Hvilke to plan kalles vinkelrett? Perpendikulære plan, tilstanden for perpendikulære plan. Vinkelrett i rommet kan ha
Hvis ett av to plan går gjennom en linje vinkelrett på det andre planet, så er de gitte planene vinkelrette () (fig. 28)
α – fly, V– en rett linje vinkelrett på den, β – et plan som går gjennom den rette linjen V, Og Med– den rette linjen som planene α og β skjærer langs.
Konsekvens. Hvis et plan er vinkelrett på skjæringslinjen til to gitte plan, så er det vinkelrett på hvert av disse planene
Oppgave 1. Bevis at gjennom et hvilket som helst punkt på en linje i rommet kan to forskjellige linjer vinkelrett på den trekkes.
Bevis:
I følge aksiomet Jeg det er et punkt som ikke er på linjen EN. Ved teorem 2.1, gjennom punktet I og direkte EN vi kan tegne planet α. (Fig. 29) Ved setning 2.3 gjennom punktet EN i α-planet kan vi tegne en rett linje EN. I følge aksiom C 1 er det et poeng MED, som ikke tilhører α. Ved teorem 15.1 gjennom punktet MED og direkte EN vi kan tegne planet β. I β-planet kan vi ifølge setning 2.3 gjennom punkt a tegne en rett linje med EN. Av konstruksjon har linjene b og c bare ett felles punkt EN og begge er vinkelrett
Oppgave 2. De øvre endene av to vertikalt stående søyler, atskilt med en avstand på 3,4 m, er forbundet med en tverrstang. Høyden på den ene stolpen er 5,8 m, og den andre er 3,9 m. Finn lengden på tverrstangen.
AC= 5,8 m, ВD= 3,9 m, AB- ? (fig. 30)
AE = AC – CE = AC – BD= 5,8 – 3,9 = 1,9 (m)
Ved Pythagoras teorem fra ∆ AEV vi får:
AB 2 = AE 2 + EB 2 = AE 2 + CD 2 = ( 1,9) 2 + (3,4) 2 = 15,17 (m2)
AB= = 3,9 (m)
Oppgaver
Mål. Lær å analysere den relative posisjonen til objekter i rommet i de enkleste tilfellene, bruk planimetriske fakta og metoder når du løser stereometriske problemer.
1. Bevis at du gjennom et hvilket som helst punkt på en linje i rommet kan tegne en linje vinkelrett på den.
2. Linjene AB, AC og AD er parvis vinkelrette. Finn segment-CD hvis:
1) AB = 3 cm , sol= 7 cm, AD= 1,5 cm;
2) VD= 9 cm, AD= 5 cm, Sol= 16 cm;
3) AB = b, BC = a, AD = d;
4) ВD = с, ВС = а, АD = d
3. Punkt A er på avstand en fra toppunktene i en likesidet trekant med side EN. Finn avstanden fra punkt A til planet til trekanten.
4. Bevis at hvis en linje er parallell med et plan, så er alle punktene i samme avstand fra planet.
5. En telefonledning på 15 m strekkes fra en telefonstolpe, hvor den er festet i en høyde av 8 m fra bakken, til et hus, hvor den er festet i en høyde av 20 m. Finn avstanden mellom huset og stolpen, forutsatt at ledningen ikke synker.
6. To skrånende skråninger tegnes fra et punkt til et plan, lik 10 cm og 17 cm. Forskjellen i projeksjonene til disse skrånende er 9 cm Finn projeksjonene til de skrånende.
7. To skråstilte tegnes fra et punkt til et plan, hvorav den ene er 26 cm større enn den andre. De skrå fremspringene er 12 cm og 40 cm Finn de skråstilte.
8. To skrå linjer er tegnet fra et punkt til et plan. Finn lengdene på skråningene hvis de har forholdet 1:2 og fremspringene til skråningene er 1 cm og 7 cm.
9. To skrånende skråninger lik 23 cm og 33 cm tegnes fra et punkt til et plan.
avstanden fra dette punktet til planet hvis de skrånende fremspringene er i forholdet 2:3.
10. Finn avstanden fra midten av segment AB til et plan som ikke skjærer dette segmentet hvis avstandene fra punktene a og B til planet er: 1) 3,2 cm og 5,3 cm, 7,4 cm og 6,1 cm; 3) a og c.
11. Løs forrige oppgave forutsatt at segment AB skjærer planet.
12. Et segment som er 1 m langt skjærer et plan, dets ender er fjernt fra planet i en avstand på 0,5 m og 0,3 m. Finn lengden på projeksjonen av segmentet på planet..
13. Fra punktene A og B slippes perpendikulærer ned på planet. Finn avstanden mellom punktene A og B hvis perpendikulærene er 3 m og 2 m, avstanden mellom basene deres er 2,4 m, og segmentet AB skjærer ikke planet.
14. Fra punktene A og B, som ligger i to perpendikulære plan, slippes perpendikulære AC og BD ned på skjæringslinjen mellom planene. Finn lengden på segment AB hvis: 1) AC = 6 m, BD = 7 m, CD = 6 m; 2) AC = 3 m, ВD = 4 m, CD = 12 m; 3) AD = 4 m, BC = 7 m, CD = 1 m; 4) AD = BC = 5 m, CD = 1 m; 4) AC = a, BD = b, CD = c; 5) AD = a, BC = b, CD = c.
