Polynomi, sen vakiomuoto, aste ja termien kertoimet. Polynomien pienentäminen vakiomuotoon. Tyypillisiä tehtäviä

Sanoimme, että on olemassa sekä vakio- että epätyypillisiä polynomeja. Huomasimme samassa paikassa, että mikä tahansa polynomi johtaa standardinäkymä ... Tässä artikkelissa selvitämme ensin, mitä tämä lause tarkoittaa. Seuraavaksi luetellaan vaiheet, joiden avulla voit muuttaa minkä tahansa polynomin vakiomuotoon. Harkitse lopuksi ratkaisuja tyypillisiin esimerkkeihin. Kuvaamme ratkaisut hyvin yksityiskohtaisesti, jotta voimme käsitellä kaikkia vivahteita, joita syntyy, kun polynomit tuodaan vakiomuotoon.

Sivujen navigointi.

Mitä tarkoittaa polynomin tuominen vakiomuotoon?

Ensinnäkin sinun on ymmärrettävä selvästi, mitä tarkoitetaan pienentämällä polynomi vakiomuotoon. Selvitetään se.

Polynomit, kuten mikä tahansa muu ilmaisu, voivat altistua identtisille muunnoksille. Tällaisten muunnosten suorittamisen tuloksena saadaan lausekkeita, jotka ovat identtiset alkuperäisen lausekkeen kanssa. Joten tiettyjen muunnosten toteuttaminen epätyypillisen muodon polynomeilla mahdollistaa siirtymisen polynomeihin, jotka ovat identtisiä niiden kanssa, mutta jotka on kirjoitettu jo vakiomuodossa. Tätä siirtymää kutsutaan polynomin pienentämiseksi vakiomuotoon.

Niin, tuo polynomi vakiomuotoon- tämä tarkoittaa alkuperäisen polynomin korvaamista identtisesti samanlaisella alkuperäisestä saadulla vakiomuotoisella polynomilla suorittamalla identtiset muunnokset.

Kuinka saada polynomi vakiomuotoon?

Ajatellaanpa, mitkä muunnokset auttavat meitä saamaan polynomi vakiomuotoonsa. Aloitamme tavallisen polynomin määritelmästä.

Määritelmän mukaan jokainen vakiomuotoisen polynomin jäsen on vakiomuotoinen monomi, eikä vakiomuotoinen polynomi sisällä tällaisia ​​jäseniä. Polynomit, jotka on kirjoitettu muussa kuin standardimuodossa, voivat puolestaan ​​koostua epätavallisessa muodossa olevista monomeista ja voivat sisältää samankaltaisia ​​termejä. Tästä seuraa seuraava sääntö, joka selittää loogisesti kuinka saada polynomi vakiomuotoon:

• ensin sinun on vähennettävä vakiomuotoon monomit, jotka muodostavat alkuperäisen polynomin,
• ja suorita sitten samanlaisten jäsenten valu.

Tämän seurauksena saadaan vakiolomakkeen polynomi, koska kaikki sen jäsenet kirjoitetaan vakiolomakkeeseen, eikä se sisällä tällaisia ​​jäseniä.

Esimerkkejä, ratkaisuja

Tarkastellaan esimerkkejä polynomien pienentämisestä vakiomuotoon. Päättäessämme noudatamme edellisen kappaleen säännön määräämiä vaiheita.

Tässä huomaamme, että joskus kaikki polynomin ehdot kirjoitetaan vakiomuodossa kerralla, tässä tapauksessa riittää vain tuoda samanlaisia ​​termejä. Joskus polynomin jäsenten pienentämisen jälkeen vakiomuotoon ei ole samanlaisia ​​jäseniä, joten tällaisten termien pienentämisvaihe jätetään tässä tapauksessa pois. Yleisessä tapauksessa sinun on tehtävä molemmat.

Esimerkki.

Esitä polynomit vakiomuodossa: 5 x 2 y + 2 y 3 − x y + 1, 0,8 + 2 a 3 0,6 - b a b 4 b 5 ja.

Ratkaisu.

