Evenemangets oberoende. Villkorlig sannolikhet. Bayes teorem villkorligt sannolikhet Exempel

Ofta i livet står vi inför det faktum att du behöver utvärdera chanserna för uppkomsten av någon händelse. Är det värt att köpa en lotteri biljett eller inte, vad blir golvet i det tredje barnet i familjen, om det kommer att bli klart väder imorgon eller regn kommer att gå igen - otaliga exempel kan ges. I det enklaste fallet bör antalet gynnsamma resultat delas upp i det totala antalet händelser. Om det finns 10 vinnande biljettpartier, och alla är 50, är \u200b\u200bchanserna att erhålla priset lika med 10/50 \u003d 0,2, det vill säga 20 mot 100. Och hur man agerar om det finns flera händelser, och de är nära besläktade med varandra? I det här fallet kommer vi inte att vara intresserade av ingen enkel, men en villkorlig sannolikhet. Vad är det här värdet och hur kan det betraktas - det kommer att bli bara sagt i vår artikel.

Begrepp

Den villkorliga sannolikheten är chansen att förekomsten av en viss händelse, förutsatt att en annan händelse som är förknippad med den har redan hänt. Tänk på ett enkelt exempel med att kasta mynt. Om dragningen ännu inte har varit, kommer chansen att falla ut en örn eller mogen att vara densamma. Men om myntet lägger ner myntet i rad, skulle du vara överens om att förvänta sig den 6: e, 7: e, och ännu mer än den 10: e repetitionen av ett sådant resultat kommer att vara ologiska. Med varje återupptagning av örnen faller ut, är chansen att floden växa och förr eller senare kommer det att falla ut.

Villkorlig sannolikhetsformel

Låt oss nu förstå hur detta värde beräknas. Beteckna den första händelsen genom B, och den andra av A. Om chanserna för starten skiljer sig från noll, kommer följande jämlikhet att vara rättvis:

P (a | c) \u003d p (ab) / p (b), där:

• P (a | c) - den villkorliga sannolikheten för resultatet A;
• P (AV) är sannolikheten för gemensam uppkomst av händelser A och B;
• P (b) - sannolikheten för händelserna V.

Lite konvertera detta förhållande Vi erhåller P (AV) \u003d P (a | c) * p (b). Och om du kan ansöka kan du dra tillbaka arbetsformeln och använda den till ett godtyckligt antal händelser:

P (A 1, A 2, A 3, ... AP) \u003d P (A 1 | A 2 ... AP) * P (A 2 | A 3 ... AP) * P (A3 | A 4 ... ap) ... p (a p-1 | a p) * p (a p).

Öva

För att göra det lättare att räkna ut hur villkorligt beräknas, överväga några exempel. Antag att det finns en vas där det finns 8 chokladchoklad och 7 mint. I storlek är de samma och atigaden två av dem är konsekvent drog ut. Vad är chanserna för vad båda kommer att vara choklad? Vi introducerar notering. Låt resultatet, vilket innebär att det första choklad godis, resultatet i det andra choklad godis. Då visar det sig följande:

P (a) \u003d p (c) \u003d 8/15,

P (a | c) \u003d p (i | a) \u003d 7/14 \u003d 1/2,

P (AV) \u003d 8/15 x 1/2 \u003d 4/15 ≈ 0,27

Tänk på ett annat fall. Antag att det finns en två-orderfamilj och vi vet att minst ett barn är en tjej.

Vad är den villkorliga sannolikheten för att dessa föräldrar inte har? Som i det föregående fallet, låt oss börja med beteckningen. Låt P (b) - sannolikheten för att det finns minst en tjej i familjen, p (a | c) är sannolikheten för att det andra barnet också är en tjej, P (AB) är chansen att det faktum att det finns Två tjejer i familjen. Nu kommer vi att göra beräkningar. Totalt kan det finnas 4 olika kombinationer av barn av barn och samtidigt endast i ett fall (när två pojkar i familjen) kommer tjejer inte att vara bland barnen. Därför är sannolikheten p (b) \u003d 3/4 och p (av) \u003d 1/4. Följ sedan vår formel:

P (a | c) \u003d 1/4: 3/4 \u003d 1/3.