15. Fra toppunktene A og B i likesidet trekant ABC gjenopprettes perpendikulære AA 1 og BB 1 til trekantens plan. Finn avstanden fra toppunktet C til midten av segment A 1 B 1 hvis AB = 2 m, CA 1 = 3 m, CB 1 = 7 m og segment A 1 B 1 ikke skjærer planet til trekanten
16. Fra toppunktene A og B til de spisse vinklene til den rettvinklede trekanten ABC reises perpendikulære AA 1 og BB 1 til trekantens plan. Finn avstanden fra toppunktet C til midten av segmentet A 1 B 1, hvis A 1 C = 4 m, AA 1 = 3 m, CB 1 = 6 m, BB 1 = 2 m og segmentet A 1 B 1 ikke krysser hverandre planet til trekanten.
TEKSTTRANSKRIPT AV LEKSJONEN:
Ideen om et fly i rommet lar oss for eksempel få tak i overflaten til et bord eller en vegg. Imidlertid har et bord eller en vegg endelige dimensjoner, og planet strekker seg utover grensene til det uendelige.
Tenk på to kryssende plan. Når de krysser hverandre, danner de fire dihedrale vinkler med en felles kant.
La oss huske hva en dihedral vinkel er.
I virkeligheten møter vi gjenstander som har form av en dihedral vinkel: for eksempel en litt åpen dør eller en halvåpen mappe.
Når to plan alfa og beta skjærer hverandre, får vi fire dihedrale vinkler. La en av de dihedriske vinklene være lik (phi), så er den andre lik (1800 -), den tredje, fjerde (1800 -).
Tenk på tilfellet når en av de dihedrale vinklene er 900.
Da er alle dihedrale vinkler i dette tilfellet lik 900.
La oss introdusere definisjonen av vinkelrette plan:
To plan kalles perpendikulære hvis dihedriske vinkelen mellom dem er 90°.
Vinkelen mellom sigma- og epsilon-planene er 90 grader, noe som betyr at planene er vinkelrette
La oss gi eksempler på vinkelrette plan.
Vegg og tak.
Sidevegg og bordplate.
La oss formulere et tegn på vinkelrett på to plan:
TEOREM: Hvis ett av to plan går gjennom en linje vinkelrett på det andre planet, så er disse planene vinkelrette.
La oss bevise dette tegnet.
Ved betingelse er det kjent at den rette linjen AM ligger i planet α, den rette linjen AM er vinkelrett på planet β,
Bevis: Planene α og β er vinkelrette.
Bevis:
1) Planene α og β skjærer hverandre langs den rette linjen AR, mens AM er AR, siden AM er β av betingelse, det vil si at AM er vinkelrett på en hvilken som helst rett linje som ligger i β-planet.
2) La oss tegne en rett linje AT vinkelrett på AP i β-planet.
Vi får vinkelen TAM - den lineære vinkelen til den dihedrale vinkelen. Men vinkelen TAM = 90°, siden MA er β. Altså α β.
Q.E.D.
Fra tegnet på vinkelrett på to plan har vi en viktig konsekvens:
KONKLUSJON: Et plan vinkelrett på en linje som to plan skjærer langs er vinkelrett på hvert av disse planene.
Det vil si: hvis α∩β=с og γ с, så γ α og γ β.
La oss bevise denne konsekvensen: hvis gammaplanet er vinkelrett på linjen c, så, basert på parallelliteten til de to planene, er gamma vinkelrett på alfa. På samme måte er gamma vinkelrett på beta
La oss omformulere denne konsekvensen for en dihedral vinkel:
Planet som går gjennom den lineære vinkelen til en dihedral vinkel er vinkelrett på kanten og flatene til denne dihedral vinkelen. Med andre ord, hvis vi har konstruert en lineær vinkel med en dihedral vinkel, så er planet som går gjennom den vinkelrett på kanten og flatene til denne dihedral vinkelen.
Gitt: ΔABC, C = 90°, AC ligger i α-planet, vinkelen mellom α- og ABC-planene = 60°, AC = 5 cm, AB = 13 cm.
Finn: avstanden fra punkt B til plan α.
1) La oss konstruere VC α. Så er KS projeksjonen av solen på dette planet.
2) BC AC (etter tilstand), som betyr, ifølge teoremet om tre perpendikulære (TPP), KS AC. Derfor er VSK den lineære vinkelen til den dihedrale vinkelen mellom planet α og planet til trekanten ABC. Det vil si VSK = 60°.
3) Fra ΔBCA i henhold til Pythagoras teorem:
Svaret VK er lik 6 røtter på tre cm
Praktisk bruk (anvendt natur) av vinkelrettheten til to plan.
Denne leksjonen vil hjelpe de som ønsker å få en forståelse av emnet "Tegnet på vinkelrett på to plan." I begynnelsen av det vil vi gjenta definisjonen av dihedrale og lineære vinkler. Deretter skal vi vurdere hvilke plan som kalles perpendikulære, og bevise tegnet på perpendikularitet til to plan.
Tema: Vinkelretthet av linjer og plan
Leksjon: Tegn på vinkelrett på to plan
Definisjon. En dihedral vinkel er en figur dannet av to halvplan som ikke tilhører samme plan og deres felles rette linje a (a er en kant).
Ris. 1
La oss vurdere to halvplan α og β (fig. 1). Deres felles grense er l. Denne figuren kalles en dihedral vinkel. To kryssende plan danner fire dihedrale vinkler med en felles kant.
En dihedral vinkel måles ved dens lineære vinkel. Vi velger et vilkårlig punkt på den felles kanten l av den dihedrale vinkelen. I halvplanene α og β, fra dette punktet tegner vi perpendikulære a og b til den rette linjen l og får den lineære vinkelen til dihedralvinkelen.
