Lektion ”Funktioner och deras egenskaper. Egenskaper för numeriska funktioner Kontrollera läxor

Detta material sammanställdes enligt Federal State Educational Standard

matematiklektion i 9:e klass på ämnet: "Numeriska funktioner, deras egenskaper och grafer", lärobok av A.G. Mordkovich.

Lektion av utvecklingskontroll och upptäckt av ny kunskap
lektionstillägg och presentation.

Ladda ner:

Förhandsvisning:

För att använda presentationsförhandsvisningar, skapa ett Google-konto och logga in på det: https://accounts.google.com

Bildtexter:

Numeriska funktioner, deras egenskaper och grafer. Matematiklektion i 9:e klass vid den slutliga certifieringen av IDPO-undergrupp nr 9 Zavodskoy-distriktet i Saratov 2013-10-25

Epigraf "Den enda vägen som leder till kunskap är aktivitet." Bernard Show

Kreativt arbete Kom på en "styckvis" funktion, bygg en graf och läs den. Lösning y =

Muntligt arbete Namnge funktionen och definiera den analytiskt

Teoretisk frågesport Formulera definitionen av en numerisk funktion. Det som kallas definitionsdomänen för en funktion. Det som kallas grafen för en funktion. Lista sätt att definiera en funktion. Vilken funktion kallas ökande (minskande). Vilken funktion kallas jämn (udda). Vilket tal kallas det minsta (största) värdet på funktionen. Vilken funktion kallas begränsad?

Tester i GIA-format (grundnivå)

svar Alternativ nr 5 Alternativ nr 6 4 3 3142 132 2 4 3 3 2 1 3 3

Utföra övningar GIA nr 1. Rita en graf av funktionen y = x 2 - 4 +3, använd grafen och hitta intervallen för monotoni. För vilka värden av a har den räta linjen y=a två punkter gemensamma med grafen för denna funktion? Svar: a>3, a = -1

Nej. 2. Lös grafiskt olikheten x -2 ≤ -x 3 Svar: x≤ -1

Jag lärde mig att jag lärde jag upprepade att jag konsoliderade Idag i klassen

Förhandsvisning:

