Hur man hittar arean av en triangel. Triangelformler. Hur man hittar arean av en triangel Likbent triangel och dess area

Begreppet område

Konceptet med arean för någon geometrisk figur, särskilt en triangel, kommer att förknippas med en figur som en kvadrat. För enhetsarean för en geometrisk figur tar vi arean av en kvadrat vars sida är lika med en. För fullständighetens skull, låt oss påminna om två grundläggande egenskaper för begreppet områden med geometriska figurer.

Egenskap 1: Om geometriska figurer är lika, är deras area också lika.

Egendom 2: Vilken figur som helst kan delas upp i flera figurer. Dessutom är arean av den ursprungliga figuren lika med summan av areorna för alla dess ingående figurer.

Låt oss titta på ett exempel.

Exempel 1

Uppenbarligen är en av sidorna i triangeln en diagonal av en rektangel, vars ena sida har en längd på $5$ (eftersom det finns $5$ celler), och den andra är $6$ (eftersom det finns $6$ celler). Därför kommer arean av denna triangel att vara lika med hälften av en sådan rektangel. Arean av rektangeln är

Då är arean av triangeln lika med

Svar: $15$.

Därefter kommer vi att överväga flera metoder för att hitta arean av trianglar, nämligen att använda höjden och basen, med hjälp av Herons formel och arean av en liksidig triangel.

Hur man hittar arean av en triangel med hjälp av dess höjd och bas

Sats 1

Arean av en triangel kan hittas som halva produkten av längden på en sida och höjden till den sidan.

Matematiskt ser det ut så här

$S=\frac(1)(2)αh$

där $a$ är längden på sidan, $h$ är höjden som dras till den.

Bevis.

Betrakta en triangel $ABC$ där $AC=α$. Höjden $BH$ ritas till denna sida, vilket är lika med $h$. Låt oss bygga upp det till kvadraten $AXYC$ som i figur 2.

Arean av rektangeln $AXBH$ är $h\cdot AH$, och arean av rektangeln $HBYC$ är $h\cdot HC$. Sedan

$S_ABH=\frac(1)(2)h\cdot AH$, $S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot HC$

Därför är den erforderliga arean av triangeln, av egenskap 2, lika med

$S=S_ABH+S_CBH=\frac(1)(2)h\cdot AH+\frac(1)(2)h\cdot HC=\frac(1)(2)h\cdot (AH+HC)=\ frac(1)(2)αh$

Teoremet har bevisats.

Exempel 2

Hitta arean av triangeln i figuren nedan om cellen har en area lika med ett

Basen på denna triangel är lika med $9$ (eftersom $9$ är $9$ kvadrater). Höjden är också $9$. Sedan, genom sats 1, får vi

$S=\frac(1)(2)\cdot 9\cdot 9=40.5$

Svar: $40.5$.

Herons formel

Sats 2

Om vi får tre sidor av en triangel $α$, $β$ och $γ$, så kan dess area hittas enligt följande

$S=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

här betyder $ρ$ halvomkretsen av denna triangel.

Bevis.

Tänk på följande figur:

Genom Pythagoras sats får vi från triangeln $ABH$

Från triangeln $CBH$, enligt Pythagoras sats, har vi

$h^2=α^2-(β-x)^2$

$h^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

Från dessa två relationer får vi jämställdheten

$γ^2-x^2=α^2-β^2+2βx-x^2$

$x=\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β)$

$h^2=γ^2-(\frac(γ^2-α^2+β^2)(2β))^2$

$h^2=\frac((α^2-(γ-β)^2)((γ+β)^2-α^2))(4β^2)$

$h^2=\frac((α-γ+β)(α+γ-β)(γ+β-α)(γ+β+α))(4β^2)$

Eftersom $ρ=\frac(α+β+γ)(2)$, då $α+β+γ=2ρ$, vilket betyder

$h^2=\frac(2ρ(2ρ-2γ)(2ρ-2β)(2ρ-2α))(4β^2)$

$h^2=\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2 )$

$h=\sqrt(\frac(4ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))(β^2))$

$h=\frac(2)(β)\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Genom sats 1 får vi