Kaikki polynomin 5 · x 2 · y + 2 · y 3 −x · y + 1 ehdot on kirjoitettu vakiomuodossa, sillä ei ole vastaavia termejä, joten tämä polynomi on jo esitetty vakiomuodossa.

Siirry seuraavaan polynomiin 0,8 + 2 a 3 0,6 - b a b 4 b 5... Sen muoto ei ole vakiomuotoinen, kuten termit 2 · a 3 · 0,6 ja −b · a · b 4 · b 5 osoittavat. Edustetaan sitä vakiomuodossa.

Ensimmäisessä vaiheessa, kun alkuperäinen polynomi pienennetään vakiomuotoon, meidän on edustettava kaikkia sen jäseniä vakiomuodossa. Siksi pienennämme monomiaalin 2 a 3 0,6 vakiomuotoon, meillä on 2 a 3 0,6 = 1,2 a 3, jonka jälkeen monomi −b a b 4 b 5, meillä on −b a b 4 b 5 = −a b 1 + 4 + 5 = −a b 10... Täten, . Tuloksena olevassa polynomissa kaikki termit on kirjoitettu vakiomuodossa, ja lisäksi on selvää, että siinä ei ole vastaavia termejä. Näin ollen tämä viimeistelee alkuperäisen polynomin pienentämisen vakiomuotoon.

Jäljellä on esittää viimeinen annetuista polynomeista vakiomuodossa. Kun kaikki jäsenet on saatettu vakiolomakkeeseen, se kirjoitetaan muodossa ... Siinä on samanlaisia ​​jäseniä, joten sinun on lähetettävä tällaisia ​​jäseniä:

Alkuperäinen polynomi sai siis vakiomuodon −x · y + 1.

Vastaus:

5 x 2 y + 2 y 3 −x y + 1 - jo vakiomuodossa, 0,8 + 2 a 3 0,6 - b a b 4 b 5 = 0,8 + 1,2 a 3 −a b 10, .

Usein polynomin tuominen vakiomuotoon on vain välivaihe ongelmassa esitetyn kysymyksen vastaamisessa. Esimerkiksi polynomin asteen löytäminen olettaa sen alustavan esityksen vakiomuodossa.

Esimerkki.

Anna polynomi vakiolomakkeeseen, ilmoita sen aste ja järjestä ehdot muuttujan pienenevissä voimissa.

Ratkaisu.

Ensinnäkin tuomme kaikki polynomin ehdot vakiomuotoon: .

Annamme nyt samanlaisia ​​jäseniä:

Joten toimme alkuperäisen polynomin vakiomuotoon, jolloin voimme määrittää polynomin asteen, joka on yhtä suuri kuin sen monomien suurin aste. On selvää, että se on 5.

Vielä on järjestettävä polynomin ehdot muuttujien pienenevissä tehoissa. Tätä varten sinun on vain järjestettävä termit uudelleen vakiolomakkeen tuloksena olevassa polynomissa ottaen huomioon vaatimus. Termillä z 5 on suurin aste, termien −0,5 · z 2 ja 11 asteet ovat 3, 2 ja 0. Siksi polynomi, jonka termit ovat muuttujan asteina, on muoto .

Vastaus:

Polynomin aste on 5, ja sen termien järjestelyn jälkeen muuttujan vähenevissä asteissa se saa muodon .

Bibliografia.

• Algebra: tutkimus. 7 cl. Yleissivistävä koulutus. laitokset / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; toim. S. A. Telyakovsky. - 17. painos. - M .: Koulutus, 2008.- 240 Sivumäärä : sairas. -ISBN 978-5-09-019315-3.
• A. G. Mordkovich Algebra. 7. luokka. Klo 14.00 Osa 1. Oppikirja oppilaitosten opiskelijoille / A. G. Mordkovich. - 17. painos, Lisää. - M.: Mnemozina, 2013.- 175 Sivumäärä: ill. ISBN 978-5-346-02432-3.
• Algebra ja matemaattisen analyysin alku. Luokka 10: oppikirja. yleissivistävää koulutusta varten. laitokset: perus- ja profiili. tasot / [Yu. M. Kolyagin, M. V. Tkacheva, N. E. Fedorova, M. I. Shabunin]; toim. A. B. Zhizhchenko. - 3. painos. - M.: Education, 2010.- 368 Sivumäärä : sairas. -ISBN 978-5-09-022771-1.
• Gusev V.A., Mordkovich A.G. Matematiikka (opas teknikoulujen hakijoille): Oppikirja. käsikirja. - M. Korkeampi. shk., 1984.-351 Sivumäärä, ill.