Teknologisk karta över en matematiklektion i årskurs 9 om ämnet: "Numeriska funktioner, deras egenskaper och grafer," lärobok av A.G. Mordkovich. En lektion i utvecklingskontroll och upptäckt av ny kunskap.
Lektionssteg	Scenuppgifter	Lärarverksamhet	Elevaktivitet	UUD
1. Organisatoriskt självbestämmande för lärandeaktiviteter (1)	Skapa en gynnsam psykologisk arbetsinställning	Hälsning, mobilisering barns uppmärksamhet.	De rapporterar frånvaro och ansluter sig till lektionens affärsrytm.	Personlig: självbestämmande Reglerande : bedömning av beredskap för lektionen
2. Att sätta upp mål och mål för lektionen. Motivation för elevernas lärandeaktiviteter. (3)	Uppdatering av grundläggande kunskaper och verksamhetsmetoder	Informerar ämnet och syftet med lektionen, skriver datumet på tavlan Idag i lektionen kommer vi att sammanfatta resultaten av studien av kapitlet "Numeriska funktioner". Låt oss fortsätta att öva på färdigheterna att konstruera och läsa grafer för de studerade funktionerna och se hur djupt det studerade ämnet presenteras i examensproven.	Att skriva i en anteckningsbok	Reglering: målsättning Kommunikativ:förberedelse för reflektion
3. Uppdatera kunskap (12)	Uppdatering av grundläggande kunskaper och verksamhetsmetoder för att förbereda sig för testlektionen.	Till lektionen blev du ombedd att komma på en "styckvis" funktion, konstruera en graf och läsa den. Låt oss se din kreativitet. 1. Kallar 2 elever till styrelsen efter behag. 2. Gör ett parallellt bildspel med grafer över alla studerade numeriska funktioner. (Bilaga nr 2). 3. För ett frontalt samtal om teoretiska frågor (bilaga nr 3) 4. Ger betyg på läxor och muntliga arbeten med beaktande av läxor.	1. Två personer arbetar i styrelsen. (Bilaga nr 1) 2. Resten av eleverna namnger den avbildade funktionen från sina platser och definierar den analytiskt. 3. Eleverna deltar aktivt i muntliga frågor.	Föreskrifter: frivillig självreglering i svåra situationer Kommunikation: uttryck för sina tankar, argumentation av sin åsikt Kognitiv: förmåga att tillämpa kunskap på praktiska problem Personlig: bildning av hållbar motivation att lära sig och konsolidera nya saker
4. Generalisering och systematisering av kunskap (8)	Mellanreflektion	Vi studerade och granskade egenskaperna hos numeriska funktioner. Låt oss testa lite och se till att dina kunskaper är starka. De föreslagna proven motsvarar den grundläggande svårighetsgraden, du har 7 minuter på dig. Jag önskar er framgång! 1. Delar ut prov (bilaga nr 4) 2.Samlar papperslappar efter tidens slut, skriver ner de rätta svaren på tavlan Alternativ nr 5 Alternativ nr 6 3142 3. Många klarade testet bra, några insåg att de behövde göra om det.	Lös testet, gör anteckningar i din anteckningsbok om det behövs. Efter tidens slut lämnas pappren in. Kolla deras svar.	Föreskrifter: förstå kvaliteten och nivån på kunskapsinhämtningen Kognitiv: välja de mest effektiva sätten att lösa problem Personlig: utveckla färdigheter för självanalys och självkontroll
5. Tillämpning av kunskaper och färdigheter i en ny situation. (15)	Utveckling av forskningsförmåga, självdiagnos och självkorrigering av resultat	Utföra övningar (GIA) Nr 1Plotta en graf över funktionen Y = x 2-4 +3 med hjälp av grafen, hitta intervaller av monotoni. För vilka värden av a har den räta linjen y=a två punkter gemensamma med grafen för denna funktion? (Bilaga nr 5) Skriv kort ned uppgiften på tavlan, kallar eleven för att lösa den och övervakar rätt lösning av uppgiften. Utvärderar. Nr 2. Lös grafiskt olikheten x-2 ≤ -x 3 (bilaga nr 6) Utmanar eleverna att konstruera grafer över funktioner, förklarar hur man använder testpunkter på grafen för att bestämma lösningen på en ojämlikhet (skuggning)	Två personer arbetar individuellt med korten på sidobrädet, resten slutför lösningen på uppgift nr 1 i en anteckningsbok. Funktionsdiagram visas på den interaktiva whiteboardtavlan. De föreslår att lösa ojämlikheten genom urval eller algebraiskt. Slutför lösningen av ojämlikheten och skriv svaret.	Personlig: bildande av kognitivt intresse för ämnet forskning, hållbar motivation att studera och konsolidera nya saker Kognitiv: analysera ett objekt och framhäva väsentliga och icke-väsentliga egenskaper. Kommunikativ:organisera pedagogiskt samarbete med läraren och klasskamraterna. Föreskrifter: bestämma en ny nivå av attityd till sig själv som ett aktivitetsämne
6.Information om läxor (2)	Se till att barn förstår syftet, innehållet och metoderna för att göra läxor	Nivå 1: upprepa p7, nr 27,29 Nivå 2: upprepa steg 7, nr 30,33	Skriv ner läxor
7. Reflektion (4)	Ge kvalitativ bedömning av klassens och enskilda elevers arbete Initiera barns reflektion kring motivationen för den egna verksamheten och samspelet med läraren och andra barn	1. Erbjuder att fortsätta förslaget "I dag i klassen Jag upprepade... Jag har säkrat... Jag lärde … Jag fick reda på …" 2. Erbjuder att markera på kortet det påstående som passar bäst för arbetet i lektionen 3. Ger betyg	1. Svara på frågor 2. Markera på kort (Bilaga nr 7)	Kognitiv: reflektion över metoder och villkor för handling, adekvat förståelse för orsakerna till framgång och misslyckande, kontroll och utvärdering av processen och resultaten av aktiviteter Kommunikation: förmåga att uttrycka sina tankar, argumentation

Förhandsvisning:

Bilaga 1.

