Generell ligning av dynamikk. Et eksempel på å løse et problem. Prinsippet om mulige bevegelser. Generell dynamikkligning Generell dynamikkligning teoretisk mekanikk eksempler på løsninger

Basert på d'Alemberts prinsipp er følgende likheter gyldige:

hvor er den aktive kraften; - reaksjon av forbindelser; – punktets treghetskraft (fig. 3.36).

Ved å multiplisere skalært hver av relasjonene (3.45) med den mulige forskyvningen av punktet og summere over alle punktene i systemet, får vi

(3.46)

Likhet (3.46) er en generell dynamikkligning for et mekanisk system med eventuelle begrensninger. Hvis forbindelsene er ideelle, da og uttrykk (3.46) har en av formene:

Generell dynamikkligning (united d’Alembert–Lagrange-prinsippet).Ved ethvert bevegelsesøyeblikk av et system med ideelle forbindelser, er summen av de elementære verkene til alle aktive krefter og treghetskreftene til punktene i systemet lik null ved enhver mulig bevegelse av systemet.

Generaliserte koordinater

La systemet bestå av N poeng og plasseringen bestemmes av 3 N koordinater til systempunkter (Fig. 3.37). pålagt systemet l

holonomiske toveisforbindelser, hvis likninger s=1,2,…,l.

Så 3 N koordinater knyttet l ligninger og uavhengige koordinater vil være n=3N-l.

Som n uavhengige koordinater, kan du velge alle uavhengige parametere

Uavhengige parametere som unikt bestemmer posisjonen til systemet kalles generaliserte koordinater til systemet.

Ris. 3,37

Generelt er de funksjoner av de kartesiske koordinatene til punktene i systemet:

Du kan uttrykke kartesiske koordinater i form av generaliserte koordinater:

For radiusvektoren til hvert punkt i systemet får vi

Hvis forbindelsene er stasjonære, vil ikke tiden eksplisitt inngå (3.47). For holonomiske forbindelser kan vektoren for mulig bevegelse av et punkt uttrykkes i formen:

Hvis forbindelsene er holonomiske, faller antallet uavhengige mulige bevegelser (eller variasjoner) sammen med antallet uavhengige generaliserte koordinater. Derfor, antall frihetsgrader til et holonomisk system er lik antallet uavhengige generaliserte koordinater til dette systemet, dvs. n=3N-l.

For ikke-holonomiske systemer, i det generelle tilfellet, er antallet uavhengige variasjoner (mulige forskyvninger) mindre enn antallet generaliserte koordinater. Derfor er antallet frihetsgrader for et ikke-holonomisk system, lik antall uavhengige mulige forskyvninger, også mindre enn antallet generaliserte koordinater til systemet.

Derivatene av generaliserte koordinater med hensyn til tid kalles generaliserte hastigheter og er betegnet

Generaliserte styrker

Ris. 3,38

Definisjon av generaliserte krefter. Tenk på et holonomisk system fra N materielle poeng, ha n grader av frihet og under påvirkning av et styrkesystem (Fig. 3.38). Posisjonen til systemet bestemmes n generaliserte koordinater de.

Vektor for mulig bevegelse –

(3.48)

La oss beregne summen av elementære krefter som virker på systemet på den mulige forskyvningen av systemet:

(3.49)

Ved å erstatte (3.48) med (3.49) og endre rekkefølgen på summeringen får vi

(3.50)

Skalær mengde kalles den generaliserte kraften knyttet til den generaliserte koordinaten q i.

Dimensjon av generalisert kraft. Fra formel (3.50) får vi dimensjonen til den generaliserte kraften [ Q]=[EN]/[q]. Hvis den generaliserte koordinaten har dimensjonen lengde, så har den generaliserte kraften dimensjonen kraft [N], men hvis den generaliserte koordinaten er en vinkel (dimensjon - 1), så har den generaliserte kraften dimensjonen til kraftmomentet [ N×m].

Beregning av generaliserte krefter. 1. Den generaliserte kraften kan beregnes ved å bruke formelen som bestemmer den:

Hvor F kx,Fyx,F kz– kraftprojeksjoner på koordinataksene; x k,y yx,z k– koordinater til kraftpåføringspunktet

2. Generaliserte krefter er koeffisienter for de tilsvarende variasjonene av generaliserte koordinater i uttrykket for elementært arbeid (3.50):

3. Hvis systemet blir fortalt en mulig bevegelse slik at bare én generalisert koordinat endres q j så fra (3.52) har vi

Indeks qi i telleren indikerer at summen av arbeid beregnes på en mulig bevegelse der kun koordinaten endres (varierer) qi.

4. For potensielle krefter:

(3.53)

hvor er kraftfunksjonen.

Fra uttrykk (3.51), tar man hensyn til likheter (3.53), følger det at

Dermed,

hvor er den potensielle energien til systemet.

3.5.6. Generell ligning av dynamikk i generaliserte krefter.
Forutsetninger for styrkebalanse

Generell dynamikkligning (3,50)

Vektoren for mulig bevegelse i henhold til (3.48) er lik

Når dette uttrykket tas i betraktning, tar den generelle dynamikkligningen formen

La oss transformere det ved å endre rekkefølgen på summeringen

(3.54)

Her – generalisert kraft av aktive krefter som tilsvarer den generaliserte koordinaten qi; – generalisert treghetskraft som tilsvarer den generaliserte koordinaten qi.Da tar ligning (3.54) formen

Inkrementene av generaliserte koordinater er vilkårlige og uavhengige av hverandre. Derfor må koeffisientene for dem i den siste ligningen være lik null:

(3.55)

Disse ligningene tilsvarer den generelle ligningen for dynamikk.