Du kan tolka resultatet så här: Om vi \u200b\u200binte var kända om ett av barnen, skulle chanserna för två tjejer vara 25 mot 100. Men eftersom vi vet att ett barn är en tjej, sannolikheten för att det finns Inga pojkar i familjen, det ökar till en tredjedel.

§ 1. Grundläggande begrepp

4. Villkorlig sannolikhet. Sannolikhet multiplikationsteorem.

Många uppgifter måste hitta sannolikheten för att kombinera händelser. MEN och IOm sannolikheten för händelser är kända MEN och I.

Tänk på följande exempel. Låt två mynt kastas. Hitta sannolikheten för två vapensköld. Vi har 4 ekvivalent parvis ofullständigt resultat som utgör en komplett grupp:

	1: a myntet	2: a myntet
1: a resultatet	vapen	vapen
2: a resultatet	vapen	inskrift
3: e resultatet	inskrift	vapen
4: e resultatet	inskrift	inskrift

På det här sättet, P (vapensköld, vapensköld) \u003d 1/4.

Låt oss nu veta att myntet föll på det första myntet. Hur kommer sannolikheten att emblemet visas på båda mynten? Eftersom emblemet föll på det första myntet, nu består hela gruppen av två ekvivalenta inkonsekvensresultat:

	1: a myntet	2: a myntet
1: a resultatet	vapen	vapen
2: a resultatet	vapen	inskrift

Samtidigt gynnar endast ett av resultaten händelsen (vapensköld, vapen). Därför med antaganden gjorda P (vapensköld, vapensköld) \u003d 1/2. Beteckna MEN Utseendet på två vapensköld, och genom I - Utseendet av vapenskölden på det första myntet. Vi ser att sannolikheten för en händelse MEN ändrats när det blev känt att händelsen B. inträffade.

Ny sannolikhet för evenemanget MEN, förutsatt att en händelse inträffade B.Vi kommer att beteckna P b (a).

På det här sättet, P (a) \u003d 1/4; P b (a) \u003d 1/2

Multiplikationsteorem. Sannolikheten att kombinera händelser A och B är lika med produkten av sannolikheten för en av dem på den villkorliga sannolikheten för en annan, beräknad enligt antagandet att den första händelsen utfördes, det vill säga

P (ab) \u003d p (a) p a (b)

(4)

Bevis. Vi bevisar giltigheten av relationen (4), baserat på den klassiska sannolikhetsdefinitionen. Låt möjliga resultat E 1, E 2., ..., E n. Denna erfarenhet utgör en komplett grupp av likvärdiga par av inkonsekventa händelser, varav evenemanget A. förmån M. Resultat och låt dem M. Exoddar L. Händelse gynnar resultat B.. Självklart, kombinationen av händelser A. och B. förmån L. av N. Möjliga testresultat. Detta ger ; ;
På det här sättet,
Ändrats av platser A. och B., på samma sätt
Multiplikationsteorem är lätt generaliserad till något, ändligt antal händelser. Så, till exempel, i fallet med tre händelser En 1., En 2., En 3. Vi har *
I allmänhet

Förhållandet (6) innebär att från två likheter (8) är en följd av en annan.

Låt, till exempel en händelse A. - Utseendet av vapenskölden med en enda kasta av myntet och evenemanget B. - Utseendet på en kartor av en bubnickdräkt när du tar bort kortet från däcket. Självklart de händelserna A. och B. Självständig.

Vid oberoende av händelser A. till B. Formel (4) kommer att ta en enklare form:

* Händelse A 1 A 2 A 3 Du kan tänka dig som en kombination av två händelser: händelser C \u003d A 1 A 2 och händelser En 3..

