Vilka två plan kallas vinkelräta? Vinkelräta plan, villkoret för vinkelräta plan. Vinkelrätt i rymden kan ha
Om ett av två plan passerar genom en linje vinkelrät mot det andra planet, så är de givna planen vinkelräta () (Fig. 28)
α – plan, V– en rät linje vinkelrät mot den, β – ett plan som går genom den räta linjen V, Och Med– den räta linjen längs vilken planen α och β skär varandra.
Följd. Om ett plan är vinkelrätt mot skärningslinjen för två givna plan, så är det vinkelrät mot vart och ett av dessa plan
Problem 1. Bevisa att genom vilken punkt som helst på en linje i rymden kan två olika linjer dras vinkelräta mot den.
Bevis:
Enligt axiomet jag det finns en punkt som inte ligger på linjen A. Genom sats 2.1, genom punkten I och direkt A vi kan rita planet α. (Fig. 29) Genom sats 2.3 genom punkten A i α-planet kan vi dra en rät linje A. Enligt axiom C 1 finns det en punkt MED, som inte tillhör α. Genom sats 15.1 genom punkten MED och direkt A vi kan rita planet β. I β-planet, enligt sats 2.3, genom punkt a kan vi dra en rät linje med A. Genom konstruktion har linjerna b och c endast en gemensam punkt A och båda är vinkelräta
Uppgift 2. De övre ändarna av två vertikalt stående pelare, åtskilda med ett avstånd på 3,4 m, är förbundna med en tvärstång. Höjden på en stolpe är 5,8 m, och den andra är 3,9 m. Hitta längden på tvärstången.
AC= 5,8 m, ВD= 3,9 m, AB- ? (Fig. 30)
AE = AC – CE = AC – BD= 5,8 – 3,9 = 1,9 (m)
Enligt Pythagoras sats från ∆ AEV vi får:
AB 2 = AE 2 + EB 2 = AE 2 + CD 2 = ( 1,9) 2 + (3,4) 2 = 15,17 (m2)
AB= = 3,9 (m)
Uppgifter
Mål. Lär dig analysera objekts relativa position i rymden i de enklaste fallen, använd planimetriska fakta och metoder när du löser stereometriska problem.
1. Bevisa att du genom vilken punkt som helst på en linje i rymden kan dra en linje vinkelrätt mot den.
2. Linjerna AB, AC och AD är parvis vinkelräta. Hitta segment-CD om:
1) AB = 3 cm , Sol= 7 cm, AD= 1,5 cm;
2) VD= 9 cm, AD= 5 cm, Sol= 16 cm;
3) AB = b, BC = a, AD = d;
4) ВD = с, ВС = а, АD = d
3. Punkt A är på avstånd a från hörnen av en liksidig triangel med sida A. Ta reda på avståndet från punkt A till triangelns plan.
4. Bevisa att om en linje är parallell med ett plan, så är alla dess punkter på samma avstånd från planet.
5. En telefontråd 15 m lång sträcks från en telefonstolpe, där den är fäst på en höjd av 8 m från markytan, till ett hus, där den är fäst på en höjd av 20 m. Hitta avståndet mellan huset och stolpen, förutsatt att tråden inte hänger.
6. Två lutande sluttningar ritas från en punkt till ett plan, lika med 10 cm och 17 cm. Skillnaden i projektionerna för dessa lutande är 9 cm. Hitta projektionerna för de lutande.
7. Två lutande rits från en punkt till ett plan, varav den ena är 26 cm större än den andra. De lutande utsprången är 12 cm och 40 cm Hitta de lutande.
8. Två lutande linjer ritas från en punkt till ett plan. Ta reda på längderna på de sneda om de har ett förhållande på 1:2 och utsprången på de sneda är 1 cm och 7 cm.
9. Två lutande sluttningar lika med 23 cm och 33 cm ritas från en punkt till ett plan.
avståndet från denna punkt till planet om de lutande projektionerna är i förhållandet 2:3.
10. Hitta avståndet från mitten av segment AB till ett plan som inte skär detta segment om avstånden från punkterna a och B till planet är: 1) 3,2 cm och 5,3 cm, 7,4 cm och 6,1 cm; 3) a och c.
11. Lös föregående problem förutsatt att segment AB skär planet.
12. Ett segment som är 1 m långt skär ett plan, dess ändar är på avstånd från planet på ett avstånd av 0,5 m och 0,3 m. Hitta längden på projektionen av segmentet på planet..
13. Från punkterna A och B släpps vinkelräta på planet. Hitta avståndet mellan punkterna A och B om perpendikulerna är 3 m och 2 m, avståndet mellan deras baser är 2,4 m och segmentet AB inte skär planet.
14. Från punkterna A och B, som ligger i två vinkelräta plan, släpps vinkelräta AC och BD på skärningslinjen mellan planen. Hitta längden på segment AB om: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, ВD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.
15. Från hörnen A och B i den liksidiga triangeln ABC återställs vinkelräta AA 1 och BB 1 till triangelns plan. Ta reda på avståndet från vertex C till mitten av segmentet A 1 B 1 om AB = 2 m, CA 1 = 3 m, CB 1 = 7 m och segmentet A 1 B 1 inte skär triangelns plan
16. Från hörnen A och B för de spetsiga vinklarna i den räta triangeln ABC reses vinkelräta AA 1 och BB 1 till triangelns plan. Ta reda på avståndet från vertex C till mitten av segment A 1 B 1, om A 1 C = 4 m, AA 1 = 3 m, CB 1 = 6 m, BB 1 = 2 m och segment A 1 B 1 inte skär varandra triangelns plan.
