Conformal mappings para sa mga dummies. Ang konsepto ng conformal mapping. Mga tanong sa pagsusulit sa sarili
Geometric na kahulugan ng module at argumento ng isang analytic function. Hayaan ang function w=f(z) ay analytic sa ilang domain D. Pumili tayo ng isang arbitrary na punto at gumuhit sa pamamagitan nito ng isang di-makatwirang makinis na kurba na ganap na nakahiga sa D. Function f(z) ipinapakita ang lugar D kumplikadong eroplano ( z) bawat rehiyon G kumplikadong eroplano ( w). Hayaang ma-map ang isang punto sa isang punto, at ang isang kurba ay ma-map sa isang kurba baka, at sa pamamagitan ng - ang anggulo na ginawa ng tangent sa punto na may axis Ou. Dahil ang function f(z) analytical, pagkatapos ay mayroong isang derivative sa anumang punto sa rehiyon D. Ipagpalagay natin na sa D. Ang derivative ay maaaring katawanin sa exponential form, i.e. isulat ito sa form:
Pumili tayo ng paraan ng pagsusumikap kung saan ang mga punto ay nasa kurba. Pagkatapos ang mga katumbas na puntos Ang mga kumplikadong numero at sa eroplano ay kakatawanin ng mga vector na secant sa mga kurba at, ayon sa pagkakabanggit, at ang mga haba ng mga secant na vector, at at ang mga anggulo na nabuo ng mga vector na ito at ang mga positibong axes. Kapag ang mga secant na vector na ito ay naging padaplis sa mga kurba at sa mga punto at . ang derivative argument ay may geometric na kahulugan ng pagkakaiba sa pagitan ng anggulo ng tangent vector ng curve at anggulo ng tangent vector. Dahil ang derivative ay hindi nakadepende sa paraan ng pagpasa sa limitasyon, ito ay magiging pareho para sa anumang iba pang curve na dumadaan sa punto. Sa madaling salita, mga arko na dumadaan sa isang punto z 0 sa ibabaw z kapag ipinakita w=f(z) paikutin sa parehong anggulo sa eroplano w. Kapag ang anggulo sa pagitan ng anumang kurba sa eroplano ( z), dumadaan sa punto z 0, ay katumbas ng anggulo sa pagitan ng mga kurba at sa eroplano ( w), pagkatapos ito ay tinatawag na property pangangalaga (conservatism) ng mga anggulo.
Katulad nito, mula sa pagkakapantay-pantay (10) nakukuha natin ang: , i.e. hanggang sa mga dami ng mas mataas na pagkakasunud-sunod ng kaliitan, ang sumusunod na pagkakapantay-pantay ay nagtataglay: .
Ang huling kaugnayan ay hindi rin nakasalalay sa paraan ng pagpili ng kurba at ang geometriko na kahulugan nito ay kapag ang pagmamapa ay isinasagawa ng isang analytical function na nakakatugon sa kondisyon, ang mga infinitesimal linear na elemento (infinitesimal arcs) ay binago sa katulad na paraan, at ang tinatawag na modulus ng derivative koepisyent ng pagkakatulad. Ang pag-aari na ito ng pagmamapa na ito ay tinatawag na ari-arian patuloy na pag-uunat, Kaya naman k tinatawag din stretch factor. Sabi nila kapag k>1 – pag-uunat, at kung kailan k<1 – сжатие.
Kahulugan ng conformal mapping at mga pangunahing katangian. Kahulugan 17. Isa-sa-isang pagmamapa ng lugar D kumplikadong eroplano ( z) bawat rehiyon G kumplikadong eroplano ( w) tinawag conformal, kung ito ay nasa lahat ng punto z D ay may ari-arian ng pagpapanatili ng mga anggulo at patuloy na pag-uunat.
Teorama 6. Para sa kumplikadong pag-andar w=f(z) ayon sa pagkakamapa ng lugar D eroplano ( z) bawat rehiyon G eroplano ( w), ito ay kinakailangan at sapat para ito ay maging analytical sa D at hindi sa anumang punto sa rehiyon D.
□ Pangangailangan. Ipagpalagay na natin. ano ang function w=f(z) nagsasagawa ng conformal mapping. Sa pamamagitan ng kahulugan, nangangahulugan ito ng pagtupad sa mga katangian ng pagpapanatili ng mga anggulo at patuloy na pag-uunat. Isakay natin ito sa eroplano z di-makatwirang punto z 0 at sa paligid nito ay may dalawang punto: z 1 At z 2 . Sa ibabaw w sila ay tumutugma sa mga puntos w 0 , w 1 , w 2
Sa isang katumpakan ng hanggang sa infinitesimal na dami, ang mga sumusunod na ugnayan ay masisiyahan: , at mula sa pare-pareho ng mga anggulo ito ay sumusunod: . Mula sa pagkakapantay-pantay para sa mga argumento ay sumusunod na ang mga anggulo ay pantay hindi lamang sa ganap na halaga, kundi pati na rin sa direksyon. Bilang resulta, nakukuha namin ang: .
Kaya, mula sa huling dalawang pagkakapantay-pantay na sinusundan nito, tumpak hanggang sa infinitesimal na mga halaga, na ang mga sumusunod na pagkakapantay-pantay ay nasiyahan: . Dahil sa arbitrariness ng pagpili ng punto z 0 at mga puntos z 1, z 2 mula sa paligid nito ay sumusunod na mayroong umiiral Kasapatan. Hayaang umiral ang derivative at hindi katumbas ng zero sa rehiyon D, pagkatapos ay mula sa geometric na kahulugan ng hinalaw na sumusunod na ang mga katangian ng konserbasyon ng mga anggulo at pare-pareho ng extension ay nasiyahan, at ito, sa pamamagitan ng kahulugan, ay nangangahulugan na ang function ay nagdadala ng isang conformal mapping. ■
Ginagamit ang conformal mapping upang malutas ang mga problema sa mathematical physics, hydrodynamics at aerodynamics, elasticity theory, at ang teorya ng electromagnetic at thermal field. Ang pangunahing gawain ng teorya ng conformal mapping ay upang mahanap ang function ng isang complex variable w=f(z), na magpapakita ng isang partikular na lugar D eroplano z sa isang ibinigay na lugar G eroplano w. Ang theorem ay gumaganap ng isang mahalagang papel sa paglutas ng problemang ito.
Teorama 7. Anumang simpleng konektadong rehiyon D kumplikadong eroplano z, ang hangganan kung saan ay binubuo ng higit sa isang punto ay maaaring imapa nang pare-pareho sa loob ng bilog ng yunit<1 комплексной плоскости w.(walang patunay).
Ang theorem na ito ay nagpapahiwatig ng posibilidad ng isang conformal mapping ng isang partikular na rehiyon D sa isang ibinigay na lugar G, kung ang hangganan ng bawat rehiyon ay binubuo ng higit sa isang punto. Pagkatapos, pagmamapa sa mga lugar na ito pantulong na bilog <1, мы получим искомое отображение. Конформное отображение многосвязной области на односвязную область невозможно, но в ряде случаев возможно конформное отображение областей одинаковой связности. Рассмотрим два конформных отображения.
Linear na display. Linear ay isang pagmamapa na isinasagawa ng isang linear function kung saan a At b- kumplikadong mga numero.
Ang ganitong pagmamapa ay isa-sa-isa at conformal sa buong kumplikadong eroplano dahil ang Linear mapping ay nag-iiwan ng dalawang puntos na naayos:
Isipin natin ang isang linear na pagmamapa sa anyo ng tatlong pinakasimpleng mga.
1) Pagbabago ng pag-ikot ng buong z plane sa pamamagitan ng isang anggulo sa paligid ng pinagmulan:
2) Pagbabago ng pagkakatulad sa sentro ng pagkakatulad sa pinanggalingan, i.e. lumalawak sa >1 at compression sa 0< <1:
3) Parallel transfer sa vector b:
Halimbawa 4. Maghanap ng isang function na nagpapakita ng isang tatsulok na may ibinigay na mga vertex z 1 =-1, z 2 =i, z 3 =1 sa isang tatsulok na may mga vertex w 1 =0, w 2 =-2+2i, w 3 =4i.
Solusyon. Buuin natin ang kinakailangang function bilang isang superposisyon ng tatlong elementarya na pagbabago.
1) - lumiko sa isang anggulo ng pakaliwa;
2) - dobleng kahabaan;
3) - maglipat ng dalawang yunit;
Ang kinakailangang function ay may form:
Fractional linear na pagmamapa. Fractional linear function, kung saan a B C D- Ang mga kumplikadong numero ay ipinatupad fractional linear mapping pinahabang kumplikadong eroplano z w. Hanapin natin ang derivative: kung .
Kahulugan 18. Mga puntos z 1 At z 2 ay tinatawag simetriko tungkol sa bilog, kung nakahiga sila sa parehong sinag na dumadaan sa mga punto z 1, z 2 at punto z 0, at .
Pagbabaligtad kamag-anak sa isang bilog ay isang pagbabago ng pinahabang kumplikadong eroplano papunta sa sarili nito na tumatagal ng bawat punto z 1 eroplano upang ituro z 2, simetriko tungkol sa bilog na ito. Isaalang-alang natin ang pagmamapa na tinukoy ng function at tukuyin Gamit ang pag-aari ng module, maaari nating isulat ang: . Ito ay sumusunod na ang pagmamapa na pinag-uusapan ay isang pagbabaligtad na may paggalang sa isang bilog ng radius R, nakasentro sa pinanggalingan na sinusundan ng isang mirror na imahe na may kaugnayan sa tunay na axis.
Sa pamamagitan ng pagkakatulad sa isang linear na pagmamapa, isipin natin ang isang fractional linear na pagmamapa bilang isang superposisyon ng mga simpleng pagbabago. Piliin muna natin ang buong bahagi ng fraction:
Ang pinakasimpleng pagbabago ay ang mga sumusunod:
1) parallel transfer sa: ;
2) pagbabagong-anyo ng pagbabaligtad na may kaugnayan sa isang bilog ng radius R nakasentro sa pinanggalingan na sinusundan ng salamin na imahe tungkol sa tunay na aksis: ;
3) pag-ikot na may kaugnayan sa pinagmulan: ;
4) parallel transfer sa: .
Halimbawa 5. Hanapin ang lugar kung saan pupunta ang bilog sa ilalim ng linear-fractional mapping.
Solusyon.
Ito ang magiging bilog na makukuha pagkatapos ng mga sumusunod na pagbabago:
1) ilipat ang 1 pababa:
2) inversion relative to , magbabago ang direksyon ng bypass:
3) paikutin ang 90 degrees:
4) ilipat ang 1 pababa:
Mga katangian ng fractional linear mapping. Nang walang patunay, binubuo namin ang mga sumusunod na katangian.
1.Pagsang-ayon. Ang linear fractional function ay pare-parehong nagmamapa sa pinalawig na kumplikadong eroplano z sa pinalawig na kumplikadong eroplano w.
2. Kakaiba. Mayroong isang natatanging linear fractional function na binibigyan ng tatlong magkakaibang puntos z 1 ,z 2 , z 3 eroplano z ipinapakita sa tatlong magkakaibang punto w 1, w 2, w 3 eroplano w at ang pagmamapa na ito ay ibinibigay ng pagkakapantay-pantay: .
3.Pabilog na ari-arian. Sa isang fractional linear na pagmamapa, ang imahe ng anumang bilog sa malawak na kahulugan ay isang bilog (sa malawak na kahulugan, ibig sabihin, isang bilog o anumang tuwid na linya).
4. Ang prinsipyo ng pagpapakita ng mga hangganan. Gamit ang fractional linear mapping, ang isang lugar na nasa loob ng isang bilog ay binago sa isang lugar na nasa loob o labas ng nabagong bilog (ang hangganan ay nakamapa sa isang hangganan).
5. Ang prinsipyo ng Riemann-Schwartz symmetry. Sa pamamagitan ng fractional linear na pagmamapa, ang mga puntong simetriko na may kinalaman sa isang bilog ay namamapa sa mga puntong simetriko na may kinalaman sa nabagong bilog (simetrya sa kahulugan ng pagbabaligtad).
Halimbawa 6. Ang itaas na kalahating eroplano ng eroplano ay tinukoy z at isang di-makatwirang punto z 0. Maghanap ng function na nagmamapa nito sa unit circle ng eroplano w kaya ganun z 0 ipinapakita sa gitna ng bilog.
Solusyon.
Hayaan , pagkatapos ay ayon sa prinsipyo ng pagmamapa ng mga hangganan, ang tunay na axis sa eroplano z ay imamapa sa isang bilog ng unit radius. Ayon sa property ng symmetry, ang isang punto ay imamapa sa isang punto. Kaya, isinasaalang-alang ito, gagawa kami ng isang function. Kung isasaalang-alang natin ang mga punto z, na nakahiga sa totoong axis, at ito ang mga punto ng anyo: , kung gayon ang mga pagkakapantay-pantay ay masisiyahan para sa kanila: , dahil lahat sila ay pantay-pantay mula sa isang puntong nakahiga sa totoong axis, i.e. mayroon kaming lahat ng mga punto ng tunay na axis ay imamapa sa lahat ng mga punto ng bilog ng yunit Kaya't nalaman namin na kung isasaalang-alang namin ang module, ang kinakailangang pagmamapa ay magkakaroon ng form: .
Lutasin ang isa pang linear fractional mapping na problema at ipasok ang pareho sa unang module!
Ipadala ang iyong mabuting gawa sa base ng kaalaman ay simple. Gamitin ang form sa ibaba
Ang mga mag-aaral, nagtapos na mga mag-aaral, mga batang siyentipiko na gumagamit ng base ng kaalaman sa kanilang pag-aaral at trabaho ay lubos na magpapasalamat sa iyo.
Nai-post sa http://www.allbest.ru/
Conformal mappings
1. Geometric na kahulugan ng derivative ng isang function ng isang complex variable
conformal mapping function
Geometric na kahulugan ng derivative argument
Alalahanin muna natin ang ilang impormasyon tungkol sa mga kurba. Ang bawat curve sa eroplano ay maaaring tukuyin ng mga parametric equation
x = x (t), y = y (t), b? t? sa 1)
kung saan ang x (t), y (t) ay mga tunay na function ng isang tunay na variable t. Sa mga sumusunod, ipinapalagay na ang mga function na ito ay may tuluy-tuloy na mga derivatives sa pagitan (b, c), at ang x"(t) at y"(t) ay hindi nawawala nang sabay-sabay. Ang isang kurba na may ganitong mga katangian ay tinatawag na makinis.
Dahil ang bawat punto (x, y) sa eroplano ay ibinibigay ng isang kumplikadong numero z = x + iy, ang mga equation (1) ay maaaring isulat sa isang mas compact na anyo:
z (t) = x (t) + i y (t), b? t? V.
Kunin natin ang mga halaga t 0 at t 0 + Дt mula sa pagitan (b, c). Tumutugma ang mga ito sa mga puntos na z (t 0) at z (t 0 + D t) sa curve.
Vector Дz = z (t 0 + Дt) - z (t 0) = Дx + i Дy ay nakadirekta kasama ang secant na dumadaan sa mga puntong ito.
Kung i-multiply natin ang Dz sa isang tunay na numero 1/Dt, makukuha natin ang vector Dz/Dt, collinear sa vector Dz. Simulan na nating bawasan ang Dt. Pagkatapos ang point z (t 0 + Дt) ay lalapit sa z (t 0) kasama ang curve; ang vector Dz/Dt ay iikot, papalapit sa vector
Ang naglilimitang posisyon ng mga secant na dumadaan sa puntong z (t 0) ay tinatawag na tangent sa kurba sa puntong ito. Kaya, ang vector z "(t 0) ay nakadirekta padaplis sa kurba sa puntong z (t 0).
Hayaan ngayon na bigyan ng function f (z), analytic sa puntong z 0, at f "(z 0) ? 0. Ipagpalagay pa na ang curve r ay dumadaan sa puntong z 0, na tinukoy ng equation na z (t) = x (t) + iy (t), at z (t 0) = z 0. Ang curve z ay nakamapa ng function na w = f (z) sa curve Г na nasa eroplano ng variable na w; ang curve Г ay magiging w (t) = f (z(t). ));
w " (t 0) = f " (z 0) ? z "(t 0).(2)
Sinusundan nito iyon
Arg w " (t 0) = Arg f " (z 0) + Arg z " (t 0).(3)
Ngunit ang z "(t 0) ay isang vector tangent sa curve r sa puntong z 0 (Fig. 1a), at w " (t 0) ay isang vector tangent sa curve Г sa point w 0 (Fig. 1b ). Samakatuwid, ang pagkakapantay-pantay (3) ay nagbibigay-daan sa amin na bigyan ang halagang Arg f " (z 0) ng sumusunod na geometric na kahulugan: ang argumento ng derivative ay katumbas ng anggulo kung saan ang tangent sa puntong z 0 ay umiikot sa anumang kurba na dumadaan dito. point kapag ipinapakita ang w = f (z). hanggang Arg f "(z 0) .
