استقلال وقایع. احتمال مشروط قضیه بیز مثال احتمال شرطی

غالباً در زندگی ما با نیاز به ارزیابی شانس وقوع یک واقعه روبرو هستیم. چه ارزش خرید بلیط قرعه کشی باشد یا نه ، جنسیت فرزند سوم خانواده چه خواهد بود ، آیا فردا خوب خواهد شد یا باران دیگر می بارد - نمونه های بیشماری از این نمونه ها وجود دارد. در ساده ترین حالت ، تعداد نتایج مطلوب باید به تعداد کل رویدادها تقسیم شود. اگر 10 بلیط برنده در قرعه کشی وجود داشته باشد و در مجموع 50 بلیط وجود داشته باشد ، شانس دریافت جایزه 10/50 \u003d 0.2 است ، یعنی 20 در مقابل 100. اما اگر چندین رویداد برگزار شود ، چه باید کرد؟ و از نزدیک با هم رابطه دارند؟ در این صورت ، ما دیگر به احتمال ساده اما مشروط علاقه نخواهیم داشت. این مقدار چیست و چگونه می توان آن را محاسبه کرد - این دقیقاً همان چیزی خواهد بود که در مقاله ما بحث خواهد شد.

مفهوم

احتمال مشروط احتمال وقوع یک رویداد خاص است ، به شرطی که یک رویداد مرتبط دیگر قبلاً رخ داده باشد. بیایید یک مثال ساده از پرتاب یک سکه بگیریم. اگر هنوز تساوی صورت نگرفته است ، احتمال سر یا دم گرفتن یکسان خواهد بود. اما اگر پنج بار پشت سر هم سکه با نشان بالا افتاد ، پس موافقت کنید که انتظار داشته باشید تکرار 6 ، 7 و حتی بیشتر از آن تکرار دهم چنین نتیجه ای غیر منطقی باشد. با هر ضربه مکرر به سر ، احتمال ظاهر دم رشد می کند و دیر یا زود بالا می آید.

فرمول احتمال مشروط

حال بیایید نحوه محاسبه این مقدار را دریابیم. بگذارید اولین رویداد را با B و دومین را با A. نشان دهیم اگر احتمال وقوع B با صفر متفاوت باشد ، برابری زیر درست خواهد بود:

P (A | B) \u003d P (AB) / P (B) ، جایی که:

• Р (А | В) - احتمال شرطی کل A ؛
• P (AB) - احتمال وقوع مشترک حوادث A و B ؛
• P (B) احتمال وقوع B است.

با کمی تغییر این نسبت ، P (AB) \u003d P (A | B) * P (B) بدست می آوریم. و در صورت درخواست ، می توانید فرمول محصول را استخراج کرده و از آن برای تعداد دلخواه رویدادها استفاده کنید:

P (A 1 ، A 2 ، A 3 ، ... A p) \u003d P (A 1 | A 2 ... A p) * P (A 2 | A 3 ... A p) * P (A 3 | A 4 ... A p) ... P (A p-1 | A p) * P (A p).

تمرین

برای درک آسان تر نحوه محاسبه شرط ، چند مثال را در نظر بگیرید. فرض کنید یک گلدان حاوی 8 شکلات و 7 شکلات نعناعی دارید. اندازه آنها یکسان است و دو نفر از آنها به طور تصادفی به ترتیب خارج می شوند. شانس شکلات شدن هر دوی آنها چقدر است؟ بگذارید علامت گذاری را معرفی کنیم. بگذارید کل A به این معنی باشد که آب نبات اول شکلات است ، و کل B - آب نبات دوم. سپس موارد زیر را دریافت می کنید:

P (A) \u003d P (B) \u003d 8/15 ،

P (A | B) \u003d P (B | A) \u003d 7/14 \u003d 1/2 ،

P (AB) \u003d 8/15 x 1/2 \u003d 4/15 ≈ 0.27

بیایید یک مورد دیگر را در نظر بگیریم. فرض کنید یک خانواده دو فرزند وجود دارد و ما می دانیم که حداقل یک فرزند دختر است.

چه احتمال مشروطی وجود دارد که این والدین هنوز پسر ندارند؟ مانند مورد قبلی ، بیایید با علامت گذاری شروع کنیم. بگذارید P (B) - احتمال وجود حداقل یک دختر در خانواده ، P (A | B) - احتمال اینکه فرزند دوم نیز دختر باشد ، P (AB) - احتمال وجود دو دختر در خانواده. حالا بیایید محاسبات را انجام دهیم. در کل ، 4 ترکیب مختلف از جنسیت کودکان وجود دارد و فقط در یک مورد (وقتی دو پسر در خانواده وجود داشته باشد) هیچ دختری در میان فرزندان وجود نخواهد داشت. بنابراین ، احتمال P (B) \u003d 3/4 و P (AB) \u003d 1/4. سپس با پیروی از فرمول ما ، به دست می آوریم:

P (A | B) \u003d 1/4: 3/4 \u003d 1/3.

