کدام دو صفحه را عمود بر هم می گویند؟ صفحات عمود بر هم، شرط عمود بودن صفحات. عمود بودن در فضا می تواند داشته باشد

اگر یکی از دو صفحه از خطی عمود بر صفحه دیگر عبور کند، آنگاه صفحات داده شده عمود هستند () (شکل 28).

α – هواپیما، V- یک خط مستقیم عمود بر آن، β - صفحه ای که از خط مستقیم عبور می کند V، و با- خط مستقیمی که صفحات α و β در امتداد آن قطع می شوند.

نتیجه.اگر صفحه ای عمود بر خط تقاطع دو صفحه داده شده باشد، بر هر یک از این صفحات عمود است.

مشکل 1. ثابت کنید که از هر نقطه از یک خط در فضا می توان دو خط مختلف عمود بر آن رسم کرد.

اثبات:

با توجه به بدیهیات مننقطه ای وجود دارد که روی خط نیست آ.توسط قضیه 2.1، از طریق نقطه که درو مستقیم آمی توانیم صفحه α را رسم کنیم. (شکل 29) توسط قضیه 2.3 از طریق نقطه آدر صفحه α می توانیم یک خط مستقیم رسم کنیم آ.با توجه به اصل C 1، یک نقطه وجود دارد با، متعلق به α نیست. توسط قضیه 15.1 از طریق نقطه باو مستقیم آمی توانیم صفحه β را رسم کنیم. در صفحه β، طبق قضیه 2.3، از طریق نقطه a می توانیم با آن یک خط مستقیم رسم کنیم آ.با ساخت، خطوط b و c فقط یک نقطه مشترک دارند آو هر دو عمود هستند

وظیفه 2.انتهای بالایی دو ستون عمودی ایستاده، که با فاصله 3.4 متر از هم جدا شده اند، توسط یک میله متقاطع به هم متصل می شوند. ارتفاع یک ستون 5.8 متر و دیگری 3.9 متر است. طول تیر میله را پیدا کنید.

AC= 5.8 متر، VD= 3.9 متر، AB-؟ (شکل 30)

AE = AC – CE = AC – BD= 5.8 - 3.9 = 1.9 (m)

توسط قضیه فیثاغورث از ∆ AEVما گرفتیم:

AB 2 = AE 2 + EB 2 = AE 2 + CD 2 = ( 1.9) 2 + (3.4) 2 = 15.17 (m2)

AB= = 3.9 (متر)

وظایف

هدف. یادگیری تجزیه و تحلیل موقعیت نسبی اشیاء در فضا در ساده ترین موارد، استفاده از حقایق و روش های پلان متری هنگام حل مسائل استریومتریک.

1. ثابت کنید که از طریق هر نقطه از یک خط در فضا می توانید خطی عمود بر آن رسم کنید.

2-خطوط AB، AC و AD به صورت زوجی عمود هستند. سی دی بخش را پیدا کنید اگر:

1) AB = 3 سانتی متر ، آفتاب= 7 سانتی متر، آگهی= 1.5 سانتی متر؛

2) VD= 9 سانتی متر، آگهی= 5 سانتی متر، آفتاب= 16 سانتی متر؛

3) AB = b، BC = a، AD = d;

4) ВD = с، ВС = а، АD = d

3. نقطه A در فاصله است آاز رئوس مثلث متساوی الاضلاع با ضلع آ.فاصله نقطه A تا صفحه مثلث را پیدا کنید.

4. ثابت کنید که اگر خطی موازی با صفحه باشد، تمام نقاط آن در یک فاصله از صفحه قرار دارند.

5. یک سیم تلفن به طول 15 متر از یک تیر تلفن که در ارتفاع 8 متری از سطح زمین وصل شده است، به خانه ای که در ارتفاع 20 متری وصل شده است کشیده می شود. فاصله را پیدا کنید. بین خانه و تیرک، با فرض اینکه سیم آویزان نشود.

6. دو شیب مایل از یک نقطه به یک صفحه کشیده می شود، برابر با 10 سانتی متر و 17 سانتی متر، اختلاف برجستگی این شیب ها 9 سانتی متر است، برجستگی های شیب دار را پیدا کنید.

7. دو مایل از یک نقطه به یک صفحه کشیده می شود که یکی از آنها 26 سانتی متر از دیگری بزرگتر است. برآمدگی های مایل 12 سانتی متر و 40 سانتی متر هستند.

8. دو خط مایل از یک نقطه به یک صفحه رسم می شود. طول مورب ها را در صورتی بیابید که نسبت آنها 1:2 باشد و برآمدگی های مورب ها 1 سانتی متر و 7 سانتی متر باشد.

9. دو شیب مایل معادل 23 سانتی متر و 33 سانتی متر از یک نقطه به یک صفحه کشیده شده است.

فاصله این نقطه تا صفحه اگر برآمدگی های مایل به نسبت 2:3 باشد.

10. اگر فواصل نقطه a و B تا صفحه عبارتند از: 1) 3.2 سانتی متر و 5.3 سانتی متر؛ 7.4 سانتی متر و 6.1 سانتی متر، فاصله وسط قطعه AB تا صفحه ای را که این قطعه را قطع نمی کند، بیابید. 3) الف و ج.

11. مشکل قبلی را حل کنید به شرطی که قطعه AB صفحه را قطع کند.

12. قطعه ای به طول 1 متر یک صفحه را قطع می کند، انتهای آن در فاصله 0.5 متر و 0.3 متر از صفحه فاصله دارد. طول برآمدگی قطعه را بر روی صفحه پیدا کنید.

13. از نقاط A و B، عمود بر روی صفحه رها می شود. اگر عمودها 3 متر و 2 متر باشند، فاصله بین نقاط A و B 2.4 متر باشد و پاره AB صفحه را قطع نکند، فاصله بین نقاط A و B را بیابید.

14. از نقاط A و B که در دو صفحه عمود قرار دارند، عمودهای AC و BD بر روی خط تقاطع صفحات می افتند. طول قطعه AB را بیابید اگر: 1) AC = 6 متر، BD = 7 متر، CD = 6 متر. 2) AC = 3 متر، ВD = 4 متر، CD = 12 متر؛ 3) AD = 4 m، BC = 7 m، CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m، CD = 1 m; 4) AC = a، BD = b، CD = c; 5) AD = a، BC = b، CD = c.

