Vilken sida av triangeln är lika med diagonalen av rektangeln. Rektangel. Formler och egenskaper hos rektangeln

Uppgiften att hitta diagonalen av rektangeln kan formuleras av tre olika sätt. Tänk på mer var och en av dem. Sätt beror på de kända data, så hur man hittar en diagonal av en rektangel?

Om två sidor är kända

I det fall då två sidor av rektangeln A och B är kända, för att hitta den diagonala, är det nödvändigt att använda Pythagora-teoremet: A 2 + B2 \u003d C2, här A och B - kateterna i den rektangulära triangeln, C - hypotenuse av den rektangulära triangeln. När en diagonal görs i en rektangel är den uppdelad i två rektangulära trianglar. Två sidor av denna rektangulära triangel Vi är kända (A och B). Det vill säga att hitta diagonalen av rektangeln, är formeln nödvändig enligt följande: C \u003d √ (A 2 + B 2), här C - längden på rektangelns diagonala.

På den välkända sidan och hörnet, mellan sidan och diagonalen

Låt det vara känt för sidan av rektangeln A och vinkeln som den bildar med diagonalen av rektangeln a. Till att börja med återkalla Cosine-formeln: COS a \u003d A / C, här C är en rektangel diagonal. Hur man beräknar rektangeln diagonal från denna formel: C \u003d A / COS α.

Enligt den välkända sidan, hörnet mellan den intilliggande sidan av rektangeln och diagonalen.

Eftersom rektangeln diagonal delar rektangeln i två rektangulära trianglar är den logisk att hänvisa till definitionen av sinus. Sinus är förhållandet mellan kategorin som ligger mot denna vinkel, till hypotenuse.sin a \u003d b / c. Härifrån härleder vi formeln för att hitta en diagonal av en rektangel, som också är en hypotenneus av en rektangulär triangel: c \u003d b / sin a.

Nu är du pämplad i denna fråga. Du kan behaga geometrinläraren imorgon!

Innehåll:

Diagonal är ett segment som förbinder två motsatta hörn av rektangeln. I en rektangel, två lika diagonaler. Om sidan av rektangeln är känd, kan diagonalen hittas på pythagora-teorem, eftersom diagonalen delar upp rektangeln i två rektangulära trianglar. Om parterna inte ges, är andra värden kända, till exempel, ett område och omkrets eller sidoinställning, kan du hitta sidorna av rektangeln, och sedan av pythagora-teorem beräknar diagonalen.

Steg

1 på sidorna

1 Skriv ner Pythagores teorem. Formel: A 2 + B2 \u003d C2
2 I formeln ersätter parternas värden. De ges i uppgiften eller måste mätas. Parterna är ersatta istället för en 3
- I vårt exempel:
  4 2 + 3 2 \u003d C 2 4
  2 i storlek och omkrets
  1. 1 formel: s \u003d l w (i figuren istället för s använda beteckningar A.)
  2. 2 Detta värde är substituerat istället för S3 Skriv om formeln för att separera W 4 Spela in formeln för att beräkna omkretsen av rektangeln. Formel: P \u003d 2 (W + L)
  3. 5 I formeln ersätt värdet av rektangelns omkrets. Detta värde är substituerat istället för P 6 Dela båda sidor av ekvationen med 2. Du kommer att få summan av sidorna av rektangeln, nämligen W + L 7 I formeln ersätter uttrycket för att beräkna W 8 Bli av med Faraty. För att göra detta multiplicerar båda delar av ekvationen på L 9 Eclay ekvation till 0. För att göra detta, från båda sidor av ekvationen, dra av en medlem från den första ordervariabeln.
    I vårt exempel:
    12 l \u003d 35 + L 2 10 Ordna medlemmarna av ekvationen. Den första medlemmen kommer att vara medlem från en andra ordervariabel, då en medlem från en första ordervariabel och sedan en fri medlem. Samtidigt glöm inte skyltarna ("plus" och "minus"), som står inför medlemmar. Observera att ekvationen spelas in som en fyrkantig ekvation.
    I vårt exempel 0 \u003d 35 + L 2 - 12 L 11
    I vårt exempel, ekvation 0 \u003d L 2 - 12 L + 35 12 Hitta L 13. Skriv ner Pythagores teorem. Formel: A 2 + B2 \u003d C2
    Dra nytta av pythagora teorem, eftersom varje rektangel diagonal delar den i två lika rektangulära trianglar. Och sidan av rektangeln är triangeln Katets, och diagonalen av rektangeln - triangelns hypotenus.
    
