Oppitunti “Funktiot ja niiden ominaisuudet. Numeeristen funktioiden ominaisuudet Kotitehtävien tarkistaminen

Tämä materiaali on koottu liittovaltion koulutusstandardin mukaisesti

matematiikan oppitunti 9. luokalla aiheesta: "Numeeriset funktiot, niiden ominaisuudet ja kaaviot", A.G. Mordkovichin oppikirja.

Oppitunti kehityksen ohjauksesta ja uuden tiedon löytämisestä
oppitunnin liite ja esitys.

Ladata:

Esikatselu:

Jos haluat käyttää esityksen esikatselua, luo Google-tili ja kirjaudu siihen: https://accounts.google.com

Dian kuvatekstit:

Numeeriset funktiot, niiden ominaisuudet ja graafit. Matematiikan oppitunti 9. luokalla Saratovin IDPO-alaryhmän nro 9 Zavodskoyn piirin loppusertifioinnissa 25.10.2013

Epigrafi "Ainoa tieteeseen johtava tie on aktiivisuus." Bernard Show

Luova työ Keksi "palakohtainen" funktio, rakenna kaavio ja lue se. Ratkaisu y =

Suullinen työ Nimeä funktio ja määrittele se analyyttisesti

Teoreettinen tietokilpailu Muotoile numeerisen funktion määritelmä. Mitä kutsutaan funktion määritelmäalueeksi. Mitä kutsutaan funktion kuvaajaksi. Listaa tapoja määrittää funktio. Mitä funktiota kutsutaan kasvavaksi (vähentäväksi). Mitä funktiota kutsutaan parilliseksi (parittiseksi). Mitä lukua kutsutaan funktion pienimmäksi (suurimmaksi) arvoksi. Mitä toimintoa kutsutaan rajoitetuksi.

Testit GIA-muodossa (perustaso)

vastaa Vaihtoehto nro 5 Vaihtoehto nro 6 4 3 3142 132 2 4 3 3 2 1 3 3

Harjoitusten suorittaminen GIA nro 1. Piirrä funktion y = x 2 - 4 +3 kuvaaja, etsi kaavion avulla monotonisuuden välit. Millä a:n arvoilla suoralla y=a on kaksi yhteistä pistettä tämän funktion kuvaajan kanssa? Vastaus: a>3, a = -1

Nro 2. Ratkaise graafisesti epäyhtälö x -2 ≤ -x 3 Vastaus: x≤ -1

Opin opin toistan lujitin Tänään luokassa

Esikatselu:

Tekninen kartta 9 luokan matematiikan oppitunnista aiheesta: "Numeeriset funktiot, niiden ominaisuudet ja kaaviot", A.G. Mordkovichin oppikirja. Oppitunti kehityksen ohjauksesta ja uuden tiedon löytämisestä.
Oppitunnin vaiheet	Lavatehtävät	Opettajan toiminta	Opiskelijoiden toimintaa	UUD
1. Organisaation itsemääräämisoikeus oppimistoimintoihin (1)	Luo suotuisa psykologinen työasenne	Tervehdys, mobilisaatio lasten huomio.	He raportoivat poissaoloista ja liittyvät oppitunnin liikerytmiin.	Henkilökohtainen: itsemääräämisoikeus Sääntely : oppitunnin valmiuden arviointi
2. Oppitunnin tavoitteiden ja tavoitteiden asettaminen. Motivaatio opiskelijoiden oppimistoimintaan. (3)	Perustietojen ja toimintatapojen päivittäminen	Ilmoittaa oppitunnin aiheen ja tarkoituksen, kirjoittaa päivämäärän taululle Tänään oppitunnilla teemme yhteenvedon luvun ”Numeeriset funktiot” tutkimuksen tuloksista. Jatketaan opiskelujen funktioiden kaavioiden rakentamisen ja lukemisen taitojen harjoittelua ja katsotaan kuinka syvästi tutkittu aihe esitetään tenttikokeissa.	Muistikirjaan kirjoittaminen	Sääntely: tavoitteiden asettaminen Kommunikaatiokykyinen:valmistautuminen pohdiskeluun
3. Tietojen päivittäminen (12)	Perustietojen ja toimintatapojen päivittäminen koetunnille valmistautumiseksi.	Oppituntia varten sinua pyydettiin keksimään "palaittainen" funktio, rakentamaan kaavio ja lukemaan se. Katsotaanpa luovuutesi. 1. Kutsuu 2 opiskelijaa taululle halutessaan. 2. Suorittaa rinnakkaisen diaesityksen kaikista tutkituista numeerisista funktioista. (Liite nro 2). 3. Johtaa frontaalisen keskustelun teoreettisista kysymyksistä (Liite nro 3) 4. Antaa arvosanat läksyistä ja suullisista töistä kotitehtävät huomioiden.	1. Hallituksessa työskentelee kaksi henkilöä. (Liite nro 1) 2. Loput opiskelijat nimeävät kuvatun funktion istuiltaan ja määrittelevät sen analyyttisesti. 3. Opiskelijat osallistuvat aktiivisesti suullisiin kuulusteluihin.	Sääntely: tahdonvoimainen itsesääntely vaikeissa tilanteissa Viestintä: ajatusten ilmaiseminen, mielipiteensä argumentointi Kognitiivinen: kyky soveltaa tietoa käytännön ongelmiin Henkilökohtainen: kestävän motivaation muodostuminen oppia ja lujittaa uusia asioita
4. Tiedon yleistäminen ja systematisointi.(8)	Väliheijastus	Tutkimme ja tarkastelimme numeeristen funktioiden ominaisuuksia. Tehdään pieni testaus ja varmistamme, että tietosi on vahva. Ehdotetut testit vastaavat perusvaikeustasoa, sinulla on 7 minuuttia. Toivon sinulle menestystä! 1. Jakaa testejä (Liite nro 4) 2. Kerää paperit ajan päätyttyä, kirjoittaa oikeat vastaukset taululle Vaihtoehto nro 5 Vaihtoehto nro 6 3142 3. Monet suorittivat testin hyvin, jotkut ymmärsivät, että heidän oli toistettava se.	Ratkaise testi ja tee muistiinpanoja tarvittaessa. Ajan päätyttyä paperit luovutetaan. Tarkista heidän vastauksensa.	Sääntely: ymmärtää tiedon hankinnan laatua ja tasoa Kognitiivinen: valita tehokkaimmat tavat ratkaista ongelmia Henkilökohtainen: itseanalyysin ja itsehillinnän taitojen kehittäminen
5. Tiedon ja taitojen soveltaminen uudessa tilanteessa. (15)	Tutkimustaitojen kehittäminen, itsediagnostiikka ja tulosten itsekorjaus	Harjoitusten suorittaminen (GIA) Nro 1 Piirrä funktion kaavio Y = x 2-4 +3 kaavion avulla, löytää yksitoikkoisuuden jaksoja. Millä a:n arvoilla suoralla y=a on kaksi yhteistä pistettä tämän funktion kuvaajan kanssa? (Liite nro 5) Kirjoita tehtävän lyhyesti taululle, kutsuu opiskelijan ratkaisemaan sen ja seuraa tehtävän oikeaa ratkaisua. Arvioi. Nro 2. Ratkaise graafisesti epäyhtälö x-2 ≤ -x 3 (Liite nro 6) Haastaa opiskelijat rakentamaan funktiokaavioita, selittää, kuinka kaavion testipisteiden avulla voidaan määrittää epäyhtälön ratkaisu (varjostus)	Kaksi henkilöä työskentelee yksilöllisesti käyttämällä sivulaudalla olevia kortteja, loput suorittavat tehtävän nro 1 muistivihkossa. Funktiokaaviot näkyvät interaktiivisella taululla. He ehdottavat eriarvoisuuden ratkaisemista valinnalla tai algebrallisesti. Täydennä epäyhtälön ratkaisu ja kirjoita vastaus.	Henkilökohtainen: kognitiivisen kiinnostuksen muodostuminen tutkimusaiheeseen, kestävä motivaatio opiskella ja lujittaa uusia asioita Kognitiivinen: analysoida esinettä ja korostaa olennaisia ​​ja ei-olennaisia ​​piirteitä. Kommunikaatiokykyinen:järjestää koulutusyhteistyötä opettajan ja luokkatovereiden kanssa. Sääntely: määrittää uuden tason asenteessa itseään toiminnan kohteena
6. Tietoja kotitehtävistä (2)	Varmistetaan, että lapset ymmärtävät kotitehtävien tarkoituksen, sisällön ja tavat	Taso 1: toista p7, nro 27,29 Taso 2: toista vaihe 7, nro 30,33	Kirjoita läksyt muistiin
7. Heijastus (4)	Anna laadullinen arvio luokan ja yksittäisten oppilaiden työstä Aloita lasten reflektio oman toiminnan motivaatiosta ja vuorovaikutuksesta opettajan ja muiden lasten kanssa	1. Tarjoaa ehdotuksen jatkamista "Tänään luokassa toistin... Olen turvannut... Opin … Sain selville …" 2. Tarjoutuu merkitsemään korttiin väitteen, joka sopii parhaiten oppitunnin työhön 3. Antaa arvosanat	1. Vastaa kysymyksiin 2. Merkitse kortteihin (Liite nro 7)	Kognitiivinen: toimintatapojen ja -ehtojen pohtiminen, onnistumisen ja epäonnistumisen syiden riittävä ymmärtäminen, toiminnan prosessin ja tulosten valvonta ja arviointi Viestintä: kyky ilmaista ajatuksiaan, argumentointi

