Mga kumplikadong integral

Nakukumpleto ng artikulong ito ang paksa ng mga walang katiyakan na integral, at may kasamang mga integral na sa tingin ko mahirap. Ang aralin ay nilikha sa paulit-ulit na mga kahilingan ng mga bisita na nagpahayag ng kanilang mga hangarin na ang mas mahirap na mga halimbawa ay nasuri din sa site.

Ipinapalagay na ang mambabasa ng teksto na ito ay handa at alam kung paano ilapat ang pangunahing mga diskarte ng pagsasama. Ang mga dummy at mga taong hindi masyadong tiwala tungkol sa mga integral ay dapat na sumangguni sa pinakaunang aralin - Hindi tiyak na integral. Mga halimbawa ng mga solusyon, kung saan maaari mong makabisado ang paksa nang praktikal mula sa simula. Ang mas maraming karanasan na mag-aaral ay maaaring maging pamilyar sa mga diskarte at pamamaraan ng pagsasama na hindi pa natutugunan sa aking mga artikulo.

Anong mga integral ang isasaalang-alang?

Una, isasaalang-alang namin ang mga integral sa mga ugat, kung saan sunud-sunod kaming gumagamit variable na kapalit at pagsasama ng mga bahagi... Iyon ay, sa isang halimbawa, dalawang pamamaraan ang pinagsama nang sabay-sabay. At higit pa.

Pagkatapos ay makikilala natin ang isang kawili-wili at orihinal ang pamamaraan ng pagbawas ng integral sa sarili nito... Hindi gaanong kaunting mga integral ang nalulutas sa ganitong paraan.

Ang pangatlong bilang ng programa ay pupunta sa mga integral ng mga kumplikadong praksiyon, na lumipad sa takilya sa mga nakaraang artikulo.

Pang-apat, ang mga karagdagang integral ng mga pag-andar ng trigonometric ay susuriin. Sa partikular, may mga pamamaraan na maiiwasan ang pag-ubos ng oras ng pangkalahatang pagpapalit ng trigonometric.

(2) Sa integrand, hinahati namin ang numerator sa denominator na term sa pamamagitan ng term.

(3) Ginagamit namin ang linearity na pag-aari ng walang katiyakan na integral. Sa huling integral kaagad dalhin namin ang pagpapaandar sa ilalim ng kaugalian ng pag-sign.

(4) Kunin ang natitirang mga integral. Tandaan na ang panaklong ay maaaring magamit sa logarithm, hindi modulus, mula noon.

(5) Isinasagawa namin ang pabalik na kahalili, na nagpapahayag mula sa direktang pagpapalit na "te":

Ang mga mag-aaral ng Masochistic ay maaaring makilala ang sagot at makuha ang orihinal na integrand tulad ng ginawa ko lamang. Hindi, hindi, ginawa ko ang tseke sa tamang kahulugan \u003d)

Tulad ng nakikita mo, sa panahon ng solusyon, kahit na higit sa dalawang mga pamamaraan ng solusyon ang kailangang gamitin, sa gayon, upang harapin ang mga nasabing integral, kailangan mo ng tiwala sa mga kasanayan sa pagsasama at hindi ang pinakamaliit na karanasan.

Sa pagsasagawa, siyempre, ang square root ay mas karaniwan, narito ang tatlong mga halimbawa para sa isang independiyenteng solusyon:

Halimbawa 2

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Halimbawa 3

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Halimbawa 4

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Ang mga halimbawang ito ay magkatulad na uri, kaya ang kumpletong solusyon sa dulo ng artikulo ay para lamang sa Halimbawa 2, sa Mga Halimbawa 3-4 - isang sagot. Aling pamalit ang gagamitin sa simula ng mga solusyon, sa palagay ko, ay halata. Bakit ako pumili ng mga halimbawa ng parehong uri? Madalas silang magkita sa kanilang papel. Mas madalas, marahil, tulad lamang .

Ngunit hindi palaging, kapag ang ugat ng isang linear function ay matatagpuan sa ilalim ng arctangent, sine, cosine, exponent, at iba pang mga pagpapaandar, maraming mga pamamaraan ang kailangang mailapat nang sabay-sabay. Sa isang bilang ng mga kaso posible na "madaling bumaba", iyon ay, kaagad pagkatapos ng kapalit, isang simpleng integral ang nakuha, na maaaring makuha sa isang elementarya na paraan. Ang pinakamadali sa mga gawaing iminungkahi sa itaas ay Halimbawa 4, kung saan, pagkatapos ng pagpapalit, isang simpleng simpleng pagsasama ang nakuha.