    14 Dessa värden är substituerade istället för 15 Ta längden och bredden till torget och sedan vika de erhållna resultaten. Kom ihåg att när numret är uppbyggt i en torg multipliceras det med sig själv.
    I vårt exempel:
    5 2 + 7 2 \u003d C 2 16 Avlägsna roten ur Från båda sidor av ekvationen. Använd räknaren för att snabbt ta bort kvadratroten. Du kan också använda online-kalkylatorn. Du hittar C.
    3 på områdets område och inställning
    
    1 Registrera ekvationen som kännetecknar parternas sida. Separat L 2. Spela in formeln för att beräkna rektangelområdet. Formel: S \u003d L W (i figuren istället för s använda beteckningar A.)
    Denna metod är tillämplig och i det fall då värdet av rektangelns omkrets är känt, men då måste du använda formeln för att beräkna omkretsen och inte området. Formel för att beräkna omkretsen av rektangeln: p \u003d 2 (W + L)
    
    3 I formeln ersätter du värdet av rektangelområdet. Detta värde är ersatt istället för S 4 I formeln ersätter ett uttryck som kännetecknar parternas sida. I fallet med en rektangel kan du ersätta ett uttryck för beräkning av L 5 Skriv ner kvadratisk ekvation. För att göra detta, exponera fästen och jämföra ekvationen till noll.
    I vårt exempel:
    35 \u003d W (W + 2) 6 Sprid den kvadratiska ekvationen för multiplikatorer. För att uppnå detaljerade instruktionerLäsa.
    I vårt exempel, ekvation 0 \u003d W 2 - 12 W + 35 7 Hitta w 8. Nämnda värdet av breddvärdet (eller längd) i ekvationen som kännetecknar parternas sida. Så du kan hitta den andra sidan av rektangeln.
    Till exempel, om du beräknat att bredden på rektangeln är 5 cm, och sidoförhållandet ställs in med ekvationen L \u003d W + 2 9 Skriv ner Pythagores teorem. Formel: A 2 + B2 \u003d C2
    Dra nytta av pythagora teorem, eftersom varje rektangel diagonal delar den i två lika rektangulära trianglar. Och sidan av rektangeln är triangeln Katets, och diagonalen av rektangeln - triangelns hypotenus.
    
    10 I formeln, ersätta längderna och bredden. Dessa värden är substituerade istället för 11 Ta längden och bredden till torget och sedan vika de erhållna resultaten. Kom ihåg att när numret är uppbyggt i en torg multipliceras det med sig själv.
    I vårt exempel:
    5 2 + 7 2 \u003d C 2 12 Ta bort kvadratroten från båda sidor av ekvationen. Använd räknaren för att snabbt ta bort kvadratroten. Du kan också använda online-kalkylatorn. Du hittar C (displaystyle c), det vill säga en triangelhypotenus, vilket betyder rektangelns diagonala.
    I vårt exempel:
    74 \u003d C2 (displayStyle 74 \u003d C ^ (2))
    74 \u003d C2 (displayStyle (SQRT (74) \u003d (SQRT (C ^ (2))))
    8, 6024 \u003d C (displayStyle 8,6024 \u003d C)
    Således är en rektangel diagonal, i vilken 2 cm längd är större än bredden och vars yta är 35 cm2, är ungefär 8,6 cm.