15. از رئوس A و B مثلث متساوی الاضلاع ABC، عمودهای AA 1 و BB 1 به صفحه مثلث بازیابی می شوند. اگر AB = 2 m، CA 1 = 3 m، CB 1 = 7 m و قطعه A 1 B 1 صفحه مثلث را قطع نکند، فاصله راس C تا وسط قطعه A 1 B 1 را بیابید.

16. از رئوس A و B زوایای تند مثلث قائم الزاویه ABC، عمودهای AA 1 و BB 1 بر صفحه مثلث قرار می گیرند. فاصله راس C تا وسط قطعه A 1 B 1 را بیابید، اگر A 1 C = 4 m، AA 1 = 3 m، CB 1 = 6 m، BB 1 = 2 m و قطعه A 1 B 1 قطع نمی شود. صفحه مثلث

متن متن درس:

ایده هواپیما در فضا به ما این امکان را می دهد که مثلاً سطح یک میز یا دیوار را بدست آوریم. با این حال، یک میز یا دیوار دارای ابعاد محدودی است و صفحه از مرزهای آن تا بی نهایت گسترش می یابد.

دو صفحه متقاطع را در نظر بگیرید. هنگامی که آنها را قطع می کنند، چهار زاویه دو وجهی با یک لبه مشترک تشکیل می دهند.

بیایید به یاد بیاوریم که زاویه دو وجهی چیست.

در واقعیت، ما با اشیایی روبرو می شویم که شکل یک زاویه دو وجهی دارند: به عنوان مثال، یک در کمی باز یا یک پوشه نیمه باز.

وقتی دو صفحه آلفا و بتا قطع می شوند، چهار زاویه دو وجهی به دست می آید. بگذارید یکی از زوایای دو وجهی برابر با (ph) باشد، سپس دوم برابر با (1800 -)، سوم، چهارم (1800 -).

حالتی را در نظر بگیرید که یکی از زوایای دو وجهی 900 باشد.

سپس تمام زوایای دو وجهی در این حالت برابر با 900 است.

اجازه دهید تعریف صفحات عمود بر هم را معرفی کنیم:

دو صفحه اگر زاویه دو وجهی بین آنها 90 درجه باشد عمود نامیده می شوند.

زاویه بین صفحات سیگما و اپسیلون 90 درجه است، به این معنی که صفحات عمود هستند.

اجازه دهید مثال هایی از صفحات عمود بر هم بزنیم.

دیوار و سقف.

دیوار کناری و روی میز.

اجازه دهید علامت عمود بودن دو صفحه را فرمول بندی کنیم:

قضیه: اگر یکی از دو صفحه از خطی عمود بر صفحه دیگر عبور کند، این صفحات عمود هستند.

بیایید این نشانه را ثابت کنیم.

طبق شرط مشخص است که خط مستقیم AM در صفحه α قرار دارد، خط مستقیم AM عمود بر صفحه β است.

ثابت کنید: صفحات α و β عمود هستند.

اثبات:

1) صفحات α و β در امتداد خط مستقیم AR قطع می شوند، در حالی که AM AR است، زیرا AM طبق شرط β است، یعنی AM بر هر خط مستقیمی که در صفحه β قرار دارد عمود است.

2) اجازه دهید یک خط مستقیم AT عمود بر AP در صفحه β رسم کنیم.

ما زاویه TAM - زاویه خطی زاویه دو وجهی را دریافت می کنیم. اما زاویه TAM = 90 درجه، زیرا MA β است. بنابراین α β.

Q.E.D.

از علامت عمود بودن دو صفحه یک نتیجه مهم داریم:

نتیجه: صفحه ای عمود بر خطی که در امتداد آن دو صفحه همدیگر را قطع می کنند، بر هر یک از این صفحات عمود است.

یعنی: اگر α∩β=с و γ σ، γ α و γ β.

اجازه دهید این نتیجه را ثابت کنیم: اگر صفحه گاما عمود بر خط c باشد، بر اساس موازی بودن دو صفحه، گاما بر آلفا عمود است. به همین ترتیب، گاما بر بتا عمود است

اجازه دهید این نتیجه را برای یک زاویه دو وجهی دوباره فرمول بندی کنیم:

صفحه ای که از زاویه خطی یک زاویه دو وجهی می گذرد بر لبه و وجوه این زاویه دو وجهی عمود است. به عبارت دیگر، اگر یک زاویه خطی از یک زاویه دو وجهی ساخته باشیم، صفحه ای که از آن می گذرد بر لبه و وجوه این زاویه دو وجهی عمود است.

داده می شود: ΔABC، C = 90 درجه، AC در صفحه α قرار دارد، زاویه بین صفحات α و ABC = 60 درجه، AC = 5 سانتی متر، AB = 13 سانتی متر.

پیدا کنید: فاصله نقطه B تا صفحه α.

1) اجازه دهید VC α را بسازیم. سپس KS پرتاب خورشید بر روی این صفحه است.

2) BC AC (با شرط) که به این معنی است که طبق قضیه سه عمود (TPP) KS AC. بنابراین، VSK زاویه خطی زاویه دو وجهی بین صفحه α و صفحه مثلث ABC است. یعنی VSK = 60 درجه.

3) از ΔBCA طبق قضیه فیثاغورث:

جواب VK برابر با 6 ریشه سه سانتی متری است

استفاده عملی (طبیعت کاربردی) از عمود بودن دو صفحه.

این درس به کسانی که مایل به درک موضوع "علامت عمود بر دو صفحه" هستند کمک می کند. در ابتدای آن تعریف زوایای دو وجهی و خطی را تکرار می کنیم. سپس در نظر خواهیم گرفت که چه صفحاتی عمود نامیده می شوند و علامت عمود بودن دو صفحه را ثابت می کنیم.

موضوع: عمود بودن خطوط و صفحات

درس: علامت عمود بودن دو صفحه

تعریف. زاویه دو وجهی شکلی است که از دو نیم صفحه تشکیل شده است که به یک صفحه تعلق ندارند و خط مستقیم مشترک آنها a (a یک لبه است).