Kunin natin ang alinmang dalawang kurba z at z1 na dumadaan sa puntong z 0, at gumuhit ng mga tangent sa mga kurba na ito (Larawan 1a). Kapag ipinakita
w = f (z), ang mga kurba z at z1 ay magiging mga kurba Г at Г1, at ang bawat isa sa mga tangent sa z at z1 ay iikot sa parehong anggulo. Samakatuwid, ang anggulo at sa pagitan ng mga tangent hanggang z at z1 ay magiging pantay (kapwa sa magnitude at sa direksyon ng sanggunian) sa anggulo sa pagitan ng mga tangent sa Г at Г1 Alalahanin na ang anggulo sa pagitan ng mga kurba sa puntong z 0 ay ang anggulo sa pagitan ng mga tangent sa mga kurba na ito sa puntong z 0 . Kaya, kung f "(z 0) ? 0, kung gayon ang pagmamapa w = f (z) ay nagpapanatili ng mga anggulo sa pagitan ng mga kurba. Tandaan na sa kasong ito hindi lamang ang ganap na halaga ng mga anggulo sa pagitan ng mga kurba z at z1 at ang kanilang mga imahe ay pinapanatili, ngunit din ang direksyon ng mga anggulo Ang ari-arian ng pagmamapa na ito ay tinatawag mga katangian ng konserbasyon sa sulok.
Geometric na kahulugan ng derivative module
Ayusin natin ang puntong z 0 at kunin ang pagtaas ng argumentong Dz; malinaw na ang modyul |Dz| katumbas ng distansya sa pagitan ng mga puntos z 0 at z = z 0 + Dz (Larawan 2a). Hayaan ang w = f (z), Дw = w - w 0. Pagkatapos ay ang halaga |Dw| / |Dz| ay nagpapahiwatig ng ratio kung saan nagbabago ang distansya sa pagitan ng mga puntos na z 0 at z bilang resulta ng pagmamapa w = f (z). Ang limitasyon ay tinatawag na stretch factor sa puntong z 0 sa ilalim ng pagmamapa w = f (z). Dahil ang
pagkatapos module | f "(z 0) | ay katumbas ng stretching coefficient sa puntong z 0 kapag ipinapakita ang w = f (z). Kung | f "(z 0) | > 1, pagkatapos ay sa isang sapat na maliit na kapitbahayan ng punto z 0 ang mga distansya sa pagitan ng mga punto sa panahon ng pagtaas ng pagmamapa at pag-uunat ay nangyayari; kung | f "(z 0)|< 1, то отображение приводит к сжатию (хотя соответствующий коэффициент все равно называют коэффициентом растяжения). Свойство данного отображения носит название permanenteng makunat na katangian.
Dahil ang derivative f "(zo) ay hindi nakasalalay sa landas kung saan ang punto z 0 + Дz ay lumalapit sa z 0, ang stretching coefficient ay pareho sa lahat ng direksyon. Ang katangiang ito ay maaaring ilarawan bilang mga sumusunod. Kumuha ng bilog l na may center z 0 at radius |Дz| (ibig sabihin, ang mga increment ng Dz ay may nakapirming module, ngunit iba't ibang direksyon - Fig. 2a). Kapag ipinakita ang w = f (z), ang bilog na ito ay magbabago sa kurba L (Larawan 2b); ang distansya mula sa puntong w = f (z 0 + Dz) ng kurba na ito hanggang sa puntong w 0 = f (z 0) ay katumbas ng
|Dw| = |w- w 0 | = |f (z 0 + Dz) - f (z 0)|.
Dahil Dw = f "(z 0) Dz + b (Dz) Dz, kung saan ang b (Dz) > 0 para sa Dz > 0, pagkatapos |w - w 0 | = |f " (z 0) Dz + b(Dz) Dz|. Ang pagkakapantay-pantay na ito ay nangangahulugan na ang mga punto ng kurba L ay mag-iiba ng kaunti sa bilog |w -- w 0 | = |f " (z 0)| | Дz| na may gitnang w 0 at radius |f " (z 0)| | Dz| (mas tiyak, mag-iiba sila mula sa bilog na ito sa pamamagitan ng isang halaga ng mas mataas na pagkakasunud-sunod ng kaliit kaysa |Dz| - Fig. 2b).
2. Ang konsepto ng conformal mapping
Ang pagmamapa ay tinatawag na conformal sa puntong z 0 kung: 1) ang pagmamapa na ito ay nagpapanatili ng mga anggulo sa pagitan ng alinmang dalawang kurba na dumadaan sa puntong z 0 ; 2) ang pag-uunat sa puntong z 0 ay hindi nakadepende sa direksyon.
Kung pinapanatili din ng conformal mapping ang direksyon ng sanggunian ng mga anggulo, kung gayon ito ay tinatawag na conformal mapping ng unang uri; kung ang direksyon ng pagbibilang ng mga anggulo ay nagbabago sa kabaligtaran, pagkatapos ay sa pamamagitan ng conformal mapping ng pangalawang uri.
Bumuo tayo ng mga resulta na nakuha sa itaas sa anyo ng isang teorama.
Theorem 1. Kung ang function na w = f (z) ay analytic sa puntong z 0 at f "(z 0) ? 0, kung gayon ang f (z) ay nagsasagawa ng conformal mapping ng unang uri sa point z 0. Bukod dito , Arg f " (z 0 ) ay nangangahulugan ng anggulo ng pag-ikot, at |f " (z 0)| ay ang stretching coefficient para sa pagmamapa na ito.
Ang isang halimbawa ng conformal mapping ng pangalawang uri ay ibinibigay ng (non-analytic!) function na w =, na nagmamapa sa bawat rehiyon D sa isang rehiyon E na simetriko sa D na nauugnay sa OX axis.
Kung f "(z 0) = 0, kung gayon ang pagmamapa, sa pangkalahatan, ay hindi na magiging conformal sa puntong z 0. Kaya, ang pagmamapa w = z 2 ay nagdodoble ng mga anggulo sa pagitan ng mga sinag sa pinanggalingan.
Tandaan na, dahil sa mga pangkalahatang katangian ng analytic function, ang isang solong-valued analytic function z = μ(w) ay tinukoy sa isang neighborhood ng point w 0 . Kaya, ang isa-sa-isang sulat ay itinatag sa pagitan ng mga kapitbahayan ng mga puntos na z 0 at w 0. Ipakilala natin ang sumusunod na pangunahing kahulugan.
Kahulugan. Isa-sa-isang pagmamapa ng lugar? complex plane z papunta sa isang rehiyon G ng complex plane w ay tinatawag na conformal kung ang pagmamapa na ito sa lahat ng mga punto z ? ay may mga katangian ng pagpapanatili ng mga anggulo at patuloy na pag-igting.
Binibigyang-diin namin na ang kahulugang ito ay nagpapahiwatig ng pagpapatuloy ng pagmamapa na pinag-uusapan.
Alamin natin ngayon kung anong mga katangian ang dapat taglayin ng isang function ng isang complex variable upang maging conformal ang pagmamapa na isinasagawa ng function na ito. Ang sumusunod na teorama ay humahawak.
Theorem 2. Hayaang ang function na f (z) ay isang single-valued at univalent analytic function sa domain? at f " (z) ? 0 para sa z ?. Pagkatapos ang function na f (z) ay gumagawa ng conformal mapping ng domain ? papunta sa domain G ng complex plane w, na siyang hanay ng mga value ng function w = f (z) para sa z ?.
Patunay. Sa katunayan, dahil sa kondisyong f "(z) ? 0 para sa z ?, ang pagmamapa na isinagawa ng function na f (z) sa lahat ng mga punto ng domain ? ay may mga katangian ng pagpepreserba ng mga anggulo at constancy ng dilations, na nagpapatunay ng theorem .
Kaya, ang mga kondisyon ng analyticity, univalence at non-zero derivative ng isang function ng isang complex variable ay sapat na mga kondisyon para sa conformality ng pagmamapa na isinasagawa ng function na ito. Natural na magtanong kung kinakailangan ang mga kondisyon. Ang sumusunod na teorama ay sumasagot sa tanong na ito.
Theorem 3. Hayaan ang function na f (z) na magsagawa ng conformal mapping ng domain? complex plane z papunta sa rehiyon G ng complex plane w at nakatali sa?. Pagkatapos ang function na f (z) ay univalent at analytic sa domain ?, at f " (z) ? 0 para sa z ?.
Patunay. Dahil ang pagmamapa na isinasagawa ng function na f (z) ay conformal, ito ay isa-sa-isa, at sa anumang punto z 0? ang mga katangian ng pagpepreserba ng mga anggulo at katatagan ng pag-igting ay natutupad. Dahil dito, para sa anumang mga puntos na z 1 at z 2 na kabilang sa kapitbahayan ng puntong z 0, hanggang sa mga infinitesimal na halaga, ang mga sumusunod na relasyon ay nasiyahan:
kung saan ang Dz 1 = z 1 - z 0 at Dz 2 = z 2 - z 0 ay mga infinitesimal na linear na elemento na nagmumula sa puntong z 0, at ang Dw 1 at Dw 2 ay ang kanilang mga imahe (Fig. 3).
Tandaan na, sa bisa ng (4), ang mga kaukulang anggulo sa mga puntong z 0 at w 0 ay pantay hindi lamang sa ganap na halaga, kundi pati na rin sa direksyon. Ang pagtukoy ng arg sa pamamagitan ng, mula sa (4) makikita natin na arg. Talaga,
Mula sa (5) at (6) nakuha natin na, hanggang sa mga infinitesimal na halaga, ang sumusunod na kaugnayan ay nagtataglay:
Dahil sa arbitrariness ng pagpili ng mga puntos na z 1 at z 2 sa paligid ng puntong z 0, ang kaugnayan (7) ay nangangahulugan na mayroong limitasyon ng ratio ng pagkakaiba sa. Ang limitasyong ito, sa pamamagitan ng kahulugan, ay ang derivative ng function na f (z) sa puntong z 0 . Dahil ang derivative na ito ay hindi zero:
Point z 0 ay isang arbitrary point sa rehiyon?; Samakatuwid, mula sa (8) sumusunod na ang function na f (z) ay analytic sa rehiyon? at f "(z) ? 0 para sa z ?. Ang univalence ay sumusunod mula sa one-to-one mapping. Napatunayan ang theorem. Kaya, ang conformal mapping ng domain? ng complex plane z papunta sa domain G ng complex plane w ay isinasagawa lamang sa pamamagitan ng univalent analytic function ng isang complex variable na may nonzero derivative sa lahat ng mga punto sa rehiyon?
Tandaan na ang kundisyon f " (z) ? 0 saanman sa domain? ay isang kinakailangan ngunit hindi sapat na kundisyon para sa pagsang-ayon ng pagmamapa ng domain? sa domain G na isinasagawa ng function na f (z).
3. Mga pangkalahatang katangian ng conformal mappings
Theorem 4 (Riemann's theorem). Hayaang ang D at D" ay simpleng konektadong mga rehiyon sa pinalawak na mga eroplano ng mga variable na z at w, ayon sa pagkakabanggit, at ang mga hangganan ng mga rehiyong ito ay binubuo ng higit sa isang punto. isa at ayon.
Ito ay sumusunod mula sa teorama ni Riemann na ang isang simpleng konektadong domain na D ay hindi maaaring maimapa nang pantay-pantay sa unit disk |w|< 1 только в двух случаях: а) если D есть вся расширенная плоскость (граница -- пустое множество); б) если D есть расширенная плоскость, из которой удалена только одна точка (например, если D -- конечная плоскость С, когда из удалена точка z = ?).
Ang pagmamapa w = f (z) ng domain D sa D", na umiiral ayon sa teorama ni Riemann, ay hindi lamang isa. Upang natatanging matukoy ang conformal mapping, kinakailangan na magtakda ng mga karagdagang kundisyon, na tinatawag na normalization conditions, na naglalaman ng tatlo tunay na mga parameter Halimbawa, ito ay sapat sa anumang isang punto z 0 lugar D set na mga halaga
w 0 = f(z 0), .(9)
Narito ang mga parameter ay dalawang coordinate ng punto w 0 at isang tunay na numero. Ang mga kondisyon (9) ay nangangahulugan na ang pagmamapa w = f(z) ay natatangi kung para sa anumang punto z 0 sa rehiyon D ang imahe nito w 0 sa rehiyon D" at ang anggulo ng pag-ikot ng mga infinitesimal na vector sa puntong z 0 ay tinukoy.
Maaari mo ring tukuyin ang iba pang kundisyon ng normalisasyon na naiiba sa (9). Halimbawa, ang mga larawan ng isang panloob at isang hangganan ng rehiyon D ay tinukoy:
f(z 0) = w 0, f(z 1) = w 1,
kung saan ang z 0, w 0 ay ang mga panloob na punto ng mga lugar D, D", a z 0, w 0 ang mga hangganan ng mga lugar na ito. Mayroon ding tatlong tunay na mga parameter: dalawang coordinate ng punto w 0 at ang posisyon ng boundary point w 1, na tinutukoy ng isa sa isang tunay na numero (halimbawa, ang distansya sa kahabaan ng hangganan ng rehiyon D" mula sa ilang nakapirming boundary point). Ipahiwatig natin ang isa pang variant ng mga kondisyon ng normalisasyon:
f(z k) = w k , k = 1,2,3,
kung saan ang z k at w k ay ang mga boundary point ng mga lugar D at D".
Bumuo tayo ng sumusunod na mahalagang katangian ng conformal mappings.
Ari-arian 1. (prinsipyo sa konserbasyon ng lugar). Kung ang function na w = f(z) ay analytic sa isang domain D at hindi pare-pareho, kung gayon ang set D" kung saan ito nagmamapa ng D ay isa ring domain (ibig sabihin, isang bukas na konektadong set).
Magpatuloy tayo sa mga pahayag na naglalarawan sa pagsusulatan ng mga hangganan sa ilalim ng conformal mappings.
Ari-arian 2. (ang prinsipyo ng pagsusulatan ng mga hangganan). Hayaang ang D at D" ay simpleng magkadugtong na mga rehiyon na may hangganan ng tuloy-tuloy na saradong mga contour Г at Г", na binubuo ng isang may hangganang bilang ng mga makinis na kurba. Hayaan, higit pa, ang function na w = f(z) ay tugmang imapa ang D sa D." Pagkatapos ang function na ito ay maaaring higit pang tukuyin sa mga punto ng hangganan ng Γ upang ito ay maging tuloy-tuloy sa isang closed domain at i-map ang Γ one-to-one at tuloy-tuloy sa Γ."
Nangangahulugan ang property na ito na kapag ang dalawang rehiyon ay naka-mapa nang pantay-pantay sa isa't isa, ang isa-sa-isa at tuluy-tuloy na pagsusulatan ay mabubuo sa pagitan ng kanilang mga hangganan.
Ari-arian 3. Sa pamamagitan ng one-to-one at conformal na pagmamapa ng mga rehiyon D at D", ang direksyon ng pagtawid sa kanilang mga hangganan ay napanatili.
Sa madaling salita, kung kapag umiikot sa hangganan, ang lugar D ay nananatili sa kaliwa, pagkatapos ay kapag umikot sa hangganan ng lugar D, ang lugar na ito ay nananatili sa kaliwa.
Ang sumusunod na ari-arian ay may malaking kahalagahan para sa pagtatayo ng mga conformal mappings.
Ari-arian 4. (kabaligtaran na prinsipyo ng pagsusulatan sa hangganan).
Hayaang ang mga simpleng konektadong rehiyon D at D" ay matali ng mga kurba Г at Г". Hayaan, higit pa, ang isang function na w = f(z), analytic sa D at tuloy-tuloy sa, imapa ang Γ isa-sa-isa sa Γ, at kapag ang isang puntong z ay umikot sa contour Γ upang ang rehiyon D ay mananatili sa kaliwa, ang katumbas na puntong w ay umiikot sa contour Γ "upang ang domain D" ay mananatili din sa kaliwa. "
Dahil dito, upang mahanap ang lugar kung saan ang function na w = f(z) ay nagmamapa ng isang partikular na lugar D, ito ay sapat na upang pumunta sa paligid ng hangganan ng lugar D at hanapin ang contour kung saan ang hangganan na ito ay nakamapa ng function na f(z ).
4.Basic function
Linear function
Ang function na w = az + b,(10), kung saan ang a at b ay binibigyan ng mga kumplikadong numero at a?0, ay tinatawag na linear function. Dahil ang w " = a? 0, kung gayon ang pagmamapa (10) ay conformal sa buong eroplano C. Patunayan natin na univalent din ito sa C. Kung w 1 = az 1 + b, w 2 = az 2 + b, kung gayon w 1 -- w 2 = a(z 1 -- z 2) Samakatuwid, para sa z 1 ? z 2 makuha natin ang w 1 ? naka-on ang buong pinahabang kumplikadong eroplano.
Upang pag-aralan ang mga geometric na katangian ng pagmamapa (10), isaalang-alang muna natin ang kaso b = 0, i.e. w = az. Hayaan ang a = , z = .Pagkatapos
Samakatuwid, upang makuha ang vector w = az, kailangan mong gawin ang sumusunod na dalawang hakbang:
1) i-multiply ang ibinigay na vector z sa |a|. Sa kasong ito, ang direksyon ng vector z ay mananatiling pareho, ngunit ang haba ay tataas ng |a| minsan. Nangangahulugan ito na ang multiplikasyon sa |a| ay isang pagbabagong pagkakatulad (homothy) na may sentro sa pinanggalingan at koepisyent ng pagkakatulad |a|;
2) paikutin ang resultang vector |a|z ayon sa anggulo b.