$S=\frac(1)(2) βh=\frac(β)(2)\cdot \frac(2)(β) \sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ) )=\sqrt(ρ(ρ-α)(ρ-β)(ρ-γ))$

Vad är område? Konstig fråga - eller hur? I det vanliga livet är vi vana vid det faktum att alla möjliga platta figurer (som ytan på ett bord, en stol, golvet i våra lägenheter etc.) inte bara har längd och bredd, utan också någon annan egenskap som vi, utan att tänka, kallar det område. Låt oss nu tänka på det: vad är ett område egentligen?

Låt oss börja med det enklaste. Grunden är det faktum att:

Med andra ord, vi betraktar arean av en kvadrat med en sida på en meter som en "meter av arean."

Titta noga på bilden och se till att den verkligen är ritad där - "kvadratmeter"! Och kom ihåg beteckningen.

Nu kommer här en knepig fråga: vad är det? Arean av en kvadrat med sida? Men nej!

Titta: en fyrkant med en sida.

Och för att få kvadratmeter (det vill säga) måste vi rita till exempel så här:

Hur får man, säg, ? Tja, till exempel så här:

Och i allmänhet, om vi tar en rektangel vars sidor är lika med meter och meter, då i denna rektangel:

Passar exakt kvadratmeter. Titta noga: vi har "lager", som vart och ett är exakt kvadratmeter.

Det betyder att totalt kvadratmeter ryms i en rektangel med storleken x. Detta nummer, hur många kvadratmeter som ryms i en rektangel, är dess fyrkant.

Tänk om figuren inte alls är en rektangel, utan någon form av abrakadabra?

Jag kommer att överraska dig - det finns sådana fruktansvärda abrakadabras som det är absolut omöjligt att avgöra hur många kvadratmeter det finns. Till och med ungefär! Tyvärr är det omöjligt att rita sådana figurer.

Men de finns! De ser till exempel ut som en "kam" med mycket fina tänder.

Och så, för normala figurer, kan du intuitivt (det vill säga för dig själv) anta att arean av en figur är antalet kvadratenheter (meter, centimeter, etc.) som "passar" i denna figur. strikt, "riktigt" definitionsområde, se följande teorinivåer.

Och tänk dig bara, matematiker har lärt sig att uttrycka områden för många figurer genom några linjära (de som kan mätas med en linjal) element i figurerna. Dessa uttryck kallas "area formler". Det finns ganska många av dessa formler - matematiker har försökt länge. Försök komma ihåg de enklaste och mest grundläggande formlerna först, och sedan de mer komplexa.

Area formler

Fyrkant

Rektangel

Rätt triangel

Triangel (gratis)

Det finns flera areaformler för en triangel.

Grundformel

Andra grundformeln

Tredje formeln

Vilken formel ska du välja för ditt problem? De viktigaste är formlerna 1 och 2. Den tredje formeln måste tillämpas om allt ges till dig: tre sidor och radien för den inskrivna cirkeln. Men det händer inte, eller hur? Det är därför vi använder formel 3 snarare tvärtom, för att hitta radien för den inskrivna cirkeln. Sedan måste du hitta arean med hjälp av en av formlerna 1, 2 eller 4, och sedan radien: .

Tja, formel 4 låter dig hitta arean på båda sidor med hjälp av lång aritmetik. Och gör inte misstag i aritmetiken när du använder Herons formel!

Godtycklig fyrhörning

För en godtycklig fyrhörning finns det inget mer, men för "bra" fyrhörningar finns det andra formler.

Parallellogram

Grundformel

Andra formeln

Romb

En romb har diagonaler som är vinkelräta, alltså grundläggande för honom blir det formel:

Andra formeln

Och tilläggsformeln blir

Trapets

Grundformel

Andra formeln

"Knepiga frågor om området"

Förutom problem som helt enkelt ber dig att hitta området, finns det också alla möjliga frågor. Tja, till exempel:

Låt oss svara på denna fråga på två sätt. Den första metoden är formell: vi använder formeln för arean av en kvadrat. Så var det, vilket betyder att området har ökat flera gånger!

