Пряма призма. Визначення призми, її елементи та види. Основні характеристики фігури. Властивості правильної призми

Стереометрія – розділ геометрії, що вивчає фігури, які не лежать в одній площині. Одним із об'єктів вивчення стереометрії є призми. У статті дамо визначення призмі з геометричної точки зору, а також коротко перерахуємо властивості, які для неї характерні.

Геометрична фігура

Визначення призми у геометрії звучить так: це просторова постать, що з двох однакових n-кутників, розташованих у паралельних площинах, з'єднаних друг з одним своїми вершинами.

Отримати призму не становить жодних труднощів. Уявимо, що є два однакові n-кутники, де n - це число сторін або вершин. Помістимо їх так, щоб вони були один одному паралельні. Після цього вершини одного багатокутника слід з'єднати із відповідними вершинами іншого. Утворена фігура складатиметься з двох n-вугільних сторін, які називаються основами, і n чотирикутних сторін, що становлять у загальному випадку паралелограми. Сукупність паралелограмів утворює бічну поверхню фігури.

Існує ще один спосіб геометричного одержання аналізованої фігури. Так, якщо взяти n-кутник і зробити його перенесення в іншу площину за допомогою паралельних відрізків рівної довжини, то в новій площині отримаємо вихідний багатокутник. Обидва багатокутники і всі паралельні відрізки, проведені з вершин, утворюють призму.

Малюнок вище демонструє Так вона називається тому, що її основи є трикутниками.

Елементи, з яких складається фігура

Вище було дано визначення призми, з якого зрозуміло, що головними елементами фігури є її межі або сторони, що обмежують усі внутрішні точки призми зовнішнього простору. Будь-яка грань цієї фігури належить до одного з двох типів:

• бічна;
• основи.

Бічних n штук, і є паралелограмами чи його приватними видами (прямокутниками, квадратами). У випадку бічні грані відрізняються друг від друга. Граней основи всього дві, вони є n-кутники і один одному рівні. Таким чином, будь-яка призма має n+2 сторони.

Крім сторін, постать характеризується своїми вершинами. Вони є точки, де стикаються одночасно три грані. Причому дві із трьох граней завжди належать бічній поверхні, а одна - підставі. Таким чином, у призмі немає спеціально виділеної однієї вершини, як, наприклад, у піраміді, всі вони є рівноправними. Число вершин фігури дорівнює 2 * n (по n штук для кожної основи).

Нарешті, третім важливим елементом призми є ребра. Це відрізки певної довжини, що утворюються внаслідок перетину сторін фігури. Як і грані, ребра також мають два різні типи:

• або утворені лише бічними сторонами;
• або виникають на стику паралелограма та сторони n-вугільної основи.

Число ребер, таким чином, дорівнює 3 * n, причому 2 * n з них відносяться до другого з названих типів.

Види призм

Вирізняють кілька способів класифікації призм. Проте всі вони засновані на двох особливостях фігури:

• на типі n-вугільної основи;
• на типі збоку.

Для початку звернемося до другої особливості та дамо визначення та прямий. Якщо хоча б одна бічна сторона є паралелограмом загального типу, то фігура називається похилою або косокутною. Якщо всі паралелограми є прямокутники чи квадрати, то призма буде прямою.

Дати визначення можна також інакше: пряма фігура - це та призма, у якої бічні ребра і грані перпендикулярні її підставам. На малюнку показано дві чотирикутні фігури. Ліва є прямою, права – похилою.

Тепер перейдемо до класифікації згідно з типом n-кутника, що лежить в основах. Він може мати однакові сторони та кути або різні. У першому випадку багатокутник називається правильним. Якщо розглянута фігура містить в основі багатокутник з рівними сторонами і кутами і є прямою, вона називається правильною. Відповідно до цього визначення, правильна призма в основі може мати рівносторонній трикутник, квадрат, правильний п'ятикутник або шестикутник і так далі. Перелічені правильні фігури представлені малюнку.

Лінійні параметри призм

Для опису розмірів розглянутих фігур використовують такі параметри:

• висота;
• сторони основи;
• довжини бічних ребер;
• об'ємні діагоналі;
• діагоналі бічних сторін та основ.

