Рассмотрим криволинейную трапецию, ограниченную осью Ох, кривой y=f(x) и двумя прямыми: х=а и х=Ь (рис. 85). Возьмем произвольное значение х (только не а и не Ь). Дадим ему приращение h = dx и рассмотрим полоску, ограниченную прямыми АВ и CD, осью Ох и дугой BD, принадлежащей рассматриваемой кривой. Эту полоску будем называть элементарной полоской. Площадь элементарной полоски отличается от площади прямоугольника ACQB на криволинейный треугольник BQD, а площадь последнего меньше площади прямоугольника BQDM со сторонами BQ = =h=dx} QD=Ay и площадью, равной hAy = Ay dx. С уменьшением стороны h сторона Ду также уменьшается и одновременно с h стремится к нулю. Поэтому площадь BQDM является бесконечно малой второго порядка. Площадь элементарной полоски есть приращение площади, а площадь прямоугольника ACQB, равная АВ-АС==/(х) dx> есть дифференциал площади. Следовательно, саму площадь найдем, интегрируя ее дифференциал. В пределах рассматриваемой фигуры независимое переменное л: меняется от а до b, поэтому искомая площадь 5 будет равна 5= \f(x) dx. (I) Пример 1. Вычислим площадь, ограниченную параболой у - 1 -х*, прямыми X =--Fj-, х = 1 и осью О* (рис. 86). у Рис. 87. Рис. 86. 1 Здесь f(x)= 1 - л?, пределы интегрирования а = - и £=1, поэтому J [*-т]\- -fl -- Г -1-±Л_ 1V1 -l-l-Ii-^ 3) |_ 2 3V 2 / J 3 24 24* Пример 2. Вычислим площадь, ограниченную синусоидой y = sinXy осью Ох и прямой (рис. 87). Применяя формулу (I), получаем Л 2 S= J sinxdx= [-cos x]Q =0 -(-1) = lf Пример 3. Вычислим площадь, ограниченную дугой синусоиды ^у = sin jc, заключенной между двумя соседними точками пересечения с осью Ох (например, между началом координат и точкой с абсциссой я). Заметим, что из геометрических соображений ясно, что эта площадь будет в два раза больше площади предыдущего примера. Однако проделаем вычисления: я 5= | s\nxdx= [ - cosх}* - - cos я-(-cos 0)= 1 + 1 = 2. о Действительно, наше предположение оказалось справедливым. Пример 4. Вычислить площадь, ограниченную синусоидой и ^ осью Ох на одном пе-х риоде (рис. 88). Предварительные рас-рис суждения позволяют предположить, что площадь получится в четыре раза больше, чем в пр. 2. Однако, произведя вычисления, получим «я Г,*я S - \ sin х dx = [ - cos х]0 = = -cos 2л -(-cos 0) = - 1 + 1 = 0. Этот результат требует разъяснений. Для выяснения сути дела вычисляем еще площадь, ограниченную той же синусоидой у = sin л: и осью Ох в пределах от л до 2я. Применяя формулу (I), получаем 2л $2л sin хdx=[ - cosх]л =-cos 2я~}-с05я=- 1-1 =-2. я Таким образом, видим, что эта площадь получилась отрицательной. Сравнивая ее с площадью, вычисленной в пр. 3, получаем, что их абсолютные величины одинаковы, а знаки разные. Если применить свойство V (см. гл. XI, § 4), то получим 2л я 2л J sin xdx= J sin * dx [ sin x dx = 2 + (- 2) = 0То, что получилось в этом примере, не является случайностью. Всегда площадь, расположенная ниже оси Ох, при условии, что независимое переменное изменяется слева направо, получается при вычислении с помощью интегралов отрицательной. В этом курсе мы всегда будем рассматривать площади без знаков. Поэтому ответ в только что разобранном примере будет таким: искомая площадь равна 2 + |-2| = 4. Пример 5. Вычислим площадь ОАВ, указанную на рис. 89. Эта площадь ограничена осью Ох, параболой у = - хг и прямой у - =-х+\. Площадь криволинейной трапеции Искомая площадь ОАВ состоит из двух частей: ОАМ и МАВ. Так как точка А является точкой пересечения параболы и прямой, то ее координаты найдем, решая систему уравнений 3 2 У = тх. (нам нужно найти только абсциссу точки А). Решая систему, находим л; = ~. Поэтому площадь приходится вычислять по частям, сначала пл. ОАМ, а затем пл. МАВ: .... Г 3 2 , 3 Г хП 3 1 / 2 У 2 . QAM-^х и не меняет на нем свой знак (рис. 1). Площадь криволинейной трапеции можно обозначить S(G).