Kvadrat - samea enkel figur i geometri. Det är från henne, en rektangel och kvadratisk börjar studera detta ämne. Möjligheten att lösa uppgiften med en fyrkant hjälper dig att behärska ett mer komplext material. Den här artikeln kommer att berätta hur du hittar diagonalen på torget.

Lösningen av geometriska uppgifter är intressant att lösa dem på flera sätt. Varje sätt är intressant på sin egen väg. Inget undantag och diagonal av torget, som kan hittas direkt och indirekta vägar.

Så här hittar du en kvadratisk diagonal - formel

Det finns en ganska enkel formel för att hitta en diagonal av en torg. Det ser ut så här: a√2. A - kvadratisk sida. Minns att alla sidor av torget är lika. Således, om du känner till storleken på den ena sidan, känner du till storleken på de andra tre sidorna. För att ta reda på den diagonala av torget är det nödvändigt att multiplicera sin sida till roten till två.

Exempel 1: Hitta diagonalen på torget, om det är känt att hans sida är 5.

Beslut: Att ersätta värdet i den ovannämnda formeln är det inte svårt att gissa att diagonalen kommer att vara lika med 5√2.

Exempel 2: Hitta sidan av torget, om det är känt att dess diagonal är 5√2.

Beslut: Diagonal betecknas med ett litet latinskt brev d. D \u003d a√2. För att hitta sidan av att veta diagonalen är det därför nödvändigt att dela diagonalen till roten till två. Efter att ha gjort den här åtgärden lär vi oss sidan av torget, som i det här fallet är 5.

Hur man hittar en kvadratisk diagonal genom en rektangulär triangel

Om du har en diagonal på torget är det lätt att märka att två rektangulära trianglar bildas. Minns att en rektangulär triangel har en vinkel nödvändigtvis rak. Den består av två kateter (sidan i en vinkel på 90 grader) och hypotenuser (motsatsen till 90-nedbrytarens hörn av sidan). Kvoten av hypotenusen är lika med summan av kateternas kvadrater. I det här fallet är hypotenuse diagonalen på vårt torg. Eftersom karteter är sidorna av kvadraten, kommer formeln att ha följande form: d ^ \u003d a2 + a2 \u003d 2a ^. Det följer att D \u003d √2A² \u003d A√2.

Exempel 3: Hitta torgets diagonala om hans sida är 3.

Beslut:

Vi vikar parternas kvadrater, vi får 18.
Vi överväger roten på 18 och får 3√2.

Trots det faktum att den sista metoden är längre och i slutändan går vi ut på formeln från det första exemplet, är det nödvändigt att veta det. I huvudsak är denna metod bevis på formeln för den kvadratiska diagonalen. Det är detta bevis som kan komma till tentamen eller Olympiad. Bra lära henne, för att hon kan hjälpa dig vid de ovan nämnda händelserna.

Online-kalkylator

Trots det faktum att det inte är svårt att lösa sådana uppgifter, kan vissa studenter glömma formeln. För sådana fall finns det online-kalkylatorsom låter dig hitta rätt svar baserat på vad som anges i uppgiften. För att använda den här tjänsten, följ länken.

Bläddra ner sidan ner och du hittar undertexten "Hitta en diagonal av en torg, som känner till sidan.
Nedan kommer denna undertext att ges formeln, titta på vilken du inte behöver en räknare.
Men ändå, om du inte är säker, ange värdet på längden på torget i fältet och sedan på "Beräkna" -knappen.
Kalkylator i 1 sekund ger dig rätt svar.

Nu, vet du flera sätt att lösa uppgiften för det här ämnet, kommer du inte att vända boken på matematik på jakt efter önskad formel, men använd helt enkelt online-kalkylatorn eller exempel som ges ovan.