Для правильних призм усі названі величини пов'язані одна з одною. Наприклад, довжини бічних ребер однакові та рівні висоті. Для конкретної n-вугільної правильної фігури існують формули, що дозволяють за двома будь-якими лінійними параметрами визначити всі інші.

Поверхня фігури

Якщо звернутися до цього визначення призми, то зрозуміти, що представляє поверхню фігури, буде нескладно. Поверхня – це площа всіх граней. Для прямої призми вона обчислюється за такою формулою:

S = 2*S o + P o *h

де S o – площа основи, P o – периметр n-кутника у підставі, h – висота (відстань між основами).

Об'єм фігури

Поряд із поверхнею для практики важливо знати обсяг призми. Визначити його можна за такою формулою:

Це вираз справедливо для будь-якого виду призм, включаючи ті, які є похилими та утворені неправильними багатокутниками.

Для правильних є функцією довжини боку основи та висоти фігури. Для відповідної n-вугільної призми формула V має конкретний вигляд.

Визначення 1. Призматична поверхня
Теорема 1. Про паралельні перерізи призматичної поверхні
Визначення 2. Перпендикулярний переріз призматичної поверхні
Визначення 3. Призма
Визначення 4. Висота призми
Визначення 5. Пряма призма
Теорема 2. Площа бічної поверхні призми

Паралелепіпед:
Визначення 6. Паралелепіпед
Теорема 3. Про перетин діагоналі паралелепіпеда
Визначення 7. Прямий паралелепіпед
Визначення 8. Прямокутний паралелепіпед
Визначення 9. Вимірювання паралелепіпеда
Визначення 10. Куб
Визначення 11. Ромбоедр
Теорема 4. Про діагоналі прямокутного паралелепіпеда
Теорема 5. Обсяг призми
Теорема 6. Обсяг прямої призми
Теорема 7. Об'єм прямокутного паралелепіпеда

Призмоюназивається багатогранник, у якого дві грані (основи) лежать у паралельних площинах, а ребра, що не лежать у цих гранях, паралельні між собою.
Грані, відмінні від основ, називаються бічними.
Сторони бічних граней та підстав називаються ребрами призми, кінці ребер називаються вершинами призми. Боковими ребраминазиваються ребра, що не належать основам. Об'єднання бічних граней називається бічною поверхнею призми, а об'єднання всіх граней називається повною поверхнею призми. Висотою призминазивається перпендикуляр, опущений з точки верхньої основи на площину нижньої основи або довжина перпендикуляра. Прямою призмоюназивається призма, у якої бічні ребра перпендикулярні до площин основ. Правильноюназивається пряма призма (Рис.3), основу якої лежить правильний багатокутник.

Позначення:
l - бічне ребро;
P – периметр основи;
S o - площа основи;
H – висота;
P^ - периметр перпендикулярного перерізу;
S б - площа бічної поверхні;
V – обсяг;
S п – площа повної поверхні призми.

V = SH S п = S б + 2S про S б = P^l

Визначення 1 . Призматичною поверхнею називається фігура, утворена частинами декількох площин, паралельних однієї прямої обмеженими тими прямими, якими ці площини послідовно перетинаються одна з одною*; ці прямі паралельні між собою і називаються ребрами призматичної поверхні.
*При цьому передбачається, що кожні дві послідовні площини перетинаються і що остання площина перетинає першу

Теорема 1 . Перерізи призматичної поверхні площинами, паралельними між собою (але не паралельними її ребрам), є рівними багатокутниками.
Нехай ABCDE та A"B"C"D"E" - перерізи призматичної поверхні двома паралельними площинами. Щоб переконатися, що ці два багатокутники рівні, достатньо показати, що трикутники ABC і А"В"С" рівні і мають однаковий напрямок обертання що те саме має місце і для трикутників ABD та A"B"D", ABE та А"В"Е". Але відповідні сторони цих трикутників паралельні (наприклад, АС паралельно А"С") як лінії перетину деякої площини з двома паралельними площинами; звідси випливає, що ці сторони рівні (наприклад АС дорівнює А"С") як протилежні сторони паралелограма і що кути, утворені цими сторонами, рівні та мають однаковий напрямок.

Визначення 2 . Перпендикулярним перетином призматичної поверхні називається переріз цієї поверхні площиною, перпендикулярною до її ребер. На підставі попередньої теореми всі перпендикулярні перерізи однієї і тієї ж призматичної поверхні будуть рівними багатокутниками.