Upang isaalang-alang ang pangkalahatang kaso (10), tandaan namin na kapag ang vector az ay idinagdag sa vector b, ang dulong punto ng vector az ay parallel na inililipat sa vector b. Kaya, ang pagmamapa (10) ay nakukuha sa pamamagitan ng komposisyon (i.e. sequential execution) ng sumusunod na tatlong operasyon: 1) pagkakatulad na pagbabago sa sentro sa pinanggalingan at pagkakatulad coefficient |a|; 2) pag-ikot sa paligid ng pinanggalingan ayon sa anggulo b; 3) parallel transfer sa vector b.
Fractional linear function.
Magpatuloy tayo sa pag-aaral ng fractional linear function na tinukoy ng pagkakapantay-pantay
at ang kaukulang fractional linear mapping. kasi
pagkatapos natural na tukuyin ang w(?) = a/c, w(--d/c) = ?. Ang function na tinukoy sa ganitong paraan ay magiging tuluy-tuloy sa buong pinalawig na kumplikadong eroplano.
Kung c = 0, kung gayon w = at ang fractional linear function ay nababawasan sa napag-aralan na linear function. Samakatuwid, sa mga sumusunod ay ipinapalagay na 0.
I-multiply ang numerator at denominator ng fraction (11) sa c at idagdag ang +ad -- ad sa numerator. Kung gayon ang fraction (11) ay maaaring katawanin bilang
Kung bc -- ad = 0, ang w = a/c at function (11) ay bumababa sa isang pare-pareho. Sa hinaharap, ipinapalagay namin na ang mga kondisyon ay natutugunan
kasama? 0, bc - ad ? 0.(13)
Ipakita natin na ang fractional linear function (11) ay nagsasagawa ng isa-sa-isang pagmamapa sa. Para sa layuning ito, nilulutas natin ang equation (11) para sa z (ito ay posible para sa z ? --d/c, z ? ?, w ? а/с, w ? ?):
Samakatuwid, ang bawat halaga ng w? a/c at w ? ? mayroon lamang isang kabaligtaran na larawan z? - d/c at z ? ?. Ngunit ayon sa kahulugan, ang halaga w = a/c ay tumutugma sa z = ?, at ang halaga w = ? -- halaga z = --d/c. Kaya, ang bawat punto w ay mayroon lamang isang kabaligtaran na imaheng z, na kung ano ang kailangan naming patunayan.
Itatag natin ngayon ang conformality ng pagmamapa (11). kasi
tapos sa z? - d/c at z ? ? ang derivative w" ay umiiral at hindi katumbas ng zero. Sa pamamagitan ng Theorem 1, ang linear fractional na mapa ay conformal kahit saan maliban sa dalawang puntong ito.
Upang linawin ang pagkakaayon sa z = - d/c at z = ? kailangan natin ang sumusunod na kahulugan.
Sa isang anggulo sa pagitan ng dalawang linya sa puntong z = ? ay nauunawaan bilang anggulo sa pagitan ng mga larawan ng mga linyang ito kapag ipinapakita ang w = sa pinanggalingan.
Theorem 5. Fractional linear function
Ad -- bс? 0, w(?) = a/c, w(- d/c) = ?, (14)
nagpapatupad ng one-to-one at conformal na pagmamapa ng pinahabang kumplikadong eroplano papunta sa buong eroplano.
Hindi namin ibinubukod ang kaso na may = 0 sa Theorem 5, dahil sa kasong ito ang fractional linear function ay nagiging linear, mayroon ding lahat ng mga katangian na tinukoy sa Theorem 5.
Itatag natin ngayon ang circular property ng isang linear fractional mapping. Para sa pagkakapareho ng karagdagang mga formulations, ito ay maginhawa upang isaalang-alang ang isang tuwid na linya bilang isang bilog ng walang katapusang malaking radius.
Theorem 6. Sa pamamagitan ng fractional linear mapping (14), ang mga bilog ay palaging nagbabago sa mga bilog.
(Tandaan na ang isang bilog na may hangganan na radius ay maaaring magbago sa isang bilog na walang katapusan na radius, ibig sabihin, sa isang tuwid na linya, at kabaliktaran.)
Patunay. Isaalang-alang ang equation
A(x 2 + y 2) + Bx + Su + D = 0, (15)
kung saan ang A, B, C, D ay mga tunay na coefficient. Sa A = 0 nakukuha namin ang Bx + Cy + D = 0, i.e. equation ng isang linya. Kung ang? 0, pagkatapos, paghahati sa A at pagpili ng kumpletong mga parisukat, dumating tayo sa pagkakapantay-pantay
(x - x 0) 2 + (y - y 0) 2 = ± R 2
na tumutukoy sa alinman sa isang bilog kung +R 2 sa kanan, o isang punto kung R = 0, o isang walang laman na hanay kung -R 2 sa kanan. Sa kabilang banda, ang anumang bilog (sa partikular, isang tuwid na linya) ay maaaring tukuyin ng isang equation ng form (15).
Patunayan muna natin ang pabilog na ari-arian para sa pagmamapa w = 1/z. Kumuha tayo ng isang arbitrary na bilog sa kumplikadong eroplano. Ito ay ibinigay sa pamamagitan ng equation (15). Ipahiwatig natin ang z = x + iy, w = u + iv. Ang pagkakapantay-pantay ng w = 1/z ay nagbibigay ng z = 1/w, o
Upang makuha ang equation ng curve kung saan magbabago ang bilog kapag ipinakita ang w = 1/z, pinapalitan namin ang mga nahanap na expression para sa x at y sa (15):
A + B u - C v + D (u 2 + v 2) = 0
Dumating kami sa isang equation ng parehong anyo bilang (15), ngunit sa eroplano ng variable na w = u + iv. Tulad ng nakita natin kanina, ang naturang equation ay tumutukoy sa alinman sa isang bilog (sa partikular, isang linya para sa D = 0), isang punto, o isang walang laman na hanay. Ngunit dahil sa isa-sa-isang character ng isang fractional linear na pagmamapa, ang isang bilog ay hindi maaaring pumunta sa isang punto o sa isang walang laman na hanay. Nangangahulugan ito na ito ay nagiging bilog at ang pabilog na katangian ng pagmamapa na w = 1/z ay naitatag.
Isaalang-alang natin ngayon ang pangkalahatang kaso ng linear fractional mapping (14). Kung c = 0, pagkatapos ay makakakuha tayo ng isang linear na pagmamapa w = a 1 z + b 1, na bumababa sa pag-uunat na may pag-ikot at paglilipat. Ang bawat isa sa mga pagbabagong ito ay malinaw na may pabilog na pag-aari. Nangangahulugan ito na para sa pagmamapa w = a 1 z + b 1 mayroon din itong property.
Hayaan na ngayon? 0. Gamit ang pagkakapantay-pantay (12), kinakatawan namin ang fractional linear mapping sa form
kung saan E = , F =, G =.
Mula sa pagkakapantay-pantay (16) sumusunod na ang fractional linear mapping ay ipinakita bilang isang komposisyon ng sumusunod na tatlong pagbabago:
1) w 1 = z + G; 2) w 2 = 1/w; 3) w = E + Fw 2. Tulad ng itinatag sa itaas, ang bawat pagbabagong ito ay nagpapalit ng isang bilog sa isang bilog. Nangangahulugan ito na ang kanilang komposisyon ay mayroon ding pag-aari na ito, na kung ano ang kailangan upang mapatunayan.
Upang bumuo ng isa pang katangian ng linear fractional mappings, kailangan namin ang sumusunod na kahulugan.
Ang mga punto A at A" ay tinatawag na simetriko na may kinalaman sa isang bilog na radius R< ?, если они лежат на одном луче, выходящем из центра О окружности, и
OA* OA" = R 2 .(17)
Kung ang punto A ay lumalapit sa bilog (tingnan ang Fig. 4), i.e. kung OA > R, ang OA" ay may gawi din sa R; bawat punto sa bilog ay simetriko sa sarili nito; kung OA > 0, OA" > ?. Samakatuwid, para sa punto O, ang punto sa infinity ay magiging simetriko. Sa ilalim ng symmetry relative
bilog ng radius R = ? ang ibig naming sabihin ay ordinaryong simetrya tungkol sa isang tuwid na linya.
Lemma 7. Upang ang mga puntong A at A" ay maging simetriko na may kinalaman sa isang bilog na Г (maaaring may walang katapusang radius), kinakailangan at sapat na ang anumang bilog na dumadaan sa A at A" ay patayo sa Г (Fig. 5) .
Patunay. Pangangailangan. Hayaang maging simetriko ang mga puntong A at A na may kinalaman sa bilog na G. Gumuhit tayo ng di-makatwirang bilog na Г" sa mga puntong A at A", at hayaang B ang intersection point ng mga bilog na Г at Г". Ayon sa kilalang teorama tungkol sa secant at tangents, ang produkto ng secant OA" at ang panlabas na bahagi nito OA ay katumbas ng parisukat ng tangent. Kasabay nito, dahil sa
symmetry, OA * OA" = R 2. Kaya,
ang radius OB ay padaplis sa bilog na Г". Dahil ang radius OB ay patayo sa tangent sa Г na dumadaan sa punto B, kung gayon ang mga bilog na Г at Г" ay patayo, na kung saan ay kailangang patunayan. Kung ang Γ ay isang tuwid na linya (ito ang magiging kaso kapag A = 0), pagkatapos ito ay dumadaan sa punto O at, samakatuwid, ay patayo din sa Γ.
Kasapatan. Hayaang ang mga puntong A at A" ay maging tulad na ang anumang bilog (sa partikular, isang tuwid na linya) na dumadaan sa mga ito ay bumalandra sa Γ sa tamang anggulo (tingnan ang Fig. 5). Patunayan natin na ang A at A" ay simetriko patungkol sa Γ . Dahil ang linyang AA "ay patayo sa G, pagkatapos ay dumadaan ito sa punto O. Nangangahulugan ito na ang mga puntong O, A, A" ay nasa parehong tuwid na linya. Ngunit nakahiga rin ang mga ito sa parehong sinag na nagmumula sa punto O. Sa katunayan, kung ang mga puntong A at A" ay nasa magkabilang panig ng punto O, kung gayon ang isang bilog na may diameter na AA" ay hindi magiging patayo sa G.
Gumuhit tayo ng di-makatwirang bilog Г" hanggang A at A" na may radius R"< ?. Пусть В -- точка пересечения Г и Г". По условию, Г и Г" пересекаются под прямым углом. Поэтому радиус ОВ будет касаться Г ". По той же теореме о секущей и касательной ОА * ОА" = R 2 . Следовательно, точки А и А" симметричны относительно Г.
Napatunayan namin ang Lemma 7 sa kaso ni R< ?. Если R = ?, то рассуждение существенно упрощается.
Ngayon ay handa na kaming itatag ang sumusunod na katangian ng linear fractional mappings (symmetry preservation property):
Theorem 8. Sa ilalim ng fractional linear mapping (14), ang isang pares ng mga puntos na simetriko na may kinalaman sa isang bilog (lalo na, isang tuwid na linya) ay napupunta sa isang pares ng mga punto na simetriko na may kinalaman sa imahe ng bilog na ito.
Patunay. Hayaang maging simetriko ang mga puntos na z 1 at z 2 na may kinalaman sa bilog na Г Sa ilalim ng fractional linear mapping (14), ang Г ay magiging isang curve r, na, ayon sa Theorem 6, ay isang bilog din. ang mga puntos na z 1 at z 2 ay mapupunta sa mga puntos na w 1 at w 2. Kinakailangang patunayan na ang w 1 at w 2 ay simetriko na may kinalaman sa z Kunin ang anumang bilog na z ", na dumaraan sa w 1 at w 2, at isaalang-alang ang kabaligtaran na imahe nito Г " sa ilalim ng pagmamapa (14) (i.e., isang set ng. puntos sa eroplano ng variable z, na dumadaan sa z "). Upang gawin ito, ipinapahayag namin ang z mula sa equation (14):
sa ad - bc ? 0
Nakita namin na ang Γ "ay nakuha mula sa Γ" din sa pamamagitan ng isang linear-fractional mapping. Dahil ang g ` ay isang bilog, kung gayon sa pamamagitan ng Theorem 6 G ` ay isang bilog din. Dahil ang Г ` ay dumadaan sa mga puntos na z 1 at z 2, simetriko na may paggalang sa Г, kung gayon sa pamamagitan ng Lemma 7 ang bilog na Г ` ay patayo sa Г Dahil sa conformality ng linear fractional na mapa at Г ` ay patayo sa Г Ang Lemma 7 ay sumusunod na ang mga puntos na w 1 at w 2 ay simetriko na may kinalaman sa r, at ang patunay ay kumpleto.
Ginagawang posible ng mga naitatag na katangian ng fractional linear mappings na makahanap ng mga mapping ng mga lugar na napapalibutan ng mga bilog (sa partikular, mga tuwid na linya).
Pag-andar ng kapangyarihan. Ang konsepto ng isang Riemann surface.
Isaalang-alang ang pag-andar ng kapangyarihan
kung saan ang n ay isang natural na numero. Ang derivative na w" = nz n -1 ay umiiral at hindi zero sa lahat ng mga punto z ? 0, z ? ?. Samakatuwid, ang pagmamapa na isinasagawa ng function (18) ay conformal sa lahat ng mga punto maliban sa z = 0 at z = ?. Kung sumusulat kami ng mga variable na z at w sa exponential form, z = r e i c, w = se i u, pagkatapos (18) ay humahantong sa mga pagkakapantay-pantay
c = r n, u = nc.
Ipinapakita nito na ang mga lupon |z| = pumunta sa mga lupon |w| = r n , anggulo 0< ц < б, где б < 2 р /n, с вершиной в начале координат, лежащий в плоскости переменного z, отображается на угол 0 < и < nб плоскости w. Следовательно, конформность отображения нарушается в точке z = 0: углы в этой точке увеличиваются при отображении в n раз. Нетрудно показать, что отображение (18) не является конформным и в точке z = ?.
Hayaan ang mga puntos na z 1 at z 2 na ang z 2 = z 1 e i 2 p / n, n? 2. Madaling makita na z 1? z 2, at. Samakatuwid, ang pagmamapa (18) ay hindi univalent sa buong kumplikadong eroplano C, ngunit nasa loob ng anumang anggulo ng magnitude b< 2 р /n с вершиной в начале координат.
Upang ipakilala ang inverse power function, kailangan namin ang mga sumusunod na kahulugan.
Ang multivalued function ng isang complex variable ay isang panuntunan (batas) ayon sa kung saan ang complex number z mula sa set D ay tumutugma sa ilang (posibleng infinitely marami) complex number w.
Ang lahat ng mga function na isinasaalang-alang nang mas maaga (maliban sa Arg z function) ay hindi malabo. Ang Arg z function ay multivalued:
Arg z = arg z + 2рk,
kung saan ang arg z ay ang pangunahing halaga ng argumento at k ay anumang integer. Sa mga sumusunod, ang terminong function, na ginamit nang walang anumang paliwanag, ay nangangahulugang isang hindi malabo na function; ang polysemy ng mga function na pinag-aaralan ay palaging tutukuyin bilang karagdagan.
Hayaang imapa ng function na w = f(z) ang domain D sa domain E. Ang kabaligtaran ng function na w = f(z) ay ang function (sa pangkalahatan, multivalued) z = g(w), na tinukoy sa domain na E , na sa bawat kumplikadong numero w E iniuugnay ang lahat ng kumplikadong numero zD na ang f(z) = w.
Sa madaling salita, ang function na kabaligtaran sa w = f(z) ay ang panuntunan ayon sa kung saan ang bawat puntong wE ay tumutugma sa lahat ng mga inverse na imahe nito na zD.
Kung ang function na w = f(z) ay univalent sa D, kung gayon ang inverse function ay univalent (at univalent din) sa E; kung ang w = f(z) ay hindi univalent, ang inverse function ay magiging multivalued. Halimbawa, ang kabaligtaran ng function na w = z n ay ang multivalued function na z =: bawat halaga ng w maliban sa 0 at?
Mga numero 0 at? bawat isa ay may isang ugat: , a.
Theorem 9. Hayaang ang function na w = f(z) ay univalent at analytic sa domain D, mapa D sa domain E at f "(z) ? 0. Pagkatapos ang inverse function na z = g(w) ay analytic din sa ang domain E at
Patunay. Ayusin natin ang isang arbitrary point zD at kunin ang increment na Дz? 0. Pagkatapos, dahil sa univalence ng function na w = f(z), ang katumbas na increment na Дw = f(z + Дz) -- f(z) ay hindi rin katumbas ng zero. kaya lang
Dahil ang function na w = f(z) ay analytic, ito ay tuloy-tuloy sa puntong z.
Dahil dito, ang Dw > 0 para sa Dz > 0, at dahil sa isa-sa-isang relasyon, totoo rin ang kabaligtaran: Dz > 0 para sa Dw > 0. Kaya
Q.E.D.
