Hvordan forenkle et uttrykk 8. Konvertering av uttrykk. Detaljert teori (2019). Ytterligere forenklingsmetoder

I begynnelsen av leksjonen skal vi gjennomgå de grunnleggende egenskapene til kvadratrøtter, og deretter se på flere komplekse eksempler på forenkling av uttrykk som inneholder kvadratrøtter.

Emne:Funksjon. Egenskaper til kvadratrot

Lekse:Konvertering og forenkling av mer komplekse uttrykk med røtter

1. Gjennomgang av egenskapene til kvadratrøtter

La oss kort gjenta teorien og huske de grunnleggende egenskapene til kvadratrøtter.

Egenskaper til kvadratrøtter:

1. derfor,;

3. ;

4. .

2. Eksempler for å forenkle uttrykk med røtter

La oss gå videre til eksempler på bruk av disse egenskapene.

Eksempel 1: Forenkle et uttrykk .

Løsning. For å forenkle må tallet 120 faktoriseres til primfaktorer:

Vi vil avsløre kvadratet av summen ved å bruke den riktige formelen:

Eksempel 2: Forenkle et uttrykk .

Løsning. La oss ta i betraktning at dette uttrykket ikke gir mening for alle mulige verdier av variabelen, siden dette uttrykket inneholder kvadratrøtter og brøker, noe som fører til en "innsnevring" av utvalget av tillatte verdier. ODZ: ().

La oss bringe uttrykket i parentes til fellesnevneren og skrive telleren til den siste brøken som forskjellen av kvadrater:

Svar. på.

Eksempel 3: Forenkle et uttrykk .

Løsning. Det kan sees at den andre tellerbraketten har et upraktisk utseende og må forenkles; la oss prøve å faktorisere den ved å bruke grupperingsmetoden.

For å kunne beregne fellesfaktoren forenklet vi røttene ved å faktorisere dem. La oss erstatte det resulterende uttrykket med den opprinnelige brøken:

Etter å ha redusert brøken, bruker vi formelen for forskjellen på kvadrater.

3. Et eksempel på å bli kvitt irrasjonalitet

Eksempel 4. Fri deg fra irrasjonalitet (røtter) i nevneren: a) ; b) .

Løsning. a) For å bli kvitt irrasjonalitet i nevneren, brukes standardmetoden for å multiplisere både telleren og nevneren til en brøk med den konjugerte faktoren til nevneren (samme uttrykk, men med motsatt fortegn). Dette gjøres for å komplementere nevneren til brøken til forskjellen av kvadrater, som lar deg kvitte deg med røttene i nevneren. La oss gjøre dette i vårt tilfelle:

b) utføre lignende handlinger:

4. Eksempel for bevis og identifikasjon av et komplett kvadrat i en kompleks radikal

Eksempel 5. Bevis likhet .

Bevis. La oss bruke definisjonen av en kvadratrot, hvorfra det følger at kvadratet til høyrehåndsuttrykket må være lik det radikale uttrykket:

. La oss åpne parentesene ved å bruke formelen for kvadratet av summen:

, fikk vi riktig likestilling.

Bevist.

Eksempel 6. Forenkle uttrykket.

Løsning. Dette uttrykket kalles vanligvis en kompleks radikal (rot under rot). I dette eksemplet må du finne ut hvordan du kan isolere en komplett firkant fra det radikale uttrykket. For å gjøre dette, merk at av de to begrepene er det en kandidat for rollen som dobbeltproduktet i formelen for kvadratforskjellen (forskjell, siden det er et minus). La oss skrive det i form av følgende produkt: , så hevder 1 å være et av leddene til en komplett firkant, og 1 hevder å være den andre.

La oss erstatte dette uttrykket under roten.

Å forenkle algebraiske uttrykk er en av nøklene til å lære algebra og er en ekstremt nyttig ferdighet for alle matematikere. Forenkling lar deg redusere et komplekst eller langt uttrykk til et enkelt uttrykk som er lett å jobbe med. Grunnleggende ferdigheter i forenkling er gode selv for de som ikke er begeistret for matematikk. Ved å følge noen få enkle regler kan du forenkle mange av de vanligste typene algebraiske uttrykk uten noen spesiell matematisk kunnskap.

Trinn

Viktige definisjoner

1. Lignende medlemmer . Dette er medlemmer med en variabel av samme rekkefølge, medlemmer med samme variabler, eller gratis medlemmer (medlemmer som ikke inneholder en variabel). Med andre ord, lignende termer inkluderer samme variabel i samme grad, inkluderer flere av de samme variablene, eller inkluderer ikke en variabel i det hele tatt. Rekkefølgen på begrepene i uttrykket spiller ingen rolle.

   • For eksempel er 3x 2 og 4x 2 lignende termer fordi de inneholder en annenordens (til andre potens) variabel "x". Imidlertid er ikke x og x2 like termer, siden de inneholder variabelen "x" av forskjellige rekkefølger (første og andre). På samme måte er ikke -3yx og 5xz like termer fordi de inneholder forskjellige variabler.

2. Faktorisering . Dette er å finne tall hvis produkt fører til det opprinnelige nummeret. Ethvert originalnummer kan ha flere faktorer. For eksempel kan tallet 12 faktoriseres inn i følgende serie med faktorer: 1 × 12, 2 × 6 og 3 × 4, så vi kan si at tallene 1, 2, 3, 4, 6 og 12 er faktorer for nummer 12. Faktorene er de samme som faktorene , det vil si tallene som det opprinnelige tallet er delt med.