Визначення 3 . Призмою називається багатогранник, обмежений призматичною поверхнею та двома площинами, паралельними між собою (але непаралельними ребрами призматичної поверхні)
Грані, що лежать у цих останніх площинах, називаються підставами призми; грані, що належать призматичній поверхні, - бічними гранями; ребра призматичної поверхні - бічними ребрами призми. З огляду на попередню теорему, підстави призми - рівні багатокутники. Усі бічні грані призми - паралелограми; всі бічні ребра рівні між собою.
Очевидно, що якщо дано основу призми ABCDE і одне з ребер АА" за величиною та за напрямом, то можна побудувати призму, проводячи ребра ВВ", СС", .., рівні та паралельні ребру АА".

Визначення 4 . Висотою призми називається відстань між площинами її основ (НH).

Визначення 5 . Призма називається прямою, якщо її основами є перпендикулярні перерізи призматичної поверхні. І тут висотою призми служить, звісно, ​​її бічне ребро; бічні грані будуть прямокутниками.
Призми можна класифікувати за кількістю бічних граней, що дорівнює кількості сторін багатокутника, що служить її основою. Таким чином, призми можуть бути трикутні, чотирикутні, п'ятикутні тощо.

Теорема 2 . Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку бічного ребра на периметр перпендикулярного перерізу.
Нехай ABCDEA"B"C"D"E" - дана призма і abcde - її перпендикулярний перетин, так що відрізки ab, bc, .. перпендикулярні до її бічних ребрів. на висоту, яка збігається з аb; площа грані ВСВ"С" дорівнює добутку підстави ВВ" на висоту bc і т. д. Отже, бічна поверхня (тобто сума площ бічних граней) дорівнює добутку бічного ребра, інакше кажучи, загальної довжини відрізків АА", ВВ", .., на суму ab+bc+cd+de+еа.

Дотримання Вашої конфіденційності є важливим для нас. З цієї причини ми розробили Політику Конфіденційності, яка описує, як ми використовуємо та зберігаємо Вашу інформацію. Будь ласка, ознайомтесь з нашими правилами дотримання конфіденційності та повідомте нам, якщо у вас виникнуть будь-які питання.

Збір та використання персональної інформації

Під персональної інформацією розуміються дані, які можна використовувати для ідентифікації певного особи чи зв'язку з ним.

Від вас може бути запитане надання вашої персональної інформації будь-коли, коли ви зв'язуєтеся з нами.

Нижче наведено деякі приклади типів персональної інформації, яку ми можемо збирати, і як ми можемо використовувати таку інформацію.

Яку персональну інформацію ми збираємо:

• Коли ви залишаєте заявку на сайті, ми можемо збирати різноманітну інформацію, включаючи ваше ім'я, номер телефону, адресу електронної пошти тощо.

Як ми використовуємо вашу персональну інформацію:

• Персональна інформація, що збирається нами, дозволяє нам зв'язуватися з вами та повідомляти про унікальні пропозиції, акції та інші заходи та найближчі події.
• Час від часу ми можемо використовувати вашу персональну інформацію для надсилання важливих повідомлень та повідомлень.
• Ми також можемо використовувати персональну інформацію для внутрішніх цілей, таких як проведення аудиту, аналізу даних та різних досліджень з метою покращення послуг, що надаються, та надання Вам рекомендацій щодо наших послуг.
• Якщо ви берете участь у розіграші призів, конкурсі або подібному стимулювальному заході, ми можемо використовувати інформацію, що надається, для управління такими програмами.

Розкриття інформації третім особам

Ми не розкриваємо отриману від Вас інформацію третім особам.

Винятки:

• Якщо необхідно - відповідно до закону, судовим порядком, у судовому розгляді, та/або на підставі публічних запитів або запитів від державних органів на території РФ - розкрити вашу персональну інформацію. Ми також можемо розкривати інформацію про вас, якщо ми визначимо, що таке розкриття необхідно або доречно з метою безпеки, підтримання правопорядку, або інших суспільно важливих випадків.
• У разі реорганізації, злиття або продажу ми можемо передати персональну інформацію, що збирається нами, відповідній третій особі – правонаступнику.