Ang argumento ng function na z = g(w), ang kabaligtaran ng w = f(z), ay ang variable na w. Dahil ang argumento ng isang function ay madalas na tinutukoy ng z, para sa consistency ang mga variable na z at w ay muling itinalaga at nakasulat na w = g(z). Halimbawa, ang inverse function sa w = z n ay isusulat bilang w = .
Tingnan natin ang function na w = . Tulad ng nabanggit sa itaas, ito ay multi-valued. Gayunpaman, posible na tukuyin ang function na ito sa isang set ng isang mas kumplikadong istraktura kaysa sa kumplikadong eroplano, kung saan ang function w = ay magiging isa-sa-isa at tuluy-tuloy. Ilarawan natin ang kaukulang set. Kumuha tayo ng n kopya ("mga sheet") D 0 , D 1 ,..., D n -1 ng complex plane cut kasama ang positive semi-axis, at ilagay ang mga ito sa ibabaw ng bawat isa (Fig. 6a ay nagpapakita ng case n = 4).
Pagkatapos ang gilid na iyon ng seksyon ng rehiyon D 0, kung saan lumalapit tayo mula sa ibaba ng ray OX (i.e. kasama ang kalahating eroplano y< 0), склеим с верхним краем разреза области D 1 ; нижний край разреза области D 1 склеим с верхним краем разреза области D 2 и т.д., пока не склеим нижний край разреза D n -2 с верхним краем разреза D n -1 . Теперь склеим оставшиеся свободными нижний край разреза области D n -1 (на рис. 6а это D 3) с верхним краем разреза области D 0 . В трехмерном пространстве такую склейку невозможно осуществить без пересечения с уже сделанными склейками промежуточных листов. Но мы условимся считать эту склейку непересекающейся с предыдущими (т.е. точки этой склейки считаются отличными от точек остальных склеек). Полученная поверхность показана на рис. 6б.
Tinatawag itong Riemann surface ng function na w =. Sa itaas ng bawat punto ng kumplikadong eroplano, naiiba sa 0 at?, mayroong eksaktong n mga punto ng ibabaw ng Riemann. Ang mga puntos na x > 0 ng tunay na semi-axis ay walang pagbubukod, dahil ang lahat ng mga gluing point na matatagpuan sa itaas nito ay itinuturing na magkahiwalay. Dalawang puntos lamang ang walang katangiang ito: z = 0 at z = ?
Tukuyin natin ngayon ang function w = sa constructed Riemann surface. Alalahanin natin na kung z = r e iс, ang lahat ng mga ugat ng ika-n degree ng z ay tinutukoy ng formula (*):
Ang anggulo q sa formula na ito ay maaaring piliin mula sa anumang pagitan ng haba na 2p; maginhawa para sa amin na ipagpalagay na 0 ? ts< 2р.
Sa mga puntos na z = r e ic na nakahiga sa sheet D 0 at ang gluing ng D 0 na may D n -1, itinalaga namin ang halaga ng ugat na may k = 0; mga puntos na nakahiga sa sheet D 1 at gluing D 1 na may D 0 - ang halaga ng ugat na may k = 1. Sa pangkalahatan, ang mga puntos na nakahiga sa D k, sa 1? k? n-1, at gluing D k, na may D k -1, ay tumutugma sa halaga ng ugat na may ibinigay na k. Ang nabuong sulat ay magiging isang may halagang function sa ibabaw ng Riemann.
Madaling ipakita na ang function na ito ay nagmamapa sa ibabaw ng Riemann nang isa-sa-isa sa buong kumplikadong eroplano. Sa katunayan, ang sheet D k ay imamapa sa sulok, at ang gluing ay imamapa sa mga sinag na kumukonekta sa mga sulok na ito; kaya ang buong kumplikadong eroplano ay sakop ng mga larawan ng mga punto ng ibabaw ng Riemann.
Ipakita natin na ang pagmamapa na ito ay tuloy-tuloy din. Kung ang point z ay namamalagi sa isang sheet D k na may isang hiwa, pagkatapos ay ang continuity sa puntong ito ay sumusunod nang direkta mula sa formula (20) na may nakapirming k. |z| = 1 kumplikadong eroplano. Simulan natin ang paglibot sa contour na ito mula sa punto z, na matatagpuan sa itaas na gilid ng cut sheet D 0. Dahil r = 1, q = 0, k = 0, pagkatapos ay w = = 1. Kapag lumibot sa unang pagliko ng circuit sa sheet D 0 magkakaroon
At. Ang paglipat sa linya ng gluing sa sheet D 1, nakuha namin, sa pamamagitan ng kahulugan, (dahil k = 1). Sa partikular, sa q = 0 magkakaroon ng parehong halaga ng ugat na aming nilapitan kapag papalapit sa mas mababang bangko ng hiwa kasama ang sheet D 0. Nangangahulugan ito na sa mga punto ng gluing D 0 c D 1 ang function ay magiging tuluy-tuloy. Katulad nito, ang pagpapatuloy ng ugat ay ipinapakita kapag lumilipat mula D k -1 hanggang D k sa 1? k? n-1. Sa wakas, pag-ikot sa tabas kasama ang sheet D n -1 at papalapit sa ibabang gilid ng hiwa, nakukuha namin ang k = n - 1, at,
mga. ang parehong halaga kung saan kami nagsimula sa itaas na gilid ng cut sheet D 0 . Kaya, ang pag-andar ay magiging tuluy-tuloy sa lahat ng mga punto ng ibabaw ng Riemann. Bilang isang function na kabaligtaran sa analytic, isa rin itong natatanging analytic function sa ibabaw na ito (maliban sa mga puntos na z = 0 at z = ?).
Kumuha ng anumang lupon |z| = r sa kumplikadong eroplano na nakapaloob sa puntong z = 0. Ang bilog na ito ay magsasara din ng puntong z = ?. Sa pamamagitan ng pag-ikot sa contour sa ibabaw ng Riemann, na binubuo ng mga puntong matatagpuan sa itaas ng bilog na ito, lilipat tayo mula sa isang sheet ng ibabaw ng Riemann patungo sa isa pa. Samakatuwid, ang mga puntos na z = 0 at z = ? ay tinatawag na mga branch point. Walang ibang punto ang may inilarawang pag-aari: kung kukuha tayo ng isang bilog na may sentro nito sa puntong z? 0, z ? ?, na hindi naglalaman ng punto 0, pagkatapos ay ang mga kaukulang punto sa ibabaw ng Riemann ay bumubuo ng n mga bilog na hindi konektado sa isa't isa. Sa pamamagitan ng pag-ikot sa bawat isa sa kanila, hindi tayo lalampas sa parehong sheet.
Ang single-valued analytic function f (z) sa isang domain D ay tinatawag na regular na branch ng multivalued function F (z) na tinukoy sa parehong domain kung ang value ng f (z) sa bawat punto z ng domain D ay tumutugma sa isa sa mga halaga ng F (z) sa puntong ito .
Ang multivalued function na F(z) ay single-valued at analytic sa Riemann surface nito (maliban sa mga branch point). Samakatuwid, ang kakayahang pumili ng isang regular na sangay sa rehiyon D ay nangangahulugan ng kakayahang hanapin ang rehiyong ito sa ibabaw ng Riemann nang hindi pinuputol ang D at nang hindi hinahawakan ang mga punto ng sangay. Sa kasong ito, ang lugar D ay dapat na ganap na inilatag sa isang sheet o bumaba sa pamamagitan ng gluing mula sa isang sheet patungo sa isa pa (tulad ng isang karpet sa hagdan). Halimbawa, singsing 1< |z| < 2 нельзя без разрывов расположить на римановой поверхности функции F (z) = , n ? 2, поскольку точки кольца, располагаемые над положительной полуосью, должны одновременно попасть на разные листы, что невозможно. Но если разрезать кольцо по любому радиусу, то такое расположение становится возможным. При этом расположить D на римановой поверхности можно n способами (и, следовательно, выделить в D n различных ветвей функции). Для выделения конкретной ветви достаточно указать значение функции в какой-либо точке области D. Тем самым указывается лист римановой поверхности, на который попадает эта точка, а значит, фиксируется расположение и всей области D.
Exponential at logarithmic function
1. Ang exponential function na e z ay tinutukoy ng mga sumusunod na relasyon: para sa anumang kumplikadong numero z = x + iу
e z = e x + iy = e x (cos y + i sin y).(21)
Ang pangalawang pagkakapantay-pantay sa (21) ay makukuha kung ating kukunin, ayon sa kahulugan, e x + i y = e x e i y at ilalapat ang Euler formula sa e i y. Mula sa (21) ito ay sumusunod na
|e z | = |e x + i y | = e x, Arg e z = y + 2 рn.
Ang kahulugan (21) at ang mga katangian ng function na e i z ay nagpapadali na patunayan na ang function na e z ay may mga karaniwang katangian ng isang exponential function:
e z 1+ z 2 = e z 1 e z 2 ; e z 1 - z 2 = e z 1 /e z 2 ;(e z) n = e nz .
Patunayan natin na ang function na e z ay magiging analytic sa buong kumplikadong eroplano C. Upang gawin ito, kailangan nating suriin ang kasiyahan ng mga kondisyon ng Cauchy-Riemann (7). Kung w = u + iv, pagkatapos ay sa pamamagitan ng (21) u + iv = e x cos y + i e x sin y, saan
u = e x cos y, v = e x sin y;
Kaya, ang mga kondisyon (7) ay nasiyahan, at ang analyticity ng function na e z ay napatunayan. Para kalkulahin ang derivative (e z)", gagamitin namin ang independence ng derivative mula sa direksyon at kalkulahin ang derivative sa direksyon ng OX axis:
Dahil dito, para sa derivative ng function e z ang karaniwang formula ay hawak
Ang sumusunod na pag-aari ng function na e z ay walang analogue sa kaso ng isang exponential function ng isang tunay na variable: ang function na e z ay panaka-nakang may purong haka-haka na panahon 2рi. Sa katunayan, para sa anumang integer n
e z +2 рni = e x (cos(y + 2рn) + i sin(у+2рn)) = e x (cos y + i sin y) = e z.
Mula sa periodicity ng function w = e z ito ay sumusunod, sa partikular, na ito ay hindi univalent sa buong kumplikadong eroplano. Upang malaman kung saang bahagi ang function na ito ay univalent, ilagay natin ang z 1 = x 1 + iy 1, z 2 = x 2 + iy 2. Sa bisa ng (21), ang pagkakapantay-pantay e z 1 = e z 2 ay katumbas ng mga sumusunod na kondisyon:
e x 1 = e x 2 , cos y 1 = cos y 2 , sin y 1 = sin y 2 ,
na nagpapahiwatig ng x 1 = x 2, y 1 = y 2 + 2рn, kung saan ang n ay isang arbitrary integer, o
z 1 - z 2 = 2рni.(22)
Dahil dito, para maging isa-sa-isa ang pagmamapa w = e z sa domain D, kinakailangan at sapat na ang D ay hindi naglalaman ng anumang pares ng mga puntos kung saan ang (22) ay wasto. Sa partikular, ang kundisyong ito ay natutugunan ng anumang pahalang na strip ng lapad na 2p, halimbawa mga guhit
(z: - ?< х < ?, 2рk < у < 2 р(k + 1)}, k = 0, ±1, ±2,...
Ang bawat strip ay tumutugma sa isang hanay ng mga halaga w = e z = e x e iy = сe at kung saan, dahil sa mga pagkakapantay-pantay c = e x, at = y, mayroon kaming
0 < с < ?, 2рk < и < 2р(k + 1).
Ang mga halagang ito ng w ay pinupuno ang buong kumplikadong eroplano ng variable na w ng isang hiwa kasama ang tunay na positibong semi-axis. Sa kasong ito, ang mga tuwid na linya y = y 0 (ipinapakita sa Fig. 7, a na may tuldok na linya) ay nagiging mga sinag at = y 0 (Larawan 7b), at ang mga pagitan x = x 0, 2рk< у < 2р(k + 1) (показаны сплошными линиями
para sa k = 0) - sa isang bilog сe x 0 (na may mga butas na puntos sa semi-axis u > 0). Mga guhit 0< Im z < h < 2 р показательная функция e z отображает в углы 0 < и < h. В частности, полоса 0 < Im z < р переводится в верхнюю полуплоскость.
2. Ang logarithmic function ay ang kabaligtaran ng isang exponential function.
Dahil ang exponential function na e z ay hindi univalent sa C, ang inverse function nito ay multivalued. Ang multi-valued logarithmic function na ito ay tinutukoy ng Ln z. Kaya, kung w = Ln z, kung gayon z = e w. Ilagay natin
w = u + iv, z = r e ic = re iArg z.
re iArg z = z = e w = e u + iv = e u e iv .
Ang paghahambing ng mga numero sa simula at dulo ng chain na ito, napagpasyahan namin iyon
r = e u , e i Arg z = e iv .(23)
Mula sa unang pagkakapantay-pantay ay makikita natin ang u = ln r, kung saan ang ln r ay ang karaniwang natural na logarithm ng positibong bilang r. Ang pangalawang pagkakapantay-pantay sa (23) ay nagbibigay ng v = Arg z. kaya,
Lnz = ln |z| + i Arg z.(24)
Para sa bawat kumplikadong numero z, naiiba sa 0 at?, ang formula (24) ay nag-uugnay ng isang walang katapusang hanay ng mga halaga Ln z, na naiiba sa bawat isa ng 2 pki, kung saan ang k ay anumang integer. Ito ay maginhawa upang kumatawan sa Arg z sa anyo
Arg z = arg z + 2 рk, - р< arg z ? р,
kung saan ang arg z ang pangunahing halaga ng argumento. Pagkatapos ang formula (24) ay kukuha ng form
Ln z = ln |z| +i(arg z + 2рk).(25)
Para sa bawat value ng k, ang function na Ln z ay isang tuluy-tuloy na single-valued na function sa complex plane na may hiwa kasama ang negatibong semi-axis; ito rin ay analytic sa rehiyong ito bilang isang function na kabaligtaran sa analytic function e z. Kaya, para sa bawat nakapirming k, ang formula (25) ay tumutukoy sa isang regular na sangay ng multivalued function na Ln z. Ang sangay na ito ay isa-sa-isang nagmamapa ng isang eroplano na may hiwa sa kahabaan ng negatibong semi-axis sa isang strip
Р + 2 рk< Im w < р + 2рk.
Ang sangay na nakuha sa k = 0 ay tinutukoy ng ln z at tinatawag na pangunahing halaga ng multivalued function na Ln z:
ln z = ln |z| + i arg z.
Halimbawa, ln i = ln 1 + ip/2 = ip/2; ln(-i) = ln 1 -- iр/2 = --iр/2. Kung lalapit ka sa puntong z = -- 1 kasama ang itaas na kalahating eroplano y > 0, kung gayon; kung sa ibaba, pagkatapos.
Upang isipin ang ibabaw ng Riemann ng function na Ln z, kumuha tayo ng walang katapusang bilang ng mga kopya ("mga sheet") ng eroplano na may hiwa kasama ang negatibong semi-axis at idikit ang mga ito tulad ng ipinapakita sa Fig. 8. Sa itaas ng bawat punto ng eroplano, maliban sa mga puntos na z = 0 at z = ?,
mayroong walang katapusang maraming mga punto sa ibabaw ng Riemann. Sa mga puntos 0 at? ang function na Ln z ay hindi tinukoy, at walang mga surface point sa itaas ng mga ito. Mga puntos z = 0 at z = ? ay tinatawag na mga sangay na punto ng walang katapusang pagkakasunud-sunod.
kanin. Ang 8 ay malinaw na nagpapakita ng dahilan na: kung ipagpalagay natin na ang mga puntos - 1 ± h, h > 0, ay nasa parehong sheet ng Riemann surface at direktang h sa zero, kung gayon ang paglilimita sa mga posisyon ng mga puntong ito ay nasa iba't ibang mga sheet ng ibabaw ng Riemann.
Posibleng matukoy ang isang regular na sangay ng logarithm hindi lamang sa rehiyon D, na isang eroplano na may hiwa kasama ang negatibong semi-axis. Kung gumawa ka ng isang seksyon ng eroplano kasama ang anumang sinag, kung gayon ang resultang rehiyon ay nagpapahintulot din sa iyo na ihiwalay ang isang regular na sangay dito. Hayaang gawin ang hiwa kasama ang isang sinag na papunta sa isang anggulo sa axis ng OX. Pagkatapos ang mga regular na sangay ay ibibigay ng sumusunod na pormula: para sa z = e iс
Ln z = ln r + i(t + 2рk), at< ц < и + 2 р.
Ang formula (25) ay isang espesyal na kaso para sa u = - p. Ang derivative ng bawat regular na branch f (z) ng logarithm ay matatagpuan gamit ang isang formula na katulad ng formula para sa derivative ng isang logarithmic function ng isang real variable. Ang katotohanang ito ay hinango mula sa pagkakapantay-pantay (e z)" = e z at formula (19) ng derivative ng inverse function. Sa katunayan, ang inverse sa w = f(z) ay ang function na z = e w. Mula dito at mula sa ( 19) nakuha namin
Pangkalahatang kapangyarihan at trigonometriko function. Zhukovsky function
1. Ang pangkalahatang function ng kapangyarihan, kung saan ay isang nakapirming kumplikadong numero, ay tinutukoy ng kaugnayan.
