa simula. Ang natitira na lang ay alamin ang mga porsyento

Sa pahayag ng problema ay sinabihan kami tungkol sa taunang mga rate. Tulad ng alam mo, hindi kami nagpaparami ng - nagko-convert kami ng mga porsyento sa mga decimal fraction, iyon ay:

tama? Ngayon ay maaari mong itanong, saan nagmula ang numero? Napakasimple!
Uulitin ko: ang pahayag ng problema ay nagsasabi tungkol sa TAON interes na naipon MONTHLY. Tulad ng alam mo, sa isang taon ng mga buwan, nang naaayon, sisingilin kami ng bangko ng isang bahagi ng taunang interes bawat buwan:

Napagtanto ito? Ngayon subukang isulat kung ano ang magiging hitsura ng bahaging ito ng formula kung sinabi kong ang interes ay kinakalkula araw-araw.
Inayos mo ba? Ihambing natin ang mga resulta:

Magaling! Bumalik tayo sa ating gawain: isulat kung magkano ang maikredito sa ating account sa ikalawang buwan, na isinasaalang-alang na ang interes ay naipon sa naipon na halaga ng deposito.
Narito ang nakuha ko:

O, sa madaling salita:

Sa tingin ko, napansin mo na ang isang pattern at nakakita ka ng geometric na pag-unlad sa lahat ng ito. Isulat kung ano ang magiging katumbas ng miyembro nito, o, sa madaling salita, kung anong halaga ng pera ang matatanggap natin sa katapusan ng buwan.
ginawa? Suriin natin!

Tulad ng nakikita mo, kung naglalagay ka ng pera sa bangko sa loob ng isang taon sa isang simpleng rate ng interes, makakatanggap ka ng mga rubles, at kung sa isang compound na rate ng interes, makakatanggap ka ng mga rubles. Ang benepisyo ay maliit, ngunit ito ay nangyayari lamang sa ika-taon, ngunit sa mas mahabang panahon ang capitalization ay mas kumikita:

Tingnan natin ang isa pang uri ng problema na kinasasangkutan ng tambalang interes. Pagkatapos ng iyong naisip, ito ay magiging elementarya para sa iyo. Kaya, ang gawain:

Ang kumpanya ng Zvezda ay nagsimulang mamuhunan sa industriya noong 2000, na may kapital sa dolyar. Bawat taon mula noong 2001, nakatanggap ito ng tubo na katumbas ng kapital noong nakaraang taon. Magkano ang kita na matatanggap ng kumpanya ng Zvezda sa katapusan ng 2003 kung ang mga kita ay hindi na-withdraw mula sa sirkulasyon?

Kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2000.
- kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2001.
- kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2002.
- kabisera ng kumpanya ng Zvezda noong 2003.

O maaari tayong sumulat nang maikli:

Para sa aming kaso:

2000, 2001, 2002 at 2003.

Ayon sa pagkakabanggit:
rubles
Pakitandaan na sa problemang ito wala kaming dibisyon alinman sa pamamagitan o ni, dahil ang porsyento ay ibinibigay TAUN-TAON at ito ay kinakalkula TAUN-TAON. Iyon ay, kapag nagbabasa ng isang problema sa tambalang interes, bigyang-pansin kung anong porsyento ang ibinigay at sa anong panahon ito kinakalkula, at pagkatapos ay magpatuloy lamang sa mga kalkulasyon.
Ngayon alam mo na ang lahat tungkol sa geometric progression.

Pagsasanay.

1. Hanapin ang termino ng geometric progression kung ito ay kilala na, at
2. Hanapin ang kabuuan ng mga unang termino ng geometric progression kung alam na, at
3. Ang kumpanya ng MDM Capital ay nagsimulang mamuhunan sa industriya noong 2003, na may kapital sa dolyar. Bawat taon mula noong 2004, nakatanggap ito ng tubo na katumbas ng kapital noong nakaraang taon. Ang kumpanya ng MSK Cash Flows ay nagsimulang mamuhunan sa industriya noong 2005 sa halagang $10,000, na nagsimulang kumita noong 2006 sa halagang. Sa pamamagitan ng kung gaano karaming mga dolyar ay ang kabisera ng isang kumpanya ay mas malaki kaysa sa isa sa katapusan ng 2007, kung ang mga kita ay hindi withdraw mula sa sirkulasyon?