Algebraan liittyvien eri ilmaisujen joukossa monomien summat ovat tärkeässä asemassa. Tässä on esimerkkejä tällaisista ilmaisuista:
\ (5a ^ 4 - 2a ^ 3 + 0.3a ^ 2 - 4.6a + 8 \)
\ (xy ^ 3 - 5x ^ 2y + 9x ^ 3 - 7y ^ 2 + 6x + 5y - 2 \)

Monomien summaa kutsutaan polynomiksi. Polynomin termejä kutsutaan polynomin termeiksi. Monomeja kutsutaan myös polynomeiksi, koska monomi on polynomi, joka koostuu yhdestä termistä.

Esimerkiksi polynomi
\ (8b ^ 5 - 2b \ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0.25b \ cdot (-12) b + 16 \)
voidaan yksinkertaistaa.

Edustamme kaikkia termejä vakiomuodossa olevien monomien muodossa:
\ (8b ^ 5 - 2b \ cdot 7b ^ 4 + 3b ^ 2 - 8b + 0.25b \ cdot (-12) b + 16 = \)
\ (= 8b ^ 5 -14b ^ 5 + 3b ^ 2-8b -3b ^ 2 + 16 \)

Esitämme samanlaiset termit tuloksena olevassa polynomissa:
\ (8b ^ 5-14b ^ 5 + 3b ^ 2-8b -3b ^ 2 + 16 = -6b ^ 5-8b + 16 \)
Tuloksena on polynomi, jonka kaikki jäsenet ovat vakiomuodon monomeja, eikä niiden joukossa ole vastaavia. Tällaisia ​​polynomeja kutsutaan vakiomuotoisia polynomeja.

Per polynomi -aste tavallisesta lomakkeesta saa suurimman osan jäsentensä tutkinnoista. Joten binomilla \ (12a ^ 2b - 7b \) on kolmas aste ja trinomiaalisella \ (2b ^ 2 -7b + 6 \) - toinen.

Yleensä yhden muuttujan sisältävät vakiopolynoomien jäsenet on järjestetty sen eksponentin eksponenttien laskevaan järjestykseen. Esimerkiksi:
\ (5x - 18x ^ 3 + 1 + x ^ 5 = x ^ 5 - 18x ^ 3 + 5x + 1 \)

Useiden polynomien summa voidaan muuntaa (yksinkertaistaa) vakiomuotoiseksi polynomiksi.

Joskus polynomin jäsenet on jaettava ryhmiin ja suljettava jokainen ryhmä suluissa. Koska sulkeet ovat sulkulaajennuksen käänteinen puoli, se on helppo muotoilla sulkeiden laajennussäännöt:

Jos "+" -merkki asetetaan sulkeiden eteen, suluissa olevat osat kirjoitetaan samoilla merkeillä.

Jos “-” -merkki asetetaan sulkeiden eteen, suluissa olevat osat kirjoitetaan vastakkaisilla merkeillä.

Monomin ja polynomin tulon muuntaminen (yksinkertaistaminen)

Kertolaskuominaisuuden avulla voit muuntaa (yksinkertaistaa) monomin ja polynomin tulon polynomiksi. Esimerkiksi:
\ (9a ^ 2b (7a ^ 2 - 5ab - 4b ^ 2) = \)
\ (= 9a ^ 2b \ cdot 7a ^ 2 + 9a ^ 2b \ cdot (-5ab) + 9a ^ 2b \ cdot (-4b ^ 2) = \)
\ (= 63a ^ 4b - 45a ^ 3b ^ 2-36a ^ 2b ^ 3 \)

Monomin ja polynomin tulo on identtisesti yhtä suuri kuin tämän monomin ja jokaisen polynomin jäsenen tulojen summa.