نتیجه را می توان به شرح زیر تفسیر کرد: اگر از جنسیت یکی از فرزندان نمی دانستیم ، احتمال دو دختر 25 تا 100 خواهد بود. اما از آنجا که می دانیم یک کودک دختر است ، احتمال وجود هیچ پسری در خانواده به یک سوم افزایش نمی یابد.

§ 1. مفهوم های اساسی

4. احتمال مشروط. قضیه ضرب احتمال.

در بسیاری از کارها ، شما باید احتمال ترکیب رویدادها را پیدا کنید و و که دراگر احتمال وقایع مشخص باشد و و که در.

مثال زیر را در نظر بگیرید. بگذارید دو سکه پرتاب شود. بیایید احتمال ظهور دو نشان را پیدا کنیم. ما 4 نتیجه ناسازگار جفتی به یک اندازه محتمل داریم که یک گروه کامل را تشکیل می دهند:

	سکه اول	سکه 2
نتیجه 1	نشان	نشان
نتیجه 2	نشان	سنگ نوشته
نتیجه 3	سنگ نوشته	نشان
نتیجه 4	سنگ نوشته	سنگ نوشته

بدین ترتیب، P (نشان ، نشان) \u003d 1/4.

اکنون به ما اطلاع دهید که سکه اول دارای یک نشان است. بعد از آن چگونه احتمال نشان نشان روی هر دو سکه تغییر می کند؟ از آنجا که نشان در اولین سکه افتاد ، اکنون گروه کامل از دو نتیجه متناقض به همان اندازه محتمل تشکیل شده است:

	سکه اول	سکه 2
نتیجه 1	نشان	نشان
نتیجه 2	نشان	سنگ نوشته

علاوه بر این ، تنها یکی از نتایج به نفع این رویداد است (نشان ، نشان). بنابراین ، تحت فرضیات انجام شده P (نشان ، نشان) \u003d 1/2... بگذارید با مشخص کنیم و ظاهر دو نشان و بعد از آن که در - شکل نشان در اولین سکه. می بینیم که احتمال یک رویداد وجود دارد و وقتی معلوم شد که این رویداد تغییر کرده است ب اتفاق افتاده

احتمال رویداد جدید و، با فرض وقوع آن واقعه ب، نشان خواهیم داد P B (A).

بدین ترتیب، P (A) \u003d 1/4 ؛ P B (A) \u003d 1/2

قضیه ضرب. احتمال همزمانی وقایع A و B برابر است با حاصل احتمال یکی از آنها با احتمال شرطی دیگری ، که با فرض وقوع اولین رویداد محاسبه می شود ، یعنی

P (AB) \u003d P (A) P A (B)

(4)

شواهد و مدارک. اجازه دهید اعتبار رابطه (4) را بر اساس تعریف کلاسیک احتمال اثبات کنیم. نتایج احتمالی را بگذارید E 1, E 2, ..., E N از این آزمایش یک گروه کامل از وقایع ناسازگار جفتی به همان اندازه محتمل تشکیل می شود که از آن رویداد است آ پسندیده م نتایج ، و اجازه دهید این م نتایج ل نتایج به نفع این رویداد است ب... بدیهی است که ترکیب رویدادها آ و ب پسندیده ل از ن نتایج آزمون احتمالی این می دهد؛ ؛
بدین ترتیب،
تعویض مکان ها آ و ب، به طور مشابه ما
قضیه ضرب را می توان به راحتی به تعداد محدود وقایع تعمیم داد. بنابراین ، برای مثال ، در مورد سه واقعه A 1, A 2, A 3 ما داریم *
به طور کلی

از رابطه (6) نتیجه می شود که از دو برابر (8) یکی نتیجه دیگری است.

به عنوان مثال ، یک رویداد آ - شکل نشان با یک پرتاب سکه و رویداد ب - ظاهر کارت کارت الماس هنگام برداشتن کارت از عرشه. بدیهی است ، حوادث آ و ب مستقل.

در صورت استقلال وقایع آ به ب فرمول (4) شکل ساده تری به خود می گیرد:

* رویداد A 1 A 2 A 3 می توان به عنوان ترکیبی از دو رویداد تصور کرد: رویدادها C \u003d A 1 A 2 و حوادث A 3.

احتمال شرطی واقعه A هنگام انجام رویداد B نگرش نامیده می شود در اینجا فرض بر این است که.

