Epävarma integraali. Yksityiskohtaiset esimerkit ratkaisuista. Määrittelemätön integraali verkossa

Tieteen integraalien ratkaisemisprosessi nimestä "Matematiikka" on integraatio. Integraation avulla voit löytää joitakin fyysiset määrät: Alue, tilavuus, ruumiinpaino ja paljon muuta.

Integraalit ovat epävarmoja ja määriteltyjä. Harkitse tietyn kiinteän aineen tyyppiä ja yritä ymmärtää sen fyysinen merkitys. Näyttää siltä, \u200b\u200bettä tässä muodossa: $$ \\ int ^ a _b f (x) DX $$. Erottuva piirre Kirjoittamalla erityinen integraali epävarmasta siitä, että integraatio rajoittaa A ja B. Nyt selvitämme, mitä he tarvitsevat ja että se tarkoittaa edelleen tietty kiinteä. Geometrisessa mielessä tällainen kiinteä yhtä suuri kuin neliö Kuviot rajoittavat käyrä f (x), linjat A ja B ja akseli Oh.

Kuvio 1 osoittaa, että tietty integraali on sama alue, joka on maalattu harmaa. Katsotaanpa se yksinkertaisimmalla esimerkissä. Löydämme kuvan alla olevan kuvan alueen integroinnin alla ja laske se tavanomaisella tavalla moninkertaistaa leveyden pituus.

Kuvio 2 esittää, että $ y \u003d f (x) \u003d $ 3, $ a \u003d 1, b \u003d $ 2. Nyt korvaamme ne integraalin määritelmään, saamme, että $$ s \u003d \\ int _a ^ bf (x) dx \u003d \\ int _1 ^ 2 3 dx \u003d $$$$ \u003d (3x) \\ big | _1 ^ 2 \u003d (3 \\ CDOT 2) - (3 \\ CDOT 1) \u003d $$$$ \u003d 6-3 \u003d 3 \\ teksti (ur) ^ 2 $$ Katsotaan tavallisella tavalla. Meidän tapauksessamme pituus \u003d 3, leveys kuvion \u003d 1. $$ s \u003d \\ teksti (pituus) \\ CDOT \\ teksti (leveys) \u003d 3 \\ CDOT 1 \u003d 3 \\ teksti (ur) ^ 2 $$ kuin sinä näkee, kaikki täysin samanaikaisesti.

Kysymys tulee näkyviin: Miten ratkaista integraalit ovat epävarmoja ja mikä merkitys on? Tällaisten integraalien ratkaisu on alkeellisten toimintojen havainto. Tämä prosessi on päinvastoin löytää johdannainen. Jotta voit löytää ensisijainen, voit käyttää apua ongelmien ratkaisemisessa matematiikan ongelmien ratkaisemisessa tai sinun on itsenäisesti ajaa integraalien ominaisuuksia ja yksinkertaisimpien perustoimintojen integraatiotaulukko. Löytäminen on niin $$ \\ int f (x) dx \u003d f (x) + c \\ teksti (missä) f (x) $ on primitiivinen $ f (x), C \u003d const $.

Integraalin ratkaisemiseksi sinun on integroida funktio $ f (x) $ muuttujan kautta. Jos toiminto on taulukko, vastaus tallennetaan sopiva video. Jos ei, prosessi vähennetään taulukkotoiminnon hankkimiseksi funktiosta $ f (x) $ Cunning matemaattisista muutoksista. Tätä varten erilaiset menetelmät ja ominaisuudet, jotka katsovat edelleen.

Joten, tee nyt algoritmi kuinka ratkaista integraalit dummiesille?

Algoritmi integraalien laskemiseksi

Opimme tietty kiinteä tai ei.
Jos epäilemättä sinun täytyy löytää tulostustoiminto $ F (x) $ integroidusta $ f (x) $ Matemaattisista muutoksista, jotka johtavat taulukkolomakkeeseen $ f (x) $.
Jos määritetään, sinun on suoritettava vaihe 2 ja korvaa sitten $ a $ ja $ b $ primitiivisen toiminnon $ f (x) $. Mitä kaavaa on tehdä tämä artikkelissa "Newtonin Formula Leibnitsa".

Esimerkkejä ratkaisuista

Joten opit, kuinka ratkaista integraalit dummiesille, esimerkkejä integraalien ratkaisemisesta puretaan hyllyjä. He oppivat fyysistä ja geometrista merkitystä. Päätösmenetelmät esitetään muissa artikloissa.