Tämä tulos muotoillaan yleensä pääsääntöisesti.

Jos haluat kertoa monomin polynomilla, sinun on kerrottava tämä monomi jokaisella polynomin jäsenellä.

Olemme jo käyttäneet tätä sääntöä kertomalla summan monta kertaa.

Polynomien tulo. Kahden polynomin tulon muuntaminen (yksinkertaistaminen)

Yleensä kahden polynomin tulo on identtisesti yhtä suuri kuin yhden polynomin kunkin jäsenen ja toisen jäsenen tulon summa.

Yleensä käytetään seuraavaa sääntöä.

Jos haluat kertoa polynomin polynoomilla, sinun on kerrottava yhden polynomin jokainen termi toisen kullakin termillä ja lisättävä syntyneet tuotteet.

Lyhennetyt kertolaskukaavat. Summan neliöt, erot ja neliöiden ero

Joitakin algebrallisten muutosten ilmaisuja on käsiteltävä useammin kuin toisia. Ehkä yleisimmät lausekkeet \ ((a + b) ^ 2, \; (a - b) ^ 2 \) ja \ (a ^ 2 - b ^ 2 \), eli summan neliö ero ja neliöiden ero. Olet huomannut, että näiden lausekkeiden nimet näyttävät olevan epätäydellisiä, joten esimerkiksi \ ((a + b) ^ 2 \) ei tietenkään ole vain summan neliö, vaan summan neliö a ja b. Kuitenkin a: n ja b: n summan neliö ei ole niin yleinen, yleensä se sisältää kirjainten a ja b sijasta erilaisia, joskus melko monimutkaisia ​​ilmaisuja.

Lausekkeet \ ((a + b) ^ 2, \; (a - b) ^ 2 \) on helppo muuntaa (yksinkertaistaa) vakiomuotoisiin polynomeihin, itse asiassa olet jo törmännyt tähän tehtävään kertomalla polynomeja:
\ ((a + b) ^ 2 = (a + b) (a + b) = a ^ 2 + ab + ba + b ^ 2 = \)
\ (= a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 \)

Saadut identiteetit ovat hyödyllisiä muistaa ja soveltaa ilman välilaskuja. Lyhyet sanalliset muotoilut auttavat tässä.

\ ((a + b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2ab \) - summan neliö on yhtä suuri kuin neliöiden ja kaksinkertaistetun tulon summa.

\ ((a - b) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 - 2ab \) - erotuksen neliö on yhtä suuri kuin neliöiden summa ilman kaksinkertaistettua tuloa.

\ (a ^ 2 - b ^ 2 = (a - b) (a + b) \) - neliöiden ero on yhtä suuri kuin eron summa.

Nämä kolme identiteettiä mahdollistavat muunnoksissa vasemman puolen korvaamisen oikealla ja päinvastoin-oikean puolen vasemmalla puolella. Vaikeinta on nähdä vastaavat lausekkeet ja ymmärtää, mikä niissä korvaa muuttujat a ja b. Katsotaanpa joitain esimerkkejä lyhennettyjen kertolaskujen käytöstä.

Polynomien aihetta tutkittaessa on syytä erikseen mainita, että polynomeja esiintyy sekä vakio- että ei-standardimuodoissa. Tässä tapauksessa epätyypillinen polynomi voidaan pienentää vakiomuotoon. Itse asiassa analysoimme tätä kysymystä tässä artikkelissa. Korjataan selitykset esimerkeillä, joissa on yksityiskohtainen vaiheittainen kuvaus.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Polynomin pienentämisen vakiomuotoon merkitys

Mennään hieman syvemmälle itse konseptiin, toiminta "tuo polynomin vakiomuotoon".

Polynomit, kuten mikä tahansa muu ilmaisu, voidaan muuttaa samalla tavalla. Tämän seurauksena saamme tässä tapauksessa ilmauksia, jotka ovat identtisiä alkuperäisen lausekkeen kanssa.