برنج. 1

بیایید دو نیم صفحه α و β را در نظر بگیریم (شکل 1). مرز مشترک آنها l است. به این شکل زاویه دو وجهی می گویند. دو صفحه متقاطع چهار زاویه دو وجهی با یک لبه مشترک را تشکیل می دهند.

زاویه دو وجهی با زاویه خطی آن اندازه گیری می شود. یک نقطه دلخواه در لبه مشترک l زاویه دو وجهی انتخاب می کنیم. در نیم صفحه α و β از این نقطه عمودهای a و b را به خط مستقیم l رسم می کنیم و زاویه خطی زاویه دو وجهی را به دست می آوریم.

خطوط مستقیم a و b چهار زاویه برابر با φ، 180 درجه - φ، φ، 180 درجه - φ را تشکیل می دهند. به یاد بیاورید که زاویه بین خطوط مستقیم کوچکترین زاویه از این زاویه است.

تعریف. زاویه بین صفحات کوچکترین زاویه دو وجهی تشکیل شده توسط این صفحات است. φ زاویه بین صفحات α و β است، اگر

تعریف. دو صفحه متقاطع در صورتی که زاویه بین آنها 90 درجه باشد عمود بر یکدیگر (متقابل عمود بر هم) نامیده می شوند.

برنج. 2

یک نقطه دلخواه M در لبه l انتخاب شده است (شکل 2). اجازه دهید دو خط مستقیم عمود بر خط MA = a و MB = b به ترتیب به لبه l در صفحه α و در صفحه β رسم کنیم. ما زاویه AMB را دریافت کردیم. زاویه AMB زاویه خطی یک زاویه دو وجهی است. اگر زاویه AMB 90 درجه باشد، صفحات α و β را عمود بر هم می گویند.

خط b از نظر ساخت بر خط l عمود است. خط b عمود بر خط a است، زیرا زاویه بین صفحات α و β 90 درجه است. متوجه شدیم که خط b بر دو خط متقاطع a و l از صفحه α عمود است. این بدان معنی است که خط مستقیم b عمود بر صفحه α است.

به طور مشابه، می توانیم ثابت کنیم که خط مستقیم a بر صفحه β عمود است. خط a از نظر ساخت بر خط l عمود است. خط a بر خط b عمود است، زیرا زاویه بین صفحات α و β 90 درجه است. متوجه شدیم که خط a بر دو خط متقاطع b و l از صفحه β عمود است. این بدان معنی است که خط مستقیم a عمود بر صفحه β است.

اگر یکی از دو صفحه از خطی عمود بر صفحه دیگر عبور کند، چنین صفحاتی عمود هستند.

ثابت كردن:

برنج. 3

اثبات:

اجازه دهید صفحات α و β در امتداد خط مستقیم AC قطع شوند (شکل 3). برای اثبات عمود بودن صفحات باید یک زاویه خطی بین آنها ایجاد کنید و نشان دهید که این زاویه 90 درجه است.

خط مستقیم AB عمود بر صفحه β است و بنابراین بر خط مستقیم AC که در صفحه β قرار دارد.

اجازه دهید یک خط مستقیم AD عمود بر یک خط مستقیم AC در صفحه β رسم کنیم. سپس BAD زاویه خطی زاویه دو وجهی است.

خط مستقیم AB عمود بر صفحه β است و بنابراین بر خط مستقیم AD که در صفحه β قرار دارد. این به این معنی است که زاویه خطی BAD 90 درجه است. این بدان معنی است که صفحات α و β عمود هستند، که باید ثابت شود.

صفحه عمود بر خطی که دو صفحه داده شده در امتداد آن قطع می شوند، بر هر یک از این صفحات عمود است (شکل 4).

ثابت كردن:

برنج. 4

اثبات:

خط مستقیم l بر صفحه γ عمود است و صفحه α از خط مستقیم l می گذرد. این بدان معنی است که با توجه به عمود بودن صفحات، صفحات α و γ عمود هستند.

خط مستقیم l عمود بر صفحه γ است و صفحه β از خط مستقیم l می گذرد. این بدان معنی است که با توجه به عمود بودن صفحات، صفحات β و γ عمود هستند.

رابطه عمود بر صفحات در نظر گرفته می شود - یکی از مهم ترین و پرکاربردترین ها در هندسه فضا و کاربردهای آن.

از همه انواع ترتیبات متقابل

دو صفحه، صفحه ای که در آن صفحات عمود بر یکدیگر هستند، مستحق توجه و مطالعه ویژه هستند (مثلاً صفحات دیوارهای مجاور یک اتاق،

حصار و قطعه زمین، در و کف و غیره (شکل 417، a–c).

مثال‌های بالا به ما امکان می‌دهند یکی از ویژگی‌های اصلی رابطه را که مطالعه خواهیم کرد - تقارن مکان هر صفحه نسبت به دیگری را ببینیم. تقارن با این واقعیت تضمین می شود که به نظر می رسد صفحات از عمود بر هم بافته شده اند. بیایید سعی کنیم این مشاهدات را روشن کنیم.

اجازه دهید یک صفحه α و یک خط مستقیم c روی آن داشته باشیم (شکل 418، a). اجازه دهید از هر نقطه از خط c خطوط مستقیم عمود بر صفحه α رسم کنیم. همه این خطوط با یکدیگر موازی هستند (چرا؟) و بر اساس مسئله 1 § 8، صفحه خاصی β را تشکیل می دهند (شکل 418، b). طبیعی است که هواپیما را β بخوانیم عمود برهواپیما α.

به نوبه خود، تمام خطوطی که در صفحه α و عمود بر خطوط قرار دارند، صفحه α را تشکیل می دهند و بر صفحه β عمود هستند (شکل 418، ج). در واقع، اگر a یک خط دلخواه باشد، آنگاه خط c را در نقطه ای از M قطع می کند. یک خط مستقیم b عمود بر α از نقطه M در صفحه β می گذرد، بنابراین b a . بنابراین، a c، a b، بنابراین a β. بنابراین، صفحه α عمود بر صفحه β است، و خط مستقیم، خط تقاطع آنها است.