Mga sagot:

1. Dahil ang pahayag ng problema ay hindi nagsasabi na ang pag-unlad ay walang hanggan at kinakailangan upang mahanap ang kabuuan ng isang tiyak na bilang ng mga termino nito, ang pagkalkula ay isinasagawa ayon sa pormula:
2. 
   MDM Capital Company:

   2003, 2004, 2005, 2006, 2007.
   - tumataas ng 100%, ibig sabihin, 2 beses.
   Ayon sa pagkakabanggit:
   rubles
   Kumpanya ng MSK Cash Flows:

   2005, 2006, 2007.
   - tumataas ng, iyon ay, sa pamamagitan ng mga oras.
   Ayon sa pagkakabanggit:
   rubles
   rubles

I-summarize natin.

1) Ang geometric progression ( ) ay isang numerical sequence, ang unang termino ay iba sa zero, at ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad.

2) Ang equation ng mga termino ng geometric progression ay .

3) maaaring kumuha ng anumang mga halaga maliban sa at.

• kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga tuntunin ng pag-unlad ay may parehong tanda - sila ay positibo;
• kung, pagkatapos ay ang lahat ng kasunod na mga tuntunin ng pag-unlad mga kahaliling palatandaan;
• kapag - ang pag-unlad ay tinatawag na walang katapusan na pagbaba.

4), na may - property ng geometric progression (katabing termino)

o
, sa (magkaparehong mga termino)

Kapag nahanap mo ito, huwag kalimutan iyon dapat dalawa ang sagot.

Halimbawa,

5) Ang kabuuan ng mga tuntunin ng geometric progression ay kinakalkula ng formula:
o

o

MAHALAGA! Ginagamit namin ang formula para sa kabuuan ng mga termino ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad lamang kung ang kundisyon ay tahasang nagsasaad na kailangan naming hanapin ang kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga termino.

6) Ang mga problema sa tambalang interes ay kinakalkula din gamit ang pormula ng ika-apat na termino ng isang geometric na pag-unlad, sa kondisyon na ang mga pondo ay hindi na-withdraw mula sa sirkulasyon:

GEOMETRIC PROGRESSION. MAIKLING TUNGKOL SA MGA PANGUNAHING BAGAY

Geometric na pag-unlad( ) ay isang numerical sequence, ang unang termino ay iba sa zero, at ang bawat termino, simula sa pangalawa, ay katumbas ng nauna, na pinarami ng parehong numero. Ang numerong ito ay tinatawag denominator ng isang geometric progression.

Denominator ng geometric progression maaaring tumagal ng anumang halaga maliban sa at.

• Kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga tuntunin ng pag-unlad ay may parehong tanda - sila ay positibo;
• kung, kung gayon ang lahat ng kasunod na mga miyembro ng pag-unlad ay kahaliling mga palatandaan;
• kapag - ang pag-unlad ay tinatawag na walang katapusan na pagbaba.

Equation ng mga termino ng geometric progression - .

Kabuuan ng mga termino ng isang geometric na pag-unlad kinakalkula ng formula:
o

Kung ang pag-unlad ay walang katapusan na bumababa, kung gayon:

Well, tapos na ang topic. Kung binabasa mo ang mga linyang ito, ibig sabihin ay napaka-cool mo.

Dahil 5% lamang ng mga tao ang nakakabisa sa isang bagay sa kanilang sarili. At kung magbabasa ka hanggang sa huli, ikaw ay nasa 5% na ito!

Ngayon ang pinakamahalagang bagay.

Naunawaan mo ang teorya sa paksang ito. At, inuulit ko, ito... super lang! Mas mahusay ka na kaysa sa karamihan ng iyong mga kapantay.

Ang problema ay maaaring hindi ito sapat...

Para saan?

Para sa matagumpay na pagpasa sa Unified State Exam, para sa pagpasok sa kolehiyo sa isang badyet at, PINAKA MAHALAGA, habang buhay.

Hindi kita kukumbinsihin sa anumang bagay, isa lang ang sasabihin ko...

Ang mga taong nakatanggap ng magandang edukasyon ay kumikita ng higit pa kaysa sa mga hindi nakatanggap nito. Ito ay mga istatistika.

Ngunit hindi ito ang pangunahing bagay.

Ang pangunahing bagay ay MAS MASAYA sila (may mga ganyang pag-aaral). Marahil dahil marami pang pagkakataon ang nagbubukas sa harap nila at ang buhay ay nagiging mas maliwanag? hindi ko alam...

Pero isipin mo ang sarili mo...

Ano ang kailangan para makasiguradong maging mas mahusay kaysa sa iba sa Unified State Exam at sa huli ay... mas masaya?