Villkorlig sannolikhet för händelse A vid utförande av en händelse B kallas förhållande Det antas här det.

Som en rimlig underbyggnad av denna definition noterar vi att när en händelse inträffar B. Det börjar spela rollen som en pålitlig händelse, så du måste kräva det. Händelsens roll A.spela AB, därför bör vara proportionell mot . (Det följer av den definition som proportionalitetskoefficienten är lika.)

Nu presenterar vi konceptet evenemangets oberoende.

Det betyder: Eftersom händelsen hände B.Sannolikhet för händelse A.inte förändrad.

Med hänsyn till bestämningen av den villkorliga sannolikheten kommer denna definition att minskas till relationen . Det är inte nödvändigt att kräva tillståndet av villkoret . Således kommer vi fram till den slutliga definitionen.

Händelser A och B kallas oberoende om P(Ab) \u003d P.(A.)P.(B.).

Det sista förhållandet är vanligtvis taget för att bestämma oberoende av två händelser.

Flera händelser kallas oberoende totalt, om sådana förhållanden utförs för någon delmängd av de aktuella händelserna. Så, till exempel tre händelser A, B.och C. Tullen oberoende i aggregat om följande fyra förhållanden utförs:

Vi ger ett antal uppgifter på villkorlig sannolikhet och oberoende av händelseroch deras lösningar.

Uppgift 21. Från det fulla däcket på 36 kort drar ut ett kort. Händelse A. - Kartröd, B. - Kort ess. Kommer de att vara oberoende?

Beslut. Genomföra beräkningar enligt den klassiska definitionen av sannolikheten, får vi det . Det betyder att händelserna A. och B.självständig.

Uppgift 22.. Lös samma uppgift för ett däck från vilket toppdamen har tagits bort.

Beslut. . Det finns inget oberoende.

Uppgift 23. Två växelvis kasta ett mynt. Vinner den vars vapensköld kommer att falla ut. Hitta sannolikheterna för att vinna för båda spelarna.

Beslut. Vi kan anta att elementära händelser är de slutliga sekvenserna av formen (0, 0, 1, ..., 0, 1) . För en längd i längd har motsvarande elementära händelse sannolikheten för en spelare som börjar kasta myntet först vinner om en elementär händelse implementeras, bestående av ett udda antal nollor och enheter. Därför är sannolikheten för hans vinnande lika

Vinsteren i den andra spelaren motsvarar det jämnt antalet nollor och enheter. Han är lika

Det följer av lösningen att spelet slutar på en begränsad tid med en sannolikhet för 1 (sedan).

Uppgift 24. För att förstöra bron måste du slå minst 2 bomber. Tappade 3 bomber. Sannolikvärdena för att slå bomber är lika, 0, 1; 0, 3; 0, 4. Hitta sannolikheten för broförstörelse.

Beslut. Låt händelserna a, b, c bestå av att komma in i den 1: a, 2: a, 3: e bomben. Därefter uppstår förstörelsen av bron endast när händelsen realiseras på grund av det faktum att komponenterna i denna formel är i par, och faktorerna i termerna är oberoende, den önskade chansen att vara lika

0,1∙0,3∙0,4 + 0,1∙0,3∙0,6 + 0,1∙0,7∙0,4 + 0,9∙0,3∙0,4 = 0,166.

Uppgift 25.Två lastfartyg ska vara förtöjda till samma myr. Det är känt att var och en av dem kan vara lika sannolikt att komma upp när som helst av fasta dagar och bör lossas 8 timmar. Hitta sannolikheten för att fartyget som kom till den andra inte behöver vänta tills det första fartyget avslutar lossning.