(kollar läxor)

Lösning

Förhandsvisning:

Bilaga 2

Muntligt arbete

Namnge funktionen och definiera den analytiskt

Förhandsvisning:

Förhandsvisning:

Bilaga 3

Teoretisk undersökning

1. Formulera definitionen av en numerisk funktion.

Lektion 1-2. Definition av en numerisk funktion och metoder för att specificera den

09.07.2015 11704 0

Mål: diskutera definitionen av en funktion och hur man definierar den.

I. Kommunicera ämnet och syftet med lektionerna

II. Genomgång av 9:e årskurs material

Olika aspekter av detta ämne har redan behandlats i årskurserna 7-9. Nu behöver vi utöka och sammanfatta informationen om funktionerna. Låt oss påminna dig om att ämnet är ett av de viktigaste för hela matematikkursen. Olika funktioner kommer att studeras fram till examen och vidare på lärosätena. Detta ämne är nära relaterat till att lösa ekvationer, ojämlikheter, ordproblem, progressioner, etc.

Definition 1. Låt två uppsättningar reella tal ges D och E och lagen anges f enligt vilket varje nummer x∈ D matchar singularnumret y ∈ E (se bild). Då säger de att funktionen y = f(x ) eller y(x) med definitionsdomän (O.O.) D och förändringsområdet (O.I.) E. I det här fallet kallas värdet x den oberoende variabeln (eller funktionens argument), värdet y kallas den beroende variabeln (eller funktionens värde).

Funktionsdomän f betecknar D(f ). Uppsättningen som består av alla nummer f(x ) (funktionsområde f), beteckna E(f).

Exempel 1

Tänk på funktionenFör att hitta y för varje värde på x måste du utföra följande operationer: subtrahera talet 2 (x - 2) från värdet på x, extrahera kvadratroten ur detta uttryckoch slutligen lägg till siffran 3Mängden av dessa operationer (eller lagen enligt vilken värdet y söks för varje värde på x) kallas funktionen y(x). Till exempel, för x = 6 finner viFör att beräkna funktionen y vid en given punkt x är det alltså nödvändigt att ersätta detta värde x med den givna funktionen y(x).

Uppenbarligen, för en given funktion, för varje tillåtet tal x, kan endast ett värde på y hittas (det vill säga för varje värde på x motsvarar ett värde på y).

Låt oss nu betrakta definitionsdomänen och förändringsdomänen för denna funktion. Det är möjligt att extrahera kvadratroten av uttrycket (x - 2) endast om detta värde är icke-negativt, dvs. x - 2 ≥ 0 eller x ≥ 2. HittaEftersom per definition av en aritmetisk rotsedan lägger vi till siffran 3 till alla delar av denna ojämlikhet, vi får:eller 3 ≤ y< +∞. Находим

Rationella funktioner används ofta i matematik. I det här fallet, funktioner i formuläret f(x ) = p(x) (där p(x) är ett polynom) kallas hela rationella funktioner. Formens funktioner(där p(x) och q(x ) - polynom) kallas bråkrationella funktioner. Uppenbarligen en bråkdeldefinieras om nämnaren q(x ) försvinner inte. Därför är definitionsdomänen för bråkdelens rationella funktion- mängden av alla reella tal från vilka polynomets rötter är exkluderade q(x).

Exempel 2

Rationell funktiondefinieras för x - 2 ≠ 0, dvs. x ≠ 2. Därför är definitionsdomänen för denna funktion mängden av alla reella tal som inte är lika med 2, d.v.s. unionen av intervallen (-∞; 2) och (2; ∞).

Kom ihåg att föreningen av mängderna A och B är en mängd som består av alla element som ingår i minst en av mängderna A eller B. Unionen av mängderna A och B betecknas med symbolen A U B. Således är föreningen av segment och (3; 9) ett intervall (icke-skärande intervall) betecknas med .

För att återgå till exemplet kan vi skriva:Eftersom för alla acceptabla värden av x bråkdeleninte försvinner, då funktionen f(x ) tar alla värden utom 3. Därför

Exempel 3

Låt oss hitta definitionsdomänen för den fraktionella rationella funktionen

Bråkens nämnare försvinner vid x = 2, x = 1 och x = -3. Därför är definitionsdomänen för denna funktion

Exempel 4

Missbruk är inte längre en funktion. Faktum är att om vi vill beräkna värdet på y, till exempel för x = 1, så hittar vi med den övre formeln: y = 2 1 - 3 = -1, och med den nedre formeln får vi: y = 12 + 1 = 2. Alltså ett värde x(x = 1) motsvarar två värden på y (y = -1 och y = 2). Därför är detta beroende (per definition) inte en funktion.