AGAIN ANG IYONG KAMAY SA PAGLUTAS NG MGA PROBLEMA SA PAKSANG ITO.

Hindi ka hihilingin ng teorya sa panahon ng pagsusulit.

Kakailanganin mong lutasin ang mga problema laban sa oras.

At, kung hindi mo pa nalutas ang mga ito (MARAMING!), tiyak na makakagawa ka ng isang hangal na pagkakamali sa isang lugar o hindi magkakaroon ng oras.

Parang sa sports - kailangan mong ulitin ng maraming beses para siguradong manalo.

Hanapin ang koleksyon kahit saan mo gusto, kinakailangang may mga solusyon, detalyadong pagsusuri at magpasya, magpasya, magpasya!

Maaari mong gamitin ang aming mga gawain (opsyonal) at, siyempre, inirerekomenda namin ang mga ito.

Upang maging mas mahusay sa paggamit ng aming mga gawain, kailangan mong tumulong na palawigin ang buhay ng YouClever textbook na kasalukuyan mong binabasa.

Paano? Mayroong dalawang mga pagpipilian:

1. I-unlock ang lahat ng mga nakatagong gawain sa artikulong ito -
2. I-unlock ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain sa lahat ng 99 na artikulo ng aklat-aralin - Bumili ng isang aklat-aralin - 499 RUR

Oo, mayroon kaming 99 na ganoong mga artikulo sa aming aklat-aralin at ang access sa lahat ng mga gawain at lahat ng mga nakatagong teksto sa mga ito ay mabubuksan kaagad.

Ang access sa lahat ng mga nakatagong gawain ay ibinibigay para sa BUONG buhay ng site.

Sa konklusyon...

Kung hindi mo gusto ang aming mga gawain, maghanap ng iba. Huwag lamang tumigil sa teorya.

Ang "Naiintindihan" at "Maaari kong malutas" ay ganap na magkaibang mga kasanayan. Kailangan mo pareho.

Maghanap ng mga problema at lutasin ang mga ito!

Ang numerong ito ay tinatawag na denominator ng isang geometric na pag-unlad, ibig sabihin, ang bawat termino ay naiiba mula sa nauna nang q beses. (Aming ipagpalagay na q ≠ 1, kung hindi man ang lahat ay masyadong walang halaga). Madaling makita na ang pangkalahatang formula para sa ika-n na termino ng geometric na pag-unlad ay b n = b 1 q n – 1 ; ang mga termino na may mga numerong b n at b m ay naiiba sa pamamagitan ng q n – m beses.

Nasa Sinaunang Ehipto na alam nila hindi lamang aritmetika, kundi pati na rin ang geometric na pag-unlad. Narito, halimbawa, ang isang problema mula sa Rhind papyrus: “Pitong mukha ay may pitong pusa; Ang bawat pusa ay kumakain ng pitong daga, bawat daga ay kumakain ng pitong uhay ng mais, at bawat uhay ng barley ay maaaring magtanim ng pitong takal ng barley. Gaano kalaki ang mga numero sa seryeng ito at ang kanilang kabuuan?

kanin. 1. Sinaunang Egyptian geometric progression problema

Ang gawaing ito ay inulit ng maraming beses na may iba't ibang mga pagkakaiba-iba sa iba pang mga tao sa ibang mga oras. Halimbawa, sa nakasulat noong ika-13 siglo. Ang “The Book of the Abacus” ni Leonardo ng Pisa (Fibonacci) ay may problema kung saan 7 matandang babae ang lumilitaw papunta sa Roma (malinaw na mga pilgrim), bawat isa ay may 7 mules, bawat isa ay may 7 bag, bawat isa ay naglalaman ng 7 tinapay, bawat isa ay may 7 kutsilyo, bawat isa ay may 7 kaluban. Ang problema ay nagtatanong kung gaano karaming mga bagay ang mayroon.

Ang kabuuan ng unang n termino ng geometric progression S n = b 1 (q n – 1) / (q – 1) . Ang formula na ito ay maaaring patunayan, halimbawa, tulad nito: S n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1.

Idagdag ang numero b 1 q n sa S n at makuha ang:

S n + b 1 q n = b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n – 1 + b 1 q n = b 1 + (b 1 + b 1 q + b 1 q 2 + b 1 q 3 + ... + b 1 q n –1) q = b 1 + S n q .

Mula dito S n (q – 1) = b 1 (q n – 1), at nakukuha namin ang kinakailangang formula.