Määritelmä 1

Pienennä polynomi vakiomuotoon- tarkoittaa alkuperäisen polynomin korvaamista vastaavalla vakiomuotoisella polynomilla, joka on saatu alkuperäisestä polynomista käyttäen identtisiä muunnoksia.

Menetelmä polynomin pienentämiseksi vakiomuotoon

Arvaamme mistä aiheesta identtiset muunnokset tuo polynomi vakiomuotoon.

Määritelmä 2

Määritelmän mukaan jokainen vakiolomakkeen polynomi koostuu vakiomuodon monomeista, eikä sen koostumuksessa ole tällaisia ​​jäseniä. Epätyypillisen muodon polynomi voi sisältää epätyypillisiä monomeereja ja vastaavia jäseniä. Sanotun perusteella on luonnostaan ​​johdettu sääntö, joka sanoo kuinka saada polynomi vakiomuotoon:

• ensinnäkin tietyn polynomin muodostavat monomit pienennetään vakiomuotoon;
• sitten samanlaisia ​​jäseniä valitaan.

Esimerkkejä ja ratkaisuja

Analysoimme yksityiskohtaisesti esimerkkejä, joissa tuomme polynomi vakiomuotoonsa. Noudatamme yllä olevaa sääntöä.

Huomaa, että joskus alkutilassa olevilla polynomin ehdoilla on jo vakiomuoto, ja ei muuta kuin tuomaan samanlaisia ​​termejä. Tapahtuu, että ensimmäisen vaiheen jälkeen tällaisia ​​jäseniä ei ole, sitten ohitamme toisen vaiheen. V yleisiä tapauksia Molemmat toimet on suoritettava yllä olevasta säännöstä.

Esimerkki 1

Polynomeja annetaan:

5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1 ,

0,8 + 2 a 3 0, 6 - b a b 4 b 5,

2 3 7 x 2 + 1 2 y x ( - 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8.

Ne on saatettava vakiolomakkeeseen.

Ratkaisu

tarkastellaan ensin polynomia 5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1 : sen jäsenillä on vakiolomake, tällaisia ​​jäseniä ei ole, mikä tarkoittaa, että polynomi on asetettu vakiomuodossa eikä lisätoimia tarvita.

Analysoidaan nyt polynomi 0, 8 + 2 · a 3 · 0, 6 - b · a · b 4 · b 5. Se sisältää epätyypillisiä monomeereja: 2 a 3 0, 6 ja - b a b 4 b 5, ts. meidän on saatettava polynomi vakiomuotoon, jota varten ensimmäinen toiminto muutamme monomit vakiomuotoon:

2 a 3 0, 6 = 1, 2 a 3;

- b a b 4 b 5 = - a b 1 + 4 + 5 = - a b 10, joten saadaan seuraava polynomi:

0,8 + 2 a 3 0, 6 - b a b 4 b 5 = 0,8 + 1, 2 a 3 - a b 10.

Tuloksena olevassa polynomissa kaikki jäsenet ovat vakioita, tällaisia ​​jäseniä ei ole, mikä tarkoittaa, että vaiheemme polynomin saattamiseksi vakiolomakkeeseen on suoritettu.

Tarkastellaan kolmatta annettua polynomia: 2 3 7 x 2 + 1 2 y x ( - 2) - 1 6 7 x x + 9-4 7 x 2-8

Tuodaan sen jäsenet vakiolomakkeeseen ja saat:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8.

Näemme, että polynomissa on samanlaisia ​​jäseniä, tuomme samanlaisia ​​jäseniä:

2 3 7 x 2 - x y - 1 6 7 x 2 + 9 - 4 7 x 2 - 8 = = 2 3 7 x 2 - 1 6 7 x 2 - 4 7 x 2 - x Y + (9 - 8) = = x 2 2 3 7 - 1 6 7-4 4 - xy + 1 = = x 2 17 7-13 7-4 4 - xy + 1 = = x 2 0 - x y + 1 = x y + 1

Siten annettu polynomi 2 3 7 x 2 + 1 2 y x ( - 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 ottaa vakiomuodon - x y + 1 ...