Beslut.Vi kommer att mäta tid i dag och fraktioner av dagen. De dåvarande elementära händelserna är ett par siffror som fyller en enda torg, där x - Ankomsttiden för det första skeppet, y. - Ankomsttiden för det andra fartyget. Alla fyrkantiga punkter är lika lika. Detta innebär att sannolikheten för varje händelse (dvs uppsättningar från en enda kvadrat) är lika med området i regionen som motsvarar denna händelse. Händelse A. Den består av en enda fyrkantig punkt för vilken ojämlikhet utförs. Denna ojämlikhet motsvarar det faktum att det fartyg som kom först kommer att ha tid att lossa vid ankomsten av det andra fartyget. Satsen av dessa punkter bildar två rektangulär anrogenfri triangel med en sida 2/3. Den totala ytan av dessa trianglar är 4/9. På det här sättet, .

Uppgift 26.Examen på sannolikhetsteorin var 34 ställe. En student extraherar två gånger en biljett från de föreslagna biljetterna (utan att återvända). Student förberedde bara på 30 biljetter? Vad är sannolikheten för att han kommer att klara provet genom att välja för första gången "misslyckad"Biljett?

Beslut.Ett slumpmässigt urval är att i rad extraherar de en biljett två gånger, och biljetten som sträckes för första gången returneras inte. Låt händelsen I Det är att den första ska tas ut " misslyckad" Biljett och evenemang MENdet är att den andra kommer att tas ut framgångsrik"Biljett. Självklart de händelserna MEN och I Beroende, eftersom biljetten som retarded för första gången inte återlämnas till alla biljetter. Det är nödvändigt att hitta sannolikheten för en händelse. Au.

Med formeln för den villkorliga sannolikheten; ; , så.

Som noterat i början av vår kurs menar vi att experimentet utförs vid ett visst fast komplex av C. C. Om dessa villkor har förändrats ändras sannolikheten för händelser som rör detta experiment också. En sådan förändring kan alltid förstås som utseendet på en viss händelse (förutom det ursprungliga komplexet av förhållanden k). För att förstå hur man bestämmer i det här fallet en ny (villkorlig) sannolikhet, överväga motsvarande frekvenser. Låt experimentet utföras n gånger, händelsen i inträffade n (b) tider och händelser A och B tillsammans med n (ab) gånger. Sedan "" villkorlig "frekvens av händelser och bland de experiment där evenemanget är lika med

Med tanke på att sannolikheten ärvernar egenskaperna hos frekvensen, kan du ge följande

Definition 1. En konditionerad sannolikhet för en händelse A, förutsatt att en händelse inträffade , ringde numret

Applicera ibland en annan beteckning

Exempel 1. Symmetrisk myntkast två gånger. Det är känt att en vapensköld föll (händelse b). Hitta sannolikheten för händelser A, vilket är att vapenskölden föll under den första kasta.

Lätt att beräkna det , men . Därför följer det det

Det är lätt att verifiera att med en fast i den villkorliga sannolikheten har följande egenskaper:

Således har den villkorliga sannolikheten alla de grundläggande sannolikhetsegenskaperna.

Följande teorem spelar en mycket viktig roll.

Multiplikationsteorem. Låt A och B - två händelser och sedan

Dess bevis följer av bestämningen av den villkorliga sannolikheten. Fördelarna med denna teorem är att ibland kan vi beräkna den villkorliga sannolikheten direkt och sedan använda den för att beräkna

Exempel 2. I urnen av 5 bollar - 3 vit och 2 svart. Vi väljer två bollar utan återkomst. Hitta sannolikheten för att båda bollarna är vita.

Låt händelsen bestå i det faktum att den första bollen är vit, och evenemanget är den andra bollen vit. Lätt att beräkna det När vi tog ut en boll och vet att det är vit, har vi 4 bollar och bland dem 2 vita. Sedan . Av multiplikationsteorem

Multiplikationsteorem är lätt att sträcka sig till ett begränsat antal händelser.