Захист персональної інформації

Ми вживаємо запобіжних заходів - включаючи адміністративні, технічні та фізичні - для захисту вашої персональної інформації від втрати, крадіжки та недобросовісного використання, а також від несанкціонованого доступу, розкриття, зміни та знищення.

Дотримання вашої конфіденційності на рівні компанії

Для того, щоб переконатися, що ваша персональна інформація знаходиться в безпеці, ми доводимо норми дотримання конфіденційності та безпеки до наших співробітників, і суворо стежимо за виконанням заходів дотримання конфіденційності.

Загальні відомості про пряму призму

Бічною поверхнею призми (точніше, площею бічної поверхні) називається сумаплощ бічних граней. Повна поверхня призми дорівнює сумі бічної поверхні та площ основ.

Теорема 19.1. Бічна поверхня прямої призми дорівнює добутку периметра основи висоту призми, т. е. на довжину бічного ребра.

Доказ. Бічні грані прямої призми – прямокутники. Основи цих прямокутників є сторонами багатокутника, що лежить на підставі призми, а висоти дорівнюють довжині бічних ребер. Звідси випливає, що бічна поверхня призми дорівнює

S = a 1 l + a 2 l + ... + a n l = pl,

де a 1 а n - довжини ребер основи, р - периметр основи призми, а I - довжина бічних ребер. Теорему доведено.

Практичне завдання

Завдання (22) . У похилій призмі проведено перетин, перпендикулярне бічним ребрам і перетинає всі бічні ребра. Знайдіть бічну поверхню призми, якщо периметр перерізу дорівнює р, а бічні ребра дорівнюють l.

Рішення. Площина проведеного перерізу розбиває призму на частини (рис. 411). Піддамо одну з них паралельному переносу, що поєднує підстави призми. При цьому отримаємо пряму призму, у якої основою є переріз вихідної призми, а бічні ребра дорівнюють l. Ця призма має ту саму бічну поверхню, що й вихідна. Таким чином, бічна поверхня вихідної призми дорівнює рl.

Узагальнення пройденої теми

А тепер давайте спробуємо з вами підбити підсумки пройденої теми про призм і згадаємо, які властивості має призма.

Властивості призми

По-перше, у призми всі її основи є рівними багатокутниками;
По-друге, у призми усі її бічні грані є паралелограмами;
По-третє, у такої багатогранної постаті, як призма, всі бічні ребра рівні;

Також, слід згадати, що такі багатогранники, як призми, можуть бути прямими і похилими.

Яка призма називається прямою?

Якщо ж у призми бічне ребро розташоване перпендикулярно площині її основи, то така призма називається прямою.

Не зайвим нагадати, що бічні грані прямої призми є прямокутниками.

Яку призму називають похилою?

А от якщо ж у призми бічне ребро не розташоване перпендикулярно до площини її основи, то можна сміливо стверджувати, що це похила призма.

Яку призму називають правильною?

Якщо в основі прямої призми лежить правильний багатокутник, то така призма є правильною.

Тепер згадаємо властивості, які має правильна призма.

Властивості правильної призми

По-перше, завжди підставами правильної призми є правильні багатокутники;
По-друге, якщо в правильної призми бічні грані, всі вони завжди бувають рівними прямокутниками;
По-третє, якщо порівнювати розміри бічних ребер, то правильної призмі вони завжди рівні.
По-четверте, правильна призма завжди пряма;
По-п'яте, якщо ж у правильній призми бічні грані мають форму квадратів, то таку фігуру зазвичай називають напівправильним багатокутником.

Переріз призми

А тепер давайте розглянемо переріз призми:

Домашнє завдання

А тепер спробуємо закріпити вивчену тему за допомогою розв'язання задач.

Давайте намалюємо похилу трикутну призму, у якої відстань між її ребрами дорівнюватиме: 3 см, 4 см і 5 см, а бічна поверхня цієї призми дорівнюватиме 60 см2. Маючи такі параметри, знайдіть бічне ребро цієї призми.

А ви знаєте, що геометричні постаті постійно оточують нас не лише на уроках геометрії, а й у повсякденному житті зустрічаються предмети, що нагадують ту чи іншу геометричну фігуру.