Esikatselu:

Liite 1.

(tarkistaa läksyt)

Ratkaisu

Esikatselu:

Liite 2

Suullinen työ

Nimeä funktio ja määritä se analyyttisesti

Esikatselu:

Esikatselu:

Liite 3

Teoreettinen tutkimus

1. Muotoile numeerisen funktion määritelmä.

Oppitunnit 1-2. Numeerisen funktion määritelmä ja menetelmät sen määrittämiseksi

09.07.2015 11704 0

Kohde: keskustele funktion määritelmästä ja kuinka se määritellään.

I. Oppituntien aiheen ja tarkoituksen välittäminen

II. Katsaus 9. luokan materiaaliin

Aiheen eri puolia on jo käsitelty luokilla 7-9. Nyt meidän täytyy laajentaa ja tehdä yhteenveto toiminnoista. Muistutetaan, että aihe on yksi tärkeimmistä koko matematiikan kurssin kannalta. Erilaisia ​​tehtäviä opiskellaan valmistumiseen asti ja edelleen korkeakouluissa. Tämä aihe liittyy läheisesti yhtälöiden, epäyhtälöiden, tekstitehtävien, progressioiden jne. ratkaisemiseen.

Määritelmä 1. Olkoon kaksi reaalilukujoukkoa D ja E ja laki on merkitty f jonka mukaan jokainen luku x∈ D vastaa yksikkönumeroa y ∈ E (katso kuva). Sitten he sanovat, että funktio y = f(x ) tai y(x), jossa on määritelmäalue (O.O.) D ja muutosalue (O.I.) E. Tässä tapauksessa arvoa x kutsutaan itsenäiseksi muuttujaksi (tai funktion argumentiksi), arvoa y kutsutaan riippuvaiseksi muuttujaksi (tai funktion arvoksi).

Toimintoalue f tarkoittaa D(f ). Sarja, joka koostuu kaikista numeroista f(x ) (toimintoalue f), merkitse E(f).

Esimerkki 1

Harkitse toimintoaLöytääksesi y:n jokaiselle x:n arvolle, sinun on suoritettava seuraavat toiminnot: vähennä luku 2 (x - 2) x:n arvosta, poimi tämän lausekkeen neliöjuurija lopuksi lisää numero 3Näiden operaatioiden joukkoa (tai lakia, jonka mukaan jokaiselle x:n arvolle haetaan arvoa y) kutsutaan funktioksi y(x). Esimerkiksi, kun x = 6 löydämmeNäin ollen funktion y laskemiseksi tietyssä pisteessä x on välttämätöntä korvata tämä arvo x annetulla funktiolla y(x).

Ilmeisesti tietylle funktiolle, mille tahansa hyväksyttävälle luvulle x, vain yksi y:n arvo löytyy (eli jokaista x:n arvoa vastaa yksi y:n arvo).

