Hitta en projicering av online-kalkylatorn. Kalkylator online. Vektor projektprojektion på vektor

och på axeln eller någon annan vektor finns begreppen av dess geometriska projektion och numerisk (eller algebraisk) utskjutning. Resultatet av en geometrisk projektion kommer att vara en vektor och resultatet av ett algebraiskt - icke-negativt giltigt nummer. Men innan du fortsätter till dessa begrepp, kom ihåg den nödvändiga informationen.

Preliminär information

Huvudkonceptet är konceptet av vektorn. För att införa definitionen av den geometriska vektorns återkallelse vilket segment som är. Vi introducerar följande definition.

Definition 1.

Låt oss ringa en del av den raka linjen, som har två gränser i form av punkter.

Klipp kan ha 2 riktningar. För att ange riktningen kommer vi att kalla en av gränserna för segmentet av det, och den andra gränsen är slutet. Riktningen indikeras från början till slutet av segmentet.

Definition 2.

Ett vektor eller riktad segment kommer att kallas ett sådant segment för vilket det är känt vilket av segmentgränserna anses vara början, och som slutar det.

Beteckning: två bokstäver: $ \\ överline (ab) $ - (där $ a $ är dess början, och $ b $ är slutet).

Ett litet brev: $ \\ överline (a) $ (fig 1).

Vi presenterar några fler begrepp i samband med begreppet vektor.

Definition 3.

Två icke-nollvektorer kommer att kallas Collinear om de ligger på samma direkt eller direkt, parallellt med varandra (fig 2).

Definition 4.

Två icke-nollvektorer kommer att kallas myntet om de uppfyller två villkor:

Dessa kollinära vektorer.
Om de riktas i en riktning (fig 3).

Beteckning: $ \\ Överline (A) \\ Överline (B) $

Definition 5.

Två icke-nollvektorer kommer att kallas motsatt riktat om de uppfyller två villkor:

Dessa kollinära vektorer.
Om de riktas i olika riktningar (fig 4).

Beteckning: $ \\ Överline (a) ↓ \\ Överline (d) $

Definition 6.

Vektor av vektorn $ \\ överline (a) $ kommer att kallas längden på segmentet på $ a $.

Beteckning: $ | \\ Överline (a) | $

Låt oss vända sig till definitionen av jämlikheten av två vektorer

Definition 7.

Två vektorer kommer att kallas lika, om de uppfyller två villkor:

De är belagda;
Deras längder är lika (fig 5).

Geometrisk projektion

Som vi redan har sagt kommer resultatet av en geometrisk projektion att vara vektor.

Definition 8.

Den geometriska projiceringen av vektorn $ \\ överline (ab) $ på axeln kommer att kallas en sådan vektor som erhålls enligt följande: Börjanpunkten för vektorn $ A $ projiceras på denna axel. Vi får en punkt $ a "$ - början av den önskade vektorn. Slutpunkten för vektorn $ b $ projiceras på denna axel. Vi får en punkt $ b" $ - slutet av önskad vektor. Vector $ \\ överline (en "b") $ och kommer att vara den önskade vektorn.

Tänk på uppgiften:

Exempel 1.

Bygg en geometrisk projektion av $ \\ Överline (AB) $ till $ L $ Axis avbildad i Figur 6.

Vi utför från $ a $ vinkelrätt mot $ l $ axeln, vi får en $ en punkt på den "$. Därefter kommer vi att utföra från punkten $ b $ b vinkelrätt mot $ l $ axel, vi får en Peka $ b "$ (bild 7).

Introduktion ................................................. ................................... 3.

1. Värdet av vektorn och skalär ........................................... ......4

2. Bestämning av projektion, axel och koordinatpunkt .................. ... 5

3. Projektionen av vektorn på axeln .......................................... ......... ... 6

4. Den huvudsakliga formeln för vektoralgebra ................................... 8

5. Beräkning av vektormodulen för sina prognoser ..................... ... 9

Slutsats ................................................. ............................. ... 11

Litteratur ................................................. ............................. ... 12

Introduktion:

Fysik är oupplösligt kopplad till matematik. Matematik ger fysikverktyg och tekniker för det allmänna och exakta uttrycket av förhållandet mellan fysiska kvantiteter, som öppnas som ett resultat av experiment eller teoretiska studier. Huvudforskningsmetoden i fysik är experimentell. Det betyder - Beräkningar Vetenskapsmannen avslöjar med hjälp av mätningar. Betecknar förhållandet mellan olika fysiska kvantiteter. Då är allt översatt till matematik. Matematisk modell bildas. Fysik - Det finns en vetenskap som studerar den enklaste och samtidigt de vanligaste mönstren. Fysikens uppgift är att skapa en sådan bild av den fysiska världen i vårt medvetande, vilket helt speglar sina egenskaper och säkerställer sådana relationer mellan elementen i modellen, som existerar mellan elementen.