Integraalien ratkaisu on tehtävä on kevyt, mutta vain valittuna. Tämä artikkeli on niille, jotka haluavat oppia ymmärtämään integraalit, mutta ei tiedä mitään niistä tai lähes mitään. Integraali ... Miksi sitä tarvitaan? Kuinka laskea se? Mikä on tietty ja määrittelemätön integraali? Jos ainoa integraalinen sovellus, joka tunnetaan, on saada virkkaus kiinteän kuvakkeen muodossa. Jotain hyödyllistä vaikea päästä paikkoihin, sitten tervetuloa! Opi ratkaisemaan integraalit ja miksi ilman sitä on mahdotonta tehdä.

Tutkimme "integraalin" käsitettä

Integraatio oli tunnettu muinaisessa Egyptissä. Tietenkään, ei moderni video, mutta silti. Sittemmin matematiikka kirjoitti paljon kirjoja tästä aiheesta. Erityisen erottuva Newton ja Leignits Mutta asioiden olemus ei ole muuttunut. Kuinka ymmärtää integraalit tyhjästä? Ei missään tapauksessa! Tämän aiheen ymmärtämiseksi matemaattisen analyysin perustana tarvitaan edelleen. Nämä perustiedot löytyvät blogissamme.

Epävarma integraali

Olkaamme jonkinlaista toimintaa f (x) .

Epävarma Integraalitoiminto f (x) Tätä ominaisuutta kutsutaan F (x) , jonka johdannainen on yhtä suuri kuin funktio f (x) .

Toisin sanoen integraali on johdannainen päinvastoin tai primitiivisesti. Muuten, miten lukea artikkelissamme.

Ennustetut ovat olemassa kaikkiin jatkuviin toimintoihin. Myös vakiomerkkiä lisätään usein ensisijaiseen, koska johdannaiset vaihtelevat vakiona samanaikaisesti. Integraalin löytämisprosessi kutsutaan integroinniksi.

Yksinkertainen esimerkki:

Jos haluat jatkuvasti laskea primitiivisiä perustoimintoja, on kätevää vähentää taulukkoa ja käyttää valmiita arvoja:

Tietty kiinteä

Ottaa sopimus integraalin käsitteen kanssa, me käsittelemme äärettömän pieniä arvoja. Integraali auttaa laskemaan kuvion, inhomogeenisen kehon massa, joka kulkee epätasaisen liikkeen polun alla ja paljon muuta. On muistettava, että integraali on äärettömän määrä suuri numero Äärettömän pienet ehdot.

Esimerkkinä kuvittele jonkin toiminnon aikataulu. Kuinka löytää alueen luvut rajoittavat funktion kaaviossa?

Integraalin avulla! Jaamme curvilinear trapetsium, rajoittaa koordinaatti-akselit ja funktion kaavio, äärettömillä pienillä segmenteillä. Siten luku jaetaan ohuiksi sarakkeiksi. Sarakkeiden alueen summa on trapezoidin alue. Muista kuitenkin, että tällainen laskelma antaa esimerkinomaisen tuloksen. Mitä pienempi segmentit ovat jo olemassa, tarkempi on laskelma. Jos vähennämme heitä siinä määrin, että pituus pyrkii nollaan, segmenttien määrä pyrkii kuvan alueelle. Tämä on erityinen integraali, joka on kirjoitettu seuraavasti:

Pisteitä A ja B kutsutaan integraatiorajoiksi.

Baria Alibasov ja ryhmä "Integraaliset"

Muuten! Lukijillemme nyt on 10% alennus

Säännöt dummiesintegraalien laskemiseksi

Epävarman integraalin ominaisuudet

Kuinka ratkaista määrittelemätön integraali? Täällä tarkastelemme epävarman integraalin ominaisuuksia, jotka ovat hyödyllisiä ratkaisemaan esimerkkejä.

Integraalin johdannainen on yhtä suuri kuin integranditoiminto:

Vakio voidaan tehdä kiinteästä merkistä:

Summan integraali on yhtä suuri kuin integraalien määrä. Myös myös ero:

Tiettyyn integraalin ominaisuudet

Lineaarisuus:

Integroitu merkki muuttuu, jos integraatiorajat vaihdetaan:

Varten minkä tahansa Pisteet a., b. ja peräkkäin:

Olemme jo huomanneet, että tietty kiinteä on summan raja. Mutta miten saada erityinen arvo ratkaisemaan esimerkkiä? Tätä varten on Newton-Leibnic Formula:

Esimerkkejä integraalisten ratkaisuista

Alla on useita esimerkkejä epävarmoista integraalista. Suosittelemme, että ymmärrät itsenäisesti ratkaisun hienovaraisuuksia, ja jos jotain on käsittämätöntä, pyydä kysymyksiä kommenteissa.