Tarkastellaan nyt tämän funktion määritelmä- ja muutosaluetta. Lausekkeen (x - 2) neliöjuuren erottaminen on mahdollista vain, jos tämä arvo on ei-negatiivinen, eli x - 2 ≥ 0 tai x ≥ 2. EtsiKoska aritmeettisen juuren määritelmän mukaansitten lisäämme numeron 3 kaikkiin tämän epäyhtälön osiin, saamme:tai 3 ≤ v< +∞. Находим

Rationaalifunktioita käytetään usein matematiikassa. Tässä tapauksessa lomakkeen funktiot f(x ) = p(x) (missä p(x) on polynomi) kutsutaan kokonaisiksi rationaalisiksi funktioiksi. Lomakkeen toiminnot(missä p(x) ja q(x ) - polynomeja) kutsutaan murto-rationaalisiksi funktioiksi. Ilmeisesti murto-osaon määritelty, jos nimittäjä q(x ) ei katoa. Siksi murto-rationaalisen funktion määritelmäalue- kaikkien reaalilukujen joukko, joista polynomin juuret jätetään pois q(x).

Esimerkki 2

Rationaalinen toimintamääritelty x - 2 ≠ 0, so. x ≠ 2. Siksi tämän funktion määritelmäalue on kaikkien reaalilukujen joukko, jotka eivät ole yhtä suuria kuin 2, eli välien (-∞; 2) ja (2; ∞) liitto.

Muista, että joukkojen A ja B liitto on joukko, joka koostuu kaikista vähintään yhteen joukoista A tai B sisältyvistä alkioista. Joukkojen A ja B liittoa merkitään symbolilla A U B. Siten liitto segmenttien ja (3; 9) on väli (ei-leikkausvälit) on merkitty .

Palataksemme esimerkkiin, voimme kirjoittaa:Koska kaikille hyväksyttäville x:n arvoille murto-osaei katoa, sitten toiminto f(x ) ottaa kaikki arvot paitsi 3. Siksi

Esimerkki 3

Etsitään murto-rationaalisen funktion määritelmäalue

Murtolukujen nimittäjät katoavat kohdissa x = 2, x = 1 ja x = -3. Siksi tämän toiminnon määrittelyalue

Esimerkki 4

Riippuvuus ei ole enää toiminto. Todellakin, jos haluamme laskea y:n arvon esimerkiksi kun x = 1, niin ylemmän kaavan avulla löydämme: y = 2 1 - 3 = -1, ja alemman kaavan avulla saamme: y = 12 + 1 = 2. Siten yksi arvo x(x = 1) vastaavat kahta y:n arvoa (y = -1 ja y = 2). Siksi tämä riippuvuus (määritelmän mukaan) ei ole funktio.

Esimerkki 5

Kaaviot kahdesta riippuvuudesta näytetään y(x ). Selvitetään, mikä niistä on funktio.

Kuvassa ja funktion kuvaaja on annettu, koska missä tahansa pisteessä x 0 vain yksi arvo y0 vastaa. Kuvassa b on jonkinlaisen riippuvuuden kaavio (mutta ei funktio), koska sellaisia ​​pisteitä on olemassa (esim. x 0 ), jotka vastaavat useampaa kuin yhtä arvoa y (esimerkiksi y1 ja y2).

Tarkastellaan nyt tärkeimpiä tapoja määrittää funktioita.

1) Analyyttinen (käyttäen kaavaa tai kaavoja).

Esimerkki 6

Katsotaanpa toimintoja:

Epätavallisesta muodostaan ​​huolimatta tämä suhde määrittelee myös funktion. Mille tahansa x:n arvolle on helppo löytää y:n arvo. Esimerkiksi, jos x = -0,37 (koska x< 0, то пользуясь верхним выражением), получаем: у(-0,37) = -0,37. Для х = 2/3 (так как х >0, käytämme alempaa lauseketta) meillä on:Y:n löytämismenetelmästä on selvää, että mikä tahansa arvo x vastaa vain yhtä arvoa y.

c) 3x + y = 2y - x2. Esitetään arvo y tästä suhteesta: 3x + x2 = 2y - y tai x2 + 3x = y. Siten tämä relaatio määrittää myös funktion y = x2 + 3x.

2) Taulukkomainen

Esimerkki 7

Kirjoitetaan neliöiden y taulukko numeroille x.

		2,25		6,25

Taulukkotiedot määrittelevät myös funktion - jokaiselle x-arvolle (taulukossa annettu) löytyy yksi arvo y. Esimerkiksi y(1,5) = 2,25, y(5) = 25 jne.

3) Grafiikka

Suorakaiteen muotoisessa koordinaattijärjestelmässä funktionaalisen riippuvuuden y(x) kuvaamiseksi on kätevää käyttää erityistä piirustusta - funktion kuvaajaa.