   • For eksempel, hvis du vil faktorisere tallet 20, skriv det slik: 4×5.
   • Merk at ved faktorisering tas variabelen i betraktning. For eksempel, 20x = 4 (5x).
   • Primtall kan ikke faktoriseres fordi de bare er delbare med seg selv og 1.

3. Husk og følg rekkefølgen på operasjonene for å unngå feil.

   • Braketter
   • Grad
   • Multiplikasjon
   • Inndeling
   • Addisjon
   • Subtraksjon

Ta med lignende medlemmer

1. Skriv ned uttrykket. Enkle algebraiske uttrykk (de som ikke inneholder brøker, røtter osv.) kan løses (forenkles) på bare noen få trinn.

   • Forenkle for eksempel uttrykket 1 + 2x - 3 + 4x.

2. Definer lignende termer (termer med en variabel av samme rekkefølge, termer med de samme variablene eller frie termer).

   • Finn lignende termer i dette uttrykket. Begrepene 2x og 4x inneholder en variabel av samme rekkefølge (først). Dessuten er 1 og -3 frie termer (inneholder ikke en variabel). Således, i dette uttrykket vilkårene 2x og 4x er like, og medlemmene 1 og -3 er også like.

3. Gi lignende vilkår. Dette betyr å legge til eller trekke dem fra og forenkle uttrykket.

   • 2x + 4x = 6x
   • 1 - 3 = -2

4. Omskriv uttrykket under hensyntagen til de gitte vilkårene. Du vil få et enkelt uttrykk med færre termer. Det nye uttrykket er lik det opprinnelige.

   • I vårt eksempel: 1 + 2x - 3 + 4x = 6x - 2, det vil si at det opprinnelige uttrykket er forenklet og lettere å jobbe med.

5. Følg rekkefølgen på operasjoner når du tar med lignende medlemmer. I vårt eksempel var det enkelt å gi lignende termer. Men når det gjelder komplekse uttrykk hvor termer er innesluttet i parentes og brøker og røtter er tilstede, er det ikke så lett å bringe slike termer. I disse tilfellene, følg rekkefølgen for operasjoner.

   • Tenk for eksempel på uttrykket 5(3x - 1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x. Her vil det være en feil å umiddelbart definere 3x og 2x som lignende termer og presentere dem, fordi det er nødvendig å åpne parentesene først. Utfør derfor operasjonene i henhold til deres rekkefølge.
     • 5(3x-1) + x((2x)/(2)) + 8 - 3x
     • 15x - 5 + x(x) + 8 - 3x
     • 15x - 5 + x 2 + 8 - 3x. Nå, når uttrykket bare inneholder addisjons- og subtraksjonsoperasjoner, kan du ta med lignende termer.
     • x 2 + (15x - 3x) + (8 - 5)
     • x 2 + 12x + 3

Å ta multiplikatoren ut av parentes

1. Finne største felles deler(GCD) av alle koeffisientene til uttrykket. GCD er det største tallet som alle koeffisientene i uttrykket er delt med.

   • Tenk for eksempel på ligningen 9x 2 + 27x - 3. I dette tilfellet er GCD = 3, siden enhver koeffisient til dette uttrykket er delelig med 3.

2. Del hvert ledd i uttrykket med gcd. De resulterende leddene vil inneholde mindre koeffisienter enn i det opprinnelige uttrykket.

   • I vårt eksempel deler du hvert ledd i uttrykket med 3.
     • 9x 2 /3 = 3x 2
     • 27x/3 = 9x
     • -3/3 = -1
     • Resultatet ble et uttrykk 3x 2 + 9x - 1. Det er ikke lik det opprinnelige uttrykket.

3. Skriv ned det opprinnelige uttrykket som lik produktet av gcd og det resulterende uttrykket. Det vil si omslutt det resulterende uttrykket i parentes, og ta gcd ut av parentes.

   • I vårt eksempel: 9x 2 + 27x - 3 = 3 (3x 2 + 9x - 1)

4. Forenkling av brøkuttrykk ved å sette faktoren utenfor parentes. Hvorfor bare sette multiplikatoren ut av parentes, slik det ble gjort tidligere? Deretter for å lære å forenkle komplekse uttrykk, for eksempel brøkuttrykk. I dette tilfellet kan det å sette faktoren utenfor parentes bidra til å bli kvitt brøken (fra nevneren).

   • Tenk for eksempel på brøkuttrykket (9x 2 + 27x - 3)/3. Bruk utfaktor for å forenkle dette uttrykket.
     • Sett faktoren 3 i parentes (som du gjorde tidligere): (3(3x 2 + 9x - 1))/3
     • Legg merke til at det nå er 3 i både telleren og nevneren. Denne kan reduseres for å gi uttrykket: (3x 2 + 9x – 1)/1
     • Siden enhver brøk som har tallet 1 i nevneren ganske enkelt er lik telleren, forenkles det opprinnelige brøkuttrykket til: 3x 2 + 9x - 1.