TEXTTRANSKRIPT AV LEKTIONEN:
Idén om ett plan i rymden gör att vi kan få till exempel ytan på ett bord eller en vägg. Men ett bord eller en vägg har ändliga dimensioner, och planet sträcker sig bortom dess gränser till oändlighet.
Betrakta två korsande plan. När de skär varandra bildar de fyra dihedriska vinklar med en gemensam kant.
Låt oss komma ihåg vad en dihedral vinkel är.
I verkligheten möter vi föremål som har formen av en dihedral vinkel: till exempel en lätt öppen dörr eller en halvöppen mapp.
När två plan alfa och beta skär varandra får vi fyra dihedriska vinklar. Låt en av de dihedriska vinklarna vara lika med (phi), då är den andra lika med (1800 -), den tredje, fjärde (1800 -).
Tänk på fallet när en av de dihedrala vinklarna är 900.
Då är alla dihedriska vinklar i detta fall lika med 900.
Låt oss introducera definitionen av vinkelräta plan:
Två plan kallas vinkelräta om den dihedrala vinkeln mellan dem är 90°.
Vinkeln mellan sigma- och epsilon-planen är 90 grader, vilket betyder att planen är vinkelräta
Låt oss ge exempel på vinkelräta plan.
Vägg och tak.
Sidovägg och bordsskiva.
Låt oss formulera ett tecken på vinkelräthet för två plan:
SAT: Om ett av två plan passerar genom en linje vinkelrät mot det andra planet, så är dessa plan vinkelräta.
Låt oss bevisa detta tecken.
Genom villkor är det känt att den räta linjen AM ligger i planet α, den räta linjen AM är vinkelrät mot planet β,
Bevisa: planen α och β är vinkelräta.
Bevis:
1) Planen α och β skär varandra längs den räta linjen AR, medan AM är AR, eftersom AM är β av villkoret, det vill säga AM är vinkelrät mot varje rät linje som ligger i β-planet.
2) Låt oss rita en rät linje AT vinkelrät mot AP i β-planet.
Vi får vinkeln TAM - den linjära vinkeln för den dihedriska vinkeln. Men vinkeln TAM = 90°, eftersom MA är β. Alltså α β.
Q.E.D.
Från tecknet på vinkelräthet för två plan har vi en viktig följd:
FÖLJANDE: Ett plan vinkelrätt mot en linje längs vilken två plan skär är vinkelrät mot vart och ett av dessa plan.
Det vill säga: om α∩β=с och γ с, då γ α och γ β.
Låt oss bevisa detta: om gammaplanet är vinkelrätt mot linjen c, så är gamma, baserat på parallelliteten mellan de två planen, vinkelrät mot alfa. Likaså är gamma vinkelrät mot beta
Låt oss omformulera denna följd för en dihedrisk vinkel:
Planet som passerar genom den linjära vinkeln för en dihedrisk vinkel är vinkelrät mot kanten och ytorna på denna dihedriska vinkel. Med andra ord, om vi har konstruerat en linjär vinkel med en dihedrisk vinkel, så är planet som passerar genom den vinkelrät mot kanten och ytorna på denna dihedriska vinkel.
Givet: ΔABC, C = 90°, AC ligger i α-planet, vinkeln mellan α- och ABC-planen = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Hitta: avståndet från punkt B till plan α.
1) Låt oss konstruera VC α. Sedan är KS projektionen av solen på detta plan.
2) BC AC (efter villkor), vilket betyder, enligt satsen om tre perpendikulära (TPP), KS AC. Därför är VSK den linjära vinkeln för den dihedriska vinkeln mellan planet α och planet för triangeln ABC. Det vill säga VSK = 60°.
3) Från ΔBCA enligt Pythagoras sats:
Svaret VK är lika med 6 rötter på tre cm
Praktisk användning (tillämpad karaktär) av två plans vinkelräthet.
Den här lektionen kommer att hjälpa dem som vill få en förståelse för ämnet "Tecknet på vinkelräthet mellan två plan." I början av det kommer vi att upprepa definitionen av dihedriska och linjära vinklar. Sedan kommer vi att överväga vilka plan som kallas vinkelräta, och bevisa tecknet på vinkelräthet för två plan.
Ämne: Linjers och plans vinkelräthet
Lektion: Tecken på vinkelräthet för två plan
Definition. En dihedrisk vinkel är en figur som bildas av två halvplan som inte hör till samma plan och deras gemensamma räta linje a (a är en kant).
Ris. 1
Låt oss betrakta två halvplan α och β (Fig. 1). Deras gemensamma gräns är l. Denna figur kallas en dihedral vinkel. Två skärande plan bildar fyra dihedriska vinklar med en gemensam kant.
En dihedrisk vinkel mäts av dess linjära vinkel. Vi väljer en godtycklig punkt på den gemensamma kanten l av den dihedriska vinkeln. I halvplanen α och β, från denna punkt ritar vi vinkelräta a och b till den räta linjen l och erhåller den linjära vinkeln för den dihedriska vinkeln.
Raka linjer a och b bildar fyra vinklar lika med φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Kom ihåg att vinkeln mellan räta linjer är den minsta av dessa vinklar.
