تابع پاد مشتق و انتگرال نامعین. جدول ضد مشتق انتگرالها و مشتقات نامعین

ادغام یکی از عملیات اصلی در تحلیل ریاضی است. جداول ضد مشتقات شناخته شده می توانند مفید باشند، اما اکنون، پس از ظهور سیستم های جبری رایانه ای، اهمیت خود را از دست می دهند. در زیر لیستی از رایج ترین بدوی ها آورده شده است.

جدول انتگرال های پایه

یکی دیگر از گزینه های جمع و جور

جدول انتگرال توابع مثلثاتی

از توابع عقلی

از کارکردهای غیرمنطقی

انتگرال توابع ماورایی

"C" یک ثابت یکپارچه سازی دلخواه است که اگر مقدار انتگرال در هر نقطه مشخص باشد تعیین می شود. هر تابع دارای بی نهایت ضد مشتق است.

اکثر دانش آموزان و دانش آموزان در محاسبه انتگرال ها مشکل دارند. این صفحه شامل جداول انتگرالاز توابع مثلثاتی، عقلانی، غیرمنطقی و ماورایی که در حل کمک خواهند کرد. جدول مشتقات نیز به شما کمک خواهد کرد.

ویدئو - نحوه پیدا کردن انتگرال

اگر این موضوع را کاملا متوجه نشدید، ویدیو را تماشا کنید که همه چیز را به طور کامل توضیح می دهد.

یادگیری ادغام کار سختی نیست. برای انجام این کار، فقط باید یک سری قوانین خاص و نسبتاً کوچک را یاد بگیرید و نوعی غریزه را توسعه دهید. البته یادگیری قواعد و فرمول ها آسان است، اما درک اینکه کجا و چه زمانی باید این یا آن قاعده ادغام یا تمایز را اعمال کرد، بسیار دشوار است. این در واقع توانایی ادغام است.

1. ضد مشتق. انتگرال نامعین.

فرض بر این است که در زمان خواندن این مقاله، خواننده قبلاً مهارت های تمایز (یعنی یافتن مشتقات) را دارد.

تعریف 1.1:اگر تساوی برقرار باشد تابعی را پاد مشتق تابع می نامند:

نظرات:> تأکید در کلمه «اولیه» به دو صورت قابل انجام است: اول Oفیگوراتیو یا نمونه اولیه آدانستن

خاصیت 1:اگر تابعی پاد مشتق یک تابع باشد، آن تابع نیز پاد مشتق یک تابع است.

اثبات:اجازه دهید این را از تعریف یک ضد مشتق ثابت کنیم. بیایید مشتق تابع را پیدا کنیم:

ترم اول در تعریف 1.1برابر است و جمله دوم مشتق ثابت است که برابر با 0 است.

.

خلاصه کنید. بیایید ابتدا و انتهای زنجیره برابری ها را بنویسیم:

بنابراین، مشتق یک تابع برابر است، و بنابراین، طبق تعریف، ضد مشتق آن است. ملک ثابت شده است.

تعریف 1.2:انتگرال نامعین یک تابع کل مجموعه ضد مشتقات این تابع است. این به صورت زیر نشان داده شده است:

.

بیایید نام هر بخش از رکورد را با جزئیات بررسی کنیم:

- نامگذاری کلی انتگرال،

- عبارت یکپارچه (انتگرال)، تابع قابل ادغام.

یک دیفرانسیل است، و عبارت بعد از حرف، در این حالت، متغیر یکپارچه سازی نامیده می شود.

نظرات:کلمات کلیدی در این تعریف "کل مجموعه" هستند. آن ها اگر در آینده همین "به علاوه C" در پاسخ نوشته نشود، امتحان کننده حق دارد این تکلیف را حساب نکند، زیرا لازم است کل مجموعه ضد مشتقات را پیدا کنیم، و اگر C وجود نداشته باشد، تنها یک مورد پیدا می شود.

نتیجه:برای بررسی اینکه آیا انتگرال به درستی محاسبه شده است، لازم است مشتق نتیجه را پیدا کنید. باید با انتگرال منطبق باشد.
مثال:
ورزش:انتگرال نامعین را محاسبه و بررسی کنید.

راه حل:

نحوه محاسبه این انتگرال در این مورد مهم نیست. بیایید فرض کنیم که این یک مکاشفه از بالا است. وظیفه ما این است که نشان دهیم وحی ما را فریب نداده است و این از طریق راستی آزمایی قابل انجام است.