Määritelmä 2. Funktion kuvaaja y(x ) on joukko koordinaattijärjestelmän kaikkia pisteitä, joiden abskissat ovat yhtä suuret kuin riippumattoman muuttujan x arvot ja ordinaatit ovat yhtä suuret kuin riippuvan muuttujan y vastaavat arvot.

Tämän määritelmän mukaan kaikki funktion riippuvuuden y(x) täyttävät pisteparit (x0, y0) sijaitsevat funktion kuvaajassa. Muut pisteparit, jotka eivät täytä riippuvuutta y(x ), funktiot eivät ole kaaviossa.

Esimerkki 8

Annettu funktio Kuuluuko piste koordinaatteineen tämän funktion kuvaajaan: a) (-2; -6); b) (-3; -10)?

1. Etsi funktion y arvo atKoska y(-2) = -6, niin piste A (-2; -6) kuuluu tämän funktion kuvaajaan.

2. Määritä funktion y arvo at Vuodesta y (-3) = -11, silloin piste B (-3; -10) ei kuulu tämän funktion kuvaajaan.

Tämän funktion y = kuvaajan mukaan f(x ) on helppo löytää määritelmäalue D(f ) ja alue E(f ) toimintoja. Tätä varten kuvaajan pisteet projisoidaan koordinaattiakseleille. Sitten näiden pisteiden abskissat muodostavat määritelmäalueen D(f ), ordinaatit - arvoalue E(f).

Verrataan erilaisia ​​tapoja määritellä funktio. Analyysimenetelmää tulisi pitää täydellisimpana. Sen avulla voit luoda funktion arvotaulukon joillekin argumenttiarvoille, rakentaa funktiosta kaavion ja suorittaa tarvittavat funktion tutkimukset. Samalla taulukkomenetelmän avulla voit nopeasti ja helposti löytää funktion arvon joillekin argumenttiarvoille. Funktion kaavio näyttää selvästi sen käyttäytymisen. Siksi ei tule vastustaa erilaisia ​​funktion määrittelymenetelmiä, jokaisella niistä on omat etunsa ja haittansa. Käytännössä käytetään kaikkia kolmea funktion määrittelytapaa.

Esimerkki 9

Annettu funktio y = 2x2 - 3x +1.

Etsitään: a) y (2); b) y (-3x); c) y(x + 1).

Jotta voidaan löytää funktion arvo tietylle argumentin arvolle, on välttämätöntä korvata tämä argumentin arvo funktion analyyttisellä muodolla. Siksi saamme:

Esimerkki 10

Tiedetään, että y(3 - x) = 2x2 - 4. Etsitään: a) y(x); b) y(-2).

a) Merkitään se kirjaimella z = 3, sitten x = 3 - z . Korvataan tämä arvo x tämän funktion y(3 - x) = 2x2 - 4 analyyttiseen muotoon ja saadaan: y (3 - (3 - z)) = 2 (3 - z) 2 - 4 tai y (z) = 2 (3 - z) 2 - 4 tai y (z) = 2 (9 - 6 z + z 2) - 4 tai y (z) = 2x2 - 12 z + 14. Koska sillä ei ole väliä millä kirjaimella funktion argumentti merkitään - z, x, t tai mikä tahansa muu, saamme välittömästi: y(x) = 2x2 - 12x + 14;

b) Nyt on helppo löytää y(-2) = 2 · (-2)2 - 12 · (-2) + 14 = 8 + 24 + 14 = 46.

Esimerkki 11

On tiedossa, että Etsitään x(y).

Merkitään kirjaimella z = x - 2, sitten x = z + 2 ja kirjoita ongelman tila: tai Vastaanottaja kirjoitamme saman ehdon argumentille (- z ): Käyttömukavuuden vuoksi otamme käyttöön uusia muuttujia a = y (z) ja b = y (- z ). Tällaisille muuttujille saadaan lineaarinen yhtälöjärjestelmä

Olemme kiinnostuneita tuntemattomasta a.