Ytterligere forenklingsmetoder

1. Forenkling av brøkuttrykk. Som nevnt ovenfor, hvis både telleren og nevneren inneholder de samme begrepene (eller til og med de samme uttrykkene), kan de reduseres. For å gjøre dette må du ta ut av parentes den felles faktoren til telleren eller nevneren, eller både telleren og nevneren. Eller du kan dele hvert ledd i telleren med nevneren og dermed forenkle uttrykket.

   • Tenk for eksempel på brøkuttrykket (5x 2 + 10x + 20)/10. Her deler du ganske enkelt hvert tellerledd med nevneren (10). Men merk at begrepet 5x 2 ikke er jevnt delelig med 10 (siden 5 er mindre enn 10).
     • Så skriv et forenklet uttrykk som dette: ((5x 2)/10) + x + 2 = (1/2)x 2 + x + 2.

2. Forenkling av radikale uttrykk. Uttrykk under rottegnet kalles radikale uttrykk. De kan forenkles gjennom deres dekomponering til passende faktorer og påfølgende fjerning av én faktor fra under roten.

   • La oss se på et enkelt eksempel: √(90). Tallet 90 kan faktoriseres inn i følgende faktorer: 9 og 10, og fra 9 kan vi ta kvadratroten (3) og ta 3 ut under roten.
     • √(90)
     • √(9×10)
     • √(9)×√(10)
     • 3×√(10)
     • 3√(10)

3. Forenkle uttrykk med krefter. Noen uttrykk inneholder operasjoner med multiplikasjon eller deling av ledd med potenser. Ved multiplisering av ledd med samme grunntall legges potensene deres til; i tilfelle av å dele ledd med samme grunntall, trekkes gradene deres fra.

   • Tenk for eksempel på uttrykket 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15). Ved multiplikasjon, legg til potensene, og trekk dem fra ved divisjon.
     • 6x 3 × 8x 4 + (x 17 /x 15)
     • (6 × 8) x 3 + 4 + (x 17 - 15)
     • 48 x 7 + x 2
   • Følgende er en forklaring av reglene for multiplisering og deling av ledd med potenser.
     • Å multiplisere ledd med potenser tilsvarer å multiplisere ledd med seg selv. For eksempel, siden x 3 = x × x × x og x 5 = x × x × x × x × x, så x 3 × x 5 = (x × x × x) × (x × x × x × x × x), eller x 8 .
     • På samme måte tilsvarer å dele termer med grader å dele termer av seg selv. x 5 / x 3 = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Siden lignende termer som finnes i både telleren og nevneren kan reduseres, forblir produktet av to «x» eller x 2 i telleren.

Rasjonelle uttrykk og brøker er hjørnesteinen i hele algebrakurset. De som lærer å jobbe med slike uttrykk, forenkle dem og faktorisere dem, vil i hovedsak være i stand til å løse ethvert problem, siden transformasjon av uttrykk er en integrert del av enhver seriøs ligning, ulikhet eller til og med ordproblem.

I denne videoopplæringen vil vi se på hvordan du bruker forkortede multiplikasjonsformler riktig for å forenkle rasjonelle uttrykk og brøker. La oss lære å se disse formlene der det ved første øyekast ikke er noe. Samtidig vil vi gjenta en så enkel teknikk som å faktorisere et kvadratisk trinomial gjennom en diskriminant.

Som du sikkert allerede har gjettet fra formlene bak meg, vil vi i dag studere forkortede multiplikasjonsformler, eller mer presist, ikke selve formlene, men deres bruk for å forenkle og redusere komplekse rasjonelle uttrykk. Men før vi går videre til å løse eksempler, la oss se nærmere på disse formlene eller huske dem:

1. $((a)^(2))-((b)^(2))=\venstre(a-b \høyre)\venstre(a+b \høyre)$ — forskjell på kvadrater;
2. $((\venstre(a+b \høyre))^(2))=((a)^(2))+2ab+((b)^(2))$ er kvadratet av summen;
3. $((\venstre(a-b \høyre))^(2))=((a)^(2))-2ab+((b)^(2))$ — kvadratisk forskjell;
4. $((a)^(3))+((b)^(3))=\venstre(a+b \høyre)\venstre(((a)^(2))-ab+((b)^( 2)) \right)$ er summen av terninger;
5. $((a)^(3))-((b)^(3))=\venstre(a-b \høyre)\venstre(((a)^(2))+ab+((b)^(2) ) \right)$ er forskjellen mellom kuber.

Jeg vil også merke meg at skoleutdanningssystemet vårt er bygget opp på en slik måte at det er med studiet av dette temaet, dvs. rasjonelle uttrykk, samt røtter, moduler, alle studenter har samme problem, som jeg nå skal forklare.

Faktum er at helt i begynnelsen av å studere forkortede multiplikasjonsformler og følgelig handlinger for å redusere brøker (dette er et sted i 8. klasse), sier lærere noe sånt som følgende: "Hvis noe ikke er klart for deg, så ikke" ikke bekymre deg, vi vil hjelpe deg.» Vi kommer tilbake til dette emnet mer enn én gang, helt sikkert på videregående. Vi skal se nærmere på dette senere." Vel, da, ved overgangen til 9-10 klassetrinn, forklarer de samme lærerne til de samme elevene som fortsatt ikke vet hvordan de skal løse rasjonelle brøker, omtrent slik: «Hvor var du de to foregående årene? Dette ble studert i algebra i 8. klasse! Hva kan være uklart her? Det er så åpenbart!"