Vastaus:

5 x 2 y + 2 y 3 - x y + 1- polynomi on asetettu vakioksi;

0,8 + 2 a 3 0,6 - b a b 4 b 5 = 0,8 + 1, 2 a 3 - a b 10;

2 3 7 x 2 + 1 2 y x ( - 2) - 1 6 7 x x + 9 - 4 7 x 2 - 8 = - x y + 1.

Monissa ongelmissa polynomin pienentäminen vakiomuotoon on välivaihe, kun etsitään vastausta kysytty kysymys... Harkitse tätä esimerkkiä.

Esimerkki 2

Polynomi 11 - 2 3 z 2 z + 1 3 z 5 3 - 0 annetaan. 5 z 2 + z 3. Se on saatettava vakiomuotoon, ilmoitettava sen aste ja järjestettävä annetun polynomin ehdot muuttujan pienenevissä tehoissa.

Ratkaisu

Tuodaan annetun polynomin ehdot vakiomuotoon:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0. 5 z 2 + z 3.

Seuraava askel on tuoda samanlaisia ​​jäseniä:

11 - 2 3 z 3 + z 5 - 0. 5 z 2 + z 3 = 11 + - 2 3 z 3 + z 3 + z 5 - 0,5 z 2 = = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0,5 z 2

Olemme saaneet vakiomuotoisen polynomin, jonka avulla voimme merkitä polynomin asteen (yhtä suuri kuin sen muodostavien monomien aste). Ilmeisesti vaadittu tutkinto on 5.

Jää vain järjestää ehdot muuttujien pienenevissä tehoissa. Tätä varten yksinkertaisesti järjestämme termien sijainnit vakiolomakkeen tuloksena olevassa polynomissa ottaen huomioon vaatimus. Näin saamme:

z 5 + 1 3 z 3 - 0,5 z 2 + 11.

Vastaus:

11 - 2 3 z 2 z + 1 3 z 5 3 - 0,5 z 2 + z 3 = 11 + 1 3 z 3 + z 5 - 0,5 z 2, kun taas polynomin aste - 5; polynomin ehtojen järjestelyn seurauksena muuttujien pienenevissä tehoissa polynomi on muodossa: z 5 + 1 3 · z 3 - 0,5 · z 2 + 11.

Jos huomaat tekstissä virheen, valitse se ja paina Ctrl + Enter

Esimerkiksi ilmaisuja:

a - b + c, x 2 - y 2 , 5x - 3y - z- polynomit

Monomineja, jotka muodostavat polynomin, kutsutaan polynomin jäsenet... Harkitse polynomia:

7a + 2b - 3c - 11

ilmaisut: 7 a, 2b, -3c ja -11 ovat polynomin jäseniä. Kiinnitä huomiota -11 -jäseneen, se ei sisällä muuttujaa, vaan vain numeroista koostuvia jäseniä kutsutaan vapaa.

On yleisesti hyväksytty, että mikä tahansa monomi on erikoistapaus polynomi, joka koostuu yhdestä termistä. Tässä tapauksessa monomi on yhden termin polynomin nimi. Polynomeille, jotka koostuvat kahdesta ja kolmesta jäsenestä, on myös erityisiä nimiä - binomi- ja trinomiaalisia:

7a- monomi

7a + 2b- binomi

7a + 2b - 3c- kolmijäseninen

Samanlaisia ​​jäseniä

Samanlaisia ​​jäseniä- monnomit, jotka sisältyvät polynomiin ja jotka eroavat toisistaan ​​vain kertoimen, merkin tai eivät eroa lainkaan (vastakkaisia ​​monomeereja voidaan kutsua myös vastaaviksi). Esimerkiksi polynomissa:

3a 2 b

+

5abc 2

+

2a 2 b

-

7abc 2

-

2a 2 b

jäsenet 3 a 2 b, 2a 2 b ja 2 a 2 b sekä ehdot 5 abc 2 ja -7 abc 2 on samanlaisia ​​jäseniä.