معاینه:

هنگام تفکیک نتیجه، یک انتگرال به دست آوردیم، به این معنی که انتگرال به درستی محاسبه شده است.

2. شروع. جدول انتگرال ها

برای ادغام، لازم نیست هر بار تابعی که مشتق آن برابر با انتگرال داده شده است را به خاطر بسپارید (یعنی مستقیماً از تعریف انتگرال استفاده کنید). هر مجموعه ای از مسائل یا کتاب درسی آنالیز ریاضی شامل فهرستی از ویژگی های انتگرال ها و جدولی از ساده ترین انتگرال ها است.

بیایید خواص را فهرست کنیم.

خواص:
1.
انتگرال دیفرانسیل برابر با متغیر انتگرال است.
2. ، جایی که یک ثابت است.
ضریب ثابت را می توان از علامت انتگرال خارج کرد.

3.
انتگرال یک مجموع برابر است با مجموع انتگرال ها (اگر تعداد جمله ها محدود باشد).
جدول انتگرال ها:

1.	10.
2.	11.
3.	12.
4.	13.
5.	14.
6.	15.
7.	16.
8.	17.
9.	18.

اغلب، وظیفه کاهش انتگرال مورد مطالعه به جدولی با استفاده از ویژگی ها و فرمول ها است.

مثال:

[بیایید از خاصیت سوم انتگرال ها استفاده کنیم و آن را به صورت مجموع سه انتگرال بنویسیم.]

[بیایید از خاصیت دوم استفاده کنیم و ثابت ها را فراتر از علامت یکپارچه سازی حرکت دهیم.]

[ در انتگرال اول از انتگرال جدول شماره 1 (n=2) استفاده می کنیم، در دومی از همان فرمول استفاده می کنیم، اما n=1، و برای انتگرال سوم می توانیم از همان انتگرال جدول استفاده کنیم، اما با n=0 یا اولین ویژگی ]
.
بیایید با تمایز بررسی کنیم:

انتگرال اولیه به دست آمد، بنابراین، ادغام بدون خطا انجام شد (و اضافه کردن یک ثابت دلخواه C حتی فراموش نشد).

انتگرال های جدول را باید از روی قلب به یک دلیل ساده یاد گرفت - تا بدانیم برای چه چیزی تلاش کنیم، یعنی. هدف از تبدیل یک عبارت داده شده را بدانید.

در اینجا چند نمونه دیگر وجود دارد:
1)
2)
3)

وظایف برای راه حل مستقل:

تمرین 1.انتگرال نامعین را محاسبه کنید:

+ نمایش/پنهان کردن راهنمایی شماره 1.

1) از خاصیت سوم استفاده کنید و این انتگرال را به صورت مجموع سه انتگرال نشان دهید.

+ نمایش/پنهان کردن نکته شماره 2.

+ نمایش/پنهان کردن نکته شماره 3.

3) برای دو عبارت اول از انتگرال جدولی اول و برای سومین انتگرال جدولی دوم استفاده کنید.

+ نمایش/پنهان کردن راه حل و پاسخ.

4) راه حل:

پاسخ:

این درس اولین درس از سری ویدیوهای یکپارچه سازی است. در آن ما تجزیه و تحلیل خواهیم کرد که ضد مشتق یک تابع چیست و همچنین روش های ابتدایی محاسبه این ضد مشتقات را مطالعه خواهیم کرد.

در واقع، هیچ چیز پیچیده ای در اینجا وجود ندارد: اساساً همه چیز به مفهوم مشتق برمی گردد که قبلاً باید با آن آشنا باشید.

فوراً متذکر می شوم که از آنجایی که این اولین درس در مبحث جدید ما است، امروز هیچ محاسبات و فرمول های پیچیده ای وجود نخواهد داشت، اما آنچه امروز یاد می گیریم مبنایی برای محاسبات و ساختارهای بسیار پیچیده تر در هنگام محاسبه انتگرال ها و مساحت های پیچیده خواهد بود. .

علاوه بر این، هنگام شروع مطالعه انتگرال و انتگرال به طور خاص، به طور ضمنی فرض می کنیم که دانش آموز از قبل حداقل با مفاهیم مشتقات آشنا بوده و حداقل مهارت های اساسی در محاسبه آنها دارد. بدون درک روشنی از این، مطلقاً هیچ کاری برای ادغام وجود ندارد.