Corollary 1. Låt - slumpmässiga händelser, då

Om utseendet på en händelse i inte förändrar sannolikheten för en händelse A, det vill säga. Sådana händelser kallas naturligtvis oberoende. I det här fallet, av multiplikationsteorem vi får

Det sista förhållandet är symmetriskt i förhållande till A och B och är vettigt vid. Därför tar vi det som en definition.

Definition 2. Händelser A och B kallas oberoende om

Exempel 3. Två symmetriska mynt kasta upp. Evenemang A är att myntet föll på det första myntet, och evenemanget i det andra myntet föll ut vapenskölden.

Det är intuitivt att sådana händelser ska vara oberoende. Verkligen, ,,

Således är A och B oberoende i definitionen av definition. Det är mindre uppenbart att oberoende händelser A och C, där det betyder att endast en vapensköld föll ut (bevisa!).

Det är svårare att bestämma oberoende av mer än två händelser.

Definition 3. Händelser ringer oberoende totalt,om för alla och eventuella händelser från de anses rättvisa

Vi kommer att visa på de exempel som parvis självständighet och uppfyllandet av den sista jämlikheten för listan över alla händelser inte räcker till oberoende i aggregatet.

Exempel 4. Den korrekta tetraederet är målat med tre färger: ett ansikte - i blått, den andra - i rött, den tredje är i grön, och den fjärde finns det alla tre färger. Denna tetraeder kastar upp och noterade vad ansiktet det föll.

Låt mig betyda utseendet av blått, rött, - grönt. Sedan, ,,

Härifrån får vi det. Liknar andra par. Således har vi par av självständighet. Men

Uppgift 1. Kom upp med ett exempel på experiment och tre händelser ,, för vilka, men som inte är oberoende.

Kan ge följande mer allmänna

Definition 4. Låt några klasser av händelser.

De kallas oberoende om några händelser är oberoende på aggregat.

Den typiska situationen beskrivs i följande exempel.

Exempel 5. Symmetrisk spelkube kastar upp två gånger. Indikerar en uppsättning händelser som är förknippade med resultatet av den första kasta. Bestämd på samma sätt för resultatet av den andra kasta. Då - spelar ingen roll.

I många uppgifter är följande resultat användbart.

Proposition 1. Om händelser A och i oberoende, då oberoende och två av följande :.

Bevis. Vi bevisar oberoende.

De återstående händelsens oberoende föreslås att bevisa självständigt.

I många situationer möter vi med sådana experiment som kan sönderdelas i två (eller flera) steg. Vid första etappen har vi flera alternativ, och fråga något om vad som hände i slutet - i andra etappen. I det här fallet är resultatet extremt användbart. Låt oss börja med följande definition.

Definition 5. Händelser utgör en komplett grupp av händelser (partitioneringsutrymme) om

Teorem 1. Låt händelserna utgöra en komplett grupp av händelser, för alla och - en godtycklig händelse. Sedan - Formel full sannolikhet.

Bevis. Som händelser utgör en komplett grupp, så har vi

Härifrån får vi

Där vi använde multiplikationsteorem.

Exempel 6. På vissa fabriker produceras 30% av produkterna av maskinen A, 25% av produkten - maskinen B, och resten av produkterna - bilen S. Från bilen och äktenskapet finns 1% av de produkter som produceras av Det är bilen 1,2%, och bilen C - 2%. Av alla produkter väljs en produkt slumpmässigt. Vad är sannolikheten för att den är defekt?

Låt det hänvisa till händelsen att det valda objektet görs på maskinen A, på maskinen B, - med bil C. Beteckna med d en händelse som den valda detaljerna är defekt. Evenemang utgör en komplett grupp av händelser. Under uppgiften av uppgiften

Händelse. Utrymme för elementära händelser. Tillförlitlig händelse, en omöjlig händelse. Gemensamma, ofullständiga händelser. Lika händelser. Full grupp av händelser. Operationer på händelser.