Hvis kreftene som virker på et mekanisk system tilsvarer null, dvs. Hvis et mekanisk system beveger seg jevnt i en rett linje eller opprettholder en hviletilstand, er treghetskreftene til punktene lik null. Følgelig er de generaliserte treghetskreftene til systemet lik null , så tar ligningene (3.55) formen

(3.56)

Likheter (3.56) uttrykker betingelsene for likevekt av krefter i generaliserte krefter.

Når det gjelder konservative krefter

Følgelig har likevektsforholdene til et konservativt system av krefter formen

Prinsippet om mulige forskyvninger gir en generell metode for å løse statiske problemer. På den annen side tillater d'Alemberts prinsipp bruk av statiske metoder for å løse dynamiske problemer. Derfor, ved å bruke disse to prinsippene samtidig, kan vi få en generell metode for å løse dynamikkproblemer.

La oss vurdere et system av materielle punkter som ideelle forbindelser er pålagt. Hvis vi legger til de tilsvarende treghetskreftene til alle punkter i systemet, i tillegg til de aktive kreftene og reaksjonsreaksjonene som virker på dem, vil det resulterende kraftsystemet være i likevekt i henhold til d'Alemberts prinsipp. Så, ved å anvende prinsippet om mulige forskyvninger på disse kreftene, får vi

Men den siste summen etter betingelse (98) er lik null og vil til slutt være:

Følgende D'Alembert-Lagrange-prinsipp følger av det oppnådde resultatet: når et mekanisk system med ideelle forbindelser beveger seg, vil summen av de elementære verkene til alle påførte aktive krefter og alle treghetskrefter på enhver mulig bevegelse av systemet i hvert øyeblikk vil være lik null.

Ligning (102), som uttrykker dette prinsippet, kalles den generelle dynamikkligningen. I analytisk form har ligning (102) formen

Ligninger (102) eller (103) lar oss komponere differensialligninger for bevegelse av et mekanisk system.

Hvis systemet er en samling av noen faste legemer, er det for å tegne ligninger nødvendig å legge til de aktive kreftene som virker på hvert legeme en kraft påført ved et hvilket som helst senter lik hovedvektoren for treghetskrefter, og et par med et moment lik treghetsmomentets hovedkrefter i forhold til dette senteret (eller en av disse verdiene, se § 134), og bruk deretter prinsippet om mulige bevegelser.

Oppgave 173. I en sentrifugalregulator som roterer jevnt rundt en vertikal akse med en vinkelhastighet c (fig. 362), er vekten av hver av kulene og lik vekten av koblingen lik Q. Forsømmer vekten av stengene , bestemme vinkelen a if

Løsning. Vi legger til sentrifugale treghetskrefter til de aktive kreftene (treghetskraften til koblingen vil åpenbart være lik null) og komponerer den generelle dynamikkligningen i formen (103). Deretter, ved å beregne projeksjonene av alle krefter på koordinataksene, får vi

Koordinatene til påføringspunktene for krefter er like:

Ved å differensiere disse uttrykkene finner vi:

Ved å erstatte alle de funnet verdiene i ligning (a), får vi

Herfra endelig

Siden ballene vil avvike når . Med økende vinkel øker a, og tenderer til 90° ved

Oppgave 174. I heisen vist i fig. 363, påføres et roterende moment M på et tannhjul som har en vekt og en treghetsradius i forhold til sin akse. Bestem akselerasjonen til en løftet last 3 med en vekt Q, og neglisjerer vekten av tauet og friksjonen i aksene. Trommelen som tauet er viklet på er stivt forbundet med et annet gir; deres totale vekt er lik , og treghetsradius i forhold til rotasjonsaksen. Radiiene til tannhjulene er lik henholdsvis trommelradiusen.

Løsning. Vi viser den aktive kraften Q og dreiemomentet M som virker på systemet (kreftene virker ikke); vi legger til dem treghetskraften til lasten og paret med momenter og som treghetskreftene til roterende legemer reduseres til (se § 134).

Introduksjon

Kinematikk omhandler beskrivelsen av de enkleste typer mekaniske bevegelser. I dette tilfellet ble ikke årsakene som forårsaket endringer i kroppens posisjon i forhold til andre kropper berørt, og referansesystemet ble valgt av bekvemmelighetshensyn ved løsning av et bestemt problem. I dynamikk er først og fremst årsakene til at noen kropper begynner å bevege seg i forhold til andre kropper, så vel som faktorene som forårsaker utseendet av akselerasjon, av interesse. Men lovene i mekanikk har strengt tatt ulik form i ulike referansesystemer. Det er slått fast at det finnes slike referansesystemer der lovene og mønstrene ikke er avhengig av valg av referansesystem. Slike referansesystemer kalles treghetssystemer(ISO). I disse referansesystemene avhenger størrelsen på akselerasjonen kun av de virkende kreftene og avhenger ikke av valget av referansesystemet. Treghetsreferanserammen er heliosentrisk referanseramme, hvis opprinnelse er i sentrum av solen. Referansesystemer som beveger seg jevnt rettlinjet i forhold til treghetssystemet er også treghetssystemer, og referansesystemer som beveger seg med akselerasjon i forhold til treghetssystemet er ikke-treghet. Av disse grunnene er jordoverflaten strengt tatt en ikke-treghetsreferanseramme. I mange problemer kan referanserammen knyttet til Jorden betraktes som treghet med en god grad av nøyaktighet.

Grunnleggende lover for dynamikk i treghet og ikke-treghet

Referansesystemer

Evnen til en kropp til å opprettholde en tilstand med jevn rettlinjet bevegelse eller å være i ro i ISO kalles kroppens treghet. Målet på kroppens treghet er vekt. Masse er en skalar mengde, målt i kilogram (kg) i SI-systemet. Mål for interaksjon er en størrelse som kalles med makt. Kraft er en vektorstørrelse, målt i Newton (N) i SI-systemet.