Slike forklaringer gjør det imidlertid ikke lettere for vanlige studenter: de hadde fortsatt rot i hodet, så akkurat nå skal vi se på to enkle eksempler, på grunnlag av hvilke vi vil se hvordan man kan isolere disse uttrykkene i reelle problemer , som vil lede oss til forkortede multiplikasjonsformler og hvordan man deretter bruker dette for å transformere komplekse rasjonelle uttrykk.

Redusere enkle rasjonelle brøker

Oppgave nr. 1

\[\frac(4x+3((y)^(2)))(9((y)^(4))-16((x)^(2)))\]

Det første vi må lære er å identifisere nøyaktige kvadrater og høyere potenser i de opprinnelige uttrykkene, på grunnlag av disse kan vi bruke formler. La oss ta en titt:

La oss omskrive uttrykket vårt ved å ta hensyn til disse fakta:

\[\frac(4x+3((y)^(2))))(((\venstre(3((y)^(2)) \høyre))^(2))-((\venstre(4x) \right))^(2)))=\frac(4x+3((y)^(2)))(\left(3((y)^(2))-4x \right)\left(3) ((y)^(2))+4x \høyre))=\frac(1)(3((y)^(2))-4x)\]

Svar: $\frac(1)(3((y)^(2))-4x)$.

Oppgave nr. 2

La oss gå videre til den andre oppgaven:

\[\frac(8)(((x)^(2))+5xy-6((y)^(2)))\]

Det er ingenting å forenkle her, fordi telleren inneholder en konstant, men jeg foreslo dette problemet nettopp slik at du lærer å faktorisere polynomer som inneholder to variabler. Hvis vi i stedet hadde polynomet nedenfor, hvordan ville vi utvidet det?

\[((x)^(2))+5x-6=\venstre(x-... \høyre)\venstre(x-... \høyre)\]

La oss løse ligningen og finne $x$ som vi kan sette i stedet for prikkene:

\[((x)^(2))+5x-6=0\]

\[((x)_(1))=\frac(-5+7)(2)=\frac(2)(2)=1\]

\[((x)_(2))=\frac(-5-7)(2)=\frac(-12)(2)=-6\]

Vi kan omskrive trinomialet som følger:

\[((x)^(2))+5xy-6((y)^(2))=\venstre(x-1 \høyre)\venstre(x+6 \høyre)\]

Vi lærte å jobbe med et kvadratisk trinomium - det er derfor vi trengte å ta opp denne videoleksjonen. Men hva om det i tillegg til $x$ og en konstant også er $y$? La oss betrakte dem som et annet element i koeffisientene, dvs. La oss omskrive uttrykket vårt som følger:

\[((x)^(2))+5y\cdot x-6((y)^(2))\]

\[((x)_(1))=\frac(-5y+7y)(2)=y\]

\[((x)_(2))=\frac(-5y-7y)(2)=\frac(-12y)(2)=-6y\]

La oss skrive utvidelsen av kvadratkonstruksjonen vår:

\[\venstre(x-y \høyre)\venstre(x+6y \høyre)\]

Så hvis vi går tilbake til det opprinnelige uttrykket og omskriver det under hensyntagen til endringene, får vi følgende:

\[\frac(8)(\venstre(x-y \høyre)\venstre(x+6y \høyre))\]

Hva gir en slik plate oss? Ingenting, fordi det ikke kan reduseres, det blir ikke multiplisert eller delt med noe. Men så snart denne brøken viser seg å være en integrert del av et mer komplekst uttrykk, vil en slik utvidelse komme godt med. Derfor, så snart du ser et kvadratisk trinomium (det spiller ingen rolle om det er belastet med ekstra parametere eller ikke), prøv alltid å faktorisere det.

Nyanser av løsningen

Husk de grunnleggende reglene for konvertering av rasjonelle uttrykk:

• Alle nevnere og tellere må faktoriseres enten gjennom forkortede multiplikasjonsformler eller gjennom en diskriminant.
• Du må jobbe i henhold til følgende algoritme: når vi ser og prøver å isolere formelen for forkortet multiplikasjon, prøver vi først og fremst å konvertere alt i høyest mulig grad. Etter dette tar vi den samlede graden ut av braketten.
• Svært ofte vil du møte uttrykk med en parameter: andre variabler vil vises som koeffisienter. Vi finner dem ved å bruke kvadratisk ekspansjonsformel.

Så, når du ser rasjonelle brøker, er den første tingen å gjøre å faktorisere både telleren og nevneren i lineære uttrykk, ved å bruke den forkortede multiplikasjons- eller diskriminantformlene.

La oss se på et par av disse rasjonelle uttrykkene og prøve å faktorisere dem.