Определенный интеграл ʃ а b f(x)dx для функции f(x), являющийся непрерывной и неотрицательной на отрезке [а; b], и есть площадь соответствующей криволинейной трапеции.

То есть, чтобы найти площадь фигуры G, ограниченной линиями y = f(x), у = 0, х = а и х = b, необходимо вычислить определенный интеграл ʃ а b f(x)dx.

Таким образом, S(G) = ʃ а b f(x)dx.

В случае, если функция y = f(x) не положительна на [а; b], то площадь криволинейной трапеции может быть найдена по формуле S(G) = -ʃ а b f(x)dx.

Пример 1.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 3 ; у = 1; х = 2.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая показана штриховкой на рис. 2.

Искомая площадь равна разности между площадями криволинейной трапеции DACE и квадрата DABE.

Используя формулу S = ʃ а b f(x)dx = S(b) – S(a), найдем пределы интегрирования. Для этого решим систему двух уравнений:

{у = х 3 ,
{у = 1.

Таким образом, имеем х 1 = 1 – нижний предел и х = 2 – верхний предел.

Итак, S = S DACE – S DABE = ʃ 1 2 x 3 dx – 1 = x 4 /4| 1 2 – 1 = (16 – 1)/4 – 1 = 11/4 (кв. ед.).

Ответ: 11/4 кв. ед.

Пример 2.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = √х; у = 2; х = 9.

Решение.

Заданные линии образуют фигуру АВС, которая ограничена сверху графиком функции

у = √х, а снизу графиком функции у = 2. Полученная фигура показана штриховкой на рис. 3.

Искомая площадь равна S = ʃ а b (√x – 2). Найдем пределы интегрирования: b = 9, для нахождения а, решим систему двух уравнений:

{у = √х,
{у = 2.

Таким образом, имеем, что х = 4 = а – это нижний предел.

Итак, S = ∫ 4 9 (√x – 2)dx = ∫ 4 9 √x dx –∫ 4 9 2dx = 2/3 x√х| 4 9 – 2х| 4 9 = (18 – 16/3) – (18 – 8) = 2 2/3 (кв. ед.).

Ответ: S = 2 2/3 кв. ед.

Пример 3.

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями у = х 3 – 4х; у = 0; х ≥ 0.

Решение.

Построим график функции у = х 3 – 4х при х ≥ 0. Для этого найдем производную у’:

y’ = 3x 2 – 4, y’ = 0 при х = ±2/√3 ≈ 1,1 – критические точки.

Если изобразить критические точки на числовой оси и расставить знаки производной, то получим, что функция убывает от нуля до 2/√3 и возрастает от 2/√3 до плюс бесконечности. Тогда х = 2/√3 – точка минимума, минимальное значение функции у min = -16/(3√3) ≈ -3.

Определим точки пересечения графика с осями координат:

если х = 0, то у = 0, а значит, А(0; 0) – точка пересечения с осью Оу;

если у = 0, то х 3 – 4х = 0 или х(х 2 – 4) = 0, или х(х – 2)(х + 2) = 0, откуда х 1 = 0, х 2 = 2, х 3 = -2 (не подходит, т.к. х ≥ 0).

Точки А(0; 0) и В(2; 0) – точки пересечения графика с осью Ох.

Заданные линии образуют фигуру ОАВ, которая показана штриховкой на рис. 4.

Так как функция у = х 3 – 4х принимает на (0; 2) отрицательное значение, то

S = |ʃ 0 2 (x 3 – 4x)dx|.