Newtons første lov. I treghetsreferansesystemer beveger et punkt seg jevnt i en rett linje eller er i ro hvis summen av alle krefter som virker på det er lik null, dvs.:

hvor er kreftene som virker på et gitt punkt.

Newtons andre lov. I treghetssystemer beveger et legeme seg med akselerasjon hvis summen av alle krefter som virker på det ikke er lik null, og produktet av kroppens masse og dets akselerasjon er lik summen av disse kreftene, dvs.:

Newtons tredje lov. Kraftene som legemer virker på hverandre med er like store og motsatte i retning, dvs.: .

Krefter, som mål på samhandling, er alltid født i par.

For å lykkes med å løse de fleste problemer ved å bruke Newtons lover, er det nødvendig å følge en viss rekkefølge av handlinger (en slags algoritme).

Hovedpunkter i algoritmen.

1. Analyser tilstanden til problemet og finn ut hvilke kropper den aktuelle kroppen samhandler med. Basert på dette, bestemme mengden krefter som virker på den aktuelle kroppen. Anta at antallet krefter som virker på kroppen er lik . Lag så en skjematisk riktig tegning som du kan plotte alle kreftene som virker på kroppen.

2. Bruk tilstanden til problemet, bestem akselerasjonsretningen til den aktuelle kroppen, og avbild akselerasjonsvektoren i figuren.

3. Skriv Newtons andre lov i vektorform, dvs.:

Hvor krefter som virker på kroppen.

4. Velg et treghetsreferansesystem. Tegn på figuren et rektangulært kartesisk koordinatsystem, hvis OX-akse er rettet langs akselerasjonsvektoren, OY- og OZ-aksen er rettet vinkelrett på OX-aksen.

5. Bruk den grunnleggende egenskapen til vektorlikheter, skriv ned Newtons andre lov for projeksjoner av vektorer på koordinataksene, dvs.:

6. Hvis det i et problem, i tillegg til krefter og akselerasjoner, er nødvendig å bestemme koordinater og hastighet, så er det i tillegg til Newtons andre lov også nødvendig å bruke kinematiske bevegelsesligninger. Etter å ha skrevet ned et ligningssystem, er det nødvendig å ta hensyn til det faktum at antall ligninger er lik antall ukjente i denne oppgaven.

La oss vurdere en ikke-treghetsreferanseramme som roterer med en konstant vinkelhastighet rundt en akse som beveger seg translasjonsmessig med en hastighet i forhold til treghetsrammen. I dette tilfellet er akselerasjonen til et punkt i treghetsrammen () relatert til akselerasjonen i den ikke-treghetsrammen () ved forholdet:

hvor er akselerasjonen til det ikke-treghetssystemet i forhold til treghetssystemet, den lineære hastigheten til et punkt i det ikke-treghetssystemet. Fra den siste relasjonen, i stedet for akselerasjon, erstatter vi i likhet (1), får vi uttrykket:

Dette forholdet kalles Newtons andre lov i en ikke-treghet referanseramme.

Treghetskrefter. La oss introdusere følgende notasjon:

1. – treghetskraft fremover;

2. – Coriolis kraft;

3 – treghet sentrifugalkraft.

I oppgavene er translasjonskraften til treghet avbildet mot vektoren ved akselerasjonen av translasjonsbevegelsen til en ikke-treghetsreferanseramme (), treghetssentrifugalkraften er representert fra rotasjonssenteret langs radien (); retningen til Coriolis-kraften bestemmes av regelen gimlet for kryssproduktet av vektorer.

Treghetskrefter er strengt tatt ikke krefter i full forstand, fordi Newtons tredje lov holder ikke for dem, dvs. de er ikke sammenkoblet.

Krafter

Kraften til universell tyngdekraft. Kraften til universell gravitasjon oppstår i prosessen med interaksjon mellom kropper med masser og beregnes ut fra forholdet:

. (4)

Proporsjonalitetskoeffisienten kalles gravitasjonskonstant. Dens verdi i SI-systemet er lik .

Reaksjonens kraft. Reaksjonskrefter oppstår når en kropp samhandler med ulike strukturer som begrenser dens posisjon i rommet. For eksempel blir et legeme hengt opp i en tråd påvirket av en reaksjonskraft, vanligvis kalt kraften Spenninger. Trådens strekkkraft er alltid rettet langs tråden. Det er ingen formel for å beregne verdien. Vanligvis er verdien funnet enten fra Newtons første eller andre lov. Reaksjonskrefter inkluderer også krefter som virker på en partikkel på en glatt overflate. De ringer henne normal reaksjonskraft, betegne . Reaksjonskraften er alltid rettet vinkelrett på overflaten som vurderes. En kraft som virker på en jevn overflate fra siden av kroppen kalles normal trykkkraft(). I følge Newtons tredje lov er reaksjonskraften lik kraften til normalt trykk, men vektorene til disse kreftene har motsatt retning.

Elastisk kraft. Elastiske krefter oppstår i legemer dersom kroppene deformeres, dvs. hvis kroppens form eller volum endres. Når deformasjonen stopper, forsvinner de elastiske kreftene. Det skal bemerkes at selv om elastiske krefter oppstår under deformasjon av kropper, fører deformasjon ikke alltid til fremveksten av elastiske krefter. Elastiske krefter oppstår i kropper som er i stand til å gjenopprette sin form etter opphør av ytre påvirkning. Slike kropper og de tilsvarende deformasjonene kalles elastisk. Med plastisk deformasjon forsvinner ikke endringene helt etter opphør av ytre påvirkning. Et slående eksempel på manifestasjonen av elastiske krefter kan være kreftene som oppstår i fjærer utsatt for deformasjon. For elastiske deformasjoner som oppstår i deformerte legemer, er den elastiske kraften alltid proporsjonal med størrelsen på deformasjonen, dvs.:

, (5)

hvor er elastisitetskoeffisienten (eller stivheten) til fjæren, deformasjonsvektoren til fjæren.