Rette linjer a og b danner fire vinkler lik φ, 180° - φ, φ, 180° - φ. Husk at vinkelen mellom rette linjer er den minste av disse vinklene.
Definisjon. Vinkelen mellom planene er den minste av de dihedriske vinklene som dannes av disse planene. φ er vinkelen mellom planene α og β, if
Definisjon. To kryssende plan kalles perpendikulære (gjensidig perpendikulære) hvis vinkelen mellom dem er 90°.
Ris. 2
Et vilkårlig punkt M velges på kanten l (fig. 2). La oss tegne to vinkelrette rette linjer MA = a og MB = b til kanten l i henholdsvis α-planet og β-planet. Vi fikk vinkelen AMB. Vinkel AMB er den lineære vinkelen til en dihedral vinkel. Hvis vinkelen AMB er 90°, kalles planene α og β vinkelrett.
Linje b er vinkelrett på linje l ved konstruksjon. Linje b er vinkelrett på linje a, siden vinkelen mellom planene α og β er 90°. Vi finner at linje b er vinkelrett på to skjærende linjer a og l fra planet α. Dette betyr at rett linje b er vinkelrett på plan α.
På samme måte kan vi bevise at rett linje a er vinkelrett på planet β. Linje a er vinkelrett på linje l ved konstruksjon. Linje a er vinkelrett på linje b, siden vinkelen mellom planene α og β er 90°. Vi finner at linje a er vinkelrett på to skjærende linjer b og l fra planet β. Dette betyr at rett linje a er vinkelrett på planet β.
Hvis ett av to plan går gjennom en linje vinkelrett på det andre planet, så er slike plan vinkelrett.
Bevise:
Ris. 3
Bevis:
La planene α og β skjære langs rett linje AC (fig. 3). For å bevise at planene er vinkelrett på hverandre, må du konstruere en lineær vinkel mellom dem og vise at denne vinkelen er 90°.
Den rette linjen AB er vinkelrett på planet β, og derfor på den rette linjen AC som ligger i planet β.
La oss tegne en rett linje AD vinkelrett på en rett linje AC i β-planet. Da er BAD den lineære vinkelen til den dihedrale vinkelen.
Den rette linjen AB er vinkelrett på planet β, og derfor på den rette linjen AD som ligger i planet β. Dette betyr at den lineære vinkelen BAD er 90°. Dette betyr at planene α og β er vinkelrette, som er det som måtte bevises.
Planet vinkelrett på linjen som to gitte plan skjærer langs er vinkelrett på hvert av disse planene (fig. 4).
Bevise:
Ris. 4
Bevis:
Den rette linjen l er vinkelrett på planet γ, og planet α går gjennom den rette linjen l. Dette betyr at, basert på perpendikulæriteten til plan, er planene α og γ vinkelrette.
Den rette linjen l er vinkelrett på planet γ, og planet β går gjennom den rette linjen l. Dette betyr at i henhold til vinkelrettheten til plan, er planene β og γ vinkelrette.
Forholdet til vinkelrett på fly vurderes - en av de viktigste og mest brukte i geometrien til rommet og dets anvendelser.
Fra alle de ulike gjensidige arrangement
to plan, det ene der planene er vinkelrett på hverandre, fortjener spesiell oppmerksomhet og studier (for eksempel planene til tilstøtende vegger i et rom,
gjerde og tomt, dør og gulv etc. (Fig. 417, a–c).
Eksemplene ovenfor lar oss se en av hovedegenskapene til forholdet som vi vil studere - symmetrien til plasseringen av hvert plan i forhold til det andre. Symmetri er sikret ved at flyene ser ut til å være "vevd" fra perpendikulære. La oss prøve å klargjøre disse observasjonene.
La oss ha et plan α og en rett linje c på det (fig. 418, a). La oss tegne gjennom hvert punkt på linjen c rette linjer vinkelrett på planet α. Alle disse linjene er parallelle med hverandre (hvorfor?) og danner ut fra oppgave 1 § 8 et visst plan β (fig. 418, b). Det er naturlig å kalle planet β vinkelrett plan α.
I sin tur danner alle linjer som ligger i planet α og vinkelrett på linjene planet α og er vinkelrett på planet β (Fig. 418, c). Faktisk, hvis a er en vilkårlig linje, så skjærer den linjen c på et tidspunkt M. En rett linje b vinkelrett på α går gjennom punktet M i planet β, derfor b a . Derfor, a c, a b, derfor a β. Dermed er planet α vinkelrett på planet β, og den rette linjen er skjæringslinjen deres.
To plan kalles vinkelrett hvis hver av dem er dannet av rette linjer vinkelrett på det andre planet og som går gjennom skjæringspunktene til disse planene.
Vinkelvinkelen til planene α og β er indikert med det kjente tegnet: α β.
En illustrasjon av denne definisjonen kan tenkes hvis vi tar for oss et fragment av et rom i et landsted (fig. 419). I den er gulv og vegg laget av plater vinkelrett på henholdsvis vegg og gulv. Derfor er de vinkelrette. På praksis
dette betyr at gulvet er horisontalt og veggen er vertikal.
Ovennevnte definisjon er vanskelig å bruke når man faktisk sjekker vinkelrettheten til fly. Men hvis vi nøye analyserer resonnementet som førte til denne definisjonen, ser vi at vinkelrettheten til planene α og β ble sikret ved tilstedeværelsen i β-planet av en rett linje b vinkelrett på α-planet (fig. 418, c). . Vi kom til kriteriet om vinkelrett på to plan, som oftest brukes i praksis.