Имеем: ʃ 0 2 (x 3 – 4х)dx =(x 4 /4 – 4х 2 /2)| 0 2 = -4, откуда S = 4 кв. ед.

Ответ: S = 4 кв. ед.

Пример 4.

Найти площадь фигуры, ограниченной параболой у = 2х 2 – 2х + 1, прямыми х = 0, у = 0 и касательной к данной параболе в точке с абсциссой х 0 = 2.

Решение.

Сначала составим уравнение касательной к параболе у = 2х 2 – 2х + 1 в точке с абсциссой х₀ = 2.

Так как производная y’ = 4x – 2, то при х 0 = 2 получим k = y’(2) = 6.

Найдем ординату точки касания: у 0 = 2 · 2 2 – 2 · 2 + 1 = 5.

Следовательно, уравнение касательной имеет вид: у – 5 = 6(х – 2) или у = 6х – 7.

Построим фигуру, ограниченную линиями:

у = 2х 2 – 2х + 1, у = 0, х = 0, у = 6х – 7.

Г у = 2х 2 – 2х + 1 – парабола. Точки пересечения с осями координат: А(0; 1) – с осью Оу; с осью Ох – нет точек пересечения, т.к. уравнение 2х 2 – 2х + 1 = 0 не имеет решений (D < 0). Найдем вершину параболы:

x b = 2/4 = 1/2;

y b = 1/2, то есть вершина параболы точка В имеет координаты В(1/2; 1/2).

Итак, фигура, площадь которой требуется определить, показана штриховкой на рис. 5.

Имеем: S О A В D = S OABC – S ADBC .

Найдем координаты точки D из условия:

6х – 7 = 0, т.е. х = 7/6, значит DC = 2 – 7/6 = 5/6.

Площадь треугольника DBC найдем по формуле S ADBC = 1/2 · DC · BC. Таким образом,

S ADBC = 1/2 · 5/6 · 5 = 25/12 кв. ед.

S OABC = ʃ 0 2 (2x 2 – 2х + 1)dx = (2x 3 /3 – 2х 2 /2 + х)| 0 2 = 10/3 (кв. ед.).

Окончательно получим: S О A В D = S OABC – S ADBC = 10/3 – 25/12 = 5/4 = 1 1/4 (кв. ед).

Ответ: S = 1 1/4 кв. ед.

Мы разобрали примеры нахождения площадей фигур, ограниченных заданными линиями . Для успешного решения подобных задач нужно уметь строить на плоскости линии и графики функций, находить точки пересечения линий, применять формулу для нахождения площади, что подразумевает наличие умений и навыков вычисления определенных интегралов.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

У любого определенного интеграла (который существует) есть очень хороший геометрический смысл. На уроке я говорил, что определенный интеграл – это число. А сейчас пришла пора констатировать еще один полезный факт. С точки зрения геометрии определенный интеграл – это ПЛОЩАДЬ .

То есть, определенному интегралу (если он существует) геометрически соответствует площадь некоторой фигуры . Например, рассмотрим определенный интеграл . Подынтегральная функция задает на плоскости некоторую кривую (её можно всегда при желании начертить), а сам определенный интеграл численно равен площади соответствующей криволинейной трапеции.

Пример 1

Это типовая формулировка задания. Первый и важнейший момент решения – построение чертежа . Причем, чертеж необходимо построить ПРАВИЛЬНО .

При построении чертежа я рекомендую следующий порядок: сначала лучше построить все прямые (если они есть) и только потом – параболы, гиперболы, графики других функций. Графики функций выгоднее строить поточечно , с техникой поточечного построения можно ознакомиться в справочном материале .

Там же можно найти очень полезный применительно к нашему уроку материал – как быстро построить параболу.

В данной задаче решение может выглядеть так.
Выполним чертеж (обратите внимание, что уравнение задает ось ):

Штриховать криволинейную трапецию я не буду, здесь очевидно, о какой площади идет речь. Решение продолжается так:

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

Ответ:

У кого возникли трудности с вычислением определенного интеграла и применением формулы Ньютона-Лейбница , обратитесь к лекции Определенный интеграл. Примеры решений .