Vid lösning av uppgifter i skolmatematiken är det ofta nödvändigt att bestämma vad diagonalen på den angivna torget är lika. Med synlig komplexitet är denna uppgift mycket enkel och har flera okomplicerade sätt lösningar. Tänk på dem, först introducera några begrepp och definitioner.

Fyrkant - Det här är en fyrhjuling med lika partier, vars vinklar är direkta, det vill säga 90 grader är lika. Denna figur är samtidigt både rhombus och en rektangel, behåller så alla sina egenskaper.
Diagonal polygon - Detta är ett segment som förbinder två motsatta vertikaler. I artikeln kommer den att betecknas med bokstaven D.
Motsatt De kallas vertikaler som inte ligger på ena sidan.
Roten urDetta är ett sådant tal som kommer att ge originalet när det multiplicerar sig. I geometri används endast positiva betydelser Roten ur. I artikeln kommer vi att betecknas med reduktion av rad (från den latinska radikalen - roten).
Sidan torget kommer att betecknas med bokstaven a.

Som det är klart av det föregående har torget bara två diagonaler. Eftersom torget är en rektangel och behåller sina egenskaper, är de lika med varandra. Tänk på olika metoder för att hitta sin längd.

Beräkning av torgets diagonala på den välkända sidan

Mest. enkel väg är en diagonal beräkningOm en fyrkantig sida är känd. Det finns en allmänt känd pythagoreo teorem för rektangulära trianglar. Vi skriver den här formeln: C ^ 2 \u003d A ^ 2 + B ^ 2.

Observera att i vårt fall är torgets diagonala hypotenus av en triangel med lika tull. Vi skriver om formeln baserat på våra förhållanden: D ^ 2 \u003d A ^ 2 + A ^ 2. Vi förvandlar, vi får: D ^ 2 \u003d 2 * A ^ 2. Nästa steg tog bort kvadratroten, kommer att visa sig: d \u003d rad2 * a. Detta är vår sista formel.

Tänk på beräkningen i exemplet. Låt a \u003d 64. Vi kommer att ersätta vårt värde i formeln. Vi erhåller d \u003d 64 * rad2. Detta är svaret.

Beräkning av torgets diagonala på det berömda området

Låt oss ges torget på torget, det indikeras av latinska bokstaven s, vi hittar det diagonalt.

Vi använder egenskaperna hos rektangeln och installerar formeln i dess område.

S \u003d a * b. Kyl för B \u003d a. Vi erhåller: s \u003d a ^ 2. Härifrån hittar du sidan: a \u003d rads. Så lyckades vi uttrycka sidan genom torget. Vi ersätter det resulterande uttrycket i den slutliga formeln från föregående del. Formeln kommer att ta formuläret: d \u003d rad2 * a \u003d rAD2 * RADS..

Exempel: Antag att området är 32 kvadratmeter. Ersätta detta nummer. Vi får RAD2 * RAD32 \u003d RAD2 * 4 * RAD2 \u003d 4 * 2 \u003d 8 meter.

Beräkning av diagonalen vid en välkänd omkrets

Låt oss veta omkretsen. I framtiden kommer vi att spela in latinska bokstaven P, hitta det d. Vi använder egenskaperna hos rektangeln och installerar formeln för dess omkrets.

P \u003d två * (a + b). Kyl för B \u003d a. Vi kommer att lyckas: P \u003d två * (A + A) \u003d 2 * 2A \u003d 4 * A. Uttrycka den senaste formeln. Vi har: A \u003d P / 4. Vi använder det faktum att: D \u003d Rad2 * a. Uttrycka sidan efter omkretsen. Vår formel tar Formd \u003d Rad2 * P / 4.

Exempel: Låt omkretsen är 128 meter. Låt oss göra en enkel beräkning. Vi har, rad \u003d d2 * 128/4 \u003d 32 * rad2 meter.

Beräkning med radie beskrev och inskriven cirkel

En annan vägvilket är mycket enkelt i sig själv. Vi kommer att beteckna cirkelns radie som beskrivs av latinska bokstaven R, den inskrivna cirkelns radie kommer att betecknas med den latinska bokstaven R.