Definition. Vinkeln mellan plan är den minsta av de dihedriska vinklarna som bildas av dessa plan. φ är vinkeln mellan planen α och β, if
Definition. Två plan som skär varandra kallas vinkelräta (inbördes vinkelräta) om vinkeln mellan dem är 90°.
Ris. 2
En godtycklig punkt M väljs på kanten l (fig. 2). Låt oss rita två vinkelräta räta linjer MA = a och MB = b till kanten l i α-planet respektive i β-planet. Vi fick vinkeln AMB. Vinkel AMB är den linjära vinkeln för en dihedrisk vinkel. Om vinkeln AMB är 90° så kallas planen α och β vinkelräta.
Linje b är vinkelrät mot linje l genom konstruktion. Linje b är vinkelrät mot linje a, eftersom vinkeln mellan planen α och β är 90°. Vi finner att linjen b är vinkelrät mot två skärande linjer a och l från planet α. Detta betyder att rät linje b är vinkelrät mot plan α.
På samma sätt kan vi bevisa att den räta linjen a är vinkelrät mot planet β. Linje a är vinkelrät mot linje l genom konstruktion. Linje a är vinkelrät mot linje b, eftersom vinkeln mellan planen α och β är 90°. Vi finner att linjen a är vinkelrät mot två skärande linjer b och l från planet β. Detta betyder att den räta linjen a är vinkelrät mot planet β.
Om ett av två plan passerar genom en linje vinkelrät mot det andra planet, så är sådana plan vinkelräta.
Bevisa:
Ris. 3
Bevis:
Låt planen α och β skära längs den räta linjen AC (Fig. 3). För att bevisa att planen är vinkelräta mot varandra måste du konstruera en linjär vinkel mellan dem och visa att denna vinkel är 90°.
Den räta linjen AB är vinkelrät mot planet β, och därför mot den räta linjen AC som ligger i planet β.
Låt oss rita en rät linje AD vinkelrät mot en rät linje AC i β-planet. Då är BAD den linjära vinkeln för den dihedriska vinkeln.
Den räta linjen AB är vinkelrät mot planet β, och därför mot den räta linjen AD som ligger i planet β. Det betyder att den linjära vinkeln BAD är 90°. Det betyder att planen α och β är vinkelräta, vilket är vad som behövde bevisas.
Planet vinkelrätt mot linjen längs vilken två givna plan skär är vinkelrät mot vart och ett av dessa plan (fig. 4).
Bevisa:
Ris. 4
Bevis:
Den räta linjen l är vinkelrät mot planet γ, och planet α passerar genom den räta linjen l. Detta betyder att planen α och γ är vinkelräta enligt planens vinkelräta.
Den räta linjen l är vinkelrät mot planet γ, och planet β passerar genom den räta linjen l. Detta betyder att planen β och γ är vinkelräta enligt planens vinkelräthet.
Förhållandet mellan planens vinkelräthet anses vara en av de viktigaste och mest använda i rymdens geometri och dess tillämpningar.
Från alla olika ömsesidiga arrangemang
två plan, det där planen är vinkelräta mot varandra förtjänar särskild uppmärksamhet och studier (till exempel planen på intilliggande väggar i ett rum,
staket och tomtmark, dörr och golv etc. (bild 417, a–c).
Ovanstående exempel tillåter oss att se en av huvudegenskaperna hos förhållandet som vi kommer att studera - symmetrin för platsen för varje plan i förhållande till det andra. Symmetri säkerställs av det faktum att planen verkar vara "vävda" från vinkelräta. Låt oss försöka klargöra dessa observationer.
Låt oss ha ett plan α och en rät linje c på det (fig. 418, a). Låt oss rita genom varje punkt på linjen c räta linjer vinkelräta mot planet α. Alla dessa linjer är parallella med varandra (varför?) och bildar utifrån uppgift 1 § 8 ett visst plan β (bild 418, b). Det är naturligt att kalla planet β vinkelrät plan α.
I sin tur bildar alla linjer som ligger i planet α och vinkelräta mot linjerna planet α och är vinkelräta mot planet β (Fig. 418, c). Faktum är att om a är en godtycklig linje, så skär den linjen c vid någon punkt M. En rät linje b vinkelrät mot α går genom punkten M i planet β, därför b a . Därför a c, a b, därför a β. Sålunda är planet α vinkelrät mot planet β, och den räta linjen är linjen för deras skärningspunkt.
Två plan kallas vinkelräta om vart och ett av dem är bildat av räta linjer vinkelräta mot det andra planet och som går genom skärningspunkterna för dessa plan.
Vinkelrätheten för planen α och β indikeras av det välbekanta tecknet: α β.
En illustration av denna definition kan föreställas om vi betraktar ett fragment av ett rum i ett hus på landet (fig. 419). I den är golvet och väggen gjorda av brädor vinkelrätt mot väggen respektive golvet. Därför är de vinkelräta. På praktik
det betyder att golvet är horisontellt och väggen är vertikal.
Ovanstående definition är svår att använda när man faktiskt kontrollerar planens vinkelräthet. Men om vi noggrant analyserar resonemanget som ledde till denna definition, ser vi att vinkelrätheten för planen α och β säkerställdes genom närvaron i β-planet av en rät linje b vinkelrät mot α-planet (Fig. 418, c). . Vi kom till kriteriet om vinkelräthet för två plan, som oftast används i praktiken.