Materiaalin varmistamiseksi katso videota siitä, miten integraalit ratkaistaan \u200b\u200bkäytännössä. Älä epätoivoa, jos kiinteää ei ole annettu välittömästi. Kysy, ja he kertovat sinulle laskemisesta integraalit, jotka tuntevat itsensä. Apua, kaikki kolminkertaiset tai kaarevat olennainen suljettu pinta tulee voimat.

Etsi määrittelemätön integraali (monet ensisijaiset tai "anti-derivatiiviset") tarkoittaa palauttamaan toiminnon tämän toiminnon tunnetun johdannaisen mukaisesti. Palautettu kertolasku F.(x.) + Peräkkäin Toiminnasta f.(x.) ottaa huomioon integraation vakio C.. Materiaalipisteen (johdannaisen) nopeuden mukaan tämän kohdan (primitiivinen) liikkumislaki voidaan palauttaa; Nopeuttamalla pisteen liikkumista - sen nopeus ja liikkumislaki. Kuten voidaan nähdä, integraatio on laaja kenttä fysiikan Sherlock Holmesin toiminnalle. Kyllä, ja taloudessa monet käsitteet ovat edustettuina toimintojen ja niiden johdannaisten kautta, ja siksi esimerkiksi on mahdollista palauttaa tuotteen tilavuus tiettyyn ajankohtana (johdannainen) palauttamaan asianmukaisen ajan myötä annetut tuotteet .

Löytää määrittelemätön integraali, vaaditaan melko pieni joukko perusintegraation kaavoja. Mutta sen sijainnin prosessi on paljon vaikeampaa kuin näiden kaavojen soveltaminen. Kaikki monimutkaisuus viittaa olemaan integraatiota vaan tuoda integroitu ilmentyminen tähän lajeihin, mikä mahdollistaa määräämättömän integraalin edellä mainittujen edellä mainittujen kaavojen kanssa. Tämä tarkoittaa sitä, että integraatiokäytännön aloittamiseksi sinun on aktivoitava lukiossa saadut ilmaisun muuntotaidot.

Opi löytämään integraaleja, joita käytämme ominaisuudet ja taulukko epävarmoista integraalista Tämän aiheen peruskäsitteistä (avautuu uuteen ikkunaan).

On olemassa useita menetelmiä integraalin löytämiseksi, joista muuttujan korvaamismenetelmä ja integrointimenetelmä osissa - Pakollinen herrasmiehen joukko kaikille, jotka menestyksekkäästi läpäisivät korkeimman matematiikan. Integraation aloittaminen on kuitenkin hyödyllisempi ja miellyttävämpää hajoamismenetelmän avulla, joka perustuu seuraaviin kahteen teoreen määräämättömän integraalin ominaisuuksista, jotka ovat helposti viitattavaa.

Teorem 3.Integraandin pysyvä kerroin voidaan tehdä merkkinä määräämättömäksi integraaliseksi, ts.

Teorem 4.Lopettavien toimintojen algebrallisen määrän määräämättömyys on yhtä suuri kuin näiden toimintojen määräämättömien integraalien algebrallinen summa, ts.

(2)

Lisäksi seuraava sääntö voi olla hyödyllinen integraatiossa: jos integraand-toiminnon ilmaisu sisältää pysyvän kerrannon, niin primitiivisen ekspressiota hallitsee numero, kääntää vakiotekijä, joka on

(3)

Koska tämä oppitunti otetaan käyttöön integraation tehtävien ratkaisemiseksi, on tärkeää huomata kaksi asiaa, jotka joko jo hyvin alkuvaiheTai jonkin verran myöhemmin he voivat yllättää sinut. Yllätys johtuu siitä, että integraatio - käänteinen erilaistumistoiminta ja epävarma integraali voidaan perustellusti kutsua "anti-johdannaiseksi".

Ensimmäinen asia, jota ei pitäisi olla yllättynyt integraatiosta. Integraalisessa taulukossa on olemassa kaavoja, joilla ei ole analogeja johdannaispöydän kaavojen kesken . Nämä ovat seuraavat kaavat:

On kuitenkin mahdollista varmistaa, että näiden kaavojen oikeat osat vastaavat vastaavat integroidut toiminnot samanaikaisesti.