به عنوان یک توجیه منطقی برای این تعریف ، ما توجه می کنیم که وقتی رویدادی رخ می دهد ب شروع به ایفای نقش یک رویداد قابل اعتماد می کند ، بنابراین لازم است که آن را بخواهیم. نقش واقعه آنمایشنامه AB ، بنابراین باید متناسب با باشد . (از تعریف بدست می آید که ضریب تناسب است.)

اکنون مفهوم را معرفی می کنیم استقلال وقایع.

این بدان معنی است: زیرا این واقعه اتفاق افتاده است ب، احتمال وقوع آتغییر نکرده است

با در نظر گرفتن تعریف احتمال شرطی ، این تعریف به نسبت تقلیل می یابد . دیگر نیازی به تحقق شرط نیست . بنابراین ، ما به تعریف نهایی می رسیم.

رویدادهای A و B را در صورت P مستقل می نامیم(AB) \u003d پ(آ)پ(ب).

رابطه اخیر معمولاً برای تعیین استقلال دو واقعه در نظر گرفته می شود.

اگر روابط مشابه برای هر زیر مجموعه از رویدادهای در نظر گرفته شده ، چندین رویداد در مجموع مستقل خوانده شوند. بنابراین ، به عنوان مثال ، سه رویداد الف ، بو ج اگر چهار رابطه زیر برآورده شود در مجموع مستقل خوانده می شوند:

ما تعدادی از کارها را برای احتمال شرطی و استقلال وقایعو راه حل های آنها

مسئله 21 یک کارت از یک کارت کامل از 36 کارت گرفته می شود. رویداد آ - کارت قرمز است ، ب - کارت آس. آیا آنها مستقل خواهند بود؟

تصمیم گیری انجام محاسبات با توجه به تعریف کلاسیک احتمال ، متوجه می شویم که . این به این معنی است که حوادث آ و بمستقل.

تکلیف 22... با حذف ملکه پیک ، همین مشکل را برای عرشه حل کنید.

تصمیم گیری... ... هیچ استقلال وجود ندارد.

مسئله 23 دو نفر به طور متناوب یک سکه می اندازند. برنده کسی است که ابتدا دارای نشان باشد. احتمال پیروزی برای هر دو بازیکن را پیدا کنید.

تصمیم گیری می توانیم فرض کنیم که وقایع ابتدایی توالی متناهی شکل (0 ، 0 ، 1 ، ... ، 0 ، 1) هستند . برای دنباله ای از طول ، رویداد ابتدایی مربوطه یک احتمال دارد. بازیکنی که شروع به پرتاب سکه می کند ، در صورت وقوع یک رویداد ابتدایی ، شامل تعداد عجیب و غریب صفر و یک ، برنده می شود. بنابراین ، احتمال برنده شدن وی است

برنده شدن بازیکن دوم با تعداد صفر و یک برابر است. برابر است

از این راه حل نتیجه می شود که بازی در یک زمان محدود با احتمال 1 (از آن زمان) به پایان می رسد.

مسئله 24 برای از بین بردن پل ، باید حداقل 2 بمب بزنید. آنها 3 بمب انداختند. احتمال اصابت بمب به ترتیب 0 ، 1 است. 0 ، 3 ؛ 0 ، 4. احتمال تخریب پل را پیدا کنید.

تصمیم گیری بگذارید رویدادهای A ، B ، C به ترتیب شامل ضربه بمب های 1 ، 2 ، 3 باشد. سپس تخریب پل فقط در صورت تحقق واقعه رخ می دهد. با توجه به اینکه اصطلاحات این فرمول از نظر جفتی متناقض است و عوامل موجود در آن مستقل هستند ، احتمال مورد نظر

0,1∙0,3∙0,4 + 0,1∙0,3∙0,6 + 0,1∙0,7∙0,4 + 0,9∙0,3∙0,4 = 0,166.

مسئله 25دو کشتی باری باید در همان اسکله اسکله پهلو بگیرند. شناخته شده است که هر یک از آنها می توانند در هر لحظه از یک روز ثابت با احتمال مساوی نزدیک شوند و باید به مدت 8 ساعت تخلیه کنند.

تصمیم گیریما زمان را بر حسب روز و کسر روز اندازه خواهیم گرفت. سپس ، وقایع ابتدایی جفت اعدادی هستند که مربع واحد را پر می کنند ، در کجا ایکس - زمان ورود اولین کشتی ، y - زمان ورود کشتی دوم. تمام نقاط مربع به یک اندازه محتمل هستند. این بدان معنی است که احتمال هر رویداد (یعنی مجموعه ای از واحد مربع) برابر با مساحت منطقه مربوط به این رویداد است. رویداد آ از نقاط واحد مربع تشکیل شده است که نابرابری برای آنها برقرار است. این نابرابری با این واقعیت مطابقت دارد که تا زمان ورود کشتی دوم ، کشتی اول وقت تخلیه خواهد داشت. مجموعه این نقاط دو مثلث متساویا با زاویه راست با ضلع های 2/3 را تشکیل می دهند. مساحت کل این مثلث ها 4/9 است. بدین ترتیب، .