406 Linjers och plans vinkelräthet
Sats 1 (test för vinkelräta plan).
Om ett av två plan passerar genom en linje vinkelrät mot det andra planet, så är dessa plan vinkelräta.
Låt planet β passera genom en linje b vinkelrät mot planet α och är skärningslinjen för planen α och β (Fig. 420, a). Alla räta linjer i planet β, parallella med linjen b och skärande linjen c, bildar tillsammans med den räta linjen b planet β. Genom satsen om två parallella linjer, varav den ena är vinkelrät mot planet (sats 1 § 19), är alla, tillsammans med linjen b, vinkelräta mot planet α. Det vill säga, planet β består av räta linjer som går genom skärningslinjen mellan planen α och β och vinkelräta mot planet α (fig. 420, b).
Nu i planet α genom punkten A för skärningspunkten mellan linjer b och vi ritar en linje vinkelrät mot linje c (Fig. 420, c). Den räta linjen är vinkelrät mot planet β, baserat på den räta linjens och planets vinkelräthet (a c, genom konstruktion, och b, eftersom b α). Genom att upprepa de föregående argumenten finner vi att planet α består av linjer vinkelräta mot planet β, som går genom planens skärningslinje. Enligt definitionen är planen α och β vinkelräta.■
Denna funktion gör det möjligt att fastställa eller säkerställa planens vinkelräthet.
Exempel 1. Fäst skölden på stolpen så att den placeras vertikalt.
Om pelaren står vertikalt, räcker det att slumpmässigt fästa en sköld på pelaren och säkra den (bild 421, a). Enligt särdraget som diskuterats ovan kommer sköldens plan att vara vinkelrätt mot jordens yta. I det här fallet har problemet ett oändligt antal lösningar.
Planens vinkelräthet | ||
Om pelaren står snett mot marken, så räcker det med att fästa en vertikal skena på pelaren (bild 421, b), och sedan fästa skölden på både skenan och pelaren. I det här fallet kommer sköldens position att vara ganska bestämd, eftersom stolpen och skenan definierar ett enda plan.■
I det föregående exemplet reducerades den "tekniska" uppgiften till ett matematiskt problem om att rita ett plan vinkelrätt mot ett annat plan genom en given rät linje.
Exempel 2. Från vertex A på kvadraten ABCD ritas ett segment AK vinkelrätt mot dess plan, AB = AK = a.
1) Bestäm den relativa positionen för planen AKC och ABD,
AKD och ABK.
2) Konstruera ett plan som går genom linjen BD vinkelrätt mot plan ABC.
3) Rita ett plan vinkelrätt mot planet KAC genom mitten F av segmentet KC.
4) Hitta arean för triangeln BDF.
Låt oss konstruera en ritning som motsvarar villkoren i exemplet (bild 422).
1) Planen AKC och ABD är vinkelräta, enligt egenskapen att planen är vinkelräta (sats 1): AK ABD, enligt villkoret. Planen AKD och ABK är också vinkelräta
är polära, baserat på planens vinkelräthet (sats 1). Linjen AB genom vilken planet ABK passerar är faktiskt vinkelrät mot planet AKD, enligt tecknet på linjens och planets vinkelräthet (sats 1 § 18): AB AD som angränsande sidor av en kvadrat; AB AK eftersom
AK ABD.
2) Baserat på planens vinkelräthet, för den önskade konstruktionen räcker det att dra en rät linje BD genom några punkter
408 Linjers och plans vinkelräthet
linje vinkelrät mot plan ABC. Och för att göra detta räcker det att dra en linje genom denna punkt parallellt med linjen AK.
I själva verket är den räta linjen AK vinkelrät mot plan ABC, enligt villkoret, och därför, enligt satsen om två parallella räta linjer,
vår, varav en är vinkelrät mot planet (sats 1§19), |
|||||||||||||||||
den konstruerade räta linjen kommer att vara vinkelrät mot plan ABC. |
|||||||||||||||||
Konstruktion. | Genom poängen | B vi bedriver | |||||||||||||||
VARA, | parallell | ||||||||||||||||
(Fig. 423). Planet BDE är det önskade. | |||||||||||||||||
3) Låt F vara mittpunkten av segmentet KC. Proffs- | |||||||||||||||||
vi leder genom poängen | vinkelrät- | ||||||||||||||||
plan | Denna raka linje | ||||||||||||||||
barn direkt | FO, var | O - mitten av torget | |||||||||||||||
ABCD (fig. 424). Indeed,FO ||AK , | |||||||||||||||||
som genomsnitt | triangellinje | ||||||||||||||||
Eftersom den | vinkelrät- | ||||||||||||||||
på ytan | direkt FO | bua- | |||||||||||||||
det är vinkelrät mot det, enligt satsen om | |||||||||||||||||
två parallella linjer, varav en | |||||||||||||||||
ry vinkelrätt mot planet (sats 1 | |||||||||||||||||
§ 19). Det är därför | FO DB. Och sedan AC DB, sedan DB AOF (eller |
||||||||||||||||
KAC). Plan | BDF passerar genom en linje vinkelrät mot |
||||||||||||||||
nalplan KAC, det vill säga det är det önskade. | |||||||||||||||||
4) I en triangel | BDF segmentFO | Höjd dras till |
|||||||||||||||
sida BD (se fig. 424). Vi har:BD = | 2a som diagonalen för quad- |
||||||||||||||||
rata; FO = 1 | AK = | 1 a, med egenskapen för en triangels mittlinje. |
|||||||||||||||
Således är S =2 BD FO = | 2 2 a | 2a = | . ■ |
||||||||||||||
Svar: 4) | en 2. | ||||||||||||||||
Studie av egenskaperna hos den vinkelräta |
|||||||||||||||||
av flygplan och dess tillämpningar, låt oss börja med det enklaste |
|||||||||||||||||
det, men mycket användbar sats. | |||||||||||||||||
Sats 2 (om vinkelrät mot skärningslinjen för vinkelräta plan).