Løse mer komplekse eksempler

Oppgave nr. 1

\[\frac(4((x)^(2))-6xy+9((y)^(2)))(2x-3y)\cdot \frac(9((y)^(2))- 4((x)^(2)))(8((x)^(3))+27((y)^(3))))\]

Vi omskriver og prøver å dekomponere hvert begrep:

La oss omskrive hele vårt rasjonelle uttrykk ved å ta hensyn til disse fakta:

\[\frac(((\venstre(2x \høyre))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \frac (((\left(3y \right))^(2))-((\left(2x \right))^(2)))(((\left(2x \right))^(3))+ ((\venstre(3y \høyre))^(3)))=\]

\[=\frac(((\venstre(2x \høyre))^(2))-2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)))(2x-3y)\cdot \ frac(\left(3y-2x \right)\left(3y+2x \right))(\left(2x+3y \right)\left(((\left(2x \right))^(2))- 2x\cdot 3y+((\left(3y \right))^(2)) \right))=-1\]

Svar: $-1$.

Oppgave nr. 2

\[\frac(3-6x)(2((x)^(2))+4x+8)\cdot \frac(2x+1)(((x)^(2))+4-4x)\ cdot \frac(8-((x)^(3)))(4((x)^(2))-1)\]

La oss se på alle brøkene.

\[((x)^(2))+4-4x=((x)^(2))-4x+2=((x)^(2))-2\cdot 2x+((2)^( 2))=((\venstre(x-2 \høyre))^(2))\]

La oss omskrive hele strukturen under hensyntagen til endringene:

\[\frac(3\venstre(1-2x \høyre))(2\venstre(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \høyre))\cdot \frac( 2x+1)(((\venstre(x-2 \høyre))^(2)))\cdot \frac(\venstre(2-x \høyre)\venstre(((2)^(2))+ 2x+((x)^(2)) \høyre))(\venstre(2x-1 \høyre)\venstre(2x+1 \høyre))=\]

\[=\frac(3\cdot \left(-1 \right))(2\cdot \left(x-2 \right)\cdot \left(-1 \right))=\frac(3)(2 \venstre(x-2 \høyre))\]

Svar: $\frac(3)(2\venstre(x-2 \høyre))$.

Nyanser av løsningen

Så det vi nettopp lærte:

• Ikke hvert kvadrattrinomial kan faktoriseres; spesielt gjelder dette det ufullstendige kvadratet av summen eller differansen, som veldig ofte finnes som deler av sum- eller differansekuber.
• Konstanter, dvs. vanlige tall som ikke har variabler kan også fungere som aktive elementer i ekspansjonsprosessen. For det første kan de tas ut av parentes, og for det andre kan konstantene i seg selv representeres i form av potenser.
• Svært ofte, etter å ha faktorisert alle elementene, oppstår motsatte konstruksjoner. Disse brøkene må reduseres ekstremt nøye, for når du krysser dem ut enten over eller under, dukker det opp en ekstra faktor $-1$ - dette er nettopp en konsekvens av at de er motsetninger.

Løse komplekse problemer

\[\frac(27((a)^(3))-64((b)^(3)))(((b)^(2))-4):\frac(9((a)^ (2))+12ab+16((b)^(2)))(((b)^(2))+4b+4)\]

La oss vurdere hvert begrep separat.

Første brøk:

\[((\venstre(3a \høyre))^(3))-((\venstre(4b \høyre))^(3))=\venstre(3a-4b \høyre)\venstre(((\venstre) (3a \høyre))^(2))+3a\cdot 4b+((\venstre(4b \høyre))^(2)) \høyre)\]

\[((b)^(2))-((2)^(2))=\venstre(b-2 \høyre)\venstre(b+2 \høyre)\]

Vi kan skrive om hele telleren til den andre brøken som følger:

\[((\venstre(3a \høyre))^(2))+3a\cdot 4b+((\venstre(4b \høyre))^(2))\]

La oss nå se på nevneren:

\[((b)^(2))+4b+4=((b)^(2))+2\cdot 2b+((2)^(2))=((\venstre(b+2 \høyre) ))^(2))\]

La oss omskrive hele det rasjonelle uttrykket under hensyntagen til fakta ovenfor:

\[\frac(\left(3a-4b \right)\left(((\left(3a \right))^(2))+3a\cdot 4b+((\left(4b \right))^(2 )) \right))(\left(b-2 \right)\left(b+2 \right))\cdot \frac(((\left(b+2 \right))^(2)))( ((\venstre(3a \høyre))^(2))+3a\cdot 4b+((\venstre(4b \høyre))^(2))))=\]

\[=\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))\]

Svar: $\frac(\left(3a-4b \right)\left(b+2 \right))(\left(b-2 \right))$.

Nyanser av løsningen

Som vi har sett igjen, ufullstendige kvadrater av summen eller ufullstendige kvadrater av forskjellen, som ofte finnes i virkelige rasjonelle uttrykk, er imidlertid ikke redd for dem, fordi etter transformering av hvert element blir de nesten alltid kansellert. I tillegg bør du ikke i noe tilfelle være redd for store konstruksjoner i det endelige svaret - det er godt mulig at dette ikke er din feil (spesielt hvis alt er faktorisert), men forfatteren hadde til hensikt et slikt svar.

Avslutningsvis vil jeg se på et annet komplekst eksempel, som ikke lenger direkte relaterer seg til rasjonelle brøker, men det inneholder alt som venter deg på reelle prøver og eksamener, nemlig: faktorisering, reduksjon til en fellesnevner, reduksjon av lignende termer. Det er akkurat dette vi skal gjøre nå.