Sa pag-aakalang, makuha natin ang Ln z = ln r + i(t + 2рk). Kaya naman,
Ito ay nagpapakita na kapag ang module ay kumuha ng isang walang katapusang bilang ng mga halaga. Kaya, sa pag-andar ay magiging walang katapusan na halaga.
Ang pangkalahatang pagpapaandar ng kapangyarihan, sa bisa ng kahulugan nito, ay nagbibigay-daan sa pagkilala ng mga regular na sangay sa parehong mga lugar bilang ang logarithmic; halimbawa, sa isang eroplano na may hiwa kasama ang sinag. Ang sangay na nakahiwalay sa eroplano na may hiwa sa kahabaan ng negatibong semi-axis ay tinatawag na pangunahing sangay ng power function. Sa bisa ng theorem sa derivative ng isang complex function, para sa bawat regular na branch ng isang power function ang mga sumusunod na equalities ay totoo:
kung saan ang f (z) ay ang regular na sangay ng logarithmic function na Ln z. Nakuha namin ang karaniwang formula para sa derivative ng isang power function:
2. Lumipat tayo sa trigonometric functions. Para sa mga tunay na halaga ng x, sumusunod ito mula sa formula ni Euler na
e i x = cos x + i sin x, e - i x = cos x -- i sin x.
Kaya cos x = , sin x =. Ang mga formula na ito ay nagsisilbing batayan para sa sumusunod na kahulugan.
Ang mga function ng trigonometriko ng kumplikadong variable na z ay tinutukoy ng mga pagkakapantay-pantay
Ang mga function na tinukoy sa ganitong paraan ay nagpapanatili ng marami sa mga katangian ng trigonometric function ng isang tunay na variable. Mula sa periodicity ng function e z sumusunod na ang mga function na sin z at cos z ay periodic na may periodic na 2 p, at ang tg z at cot z ay periodic na may period p. Ang function na sin z ay kakaiba, at cos z ay even. Talaga,
Ang parity ng cos z function ay napatunayan sa katulad na paraan. Para sa mga function na tinukoy ng mga pagkakapantay-pantay (26), ang karaniwang trigonometriko na mga relasyon ay wasto. Halimbawa,
sin 2 z + cos 2 z = 1, sin(z 1 + z 2) = sin z 1 cos z 2 + cos z 1 sin z 2, atbp. Ang lahat ng mga ugnayang ito ay sumusunod mula sa (26).
Ang mga function na sin z at cos z ay analytic sa buong C plane, at ang karaniwang mga formula ng pagkakaiba ay nalalapat:
(sin z) " = cos z, (cos z) " = - sin z.
Patunayan natin, halimbawa, ang formula para sa derivative na sinz:
Gamit ang mga formula para sa derivative ng quotient, nakukuha namin
Gayunpaman, hindi lahat ng mga katangian ng trigonometriko function ng isang tunay na variable ay napanatili kapag ang mga function na ito ay pinalawak sa kumplikadong eroplano. Sa partikular, ang sinz at cosz ay maaaring kumuha ng mga halagang lampas sa 1 sa ganap na halaga.
3. Ang mga function na inverse (26) ay tinatawag na inverse trigonometriko function. Dahil ang mga trigonometriko function (26) ay panaka-nakang, ang kanilang mga kabaligtaran na pag-andar ay magiging walang katapusan na halaga. Dahil sa ang katunayan na ang mga function (26) ay medyo simpleng ipinahayag sa mga tuntunin ng mga exponential, ang kanilang mga inverse function ay maaaring ipahayag sa mga tuntunin ng logarithms. Kunin natin ang sumusunod na expression, halimbawa, para sa w = Arccos z. Mula sa kahulugan ng function na ito mayroon kami
kung saan ang e 2 i w -- 2ze i w + 1 = 0. Ang paglutas ng quadratic equation na ito para sa e i w, makikita natin (inaalis natin ang ± sa harap ng square root sign, dahil naiintindihan natin ang root bilang isang two-valued function na tumatagal ng parehong katumbas mga halaga). Mula sa huling pagkakapantay-pantay na nakuha natin
Sa bisa ng relasyon, ang pagbabago sa tanda ng ugat ay humahantong sa pagbabago sa tanda ng logarithm. Ngunit ang ugat ay tumatagal ng mga halaga na may parehong "+" at "--". Nangangahulugan ito na sa mga halaga ng Arccos z ay magkakaroon ng mga halaga na may parehong "+" at "-" sa harap ng logarithm. Samakatuwid, ang tanda na "--" ay maaaring tanggalin:
Ang mga katulad na formula ay maaaring ibigay para sa iba pang mga inverse trigonometriko function:
Kabilang sa mga elementarya na pag-andar ng isang kumplikadong variable, napapansin din natin ang mga hyperbolic na function na sh z, ch z, th z, at cth z, na tinukoy ng mga pagkakapantay-pantay.
Ang mga ito ay napakasimpleng ipinahayag sa pamamagitan ng mga function ng trigonometriko:
sh z = -- nagkasala ako,
ika z = -- i tg iz, cth z = i ctg iz,
at samakatuwid ay hindi gaanong naiiba sa huli.
Ang Zhukovsky function ay ang function
Ang function na ito ay may mahahalagang aplikasyon sa teorya ng pakpak ng eroplano, at napaka-kapaki-pakinabang din sa pagbuo ng ilang conformal mapping. Ito ay analitiko sa lahat ng dako maliban sa mga puntos na z = 0 at z = ?. Derivative
ay umiiral kahit saan sa, maliban sa mga puntos na z = 0 at z = ?, at naglalaho sa z = ±1. Samakatuwid, ang pagmamapa (30) ay conformal sa lahat ng dako maliban sa mga puntos na 0, ±1,?.
Alamin natin sa ilalim ng kung anong kondisyon ang dalawang magkaibang punto ay papunta sa parehong punto. Hayaan ang z 1? z 2 at.
Sinusundan nito iyon.
Mula sa z 1? z 2 , kung gayon ang pagkakapantay-pantay na ito ay katumbas ng kundisyon z l z 2 = 1.(31)
Samakatuwid, para maging univalent ang Zhukovsky function sa ilang domain D, kinakailangan at sapat na ang domain na ito ay hindi naglalaman ng isang pares ng natatanging puntos na nagbibigay-kasiyahan sa kondisyon (31). Ang mga nasabing lugar ay, halimbawa, ang panlabas na |z| > 1 ng unit circle (sa kasong ito |z 1 z 2 | > 1) at ang interior |z|< 1 этого круга (|z 1 z 2 | < 1).
Upang mailarawan ang pagmamapa (30), alamin natin kung saang mga kurba ito nagbabago ng mga bilog (ipinapakita sa Fig. 9a sa pamamagitan ng mga solidong linya) at mga sinag (ipinapakita ng mga tuldok na linya). Ilagay natin ang z =. Pagkatapos (30) ay muling isusulat sa form
mula sa (32)
Isaalang-alang natin ang mga larawan ng mga bilog r = r 0 . Mula sa (32) ito ay sumusunod
Sa pamamagitan ng pag-squaring ng mga pagkakapantay-pantay na ito, pagdaragdag at pagtatakda ng r = r 0, nakukuha natin
Ang equation (33) ay ang equation ng isang ellipse na may semi-axes
Kaya, ang mga larawan ng mga lupon |z| = r 0 sa z plane magkakaroon ng ellipses sa w plane (Fig. 9b). Kung r 0 > 1, pagkatapos ay a r 0 > 1, b r 0 > 0. Samakatuwid, ang mga ellipse ay magkontrata sa segment [--1,1]. Para sa malaking r 0 ang pagkakaiba ng a r 0 -- b r 0 = ay maliit, at ang mga ellipse ay bahagyang naiiba sa mga bilog.
Upang makuha ang imahe ng mga sinag, binabago namin ang mga pagkakapantay-pantay (32) sa anyo
Sa pamamagitan ng pag-squaring ng mga pagkakapantay-pantay na ito, pagbabawas ng pangalawa mula sa una at setting
Nakukuha namin (34)
Ang equation (34) ay ang equation ng hyperbola na may semi-axes. Dahil dito, ang mga sinag ay ipinapakita sa mga bahagi ng hyperbolas (Larawan 9b). Kaya, ang Zhukovsky ay gumagana nang isa-sa-isa at pare-parehong nagmamapa sa labas ng bilog ng yunit papunta sa labas ng segment [-1,1].
Mula sa (30) madaling makita na w(z) = w(l/z). Ang function na w = 1/z one-to-one at pare-parehong nagmamapa sa loob ng bilog |z|< 1 на внешность этого же круга. Отсюда следует, что функция Жуковского взаимно-однозначно и конформно отображает также и внутренность единичного круга на внешность отрезка [--1,1].
...Mga katulad na dokumento
Ang kakanyahan ng conformal mapping ng 1st at 2nd kind, isang analytic function sa isang partikular na domain. Geometric na kahulugan ng argumento at module ng derivative function. Ang magnitude ng stretch coefficient sa isang punto. Pagpapanatili ng isang function na hindi zero sa magnitude at boltahe.
pagtatanghal, idinagdag noong 09/17/2013
Kahulugan ng derivative ng isang function, ang geometric na kahulugan ng pagtaas nito. Geometric na kahulugan ng isang ibinigay na relasyon. Pisikal na kahulugan ng derivative ng isang function sa isang partikular na punto. Ang bilang kung saan ang isang ibinigay na ratio ay may posibilidad. Pagsusuri ng mga halimbawa ng derivative kalkulasyon.
pagtatanghal, idinagdag noong 12/18/2014
Ang limitasyon ng ratio ng pagdaragdag ng isang function sa pagtaas ng isang independiyenteng argumento, kapag ang pagtaas ng argumento ay may posibilidad na zero. Derivative notation. Ang konsepto ng pagkakaiba-iba ng isang derivative function at ang geometric na kahulugan nito. Equation ng isang tangent sa isang curve.
pagtatanghal, idinagdag noong 09/21/2013
Geometric na kahulugan ng derivative. Pagsusuri ng ugnayan sa pagitan ng continuity at differentiability ng isang function. Mga derivative ng mga pangunahing pag-andar ng elementarya. Mga tuntunin ng pagkita ng kaibhan. Paghahanap ng derivative ng isang implicitly specified function. Logarithmic differentiation.
pagtatanghal, idinagdag noong 11/14/2014
Derivative function. Padaplis sa isang kurba. Geometric na kahulugan ng derivative. Derivatives mula sa elementarya function. Pag-aaral ng mga function gamit ang mga derivatives. Pinakamataas at pinakamababang pag-andar. Mga inflection point. Differential.
artikulo, idinagdag noong 01/11/2004
Ang konsepto ng isang derivative, ang mga patakaran para sa aplikasyon nito, ang geometriko at pisikal na kahulugan ng isang derivative. Paglalapat ng mga derivatives sa agham at teknolohiya at paglutas ng mga problema sa lugar na ito. Ang kaugnayan ng differential calculus na may kaugnayan sa pag-unlad ng agham at teknolohikal.
abstract, idinagdag 05/17/2009
Ang panuntunan para sa paghahanap ng derivative ng isang produkto ng mga function. Mga formula para sa paghahanap ng mga derivatives para sa mga function na tinukoy sa parametrically. Geometric na kahulugan ng derivative. Increment at differential function. Ang pinakamalaki at pinakamaliit na halaga sa isang closed set.
pagsubok, idinagdag noong 09/07/2010
Ang konsepto ng conformal mapping at ang mga pangunahing katangian nito. Mga pangunahing prinsipyo ng conformal mappings ng mga function ng isang complex variable, ang kanilang hydrodynamic na mga pagkakatulad at interpretasyon. Application ng conformal mapping method sa continuum mechanics.
thesis, idinagdag noong 08/26/2014
Antiderivative ng isang function at indefinite integral. Geometric na kahulugan ng derivative. Ang set ng lahat ng antiderivatives para sa function na f(x) sa interval X. Ang konsepto ng isang integrand. Sinusuri ang kawastuhan ng resulta ng pagsasama, mga halimbawa ng mga problema.
pagtatanghal, idinagdag noong 09/18/2013
Ang problema sa paghahanap ng modulus at argumento ng mga ibinigay na numero, isang halimbawa ng solusyon. Ang rehiyon ng differentiability ng isang ibinigay na function, ang tunay na bahagi ng derivative. Panuntunan para sa pagtukoy ng equation ng imahe ng isang curve. Paghahanap ng tunay at haka-haka na mga bahagi ng isang function.
Lektura Blg. 4.
Geometrically, isang function ng isang complex variable w=f(z) ay tumutukoy sa pagpapakita ng isang tiyak na hanay z– mga eroplano sa isang tiyak na hanay w-eroplano. Dot wÎ G tinawag paraan puntos z kapag ipinakita w=f(z), tuldok zÎ D – prototype puntos w.
Kung lahat z isang halaga lang ang tumutugma w=f(z), pagkatapos ay tinawag ang function hindi malabo (w=|z|,w=,w= Re z atbp.) Kung ilan z tumutugma sa higit sa isang halaga w, ang function ay tinatawag polysemantic (w= Arg z).
Kung (i.e. sa iba't ibang punto sa lugar D Ang function ay tumatagal sa iba't ibang mga halaga), pagkatapos ay ang function w=f(z) ay tinatawag na unifoliate sa lugar D.
Sa madaling salita, ang univalent function w=f(z) isa-sa-isang mapa ang lugar D sa G. Gamit ang single-sheet display w=f(z) kabaligtaran na imahe ng anumang punto wÎ G binubuo ng isang elemento: : . kaya lang z ay maaaring ituring bilang isang function ng isang variable w, tinukoy sa G. Ito ay itinalaga at tinawag baligtad na pag-andar .
Kung sa lugar D mayroong hindi bababa sa isang pares ng mga puntos, pagkatapos ay ang function f(z) ay tinatawag maraming dahon sa lugar D.
Kung ipapakita w=f(z) ay multileaf sa D(Halimbawa, w=z n), pagkatapos sa kasong ito ilang mga halaga wÎ G tumutugma sa higit sa isang punto zÎ D:f(z)=w. Samakatuwid, ang inverse mapping ay hindi single-valued, ito ay isang multi-valued function.
Isang digit sa lugar D function w=f(z) ay tinatawag na sangay ng isang multivalued function F, kung halaga f sa anumang punto zÎ D tumutugma sa isa sa mga halaga F Simula ngayon.
Upang ihiwalay ang mga single-valued na sangay ng isang multi-valued na function, magpatuloy bilang mga sumusunod: lugar D hatiin ang mga function sa mga domain ng univalence w=f(z) upang walang dalawa sa mga rehiyon ang may karaniwang panloob na mga punto at upang ang bawat punto zÎ D kabilang sa isa sa mga lugar na ito o sa hangganan ng ilan sa kanila. Sa bawat isa sa mga domain na ito ng univalence isa ay tumutukoy sa isang function na kabaligtaran sa w=f(z). Ito ay ang single-valued na sangay ng multi-valued function.
Ang konsepto ng conformal mapping
Halimbawa. Hanapin ang stretch coefficient at anggulo ng pag-ikot sa isang punto z=2i kapag ipinapakita.
■ Hanapin ang derivative at ang halaga nito sa isang naibigay na punto.
Stretch ratio k katumbas ng modulus ng derivative: .
Anggulo ng pag-ikot j ay katumbas ng argumento ng derivative. Ang punto ay nasa ikaapat na quarter, samakatuwid,. ■
Halimbawa 3.5. Tukuyin kung aling bahagi ng eroplano kapag ipinakita w=z 2 ay nakaunat, at alin ang naka-compress.
■ Paghahanap ng derivative w¢=2 z. Salik ng pag-igting sa anumang punto z katumbas k=|w¢( z)|=2|z|. Ang hanay ng mga punto sa kumplikadong eroplano kung saan k>1, iyon ay 2| z|>1 o , ay bahagi ng eroplano, na nakaunat kapag ipinakita. Samakatuwid, kapag ipinapakita w=z 2, ang labas ng bilog ay nakaunat, at ang loob ay naka-compress. ■
Pagpapakita w=f(z) ay tinatawag na conformal (i.e., pinapanatili ang hugis nito) sa isang punto kung pinapanatili nito ang mga anggulo sa pagitan ng mga kurba at may ari-arian ng patuloy na pagpapalawak ng kapitbahayan ng punto.
Anumang pagmamapa na itinatag sa pamamagitan ng isang analytic function f(z) ay conformal sa lahat ng punto kung saan .
Ang pagmamapa ay tinatawag conformal sa rehiyon , kung ito ay naaayon sa bawat punto ng rehiyong ito.
Ang isang conformal mapping kung saan pinapanatili ang direksyon ng sanggunian ng mga anggulo ay tinatawag conformal mapping ng unang uri . Tinatawag na conformal mapping kung saan binabaligtad ang direksyon ng mga anggulo conformal mapping ng ΙΙ genus (Halimbawa, ).
Sa teorya at praktika ng conformal mappings, dalawang problema ang iniharap at nalulutas.
Ang unang gawain ay upang mahanap ang imahe ng isang ibinigay na linya o lugar sa ilalim ng isang ibinigay na pagmamapa - direktang gawain .
Ang pangalawa ay upang makahanap ng isang function na nagmamapa ng isang linya o lugar sa isa pang ibinigay na linya o lugar - baligtad na problema .