Händelse - Detta är ett fenomen som kan sägas att det förekomma eller händer inte, beroende på själva evenemangets natur.

Under elementära händelserI samband med ett visst test, förstå alla de okomplicerade resultaten av detta test. Varje händelse som kan uppstå som ett resultat av detta test kan betraktas som en mängd olika elementära händelser.

Utrymme för elementära händelser kallas en godtycklig uppsättning (ändlig eller oändlig). Dess element - poäng (elementära händelser). SubSet av utrymme för elementära händelser kallas händelser.

Pålitlig händelse kallas en händelse som på grund av detta test nödvändigtvis kommer att uppstå. (betecknar e).

Omöjlig händelse kallas en sådan händelse som beror på detta test kan inte hända; (betecknar U). Till exempel är utseendet på en av de sex punkterna under ett kasta av spelkuben en tillförlitlig händelse, och utseendet på 8 poäng är omöjligt.

Två händelser kallas gemensam (kompatibel) i denna erfarenhet, om utseendet på en av dem inte utesluter framväxten av en annan.

Två händelser kallas icke-sängar (inkompatibel) I denna erfarenhet, om de inte kan förekomma tillsammans i samma test. Flera händelser kallas ofullständiga om de är i par som är oförståeliga.

Forms början

Slut på formen

Händelse är ett fenomen som kan sägas att det förekomma eller händer inte, beroende på själva evenemangets natur. Händelser betecknas med de stora bokstäverna i det latinska alfabetet A, B, C, ... Eventuellt uppstår på grund av testa. Kasta exempelvis myntet - provet, utseendet på vapenskölden - händelse; Ge lampan från lådan - testet, det är defekt - händelse; Vi tar ut slumpmässig boll från lådan - testet, bollen visade sig vara svart - händelse. Slumpmässig händelse kallas en händelse som kan inträffa eller hända inte Under detta test. Till exempel, ta bort slumpmässigt ett kort från däcket, tog du ess; Fotografering, pilarna faller in i målet. Endast teori om sannolikhetsstudier massa Slumpmässiga händelser. En tillförlitlig händelse kallas en händelse, vilket på grund av detta test nödvändigtvis kommer att uppstå. (betecknar e). Den omöjliga händelsen kallas en sådan händelse som beror på detta test. kan inte hända; (betecknar U). Till exempel är utseendet på en av de sex punkterna under ett kasta av spelkuben en tillförlitlig händelse, och utseendet på 8 poäng är omöjligt. Lika händelser är sådana händelser, varav vilka ingen fördel i utseende Oftare än andra under många test som utförs med samma förhållanden. Förenliga inkompatibla händelser är händelser, varav två inte kan hända ihop. Sannolikheten för en slumpmässig händelse är förhållandet mellan antalet händelser som gynnar denna händelse, till det totala antalet jämviktsliga händelser: P (a) \u003d där A är en händelse; P (a) - sannolikheten för en händelse; N är det totala antalet lika och inkompatibla händelser; N (a) är det antal händelser som gynnar händelsen A. Detta är en klassisk definition av sannolikheten för en slumpmässig händelse. Klassisk sannolikhetsdefinition uppstår för provning med ett begränsat antal jämviktsprovresultat. Låt n skott på målet, som visade sig vara m träffar. Förhållandet W (a) \u003d kallas den relativa statistiska frekvensen för förekomsten av händelse A. Följaktligen är W (a) den statistiska frekvensen av slåtning. Vid en serie skott (tabell 1) kommer den statistiska frekvensen att fluktuera om ett visst konstant nummer. Detta nummer är lämpligt att acceptera för att uppskatta sannolikheten för att slå. Sannolikhet för händelse A kallas det okända numret P, nära vilket värdena för de statistiska frekvenserna av händelsen A är monterad med en ökning av antalet test. Detta är en statistisk beteckning av sannolikheten för en slumpmässig händelse.