Løse et komplekst problem med å forenkle og transformere rasjonelle uttrykk

\[\venstre(\frac(x)(((x)^(2))+2x+4)+\frac(((x)^(2))+8)(((x)^(3) )-8)-\frac(1)(x-2) \right)\cdot \left(\frac(((x)^(2)))((x)^(2))-4)- \frac(2)(2-x) \right)\]

Først, la oss se på og åpne den første parentesen: i den ser vi tre separate brøker med forskjellige nevnere, så det første vi må gjøre er å bringe alle tre brøkene til en fellesnevner, og for å gjøre dette, bør hver av dem være faktorisert:

\[((x)^(2))+2x+4=((x)^(2))+2\cdot x+((2)^(2))\]

\[((x)^(2))-8=((x)^(3))-((2)^(2))=\venstre(x-2 \høyre)\venstre(((x) ^(2))+2x+((2)^(2)) \right)\]

La oss omskrive hele konstruksjonen vår som følger:

\[\frac(x)(((x)^(2))+2x+((2)^(2)))+\frac(((x)^(2))+8)(\venstre(x) -2 \høyre)\venstre(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \høyre))-\frac(1)(x-2)=\]

\[=\frac(x\venstre(x-2 \høyre)+((x)^(3))+8-\venstre(((x)^(2))+2x+((2)^(2) )) \høyre))(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \høyre)))=\]

\[=\frac(((x)^(2))-2x+((x)^(2))+8-((x)^(2))-2x-4)(\venstre(x-2) \høyre)\venstre(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \høyre))=\frac(((x)^(2))-4x-4)(\ venstre(x-2 \høyre)\venstre(((x)^(2))+2x+((2)^(2)) \høyre))=\]

\[=\frac(((\venstre(x-2 \høyre))^(2)))(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(((x)^(2))+2x+(( 2)^(2)) \høyre))=\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\]

Dette er resultatet av beregningene fra den første braketten.

La oss ta for oss den andre parentesen:

\[((x)^(2))-4=((x)^(2))-((2)^(2))=\venstre(x-2 \høyre)\venstre(x+2 \ Ikke sant)\]

La oss omskrive den andre parentesen under hensyntagen til endringene:

\[\frac(((x)^(2)))(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(x+2 \høyre))+\frac(2)(x-2)=\frac( ((x)^(2))+2\venstre(x+2 \høyre))(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(x+2 \høyre))=\frac(((x)^ (2))+2x+4)(\venstre(x-2 \høyre)\venstre(x+2 \høyre))\]

La oss nå skrive ned hele den opprinnelige konstruksjonen:

\[\frac(x-2)(((x)^(2))+2x+4)\cdot \frac(((x)^(2))+2x+4)(\venstre(x-2) \høyre)\venstre(x+2 \høyre))=\frac(1)(x+2)\]

Svar: $\frac(1)(x+2)$.

Nyanser av løsningen

Som du kan se, viste svaret seg å være ganske rimelig. Vær imidlertid oppmerksom på: veldig ofte under slike storskalaberegninger, når den eneste variabelen bare vises i nevneren, glemmer elevene at dette er nevneren og den skal stå nederst i brøken og skriver dette uttrykket i telleren - dette er en grov feil.

I tillegg vil jeg gjøre deg spesielt oppmerksom på hvordan slike oppgaver er formalisert. I alle komplekse beregninger utføres alle trinnene en etter en: først teller vi den første braketten separat, deretter den andre separat, og først på slutten kombinerer vi alle delene og beregner resultatet. På denne måten sikrer vi oss mot dumme feil, skriver nøye ned alle beregningene og kaster samtidig ikke bort noe ekstra tid, slik det kan virke ved første øyekast.

Du vil trenge

• - begrepet et monom av et polynom;
• - forkortede multiplikasjonsformler;
• - operasjoner med fraksjoner;
• - grunnleggende trigonometriske identiteter.

Bruksanvisning

Hvis uttrykket inneholder monomer med , finn summen av koeffisientene deres og multipliser med samme faktor for dem. For eksempel, hvis det er et uttrykk 2 a-4 a+5 a+a=(2-4+5+1)∙a=4∙a.

Hvis uttrykket er en naturlig brøk, velg fellesfaktoren fra telleren og nevneren og reduser brøken med den. For eksempel, hvis du trenger å redusere brøken (3 a²-6 a b+3 b²)/(6∙a²-6∙b²), fjern fellesfaktorene fra telleren og nevneren i telleren, vil den være 3, i nevneren 6. Få uttrykket (3 ( a²-2 a b+b²))/(6∙(a²-b²)). Reduser telleren og nevneren med 3 og bruk de forkortede multiplikasjonsformlene på de gjenværende uttrykkene. For telleren er det kvadratet av forskjellen, og for nevneren er det forskjellen av kvadrater. Få uttrykket (a-b)²/(2∙ (a+b)∙(a-b)) ved å redusere det med fellesfaktoren a-b, du får uttrykket (a-b)/(2∙ (a+b)), som er mye enklere for spesifikke verdier av variablene teller.

Hvis monomialer har identiske faktorer hevet til en potens, må du sørge for at potensene er like, når du summerer dem, ellers er det umulig å redusere lignende. For eksempel, hvis det er et uttrykk 2∙m²+6 m³-m²-4 m³+7, vil resultatet være m²+2 m³+7 når lignende kombineres.