با این حال، یکی از رایج ترین و موذی ترین مشکلات در اینجا نهفته است. واقعیت این است که بسیاری از دانش‌آموزان هنگام شروع محاسبه اولین پاد مشتق‌ها، آنها را با مشتقات اشتباه می‌گیرند. در نتیجه اشتباهات احمقانه و توهین آمیز در هنگام امتحانات و کار مستقل انجام می شود.

بنابراین، اکنون تعریف روشنی از ضد مشتق ارائه نمی کنم. در عوض، پیشنهاد می‌کنم با استفاده از یک مثال ساده، نحوه محاسبه آن را ببینید.

آنتی مشتق چیست و چگونه محاسبه می شود؟

ما این فرمول را می دانیم:

\[((\left(((x)^(n)) \راست))^(\prime ))=n\cdot ((x)^(n-1))\]

این مشتق به سادگی محاسبه می شود:

\[(f)"\left(x \right)=((\left(((x)^(3)) \راست))^(\prime ))=3((x)^(2))\ ]

بیایید به دقت به عبارت حاصل نگاه کنیم و $((x)^(2))$ را بیان کنیم:

\[((x)^(2))=\frac(((\چپ(((x)^(3)) \راست))^(\prime )))(3)\]

اما با توجه به تعریف مشتق می توانیم آن را به این صورت بنویسیم:

\[((x)^(2))=((\left(\frac(((x)^(3)))(3) \راست))^(\prime ))\]

و اکنون توجه کنید: آنچه که ما نوشتیم، تعریف ضد مشتق است. اما برای درست نوشتن باید موارد زیر را بنویسید:

بیایید عبارت زیر را به همین ترتیب بنویسیم:

اگر این قانون را تعمیم دهیم، می توانیم فرمول زیر را استخراج کنیم:

\[((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)\]

اکنون می‌توانیم تعریف روشنی ارائه کنیم.

پاد مشتق تابع تابعی است که مشتق آن برابر تابع اصلی باشد.

سوالاتی در مورد تابع ضد مشتق

به نظر می رسد تعریف نسبتاً ساده و قابل درک باشد. با این حال، پس از شنیدن آن، دانش آموز توجه بلافاصله چندین سوال خواهد داشت:

بیایید بگوییم، خوب، این فرمول درست است. با این حال، در این مورد، با $n=1$، مشکلاتی داریم: "صفر" در مخرج ظاهر می شود و نمی توانیم بر "صفر" تقسیم کنیم.
فرمول فقط به درجه محدود می شود. نحوه محاسبه ضد مشتق، به عنوان مثال، سینوس، کسینوس و هر مثلثات دیگر، و همچنین ثابت.
سوال وجودی: آیا همیشه می توان یک ضد مشتق پیدا کرد؟ اگر بله، پس در مورد ضد مشتق جمع، تفاوت، محصول و غیره چطور؟

من بلافاصله به سوال آخر پاسخ خواهم داد. متأسفانه، ضد مشتق، بر خلاف مشتق، همیشه در نظر گرفته نمی شود. هیچ فرمول جهانی وجود ندارد که به موجب آن از هر ساخت اولیه تابعی برابر با این ساختار مشابه بدست آوریم. در مورد توان ها و ثابت ها، اکنون در مورد آن صحبت خواهیم کرد.

حل مسائل با توابع قدرت

\[((x)^(-1))\to \frac(((x)^(-1+1)))(-1+1)=\frac(1)(0)\]

همانطور که می بینید، این فرمول برای $((x)^(-1))$ کار نمی کند. این سوال مطرح می شود: پس چه چیزی کار می کند؟ آیا نمی توانیم $((x)^(-1))$ را بشماریم؟ البته که میتونیم. بیایید ابتدا این را به خاطر بسپاریم:

\[((x)^(-1))=\frac(1)(x)\]

حالا بیایید فکر کنیم: مشتق کدام تابع برابر با $\frac(1)(x)$ است. بدیهی است که هر دانش آموزی که حداقل کمی این موضوع را مطالعه کرده باشد به یاد می آورد که این عبارت برابر با مشتق لگاریتم طبیعی است:

\[((\چپ(\ln x \راست))^(\prime ))=\frac(1)(x)\]

بنابراین، می توانیم با اطمینان موارد زیر را بنویسیم:

\[\frac(1)(x)=((x)^(-1))\to \ln x\]

شما باید این فرمول را درست مانند مشتق تابع توان بدانید.