Om två plan är vinkelräta, är en rät linje som tillhör ett plan och vinkelrät mot skärningspunkten mellan dessa plan vinkelrät mot det andra planet.
Låt vinkelräta plan
α och β skär längs den räta linjen c, och den räta linjen b i planet β är vinkelrät mot den räta linjen c och skär den i punkt B (Fig. 425). Per definition
dividera vinkelrätheten hos planen, i β-planet går en rät linje genom punkt B
b 1, vinkelrätt mot planet α. Det är tydligt att den är vinkelrät mot den räta linjen. Men vad-
Om du skär en punkt på en rät linje i ett plan kan du bara rita en rät linje vinkelrät mot den givna räta linjen. Det är därför
raderna b och b 1 sammanfaller. Detta betyder att en rät linje i ett plan, vinkelrät mot skärningslinjen för två vinkelräta plan, är vinkelrät mot det andra planet. ■
Låt oss tillämpa den övervägda satsen för att underbygga ett annat tecken på planens vinkelräthet, vilket är viktigt ur synvinkeln av den efterföljande studien av den relativa positionen för två plan.
Låt planen α och β vara vinkelräta, rät linje c är linjen för deras skärningspunkt. Genom en godtycklig punkt A drar vi en rät linje c
i planen α och β, räta linjer a och b, vinkelräta mot räta linjer c (fig. 426). Enligt teorin
Me 2, räta linjer a och b är vinkelräta mot planen β respektive α, så de är vinkelräta mot varandra: a b . Hetero
de definierade a och b definierar ett visst plan γ. Skärningslinje med planen α och β
vinkelrätt mot planet γ, baserat på linjens och planets vinkelräthet (sats 1 § 18): c a, c b, a γ, b γ. Om vi tar hänsyn till godtyckligheten i valet av punkt A på den räta linjen c och det faktum att det enda planet som är vinkelrätt mot det passerar genom punkten A på den räta linjen, så kan vi dra följande slutsats.
Sats 3 (om planet vinkelrätt mot skärningslinjen för vinkelräta plan).
Ett plan vinkelrätt mot skärningslinjen för två vinkelräta plan skär dessa plan längs vinkelräta räta linjer.
Således har ytterligare en egenskap hos vinkelräta plan etablerats. Denna egenskap är karakteristisk, det vill säga om den är sant för några två plan, så är planen vinkelräta mot varandra. Vi har ytterligare ett tecken på vinkelräta plan.
Sats 4 (andra kriteriet för planens vinkelräthet).
Om de direkta skärningarna av två plan med ett tredje plan vinkelrätt mot linjen för deras skärningspunkt är vinkelräta, så är dessa plan också vinkelräta.
Låt planen α och β skära längs den räta linjen с, och planet γ, vinkelrätt mot den räta linjen с, skär planen α och β på motsvarande sätt
längs räta linjer a respektive b (bild 427). Enligt villkor, a b . Sedan γc, sedan c. Och därför är linjen vinkelrät mot planet β, enligt linjens och planets vinkelräta tecken (sats 1 § 18). Det är allt-
ja det följer att planen α och β är vinkelräta, enligt tecknet på vinkelräta plan (sats 1).■
Också värda att uppmärksammas är satser om sambanden mellan vinkelrätheten hos två plan i ett tredje plan och deras inbördes position.
Sats 5 (om skärningslinjen mellan två plan vinkelrät mot det tredje planet).
Om två plan vinkelräta mot ett tredje plan skär varandra, är deras skärningslinje vinkelrät mot detta plan.
Låt planen α och β, vinkelräta mot planet γ, skära längs en rät linje (a || γ), och A är skärningspunkten för den räta linjen med
Planens vinkelräthet | |
plan y (fig. 428). Punkt A hör till |
|
lever längs skärningslinjerna för planen γ och α, γ |
|
och β, och, genom villkor, a y och β y. Därför, enligt |
|
bestämma planets vinkelräthet |
|
genom punkt A kan du rita raka linjer, |
|
ligger i α-planen | och β och vinkelrät |
polära plan γ. För genom poängen |
|
det är möjligt att dra endast en rät linje, per- |
|
vinkelrätt mot planet, sedan den konstruerade |
|
raka linjer sammanfaller och sammanfaller med linjen |
|
skärningspunkter mellan planen α och β. Så rakt a är en linje |
|
skärningspunkten mellan planen α och β är vinkelrät mot planet γ. ■ |
|
Låt oss betrakta ett teorem som beskriver förhållandet mellan parallellitet och vinkelräthet hos plan. Vi hade redan motsvarande resultat för raka linjer och plan.
Sats 6 (om parallella plan vinkelräta mot tredje planet).
Om ett av två parallella plan är vinkelrät mot det tredje, så är det andra planet vinkelrät mot det.