Toinen asia, jota ei pitäisi olla yllättynyt integraatiosta. Vaikka minkä tahansa alkeisfunktion johdannainen on myös alkeisfunktio, määrittelemättömät integraalit joistakin elementaarisista toiminnoista eivät ole enää peruskohtia. . Esimerkkejä tällaisista integraaleista voivat olla seuraavat:

Integraatiotekniikoiden kehittämisessä käytetään seuraavia taitoja: fraktioiden vähentäminen, jakamalla polynomin jakaminen fraktiivisessa numerossa yksisuuntaisessa nimittäjän (määräämättömien integraalien määrän saamiseksi), juurien muuntaminen , kertolasku on kertynyt polynomille, tuhota. Nämä taidot ovat tarpeen integraantin muutoksessa, minkä seurauksena on hankittava integraaliseen taulukossa olevien integraalien määrä.

Löydämme loputtomia integraaleja yhdessä

Esimerkki 1.Löytää epävarma integraali

Päätös. Näemme polynomin integraandin ekspression nimittäjän, jossa X on neliössä. Tämä on melkein uskollinen merkki, jonka voit soveltaa taulukkoa integraalia 21 (seurauksena Arctangent). Tehdään kahdesti kerranneksestä nimittäjältä (kiinteistö on kiinteä - pysyvä kertoimen voidaan ottaa pois kiinteästä merkistä, edellä mainittiin teoremina 3). Kaiken tämän tuloksen:

Nyt nimittäjässä neliöiden summa, mikä tarkoittaa, että voimme soveltaa mainittua taulukkoa integraalia. Lopuksi saat vastauksen:

Esimerkki 2.Löytää epävarma integraali

Päätös. Käytämme uudelleen teoremia 3 - kiinteistön kiinteistö, jonka perusteella jatkuva kertoimen voidaan tehdä kiinteäksi:

Käytämme kaavaa 7 integraalisesta taulukosta (vaihteleva asteittain) integraand-toiminnolle:

Vähennämme tuloksena olevia fraktioita ja ennen loppua vastausta:

Esimerkki 3.Löytää epävarma integraali

Päätös. Ensimmäisen teoreen 4 ja sitten teoremin 3 ominaisuudet, löydämme tämän integraalin kolmen integraalin summana:

Kaikki kolme integroitua vastaanotetusta - taulukko. Käytämme kaavaa (7) integraalisesta taulukosta n. = 1/2, n. \u003d 2 I. n. \u003d 1/5 ja sitten

yhdistää kaikki kolme mielivaltaista vakiota, jotka otettiin käyttöön, kun kolme integraalia sijaitsevat. Siksi vastaavissa tilanteissa olisi annettava vain yksi mielivaltainen pysyvä (vakio) integraatio.

Esimerkki 4.Löytää epävarma integraali

Päätös. Kun integroidun fraktion nimittäjä - Unrochene, voimme minimoida numerointi nimittäjälle. Alkuperäinen integraali on tullut kaksi integraalia:

Taulukon integraalin soveltaminen muutetaan juuret tutkintoon ja nyt lopullinen vastaus on:

Jatkamme edelleen määrittelemättömiä integraaleja yhdessä

Esimerkki 7.Löytää epävarma integraali

Päätös. Jos muutat reaktiivisen toiminnon, pystyttämällä kierretty neliöön ja jakamalla numeroimittaja nimittäjälle, alkuperäinen integraali tulee kolmen integraalin summa.

Yleiskatsaus menetelmistä epävarmojen integraalien laskemiseksi. Tärkeimmät integraatiomenetelmät, jotka sisältävät määrän ja eron integrointia, pysyvän kiinteän merkin muodostaminen, vaihda muuttuja integroimalla osiin. Erikoismenetelmät ja -tekniikat fraktioiden, juurien, trigonometrisen ja ohjeelliset toiminnot.

Pred-kyd ja rajoittamaton integraali

Ensisijainen f (x) funktio f (x) on tällainen funktio, jonka johdannainen on sama kuin f (x):
F '(x) \u003d f (x), x ∈ δ,
Missä Δ - kuilu, jolla tämä yhtälö suoritetaan.

Kaiken primordin kokonaisuutta kutsutaan epävarmaksi integraaliksi:
,
jossa c on vakio, riippumaton muuttuvasta X: stä.