Exempel 5

Grafer över två beroenden visas y(x ). Låt oss avgöra vilken av dem som är en funktion.

I fig. och grafen för funktionen ges, eftersom vid vilken punkt som helst x 0 endast ett värde y0 motsvarar. I fig. b är en graf av något slags beroende (men inte en funktion), eftersom sådana punkter finns (t.ex. x 0 ), som motsvarar mer än ett värde y (till exempel y1 och y2).

Låt oss nu överväga de huvudsakliga sätten att specificera funktioner.

1) Analytisk (med hjälp av en formel eller formler).

Exempel 6

Låt oss titta på funktionerna:

Trots sin ovanliga form definierar detta förhållande också en funktion. För alla värden på x är det lätt att hitta värdet på y. Till exempel, för x = -0,37 (eftersom x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, då använder vi det lägre uttrycket) vi har:Av metoden att hitta y är det tydligt att vilket värde x som helst motsvarar endast ett värde y.

c) 3x + y = 2y - x2. Låt oss uttrycka värdet y från detta förhållande: 3x + x2 = 2y - y eller x2 + 3x = y. Således definierar denna relation också funktionen y = x2 + 3x.

2) Tabellform

Exempel 7

Låt oss skriva ut en tabell med kvadrater y för nummer x.

		2,25		6,25

Tabelldatan definierar också en funktion - för varje (givet i tabellen) värde på x kan ett enda värde på y hittas. Till exempel, y(1,5) = 2,25, y(5) = 25 osv.

3) Grafik

I ett rektangulärt koordinatsystem, för att skildra det funktionella beroendet y(x), är det bekvämt att använda en speciell ritning - en graf över funktionen.

Definition 2. Graf över en funktion y(x ) är uppsättningen av alla punkter i koordinatsystemet, vars abskiss är lika med värdena för den oberoende variabeln x, och ordinaterna är lika med motsvarande värden för den beroende variabeln y.

I kraft av denna definition är alla par av punkter (x0, y0) som uppfyller det funktionella beroendet y(x) placerade på grafen för funktionen. Alla andra par av poäng som inte uppfyller beroendet y(x ), ligger funktionerna inte på grafen.

Exempel 8

Givet en funktion Hör punkten med koordinater till grafen för denna funktion: a) (-2; -6); b) (-3; -10)?

1. Hitta värdet på funktionen y atEftersom y(-2) = -6, så hör punkt A (-2; -6) till grafen för denna funktion.

2. Bestäm värdet på funktionen y at Sedan y (-3) = -11, då hör punkt B (-3; -10) inte till grafen för denna funktion.

Enligt denna graf för funktionen y = f(x ) är det lätt att hitta definitionsdomänen D(f ) och räckvidd E(f ) funktioner. För att göra detta projiceras grafpunkterna på koordinataxlarna. Sedan bildar abskissorna av dessa punkter definitionsdomänen D(f ), ordinater - värdeintervall E(f).

Låt oss jämföra olika sätt att definiera en funktion. Analysmetoden bör anses vara den mest kompletta. Det låter dig skapa en tabell med funktionsvärden för vissa argumentvärden, bygga en graf över funktionen och utföra nödvändig forskning av funktionen. Samtidigt låter tabellmetoden dig snabbt och enkelt hitta värdet på funktionen för vissa argumentvärden. Grafen för en funktion visar tydligt dess beteende. Därför bör man inte motsätta sig olika metoder för att specificera en funktion var och en av dem har sina egna fördelar och nackdelar. I praktiken används alla tre sätten att specificera en funktion.

Exempel 9

Givet funktionen y = 2x2 - 3x +1.

Låt oss hitta: a) y (2); b) y (-3x); c) y(x + 1).