مسئله 26آزمون تئوری احتمال 34 بلیط داشت. دانشجو دو بلیط از بلیط های ارائه شده (بدون استرداد آنها) استخراج می کند. آیا دانشجو فقط با 30 بلیط آماده شده است؟ احتمال قبولی در آزمون برای اولین بار چقدر است "ناموفق بود"بلیط؟

تصمیم گیرییک انتخاب تصادفی در این واقعیت است که دو بار پشت سر هم یک بلیط پس گرفته می شود و بلیط ترسیم شده برای اولین بار پس داده نمی شود. اجازه دهید این رویداد که در اولین کسی است که بیرون می آورد " ناموفق " بلیط و رویداد واین است که دوم خارج شده است " موفقیت آمیز"بلیط. بدیهی است ، حوادث و و که در وابسته هستند ، زیرا بلیط بازیابی شده برای اولین بار در بین تمام بلیط ها پس داده نمی شود. برای یافتن احتمال یک رویداد لازم است AB.

طبق فرمول احتمال شرطی ؛ ؛ ، بنابراین .

همانطور که در ابتدای دوره ما اشاره شد ، منظور ما این است که این آزمایش تحت برخی از شرایط ثابت K انجام می شود. اگر این شرایط تغییر کند ، احتمال وقایع مربوط به این آزمایش نیز تغییر می کند. چنین تغییری را همیشه می توان ظاهر برخی از رویدادها دانست (به استثنای مجموعه اولیه شرایط K). برای درک چگونگی تعیین احتمال جدید (شرطی) در این مورد ، فرکانسهای مربوطه را در نظر بگیرید. اجازه دهید آزمایش N بار ، رویداد B N (B) بار ، و رویدادهای A و B با هم N (AB) بار انجام شود. سپس فرکانس "شرطی" رویداد A در میان آزمایشاتی که رویداد B رخ داده است ، است

با توجه به اینکه احتمال خصوصیات فرکانس ها را به ارث می برد ، می توان موارد زیر را ارائه داد

تعریف 1. احتمال شرطی واقعه A ، به شرط وقوع واقعه عدد نامیده می شود

گاهی اوقات از نامگذاری دیگری استفاده می شود.

مثال 1 یک سکه متقارن دو بار پرتاب می شود. شناخته شده است که یک نشان افتاده است (رویداد B). احتمال واقعه A را پیدا کنید ، متشکل از این واقعیت است که نشان در اولین پرتاب افتاده است.

محاسبه آن آسان است ، و ... از این رو نتیجه می شود که

به راحتی می توان بررسی کرد که برای یک B ثابت ، احتمال شرط دارای ویژگی های زیر است:

بنابراین ، احتمال شرطی تمام خصوصیات اساسی احتمال را دارد.

قضیه زیر نقش بسیار مهمی را ایفا می کند.

قضیه ضرب. بگذارید A و B دو رویداد باشند و سپس

اثبات آن از تعریف احتمال شرطی ناشی می شود. فایده این قضیه این است که گاهی اوقات می توانیم احتمال شرط را مستقیماً محاسبه کنیم و سپس از آن برای محاسبه استفاده کنیم

مثال 2. در گلدان 5 توپ وجود دارد - 3 سفید و 2 سیاه. بدون بازگشت دو توپ را انتخاب کنید. احتمال سفید بودن هر دو توپ را پیدا کنید.

بگذارید واقعه به این صورت باشد که توپ اول سفید است و رویداد به این صورت است که توپ دوم سفید باشد. محاسبه آن آسان است بعد از اینکه یک توپ را بیرون آوردیم و دانستیم سفید است ، 4 توپ داریم و در میان آنها 2 توپ سفید است. سپس ... با قضیه ضرب

قضیه ضرب را می توان به راحتی به تعداد محدود وقایع تسری داد.

نتیجه گیری 1. اجازه دهید رویدادهای تصادفی باشند

اگر وقوع واقعه B احتمال وقوع A را تغییر ندهد ، به عنوان مثال ، پس طبیعی است که چنین رویدادهایی را مستقل بنامیم. در این حالت ، با قضیه ضرب ، به دست می آوریم

آخرین رابطه با توجه به A و B متقارن است و در آن منطقی است. بنابراین ، ما آن را به عنوان یک تعریف در نظر خواهیم گرفت.