دو صفحه را عمود می گویند که هر یک از آنها با خطوط مستقیم عمود بر صفحه دوم و عبور از نقاط تلاقی این صفحات تشکیل شده باشد.

عمود بودن صفحات α و β با علامت آشنا نشان داده می شود: α β.

اگر قطعه ای از یک اتاق را در یک خانه روستایی در نظر بگیریم، می توان یک تصویر از این تعریف را تصور کرد (شکل 419). در آن کف و دیوار به ترتیب از تخته هایی عمود بر دیوار و کف ساخته شده است. بنابراین آنها عمود هستند. در تمرین

این بدان معنی است که کف افقی و دیوار عمودی است.

استفاده از تعریف فوق هنگام بررسی واقعی عمود بودن صفحات دشوار است. اما اگر استدلالی را که منجر به این تعریف شد به دقت تجزیه و تحلیل کنیم، می بینیم که عمود بودن صفحات α و β با وجود یک خط مستقیم b عمود بر صفحه α در صفحه β تضمین شده است (شکل 418، ج). . به معیار عمود بودن دو صفحه رسیدیم که بیشتر در عمل استفاده می شود.

406 عمود بر خطوط و صفحات

قضیه 1 (آزمون عمود بودن صفحات).

اگر یکی از دو صفحه از خطی عمود بر صفحه دوم عبور کند، این صفحات عمود هستند.

 اجازه دهید صفحه β از یک خط b عمود بر صفحه α عبور کند و خط تقاطع صفحات α و β است (شکل 420، a). تمام خطوط مستقیم صفحه β، موازی با خط b و قطع کننده خط c، همراه با خط مستقیم b صفحه β را تشکیل می دهند. با قضیه دو خط موازی که یکی از آنها عمود بر صفحه است (قضیه 1 § 19)، همه آنها همراه با خط b بر صفحه α عمود هستند. یعنی صفحه β شامل خطوط مستقیمی است که از خط تقاطع صفحات α و β و عمود بر صفحه α عبور می کنند (شکل 420، ب).

حال در صفحه α از نقطه A از محل تلاقی خطوط b و خطی عمود بر خط c رسم می کنیم (شکل 420، ج). خط مستقیم عمود بر صفحه β است، بر اساس عمود بودن خط مستقیم و صفحه (a c، بر اساس ساخت، و b، از b α). با تکرار استدلال های قبلی، متوجه می شویم که صفحه α شامل خطوط عمود بر صفحه β است که از خط تقاطع صفحات می گذرد. طبق تعریف، صفحات α و β عمود هستند.■

این ویژگی امکان برقراری عمود بودن هواپیماها یا اطمینان از آن را فراهم می کند.

مثال 1. سپر را طوری به پایه وصل کنید که به صورت عمودی قرار گیرد.

 اگر ستون به صورت عمودی بایستد، کافی است یک سپر به طور تصادفی به ستون وصل کنید و آن را محکم کنید (شکل 421، a). با توجه به ویژگی فوق، صفحه سپر عمود بر سطح زمین خواهد بود. در این صورت مسئله بی نهایت راه حل دارد.

عمود بودن صفحات

اگر ستون به صورت مایل به زمین می ایستد، کافی است یک ریل عمودی به ستون وصل کنید (شکل 421، ب) و سپس سپر را به ریل و ستون وصل کنید. در این حالت، موقعیت سپر کاملاً مشخص خواهد بود، زیرا پست و ریل یک صفحه را مشخص می کنند.■

در مثال قبلی، کار "فنی" به یک مسئله ریاضی در مورد رسم یک صفحه عمود بر صفحه دیگر از طریق یک خط مستقیم داده شده کاهش یافت.

مثال 2. از راس A مربع ABCD یک قطعه AK عمود بر صفحه آن رسم می شود، AB = AK = a.

1) موقعیت نسبی هواپیماهای AKC و ABD را تعیین کنید.

AKD و ABK.

2) صفحه ای بسازید که از خط BD عمود بر صفحه ABC می گذرد.

3) صفحه ای عمود بر صفحه KAC از وسط F قطعه KC رسم کنید.

4) مساحت مثلث BDF را پیدا کنید.

 بیایید نقشه ای بسازیم که مطابق با شرایط مثال باشد (شکل 422).

1) صفحات AKC و ABD با توجه به خاصیت عمود بودن صفحات عمود هستند (قضیه 1): AK ABD بر حسب شرط. صفحات AKD و ABK نیز عمود بر هم هستند

قطبی هستند، بر اساس عمود بودن صفحات (قضیه 1). در واقع، خط AB که صفحه ABK از آن عبور می کند، با توجه به علامت عمود بودن خط و صفحه، بر صفحه AKD عمود است (قضیه 1 § 18): AB AD به عنوان اضلاع مجاور یک مربع؛ AB AK از آنجا که

AK ABD.

2) بر اساس عمود بودن صفحات، برای ساخت مورد نظر کافی است یک خط مستقیم BD در برخی نقاط رسم کنید.

408 عمود بودن خطوط و صفحات

خط عمود بر صفحه ABC و برای این کار کافی است از این نقطه خطی به موازات خط AK رسم کنید.

در واقع، طبق شرط، خط مستقیم AK بر صفحه ABC عمود است و بنابراین، طبق قضیه در مورد دو خط مستقیم موازی،

ما، که یکی از آنها عمود بر صفحه است (قضیه 1§19)،

خط مستقیم ساخته شده عمود بر صفحه ABC خواهد بود.

ساخت و ساز.

از طریق نقطه

B ما انجام می دهیم

بودن،

موازی

(شکل 423). هواپیمای BDE مورد نظر است.

3) فرض کنید F نقطه وسط قطعه KC باشد. حرفه ای-

از نقطه عبور می کنیم

عمود بر

سطح

این خط مستقیم

بچه ها مستقیم

FO، کجا

O - مرکز میدان

ABCD (شکل 424). در واقع، FO ||AK،

مثل متوسط

خط مثلث

از آنجا که

عمود بر

روی سطح

مستقیم FO

بو-

با توجه به قضیه در مورد det بر آن عمود است

دو خط موازی که یکی از آنها

ry عمود بر صفحه (قضیه 1

§ 19). از همین رو

FO DB. و از آنجایی که AC DB، سپس DB AOF (یا

KAC). سطح

BDF از یک خط عمود بر

nal plane KAC، یعنی مورد نظر است.