När det gäller rutor finns det ett andra sätt att "röra" och övertygas direkt om detta nummer.

Låt oss rita:

Om du inte har en kvadrat, så återstår bara att ersätta nya värden i formlerna - och bli inte förvånad om siffrorna plötsligt visar sig vara ganska stora.

OMRÅDE MED TRIANGEL OCH QUADAGON. KORT OM DE VIKTIGASTE SAKERNA

Rätt triangel

Nåväl, ämnet är över. Om du läser dessa rader betyder det att du är väldigt cool.

Eftersom bara 5% av människor kan bemästra något på egen hand. Och om du läser till slutet, då är du i dessa 5%!

Nu det viktigaste.

Du har förstått teorin om detta ämne. Och, jag upprepar, det här... det här är bara super! Du är redan bättre än de allra flesta av dina kamrater.

Problemet är att det kanske inte räcker...

För vad?

För att ha klarat Unified State Examen, för att ha gått in på college med en budget och, VIKTIGAST, för livet.

Jag ska inte övertyga dig om någonting, jag säger bara en sak...

Människor som har fått en bra utbildning tjänar mycket mer än de som inte fått den. Det här är statistik.

Men detta är inte huvudsaken.

Huvudsaken är att de är GLADARE (det finns sådana studier). Kanske för att många fler möjligheter öppnar sig framför dem och livet blir ljusare? Vet inte...

Men tänk själv...

Vad krävs för att vara säker på att vara bättre än andra på Unified State Exam och i slutändan vara... lyckligare?

FÅ DIN HAND GENOM ATT LÖSA PROBLEM OM DETTA ÄMNET.

Du kommer inte att bli tillfrågad om teori under tentamen.

Du kommer behöva lösa problem mot tiden.

Och om du inte har löst dem (MYCKET!), kommer du definitivt att göra ett dumt misstag någonstans eller helt enkelt inte ha tid.

Det är som i sport - du behöver upprepa det många gånger för att vinna säkert.

Hitta samlingen var du vill, nödvändigtvis med lösningar, detaljerad analys och bestäm, bestäm, bestäm!

Du kan använda våra uppgifter (valfritt) och vi rekommenderar dem naturligtvis.

För att bli bättre på att använda våra uppgifter behöver du hjälpa till att förlänga livslängden på den YouClever-lärobok du just nu läser.

Hur? Det finns två alternativ:

Lås upp alla dolda uppgifter i den här artikeln -
Lås upp åtkomst till alla dolda uppgifter i alla 99 artiklar i läroboken - Köp en lärobok - 899 RUR

Ja, vi har 99 sådana artiklar i vår lärobok och tillgång till alla uppgifter och alla dolda texter i dem kan öppnas direkt.

Tillgång till alla dolda uppgifter tillhandahålls under HELA webbplatsens liv.

Sammanfattningsvis...

Om du inte gillar våra uppgifter, hitta andra. Sluta bara inte vid teorin.

”Förstå” och ”Jag kan lösa” är helt olika färdigheter. Du behöver båda.

Hitta problem och lös dem!

Mål:

Forma begreppet area av en triangel.
Härled formeln S för en triangel.
Granska grundläggande matematiska begrepp (ben, hypotenusa, höjd...)
Träna dina räkneförmåga
Utveckling av mentala operationer: (analys, syntes, jämförelse, generalisering)

Under lektionerna

jagskede: Självbestämmande för aktivitet.

Vi har ett stort antal gäster idag, låt oss säga hej till dem. (Barn säger hej och sätter sig).

Hur många gäster tror du är närvarande på vår lektion? (Barn svarar utan att räkna och ger ett ungefärligt resultat).

1/6 av det totala antalet är lärare från vår skola. Hur många finns det?

Vad gjorde vi nu? (De räknade gästerna).