Så, fysik skapar en modell av världen runt oss och studerar sina egenskaper. Men vilken modell som helst är begränsad. När man skapar modeller av ett eller ett annat fenomen, beaktas endast avgörande för dessa Circle Phenomena egenskaper och kommunikation. Detta är en vetenskapsman - från all grenrör för att välja det viktigaste.

Fysiska modeller är matematiska, men inte matematik är deras grund. De kvantitativa relationerna mellan fysiska kvantiteter klargörs till följd av mätningar, observationer och experimentella studier och uttrycks endast på matematikens språk. Det finns dock inget annat språk att bygga fysiska teorier.

1. Värdet av vektorn och skalär.

I fysik och matematik är vektorn det värde som kännetecknas av dess numerisk mening och riktning. Många viktiga värden som är vektorer finns i fysik, såsom kraft, position, hastighet, acceleration, vridmoment, impuls, elektriska och magnetiska fält. De kan motsätta sig andra värden, såsom vikt, volym, tryck, temperatur och densitet som kan beskrivas i konventionellt antal, och de kallas " skalars " .

De registreras antingen bokstäver med vanligt teckensnitt eller siffror (A, B, T, G, 5, -7 ....). Scalarmängder kan vara positiva och negativa. Samtidigt kan vissa inlärningsobjekt ha sådana egenskaper för komplett beskrivning Vilken kunskap om endast en numerisk åtgärd är otillräcklig är det nödvändigt att karakterisera dessa egenskaper i rymden. Sådana egenskaper kännetecknas av vektorvärden (vektorer). Vektorer, i motsats till skalorna, betecknas med bokstäverna med fetstil: a, b, g, f, med ....
Ofta betecknar vektorn brevet i det vanliga (lågfett) teckensnittet, men med en pil ovanför det:

Dessutom indikeras vektorn ofta av ett par bokstäver (vanligtvis titeln), och det första bokstaven indikerar början av vektorn, och den andra är dess ände.

Modulen i vektorn, det vill säga längden på den riktiga raka linjen, betecknas med samma bokstäver som själva vektorn, men i den vanliga (icke-feta) stavningen och utan pil över dem, eller precis som vektorn (det är, med fetstil eller vanligt, men pilen), men då ligger vektorns beteckning i vertikala streck.
Vektorn är ett komplext föremål, som samtidigt kännetecknas av värdet och riktningen.

Det finns också inga positiva och negativa vektorer. Men vektorerna kan vara lika med varandra. Det här är till exempel AIB har samma moduler och riktas i en riktning. I det här fallet är posten giltig a. \u003d b. Man bör också komma ihåg att framför symbolen för vektorn kan vara ett minustecken, till exempel, - C, men det här tecknet indikerar symboliskt att vektorn -C är samma modul som vektorn C, men är riktad i motsatt riktning.

Vektorn kallas motsatt (eller omvänd) vektor med.
I fysik är varje vektor fylld med ett specifikt innehåll och när man jämför samma typvektorer (till exempel krafter) kan det finnas väsentliga och punkter i deras tillämpning.

2. Bestämning av projektion, axel och koordinatpunkt.

Axel - Detta är en direkt, som är fäst i någon riktning.
Axeln är betecknad med vilket som helst brev: X, Y, Z, S, t ... Vanligtvis är axeln vald (godtyckligt) punkt, som kallas början av referensen och som regel indikeras av brevet O. Från denna punkt räknas avstånden till de andra intressanta platser från denna punkt.

Prognospunkt På axeln kallas den vinkelräta basen, sänkt från denna punkt till denna axel. Det vill säga, utsprånget på punkten på axeln är punkten.

Koordinatpunkt På denna axel kallas numret vars absoluta värde är lika med längden på axelns segment (på den valda skalan), som avslutas mellan axelns början och utsprånget på punkten på denna axel. Detta nummer tas med ett plustecken om projicering av punkten är placerad i axelns riktning från start och med minustecknet, om i motsatt riktning.