Låt planen α och β vara parallella, och plan γ vinkelrät mot plan α. Eftersom planet γ
skär planet α, då måste det också skära planet β parallellt med det. Låt oss ta ett pro-
en godtycklig rät linje m vinkelrät mot planet γ och dra genom det, samt genom en godtycklig punkt i planet β, planet δ (fig. 429).
Planen δ och β skär längs en rät linje n, och eftersom α║ β, då ║ n (sats 2 §18). Det följer av sats 1 att n γ, och därför kommer planet β som går genom linjen n också att vara vinkelrät mot planet γ. ■
Den bevisade satsen ger ytterligare ett tecken på planens vinkelräthet.
Du kan rita ett plan vinkelrätt mot den givna punkten genom en given punkt med hjälp av tecknet på planens vinkelräta (sats 1). Det räcker att dra en rät linje genom denna punkt vinkelrätt mot det givna planet (se Uppgift 1 § 19). Och rita sedan ett plan genom den konstruerade räta linjen. Det kommer att vara vinkelrätt mot det givna planet enligt det angivna kriteriet. Det är tydligt att ett oändligt antal sådana plan kan ritas.
Mer meningsfullt är problemet med att konstruera ett plan vinkelrätt mot ett givet, förutsatt att det går genom en given linje. Det är tydligt att om en given linje är vinkelrät mot ett givet plan, så kan ett oändligt antal sådana plan konstrueras. Det återstår att överväga fallet när den givna linjen inte är vinkelrät mot det givna planet. Möjligheten till en sådan konstruktion är motiverad på nivån för fysiska modeller av raka linjer och plan i exempel 1.
Uppgift 1. Bevisa att genom en godtycklig linje som inte är vinkelrät mot ett plan, kan man rita ett plan vinkelrätt mot det givna planet.
Låt ett plan α och en linje l, l B\ a ges. Låt oss ta en godtycklig punkt M på en rät linje och dra en rät linje genom den, vinkelrät mot planet α (Fig. 430, a). Eftersom l av villkoret inte är vinkelrät mot α, så skär linjerna l det. Genom dessa räta linjer är det möjligt att rita ett plan β (fig. 430, b), som enligt testet för planens vinkelräthet (sats 1) kommer att vara vinkelrätt mot planet α. ■
Exempel 3. Genom vertex A på en vanlig pyramid SABC med bas ABC, rita en rak linje vinkelrät mot planet för sidoytan SBC.
För att lösa detta problem använder vi satsen om vinkelrät mot skärningslinjen för vinkelräta plan
(Sat 2). Låt K vara mittpunkten av kanten BC (bild 431). Planen AKS och BCS är vinkelräta, enligt tecknet på vinkelräta plan (sats 1). Faktum är att BC SK och BC AK är som medianer som dras till baserna i likbenta trianglar. Därför, enligt kriteriet om vinkelräthet för en linje och ett plan (sats 1 §18), är linjen BC vinkelrät mot planet AKS. Plan BCS går genom en linje vinkelrät mot planet AKS.
Konstruktion. Låt oss rita en linje AL i planet AKS från punkt A, vinkelrät mot linjen KS - skärningslinjen för planen AKS och BCS (Fig. 432). Genom satsen på vinkelrät mot skärningslinjen för vinkelräta plan (sats 2) är linjen AL vinkelrät mot planet BCS. ■
Kontrollfrågor | |||||
I fig. 433 visar kvadraten ABCD, |
|||||
linjen MD är vinkelrät mot planet |
|||||
ABCD. Vilket av planparen är det inte |
|||||
är vinkelräta: |
|||||
MAD och MDC; | MBC och MAV; |
||||
ABC och MDC; | MAD och MAV? |
||||
2. I fig. 434 visas korrekt- ny fyrkantig pyramid
SABCD, punkterna P, M, N - mitten -
Vi har kanter AB, BC, BS, O - mitten av basen ABCD. Vilket av paren är platt- ben är vinkelräta:
1) ACS och BDS, 2) MOS och POS;
3) COS och MNP; 4) MNP och SOB;
5) CND och ABS?
Linjers och plans vinkelräthet |
||
3. I fig. 435 | avbildad rektangulär |
|
triangel | med rät vinkel C och |
|
rät linje BP, vinkelrät mot planet |
||
ty ABC. Vilka av följande par är platta? |
||
ben är vinkelräta: |
||
1) CBP och ABC; | 2) ABP och ABC; |
|
3) PAC och PBC; 4) PAC och PAB?
4. De två planen är vinkelräta. Är det möjligt genom en godtycklig punkt av en av ska de dra en rak linje i det här planet, det andra planet?
5. Det är omöjligt att dra en rät linje i α-planet, men inte i β-planet. Kan dessa plan vara mi?
6. Genom en viss punkt på planet α går en linje i detta plan och är vinkelrät mot planet, så att planen α och β är vinkelräta?
En sektion av staket är fäst vid en vertikal stolpe, är det möjligt att påstå att planet på staketet är vertikalt?
Hur fäster man en sköld vertikalt på en skena parallellt med jordens yta?
Varför är dörrarnas yta, oavsett om de är stängda eller öppna, vertikal mot golvet?
Varför passar ett lod tätt mot en vertikal vägg, men inte nödvändigtvis mot en lutande?
Är det möjligt att fästa en sköld på en lutande stolpe så att den är vinkelrät mot jordens yta?