Operationer på händelser

Enligt de elementära händelserna som är förknippade med ett visst test, förstår de alla de okomplicerade resultaten av detta test. Varje händelse som kan uppstå som ett resultat av detta test kan betraktas som en mängd olika elementära händelser. Utrymmet av elementära händelser kallas en godtycklig uppsättning (ändlig eller oändlig). Dess element - poäng (elementära händelser). SubSet av utrymme för elementära händelser kallas händelser. Alla kända relationer och uppsättningar på uppsättningar överförs till händelser. Det sägs att händelse A är ett speciellt fall av händelser B (eller B är resultatet a) om den inställda A är en delmängd av B. Ange detta förhållande såväl som för uppsättningar: A ⊂ B eller B ⊃ A. Således, sålunda, Förhållandet A ⊂ B Det innebär att alla elementära händelser som ingår i A också ingår i B, det vill säga när en händelse inträffar, uppstår en händelse B också. I det här fallet, om en ⊂ B och B ⊂ A, då a \u003d B. Händelse A, som händer då och endast om händelsen A inte uppstår, kallas motsatt händelse A. Eftersom i varje test uppstår en och endast en av händelserna - A eller A, då p (a) + p ( a) \u003d 1 eller p (a) \u003d 1 - p (a). Föreningen eller summan av händelser A och B kallas en händelse C, som uppstår om och endast om eller förekommer en, eller en händelse B uppträder eller förekommer A och B samtidigt. Detta betecknas med C \u003d A ∪ B eller C \u003d A + B. Kombinera händelser A 1, A 2, ... A n kallas en händelse som uppstår och endast om åtminstone en av dessa händelser inträffar. Den betecknas med kombinationen av händelser A 1 ∪ A 2 ∪ ... ∪ A N, eller A K, eller A 1 + A 2 + ... + A n. Korsningen eller produkten av händelser A och B kallas en händelse D, som uppstår om endast när händelser A och B förekommer samtidigt och betecknar D \u003d A ∩ B eller D \u003d A × B. Genom att kombinera eller av händelsernas arbete A 1, A 2, ... A n kallas en händelse som uppstår om och endast om händelsen en 1 inträffar och händelsen A 2, etc. och händelsen a n. Justeringen är betecknad enligt följande: A 1 ∩ A 2 ∩ ... ∩ A N eller A K, eller en 1 × A 2 × ... × A n.

Ämne nummer 2. Axiomatisk definition av sannolikhet. Klassisk, statistisk, geometrisk definition av sannolikheten för en händelse. Egenskaper sannolikt. Teoremer av tillägg och multiplikation av sannolikheter. Oberoende händelser. Villkorlig sannolikhet. Sannolikheten för förekomst av minst en av händelserna. Formel full sannolikhet. Formel Bayes.

Numerisk åtgärd av graden av objektiva möjligheter till händelsen kallas sannolikheten för evenemanget. Denna definition är det kvalitativt reflekterande konceptet av sannolikheten för en händelse inte matematisk. Så att det blir sådant är det nödvändigt att bestämma dess kvalitativt.

Enligt klassisk definition Sannolikheten för händelser A är lika med förhållandet mellan antalet fall som bidrar till det totala antalet fall, det vill säga:

Där p (a) är sannolikheten för händelse A.

Antalet fall av bidragsevenemang a

Det totala antalet fall.

Statistisk definition av sannolikhet:

Den statistiska sannolikheten för händelse A kallas den relativa frekvensen av utseendet på denna händelse i de producerade försöken, det vill säga:

Var - den statistiska sannolikheten för händelse A.

Relativ frekvens (frekvens) händelser A.

Antalet test där händelse A uppträdde

Totalt test.

I motsats till den "matematiska" sannolikheten som beaktas i klassisk definition är den statistiska sannolikheten en egenskap hos en experimentell experimentell.