3. Ställ in vektor på axeln.

Projektionen av vektorn på axeln kallas en vektor som erhålls som ett resultat av att multiplicera skalärdesignen av vektorn på denna axel och enhetens vektor. Till exempel, om en X är en skalärprojektion av vektorn A på X-axeln, är X · I dess vektorprojektion på denna axel.

Beteckna vektorns projicering såväl som själva vektorn, men med indexet på axeln som vektorn är utformad. Så, vektorprojektionen av vektorn A på axeln X betecknas med x (fettbrev, som betecknar vektorn och nedre axelnamnet) eller

(Lågfett bokstav som betecknar vektor, men med en pil på övervåningen (!) och nedre axelnamnindex).

Skalärprojektion Vektor på axeln som heter siffra , vars absoluta värde är lika med längden på axelsegmentet (på den valda skalan), innesluten mellan utskjutningarna av startpunkten och slutpunkten. Vanligtvis istället för uttryck skalärprojektion De säger enkla - utsprång . Projektionen indikeras med samma bokstav som designvektorn (i konventionell, icke-stor stavning), med botten (typiskt) index för axelnamnet, till vilket denna vektor är utformad. Till exempel, om en vektor projiceras på X-axeln men, Då är hans projektion betecknad med x. Vid utformning av samma vektor till en annan axel, om Y-axeln, kommer dess utskjutning att betecknas med y.

För att beräkna projektionen vektor På axeln (till exempel X-axeln) är det nödvändigt från koordinaten av slutet av slutet för att dra av koordinatpunkten i början, det vill säga

och x \u003d x till - x n.

Projektionen av vektorn på axeln är numret. Dessutom kan projektionen vara positiv om X är mer än värdet av XN,

negativ om x är mindre än värdet av x

och lika med noll, om X är lika med X n.

Vektorprojektionen på axeln kan också hittas, som känner till vektormodulen och den vinkel som den är med denna axel.

Det kan ses från figuren som X \u003d A COS α

Det vill säga, utsprånget på vektorn på axeln är lika med produkten av vektormodulen på cosinusen i vinkeln mellan axelriktningen och riktningsvektor . Om vinkeln är skarp, då
COS α\u003e 0 och a x\u003e 0, och om dum, då är cosinuset av en trubbig vinkel negativ, och projektionen av vektorn på axeln kommer också att vara negativ.

Vinklarna räknas från axeln mot kursens kurs är att vara positiva, och i kursen - negativ. Men eftersom cosinusen är en jämn funktion, det vill säga, cos a \u003d cos (- a), då vid beräkning av utsprång kan hörnen räknas både längs medurs-pilen och nackdelarna.

För att hitta vektorns projicering på axeln är modulen i denna vektor att multiplicera på cosinusen i vinkeln mellan axelriktningen och vektorns riktning.

4. Grundläggande formel vektor algebra.

Design som konsumerar i axeln X och Y av ett rektangulärt koordinatsystem. Vi finner vektorprojektioner av vektorn A på dessa axlar:

och x \u003d a x · jag och y \u003d och y · j.

Men enligt företaget av bildandet av vektorer

a \u003d och x + och y.

a \u003d a x · i + och y · j.

Således uttryckte vi vektorn genom sina utsprång och orter av ett rektangulärt koordinatsystem (eller genom dess vektorprojektion).

Vektorprojektioner och x och en y som kallas eller komponenter i vektorn a. Den operation som vi utförde kallas sönderdelning av vektorn längs det axiellt turbinkoordinatsystemet.

Om vektorn är inställd i rymden, då

a \u003d A x · i + och y · j + och z · k.

Denna formel kallas huvudformeln för vektoralgebra. Naturligtvis kan det spelas in och så.

Antag i utrymmet finns två vektorer och. Skjuta upp från en godtycklig punkt O. Vektorer och. Vinkel Mellan vektorer och kallas det minsta hörnet. Betecknar .

Tänk på axeln l. Och jag kommer att posta på den en enda vektor (dvs vektorn som är lika med en).

I en vinkel mellan vektorn och axeln l. Förstå vinkeln mellan vektorer och.

Så låt l. - Vissa axlar och -vektor.

Beteckna En 1. och B 1. Projektioner på axeln l.följaktligen är prickarna A. och B.. Låt oss låtsas det En 1. har samordnat x 1, men B 1. - Samordna x 2 på axeln l..