بنابراین آنچه تاکنون می دانیم:

برای تابع توان - $((x)^(n))\to \frac(((x)^(n+1)))(n+1)$
برای یک ثابت - $=const\to \cdot x$
یک مورد خاص از یک تابع توان $\frac(1)(x)\to \ln x$ است

و اگر شروع به ضرب و تقسیم ساده ترین توابع کنیم، چگونه می توانیم ضد مشتق یک محصول یا ضریب را محاسبه کنیم. متأسفانه، قیاس با مشتق یک محصول یا ضریب در اینجا کار نمی کند. هیچ فرمول استانداردی وجود ندارد. برای برخی موارد، فرمول های ویژه ای وجود دارد - ما در درس های ویدیویی آینده با آنها آشنا خواهیم شد.

با این حال، به یاد داشته باشید: هیچ فرمول کلی مشابه فرمول برای محاسبه مشتق یک ضریب و یک محصول وجود ندارد.

حل مشکلات واقعی

وظیفه شماره 1

بیایید هر یک از توابع توان را جداگانه محاسبه کنیم:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

با بازگشت به بیان خود، ساختار کلی را می نویسیم:

مشکل شماره 2

همانطور که قبلاً گفتم، نمونه های اولیه آثار و جزئیات "تا نقطه" در نظر گرفته نمی شوند. با این حال، در اینجا می توانید کارهای زیر را انجام دهید:

کسر را به مجموع دو کسر تقسیم کردیم.

بیایید حساب کنیم:

خبر خوب این است که با دانستن فرمول های محاسبه ضد مشتقات، می توانید ساختارهای پیچیده تری را محاسبه کنید. با این حال، بیایید بیشتر پیش برویم و دانش خود را کمی بیشتر گسترش دهیم. واقعیت این است که بسیاری از ساختارها و عبارات، که در نگاه اول، هیچ ارتباطی با $((x)^(n))$ ندارند، می توانند به عنوان یک توان با یک توان گویا نشان داده شوند، یعنی:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\]

\[\sqrt[n](x)=((x)^(\frac(1)(n)))\]

\[\frac(1)(((x)^(n)))=((x)^(-n))\]

همه این تکنیک ها می توانند و باید با هم ترکیب شوند. عبارات قدرت می تواند باشد

ضرب (افزودن درجات)؛
تقسیم (درجات کم می شوند)؛
ضرب در یک ثابت؛
و غیره.

حل عبارات قدرت با توان گویا

مثال شماره 1

بیایید هر ریشه را جداگانه محاسبه کنیم:

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(2)+1)))(\ frac(1)(2)+1)=\frac(((x)^(\frac(3)(2))))(\frac(3)(2))=\frac(2\cdot (( x)^(\frac(3)(2))))(3)\]

\[\sqrt(x)=((x)^(\frac(1)(4)))\to \frac(((x)^(\frac(1)(4)))(\frac( 1)(4)+1)=\frac(((x)^(\frac(5)(4))))(\frac(5)(4))=\frac(4\cdot ((x) ^(\frac(5)(4))))(5)\]

در کل، کل ساخت و ساز ما را می توان به صورت زیر نوشت:

مثال شماره 2

\[\frac(1)(\sqrt(x))=((\left(\sqrt(x) \راست))^(-1))=((\left(((x)^(\frac( 1)(2))) \راست))^(-1))=((x)^(-\frac(1)(2)))\]

بنابراین دریافت می کنیم:

\[\frac(1)(((x)^(3)))=((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-3+1)))(-3 +1)=\frac(((x)^(-2)))(-2)=-\frac(1)(2((x)^(2)))\]

در کل، با جمع آوری همه چیز در یک عبارت، می توانیم بنویسیم:

مثال شماره 3

برای شروع، توجه می کنیم که قبلاً $\sqrt(x)$ را محاسبه کرده ایم:

\[\sqrt(x)\to \frac(4((x)^(\frac(5)(4)))(5)\]

\[((x)^(\frac(3)(2)))\به \frac(((x)^(\frac(3)(2)+1)))(\frac(3)(2 )+1)=\frac(2\cdot ((x)^(\frac(5)(2))))(5)\]

بیایید بازنویسی کنیم:

امیدوارم کسی را غافلگیر نکنم اگر بگویم آنچه که ما اخیراً مطالعه کرده ایم فقط ساده ترین محاسبات ضد مشتقات، ابتدایی ترین ساختارها است. بیایید اکنون به نمونه های کمی پیچیده تر نگاه کنیم، که در آنها، علاوه بر ضد مشتقات جدولی، باید برنامه درسی مدرسه، یعنی فرمول های ضرب اختصاری را نیز به خاطر بسپارید.