Kapag nilutas ang isang direktang problema, isinasaalang-alang na ang imahe ng isang punto z 0 kapag ipinakita w=f(z) ay isang punto w 0 , ganyan w 0 =f(z 0), iyon ay, ang resulta ng pagpapalit z 0 in f(z). Samakatuwid, upang mahanap ang imahe ng isang set, kailangan mong lutasin ang isang sistema na binubuo ng dalawang relasyon. Tinukoy ng isa sa mga ito ang pag-andar ng pagmamapa w=f(z), ang isa pa ay ang equation ng isang linya, kung ang problema sa paghahanap ng imahe ng isang linya ay nalutas, o isang hindi pagkakapantay-pantay na tumutukoy sa hanay ng mga punto ng kabaligtaran na imahe, kung ang problema sa pagmamapa ng mga lugar ay nalutas. Sa parehong mga kaso, ang pamamaraan ng solusyon ay nabawasan sa pag-aalis ng variable z mula sa dalawang ibinigay na ratios.
Panuntunan 3.3. Upang mahanap ang imahe ng linya na ibinigay ng equation F(x,y)=0 (o tahasan y=j(x)), kapag ipinapakita w=f(z) kailangan:
1. Piliin ang tunay at haka-haka na bahagi ng function f(z): u=Re f(z), v=Im f(z).
2. Ibukod mula sa system X At u. Ang resultang relasyon ay ang equation ng imahe ng linyang ito.
Panuntunan 3.4. Upang mahanap ang imahe ng isang ibinigay na linya kapag ipinapakita w=f(z) kailangan:
1. Isulat ang equation ng linya sa parametric form z=z(t) o sa kumplikadong anyo.
2. Depende sa uri ng line equation, isaalang-alang ang kaukulang kaso:
Kung ang linya ay ibinigay sa parametric form, palitan ang expression z(t) V w=f(z);
Kung ang linya ay ibinigay sa kumplikadong anyo, pagkatapos ay ipahayag z mula sa w=f(z), iyon ay, at . Pagkatapos ay dapat mong palitan z at sa equation ng linya. Ang resultang relasyon ay ang equation ng imahe ng linyang ito.
Panuntunan 3.5. Upang makahanap ng larawan ng isang partikular na lugar, dapat mong gamitin ang isa sa dalawang pamamaraan.
Unang paraan.
1. Isulat ang equation ng hangganan ng lugar na ito. Hanapin ang larawan ng hangganan ng isang lugar gamit ang mga panuntunan 3.3 o 3.4.
2. Pumili ng arbitrary na panloob na punto ng isang partikular na lugar at hanapin ang larawan nito sa ilalim ng ibinigay na pagmamapa. Ang rehiyon kung saan nabibilang ang nagresultang punto ay ang nais na imahe ng ibinigay na rehiyon.
Pangalawang paraan.
1. Ipahayag z mula sa ratio w=f(z).
2. Palitan ang natanggap mo sa hakbang 1. isang expression sa isang hindi pagkakapantay-pantay na tumutukoy sa isang partikular na rehiyon. Ang resultang ratio ay ang nais na imahe.
Halimbawa. Hanapin ang larawan ng isang bilog | z|=1 kapag ipinapakita gamit ang isang function w=z 2 .
■ 1 paraan(ayon sa panuntunan 3.3).
1. Hayaan z=x+iy, w=u+iv. Pagkatapos u+iv =x 2 -y 2 +i 2xy. Nakukuha namin ang:
2. Ibukod natin X At sa mula sa mga equation na ito. Upang gawin ito, parisukat natin ang una at pangalawang equation at idagdag ang:
u 2 +v 2 =x 4 -2x 2 y 2 +y 4 +2x 2 y 2 =x 4 +2x 2 y 2 +y 4 =(x 2 +y 2) 2 .
Isinasaalang-alang ang ikatlong equation ng system, nakukuha namin ang: u 2 +v 2 =1 o | w| 2 =1, iyon ay | w|=1. Kaya, ang imahe ng bilog | z|=1 ay isang bilog | w|=1, madadaanan ng dalawang beses. Ito ay sumusunod mula sa katotohanan na mula noon w=z 2 pagkatapos Arg w=2Arg z+2pk. Kaya kapag ang punto z naglalarawan ng kumpletong bilog | z|=1, pagkatapos ay inilalarawan ng larawan nito ang bilog | w|=1 dalawang beses.
Paraan 2(ayon sa tuntunin 3.4).
1. Isulat natin ang equation ng unit circle sa parametric form: z=e ito (0£ t£2 p).
2. Palitan natin z=e ito sa ratio w=z 2: w=e i 2 t=cos2 t+i kasalanan2 t. Samakatuwid, | w| 2 = cos 2 2 t+kasalanan 2 2 t=1, iyon ay | w|=1 – equation ng larawan. ■
Halimbawa. Hanapin ang equation ng imahe ng isang linya y=x kapag ipinakita w=z 3 .
■ Dahil ang curve ay tahasang ibinigay, inilalapat namin ang panuntunan 3.3.
1. w=z 3 =(x+iy) 3 =x 3 +3x 2 iy+3x(iy) 2 +(iy) 3 =x 3 - 3xy 2 +i(3x 2 y-y 3).
2. Sa resultang sistema ay pinapalitan natin y=x: Hindi kasama X mula sa mga equation na ito, nakukuha natin v=-u.
Kaya, ang imahe ng bisector ng I at III na mga anggulo ng coordinate ng system xOy ay ang bisector ng II at IV coordinate angles ng system uOv. ■
1. Linear function
Linear function tinatawag na function ng form
w=az+b, (4.1)
saan A, b- kumplikadong mga pare-pareho.
Ang function na ito ay tinukoy ng , . Samakatuwid, kung , pagkatapos ay ang linear function ay gumagawa ng isang conformal mapping ng buong eroplano ng complex variable. Sa kasong ito, ang mga tangent sa lahat ng mga kurba ay pinaikot ng parehong anggulo Arg a, at ang tensyon sa lahat ng punto ay pantay. Kung a= 1, pagkatapos ay walang kahabaan o pag-ikot. Sa kasong ito nakukuha namin w=z+b. Ang pagmamapa na ito ay nagbabago sa buong eroplano sa pamamagitan ng isang vector.
Sa pangkalahatang kaso, ang paglipat sa exponential form ng pagsulat ng isang kumplikadong numero, nakuha namin. Samakatuwid, ang isang linear na pagmamapa ay isang komposisyon ng tatlong geometric na pagbabagong-anyo:
w 1 =rz- pagkakatulad sa koepisyent r=|a|;
w 2 =e ako j w 1 =rze at j- lumiko sa isang anggulo j= arg a sa paligid ng punto TUNGKOL SA;
w=w 2 +b=re i j z+b- parallel na paglipat sa isang vector.
Samakatuwid, ang pagmamapa w=az+b binabago ang mga linear na sukat ng anumang plane figure sa | a| minsan, iniikot ang figure na ito sa pamamagitan ng isang anggulo j= arg a sa paligid ng pinanggalingan at inililipat ito sa direksyon ng vector sa pamamagitan ng halaga nito.
Ang isang linear na pagmamapa ay may pabilog na katangian, iyon ay, ito ay nagmamapa ng mga bilog z-mga eroplano sa isang bilog w-eroplano (at kabaliktaran); ginagawang tuwid na linya ang mga tuwid na linya.
Halimbawa. Hanapin ang imahe ng axis OU kapag ipinakita w=2iz-3i.
■ 1 paraan(ayon sa tuntunin 3.4). Pinipili namin ang axis equation sa parametric form.
1. Dahil sa totoong anyo ang equation ng axis Oy: x=0, -¥<y<+¥, то в комплексной форме запишется как z=iy, -¥<y<+¥. Это параметрическое уравнение, в качестве параметра выбран sa.
2. Palitan natin z=iy sa pagpapahayag w=2iz-3i: w=-2y-3i, -¥<y<+¥. Это уравнение образа в параметрической форме (sa- parameter). Ang pagkakaroon ng paghihiwalay ng tunay at haka-haka na mga bahagi, nakuha namin ang equation ng imahe sa totoong anyo: u=-2y, v=-3 o v=-3, -¥<u<+¥. Это есть уравнение прямой в плоскости uOv, parallel sa totoong axis.
Paraan 2. Ginagamit namin ang pabilog na pag-aari ng isang linear na pagbabago - ang imahe ng isang tuwid na linya ay isang tuwid na linya. Dahil ang isang tuwid na linya ay tinukoy sa pamamagitan ng pagtukoy ng dalawang puntos, ito ay sapat sa axis OU pumili ng alinmang dalawang punto at hanapin ang kanilang mga larawan. Ang tuwid na linya na dumadaan sa mga nahanap na punto ay ang kinakailangan. Pumili tayo ng mga puntos z 1 =0, z 2 =i, kanilang mga larawan w 1 =-3i, w 2 =-2-3i kapag na-map, humiga sa linyang Im w= -3 Samakatuwid, ang imahe ng axis OU ay isang tuwid na linya v=-3.
3 paraan(geometriko). Mula sa relasyon w=2iz-3i sinusundan iyon a=2i, b=-3i, |a|=2, . Nangangahulugan ito na ang ibinigay na tuwid na linya (axis OU) ay dapat na paikutin ng isang anggulo na nauugnay sa pinanggalingan, at pagkatapos ay i-shift pababa ng 3 unit. Ang pag-stretch ng 2 beses ay hindi nagbabago sa geometric na hitsura ng orihinal na linya, dahil ito ay dumadaan sa pinagmulan. ■
Halimbawa. Maghanap ng ilang linear function na kumakatawan sa isang bilog | z-i|=1 bawat circumference | w- 3|=2.
■ Ang problemang ibinabanta ay ang kabaligtaran na problema ng teorya ng mga pagmamapa - binigyan ng ibinigay na imahe at preimage, hanapin ang kaukulang pagmamapa. Kung walang karagdagang mga kondisyon, ang problema ay walang natatanging solusyon. Ipakita natin ang isang geometric na solusyon.
1. Ilipat ang gitna ng bilog sa pinanggalingan. Upang gawin ito, inilalapat namin ang pagmamapa w 1 =z-i.
2. Sa eroplano w 1 ilapat natin ang isang pagmamapa na nagbibigay ng 2-tiklop na kahabaan, iyon ay w 2 =2w 1 .
3. Ilipat pakanan ang bilog ng 3 unit: w=w 2 +3. Sa wakas makuha namin: w=2(z-i)+3, w= 2z+3-2i- ang kinakailangang function.
Maaari kang pumili ng ibang pagkakasunud-sunod para sa pagsasagawa ng mga geometric na operasyon - huwag munang lumipat, ngunit paikutin o iunat. ■
2. Fractional linear function
Fractional-linear tinatawag na function ng form
saan a, b,c,d- kumplikadong mga numero tulad na , .
Mga katangian ng fractional linear transformation
1°Pagkakasundo
Pagpapakita w=L(z) ay conformal sa lahat ng endpoints ng complex plane maliban sa .
2° Pabilog na ari-arian
Ang imahe ng isang tuwid na linya o isang bilog sa isang fractional linear na pagmamapa w=L(z) ay isang tuwid na linya o isang bilog (at ang imahe ng isang tuwid na linya ay maaaring maging isang bilog o isang tuwid na linya, at ang imahe ng isang bilog ay maaaring parehong isang tuwid na linya at isang bilog). Madaling itatag iyon kapag ipinapakita w=L(z) lahat ng tuwid na linya at bilog na dumadaan sa punto ay papunta sa mga tuwid na eroplano ( w), at lahat ng tuwid na linya o bilog na hindi dumadaan sa punto d, - sa circumference ng eroplano ( w).
3°Double relation invariance
Ang kaugnayan ay pinapanatili sa ilalim ng isang fractional linear mapping, iyon ay, ito ay invariant nito. Ang relasyong ito ay tinatawag dobleng ratio ng apat na puntos. Kaya, ang fractional linear transformation ay natatanging tinutukoy sa pamamagitan ng pagtukoy ng tatlong puntos at ang kanilang mga imahe: . Gamit ang mga pares na ito, makakahanap ka ng fractional linear function gamit ang formula:
Ang formula na ito ay maaari ding ilapat sa kaso kapag ang ilan sa mga numero z k At wk maging ¥, kung gagamitin mo ang panuntunan: ang pagkakaiba kung saan nangyayari ang simbolo na ¥ ay dapat mapalitan ng 1.
4°Pagpapanatili ng simetrya
Kung puntos z 1 at z 2 ay simetriko tungkol sa ilang linya o bilog g, pagkatapos ay para sa anumang fractional linear na pagmamapa w=L(z) kanilang mga larawan w 1 at w 2 ay magiging simetriko na may kaugnayan sa larawan g: .
Ang simetrya tungkol sa isang tuwid na linya ay nauunawaan sa karaniwang kahulugan.
Mga puntos z At z* ay tinatawag simetriko tungkol sa bilog |z-z 0 |=R, kung nakahiga sila sa parehong sinag na umuusbong mula sa gitna ng bilog, at ang produkto ng kanilang mga distansya mula sa gitna ng bilog ay katumbas ng parisukat ng radius nito, iyon ay
|z-z 0 |×| z*-z 0 |=R 2 . (4.4)
Isang puntong simetriko sa isang punto z 0 - ang gitna ng bilog ay malinaw na ang punto sa infinity.
5°Prinsipyo ng pagtutugma ng boundary traversal (pagpapakita ng mga lugar na nalilimitahan ng mga linya o bilog)
Kung, sa isang fractional linear na pagmamapa, isang tuwid na linya o isang bilog g nagiging tuwid na linya o bilog g¢, pagkatapos ay ang lugar D, na limitado g, ay binago sa isa sa dalawang mga lugar na napapalibutan ng g¢. Sa kasong ito, ang prinsipyo ng pagsusulatan ng bypass ng hangganan ay nagaganap: kung sa panahon ng ilang bypass ng linya g rehiyon D lumabas na nasa kaliwa (kanan), pagkatapos ay may kaukulang traversal ng linya g¢ rehiyon D¢ dapat ding nasa kaliwa (kanan).
Halimbawa. Hanapin ang fractional linear function w=L(z), ganyan w(i)=2i, w(¥)=1, w(-1)=¥.
■ Ipahiwatig natin z 1 =i, z 2 =¥, z 3 =-1 at w 1 =2i, w 2 =1, w 3 =¥. Ilapat natin ang formula (4.3), na pinapalitan ang mga pagkakaibang naglalaman z 2 at w 3 hanggang ¥:
Magpalit tayo: - w-wi+ 2ako- 2=wz-wi-z+i Û w(z+1)=z-2+iÛ ang kinakailangang function. ■ :w =1 at Im w=0.
2. Ngayon alinsunod sa talata 2. Rule 3.5, pumili ng arbitrary point, halimbawa, z=-1О D. Ang imahe nito sa ilalim ng ibinigay na pagmamapa ay , na nasa pagitan ng mga linyang Im w=1 at ako w=0. Samakatuwid, ang imahe ng ibinigay na lugar ay magiging strip 0< Imw<1. ■
3. Exponential function
Exponential function ng isang kumplikadong variablez=x+iy ay tinatawag na function na tinutukoy ng exp z(basahin ang "exponent" z") at tinukoy ng formula
Properties exp z
1° Kung , pagkatapos ay exp z=exp x=e x, ibig sabihin. sa totoong axis, ang exponential function ng isang complex variable ay kasabay ng exponential function ng isang real variable. Samakatuwid, kasama ang notation exp z p, parallel sa totoong axis:
Kung, halimbawa, , kung gayon .
8° Ang exponential function ay analytic sa , (exp z)¢=exp z.
Halimbawa. Hanapin ang tunay, haka-haka na bahagi, modulus at pangunahing halaga ng argumento para sa isang numero e 2- i.
■ Ginagamit namin ang kahulugan ng exponential function ng isang complex variable. Hayaan z=2-i, x=Re z=2, y=Im z=-1.
Tapos . Kaya naman,
Maaari mo ring gamitin ang addition theorem at Euler's formula (1.7) sa halip na ang kahulugan. ■
Pagpapakitaw =exp z
Maaaring kalkulahin ang mga electrode system na may kumplikadong two-dimensional electrostatic field gamit ang conformal mapping method. Ang pangunahing ideya ng pamamaraang ito ay upang palitan ang mga kumplikadong patlang na may mga simpleng patlang kung saan kilala ang mga solusyon. Ang ganitong mga simpleng field ay kinabibilangan ng mga field ng flat o cylindrical capacitor na malayo sa kanilang mga gilid. Ang paraan ng conformal mappings ay isang praktikal na aplikasyon ng teorya ng mga function ng isang complex variable. Ang conformal mapping ay isang tuluy-tuloy na pagmamapa na nagpapanatili ng hugis ng infinitesimal (infinitesimal) figure. Para sa isang conformal mapping, ang pag-aari ng constancy ng mga anggulo at constancy ng mga extension ay nasiyahan. Ang pangalan ay nagmula sa Late Latin - conformis– katulad, tuluy-tuloy na pagmamapa na nagpapanatili ng hugis ng mga infinitesimal na figure: halimbawa, b.m. ang bilog ay nananatiling b.m. sa paligid; ang mga anggulo sa pagitan ng mga linya sa punto ng kanilang intersection sa isa't isa ay hindi nagbabago. Ang lugar ng aplikasyon ng conformal mapping method para sa pagkalkula ng mga electric field ay dalawang-dimensional na electrostatic field.