Först kommer du att hantera den beskrivna omkretsen. I denna situation är dess radie exakt en halv diagonal (det är inte svårt att verifiera användningen av konstruktion), så: R \u003d 1/2 * d. Härifrån har vi: d \u003d två * r. Vi förklarar igen vår resonemang i exemplet. Låt r \u003d 45 kilometer. Vi får, d \u003d två * 45 \u003d 90 kilometer.

Och slutligen betraktar vi den metod som är förknippad med den inskrivna cirkelns radie. Återigen ses det tydligt att diametern hos den inskrivna cirkeln är lika med sidan av torget. Således är dess radie två gånger mindre sida. Vi skriver det som en formel: R \u003d 1/2 * a. Härifrån följer det, a \u003d 2 * r. Vi kommer att använda formeln igen från den första metoden, vi ersätter istället för sitt uttryck genom den inskrivna cirkelns radie. Uttrycket kommer att ta formen: d \u003d rad2 * a \u003d rad2 * 2 * R.

Återigen kommer vi att använda hjälp av exemplet. Låt r \u003d 98 meter. Då har vi, d \u003d rad2 * 2 * 98 \u003d 196 * rad2.

Slutsats

Så vi tittade på artikeln fem fundamentalt olika metoder Beräkningar av torgets diagonala. Om vid första anblicken, uppgiften verkade svår, då efter det att vi hölls, blev det uppenbart att det inte fanns några speciella problem här. Vi kommer att minimera alla formler vi kom in i ett bord.

d \u003d rad2 * a;
d \u003d rad2 * rads;
d \u003d rad2 * p / 4;
d \u003d 2 * r;
d \u003d rad2 * 2 * R.

Jag vill notera änMed den första av våra formler är det väldigt lätt att bygga ett segment som är lika med tvåtrotsorten. För att göra detta bygger vi en torg med en sida av enheten, dess diagonal och kommer att vara lika med det önskade segmentet.

Om vi \u200b\u200bkonstruerar en rektangel på den diagonalt mottagna, med den som en längd och ta bredden till en, så får vi en snitt lika med varandra irrationellt tal Kvadratrot på tre.

Video

Från videon lär du dig hur du hittar en kvadratisk diagonal om dess område är känt.

Fick inte svaret på din fråga? Erbjudande författare ämnet.

4. Formeln för cirkelradiusen, som beskrivs nära rektangeln genom kvadratens diagonala:

5. Formeln för cirkelradie, som beskrivs nära rektangeln genom cirkeldiametern (beskriven):

6. Formeln för cirkelradie, som beskrivs nära rektangeln genom vinkelns sinus, som ligger intill diagonalen och längden på sidan av det motsatta hörnet:

7. Formeln för cirkelradie, som beskrivs nära rektangeln genom kosinsen i vinkeln, som ligger intill diagonalen och sidolängden för denna vinkel:

8. Formeln för cirkelradie, som beskrivs nära rektangeln genom sinusen av en spetsig vinkel mellan diagonalerna och området av rektangeln:

Vinkeln mellan sidan och diagonalen av rektangeln.

Formler för att bestämma vinkeln mellan sidan och diagonalen av rektangeln:

1. Formeln för bestämning av vinkeln mellan sidan och diagonalen av rektangeln genom diagonal och sida:

2. Formeln för bestämning av vinkeln mellan sidan och diagonalen av rektangeln genom vinkeln mellan diagonalerna:

Vinkeln mellan diagonalerna på rektangeln.

Formler för bestämning av vinkeln mellan diagonalerna på rektangeln:

1. Formeln för bestämning av vinkeln mellan diagonalerna på rektangeln genom vinkeln mellan sidan och diagonalen:

β \u003d 2a

2. Formeln för bestämning av vinkeln mellan diagonalerna på rektangeln genom området och diagonalen.