4) در یک مثلث

BDF segmentFO

ارتفاع کشیده شده به

سمت BD (شکل 424 را ببینید). ما داریم:BD =

2 a به عنوان قطر چهارگانه

راتا FO = 1

AK =

1 a با خاصیت خط وسط مثلث.

بنابراین، S = 2 BD FO =

2 2 a

2 a =

. ■

پاسخ: 4)

یک 2.

بررسی خواص عمود بر

در مورد هواپیماها و کاربردهای آن، اجازه دهید با ساده ترین آنها شروع کنیم

که، اما قضیه بسیار مفید است.

قضیه 2 (در مورد عمود بر خط تقاطع صفحات عمود).

اگر دو صفحه عمود بر هم باشند، یک خط مستقیم متعلق به یک صفحه و عمود بر تقاطع این صفحات، عمود بر صفحه دوم است.

 صفحات عمود بر هم بگذارید

α و β در امتداد خط مستقیم c قطع می شوند و خط مستقیم b در صفحه β عمود بر خط مستقیم c است و آن را در نقطه B قطع می کند (شکل 425). طبق تعریف

با تقسیم عمود بر صفحات، در صفحه β یک خط مستقیم از نقطه B می گذرد

b 1، عمود بر صفحه α. واضح است که عمود بر خط مستقیم است. اما چی-

اگر نقطه ای را روی یک خط مستقیم در یک صفحه ببرید، می توانید فقط یک خط مستقیم عمود بر خط مستقیم داده شده بکشید. از همین رو

خطوط b و b 1 منطبق هستند. این بدان معنی است که یک خط مستقیم از یک صفحه، عمود بر خط تقاطع دو صفحه عمود بر صفحه دوم، عمود بر صفحه دوم است. ■

اجازه دهید قضیه در نظر گرفته شده را برای اثبات علامت دیگری از عمود بودن صفحات، که از نقطه نظر مطالعه بعدی موقعیت نسبی دو صفحه مهم است، اعمال کنیم.

اجازه دهید صفحات α و β عمود بر هم باشند، خط مستقیم c خط تقاطع آنها است. از طریق نقطه دلخواه A یک خط مستقیم c می کشیم

در صفحات α و β، خطوط مستقیم a و b، عمود بر خطوط مستقیم c (شکل 426). طبق نظریه

Me 2، خطوط مستقیم a و b به ترتیب عمود بر صفحات β و α هستند، بنابراین آنها بر یکدیگر عمود هستند: a b . سر راست

a و b تعریف شده سطح مشخص γ را تعریف می کنند. خط تقاطع با صفحات α و β

عمود بر صفحه γ، بر اساس عمود بودن خط و صفحه (قضیه 1 § 18): c a, c b, a γ, b γ. اگر خودسری انتخاب نقطه A روی خط مستقیم c و اینکه تنها صفحه عمود بر آن از نقطه A خط مستقیم می گذرد را در نظر بگیریم، می توانیم نتیجه زیر را بگیریم.

قضیه 3 (در مورد صفحه عمود بر خط تقاطع صفحات عمود بر هم).

صفحه ای عمود بر خط تقاطع دو صفحه عمود بر هم این صفحات را در امتداد خطوط مستقیم عمود بر هم قطع می کند.

بنابراین، یک ویژگی دیگر از صفحات عمود بر هم ایجاد شده است. این خاصیت مشخصه است، یعنی اگر برای چند صفحه صادق باشد، صفحات بر هم عمود هستند. ما یک علامت دیگر از عمود بودن صفحات داریم.

قضیه 4 (معیار دوم برای عمود بودن صفحات).

اگر تقاطع مستقیم دو صفحه با صفحه سوم عمود بر خط تقاطع آنها عمود باشد، این صفحات نیز عمود هستند.

اجازه دهید صفحات α و β در امتداد خط مستقیم س و صفحه γ، عمود بر خط مستقیم س، صفحات α و β را به ترتیب قطع کند.

به ترتیب در امتداد خطوط مستقیم a و b (شکل 427). با شرط، a b. از آنجایی که γc، سپس c. و بنابراین با توجه به علامت عمود بودن خط و صفحه، خط بر صفحه β عمود است (قضیه 1 § 18). خودشه-

بله، این نتیجه می شود که صفحات α و β بر اساس علامت عمود بودن صفحات، عمود هستند (قضیه 1).■

همچنین قضایایی در مورد اتصالات بین عمود بودن دو صفحه از صفحه سوم و موقعیت متقابل آنها قابل توجه است.

قضیه 5 (در مورد خط تقاطع دو صفحه عمود بر صفحه سوم).

اگر دو صفحه عمود بر صفحه سوم همدیگر را قطع کنند، خط تقاطع آنها بر این صفحه عمود است.

اجازه دهید صفحات α و β، عمود بر صفحه γ، در امتداد یک خط مستقیم قطع شوند (a || γ)، و A نقطه تلاقی خط مستقیم با

عمود بودن صفحات
صفحه γ (شکل 428). نقطه A متعلق است
در امتداد خطوط تقاطع صفحات γ و α، γ زندگی می کند
و β، و، طبق شرط، α γ و β γ. بنابراین، با توجه به
تعیین عمود بر صفحه
از طریق نقطه A می توانید خطوط مستقیم بکشید،
خوابیده در هواپیماهای α	و β و عمود بر
صفحات قطبی γ. زیرا از طریق نقطه
کشیدن فقط یک خط مستقیم امکان پذیر است، در هر
عمود بر صفحه، سپس ساخته شده است
خطوط مستقیم منطبق و منطبق با خط
تقاطع صفحات α و β. بنابراین، مستقیم a یک خط است
تقاطع صفحات α و β بر صفحه γ عمود است. ■

اجازه دهید یک قضیه را در نظر بگیریم که رابطه بین موازی بودن و عمود بودن صفحات را توصیف می کند. ما قبلاً نتیجه مربوطه را برای خطوط مستقیم و صفحات داشتیم.