حل مثال های پیچیده تر

وظیفه شماره 1

بیایید فرمول اختلاف مجذور را به یاد بیاوریم:

\[((\left(a-b \راست))^(2))=((a)^(2))-ab+((b)^(2))\]

بیایید تابع خود را بازنویسی کنیم:

اکنون باید نمونه اولیه چنین تابعی را پیدا کنیم:

\[((x)^(\frac(2)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(5)(3)))(5)\]

\[((x)^(\frac(1)(3)))\to \frac(3\cdot ((x)^(\frac(4)(3)))(4)\]

بیایید همه چیز را با هم در یک طرح مشترک قرار دهیم:

مشکل شماره 2

در این مورد، ما باید مکعب اختلاف را گسترش دهیم. به یاد داشته باشیم:

\[((\left(a-b \راست))^(3))=((a)^(3))-3((a)^(2))\cdot b+3a\cdot ((b)^ (2))-((ب)^(3))\]

با در نظر گرفتن این واقعیت، می توانیم آن را اینگونه بنویسیم:

بیایید تابع خود را کمی تغییر دهیم:

ما مثل همیشه حساب می کنیم - برای هر ترم به طور جداگانه:

\[((x)^(-3))\to \frac(((x)^(-2)))(-2)\]

\[((x)^(-2))\به \frac(((x)^(-1)))(-1)\]

\[((x)^(-1))\به \ln x\]

اجازه دهید ساختار حاصل را بنویسیم:

مشکل شماره 3

در بالا مربع مجموع را داریم، بیایید آن را گسترش دهیم:

\[\frac(((\left(x+\sqrt(x) \راست))^(2)))(x)=\frac(((x)^(2))+2x\cdot \sqrt(x )+((\چپ(\sqrt(x) \راست))^(2)))(x)=\]

\[=\frac(((x)^(2)))(x)+\frac(2x\sqrt(x))(x)+\frac(x)(x)=x+2((x) ^(\frac(1)(2)))+1\]

\[((x)^(\frac(1)(2)))\to \frac(2\cdot ((x)^(\frac(3)(2)))(3)\]

بیایید راه حل نهایی را بنویسیم:

حالا توجه! یک چیز بسیار مهم که با سهم شیر از اشتباهات و سوء تفاهم همراه است. واقعیت این است که تا کنون با شمردن ضد مشتق ها به کمک مشتق و آوردن تبدیل، به این فکر نمی کردیم که مشتق یک ثابت با چه چیزی برابر است. اما مشتق یک ثابت برابر با "صفر" است. یعنی می توانید گزینه های زیر را بنویسید:

$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+1$
$((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)+C$

درک این موضوع بسیار مهم است: اگر مشتق یک تابع همیشه یکسان باشد، همان تابع دارای تعداد بی نهایت پاد مشتق است. ما به سادگی می توانیم هر عدد ثابتی را به پاد مشتق های خود اضافه کنیم و اعداد جدیدی دریافت کنیم.

تصادفی نیست که در توضیح مشکلاتی که به تازگی حل کردیم، نوشته شده بود «شکل کلی ضد مشتقات را بنویسید». آن ها قبلاً فرض بر این است که یکی از آنها وجود ندارد، بلکه تعداد زیادی وجود دارد. اما، در واقع، آنها تنها در ثابت $C$ در پایان متفاوت هستند. بنابراین، در وظایف خود آنچه را که کامل نکرده ایم اصلاح خواهیم کرد.

یک بار دیگر ساختارهای خود را بازنویسی می کنیم:

در چنین مواردی، باید اضافه کنید که $C$ یک ثابت است - $C=const$.

در تابع دوم ما ساختار زیر را دریافت می کنیم:

و آخرین مورد:

و اکنون ما واقعاً آنچه را که در شرایط اولیه مشکل از ما خواسته بود، دریافت کردیم.

حل مسائل یافتن ضد مشتقات با یک نقطه داده شده

اکنون که در مورد ثابت ها و ویژگی های نوشتن پاد مشتق ها می دانیم، کاملاً منطقی است که نوع بعدی مسئله زمانی ایجاد می شود که از مجموعه همه پاد مشتق ها، لازم است یکی و تنها موردی را که از یک نقطه معین عبور می کند پیدا کنیم. . این تکلیف چیست؟

واقعیت این است که همه پاد مشتق‌های یک تابع معین فقط از این جهت متفاوت هستند که با یک عدد معین به صورت عمودی جابه‌جا می‌شوند. و این بدان معنی است که مهم نیست در چه نقطه ای از صفحه مختصات انتخاب می کنیم، یک پاد مشتق قطعا عبور می کند، و علاوه بر این، فقط یک.