406 Vinkelretthet av linjer og plan
Teorem 1 (test for vinkelrett på plan).
Hvis ett av to plan går gjennom en linje vinkelrett på det andre planet, er disse planene vinkelrette.
La planet β gå gjennom en linje b vinkelrett på planet α og er skjæringslinjen for planene α og β (Fig. 420, a). Alle rette linjer i planet β, parallelle med linjen b og kryssende linjen c, danner sammen med den rette linjen b planet β. Ved teoremet om to parallelle linjer, hvorav den ene er vinkelrett på planet (Setning 1 § 19), står alle sammen med linjen b vinkelrett på planet α. Det vil si at planet β består av rette linjer som går gjennom skjæringslinjen til planene α og β og vinkelrett på planet α (fig. 420, b).
Nå i planet α gjennom punktet A i skjæringspunktet mellom linjene b og vi tegner en linje vinkelrett på linje c (fig. 420, c). Den rette linjen er vinkelrett på planet β, basert på perpendikulæriteten til den rette linjen og planet (a c, etter konstruksjon, og b, siden b α). Ved å gjenta de foregående argumentene finner vi at planet α består av linjer vinkelrett på planet β, som går gjennom skjæringslinjen til planene. Ifølge definisjonen er planene α og β vinkelrette.■
Denne funksjonen gjør det mulig å etablere vinkelrett på flyene eller sikre det.
Eksempel 1. Fest skjoldet til stolpen slik at det er plassert vertikalt.
Hvis søylen står vertikalt, er det nok å feste et skjold tilfeldig til søylen og feste det (fig. 421, a). I henhold til funksjonen diskutert ovenfor, vil skjoldets plan være vinkelrett på jordoverflaten. I dette tilfellet har problemet et uendelig antall løsninger.
Vinkelretthet av fly | ||
Hvis søylen står på skrå mot bakken, er det nok å feste en vertikal skinne til søylen (Fig. 421, b), og deretter feste skjoldet til både skinnen og søylen. I dette tilfellet vil plasseringen av skjoldet være ganske bestemt, siden stolpen og skinnen definerer et enkelt plan.■
I forrige eksempel ble den "tekniske" oppgaven redusert til et matematisk problem om å tegne et plan vinkelrett på et annet plan gjennom en gitt rett linje.
Eksempel 2. Fra toppunktet A av kvadratet ABCD tegnes et segment AK vinkelrett på planet, AB = AK = a.
1) Bestem den relative posisjonen til planene AKC og ABD,
AKD og ABK.
2) Konstruer et plan som går gjennom linjen BD vinkelrett på plan ABC.
3) Tegn et plan vinkelrett på planet KAC gjennom midten F av segmentet KC.
4) Finn arealet av trekant BDF.
La oss konstruere en tegning som samsvarer med betingelsene i eksemplet (fig. 422).
1) Planene AKC og ABD er perpendikulære, i henhold til egenskapen til perpendikularitet til plan (setning 1): AK ABD, i henhold til betingelsen. Planene AKD og ABK er også vinkelrette
er polare, basert på vinkelrettheten til planene (setning 1). Faktisk er linjen AB som planet ABK passerer vinkelrett på planet AKD, i henhold til tegnet på perpendikulæriteten til linjen og planet (setning 1 § 18): AB AD som tilstøtende sider av et kvadrat; AB AK siden
AK ABD.
2) Basert på vinkelrettheten til planene, for ønsket konstruksjon er det nok å tegne en rett linje BD gjennom noen punkter
408 Vinkelretthet av linjer og plan
linje vinkelrett på plan ABC. Og for å gjøre dette er det nok å tegne en linje gjennom dette punktet parallelt med linjen AK.
Faktisk, etter betingelse, er rett linje AK vinkelrett på plan ABC og derfor, ifølge teoremet om to parallelle rette linjer,
vår, hvorav den ene er vinkelrett på planet (setning 1§19), |
|||||||||||||||||
den konstruerte rette linjen vil være vinkelrett på plan ABC. |
|||||||||||||||||
Konstruksjon. | Gjennom poenget | B vi gjennomfører | |||||||||||||||
VÆRE, | parallell | ||||||||||||||||
(Fig. 423). Flyet BDE er ønsket. | |||||||||||||||||
3) La F være midtpunktet av segmentet KC. Pro- | |||||||||||||||||
vi leder gjennom poenget | vinkelrett- | ||||||||||||||||
flyet | Denne rette linjen | ||||||||||||||||
barn direkte | FO, hvor | O - midten av torget | |||||||||||||||
ABCD (fig. 424). Faktisk,FO ||AK , | |||||||||||||||||
som gjennomsnittlig | trekantlinje | ||||||||||||||||
Fordi det | vinkelrett- | ||||||||||||||||
på overflaten | direkte FO | bu- | |||||||||||||||
det er vinkelrett på den, ifølge teoremet om | |||||||||||||||||
to parallelle linjer, hvorav en | |||||||||||||||||
ry vinkelrett på planet (setning 1 | |||||||||||||||||
§ 19). Derfor | FO DB. Og siden AC DB, så DB AOF (eller |
||||||||||||||||
KAC). Fly | BDF går gjennom en linje vinkelrett på |
||||||||||||||||
nalplanet KAC, det vil si at det er ønsket. | |||||||||||||||||
4) I en trekant | BDF segmentFO | Høyde trukket til |
|||||||||||||||
side BD (se fig. 424). Vi har:BD = | 2a som diagonalen til quad- |
||||||||||||||||
rata; FO = 1 | AK = | 1 a, ved egenskapen til midtlinjen til en trekant. |
|||||||||||||||
Dermed er S =2 BD FO = | 2 2 a | 2a = | . ■ |
||||||||||||||
Svar: 4) | en 2. | ||||||||||||||||
Studie av egenskapene til perpendikulær- |
|||||||||||||||||
av fly og dets applikasjoner, la oss starte med det enkleste |
|||||||||||||||||
det, men veldig nyttig teorem. | |||||||||||||||||
Teorem 2 (om vinkelrett på skjæringslinjen til vinkelrette plan).