Hur man praktiskt avgör om ett plan är vinkelrät
väggar plan golv? vinkelräta vinkelräta vinkelräta- rak, liggande - β. Sant 7. . Eventuellt 8.9.10.11.12.
Grafiska övningar
1. I fig. 436 visar en kub ABCDA1B1C1D1.
1) Ange plan som är vinkelräta mot planet BDD 1.
2) Hur är planen och
A1 B1 CAB 1 C 1
Planens vinkelräthet | |||||||
437 plana kvadrater ABCD och |
|||||||
ABC1 D1 | vinkelrät. Distans | CC1 | |||||
är lika med b. Hitta längden på segmentet: | |||||||
AB; | D1C; | ||||||
D1D; | C1 D. | Dan- |
|||||
Konstruera en ritning enligt givna |
|||||||
1) Plan av liksidiga trianglar |
|||||||
ABC och ABC är vinkelräta. | |||||||
Plan ABC är vinkelrät mot planen BDC och BEA. |
|||||||
Planen α och β är vinkelräta mot planet γ och skär varandra |
|||||||
längs den räta linjen a, linjerna för deras skärningspunkt med planet γ |
|||||||
är raka linjer b är. | |||||||
I ett rektangulärt parallellepipedisk ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-plan |
|||||||
ben AB 1 C 1 och BCA 1 är vinkelräta. | |||||||
421. Segmentet OS är ritat från mitten O av kvadraten ABCD vinkelrätt mot dess plan.
1°) Bestäm den relativa positionen för ACS-planen
och ABC.
2°) Bestäm den relativa positionen för ACS-planen
och BDS.
3) Konstruera ett plan som går genom linjen OS vinkelrätt mot planet ABS.
4) Konstruera ett plan vinkelrätt mot plan ABC och som går genom mittpunkterna på sidorna AD och CD.
422. Från skärningspunkten O för diagonalerna för romben ABCD, ritas ett segment OS vinkelrätt mot rombens plan, AB = DB =
1°) Bestäm den relativa positionen för SDB och
ABC, SDB och ACS.
2°) Konstruera ett plan som går genom linjen BC vinkelrätt mot plan ABD.
3) Rita ett plan vinkelrätt mot planet ABC genom mitten F av segmentet CS.
4) Hitta arean för triangeln BDF.
423. Givet en kub ABCDA1 B1 C1 D1.
1°) Bestäm den relativa positionen för planen AB 1 C 1
och CDD1.
2°) Bestäm den relativa positionen för planen AB 1 C 1
och CD1 A1.
3°) Konstruera ett plan som går genom punkt A vinkelrätt mot plan BB 1 D 1.
4) Konstruera en sektion av kuben med ett plan som går genom mittpunkterna på kanterna A 1 D 1 och B 1 C 1 vinkelrätt mot planet ABC. 5) Bestäm den relativa positionen för planet AA 1 B och planet som passerar genom mitten av ribborna A 1 B 1, C 1 D 1, CD.
6) Hitta kubens tvärsnittsarea genom ett plan som går genom kant BB 1 och mitten av kant A 1 D 1 (BB 1 = a).
7) Konstruera en punkt som är symmetrisk till punkt A i förhållande till planet A 1 B 1 C.
424. I en vanlig tetraeder ABCD med en kant på 2 cm är punkt M mitten av DB och punkt N är mitten av AC.
1°) Bevisa att den räta linjen DB är vinkelrät mot planet
2°) Bevisa att planet BDM är vinkelrät mot planet AMC.
3) Dra en rät linje vinkelrät mot planet AMC genom punkt O i skärningspunkten mellan triangelns ADC.
4) Hitta längden på detta linjesegment inuti tetraedern. 5) I vilket förhållande delar AMC-planet detta segment?
425. Två liksidiga trianglar ABC och ADC ligger i vinkelräta plan.
1°) Hitta längden på segment BD om AC = 1 cm.
2) Bevisa att planet BKD (K ligger på linjen AC) är vinkelrät mot planet för var och en av trianglarna om och endast om K är mittpunkten på sidan AC.
426. Rektangel ABCD, vars sidor är 3 cm och 4 cm, böjdes längs diagonalen AC så att trianglarna ABC och ADC var placerade i vinkelräta plan. Bestäm avståndet mellan punkterna B och D efter böjning av rektangeln ABCD.
427. Rita genom denna punkt ett plan vinkelrätt mot vart och ett av de två givna planen.
428°. Bevisa att planen på intilliggande ytor av en kub är vinkelräta.
429. Planen α och β är vinkelräta mot varandra. Från punkt A i plan α dras en rät linje AB vinkelrätt mot planet β. Bevisa att linjen AB ligger i α-planet.
430. Bevisa att om ett plan och en linje som inte ligger i detta plan är vinkelräta mot samma plan, så är de parallella med varandra.
431. Genom punkterna A och B som ligger på skärningslinjen för planen α och β vinkelräta mot varandra, dras vinkelräta räta linjer: AA 1 i α, BB 1 i β. Punkt X ligger på linje AA 1 och punkt Y ligger på BB 1. Bevisa att den räta linjen ВB 1 är vinkelrät mot den räta linjen ВХ, och den räta linjen АА 1 är vinkelrät mot den räta linjen АY.
432*. Genom mitten av varje sida av triangeln ritas ett plan vinkelrätt mot denna sida. Bevisa att alla tre ritade plan skär längs en rät linje vinkelrät mot triangelns plan.