После того, как задание выполнено, всегда полезно взглянуть на чертеж и прикинуть, реальный ли получился ответ. В данном случае «на глазок» подсчитываем количество клеточек в чертеже – ну, примерно 9 наберётся, похоже на правду. Совершенно понятно, что если бы у нас получился, скажем, ответ: 20 квадратных единиц, то, очевидно, что где-то допущена ошибка – в рассматриваемую фигуру 20 клеточек явно не вмещается, от силы десяток. Если ответ получился отрицательным, то задание тоже решено некорректно.

Пример 2

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , и осью

Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока.

Что делать, если криволинейная трапеция расположена под осью ?

Пример 3

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , и координатными осями.

Решение: Выполним чертеж:

Если криволинейная трапеция полностью расположена под осью , то её площадь можно найти по формуле:
В данном случае:

Внимание! Не следует путать два типа задач:

1) Если Вам предложено решить просто определенный интеграл без всякого геометрического смысла, то он может быть отрицательным.

2) Если Вам предложено найти площадь фигуры с помощью определенного интеграла, то площадь всегда положительна! Именно поэтому в только что рассмотренной формуле фигурирует минус.

На практике чаще всего фигура расположена и в верхней и в нижней полуплоскости, а поэтому, от простейших школьных задачек переходим к более содержательным примерам.

Пример 4

Найти площадь плоской фигуры, ограниченной линиями , .

Решение: Сначала нужно выполнить чертеж. Вообще говоря, при построении чертежа в задачах на площадь нас больше всего интересуют точки пересечения линий. Найдем точки пересечения параболы и прямой . Это можно сделать двумя способами. Первый способ – аналитический. Решаем уравнение:

Значит, нижний предел интегрирования , верхний предел интегрирования .
Этим способом лучше, по возможности, не пользоваться.

Гораздо выгоднее и быстрее построить линии поточечно, при этом пределы интегрирования выясняются как бы «сами собой». Техника поточечного построения для различных графиков подробно рассмотрена в справкеГрафики и свойства элементарных функций . Тем не менее, аналитический способ нахождения пределов все-таки приходится иногда применять, если, например, график достаточно большой, или поточенное построение не выявило пределов интегрирования (они могут быть дробными или иррациональными). И такой пример, мы тоже рассмотрим.

Возвращаемся к нашей задаче: рациональнее сначала построить прямую и только потом параболу. Выполним чертеж:

Повторюсь, что при поточечном построении пределы интегрирования чаще всего выясняются «автоматом».

А теперь рабочая формула: Если на отрезке некоторая непрерывная функция больше либо равна некоторой непрерывной функции , то площадь соответствующей фигуры можно найти по формуле:

Здесь уже не надо думать, где расположена фигура – над осью или под осью, и, грубо говоря, важно, какой график ВЫШЕ (относительно другого графика), а какой – НИЖЕ .

В рассматриваемом примере очевидно, что на отрезке парабола располагается выше прямой, а поэтому из необходимо вычесть

Завершение решения может выглядеть так:

Искомая фигура ограничена параболой сверху и прямой снизу.
На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

На самом деле школьная формула для площади криволинейной трапеции в нижней полуплоскости (см. простенький пример №3) – частный случай формулы . Поскольку ось задается уравнением , а график функции расположен ниже оси , то

А сейчас пара примеров для самостоятельного решения

Пример 5

Пример 6

Найти площадь фигуры, ограниченной линиями , .

В ходе решения задач на вычисление площади с помощью определенного интеграла иногда случается забавный казус. Чертеж выполнен правильно, расчеты – правильно, но по невнимательности… найдена площадь не той фигуры , именно так несколько раз лажался ваш покорный слуга. Вот реальный случай из жизни:

Пример 7

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Сначала выполним чертеж:

Фигура, площадь которой нам нужно найти, заштрихована синим цветом (внимательно смотрите на условие – чем ограничена фигура!). Но на практике по невнимательности нередко возникает, что нужно найти площадь фигуры, которая заштрихована зеленым цветом!