Mukaan samanlaisia ​​jäseniä

Jos polynomi sisältää samanlaisia ​​termejä, se voidaan pienentää useampaan yksinkertainen mieli yhdistämällä samanlaiset jäsenet yhdeksi. Tätä toimintaa kutsutaan tuo samanlaisia ​​jäseniä... Ensinnäkin laitamme kaikki tällaiset jäsenet suluissa erikseen:

(3a 2 b + 2a 2 b - 2a 2 b) + (5abc 2 - 7abc 2)

Jos haluat yhdistää useita samankaltaisia ​​monomeereja yhdeksi, sinun on lisättävä niiden kertoimet ja jätettävä kirjaintekijät ennalleen:

((3 + 2 - 2)a 2 b) + ((5 - 7)abc 2) = (3a 2 b) + (-2abc 2) = 3a 2 b - 2abc 2

Samankaltaisten termien vähentäminen on useiden samankaltaisten monomien algebrallisen summan korvaaminen yhdellä monomiaalilla.

Vakiopolynoomi

Vakiopolynoomi on polynomi, jonka kaikki jäsenet ovat vakiomuodon monomeja, joiden joukossa ei ole vastaavia jäseniä.

Jotta polynomi saataisiin vakiomuotoon, riittää, että vähennetään vastaavia termejä. Kuvittele esimerkiksi lauseke tavallisena polynomina:

3xy + x 3 - 2xy - y + 2x 3

Ensin etsitään samanlaisia ​​jäseniä:

Jos kaikki vakiomuotoisen polynomin jäsenet sisältävät saman muuttujan, sen jäsenet on yleensä järjestetty korkeammasta asteesta alempaan asteeseen. Mahdollinen polynomin vapaa termi asetetaan päälle viimeinen sija- oikealla.

Esimerkiksi polynomi

3x + x 3 - 2x 2 - 7

pitäisi kirjoittaa näin:

x 3 - 2x 2 + 3x - 7

Oppitunti aiheesta: "Polynomin käsite ja määritelmä. Polynomin vakiomuoto"

Lisämateriaalit
Hyvät käyttäjät, älä unohda jättää kommentteja, arvosteluja, toiveita. Kaikki materiaalit on tarkistettu virustorjuntaohjelmalla.

Opetusvälineet ja simulaattorit Integral -verkkokaupassa luokalle 7
Sähköinen opas, joka perustuu oppikirjaan Yu.N. Makarycheva
Sähköinen opas, joka perustuu oppikirjaan Sh.A. Alimova

Kaverit, olette jo opiskelleet monomeereja aiheesta: Vakiomuoto. Määritelmät. Esimerkkejä. Tarkastellaan perusmääritelmiä.

Monomi- lauseke, joka koostuu numeroiden ja muuttujien tulosta. Muuttujia voidaan nostaa luonnollisiin asteisiin. Monomi ei sisällä muita toimintoja kuin kertolasku.

Vakiotyyppi monomi- tällainen muoto, kun kerroin (numeerinen tekijä) tulee ensin, jota seuraa eri muuttujien asteet.

Samanlaisia ​​monomeereja Ovatko identtisiä monomeereja vai monomeereja, jotka eroavat toisistaan ​​kertoimella.

Polynomi -käsite

Polynomi, kuten monomi, on yleistetty nimi matemaattisia ilmaisuja tietty laji. Tällaisia ​​yleistyksiä on nähty ennenkin. Esimerkiksi "summa", "tuote", "eksponentio". Kun kuulemme "numeroiden eron", ajatus kertomisesta tai jakamisesta ei tule koskaan mieleemme. Samoin polynomi on tiukasti määritellyn ilmaisun muoto.

Määritelmä polynomi

Polynomi on monomien summa.

Monomineja, jotka muodostavat polynomin, kutsutaan polynomin jäsenet... Jos on kaksi termiä, kyseessä on binomi, jos kolme, niin trinomi. Jos he sanovat enemmän termejä, se on polynomi.

Esimerkkejä polynomeista.

1) 2ab + 4cd (binomi);

2) 4ab + 3cd + 4x (trinomi);

3) 4a 2 b 4 + 4c 8 d 9 + 2xy 3;

3c 7 d 8-2b 6 c 2 d + 7xy - 5xy 2.