Var dina svar alltid korrekta? (Nej).

Använder vi denna teknik på lektionerna? (Ja).

I vilka situationer? (Brist på tid, inget annat sätt att agera).

Men matematik är en exakt vetenskap; även den forntida filosofen Platon sa: "Matematik för sinnet närmare sanningen." Det betyder att svaren fortfarande måste vara korrekta.

Men det moderna talesättet säger: "Matematik kan inte studeras...".

Håller du med om detta påstående? (Nej, vad gör vi i klassen då?)

Faktum är att den här frasen har en fortsättning, vilket ger en annan betydelse, men vi kommer att ta reda på vad fortsättningen av frasen är i slutet av lektionen.

IIskede: Uppdatera kunskap och fixa svårigheter i aktivitet.

Snabb räkning. (Barn spelar in det slutliga svaret i kedjan av exempel på surfplattan).
Uppmärksamhet på skärmen. Vilket ord kan vara överflödigt och varför?

(Vädret, för det har inget med matematik att göra).

Men inte alla återstående ord kommer att vara relevanta för dagens mattelektion. Ett aritmetiskt diktat hjälper oss att bestämma omfånget av nyckelord för lektionen.

Aritmetiskt diktat:(1 vid tavlan, resten arbetar i en anteckningsbok)

Tredje delen 18 6, 15, 7, 70, 24

1 % av 700

1/6 av ett tal är 4, hitta hela talet

(Kontrollerar nummerserien, extra ord och siffror försvinner på skärmen).

Vad förenar de återstående siffrorna? (Hel, naturlig).

Vilka två grupper kan du dela in den i? (Barn erbjuder alternativ).

Men de återstående orden förenas av ämnet för dagens lektion. För att formulera det så exakt som möjligt, låt oss komma ihåg de grundläggande matematiska begreppen och leken i matematisk lotto.
(Barn erbjuds kort i två färger, frågor och svar).

Basen av en triangel kallas	Den sida på vilken vinkelrät sänks
Den sida av en triangel som är motsatt den räta vinkeln kallas...	hypotenusa
Fyrkant…	Detta är platsen som figuren upptar på planet
	Detta är en jämlikhet som etablerar ett samband mellan kvantiteter
En trubbig triangel är en triangel vars	En av vinklarna är trubbig
Sidorna i en triangel som bildar en rät vinkel kallas	ben
De vinkelräta linjerna är	Linjer som, när de skär varandra, bildar en rät vinkel
Triangelhöjd	Vinkelrät sjunkit från valfri vertex till motsatt sida
En triangel kallas spets	Som har alla vassa hörn
Beroende på längden på sidorna är trianglar	Liksidig, skalenlig, likbent
En triangel kallas rätvinklig om den har	En av vinklarna är rak
För att hitta arean av en rektangel behöver du	Multiplicera längd med bredd

Jag föreslår att spela ett annat spel, som uppfanns av kineserna, som alltid har varit kända som goda matematiker. Det kallas "Tangram".

Dess kärna är att sätta ihop figurer från mindre geometriska former. Vi kommer att arbeta i par. Öppna kuvert nr 1 och lägg ut alla figurer framför dig. Lista upp allt framför dig. (4 små och 2 stora räta trianglar i olika färger).

Samla från alla figurer:
1:a raden – fyrkant
2: a raden – rektangel
3:e raden – triangel

(Praktiskt arbete i par, kontroll av konstruktioner med hjälp av dator).

Vad förenar alla de resulterande siffrorna? (Polygoner består av lika många figurer).

Jämför dem efter område. (Lika, eftersom de består av identiska delar).

Vad kallas dessa siffror? (Lika storlek).

Kan du säga att dessa figurer också är lika stora? (nej, situationen är annorlunda, handlingssättet betyder annorlunda).

Använd dina kunskaper och jämför siffrorna per område).

(Barn kan lätt hitta S för en kvadrat och en rektangel med hjälp av formeln, men ett problem uppstår när man arbetar med en triangel).