Sa pamamagitan ng pagbawas ng integral sa sarili nito

Isang mapanlikha at magandang pamamaraan. Isaalang-alang kaagad ang mga klasiko ng genre:

Halimbawa 5

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Mayroong isang parisukat na binomial sa ilalim ng ugat, at kapag sinusubukan na isama ang halimbawang ito, ang takure ay maaaring magdusa ng ilang oras. Ang nasabing isang integral ay kinuha piraso ng piraso at nabawasan sa sarili. Sa prinsipyo, hindi mahirap. Kung alam mo kung paano.

Tukuyin natin ang integral na isinasaalang-alang ng isang liham Latin at simulan ang solusyon:

Isinasama namin ang piraso ng piraso:

(1) Maghanda ng isang function na integrand para sa paghahati ng term.

(2) Hinahati namin ang integrand ayon sa term. Marahil hindi lahat ay nakakaintindi, susulat ako nang mas detalyado:

(3) Ginagamit namin ang linearity na pag-aari ng walang katiyakan na integral.

(4) Dalhin ang huling integral ("mahabang" logarithm).

Ngayon tinitingnan namin ang simula ng solusyon:

At sa huli:

Anong nangyari? Bilang isang resulta ng aming mga manipulasyon, ang integral ay nabawasan sa sarili nito!

Pantayin natin ang simula at ang wakas:

Lumipat sa kaliwa na may pagbabago sa pag-sign:

At dinadala namin ang demonyo sa kanang bahagi. Ang resulta:

Ang pare-pareho, mahigpit na nagsasalita, ay dapat na naidagdag nang mas maaga, ngunit idinagdag ito sa dulo. Masidhi kong inirerekumenda na basahin mo kung ano ang mahigpit dito:

Tandaan: Mas mahigpit, ang panghuling yugto ng solusyon ay ganito:

Ganito:

Ang pare-pareho ay maaaring muling idisenyo bilang. Bakit ka maaaring muling italaga? Dahil tumatanggap pa rin kahit ano halaga, at sa ganitong diwa ay walang pagkakaiba sa pagitan ng mga pare-pareho at.
Ang resulta:

Ang isang katulad na pare-parehong trick ng muling pagdidisenyo ay malawakang ginagamit sa pagkakaiba-iba ng mga equation... At doon ako magiging mahigpit. At narito ang gayong kalayaan ay pinapayagan ko lamang upang hindi malito ka sa mga hindi kinakailangang bagay at ituon ang pansin sa mismong pamamaraan ng pagsasama.

Halimbawa 6

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Isa pang tipikal na integral para sa isang independiyenteng solusyon. Kumpletuhin ang solusyon at sagot sa pagtatapos ng tutorial. Ang pagkakaiba sa sagot mula sa naunang halimbawa ay magiging!

Kung mayroong isang parisukat na trinomial sa ilalim ng parisukat na ugat, kung gayon ang solusyon sa anumang kaso ay nabawasan sa dalawang nasuri na mga halimbawa.

Halimbawa, isaalang-alang ang integral ... Ang kailangan mo lang gawin ay maaga pumili ng isang buong parisukat:
.
Dagdag dito, isinasagawa ang isang linear replacement, na walang mga kahihinatnan:
, na nagreresulta sa isang integral. Isang bagay na pamilyar, di ba?

O tulad ng isang halimbawa, na may isang parisukat na binomial:
Pumili ng isang kumpletong parisukat:
At, pagkatapos ng isang linear na kapalit, nakakakuha kami ng isang integral, na malulutas din alinsunod sa itinuturing na algorithm.

Isaalang-alang ang dalawa pang tipikal na halimbawa ng kung paano mabawasan ang isang integral sa sarili nito:
- integral ng exponent na pinarami ng sine;
- ang integral ng exponent na pinarami ng cosine.

Sa mga nakalistang integral ng mga bahagi, kailangan naming isama nang dalawang beses na:

Halimbawa 7

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Ang integrand ay ang exponent beses ang sine.