Denne uttalelsen kalles Hookes lov.

Friksjonskraft. Når en kropp beveger seg langs overflaten til en annen, oppstår det krefter som hindrer denne bevegelsen. Slike krefter kalles vanligvis glidende friksjonskrefter. Størrelsen på den statiske friksjonskraften kan variere avhengig av den påførte ytre kraften. Ved en viss verdi av den ytre kraften når den statiske friksjonskraften sin maksimale verdi. Etter dette begynner kroppen å gli. Det er eksperimentelt fastslått at kraften til glidefriksjonen er direkte proporsjonal med kraften til kroppens normale trykk på overflaten. I følge Newtons tredje lov er kraften til et legemes normale trykk på en overflate alltid lik reaksjonskraften som overflaten selv virker med på et legeme i bevegelse. Når dette tas i betraktning, har formelen for å beregne størrelsen på den glidende friksjonskraften formen:

, (6)

hvor er størrelsen på reaksjonskraften; glidende friksjonskoeffisient. Den glidende friksjonskraften som virker på et bevegelig legeme er alltid rettet mot dets hastighet, langs kontaktflatene.

Motstandens kraft. Når legemer beveger seg i væsker og gasser oppstår det også friksjonskrefter, men de skiller seg vesentlig fra tørrfriksjonskreftene. Disse kreftene kalles viskøse friksjonskrefter, eller motstandskrefter. Viskøse friksjonskrefter oppstår bare under den relative bevegelsen av legemer. Motstandskrefter avhenger av mange faktorer, nemlig: av størrelsen og formen til legemer, på egenskapene til mediet (tetthet, viskositet), på hastigheten på relativ bevegelse. Ved lave hastigheter er dragkraften direkte proporsjonal med kroppens hastighet i forhold til mediet, dvs.:

. (7)

Ved høye hastigheter er dragkraften proporsjonal med kvadratet på kroppens hastighet i forhold til mediet, dvs.:

, (8)

hvor er noen proporsjonalitetskoeffisienter, kalt motstandskoeffisienter.

Grunnleggende ligning av dynamikk

Den grunnleggende ligningen for dynamikken til et materiell punkt er ikke noe mer enn et matematisk uttrykk for Newtons andre lov:

. (9)

I en treghetsreferanseramme inkluderer summen av alle krefter bare krefter som er mål på interaksjoner; i ikke-treghetsrammer inkluderer summen av krefter treghetskrefter.

Fra et matematisk synspunkt er relasjon (9) en differensialligning for bevegelse av et punkt i vektorform. Dens løsning er hovedproblemet med dynamikken til et materiell punkt.

Eksempler på problemløsning

Oppgave nr. 1. Et glass legges på et ark. Med hvilken akselerasjon må arket settes i bevegelse for å trekke det ut under glasset, hvis friksjonskoeffisienten mellom glasset og papirarket er 0,3?

La oss anta at med en viss kraft som virker på et papirark, beveger glasset seg sammen med arket. La oss separat skildre kreftene som virker på et glass med masse. Følgende legemer virker på glasset: Jorden med tyngdekraften, et papirark med en reaksjonskraft, et papirark med en friksjonskraft rettet langs glassets bevegelseshastighet. Bevegelsen til glasset akselereres jevnt, derfor er akselerasjonsvektoren rettet langs glassets bevegelseshastighet.

La oss skildre akselerasjonsvektoren til glasset i figuren. La oss skrive Newtons andre lov i vektorform for kreftene som virker på glasset:

La oss rette OX-aksen langs akselerasjonsvektoren til glasset, og OY-aksen ¾ vertikalt oppover. La oss skrive Newtons andre lov i projeksjoner på disse koordinataksene og få følgende ligninger:

(1.1)

Når kraften som virker på papirarket øker, øker størrelsen på friksjonskraften som papirarket virker på glasset. Ved en viss verdi av kraften når størrelsen på friksjonskraften sin maksimale verdi, lik størrelsesorden som den glidende friksjonskraften. Fra dette øyeblikket begynner glasset å gli i forhold til overflaten av papiret. Friksjonskraftens grenseverdi er relatert til reaksjonskraften som virker på glasset som følger:

Fra likhet (1.2) uttrykker vi størrelsen på reaksjonskraften, og setter den inn i den siste relasjonen, vi har . Fra det resulterende forholdet finner vi størrelsen på friksjonskraften og setter den i likhet (1.1), vi får et uttrykk for å bestemme den maksimale akselerasjonen til glasset:

Ved å erstatte de numeriske verdiene til mengdene i den siste likheten, finner vi verdien av glassets maksimale akselerasjon:

Den resulterende akselerasjonsverdien til glasset er lik minimumsakselerasjonen til et papirark der det kan "trekkes ut" fra under glasset.

Svar: .

La oss skildre alle kreftene som virker på kroppen. I tillegg til den ytre kraften, påvirkes kroppen av jorden med tyngdekraften, en horisontal overflate med en reaksjonskraft og en friksjonskraft rettet mot kroppens hastighet. Kroppen beveger seg jevnt akselerert, og derfor er akselerasjonsvektoren rettet langs bevegelseshastigheten. La oss skildre vektoren i figuren. Vi velger koordinatsystemet som vist på figuren. Vi skriver Newtons andre lov i vektorform:

Ved å bruke hovedegenskapen til vektorlikheter, skriver vi ned ligninger for projeksjonene av vektorer inkludert i den siste vektorlikheten:

Vi skriver ned forholdet for den glidende friksjonskraften

Fra likhet (2.2) finner vi størrelsen på reaksjonskraften

Fra det resulterende uttrykket erstatter vi i likhet (2.3) i stedet for størrelsen på reaksjonskraften, får vi uttrykket

Ved å erstatte det resulterende uttrykket for friksjonskraften med likhet (2.1), vil vi ha en formel for å beregne akselerasjonen til kroppen:

Vi erstatter numeriske data i SI-systemet i den siste formelen og finner størrelsen på akselerasjonen til lasten:

Svar: .