Katsotaanpa tarkasti viimeistä lausetta. Määritelmän mukaan polynomi on monomien summa, mutta viimeisessä esimerkissä emme vain lisää, vaan myös vähennämme monomeja.
Selvyyden vuoksi katsotaan pieni esimerkki.

Kirjoitetaan ilmaisu a + b - c(olemme samaa mieltä a ≥ 0, b ≥ 0 ja c ≥0) ja vastaa kysymykseen: onko se summa vai ero? On vaikea sanoa.
Todellakin, jos kirjoitat lausekkeen uudelleen muotoon a + b + (-c), saamme kahden positiivisen ja yhden negatiivisen termin summan.
Jos katsot esimerkkiämme, käsittelemme tarkasti monomien summaa kertoimilla: 3, - 2, 7, -5. Matematiikassa on termi "algebrallinen summa". Siten polynomin määritelmä tarkoittaa "algebrallista summaa".

Mutta muodon 3a: b + 7c merkintä ei ole polynomi, koska 3a: b ei ole monomi.
Muodon 3b + 2a * (c 2 + d) merkintä ei myöskään ole polynomi, koska 2a * (c 2 + d) ei ole monomi. Jos laajennat hakasulkeita, tuloksena oleva lauseke on polynomi.
3b + 2a * (c 2 + d) = 3b + 2ac 2 + 2ad.

Polynomin aste on sen jäsenten korkein aste.
Polynomilla a 3 b 2 + a 4 on viides aste, koska monomian a 3 b 2 aste on 2 + 3 = 5 ja monomian a 4 aste on 4.

Vakiomuoto polynomi

Polynomi, jolla ei ole tällaisia ​​termejä ja joka on kirjoitettu polynomin ehtojen asteittain alenevassa järjestyksessä, on vakiomuotoinen polynomi.

Polynomi saatetaan vakiomuotoon tarpeettoman raskaan kirjoittamisen poistamiseksi ja sen jatkotoimien yksinkertaistamiseksi.

Todellakin, miksi esimerkiksi kirjoittaa pitkä lauseke 2b 2 + 3b 2 + 4b 2 + 2a 2 + a 2 + 4 + 4, kun se voidaan kirjoittaa lyhyempi kuin 9b 2 + 3a 2 + 8.

Jotta polynomi saataisiin vakiomuotoon, tarvitset:
1. saattaa kaikki jäsenet vakiomuotoon,
2. lisää samanlaisia ​​(identtisiä tai eri numeerisia kertoimia sisältäviä) termejä. Tätä menettelyä kutsutaan usein tuo samanlaisia.

Esimerkki.
Tuo polynomi aba + 2y 2 x 4 x + y 2 x 3 x 2 + 4 + 10a 2 b + 10 vakiomuotoonsa.

Ratkaisu.

a 2 b + 2 x 5 y 2 + x 5 y 2 + 10a 2 b + 14 = 11a 2 b + 3 x 5 y 2 + 14.

Määritetään lausekkeeseen sisältyvien monomien asteet ja järjestetään ne laskevaan järjestykseen.
11a 2 b on kolmas aste, 3 x 5 y 2 on seitsemäs, 14 - nolla.
Tämä tarkoittaa, että ensiksi asetamme 3 x 5 y 2 (7 astetta), toiseksi - 12a 2 b (3 astetta) ja kolmanneksi - 14 (nolla astetta).
Tuloksena saadaan vakiomuotoinen polynomi 3x 5 y 2 + 11a 2 b + 14.

Esimerkkejä itsenäisestä ratkaisusta

Pienennä polynomit vakiomuotoon.

1) 4b 3 aa - 5x 2 y + 6ac - 2b 3 a 2-56 + ac + x 2 y + 50 * (2 a 2 b 3 - 4x 2 y + 7ac - 6);

2) 6a 5 b + 3x 2 y + 45 + x 2 y + ab - 40 * (6a 5 b + 4xy + ab + 5);

3) 4х 2 + 5bс - 6а - 24bс + хх 4 x (5х 6-19bс - 6а);

4) 7abc 2 + 5acbc + 7ab 2-6bab + 2cabc (14abc 2 + ab 2).