Isinasama namin sa pamamagitan ng mga bahagi nang dalawang beses at binawasan ang pagsasama sa sarili nito:

Bilang isang resulta ng dobleng pagsasama ng mga bahagi, ang integral ay nabawasan sa sarili nito. Pantayin natin ang simula at ang wakas ng solusyon:

Lumipat sa kaliwa gamit ang pagbabago ng pag-sign at ipahayag ang aming integral:

Tapos na. Sa daan, ipinapayong suklayin ang kanang bahagi, ibig sabihin ilagay ang exponent sa labas ng mga braket, at sa mga braket ayusin ang sine at cosine sa isang "magandang" order.

Ngayon bumalik tayo sa simula ng halimbawa, o sa halip na isama ang mga bahagi:

Para sa itinalaga namin ang nagtatanghal. Ang tanong ay arises, eksakto ang exponent ay dapat palaging na-denote ng? Hindi kinakailangan. Sa katunayan, sa itinuturing na integral sa panimula walang pagkakaibakung ano ang ipahiwatig, posible na pumunta sa ibang paraan:

Bakit posible ito? Dahil ang exponent ay nagiging sarili nito (kapwa sa panahon ng pagkita ng pagkakaiba at pagsasama), ang sine at cosine ay magkakasabay na nagbago sa bawat isa (muli, kapwa sa panahon ng pagkita ng pagkakaiba at pagsasama).

Iyon ay, maaari mo ring italaga ang isang function na trigonometric. Ngunit, sa isinasaalang-alang na halimbawa, ito ay hindi gaanong makatuwiran, dahil lilitaw ang mga praksyon. Kung nais mo, maaari mong subukang lutasin ang halimbawang ito sa pangalawang paraan, ang mga sagot ay dapat na pareho.

Halimbawa 8

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Ito ay isang halimbawa para sa isang solong solusyon. Bago magpasya, pag-isipan kung ano ang mas kapaki-pakinabang sa kasong ito upang italaga para sa, exponent o trigonometric function? Kumpletuhin ang solusyon at sagot sa pagtatapos ng tutorial.

At syempre, tandaan na ang karamihan sa mga sagot sa araling ito ay sapat na madaling maiba-iba!

Ang mga halimbawa ay itinuturing na hindi pinakamahirap. Sa pagsasagawa, ang mga integral ay mas karaniwan, kung saan ang pare-pareho ay pareho sa exponent at sa argument ng trigonometric function, halimbawa:. Maraming mga tao ang kailangang mawala sa gayong integral, at ako mismo ay madalas na nalilito. Ang katotohanan ay mayroong isang mataas na posibilidad ng paglitaw ng mga praksyon sa solusyon, at napakadaling mawala ang isang bagay sa pamamagitan ng hindi pag-iisip. Bilang karagdagan, mayroong isang mataas na posibilidad ng error sa mga palatandaan, tandaan na ang exponent ay mayroong isang minus sign, at ipinakilala nito ang karagdagang kahirapan.

Sa huling yugto, madalas na lumalabas ang isang bagay tulad ng sumusunod:

Kahit na sa pagtatapos ng solusyon, dapat kang maging maingat at may kakayahang makitungo sa mga praksyon:

Pagsasama ng mga compound na praksiyon

Dahan-dahan kaming lumalapit sa ekwador ng aralin at nagsisimulang isaalang-alang ang mga integral ng mga praksyon. Muli, hindi lahat sa kanila ay sobrang kumplikado, para lamang sa isang kadahilanan o iba pa ang mga halimbawa ay isang maliit na "off topic" sa iba pang mga artikulo.

Pagpapatuloy sa tema ng mga ugat

Halimbawa 9

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Sa denominator sa ilalim ng ugat ay ang parisukat na trinomial plus sa labas ng ugat na "appendage" sa anyo ng "x". Ang isang integral ng ganitong uri ay malulutas gamit ang isang karaniwang pamalit.

Nagpapasya kami:

Ang kapalit ay simple:

Tinitingnan namin ang buhay pagkatapos ng kapalit:

(1) Matapos ang kahalili, dinadala namin ang mga term sa ilalim ng ugat sa isang karaniwang denominator.
(2) Kumuha kami mula sa ilalim ng ugat.
(3) Bawasan ang numerator at denominator ng. Sa parehong oras, sa ilalim ng ugat, muling binago ko ang mga termino sa isang maginhawang pagkakasunud-sunod. Sa ilang karanasan, ang mga hakbang (1), (2) ay maaaring laktawan sa pamamagitan ng pagsasagawa ng mga pagkomento na binibigkas sa salita.
(4) Ang nagresultang integral, na naaalala mo mula sa aralin Pagsasama ng ilang mga praksiyon, nalutas buong paraan ng pagpili ng parisukat... Pumili ng isang kumpletong parisukat.
(5) Sa pamamagitan ng pagsasama nakakakuha kami ng isang ordinaryong "mahabang" logarithm.
(6) Isinasagawa namin ang reverse replacement. Kung sa una, pagkatapos ay bumalik:
(7) Ang pangwakas na aksyon ay nakatuon sa hairstyle ng resulta: sa ilalim ng ugat, muli naming dalhin ang mga termino sa isang karaniwang denominator at ilabas ang mga ito mula sa ilalim ng ugat.