Sedan utsprång Vektor på axeln l. Skillnaden kallas x 1 – x 2 mellan koordinaterna för ändprojektionerna och början av vektorn på denna axel.

Vektorprojektion på axeln l. Vi kommer att beteckna.

Det är uppenbart att om vinkeln mellan vektorn och axeln l. Akut, T. x 2> x 1och projektion x 2 – x 1\u003e 0; Om den här vinkeln är dum, då x 2< x 1 och projektion x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l.T. x 2= x 1 och x 2– x 1=0.

Således utsprånget av vektorn på axeln l. - Det här är längden på segmentet A 1 B 1tagen av S. definierad. Följaktligen är projektionen av vektorn på axeln ett tal eller skalär.

På samma sätt bestäms utsprånget av samma vektor till en annan. I det här fallet finns det processer av ändarna av den givna vektorn på den direkt på vilken den 2: a vektorn är.

Tänk på några av elnätet prognosegenskaper.

Linjärt beroende och linjärt oberoende vektorer av vektorer

Tänk på flera vektorer.

Linjär kombination Dessa vektorer kallas någon vektorvy, var är några siffror. Numren kallas en linjär kombinationskoefficienter. Det sägs också att det i detta fall är linjärt uttryckt genom dessa vektorer, d.v.s. Det visar sig vara linjära åtgärder.

Till exempel, om tre vektorer ges, kan vektorer betraktas som deras linjära kombination:

Om vektorn presenteras som en linjär kombination av vissa vektorer, säger de att han sönderdelad Enligt dessa vektorer.

Vektorer kallas linjärt beroendeOm det finns sådana nummer, inte alla lika noll det . Det är uppenbart att de angivna vektorerna kommer att vara linjärt beroende om någon av dessa vektorer är linjärt uttryckta i resten.

Annars, d.v.s. När förhållandet Det utförs endast av Dessa vektorer kallas linjärt oberoende.

Teorem 1. Alla två vektorer är linjärt beroende då och endast om de är kollinära.

Bevis:

På samma sätt kan du bevisa följande teorem.

Teorem 2. Tre vektorer är linjärt beroende om och endast om de är fack.

Bevis.

GRUND

Grund Satsen av olika vektorer än nollor kallas. Grundelementen kommer att betecknas.

I föregående stycke såg vi att två nonollyline-vektor på planet är linjärt oberoende. Därför, enligt Teorem 1, från föregående stycke, är grunden på planet någon två nonollyline-vektor på detta plan.

På samma sätt, i rymden linjärt oberoende några tre icke-konkurrerande vektorer. Följaktligen kommer grunden i rymden att ringa tre icke-konkurrerande vektorer.

Rättvist följande uttalande.

Sats. Antag i utrymmet angivet grunden. Då kan någon vektor representeras som en linjär kombination. var x., y., z. - några siffror. En sådan sönderdelning är unik.

Bevis.

Således tillåter basen en entydigt jämföra de tre siffrorna till varje vektor - sönderdelningskoefficienterna i denna vektor enligt basvektorn :. Sant och omvänd, varje trippelnummer x, y, z Med grunden kan du matcha vektorn om du gör en linjär kombination .

Om basen I. Siffrorna x, y, z kallad koordinater Vektor i den här basen. Vektorkoordinater betecknar.

Decartova koordinatsystem

Låt punkten i rymden O. Och tre icke-kompetensvektor.

Korgskoordinatsystem I rymden (på planet) finns en uppsättning punkt och bas, d.v.s. Total av punkten och tre icke-kompetensvektorer (2 icke-rigorösa vektorer) som kommer från denna punkt.

Punkt O. kallas början på koordinaterna; Direkt, som passerar genom ursprunget i riktning mot basvektorer, kallas axlar av koordinater - abscissens axel, ordinaten och applikationen. Planerna som passerar genom koordinatens axlar kallas koordinatplan.

Tänk på det valda koordinatsystemet godtyckligt punkt M.. Vi introducerar begreppet punktkoordinat M.. Vektor som förbinder koordinatens ursprung med en punkt M.. kallad radie vektor Punkter M..

Vektorn i den valda basen kan jämföra de tre siffrorna - dess koordinater: .

Radius-vektor koordinater M.. kallad koordinater för punkt M.. I det aktuella koordinatsystemet. M (x, y, z). Den första koordinaten kallas abscissen, den andra ordinaten, den tredje - applikat.