Sen löytämiseksi käytämme algebrallista yhteenlaskumenetelmää. Siksi kerrotaan ensimmäinen yhtälö luvulla (-2), toinen yhtälö luvulla 3. Saamme:

Lisätään nämä yhtälöt:missä Koska funktion argumentti voidaan merkitä millä tahansa kirjaimella, meillä on:

Lopuksi totean, että luokan 9 loppuun mennessä tutkittiin seuraavia ominaisuuksia ja kaavioita:

a) lineaarinen funktio y = kx + m (kaavio on suora);

b) neliöfunktio y = ax2 + b x + c (kaavio - paraabeli);

c) murto-osa lineaarifunktio(kaavio - hyperbola), erityisesti funktiot

d) tehofunktio y = xa (erityisesti funktio

e) funktiot y = |x|.

Materiaalin lisätutkimuksia varten suosittelemme näiden funktioiden ominaisuuksien ja kaavioiden toistamista. Seuraavat oppitunnit käsittelevät kaavioiden muuntamisen perusmenetelmiä.

1. Määritä numeerinen funktio.

2. Selitä, kuinka funktio määritellään.

3. Mitä kutsutaan joukkojen A ja liitoksi B?

4. Mitä funktioita kutsutaan rationaalisiksi kokonaisluvuiksi?

5. Mitä funktioita kutsutaan murto-rationaaleiksi? Mikä on tällaisten toimintojen määrittelyalue?

6. Mitä kutsutaan funktion kuvaajaksi f(x)?

7. Anna pääfunktioiden ominaisuudet ja kuvaajat.

IV. Oppitunnin tehtävä

§ 1, nro 1 (a, d); 2 (c, d); 3 (a, b); 4 (c, d); 5 (a, b); 6 (c); 7 (a, b); 8 (c, d); 10 ( a ); 13 (c, d); 16 (a, b); 18.

V. Kotitehtävät

§ 1, nro 1 (b, c); 2 (a, b); 3 (c, d); 4 (a, b); 5 (c, d); 6 (g); 7 (c, d); 8 (a, b); 10 (b); 13 (a, b); 16 (c, d); 19.

VI. Luovia tehtäviä

1. Etsi funktio y = f(x), jos:

Vastaukset:

2. Etsi funktio y = f(x) jos:

Vastaukset:

VII. Oppituntien yhteenveto

Tämä on vastaavuus, jossa jokainen joukon D alkio x liittyy jonkin säännön mukaan tiettyyn numeroon y riippuen x:stä. Merkintä: y = f(x) x y Riippumattomasta muuttujasta tai argumentista riippuvainen muuttuja tai funktion arvo D(f) E(f) Toiminnon toimialue Funktioalue Numeerinen funktio, jolla on verkkoalue D

Funktion tasaisuus Funktiota y=f(x) kutsutaan, vaikka millä tahansa määrittelyalueen arvolla x pätee yhtälö f(-x)=f(x). Funktiota y=f(x) kutsutaan parittomaksi, jos millä tahansa määrittelyalueen arvolla x täyttyy yhtälö f(-x)=-f(x).

Funktion monotonisuus (funktion lisäys ja pieneneminen) Funktion y=f(x) sanotaan kasvavan joukossa X є D(f), jos joukon X missä tahansa pisteessä x 1 ja x 2 niin, että x 1 f(x 2) f(x 2)">

Jaksottaisen funktion kaavion rakentaminen Jos funktiolla y=f(x) on jakso T, niin funktion kaavion rakentamiseksi on ensin rakennettava kaavion haara (aalto, osa) mille tahansa pituudelle T ja siirrä sitten tätä haaraa x-akselia pitkin oikealle ja vasemmalle T:llä, 2T:llä, 3T:llä jne.

Funktion rajaus Funktiota y=f(x) kutsutaan alhaalta rajatuksi joukossa X є D(f), jos kaikki tämän funktion arvot joukossa X ovat suurempia kuin tietty luku. (eli jos on sellainen luku m, että mille tahansa arvolle x є X epäyhtälö pätee: f(x) > m. Funktiota y=f(x) kutsutaan ylhäältä rajatuksi joukossa X є D(f), jos kaikki tämän funktion arvot joukossa X ovat pienempiä kuin tietty luku (eli jos on sellainen luku M, että mille tahansa arvolle x є X pätee seuraava epäyhtälö: f(x) m. Funktio y=f(. x) kutsutaan edellä rajatuksi joukossa X є D(f), jos kaikki tämän funktion arvot joukossa X ovat pienempiä kuin tietty luku (eli jos on olemassa luku M, joka jollakin arvolla x є X seuraava epäyhtälö pätee: f(x)