Halimbawa 10

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Ito ay isang halimbawa para sa isang solong solusyon. Dito, isang pare-pareho ay naidagdag sa nag-iisa X, at ang kapalit ay halos pareho:

Ang tanging bagay na kailangang gawin karagdagan ay upang ipahayag ang "x" mula sa kapalit:

Kumpletuhin ang solusyon at sagot sa pagtatapos ng tutorial.

Minsan sa tulad ng isang integral maaaring mayroong isang parisukat na binomial sa ilalim ng ugat, hindi nito binabago ang solusyon, magiging mas simple ito. Pakiramdaman ang pagkakaiba:

Halimbawa 11

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Halimbawa 12

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Maikling solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin. Dapat pansinin na ang Halimbawa 11 ay eksakto binomial integral, ang pamamaraan ng solusyon na kung saan ay isinasaalang-alang sa aralin Mga integral ng mga hindi makatuwirang pag-andar.

Integral ng isang hindi maikukumpara na polynomial ng degree 2 sa degree

(polynomial sa denominator)

Mas bihirang, ngunit, gayunpaman, nakatagpo ng mga praktikal na halimbawa, ang form ng integral.

Halimbawa 13

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Ngunit bumalik sa halimbawa ng masuwerteng bilang 13 (sa totoo lang, hindi ako hulaan ng tama). Ang integral na ito ay mula rin sa kategorya ng mga kung saan maaari mong pahirapan ang iyong sarili kung hindi mo alam kung paano ito malulutas.

Nagsisimula ang solusyon sa isang artipisyal na pagbabago.

Sa palagay ko naiintindihan na ng lahat kung paano hatiin ang numerator sa denominator term ayon sa term.

Ang nagresultang integral ay kinukuha ng paisa-isa:

Para sa isang integral ng form (ay isang natural na numero), nagmula kami paulit-ulit Formula sa pagbawas ng degree:
kung saan - integral ng isang degree na mas mababa.

Ipaalam sa amin i-verify ang bisa ng formula na ito para sa nalutas na integral.
Sa kasong ito: ,, ginagamit namin ang formula:

Tulad ng nakikita mo, ang mga sagot ay pareho.

Halimbawa 14

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Ito ay isang halimbawa para sa isang solong solusyon. Ang sample na solusyon ay gumagamit ng pormula sa itaas nang dalawang beses nang sunud-sunod.

Kung sa ilalim ng degree mayroong hindi maikukumpara square trinomial, pagkatapos ang solusyon ay nabawasan sa isang binomial sa pamamagitan ng pagpili ng isang kumpletong parisukat, halimbawa:

Paano kung mayroong isang karagdagang polynomial sa numerator? Sa kasong ito, ginagamit ang pamamaraan ng hindi natukoy na mga koepisyent, at ang integrand ay pinalawak sa kabuuan ng mga praksyon. Ngunit sa aking pagsasagawa ng isang halimbawa hindi pa nakikilala, kaya't nilaktawan ko ang kasong ito sa artikulo Mga integral ng isang praksyonal na pagpapaangat na pagpapaandar, Lalaktawan ko ito ngayon. Kung ang gayong isang integral ay nangyayari pa rin, tingnan ang aklat - ang lahat ay simple doon. Hindi ko isinasaalang-alang na angkop na isama ang materyal (kahit na mga simple), ang posibilidad ng pagpupulong na may kaugaliang zero.

Pagsasama ng mga kumplikadong pag-andar ng trigonometric

Ang pang-uri na "mahirap" para sa karamihan ng mga halimbawa ay muli higit sa kondisyon. Magsimula tayo sa mga tangent at cotangent sa mataas na degree. Mula sa pananaw ng mga pamamaraang ginamit para sa paglutas ng tangent at ng cotangent, halos magkapareho sila, kaya mas marami akong pag-uusapan tungkol sa tangent, na nagpapahiwatig na ang ipinakitang pamamaraan para sa paglutas ng integral ay wasto para sa cotangent din.