For minimumsstørrelsen på kraften bestemmer vi retningen til friksjonskraften som virker på hvileblokken. La oss forestille oss at kraften er mindre enn minimumskraften som er tilstrekkelig til at kroppen forblir i ro. I dette tilfellet vil kroppen bevege seg nedover, og friksjonskraften som påføres den vil bli rettet vertikalt oppover. For å stoppe kroppen, må du øke størrelsen på den påførte kraften. I tillegg påvirkes denne kroppen av jorden med en gravitasjonskraft rettet vertikalt nedover, samt av en vegg med en reaksjonskraft rettet horisontalt til venstre. La oss skildre i figuren alle kreftene som virker på kroppen. La oss ta et rektangulært kartesisk koordinatsystem, hvis akser vil bli rettet som vist på figuren. For en kropp i ro skriver vi Newtons første lov i vektorform:

For den funnet vektorlikheten skriver vi ned likhetene for projeksjonene av vektorer på koordinataksene, vi får følgende ligninger:

Ved en minimumsverdi av den ytre kraften når størrelsen på den statiske friksjonskraften en maksimal verdi lik størrelsen på den glidende friksjonskraften:

Fra likhet (3.1) finner vi størrelsen på reaksjonskraften og erstatter den med likhet (3.3), får vi følgende uttrykk for friksjonskraften:

La oss erstatte høyresiden av dette forholdet i stedet for friksjonskraften i likhet (3.2), og få en formel for å beregne størrelsen på den påførte kraften:

Fra den siste formelen finner vi størrelsen på kraften:

Svar: .

La oss skildre alle kreftene som virker på en ball som beveger seg vertikalt nedover i luften. Den påvirkes av jorden med tyngdekraften og luften med motstandskraften. La oss skildre kreftene som er vurdert i figuren. I det første øyeblikket av tiden har resultanten av alle krefter en maksimal verdi, siden hastigheten til ballen er null og motstandskraften også er null. I dette øyeblikket har ballen en maksimal akselerasjon lik . Når ballen beveger seg, øker hastigheten, og følgelig øker luftmotstandens kraft. På et tidspunkt når motstandskraften en verdi lik tyngdekraften. Fra dette tidspunktet beveger ballen seg jevnt. La oss skrive Newtons første lov i vektorform for den jevne bevegelsen til en ball:

La oss rette OY-aksen vertikalt nedover. For denne vektorlikheten, la oss skrive likheten for projeksjonene av vektorer på OY-aksen:

. (4.1)

Motstandskraften avhenger av ballens tverrsnittsareal og størrelsen på dens hastighet som følger:

, (4.2)

hvor er proporsjonalitetskoeffisienten, kalt motstandskoeffisienten.

Fra likhetene (4.1) og (4.2) følger følgende forhold:

. (4.3)

La oss uttrykke massen til ballen gjennom dens tetthet og volum, og volumet på sin side gjennom ballens radius:

. (4.4)

Fra dette uttrykket finner vi massen og erstatter den med likhet (4.3), får vi følgende likhet:

. (4.5)

Vi uttrykker ballens tverrsnittsareal i form av dens radius:

Med hensyn til relasjon (4.6), vil likestilling (4.5) ha følgende form:

La oss betegne som radiusen til den første kulen; som radius til den andre kulen. La oss skrive formlene for hastighetene for jevn bevegelse av den første og andre kulen:

Fra de oppnådde likhetene finner vi hastighetsforholdet:

Fra forholdene til problemet er forholdet mellom radiene til kulene lik to. Ved å bruke denne betingelsen finner vi hastighetsforholdet:

Svar: .

Et legeme som beveger seg oppover langs et skråplan påvirkes av ytre kropper: a) Jorden med tyngdekraften rettet vertikalt nedover; b) et skråplan med en reaksjonskraft rettet vinkelrett på skråplanet; c) et skråplan med en friksjonskraft rettet mot kroppens bevegelse; d) et ytre legeme med en kraft rettet oppover langs skråplanet. Under påvirkning av disse kreftene beveger kroppen seg jevnt akselerert oppover skråplanet, og derfor er akselerasjonsvektoren rettet langs kroppens bevegelse. La oss skildre akselerasjonsvektoren i figuren. La oss skrive Newtons andre lov i vektorform:

La oss velge et rektangulært kartesisk koordinatsystem, hvis OX-akse er rettet langs akselerasjonen til kroppen, og OY-aksen er rettet vinkelrett på det skråplanet. La oss skrive Newtons andre lov i projeksjoner på disse koordinataksene og få følgende ligninger:

Den glidende friksjonskraften er relatert til reaksjonskraften ved følgende forhold:

Fra likhet (5.2) finner vi størrelsen på reaksjonskraften og erstatter den med likhet (5.3), har vi følgende uttrykk for friksjonskraften:

. (5.4)

Ved å erstatte høyre side av likhet (5.4) med likhet (5.1) i stedet for friksjonskraften, får vi følgende ligning for å beregne størrelsen på den nødvendige kraften:

La oss beregne størrelsen på kraften:

Svar: .

La oss skildre alle kreftene som virker på kroppene og blokken. La oss vurdere prosessen med bevegelse av kropper forbundet med en tråd kastet over en blokk. Tråden er vektløs og ikke-utvidbar, derfor vil størrelsen på strekkkraften på en hvilken som helst del av tråden være den samme, dvs. Og .