У кожного будинку, у школі або на роботі є комп'ютер, системний блок якого має форму прямої призми.

Якщо ви візьмете в руки простий олівець, то ви побачите, що основною частиною олівця є призма.

Ідучи центральною вулицею міста, ми бачимо, що у нас під ногами лежить плитка, яка має форму шестикутної призми.

А. В. Погорєлов, Геометрія для 7-11 класів, Підручник для загальноосвітніх установ

Опис презентації з окремих слайдів:

1 слайд

Опис слайду:

2 слайд

Опис слайду:

Визначення 1. Багатогранник, дві грані якого - однойменні багатокутники, що лежать у паралельних площинах, а будь-які два ребра, що не лежать у цих площинах, є паралельними, називається призмою. Термін "призму" грецького походження і буквально означає "відпиляне" (тіло). Багатокутники, що у паралельних площинах, називають підставами призми, інші грані - бічними гранями. Поверхня призми, таким чином, складається з двох рівних багатокутників (підстав) та паралелограмів (бічних граней). Розрізняють призми трикутні, чотирикутні, п'ятикутні тощо. залежно від кількості вершин основи.

3 слайд

Опис слайду:

Усі призми поділяються на прямі та похилі. (рис. 2) Якщо бічне ребро призми перпендикулярне площині її основи, то таку призму називають прямою; якщо бічне ребро призми перпендикулярно до площини її основи, то таку призму називають похилою. У прямої призми бічні грані – прямокутники. Перпендикуляр до площин підстав, кінці якого належать цим площинам, називають висотою призми.

4 слайд

Опис слайду:

Властивості призми. 1. Підстави призми є рівними багатокутниками. 2. Бічні грані призми є паралелограмами. 3. Бічні ребра призми рівні.

5 слайд

Опис слайду:

Площа поверхні призми та площа бічної поверхні призми. Поверхня багатогранника складається з кінцевого числа багатокутників (гранів). Площа поверхні багатогранника є сумою площ усіх його граней. Площа поверхні призм (Sпр) дорівнює сумі площ її бічних граней (площі бічної поверхні Sбок) та площ двох основ (2Sосн) - рівних багатокутників: Sпов=Sбок+2Sосн. Теорема. Площа бічної поверхні призми дорівнює добутку периметра її перпендикулярного перерізу та довжини бічного ребра.

6 слайд

Опис слайду:

Доказ. Бічні грані прямої призми - прямокутники, основи яких сторони основи призми, а висоти рівні висоті h призми. Sбік поверхні призми дорівнює сумі S зазначених трикутників, тобто. дорівнює сумі творів сторін основи висоту h. Виносячи множник h за дужки, отримаємо у дужках суму сторін підстави призми, тобто. периметр P. Отже, Sбок = Ph. Теорему доведено. Наслідок. Площа бічної поверхні прямої призми дорівнює добутку периметра її основи та висоти. Дійсно, у прямої призми основу можна розглядати як перпендикулярне перетин, а бічне ребро є висота.

7 слайд

Опис слайду:

Переріз призми 1. Перетин призми площиною, паралельною до основи. У перетині утворюється багатокутник, рівний багатокутнику, що лежить на підставі. 2. Перетин призми площиною, що проходить через два не сусідні бічні ребра. У перетині утворюється паралелограм. Такий переріз називається діагональним перетином призми. У деяких випадках може бути ромб, прямокутник або квадрат.

8 слайд

Опис слайду:

9 слайд

Опис слайду:

Визначення 2. Пряма призма, основою якої є правильний багатокутник, називається правильною призмою. Властивості правильної призми 1. Заснування правильної призми є правильними багатокутниками. 2. Бічні грані правильної призми є рівними прямокутниками. 3. Бічні ребра правильної призми рівні.

10 слайд

Опис слайду:

Переріз правильної призми. 1. Перетин правильної призми площиною, паралельною до основи. У перерізі утворюється правильний багатокутник, рівний багатокутнику, що лежить у підставі. 2. Перетин правильної призми площиною, що проходить через два не сусідні бічні ребра. У перетині утворюється прямокутник. У деяких випадках може утворитись квадрат.

11 слайд

Опис слайду:

Симетрія правильної призми 1. Центр симетрії при парному числі сторін основи – точка перетину діагоналей правильної призми (рис. 6)