IIIskede: Problemformulering, formulering av lektionens ämne.

Varför uppstod problemet? (Vi vet inte hur man hittar S-triangeln, vi kan bara hitta ett felaktigt resultat).

Så vad är syftet med dagens lektion? (lär dig att hitta S i en triangel).

Försök utifrån lektionens mål och nyckelord att formulera ämnet för dagens lektion så exakt som möjligt.
(S rät triangel).

IVskede: Design och registrering av ny kunskap.

Berätta allt om triangeln framför dig. (Rektangulär, mångsidig).

Försök i grupper att hitta ett sätt att hitta S i en rätvinklig triangel, skapa en formel och kommentera dina handlingar.

(Resultaten läggs upp på tavlan, handlingssättet uttalas högt).

Vad är sidor A Och V ? (Kateter).

Formulera dina slutsatser i symbolisk och verbal form.

S = (a c): 2, arean av en rätvinklig triangel är lika med hälften av produkten av dess ben).

Låt oss jämföra vår formulering med den som föreslås i läroboken (s. 95).

Vilket triangelområde hittade vi? (Rektangulär).

Kommer denna formel att stämma för andra trianglar? (Nej, för det finns inga ben).

Låt oss sedan rita upp en algoritm för våra handlingar.

Algoritm.

Välj en rät vinkel
Mät längden på benen
Hitta S med formeln.

Vskede: Primär konsolidering i externt tal.

Gör uppgiften från läroboken i par (sidan 95 nr 5).

VIskede: Självständigt arbete med självtest.

Jämför formerna efter område.

(Följande poster visas i anteckningsböckerna:

S = (4 * 3): 2 = 6 kvm..centimeter
S = (2 * 6): 2 = 6 kvm..centimeter
S=S

VIIskede: Inkludering i kunskapssystemet och upprepning.

Låt oss återgå till uppgiften som orsakade svårigheten. Gör beräkningarna i din anteckningsbok och jämför områdena för dessa figurer.

S = 2 * 2 = 4 kvm..centimeter
S = 1 * 3 = 3 kvm..centimeter
S = (3 * 2): 2 = 3 kvm..centimeter

Vad kan du säga om S för en rektangel och en triangel? (Det är samma, vilket betyder att figurerna är lika stora).

Vad kan du säga om denna triangel?

(skalig, trubbig).

Kan vi använda vår algoritm för att hitta dess område?

(Nej, eftersom triangeln måste vara rätvinklig).

Är det möjligt att använda konstruktioner för att göra två rektangulära trianglar av denna triangel?

(Du kan, du måste rita höjden).

Vad blir arean för hela triangeln?
(Summan S av två räta trianglar, vi vet hur man hittar deras S).

S = (a*h): 2
S = (a *h): 2
S = ((a + a) *h): 2
(a + a)-grundmedel
S= (a * b): 2, Var A – benbas; V – benhöjd

- Låt oss utöka algoritmen.

Algoritm.

VIIskede: Reflektion av aktivitet.

Vad var syftet med lektionen?

Lyckades vi åstadkomma det?

Låt oss nu ta reda på slutet av frasen "Du kan inte lära dig matematik genom att se din granne göra det."

Håller du med om detta påstående? (ja, under lektionen gjorde vi allt själva, och inte bara observerade)

Vad var det viktigaste på lektionen och vad var intressant?

D/Z:(Frivillig). – Hitta S-figurer och jämför figurerna enligt S.

(Uppgift i kuvert, baserat på demonstrationen, barn väljer själva vad de behöver, bestämmer graden av förståelse för ämnet i detta skede och tar uppgiften från kuvertet)

Som du kanske minns från din läroplan för geometri i skolan är en triangel en figur som bildas av tre segment som är förbundna med tre punkter som inte ligger på samma räta linje. En triangel bildar tre vinklar, därav namnet på figuren. Definitionen kan vara annorlunda. En triangel kan också kallas en polygon med tre vinklar, svaret blir också korrekt. Trianglar delas in efter antalet lika sidor och storleken på vinklarna i figurerna. Således urskiljs trianglar som likbenta, liksidiga och skalenliga, samt rektangulära, spetsiga respektive trubbiga.