قضیه 6 (در مورد صفحات موازی عمود بر صفحه سوم).

اگر یکی از دو صفحه موازی بر صفحه سوم عمود باشد، صفحه دوم بر آن عمود است.

فرض کنید صفحات α و β موازی باشند و صفحه γ عمود بر صفحه α باشند. از آنجایی که هواپیما γ

صفحه α را قطع می کند، سپس باید صفحه β را به موازات آن قطع کند. بیایید یک طرفدار بگیریم

یک خط مستقیم دلخواه m عمود بر صفحه γ و از طریق آن، و همچنین از طریق یک نقطه دلخواه از صفحه β، صفحه δ (شکل 429) را بکشید.

صفحات δ و β در امتداد یک خط مستقیم n قطع می شوند و از آنجایی که α║ β، سپس ║ n (قضیه 2 §18). از قضیه 1 نتیجه می گیرد که n γ و بنابراین صفحه β که از خط n می گذرد نیز بر صفحه γ عمود خواهد بود. ■

قضیه اثبات شده نشانه دیگری از عمود بودن صفحات می دهد.

می توانید با استفاده از علامت عمود بودن صفحات یک صفحه عمود بر نقطه داده شده را از طریق یک نقطه معین رسم کنید (قضیه 1). کافی است یک خط مستقیم از طریق این نقطه عمود بر صفحه داده شده رسم کنید (مسئله 1 § 19 را ببینید). و سپس از طریق خط مستقیم ساخته شده یک صفحه بکشید که با توجه به معیار مشخص شده بر صفحه داده شده عمود خواهد بود. واضح است که بی نهایت از این هواپیماها را می توان ترسیم کرد.

معنی دارتر مسئله ساختن صفحه ای عمود بر یک صفحه معین است، مشروط بر اینکه از یک خط معین عبور کند. واضح است که اگر یک خط معین بر یک صفحه معین عمود باشد، می توان تعداد نامحدودی از این صفحات را ساخت. در نظر گرفتن این مورد باقی می ماند که خط داده شده عمود بر صفحه داده شده نباشد. امکان چنین ساخت و ساز در سطح مدل های فیزیکی خطوط مستقیم و سطوح در مثال 1 توجیه شده است.

وظیفه 1. ثابت کنید که از طریق یک خط دلخواه غیر عمود بر یک صفحه، می توان صفحه ای عمود بر صفحه داده شده رسم کرد.

 یک صفحه α و یک خط l، l B\ a داده شود. بیایید یک نقطه دلخواه M را روی یک خط مستقیم بگیریم و یک خط مستقیم از آن، عمود بر صفحه α بکشیم (شکل 430، a). از آنجایی که طبق شرط، l عمود بر α نیست، پس خطوط l آن را قطع می کنند. از طریق این خطوط مستقیم می توان یک صفحه β رسم کرد (شکل 430، b) که با توجه به آزمایش عمود بودن صفحات (قضیه 1)، بر صفحه α عمود خواهد بود. ■

مثال 3. از طریق رأس A هرم منظم SABC با پایه ABC، یک خط مستقیم عمود بر صفحه وجه جانبی SBC بکشید.

 برای حل این مشکل از قضیه عمود بر خط تقاطع صفحات عمود استفاده می کنیم.

(قضیه 2). بگذارید K نقطه وسط لبه BC باشد (شکل 431). صفحات AKS و BCS با توجه به علامت عمود بودن صفحات (قضیه 1) عمود هستند. در واقع، BC SK و BC AK مانند میانه هایی هستند که به سمت قاعده های مثلث متساوی الساقین کشیده شده اند. بنابراین، با توجه به معیار عمود بودن یک خط و یک صفحه (قضیه 1 §18)، خط BC بر صفحه AKS عمود است. صفحه BCS از خطی عمود بر صفحه AKS می گذرد.

ساخت و ساز. اجازه دهید یک خط AL در صفحه AKS از نقطه A، عمود بر خط KS بکشیم - خط تقاطع هواپیماهای AKS و BCS (شکل 432). با قضیه روی عمود بر خط تقاطع صفحات عمود بر هم (قضیه 2)، خط مستقیم AL بر صفحه BCS عمود است. ■

	کنترل سوالات
	در شکل 433 مربع ABCD را نشان می دهد،
	خط MD عمود بر صفحه است
	آ ب پ ت. کدام یک از جفت هواپیماها نیستند
	عمود هستند:
		MAD و MDC؛		MBC و MAV؛
		ABC و MDC؛		MAD و MAV؟

2. در شکل 434 به درستی نشان داده شده است- هرم چهار گوش جدید

SABCD، نقاط P، M، N - وسط -

ما لبه های AB، BC، BS، O داریم - مرکز پایه ABCD. کدام یک از جفت ها صاف هستند- استخوان ها عمود هستند:

1) ACS و BDS؛ 2) MOS و POS.

3) COS و MNP؛ 4) MNP و SOB.

5) CND و ABS؟

		عمود بودن خطوط و صفحات
3. در شکل. 435	مستطیل به تصویر کشیده شده است
مثلث		با زاویه راست C و
خط مستقیم BP، عمود بر صفحه
ty ABC . کدام یک از جفت های زیر صاف هستند؟
استخوان ها عمود هستند:
1) CBP و ABC؛		2) ABP و ABC;

3) PAC و PBC. 4) PAC و PAB؟

4. این دو صفحه عمود بر هم هستند. آیا ممکن است از طریق یک نقطه دلخواه یکی ازآیا باید یک خط مستقیم در این صفحه، صفحه دوم بکشند؟

5. کشیدن خط مستقیم در صفحه α غیرممکن است، اما در صفحه β نه. آیا این هواپیماها ممکن است مای باشند؟

6. آیا از نقطه معینی از صفحه α خطی در این صفحه می گذرد و عمود بر صفحه است، به طوری که صفحات α و β عمود بر هم باشند؟

قسمتی از نرده به یک تیر عمودی متصل است، آیا می توان ادعا کرد که صفحه نرده عمودی است؟

چگونه یک سپر را به صورت عمودی به یک ریل موازی با سطح زمین وصل کنیم؟

چرا سطح درها صرف نظر از بسته یا باز بودن آنها به سمت زمین عمودی است؟

چرا یک شاقول محکم روی یک دیوار عمودی قرار می گیرد، اما نه لزوماً روی دیوار شیبدار؟

آیا می توان سپر را به یک ستون شیبدار به گونه ای متصل کرد که بر سطح زمین عمود باشد؟

چگونه عملاً عمود بودن یک صفحه را تعیین کنیم

دیوارها کف هواپیما؟ عمود برپندیکول عمود بر- مستقیم، دراز کشیده - β. درست 7. . ممکن است 8.9.10.11.12.