Peruskaavat ja integraatiomenetelmät

Taulukkointegraalit

Epävarmoiden integraalien laskemisen lopullinen tavoite - muutoksilla selventää määritettyä integraalia ilmaisua, joka sisältää yksinkertaisimmat tai taulukkointegraalit.
Katso taulukkointegraalit \u003e\u003e\u003e

Summan integraatiosääntö (ero)

Pysyvän kiinteän merkin tekeminen

Olkoon c olla vakio, riippumaton X: stä. Sitten se voidaan lähettää kiinteäksi:

Vaihtelun vaihtaminen

Olkoon X toiminto muuttuvasta T, X \u003d φ (t), sitten
.
Tai päinvastoin, t \u003d φ (x),
.

Vaihdamalla muuttuja, et voi vain laskea yksinkertaisia \u200b\u200bintegraaleja, vaan myös yksinkertaistaa monimutkaisempi laskenta.

Integraation sääntö osissa

Fraktioiden integrointi (järkevä toiminnot)

Esittelemme nimeämisen. Let p (x), q m (x), RN (x) on merkitty asteilla K, M, N vastaavasti suhteessa muuttujalle X.

Harkitse integralia, joka koostuu polynomisten fraktioista (ns. Rationaalinen toiminta):

Jos k ≥ n, sinun on ensin korostettava koko Fracin osa:
.
Integraali polynomi S k-n (x) lasketaan kiinteällä taulukossa.

Integraali on edelleen:
Missä M.< n .
Sen laskemiseksi integraand on hajotettava yksinkertaisimmalla fraktiolla.

Tee tämä löytää yhtälön juuret:
Q n (x) \u003d 0.
Saatujen juurien avulla sinun on edustettava nimittäjä tekijöiden työn muodossa:
Q n (x) \u003d s (x - a) n a (x - b) n b ... (x 2 + ex + f) n e (x 2 + gx + k) n g ....
Tässä S on kerroin x n, x 2 + ex + f\u003e 0, x 2 + gx + k\u003e 0, ....

Tämän jälkeen hajota murto yksinkertaisimmista:

Integrointi, saamme lausekkeen, joka koostuu yksinkertaisemmista integraaleista.
Tyypin integraalit

T \u003d X - A annetaan pöydän sähköasemalle.

Harkitse kiinteää:

Muutamme numeroita:
.
Jollei integraantille, saamme ilmaisun, jossa kaksi integraalia sisältävät:
,
.
Ensimmäinen korvaus t \u003d x 2 + ex + f annetaan taulukossa.
Toinen, kaavan mukaan:

Sijaitsee integraaliin

Annamme sen nimittäjän neliöiden summaan:
.
Sitten korvaava, integraali

Se on myös toimitettu pöydälle.

Järmeroiden toimintojen integrointi

Esittelemme nimeämisen. Anna r (u 1, u 2, ..., u n) tarkoittaa järkevää toimintoa muuttujilta U 1, U 2, ..., U N. Eli
,
Missä P, Q on polynomit muuttujilta U 1, U 2, ..., U N.

Lineaarinen irrationaalisuus

Harkitse lomakkeen integraaleja:
,
missä - rationaaliset numerot, M 1, N 1, ..., M S, N S - kokonaislukuja.
Olkoon n yhteinen nimittäjä R1, ..., R s.
Sitten integraali tulee olennaiseen substituution järkevästä toiminnasta:
.

Integraalit differentiaali-binomeista

Harkitse kiinteää:
,
Missä m, n, p on järkevä luku, A, B - kelvolliset numerot.
Tällaiset integraalit vähenevät rasitustoimintojen integraaleiksi kolmessa tapauksessa.

1) Jos P on kokonaisluku. Korvaus x \u003d t n, jossa n on fraktioiden M ja N.
2) Jos - koko. Korvaus x n + b \u003d t m, jossa m on numeroiden lukumäärä.
3) jos - koko. Korvaus A + B x - n \u003d t m, jossa m on numero P.

Jos mikään kolmesta numerosta on kokonaisluku, sitten mukaan Chebyshev lause, integraalien tämä laji ei voi ilmaista lopullisen yhdistelmä alkeisfunktiot.

Joissakin tapauksissa ensin on hyödyllistä tuoda kiinteämpää M- ja P-arvoja. Tämä voidaan tehdä kaavojen avulla:
;
.