För att hitta värdet av en funktion för ett visst värde av argumentet, är det nödvändigt att ersätta detta värde av argumentet i den analytiska formen av funktionen. Därför får vi:

Exempel 10

Det är känt att y(3 - x) = 2x2 - 4. Låt oss hitta: a) y(x); b) y(-2).

a) Låt oss beteckna det med bokstaven z = 3, sedan x = 3 - z . Låt oss ersätta detta värde x i den analytiska formen av denna funktion y(3 - x) = 2x2 - 4 och få: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z)2 - 4, eller y (z) = 2 (3 - z)2 - 4, eller y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4, eller y (z) = 2x2 - 12 z + 14. Eftersom det inte spelar någon roll vilken bokstav funktionsargumentet betecknas - z, x, t eller något annat får vi omedelbart: y(x) = 2x2 - 12x + 14;

b) Nu är det lätt att hitta y(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.

Exempel 11

Det är känt att Låt oss hitta x(y).

Låt oss beteckna med bokstaven z = x - 2, sedan x = z + 2, och skriv ner tillståndet för problemet: eller Till vi kommer att skriva samma villkor för argumentet (- z ): För enkelhetens skull introducerar vi nya variabler a = y (z) och b = y (- z ). För sådana variabler får vi ett system av linjära ekvationer

Vi är intresserade av det okända a.

För att hitta det använder vi metoden för algebraisk addition. Låt oss därför multiplicera den första ekvationen med talet (-2), den andra ekvationen med talet 3. Vi får:

Låt oss lägga till dessa ekvationer:var Eftersom funktionsargumentet kan betecknas med vilken bokstav som helst, har vi:

Sammanfattningsvis noterar vi att i slutet av årskurs 9 studerades följande egenskaper och grafer:

a) linjär funktion y = kx + m (grafen är en rät linje);

b) kvadratisk funktion y = ax2 + b x + c (graf - parabel);

c) linjär bråkdelfunktion(graf - hyperbel), i speciella funktioner

d) effektfunktion y = xa (i synnerhet funktionen

e) funktioner y = |x|.

För ytterligare studier av materialet rekommenderar vi att du upprepar egenskaperna och graferna för dessa funktioner. Följande lektioner kommer att täcka de grundläggande metoderna för att konvertera grafer.

1. Definiera en numerisk funktion.

2. Förklara hur man definierar en funktion.

3. Vad som kallas föreningen av mängderna A och B?

4. Vilka funktioner kallas rationella heltal?

5. Vilka funktioner kallas bråkrationella? Vad är definitionsområdet för sådana funktioner?

6. Det som kallas grafen för en funktion f(x)?

7. Ange egenskaper och grafer för huvudfunktionerna.

IV. Lektionsuppgift

1 § nr 1 (a, d); 2 (c, d); 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 6 (c); 7 (a, b); 8 (c, d); 10 ( a ); 13 (c, d); 16 (a, b); 18.

V. Läxor

1 § nr 1 (b, c); 2 (a, b); 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 6 (g); 7 (c, d); 8 (a, b); 10 (b); 13 (a, b); 16 (c, d); 19.

VI. Kreativa uppgifter

1. Hitta funktionen y = f(x), om:

Svar:

2. Hitta funktionen y = f(x) om:

Svar:

VII. Sammanfattning av lektionerna

Detta är en korrespondens där varje element x från mängden D, enligt någon regel, är associerat med ett visst tal y, beroende på x. Notation: y = f(x) x y Oberoende variabel eller argumentberoende variabel eller funktionsvärde D(f) E(f) Funktionens domän Funktionens domän Numerisk funktion med domän D

Funktionens jämnhet Funktionen y=f(x) anropas även om för något värde x från definitionsdomänen är likheten f(-x)=f(x) uppfylld. Funktionen y=f(x) kallas udda om likheten f(-x)=-f(x) gäller för något värde x från definitionsdomänen.

Monotonicitet för en funktion (Ökning och minskning av en funktion) Funktionen y=f(x) sägs öka på mängden X є D(f) om för några punkter x 1 och x 2 i mängden X så att x 1 f(x 2) f(x 2)">

Hur man bygger en graf av en periodisk funktion Om funktionen y=f(x) har en period T, för att bygga en graf av funktionen måste du först bygga en gren (våg, del) av grafen på valfritt längdintervall T, och flytta sedan denna gren längs x-axeln till höger och vänster med T, 2T, 3T, etc.