Övningar att upprepa
433. I en liksidig triangel med sida b bestämma: 1) höjd; 2) radier för de inskrivna och omskrivna cirklarna.
434. Från en punkt dras en vinkelrät och två sneda linjer till en given linje. Bestäm längden på vinkelrät om de lutande är 41 cm och 50 cm, och deras projektioner på denna linje är i förhållandet 3:10.
435. Bestäm benen i en rätvinklig triangel om bis- sektrisen för en rät vinkel delar hypotenusan i segment om 15 cm och
Grundläggande definition
De två planen kallas
är vinkelräta , om var och en av dem är bildad av raka linjer- mi, vinkelrät- mi av det andra planet och passerar genom skärningspunkterna för dessa plan.
Huvudsakliga uttalanden | ||||
Vinkelrät tecken | Om ensam | |||
klarhet | flygplan | passera- | ||
flygplan | dit igenom | |||
vinkelrät | ||||
det andra planet alltså | b α, b β α β |
|||
dessa plan är per- |
||||
pendikulär. | ||||
perpendi- | två plan | ||||
öppning | är alltså vinkelräta | ||||
korsningsperpen | direkt, tillhörande | ||||
dikulär | platt | delar ett plan | |||
och vinkelrät | |||||
korsningar | |||||
dessa plan, per- | α β, b β, c = α ∩β, |
||||
vinkelrät mot tvåan | b c b a |
||||
plan. | |||||
Definition. Två plan kallas vinkelräta om vinkeln mellan dem är 90°. Vi presenterar utan bevis satser om stereometri, användbara för att lösa efterföljande metriska problem.
1. Ett tecken på vinkelräthet för två plan: om ett plan passerar genom en vinkelrät till ett annat plan, så är det vinkelrätt mot detta plan.
2. Om två plan vinkelräta mot ett tredje plan skär varandra, då
den räta linjen för deras skärningspunkt är vinkelrät mot det tredje planet.
3. För en lutande linje som inte är vinkelrät mot planet, gäller följande påstående: det enda planet som passerar genom den lutande linjen är vinkelrätt mot det givna planet.
Det sista påståendet tillåter oss att föreslå följande algoritm för att konstruera ett plan som passerar genom lutande AB och vinkelrätt mot ett givet plan Σ:
1) en godtycklig punkt E väljs på AB;
2) en rät linje t är konstruerad på ett sådant sätt att t "E, t ^ h, t ^ f, där h Ì Σ, f Ì Σ
(Fig. 7.10), dvs. t^Σ.
Planet (AB,t) kommer att vara det enda planet vinkelrätt mot planet Σ. Observera att mer än ett plan vinkelrätt mot Σ passerar genom linjen t ^ Σ.
Uppgift. Givet ett plan Σ(CD, MN), där CD // MN och rät linje AB (Fig. 7.11).
Konstruera ett plan på CN som går genom AB och vinkelrätt mot planet Σ.
Algoritm för projektionslösning av problemet:
1) nivålinjerna h(h 1 , h 2) och f(fi , f 2) är konstruerade i Σ-planet, med h 2 // x, f 1 // x;
2) projektioner t 1 och t 2 av linjen t är konstruerade på ett sådant sätt att t 2 " E 2, t 2 ^ f 2; t 1 " E 1, t 1 ^ h 1, där E О AB är en godtycklig punkt . Planet (AB, t) är lösningen på problemet.
Uppgift. Givet plan Σ(AB, DC) och Δ(KL, PT), där
AB Ç DC, KL // PT, samt punkt E. Konstruera ett plan som går genom punkt E och vinkelrätt mot båda planen Σ och Δ (Fig. 9.9).
En av de möjliga lösningarna på detta problem är följande. Först konstrueras skärningslinjen för de givna planen t = Σ Ç Δ. Sedan, baserat på ovanstående stereometrisatser, konstrueras ett plan som går genom punkt E och vinkelrätt mot linjen t. Eftersom det är unikt representerar detta plan lösningen på problemet.
En annan algoritm för att lösa detta problem är möjlig (se fig. 9.8):
1) från en given punkt E en vinkelrät a sjunker till planet Σ;
2) från punkt E sänks en vinkelrät b till planet Δ.
Planet (a, b), där a Ç b = E, är lösningen på problemet. Låt oss överväga implementeringen av denna algoritm på CN (se fig. 9.9).
1. I Σ-planet konstruerar vi nivålinjer h 1 (h 1 1, h 1 2) och f 1 (f 1 1, f 1 2). Vart i
h 12 // x; f 1 1 // x.
2. I Δ-planet konstruerar vi nivålinjer h 2 (h 2 1, h 2 2) och f 2 (f 2 1, f 2 2). Vart i
h 2 2 // x; f 2 1 //x.
3. Två perpendicularer sänks från punkt E: a ^ Σ, b ^ Δ. Vart i
a 2 ^ f 1 2, a 1 ^ h 1 1; b 2 ^ f 2 2 , b 1 ^ h 2 1 .
Två raka linjer a och b som skär varandra i punkt E definierar det önskade planet, dvs. ett plan vinkelrätt mot de givna planen Σ och Δ.
Förenklade användarvillkor
Grundläggande affärstransaktioner, konteringar för dem
Momsavdrag vid köp av anläggningstillgångar och immateriella tillgångar