Hvis to plan er vinkelrett, er en rett linje som tilhører ett plan og vinkelrett på skjæringspunktet mellom disse planene vinkelrett på det andre planet.
La vinkelrette plan
α og β skjærer langs rett linje c, og rett linje b i planet β er vinkelrett på rett linje c og skjærer den i punkt B (fig. 425). Per definisjon
dividere vinkelrett på planene, i β-planet går en rett linje gjennom punkt B
b 1, vinkelrett på planet α. Det er tydelig at det er vinkelrett på den rette linjen. Men hva-
Hvis du kutter et punkt på en rett linje i et plan, kan du tegne bare én rett linje vinkelrett på den gitte rette linjen. Derfor
linjene b og b 1 faller sammen. Dette betyr at en rett linje av ett plan, vinkelrett på skjæringslinjen til to vinkelrette plan, er vinkelrett på det andre planet. ■
La oss bruke det betraktede teoremet til å underbygge et annet tegn på vinkelrettheten til fly, noe som er viktig fra synspunktet til den påfølgende studien av den relative posisjonen til to plan.
La planene α og β være vinkelrette, rett linje c er skjæringslinjen deres. Gjennom et vilkårlig punkt A trekker vi en rett linje c
i plan α og β, rette linjer a og b, vinkelrett på rette linjer c (fig. 426). I følge teorien
Me 2, rette linjer a og b er vinkelrette på henholdsvis plan β og α, så de er vinkelrette på hverandre: a b . Rett
de definerte a og b definerer et visst plan γ. Skjæringslinje med planene α og β
vinkelrett på planet γ, basert på vinkelrett på linjen og planet (Setning 1 § 18): c a, c b, a γ, b γ. Hvis vi tar hensyn til vilkårligheten av valget av punkt A på den rette linjen c og det faktum at det eneste planet vinkelrett på det passerer gjennom punktet A på den rette linjen, kan vi trekke følgende konklusjon.
Teorem 3 (om planet vinkelrett på skjæringslinjen til vinkelrette plan).
Et plan vinkelrett på skjæringslinjen til to vinkelrette plan skjærer disse planene langs vinkelrette rette linjer.
Dermed er det etablert en egenskap til for vinkelrette plan. Denne egenskapen er karakteristisk, det vil si at hvis det er sant for noen to plan, så er planene vinkelrett på hverandre. Vi har enda et tegn på vinkelrett på plan.
Teorem 4 (andre kriterium for vinkelrett på plan).
Hvis de direkte skjæringene mellom to plan med et tredje plan vinkelrett på skjæringslinjen deres er vinkelrett, så er disse planene også vinkelrette.
La planene α og β skjære langs den rette linjen с, og planet γ, vinkelrett på den rette linjen с, skjærer planene α og β tilsvarende
henholdsvis langs rette linje a og b (fig. 427). Etter betingelse, a b . Siden γc, deretter c. Og derfor er linjen vinkelrett på planet β, i henhold til tegnet på vinkelrett på linjen og planet (Setning 1 § 18). Det er det-
ja det følger at planene α og β er vinkelrette, i henhold til tegnet på vinkelrett på plan (setning 1).■
Også verdt å merke seg er teoremer om forbindelsene mellom perpendikulariteten til to plan i et tredje plan og deres innbyrdes posisjon.
Teorem 5 (om skjæringslinjen mellom to plan vinkelrett på det tredje planet).
Hvis to plan vinkelrett på et tredje plan skjærer hverandre, er skjæringslinjen deres vinkelrett på dette planet.
La planene α og β, vinkelrett på planet γ, skjære langs en rett linje (a || γ), og A er skjæringspunktet for den rette linjen med
Vinkelretthet av fly | |
plan γ (fig. 428). Punkt A hører til |
|
lever langs skjæringslinjene til planene γ og α, γ |
|
og β, og, etter betingelse, α γ og β γ. Derfor, iht |
|
bestemme vinkelrett på planet |
|
tey, gjennom punkt A kan du tegne rette linjer, |
|
ligger i α-planene | og β og vinkelrett |
polare plan γ. Fordi gjennom poenget |
|
det er mulig å tegne bare én rett linje, pr. |
|
vinkelrett på planet, deretter den konstruerte |
|
rette linjer sammenfaller og sammenfaller med linjen |
|
skjæringspunktet mellom planene α og β. Rett a er altså en linje |
|
skjæringspunktet mellom planene α og β er vinkelrett på planet γ. ■ |
|
La oss vurdere et teorem som beskriver forholdet mellom parallellitet og vinkelrett på plan. Vi hadde allerede det tilsvarende resultatet for rette linjer og fly.
Teorem 6 (om parallelle plan vinkelrett på det tredje planet).