Funktion luku m suurinta ja pienintä arvoa kutsutaan funktion y=f(x) pienimmäksi arvoksi joukossa X є D(f), jos: 1) on sellainen piste x o є X, että f(x o) )=m; 2) Mille tahansa arvolle x є X epäyhtälö f(x)f(x o) täyttyy Lukua M kutsutaan funktion y=f(x) suurimmaksi arvoksi joukossa X є D(f), jos: 1) on sellainen piste x o є X, että f(x o)=M; 2) Mille tahansa arvolle x є X epäyhtälö f(x)f(x o) täyttyy

Funktion konveksius Funktio on kupera ylöspäin intervallilla X, jossa on Dif), jos yhdistämällä sen graafin mitkä tahansa kaksi pistettä X:n abskissaan janalla havaitsemme, että kaavion vastaava osa on piirretyn janan yläpuolella. Funktion katsotaan olevan kupera alaspäin välillä X D(f):llä, jos yhdistämällä sen graafin mitkä tahansa kaksi pistettä X:n abskissaan janalla havaitsemme, että kaavion vastaava osa on piirretyn janan alapuolella.

Funktion jatkuvuus, funktion jatkuvuus välissä X tarkoittaa, että funktion kuvaajalla tietyllä intervallilla ei ole katkaisukohtia (eli se on kiinteä viiva). Kommentti. Itse asiassa voimme puhua funktion jatkuvuudesta vain, kun on todistettu, että funktio on jatkuva. Mutta vastaava määritelmä on monimutkainen, emmekä vielä pysty tekemään sitä (annamme sen myöhemmin, § 26). Samaa voidaan sanoa kuperuuden käsitteestä. Siksi, kun keskustelemme näistä kahdesta funktion ominaisuudesta, luotamme edelleen visuaalisiin ja intuitiivisiin käsitteisiin.

Funktion ääripisteet ja ääripisteet. Funktion maksimi- ja minimipisteitä kutsutaan funktion ääripisteiksi. Määritelmä. Pistettä x 0 kutsutaan funktion f minimipisteeksi, jos kaikille x:lle jostain x 0:n ympäristöstä epäyhtälö f(x) f(x 0) pätee. Määritelmä. Pistettä x 0 kutsutaan funktion f maksimipisteeksi, jos kaikille x:lle jostain x 0:n ympäristöstä pätee epäyhtälö f(x) f(x 0).

Kaavio funktion tutkimiseksi 1 - Määritelmäalue 2 - parillinen (pariton) 3 - pienin positiivinen jakso 4 - kasvu- ja laskuvälit 5 - funktion ääri- ja ääripisteet 6 - funktion rajallisuus 7 - funktion jatkuvuus funktio 8 - funktion suurin ja pienin arvo 9 - arvoalue 10 - funktion kupera

Niillä on monia ominaisuuksia:

1. Funktiota kutsutaan yksitoikkoinen tietyllä aikavälillä A, jos se kasvaa tai pienenee tällä aikavälillä

2. Funktiota kutsutaan lisääntyy tietyllä aikavälillä A, jos jollekin niiden joukon A luvuille täyttyy seuraava ehto:.

Kasvavan funktion kaaviolla on erityinen piirre: liikuttaessa x-akselia pitkin intervallia pitkin vasemmalta oikealle A kaaviopisteiden ordinaatit kasvavat (kuva 4).

3. Funktiota kutsutaan vähenee jossain välissä A, jos niitä on useita A ehto täyttyy:.

Pienevän funktion kaaviolla on erityinen ominaisuus: siirryttäessä x-akselia pitkin vasemmalta oikealle intervallia pitkin A kaaviopisteiden ordinaatit pienenevät (kuva 4).

4. Funktiota kutsutaan jopa jossain setissä X, jos ehto täyttyy: .

Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen ordinaatta-akselin suhteen (kuva 2).

5. Funktiota kutsutaan outo jossain setissä X, jos ehto täyttyy: .

Parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen (kuva 2).

6. Jos toiminto y = f(x)
f(x) f(x), niin he sanovat, että toiminto y = f(x) hyväksyy pienin arvo klo=f(x) klo X= x(Kuva 2, funktio ottaa pienimmän arvon pisteestä, jossa on koordinaatit (0;0)).