تعریف 2. رویدادهای A و B درصورت مستقل خوانده می شوند

مثال 3 دو سکه متقارن پرتاب می شوند. واقعه A شامل این واقعیت است که سکه اول دارای یک نشان است و رویداد B - سکه دوم دارای یک نشان است.

به طور شهودی روشن است که چنین رویدادهایی باید مستقل باشند. واقعاً ,,

بنابراین ، A و B به معنای تعریف مستقل هستند. کمتر مشهود است که رویدادهای A و C مستقل هستند ، جایی که C به این معنی است که فقط یک نشان افتاده است (ثابت کنید!).

تعیین استقلال بیش از دو واقعه دشوارتر است.

تعریف 3 رویدادها را مستقل می نامند در مجموع،اگر برای هر رویدادی باشد معتبر در نظر گرفته شده

بگذارید با مثالها نشان دهیم استقلال به صورت جفتی و تحقق آخرین برابری برای لیست همه رویدادها برای استقلال در کل کافی نیست.

مثال 4. چهار ضلعی معمولی با سه رنگ رنگی است: یک صورت آبی ، دوم قرمز ، سوم سبز و چهارم هر سه رنگ دارد. این چهار ضلعی پرتاب می شود و مشخص می شود که از کدام طرف خارج شده است.

بگذارید این به معنای ظاهر آبی ، - قرمز ، - سبز باشد. سپس، ,,

از اینجا ما آن را دریافت می کنیم. به همین ترتیب برای جفت های دیگر. بنابراین ، ما استقلال زوجی داریم. ولی

وظیفه 1. مثالی از یک آزمایش و سه واقعه را بیابید ، که به طور جفتی مستقل نیستند.

موارد زیر را می توانید کلی تر بیان کنید

تعریف 4- برخی از کلاسها از رویدادها باشند.

اگر هر رویدادی در مجموع مستقل باشد ، آنها را مستقل می نامند.

در مثال زیر یک وضعیت معمول توصیف شده است.

مثال 5 تاس متقارن دو بار پرتاب می شود. نشانگر مجموعه ای از وقایع مرتبط با نتیجه پرتاب اول است. برای نتیجه پرتاب دوم نیز به همین ترتیب تعیین می شود. سپس و مستقل هستند.

نتیجه زیر در بسیاری از مشکلات مفید است.

گزاره 1 اگر رویدادهای A و B مستقل باشند ، هر دو مورد زیر نیز مستقل هستند:.

شواهد و مدارک. بیایید استقلال را ثابت کنیم.

استقلال جفت باقی مانده از وقایع پیشنهاد شده است که به طور مستقل اثبات شود.

در بسیاری از موقعیت ها ، با چنین آزمایشاتی روبرو می شویم که می تواند در دو مرحله (یا بیشتر) تجزیه شود. در مرحله اول ، ما چندین گزینه داریم ، و در مورد آنچه در پایان اتفاق افتاده است - در مرحله دوم ، س somethingال می شود. در این حالت ، نتیجه زیر بسیار مفید است. بیایید با تعریف زیر شروع کنیم.

تعریف 5. اگر رویدادها یک گروه کامل از رویدادها را تشکیل دهند (تقسیم فضا)

قضیه 1 بگذارید رویدادها یک گروه کامل از رویدادها را برای همه تشکیل دهند - و یک اتفاق دلخواه باشد. سپس فرمول احتمال کل است.

شواهد و مدارک. از آنجا که رویدادها یک گروه کامل را تشکیل می دهند ، ما داریم

از این رو دریافت می کنیم

جایی که ما از قضیه ضرب استفاده کردیم.

مثال 6 در یک کارخانه خاص ، 30٪ تولید توسط ماشین A تولید می شود ، 25٪ تولید توسط ماشین B تولید می شود ، و بقیه توسط ماشین C تولید می شود. در ماشین A ، 1٪ از تولید آن از بین می رود ، در ماشین - 1.2 و در دستگاه C - 2٪. یک مورد به طور تصادفی از بین تمام محصولات تولید شده انتخاب می شود. احتمال نقص آن چقدر است؟

بگذارید واقعه ای را که قسمت انتخاب شده در ماشین A ، - در ماشین B ، - در ماشین C نشان داده شود ، بگذارید. رویدادها گروه کاملی از رویدادها را تشکیل می دهند. به شرط مسئله

رویداد. فضای حوادث ابتدایی. یک اتفاق معتبر ، یک اتفاق غیرممکن. رویدادهای مشترک و ناسازگار وقایع یکسان ممکن. گروه کامل رویدادها عملیات در حوادث.

رویداد پدیده ای است که می توان گفت وجود دارد اتفاق می افتد یا اتفاق نمی افتد، بستگی به ماهیت خود واقعه دارد.