Sa aralin sa itaas, tiningnan namin unibersal na pagpapalit ng trigonometric para sa paglutas ng isang tiyak na uri ng integrals ng mga function na trigonometric. Ang kawalan ng unibersal na pagpapalit ng trigonometric ay kapag ginagamit ito, madalas na lumitaw ang masalimuot na pagsasama na may mahirap na mga kalkulasyon. At sa ilang mga kaso, maiiwasan ang unibersal na pagpapalit ng trigonometric!

Isaalang-alang ang isa pang halimbawa ng canonical, ang integral ng pagkakaisa na hinati ng sine:

Halimbawa 17

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Dito maaari kang gumamit ng generic na trigonometric substitution at makuha ang sagot, ngunit mayroong isang mas makatuwirang paraan. Magbibigay ako ng isang kumpletong solusyon sa mga komento para sa bawat hakbang:

(1) Ginagamit namin ang dobleng anggulo sine trigonometric formula.
Isinasagawa namin ang isang artipisyal na pagbabago: Sa denominator, hatiin at i-multiply ng.
(3) Ayon sa kilalang pormula sa denominator, binago namin ang maliit na bahagi sa isang tangent.
(4) Dinadala namin ang pagpapaandar sa ilalim ng pag-sign ng kaugalian.
(5) Kunin ang integral.

Isang pares ng mga simpleng halimbawa para sa isang malayang solusyon:

Halimbawa 18

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Pahiwatig: Ang pinakaunang hakbang ay ang paggamit ng formula ng cast at maingat na isagawa ang mga aksyon na katulad ng naunang halimbawa.

Halimbawa 19

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Sa gayon, ito ay isang napaka-simpleng halimbawa.

Kumpletuhin ang mga solusyon at sagot sa pagtatapos ng aralin.

Sa palagay ko ngayon walang magkakaroon ng mga problema sa mga integral:
atbp.

Ano ang ideya sa likod ng pamamaraan? Ang ideya ay upang ayusin lamang ang mga tangent at ang hango ng tangent sa integrand gamit ang mga pagbabago, mga trigonometric na pormula. Iyon ay, pinag-uusapan natin ang tungkol sa pagpapalit: ... Sa Mga Halimbawa 17-19, talagang inilapat namin ang kapalit na ito, ngunit ang mga integral ay napakasimple na ang bagay ay ginagamot sa isang katumbas na pagkilos - na nagdadala ng pag-andar sa ilalim ng kaugalian ng pag-sign.

Ang katulad na pangangatuwiran, tulad ng nabanggit ko na, ay maaaring isagawa para sa cotangent.

Mayroon ding pormal na paunang kinakailangan para sa paglalapat ng kapalit sa itaas:

Ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng cosine at sine ay isang negatibong integer EVEN number, hal:

para sa isang integral - isang negatibong integer KUNG bilang ng.

! Tandaan : kung ang integrand ay naglalaman LAMANG ng isang sine o LAMANG isang cosine, pagkatapos ang integral ay dinadala para sa isang negatibong kakaibang degree (ang pinakasimpleng kaso ay sa Mga Halimbawa Blg. 17, 18).

Isaalang-alang ang isang pares ng higit pang mga makabuluhang gawain para sa panuntunang ito:

Halimbawa 20

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Ang kabuuan ng mga kapangyarihan ng sine at cosine: 2 - 6 \u003d –4 ay isang negatibong integer KAHIT na numero, na nangangahulugang ang integral ay maaaring mabawasan sa mga tangente at hinalang ito:

(1) Baguhin ang denominator.
(2) Ayon sa kilalang pormula, nakukuha natin.
(3) Baguhin ang denominator.
(4) Ginagamit namin ang formula .
(5) Dinadala namin ang pagpapaandar sa ilalim ng pag-sign ng kaugalian.
(6) Nagsasagawa kami ng kapalit. Ang mga mas may karanasan na mag-aaral ay maaaring hindi gumawa ng kapalit, ngunit mas mabuti pa ring palitan ang tangent ng isang liham - mas may panganib na malito.

Halimbawa 21

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Ito ay isang halimbawa para sa isang solong solusyon.