Kartesiska koordinaterna på planet definieras på liknande sätt. Här har punkten bara två koordinater - abscissa och ordinat.

Det är lätt att se det med ett givet koordinatsystem har varje punkt vissa koordinater. Å andra sidan är det för varje tre nummer en enda punkt som har dessa nummer som koordinater.

Om de vektorer som tagits som grund i det valda koordinatsystemet har en enda längd och är vinkelrätt mot, kallas koordinatsystemet kartones rektangulär.

Det är lätt att visa det.

Cosinusguiderna i vektorn bestämmer helt dess riktning, men ingenting talar om dess längd.

Algebraisk projektion av vektor Till någon axel är lika med produkten av vektorns längd på cosinusen av vinkeln mellan axeln och vektorn:

PR A B \u003d | B | COS (A, B) eller

Där A B är en skalär produkt av vektorer, | A | - Vektormodul A.

Instruktion. För att hitta projiceringen av vektorn pp a b in online-läge Du måste ange koordinaterna för vektorerna A och B. I det här fallet kan vektorn ställas in på planet (två koordinater) och i rymden (tre koordinater). Den erhållna lösningen sparas i Word-filen. Om vektorerna är inställda genom koordinaterna för punkterna, är det nödvändigt att använda denna kalkylator.

Klassificering av projektioner av vektor

Typer av prognoser per definition. Vektorprojektion

Typer av prognoser med koordinatsystem

Egenskaper för projektionsvektor

Geometrisk vektorprojektion är vektor (den har riktning).
Algebraisk vektorprojektion är ett tal.

Vektor projektionsteorem

Teorem 1. Projektion av summan av vektorer på vilken axel som helst är lika med utsprånget av komponenterna i vektorerna på samma axel.

Teorem 2. Den algebraiska projiceringen av vektorn på vilken axel som helst är lika med produkten av vektorns längd på cosinusen i vinkeln mellan axeln och vektorn:

PR A B \u003d | B | COS (A, B)

Typer av projektioner av vektor

projektion på oxaxeln.
projektion på Oy-axeln.
projektion på vektorn.

Projektion på oxaxeln	Oy-axelprojektion	Projektion på vektor
Om riktningen av vektorn a'b 'sammanfaller med ox-axelns riktning, har utsprånget av vektorn A'b' ett positivt tecken.	Om riktningen av vektorn A'B 'sammanfaller med Oy-axelns riktning, har utsprånget av vektorn A'B' ett positivt tecken.	Om riktningen av vektorn A'B 'sammanfaller med riktningen av NM-vektorn, har utsprånget av vektorn A'B' ett positivt tecken.
Om vektorriktningen är motsatt OX-axelns riktning, har projektionen av vektorn A'B ' negativt tecken.	Om riktningen av vektorn A'B 'är motsatt riktningen av Oy-axeln, har utsprånget av vektorn A'b' ett negativt tecken.	Om riktningen av vektorn A'B 'är motsatt riktningen för NM-vektorn, har utsprånget av vektorn A'B' ett negativt tecken.
Om Vector AB är OX-axeln parallell, är projektionen av vektorn A'B 'lika med AB-vektormodulen.	Om Vector AB är parallell Oy-axel, är projektionen av vektorn A'B 'lika med ab vektormodulen.	Om Vector AB är parallellt med NM-vektorn är utsprånget av vektorn A'B 'lika med AB-vektormodulen.
Om Vector AB är vinkelrätt mot OX-axeln, är projektionen A'B 'noll (nollvektor).	Om Vector AB är vinkelrätt mot Oy-axeln, är projektionen A'B 'noll (nollvektor).	Om Vector AB är vinkelrätt mot NM-vektorn är projektionen A'B 'noll (nollvektor).

1. Fråga: Kan utsprånget på vektorn har ett negativt tecken. Svar: Ja, vektorprognoser kan vara ett negativt värde. I det här fallet har vektorn motsatt riktning (se hur Axis OX och AB-vektorn är riktad)
2. Fråga: Kan en vektorprojektion sammanfaller med en vektormodul. Svar: Ja, kanske. I det här fallet är vektorerna parallella (eller ligga på en rak linje).
3. Fråga: Kan vektorns projektion vara noll (nollvektor). Svar: Ja, kanske. I detta fall är vektorn vinkelrätt mot lämplig axel (vektor).