Hvis ett av to parallelle plan er vinkelrett på det tredje, så er det andre planet vinkelrett på det.
La planene α og β være parallelle, og plan γ vinkelrett på plan α. Siden flyet γ
skjærer planet α, så må det også skjære planet β parallelt med det. La oss ta en pro-
en vilkårlig rett linje m vinkelrett på planet γ og trekke gjennom det, samt gjennom et vilkårlig punkt i planet β, planet δ (fig. 429).
Planene δ og β skjærer hverandre langs en rett linje n, og siden α║ β, så ║ n (Setning 2 §18). Det følger av setning 1 at n γ, og derfor vil planet β som går gjennom linjen n også være vinkelrett på planet γ. ■
Det beviste teoremet gir et annet tegn på vinkelrettheten til plan.
Du kan tegne et plan vinkelrett på det gitte punktet gjennom et gitt punkt ved å bruke tegnet på vinkelrett på plan (setning 1). Det er nok å trekke en rett linje gjennom dette punktet vinkelrett på det gitte planet (se Oppgave 1 § 19). Og tegn deretter et plan gjennom den konstruerte rette linjen. Det vil være vinkelrett på det gitte planet i henhold til det angitte kriteriet. Det er klart at et uendelig antall slike fly kan tegnes.
Mer meningsfylt er problemet med å konstruere et plan vinkelrett på et gitt, forutsatt at det går gjennom en gitt linje. Det er klart at hvis en gitt linje er vinkelrett på et gitt plan, så kan et uendelig antall slike plan konstrueres. Det gjenstår å vurdere tilfellet når den gitte linjen ikke er vinkelrett på det gitte planet. Muligheten for en slik konstruksjon er begrunnet på nivå med fysiske modeller av rette linjer og plan i eksempel 1.
Oppgave 1. Bevis at gjennom en vilkårlig linje som ikke er vinkelrett på et plan, kan man tegne et plan vinkelrett på det gitte planet.
La et plan α og en linje l, l B\ a gis. La oss ta et vilkårlig punkt M på en rett linje og tegne en rett linje gjennom den, vinkelrett på planet α (fig. 430, a). Siden l ikke er vinkelrett på α etter betingelse, så krysser linjene l den. Gjennom disse rette linjene er det mulig å tegne et plan β (fig. 430, b), som ifølge testen for vinkelrett på plan (setning 1), vil stå vinkelrett på planet α. ■
Eksempel 3. Gjennom toppunktet A til en vanlig pyramide SABC med base ABC, tegn en rett linje vinkelrett på planet til sideflaten SBC.
For å løse dette problemet bruker vi teoremet om vinkelrett på skjæringslinjen til vinkelrett plan
(Setning 2). La K være midtpunktet på kanten BC (fig. 431). Planene AKS og BCS er perpendikulære, i henhold til tegnet på perpendikularitet til plan (setning 1). Faktisk er BC SK og BC AK som medianer trukket til basene i likebenede trekanter. Derfor, i henhold til kriteriet om vinkelrett på en linje og et plan (Setning 1 §18), er linjen BC vinkelrett på planet AKS. Plan BCS går gjennom en linje vinkelrett på planet AKS.
Konstruksjon. La oss tegne en linje AL i planet AKS fra punkt A, vinkelrett på linjen KS - skjæringslinjen mellom planene AKS og BCS (fig. 432). Ved setningen på vinkelrett på skjæringslinjen til vinkelrette plan (setning 2), er den rette linjen AL vinkelrett på planet BCS. ■
Kontrollspørsmål | |||||
I fig. 433 viser kvadratet ABCD, |
|||||
linjen MD er vinkelrett på planet |
|||||
ABCD. Hvilket av flyparene er det ikke |
|||||
er vinkelrett: |
|||||
MAD og MDC; | MBC og MAV; |
||||
ABC og MDC; | MAD og MAV? |
||||
2. I fig. 434 vises riktig- ny firkantet pyramide
SABCD, punktene P, M, N - midten -
Vi har kanter AB, BC, BS, O - midten av basen ABCD. Hvilken av parene er flate- bein er vinkelrette:
1) ACS og BDS, 2) MOS og POS;
3) COS og MNP; 4) MNP og SOB;
5) CND og ABS?
Vinkelretthet av linjer og plan |
||
3. I fig. 435 | avbildet rektangulært |
|
triangel | med rett vinkel C og |
|
rett linje BP, vinkelrett på planet |
||
ty ABC. Hvilke av de følgende parene er flate? |
||
bein er vinkelrette: |
||
1) CBP og ABC; | 2) ABP og ABC; |
|
3) PAC og PBC; 4) PAC og PAB?
4. De to planene er vinkelrette. Er det mulig gjennom et vilkårlig punkt av en av skal de tegne en rett linje i dette planet, det andre planet?
5. Det er umulig å tegne en rett linje i α-planet, men ikke i β-planet. Kan disse flyene være mi?
6. Gjennom et bestemt punkt på planet α går en linje i dette planet og er vinkelrett på planet, slik at planene α og β er vinkelrett?
En seksjon av gjerdet er festet til en vertikal stolpe, er det mulig å påstå at gjerdets plan er vertikalt?
Hvordan feste et skjold vertikalt til en skinne parallelt med jordens overflate?
Hvorfor er overflaten på dørene, uavhengig av om de er lukkede eller åpne, vertikal i forhold til gulvet?
Hvorfor passer en lodd tett mot en vertikal vegg, men ikke nødvendigvis mot en skrånende vegg?