Hawakan, magsisimula ang mga kampeon ng kampeon

Kadalasan sa integrand mayroong isang "hodgepodge":

Halimbawa 22

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Ang integral na ito ay paunang naglalaman ng isang tangent, na agad na nag-uudyok ng isang pamilyar na kaisipan:

Artipisyal na pagbabago sa simula pa lamang at ang natitirang mga hakbang ay maiiwan ko nang walang puna, dahil ang lahat ay napag-usapan na sa itaas.

Isang pares ng mga malikhaing halimbawa para sa self-solution:

Halimbawa 23

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Halimbawa 24

Hanapin ang walang katiyakan na integral

Oo, sa kanila, syempre, maaari mong babaan ang mga degree ng sine, cosine, gamitin ang unibersal na pagpapalit ng trigonometric, ngunit ang solusyon ay magiging mas mahusay at mas maikli kung ito ay isinasagawa sa pamamagitan ng mga tangente. Kumpletuhin ang solusyon at mga sagot sa pagtatapos ng aralin

Naghahanap ka ba ng x root ng x antiderivative? ... Ang isang detalyadong solusyon na may isang paglalarawan at paliwanag ay makakatulong sa iyo na makitungo kahit na sa pinakamahirap na problema at ang integral mula sa root x ay walang kataliwasan. Tutulungan ka naming maghanda para sa takdang aralin, pagsusulit, olympiad, pati na rin para sa pagpasok sa isang unibersidad. At kahit anong halimbawa, kahit anong query sa matematika na ipinasok mo, mayroon na kaming solusyon. Halimbawa, "x ang ugat ng x antiderivative."

Ang paggamit ng iba`t ibang mga problema sa matematika, calculator, equation at pagpapaandar ay laganap sa ating buhay. Ginagamit ang mga ito sa maraming mga kalkulasyon, pagtatayo ng gusali, at kahit mga palakasan. Gumamit ang tao ng matematika sa mga sinaunang panahon at mula noon ang kanilang paggamit ay tumaas lamang. Gayunpaman, ngayon ang agham ay hindi nakatayo at masisiyahan tayo sa mga bunga ng mga aktibidad nito, tulad ng, halimbawa, isang online na calculator na maaaring malutas ang mga problema tulad ng x ay isang ugat ng x antiderivative, isang integral ng isang ugat ng x, isang integral ng isang root x, isang integral ng isang square root, integral root ng 1 x 2, integral root ng x, integral root ng x 2 1, integral root ng x, integral ng root, integral ng root ng x, integral ng square ugat, integral ng ugat, integral ng ugat ng x, integral sa ugat, ugat ng x integral, ugat ng x antiderivative, ugat ng x integral, ugat ng x antiderivative, antiderivative 3 ugat ng x, antiderivative x ugat ng x, antiderivative ng root x, antiderivative ng root x, antiderivative ng x, antiderivative isang root ng x, isang antiderivative ng isang root, isang antiderivative ng isang root ng x, isang antiderivative ng isang root ng x, isang antiderivative ng isang root, isang antiderivative ng a ugat ng x, isang antiderivative ng isang ugat ng x. Sa pahinang ito ay makakahanap ka ng isang calculator na makakatulong sa iyo na malutas ang anumang katanungan, kabilang ang x root ng x antiderivative. (halimbawa, ang integral mula sa root x).

Saan mo malulutas ang anumang problema sa matematika, pati na rin x ugat ng x antiderivative Online?

Maaari mong malutas ang problema x ugat ng x antiderivative sa aming website. Papayagan ka ng isang libreng online solver na malutas ang isang online na problema ng anumang pagiging kumplikado sa loob ng ilang segundo. Ang kailangan mo lang gawin ay ipasok lamang ang iyong data sa solver. Maaari ka ring manuod ng isang tagubilin sa video at alamin kung paano ipasok nang tama ang iyong gawain sa aming website. At kung mayroon ka pa ring mga katanungan, maaari mong tanungin ang mga ito sa chat sa kaliwang ibabang bahagi ng pahina ng calculator.