بنابراین، مسائلی که اکنون حل می کنیم به صورت زیر فرموله می شوند: نه تنها با دانستن فرمول تابع اصلی، ضد مشتق را بیابید، بلکه دقیقاً یکی را انتخاب کنید که از نقطه داده شده می گذرد، مختصات آن در مسئله داده می شود. بیانیه.

مثال شماره 1

اول، بیایید به سادگی هر عبارت را بشماریم:

\[((x)^(4))\to \frac(((x)^(5)))(5)\]

\[((x)^(3))\to \frac(((x)^(4)))(4)\]

اکنون این عبارات را در ساخت خود جایگزین می کنیم:

این تابع باید از نقطه $M\left(-1;4 \right)$ عبور کند. عبور از نقطه ای به چه معناست؟ این بدان معناست که اگر به جای $x$ همه جا $-1$ و به جای $F\left(x \right)$ - $-4$ قرار دهیم، باید برابری عددی صحیح را بدست آوریم. بیا انجامش بدیم:

می بینیم که معادله ای برای $C$ داریم، پس بیایید سعی کنیم آن را حل کنیم:

بیایید همان راه حلی را که به دنبال آن بودیم بنویسیم:

مثال شماره 2

اول از همه، لازم است مربع تفاوت را با استفاده از فرمول ضرب اختصاری آشکار کنیم:

\[((x)^(2))\to \frac(((x)^(3)))(3)\]

ساختار اصلی به صورت زیر نوشته می شود:

حالا بیایید $C$ را پیدا کنیم: مختصات نقطه $M$ را جایگزین کنیم:

\[-1=\frac(8)(3)-12+18+C\]

ما $C$ را بیان می کنیم:

برای نمایش عبارت نهایی باقی می ماند:

حل مسائل مثلثاتی

به عنوان آخرین تماس با آنچه که اخیراً بحث کردیم، پیشنهاد می‌کنم دو مسئله پیچیده‌تر را که شامل مثلثات هستند، در نظر بگیریم. در آنها، به همین ترتیب، باید برای همه توابع آنتی مشتق پیدا کنید، سپس از این مجموعه تنها موردی را انتخاب کنید که از نقطه $M$ در صفحه مختصات می گذرد.

با نگاهی به آینده، می‌خواهم متذکر شوم که تکنیکی که اکنون برای یافتن پاد مشتق‌های توابع مثلثاتی استفاده می‌کنیم، در واقع یک تکنیک جهانی برای خودآزمایی است.

وظیفه شماره 1

بیایید فرمول زیر را به خاطر بسپاریم:

\[((\left(\text(tg)x \راست))^(\prime ))=\frac(1)(((\cos )^(2))x)\]

بر این اساس می توانیم بنویسیم:

بیایید مختصات نقطه $M$ را در عبارت خود جایگزین کنیم:

\[-1=\text(tg)\frac(\text( )\!\!\pi\!\!\text( ))(\text(4))+C\]

بیایید عبارت را با در نظر گرفتن این واقعیت بازنویسی کنیم:

مشکل شماره 2

این کمی دشوارتر خواهد بود. حالا خواهید دید که چرا.

بیایید این فرمول را به خاطر بسپاریم:

\[((\left(\text(ctg)x \راست))^(\prime ))=-\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

برای خلاص شدن از شر "منفی"، باید موارد زیر را انجام دهید:

\[((\left(-\text(ctg)x \راست))^(\prime ))=\frac(1)(((\sin )^(2))x)\]

طراحی ما اینجاست

بیایید مختصات نقطه $M$ را جایگزین کنیم:

در مجموع، ساخت نهایی را می نویسیم:

این تمام چیزی است که امروز می خواستم به شما بگویم. ما اصطلاح ضد مشتقات، نحوه محاسبه آنها را از توابع ابتدایی، و همچنین چگونگی پیدا کردن یک پاد مشتق که از یک نقطه خاص در صفحه مختصات عبور می کند، مطالعه کردیم.

امیدوارم این درس حداقل به شما در درک این موضوع پیچیده کمک کند. در هر صورت، بر روی پاد مشتق ها است که انتگرال های نامعین و نامعین ساخته می شوند، بنابراین محاسبه آنها کاملاً ضروری است. این همه برای من است. دوباره می بینمت!