Begränsning av en funktion En funktion y=f(x) kallas avgränsad underifrån på mängden X є D(f) om alla värden för denna funktion på mängden X är större än ett visst tal. (dvs. om det finns ett tal m så att för vilket värde x є X som helst gäller olikheten: f(x) > m. Funktionen y=f(x) kallas avgränsad från ovan på mängden X є D(f) om alla värden för denna funktion på mängden X är mindre än ett visst tal (dvs. om det finns ett tal M så att för något värde x є X gäller följande olikhet: f(x) m. Funktionen y=f(. x) kallas bounded ovan på mängden X є D(f), om alla värden för denna funktion på mängden X är mindre än ett visst tal (dvs. om det finns ett tal M så att för något värde x є X följande ojämlikhet gäller: f(x)

Det största och minsta värdet av funktionen Tal m kallas det minsta värdet av funktionen y=f(x) på mängden X є D(f), om: 1) det finns en punkt x o є X sådan att f(x o )=m; 2) För varje värde x є X är olikheten f(x)f(x o) uppfylld Talet M kallas det största värdet av funktionen y=f(x) på mängden X є D(f), om: 1) det finns en punkt x o є X sådan, att f(x o)=M; 2) För varje värde x є X är olikheten f(x)f(x o) uppfylld

En funktions konvexitet En funktion är konvex uppåt på ett intervall X med Dif) om vi, genom att koppla två punkter i dess graf med abskissan av X med ett segment, finner att motsvarande del av grafen ligger ovanför det ritade segmentet. En funktion anses vara konvex nedåt på ett intervall X med D(f) om vi, genom att koppla samman två punkter i dess graf med abskissan av X med ett segment, finner att motsvarande del av grafen ligger under det ritade segmentet

Kontinuitet för en funktion, kontinuitet för en funktion på ett intervall X betyder att grafen för en funktion på ett givet intervall inte har några brytpunkter (dvs. det är en heldragen linje). Kommentar. Faktum är att vi kan tala om kontinuiteten för en funktion först när det är bevisat att funktionen är kontinuerlig. Men motsvarande definition är komplex och vi kan ännu inte göra det (vi kommer att ge det senare, i § 26). Detsamma kan sägas om begreppet konvexitet. När vi diskuterar dessa två egenskaper hos funktioner kommer vi därför att fortsätta att förlita oss på visuella och intuitiva koncept.

Extrema punkter och extremum av funktionen. Maximi- och minimumpunkterna för en funktion kallas extrema punkter för funktionen. Definition. En punkt x 0 kallas en minimipunkt för en funktion f om olikheten f(x) f(x 0) gäller för alla x från någon grannskap av x 0. Definition. En punkt x 0 kallas en maxpunkt för en funktion f om olikheten f(x) f(x 0) gäller för alla x från någon grannskap av x 0.

Schema för att studera en funktion 1 - Definitionsdomän 2 - jämn (udda) 3 - den minsta positiva perioden 4 - intervall med ökande och minskande 5 - punkter av extrema och extrema för funktionen 6 - avgränsning av funktionen 7 - kontinuitet för funktionen funktion 8 - funktionens största och minsta värde 9 - Värdeområde 10 - funktions konvexitet

De har många egenskaper:

1. Funktionen kallas monoton på ett visst intervall A, om det ökar eller minskar på detta intervall

2. Funktionen kallas ökande på ett visst intervall A, om följande villkor är uppfyllt för något antal av deras mängd A:.

Grafen för en ökande funktion har en speciell egenskap: när man rör sig längs x-axeln från vänster till höger längs intervallet A ordinaterna för grafpunkterna ökar (fig. 4).

3. Funktionen kallas minskar med något intervall A, om det finns många av dem för några siffror A villkoret är uppfyllt:.

Grafen för en minskande funktion har en speciell egenskap: när man rör sig längs x-axeln från vänster till höger längs intervallet A ordinaterna för grafpunkterna minskar (fig. 4).

4. Funktionen kallas även på någon uppsättning X, om villkoret är uppfyllt: .

Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring ordinataaxeln (fig. 2).