Nasa isa na sa mga clay tablet ng Ancient Babylon, na itinayo noong ika-6 na siglo. BC e., naglalaman ng kabuuan na 1 + 2 + 2 2 + 2 3 + ... + 2 9 = 2 10 – 1. Totoo, tulad ng sa ilang iba pang kaso, hindi natin alam kung paano nalaman ng mga Babylonia ang katotohanang ito. .

Ang mabilis na pagtaas ng geometric na pag-unlad sa isang bilang ng mga kultura, lalo na sa Indian, ay paulit-ulit na ginagamit bilang isang visual na simbolo ng kalawakan ng uniberso. Sa sikat na alamat tungkol sa hitsura ng chess, binibigyan ng pinuno ang imbentor nito ng pagkakataon na pumili ng gantimpala sa kanyang sarili, at hinihiling niya ang bilang ng mga butil ng trigo na makukuha kung ang isa ay inilagay sa unang parisukat ng chessboard, dalawa sa ang pangalawa, apat sa ikatlo, walo sa ikaapat, at iba pa, sa bawat oras na ang bilang ay dumoble. Naisip ni Vladyka na halos ilang bag ang pinag-uusapan namin, ngunit nagkamali siya ng kalkula. Madaling makita na para sa lahat ng 64 na parisukat ng chessboard ang imbentor ay kailangang makatanggap ng (2 64 - 1) mga butil, na ipinapahayag bilang isang 20-digit na numero; kahit na ang buong ibabaw ng Earth ay nahasik, aabutin ng hindi bababa sa 8 taon upang makolekta ang kinakailangang dami ng mga butil. Ang alamat na ito ay minsan ay binibigyang kahulugan bilang nagpapahiwatig ng halos walang limitasyong mga posibilidad na nakatago sa laro ng chess.

Madaling makita na ang numerong ito ay talagang 20-digit:

2 64 = 2 4 ∙ (2 10) 6 = 16 ∙ 1024 6 ≈ 16 ∙ 1000 6 = 1.6∙10 19 (isang mas tumpak na pagkalkula ay nagbibigay ng 1.84∙10 19). Ngunit iniisip ko kung maaari mong malaman kung anong digit ang nagtatapos sa numerong ito?

Ang isang geometric progression ay maaaring tumaas kung ang denominator ay mas malaki sa 1, o bumaba kung ito ay mas mababa sa isa. Sa huling kaso, ang bilang na q n para sa sapat na malaking n ay maaaring maging arbitraryong maliit. Habang ang pagtaas ng geometric na pag-unlad ay mabilis na tumataas, ang bumababa na geometriko na pag-unlad ay bumababa nang kasing bilis.

Ang mas malaki n, mas mahina ang numero q n ay naiiba mula sa zero, at mas malapit ang kabuuan ng n termino ng geometric progression S n = b 1 (1 – q n) / (1 – q) sa numero S = b 1 / ( 1 – q). (Halimbawa, nangangatuwiran si F. Viet sa ganitong paraan). Ang bilang na S ay tinatawag na kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad. Gayunpaman, sa loob ng maraming siglo ang tanong kung ano ang kahulugan ng pagbubuod ng BUONG geometriko na pag-unlad, kasama ang walang katapusang bilang ng mga termino, ay hindi sapat na malinaw sa mga mathematician.

Ang isang bumababang geometric na pag-unlad ay makikita, halimbawa, sa aporias ni Zeno na "Half Division" at "Achilles and the Tortoise." Sa unang kaso, malinaw na ipinakita na ang buong kalsada (ipagpalagay na ang haba 1) ay ang kabuuan ng isang walang katapusang bilang ng mga segment 1/2, 1/4, 1/8, atbp. Ito, siyempre, ang kaso mula sa ang punto ng view ng mga ideya tungkol sa isang finite sum infinite geometric progression. At gayon pa man - paano ito mangyayari?

kanin. 2. Pag-unlad na may koepisyent na 1/2

Sa aporia tungkol kay Achilles, ang sitwasyon ay medyo mas kumplikado, dahil dito ang denominator ng pag-unlad ay hindi 1/2, ngunit ilang iba pang numero. Hayaan, halimbawa, tumakbo si Achilles nang may bilis na v, ang pagong ay gumagalaw nang may bilis na u, at ang unang distansya sa pagitan nila ay l. Sasakupin ni Achilles ang distansyang ito sa oras na l/v, at sa panahong ito ang pagong ay lilipat ng layo na lu/v. Kapag pinatakbo ni Achilles ang segment na ito, ang distansya sa pagitan niya at ng pagong ay magiging katumbas ng l (u /v) 2, atbp. Lumalabas na ang paghabol sa pagong ay nangangahulugan ng paghahanap ng kabuuan ng isang walang katapusang pagbaba ng geometric na pag-unlad sa unang termino l at ang denominador na u /v. Ang kabuuan na ito - ang segment na sa huli ay tatakbo ni Achilles sa tagpuan kasama ang pagong - ay katumbas ng l / (1 – u /v) = lv / (v – u). Ngunit, muli, kung paano bigyang-kahulugan ang resulta na ito at kung bakit ito may katuturan sa lahat ay hindi masyadong malinaw sa loob ng mahabang panahon.