تمرین های گرافیکی

1. در شکل 436 یک مکعب را نشان می دهد ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .

1) صفحات عمود بر صفحه را مشخص کنید BDD 1.

2) هواپیماها چطوره و

A1 B1 CAB 1 C 1

عمود بودن صفحات
			437 مربع صفحه ABCD و
	ABC1 D1		عمود بر. فاصله		CC1
	برابر با ب. طول بخش را پیدا کنید:
		AB;		D1 C;
		D1 D;		C1 D.	دان-
	با توجه به داده شده یک نقاشی بسازید
	1) صفحات مثلث متساوی الاضلاع
	ABC و ABC عمود بر هم هستند.
		صفحه ABC بر صفحات BDC و BEA عمود است.
		صفحات α و β بر صفحه γ عمود هستند و همدیگر را قطع می کنند
	در امتداد خط مستقیم a، خطوط تقاطع آنها با صفحه γ
	خطوط مستقیم هستند b است.
		در یک صفحه متوازی الاضلاع مستطیلی ABCDA 1 B 1 C 1 D 1
	استخوان های AB 1 C 1 و BCA 1 عمود هستند.

421. پاره OS از مرکز O مربع ABCD عمود بر صفحه آن رسم می شود.

1°) موقعیت نسبی صفحات ACS را تعیین کنید

و ABC.

2°) موقعیت نسبی صفحات ACS را تعیین کنید

و BDS.

3) صفحه ای بسازید که از خط OS عمود بر صفحه ABS عبور می کند.

4) صفحه ای عمود بر صفحه ABC بسازید که از وسط اضلاع AD و CD می گذرد.

422. از نقطه تقاطع O مورب های لوزی ABCD، یک قطعه OS عمود بر صفحه لوزی رسم می شود؛ AB = DB =

1°) موقعیت نسبی SDB را تعیین کنید و

ABC، SDB و ACS.

2°) صفحه ای بسازید که از خط BC عمود بر صفحه ABD می گذرد.

3) صفحه ای عمود بر صفحه ABC از وسط F پاره CS رسم کنید.

4) مساحت مثلث BDF را پیدا کنید.

423. یک مکعب ABCDA1 B1 C1 D1 داده می شود.

1°) موقعیت نسبی صفحات AB 1 C 1 را تعیین کنید

و CDD1.

2°) موقعیت نسبی صفحات AB 1 C 1 را تعیین کنید

و CD1 A1.

3 درجه) صفحه ای بسازید که از نقطه A عمود بر صفحه BB 1 D 1 می گذرد.

4) قسمتی از مکعب را با صفحه ای بسازید که از وسط یال های A 1 D 1 و B 1 C 1 عمود بر صفحه ABC می گذرد. 5) موقعیت نسبی صفحه AA 1 B و صفحه ای که از وسط دنده های A 1 B 1 , C 1 D 1 , CD می گذرد را تعیین کنید.

6) سطح مقطع مکعب را با صفحه ای که از لبه BB 1 و وسط لبه A 1 D 1 می گذرد (BB 1 = a) پیدا کنید.

7) یک نقطه متقارن به نقطه A نسبت به صفحه A 1 B 1 C بسازید.

424. در چهاروجهی منظم ABCD با لبه 2 سانتی متر نقطه M وسط DB و نقطه N وسط AC است.

1 درجه) ثابت کنید که خط مستقیم DB بر صفحه عمود است

2°) ثابت کنید که صفحه BDM عمود بر صفحه AMC است.

3) از طریق نقطه O از تقاطع وسط مثلث ADC، یک خط مستقیم عمود بر صفحه AMC رسم کنید.

4) طول این پاره خط را در داخل چهار وجهی بیابید. 5) صفحه AMC این بخش را به چه نسبتی تقسیم می کند؟

425. دو مثلث متساوی الاضلاع ABC و ADC در صفحات عمود بر هم قرار دارند.

1°) طول قطعه BD را در صورتی که AC = 1 سانتی متر باشد، بیابید.

2) ثابت کنید که صفحه BKD (K روی خط AC قرار دارد) بر صفحه هر یک از مثلث ها عمود است اگر و فقط اگر K نقطه وسط ضلع AC باشد.

426. مستطیل ABCD که اضلاع آن 3 سانتی متر و 4 سانتی متر است در امتداد AC مورب خم شد به طوری که مثلث های ABC و ADC در صفحات عمود بر هم قرار گرفتند. فاصله بین نقاط B و D را پس از خم کردن مستطیل ABCD تعیین کنید.

427. از این نقطه یک صفحه عمود بر هر یک از دو صفحه داده شده بکشید.

428 درجه. ثابت کنید که صفحات مجاور یک مکعب عمود هستند.

429. صفحات α و β بر هم عمود هستند. از نقطه A صفحه α، یک خط مستقیم AB عمود بر صفحه β رسم می شود. ثابت کنید که خط AB در صفحه α قرار دارد.

430- ثابت كنيد كه اگر صفحه و خطي كه در اين صفحه قرار ندارند بر يك صفحه عمود باشند پس با هم موازي هستند.

431. از طریق نقاط A و B که روی خط تقاطع صفحات α و β عمود بر یکدیگر قرار دارند، خطوط مستقیم عمود بر هم کشیده می شوند: AA 1 در α، BB 1 در β. نقطه X روی خط AA 1 و نقطه Y روی BB 1 قرار دارد. ثابت کنید که خط مستقیم ВB 1 بر خط مستقیم ВХ عمود است و خط مستقیم АА 1 بر خط مستقیم АY عمود است.