Этот пример еще и полезен тем, что в нём площадь фигуры считается с помощью двух определенных интегралов. Действительно:

1) На отрезке над осью расположен график прямой ;

2) На отрезке над осью расположен график гиперболы .

Совершенно очевидно, что площади можно (и нужно) приплюсовать, поэтому:

Ответ:

Пример 8

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,
Представим уравнения в «школьном» виде , и выполним поточечный чертеж:

Из чертежа видно, что верхний предел у нас «хороший»: .
Но чему равен нижний предел?! Понятно, что это не целое число, но какое? Может быть ? Но где гарантия, что чертеж выполнен с идеальной точностью, вполне может оказаться что . Или корень. А если мы вообще неправильно построили график?

В таких случаях приходиться тратить дополнительное время и уточнять пределы интегрирования аналитически.

Найдем точки пересечения прямой и параболы .
Для этого решаем уравнение:

Следовательно, .

Дальнейшее решение тривиально, главное, не запутаться в подстановках и знаках, вычисления здесь не самые простые.

На отрезке , по соответствующей формуле:

Ответ:

Ну, и в заключение урока, рассмотрим два задания сложнее.

Пример 9

Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , ,

Решение: Изобразим данную фигуру на чертеже.

Для поточечного построения чертежа необходимо знать внешний вид синусоиды (и вообще полезно знать графики всех элементарных функций ), а также некоторые значения синуса, их можно найти в тригонометрической таблице . В ряде случаев (как в этом) допускается построение схематического чертежа, на котором принципиально правильно должны быть отображены графики и пределы интегрирования.

С пределами интегрирования здесь проблем нет, они следуют прямо из условия: – «икс» изменяется от нуля до «пи». Оформляем дальнейшее решение:

На отрезке график функции расположен над осью , поэтому:

(1) Как интегрируются синусы и косинусы в нечетных степенях можно посмотреть на урокеИнтегралы от тригонометрических функций . Это типовой прием, отщипываем один синус.

(2) Используем основное тригонометрическое тождество в виде

(3) Проведем замену переменной , тогда:

Новые переделы интегрирования:

У кого совсем плохи дела с заменами, прошу пройти на урок Метод замены в неопределенном интеграле . Кому не очень понятен алгоритм замены в определенном интеграле, посетите страницу Определенный интеграл. Примеры решений .

Введение

Нахождение производной f" (x) или дифференциала df=f" (x) dx функции f(x) является основной задачей дифференциального исчисления. В интегральном исчислении решается обратная задача: по заданной функции f(x) требуется найти такую функцию F(x), что F" (х)=f(x) или F(x)=F" (x) dx=f(x) dx. Таким образом, основной задачей интегрального исчисления является восстановление функции F(x) по известной производной (дифференциалу) этой функции. Интегральное исчисление имеет многочисленные приложения в геометрии, механике, физике и технике. Оно дает общий метод нахождения площадей, объемов, центров тяжести и т.д.

Курс математического анализа содержит разнообразный материал, однако, одним из его центральных разделов является определенный интеграл. Интегрирование многих видов функций подчас представляет собой одну из труднейших проблем математического анализа.

Вычисление определенного интеграла имеет не только теоретический интерес. К его вычислению сводятся иногда задачи, связанные с практической деятельностью человека.

Также понятие определенного интеграла широко используется в физике.

Нахождение площади криволинейной трапеции

Криволинейной трапецией называется фигура, расположенная в прямоугольной системе координат и ограниченная осью абсцисс, прямыми х = а и х = b и кривой, причем неотрицательна на отрезке. Приближенно площадь криволинейной трапеции можно найти так:

1. разделить отрезок оси абсцисс на n равных отрезков;

2. провести через точки деления отрезки, перпендикулярные к оси абсцисс, до пересечения с кривой;

3. заменить получившиеся столбики прямоугольниками с основанием и высотой, равной значению функции f в левом конце каждого отрезка;

4. найти сумму площадей этих прямоугольников.