Exempel 1. Vektorn (fig 1) bildar med OX-axeln (den är inställd av Vector A) Vinkel 60 o. Om OE är en skalaenhet, då | B | \u003d 4, så .

Faktum är att vektorns längd (geometriska utskjutning B) är 2, och riktningen sammanfaller med oxaxelns riktning.

Exempel 2. Vektorn (fig 2) bildar med oxaxel (med vektor A) vinkel (A, B) \u003d 120 O. Längd | B | Vektorn B är 4, därför pr a b \u003d 4 · cos120 o \u003d -2.

Faktum är att vektorns längd är lika med 2, och riktningen är motsatt axelriktningen.

Utformningen av olika linjer och ytor på planet gör att du kan bygga en visuell bild av objekt i form av ritning. Vi kommer att överväga rektangulär design, där designstrålarna är vinkelräta mot projektionsplanet. Projektion av vektor på planet Vektor \u003d (bild 3.22), innesluten mellan vinkelrät, utelämnas från början och slutet.

Fikon. 3,22. Vektor design vektor på planet.

Fikon. 3.23. Vektor vektorprojektion på axeln.

I vektoralgebra är det ofta nödvändigt att designa en vektor på axeln, det vill säga en direkt som har en viss orientering. En sådan konstruktion utförs enkelt om vektorn och axeln L ligger i samma plan (fig 3.23). Uppgiften är dock komplicerad när detta villkor inte är uppfyllt. Vi konstruerar vektorprojektionen på axeln när vektorn och axeln inte ligger i samma plan (bild 3.24).

Fikon. 3,24. Design av vektor på axeln
i allmänhet.

Genom ändarna av vektorn utför vi ett plan vinkelrätt mot den raka linjen L. I korsningen med detta direkta plan bestäms planet med två punkter A1 och B1-vektor, som kommer att kallas vektorprojektion av denna vektor. Uppgiften att hitta en vektorprojektion kan lösas lättare om vektorn ges i ett plan med axeln, vilket är möjligt att utföras, eftersom fria vektorer beaktas i vektoralgebraen.

Tillsammans med vektorprojektionen är det en skalärprojektion, som är lika med vektorprojektionsmodulen om vektorprojektionen sammanfaller med axelns L-orientering och är lika med dess motsatta om vektorprojektionen och L-axeln har motsatsen orientering. Scalarprojektion kommer att betecknas:

Vektor och skalärprognoser är inte alltid terminologiskt uppdelade strikt i praktiken. Brukar använda termen "projicering av vektorn", vilket innebär under denna skalärprojektion av vektorn. Vid lösning är det klart att skilja dessa begrepp. Efter den etablerade traditionen kommer vi att använda termen "projicering av vektorn", vilket innebär en skalärprojektion och "vektorprojektionen" - i enlighet med den etablerade betydelsen.

Vi bevisar teorem som låter dig beräkna skalärprojektionen av den angivna vektorn.

Teorem 5. Projektionen av vektorn på axeln L är lika med produkten av dess modul på cosinusen i vinkeln mellan vektorn och axeln, det vill säga

(3.5)

Fikon. 3,25. Hitta vektor och skalär
Vektor utsprång på axeln l
(och axeln är lika orienterad).

BEVIS. Vi kommer att utföra förkonstruktionen som låter dig hitta vinkel G.Mellan vektorn och axeln av L. För att göra detta konstruerar vi en rak Mn, parallellaxel L och passerar genom vektorns punkt (bild 3.25). Hörn och kommer att vara en önskad vinkel. Vi utför genom poäng A och om två plan, vinkelräta axel L. Vi får:

Eftersom axeln l och rak mn parallellt.

Vi markerar två fall Ömsesidig plats Vektor och axel L.

1. Låt vektorns projektion och axeln L lika orienterade (bild 3.25). Sedan motsvarande skalärprojektion .

2. Låt L vara orienterad i olika riktningar (bild 3.26).

Fikon. 3.26. Att hitta vektorn och skalärdesignerna i vektorn på axeln L (och L-axeln är orienterade i motsatta sidor).

I båda fallen är således godkännande av teorämnet rättvist.

Teorem 6. Om bindningen av vektorn ges till någon punkt hos axeln L, och denna axel är belägen i planet S, bildar vektoren med en vektorprojektion på planet s en vinkel och med en vektorprojektion på Axel L - En vinkel, dessutom, är vektorn av utsprånget bildad bland dem T.