Er det mulig å feste et skjold til en skrå stolpe slik at den er vinkelrett på jordoverflaten?
Hvordan praktisk talt bestemme om et plan er vinkelrett
vegger plan gulv? perpendicularperpendicularperpendicular- rett, liggende - β. Sant 7.. Mulig 8.9.10.11.12.
Grafiske øvelser
1. I fig. 436 viser en kube ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 .
1) Spesifiser plan vinkelrett på planet BDD 1.
2) Hvordan er flyene og
A1 B1 CAB 1 C 1
Vinkelretthet av fly | |||||||
437 plane kvadrater ABCD og |
|||||||
ABC1 D1 | vinkelrett. Avstand | CC1 | |||||
lik b. Finn lengden på segmentet: | |||||||
AB; | D1C; | ||||||
D1D; | C1 D. | Dan- |
|||||
Konstruer en tegning i henhold til det gitte |
|||||||
1) Plan av likesidede trekanter |
|||||||
ABC og ABC er vinkelrette. | |||||||
Planet ABC er vinkelrett på planene BDC og BEA. |
|||||||
Planene α og β er vinkelrett på planet γ og skjærer hverandre |
|||||||
langs den rette linjen a, linjene i deres skjæringspunkt med planet γ |
|||||||
er rette linjer b er. | |||||||
I et rektangulært parallellepipedum ABCDA 1 B 1 C 1 D 1-plan |
|||||||
bein AB 1 C 1 og BCA 1 er vinkelrett. | |||||||
421. Segmentet OS er tegnet fra sentrum O av kvadratet ABCD vinkelrett på planet.
1°) Bestem den relative posisjonen til ACS-planene
og ABC.
2°) Bestem den relative posisjonen til ACS-planene
og BDS.
3) Konstruer et plan som går gjennom linjen OS vinkelrett på planet ABS.
4) Konstruer et plan vinkelrett på plan ABC og som går gjennom midtpunktene på sidene AD og CD.
422. Fra skjæringspunktet O for diagonalene til romben ABCD, tegnes et segment OS vinkelrett på planet til romben, AB = DB =
1°) Bestem den relative posisjonen til SDB og
ABC, SDB og ACS.
2°) Konstruer et plan som går gjennom linjen BC vinkelrett på plan ABD.
3) Tegn et plan vinkelrett på planet ABC gjennom midten F av segmentet CS.
4) Finn arealet av trekant BDF.
423. Gitt en kube ABCDA1 B1 C1 D1.
1°) Bestem den relative posisjonen til planene AB 1 C 1
og CDD1.
2°) Bestem den relative posisjonen til planene AB 1 C 1
og CD1 A1.
3°) Konstruer et plan som går gjennom punkt A vinkelrett på plan BB 1 D 1.
4) Konstruer et utsnitt av kuben med et plan som går gjennom midtpunktene til kantene A 1 D 1 og B 1 C 1 vinkelrett på planet ABC. 5) Bestem den relative posisjonen til planet AA 1 B og planet som går gjennom midten av ribbene A 1 B 1, C 1 D 1, CD.
6) Finn tverrsnittsarealet til kuben ved et plan som går gjennom kant BB 1 og midten av kant A 1 D 1 (BB 1 = a).
7) Konstruer et punkt symmetrisk til punkt A i forhold til planet A 1 B 1 C.
424. I et vanlig tetraeder ABCD med en kant på 2 cm er punktet M midten av DB, og punktet N er midten av AC.
1°) Bevis at rett linje DB er vinkelrett på planet
2°) Bevis at planet BDM er vinkelrett på planet AMC.
3) Gjennom punkt O i skjæringspunktet mellom medianene til trekanten ADC, tegn en rett linje vinkelrett på planet AMC.
4) Finn lengden på dette linjestykket inne i tetraederet. 5) I hvilket forhold deler AMC-planet dette segmentet?
425. To likesidede trekanter ABC og ADC ligger i vinkelrette plan.
1°) Finn lengden på segment BD hvis AC = 1 cm.
2) Bevis at planet BKD (K ligger på linjen AC) er vinkelrett på planet til hver av trekantene hvis og bare hvis K er midtpunktet på siden AC.
426. Rektangel ABCD, hvis sider er 3 cm og 4 cm, ble bøyd langs diagonalen AC slik at trekantene ABC og ADC ble plassert i vinkelrette plan. Bestem avstanden mellom punktene B og D etter å ha bøyd rektangelet ABCD.
427. Tegn gjennom dette punktet et plan vinkelrett på hvert av de to gitte planene.
428°. Bevis at planene til tilstøtende flater av en terning er vinkelrett.
429. Planene α og β er vinkelrette på hverandre. Fra punkt A i plan α trekkes en rett linje AB vinkelrett på planet β. Bevis at linjen AB ligger i α-planet.
430. Bevis at hvis et plan og en linje som ikke ligger i dette planet er vinkelrett på samme plan, så er de parallelle med hverandre.
431. Gjennom punktene A og B som ligger på skjæringslinjen til planene α og β vinkelrett på hverandre, tegnes vinkelrette rette linjer: AA 1 i α, BB 1 i β. Punkt X ligger på linje AA 1, og punkt Y ligger på BB 1. Bevis at den rette linjen ВB 1 er vinkelrett på den rette linjen ВХ, og den rette linjen АА 1 er vinkelrett på den rette linjen АY.