زیر وقایع ابتداییمرتبط با یک آزمون خاص ، همه نتایج تجزیه ناپذیر آن آزمون را درک کنید. هر رویدادی که می تواند در نتیجه این آزمون رخ دهد ، می تواند به عنوان مجموعه ای از وقایع ابتدایی در نظر گرفته شود.

فضای حوادث ابتدایی مجموعه ای دلخواه (متناهی یا نامحدود) نامیده می شود. عناصر آن نقاط هستند (وقایع ابتدایی). به زیر مجموعه های فضای رویدادهای ابتدایی رویدادها گفته می شود.

یک اتفاق معتبر رویدادی نامیده می شود که در نتیجه این آزمون ، لزوماً رخ خواهد داد. (نشان داده شده توسط E).

واقعه غیرممکن رویدادی نامیده می شود که به دلیل این آزمایش نمی تواند اتفاق بیفتد؛ (با U مشخص می شود). به عنوان مثال ، ظهور یکی از شش نقطه در طول یک غلتک تاس یک اتفاق قابل اعتماد است ، اما ظاهر 8 امتیاز غیرممکن است.

دو واقعه خوانده می شود مشترک (سازگار) در یک تجربه خاص ، اگر ظاهر یکی از آنها ظاهر دیگری را مستثنی نکند.

دو واقعه خوانده می شود ناسازگار (ناسازگار است) در یک تجربه معین اگر در یک آزمون با هم اتفاق نیفتد. اگر چندین رویداد به صورت جفت ناسازگار باشند ، ناسازگار خوانده می شوند.

شروع فرم

انتهای فرم

یک واقعه پدیده ای است که می توان گفت وجود دارد اتفاق می افتد یا اتفاق نمی افتد، بستگی به ماهیت خود واقعه دارد. رویدادها با حروف بزرگ الفبای لاتین A ، B ، C ، ... تعیین می شوند. هر رویدادی به علت رخ می دهد آزمایش های... به عنوان مثال ، ورق زدن یک سکه یک آزمایش است ، ظاهر یک نشان یک اتفاق است. ما لامپ را از جعبه خارج می کنیم - یک آزمایش ، معیوب است - یک رویداد ؛ ما توپ را به طور تصادفی از محوطه بیرون می آوریم - یک آزمایش ، توپ سیاه نشان داد - یک اتفاق. یک رویداد تصادفی رویدادی است که می تواند رخ دادن یا اتفاق نمی افتد در طول این آزمون. به عنوان مثال ، با رسم یک کارت به طور تصادفی از عرشه ، شما یک آس می کشید. تیراندازی ، تیرانداز به هدف برخورد می کند. نظریه احتمال فقط مطالعه می کند عظیم حوادث تصادفی یک رویداد معتبر ، رویدادی است که لزوماً در نتیجه این آزمون رخ خواهد داد. (نشان داده شده توسط E). یک رویداد غیرممکن ، رویدادی است که در نتیجه این آزمون نمی تواند اتفاق بیفتد؛ (با U نشان داده می شود). به عنوان مثال ، ظهور یکی از شش نقطه در طول یک غلتک تاس یک اتفاق قابل اعتماد است ، اما ظاهر 8 امتیاز غیرممکن است. وقایع به همان اندازه ممکن ، چنین رویدادهایی هستند که هر کدام از آنها هستند در ظاهر هیچ مزیتی ندارد در بیشتر مواقع ، در طی آزمایشات متعدد ، که تحت همان شرایط انجام می شوند. وقایع ناسازگار به صورت جفتی رویدادهایی هستند که دو مورد نمی توانند با هم اتفاق بیفتند. احتمال یک رویداد تصادفی ، نسبت تعداد رویدادهایی است که این رویداد را ترجیح می دهند به تعداد کل رویدادهای ناسازگار یکسان ممکن است: P (A) - احتمال یک رویداد ؛ N تعداد کل وقایع یکسان ممکن و ناسازگار است. N (A) تعداد رویدادهایی است که رویداد A را ترجیح می دهند. این تعریف کلاسیک از احتمال یک رویداد تصادفی است. تعریف کلاسیک احتمال برای آزمونهایی با تعداد محدودی از نتایج آزمون به همان اندازه ممکن صورت می گیرد. اجازه دهید n شلیک در هدف انجام شود ، که تعداد زیادی ضربه وجود دارد. نسبت W (A) \u003d فراوانی آماری نسبی وقوع A نامیده می شود. بنابراین ، W (A) نرخ ضربه آماری است. هنگام انجام یک سری عکس (جدول 1) ، فرکانس آماری در حدود یک عدد ثابت مشخص در نوسان است. توصیه می شود این عدد را به عنوان برآورد احتمال ضربه بگیرید. احتمال وقوع A به آن شماره ناشناخته P گفته می شود که در اطراف آن مقادیر فرکانسهای آماری وقوع رویداد A با افزایش تعداد آزمایشات جمع آوری می شود. این یک توصیف آماری از احتمال یک رویداد تصادفی است.