Når du forenkler trigonometriske identiteter, bruk formler for å konvertere dem. Grunnleggende trigonometrisk identitet sin²(x)+cos²(x)=1, sin(x)/cos(x)=tg(x), 1/ tg(x)= ctg(x), formler for sum og forskjell av argumenter , dobbelt, trippel argument og andre. For eksempel (sin(2∙x)- cos(x))/ ctg(x). Skriv ned formelen for dobbeltargument og cotangens som forholdet mellom cosinus og sinus. Få (2∙ sin(x) cos(x)- cos(x)) sin(x)/cos(x). Ta ut fellesfaktoren, cos(x) og kanseller brøken cos(x) (2∙ sin(x) - 1) sin(x)/cos(x)= (2∙ sin(x) - 1) sin( x).

Video om emnet

Kilder:

• uttrykksforenklingsformel

Brevity, som de sier, er talentets søster. Alle vil vise frem talentet sitt, men søsteren hans er en komplisert ting. Av en eller annen grunn tar strålende tanker naturlig nok form av komplekse setninger med mange adverbiale fraser. Det er imidlertid opp til deg å forenkle setningene dine og gjøre dem forståelige og tilgjengelige for alle.

Bruksanvisning

For å gjøre det lettere for mottakeren (enten det er lytter eller leser), prøv å erstatte delaktige og delaktige fraser med korte bisetninger, spesielt hvis det er for mange av de ovennevnte frasene i én setning. "En katt som kom hjem, etter å ha spist en mus, surret høyt, kjærtegnet eieren sin, prøvde å se inn i øynene hans, i håp om å tigge om fisk hentet fra butikken" - dette vil ikke fungere. Bryt en slik struktur i flere deler, ta deg god tid og ikke prøv å si alt i en setning, du vil være fornøyd.

Hvis du har unnfanget et strålende utsagn, men det viser seg å ha for mange underordnede ledd (spesielt med en), så er det bedre å dele utsagnet i flere separate setninger eller utelate et element. "Vi bestemte oss for at han skulle fortelle Marina Vasilievna, at Katya ville fortelle Vita at..." - vi kan fortsette i det uendelige. Stopp i tide og husk hvem som skal lese eller lytte til dette.

Fallgruvene ligger imidlertid ikke bare i setningens struktur. Vær oppmerksom på ordforrådet. Fremmedord, lange termer, ord hentet fra 1800-tallets skjønnlitteratur - alt dette vil bare komplisere persepsjonen. Det er nødvendig å avklare selv for hvilket publikum du komponerer teksten: teknikere vil selvfølgelig forstå både komplekse termer og spesifikke ord; men hvis du tilbyr de samme ordene til en litteraturlærer, er det lite sannsynlig at hun forstår deg.

Talent er en stor ting. Hvis du er talentfull (og det er ingen mennesker uten evner), åpner mange veier seg for deg. Men talent ligger ikke i kompleksitet, men i enkelhet, merkelig nok. Hold det enkelt, og talentene dine vil være tydelige og tilgjengelige for alle.

Video om emnet

Å lære å forenkle uttrykk i matematikk er rett og slett nødvendig for å kunne løse problemer og ulike ligninger riktig og raskt. Å forenkle et uttrykk innebærer å redusere antall trinn, noe som gjør beregningene enklere og sparer tid.

Bruksanvisning

Lær å beregne potenser av c. Når potensene c multipliseres, oppnås et tall hvis grunntall er det samme, og eksponentene legges til b^m+b^n=b^(m+n). Ved å dele potenser med de samme grunnene, oppnås potensen til et tall, hvis grunntall forblir den samme, og eksponentene til potensene trekkes fra, og eksponenten til divisoren b^m trekkes fra eksponenten for utbyttet : b^n=b^(m-n). Når du hever en potens til en potens, oppnås potensen til et tall, hvis basis forblir den samme, og eksponentene multipliseres (b^m)^n=b^(mn) Når du hever til en potens, vil hver faktor er hevet til denne makten (abc)^m=a^m *b^m*c^m

Faktorpolynomer, dvs. se for deg dem som et produkt av flere faktorer - polynomer og monomer. Ta den felles faktoren ut av parentes. Lær de grunnleggende forkortede multiplikasjonsformlene: forskjell av kvadrater, kvadratsum, kvadratforskjell, sum av terninger, forskjell av terninger, terning av sum og forskjell. For eksempel, m^8+2*m^4*n^4+n^8=(m^4)^2+2*m^4*n^4+(n^4)^2. Disse formlene er de viktigste for å forenkle uttrykk. Bruk metoden for å isolere et perfekt kvadrat i et trinomial på formen ax^2+bx+c.

Forkort brøker så ofte som mulig. For eksempel (2*a^2*b)/(a^2*b*c)=2/(a*c). Men husk at du bare kan redusere multiplikatorer. Hvis telleren og nevneren til en algebraisk brøk multipliseres med det samme tallet annet enn null, vil ikke verdien av brøken endres. Det er to måter å transformere rasjonelle uttrykk på: ved kjede og ved handlinger. Den andre metoden er å foretrekke, fordi det er lettere å kontrollere resultatene av mellomhandlinger.

Det er ofte nødvendig å trekke ut røtter i uttrykk. Selv røtter trekkes bare ut fra ikke-negative uttrykk eller tall. Odd røtter kan trekkes ut fra ethvert uttrykk.