7. Jos toiminto y = f(x) on määritelty joukossa X ja on olemassa sellainen, että mille tahansa epäyhtälölle f(x) f(x), niin he sanovat, että toiminto y = f(x) hyväksyy korkein arvo klo=f(x) klo X= x(Kuva 4, funktiolla ei ole suurinta ja pienintä arvoa) .

Jos tälle toiminnolle y = f(x) kaikki luetellut ominaisuudet on tutkittu, niin sanotaan opiskella toimintoja.

Numeerinen toiminto Tätä numerojoukon välistä vastaavuutta kutsutaan X ja monta R reaaliluvut, joissa jokainen numero joukosta X vastaa yhtä numeroa joukosta R. Joukko X nimeltään toiminnon toimialue . Toiminnot on merkitty kirjaimilla f, g, h jne. Jos f– laitteessa määritetty toiminto X, sitten todellinen luku y, numeroa vastaava X niitä on paljon X, usein merkitty f(x) ja kirjoittaa
y = f(x). Muuttuva X tätä kutsutaan argumentiksi. Lomakkeen numerosarja f(x) nimeltään toimintoalue

Funktio määritetään kaavan avulla. Esimerkiksi , y = 2X - 2. Jos määritettäessä funktiota kaavalla, sen määritelmäaluetta ei ilmoiteta, oletetaan, että funktion määritelmäalue on lausekkeen määritelmäalue f(x).

1. Funktiota kutsutaan yksitoikkoinen tietyllä aikavälillä A, jos se kasvaa tai pienenee tällä aikavälillä

2. Funktiota kutsutaan lisääntyy tietyllä aikavälillä A, jos jollekin niiden joukon A luvuista täyttyy seuraava ehto: .

Kasvavan funktion kaaviolla on erityinen piirre: liikuttaessa x-akselia pitkin intervallia pitkin vasemmalta oikealle A kaaviopisteiden ordinaatit kasvavat (kuva 4).

3. Funktiota kutsutaan vähenee jossain välissä A, jos niitä on useita A ehto täyttyy: .

Pienevän funktion kaaviolla on erityinen ominaisuus: siirryttäessä x-akselia pitkin vasemmalta oikealle intervallia pitkin A kaaviopisteiden ordinaatit pienenevät (kuva 4).

4. Funktiota kutsutaan jopa jossain setissä X, jos ehto täyttyy: .

Parillisen funktion kuvaaja on symmetrinen ordinaatta-akselin suhteen (kuva 2).

5. Funktiota kutsutaan outo jossain setissä X, jos ehto täyttyy: .

Parittoman funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen (kuva 2).

6. Jos toiminto y = f(x)
f(x) f(x), niin he sanovat, että toiminto y = f(x) hyväksyy pienin arvo klo =f(x) klo X= x(Kuva 2, funktio ottaa pienimmän arvon pisteestä, jossa on koordinaatit (0;0)).

7. Jos toiminto y = f(x) on määritelty joukossa X ja on olemassa sellainen, että mille tahansa epäyhtälölle f(x) f(x), niin he sanovat, että toiminto y = f(x) hyväksyy korkein arvo klo =f(x) klo X= x(Kuva 4, funktiolla ei ole suurinta ja pienintä arvoa) .

Jos tälle toiminnolle y = f(x) kaikki luetellut ominaisuudet on tutkittu, niin sanotaan opiskella toimintoja.

Rajoitukset.

Lukua A kutsutaan funktion rajaksi, koska x pyrkii arvoon ∞, jos jollakin E>0:lla on olemassa δ (E)>0 siten, että kaikilla x-arvoilla täyttyy epäyhtälö |x|>δ epäyhtälö |F(x) -A|

Lukua A kutsutaan funktion rajaksi, koska X pyrkii arvoon X 0, jos jollakin E>0:lla on olemassa δ (E)>0 siten, että kaikilla X≠X 0 täyttää epäyhtälön |X-X 0 |<δ выполняется неравенство |F(x)-A|

YKSILÖISET RAJOITUKSET.

Rajaa määritettäessä X pyrkii X0:aan mielivaltaisella tavalla, eli mistä tahansa suunnasta. Kun X pyrkii X0:aan, niin että se on aina pienempi kuin X0, niin rajaa kutsutaan rajaksi kohdassa X0 vasemmalla. Tai vasenkätisyysraja. Oikeanpuoleinen raja määräytyy samalla tavalla.