5. Funktionen kallas udda på någon uppsättning X, om villkoret är uppfyllt: .

Grafen för en udda funktion är symmetrisk om origo (fig. 2).

6. Om funktionen y = f(x)
f(x) f(x), då säger de att funktionen y = f(x) accepterar minsta värde på=f(x) på X= x(Fig. 2, funktionen tar det minsta värdet vid punkten med koordinater (0;0)).

7. Om funktionen y = f(x)är definierad på mängden X och det finns sådan att för alla olikheten f(x) f(x), då säger de att funktionen y = f(x) accepterar högsta värde på=f(x) på X= x(Fig. 4, funktionen har inte de största och minsta värdena) .

Om för denna funktion y = f(x) alla listade fastigheter har studerats, då säger man det studie funktioner.

Numerisk funktion Denna överensstämmelse mellan en nummeruppsättning kallas X och många R reella tal, där varje nummer från mängden X matchar ett enstaka nummer från en uppsättning R. Ett gäng X kallad funktionens domän . Funktioner indikeras med bokstäver f, g, h etc. Om f– funktion definierad på apparaten X, sedan reellt tal y, motsvarande antalet X det finns många av dem X, ofta betecknad f(x) och skriv
y = f(x). Variabel X detta kallas ett argument. Uppsättning nummer av formuläret f(x) kallad funktionsområde

Funktionen specificeras med en formel. Till exempel , y = 2X - 2. Om, när man specificerar en funktion med hjälp av en formel, dess definitionsdomän inte anges, antas det att definitionsdomänen för funktionen är definitionsdomänen för uttrycket f(x).

1. Funktionen kallas monoton på ett visst intervall A, om det ökar eller minskar på detta intervall

2. Funktionen kallas ökande på ett visst intervall A, om följande villkor är uppfyllt för något antal av deras mängd A: .

Grafen för en ökande funktion har en speciell egenskap: när man rör sig längs x-axeln från vänster till höger längs intervallet A ordinaterna för grafpunkterna ökar (fig. 4).

3. Funktionen kallas minskar med något intervall A, om det finns många av dem för några siffror A villkoret är uppfyllt: .

Grafen för en minskande funktion har en speciell egenskap: när man rör sig längs x-axeln från vänster till höger längs intervallet A ordinaterna för grafpunkterna minskar (fig. 4).

4. Funktionen kallas även på någon uppsättning X, om villkoret är uppfyllt: .

Grafen för en jämn funktion är symmetrisk kring ordinataaxeln (fig. 2).

5. Funktionen kallas udda på någon uppsättning X, om villkoret är uppfyllt: .

Grafen för en udda funktion är symmetrisk om origo (fig. 2).

6. Om funktionen y = f(x)
f(x) f(x), då säger de att funktionen y = f(x) accepterar minsta värde på =f(x) på X= x(Fig. 2, funktionen tar det minsta värdet vid punkten med koordinater (0;0)).

7. Om funktionen y = f(x)är definierad på mängden X och det finns sådan att för alla olikheten f(x) f(x), då säger de att funktionen y = f(x) accepterar högsta värde på =f(x) på X= x(Fig. 4, funktionen har inte de största och minsta värdena) .

Om för denna funktion y = f(x) alla listade fastigheter har studerats, då säger man det studie funktioner.

Gränser.

Ett tal A kallas gränsen för en funktion eftersom x tenderar att ∞ om det för någon E>0 finns δ (E)>0 så att för alla x uppfyller olikheten |x|>δ olikheten |F(x) -A|

Ett tal A kallas gränsen för en funktion eftersom X tenderar till X 0 om det för någon E>0 finns δ (E)>0 så att för alla X≠X 0 uppfyller olikheten |X-X 0 |<δ выполняется неравенство |F(x)-A|

ENSIDA GRÄNSER.

När man definierar gränsen tenderar X till X0 på ett godtyckligt sätt, det vill säga från vilken riktning som helst. När X tenderar till X0, så att den alltid är mindre än X0, kallas gränsen för gränsen vid punkten X0 till vänster. Eller en vänsterhänt gräns. Den högra gränsen definieras på liknande sätt.