Integraalit, jotka sisältävät neliöjuuren neliömetriä

Tässä pidämme lomakkeen integraaleja:
,

Eulerin substituutiot

Tällaisia \u200b\u200bintegraaleja voidaan vähentää integraaleihin jonkin Eulerin kolmesta substituutiosta:
, ja\u003e 0;
, C\u003e 0: n kanssa;
jossa x 1 on yhtälön X 2 + B x + C \u003d 0 juuret. Jos yhtälöllä on voimassa olevat juuret.

Trigonometriset ja hyperboliset substituutiot

Suorat menetelmät

Useimmissa tapauksissa Eulerin substituutiot johtavat pidempään laskelmiin kuin suorat menetelmiä. Suorat menetelmillä integraali annetaan yhdelle jäljempänä luetelluista lajeista.

Type

Lomakkeen integrali:
,
jossa p n (x) on polynomin aste n.

Tällaiset integraalit ovat epävarmojen kertoimien menetelmä identiteetin avulla:

Poistetaan tämä yhtälö ja vastaa vasemman ja oikean osan, löydämme kertoimet i.

II tyyppi

Lomakkeen integrali:
,
jossa p m (x) on polynomivalmisteinen m.

Korvaus T \u003d. (X - α) -1 Tämä integraali ajetaan edelliseen tyyppiin. Jos m ≥ n, sitten fraktio on kohdennettava koko osaan.

III tyyppi

Kolmas ja monimutkaisin tyyppi:
.

Täällä sinun on korvaava:
.
Jonka jälkeen integraali ottaa lomakkeen:
.
Seuraavaksi, pysyvä α, β, sinun on valittava siten, että T: n kertoimet valittivat nollaan:
B \u003d 0, b 1 \u003d 0.
Sitten integraali hajoaa kahden tyyppisten integraalien summan:
;
,
jotka on integroitu, vastaavasti korvaukset:
z 2 \u003d 1 T 2 + C 1;
y 2 \u003d 1 + C1 T -2.

Yleinen

Transsendenttisen (Trigonometrisen ja ohjeellisen) toiminnan integrointi

Huomaa etukäteen, että menetelmät, joita sovelletaan trigonometriset toiminnotSoveltuu myös hyperbolisiin toimintoihin. Tästä syystä emme pidä hyperbolisten toimintojen integroitumista erikseen.

Rational Trigonometristen toimintojen integrointi COS X: stä ja Sin X: stä

Harkitse lomakkeen trigonometristen toimintojen integraalit:
,
jossa R on järkevä toiminta. Tämä voi sisältää myös tangentit ja luistot, jotka on muunnettava sinusien ja kosineiden kautta.

Tällaisten toimintojen integroinnissa on hyödyllistä pitää mielessä kolme sääntöä:
1) jos r ( cos x, sin x) kerrotaan -1: llä merkin muutoksesta yhden arvon edessä cOS X. tai sIN X., on hyödyllistä tunnistaa toinen niistä.
2) jos r ( cos x, sin x) ei muutu allekirjoituksen muutoksesta samanaikaisesti ennen cOS X. ja sIN X., se on hyödyllistä laittaa tG X \u003d T tai cTG X \u003d T.
3) Korvaus kaikissa tapauksissa johtaa järkevän murto-osaan. Valitettavasti tämä korvaaminen johtaa pidempään laskemiseen kuin aiemmin, jos niitä sovelletaan.

Tehotoimintojen tuotanto COS X ja SIN X

Harkitse lomakkeen integraaleja:

Jos m ja n ovat järkeviä numeroita, yksi substituutioista t \u003d sIN X. tai t \u003d cOS X. Integraali vähennetään erottamiselementin integroituun.

Jos m ja n ovat kokonaislukuja, integraalit lasketaan integroimalla osiin. Samanaikaisesti saadaan seuraavat kaavoja:

;
;
;
.

Integraatio osiin

Kaavan Eulerin käyttö

Jos integraand on lineaarisesti suhteessa johonkin toiminnon
cOS AX. tai sIN AX.On kätevää soveltaa Euler-kaavaa:
e iax \u003d. cOS AX + ISIN AX (missä i 2 \u003d - - 1 ),
Tämän ominaisuuden vaihtaminen päälle e iax ja korostamalla voimassa (vaihdettaessa cOS AX.) tai kuvitteellinen osa (vaihdettaessa sIN AX.) Saadusta tuloksesta.

Viitteet:
N.m. Gunter, R.O. Kuzmin, Tehtävien kokoaminen korkeamman matematiikan, "LAN", 2003.