Om det finns några fall som gynnas av evenemanget A, som bestäms direkt, utan några test, det vill säga andelen av de som faktiskt producerade test där händelsen a har dykt upp.

Geometrisk sannolikhetsdefinition:

Den geometriska sannolikheten för händelse A kallas förhållandet mellan måttet på den gynnade uppkomsten av en händelse A, så långt som alla områden, det vill säga:

I ett-dimensionellt fall:

Du bör uppskatta sannolikheten för punkter på CD /

Det visar sig att denna sannolikhet inte beror på CD: s plats på segmentet av AB, och beror bara på dess längd.

Sannolikheten för punkter från att komma in beror inte på formulären eller från platsen i A, och beror bara på området för detta segment.

Villkorlig sannolikhet

Sannolikheten kallas villkorlig Om det beräknas under vissa förhållanden och anges:

Denna sannolikhet för händelse A. beräknas förutsatt att händelsen redan har hänt.

Exempel. Vi producerar ett test, ta bort två kort från däcket: den första sannolikheten är ovillkorlig.

Beräkna sannolikheten för att extrahera däckens ess:

Beräkna utseendet på en 2-Fuza från däcket:

A * B - det gemensamma utseendet av händelser

– sannolikhet multiplikationsteorem

Följd:

Multiplikationsteorem för det gemensamma utseendet av händelser är:

Det vill säga, varje efterföljande sannolikhet beräknas med bokföringen att alla tidigare villkor redan har inträffat.

Händelse självständighet:

Oberoende kallas 2 händelser, om utseendet på en inte strider mot uppkomsten av en annan.

Till exempel, om esserna från däcken återvinns igen, är de oberoende. Upprepad, det vill säga kortet såg och återvände tillbaka till däck.

Gemensamma och ofullständiga händelser:

Gemensam2 händelser kallas om utseendet på en av dem inte strider mot uppkomsten av en annan.

Teorem för tillägget av sannolikheten för gemensamma händelser:

Sannolikheten för utseendet på en av två gemensamma händelser är lika med summan av sannolikheten för dessa händelser utan deras gemensamma utseende.

För tre gemensamma händelser:

Infobiliteter kallas händelser, om inga två av dem kan visas samtidigt som ett resultat av ett enda test av ett slumpmässigt experiment.

Sats:Sannolikheten för utseendet på en av två inkonsekventa händelser är lika med summan av sannolikheten för dessa händelser.

Sannolikheten för mängden händelser:

Sannolikhetstillägg Teorem:

Sannolikheten för mängden av det ändliga antalet ofullständiga händelser är lika med summan av sannolikheten för dessa händelser:

Corollary 1:

Summan av sannolikheten för händelser som bildar hela gruppen är lika med en:

Corollary 2:

Kommentar:Det bör betonas att det diskuterade tillägget är endast tillämpligt för ofullständiga händelser.

Sannolikheten för motsatta händelser:

Motsattde två enda möjliga händelserna som bildar en komplett grupp kallas. En av de två motsatta händelserna indikeras genom MEN, Andra - genom.

Exempel: Hit och missar när du skott av mål - motsatta händelser. Om A - Hit, sedan - Slip.

Sats:Summan av sannolikheten för motsatta händelser är lika med en:

Anteckning 1:Om sannolikheten för en av de två motsatta händelserna indikeras med p, är sannolikheten för en annan händelse betecknad med q på detta sätt, på grund av föregående teorem:

Anteckning 2:Vid lösning av uppgifter för att hitta sannolikheten för en händelse A ofta är det ofta fördelaktigt att först beräkna sannolikheten för en händelse och sedan hitta den önskade sannolikheten med formeln:

Sannolikheten för minst en händelse är utseendet:

Antag att som ett resultat av experimentet kan en del eller någon händelse visas.

Sats:Sannolikheten för minst en händelse från uppsättningen oberoende händelser är lika med skillnaden mellan enheten och deras sannolikhet är inte utseendet på händelser.