kanin. 3. Geometric progression na may coefficient na 2/3

Ginamit ni Archimedes ang kabuuan ng isang geometric na pag-unlad upang matukoy ang lugar ng isang segment ng parabola. Hayaang ang segment na ito ng parabola ay ma-delimited ng chord AB at hayaan ang padaplis sa punto D ng parabola ay parallel sa AB. Hayaang C ang midpoint ng AB, E ang midpoint ng AC, F ang midpoint ng CB. Gumuhit tayo ng mga linya parallel sa DC sa pamamagitan ng mga puntos A, E, F, B; Hayaang ang padaplis na iginuhit sa punto D ay magsalubong sa mga linyang ito sa mga puntong K, L, M, N. Gumuhit din tayo ng mga segment na AD at DB. Hayaang magsalubong ang linyang EL sa linyang AD sa punto G, at ang parabola sa punto H; Ang linya ng FM ay nag-intersect sa linya ng DB sa puntong Q, at ang parabola sa puntong R. Ayon sa pangkalahatang teorya ng mga conic na seksyon, ang DC ay ang diameter ng isang parabola (iyon ay, isang segment na kahanay sa axis nito); ito at ang tangent sa punto D ay maaaring magsilbi bilang coordinate axes x at y, kung saan ang equation ng parabola ay nakasulat bilang y 2 = 2px (x ay ang distansya mula D hanggang sa anumang punto ng isang binigay na diameter, y ang haba ng isang segment na parallel sa isang binigay na tangent mula sa puntong ito ng diameter hanggang sa ilang punto sa parabola mismo).

Sa bisa ng parabola equation, DL 2 = 2 ∙ p ∙ LH, DK 2 = 2 ∙ p ∙ KA, at dahil DK = 2DL, pagkatapos KA = 4LH. Dahil KA = 2LG, LH = HG. Ang lugar ng segment na ADB ng isang parabola ay katumbas ng lugar ng tatsulok na ΔADB at ang mga lugar ng mga segment na pinagsama ng AHD at DRB. Kaugnay nito, ang lugar ng segment AHD ay katulad na katumbas ng lugar ng tatsulok na AHD at ang natitirang mga segment na AH at HD, na ang bawat isa ay maaari mong isagawa ang parehong operasyon - hatiin sa isang tatsulok (Δ) at ang dalawang natitirang mga segment (), atbp.:

Ang lugar ng tatsulok ΔAHD ay katumbas ng kalahati ng lugar ng tatsulok ΔALD (mayroon silang isang karaniwang base AD, at ang taas ay naiiba ng 2 beses), na, naman, ay katumbas ng kalahati ng lugar ng ​ang tatsulok ΔAKD, at samakatuwid ay kalahati ng lugar ng tatsulok ΔACD. Kaya, ang lugar ng tatsulok ΔAHD ay katumbas ng isang-kapat ng lugar ng tatsulok ΔACD. Gayundin, ang lugar ng tatsulok ΔDRB ay katumbas ng isang-kapat ng lugar ng tatsulok ΔDFB. Kaya, ang mga lugar ng mga triangles ΔAHD at ΔDRB, na pinagsama, ay katumbas ng isang quarter ng lugar ng triangle ΔADB. Ang pag-uulit ng operasyon na ito kapag inilapat sa mga segment na AH, HD, DR at RB ay pipili ng mga tatsulok mula sa kanila, ang lugar kung saan, kapag pinagsama, ay 4 na beses na mas mababa kaysa sa lugar ng mga tatsulok ΔAHD at ΔDRB, na pinagsama, at samakatuwid 16 beses na mas mababa, kaysa sa lugar ng tatsulok ΔADB. At iba pa:

Kaya, pinatunayan ni Archimedes na "bawat segment na nasa pagitan ng isang tuwid na linya at isang parabola ay bumubuo ng apat na katlo ng isang tatsulok na may parehong base at pantay na taas."