Но можно найти площадь криволинейной иначе: по формуле Ньютона-Лейбница. Для доказательства формулы, носящей их имена, докажем, что площадь криволинейной трапеции равна, где - любая из первообразных функции, график которой ограничивает криволинейную трапецию.

Вычисление площади криволинейной трапеции записывается так:

1. находится любая из первообразных функции.

2. записывается. - это формула Ньютона-Лейбница.

Нахождение площади криволинейного сектора

Рассмотрим кривую? = ? (?) в полярной системе координат, где? (?) - непрерывная и неотрицательная на [?; ?] функция. Фигура, ограниченная кривой? (?) и лучами? = ?, ? = ?, называется криволинейным сектором. Площадь криволинейного сектора равна

Нахождение длины дуги кривой

Прямоугольные координаты

Пусть в прямоугольных координатах дана плоская кривая AB, уравнение которой y = f(x), где a ? x ? b. (рис 2)

Под длиной дуги AB понимается предел, к которому стремиться длина ломаной линии, вписанной в эту дугу, когда число звеньев ломаной неограниченно возрастает, а длина наибольшего звена ее стремиться к нулю.

Применим схему I (метод сумм).

Точками X = a, X, …, X = b (X ? X? … ? X) разобьем отрезок на n частей. Пусть этим точкам соответствуют точки M = A, M, …, M = B на кривой AB. Проведем хорды MM, MM, …, MM, длины которых обозначим соответственно через?L, ?L, …, ?L.

Получим ломанную MMM … MM, длина которой равна L = ?L+ ?L+ … + ?L = ?L.

Длину хорды (или звена ломанной) ?L можно найти по теореме Пифагора из треугольника с катетами?X и?Y:

L = , где?X = X - X, ?Y = f(X) - f(X).

По теореме Лагранжа о конечном приращении функции

Y = (C) ?X, где C (X, X).

а длина всей ломанной MMM … MM равна

Длина кривой AB, по определению, равна

Заметим, что при?L 0 также и?X 0 (?L = и следовательно | ?X | < ?L). Функция непрерывна на отрезке , так как, по условию, непрерывна функция f (X). Следовательно, существует предел интегральной суммы L=?L= , кода max ?X 0:

Таким образом, L = dx.

Пример: Найти длину окружности радиуса R. (рис 3)

Найдем? часть ее длины от точки (0; R) до точки (R; 0). Так как

№____ Дата________

Тема: Криволинейная трапеция и ее площад ь

Цели урока : Дать определения криволинейной трапеции и ее площади, научиться вычислять площадь криволинейной трапеции.

ХОД УРОКА

1. Организационный момент.

Приветствие учащихся, проверка готовности класса к уроку, организация внимания учащихся, раскрытие общих целей урока и плана его проведения.

2. Этап проверки домашнего задания.

Задачи: Установить правильность, полноту и осознанность выполнения д/з всеми учащимися, выявить пробелы в знаниях и способах деятельности учащихся. Определить причины возникновения затруднений, устранить обнаруженные пробелы.

3.Этап актуализации.

Задачи: обеспечение мотивации учения школьников, включение в совместную деятельность по определению целей урока. Актуализировать субъективный опыт учащихся.

Вспомним основные понятия и формулы.

Определение. Функция y= f (x), x  (a,b), называется первообразной для функции y=f(x), x  (a,b), если для каждого x  (a,b) выполняется равенство

F  (x)=f(x) .

Замечание. Если f (x) есть первообразная для функции f(x) , то при любой константе С , F(x)+C также является первообразной для f(x).

Задача нахождения всех первообразных функции f(x) называется интегрированием, а множество всех первообразных называется неопределенным интегралом для функции f(x) по dx и обозначается

Имеют место свойства:

1 . ;

2 . Если С= Const, то
;

3 .
.

Замечание. В школьном курсе математики не употребляется термин «неопределенный интеграл», вместо этого говорят «множество всех первообразных».

Приведем таблицу неопределенных интегралов.

Пример 1. Найти первообразную для функции
, проходящую через точку М (2;4).