عملیات در حوادث

منظور از وقایع ابتدایی مرتبط با یک آزمون خاص ، تمام نتایج تجزیه ناپذیر آن آزمون است. هر رویدادی که می تواند در نتیجه این آزمون رخ دهد ، می تواند به عنوان مجموعه ای از وقایع ابتدایی در نظر گرفته شود. مجموعه دلخواه (متناهی یا نامحدود) را فضای وقایع ابتدایی می نامند. عناصر آن نقاط هستند (وقایع ابتدایی). به زیر مجموعه های فضای رویدادهای ابتدایی رویدادها گفته می شود. تمام روابط و عملیات شناخته شده روی مجموعه ها به رویدادها منتقل می شود. اگر مجموعه A زیر مجموعه ای از B باشد یک رویداد A گفته می شود یک مورد خاص از یک رویداد B (یا B نتیجه A است). این رابطه به همان روشی که برای مجموعه ها نشان داده می شود: A ⊂ B یا B ⊃ A. بنابراین ، رابطه A ⊂ B به این معنی است که تمام وقایع ابتدایی موجود در A نیز در B نیز گنجانده می شوند ، یعنی وقتی رویداد A رخ می دهد ، رویداد B نیز رخ می دهد. علاوه بر این ، اگر A ⊂ B و B ⊂ A ، پس A \u003d B. رویداد A ، که در آن صورت می گیرد و فقط در صورت عدم وقوع رویداد A ، نقطه مقابل رویداد A نامیده می شود. از آنجا که در هر آزمون یکی و فقط یکی از رویدادها رخ می دهد - A یا A ، سپس P (A) + P (A) \u003d 1 یا P (A) \u003d 1 - P (A). ترکیب یا مجموع رویدادهای A و B را رویداد C می نامند ، که فقط و فقط در صورت وقوع رویداد A یا رخداد B یا A و B به طور همزمان رخ می دهد. این نشان داده می شود C \u003d A ∪ B یا C \u003d A + B. ترکیبی از رویدادها A 1 ، A 2 ، ... A n رویدادی است که رخ می دهد اگر و فقط اگر حداقل یکی از این وقایع رخ دهد. ترکیبی از رویدادها A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A n ، یا A k ، یا A 1 + A 2 + ... + A n نشان داده شده است. تقاطع یا محصول رویدادهای A و B یک رویداد D است که فقط در صورت وقوع همزمان حوادث A و B رخ می دهد و با D \u003d A ∩ B یا D \u003d A × B نشان داده می شود. ترکیب یا حاصل از رویدادهای A 1 ، A 2 ، ... A n رویدادی است که فقط و فقط در صورت وقوع یک رویداد A 1 ، یک رویداد A 2 و غیره و یک رویداد A n رخ می دهد. تراز بندی به صورت زیر تعیین می شود: A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A n یا A k ، یا A 1 × A 2 × ... × A n.

مبحث شماره 2 تعریف بدیهی احتمال. تعریف کلاسیک ، آماری ، هندسی از احتمال یک رویداد. خصوصیات احتمال. قضیه جمع و ضرب برای احتمالات. وقایع مستقل احتمال مشروط احتمال وقوع حداقل یکی از وقایع. فرمول احتمال کل. فرمول بیز

اندازه گیری عددی درجه احتمال عینی وقوع یک واقعه نامیده می شود احتمال وقوع این تعریف ، که از نظر کیفی مفهوم احتمال یک واقعه را منعکس می کند ، ریاضی نیست. برای اینکه چنین شود ، لازم است آن را به صورت کیفی تعریف کنید.

مطابق با تعریف کلاسیک احتمال وقوع A برابر است با نسبت تعداد موارد مطلوب به آن به تعداد کل موارد ، یعنی:

جایی که P (A) احتمال وقوع A است.

تعداد موارد مطلوب برای رویداد A

تعداد کل موارد

تعریف آماری از احتمال:

احتمال آماری واقعه A فراوانی نسبی وقوع این رویداد در آزمایشات انجام شده است ، یعنی:

احتمال آماری واقعه A کجاست؟

فرکانس نسبی (فرکانس) واقعه A.

تعداد آزمایشاتی که در آنها یک رویداد رخ داده است

تعداد کل آزمایشات.

برخلاف احتمال "ریاضی" که در تعریف کلاسیک در نظر گرفته شده است ، احتمال آماری یک ویژگی تجربی و تجربی است.