Minamapa ng conformal transformation ang bawat punto z=x+j×y totoong field ng pagkalkula, na inilarawan ng isang kumplikadong eroplano, sa isang punto w=u+j×v isa pang kumplikadong eroplano, na may mas simpleng configuration ng field. Ang pangunahing kahirapan ng pamamaraan ay ang paghahanap ng uri ng pag-andar para sa isang naibigay na tunay na sistema ng elektrod. Sa pagsasagawa, kapag sinusubukang humanap ng conformal mapping function, ginagamit nila ang alinman sa mga espesyal na catalog ng conformal mappings, o hinahanap ito sa pamamagitan ng sunud-sunod na pagsubok.
Ipagpalagay natin na alam natin ang anyo ng ilang pagbabago z=f(w) o reverse conversion w=f(z), na nagtatatag ng isa-sa-isang sulat sa pagitan ng dalawang kumplikadong eroplano na may kumplikado ( z) at simple ( w) pagsasaayos ng field. Ang conversion factor ay ang ratio dw/dz.
Ang mga sumusunod na relasyon ay ginagamit dito:
, 
. (2.94)
Sa katulad na paraan maaari nating isulat:
. (2.95)
Ang dalawang kumplikadong numero ay magkapareho kung ang kanilang tunay at haka-haka na mga bahagi ay pantay. Ang paghahambing ng mga halaga ng koepisyent ng conversion na ibinigay sa mga expression (2.93) at (2.95), maaari nating isulat:
Ang mga ekspresyon (2.96) ay kilala bilang mga kundisyon ng Cauchy-Riemann. Gamit ang iba't ibang anyo ng kumakatawan sa mga kumplikadong numero, ang conversion coefficient ay maaaring isulat bilang:
saan 
ay ang koepisyent ng pagbabago sa haba ng mga segment sa panahon ng pagbabagong-anyo, at tg(j) = b/a(j ay ang anggulo ng pag-ikot ng mga segment sa panahon ng pagbabago). Mula sa relasyong Cauchy-Riemann, nakukuha natin ang:
(2.99)
Mula sa mga relasyon (2.97) - (2.98) sumusunod na ang conformal transformation coefficient M ay ang relatibong lakas ng electric field, at ang bawat isa sa mga function u At v maaaring mapili bilang potensyal sa bagong kumplikadong eroplano w=f(u,v). Ang konklusyong ito ay maaaring mapatunayan sa ibang paraan. Kung ang mga function u At v maaaring mapili bilang potensyal, kung gayon ang bawat isa sa kanila ay dapat matugunan ang Laplace equation: D u=0 at D v=0. Maaari itong ma-verify sa pamamagitan ng direktang muling pag-iiba ng mga kundisyon ng Cauchy-Riemann. Ibahin natin ang unang kundisyon na may kinalaman sa X, at ang pangalawa sa; idagdag ang resulta; Ilipat natin ang lahat ng makabuluhang derivative sa kaliwang bahagi ng notasyon at mag-iwan ng zero sa kanan:
; ; . (2.100)
Mula sa nagresultang expression ay sumusunod na ang function u natutugunan ang Laplace equation (1.25), (1.30) at maaaring kunin bilang potensyal. Ibahin natin ang 1st condition na may kinalaman sa sa, at ang ika-2 - ni X:
; ; , (2.101)
mga. at pag-andar v nakakatugon din sa equation ni Laplace at maaari ding kunin bilang potensyal. Dahil ang puwersa at equipotential na mga linya sa eroplano z=f(x,y) ay magkaparehong patayo, at ang conformal transformation ay hindi nagbabago ang mga anggulo sa pagitan ng mga linya sa punto ng kanilang intersection, pagkatapos ay mula sa (2.97) ¸ (2.101) sumusunod na kung ang function u kinuha, halimbawa, bilang isang potensyal, pagkatapos ay ang linya na may v=const – ay isang linya ng puwersa. Kung v- potensyal, kung gayon u=const – linya ng kuryente. Alin sa mga function u o v ay isang potensyal, at kung saan ay isang linya ng puwersa, ay dapat matukoy mula sa pagsusuri ng conformal transformation ng field sa orihinal na eroplano z=f(x,y) sa isang patlang sa isang eroplano w=f(u,v). Anumang function z=f(w)(o w=f(z)) nagbibigay sa amin ng solusyon sa anumang problema sa electrostatics. Maaari kang makabuo ng isang arbitrary na function, maghanap ng mga solusyon para dito, at pagkatapos ay piliin ang naaangkop na sistema ng elektrod para sa mga solusyon na natagpuan. Maraming mga solusyon sa mga problema sa electrostatic ang natagpuan gamit ang pamamaraang ito (pabalik).
Kapag naghahanap ng lakas ng electric field gamit ang conformal mapping method, ang sumusunod na mahalagang pangyayari ay dapat isaalang-alang. Ang pattern ng electric field ay ganap na tinutukoy ng mga geometric na parameter ng electrode system, anuman ang spatial scale at inilapat na boltahe. Samakatuwid, ang patlang ay maaaring ilarawan sa pamamagitan ng intensity bawat yunit ng boltahe o haba. Ang mga expression (2.97)-(2.98) ay kumakatawan lamang sa ganoong kamag-anak na pag-igting. Upang makuha ang aktwal na boltahe, kinakailangang isaalang-alang ang aktwal na inilapat na boltahe at ang aktwal na distansya sa pagitan ng mga electrodes. Ginagawa ito sa pamamagitan ng pagpaparami ng mga expression (2.97)-(2.98) sa scale factor K m. Hayaan ang distansya sa pagitan ng mga electrodes sa eroplano w katumbas u 2 -u 1 (v 2 -v 1), kung ang mga pag-andar u o v, ayon sa pagkakabanggit. Pagkatapos ang scale factor ay tumatagal sa anyo:
K m= U/(u 2 -u 1) o K m= U/(v 2 -v 1). (2.102)
Cylindrical na kapasitor. Kahit na ang pagkalkula ng electrostatic field ng isang cylindrical capacitor ay ibinibigay sa §2.5, isinasaalang-alang namin ito bilang isang halimbawa ng aplikasyon ng conformal mapping method. Field ng isang cylindrical capacitor (field ng dalawang concentric na bilog) sa isang eroplano xy ay maaaring ma-map sa isang pare-parehong field (ang field ng isang parallel-plate capacitor) sa pamamagitan ng sumusunod na pagbabago:
z = e w; x + j×y = e u+jv = e ikaw(Cos v+j×Kasalanan v).
Paghiwalayin natin ang tunay at haka-haka na mga bahagi:
Tuwid na linya sa isang tunay na eroplano z, na dumadaan sa pinanggalingan na may anggulo ng pagkahilig sa axis X pantay v= nagiging tuwid na linya ang const sa eroplano w, parallel sa x-axis.
Sa u= const sa eroplano w isang sistema ng mga tuwid na linya na parallel sa ordinate axis ay nakuha. Sa ibabaw z tumutugma sila sa isang sistema ng mga concentric na bilog. Halata na ang mga linyang may u= dapat kunin ang const bilang mga potensyal na linya, at v- lampas sa mga linya ng field. Kakalkulahin namin ang pag-igting gamit ang formula (2.97):
Haba ng isang na-convert na maliit na segment kapag inilipat mula sa isang eroplano z papunta sa eroplano w pagbabago sa 1/ r mga oras kung saan r– distansya sa gitna ng mga bilog. Kung mas malayo sa gitna, mas maliit ang koepisyent ng pagbabago sa mga haba ng mga segment. Ang inilipat na segment ay pinaikot ng anggulo j = arctg(- y/x). Ang anggulo sa pagitan ng ray na nagmumula sa pinanggalingan hanggang sa gitna ng na-convert na segment at ang axis X nagiging katumbas ng zero. Naka-on ang lahat ng radii z- lumiliko ang mga eroplano w- mga eroplano sa isang linya parallel sa axis u. Salik ng sukat
Tensiyon
(2.103)
Ang resultang formula (2.103) ay nag-tutugma, gaya ng inaasahan ng isa dahil sa uniqueness theorem, na may expression (2.18) na nakuha gamit ang Ostrogradsky-Gauss theorem.
Field sa loob ng isang tamang anggulo na nabuo ng dalawang eroplano
Bilang isa pang halimbawa ng aplikasyon ng paraan ng conformal mappings, isaalang-alang ang isang field na nabuo ng dalawang infinite conducting mutually perpendicular planes. Ito ay malinaw na ang naturang sistema ng elektrod ay may translational symmetry na may isang infinitesimal na hakbang sa pagsasalin kasama ang mga eroplano at isang simetrya na eroplano na dumadaan sa isang anggulo na 45° sa bawat isa sa mga eroplano. Ang nasabing patlang ay nabawasan sa isang dalawang-dimensional na patlang, at upang matukoy ang mga parameter nito sapat na upang kalkulahin ang mga katangian ng patlang sa pagitan ng isa sa mga eroplano at ang eroplano ng mahusay na proporsyon. Para sa dalawang-dimensional na field, maaaring ilapat ang conformal mapping method. Field sa z– isang eroplanong patayo sa linya ng intersection ng mga sisingilin na eroplano, na ipinapakita sa Fig. 2.20a. Sa likod ng mga ehe X At sa mga linya ng intersection ng mga sisingilin na eroplano na may z– patag. Ang patlang sa loob ng tamang anggulo na nabuo ng dalawang eroplano ay binago sa isang pare-parehong larangan sa pamamagitan ng pagbabago w = z 2. Ipakita natin ito:
w= u+jv = z 2 = (x+jy) 2 = x 2 + j 2xy – y 2 ; u = x 2 – y 2 ; v = + j 2xy.
Sa u= const na mga linya parallel sa axis v sa ibabaw w, ay binago sa isang pamilya ng equilateral hyperbolas x 2 – y 2 = A 2 sa eroplano z. Axis 0 X ay ang tunay na (focal) axis ng hyperbolas, at ang axis sa ang imaginary axis nito. Isang tuwid na linya na dumadaan sa pinanggalingan sa isang anggulo na 45° sa axis X (u = 0; y = x), ay kumakatawan sa linya ng intersection z– isang eroplanong may simetrya na eroplano at isang asymptote ng hyperbolas. Anggulo ng intersection ng hyperbolas sa axis X katumbas ng 90°, i.e. mga linya ng function u=X 2 -sa 2 patayo sa equipotential na linya X(ibabaw ng naka-charge na eroplano X).
Mga pag-andar v = 2xy sa iba't ibang halaga v ilarawan ang isa pang pamilya ng equilateral hyperbolas na ang mga palakol X At sa ay mga asymptotes, at ang linya sa = X ay ang focal axis. Ang Figure 2.20a ay nagpapakita ng mga hyperbola na may v= 4, 16, 36. Kailan v= 0 ang hyperbola ay bumababa sa coordinate axis X At sa, na kasabay ng mga naka-charge na eroplano. Dahil ang ibabaw ng mga sisingilin na eroplano ay isang ibabaw ng parehong potensyal, ito ay malinaw na ito ay ang function v dapat kunin bilang isang potensyal na function sa eroplano w. Sa kasong ito ang function u kumakatawan sa isang function ng puwersa. Ang patlang ng dalawang walang katapusang magkabilang patayo na eroplano (axis X At sa sa z– eroplano) nagiging unipormeng field ng isang walang katapusang charged plane (axis v sa w- mga eroplano).
Ang conformal transformation, habang pinapanatili ang hugis ng infinitesimal figure, ay maaaring makabuluhang baguhin ang hugis ng may hangganang figure. Ang isang halimbawa ng naturang pagbabago ay ang pagbabago ng isang parisukat a B C D na may mga coordinate A(0,8;0,8), b(0,8;4), c(4;4), d(4;0.8) sa z- mga eroplano sa isang curvilinear quadrilateral a¢b¢c¢d¢ may mga coordinate a¢(0;1,28), b¢(-15,36;6,4), c¢(0;32), d¢(15.36;6.4) sa w- mga eroplano.
Alamin natin ang kamag-anak na lakas ng electrostatic field ng mga sisingilin na eroplano sa Fig. 2.20a. Sa dalawang formula (2.97) at (2.98), gagamitin namin ang (2.98) upang matukoy ang tensyon, dahil ito ang function v = 2xy naglalarawan ng isang sistema ng mga equipotential na ibabaw (mga linya). Linear conversion factor:
, (2.104)
Ang haba ng na-convert na maliit na segment kapag inilipat mula sa z- nakasakay ang mga eroplano w- tumaas ng 2 ang eroplano r mga oras kung saan r=X 2 +sa 2 - distansya sa z- eroplano mula sa pinanggalingan hanggang sa gitna ng segment. Ang inilipat na segment ay pinaikot ng anggulo j = arctan( y/x). Mayroong pagdodoble ng anggulo sa pagitan ng sinag mula sa pinanggalingan hanggang sa gitna ng segment at sa axis X. Salik ng sukat K m = U/(v 2 -v 1) = U/(2x 2 y 2 -2x 1 y 1). Natutukoy ang lakas ng field sa pamamagitan ng pagpaparami ng relatibong lakas sa scale factor: E=E¢×K m. Hayaan ang scale factor K m=100 v/m. Tukuyin natin ang lakas ng field sa dalawang punto sa sisingilin na eroplano: mas malapit sa anggulo ng intersection ng mga eroplano n 1(1;0) at malayo dito n 2 (5;0).
V/m, ×v/m.
Ang mas malapit sa sulok, mas mababa ang lakas ng field. Ang resultang ito ay maaaring asahan mula sa field na larawan sa Fig. 2.20: ang distansya sa pagitan ng mga equipotential na linya ay bumababa sa distansya mula sa sulok. Anumang depression (dent, depression, cavern, crack, atbp.) sa ibabaw ng electrode ay maaaring humigit-kumulang na inilarawan ng problemang isinasaalang-alang. Pagkatapos, isinasaalang-alang ang mga resulta ng nakaraang talata, maaari nating tapusin: malapit sa dulo o protrusion, ang lakas ng electric field ay tumataas, at malapit sa depression o butas ay humina ito. Ang isang katulad na larawan sa Fig. 2.20a ng pag-uugali ng puwersa at equipotential na mga linya ay sinusunod malapit sa sumasanga na punto ng patlang mula sa dalawang singil ng parehong pangalan (§2.11).
Field sa gilid ng flat capacitor (Rogowski profile)
Ilagay natin ang pinagmulan ng mga coordinate sa z- eroplano upang ang axis X ay parallel sa mga eroplano ng mga capacitor plate at nasa parehong distansya mula sa kanila a. Aksis sa patayo sa mga plato at dumadaan sa kanilang mga gilid. Ang pag-andar ng pagmamapa ng patlang sa gilid ng isang patag na kapasitor sa isang pare-parehong larangan ay nakuha ni Yu K. Maxwell noong 1881 sa anyo:
. (2.105)
Pagkatapos paghiwalayin ang mga variable na nakukuha namin:
Sa v ako= 0, y = 0, 
. Sa v II= p, y= a, 
.
Malinaw, ang potensyal na function ay dapat piliin bilang v.
, 
Isinasaalang-alang na K m=U/(v II -v I) = U/p
(2.106)
Sa u < -5 в области от v ako=0 hanggang v II=p, isang halos pare-parehong larangan na may lakas ay nakuha U/a. Sa u®0 boltahe sa elektrod ( v=v II = p) tumataas nang husto at may posibilidad na infinity bilang u=0. Ang pinakamalaking pag-igting sa mga tunay na sistema ay hindi naglalaho:
. (2.107)
Para sa isang may hangganan na kapal ng capacitor plate v¹p at ang tensyon ay nananatiling may hangganan. Sukat v dapat piliin upang ang equipotential na ibabaw ay tumutugma sa aktwal na ibabaw ng capacitor plate. Hayaan v= 174° = 29p/30, pagkatapos ay ang ratio ng boltahe sa gilid ng elektrod sa average na boltahe:
.
Ito ay makikita na kahit na sa isang medyo mapurol na gilid ang pag-igting ay tumataas nang husto. Ang ratio na ito ay maaaring gawin malapit sa pagkakaisa kung ang ibabaw ng elektrod ay ginawa sa anyo ng isang equipotential na ibabaw na may v£ p/2. Ang electrode profile na ito ay tinatawag na Rogowski profile (Fig. 2.21c). Sa malayo A= p (ang distansya sa pagitan ng mga plato ay 2p) mayroon itong coordinate v= p/2 at para dito x = u+1; y= p/2+ e ikaw, ibig sabihin. sa= p/2+ e (X-1) (2.108)
Ang Rogowski profile ay may malaking praktikal na kahalagahan sa mga eksperimento sa breakdown sa isang field na malapit sa uniporme upang maalis ang gilid na epekto. Mayroong pare-parehong field sa gitna ng device na may Rogowski electrodes.
Patlang ng mga split wire.