Pagtukoy sa isang Antiderivative Function

• Pag-andar y \u003d F (x)tinawag na antiderivative para sa pagpapaandar y \u003d f (x) sa isang naibigay na agwat X,kung para sa lahat x ∈ X pagkakapantay-pantay humahawak: F ′ (x) \u003d f (x)

Maaari itong mabasa sa dalawang paraan:

1. f hango ng isang pagpapaandar F
2. F antiderivative para sa pagpapaandar f

Ang pag-aari ng mga antiderivatives

• Kung ang F (x)- antiderivative para sa pagpapaandar f (x) sa isang naibigay na agwat, pagkatapos ang pagpapaandar f (x) ay may walang hanggan maraming mga antiderivatives, at lahat ng mga antiderivative na ito ay maaaring maisulat bilang F (x) + C, kung saan ang C ay isang di-makatwirang pare-pareho.

Pagbibigay kahulugan ng geometriko

• Mga graphic ng lahat ng mga antiderivative ng isang naibigay na pagpapaandar f (x) ay nakuha mula sa grap ng anumang isang antiderivative sa pamamagitan ng mga parallel na pagsasalin kasama ang O axis sa.

Mga panuntunan sa pagkalkula ng Antiderivatives

1. Ang antiderivative ng kabuuan ay katumbas ng kabuuan ng mga antiderivatives... Kung ang F (x) - antiderivative para sa f (x), at G (x) ang antiderivative para sa g (x)tapos F (x) + G (x) - antiderivative para sa f (x) + g (x).
2. Ang patuloy na kadahilanan ay maaaring ilipat sa labas ng pag-sign ng hinalang... Kung ang F (x) - antiderivative para sa f (x), at k - pare-pareho, kung gayon k F (x) - antiderivative para sa k f (x).
3. Kung ang F (x) - antiderivative para sa f (x), at k, b - permanenteng, saka k ≠ 0tapos 1 / k F (kx + b) - antiderivative para sa f (kx + b).

Tandaan!

Anumang pagpapaandar F (x) \u003d x 2 + C , kung saan ang C ay isang di-makatwirang pare-pareho, at tulad lamang ng isang pagpapaandar ang antiderivative para sa pagpapaandar f (x) \u003d 2x.

• Halimbawa:

  F "(x) \u003d (x 2 + 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f (x) \u003d 2x, mula noon F "(x) \u003d (x 2 - 1)" \u003d 2x \u003d f (x);

  f (x) \u003d 2x, mula noon F "(x) \u003d (х 2 –3)" \u003d 2x \u003d f (x);

Ang ugnayan sa pagitan ng mga graph ng isang pagpapaandar at ang antiderivative nito:

1. Kung ang grap ng pagpapaandar f (x)\u003e 0 sa agwat, pagkatapos ang grap ng antiderivative nito F (x) nagdaragdag sa agwat na ito.
2. Kung ang grap ng pagpapaandar f (x) sa agwat, pagkatapos ang grap ng antiderivative nito F (x) bumababa sa agwat na ito.
3. Kung ang f (x) \u003d 0, pagkatapos ay ang grap ng antiderivative nito F (x) sa puntong ito ay nagbabago mula sa pagtaas sa pagbaba (o kabaligtaran).

Upang ipahiwatig ang antiderivative, ginagamit ang tanda ng isang walang katiyakan na integral, iyon ay, isang integral nang hindi ipinapahiwatig ang mga limitasyon ng pagsasama.

Hindi tiyak na integral

Kahulugan:

• Ang isang hindi tiyak na integral ng isang pagpapaandar f (x) ay ang expression na F (x) + C, iyon ay, ang koleksyon ng lahat ng mga antiderivatives ng isang naibigay na pagpapaandar f (x). Ang walang katiyakan na integral ay tinukoy bilang mga sumusunod: \\ int f (x) dx \u003d F (x) + C

• f (x)- tinawag na integrand;
• f (x) dx- tinawag na integrand;
• x - tinatawag na variable ng pagsasama;
• F (x) - isa sa mga antiderivatives ng pagpapaandar f (x);
• MULA SA ay isang di-makatwirang pare-pareho.

Hindi tiyak na integral na mga katangian

1. Ang derivative ng indefinite integral ay katumbas ng integrand: (\\ int f (x) dx) \\ prime \u003d f (x).
2. Ang pare-pareho na kadahilanan ng integrand ay maaaring makuha sa labas ng integral sign: \\ int k \\ cdot f (x) dx \u003d k \\ cdot \\ int f (x) dx.
3. Ang integral ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga pagpapaandar ay katumbas ng kabuuan (pagkakaiba) ng mga integral ng mga pagpapaandar na ito: \\ int (f (x) \\ pm g (x)) dx \u003d \\ int f (x) dx \\ pm \\ int g (x) dx.
4. Kung ang k, bay pare-pareho, at k ≠ 0, pagkatapos \\ int f (kx + b) dx \u003d \\ frac (1) (k) \\ cdot F (kx + b) + C.