432*. Gjennom midten av hver side av trekanten tegnes et plan vinkelrett på denne siden. Bevis at alle de tre tegnede planene skjærer hverandre langs en rett linje vinkelrett på trekantens plan.
Øvelser å gjenta
433. I en likesidet trekant med side b bestemme: 1) høyde; 2) radier av de innskrevne og omskrevne sirkler.
434. Fra ett punkt trekkes en vinkelrett og to skrå linjer til en gitt linje. Bestem lengden på perpendikulæren hvis de skrånende er 41 cm og 50 cm, og deres fremspring på denne linjen er i forholdet 3:10.
435. Bestem bena til en rettvinklet trekant hvis bis- sektrisen til en rett vinkel deler hypotenusen i segmenter på 15 cm og
Grunnleggende definisjon
De to flyene kalles
er vinkelrett , hvis hver av dem er dannet av rette linjer- mi, vinkelrett- mi av det andre planet og passerer gjennom skjæringspunktene til disse planene.
Hovedutsagn | ||||
Vinkelrett tegn | Hvis alene | |||
klarhet | fly | sende- | ||
fly | gikk gjennom | |||
vinkelrett | ||||
det andre flyet altså | b α, b β α β |
|||
disse flyene er per- |
||||
pendikulær. | ||||
perpend- | to fly | ||||
åpning | er vinkelrette, da | ||||
krysssperpen | direkte, tilhørende | ||||
dikulær | flat | deler ett fly | |||
og vinkelrett | |||||
kryss | |||||
disse flyene, pr. | α β, b β, c = α ∩β, |
||||
pendikulært til den andre | b c b α |
||||
flyet. | |||||
Definisjon. To plan kalles perpendikulære hvis vinkelen mellom dem er 90°. Vi presenterer uten bevis teoremer om stereometri, nyttige for å løse påfølgende metriske problemer.
1. Et tegn på vinkelrett på to plan: hvis et plan passerer gjennom en vinkelrett på et annet plan, så er det vinkelrett på dette planet.
2. Hvis to plan vinkelrett på et tredje plan krysser hverandre, da
den rette linjen i skjæringspunktet deres er vinkelrett på det tredje planet.
3. For en skrå linje som ikke er vinkelrett på planet, gjelder følgende utsagn: det eneste planet som går gjennom skrålinjen er vinkelrett på det gitte planet.
Den siste setningen lar oss foreslå følgende algoritme for å konstruere et plan som går gjennom skrånende AB og vinkelrett på et gitt plan Σ:
1) et vilkårlig punkt E velges på AB;
2) en rett linje t er konstruert på en slik måte at t "E, t ^ h, t ^ f, hvor h Ì Σ, f Ì Σ
(fig. 7.10), dvs. t^Σ.
Planet (AB,t) vil være det eneste planet vinkelrett på planet Σ. Legg merke til at mer enn ett plan vinkelrett på Σ går gjennom linjen t ^ Σ.
Oppgave. Gitt et plan Σ(CD, MN), hvor CD // MN og rett linje AB (Fig. 7.11).
Konstruer et plan på CN som går gjennom AB og vinkelrett på planet Σ.
Algoritme for projeksjonsløsning av problemet:
1) nivålinjene h(h 1 ,h 2) og f(f 1 ,f 2) er konstruert i Σ-planet, med h 2 // x, f 1 // x;
2) projeksjoner t 1 og t 2 av linje t er konstruert på en slik måte at t 2 " E 2, t 2 ^ f 2; t 1 " E 1, t 1 ^ h 1, hvor E О AB er et vilkårlig punkt . Flyet (AB, t) er løsningen på problemet.
Oppgave. Gitt planene Σ(AB, DC) og Δ(KL, PT), hvor
AB Ç DC, KL // PT, samt punkt E. Konstruer et plan som går gjennom punkt E og vinkelrett på begge planene Σ og Δ (Fig. 9.9).
En av de mulige løsningene på dette problemet er som følger. Først konstrueres skjæringslinjen til de gitte planene t = Σ Ç Δ. Deretter, basert på de ovennevnte teoremene om stereometri, konstrueres et plan som går gjennom punktet E og vinkelrett på linjen t. Siden det er unikt, representerer dette flyet løsningen på problemet.
En annen algoritme for å løse dette problemet er mulig (se fig. 9.8):
1) fra et gitt punkt E en perpendikulær a synker til planet Σ;
2) fra punkt E senker en perpendikulær b til planet Δ.
Planet (a, b), der a Ç b = E, er løsningen på problemet. La oss vurdere implementeringen av denne algoritmen på CN (se fig. 9.9).
1. I Σ-planet konstruerer vi nivålinjer h 1 (h 1 1, h 1 2) og f 1 (f 1 1, f 1 2). Hvori
h 1 2 // x; f 1 1 // x.
2. I Δ-planet konstruerer vi nivålinjer h 2 (h 2 1, h 2 2) og f 2 (f 2 1, f 2 2). Hvori
h 2 2 // x; f 2 1 //x.
3. To perpendikulære senkes fra punkt E: a ^ Σ, b ^ Δ. Hvori
a 2 ^ f 1 2, a 1 ^ h 1 1; b 2 ^ f 2 2 , b 1 ^ h 2 1 .
To rette linjer a og b som skjærer i punkt E definerer ønsket plan, dvs. et plan vinkelrett på de gitte planene Σ og Δ.
Forenklede bruksvilkår
Grunnleggende forretningstransaksjoner, posteringer for dem
MVA-fradrag ved kjøp av anleggsmidler og immaterielle eiendeler