Forskyvningene av kropper over en hvilken som helst tidsperiode vil være de samme, og derfor vil verdiene av hastighetene og akselerasjonene til disse legemene til enhver tid være de samme. Av det faktum at blokken roterer friksjonsfritt og er vektløs, følger det at strekkkraften til gjengen på begge sider av blokken vil være den samme, dvs.:.

Dette innebærer likheten mellom strekkkreftene til tråden som virker på det første og andre legemet, dvs. . La oss skildre i figuren akselerasjonsvektorene til den første og andre kroppen. La oss skildre to OX-akser. La oss rette den første aksen langs akselerasjonsvektoren til den første kroppen, den andre - langs akselerasjonsvektoren til den andre kroppen. La oss skrive Newtons andre lov for hver kropp i projeksjon på disse koordinataksene:

Tatt i betraktning at , og uttrykker fra den første ligningen, erstatter vi i den andre ligningen, får vi

Fra den siste likheten finner vi akselerasjonsverdien:

Fra likhet (1) finner vi størrelsen på spenningskraften:

Svar: , .

Når den lille ringen roterer rundt sin omkrets, virker to krefter på den: tyngdekraften, rettet vertikalt nedover, og reaksjonskraften, rettet mot midten av ringen. La oss skildre disse kreftene i figuren, og også vise banen til ringen. Den sentripetale akselerasjonsvektoren til ringen ligger i banens plan og er rettet mot rotasjonsaksen. La oss skildre det på bildet. La oss skrive Newtons andre lov i vektorform for en roterende ring:

La oss velge et rektangulært koordinatsystem, hvis OX-akse vil bli rettet langs sentripetalakselerasjonen, og OY-aksen - vertikalt oppover langs rotasjonsaksen. La oss skrive Newtons andre lov i projeksjoner på disse koordinataksene:

Fra likhet (7.2) finner vi størrelsen på reaksjonskraften og erstatter den med likhet (7.1), får vi uttrykket:

. (7.3)

Sentripetalakselerasjon er relatert til rotasjonshastighet som følger: , hvor er rotasjonsradiusen til den lille ringen. Ved å erstatte høyresiden av den siste likheten i stedet med formel (7.3), får vi følgende relasjon:

. (7.4)

Fra figuren finner vi verdien av tangenten til vinkelen alfa . Når dette uttrykket tas i betraktning, vil likhet (7.4) ha formen:

Fra den siste ligningen finner vi den nødvendige høyden:

Svar: .

Tre krefter virker på et legeme som roterer med skiven: tyngdekraft, reaksjonskraft og friksjonskraft rettet mot rotasjonsaksen. La oss skildre alle kreftene i figuren. La oss i denne figuren vise retningen til. Vi skriver Newtons andre lov i vektorform:

La oss velge et rektangulært kartesisk koordinatsystem som vist på figuren. La oss skrive Newtons andre lov i projeksjoner på koordinataksene:

; (8.1)

. (8.2)

La oss skrive ned relasjonen for sentripetalakselerasjon:

. (8.3)

La oss erstatte høyresiden av likhet (8.3) i stedet for sentripetalakselerasjon med likhet (8.1), får vi:

. (8.4)

Fra likhet (8.4) er det klart at størrelsen på friksjonskraften er direkte proporsjonal med rotasjonsradiusen, derfor, når rotasjonsradiusen øker, øker den statiske friksjonskraften, og ved en viss verdi når den statiske friksjonskraften en maksimal verdi lik glidfriksjonskraften ().

Tar vi hensyn til likhet (8.2), får vi uttrykk for den maksimale statiske friksjonskraften:

Ved å erstatte høyre side av den resulterende likheten i stedet for friksjonskraften med likhet (4), får vi følgende relasjon:

Fra denne ligningen finner vi grenseverdien for rotasjonsradiusen:

Svar: .

Under flukten til en dråpe virker to krefter på den: tyngdekraften og dragkraften. La oss skildre alle kreftene i figuren. La oss velge en vertikalt rettet akse OY, hvis opprinnelse vil være plassert på jordens overflate. La oss skrive ned den grunnleggende ligningen for dynamikk:

Projiserer likhet på OY-aksen, vil vi ha følgende relasjon:

La oss dele begge sider av den siste likheten med og samtidig multiplisere begge sider med , ta i betraktning at , får vi uttrykket:

La oss dele begge sider av dette uttrykket med , får vi relasjonen:

Vi integrerer sistnevnte relasjon og oppnår hastighetens avhengighet av tid: .

Vi finner konstanten fra startbetingelsene ( ), oppnår vi ønsket hastighetsavhengighet på tid:

Vi bestemmer maksimal hastighet ut fra tilstanden :

Svar: ; .

La oss skildre i figuren kreftene som virker på pucken. La oss skrive Newtons andre lov i projeksjoner på OX-, OY- og OZ-aksene

Fordi , så for hele banen til skivens bevegelse er formelen gyldig for friksjonskraften, som, tatt i betraktning likheten for OZ, forvandles til formen:

Tatt i betraktning denne relasjonen, vil likheten for OX-aksen ta formen

Vi projiserer Newtons andre lov på tangenten til puckens bane på det aktuelle punktet, og vi får relasjonen:

hvor er størrelsen på tangentiell akselerasjon. Ved å sammenligne høyresiden av de siste likhetene, konkluderer vi med at .

Siden og , da tar vi i betraktning den forrige relasjonen har vi likheten , integrasjonen som fører til uttrykket , hvor er integrasjonskonstanten. La oss erstatte i det siste uttrykket , får vi hastighetens avhengighet av vinkel:

La oss bestemme konstanten fra startbetingelsene (når . ). Med dette i betraktning, skriver vi ned den endelige avhengigheten

Minimumshastighetsverdien oppnås når , og hastighetsvektoren er rettet parallelt med OX-aksen og verdien er lik .