Sa mataas na boltahe na mga linya ng kuryente, ang phase wire ay nahahati sa ilang konduktor upang mabawasan ang pagkawala ng ipinadalang kapangyarihan dahil sa paglabas ng corona. Upang ilarawan ang split field
wires maaari mong gamitin ang display function, kung saan n –
ang bilang ng mga indibidwal na konduktor kung saan nahahati ang phase wire. Upang ilarawan ang paraan ng conformal mappings, isaalang-alang ang paghahati sa dalawang wire ( n=2). (Tandaan na ang kasong ito ay maaaring malutas nang simple gamit ang paraan ng imahe)
Hayaan ang eroplano z patayo sa mga split wire. Pumili tayo ng axis X sa z eroplano upang ito ay dumaan sa mga palakol ng mga kawad. Hayaan ang axis y dumadaan sa gitna ng segment sa pagitan ng mga wire. Ang solusyon ay lubos na pinasimple kung makakita kami ng mga hindi gumagana x,y=f(u,v), at ang mga function ikaw, v = f(x,y). Ang paghihiwalay ng tunay at haka-haka na mga bahagi, nakukuha natin:
, 
Ang mga equipotential na linya ay tumutugma sa function u. Upang gumana u ay katumbas ng zero, ang logarithm ay dapat na katumbas ng zero, at ang expression sa mga square bracket ay dapat na katumbas ng 1. Pagkatapos ang kaugnayan ay mayroong:
(X 2 +sa 2) 2 = 2A 2 (X 2 -sa 2)
Ang function na ito ay dumadaan sa pinanggalingan z- mga eroplano. Sa u sa hanay -1.28< u < 0 на z- eroplano, mga pabilog na lugar ay sinusunod sa kanan at kaliwa ng axis sa. Sa u Ang £ -1.28 ay halos mga puntos na may mga coordinate X = -A At X = A. Sa u> 0 solusyon ay sarado curves, kung saan, sa pagtaas u papalapit sa hugis ng mga bilog. Ang mga curve na ito ay kumakatawan sa mga potensyal na linya ng field ng dalawang cylinder na may mga singil ng parehong sign, i.e. field ng dalawang wire na may parehong potensyal. Ang mga punto sa ibabaw ng mga wire ay pinaka-interesante R 2 at R 1, kung saan, ayon sa pagkakabanggit, ang pinakamataas at pinakamababang lakas ng field ay sinusunod. Dot R 2 ay matatagpuan sa ibabaw ng wire sa puntong pinakamalayo sa kabilang wire at may mga coordinate:
, 
Isinasaalang-alang ang scale factor para sa punto p 2 na nakukuha natin:
. (2.109)
Sa s®0, ang electrode system ay nagiging isang sistema ng dalawang coaxial cylinders ( b=0, s=0) (tingnan ang (2.18)):
Karaniwan para sa linya ng kuryente p ³ 200.
Mga tanong sa pagsusulit sa sarili
1. Ibigay ang mga pangunahing equation ng Laplace sa espasyo, isang homogenous at plane-parallel na field.
2. Magbigay ng mga formula para sa pagkalkula ng potensyal at lakas ng field ng isang point charge. Tukuyin ang kapasidad ng isang bolang metal.
3. Magbigay ng mga formula para sa pagkalkula ng potensyal at lakas ng field ng isang walang katapusang manipis na tuwid na wire na walang katapusan ang haba.
4. Nasaan ang mga lugar na may pinakamataas na lakas ng field ng coaxial cable. Hanapin ang pinakamainam na diameter ng inner core para sa isang partikular na laki ng panlabas na shell at ang potensyal na pagkakaiba sa pagitan ng mga ito. Tukuyin ang linear capacitance ng coaxial cable.
5. Bakit ang mga kable ay ginawa gamit ang pagkakabukod mula sa iba't ibang uri ng dielectrics?
6. Ipaliwanag ang disenyo ng capacitor input at ang layunin nito.
7. Ano ang paraan ng overlay, at ano ang partial capacitance?
8. Ano ang electric dipole, ano ang mga katangian ng dipole field? Upang ipaliwanag kung anong mga phenomena ang ginamit na konsepto ng isang dipole?
9. Ano ang mga pagkakatulad at pagkakaiba sa pagitan ng mga larangan ng dalawang magkatulad at hindi magkatulad na mga singil?
10. Graphical na ilarawan ang field ng dalawang magkasalungat na sisingilin na walang katapusang axes. Magbigay ng mga formula para sa pagkalkula ng naturang sistema at ipahiwatig ang mga puntos na may pinakamataas na lakas ng field.
11. Ano ang paraan ng pagninilay? Ipaliwanag ang kakanyahan ng pamamaraan gamit ang halimbawa ng pagkalkula ng mga parameter ng field ng isang wire sa itaas ng lupa.
12. Magbigay ng isang paraan para sa pagkalkula ng mga parameter ng field ng isang point charge na matatagpuan malapit sa isang metal ball.
13. Tukuyin ang lakas ng electric field sa ibabaw ng isang wire na matatagpuan sa itaas ng lupa.
14. Paano matukoy ang mga parameter ng field ng isang tatlong-phase na linya?
15. Tukuyin ang pinakamataas na boltahe ng agwat ng bola.
16. Magbigay ng isang paraan para sa paghahanap ng mga parameter ng patlang na nilikha ng isang konduktor na may hangganan ang haba.
17. Magbigay ng isang paraan para sa paghahanap ng mga parameter ng patlang na nilikha ng isang singilin ng singsing.
18. Magbigay ng isang paraan para sa paghahanap ng mga parameter ng patlang na nilikha ng isang sisingilin na disk.
19. Paano nakadepende ang mga parameter ng field sa radius ng curvature ng ibabaw ng elektrod? Bakit ang mga ibabaw ng mataas na boltahe electrodes ay dapat na smoothed at lupa?
20. Ipaliwanag ang kakanyahan ng conformal mapping method at ilista ang pagkakasunod-sunod ng mga kalkulasyon gamit ang paraang ito.
21. Ano ang isang Rogowski profile?
22. Paano lumilitaw ang isang space charge at paano nito binabago ang mga katangian ng electric field?
23. Alin sa mga katangian ng electric field ang isang analogue ng enerhiya?
24. Alin sa mga katangian ng electric field ang isang analogue ng puwersa?
25. Para sa anong layunin ang konduktor ng isang bahagi ay nahahati sa maraming parallel na konduktor sa mga linya ng kuryente na may rate na boltahe na 330 kV pataas? Ipahiwatig ang mga puntos na may pinakamataas na pag-igting sa mga split wire. Ano ang mga distansya sa pagitan ng mga split conductor?
26. Saan mas mataas ang lakas ng electric field malapit sa ibabaw ng lupa: sa isang depression (butas, bangin) o sa isang elevation (burol, punso)? Ipaliwanag ang iyong sagot nang grapiko at may mga kalkulasyon.
27. Paano nagbabago ang lakas ng electric field sa ground level sa ilalim ng single-circuit power line na may horizontal phase wires?
28. Magbigay ng algorithm para sa pagkalkula ng ground capacitance ng isang three-phase overhead line.
29. Para sa anong layunin naka-install ang mga ring screen sa mga high-voltage device?
30. Kumuha ng mga formula para sa pagkalkula ng mga parameter ng isang cylindrical capacitor.
Dito ay pag-uusapan natin nang mas detalyado ang tungkol sa mga geometric na pamamaraan ng teorya ng analytic at generalised analytic function, na higit na gagamitin natin sa mga application.
§ 10. Problema ni Riemann
Ang pangunahing problema sa halaga ng hangganan ng teorya ng conformal mappings ay tinalakay na sa nakaraang kabanata. Binubuo ito sa pagbuo ng conformal mapping ng isang rehiyon patungo sa isa pa.
Pag-iral at pagiging natatangi. Magsimula tayo sa pangungusap na sapat na upang matutunan kung paano imapa ang isang arbitrary na simpleng konektadong rehiyon nang pantay-pantay sa isang bilog, at pagkatapos ay maaari nating imapa ang alinmang dalawang naturang rehiyon nang magkatugma sa isa't isa.
Ang pangungusap na ito ay batay sa dalawang simpleng katangian ng conformal na mapa: 1) ang inverse ng conformal map at 2) complex na mapa na binubuo ng dalawang conformal na mapa (ibig sabihin, ang mapa ) ay conformal na mapa muli. Malinaw ang mga katangian mula sa kahulugan ng conformal mapping bilang one-to-one analytical transformation at mula sa mga panuntunan para sa pagkakaiba-iba ng mga inverse at complex na function.
Sa pagkakaroon ng mga pag-aari na ito, hindi mahirap patunayan ang sinabi: kung ang mga pag-andar ay magkakasunod na nagmamapa ng mga domain sa unit
bilog pagkatapos ay ipapakita ang function sa
Ang problema ni Riemann ay natapos sa simula ng siglong ito. Napag-alaman na ang anumang simpleng konektadong rehiyon na ang hangganan ay binubuo ng higit sa isang punto ay maaaring imapa nang pantay-pantay sa bilog ng yunit. Ito ang sikat na teorama ni Riemann, na kanyang binuo noong 1851, na sinusuportahan ng mga pisikal na pagsasaalang-alang, ngunit hindi napatunayan (mas tiyak, ang kanyang patunay ay may malaking puwang).
Hayaan nating harapin ang tanong kung gaano katukoy ang problema ng Riemann, kung gaano karaming mga solusyon ang mayroon ito para sa mga ibinigay na domain Ayon sa pangungusap, upang malutas ang tanong na ito ay sapat na upang malaman kung gaano karaming mga paraan ang isa ay maaaring magkatugma na mapa ang bilog ng yunit sa. mismo. Madaling suriin na para sa anumang kumplikado at anumang tunay na numero ang function
ipinapalagay ang bilog sa mismong sarili nito (sa katunayan, mayroon tayo at, samakatuwid, i.e. (1) binabago ang bilog ng yunit sa sarili nito; bilang karagdagan, ito ay isa-sa-isa, dahil ang equation (1) ay natatanging nalulusaw patungkol sa at tumatagal ng point a ng bilog sa gitna nito). Ang pagmamapa (1) ay nakasalalay sa tatlong tunay na mga parameter - dalawang coordinate ng point a, na papunta sa gitna ng bilog, at ang numero 0, ang pagbabago nito ay nangangahulugan ng pag-ikot ng bilog na may kaugnayan sa gitna.
Mapapatunayan na ang formula (1) ay naglalaman ng lahat ng conformal mappings ng unit disk sa sarili nito. Nangangahulugan ito na ang arbitrariness sa paglutas ng problema ng Riemann ay naubos ng tatlong tunay na mga parameter:
ang conformal mapping ng isang rehiyon patungo sa isa pa ay natutukoy nang natatangi kung tutukuyin natin ang pagsusulatan ng tatlong pares ng mga boundary point (ang posisyon ng isang punto sa hangganan ay tinukoy ng isang parameter) o ang pagsusulatan ng isang pares ng mga panloob na puntos (dalawang parameter) at isa pang pares ng mga boundary point (isang parameter). Ang ganitong mga kundisyon na natatanging tumutukoy sa pagmamapa - ang mga ito ay tinatawag na mga kondisyon ng normalisasyon - ay maaaring magkaroon ng iba't ibang anyo, ngunit sa bawat oras na ang mga kundisyong ito ay dapat matukoy ang tatlong mga parameter.
Mga halimbawa. Ipahiwatig natin ang ilang simpleng halimbawa ng conformal mappings.
1) Pagmamapa ng hitsura ng bilog sa sarili nito. Ang function (1) ay maaari ding ituring bilang pagmamapa sa panlabas, ibig sabihin, ang lugar papunta sa sarili nito; ito ay tumatagal ng isang punto na tinatawag na simetriko hanggang kawalang-hanggan na may paggalang sa bilog ng yunit
2) Ang itaas na kalahating eroplano sa bilog ay ipinapakita din ng isang fractional linear function:
dito a ay isang di-makatwirang punto ng itaas na kalahating eroplano; ang punto ng bilog kung saan napupunta ang walang katapusang punto ng eroplano (ang limitasyon ng kanang bahagi ng (2) na may ay malinaw na katumbas ng ).
Sa Fig. Ipinapakita ng Figure 22 kung ano ang nagiging tuwid na linya h - ito ay mga bilog na padaplis sa yunit sa punto
3) Ang panlabas ng isang bilog na yunit ay nakamapa sa labas ng isang segment ng tinatawag na Zhukovsky function.
Sa kasong ito, ang mga bilog ay nagbabago sa mga ellipse na may mga semi-axes at may foci ±1, at ang mga ray sa mga arko ng hyperbolas orthogonal sa mga ellipse (Larawan 23).
4) Ang guhit sa isang bilog na yunit ay ipinapakita ng function
Sa kasong ito, ang mga vertical na tuwid at pahalang na mga segment ay nagiging "meridians" at "parallels" (Fig. 24).
5) Ang upper half-plane na may circular segment na itinapon sa upper half-plane sa panahon ng normalization ay ipinapakita ng function
kung saan ang a at a ay ang mga parameter ng segment (Larawan 25), at ang c ay isang tunay na pare-pareho (tandaan na ang aming mga kondisyon sa normalisasyon ay tumutukoy lamang ng dalawang tunay na mga parameter, kaya ang pangatlo ay nananatiling arbitrary).
Ang formula na ito ay masyadong mahirap para sa mga application. Para sa maliit na a at a, gamit ang mga unang termino ng mga pagpapalawak ng Taylor, maaari itong palitan ng tinatayang formula
Mapapansin din na, hanggang sa maliliit na mas mataas na mga order, binibigyan nito ang lugar mula sa na-eject na segment, samakatuwid ang (6) ay maaaring muling isulat sa anyo
6) Ang isang bilog na may maliit na butas na itinapon sa bilog ay ipinapakita din ng isang medyo masalimuot na function ng pag-record. Ang isang tinatayang pormula para sa naturang pagmamapa, sa kondisyon na ang lugar ng inilabas na butas ay maliit, ay maaaring isulat tulad ng sumusunod:
narito ang tuktok ng butas o (na may parehong katumpakan) ang iba pang punto nito.
7) Ang parehong tinatayang pormula para sa pagmamapa ng strip na may nakalabas na butas ng maliit na lugar c papunta sa strip ay may anyo
kung saan ang a ay ang abscissa ng isa sa mga punto ng butas; hyperbolic padaplis.
Daloy sa channel. Ang kakayahang malutas ang problema ng Riemann ay tumutukoy sa tagumpay ng paglutas ng ilang mga problema sa hydrodynamic. Ilalarawan namin ito gamit ang mga klasikal na halimbawa ng mga problema ng tuluy-tuloy na pag-agos ng isang perpektong hindi mapipigil na likido sa nakalipas na mga katawan. Siyempre, kailangan nating ipagpalagay na ang mga katawan ay nasa anyo ng walang katapusang mga cylinder (na may di-makatwirang mga nangungunang linya) upang magamit ang planar motion scheme.
Ipagpalagay na kailangan nating maghanap ng daloy sa isang channel na may mga pader na patayo sa isang tiyak na eroplano at i-intersect ito sa dalawang walang katapusang kurba na walang mga karaniwang punto (Larawan 26), at ang mga bilis ng daloy ay parallel sa eroplanong ito at pareho sa lahat. patayo dito. Ang field ng bilis sa channel ay inilalarawan ng isang patag na field sa isang banda na nililimitahan ng mga kurba
Tulad ng nakita natin sa nakaraang kabanata, ang pag-aakala tungkol sa kawalan ng mga mapagkukunan at mga vortex sa daloy ay humahantong sa konklusyon tungkol sa pagkakaroon ng isang kumplikadong potensyal - analytical sa pag-andar ay nangangahulugan ng paghahanap ng function na ito.
Ang daloy ay dapat dumaloy sa paligid ng mga dingding ng channel, ibig sabihin, ang bawat isa sa mga kurba ay dapat na isang linya ng stream na nagbibigay ito ng hangganan ng kondisyon ng problema. Maaari tayong magtanong
gayundin ang rate ng daloy na, tulad ng ipinakita sa huling kabanata, ay katumbas ng
kung saan ang y ay isang linya na may mga dulo, ibig sabihin, anumang cross section ng daloy. Dahil interesado kami sa potensyal hanggang sa isang pare-parehong termino, maaari naming ipagpalagay na sa G.
Sa pormulasyon na ito, ang problema ay hindi pa rin tiyak. Halimbawa, para sa kaso kapag ito ay isang tuwid na strip, ang solusyon nito ay anumang function
Para sa anumang tunay at integer (ang haka-haka na bahagi ay naglalaho sa Upang maipahayag ang problema nang mas malinaw, kailangan nating ipagpalagay na ang lapad ng strip ay nananatiling limitado sa kawalang-hanggan, magpataw ng ilang kondisyon ng kinis at isaalang-alang lamang ang mga daloy na may limitadong bilis sa kawalang-hanggan. Maaari itong mapatunayan na para sa mga karagdagang paghihigpit na ito, ang solusyon sa problema ay magiging conformal mapping lang ng domain sa isang strip na may normalization Ang problema ay nalutas nang natatangi sa tinatanggap na mga paghihigpit.
Ang problema sa pag-aaral ng wikang Tatar
Salamat sa ganoong detalyadong komento
Pagbaybay ng mga patinig sa mga pandiwa na suffix (grade 6)