Kilder:

• forenkling av uttrykk med krefter

Et "uttrykk" i matematikk refererer vanligvis til et sett med aritmetiske og algebraiske operasjoner som involverer tall og variable verdier. I analogi med formatet for å skrive tall, kalles et slikt sett "brøk" i tilfelle det inneholder divisjonsoperasjonen. Forenklingsoperasjoner gjelder for brøkuttrykk, så vel som for tall i brøkformat.

Bruksanvisning

Start med å finne fellesfaktoren for , stående i telleren og - dette er det samme for både numeriske forholdstall og de som inneholder ukjente variabler. Hvis for eksempel telleren er 45*X og nevneren er 18*Y, er den største felles faktoren 9. Etter å ha fullført dette trinnet kan telleren skrives som 9*5*X og nevneren som 9*2* Y.

Hvis uttrykkene i telleren og nevneren inneholder en kombinasjon av grunnleggende matematiske operasjoner (, divisjon, addisjon og subtraksjon), må du først faktorisere fellesfaktoren for hver av dem separat, og deretter isolere den største fellesfaktoren fra disse tall. For eksempel, for uttrykket 45*X+180, som er i telleren, skal faktoren 45 tas ut av parentes: 45*X+180 = 45*(X+4). Og uttrykket 18+54*Y i nevneren må reduseres til formen 18*(1+3*Y). Deretter, som i forrige trinn, finn den største felles divisor av faktorene tatt ut av parentes: 45*X+180 / 18+54*Y = 45*(X+4) / 18*(1+3*Y) = 9*5* (X+4) / 9*2*(1+3*Y). I dette eksemplet er det også lik ni.

Reduser fellesfaktoren til uttrykkene i telleren og nevneren for brøken som ble funnet i de foregående trinnene. For eksempelet fra det første trinnet kan hele forenklingsoperasjonen skrives som følger: 45*X / 18*Y = 9*5*X / 9*2*Y = 5*X / 2*Y.

Ved forenkling trenger ikke fellesdeleren som reduseres å være et tall, det kan også være et uttrykk som inneholder en variabel. Hvis for eksempel telleren til en brøk er (4*X + X*Y + 12 + 3*Y), og nevneren er (X*Y + 3*Y - 7*X - 21), så er den største felles divisor vil være uttrykket X+ 3, som bør reduseres for å forenkle uttrykket: (4*X + X*Y + 12 + 3*Y) / (X*Y + 3*Y - 7*X - 21) = ( X+3)*(4+Y)/(X+3)*(Y-7) = (4+Y)/(Y-7).

Å opprettholde personvernet ditt er viktig for oss. Av denne grunn har vi utviklet en personvernerklæring som beskriver hvordan vi bruker og lagrer informasjonen din. Se gjennom vår personvernpraksis og gi oss beskjed hvis du har spørsmål.

Innsamling og bruk av personopplysninger

Personopplysninger refererer til data som kan brukes til å identifisere eller kontakte en bestemt person.

Du kan bli bedt om å oppgi din personlige informasjon når som helst når du kontakter oss.

Nedenfor er noen eksempler på hvilke typer personopplysninger vi kan samle inn og hvordan vi kan bruke slik informasjon.

Hvilken personlig informasjon samler vi inn:

• Når du sender inn en søknad på nettstedet, kan vi samle inn ulike opplysninger, inkludert navn, telefonnummer, e-postadresse osv.

Hvordan vi bruker dine personopplysninger:

• Personopplysningene vi samler inn lar oss kontakte deg med unike tilbud, kampanjer og andre arrangementer og kommende arrangementer.
• Fra tid til annen kan vi bruke din personlige informasjon til å sende viktige meldinger og kommunikasjoner.
• Vi kan også bruke personopplysninger til interne formål, som å gjennomføre revisjoner, dataanalyser og ulike undersøkelser for å forbedre tjenestene vi leverer og gi deg anbefalinger angående våre tjenester.
• Hvis du deltar i en premietrekning, konkurranse eller lignende kampanje, kan vi bruke informasjonen du gir til å administrere slike programmer.

Utlevering av informasjon til tredjeparter

Vi utleverer ikke informasjonen mottatt fra deg til tredjeparter.

Unntak:

• Om nødvendig - i samsvar med loven, rettslig prosedyre, i rettslige prosesser og/eller på grunnlag av offentlige forespørsler eller forespørsler fra offentlige myndigheter på territoriet til den russiske føderasjonen - for å avsløre din personlige informasjon. Vi kan også avsløre informasjon om deg hvis vi fastslår at slik avsløring er nødvendig eller hensiktsmessig for sikkerhet, rettshåndhevelse eller andre offentlige viktige formål.
• I tilfelle en omorganisering, fusjon eller salg, kan vi overføre personopplysningene vi samler inn til gjeldende etterfølger tredjepart.

Beskyttelse av personopplysninger

Vi tar forholdsregler - inkludert administrative, tekniske og fysiske - for å beskytte din personlige informasjon mot tap, tyveri og misbruk, samt uautorisert tilgang, avsløring, endring og ødeleggelse.

Respekter ditt privatliv på bedriftsnivå

For å sikre at din personlige informasjon er sikker, kommuniserer vi personvern- og sikkerhetsstandarder til våre ansatte og håndhever strengt personvernpraksis.