432*. از وسط هر ضلع مثلث، صفحه ای عمود بر این ضلع کشیده شده است. ثابت کنید که هر سه صفحه ترسیم شده در امتداد یک خط مستقیم عمود بر صفحه مثلث همدیگر را قطع می کنند.

تمرین هایی برای تکرار

433. در مثلث متساوی الاضلاع با ضلعب تعیین: 1) ارتفاع. 2) شعاع دایره های محاطی و محاطی.

434. از یک نقطه یک خط عمود بر یک خط معین و دو خط مورب رسم می شود. اگر عمودهای مایل 41 سانتی متر و 50 سانتی متر باشند و برآمدگی آنها روی این خط به نسبت 3:10 باشد، طول عمود را تعیین کنید.

435. ساق های مثلث قائم الزاویه اگر bis را تعیین کنید- مقاطع یک زاویه قائمه، هیپوتنوس را به قطعات 15 سانتی متری تقسیم می کند و

تعریف پایه

دو هواپیما نامیده می شوند

عمود هستند ، اگر هر یک از آنها توسط خطوط مستقیم تشکیل شده باشد- مایل، عمود بر- مایل از صفحه دوم و عبور از نقاط تقاطع این صفحات.

	اظهارات اصلی
علامت عمود		اگر تنها باشد
زیبایی		هواپیماها	عبور-
هواپیماها		از طریق
		عمود بر
		پس هواپیمای دوم		b α، b β α β
		این هواپیماها برای
		عمودی

		ثابت		دو هواپیما
روزنه			پس عمود هستند
تقاطعsperpen			مستقیم، متعلق به
دیکولار		تخت	به اشتراک گذاشتن یک هواپیما
			و عمود بر
				تقاطع ها
			این هواپیماها، در		αβ، b β، c = α∩β،
			عمود بر دوم		b c b α
			سطح.

تعریف.دو صفحه اگر زاویه بین آنها 90 درجه باشد عمود نامیده می شوند. ما قضایای استریومتری را بدون اثبات ارائه می کنیم که برای حل مسائل متریک بعدی مفید است.

1. علامت عمود بودن دو صفحه: اگر صفحه ای از عمود بر صفحه دیگر عبور کند، بر این صفحه عمود است.

2. اگر دو صفحه عمود بر صفحه سوم همدیگر را قطع کنند، آنگاه

خط مستقیم تقاطع آنها عمود بر صفحه سوم است.

3. برای یک خط مایل که عمود بر صفحه نیست، عبارت زیر صادق است: تنها صفحه ای که از خط مایل می گذرد بر صفحه داده شده عمود است.

آخرین عبارت به ما اجازه می دهد تا الگوریتم زیر را برای ساختن صفحه ای که از AB شیب دار و عمود بر صفحه معین Σ عبور می کند پیشنهاد کنیم:

1) یک نقطه دلخواه E در AB انتخاب شده است.

2) یک خط مستقیم t به گونه ای ساخته شده است که t "E, t ^ h, t ^ f, جایی که h Ì Σ, f Ì Σ

(شکل 7.10)، یعنی. t^Σ.

صفحه (AB,t) تنها صفحه عمود بر صفحه Σ خواهد بود. توجه داشته باشید که بیش از یک صفحه عمود بر Σ از خط t ^ Σ عبور می کند.

وظیفه.با توجه به صفحه Σ(CD، MN)، که در آن CD // MN و خط مستقیم AB (شکل 7.11).

صفحه ای بر روی CN بسازید که از AB و عمود بر صفحه Σ عبور می کند.

الگوریتم حل طرح مسئله:

1) خطوط سطح h(h 1 , h 2 ) و f (f 1 , f 2 ) در صفحه Σ ساخته شده اند ، با h 2 // x, f 1 // x .

2) پیش بینی های t 1 و t 2 خط t به گونه ای ساخته شده اند که t 2 " E 2, t 2 ^ f 2 ؛ t 1 " E 1 ، t 1 ^ h 1 ، جایی که E О AB یک نقطه دلخواه است . هواپیما (AB, t) راه حل مسئله است.

وظیفه.با توجه به صفحات Σ(AB، DC) و Δ(KL، PT)، که در آن

AB Ç DC، KL // PT، و همچنین نقطه E. صفحه ای بسازید که از نقطه E می گذرد و بر هر دو صفحه Σ و Δ عمود است (شکل 9.9).

یکی از راه حل های ممکن برای این مشکل به شرح زیر است. ابتدا خط تقاطع صفحات داده شده t = Σ Ç Δ ساخته می شود. سپس بر اساس قضایای استریومتری فوق، صفحه ای ساخته می شود که از نقطه E و عمود بر خط t می گذرد. این هواپیما از آنجایی که منحصر به فرد است، راه حل مشکل را نشان می دهد.

الگوریتم دیگری برای حل این مشکل ممکن است (شکل 9.8 را ببینید):

1) از یک نقطه E یک عمود بر صفحه Σ پایین می آید.

2) از نقطه E یک b عمود بر صفحه Δ را پایین می آورد.

صفحه (a, b)، که در آن Ç b = E، راه حل مسئله است. بیایید اجرای این الگوریتم را در CN در نظر بگیریم (شکل 9.9 را ببینید).

1. در صفحه Σ، خطوط تراز h 1 (h 1 1، h 1 2) و f 1 (f 1 1، f 1 2) را می سازیم. که در آن

h 1 2 // x; f 1 1 // x.

2. در صفحه Δ، خطوط تراز h 2 (h 2 1، h 2 2) و f 2 (f 2 1، f 2 2) را می سازیم. که در آن

h 2 2 // x; f 2 1 //x.

3. دو عمود از نقطه E پایین می آیند: a ^ Σ, b ^ Δ. که در آن

a 2 ^ f 1 2, a 1 ^h 1 1; b 2 ^ f 2 2 , b 1 ^ h 2 1 .

دو خط مستقیم a و b که در نقطه E قطع می شوند صفحه مورد نظر را مشخص می کنند، یعنی. صفحه ای عمود بر صفحات داده شده Σ و Δ.