Den generelle ligningen for dynamikk for et system med alle forbindelser (det kombinerte D'Alembert-Lagrange-prinsippet eller generell mekanikkligning):

hvor er den aktive kraften som påføres systemets th punkt; - reaksjonsstyrke til bindinger; – punkttreghet kraft; – mulig bevegelse.

I tilfelle av likevekt i systemet, når alle treghetskrefter til punktene i systemet forsvinner, blir det til prinsippet om mulige forskyvninger. Den brukes vanligvis til systemer med ideelle tilkoblinger, der betingelsen er oppfylt

I dette tilfellet har (229) en av formene:

. (230)

Dermed, i henhold til den generelle dynamikkligningen, til ethvert bevegelsesøyeblikk av et system med ideelle forbindelser, er summen av de elementære verkene til alle aktive krefter og treghetskreftene til punktene i systemet lik null ved enhver mulig bevegelse av systemet tillatt av forbindelsene.

Den generelle dynamikkligningen kan gis andre, ekvivalente former. Ved å utvide skalarproduktet til vektorer kan det uttrykkes som

hvor er koordinatene til th punkt i systemet. Tatt i betraktning at projeksjonene av treghetskrefter på koordinataksene gjennom projeksjonene av akselerasjoner på disse aksene er uttrykt av relasjonene

den generelle dynamikkligningen kan gis formen

I denne formen kalles det generell dynamikkligning i analytisk form.

Når du bruker den generelle dynamikkligningen, er det nødvendig å kunne beregne det elementære arbeidet til treghetskreftene til systemet på mulige forskyvninger. For å gjøre dette, bruk de tilsvarende formlene for elementært arbeid oppnådd for vanlige krefter. La oss vurdere deres anvendelse på treghetskreftene til et stivt legeme i spesielle tilfeller av dets bevegelse.

Under bevegelse fremover. I dette tilfellet har kroppen tre frihetsgrader og kan på grunn av de pålagte begrensningene bare utføre translasjonsbevegelser. Mulige bevegelser av kroppen som tillater forbindelser er også translasjonsmessige.

Treghetskrefter under translasjonsbevegelse reduseres til resultanten . For summen av elementære verk av treghetskrefter på den mulige translasjonsbevegelsen til en kropp, får vi

hvor er den mulige forskyvningen av massesenteret og et hvilket som helst punkt på kroppen, siden den translasjonelle mulige forskyvningen av alle punkter i kroppen er den samme: akselerasjonene er også de samme, dvs.

Når et stivt legeme roterer rundt en fast akse. Kroppen har i dette tilfellet én grad av frihet. Den kan rotere rundt en fast akse. Den mulige bevegelsen som tillates av de overliggende forbindelsene er også en rotasjon av kroppen med en elementær vinkel rundt en fast akse.

Treghetskreftene redusert til et punkt på rotasjonsaksen reduseres til hovedvektoren og hovedmomentet. Hovedvektoren for treghetskrefter påføres et fast punkt, og dets elementære arbeid med mulig forskyvning er null. For hovedmomentet av treghetskrefter vil elementært arbeid som ikke er null, kun utføres ved projeksjon på rotasjonsaksen. Altså, for summen av treghetskreftenes arbeid på den mulige forskyvningen som vi vurderer

hvis vinkelen er rapportert i retning av buepilen for vinkelakselerasjon.

I flat bevegelse. I dette tilfellet tillater begrensningene som er pålagt den stive kroppen bare mulig plan bevegelse. I det generelle tilfellet består den av en mulig translasjonsbevegelse sammen med en pol, som vi velger massesenter for, og en rotasjon gjennom en elementær vinkel rundt en akse som går gjennom massesenteret og vinkelrett på planet parallelt med hvilken kroppen kan utføre planbevegelse.

Siden treghetskreftene i planbevegelsen til et stivt legeme kan reduseres til hovedvektoren og hovedmomentet (hvis vi velger massesenteret som reduksjonssenter), så tvinger summen av treghetskraftens elementære arbeid på et plan mulig forskyvning vil reduseres til det elementære arbeidet til returvektoren til treghetskreftene på den mulige forskyvningen av massesenteret og det elementære arbeidet til hovedtreghetskreftene på en elementær rotasjonsforskyvning rundt aksen som går gjennom massesenter. I dette tilfellet kan ikke-null elementært arbeid kun utføres ved projeksjon av hovedmomentet av treghetskrefter på aksen, dvs. . Derfor har vi i saken under behandling

Prinsippet om mulige forskyvninger, som gir en generell metode for å løse statiske problemer, kan brukes til å løse dynamikkproblemer. Som kjent, i henhold til D'Alemberts prinsipp, danner totaliteten av alle krefter som virker på et mekanisk system og treghetskrefter et balansert system av krefter i hvert øyeblikk. Så, ved å bruke prinsippet om mulige forskyvninger på disse kreftene, for det mekaniske systemet får vi ligningen

Denne ligningen uttrykker følgende D'Alembert-Lagrange-prinsipp: Når et mekanisk system beveger seg i hvert øyeblikk av tid, er summen av de elementære verkene til alle krefter som virker på systemet og alle treghetskrefter ved enhver mulig bevegelse av systemet null. Ligning (24.1) kalles generell dynamikkligning.

Det første leddet i ligningen (24.1) inkluderer arbeidet til aktive krefter og arbeidet med bindingsreaksjoner. Hvis ideelle forbindelser pålegges systemet, så for deres reaksjoner

og den generelle dynamikkligningen for et system med ideelle forbindelser tar formen

Siden ligningene (24.1), (24.2) inkluderer arbeidet med treghetskrefter, hvis størrelse uttrykkes gjennom akselerasjon av punkter, gjør disse ligningene det mulig å komponere differensialligninger for bevegelse av et mekanisk system. Hvis systemet er en samling av noen faste legemer, er det tilrådelig å erstatte settet av treghetskrefter for alle punkter i hvert legeme med deres kraftekvivalenter: en kraft påført på et eller annet senter lik hovedvektoren til treghetskreftene til kropp, og et par treghetskrefter med et moment lik treghetsmomentets hovedmomentkrefter i forhold til dette senteret.