Talaan ng mga antiderivatives at walang katiyakan na integral

Pag-andar f (x)	Antiderivative F (x) + C	Hindi natukoy na integral \\ int f (x) dx \u003d F (x) + C
0	C	\\ int 0 dx \u003d C
f (x) \u003d k	F (x) \u003d kx + C	\\ int kdx \u003d kx + C
f (x) \u003d x ^ m, m \\ not \u003d -1	F (x) \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + C	\\ int x (^ m) dx \u003d \\ frac (x ^ (m + 1)) (m + 1) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (x)	F (x) \u003d l n \\ lvert x \\ rvert + C	\\ int \\ frac (dx) (x) \u003d l n \\ lvert x \\ rvert + C
f (x) \u003d e ^ x	F (x) \u003d e ^ x + C	\\ int e (^ x) dx \u003d e ^ x + C
f (x) \u003d a ^ x	F (x) \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + C	\\ int a (^ x) dx \u003d \\ frac (a ^ x) (l na) + C
f (x) \u003d \\ kasalanan x	F (x) \u003d - \\ cos x + C	\\ int \\ sin x dx \u003d - \\ cos x + C
f (x) \u003d \\ cos x	F (x) \u003d \\ kasalanan x + C	\\ int \\ cos x dx \u003d \\ sin x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin (^ 2) x)	F (x) \u003d - \\ ctg x + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sin (^ 2) x) \u003d - \\ ctg x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos (^ 2) x)	F (x) \u003d \\ tg x + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sin (^ 2) x) \u003d \\ tg x + C
f (x) \u003d \\ sqrt (x)	F (x) \u003d \\ frac (2x \\ sqrt (x)) (3) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x))	F (x) \u003d 2 \\ sqrt (x) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin x + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (1 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctan x + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (1 + x ^ 2)) \u003d \\ arctg x + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2-x ^ 2)) \u003d \\ arcsin \\ frac (x) (a) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2))	F (x) \u003d \\ arctg \\ frac (x) (a) + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (a ^ 2 + x ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (a) \\ arctg \\ frac (x) (a) + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (1 + x ^ 2)	F (x) \u003d \\ arctg + C	\\ int \\ frac (dx) (1 + x ^ 2) \u003d \\ arctg + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) (a \\ not \u003d 0)	F (x) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lvert \\ frac (x-a) (x + a) \\ rvert + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sqrt (x ^ 2-a ^ 2)) \u003d \\ frac (1) (2a) l n \\ lvert \\ frac (x-a) (x + a) \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ tg x	F (x) \u003d - l n \\ lvert \\ cos x \\ rvert + C	\\ int \\ tg x dx \u003d - l n \\ lvert \\ cos x \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ ctg x	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ sin x \\ rvert + C	\\ int \\ ctg x dx \u003d l n \\ lvert \\ sin x \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ sin x)	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rvert + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ sin x) \u003d l n \\ lvert \\ tg \\ frac (x) (2) \\ rvert + C
f (x) \u003d \\ frac (1) (\\ cos x)	F (x) \u003d l n \\ lvert \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rvert + C	\\ int \\ frac (dx) (\\ cos x) \u003d l n \\ lvert \\ tg (\\ frac (x) (2) + \\ frac (\\ pi) (4)) \\ rvert + C

Newton-Leibniz na pormula

Hayaan f (x) binigyan ng pagpapaandar, F ang di-makatwirang antiderivative nito.

\\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx \u003d F (x) | _ (a) ^ (b)\u003d F (b) - F (a)

kung saan F (x) - antiderivative para sa f (x)

Iyon ay, ang integral ng pagpapaandar f (x) sa agwat ay katumbas ng pagkakaiba ng mga antiderivatives sa mga puntos b at a.

Baluktot na lugar ng trapezoid

Baluktot na trapezoid ay isang pigura na nalilimitahan ng grap ng isang hindi negatibo at tuluy-tuloy na pagpapaandar sa isang segment f, ang Ax axis at mga tuwid na linya x \u003d a at x \u003d b.

Ang lugar ng isang hubog na trapezoid ay matatagpuan ng pormula ng Newton-Leibniz:

S \u003d \\ int_ (a) ^ (b) f (x) dx