Решение. Множество всех первообразных функции
есть неопределенный интеграл
. Вычислим его, используя свойства интеграла 1 и 2 . Имеем:

Получили, что множество всех первообразных задается семейством функций y=F(x)+C , то есть y=x 3 – 2x+C , где С – произвольная постоянная.

Зная, что первообразная проходит через точку М (2;4), подставим ее координаты в предыдущее выражение и найдем С .

4=2 3 –2 2+С  С =4–8+4; С =0.

Ответ: F(x)=x 3 - 2x – искомая первообразная.

4. Формирование новых понятий и способов действия.

Задачи: Обеспечить восприятие, осмысление и запоминание учащимися изучаемого материала. Обеспечить усвоение учащимися методики воспроизведения изученного материала, содействовать философскому осмыслению усваиваемых понятий, законов, правил, формул. Установить правильность и осознанность учащимися изученного материала, выявить пробелы первичного осмысления, провести коррекцию. Обеспечить соотнесение учащимися своего субъективного опыта с признаками научного знания.

Нахождение площадей плоских фигур

Задача нахождения площади плоской фигуры тесно связана с задачей нахождения первообразных (интегрированием). А именно: площадь криволинейной трапеции ограниченной графиком функции y=f(x) (f(x)> 0) прямыми x=a; x=b; y= 0, равна разности значений первообразной для функции y=f(x) в точках b и a :

S=F(b)–F(a)

Дадим определение определенного интеграла.

О
пределение. Пусть функция y=f(x) определена и интегрируема на отрезке [a,b ] и пусть F(x) – некоторая ее первообразная. Тогда число F(b)–F(a) называется интегралом от а до b функции f(x) и обозначается

.

Равенство
называется формулой Ньютона–Лейбница.

Эта формула связывает задачу нахождения площади плоской фигуры с интегралом.

В общем случае, если фигура ограничена графиками функций y=f(x) ; y=g(x) (f(x)>g(x) ) и прямыми x=a ; x=b , то ее площадь равна:

.

Пример2. В какой точке графика функции y=x 2 + 1 надо провести касательную, чтобы она отсекала от фигуры, образованной графиком этой функции и прямыми y= 0, x= 0, x= 1 трапецию наибольшей площади?

Решение. Пусть M 0 (x 0 ,y 0 ) – точка графика функции y=x 2 + 1, в которой проведена искомая касательная.

Найдем уравнение касательной y=y 0 +f  (x 0 )(x–x 0 ) .

Имеем:

Поэтому

.

Найдем площадь трапеции ОАВС .

.

B – точка пересечения касательной с прямой x= 1 

Задача свелась к нахождению наибольшего значения функции

S (x )=–x 2 +x+ 1 на отрезке . Найдем S  (x )=– 2x+ 1. Найдем критическую точку из условия S  (x )= 0  x= .

Видим, что функция достигает наибольшего значения при x= . Найдем
.

Ответ: касательную надо провести в точке
.

Отметим, что часто встречается задача нахождения интеграла, исходя из его геометрического смысла. Покажем на примере, как решается такая задача.

Пример 4. Используя геометрический смысл интеграла вычислить

а)
; б)
.

Решение.

а)
– равен площади криволинейной трапеции, ограниченной линиями .

Преобразуем

– верхняя половина окружности с центром Р (1;0) и радиусом R= 1.

Поэтому
.

Ответ:
.

б) Рассуждая аналогично, построим область, ограниченную графиками .2 – 2x+ 2, касательными к ней в точках A
, B (4;2)

y= –9x– 59, параболой y= 3x 2 +ax+ 1, если известно, что касательная к параболе в точке x=– 2 составляет с осью Ox угол величиной arctg 6.

Найти а , если известно, что площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями y= 3x 3 + 2x, x=a, y= 0, равна единице.

Найти наименьшее значение площади фигуры, ограниченной параболой y=x 2 + 2x– 3 и прямой y=kx+ 1.

6.Этап информации о домашнем задании.

Задачи: Обеспечить понимание учащимися цели, содержания и способов выполнения домашнего задания.№18, 19,20,21 нечетные

7.Подведение итогов урока.

Задача: Дать качественную оценку работы класса и отдельных учащихся.