For et system som har s frihetsgrader, arbeidsligning

(24.2) kan skrives i form av generaliserte krefter og generaliserte koordinater i skjemaet

Hvor Qj - generalisert aktiv kraft; Q1*- generalisert treghetskraft som tilsvarer den generaliserte koordinaten q f.

Siden mulige bevegelser 8q, er uavhengige av hverandre og hver av dem er ikke lik null i det generelle tilfellet, vil betingelse (24.3) være oppfylt hvis

Hvor s- antall generaliserte koordinater eller antall frihetsgrader for systemet.

Ligninger (24.4) uttrykker generell likning av dynamikk i generaliserte krefter.

Oppgave 24.1. Det mekaniske systemet (fig. 24.1) består av en to-trinns trinse Jeg(vekt R ] - 20 N, trinnradier R- 0,4 m, G - 0,2 m, svingningsradius i forhold til rotasjonsaksen p = 0,3 m), viklet med tråder, i endene av hvilke en last er festet EN(vekt R 2= 10 N) og en rulle (en solid homogen sylinderveiing P 3 = 80 N). Rullen ruller uten å gli på en grov skrånende overflate med en helningsvinkel a = 30°. Systemet beveger seg i et vertikalt plan under påvirkning av tyngdekraften og dreiemomentet M - 6 N m påført trinsen JEG. Bestem vinkelakselerasjonen til remskiven, forutsatt at kroppene er helt stive og gjengene er uuttrekkbare.

Løsning. 1. Tenk på bevegelsen til et mekanisk system som består av kropper 1, 2, 3, forbundet med tråder. Forbindelsene som er pålagt systemet er ideelle. Systemet har én frihetsgrad. La oss velge vinkelen cp som generalisert koordinat, - trinsens rotasjonsvinkel 1.

For å bestemme vinkelakselerasjonen e til remskiven bruker vi den generelle dynamikkligningen (24.2)

hvor 28/4 ^ er summen av de elementære verkene til aktive krefter; 28/4” er summen av de elementære verkene til treghetskrefter.

2. Vi skildrer aktive krefter på tegningen Rx, R2, R3 og dreiemoment M. Vi viser ikke reaksjonene til ideelle bindinger (ved punkt O og L) på tegningen.

Vi setter retningen på vinkelakselerasjonen s til remskiven mot klokken. I samsvar med dette skildrer vi akselerasjonen på tegningen en 2 belastning og akselerasjon og i massesenter I sylindrisk rulle. Nå legger vi treghetskrefter til de aktive kreftene som virker på systemet, og retter dem motsatt av den tilsvarende akselerasjonen. De numeriske verdiene av disse mengdene bestemmes av formlene

Verdiene av treghetsmomenter er erstattet med disse formlene J 0 trinse og J inn solid homogen sylinder 3.

3. La oss informere systemet om mulig bevegelse 5фj >0; mens lasten L får trekk 5 s2, punktum I rulle - beveger seg 5 s B, og skøytebanen 3 vil rotere gjennom en vinkel på 5φ 3, rettet mot klokken.

Ved å komponere ligning (a), får vi

For å løse denne ligningen og bestemme vinkelakselerasjonen e, er det nødvendig å utføre to forberedende operasjoner: uttrykke alle forskyvninger gjennom inkrementet til den generaliserte koordinaten og uttrykke størrelsen på alle akselerasjoner gjennom ønsket akselerasjon.

Alle bevegelser involvert i ligning (c) er uttrykt i form av 5cpj:

Ved komposisjonen av den siste likestillingen ble det tatt hensyn til at punktet TIL sylinder 3 er det øyeblikkelige sentrum av hastigheter.

Akselerasjonsverdier en 2, en inn, s 3 som deltar i formlene (b), uttrykker vi gjennom ønsket vinkelakselerasjon s:

Ved å erstatte mengder (b) mens vi tar hensyn til likheter (e) og relasjoner (d) i ligning (c), etter forenklinger bringer vi det til skjemaet

Siden bf, 0, likestiller vi uttrykket i krøllede parenteser til null. Fra den resulterende ligningen finner vi ønsket verdi

Beregninger gir følgende svar: s = 2,4 s; tegnet indikerer at vinkelakselerasjonen til remskiven er rettet som forventet ved begynnelsen av beregningen, dvs. som vist i fig. 24.1.

For eksempel, hvis i samme problem dreiemomentet var likt M = 2 N m, da vil vi som et resultat av beregninger ved bruk av formel (g) få e = -2,4 s -1; dette vil bety at i det aktuelle tilfellet vil vinkelakselerasjonen til remskiven være rettet motsatt av den som er vist i fig. 24.1.

Løsninger på dynamikkproblemer inneholder, som et spesialtilfelle, en løsning på det tilsvarende statiske problemet. Hvis for det mekaniske systemet under vurdering (se fig. 24.1) ble likevektstilstanden bestemt i henhold til prinsippet om mulige forskyvninger, så ville vi fått designligningen

Som vi ser, på venstre side av likheten er det et uttrykk for telleren til formel (g), dvs. en betingelse er definert der 8 = 0 (som tilsvarer resten av systemet eller bevegelsen med jevn rotasjon av trinsen). Meningen med denne likheten er at den generaliserte aktive kraften til systemet ved en mulig forskyvning på 8φ er lik null, dvs. Q“ = 0.