Det finns många formler för att beräkna arean av en triangel. Välj hur du ska hitta arean av en triangel, dvs. Vilken formel du ska använda är upp till dig. Men det är värt att notera bara några av notationerna som används i många formler för att beräkna arean av en triangel. Så kom ihåg:

S är arean av triangeln,

a, b, c är triangelns sidor,

h är triangelns höjd,

R är radien för den omskrivna cirkeln,

p är halvperimetern.

Här är de grundläggande notationerna som kan vara användbara för dig om du helt glömt din geometrikurs. Nedan är de mest förståeliga och okomplicerade alternativen för att beräkna det okända och mystiska området i en triangel. Det är inte svårt och kommer att vara användbart både för dina hushållsbehov och för att hjälpa dina barn. Låt oss komma ihåg hur man beräknar arean av en triangel så enkelt som möjligt:

I vårt fall är arean av triangeln: S = ½ * 2,2 cm * 2,5 cm = 2,75 kvm. Kom ihåg att arean mäts i kvadratcentimeter (sqcm).

Rätt triangel och dess area.

En rätvinklig triangel är en triangel där en vinkel är lika med 90 grader (därav kallad rät). En rät vinkel bildas av två vinkelräta linjer (i fallet med en triangel, två vinkelräta segment). I en rätvinklig triangel kan det bara finnas en rät vinkel, eftersom... summan av alla vinklar i en triangel är lika med 180 grader. Det visar sig att 2 andra vinklar ska dela de återstående 90 graderna, till exempel 70 och 20, 45 och 45 osv. Så du kommer ihåg det viktigaste, allt som återstår är att ta reda på hur man hittar arean av en rätvinklig triangel. Låt oss föreställa oss att vi har en sådan rätvinklig triangel framför oss, och vi måste hitta dess område S.

1. Det enklaste sättet att bestämma arean av en rätvinklig triangel beräknas med hjälp av följande formel:

I vårt fall är arean av den högra triangeln: S = 2,5 cm * 3 cm / 2 = 3,75 kvm.

I princip finns det inte längre något behov av att verifiera triangelns yta på andra sätt, eftersom Endast den här kommer att vara användbar och kommer att hjälpa i vardagen. Men det finns också alternativ för att mäta arean av en triangel genom spetsiga vinklar.

2. För andra beräkningsmetoder måste du ha en tabell med cosinus, sinus och tangenter. Bedöm själv, här är några alternativ för att beräkna arean av en rätvinklig triangel som fortfarande kan användas:

Vi bestämde oss för att använda den första formeln och med några mindre fläckar (vi ritade den i en anteckningsbok och använde en gammal linjal och gradskiva), men vi fick rätt beräkning:

S = (2,5*2,5)/(2*0,9)=(3*3)/(2*1,2). Vi fick följande resultat: 3,6=3,7, men med hänsyn till cellförskjutningen kan vi förlåta denna nyans.

Likbent triangel och dess area.

Om du står inför uppgiften att beräkna formeln för en likbent triangel, är det enklaste sättet att använda huvudformeln och vad som anses vara den klassiska formeln för arean av en triangel.

Men först, innan vi hittar arean av en likbent triangel, låt oss ta reda på vilken typ av figur det här är. En likbent triangel är en triangel där två sidor har samma längd. Dessa två sidor kallas laterala, den tredje sidan kallas basen. Blanda inte ihop en likbent triangel med en liksidig triangel, d.v.s. en regelbunden triangel med alla tre sidor lika. I en sådan triangel finns det inga speciella tendenser till vinklarna, eller snarare till deras storlek. Vinklarna vid basen i en likbent triangel är dock lika, men skiljer sig från vinkeln mellan lika sidor. Så du känner redan till den första och huvudformeln; det återstår att ta reda på vilka andra formler för att bestämma arean av en likbent triangel som är kända.