اگر نسبت موارد مطلوب برای رویداد A وجود داشته باشد ، که مستقیماً و بدون هیچ گونه آزمایشی تعیین می شود ، یعنی نسبت کسانی که در واقع آزمایش هایی را انجام داده اند که واقعه A ظاهر شده است.

تعریف هندسی احتمال:

احتمال هندسی واقعه A نسبت اندازه گیری مساحت مساعد به وقوع رویداد A ، به اندازه گیری تمام مناطق است ، یعنی:

در حالت تک بعدی:

احتمال برخوردن به نقطه روی CD /

به نظر می رسد که این احتمال به محل CD در قطعه AB بستگی ندارد ، بلکه فقط به طول آن بستگی دارد.

احتمال برخورد به یک نقطه به اشکال و یا به محل B روی A بستگی ندارد ، بلکه فقط به مساحت این قطعه بستگی دارد.

احتمال مشروط

احتمال گفته می شود مشروط اگر تحت شرایط خاصی محاسبه شود و با این علامت مشخص شود:

این احتمال واقعه A است. این فرض محاسبه می شود که واقعه B قبلاً رخ داده است.

مثال. ما یک تست می دهیم ، دو کارت از عرشه استخراج می کنیم: احتمال اول بدون قید و شرط است.

ما احتمال استخراج ace از عرشه را محاسبه می کنیم:

ما ظاهر 2 ایس از عرشه را محاسبه می کنیم:

A * B - همزمانی وقایع

– قضیه ضرب احتمال

نتیجه گیری:

قضیه ضرب برای وقوع مشترک وقایع:

یعنی هر احتمال بعدی با در نظر گرفتن اینکه تمام شرایط قبلی قبلاً رخ داده است محاسبه می شود.

استقلال واقعه:

اگر دو واقعه با ظاهر دیگری مغایرت نداشته باشد ، دو واقعه را مستقل می نامند.

به عنوان مثال ، اگر آس ها از روی عرشه دوباره کشیده شوند ، پس آنها از یکدیگر مستقل هستند. دوباره ، یعنی ، آنها کارت را نگاه کردند و دوباره آن را به عرشه برگرداندند.

رویدادهای مشترک و ناسازگار:

مشترک2 رویداد خوانده می شود اگر ظاهر یکی از آنها با ظاهر دیگری مغایرت نداشته باشد.

قضیه جمع برای احتمال وقایع مشترک:

احتمال وقوع یکی از دو واقعه مشترک برابر است با مجموع احتمالات این وقایع بدون وقوع مشترک آنها.

برای سه رویداد مشترک:

رویدادها ناسازگار خوانده می شوند در صورتی که هیچ یک از آنها به طور همزمان در نتیجه یک آزمایش واحد از یک آزمایش تصادفی ظاهر نشوند.

قضیه:احتمال وقوع یکی از دو واقعه ناسازگار با مجموع احتمالات این وقایع برابر است.

احتمال جمع وقایع:

قضیه جمع احتمال:

احتمال مجموع تعداد محدود وقایع ناسازگار با مجموع احتمالات این وقایع برابر است:

نتیجه 1:

مجموع احتمال وقایع تشکیل یک گروه کامل برابر با یک است:

نتیجه گیری 2:

اظهار نظر:باید تأکید کرد که قضیه جمع در نظر گرفته شده فقط برای وقایع ناسازگار قابل اجرا است.

احتمال وقایع مخالف:

روبروتنها دو رویداد ممکن است که یک گروه کامل را تشکیل می دهند. یکی از دو واقعه متضاد با نشان داده می شود و، دیگری - از طریق.

مثال: ضربه و گم شدن هنگام شلیک به هدف ، حوادث متضادی هستند. اگر A یک ضربه است ، پس یک خانم را از دست بدهید.

قضیه:مجموع احتمال وقایع مخالف برابر است با یک:

یادداشت 1:اگر احتمال یکی از دو رویداد مخالف با p نشان داده شود ، پس احتمال یک رویداد دیگر با q نشان داده می شود بنابراین ، به موجب قضیه قبلی:

توجه 2:هنگام حل مشکلات یافتن احتمال یک رویداد A ، اغلب مفید است که ابتدا یک احتمال را محاسبه کنید و سپس با استفاده از فرمول احتمال مورد نظر را پیدا کنید:

احتمال وقوع حداقل یک واقعه:

فرض کنید ممکن است در نتیجه یک آزمایش ، یک قسمت ، یا هیچ یک از وقایع ظاهر شود.

قضیه:احتمال وقوع حداقل یک واقعه از مجموعه وقایع مستقل برابر است با تفاوت بین وحدت و احتمال عدم وقوع آنها.